SINCRONISMO EM REDES MESTRE-ESCRAVO DE VIA ÚNICA: ESTRELA SIMPLES, CADEIA SIMPLES E MISTA

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1 CARLOS NEHEMY MARMO SINCRONISMO EM REDES MESTRE-ESCRAVO DE VIA ÚNICA: ESTRELA SIMPLES CADEIA SIMPLES E MISTA Dsseraçã apreada à Escla Plécnca da Unersdade de Sã Paul para bençã d Tíul de Mesre em Engenhara. Sã Paul

2 CARLOS NEHEMY MARMO SINCRONISMO EM REDES MESTRE-ESCRAVO DE VIA ÚNICA: ESTRELA SIMPLES CADEIA SIMPLES E MISTA Dsseraçã apreada à Escla Plécnca da Unersdade de Sã Paul para bençã d Tíul de Mesre em Engenhara. Área de Cncenraçã: Engenhara Elérca Orenadr: Jsé Rber Caslh Pquera Sã Paul

3 A brlhane Prfessr Carls Marm meu pa que desde 9 dedca a sua da a erdader ensn. Sua mar precupaçã era ensnar alun cm aprender e s prfessres cm ensnar. Para ele a realzaçã sempre f a chae da felcdade. Tans fram s ans marcads cm sua nabaláel cncçã empenhand-se de um md quase sbrenaural para eercer seu gên cra manend uma dscplna abslua e acma de ud mua mua ddáca.

4 AGRADECIMENTOS Muas pessas cnrbuíram drea u ndreamene na elabraçã dese rabalh. Peç desculpas se nã mencn das elas já que há puc espaç para ss. N enan um rabalh cm ese nã é resulad deses úlms ds ans smene. Pr ss mesm querend ser mas sucn eu nã pdera perder ese espaç únc para hmenagear u agradecer eplcamene algumas pessas: - Meus famlares e amgs que sempre me aparam em ud que precse. Agradeç especalmene a meu pa que é um erdader ícne para mm à mnha mãe que me preea ds s das cm seus deas de bndade negrdade e jusça e à mnha amada Elzee cm quem me case há puc emp mas que me cmpreende e me apóa cm se me cnhecesse há mus ans. Nã pdera dear de agradecer as mnhas rmãs Elane e Dense s meus s Tnh e Nclau e meus sgrs Anna e Ann. Faç anda uma pequena hmenagem à mnha aó Vcóra aé n nme. Há mas de 9 ans se maném alera mderna e msa e sempre dzend: cérebr é ud. - Os ncenadres permanenes da mnha carrera écnc-cenífca: mnha prma a bólga Nede S. de Mas sempre dealsa e grande amg Saladr E. Gammuss que nã é smene um engenher recnhecdamene ecepcnal mas um mdel de engenher para mm desde que eu era pequen. - O prf. Dr. Jã Cyr André que cera ez me ncenu mu cm pucas palaras delend-me alg que nha perdd. Enre elas mencna uma nscrçã d museu Guggenhem que se rnu nesquecíel para mm: permams a cada Hmem que eerça a are que cnhece. - O prf. Dr. Jsé R. C. Pquera meu renadr que enh prfunda admraçã e que em cnrbuçã decsa na mnha frmaçã pessal e prfssnal. Nã cnsegura epressar pr palaras um agradecmen adequad pr ud que em fe pr mm. Agradeç pela sua cnfança ap e pelas grandes prundades que em me prprcnad. - Os prfessres de pós-graduaçã da POLI Elérca em especal prf. Dr. Jame J. da Cruz e prf. Dr. Fuad Kassab Jr. sempre ã presas e crdas.

5 - Os clegas de pós-graduaçã da POLI Elérca especalmene Elsa Y. Takada Fernand M. Orsa Sans Andrés C. Vargas A. C. Rss Jr e V. Fguera de Fara pel ap e cmpanhersm. Nã pdera dear de agradecer a CNPq pel ap fnancer à realzaçã desa pesqusa mesm cm das as dfculdades pelas quas em passad nss país. Cnclund essa seçã de agradecmens gsara de dear algumas palaras de meu pa em um de seus prmers lrs de Deh publcad em 95: agradeç as bns prfessres que e prque me ensnaram que fazer e as maus que nã fazer.

6 RESUMO Nese rabalh sã esudads s prblemas de sncrnsm de fase nas redes mesre-escra de a únca OWMS nas plgas Esrela Smples Cadea Smples e msa araés da Tera Qualaa de Equações Dferencas cm ênfase n Terema da Varedade Cenral. Araés da Tera das Bfurcações analsa-se cmpramen dnâmc das malhas de sncrnsm de fase PLL de segunda rdem que cmpõem cada rede frene às arações ns seus parâmers cnsus. Sã ulzadas duas funções de ecaçã mu cmuns na práca: degrau e a rampa de fase aplcadas pel nó mesre. Em cada cas dscue-se a esênca e a esabldade d esad síncrn. A esênca de pns de equlíbr nã-hperbólcs nã perme uma aprmaçã lnear e nesses cass é aplcad Terema da Varedade Cenral. Araés dessa rgrsa écnca de smplfcaçã de ssemas dnâmcs é pssíel fazer uma aprmaçã hmemórfca em rn desses pns preserand a renaçã n espaç de fases. Desse md é pssíel deermnar lcalmene suas esabldades.

7 ABSTRACT Ths wrk pres sably analyss f he syncrnus sae fr hree ypes f ne-way maser-slae me dsrbun newrk plges: sngle sar sngle chan and bh f hem med. Usng bfurcan hery he dynamcal behar f secnd-rder phaselcked lps emplyed erac he syncrnus sae n each nde s analyzed n funcn f he cnsue parameers. Tw usual npus he sep and he ramp phase perubans are suppsed appear n he maser nde and n each case he ece and sably f he syncrnus sae are suded. Fr parameer cmbnans resulng n nn hyperblc synchrnus saes he lnear apprman des n prde any nfrman een abu he lcal behaur f he sysem. In hs case he cener manfld herem perms he cnsrucn f an equalen ecr feld repreng he asympc behaur f he rgnal sysem n he neghbrhd f hese pns. Thus he lcal sably can be deermned.

8 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS. Inrduçã.... Técncas de sncrnzaçã em redes.... Mdelagem e equacnamen de uma malha de sncrnsm de fase.... Esquema geral de um PLL de a rdem.... Equacnamen de um PLL da rede OWMS Esrela Smples.... Equacnamen de um PLL da rede OWMS Cadea Smples Cmparaçã ds ssemas dnâmcs que descreem s PLLs das redes Esrela e Cadea Smples Esud da esabldade das redes OWMS Esrela Smples Enrada p degrau de fase Esud da esabldade de P Esud da esabldade de P.... Enrada p rampa de fase Esud da esabldade de P Esud da esabldade de P e P Esud da esabldade das redes OWMS Cadea Smples Smplfcaçã das equações que descreem um PLL da rede OWMS Esrela Smples Enrada p degrau de fase Enrada p rampa de fase... 5

9 . Influênca d grau de aprmaçã da cnsruçã das aredades cenras ns reras de fase e dagramas de bfurcaçã crrespndenes Enrada p degrau de fase: cnsruçã de nas aredades cenras em rn de P Enrada p degrau de fase: cnsruçã de nas aredades cenras em rn de P.... Enrada p rampa de fase: cnsruçã de nas aredades cenras em rn de P Cnclusões... 8 APÊNDICE Referêncas Bblgráfcas... 9

10 LISTA DE FIGURAS Fgura - Esraégas de dsrbuçã de snas de emp Fgura - OWMS - Esrela Smples Fgura - OWMS - Cadea Smples Fgura - TWMS - Esrela Dupla Fgura 5 - TWMS - Cadea Dupla.... Fgura - TWMS - Enlace Smples.... Fgura 7 - TWMS - Enlace Dupl... Fgura 8 - Dagrama em blcs smplfcad de um PLL... Fgura 9 - Dagrama em blcs d -ésm nó escra de uma rede OWMS - Esrela Smples... Fgura - Dagrama em blcs d -ésm nó escra de uma rede OWMS - Cadea Smples... Fgura - Rera de fases em P para >... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P.... Fgura - Rera de fases em P para >... 7 Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P.... 8

11 Fgura 5 - Rera de fases em P para >... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P.... Fgura 7 - Dagrama de bfurcaçã para P P e P... 7 Fgura 8 - Rera de fases em P para > prmera aprmaçã Fgura 9 - Dagrama de bfurcaçã para P prmera aprmaçã... 5 Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P segunda aprmaçã Fgura - Rera de fases em P para > ercera aprmaçã... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P ercera aprmaçã... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P quara aprmaçã... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P quna aprmaçã... 5 Fgura 5 - Rera de fases em P para > prmera aprmaçã... Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P prmera aprmaçã... 7

12 Fgura 7 - Dagrama de bfurcaçã para P segunda aprmaçã... 8 Fgura 8 - Rera de fases em P para > ercera aprmaçã... 7 Fgura 9 - Dagrama de bfurcaçã para P ercera aprmaçã... 7 Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P quara aprmaçã... 7 Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P quna aprmaçã... 7 Fgura - Rera de fases em P para > prmera aprmaçã Fgura - Dagrama de bfurcaçã para P prmera aprmaçã Fgura - Rera de fases em P para > segunda aprmaçã... 79

13 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O esud ds ssemas dnâmcs em se msrad a lng ds séculs cm um ds capíuls mas mpranes d delmen da cênca e da ecnlga. Desde s prmers passs n surgmen da Mecânca Clássca hue árs esudss cm desaque para Henr Pncaré Pncaré deleu écncas gemércas e plógcas para esud quala das equações dferencas que sã especalmene úes n cas das equações nã-lneares. Essa abrdagem perme ber cnclusões qualaas sbre a esabldade ds pns de equlíbr de um ssema araés da análse de aprmações assnócas. Cm desanagem perde-se pare das nfrmações quanaas sbre cmpramen rane d ssema Mner. Denre s númers ssemas dnâmcs ees aqueles que esã asscads a uma cera perdcdade sã chamads scladres. Um een é d peródc quand se repee sem aleraçã cada ez que ranscrre um neral de emp deermnad Nuszeg 98. Praelmene scladr mas mprane para a cênca seja própr nsrumen de medda d emp relóg. Tan é assm que em sd mens esfrç para se cnsrur equpamens cada ez mas precss. Talez ded a essa releânca enha se rnad um símbl de saus as cm s precss relógs de pêndul que anda hje enbrecem resdêncas de al padrã. Aualmene s relógs êm preça quase brgaóra na da humana pdend-se car pr eempl s relógs de puls que pdem cusar mesm que um dce u aé mesm equalene a um aumóel. Hsrcamene a medda d emp f ganhand cada ez mas mprânca: há cerca de ml ans arás s caçadres da dade d gel alhaam marcas em graes u sss para medr emp. Deps s egípcs craram as prmeras clepsdras e ampulheas. A parr d sécul XV s naegadres que precsaam de relógs para fns de deermnaçã da lngude sfscaram esse equpamen. Ns das de hje s relógs mas mderns que esem sã s relógs aômcs de

14 cés u de rubíd ulzads pr eempl em Ssemas de Pscnamen Glbal. Esses relógs êm uma mprânca ã grande que própr segund f defnd em 97 pr cns nernacnal cm a duraçã de ccls da radaçã crrespndene enre as duas camadas hperfnas d ám de cés pulerzad. Espera-se que a precsã desses relógs alcance -8 em cerca de rês ans. Só para se er uma déa d que s reprea aras relaísc de um relóg em erms de freqüênca quand é cnduzd pr uma pessa camnhand é da rdem de -7. Aualmene a únca desanagem desses relógs é a sua durabldade cerca de ans u seja menr que a de um bm relóg de puls. Esse fa pde resrngr suas aplcações em deermnads equpamens espacas Scenfc Amercan Brasl n 5-. O esud ds mecansms de um relóg é pr s própr ã fascnane quan cmple. Enrean urs fenômens gualmene neressanes surgem quand se cnsderam árs scladres cm cmpnenes de um ssema mar u seja quand surge a necessdade de sncrnzar as escalas de fase e freqüênca ds derss nós que cmpõe uma cera rede. Apesar d esud frmal d sncrnsm er sd ncad em 5 cm Huygens nenr d relóg de pêndul praelmene a prmera ez que Hmem se deparu cm prblema f pr casã da smples ulzaçã de um relóg; cm únc md pssíel de se medr emp é araés de cmparações enre relógs dferenes dee-se enã decdr araés desses epermens e de argumens eórcs sbre as les que gernam fenômen peródc qual relóg merece mar grau de cnfança Nuszeg 98. É que pr eempl acnece em Lndres quand s ngleses ajusam seu relóg a Bg-Ben que caracerza um ípc prblema de sncrnsm. O esud da era da dsrbuçã de snas de emp é basane nerdscplnar uma ez que mdel maemác ulzad numa análse pde ser edd à ura mesm que seja em área dferene. Essa é jusamene uma das grandes anagens da abrdagem maemáca de um fenômen. Denre as númeras aplcações ees pde-se car Lndsey 985: - Equpamens elerôncs que ejam cnrle aumác de freqüênca as cm s elesres.

15 - Ssemas de Pscnamen Glbal para fns de naegaçã e rasreamen. - Prcesss de demdulaçã de snas analógcs e dgas. - Esabelecmen de um ssema mundal de dsrbuçã de snas de emp prpcand as mas dersas aplcações as cm aquelas relacnadas à crdenaçã de ranspres ferrárs e maríms. - Sncrnzaçã de derss relógs lcalzads em dferenes pns de mulpleaçã em uma rede dgal de cmuncações. - Cnrle e mnraçã de desempenh em uma rede de cnrle de prcesss. - Esabelecmen d sncrnsm de um supercmpuadr cnsuíd de múlpls prcessadres. - Mdelagem de prblemas relacnads a sncrnsm de scladres na Blga Bear Cnnrs e Parads cm númers eempls as cm aqueles esudads na Crnblga Marques e Menna-Barre 997. Assm alr desse p de pesqusa resde nã só nas suas aplcações em engenhara de cnrle e cmuncações mas ambém pelas cnrbuções à cmpreensã de urs fenômens as cm àqueles relacnads as chamads rms blógcs sejam eles sncrnzads u nã. Araés das mas aradas esraégas de dsrbuçã de snas de emp cnfguram-se derss ps de redes cada uma cm suas caraceríscas e aplcações específcas. O capíul aprea resumdamene essas esraégas. Denre elas as redes mesre-escra se desacam pr aprearem ba cus e facldade de mplemenaçã. Desse md sã amplamene empregadas rnand-se basane cnhecdas ns mes écnc e cmercal. As prmeras redes mesreescra prpramene das fram deldas n sécul XIX para deermnaçã da lngude nas naegações e ans mas arde para esabelecmen de um padrã unfrme de hrárs nas esações ferráras an na Eurpa quan na Amérca d Nre. Nesse cne desacam-se Segmund Refler na Alemanha e décadas deps Wllam Shr na Inglaerra. Esse úlm deleu árs prjes específcs para as arefas d prmer deles cmps pr ds relógs de pêndul: um mesre cm precsã de um segund pr an e um escra que a cada

16 segunds era pr ele cnrlad araés de um snal elermagnéc Scenfc Amercan Brasl n 5 -. Denre s derss ps de redes ees e s prblemas asscads às respecas cnfgurações ese rabalh raa de aalar qualaamene cmpramen dnâmc de rês plgas mesre-escra em especal: OWMS - Esrela Smples OWMS - Cadea Smples e msa. Nelas cnsdera-se que nó mesre é um scladr eremamene precs e ndependene cm pr eempl um relóg aômc. Os demas nós sã malhas de sncrnsm de fase Phase-Lcked Lp PLL que pr serem cnrlads pel mesre sã denmnads escras. A desgnaçã OWMS One-Way Maser-Slae dee-se a fa de que a ransmssã de snas de emp nesas redes mesre-escra crre num únc d. O prmer arg sbre PLLs f publcad em 9 pr H. de Bellescze. A parr de 9 daa da sua prmera ulzaçã cmercal em aparelhs recepres de elesã rnu-se um dsps elerônc básc para aplcações que egem cnrle aumác de freqüênca. N pree e resrnge-se a análse as PLLs de segunda rdem mas ulzads na práca prque apream respsas ransóras razáes para enradas d p degrau e para enradas p rampa nã permem aparecmen de sclações au-suadas sladas u seja cclslme Verb 9; Gardner 979; Pquera 997. N capíul aprea-se equacnamen ds nós que cnsuem as duas redes cnsderadas. Csumeramene cmpara-se smene a fase d snal lcal d nó escra em quesã cm a fase d snal eern prenene d nó anerr. Nese rabalh para uma descrçã mas cmplea ambém sã cmparadas as fases ds snas lcas d escra e d mesre. Nesse mdel cmpramen dnâmc de um nó fca descr pr um ssema auônm cmps pr duas equações dferencas nã-lneares de segunda rdem. N capíul sã analsadas as cndções de esênca e esabldade d sncrnsm das redes OWMS Esrela Smples quand se aplcam duas funções de ecaçã que sã basane cmuns na práca: degrau e a rampa de fase. Reescreend-se ssema bd n capíul na frma de um ssema de equações n espaç de esads bém-se s pns equlíbr n d de Lyapun. Para pns hperbólcs Terema de Harman-Grbman garane a equalênca

17 5 plógca rbal enre ssema rgnal e lnearzad. Para pns nãhperbólcs a aprmaçã lnear falha egnd a aplcaçã de urs méds. Denre eles pu-se nese rabalh pel Terema da Varedade Cenral que garane a esênca de um hmemrfsm lcal que presera a renaçã n espaç de fases. O cálcul da assm chamada aredade cenral angene a subespaç cenral é pssblad pela aplcaçã ds eremas de J. Carr Mner ; Fedler- Ferrara e Prad 995. Araés deles pde-se aalar a Tera de Bfurcações as mudanças na esabldade esruural d ssema em rn ds pns de equlíbr cnsderads leand-se em cna as pssíes cmbnações ds alres ds parâmers d PLL Wggns 99; Guckenhemer e Hlmes 98. N capíul 5 repee-se prcedmen d capíul para as redes OWMS Cadea Smples. As redes msas nã fram frmalmene analsadas uma ez que dependend d escra cnsderad as cnclusões seram dêncas às da OWMS Esrela u Cadea Smples cm será demnsrad a lng dese e. Enrean é mprane ressalar a sua mprânca uma ez que sã mu ulzadas na práca. N capíul uras aredades cenras cm dferenes níes de aprmaçã sã cnsruídas para cada cas cnsderad ns capíuls e 5 que perme aalar qualaamene as mudanças ns reras de fase e ns dagramas de bfurcaçã crrespndenes. As cnclusões mas geras sbre cmpramen dnâmc das redes cnsderadas sã bdas n capíul 7 que encerra ese rabalh. Após capíul 7 há anda um apêndce referene as capíuls e 5 que em cm bje elucdar uma pare d equacnamen apread nesses mesms capíuls.

18 CAPÍTULO TÉCNICAS DE SINCRONIZAÇÃO EM REDES Nese capíul sã abrdads alguns cnces relas às esraégas de dsrbuçã de snas de emp de md a suar as redes esudadas em relaçã às demas ees. A fnaldade de um ssema de dsrbuçã de snas de emp é sncrnzar escalas de fase e freqüênca de derss scladres dsrbuíds espacalmene. Dferenes arranjs resulam em redes cm caraceríscas parculares prprcnand assm as mas aradas aplcações. Quand sncrnsm nã é críc para uma dada rede sã ulzads scladres cm pequens dess de freqüênca que sã ajusads manualmene e desse md nã sã necessárs snas de cnrle. Essas redes sã chamadas plesócrnas; êm cm prncpas anagens fa de serem faclmene mplemenáes e de aprearem mar rbusez cas crram falhas em algum de seus nós. Enrean êm cm desanagens seu al cus cas se necesse de cnfabldade e precsã e a necessdade muas ezes de ajuses freqüenes. Uma aplcaçã mprane para as redes plesócrnas se dá ns Ssemas de Pscnamen Glbal GPS Glbal Psnng Sysem que ulzam relógs aômcs de cés.lndsey 985 Para aplcações em que sncrnsm é críc para uma dada rede ajuse ds snas de emp é realzad araés de snas de cnrle. Essas redes sã chamadas síncrnas. Para elas esem duas esraégas báscas de sncrnsm: - Redes cm nós muuamene sncrnzads: sã aquelas em que ds s scladres parcpam na deermnaçã d esad síncrn. Sã mas cmpleas de serem mplemenadas nã há cm ear que s dess de freqüênca drfs sfrds se edencem pela rede e pdem anda sncrnzar numa freqüênca fra de especfcaçã. Enrean uma ez que cnrle d sncrnsm é descenralzad esã mens susceíes frene à falhas em alguns de seus scladres. Pquera 997.

19 7 - Redes mesre-escra: sã aquelas em que a esênca d esad síncrn se faz pela ulzaçã de um scladr eremamene precs e cnfáel que passa a ser chamad de mesre. Os demas scladres sã cnrlads pr ele d chamads escras. Ded a cnrle ser cenralzad qualquer falha n mesre pde acarrear em perda al d sncrnsm da rede. Pr esse m sua aplcaçã para fns mlares pde ser resra. Enrean êm sua uldade garanda em númeras uras aplcações; pr serem de mplemenaçã mas smples sã amplamene ulzadas nas redes públcas de elecmuncações e sã cmumene usadas em aplcações de cmpuaçã paralela e dsrbuída Sha Berman e Wlsk em rbóca Lee e al. 999 e em aplcações de mul-mes Shal e Raj 997. Tan num cas quan n ur é pssíel nclur-se écncas de cmpensaçã de aras que nã serã aqu dscudas. Em seguda um resum das esraégas dscudas aé agra é apread na fgura Pquera997. REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE SINAIS DE TEMPO PLESIÓCRONAS SÍNCRONAS MESTRE-ESCRAVO C/ NÓS MUTUAMENTE SINCRONIZADOS C/ COMPENSAÇÃO DE ATRASO BÁSICA C/ COMPENSAÇÃO DE ATRASO BÁSICA Fg. : Esraégas de dsrbuçã de snas de emp.

20 8 As redes mesre-escra pdem ser cnecadas de al manera que a ransmssã ds snas de emp se dê em a únca OWMS - One-Way Maser-Slae u em a dupla TWMS - Tw-Way Maser-Slae. Nas OWMS nó mesre em sua própra base de emp que é ndependene ds demas. Tds s nós escras êm sua base de emp dependene de um únc nó seja ele mesre u ur escra. Nas TWMS mesre em sua base de emp própra mas ajusáel as urs nós. Além dss cada escra pde er sua base de emp dependene de mas de um nó. Pde-se anda classfcá-las plgcamene Pquera997: - OWMS - Esrela Smples: ds s nós escras sã cnrlads eclusamene pel mesre uma ez que esã drea e uncamene lgads a ele. O mesre em sua própra base de emp que é ndependene ds demas. As redes OWMS Esrela Smples serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. : OWMS - Esrela Smples. - OWMS - Cadea Smples: cmeçand pel mesre ds s urs nós escras sã sucessamene cnecads. O mesre em sua base de emp

21 9 própra e ndependene ds demas. Cada escra é cnrlad pel nó que anecede seja ese mesre u ur escra. As redes OWMS Cadea Smples serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. : OWMS - Cadea Smples. - TWMS - Esrela Dupla: é equalene à Esrela Smples. Enrean apesar d mesre er sua própra base de emp ela é ajusáel à ds urs nós. As redes TWMS Esrela Dupla nã serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. : TWMS - Esrela Dupla. - TWMS - Cadea Dupla: é equalene à Cadea Smples. Enrean cada nó pndera a sua base de emp leand em cnsderaçã nó anerr e

22 segune. O mesre cnnua end a sua própra base de emp mas ajusáel à d nó. As redes TWMS Cadea Dupla nã serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. 5: TWMS - Cadea Dupla. - TWMS - Enlace Smples: é semelhane à Cadea Smples enrean úlm nó escra é cnecad a mesre. Dessa frma cada nó nclund mesre esabelece a sua base de emp em funçã d nó que anecede. As redes TWMS Enlace Smples nã serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. : TWMS - Enlace Smples.

23 - TWMS - Enlace Dupl: é equalene a Enlace Smples leand-se em cnsderaçã que ds s nós sejam mesres u escras pnderam sua base de emp pel nó segune e pel anerr. As redes TWMS Enlace Dupl nã serã bje de esud dese e. mesre escras n Fg. 7: TWMS - Enlace Dupl. Obserand as dferenes esraégas apreadas pde-se perceber que a menr cmpledade plógca das redes OWMS é um ds prncpas ms que fazem cm que sejam mas ulzadas na práca. N capíul segune aprea-se a mdelagem e equacnamen ds nós da Esrela e da Cadea Smples admds aqu cm d malhas de sncrnsm de fase. Ese esud nã será apread para as redes msas ps sera dênc a que será apread para as redes Esrela u Cadea Smples.

24 U U CAPÍTULO MODELAGEM E EQUACIONAMENTO DE UMA MALHA DE SINCRONISMO DE FASE Nese capíul aprea-se uma resã d esquema geral de uma malha de sncrnsm de fase Phase-Lcked Lp - PLL de PU a Prdem. Lg após prcede-se a equacnamen ds nós cnsunes das redes OWMS Esrela Smples e Cadea Smples que serrá cm pn de parda para esud da esabldade das mesmas ns próms capíuls.. ESQUEMA GERAL DE UM PLL DE PU a PORDEM Um PLL é um dsps elerônc usad desde 9 em aplcações que egem cnrle aumác de freqüênca. Sua cnfguraçã básca cnsse de rês elemens: um deecr de fases Phase Deecr - PD um flr passa-baas Lw- Pass Fler - LPF e um scladr cnrlad pr ensã Vlage Cnrlled Oscllar - VCO Pquera 987. Eles sã nerlgads numa malha fechada cnfrme msra dagrama em blcs smplfcad da fgura 8. PD d LPF VCO c Fg. 8: Dagrama em blcs smplfcad de um PLL

25 e é e sã sã UP rdem UP rdem UP rdem O snal eern que e d nó anerr em uma frma d p peródca: [ ] V Φ V. O snal lcal é gerad pel VCO d nó em quesã e em uma frma semelhane: [ ] V cs Φ V cs. Nas equações. e. cnsdera-se que: - VBB - BοB - BB VBB psas. as ampludes mámas ds snas npu e upu cnsanes a freqüênca angular cenral cnsane psa e nese esud dênca para ds s nós. BB as fases ds snas npu e upu aráes n emp. Dee bserar que s snas sã semelhanes na frma mas sã descrs pr funções dferenes em quadraura para que seja pssíel escreer snal BdB cm a dferença das fases ds ds snas de enrada d PD. A cada nsane PD cmpara a fase ΦBB d snal lcal cm a fase ΦBB d snal eern. Esse elemen pde ser cnsderad pr smplcdade um mulplcadr de snas. Assm d pde-se escreer a sua saída BdB chamada na práca de err de fase dnâmc cm: d KBmB far de mulplcaçã d PD. K. d m O snal. é aplcad a flr passa-baas LPF a fm de se elmnar s cmpnenes de ala freqüênca. O LPF ulzad nese rabalh é lnear de PU d p LAG Pquera 987. Pran em a segune funçã de ransferênca: a b F s. b s b R C s d R a ressênca e C a capacânca d flr. A ulzaçã d flr de PU equacnamen a um PLL de PU a crrespnde cm se erá a lng d a de parcular neresse para elecmuncações e cnrle Pquera 997; Garca. Malhas de segunda rdem apream respsas ransóras razáes para enradas p degrau e nã prduzem errs de fase sclanes u caócs para enradas p rampa Bennan e Pquera 987; Green 98.

26 O snal de cnrle BcB que sa d flr almena VCO e mdfca a fase de BB de acrd cm a equaçã: d KBB ganh d VCO. d K d c.5 Assm a funçã da malha é anular a araçã empral da dferença de fase enre snal lcal e eern.. EQUACIONAMENTO DE UM PLL DA REDE OWMS - ESTRELA SIMPLES Nas redes OWMS d p Esrela Smples ds s nós escras esã drea e eclusamene lgads a mesre e dessa frma sã cnrlads smene pr ele. Desse md equacnamen para qualquer nó se faz de md dênc. Pde-se reprear PLL de qualquer -ésm...n nó escra da rede cnfrme dagrama em blcs smplfcad da fgura 9. mesre d PD LPF NÓ VCO c Fg. 9: Dagrama em blcs d -ésm nó escra de uma rede OWMS - Esrela Smples O snal eern sempre prém d nó que é mesre e sfre um aras de percurs BB a ser cnsderad para > BB: [ ] V Φ V.

27 5 O snal lcal é gerad pel VCO d nó e em frma semelhane: [ ] V cs Φ V cs.7 Leand-se em cna as mesmas cnsderações da subseçã anerr em-se: d KBmB ganh d PD d -ésm nó escra. Subsund. e.7 em.8 em: d m [ ] cs [ ] K.8 Km V V.9 d erm a erm b Para mar smplcdade dele-se cada erm da equaçã.9 em separad ulzand-se das segunes relações rgnmércas: cs α ± β α ± β α cs β ± csα β csα cs β m α β Incand pel erm a da equaçã.9: [ ] [ ] cs cs[ ] d β R cs cs cs cs α. cs cs Em seguda dele-se erm b da equaçã.9: cs [ ] cs cs.. Subsund s erms a e b delds em. e. na equaçã.9 nca-se à sua smplfcaçã ulzand-se as mesmas relações rgnmércas em. e ambém pelas que seguem:

28 α α α α cs cs cs d R α. Desse md em-se: } cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs V V K m d Smplfcand a epressã acma:

29 7 { [ ] [ ] } cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs V V K m d Tem-se anda: [ ] { [ ] } cs cs cs cs V V K m d Resuland fnalmene em: { } frequênca dupla erm de m d V V K. Nese esud assume-se cm é cmum na leraura que erm de freqüênca dupla será elmnad pel LPF Gardner 979. Esuds mas recenes Pquera Mner demnsram a aldade desa cndua para ganhs relaamene

30 8 pequens d aplcáel a ese esud cm se erá mas adane. Enã desprezand-se erm de freqüênca dupla a epressã. pde ser apreada na sua frma mas smples: K V V.5 m d Tmand a relaçã enre a saída c e a enrada d d flr: F s V c. V d s s b b s b Aplcand a nersa da Transfrmada de Laplace de. para cndções ncas nulas: b & b b.7 Subsund.5 e.5 em.7: & & K V V.8 m b b b K Denmnand enã s ds parâmers de ajuse d PLL: b b R C.9 Km V V K Pde-se reescreer.8: c & &. N esud -ésm nó escra neressa erfcar sncrnsm d scladr em quesã cm mesre. Enrean para que descrçã d sncrnsm d PLL se rne mas cmplea e precsa prpõem-se que ds errs de fase sejam defnds d [ π π [ : - O prmer BB enre snal lcal e eern d -ésm nó escra u seja Φ Φ.. c d

31 UP rdem. 9 - O segund BB enre snal lcal d -ésm nó escra e snal lcal d mesre u seja Φ Φ.. De. e. decrre que: [ ] [ ]. [ ] [ ]. Smplfcand. e.:.5. Derand as equações.5 e. em relaçã a emp sã bds s respecs errs de freqüênca: & & & &.7 & &.8 Derand namene.7 e.8 bém-se as acelerações ds errs de fase: & && &.9 & && &. Assm ulzand as equações e. em. bém-se par de equações que descree a dnâmca de um nó qualquer: && & && & && && & &. O ssema. é cnsuíd de um par de equações dferencas rdnáras nã-lneares de PU a Ele descree a dnâmca de um PLL cuj sncrnsm depende ds parâmers d -ésm nó escra aqu repreads pr e.

32 N próm capíul esuda-se a esabldade ds pns de equlíbr d ssema frene a arações ds alres desses parâmers. Serã cnsderads a parr d mesre ds ps de enradas de fase que aparecem cm mua freqüênca em elecmuncações e cnrle: degrau e a rampa de fase. Vale frsar que eenuas perurbações as cm as rgnadas pel enelhecmen d crsal além d deslcamen Dppler de freqüênca decrrene d mmen d mesre em relaçã as escras nã serã cnsderads aqu end sd esudads pr Pquera EQUACIONAMENTO DE UM PLL DA REDE OWMS CADEIA SIMPLES Nas redes OWMS d p Cadea Smples prmer escra esá dreamene lgad a mesre e ds s urs sã sucessamene lgads. Assm equacnamen para segund nó é dênc a já realzad para a rede OWMS - Esrela Smples. Para s escras segunes prcedmen é análg. Enrean alguns dealhes deem ser eplcads. Pde-se reprear PLL de qualquer -ésm...n nó escra da rede cnfrme dagrama em blcs smplfcad da fgura.

33 mesre d PD LPF VCO NÓ - c d PD LPF NÓ c VCO Fg. : Dagrama em blcs d -ésm nó escra de uma rede OWMS Cadea Smples. O snal que sa d VCO d nó - é repread pr uma funçã d p c- e aras de percurs que sfre aé nó é para > B-B. Assm: V csφ V csφ. Enrean snal eern de um PLL dee ser d p para ser cmparad cm snal lcal que é d p c-. Sabend que: π csα α. Reescree-se a equaçã.: π V. Lg das equações. e.7 bém-se err de fase dnâmc:

34 cs b erm a erm m d V V K π.5 Ulzand-se das mesmas relações rgnmércas. da subseçã anerr pde-se deler cada um ds erms de.5. Inca-se pel a erm a: cs cs π π π [ { ] [ ] [ ] [ ]} cs cs cs cs cs. cs cs cs cs cs cs Dele-se agra erm b: [ ] cs cs cs.7

35 Subsund s erms a e b delds em. e.7 na equaçã.5 pde-se smplfcá-la araés das mesmas relações rgnmércas. e. ulzadas na subseçã anerr: } cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs V V K m d Cnnuand:

36 [ ] [ ] [ ] } cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs V V K m d Anda: [ ] { [ ] } cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs V V K m d Pran:

37 5 [ ] { [ ] } cs cs cs cs V V K m d Fnalmene: { [ ]}.8 cs cs V V K dupla freqüênca de erm m d Namene erm de freqüênca dupla de.8 é desprezad Gardner 979; Pquera Mner : [ ] cs V V K m d.9 Transfrmand c- em em.9 bém-se a epressã d err de fase dnâmc: π V V K m d. Araés de prcedmen análg a da subseçã anerr: π & & &. Defnnd s errs de fase: Φ Φ. Φ Φ. Obém-se delend. e.:.

38 .5 Smplfcand. e.5:..7 Pelas prmeras e segundas deradas de. e.5 em relaçã a emp bém-se s errs de freqüênca e as acelerações ds errs de fase: & & && && & & &.8 & & && && & & &.9 Fnalmene pela ulzaçã das equações..7.8 e.9 em. bém-se par de equações que descree a dnâmca d PLL em quesã: π π & && & && & && & &&.5 Assm cm na Esrela Smples bee-se um ssema cnsuíd de um par de equações dferencas rdnáras nã-lneares de PU a UP rdem. Ele ambém descree a dnâmca de um PLL cuj sncrnsm depende ds parâmers d -ésm nó escra aqu repreads pr e. N próm capíul esuda-se a esabldade ds pns de equlíbr d ssema frene a arações ds alres desses parâmers. Também serã aplcads a parr d mesre degrau e a rampa de fase para a análse da dnâmca da rede. Da mesma frma que anerrmene s efes prcads pr eenuas perurbações u pr efe Dppler nã serã cnsderads.

39 7. COMPARAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS QUE DESCREVEM OS PLLs DAS REDES ESTRELA E CADEIA SIMPLES Anes de se ncar próm capíul é cnenene reaprear s ssemas dnâmcs apreads em. e.5 que pr serem mu semelhanes deese enã ressalar suas dferenças: - Esrela Smples: && & && & && && & & - Cadea Smples: π && & && & π && & && & Cm é pssíel bserar a únca dferença sgnfcaa enre s ds ssemas esá ns erms que se referem às fases e relaas a snal prenene d nó anerr que para a Esrela é mesre e para a Cadea pde ser mesre u escra -. O fa de se cnhecer à prr snal d mesre mas nã d escra - reela dfculdades n equacnamen da rede Cadea Smples fa que será dscud n capíul 5.

40 8 CAPÍTULO ESTUDO DA ESTABILIDADE DAS REDES OWMS ESTRELA SIMPLES Dand prssegumen a esud sã analsadas as cndções de esênca e esabldade d sncrnsm das redes OWMS Esrela Smples. Prmeramene sã reescras as equações que descreem a dnâmca d -ésm PLL da rede sb a frma de um ssema de equações n espaç de esads. Aplcamse ds ps de enradas que aparecem cm mua freqüênca na práca: degrau e a rampa de fase. Verfca-se enã araés da Tera de Ssemas Dnâmcs a esabldade ds pns de equlíbr encnrads. A esênca de pns nãhperbólcs ege um raamen dferencad a Terema da Varedade Cenral uma ez que a lnearzaçã das equações em rn ds mesms nã perme ber as cnclusões desejadas. N fnal de cada subseçã sã apreads s dagramas de bfurcaçã crrespndenes as pns esudads.. ENTRADA TIPO DEGRAU DE FASE Para enradas d p degrau de fase a parr d mesre de qualquer amplude pde-se escreer: & &. e ambém para > BB: & &. Subsund as enradas. e. n ssema de equações que descree a dnâmca d PLL. em-se: && & && &.

41 TP PT N 9 Para smplfcar esud da dnâmca d PLL frene a arações ns alres ds seus parâmers faz-se uma mudança de aráel ndependene: T. Dessa frma araés da Regra da Cadea: d d dt d d dt d dt d d dt d Ulzand uma naçã smplfcada para.5: T T.5 & &. Pela subsuçã das relações de. em. pde-se resrngr a análse à araçã de um únc parâmer desgnad a parr de agra pr:. Lg: T T T T T T.7 Esclhend cnenenemenetp PT as aráes de esad pde-se escreer ssema de equações crrespndenes a dnâmca d PLL em quesã:.8 d r Seus pns de equlíbr sã bds pela defnçã:. Dessa frma em- d se: apêndce encnra-se a jusfcaa para esa esclha.

42 depende Pran esem ds pns de equlíbr: P e π u π P.9 A esabldade desses pns será esudada em seguda... ESTUDO DA ESTABILIDADE DE PBB A análse qualaa de um ssema dnâmc nã-lnear cmeça pela sua lnearzaçã em rn ds seus pns de equlíbr. Prmeramene calcula-se a marz Jacbana em PBB bd em.9: J P Em seguda é necessár resler:. λ λ I λ de J. P λ O plnôm caracerísc de. bd de. é: λ λ. λ E assm as raízes de. sã s aualres de. calculada em PBB: Pran cm se erfca a esabldade de PBB λ λ λ. de BB. Pela análse lnear quand a pare real de um aualr é negaa psa auer crrespndene deermna uma dreçã esáel nsáel. Cas ds s aualres enham pare

43 TP TP PT O PT Ouras é é real negaa pn de equlíbr é d esáel assncamene n d de Lyapun. Enã basa que pel mens um aualr enha pare real psa para que pn de equlíbr seja nsáel. Em ambs s cass pn de equlíbr é denmnad hperbólc. Enrean se pel mens um aualr er pare real nula u mesm fr nul pn de equlíbr é denmnad nã-hperbólc suaçã em que a análse lnear falha na deermnaçã da sua esabldade. Uma ez que λ basa erfcar s pssíes alres da pare real de λ e λ cnclund-se que: para > dmep P PBB para < dmep P dmep P PBB s s assncamene esáeltp PT. u nsáelp P. para dmep P dmep P nada se pde afrmar a respe s c da esabldade de PBB cnsderand apenas a aprmaçã lnearp P. Enã para analsar cmpramen d ssema n subespaç cenral será aplcad Terema da Varedade Cenral. Uma ez que a esabldade d ssema depende de é cnenene nclur esse parâmer cm uma na aráel dependene. Cm essa écnca a dnâmca da rede fca descra pr: e. O erema ege que ssema. eseja na frma canônca de Jrdan. Prmeramene é necessár fazer a epansã em sére de Taylr da funçã em rn de. Faz-se enã cm prmera aprmaçãtp PT O próm pass cnsse em calcular a na marz Jacbana em PBB:. s u símbl dme é ulzad para desgnar: dmensã ds subespaçs esáel EP P nsáel EP P e c cenral EP P que êm d nglês sable unsable e cenral Wggns 99. aprmações cnsderand-se erms de rdem superr serã realzadas n capíul.

44 P J.5 É mprane nar que erm passa a ser nã-lnear. Para mar smplcdade a lnha e a cluna crrespndenes à aráel em.5 esã d mdas uma ez que a nrduçã de cm aráel nã aleru a dnâmca d ssema. Enã ssema é reescr na frma marcal: P e F X J X u. Os aualres λ e s aueres m r crrespndenes à.5 sã: [ ] [ ] [ ] T T T m m m λ λ λ λ λ λ r r r.7 Ulzand a base M cmpsa pels aueres m r de P J defne-se um n cnjun de aráes de esad VBB BB BB de md que: X M V V M X u seja.8 Cnfrme requerd ssema.8 é reescr na frma canônca de Jrdan: F M V M J M V P

45 u seja e.9 Enã de acrd cm Terema da Varedade Cenral Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner prcura-se a aredade cenral WP c P que seja angene em PBB a subespaç cenral EP c P. Ou seja: { } / R j Dh h h h W j j c. para e sufcenemene pequens. Dee-se nar que a equaçã que descree a dnâmca a lng da aredade cenral nã depende de h. Pran basa esmar h. Cm prmera enaatp PT ulza-se plnôm frmad pr mnôms d segund grau: R c b a c b a h. Pel Terema de Henry-Carr Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner a aredade cenral dee sasfazer: [ ] h g h B h f A D h h N. d em.9: A a marz ds aualres cm pare real nula h f a pare nã lnear crrespndene B a marz ds aualres cm pare real negaa e h g a pare nã lnear crrespndene. Fazend as subsuções de. em.: c b a c b a c b a b a. TP PT Ouras aprmações cnsderand-se plnôms de rdem superr serã realzadas n capíul.

46 Pela resluçã de. é pssíel ber gualand s erms de gual pênca s cefcenes de h : : c : : a b b h. Subsund. n ssema.9 e cnsderand-se as defnções de.: [ ].5 Pran camp de eres resr à aredade cenral desprezand-se s erms de rdem superr é dad pr:. O rera de fases crrespndene à. lusra para > a esabldade d ssema: > Fg. : Rera de fases em PBB para BB >.

47 e 5 Nesse p de gráfc d das flechas ndca a eluçã empral d ssema a parr de das as cndções ncas defndas para.. Fazend em. em-se pn de equlíbr. Verfca-se sua esabldade derand. em relaçã à : d d.7 Resuland em equlíbr esáel para > e equlíbr nsáel para <. O dagrama de bfurcaçã crrespndene a essas cnclusões encnra-se na fgura. B Fg. : Dagrama de bfurcaçã para PBB. Nesse p de dagrama as flechas ndcam a eluçã empral de para um dad alr de BB para uma dada cndçã ncal sbre a flecha... ESTUDO DA ESTABILIDADE DE PBB

48 é Analgamene a cas anerr nca-se a análse pela lnearzaçã em rn de PB B bd em.9. Desse md cm prmer pass calcula-se a marz Jacbana em PBB: J P Em seguda ulza-se a relaçã:.8 λ de J P λ I λ.9 λ De.9 se bém plnôm caracerísc de.8: λ λ λ. E assm as raízes de. sã s aualres de.8 calculada em PBB: λ λ λ. Cm λ basa enã erfcar s pssíes alres da pare real de λ e λ. Leand-se em cna as mesmas bserações da subseçã anerr cnclu-se que: para < dmep P pran PBB s assncamene esáel. para > dmep P dmep P pran PB Bé nsáel. s u para dmep P dmep P nada se pde afrmar a respe da s esabldade de PBB cnsderand apenas a aprmaçã lnear. Namene para analsar cmpramen d ssema n subespaç cenral será aplcad Terema da Varedade Cenral nclund-se parâmer na aráel dependene. c cm uma A dnâmca d PLL em quesã é defnda pel mesm ssema de equações dferencas auônmas:

49 7 e. Para reescreer ssema. na frma canônca de Jrdan é necessár prmeramene fazer a epansã em sére de Taylr da funçã em rn de π. Faz-se enã cm prmera aprmaçãtp 5 PT π. O erema ege anda que pn de equlíbr eseja na rgem. Fazend π e bém-se a ranslaçã d ssema. para a rgem d ssema de crdenadas: e. Cm a pare lnear de. é eaamene gual a d ssema. em PBB seus aualres e aueres ambém sã s mesms. Desse md reescree-se ssema na frma marcal: e. Araés da mesma base defnda em.7 e.8 para PBB ssema. é smplfcad para frma canônca de Jrdan: e.5 Enã d Terema da Varedade Cenral Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner prcura-se: TP 5 PT Ouras aprmações cnsderand-se erms de rdem superr serã realzadas n capíul.

50 8 { } / R j Dh h h h W j j c. para e sufcenemene pequens. Assm cm na subseçã anerr basa esmar h. Cm prmera enaatp PT ulza-se um plnôm frmad pr mnôms d segund grau: R c b a c b a h.7 Pel Terema de Henry-Carr Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner a aredade cenral dee sasfazer a mesma relaçã de. u seja: h N.8 Fazend as subsuções de.7 em.8: c b a c b a c b a b a.9 Pela resluçã de.9 é pssíel ber gualand s erms de gual pênca s cefcenes de h : h a b b c : : :. Subsund. n ssema.5 e cnsderand-se as defnções de.:. Pran camp de eres resr à aredade cenral desprezand-se s erms de rdem superr é dad pr:. TP PT Ouras aprmações cnsderand-se plnôms de rdem superr serã realzadas n capíul.

51 9 O rera de fases crrespndene lusra para > a esabldade d ssema: > Fg. : Rera de fases em PBB para BB>. Fazend em. em-se que é um pn de equlíbr. Verfcase sua esabldade derand a equaçã. em relaçã à : d d. Resuland em equlíbr esáel para < e equlíbr nsáel para >. O dagrama de bfurcaçã crrespndene a essas cnclusões encnra-se na fgura.

52 ' B Fg. : Dagrama de bfurcaçã para PBB.. ENTRADA TIPO RAMPA DE FASE > BB: Para enradas d p rampa de fase a parr d mesre pde-se escreer para & Ω && Ω & Ω &&. Subsund enradas de. n ssema de equações que descree a dnâmca d PLL. em-se: && & && & Fazend a mesma mudança de aráel ndependene ds cass anerres em que T Ω e desgnand e Ω reescree-se ssema: Ω Ω.5

53 Ω Ω. Esclhend cnenenemene as aráes de esadtp 7 PT pde-se escreer ssema de equações de. crrespndenes à dnâmca d PLL em quesã: Ω Ω.7 Os pns de equlíbr de.7 sã bds fazend d d r : Ω Ω Ω.8 Pran à parr de.8 rês suações sã pssíes de acrd cm a relaçã enre Ω e : > Ω Nã esem pns de equlíbr. Ω Ese um pn de equlíbr: π P < Ω Esem ds pns de equlíbr de md que: Ω Ω arccs arccs P e P A segur será fea a análse da esabldade em rn desses pns... ESTUDO DA ESTABILIDADE DE P TP 7 PT N apêndce encnra-se uma jusfcaa para esa esclha.

54 Quand se aplca uma rampa de fase em que Ω ese smene um pn π de equlíbr: P. O rer de análse é dênc a ds cass anerres cmeçand-se pela lnearzaçã d ssema em rn de P. De níc calcula-se a marz Jacbana em P: J P.9 Ulzand-se a relaçã: λ λ I λ de J P.5 λ Resula pela resluçã de.5 n plnôm caracerísc de.9: λ λ λ.5 As raízes de.5 sã s aualres de.9 calculada em P: λ λ λ.5 Cm ese um aualr em.5 nul P é nã-hperbólc ndependenemene d alr que parâmer pssa assumr e pela era lnearzada nada se pde afrmar a respe da esabldade de P. Mas uma ez para analsar cmpramen d ssema n subespaç cenral será aplcad Terema da Varedade Cenral. A dnâmca d PLL em quesã é defnda pel ssema de equações dferencas auônmas: Ω Ω.5

55 Para reescreer ssema.5 na frma canônca de Jrdan é necessár prmeramene fazer a epansã da funçã em sére de Taylr em rn de π. Faz-se enã cm prmera aprmaçãtp 8 PT π. O erema ege anda que pn de equlíbr eseja na rgem. Fazend e π em-se ssema.5 ransladad para a rgem d ssema de crdenadas: Ω Ω Ω.5 Cm a pare lnear de.5 é dênca à pare lnear d ssema em. seus aualres e aueres ambém sã s mesms. Desse md reescree-se.5 na frma marcal:.55 Araés da mesma base defnda em.7 e.8 ssema.55 é smplfcad para a frma canônca de Jrdan:.5 Enã d Terema da Varedade Cenral Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner prcura-se: TP 8 PT Ouras aprmações cnsderand-se erms de rdem superr serã realzadas n capíul.

56 { } / R j Dh h h h W j j c.57 para sufcenemene pequen. Ne-se que mas uma ez a equaçã que rege a dnâmca a lng da aredade cenral nã depende de h. Pran basa esmar h. Cm prmera enaa ulza-se um plnôm de ercera rdemtp 9 PT: R b a b a h.58 Pel Terema de Henry-Carr Guckenhemer e Hlmes 98; Wggns 99; Mner a aredade cenral dee sasfazer: h g h B h f A h D h N.59 d em.5: A a marz ds aualres cm pare real nula h f a pare nã lnear crrespndene B a marz ds aualres cm pare real negaa e h g a pare nã lnear crrespndene. Subsund.58 em.59: b a b a b a b a. Pela resluçã de. é pssíel ber gualand s erms de gual pênca s cefcenes de h : : : h a b b b a. Subsund. n ssema.5 cnsderand-se as defnções de.59 e desprezand s erms ϑ : TP 9 PT Ouras aprmações cnsderand-se plnôms de rdem superr serã realzadas n capíul.

57 5. Pran camp de eres resr à aredade cenral é dad pr:. O rera de fases crrespndene lusra para > a esabldade d ssema: > Fg. 5: Rera de fases em P para BB >. Fazend em. bém-se s pns de equlíbr: u. Derand a equaçã. em relaçã à deermna-se a esabldade ds pns e bds em.: esáel para nsáel para d d.5

58 e O dagrama de bfurcaçã crrespndene a essas cnclusões encnra-se na fgura. B Fg. : Dagrama de bfurcaçã para P O dagrama de bfurcaçã da fgura em que ser analsad cm cudad; de meda pdera parecer que pn P é esáel para qualquer alr de. Enrean apesar d pn ser esáel para qualquer alr de esa aredade cenral em aldade resra à pequens alres de. Desse md pdese dzer que pn P é nsáel a mens lcalmene. N capíul a cnsruçã de uras aredades cenras para pn P pssblará um melhr enendmen da esabldade dese pn... ESTUDO DA ESTABILIDADE DE PBB PBB

59 7 Quand se aplca uma rampa de fase em que < Ω ds pns de equlíbr sã encnrads: Ω ± arccs P. O rer de análse é dênc a ds cass anerres cmeçand pela lnearzaçã d ssema em rn desses pns. De níc calcula-se a marz Jacbana em PBB: Ω Ω J P m m. Em seguda ulza-se. na relaçã: de Ω Ω λ λ λ λ J P I m m.7 Resuland enã pela sluçã de.7 n plnôm caracerísc de.: Ω ± Ω ± λ λ λ.8 As raízes de.8 sã s aualres de.:

60 é é prssegue é é PBB 8 m Ω λ λ A análse da esabldade ds pns PB Be PBB λ m Ω.9 erfcand s snas que as pares reas ds aualres calculads pdem assumr. Cm λ enã basa erfcar λ e λ. Verfcand-se a esabldade de cnclur que: Ω P arccs pde-se Ω λ λ PBB assncamene esáel. Ω > λ λ cmples cnjugads e R λ < é assncamene esáel. Ω < λ λ λ R PBB assncamene esáel. Lg PBB assncamene esáel para qualquer alr d parâmer lembrand que Ω <. Verfcand enã a esabldade de cnclu-se que PBB Ω P arccs nsáel dad que λ λ λ R para qualquer alr d parâmer lembrand que Ω <. As cnclusões bdas acma pdem ser resumdas num dagrama de bfurcações d p sela-nó cnfrme a fgura 7 Pquera 987.

61 9 π π Ω Fg.7: Dagrama de bfurcações de P PBB e PBB O dagrama da fgura 7 crrespnde às segunes cnclusões: - para Ω < esem ds pns de equlíbr d um nsáel repread pela lnha racejada e ur esáel repread pela lnha chea. - para Ω > nã esem pns de equlíbr. - para Ω há uma bfurcaçã d p sela-nó uma ez que um par de pns de equlíbr de esabldades cnráras pde ser desruíd u crad pela araçã d alr d parâmer.

62 5 CAPÍTULO 5 ESTUDO DA ESTABILIDADE DAS REDES OWMS CADEIA SIMPLES D mesm md que n capíul anerr sã analsadas as cndções de esênca e esabldade d sncrnsm das redes OWMS Cadea Smples. Incalmene ada-se uma hpóese que smplfca ssema de equações que descree a dnâmca d -ésm nó escra d p de rede em quesã. Em seguda essas equações sã reescras na frma de um ssema de equações n espaç de esads. Aplcam-se degrau e a rampa de fase cm enradas. Verfca-se enã araés da Tera de Ssemas Dnâmcs a esabldade ds pns de equlíbr encnrads. A análse da esabldade de pns nã-hperbólcs ambém é realzada a Terema da Varedade Cenral. N fnal de cada subseçã sã apreads s dagramas de bfurcaçã crrespndenes as pns esudads. 5. SIMPLIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES QUE DESCREVEM UM PLL DA REDE OWMS CADEIA SIMPLES O ssema de equações que descree a dnâmca de um nó escra da rede OWMS Cadea Smples aprea ds snas cm enrada: d mesre e prenene d nó anerr que chega cm aras. Cm a únca enrada cnhecda de anemã é a d mesre sera cnenene reescreer a prmera equaçã d ssema.5 d capíul de md que as enradas a parr de qualquer escra fquem em funçã desse snal. Para ss ulza-se a aprmaçã Φ Φ Φ& que é subsuída na relaçã. defnda n capíul : Φ Φ Φ Φ& Φ 5.

63 5 Subsund a epressã Φ Φ Φ Φ em 5. em-se: Φ Φ& & Φ 5. Idenfcand Φ Φ em 5. pde-se escreer: & Φ& 5. Derand 5. em relaçã a emp: & & & && Φ&& 5. Derand 5. em relaçã a emp: & && && &&& Φ&&& 5.5 As equações e 5.5 pdem ser subsuídas na prmera equaçã d ssema.5 d capíul resuland: && && &&& Φ&&& [& & && Φ&& ] 5. π && & Obserand 5. pde-se denfcar s segunes erms que enlem a fase d mesre e suas deradas em relaçã a emp: Φ Φ& & Φ & & Φ &&& && & Assm manpuland 5. em-se:

64 5 [ ] [ ] π & && && && & &&& &&& && & && 5.7 Subsund prmer erm enre clchees de 5.7 pela segunda equaçã d ssema.5 d capíul em-se: [ ] [ ] & && && && & &&& &&& && & && 5.8 A epressã 5.8 pde ser dreamene subsuída na prmera equaçã d ssema.5 d capíul que é reescr de uma frma aparenemene mas cmplea: [ ] [ ] π π & && & && &&& & && &&& & && & && 5.9 Araés d arfíc ulzad s erms derads a parr da enrada de fase que nã é cnhecda de anemã fram subsuíds pr erms

65 5 relacnads cm a enrada de fase d mesre que é um dad d prblema. Em cnraparda surgram ns erms asscads a sncrnsm enre mesre e escra que anecede -ésm nó escra em quesã que de cer md era presíel. Cm é mprane que haja sncrnsm da rede cm um d parece razáel nese nsane elmná-ls da equaçã adand a hpóese de que nó - já sncrnzu: & & & e & & Desse md ssema 5.9 fca basane smplfcad: [ ] π && & && & &&& π && & && & 5. O ssema smplfcad 5. aprea nesa análse anagens em relaçã a ssema.5 fa que será cmprad em seguda. Ouras cnclusões pernenes às smplfcações aqu cnsderadas pdem ser encnradas n capíul ENTRADA TIPO DEGRAU DE FASE Para enradas d p degrau de fase de qualquer amplude a parr d mesre pde-se escreer para > B-B: & && e & & 5. Subsund as enradas de 5. n ssema 5. que descree a dnâmca d PLL em-se:

66 5 π π & && & && 5. Prcedend à mesma mudança de aráel ndependene ulzada n capíul anerr: T T T T T T π π 5. Esclhend cnenenemene as aráes de esadtp PT pde-se escreer ssema de equações 5. crrespndenes à dnâmca d PLL em quesã: π 5. O ssema 5. é dênc a que já f esudad n capíul anerr para a Esrela Smples. Assm seus pns de equlíbr sã s mesms e êm a mesma esabldade já descra. 5. ENTRADA TIPO RAMPA DE FASE Para enradas d p rampa de fase a parr d mesre pde-se escreer para > B-B: TP PT N apêndce encnra-se uma jusfcaa para esa esclha.

67 55 Ω Ω Ω && && & & 5.5 Subsund as enradas de 5.5 n ssema de equações 5. que descree a dnâmca d PLL em-se: Ω Ω π π & && & && 5. Fazend a mesma mudança de aráel ndependene ds cass anerres em que T e desgnand e Ω Ω reescree-se ssema 5.: Ω Ω π π 5.7 Esclhend cnenenemene as aráes de esadtp PT pde-se escreer ssema de equações 5.7 crrespndenes a dnâmca d PLL em quesã: π Ω Ω 5.8 O ssema 5.8 ambém é dênc a que já f esudad n capíul anerr para a Esrela Smples. Assm seus pns de equlíbr sã s mesms e êm a mesma esabldade já descra. TP PT N apêndce encnra-se uma jusfcaa para esa esclha.

68 5 N próm capíul nas aredades cenras sã cnsruídas cm dferenes níes de aprmaçã para s pns de equlíbr nã-hperbólcs bds ns capíuls anerres.

69 57 CAPÍTULO INFLUÊNCIA DO GRAU DE APROXIMAÇÃO DA CONSTRUÇÃO DAS VARIEDADES CENTRAIS NOS RETRATOS DE FASE E DIAGRAMAS DE BIFURCAÇÃO CORRESPONDENTES Nese capíul nas aredades cenras sã apreadas para que se descrea de md mas precs cmpramen dnâmc ds ssemas dnâmcs cnsderads ns capíuls e 5 na znhança ds pns de equlíbr nãhperbólcs. Iss será fe bascamene de rês mds: - mand mas erms na epansã da funçã em sére de Taylr. - aumenand a rdem da aprmaçã plnmal desgnada h ulzada na descrçã da aredade cenral. - cnsderand s erms de rdem superr d camp de eres resr à aredade cenral. Pela cmbnaçã ds rês mds acma descrs dferenes graus de aprmaçã sã bds an para a enrada d p degrau cm para a enrada d p rampa de fase. A parr dss dscue-se qualaamene a nfluênca dessas mdfcações ns reras de fases e ns dagramas de bfurcaçã crrespndenes araés de cmparações cm s que fram prmeramene bds. Uma ez que rer para a cnsruçã de aredades cenras já f eensamene dscud n decrrer ds capíuls e 5 algumas passagens e defnções serã mdas nese capíul.. ENTRADA TIPO DEGRAU DE FASE: CONSTRUÇÃO DE NOVAS VARIEDADES CENTRAIS EM TORNO DE PB B

70 58 Para que haja uma mar facldade de cmparaçã enre s dferenes reras de fases e s dagramas de bfurcaçã bds as dferenes aprmações serã apreadas cas a cas: CASO a: e a b c h b c R a. N esud da esabldade de P da subseçã.. bee-se à parr d plnôm h segune camp de eres resr à aredade cenral:. O rera de fases cnsruíd a parr de. e dagrama de bfurcaçã crrespndene sã reapreads a segur: > Fg. 8: Rera de fases em PBB para BB > prmera aprmaçã.

71 59 B Fg. 9: Dagrama de bfurcaçã para PBB prmera aprmaçã. Na subseçã.. desprezu-se erm de ercera rdem prque é superr à ds mnôms que cnsuem h de segunda rdem. Cas esse erm ambém seja cnsderand bém-se um camp de eres resr à aredade cenral semelhane a anerr:. Fazend bém-se pn de equlíbr. Verfca-se sua esabldade derand. em relaçã à bend: d d. Cm resulad em-se equlíbr esáel se < u > e equlíbr nsáel se < <. O dagrama de bfurcaçã crrespndene a essas cnclusões encnra-se na fgura.

72 - B Fg. : Dagrama de bfurcaçã para PBB segunda aprmaçã. É mprane nar que em relaçã a dagrama anerr crreram algumas mudanças de caráer glbal. Enrean a descrçã da esabldade nã se aleru lcalmene. CASO b: e a b c d h b c d R a. Cnsdere-se agra um n plnôm h cnsuíd pr mnôms de ercera rdem: a b c d h d b c d R a. Repend prcedmen da subseçã.. bém-se s alres ds cefcenes d plnôm cnsderad: