FERNANDO LESSA TOFOLI CONVERSORES CC-CC NÃO ISOLADOS. Análise, Modelagem e Controle

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1 FERNANDO ESSA TOFO CONVERSORES CC-CC NÃO SOADOS Análse, Mdelagem e Cnrle

2 Fernand essa Tfl CONVERSORES CC-CC NÃO SOADOS ANÁSE, MODEAGEM E CONTROE

3 Cpyrgh 018 by Arlber Edra da. Revsã: Mara Carlna Garca Capa e edraçã: Edrand Brô Dads nernacnas de Caalgaçã na Publcaçã (CP) (Câmara Braslera d vr) Tfl, Fernand essa Cnversres CC-CC nã slads: análse, mdelagem e cnrle / Fernand essa Tfl. - Sã Paul : Arlber, p. SBN: Cnversres de crrene elérca. Engenhara elérca 3. Elerônca de pênca. Tíul CDD Índces para caálg ssemác: 1. Crrene elérca : Cnversres 018 Tds s dres desa edçã sã reservads à Arlber Edra da. Av. Dógenes Rber de ma, Sã Paul SP Brasl Tel.: (11) nf@arlber.cm.br

4 SUMÁRO Prefác nrduçã a esud ds cnversres CC-CC Cnsderações prelmnares Classfcaçã ds cnversres CC-CC Cnrle de flux de pênca Cnversr CC-CC abaxadr elemenar Cnversr CC-CC abaxadr cm carga RE e dd de rda lvre Cnversr CC-CC buck Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD Cnversr CC-CC bs Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD Cnversr CC-CC buck-bs Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD... 88

5 5. Cnversr CC-CC Ćuk Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD Cnversr CC-CC SEPC Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD Cnversr CC-CC Zea Análse da peraçã em MCC Análse da peraçã em MCD Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC empregand a écnca d espaç de esads méd Cnsderações ncas Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na razã cíclca Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na ensã de enrada Mdelagem de um cnversr CC-CC buck perand em MCC Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC perand em md de cnduçã cnínua, empregand a écnca d nerrupr PWM Cnsderações ncas Mdel d nerrupr PWM

6 9.3 - Mdelagem de pequens snas de um cnversr buck perand em MCC Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC perand em md de cnduçã descnínua, empregand a écnca d nerrupr PWM Cnsderações ncas Mdel d nerrupr PWM em MCD Mdelagem de pequens snas de um cnversr buck perand em MCD Cnrle de cnversres CC-CC perand em malha fechada Cnsderações ncas Far K Técncas de cnrle de cnversres CC-CC... 46

7 7 CONVERSOR CC-CC ZETA Análse da peraçã em MCC Análse qualava O cnversr Zea f a úlma esruura clássca de cnversr CC-CC prpsa, que crreu na década de Na épca, acredava-se que exsam apenas ses cnversres báscs, send que essa plga recebeu esse nme em asscaçã à sexa lera d alfabe greg (alfa, bea, gama, dela, epsln, zea). Traa-se de uma varaçã plógca ds cnversres Ćuk e SEPC, a qual ambém pssu caracerísca abaxadra e elevadra, pdend ser enendda cm a asscaçã de um cnversr buck-bs na enrada e um cnversr buck na saída, cm msra a Fg Fg. 7.1 Cnversr CC-CC Zea As prncpas caraceríscas d cnversr Zea sã: ulzaçã de ds ndures e ds capacres, send esse um ssema de quara rdem;

8 15 Capíul 7 a crrene de enrada é descnínua, send necessára a ulzaçã de um flr passa-baxa para a reduçã de prblemas asscads à nerferênca elermagnéca, cm crre ns cnversres buck e buck-bs; a crrene enregue a eság de saída é cnínua; cm nerrupr cnrlad nã é cnecad a mesm nó de referênca da fne, ss demanda a ulzaçã de crcus de cmand slads; a ensã de saída pssu a mesma plardade da ensã de enrada; s esfrçs de ensã ns elemens semcndures sã dêncs àqueles exsenes n cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC; a ransferênca de energa crre aravés d capacr de acplamen; pssu caracerísca de fne de ensã na enrada e fne de crrene na saída, de acrd crcu smplfcad da Fg. 7.. Fg. 7. Crcu smplfcad d cnversr CC-CC Zea A peraçã d cnversr Zea em MCC é descra segund as eapas represenadas na Fg Para a análse qualava d crcu, cnsdera- -se que cnversr pera em regme permanene e que ds s elemens exsenes sã deas.

9 Cnversr CC-CC Zea 153 (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, T s ] Fg. 7.3 Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC Zea em MCC 1 a eapa [0, n ]: O nerrupr cnduz e dd permanece blquead. As crrenes em 1 e crescem lnearmene. O capacr C 1 é descarregad, ransfernd sua energa a, enquan capacr C é descarregad, almenand a carga. a eapa [ n, T s ]: O nerrupr é blquead, de md que dd cmeça a cnduzr. A energa prevamene armazenada em 1 e é ransferda as capacres C 1 e C, respecvamene. Além dss, as crrenes ns ds ndures decrescem lnearmene. Essa eapa persse aé que nerrupr cmeça a cnduzr nvamene, ncand-se próxm ccl de cmuaçã. As frmas de nda eórcas crrespndenes à peraçã d cnversr Zea em MCC sã msradas na Fg. 7.4.

10 154 Capíul 7 Fg. 7.4 Frmas de nda eórcas d cnversr CC-CC Zea em MCC Assm cm ns cnversres buck e buck-bs, pde-se cnecar nerrupr da plga Zea a mesm referencal da fne de enrada cm n crcu da Fg. 7.5, preservand anda prncíp de funcnamen descr prevamene.

11 Cnversr CC-CC Zea 155 Fg. 7.5 Represenaçã alernava d cnversr CC-CC Zea Deermnaçã d ganh esác Analsand s crcus equvalenes que descrevem funcnamen d cnversr Zea em CCM, pr sua vez asscads às suas respecvas frmas de nda eórcas, é pssível deduzr das as expressões maemácas para prje d eság de pênca. De acrd cm a Fg. 7.3 (a), em-se: V 11 V V V - V + V 1 C1 (7.1) (7.) Em que V 11 e V 1 sã s valres das ensões ns ndures 1 e durane prmer eság de peraçã, respecvamene, enquan V C1 é a ensã méda n capacr C 1, cnsderada cnsane e lvre de ndulações na análse que se segue. A ensã nsanânea em um ndur é defnda pr: v d ( ) d (7.3) Send que () é a crrene nsanânea n ndur. Descnsderand a ndulaçã na ensã de saída na prmera eapa, cuja duraçã é n, é pssível defnr as ndulações das crrenes ns ndures 1

12 156 Capíul 7 e cm send Δ 1 e Δ., respecvamene. Assm, as segunes expressões pdem ser bdas para a prmera eapa: d n (7.4) D 1-1 máx. 1 mín. (7.5) D - (7.6) máx. mín. Subsund (7.1), (7.4) e (7.5) em (7.3), bem cm subsund (7.), (7.4) e (7.6) em (7.3), sã bdas as segunes expressões para s ndures: D 1 V 1 n D V - VC1+ V n De acrd cm a Fg. 7.3 (b), êm-se: (7.7) (7.8) V V -V 1 C1 (7.9) - V (7.10) Em que V 1 e V sã s valres das ensões ns ndures 1 e durane segund eság de peraçã, respecvamene. De acrd cm as eapas anerrmene apresenadas, s ndures 1 e se carregam e descarregam a cada ccl de cmuaçã, a uma axa cnsane em regme permanene. Assm, descnsderand-se a ndulaçã da ensã de saída, pde-se escrever: ( ) ( ) -D máx. 1 mín. -D - - máx. mín. (7.11) (7.1) d ff (7.13) Subsund (7.9), (7.11) e (7.13) em (7.3), bem cm subsund (7.10), (7.1) e (7.13) em (7.3), êm-se:

13 D V C1 1 ff D V 1 ff Cnversr CC-CC Zea 157 (7.14) (7.15) Além dss, s nervals de cnduçã e blque d nerrupr pdem ser bds em funçã da razã cíclca da segune frma: n ff DTs (7.16) ( 1- DT ) (7.17) s O ganh esác d cnversr Zea em MCC pde ser bd cnsderand que a ensã méda n ndur 1 é nula a lng d períd de cmuaçã. Assm, a parr da frma de nda da ensã d ndur apresenada na Fg. 7.4, em-se: 1 n DTs Ts V 1( méd. ) é ( V ) ( 1) 0 0 d + - V C dù T êë n DTs úû s ò ò (7.18) Reslvend as negras na expressã (7.18), é deermnada a ensã méda n capacr C 1 : V C1 DV 1 - D (7.19) O cálcul da ensã méda n ndur é dad pela segune expressã: 1 n DTs Ts V ( méd. ) é ( V 1 ) VC + V d + - V dù T êë n DTs úû s ò ò (7.0) Assm, a ensã n capacr C 1 pde ser bda a parr de (7.0): V C1 ( 1) DV + V D - (7.1) D gualand as expressões (7.19) e (7.1), chega-se a ganh esác d cnversr Zea em MCC:

14 158 Capíul 7 V V D 1 - D (7.) Analgamene as cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC, a plga Zea apresena caraceríscas abaxadra e elevadra, s é: D < 0,5 V < V (abaxadr u buck); D 0,5 V V ; D > 0,5 V > V (elevadr u bs) Deermnaçã das nduâncas 1 e Assm cm ns cnversres Ćuk e SEPC, êm-se: 1 méd. méd. (7.3) (7.4) Para pequenas ndulações das crrenes ns ndures, menres u guas a 0% da crrene na carga, s valres méd e efcaz sã aprxmadamene guas. Cas as ndulações sejam elevadas, é necessár cnsderar as frmas de nda de 1 () e () msradas na Fg. 7.4, cm bjev de deermnar s seus respecvs valres efcazes da segune frma: n T 1 é s æ öù æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d +ç 1 ( ) d T ç ò ú ç ò s ê ëè 0 øúû èn ø n T 1 é s æ öù æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d +ç ( ) d T ç ò ú ç ò s ê ëè 0 øúû èn ø (7.5) (7.6) Neses cass, 11 () e 1 () sã as expressões nsanâneas que defnem a crrene n ndur 1 na prmera e segunda eapas de peraçã, respecvamene; enquan 1 () e () represenam as expressões nsanâneas

15 Cnversr CC-CC Zea 159 da crrene n ndur durane a prmera e segunda eapa de peraçã, respecvamene. Os valres máxm e mínm da crrene n ndur 1 sã: 1 máx. 1 mín. D 1 + (7.7) D 1 - (7.8) Analgamene, êm-se s respecvs valres máxm e mínm da crrene n ndur : 1 máx. mín. D 1 + (7.9) D - (7.30) Analsand a Fg. 7.4 e cnsderand s pns (0, 1(mín.) ) e ( n, 1(máx.) ) asscads às expressões (7.7) e (7.8), é pssível ber a segune expressã: æd ö 1 æ D 1ö 11 ( ) ç + ç - è n ø è ø (7.31) Cm cálcul de uma negral crrespnde à deermnaçã da área de uma deermnada curva a lng de um dad ex, é pssível adar uma nva rgem ds exs sem que haja alerações n resulad fnal, cm a fnaldade de deermnar 1 () de frma mas smples. Assm, as expressões (7.5) e (7.6) pdem ser reescras cm: ff 1 é n æ öù æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d ú+ç 1 ( ) d T ê ç ú ç è ø ò ò (7.3) s ë 0 û è 0 ø ff 1 é n æ öù æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d ú+ç ( ) d T ç ò ê ú ç ò è ø s ë 0 û è 0 ø (7.33) Analgamene, cnsderand s pns (0, 1(máx.) ) e ( ff, 1(mín.) ), a crrene 1 () pde ser represenada pr:

16 160 Capíul 7 æd ö 1 æ D 1ö 1 ( ) ç ç è ff ø è ø Fnalmene, subsund-se (7.31) e (7.34) em (7.3), bém-se: (7.34) 1 ef. 1 + D 1 1 (7.35) Cnsderand um cnversr deal em que nã há perdas, em-se: D 1 - D (7.36) Subsund (7.36) em (7.35), em-se: 1( 1- D) D 1- D + 1D 1 1 ef. Subsund (7.16) em (7.7), é bd valr da nduânca 1 : 1 s 1 (7.37) VD f D (7.38) Analgamene a prcedmen desenvlvd para ndur 1, é pssível deermnar as expressões nsanâneas para a crrene n ndur durane a prmera e a segunda eapa de funcnamen, segund as segunes expressões: æd ö æ D ö 1 ( ) ç + ç - è n ø è ø æd ö æ D ö ( ) ç ç è ff ø è ø Assm, subsund (7.39) e (7.40) em (7.33), bém-se: (7.39) (7.40)

17 Cnversr CC-CC Zea 161 ef. 1 + D (7.41) 1 A expressã que perme ber a nduânca resula da subsuçã de de (7.) em (7.15): VD f D s (7.4) Deermnaçã das capacâncas C 1 e C De acrd cm a Fg. 7.3 (a), a descarga d capacr C 1 crre na prmera eapa de peraçã. Nesse elemen, crcula a crrene de saída. Assm, em-se: ò 1ò C (7.43) d C dv Cm a duraçã da prmera eapa de peraçã é n DT s e a varaçã da ensã n capacr é ΔV dv c (), a capacânca C 1 é dada pr: C D 1 DV C1 f s (7.44) Pr ur lad, enquan a crrene n ndur fr mar que a crrene na carga (cnsderada cnsane, s é, desprezand-se a sua respecva ndulaçã), capacr C se carrega. Pr ur lad, quand fr menr, capacr se descarrega, prvcand uma varaçã de ensã ΔV C, cnfrme a Fg. 7.6.

18 16 Capíul 7 Fg. 7.6 Frma de nda da crrene n ndur e nervals ns quas capacr C se carrega e descarrega em MCC O capacr C armazena uma quandade de carga ΔQ dada pr: 1 æ öd TD D D Q ç + è ø 8 8f n ff s s (7.45) sland Δ em (7.4) e subsund esse parâmer em (7.45), em-se: VD D Q (7.46) f 8 s De frma genérca, a capacânca é defnda pr: DQ C D V (7.47) Subsund (7.46) em (7.47), bém-se: C VD D (7.48) 8 fs VC Deermnaçã ds esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures Para calcular s esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures, é necessár cnsderar as frmas de nda da crrene e ensã

19 Cnversr CC-CC Zea 163 nsanâneas da Fg Os valres méd e efcaz da crrene n nerrupr S sã dads pr: 1 n S(méd.) é 11 1 T ë + s 0 ò ùûd (7.49) 1 n S(ef.) é 11 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.50) Subsund (7.31) e (7.39) em (7.49) e (7.50), êm-se: D + S(méd.) S (ef.) ( + ) + ( D + D ) (7.51) Dé1 1 ù ë û (7.5) 1 Subsund (7.36) em (7.51) e (7.5), bêm-se: S (méd.) D 1 - D (7.53) { éë( D 1+ D )( 1- ) ùû + 1 } 1( 1- D) D D S (ef.) (7.54) Se as ndulações das crrenes ns ndures frem pequenas, a expressã (7.54) pde ser smplfcada da segune frma: S (ef.) D 1 - D (7.55) A máxma ensã de blque n nerrupr é: V V - V V + V S(máx.) 1 (7.56) Além dss, as crrenes méda e efcaz n dd sã bdas pelas segunes expressões:

20 164 Capíul 7 1 ff D(méd.) 1 T ò éë + s 0 ùûd (7.57) 1 ff D(ef.) é 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.58) Subsund (7.34) e (7.40) em (7.57) e (7.58), êm-se: D D(méd.) 1- + D(ef.) ( 1- D) é1( + ) + ( D + D ) ë 1 1 Subsund (7.36) em (7.59) e (7.60), êm-se: ù û (7.59) (7.60) D(méd.) (7.61) D(ef.) ( 1 ) 1( 1- D) 1 ù 1 éë D + D - D û + (7.6) Cnsderand pequens valres da ndulaçã da crrene n ndur, a expressã (7.6) pde ser smplfcada: D(ef.) 1- D (7.63) A análse da Fg. 7.3 (a) perme cnclur que a máxma ensã à qual dd é submed é: V - V + V - V + V D(máx.) 1 (7.64) Cm era esperad, as expressões que defnem s esfrçs de crrene e ensã n cnversr Zea sã as mesmas que aquelas bdas para s cnversres buck-bs, Ćuk e SEPC perand em CCM.

21 7. - Análse da peraçã em MCD Análse qualava Cnversr CC-CC Zea 165 Ns cnversres Ćuk, SEPC e Zea, a peraçã em MCD é caracerzada pel blque d dd a fnal da segunda eapa de funcnamen. Dessa frma, a sma das crrenes ns ndures 1 e se anula a fnal dessa mesma eapa. Para esudar a peraçã d cnversr Zea em MCD, sã cnsderads s crcus equvalenes da Fg Nese cas, crcu pera em regme permanene e ds s elemens exsenes sã deas. (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, n + d ] (c) 3 a eapa [ n + d, T s ] Fg. 7.7 Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC Zea em MCD

22 166 Capíul 7 1 a eapa [0, n ]: Quand nerrupr cmeça a cnduzr, a crrene n ndur 1 cresce lnearmene de zer a um valr máxm, send que a ensã aplcada a esse elemen é V. Além dss, capacr C 1 se descarrega, frnecend sua energa a ndur, cuja crrene nsanânea cresce lnearmene. O capacr C ambém se descarrega nessa eapa. a eapa [ n, n + d ]: N níc dessa eapa, nerrupr S é blquead. A crrene n ndur 1 decresce lnearmene, send que capacr C 1 é nvamene carregad. A descarga lnear d ndur mplca frnecmen de energa a eság de saída. 3 a eapa [ n + d, T s ]: Quand dd é blquead a fnal da eapa anerr, apenas capacr C frnece energa à carga. As crrenes nsanâneas ns ndures sã guas em módul e pssuem sends pss. Essa suaçã persse aé que nerrupr cmece a cnduzr n níc d próxm ccl de cmuaçã. A peraçã d cnversr Zea em MCD é caracerzada pelas frmas de nda eórcas da Fg. 7.8, cnsaand-se que a sma das crrenes em 1 e é nula durane a ercera eapa de peraçã.

23 Cnversr CC-CC Zea 167 V C V v () v () C1 v () C V C1 1(máx.) 1(mín.) () 1 v () 1 () 11 () 1 V -V (máx.) (mín.) () v () () 1 () V -V () + () 1 () S ()+ () 11 1 v () S V +V () D ()+ () 1 V v () D -(V +V ) ndts d ff(1-d)ts T s -V Fg. 7.8 Frmas de nda eórcas d cnversr CC-CC Zea em MCD Deermnaçã d ganh esác Pr me da análse de malhas aplcada as crcus equvalenes da Fg. 7.7 e as frmas de nda da Fg. 7.8, chegam-se às segunes expressões:

24 168 Capíul 7 DTsV D 1 V d D (7.65) (7.66) D DTsV (7.67) V d D (7.68) Para deermnar ganh esác d cnversr em MCD, deve-se cnsderar que a ensã méda n ndur 1 é nula em regme permanene, s é: Ts n n + d Ts 1 1 æ ö V v d v d v d v d 1 méd. Ts T ç 0 s è 0 n n + d ø ò 1 ç ò 11 + ò 1 + ò 13 0 (7.69) Send que v 11 (), v 1 () e v 13 () represenam cmpramen da ensã nsanânea n ndur 1 durane a prmera, segunda e ercera eapa de funcnamen, respecvamene. Reslvend-se (7.69) de acrd cm a frma de nda de v 1 () na Fg. 7.8, em-se: V C1 DTsV d (7.70) Além dss, a ensã méda n ndur é: Ts n n + d Ts 1 1 æ ö V v d v d v d v d méd. Ts T ç 0 s è 0 n n + d ø ò ç ò 1 + ò + ò 3 0 (7.71) Send que v 1 (), v () e v 3 () represenam cmpramen da ensã nsanânea n ndur durane a prmera, segunda e ercera eapa de funcnamen, respecvamene.

25 Cnversr CC-CC Zea 169 Reslvend (7.71) de acrd cm a frma de nda de v () da Fg. 7.8, em-se: d ( - + ) DT V V V s C1 (7.7) V Subsund (7.7) em (7.70), bém-se: V C1 V (7.73) Subsund (7.73) em (7.7), pde-se deermnar ganh esác d cnversr em MCD: V V DT d s (7.74) Segund a Fg. 7.8, as crrenes nsanâneas n ndur 1 durane a prmera, a segunda e a ercera eapa de funcnamen sã: æd ö 1 11 ( ) ç + 1( mín. ) è n ø (7.75) æd ö 1 1 ( ) - ç + 1( máx. ) è d ø (7.76) (7.77) 13 1 mín. Send que 1(mín.) e 1(máx.) defnem s valres mínm e máxm da crrene n ndur 1, respecvamene, cuja ndulaçã é dada pr: D 1 1( máx. ) - 1( mín. ) (7.78) A crrene méda n ndur 1, que é gual à crrene méda de enrada, pde ser calculada pr: n d Ts -( n + d ) 1 ï ìé ù é ù é ùï ü 1( méd. ) íê 11 ( ) dú+ ê 1 ( ) dú+ê 13 ( ) dúý Ts ïîêë 0 úû êë0 úû êë 0 úûïþ ò ò ò (7.79)

26 170 Capíul 7 Subsund as expressões (7.75) a (7.78) em (7.79), bém-se: 1 máx. 1 mín. ë T ùû (7.80) T ( n + d ) + é s - ( n + d ) s Subsund (7.78) em (7.65), é pssível calcular valr máxm da crrene n ndur 1 : V DT s 1( máx. ) 1( mín. ) + (7.81) 1 Fnalmene, subsund (7.81) em (7.80), é deermnad valr mínm da crrene n ndur 1 : 1 mín. VDT V - V ( + V ) s 1 (7.8) As crrenes nsanâneas n ndur durane a prmera, a segunda e a ercera eapa de funcnamen sã dadas pr: æd ö è ø ç + 1 mín. n (7.83) æd ö è ø - ç + máx. d 3 mín. (7.84) (7.85) Send que (mín.) e (máx.) defnem s valres mínm e máxm da crrene n ndur, respecvamene, cuja ndulaçã é dada pr: D - (7.86) máx. mín. A crrene méda n ndur é gual à crrene méda de saída, send calculada pr:

27 Cnversr CC-CC Zea 171 n d Ts -( n + d ) 1 ï ìé ù é ù é ùï ü ( méd. ) íê 1 ( ) dú+ ê ( ) dú+ê 3 ( ) dúý Ts ïîêë 0 úû êë0 úû êë 0 úûïþ ò ò ò (7.87) Subsund as expressões (7.83) a (7.86) em (7.87), em-se: máx. mín. ë T T ( n + d ) + é s - ( n + d ) Subsund (7.86) em (7.67), bém-se: VDT + máx. mín. s s ùû (7.88) (7.89) Assm, é pssível defnr valr mínm da crrene n ndur a se subsur (7.89) em (7.88): mín. ( + V ) VDT s V - (7.90) V Além dss, a análse da Fg. 7.7 (c) perme cnclur que: - 1 mín. mín. (7.91) Subsund-se (7.8) e (7.90) em (7.91) e realzand algumas manpulações maemácas, chega-se à expressã que represena ganh esác d cnversr Zea em MCD: V V ( + ) DV 1 (7.9) f 1 s Essa expressã é exaamene dênca àquelas que represenam s ganhs esács ds cnversres Ćuk e SEPC em MCD. De acrd cm (7.9), as nduâncas 1 e encnram-se em paralel, s é: eq 1 + (7.93) 1

28 17 Capíul 7 Enã, é pssível subsur (7.93) em (7.9), resuland em: V V DV (7.94) f eq s O emp de descarga ds ndures pde ser deermnad gualand-se (7.74) e (7.94): d eq DV (7.95) A caracerísca de saída d cnversr Zea é dênca àquela ds cnversres Ćuk e SEPC, cm msra a Fg Fg. 7.9 Caracerísca de saída d cnversr CC-CC Zea Deermnaçã da nduânca críca Na cnduçã críca, as ndulações das crrenes ns ndures sã:

29 Cnversr CC-CC Zea 173 D 1 1( máx. ) máx. D (7.96) (7.97) Subsund (7.), (7.36) e (7.96) em (7.38), bém-se: ( crí ) 1. V D (7.98) V f s Subsund-se (7.74) e (7.97) em (7.68), bém-se: ( crí ). VD (7.99) f s Segund a asscaçã em paralel dada pr (7.93), a nduânca críca é calculada pr: (.) eq crí DV f V V 1 ( crí. ) ( crí. ) s ( + crí crí ) (7.100) Em MCD, as ndulações das crrenes ns ds ndures sã cnsderáves, send que nesse cas s valres méds nã sã aprxmadamene guas as respecvs valres efcazes. Assm, as crrenes efcazes ns ndures 1 e sã: n d Ts - n + d 1 éæ öù æ ö æ ö 1( ef. ) ê 11 ( ) d ú+ 1 ( ) d +ç 13 ( ) d T ê ç ú ç ç è ø è ø ò ò ò (7.101) s ë 0 û 0 è 0 ø n d Ts - n + d 1 éæ öù æ ö æ ö ( ef. ) ê 1 ( ) d ú+ ( ) d +ç 3 ( ) d T ç ò ç ò ê ú ç ò è ø è ø s ë 0 û 0 è 0 ø (7.10) Subsund (7.75), (7.76) e (7.77) em (7.101), em-se: 1( ef. ) { é ù} 3 D 3 V ë VV - D - D V + V + V û + V fs 1 (7.103) 6VV f s 1

30 174 Capíul 7 Subsund (7.83), (7.84) e (7.85) em (7.10), em-se: ( + ) - ( + ) ù+ DV é V V V D V V V f ë û s ( Vf) ef. s (7.104) Deermnaçã das capacâncas C 1 e C Na prmera eapa de peraçã, capacr C 1 se descarrega pr me da crrene n ndur, cm msram as frmas de nda da Fg ss crre enre s nsanes em que al crrene se anula e assume valr máxm, s quas crrespndem a 1 e n, respecvamene. v () C1 V C1 (máx.) (mín.) () 1 - n 1 () 1 () ndts d ff(1-d)ts T s Fg Frmas de nda da crrene n ndur e n capacr C 1, evdencad s nervals ns quas capacr C 1 se carrega e descarrega n cnversr Zea em MCD Assm, a crrene n capacr C 1 é dada pr: C dv ( ) C1 C1 1 (7.105) d g, a ndulaçã da ensã n capacr C 1 é:

31 Cnversr CC-CC Zea 175 n 1 C ( ) d D ò (7.106) 1 1 VC1 1 O nsane 1 pde ser deermnad gualand-se (7.83) a zer: 1 - mín. n máx. mín. - (7.107) Subsund (7.16), (7.83), (7.89), (7.90) e (7.107) em (7.106), chega-se a: C ( + ) - ( + ) ù évd V V V VD f s 1 ë 8VV fs DVC1 û (7.108) Na segunda eapa de funcnamen, a carga d capacr C crre enre s nsanes ns quas a crrene n ndur é mar que a crrene de carga, segund a Fg Esses nsanes pdem ser bds a parr de (7.83) e (7.84), respecvamene. 3 ( - ( mín. ) ) n - ( - máx. ) máx. mín. d - máx. mín. Assm, a quandade de carga armazenada n capacr C é: éë D Q ( ) ( n ) 3ù ( máx. ) - + û - (7.109) (7.110) (7.111) Subsund-se (7.16), (7.74), (7.89), (7.90), (7.109) e (7.110) em (7.111), em-se: é VD V + V D V + V - V ù D Q û (7.11) ë 3 8V fs

32 176 Capíul 7 A expressã para cálcul da capacânca C é fnalmene bda subsund-se (7.11) em (7.47): C é VD V + V D V + V - V ùû ë 3 8V fs DVC (7.113) v () v () C V C V (máx.) (mín.) () n- 3 S () 1 () ndts d ff(1-d)ts T s Fg Frmas de nda da crrene n ndur e ensã n capacr C, evdencand s nervals ns quas capacr C se carrega e descarrega n cnversr Zea em MCD Deermnaçã ds esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures As frmas de nda da crrene e ensã nsanâneas da Fg. 7.8 permem ber s esfrçs de crrene e ensã ns elemens semcndures. Assm, as crrenes méda e efcaz n nerrupr S sã dadas pr: 1 n S(méd.) 11 1 T ò éë + s 0 ùûd 1 n S(ef.) é 11 1 T ë + s 0 ù (7.114) ò û d (7.115) Subsund (7.75) e (7.83) em (7.114) e (7.115), êm-se: S (méd.) ( D + D ) D 1 (7.116)

33 Cnversr CC-CC Zea 177 S (ef.) ( D + D ) 3D 1 3 (7.117) Segund a Fg. 7.7 (b), a ensã de blque d nerrupr é: V V - V V + V S(máx.) 1 (7.118) De frma análga, as crrenes méda e efcaz n dd sã dadas pr: 1 d D(méd.) é 1 T ë + s 0 ò ùûd (7.119) 1 d D(ef.) é 1 T ë + s 0 ù ò û d (7.10) Subsund (7.74), (7.76) e (7.84) em (7.119) e (7.10), bêm-se: D(méd.) ( + ) - ( D + D ) DV édv 1 1 fs 1 ù ë û V f (7.11) ( 1+ ) 3DV 3DV f + + s DV f + s 1 1 D(ef.) 3V 1 fs s (7.1) Analsand a Fg. 7.7 (a), verfca-se que a máxma ensã reversa n dd é: VD(máx.) - V1 + V - V + V (7.13) É mprane ressalar que as expressões (7.116) a (7.118) e (7.11) a (7.13) pdem ser ulzadas na deermnaçã ds esfrçs ns elemens semcndures ds cnversres Ćuk, SEPC e Zea perand em MCD.

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35 8 MODEAGEM DE PEQUENOS SNAS DE CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO A TÉCNCA DO ESPAÇO DE ESTADOS MÉDO Cnsderações ncas Na práca, s cnversres esács de pênca cmpram-se cm ssemas nã lneares varanes n emp. Dessa frma, a bençã de um mdel exa capaz de represená-ls adequadamene a lng de da a regã de peraçã nã é uma arefa rval. A represenaçã pr me de um mdel de pequens snas é pssível, cnsderand que cnversr pde ser lnearzad em um pn de peraçã específc. Assm, é pssível aplcar uma pequena varaçã u perurbaçã na varável de enrada, que pr sua vez prvca uma perurbaçã na varável de saída, a qual é devdamene lnearzada. Para essa fnaldade, dversas abrdagens pdem ser ulzadas, cm as écncas de mdelagem pr espaç de esads méd e d nerrupr PWM (d nglês, pulse wdh mdulan mdulaçã pr largura de puls). A mdelagem pr espaç de esads é amplamene ulzada, nã apenas na represenaçã de cnversres esács, mas ambém em uras áreas cmpleamene dsnas da engenhara, cm a ecnma. Embra seja uma ferramena exremamene úl para essa fnaldade, grande númer de manpulações maemácas envlvend marzes em ssemas de rdem elevada pde mplcar uma cmplexdade sgnfcava.

36 180 Capíul Descrçã ds cnversres CC-CC báscs n espaç de esads Na écnca de mdelagem pr varáves de esad, é ulzad um ssema lnear represenad na segune frma: x Ax + Bu (8.1) y Cx + Du (8.) A expressã (8.1) cnsse nas equações de esad, que crrespndem a um cnjun de n equações dferencas de prmera rdem smulâneas cnend n varáves, send que as n varáves a serem deermnadas sã denmnadas varáves de esad. A expressã (8.) é chamada equaçã de saída, represenand as varáves de saída de um ssema na frma de cmbnações lneares das varáves de esad e das enradas. Além dss, êm-se que A é a marz de esads, B é a marz de enrada, C é a marz de saída, D é a marz de ransçã drea, x é ver de esads, y é ver de saída e u represena ver de enrada d ssema. Os cnversres CC-CC báscs nã slads em MCC, s quas fram apresenads ns capíuls anerres, pssuem ds eságs de peraçã, que dependem d esad de cnduçã e blque d nerrupr. A lng de cada eapa, crcu lnearzad d cnversr pde ser descr pr seu respecv ver de esads x, que é cnsuíd pelas crrenes ns ndures e ensões ns capacres. Para s cnversres buck, bs e buck-bs, ver de esads é: x é ù ê v ú C ë û (8.3) Para s cnversres Ćuk, SEPC e Zea, ver de esads é: x é ê ê v 1 C1 ê ú ê ëv C ù ú ú ú û (8.4)

37 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 181 Assm, as expressões (8.3) e (8.4) esã asscadas à represenaçã de ssemas de segunda e quara rdem, respecvamene. Dane das premssas anerres, para um cnversr CC-CC de segunda rdem que pssua duas eapas de peraçã, é pssível escrever as equações de esad em (8.1) cm: [ ] x A1x + BV 1 para 0, dts (8.5) x Ax + BV para 0, 1 d Ts (8.6) Além dss, é cnvenene apresenar as segunes defnções: v V + v (8.7) v V + v (8.8) d D+ d (8.9) x X + x (8.10) Send: V, V, D, X valres méds da ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene, asscads à cmpnene CC; v, v, d, x perurbações de pequena amplude aplcadas à ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene, asscadas à cmpnene CA; v, v, d, x sma das cmpnenes CC e CA asscadas à ensã de enrada, ensã de saída, razã cíclca e ver de esads, respecvamene; Cnsderand a varável de saída y cm send a ensã de saída, é pssível escrever as equações de saída dadas pr (8.) cm: [ ] v C1 x para 0, dts (8.11) v Cx para éë0, ( 1- d) Tsùû (8.1)

38 18 Capíul 8 Cm bjev de deermnar uma represenaçã méda d cmpramen das varáves envlvdas a lng de um períd de cmuaçã, sã represenadas as segunes equações asscadas às eapas de peraçã d cnversr: x Ad+ A 1 d x+ Bd+ B 1 d V 1 1 v 1 éëcd 1 + C - d ùûx (8.13) (8.14) 8. - Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na razã cíclca Quand se deseja verfcar cmpramen da ensã de saída dane de perurbações na razã cíclca, uras perurbações pdem ser desprezadas, cm é cas da cmpnene alernada asscada à ensã de enrada. Assm, a parr de (8.7), em-se: v V (8.15) Subsund as expressões (8.8) a (8.10) e (8.15) em (8.13), em-se: { } + 1 ( + )( + ) + ( + ) 1 ( + ) { B1( D d ) B 1 ( D d ) } V X x A X x D d A X x D d Em que X e x sã as dervadas de X e x, respecvamene. (8.16) Cm as cmpnenes CA apresenam pequenas ampludes, cnsdera- -se que s prdus enre duas perurbações sã nuls, s é: xd 0 (8.17) Além dss, cnsderand que a dervada de um valr cnsane é nula, é pssível escrever: X 0 (8.18)

39 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 183 Subsund (8.17) e (8.18) em (8.16), bém-se a segune expressã smplfcada: ( 1 ) ( ) x AD 1 + A D X + x + BD 1 + B 1 D V + A1 A X + B1 B V d (8.19) É pssível anda defnr s segunes erms: A AD A D (8.0) 1 1 B BD+ B - D (8.1) g, subsund (8.0) e (8.1) em (8.19), bém-se: x A X + x + BV + A1 A X + B1 B V d (8.) Para ber uma expressã apenas em erms de valres méds, deve-se cnsderar que das as perurbações sã nulas em (8.), s é, x x d 0, resuland em: AX + BV 0 (8.3) Cm A e B sã marzes, ver X é bd pr: -1 X A BV - (8.4) Cm bjev de ber apenas a cmpnene alernada, subsu-se (8.3) em (8.): x Ax + A1 A X + B1 B V d (8.5) Para ber s resulads referenes a ver de saída, deve-se subsur (8.8) a (8.10) e (8.15) em (8.14):

40 184 Capíul 8 ( ) ( ) V + v C1 D+ d + C D+ d x (8.6) Repend mesm prcedmen anerr, chega-se a: V + v C X + x + C C Xd (8.7) 1 Send que: 1 1 C CD+ C - D (8.8) As cmpnenes CC e CA asscadas a (8.7) sã dadas pr (8.9) e (8.30), respecvamene. V CX 1 (8.9) v Cx + C C Xd (8.30) A parr de (8.9), em-se: 1 X C - V (8.31) gualand (8.4) e (8.31), é pssível ber a caracerísca esáca d cnversr cm send dada pr: V V - -1 CA B (8.3) Pr fm, é pssível aplcar a ransfrmada de aplace a (8.5), resuland em: + é( - ) + ( - ) ù sxs Axs ë A1 A X B1 B V ûds (8.33)

41 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 185 Send que x(s) e d(s) sã as represenações de x e d n dmín da frequênca, respecvamene. Cm a expressã (8.33) se raa de uma represenaçã marcal, é pssível escrevê-la da segune frma: ( s A) x( s) ( A A ) X + ( B B ) V d( s) 1 1 (8.34) Send que é a marz dendade. Rearranjand (8.34), em-se: -1 ( - ) é( - ) + ( - ) ù x s s A A A X B B V d s ë 1 1 û (8.35) Analgamene, aplca-se a ransfrmada de aplace a (8.30): + ( - ) v s Cx s C C Xd s 1 (8.36) Send v (s) a represenaçã de v n dmín da frequênca. Subsund (8.35) em (8.36) e rearranjand resulad, em-se: v ( s) d s 1 C s A A A X + B B V + C C X (8.37) Assm, deve-se ressalar que para deermnar a funçã de ransferênca de um dad cnversr CC-CC, é necessár cnhecer as marzes A, B e C, bem cm ver X que cném s valres méds das varáves de esad Obençã da funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a perurbações na ensã de enrada Para deermnar cmpramen da ensã de saída cnsderand pequenas perurbações na ensã de enrada, é necessár desprezar uras perurbações, cm é cas da razã cíclca. g, a parr de (8.9) em-se:

42 186 Capíul 8 d D (8.38) Subsund as expressões (8.7), (8.8), (8.10) e (8.38) em (8.13) e cnsderand (8.18), bém-se: ( 1 ) ( 1 ) x AD X + x + A D X + x + BD V + v + B D V + v (8.39) 1 1 Cnsderand as gualdades esabelecdas em (8.0) e (8.1), é pssível escrever (8.39) da segune frma: x AX+ x + BV+ v (8.40) A fm de deermnar a cmpnene CC, deve-se adar x v 0 em (8.40), resuland em: AX + BV 0 (8.41) Assm, ver X é dad pr: -1 X A BV - (8.4) A cmpnene CA é bda subsund-se (8.41) em (8.40): x Ax + BV (8.43) Subsund (8.8), (8.10) e (8.38) em (8.14), chega-se a: V 1 + v CD 1 + C D X+ x (8.44)

43 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 187 Cnsderand a gualdade esabelecda pr (8.8) asscada a (8.44), em-se: V + v C X + x (8.45) A cmpnene CC de (8.45) é bda cnsderand v x 0, s é: V CX (8.46) Além dss, a cmpnene CA de (8.45) é dada pr: v Cx (8.47) Assm, ver X é represenad a parr de (8.46): 1 X C - V (8.48) gualand (8.4) e (8.48), em-se: V V - -1 CA B (8.49) Deve-se ressalar que resulad bd em (8.49) é exaamene dênc àquele frnecd pr (8.3). Assm, é pssível deermnar ganh esác d cnversr pr me das duas expressões em quesã. Enã, aplca-se a ransfrmada de aplace a (8.43), resuland em: sx s Ax s + Bv s (8.50) Send que v (s) é a represenaçã de v n dmín da frequênca. Analgamene a prcedmen realzad para (8.35), em-se:

44 188 Capíul 8-1 x s s - A Bv s (8.51) Aplcand a ransfrmada de aplace a (8.47), em-se: v s Cx s (8.5) Subsund (8.51) em (8.5), fnalmene bém-se a expressã que relacna a ensã de saída e a ensã de enrada: v v ( s) ( s) - 1 C é s - A Bù ë û (8.53) Nesse cas, é necessár deermnar a cmpsçã das marzes A, B e C asscadas à peraçã d cnversr CC-CC em regme permanene Mdelagem de um cnversr CC-CC buck perand em MCC Obençã d ganh esác e da funçã de ransferênca v (s)/d(s) Cm exempl de aplcaçã da écnca de mdelagem pr espaç de esads méd, cnsdere cnversr CC-CC buck msrad na Fg Nesse cas, há ds elemens parasas n crcu: as ressêncas sére d ndur e d capacr, represenadas pr R e R SE, respecvamene. Os crcus equvalenes da Fg. 8. represenam a peraçã d cnversr buck em MCC. Além dss, cnsaa-se que x 1 e x crrespndem às varáves de esad d ssema.

45 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 189 Fg. 8.1 Cnversr CC-CC buck cnsderand nã dealdades asscadas a ndur e a capacr (a) 1 a eapa [0, n ] (b) a eapa [ n, T s ] Fg. 8. Eapas de peraçã de um cnversr CC-CC buck em MCC Para ber ganh esác e a funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída frene a varações da razã cíclca d cnversr buck, é necessár cnsderar ncalmene as expressões que defnem cmpramen da ensã n ndur e da crrene n capacr na Fg v d d dv C d (8.54) C C (8.55)

46 190 Capíul 8 Cnsderand a malha exerna da Fg. 8. (a) cmpsa pr V, R, e R e adand send an-hrár para a análse, em-se: - V+ v+ R + R R 0 (8.56) A segune expressã anda pde ser bda para crcu: R - C (8.57) Subsund (8.54), (8.55) e (8.57) em (8.56), em-se: - d dvc V + ( R R) RC 0 d d (8.58) Cnsderand que as varáves de esad sã a crrene n ndur e a ensã n capacr, as segunes expressões sã bdas: x x 1 v C (8.59) (8.60) d x 1 d (8.61) dv x C d (8.6) Subsund (8.59) a (8.6) em (8.58), em-se: x R R x R C x V (8.63) A analsar a malha da Fg. 8. (a) cmpsa pr C, R e R SE, as segunes expressões sã bdas: vc + vrse vr R C (8.64) v R - (8.65)

47 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 191 v RSE R SE C (8.66) Subsund-se (8.55), (8.65), (8.66) em (8.64), bém-se: dvc æ dvc ö vc + RSEC R ç - C d è d ø (8.67) Essa expressã pde ser escra em erms das varáves de esad a parr da subsuçã de (8.59) a (8.6) em (8.67): Rx x C R R x (8.68) 1 + SE 0 Assm, as expressões (8.63) e (8.68) rnam-se: R + R RC V x 1 x1+ x + (8.69) R 1 x x1+ x (8.70) C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) Subsund-se (8.70) em (8.69), em-se: ( 0 ) RR + RR SE + RR SE R V x 1 x1+ x + R0 RSE R0 R (8.71) + + SE Cmparand a represenaçã marcal de (8.5) cm (8.70) e (8.71), a segune represenaçã pde ser bda: x éx ù 1 ê x ú ë û ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ù ê ú 0 SE 0 SE A1 ê ú ê R -1 ú ê ú êë C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) úû (8.7) (8.73)

48 19 Capíul 8 é1 ù B1 ê ú ê ú ë0 û (8.74) A análse da segunda eapa de peraçã na Fg. 8. (b) em que nerrupr encnra-se blquead é basane smples, basand cnsderar V 0. Assm, nã é necessár realzar d prcedmen anerr nvamene. Pran, a parr da expressã (8.6), chega-se à segune represenaçã marcal: ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ù ê ú 0 SE 0 SE A A1 ê ú ê R -1 ú ê ú êë C ( R + RSE ) C ( R + RSE ) úû (8.75) B 0 (8.76) A ensã de saída para nerrupr em cnduçã u blquead é: v v R R x Cx (8.77) R C 1 Subsund (8.70) em (8.77), é pssível rearranjar a expressã resulane da segune frma: RR R v x + x R R R R SE 1 + SE + SE (8.78) Cmparand (8.78) cm as represenações marcas de (8.11) e (8.1), bém-se: C é RR R SE 1 C ê ú R + RSE R + RSE ë ù û (8.79)

49 Mdelagem de pequens snas de cnversres CC-CC 193 Assm, as marzes A, B e C sã bdas a parr da subsuçã de (8.73) e (8.75) em (8.0); (8.74) e (8.76) em (8.1); bem cm (8.79) em (8.8), respecvamene: A ( RR RR SE RR 0 SE ) -R ( R + R ) ( R + R ) é- + + ê ê 0 SE 0 SE A1 ê R -1 ú ê êë C R R C R R é1 ù B BD 1 ê úd ê ú ë0 û C é RR SE C1 ê ú R + RSE R + RSE ë ( + ) ( + ) SE SE R ù û ù ú ú ú úû (8.80) (8.81) (8.8) Subsund (8.80) a (8.8) em (8.3), é pssível represenar ganh esác d cnversr buck em MCC: V DR V R + R (8.83) A cnrár d que crre n cnversr deal, an a ressênca de carga quan a ressênca sére afeam ganh esác na práca. N enan, a nfluênca de R pde ser pracamene desprezada, end em vsa que valr dessa ressênca nrmalmene é pequen. Cnsderand R 0 em (8.83), ganh esác passa a depender uncamene da razã cíclca. Os elemens d ver X n cnversr buck sã dads pr: X é ù ê V ú C ë û (8.84) Além dss, êm-se: V R DV R (8.85) VC V DV (8.86)

50 194 Capíul 8 g, é pssível escrever a segune expressã: X édv ù ê R ú ê ú êëdv úû (8.87) Subsund (8.73), (8.74), (8.75), (8.76), (8.79), (8.80), (8.8) e (8.87) em (8.37), chega-se fnalmene a: v ( s) ( SE ) + é ( + SE ) s R R C V ërv R R ùû éë ( + SE ) ùû+ ( + SE ) éë ( SE + ) + ùû + éë( R + RSE )( R + RSE + R ) ù (8.88) û d s s RC R R s R R RC R R Obençã da funçã de ransferênca v (s)/v (s) Para deermnar a funçã de ransferênca que relacna a ensã de saída dane de perurbações na ensã de enrada, é precs realzar mesm prcedmen anerr, que cmpreende a bençã das expressões (8.54) a (8.8). Essa demnsraçã nã será represenada pr quesões de smplcdade. Assm, é pssível deduzr essa funçã de ransferênca subsund (8.80) a (8.8) em (8.53), que resula em: ( s) DR [ srse + 1] v v s s ëéc R + R ûù+ s C ëér R + R + R R ùû+ + R + R { } SE SE SE (8.89)