Aula 5 Aula passada Valor esperado codicioal Espaço amostral cotíuo, fução desidade Limitates para probabilidade Desigualdades de Markov, Chebyshev, Cheroff with high probability Aula de hoje Limitate da uião Método do primeiro mometo Lei dos grades úmeros (fraca e forte) Erro e cofiaça
Perguta da Aula Passada Calcular valor exato para cauda é bem mais difícil que calcular limitate superior N~Bi(10000,0.002) =200 10000 P[ N 500]= i=500 Número muito grade! Problema: multiplicar úmero grade por pequeo! Por Cheroff, temos P[ X (1+1.5)μ] ( ( 10000 i )( 2 ) i ( 1000 1 2 ) 10000 i 1000 e 1.5 (1+1.5) 1+1.5 )20 Número muito pequeo! Número de bom tamaho, que já é a probabilidade!
Limitate da Uião O muito famoso Uio Boud muito usado a computação e matemática muito útil para lidar com muitos evetos que ão ecessariamete são mutuamete exclusivos ou idepedetes Sejam A e B dois evetos em um espaço amostral Temos que P[ A B]=P[ A+B ]=P [ A ]+P [B ] P [ A B ] <= P[ A ] + P[ B ] Se A e B são mutuamete exclusivos, temos igualdade (pois iterseção é vazia)
Limitate da Uião Seja A i uma sequêcia de evetos de um espaço amostral, com i = 1,, Temos que P[. i A i ]=P[ i A ] i i P[ A i ] Se A i forem ideticamete distribuídos (mesma probab) P[. i A i ]=P[ i A i ] i Caso cotrário, aida temos P[. i A i ]=P[ i A i ] i P[ A i ]= P [ A 1 ] P[ A i ] max i P[ A i ]
Exemplo Jogar um dado hoesto três vezes. Qual a probabilidade de sair 6 ao meos uma vez? Seja X i o resultado da i-ésima rodada P[ X 1 =6 X 2 =6 X 3 =6] P [ X 1 =6]+ P[ X 2 =6]+P[ X 3 =6] =.=3( 1 6 )= 1 2 Qual é a probabilidade exata? Complemeto de ão sair 6 em ehuma rodada! 1 P [ X 1 6 X 2 6 X 3 6] 1 P [ X 1 6] P [ X 2 6 ] P[ X 3 6 ] (por idepedêcia) = 1 ( 5 6 ) 3=0.42 Limitate deu um bom resultado!
Exemplo 2 Jogar um dado hoesto 10 vezes. Qual a probabilidade de sair 6 ao meos uma vez? Seja X i o resultado da i-ésima rodada 10 P[. i {X i =6 }]=P [ i=1 {X i =6 }] 10( 1 6 )= 5 3 Nada útil!!! Limitate da uião demada parcelas com probabilidade pequea e/ou pequeo úmero de parcelas! caso cotrário, resultado ão é útil
Bolas e Uras Cosidere k bolas jogadas aleatoriamete sobre uras, para k >= 1 Qual a prob de termos ao meos uma ura vazia (p 0 )? X i : v.a. idicadora que ura i está vazia P[ X i ]=(1 1 ) k prob. ura i vazia Limitate da uião p 0 = P[. i {X i }]=P[ i=1 Exemplos =10, k=3 p 0 = 0.42 {X i }] (1 1 ) k =100, k=2 p 0 = 13.4 (ada útil)
Método do Primeiro Mometo Seja A i uma sequêcia de evetos sobre o respectivo espaço amostral Muitas vezes queremos eteder se e quado a probabilidade de um eveto vai a zero lim i Podemos usar valor esperado da v.a. correspodete, E[X i ], quado X i assume valores ão egativos Se P[ A i ]=0 lim i E[ X i ]=0 etão lim i Prova: desigualdade de Markov! P[X > k] <= E[X] / k P[ A i ]=0 Abordagem cohecida por método do primeiro mometo
Bolas e Uras Cosidere k bolas jogadas aleatoriamete sobre uras, para k >= 1 Qual valor de k (em fução de ) para que a prob de termos ao meos uma ura vazia (p 0 ) seja zero? X i : v.a. idicadora que ura i está vazia Y = i=1 X i Determiar quado E[Y] vai a zero codição suficiete pelo método do primeiro mometo E [Y ]=E [ i X i ]= Se k = (log ) etão E[Y] 0 Y = úmero de uras vazias i E [ X i ]=(1 1/) k Logo, se o úmero de bolas > log, ão teremos ehuma ura vazia (com certeza, coforme cresce)!
Lei dos Grades Números Todos devem cohecer, ao meos ituitivamete! Motivação: Jogar um dado hoesto com seis faces vezes X i : resultado da i-ésima jogada N 1 () : úmero de vezes que o resultado é 1 F 1 () : fração de vezes que o resultado é 1 N 1 ()= i=1 I ( X i =1) Quato vale F 1 (10) =? F 1 ()= N 1() F 1 (100) =? F 1 (1000) =?
Lei dos Grades Números F 1 () coverge para P[X i = 1] quado oo Frequêcia relativa do resultado de experimeto aleatório coverge para sua probabilidade! Coexão da teoria com a prática! Resultado fudametal em probabilidade e estatística Atribui sigificado físico a um coceito abstrato probabilidade existe! úmeros aleatórios quado muitos, covergem (lei dos muitos úmeros)
Lei dos Grades Números Seja X i uma sequêcia de v.a. iid, tal que = E[ Xi ], 2 = Var[ X i ] X =M = 1 i=1 X i chamada de média amostral M é uma v.a. Qual seu valor esperado, variâcia? E [M ]= 1 E[ i=1 Var[ M ]= 1 Var[ 2 i=1 X i ]= 1 i=1 X i ]= 1 2 i=1 E [ X i ]= 1 μ=μ Var[ X i ]= 1 2 σ 2 = σ 2
Lei Fraca dos Grades Núm. M possui mesmo valor esperado que X i e variâcia que vai a zero com E [M ]=μ Var[ M ]= σ2 Lei fraca dos grades úmeros se fiito, para qualquer > 0, temos lim P [ M μ <ϵ]=1 Chamado de covergêcia em probabilidade Probabilidade de M estar de distâcia da média vai a 1, para qualquer positivo (ex.
Lei Fraca dos Grades Núm. Quem poderá os ajudar a provar este resultado (assumido 2 é fiito)? Para qualquer > 0, lim P [ M μ <ϵ]=1 E [M ]=μ Var[ M ]= σ2 Lembrado desigualdade de Chebyshev P[ M μ M k σ M ] 1 k 2 Aplicado, temos k σ M =ϵ k= ϵ σ
Lei Fraca dos Grades Núm. Usado a complemetar P[ M μ <ϵ]=1 P[ M μ >ϵ] Usado Chebyshev P[ M μ k σ M ] 1 k 2 = σ 2 ϵ 2 Substituido acima, temos P[ M μ <ϵ]=1 P[ M μ >ϵ] 1 σ 2 Cujo limite vai a 1 com ifiito ϵ 2
Lei Forte dos Grades Núm. M possui mesmo valor esperado que X i e variâcia que vai a zero com E [M ]=μ Var[ M ]= σ2 Para fiito, temos P[lim M =μ]=1 Chamado de covergêcia quase certamete (almost surely) Resultado bem mais forte (ão temos ) M de fato coverge para sua média!
Exemplo Moeda hoesta, fração de caras E [M ]= 1 2 Var[ M ]= 1 4 Coforme aumeta, M fica mais cetrada!
Calculado Erro e Cofiaça Podemos usar Chebyshev para calcular precisão e cofiaça a lei dos grade úmeros Seja precisão, cofiaça P[ M [μ ϵ,μ+ϵ]]>β Dado precisão, cofiaça (além de e 2 ), podemos calcular valor de para atigir esta meta Temos a seguite relação 1 σ2 ϵ 2 =β Cofiaça: relação liear com Precisão: relação quadrática com Implicações importates!
Exemplo Supoha uma moeda eviesada, com probabilidade de cara sedo 45% Você quer testar se moeda é eviesada. Quatas vezes laçar a moeda? Supor = 0.01 e = 0.95 Temos = 0.45, 2 = 0.45*0.55 P[ M [0.44, 0.46 ]]>1 (0.45 0.55) (0.01) 2 = 0.95 Logo, = 49500