FERNANDO ESSA TOFO CONVERSORES CC-CC NÃO SOADOS Análse, Mdelagem e Cnrle
Fernand essa Tfl CONVERSORES CC-CC NÃO SOADOS ANÁSE, MODEAGEM E CONTROE
Cpyrgh 018 by Arlber Edra da. Revsã: Mara Carlna Garca Capa e edraçã: Edrand Brô Dads nernacnas de Caalgaçã na Publcaçã (CP) (Câmara Braslera d vr) Tfl, Fernand essa Cnversres CC-CC nã slads: análse, mdelagem e cnrle / Fernand essa Tfl. - Sã Paul : Arlber, 018. 4 p. SBN: 978-85-88098-81-7 1. Cnversres de crrene elérca. Engenhara elérca 3. Elerônca de pênca. Tíul 18-0679 CDD 61.381 Índces para caálg ssemác: 1. Crrene elérca : Cnversres 018 Tds s dres desa edçã sã reservads à Arlber Edra da. Av. Dógenes Rber de ma, 394 05083-010 Sã Paul SP Brasl Tel.: (11) 383-5489 3641-3893 nf@arlber.cm.br www.arlber.cm.br
SUMÁRO Prefác... 9 1. nrduçã a esud ds cnversres CC-CC... 11 1.1 - Cnsderações prelmnares... 11 1. - Classfcaçã ds cnversres CC-CC... 1 1. - Cnrle de flux de pênca... 14 1.4 - Cnversr CC-CC abaxadr elemenar... 15 1.5 - Cnversr CC-CC abaxadr cm carga RE e dd de rda lvre... 0. Cnversr CC-CC buck... 9.1 - Análse da peraçã em MCC... 9. - Análse da peraçã em MCD... 43 3. Cnversr CC-CC bs... 53 3.1 - Análse da peraçã em MCC... 53 3. - Análse da peraçã em MCD... 65 4. Cnversr CC-CC buck-bs... 75 4.1 - Análse da peraçã em MCC... 75 4. - Análse da peraçã em MCD... 88
5. Cnversr CC-CC Ćuk... 97 5.1 - Análse da peraçã em MCC... 97 5. - Análse da peraçã em MCD... 11 6. Cnversr CC-CC SEPC... 15 6.1 - Análse da peraçã em MCC... 15 6. - Análse da peraçã em MCD... 137 7. Cnversr CC-CC Zea... 151 7.1 - Análse da peraçã em MCC... 151 7. - Análse da peraçã em MCD... 165 8. Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC empregand a écnca d espaç de esads méd... 179 8.1 - Cnsderações ncas... 179 8. - Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na razã cíclca... 18 8.3 - Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na ensã de enrada... 185 8.4- Mdelagem de um cnversr CC-CC buck perand em MCC... 188 9. Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC perand em md de cnduçã cnínua, empregand a écnca d nerrupr PWM...195 9.1 - Cnsderações ncas... 195 9. - Mdel d nerrupr PWM... 196
9.3 - Mdelagem de pequens snas de um cnversr buck perand em MCC... 05 10. Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC perand em md de cnduçã descnínua, empregand a écnca d nerrupr PWM... 17 10.1 - Cnsderações ncas... 17 10. - Mdel d nerrupr PWM em MCD... 18 10.3 - Mdelagem de pequens snas de um cnversr buck perand em MCD... 6 11. Cnrle de cnversres CC-CC perand em malha fechada...37 11.1 - Cnsderações ncas... 37 11. - Far K... 41 11.3 - Técncas de cnrle de cnversres CC-CC... 46
7 CONVERSOR CC-CC ZETA 7.1 - Análse da peraçã em MCC 7.1.1 - Análse qualava O cnversr Zea f a úlma esruura clássca de cnversr CC-CC prpsa, que crreu na década de 1980. Na épca, acredava-se que exsam apenas ses cnversres báscs, send que essa plga recebeu esse nme em asscaçã à sexa lera d alfabe greg (alfa, bea, gama, dela, epsln, zea). Traa-se de uma varaçã plógca ds cnversres Ćuk e SEPC, a qual ambém pssu caracerísca abaxadra e elevadra, pdend ser enendda cm a asscaçã de um cnversr buck-bs na enrada e um cnversr buck na saída, cm msra a Fg. 7.1. Fg. 7.1 Cnversr CC-CC Zea As prncpas caraceríscas d cnversr Zea sã: ulzaçã de ds ndures e ds capacres, send esse um ssema de quara rdem;
15 Capíul 7 a crrene de enrada é descnínua, send necessára a ulzaçã de um flr passa-baxa para a reduçã de prblemas asscads à nerferênca elermagnéca, cm crre ns cnversres buck e buck-bs; a crrene enregue a eság de saída é cnínua; cm nerrupr cnrlad nã é cnecad a mesm nó de referênca da fne, ss demanda a ulzaçã de crcus de cmand slads; a ensã de saída pssu a mesma plardade da ensã de enrada; s esfrçs de ensã ns elemens semcndures sã dêncs àqueles exsenes n cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC; a ransferênca de energa crre aravés d capacr de acplamen; pssu caracerísca de fne de ensã na enrada e fne de crrene na saída, de acrd crcu smplfcad da Fg. 7.. Fg. 7. Crcu smplfcad d cnversr CC-CC Zea A peraçã d cnversr Zea em MCC é descra segund as eapas represenadas na Fg. 7.3. Para a análse qualava d crcu, cnsdera- -se que cnversr pera em regme permanene e que ds s elemens exsenes sã deas.
Cnversr CC-CC Zea 153 (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, T s ] Fg. 7.3 Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC Zea em MCC 1 a eapa [0, n ]: O nerrupr cnduz e dd permanece blquead. As crrenes em 1 e crescem lnearmene. O capacr C 1 é descarregad, ransfernd sua energa a, enquan capacr C é descarregad, almenand a carga. a eapa [ n, T s ]: O nerrupr é blquead, de md que dd cmeça a cnduzr. A energa prevamene armazenada em 1 e é ransferda as capacres C 1 e C, respecvamene. Além dss, as crrenes ns ds ndures decrescem lnearmene. Essa eapa persse aé que nerrupr cmeça a cnduzr nvamene, ncand-se próxm ccl de cmuaçã. As frmas de nda eórcas crrespndenes à peraçã d cnversr Zea em MCC sã msradas na Fg. 7.4.
154 Capíul 7 Fg. 7.4 Frmas de nda eórcas d cnversr CC-CC Zea em MCC Assm cm ns cnversres buck e buck-bs, pde-se cnecar nerrupr da plga Zea a mesm referencal da fne de enrada cm n crcu da Fg. 7.5, preservand anda prncíp de funcnamen descr prevamene.
Cnversr CC-CC Zea 155 Fg. 7.5 Represenaçã alernava d cnversr CC-CC Zea 7.1. - Deermnaçã d ganh esác Analsand s crcus equvalenes que descrevem funcnamen d cnversr Zea em CCM, pr sua vez asscads às suas respecvas frmas de nda eórcas, é pssível deduzr das as expressões maemácas para prje d eság de pênca. De acrd cm a Fg. 7.3 (a), em-se: V 11 V V V - V + V 1 C1 (7.1) (7.) Em que V 11 e V 1 sã s valres das ensões ns ndures 1 e durane prmer eság de peraçã, respecvamene, enquan V C1 é a ensã méda n capacr C 1, cnsderada cnsane e lvre de ndulações na análse que se segue. A ensã nsanânea em um ndur é defnda pr: v d ( ) d (7.3) Send que () é a crrene nsanânea n ndur. Descnsderand a ndulaçã na ensã de saída na prmera eapa, cuja duraçã é n, é pssível defnr as ndulações das crrenes ns ndures 1
156 Capíul 7 e cm send Δ 1 e Δ., respecvamene. Assm, as segunes expressões pdem ser bdas para a prmera eapa: d n (7.4) D 1-1 máx. 1 mín. (7.5) D - (7.6) máx. mín. Subsund (7.1), (7.4) e (7.5) em (7.3), bem cm subsund (7.), (7.4) e (7.6) em (7.3), sã bdas as segunes expressões para s ndures: D 1 V 1 n D V - VC1+ V n De acrd cm a Fg. 7.3 (b), êm-se: (7.7) (7.8) V V -V 1 C1 (7.9) - V (7.10) Em que V 1 e V sã s valres das ensões ns ndures 1 e durane segund eság de peraçã, respecvamene. De acrd cm as eapas anerrmene apresenadas, s ndures 1 e se carregam e descarregam a cada ccl de cmuaçã, a uma axa cnsane em regme permanene. Assm, descnsderand-se a ndulaçã da ensã de saída, pde-se escrever: ( ) ( ) -D - - 1 1 máx. 1 mín. -D - - máx. mín. (7.11) (7.1) d ff (7.13) Subsund (7.9), (7.11) e (7.13) em (7.3), bem cm subsund (7.10), (7.1) e (7.13) em (7.3), êm-se:
D V C1 1 ff D V 1 ff Cnversr CC-CC Zea 157 (7.14) (7.15) Além dss, s nervals de cnduçã e blque d nerrupr pdem ser bds em funçã da razã cíclca da segune frma: n ff DTs (7.16) ( 1- DT ) (7.17) s O ganh esác d cnversr Zea em MCC pde ser bd cnsderand que a ensã méda n ndur 1 é nula a lng d períd de cmuaçã. Assm, a parr da frma de nda da ensã d ndur apresenada na Fg. 7.4, em-se: 1 n DTs Ts V 1( méd. ) é ( V ) ( 1) 0 0 d + - V C dù T êë n DTs úû s ò ò (7.18) Reslvend as negras na expressã (7.18), é deermnada a ensã méda n capacr C 1 : V C1 DV 1 - D (7.19) O cálcul da ensã méda n ndur é dad pela segune expressã: 1 n DTs Ts V ( méd. ) é ( V 1 ) 0 0 - VC + V d + - V dù T êë n DTs úû s ò ò (7.0) Assm, a ensã n capacr C 1 pde ser bda a parr de (7.0): V C1 ( 1) DV + V D - (7.1) D gualand as expressões (7.19) e (7.1), chega-se a ganh esác d cnversr Zea em MCC:
158 Capíul 7 V V D 1 - D (7.) Analgamene as cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC, a plga Zea apresena caraceríscas abaxadra e elevadra, s é: D < 0,5 V < V (abaxadr u buck); D 0,5 V V ; D > 0,5 V > V (elevadr u bs). 7.1.3 - Deermnaçã das nduâncas 1 e Assm cm ns cnversres Ćuk e SEPC, êm-se: 1 méd. méd. (7.3) (7.4) Para pequenas ndulações das crrenes ns ndures, menres u guas a 0% da crrene na carga, s valres méd e efcaz sã aprxmadamene guas. Cas as ndulações sejam elevadas, é necessár cnsderar as frmas de nda de 1 () e () msradas na Fg. 7.4, cm bjev de deermnar s seus respecvs valres efcazes da segune frma: n T 1 é s æ öù æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d +ç 1 ( ) d T ç ò ú ç ò s ê ëè 0 øúû èn ø n T 1 é s æ öù æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d +ç ( ) d T ç ò ú ç ò s ê ëè 0 øúû èn ø (7.5) (7.6) Neses cass, 11 () e 1 () sã as expressões nsanâneas que defnem a crrene n ndur 1 na prmera e segunda eapas de peraçã, respecvamene; enquan 1 () e () represenam as expressões nsanâneas
Cnversr CC-CC Zea 159 da crrene n ndur durane a prmera e segunda eapa de peraçã, respecvamene. Os valres máxm e mínm da crrene n ndur 1 sã: 1 máx. 1 mín. D 1 + (7.7) D 1 - (7.8) Analgamene, êm-se s respecvs valres máxm e mínm da crrene n ndur : 1 máx. mín. D 1 + (7.9) D - (7.30) Analsand a Fg. 7.4 e cnsderand s pns (0, 1(mín.) ) e ( n, 1(máx.) ) asscads às expressões (7.7) e (7.8), é pssível ber a segune expressã: æd ö 1 æ D 1ö 11 ( ) ç + ç - è n ø è ø (7.31) Cm cálcul de uma negral crrespnde à deermnaçã da área de uma deermnada curva a lng de um dad ex, é pssível adar uma nva rgem ds exs sem que haja alerações n resulad fnal, cm a fnaldade de deermnar 1 () de frma mas smples. Assm, as expressões (7.5) e (7.6) pdem ser reescras cm: ff 1 é n æ öù æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d ú+ç 1 ( ) d T ê ç ú ç è ø ò ò (7.3) s ë 0 û è 0 ø ff 1 é n æ öù æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d ú+ç ( ) d T ç ò ê ú ç ò è ø s ë 0 û è 0 ø (7.33) Analgamene, cnsderand s pns (0, 1(máx.) ) e ( ff, 1(mín.) ), a crrene 1 () pde ser represenada pr:
160 Capíul 7 æd ö 1 æ D 1ö 1 ( ) - + + ç ç è ff ø è ø Fnalmene, subsund-se (7.31) e (7.34) em (7.3), bém-se: (7.34) 1 ef. 1 + D 1 1 (7.35) Cnsderand um cnversr deal em que nã há perdas, em-se: D 1 - D (7.36) Subsund (7.36) em (7.35), em-se: 1( 1- D) D 1- D + 1D 1 1 ef. Subsund (7.16) em (7.7), é bd valr da nduânca 1 : 1 s 1 (7.37) VD f D (7.38) Analgamene a prcedmen desenvlvd para ndur 1, é pssível deermnar as expressões nsanâneas para a crrene n ndur durane a prmera e a segunda eapa de funcnamen, segund as segunes expressões: æd ö æ D ö 1 ( ) ç + ç - è n ø è ø æd ö æ D ö ( ) - + + ç ç è ff ø è ø Assm, subsund (7.39) e (7.40) em (7.33), bém-se: (7.39) (7.40)
Cnversr CC-CC Zea 161 ef. 1 + D (7.41) 1 A expressã que perme ber a nduânca resula da subsuçã de de (7.) em (7.15): VD f D s (7.4) 7.1.4 - Deermnaçã das capacâncas C 1 e C De acrd cm a Fg. 7.3 (a), a descarga d capacr C 1 crre na prmera eapa de peraçã. Nesse elemen, crcula a crrene de saída. Assm, em-se: ò 1ò C (7.43) d C dv Cm a duraçã da prmera eapa de peraçã é n DT s e a varaçã da ensã n capacr é ΔV dv c (), a capacânca C 1 é dada pr: C D 1 DV C1 f s (7.44) Pr ur lad, enquan a crrene n ndur fr mar que a crrene na carga (cnsderada cnsane, s é, desprezand-se a sua respecva ndulaçã), capacr C se carrega. Pr ur lad, quand fr menr, capacr se descarrega, prvcand uma varaçã de ensã ΔV C, cnfrme a Fg. 7.6.
16 Capíul 7 Fg. 7.6 Frma de nda da crrene n ndur e nervals ns quas capacr C se carrega e descarrega em MCC O capacr C armazena uma quandade de carga ΔQ dada pr: 1 æ öd TD D D Q ç + è ø 8 8f n ff s s (7.45) sland Δ em (7.4) e subsund esse parâmer em (7.45), em-se: VD D Q (7.46) f 8 s De frma genérca, a capacânca é defnda pr: DQ C D V (7.47) Subsund (7.46) em (7.47), bém-se: C VD D (7.48) 8 fs VC 7.1.5 - Deermnaçã ds esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures Para calcular s esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures, é necessár cnsderar as frmas de nda da crrene e ensã
Cnversr CC-CC Zea 163 nsanâneas da Fg. 7.4. Os valres méd e efcaz da crrene n nerrupr S sã dads pr: 1 n S(méd.) é 11 1 T ë + s 0 ò ùûd (7.49) 1 n S(ef.) é 11 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.50) Subsund (7.31) e (7.39) em (7.49) e (7.50), êm-se: D + S(méd.) S (ef.) ( + ) + ( D + D ) (7.51) Dé1 1 ù ë û (7.5) 1 Subsund (7.36) em (7.51) e (7.5), bêm-se: S (méd.) D 1 - D (7.53) { éë( D 1+ D )( 1- ) ùû + 1 } 1( 1- D) D D S (ef.) (7.54) Se as ndulações das crrenes ns ndures frem pequenas, a expressã (7.54) pde ser smplfcada da segune frma: S (ef.) D 1 - D (7.55) A máxma ensã de blque n nerrupr é: V V - V V + V S(máx.) 1 (7.56) Além dss, as crrenes méda e efcaz n dd sã bdas pelas segunes expressões:
164 Capíul 7 1 ff D(méd.) 1 T ò éë + s 0 ùûd (7.57) 1 ff D(ef.) é 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.58) Subsund (7.34) e (7.40) em (7.57) e (7.58), êm-se: D D(méd.) 1- + D(ef.) ( 1- D) é1( + ) + ( D + D ) ë 1 1 Subsund (7.36) em (7.59) e (7.60), êm-se: ù û (7.59) (7.60) D(méd.) (7.61) D(ef.) ( 1 ) 1( 1- D) 1 ù 1 éë D + D - D û + (7.6) Cnsderand pequens valres da ndulaçã da crrene n ndur, a expressã (7.6) pde ser smplfcada: D(ef.) 1- D (7.63) A análse da Fg. 7.3 (a) perme cnclur que a máxma ensã à qual dd é submed é: V - V + V - V + V D(máx.) 1 (7.64) Cm era esperad, as expressões que defnem s esfrçs de crrene e ensã n cnversr Zea sã as mesmas que aquelas bdas para s cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC perand em CCM.
7. - Análse da peraçã em MCD 7..1 - Análse qualava Cnversr CC-CC Zea 165 Ns cnversres Ćuk, SEPC e Zea, a peraçã em MCD é caracerzada pel blque d dd a fnal da segunda eapa de funcnamen. Dessa frma, a sma das crrenes ns ndures 1 e se anula a fnal dessa mesma eapa. Para esudar a peraçã d cnversr Zea em MCD, sã cnsderads s crcus equvalenes da Fg. 7.7. Nese cas, crcu pera em regme permanene e ds s elemens exsenes sã deas. (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, n + d ] (c) 3 a eapa [ n + d, T s ] Fg. 7.7 Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC Zea em MCD
166 Capíul 7 1 a eapa [0, n ]: Quand nerrupr cmeça a cnduzr, a crrene n ndur 1 cresce lnearmene de zer a um valr máxm, send que a ensã aplcada a esse elemen é V. Além dss, capacr C 1 se descarrega, frnecend sua energa a ndur, cuja crrene nsanânea cresce lnearmene. O capacr C ambém se descarrega nessa eapa. a eapa [ n, n + d ]: N níc dessa eapa, nerrupr S é blquead. A crrene n ndur 1 decresce lnearmene, send que capacr C 1 é nvamene carregad. A descarga lnear d ndur mplca frnecmen de energa a eság de saída. 3 a eapa [ n + d, T s ]: Quand dd é blquead a fnal da eapa anerr, apenas capacr C frnece energa à carga. As crrenes nsanâneas ns ndures sã guas em módul e pssuem sends pss. Essa suaçã persse aé que nerrupr cmece a cnduzr n níc d próxm ccl de cmuaçã. A peraçã d cnversr Zea em MCD é caracerzada pelas frmas de nda eórcas da Fg. 7.8, cnsaand-se que a sma das crrenes em 1 e é nula durane a ercera eapa de peraçã.
Cnversr CC-CC Zea 167 V C V v () v () C1 v () C V C1 1(máx.) 1(mín.) () 1 v () 1 () 11 () 1 V -V (máx.) (mín.) () v () () 1 () V -V () + () 1 () S ()+ () 11 1 v () S V +V () D ()+ () 1 V v () D -(V +V ) ndts d ff(1-d)ts T s -V Fg. 7.8 Frmas de nda eórcas d cnversr CC-CC Zea em MCD 7.. - Deermnaçã d ganh esác Pr me da análse de malhas aplcada as crcus equvalenes da Fg. 7.7 e as frmas de nda da Fg. 7.8, chegam-se às segunes expressões:
168 Capíul 7 DTsV D 1 V d D 1 1 1 (7.65) (7.66) D DTsV (7.67) V d D (7.68) Para deermnar ganh esác d cnversr em MCD, deve-se cnsderar que a ensã méda n ndur 1 é nula em regme permanene, s é: Ts n n + d Ts 1 1 æ ö V v d v d v d v d 1 méd. Ts T ç 0 s è 0 n n + d ø ò 1 ç ò 11 + ò 1 + ò 13 0 (7.69) Send que v 11 (), v 1 () e v 13 () represenam cmpramen da ensã nsanânea n ndur 1 durane a prmera, segunda e ercera eapa de funcnamen, respecvamene. Reslvend-se (7.69) de acrd cm a frma de nda de v 1 () na Fg. 7.8, em-se: V C1 DTsV d (7.70) Além dss, a ensã méda n ndur é: Ts n n + d Ts 1 1 æ ö V v d v d v d v d méd. Ts T ç 0 s è 0 n n + d ø ò ç ò 1 + ò + ò 3 0 (7.71) Send que v 1 (), v () e v 3 () represenam cmpramen da ensã nsanânea n ndur durane a prmera, segunda e ercera eapa de funcnamen, respecvamene.
Cnversr CC-CC Zea 169 Reslvend (7.71) de acrd cm a frma de nda de v () da Fg. 7.8, em-se: d ( - + ) DT V V V s C1 (7.7) V Subsund (7.7) em (7.70), bém-se: V C1 V (7.73) Subsund (7.73) em (7.7), pde-se deermnar ganh esác d cnversr em MCD: V V DT d s (7.74) Segund a Fg. 7.8, as crrenes nsanâneas n ndur 1 durane a prmera, a segunda e a ercera eapa de funcnamen sã: æd ö 1 11 ( ) ç + 1( mín. ) è n ø (7.75) æd ö 1 1 ( ) - ç + 1( máx. ) è d ø (7.76) (7.77) 13 1 mín. Send que 1(mín.) e 1(máx.) defnem s valres mínm e máxm da crrene n ndur 1, respecvamene, cuja ndulaçã é dada pr: D 1 1( máx. ) - 1( mín. ) (7.78) A crrene méda n ndur 1, que é gual à crrene méda de enrada, pde ser calculada pr: n d Ts -( n + d ) 1 ï ìé ù é ù é ùï ü 1( méd. ) íê 11 ( ) dú+ ê 1 ( ) dú+ê 13 ( ) dúý Ts ïîêë 0 úû êë0 úû êë 0 úûïþ ò ò ò (7.79)
170 Capíul 7 Subsund as expressões (7.75) a (7.78) em (7.79), bém-se: 1 máx. 1 mín. ë T ùû (7.80) T ( n + d ) + é s - ( n + d ) s Subsund (7.78) em (7.65), é pssível calcular valr máxm da crrene n ndur 1 : V DT s 1( máx. ) 1( mín. ) + (7.81) 1 Fnalmene, subsund (7.81) em (7.80), é deermnad valr mínm da crrene n ndur 1 : 1 mín. VDT V - V ( + V ) s 1 (7.8) As crrenes nsanâneas n ndur durane a prmera, a segunda e a ercera eapa de funcnamen sã dadas pr: æd ö è ø ç + 1 mín. n (7.83) æd ö è ø - ç + máx. d 3 mín. (7.84) (7.85) Send que (mín.) e (máx.) defnem s valres mínm e máxm da crrene n ndur, respecvamene, cuja ndulaçã é dada pr: D - (7.86) máx. mín. A crrene méda n ndur é gual à crrene méda de saída, send calculada pr:
Cnversr CC-CC Zea 171 n d Ts -( n + d ) 1 ï ìé ù é ù é ùï ü ( méd. ) íê 1 ( ) dú+ ê ( ) dú+ê 3 ( ) dúý Ts ïîêë 0 úû êë0 úû êë 0 úûïþ ò ò ò (7.87) Subsund as expressões (7.83) a (7.86) em (7.87), em-se: máx. mín. ë T T ( n + d ) + é s - ( n + d ) Subsund (7.86) em (7.67), bém-se: VDT + máx. mín. s s ùû (7.88) (7.89) Assm, é pssível defnr valr mínm da crrene n ndur a se subsur (7.89) em (7.88): mín. ( + V ) VDT s V - (7.90) V Além dss, a análse da Fg. 7.7 (c) perme cnclur que: - 1 mín. mín. (7.91) Subsund-se (7.8) e (7.90) em (7.91) e realzand algumas manpulações maemácas, chega-se à expressã que represena ganh esác d cnversr Zea em MCD: V V ( + ) DV 1 (7.9) f 1 s Essa expressã é exaamene dênca àquelas que represenam s ganhs esács ds cnversres Ćuk e SEPC em MCD. De acrd cm (7.9), as nduâncas 1 e encnram-se em paralel, s é: eq 1 + (7.93) 1
17 Capíul 7 Enã, é pssível subsur (7.93) em (7.9), resuland em: V V DV (7.94) f eq s O emp de descarga ds ndures pde ser deermnad gualand-se (7.74) e (7.94): d eq DV (7.95) A caracerísca de saída d cnversr Zea é dênca àquela ds cnversres Ćuk e SEPC, cm msra a Fg. 7.9. Fg. 7.9 Caracerísca de saída d cnversr CC-CC Zea 7..3 - Deermnaçã da nduânca críca Na cnduçã críca, as ndulações das crrenes ns ndures sã:
Cnversr CC-CC Zea 173 D 1 1( máx. ) máx. D (7.96) (7.97) Subsund (7.), (7.36) e (7.96) em (7.38), bém-se: ( crí ) 1. V D (7.98) V f s Subsund-se (7.74) e (7.97) em (7.68), bém-se: ( crí ). VD (7.99) f s Segund a asscaçã em paralel dada pr (7.93), a nduânca críca é calculada pr: (.) eq crí DV f V V 1 ( crí. ) ( crí. ) 1.. + s ( + crí crí ) (7.100) Em MCD, as ndulações das crrenes ns ds ndures sã cnsderáves, send que nesse cas s valres méds nã sã aprxmadamene guas as respecvs valres efcazes. Assm, as crrenes efcazes ns ndures 1 e sã: n d Ts - n + d 1 éæ öù æ ö æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d ú+ 1 ( ) d +ç 13 ( ) d T ê ç ú ç ç è ø è ø ò ò ò (7.101) s ë 0 û 0 è 0 ø n d Ts - n + d 1 éæ öù æ ö æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d ú+ ( ) d +ç 3 ( ) d T ç ò ç ò ê ú ç ò è ø è ø s ë 0 û 0 è 0 ø (7.10) Subsund (7.75), (7.76) e (7.77) em (7.101), em-se: 1( ef. ) { é ù} 3 D 3 V 4 4 6 3 4 1 4 ë VV - D - D V + V + V û + V fs 1 (7.103) 6VV f s 1
174 Capíul 7 Subsund (7.83), (7.84) e (7.85) em (7.10), em-se: ( + ) - ( + ) ù+ DV é V V V D V V V f ë û 1 3 4 3 1 s ( Vf) ef. s (7.104) 7..4 - Deermnaçã das capacâncas C 1 e C Na prmera eapa de peraçã, capacr C 1 se descarrega pr me da crrene n ndur, cm msram as frmas de nda da Fg. 7.10. ss crre enre s nsanes em que al crrene se anula e assume valr máxm, s quas crrespndem a 1 e n, respecvamene. v () C1 V C1 (máx.) (mín.) () 1 - n 1 () 1 () ndts d ff(1-d)ts T s Fg. 7.10 Frmas de nda da crrene n ndur e n capacr C 1, evdencad s nervals ns quas capacr C 1 se carrega e descarrega n cnversr Zea em MCD Assm, a crrene n capacr C 1 é dada pr: C dv ( ) C1 C1 1 (7.105) d g, a ndulaçã da ensã n capacr C 1 é:
Cnversr CC-CC Zea 175 n 1 C ( ) d D ò (7.106) 1 1 VC1 1 O nsane 1 pde ser deermnad gualand-se (7.83) a zer: 1 - mín. n máx. mín. - (7.107) Subsund (7.16), (7.83), (7.89), (7.90) e (7.107) em (7.106), chega-se a: C ( + ) - ( + ) ù évd V V V VD f s 1 ë 8VV fs DVC1 û (7.108) Na segunda eapa de funcnamen, a carga d capacr C crre enre s nsanes ns quas a crrene n ndur é mar que a crrene de carga, segund a Fg. 7.11. Esses nsanes pdem ser bds a parr de (7.83) e (7.84), respecvamene. 3 ( - ( mín. ) ) n - ( - máx. ) máx. mín. d - máx. mín. Assm, a quandade de carga armazenada n capacr C é: éë D Q ( ) ( n ) 3ù ( máx. ) - + û - (7.109) (7.110) (7.111) Subsund-se (7.16), (7.74), (7.89), (7.90), (7.109) e (7.110) em (7.111), em-se: é VD V + V D V + V - V ù D Q û (7.11) ë 3 8V fs
176 Capíul 7 A expressã para cálcul da capacânca C é fnalmene bda subsund-se (7.11) em (7.47): C é VD V + V D V + V - V ùû ë 3 8V fs DVC (7.113) v () v () C V C V (máx.) (mín.) () n- 3 S () 1 () ndts d ff(1-d)ts T s Fg. 7.11 Frmas de nda da crrene n ndur e ensã n capacr C, evdencand s nervals ns quas capacr C se carrega e descarrega n cnversr Zea em MCD 7..5 - Deermnaçã ds esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures As frmas de nda da crrene e ensã nsanâneas da Fg. 7.8 permem ber s esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures. Assm, as crrenes méda e efcaz n nerrupr S sã dadas pr: 1 n S(méd.) 11 1 T ò éë + s 0 ùûd 1 n S(ef.) é 11 1 T ë + s 0 ù (7.114) ò û d (7.115) Subsund (7.75) e (7.83) em (7.114) e (7.115), êm-se: S (méd.) ( D + D ) D 1 (7.116)
Cnversr CC-CC Zea 177 S (ef.) ( D + D ) 3D 1 3 (7.117) Segund a Fg. 7.7 (b), a ensã de blque d nerrupr é: V V - V V + V S(máx.) 1 (7.118) De frma análga, as crrenes méda e efcaz n dd sã dadas pr: 1 d D(méd.) é 1 T ë + s 0 ò ùûd (7.119) 1 d D(ef.) é 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.10) Subsund (7.74), (7.76) e (7.84) em (7.119) e (7.10), bêm-se: D(méd.) ( + ) - ( D + D ) DV édv 1 1 fs 1 ù ë û V f (7.11) 3 3 1 ( 1+ ) 3DV 3DV f + + s 1 1 1 + DV f + s 1 1 D(ef.) 3V 1 fs s (7.1) Analsand a Fg. 7.7 (a), verfca-se que a máxma ensã reversa n dd é: VD(máx.) - V1 + V - V + V (7.13) É mprane ressalar que as expressões (7.116) a (7.118) e (7.11) a (7.13) pdem ser ulzadas na deermnaçã ds esfrçs ns elemens semcndures ds cnversres Ćuk, SEPC e Zea perand em MCD.
8 MODEAGEM DE PEQUENOS SNAS DE CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO A TÉCNCA DO ESPAÇO DE ESTADOS MÉDO 8.1 - Cnsderações ncas Na práca, s cnversres esács de pênca cmpram-se cm ssemas nã lneares varanes n emp. Dessa frma, a bençã de um mdel exa capaz de represená-ls adequadamene a lng de da a regã de peraçã nã é uma arefa rval. A represenaçã pr me de um mdel de pequens snas é pssível, cnsderand que cnversr pde ser lnearzad em um pn de peraçã específc. Assm, é pssível aplcar uma pequena varaçã u perurbaçã na varável de enrada, que pr sua vez prvca uma perurbaçã na varável de saída, a qual é devdamene lnearzada. Para essa fnaldade, dversas abrdagens pdem ser ulzadas, cm as écncas de mdelagem pr espaç de esads méd e d nerrupr PWM (d nglês, pulse wdh mdulan mdulaçã pr largura de puls). A mdelagem pr espaç de esads é amplamene ulzada, nã apenas na represenaçã de cnversres esács, mas ambém em uras áreas cmpleamene dsnas da engenhara, cm a ecnma. Embra seja uma ferramena exremamene úl para essa fnaldade, grande númer de manpulações maemácas envlvend marzes em ssemas de rdem elevada pde mplcar uma cmplexdade sgnfcava.
180 Capíul 8 8.1. - Descrçã ds cnversres CC-CC báscs n espaç de esads Na écnca de mdelagem pr varáves de esad, é ulzad um ssema lnear represenad na segune frma: x Ax + Bu (8.1) y Cx + Du (8.) A expressã (8.1) cnsse nas equações de esad, que crrespndem a um cnjun de n equações dferencas de prmera rdem smulâneas cnend n varáves, send que as n varáves a serem deermnadas sã denmnadas varáves de esad. A expressã (8.) é chamada equaçã de saída, represenand as varáves de saída de um ssema na frma de cmbnações lneares das varáves de esad e das enradas. Além dss, êm-se que A é a marz de esads, B é a marz de enrada, C é a marz de saída, D é a marz de ransçã drea, x é ver de esads, y é ver de saída e u represena ver de enrada d ssema. Os cnversres CC-CC báscs nã slads em MCC, s quas fram apresenads ns capíuls anerres, pssuem ds eságs de peraçã, que dependem d esad de cnduçã e blque d nerrupr. A lng de cada eapa, crcu lnearzad d cnversr pde ser descr pr seu respecv ver de esads x, que é cnsuíd pelas crrenes ns ndures e ensões ns capacres. Para s cnversres buck, bs e buck-bs, ver de esads é: x é ù ê v ú C ë û (8.3) Para s cnversres Ćuk, SEPC e Zea, ver de esads é: x é ê ê v 1 C1 ê ú ê ëv C ù ú ú ú û (8.4)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 181 Assm, as expressões (8.3) e (8.4) esã asscadas à represenaçã de ssemas de segunda e quara rdem, respecvamene. Dane das premssas anerres, para um cnversr CC-CC de segunda rdem que pssua duas eapas de peraçã, é pssível escrever as equações de esad em (8.1) cm: [ ] x A1x + BV 1 para 0, dts (8.5) x Ax + BV para 0, 1 d Ts (8.6) Além dss, é cnvenene apresenar as segunes defnções: v V + v (8.7) v V + v (8.8) d D+ d (8.9) x X + x (8.10) Send: V, V, D, X valres méds da ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene, asscads à cmpnene CC; v, v, d, x perurbações de pequena amplude aplcadas à ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene, asscadas à cmpnene CA; v, v, d, x sma das cmpnenes CC e CA asscadas à ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene; Cnsderand a varável de saída y cm send a ensã de saída, é pssível escrever as equações de saída dadas pr (8.) cm: [ ] v C1 x para 0, dts (8.11) v Cx para éë0, ( 1- d) Tsùû (8.1)
18 Capíul 8 Cm bjev de deermnar uma represenaçã méda d cmpramen das varáves envlvdas a lng de um períd de cmuaçã, sã represenadas as segunes equações asscadas às eapas de peraçã d cnversr: x Ad+ A 1 d x+ Bd+ B 1 d V 1 1 v 1 éëcd 1 + C - d ùûx (8.13) (8.14) 8. - Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na razã cíclca Quand se deseja verfcar cmpramen da ensã de saída dane de perurbações na razã cíclca, uras perurbações pdem ser desprezadas, cm é cas da cmpnene alernada asscada à ensã de enrada. Assm, a parr de (8.7), em-se: v V (8.15) Subsund as expressões (8.8) a (8.10) e (8.15) em (8.13), em-se: { } + 1 ( + )( + ) + ( + ) 1 ( + ) { B1( D d ) B 1 ( D d ) } V X x A X x D d A X x D d + + + + Em que X e x sã as dervadas de X e x, respecvamene. (8.16) Cm as cmpnenes CA apresenam pequenas ampludes, cnsdera- -se que s prdus enre duas perurbações sã nuls, s é: xd 0 (8.17) Além dss, cnsderand que a dervada de um valr cnsane é nula, é pssível escrever: X 0 (8.18)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 183 Subsund (8.17) e (8.18) em (8.16), bém-se a segune expressã smplfcada: ( 1 ) ( ) x AD 1 + A D X + x + BD 1 + B 1 D V + A1 A X + B1 B V d (8.19) É pssível anda defnr s segunes erms: A AD A D + 1-1 (8.0) 1 1 B BD+ B - D (8.1) g, subsund (8.0) e (8.1) em (8.19), bém-se: x A X + x + BV + A1 A X + B1 B V d (8.) Para ber uma expressã apenas em erms de valres méds, deve-se cnsderar que das as perurbações sã nulas em (8.), s é, x x d 0, resuland em: AX + BV 0 (8.3) Cm A e B sã marzes, ver X é bd pr: -1 X A BV - (8.4) Cm bjev de ber apenas a cmpnene alernada, subsu-se (8.3) em (8.): x Ax + A1 A X + B1 B V d (8.5) Para ber s resulads referenes a ver de saída, deve-se subsur (8.8) a (8.10) e (8.15) em (8.14):
184 Capíul 8 ( ) ( ) V + v C1 D+ d + C D+ d x (8.6) Repend mesm prcedmen anerr, chega-se a: V + v C X + x + C C Xd (8.7) 1 Send que: 1 1 C CD+ C - D (8.8) As cmpnenes CC e CA asscadas a (8.7) sã dadas pr (8.9) e (8.30), respecvamene. V CX 1 (8.9) v Cx + C C Xd (8.30) A parr de (8.9), em-se: 1 X C - V (8.31) gualand (8.4) e (8.31), é pssível ber a caracerísca esáca d cnversr cm send dada pr: V V - -1 CA B (8.3) Pr fm, é pssível aplcar a ransfrmada de aplace a (8.5), resuland em: + é( - ) + ( - ) ù sxs Axs ë A1 A X B1 B V ûds (8.33)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 185 Send que x(s) e d(s) sã as represenações de x e d n dmín da frequênca, respecvamene. Cm a expressã (8.33) se raa de uma represenaçã marcal, é pssível escrevê-la da segune frma: ( s A) x( s) ( A A ) X + ( B B ) V d( s) 1 1 (8.34) Send que é a marz dendade. Rearranjand (8.34), em-se: -1 ( - ) é( - ) + ( - ) ù x s s A A A X B B V d s ë 1 1 û (8.35) Analgamene, aplca-se a ransfrmada de aplace a (8.30): + ( - ) v s Cx s C C Xd s 1 (8.36) Send v (s) a represenaçã de v n dmín da frequênca. Subsund (8.35) em (8.36) e rearranjand resulad, em-se: v ( s) d s 1 C s A A A X + B B V + C C X 1 1 1 (8.37) Assm, deve-se ressalar que para deermnar a funçã de ransferênca de um dad cnversr CC-CC, é necessár cnhecer as marzes A, B e C, bem cm ver X que cném s valres méds das varáves de esad. 8.3 - Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na ensã de enrada Para deermnar cmpramen da ensã de saída cnsderand pequenas perurbações na ensã de enrada, é necessár desprezar uras perurbações, cm é cas da razã cíclca. g, a parr de (8.9) em-se:
186 Capíul 8 d D (8.38) Subsund as expressões (8.7), (8.8), (8.10) e (8.38) em (8.13) e cnsderand (8.18), bém-se: ( 1 ) ( 1 ) x AD X + x + A D X + x + BD V + v + B D V + v (8.39) 1 1 Cnsderand as gualdades esabelecdas em (8.0) e (8.1), é pssível escrever (8.39) da segune frma: x AX+ x + BV+ v (8.40) A fm de deermnar a cmpnene CC, deve-se adar x v 0 em (8.40), resuland em: AX + BV 0 (8.41) Assm, ver X é dad pr: -1 X A BV - (8.4) A cmpnene CA é bda subsund-se (8.41) em (8.40): x Ax + BV (8.43) Subsund (8.8), (8.10) e (8.38) em (8.14), chega-se a: V 1 + v CD 1 + C D X+ x (8.44)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 187 Cnsderand a gualdade esabelecda pr (8.8) asscada a (8.44), em-se: V + v C X + x (8.45) A cmpnene CC de (8.45) é bda cnsderand v x 0, s é: V CX (8.46) Além dss, a cmpnene CA de (8.45) é dada pr: v Cx (8.47) Assm, ver X é represenad a parr de (8.46): 1 X C - V (8.48) gualand (8.4) e (8.48), em-se: V V - -1 CA B (8.49) Deve-se ressalar que resulad bd em (8.49) é exaamene dênc àquele frnecd pr (8.3). Assm, é pssível deermnar ganh esác d cnversr pr me das duas expressões em quesã. Enã, aplca-se a ransfrmada de aplace a (8.43), resuland em: sx s Ax s + Bv s (8.50) Send que v (s) é a represenaçã de v n dmín da frequênca. Analgamene a prcedmen realzad para (8.35), em-se:
188 Capíul 8-1 x s s - A Bv s (8.51) Aplcand a ransfrmada de aplace a (8.47), em-se: v s Cx s (8.5) Subsund (8.51) em (8.5), fnalmene bém-se a expressã que relacna a ensã de saída e a ensã de enrada: v v ( s) ( s) - 1 C é s - A Bù ë û (8.53) Nesse cas, é necessár deermnar a cmpsçã das marzes A, B e C asscadas à peraçã d cnversr CC-CC em regme permanene. 8.4 - Mdelagem de um cnversr CC-CC buck perand em MCC 8.4.1 - Obençã d ganh esác e da funçã de ransferênca v (s)/d(s) Cm exempl de aplcaçã da écnca de mdelagem pr espaç de esads méd, cnsdere cnversr CC-CC buck msrad na Fg. 8.1. Nesse cas, há ds elemens parasas n crcu: as ressêncas sére d ndur e d capacr, represenadas pr R e R SE, respecvamene. Os crcus equvalenes da Fg. 8. represenam a peraçã d cnversr buck em MCC. Além dss, cnsaa-se que x 1 e x crrespndem às varáves de esad d ssema.
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 189 Fg. 8.1 Cnversr CC-CC buck cnsderand nã dealdades asscadas a ndur e a capacr (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, T s ] Fg. 8. Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC buck em MCC Para ber ganh esác e a funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a varações da razã cíclca d cnversr buck, é necessár cnsderar ncalmene as expressões que defnem cmpramen da ensã n ndur e da crrene n capacr na Fg. 8.1. v d d dv C d (8.54) C C (8.55)
190 Capíul 8 Cnsderand a malha exerna da Fg. 8. (a) cmpsa pr V, R, e R e adand send an-hrár para a análse, em-se: - V+ v+ R + R R 0 (8.56) A segune expressã anda pde ser bda para crcu: R - C (8.57) Subsund (8.54), (8.55) e (8.57) em (8.56), em-se: - d dvc V + ( R R) RC 0 d + + - d (8.58) Cnsderand que as varáves de esad sã a crrene n ndur e a ensã n capacr, as segunes expressões sã bdas: x x 1 v C (8.59) (8.60) d x 1 d (8.61) dv x C d (8.6) Subsund (8.59) a (8.6) em (8.58), em-se: x R R x R C x V (8.63) 1+ + 1 0 A analsar a malha da Fg. 8. (a) cmpsa pr C, R e R SE, as segunes expressões sã bdas: vc + vrse vr R C (8.64) v R - (8.65)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 191 v RSE R SE C (8.66) Subsund-se (8.55), (8.65), (8.66) em (8.64), bém-se: dvc æ dvc ö vc + RSEC R ç - C d è d ø (8.67) Essa expressã pde ser escra em erms das varáves de esad a parr da subsuçã de (8.59) a (8.6) em (8.67): Rx x C R R x (8.68) 1 + SE 0 Assm, as expressões (8.63) e (8.68) rnam-se: R + R RC V x 1 x1+ x + (8.69) R 1 x x1+ x (8.70) C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) Subsund-se (8.70) em (8.69), em-se: ( 0 ) RR + RR SE + RR SE R V x 1 x1+ x + R0 RSE R0 R (8.71) + + SE Cmparand a represenaçã marcal de (8.5) cm (8.70) e (8.71), a segune represenaçã pde ser bda: x éx ù 1 ê x ú ë û ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ù ê ú 0 SE 0 SE A1 ê ú ê R -1 ú ê ú êë C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) úû (8.7) (8.73)
19 Capíul 8 é1 ù B1 ê ú ê ú ë0 û (8.74) A análse da segunda eapa de peraçã na Fg. 8. (b) em que nerrupr encnra-se blquead é basane smples, basand cnsderar V 0. Assm, nã é necessár realzar d prcedmen anerr nvamene. Pran, a parr da expressã (8.6), chega-se à segune represenaçã marcal: ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ù ê ú 0 SE 0 SE A A1 ê ú ê R -1 ú ê ú êë C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) úû (8.75) B 0 (8.76) A ensã de saída para nerrupr em cnduçã u blquead é: v v R R x Cx (8.77) R C 1 Subsund (8.70) em (8.77), é pssível rearranjar a expressã resulane da segune frma: RR R v x + x R R R R SE 1 + SE + SE (8.78) Cmparand (8.78) cm as represenações marcas de (8.11) e (8.1), bém-se: C é RR R SE 1 C ê ú R + RSE R + RSE ë ù û (8.79)
Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 193 Assm, as marzes A, B e C sã bdas a parr da subsuçã de (8.73) e (8.75) em (8.0); (8.74) e (8.76) em (8.1); bem cm (8.79) em (8.8), respecvamene: A ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ê ê 0 SE 0 SE A1 ê R -1 ú ê êë C R R C R R é1 ù B BD 1 ê úd ê ú ë0 û C é RR SE C1 ê ú R + RSE R + RSE ë ( + ) ( + ) SE SE R ù û ù ú ú ú úû (8.80) (8.81) (8.8) Subsund (8.80) a (8.8) em (8.3), é pssível represenar ganh esác d cnversr buck em MCC: V DR V R + R (8.83) A cnrár d que crre n cnversr deal, an a ressênca de carga quan a ressênca sére afeam ganh esác na práca. N enan, a nfluênca de R pde ser pracamene desprezada, end em vsa que valr dessa ressênca nrmalmene é pequen. Cnsderand R 0 em (8.83), ganh esác passa a depender uncamene da razã cíclca. Os elemens d ver X n cnversr buck sã dads pr: X é ù ê V ú C ë û (8.84) Além dss, êm-se: V R DV R (8.85) VC V DV (8.86)
194 Capíul 8 g, é pssível escrever a segune expressã: X édv ù ê R ú ê ú êëdv úû (8.87) Subsund (8.73), (8.74), (8.75), (8.76), (8.79), (8.80), (8.8) e (8.87) em (8.37), chega-se fnalmene a: v ( s) ( SE ) + é ( + SE ) s R R C V ërv R R ùû éë ( + SE ) ùû+ ( + SE ) éë ( SE + ) + ùû + éë( R + RSE )( R + RSE + R ) ù (8.88) û d s s RC R R s R R RC R R 8.5. - Obençã da funçã de ransferênca v (s)/v (s) Para deermnar a funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída dane de perurbações na ensã de enrada, é precs realzar mesm prcedmen anerr, que cmpreende a bençã das expressões (8.54) a (8.8). Essa demnsraçã nã será represenada pr quesões de smplcdade. Assm, é pssível deduzr essa funçã de ransferênca subsund (8.80) a (8.8) em (8.53), que resula em: ( s) DR [ srse + 1] v v s s ëéc R + R ûù+ s C ëér R + R + R R ùû+ + R + R { } SE SE SE (8.89)