Curso: Engenharia de Produção PPNL. Min (Max) f(x)

PPNL Min (Max) f(x) Cuo: Engenhaia de Podução. a. g i (x) (,, ) b i, i 1,,m onde x (x 1,,x n ) T é o veto n-dimenional da vaiávei de decião; f (x) é a função objetivo; g i (x) ão a funçõe de etição e o b i ão contante conhecida. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Conjunto Convexo Cuo: Engenhaia de Podução Definição: Um conjunto S R n é convexo e cada ponto, no egmento de linha conectando doi ponto quaique x, y em S, etá também em S. Fomalmente: z x (1 - λ)y S paa todo λ tal que 0 λ 1. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Exemplo Cuo: Engenhaia de Podução x x y x y y Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Otimização e Conjunto Convexo Seja S { x R n : g i (x) b i, i 1,,m } Se g i (x) é uma função convexa paa cada i 1,, m, então S é um conjunto convexo. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Teoema da Pogamação Convexa: Seja x R n e eja f (x) uma função convexa definida obe um um conjunto convexo S. Se exite uma olução finita paa o poblema Min (Max) { f (x): x S } Então todo o ótimo local é global. Se f(x) é etitamente convexa então a olução ótima é única. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Pogamação Convexa Cuo: Engenhaia de Podução Min (Max) f (x 1,,x n ). a g i (x 1,,x n ) b i paa i 1,,m e x 1 0,, x n 0 é um poblema convexo e f é convexa (côncava) e cada g i é convexa (côncava). Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Exemplo Cuo: Engenhaia de Podução Max f (x) z (x ) (y ) Sujeito a 3x y 6 x y 3 x y 7 x 3y 4 x 5 4 3 1 1 3 4 5 x 1 Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Poblema Não Convexo Cuo: Engenhaia de Podução Min f (x) -14x -0,9y. a 3x 13/x 0,8y 1,7 x y 30 x 7 x, y 0 Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Condiçõe de Otimalidade de Pimeia Odem Min (Max) {f (x): g i (x) bi, i 1,,m } Lagangiano: L(x, λ) f(x) Condiçõe de Otimalidade λ i g Etationaidade: L(x, λ) f(x) λ i g i (x) 0 Complementaidade: λ i g i (x) 0, i 1,,m Viabilidade: g i (x) bi, i 1,,m ( (x) b) Não negatividade: λ i 0, i 1,,m m i 1 i i m i 1 Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Impotância do Poblema Convexo Softwae de otimização comeciai não podem gaanti que a olução é globalmente ótima e o poblema não é convexo. O algoitmo de PNL tentam enconta um ponto onde o gadiente da função Lagangiana é zeo um ponto etacionáio e exita uma folga completmenta. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Dado L(x, µ) f(x) µ(g(x) b) Queemo L(x, µ) f(x) µ g(x) 0 λ(g(x) b) 0 g(x) b 0, λ 0 Paa um poblema convexo, toda a olução local é um ótimo global. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Exemplo: pacote potal Cuo: Engenhaia de Podução Um pacote potal é uma caixa de dimenõe x, y, z, que deve atende a eguinte etição paa pode e enviado via coeio. A altua e mai o peímeto da bae não pode excede 108 cm. O objetivo é obte um pacote com o maio volume poível cuja dimenõe atendam a epecificaçõe do coeio. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Solução via Lagangiano Cuo: Engenhaia de Podução Max V(x, y, z) xyz. a. x y z 108 x 0, y 0 e z 0 Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução L(x, y, z, λ) xyz λ(x y z 108) Deivando e igualando a zeo a deivada paciai em elação a cada vaiável incluive λ. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução L x L y yz xz λ λ L z L λ xy λ x y z 108 Igualando ea expeõe a zeo, tem-e: Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução yz λ 0 λ yz xz λ 0 λ xz xy λ 0 λ xy x y z 108 0 x y z 108 Aim, concluí-e que: z y e z x. Logo x y. Subtituindo ee eultado na quata equação, tem-e: Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução x y z 108 x x x 108 6x 108 x18. Logo y 18 e z 36. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Exemplo: pojeto de um cilindo Cuo: Engenhaia de Podução Queemo contui um ecipiente na foma de um cilindo fechado em cima e em baixo que tenha o máximo de volume e que a áea da upefície não eja upeio a unidade. Max V(, h) h. a. h 0, h 0 h Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica Cuo: Engenhaia de Podução Ea é uma olução global ótima? Solução via Cálculo 6 6 6 6 6 1/ 1/ 3 / 1/ 1/ 3 h h V h 0 d dv. h V Volume h

Tete de Convexidade Cuo: Engenhaia de Podução V() d d V() 3. 6 0 dv() d 3 paa todo 0. d d V() 6 Aim V( ) é côncava em R 3 e a olução é um máximo global. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Reolução pelo Lagangiano Cuo: Engenhaia de Podução Dado o poblema: Max V(, h) h. a. h O Lagangiano eá: L(, h) h λ( h ). Deivando ea expeão em elação a, h e λ, tem-e: Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução L L h L λ h 4λ λh λ h Igualando ea expeõe a zeo, tem-e: h 4λ λh λ 0 h 0 0 Manipulando a egunda equação: ( λ λ 0 λ) 0 Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Cuo: Engenhaia de Podução Subtituindo ee eulltado na pimeia equação, egue que: h 4λ λh 0 (h 4λ λh) 0 h 4λ h λh 0 0 h h h 0 Subtituindo agoa na teceia equação, vem: Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica Cuo: Engenhaia de Podução Como h, egue que: 6 1/ 6 6 4 h 0 h 6 1/ h

Solução pelo Solve Cuo: Engenhaia de Podução h 1,30,61 3 Max 13,90 Sinal LD R 3 3 Paa utiliza o Solve o valo de deve e fixado. Nee cao: 3. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Execício: áea de decano Cuo: Engenhaia de Podução O depatamento de Etada e Rodagen planeja contui uma áea de decano paa o motoita ao longo de uma longa autoetada. Ela deve e etangula, com uma áea de 5000 meto quadado, e deveá e cecada no tê lado nãoadjacente à etada. Qual é a meno quantidade de ceca que eá neceáia paa completa o tabalho? Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Modelagem Cuo: Engenhaia de Podução Max Min x y. a. xy 5000 x 0, y 0 Reolve po cálculo e via Lagangiano. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica

Refeência Cuo: Engenhaia de Podução BERTSEKAS, Dimiti P. Nonlinea Pogamming. Belmont (MA): Athena Scientific, 1995. WINSTON, Wayne L. Opeation Reeach: Application and Algoithm. 3 ed. Belmont (CA): Duxbuy Pe, 1994. Pof. Loí Viali, D. PUCRS FAMAT: Depatamento de Etatítica