SMA I Semáro Bralero de gehara de Áudo, 9 a de Juho,, Belo Horzote MG GRAÇÃO D RUÍDO ROSA A PARTIR D RUÍDO BRANCO Sde Nocet Flho e Adré L. Dalcatagê LINS: Crcuto e Proceameto de Sa Departameto de gehara létrca, UFSC Campu Uvertáro, 8849 Floraópol SC Bral Tel: (xx48) 954, Fax: (xx48) 99 de@le.ufc.br adre@le.ufc.br Reumo Nete trabalho é motrado como obter ruído roa a partr de ruído braco. A razão de e obter ruído roa dea forma e deve ao fato do memo er ecotrado a atureza juto com outro ruído como ruído de exceo e, tpcamete, e apreetar dtrbuído o epectro de freqüêca de forma dferete da deal. O ruído roa tem aplcaçõe em ítee de o da atureza e a medçõe de tema eletroacútco. Abtract Th paper troduce a method of geeratg pk oe from whte oe. The ma purpoe of obtag pk oe by th way, that th type of oe foud ature alog wth other oe ort a exce oe. Moreover, uch a oe preet a power pectral dety whch dfferet from the deal dtrbuto. Pk oe ha applcato everal doma, uch a ythee of ature oud, electroacoutc meauremet, amog other ue. I. INTRODUÇÃO O ruído ão quaquer a que têm a capacdade de reduzr a telgbldade de uma formação de om, magem ou dado. No etato, o ruído têm eu lado útl. Devdo à ua rqueza epectral, algu tpo de ruído ervem de fote para a ítee da fala, de o da atureza e de o de trumeto muca. m adção, ão úte para a calbração de equpameto eletrôco, como a de tete, e a medda da caracterítca de tema de áudo eletroacútco. m medçõe de tema eletroacútco, trê tpo de a têm do uado: ) a uoda (uualmete 6 freqüêca por otava); ) ruído braco (quado e utlza bada de largura cotate); ) ruído roa (quado e utlza bada relacoada por um fator cotate como, por exemplo, / de otava ou / de década). A vatagem da utlzação de ruído roa ao vé de a uoda ou ruído braco erá jutfcada a Seção II dete trabalho. Um ruído roa deal apreeta uma Dedade pectral de Potêca (DP) (eta gradeza erá defda a Seção II) proporcoal a / f, ou eja, a potêca do ruído tem uma varação veramete proporcoal à freqüêca. te tpo de ruído também é chamado de ruído de exceo, por etar preete em dpotvo eletrôco juto com outro tpo de ruído. Além do, A DP do ruído de exceo ecotrado a atureza tpcamete apreetam uma caracterítca proporcoal a / f a e tem do obervado que o expoete a aume valore de,8 a, em váro dpotvo []. Por ea razão, é uual gerar um ruído roa com DP proporcoal a / f, a partr de um ruído braco. É poível ecotrar a lteratura propota de rede equalzadora aalógca [] que pobltam a geração de ruído roa a partr de ruído braco utlzado fuçõe de traferêca com gulardade (pólo e zero) rea. Porém, a precão obtda pode ão er ufcete para alguma aplcaçõe. Nete trabalho, prmeramete e motra a clação obtda a magtude da repota em freqüêca em fução da relação etre a freqüêca do pólo e zero quado a ordem é ufcetemete alta de tal forma que a deformaçõe próxma do prmero pólo e do últmo zero ão deprezíve a regão de medda da clação. Nete cao, a ordem do tema ão é preetabelecda. O outro reultado apreetado ete trabalho ão baeado em técca de otmzação. Coderado a faxa de áudo, determoue a melhor poção para o pólo e zero em fução da ordem do tema. É também apreetada a forma de projetar do tpo de rede, que permtem obter ruído roa quae deal a partr de um ruído braco. A prmera da rede é eecalmete atva, e tem do apreetada a lteratura pertete []. A eguda rede, propota ete trabalho, pode er pava, dede que ão eja eceára uma amplfcação. te trabalho etá orgazado da egute forma: a Seção II, apreetae alguma defçõe báca que pobltam um melhor etedmeto dete trabalho; a Seção III, motrae uma da poíve forma de e obter ruído roa a partr de ruído braco; a Seção IV, etudae a clação da repota em freqüêca da rede equalzadora, em fução da relação etre o eu pólo e zero, quado a ordem é lvre; a Seção V; é motrada a melhor poção da gulardade da fução equalzadora em fução da ordem, para a faxa de aúdo; a Seção VI, é motrado como projetar a rede equalzadora para geração de ruído roa a partr de ruído braco; a Seção VII, ão apreetada a cocluõe. II. DFÇÕS BÁSICAS A. Dedade pectral de Potêca A fução DP ( Sx ( w ) ou Sx ( f ) ) de um al xt ( ) defe a dedade de potêca por udade de bada em fução da freqüêca (potêca méda por udade de bada) do memo. A ua udade é Watt por radao por egudo ( W/rad/ ) ou Watt por Hertz ( W/Hz ). A ua tegral em uma determada bada o forece a potêca méda do al [].
Ma por que defr ma eta gradeza Sx ( w )? Como e abe, a traformada de Fourer de um al é uma mportatíma ferrameta matemátca que o auxla a terpretar fcamete a e tema, am como aalar e tetzar tema. Sabemo que e um tema etável, lear e varate (amplfcador, fltro ou tema eletroacútco) com uma repota em freqüêca H ( w ) é exctado com um al xt ( ), com traformada de Fourer X ( w ), ua aída apreeta um al rt ( ), com traformada de Fourer R( w ) dada por: R( w ) = H( w) X( w ) () Porém, em todo o a têm traformada de Fourer. A extêca dea traformada etá codcoada a uma repreetação do al por uma fução matemátca. Como algu a ão pouem tal repreetação (a maora do ruído, por exemplo), utlzae a fução DP como uma forma de caracterzálo. Se um al com DP Sx ( w ) é aplcado a um tema etável, lear e varate, com repota em freqüêca H ( w ), a DP do al de aída do tema, Sr ( w ), é dada por: S ( w ) = H( w) S ( w ) (.a) ou r x S ( f) = H( f) S ( f) (.b) r A fução Dedade pectral de Potêca Sx ( f) também é comumete exprea a udade A/Hz e V /Hz. Ou eja, também é defda como potêca méda por udade de bada, em um retor de W. Io e deve ao fato de que algu ruído e apreetam a atureza ob a forma de correte ou teõe. Como, para um retor de W, o valore efcaze de teão e de correte ão a raz quadrada potva da potêca méda, o ruído também ão apreetado a forma de valor rm de correte ou valor rm de teão por raz de Hertz, a udade A/ Hz e V/ Hz, repectvamete. B. Ruído Braco O ruído braco é, por defção, aquele que tem a ua potêca dtrbuída uformemete o epectro de freqüêca, ou eja, Sw( f) = Nw, que é uma cotate. O ome ruído braco advém da aaloga com o epectro eletromagétco a faxa de luz. A luz braca cotém toda a freqüêca do epectro vível, daí o ome adotado. C. Ruído Roa O ruído roa é, por defção, aquele cuja DP é proporcoal ao vero da freqüêca, a forma Sp( f) = Np / f. O ome ruído roa vem também de uma aaloga com o epectro lumoo. A luz vermelha pou a ma baxa freqüêca do epectro vível e o ruído roa tem ma eerga a baxa freqüêca. Detre todo o ruído, o ruído roa é o que ma tem relação com o o da atureza. Se coveetemete x equalzado, pode er uado para gerar o de chuva, cachoera, veto, ro caudaloo e outro o atura. A fução DP em uma bada B = f f o forece a potêca méda da fução. tão, para a DP S ( f) = N / f, a tegral o forece uma potêca méda p p P p do ruído dada por: f df f Pp = Npò = Np l. () f f f Vamo determar agora qual é a potêca méda do ruído roa em uma bada que é veze a bada aterormete coderada ( B = B = f f): f f P = N l = N l = P. (4) p p p p f f te reultado dca que a potêca méda do ruído roa é cotate e a medda ão feta em bada que e relacoam por um fator cotate. Io também acotece com o ruído braco e a medda ão feta com largura de bada cotate. Coderemo o cao de medda a faxa de áudo, prmeramete com medda em / de otava e com freqüêca aumetado com fator cotate (ou com um percetual fxo % = ( ) % ). Chamado a freqüêca cal da prmera bada de uma otava qualquer de f, a freqüêca cal da eguda bada erá f. A freqüêca cal da tercera bada erá f e a freqüêca fal erá f. Como a freqüêca fal de uma otava é, teme que: f f = f \ = =, 58954 @,6 (5) Coderado, por mplcdade de cálculo, que a bada total de áudo teme f = Hz e f = khz, teríamo cerca de otava e portato um total de bada de freqüêca. A orma ISO Iteratoal Stadard Orgazato etabelece freqüêca em toro de 5Hz e 5 khz para f e f, repectvamete. Logo, o úmero uual de bada de freqüêca é maor do que. Coderemo agora medda em / de década e com freqüêca aumetado com fator cotate '. Chamado a freqüêca cal da prmera bada de uma década qualquer de f, a freqüêca cal da eguda bada erá ' f. De forma aáloga ao deevolvmeto feto aterormete, teme que: ( ') f f = \ ' = =,5994 @,6 (6) Logo, o aumeto percetual ao e atuar em ecala de / de década, é aproxmadamete gual à atuação em ecala de / de otava. Se pearmo em bada de largura cotate com o tuto de utlzar o ruído braco como al de etrada para
a medda e tomado como bae a largura da prmera bada B =, 6 Hz Hz = 5, Hz, teríamo um úmero aproxmado de (. ) 5, =.84 bada! No fal da bada, o acrécmo eram de aproxmadamete (5,.) % =,6 %. Se tomáemo valore de bada cotate, fxado em o eu úmero máxmo, a bada teram a largura de aproxmadamete (. ) = 666 Hz. A varação percetual o íco da bada era de (666 ) % =. %! III. DTRMINAÇÃO D RUÍDO ROSA A PARTIR D UM RUÍDO BRANCO Para f ddátco, vamo vetgar calmete o que acotece quado paamo um ruído braco atravé de um fltro paabaxa de a ordem, coforme é lutrado a Fgura. Ruído braco V I (w) R C V O (w) (w) H V O (w) = V I (w) Fgura Aplcação do ruído braco em um fltro paabaxa de a ordem. Pode er motrado que a magtude da repota em freqüêca ao quadrado é: H ( w ) = (7) ( w RC) Se a faxa de freqüêca de teree for forçada a codção ( w RC)?, teme: /( RC) H ( w ) @ = ( wrc) w Logo, obtéme a aída do fltro um ruído do tpo / f uma vez que a Dedade pectral do ruído braco é S ( w ) = N. w w /( RC) NB SO( w ) = Sw( w). H( w ) = Nw = (9) w w O fltro paabaxa de a ordem apreeta uma clação de 6 /otava quado ( w RC)? e com ele e obtém ruído / f. Sedo am, para e obter um ruído roa com Dedade pectral / f a partr de um ruído braco era eceáro um fltro tal que H ( w ) @ / w ou H ( w ) @ / w, que apreetara uma clação de /otava. a fução ão é fcamete realzável a ua forma exata, porém é poível obter uma boa aproxmação em uma determada faxa de freqüêca. Uma da forma poíve para a obteção de uma repota em freqüêca cuja magtude apreete uma clação de /otava, é projetar um fltro com pólo e zero rea alterado, com fução de traferêca dada por: (8) Hf ( z)( z) ( z ) H() = ( p )( p ) ( p ) () ode é a ordem do tema; z,, z ão o zero em rad/, p,, p ão o pólo em rad/; H f é o valor da fução de traferêca quado. O gaho a orgem dea fução de traferêca é: Hf zz z H () = pp p () Fxado e a freqüêca lmte da bada deejada, exte uma poção ótma para o pólo e zero de H( ) de modo que a clação de H( w ) e aproxma ao máxmo de /otava. Quato maor a quatdade de pólo e zero, H( w ) erá ma próxma da fução deal. IV. DTRMINAÇÃO DA RLAÇÃO ÓTIMA NTR AS SINGULARIDADS RAIS Nete etudo, da melhor relação etre o pólo e zero ( k ) e a clação ( I ), fo feto com um úmero relatvamete grade de gulardade ( gulardade ou = ), para melhorar a precão do reultado. O pólo p fo fxado e a dema gulardade foram calculada da egute forma: z = k p, p = k p, z = k p e am por date até e chegar em z, ou eja: p k p = ; : = () z k p = ; : = () Quado o zero e o pólo etão muto próxmo, k pequeo, o efeto do pólo e zero tede a e cacelar. No lmte, para k = todo o pólo e zero e aulam e am H( w ) = Hf, o que quer dzer que teríamo uma clação gual a zero. Se k for muto grade, a gulardade etão dtate uma da outra, e com o pratcamete ão há fluêca de uma obre a outra. Am, a clação de H( w ) tede a de um fltro de prmera ordem, 6 /otava, apó um pólo e para clação ula apó um zero. Portato exte um valor ótmo para k, para o qual H( w ) pou a clação ma próxma da deejada. O parâmetro k fo varado etre e 5 e a clação baeada em H( f) H( f). Fo arbtrada a relação f = f (uma otava) com freqüêca cetral calculada como a méda geométrca do prmero pólo p e o últmo zero z. Deta forma, teme que: f p z p f f (4) = = Como f = f, podee faclmete motrar que: f = f (5)
Pode er determado a partr da tabela geradora da Fgura (b) que a melhor relação k é aproxmadamete,56 (para o valor deejado de I @, /otava ). I (/o).5.5.5.5 4 4.5.5.5.5 4 4.5 5 (a).98 I (/o).99. k ( / ) ( ) k = z p (8) Portato, é eceáro ecotrar (va método umérco) o parâmetro a, de modo que H( f ) eja o ma próxmo poível da fução deal / f, detro da faxa de teree. Coderoue um vetor de freqüêca dcreta f = [ f, f,, f N ], ode N é o úmero de poto utlzado, detro da faxa de áudo. A etratéga utlzada fo mmzar o erro médo quadrátco, dado por: erro( a) = éc / f H ( f, a) ù N = N å ë û (9) O método umérco utlzado fo o Sequetal Quadratc Programmg [4], que é um método de programação ãolear. O gaho da fução H( f ) a orgem é varável com a, porque a fução a orgem H () é depedete da poção da gulardade, como motra a equação (). Por mplcdade e em perda de geeraldade, adotoue H () = ( ). A cada ova teração, o gaho o fto H era ovamete calculado como: f H f = pp zz p z ().. Feto o, ajutae a fução / c, dado pela egute equação: f atravé de um gaho.4..4.5.6.7.8.9 (b) k Fgura Iclação I em fução de k : (a) Iclação I a faxa k 5; (b) Detalhe de I a faxa, k. V. DTRMINAÇÃO DA MLHOR POSIÇÃO DAS SINGULARIDADS COM FIXAÇÃO DA BANDA DA ORDM Quado e deeja H( w ) com clação de /otava detro de uma determada faxa de freqüêca (o cao a faxa de áudo, de Hz), devee ecolher uma ordem e pocoar a gulardade de modo a mmzar o erro médo quadrátco. Nee cao, ão é coveete fxar a freqüêca do pólo p. Seu valor erá obtdo atravé de otmzação. Para pocoar a gulardade, fo adotada a egute etratéga: z p = p / a (6) = p a (7) A dema gulardade ão calculada atravé da equaçõe e, podedo er motrado que: c = f H( f ) () ode f = Hz. O cálculo da poção da gulardade fo feto para 8 e o reultado etão a Tabela I. Além de p, z e k, é também motrado o valor de H( f ) em Hz. Podee perceber pelo reultado apreetado a Tabela I que à medda que a ordem aumeta, o erro dmu, o que é eperado, e k dmu, o que já hava do cotatado a Seção IV. TABLA I Reultado do programa de otmzação para vára orde p (rad/) z(krad/) k H( f = ) erro 6,54 48,65 5,9,95648,77x 76,8 89,6,47777,8979,747x 6 4 97,786 6,488,88,6656 8,878x 7 5 47,998 8,999,668,476,66x 7 6,5 47,9,885,468,4784z 8 7,6497 4,75,7,4848 5,7554x 9 8 7,95 879,646,548,4695,74x 9 A Fgura apreeta a magtude da repota em freqüêca para a vára orde, detro da faxa de áudo, jutamete com a curva correpodete à fução / c f.
(a) (f) f (Hz) 4 4 f (Hz) 4 (b) (c) (d) 4 (e) 4 f (Hz) 4 f (Hz) 4 f (Hz) 4 f (Hz) 4 (g) 4 f (Hz) 4 Fgura Repota em freqüêca para vára orde: (a) =; (b) =; (c) =4; (d) =5; (e) =6; (f) =7; (g) =8. VI. RDS QUALIZADORAS A Fgura 4 motra dua realzaçõe poíve para obteção da fuçõe de traferêca propota a Seção V. R V( jw) I (ruído braco) C C R V( jw) R C R C C R C R R R A R B (a) R I R I (ruído braco) (b) Fgura 4 Rede equalzadora. V ( jw ) O (ruído roa) (ruído roa) V ( jw ) O A fução de traferêca da rede (a) e (b) é dada pela equação (), com H() = ( RA RB) / RA para a rede (a) e H() = R / RI para a rede (b). / R H() = H() () / R Y ( ) å ode: Y () = () R / RC O valore do compoete da dua rede, que ão gua, foram obtdo atravé de otmzação e etão apreetado a Tabela II (ecalado para R = W). =
Como exemplo de aplcação, fo projetada uma rede de ordem 5 (pava em o etágo de gaho ou atva com R = RI ). Com o tuto de dmur o devo a fuçõe de traferêca, a mpedâca foram ecalada de tal forma que alguma capactâca cocdem com o valore da ére comercal [5], já que o grau de lberdade para a ecolha da retêca (ére 96 [5]) é maor. A capactâca de C fo arbtrada em 47 F, gerado um fator 9 de ecalameto gual a, 45 47 = 54, 4. O dema capactore ão dvddo e o retore multplcado por ee fator. O valore reultate ão: R = 6, kw R = 8,87 kw R =, 4 kw R 4 =,8 kw R 5 = 4 W R =,9 kw, C = (7 7) F, C = (, ) F, C = 47 F, C 4 = 8 F, C 5 = (4,7 4,7) F. Se for eceáro um gaho, ee deve er calculado em fução da ampltude do ruído braco de etrada e do ível de ruído roa deejado. O capactore devem, preferecalmete, er meddo com precão de % e apreetar baxa perda de polarzação do delétrco (delétrco de polpropleo ou mca). A Fgura 5 apreeta a magtude da repota em freqüêca da rede da Fgura 4 (a). Note que etre Hz e khz a clação da curva é pratcamete de /otava. VII. CONCLUSÕS Nete trabalho, fo apreetado um etudo obre a geração de ruído roa a partr de ruído braco, utlzado equalzadore aalógco compoto por pólo e zero rea alterado. Fo motrado que exte uma relação ótma etre o pólo e zero, coderado a ordem do tema lvre. m adção, foram apreetado projeto otmzado de rede 5 4 45 4 5 6 f (Hz) Fgura 5 Magtude da repota em freqüêca da rede de ordem 5. pava e atva ormalzada de vára orde, para utlzação de ruído roa em medçõe de tema eletroacútco. É motrado um exemplo prátco de projeto de um equalzador de ordem 5, com valore de compoete comerca de retore (ére 96) e capactore (ére ). TABLA II Valore do compoete para vára orde RFRÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] C. D. Motchebacher ad J. A. Coelly, LowNoe lectroc Sytem Deg, Joh Wley & So, 99. [] Audo Hadbook, Natoal Semcoductor Corporato. [] llot Soud Product, Pk Noe Geerator for Audo Tetg, Dpoível em <http://oud.wethot.com/project.htm> Aceo em: ov.. [4] T. Colema; M. A. Brach ad A. Grace, Optmzato Toolbox, 999, CDROM. [5] S. Nocet Flho, Fltro Seletore de Sa, Floraópol: dtora da UFSC, 998. AGRADCIMNTOS O autore agradecem a Roalfoo Borto, M.Sc., pela frutífera dcuõe. 8 7 6 5 4 R,58,48,84 8,577x 7,85x 5,865x,779x C,769x,87x,55x 9,8x 4,847x,998x,89x R 6,45x 5,865x 4,465x,9x,445x,44x 4,76x C 9,985x 5,895x 5,457x,7649x,8x 6,88x 4,854x 4 R,9x,698x,665x,7x 7,846x,x C 5,89x,866x,x,454x 6,5649x 4,466x R4,468x,654x 6,9x,886x,59x C4,457x,679x 9,8975x 4 5,576x 4,78x 4 R5 7,4x 5,9x,779x,576x C5,9x 6,56x 4 4,484x 4,879x 4 R6,46x,68x 8,9x C6 5,97x 4,997x 4,59x 4 R7,5559x 8,495x C7,87x 4,998x 4 R8 5,99x C8,7x 4