ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa intermédia nº 9 1. Considere os números complexos z = + i, w = 1 i e t = i. 1.1. Represente na forma algébrica: 1.1.1. z w; 1.1.. z t ; 1.1.. t ( z+ w) ; 1.1.4. w z ; t 1.1.. w. 1.. Represente na forma trigonométrica: 1..1. t ; 1... w ;. Seja z um número de argumento. Qual poderá ser um argumento do simétrico de z? (A) (B) + (C) (D) +. Seja z um número de argumento 9. Qual poderá ser um argumento de z, conjugado de z? (A) (B) (C) 4 (D) 6 4. Considere a função f de domínio [ 0, ] definida por f ( x) sen x sen( x) métodos exclusivamente analíticos, 4.1. Calcule + x 0 ( ) f x lim x 4.. Calcule os zeros de f. 4.. Estude f quanto à monotonia e indique o seu contradomínio. =, Utilizando Nº da questão 1.1.1 1.1. 1.1. 1.1.4 1.1. 1..1 1.. 4.1 4. 4. Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 Professora: Rosa Canelas 1 008-009
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ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa intermédia nº 9 Proposta de resolução 1. Consideremos os números complexos z = + i, w = 1 i e t = i. 1.1. Representemos na forma algébrica: 1.1.1. z w = ( + i) ( 1 i) = + i 1+ i= 4+ i; 1.1.. ( ) ( ) z t = + i i = 9 1i 4 + = 7 1i ; 1.1.. t ( z+ w) = ( i) ( + i+ 1 i) = ( i) ( + i) = i = i; 1.1.4. ( 1 i)( i) ( )( ) w 1 i i+ i 1 = = = = + i ; z + i + i i 9 + 4 1 1 1.1.. t i i i = = = =. w 1 i 1 i 1 i ( ) ( ) 1.. Representemos na forma trigonométrica: 1..1. t = i= cis, porque se trata de um número imaginário puro de coeficiente positivo que tem como afixo o ponto de coordenadas ( 0, ) ; 1... w = 1 i= cis 4, porque z = 1 + ( 1) = e como 1 cos θ= = e 1 sen θ= = concluímos ser θ 4ºQ e por isso da forma θ= ; 4. (B) Sendo z um número de argumento um argumento do simétrico de z é +, por dois números simétricos terem os seus afixos simétricos em relação à origem do Plano de Argand.. (A) Sendo z um número de argumento 9, um argumento de z, conjugado de z é, pois 9 = = e os afixos de dois números complexos conjugados são simétricos em relação ao eixo das abcissas. 4. Consideremos a função f de domínio [ 0, ] definida por f( x) senx sen( x) métodos exclusivamente analíticos, =, Utilizando Professora: Rosa Canelas 008-009
4.1. Calculemos ( ) ( ) senx ( ) f x sen x sen x sen x lim = lim = lim lim = x x x x + + + + x 0 x 0 x 0 x 0 ( ) senx sen x lim lim = 1 1= 0 + + x 0 x x 0 x 4.. Calculemos os zeros de f: f ( x) = 0 sen x sen( x) = 0 sen x sen x cos x = 0 sen x ( 1 cos x) = 0 sen x = 0 cos x = 1 x = 0 x = x = 4.. Estudemos f quanto à monotonia e indiquemos o seu contradomínio: Calculemos a função derivada f f ( x) = cosx cos( x) Calculemos os zeros da derivada f ( x) = 0 cos x cos( x) = 0 cos x = cos( x) x = x + k x = x + k,k k x = k x = k,k x = k x =,k No domínio [ 0, ] os zeros são 4 x = 0 x = x = x = Vamos construir uma tabela de sinal da derivada e de monotonia da função 4 x 0 f 0 + 0-0 + 0 f 0 M m 0 f( 0) = sen( 0) sen( 0) = 0 4 f sen sen = = = 4 4 8 f sen sen = = = f ( ) = sen( ) sen( 4 ) = 0 f é crescente em 0, e em 4, e é decrescente em 4, f tem um máximo quando x = e um mínimo máximo e mínimo relativo respectivamente em x = e em x = 0 quando 4 x =. Também 0 é O contradomínio de f é,. Professora: Rosa Canelas 4 008-009
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II 1. 1.1. 1.1.1. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO TAREFA DE AVALIAÇÃO INTERMÉDIA Nº 9 60 Pontos 4 Pontos Pontos z w = ( + i) ( 1 i) Pontos 1.1.. Subtracção z w = + i 1+ i = 4 + i pontos ( ) ( ) z t = + i i Pontos Quadrado ( + i) = 9 1i 4 Pontos Quadrado ( i) = Pontos Subtracção z t = 9 1i 4+ = 7 1i pontos 1.1.. t ( z+ w) = ( i) ( + i) = i = i Soma Produto 1.1.4. ( 1 i)( i) ( )( ) w 1 i i+ i 1 = = = = + i z + i + i i 9 + 4 1 1 Pontos Pontos Pontos Pontos Produto pelo conjugado Pontos Completar a divisão Pontos 1.1.. t i i i = = = = w 1 i 1 i 1 i ( ) ( ) Quadrado Divisão 1.. 1..1. t = i= cis Módulo Argumento 1... w = 1 i= cis 4 Módulo Argumento. (B). (A) 4. Pontos 4 Pontos 4 Pontos 1 Pontos Pontos Pontos Pontos Pontos Pontos Pontos Pontos 0 Pontos Professora: Rosa Canelas 008-009
( ) ( ) senx ( ) f x sen x sen x sen x 4.1. lim = lim = lim lim + + + + x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x = 0 Pontos Separar limites 4 Pontos Aplicar limite notável 4 Pontos 4.. f ( x) = 0 sen x sen x cos x = 0 x = 0 x = x = Definição de zero Pontos Fórmula de duplicação Pontos Resolução equação Pontos 4.. = Pontos f ( x) cosx cos( x) 4 No domínio [ 0, ] os zeros de f são x = 0 x = x = x = Pontos Apresentação da tabela de sinal e variação Pontos O contradomínio de f é,. Pontos Professora: Rosa Canelas 6 008-009