UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT003 10 a Lista de exercícios 1 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas A função det : M F F é uma transformação linear b O determinante de uma matriz de é uma função linear de cada linha da matriz quando a outra linha é mantida fixa c Se A M F e deta = 0, então A é invertível d Se u e v são vetores em R começando a partir da origem então a área do paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes é u det v e Um sistema de coordenadas mão direita se e somente se sua orientação é igual a 1 Calcule os determinantes das seguintes matrizes em M R 6 3 4 b 5 6 1 c 8 0 3 1 3 Calcule os determinantes das seguintes matrizes em M C 1 + i 1 4i 3 + i 3i 5 i 6 + 4i b 3 + i 7i c i 3 4 6i 4 Para cada um dos seguintes pares de vectores u e v em R, calcule a área do paralelogramo determinado por u e v u = 3, e v =, 5 b u = 1, 3 e v = 3, 1 c u = 4, 1 e v = 6, d u = 3, 4 e v =, 6 5 Prove que se B é a matriz obtida trocando as linhas de uma matriz A então detb = deta 6 Prove que se as colunas de A M F são idênticas então deta = 0 7 Prove que deta t = deta para qualquer A M F 8 Prove que se A M F é uma matriz superior então deta é igual ao produto das entradas da diagonal de A 9 Prove que detab = deta detb para quaisquer A, B M F 10 A adjunta clássica de uma matriz A M F é a matriz A A C = 1 A 1 A 11 Prove que CA = AC = [deta]i b detc = deta c A adjunta clássica de A t é C t d Se A é invertível então A 1 = [deta] 1 C 1
11 Seja δ : M F F uma função com as seguintes propriedades i δ é uma função linear em cada linhas da matriz quando a outra linha é mantida fixada ii Se duas linhas de A M F são idênticas então δa = 0 iii Se I é a matriz identidade então δi = 1 Prove que δa = deta para todo A M F 1 Seja {u, v} um base ordenada para R Prove que u O = 1 v se e somente se {u, v} formam um sistema de coordenadas mão direita 13 Seja A M F e A = O Prove que existe um escalar c tal que detci A = c 14 Seja D : M R R uma função tal que DAB = DA DB para quaisquer A, B M R Suponha também que 0 1 1 0 D D 1 0 0 1 DO = 0 b DA = 0 se A = O c DB = DA se B é obtido trocando linhas ou colunas de A d DA = 0 se uma linha ou coluna de A é 0 e DA = 0 sempre que A é não invertível 15 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas A função det : M n n F F é uma transformação linear b O determinante de uma matriz quadrada é calculada por expansão cofator ao longo de qualquer linha c Se duas linhas de uma matriz quadrada A são idênticas, então deta = 0 d Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por intercambio de duas linhas quaisquer, então detb = deta e Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por multiplicação de uma linha de A por um escalar, então detb = deta f Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por adição de k vezes i-ésima linha com a j-ésima linha, então detb = k deta g Se A M n n F tem posto n, então deta = 0 h O determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas da sua diagonal 16 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; 3a 1 3a 3a 3 det 3b 1 3b 3b 3 = k det 3c 1 3c 3c 3 a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 17 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; a 1 a a 3 det 3b 1 + 5c 1 3b + 5c 3b 3 + 5c 3 = k det a 1 a a 3 b 1 b b 3 7c 1 7c 7c 3 c 1 c c 3 18 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; det b 1 + c 1 b + c b 3 + c 3 a 1 + c 1 a + c a 3 + c 3 = k det a 1 a a 3 b 1 b b 3 a 1 + b 1 a + b a 3 + b 3 c 1 c c 3
19 Em cada item, calcule o determinante da matriz dada por expansão cofator ao longo da linha indicada 0 1 1 0 3 3 0 ao longo da primeira linha b 1 0 0 1 5 1 3 0 ao longo da primeira linha c 0 1 1 0 3 3 0 ao longo da segunda linha d 1 0 0 1 5 1 3 0 ao longo da terceira linha e 0 1 + i i 0 1 i 3 4i 0 ao longo da terceira linha f i + i 0 1 3 i 0 1 1 i ao longo da segunda linha g 0 1 3 1 0 3 1 0 1 1 1 0 ao longo da quarta linha h 1 1 1 3 4 1 1 5 3 8 6 4 1 ao longo da quarta linha 0 Em cada item, calcule o determinante da matriz dada por qualquer método legítimo 0 0 1 0 3 4 5 6 b 3 4 5 6 0 7 0 0 c 1 3 4 5 6 7 8 9 d 1 3 4 8 1 5 e 0 1 1 1 5 6 4 3 f 1 3 1 5 3 1 g i 1 3 1 + i i 1 4 i h 1 + i 3 1 i i 1 3i 1 + i i 1 0 3 3 1 1 0 4 1 1 3 0 1 j 1 3 1 5 1 14 19 9 0 31 4 9 14 15 1 Prove que o determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas da sua diagonal Prove o corolário do Teorema 3 feito em aula 19/06 3 Prove que detka = k n deta para qualquer A M n n F 4 Seja A M n n F Sob que condições det A = deta? 5 Prove que se A M n n F tem duas colunas idênticas, então deta = 0 6 Calcule dete i se E i é uma matriz elementar do tipo i 7 Prove que se E é matriz elementar, então dete t = dete 8 Sejam a 1, a,, a n linhas de A M n n F e sejam a n, a n 1,, a 1 linhas da matriz B Calcule detb em termos do deta 9 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas Se E é uma matriz elementar, então dete = ±1 b Para quaisquer A, B M n n F, detab = deta detb c Uma matriz M M n n F é invertível se e somente se detm = 0 d Uma matriz M M n n F tem posto n se e somente se detm 0 e Para qualquer matriz A M n n F, deta t = deta 3
f O determinante de uma matriz quadrada é calculada por expansão cofator ao longo de qualquer coluna g Todo sistema de n-equações lineares com n-incógnitas pode ser resolvido pela Regra de Cramer h Seja Ax = b um sistema de n-equações lineares com n-incógnitas, onde x = x 1, x,, x n t Se deta 0 e se M k é uma matriz n n obtida de A por substituição da k-ésima linha de A por b t então a única solução de Ax = b é x k = detm k, para k = 1,,, n deta 30 Em cada item, use a Regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares { a11 x 1 + a 1 x = b 1 a 1 x 1 + a x = b onde a 11 a a 1 a 1 0 x 1 + x 3x 3 = 5 b x 1 x + x 3 = 10 3x 1 + 4x x 3 = 0 x 1 + x 3x 3 = 1 c x 1 x + x 3 = 0 3x 1 + 4x x 3 = 5 x 1 x + 4x 3 = 4 d 8x 1 + 3x + x 3 = 8 x 1 x + x 3 = 0 x 1 x + 4x 3 = e 8x 1 + 3x + x 3 = 0 x 1 x + x 3 = 6 3x 1 + x + x 3 = 4 f x 1 x = 1 x 1 + x + x 3 = 8 31 Use o Teorema 8 para provar um resultado análogo ao Teorema 3 feito em aula /06, mas para colunas 3 Prove que uma matriz n n triangular superior é invertível se e somente se todas as suas entradas diagonais são diferentes de zero 33 Uma matriz M M n n C é chamado nilpotente se, para algum k inteiro positivo, M k = O, onde O é matriz n n nula Prove que se M é nilpotente, então detm = 0 34 Uma matriz M M n n C é chamada anti-simétrica se M t = M Prove que se M é antisimétrica e n é impar, então M é não invertível O que acontece se n é par? 35 Uma matriz Q M n n R é chamada ortogonal se QQ t = I Prove que se Q é ortogonal, então detq = ±1 36 Para M M n n C, seja M a matriz tal que M ij = M ij para todos i, j, onde M ij é o complexo conjugado de M ij Prove que detm = detm b Uma matriz Q M n n C é chamada unitária se QQ = I, onde Q = Q t Prove que se Q é uma matriz unitária então detq = 1 37 Seja β = {u 1, u,, u n } é um subconjunto de F n contendo n-vetores distintos, e seja B uma matriz em M n n F tendo u j como j ésima coluna Prove que β é uma base para K n se e somente detb 0 38 Prove que se A, B M n n F são similares, então deta = detb 39 Use determinantes para provar que se A, B M n n F são tal que AB = I, então A é invertível e dali B = A 1 40 Seja A, B M n n F tal que AB = BA Prove que se n é impar e F é um corpo de característica diferente de dois, então A ou B é não invertível 41 Complete a prova do Teorema 7 mostrando que se A é uma matriz elementar do tipo ou tipo 3 então detab = deta detb 4 Uma matriz A M n n F é chamada triangular inferior se A ij = 0 para 1 i < j n Suponhamos que A é uma matriz triangular inferior Descreva deta em termos das entradas de A 4
43 Suponha que M M n n F pode-se escrever na forma A B M =, O I onde A é uma matriz quadrada Prove que detm = deta 44 Prove que se M M n n F pode-se escrever na forma A B M =, O C onde A e C são matrizes quadradas, então detm = deta detc 45 Seja T : P n F F n+1 é uma transformação linear definido no Exercício 1 da Lista 6 definida por T f = fc 0, fc 1,, fc n, onde c 0, c 1,, c n são escalares distintos no corpo infinito F Seja β a base ordenada canônica para P n F e seja β a base ordenada canônica para F n+1 Mostre que M = [T ] γ β tem a forma 1 c 0 c 0 c n 0 1 c 1 c 1 c n 1 1 c n c n c n n Uma matriz desta forma é chamada matriz de Vandermonde b Use o Exercício da Lista 6 para provar que detm 0 c Prove que detm = 0 i<j n c j c i, o produto de todos os termos da forma c j c i para 0 i < j n 46 Seja A M n n F não nula Para qualquer m 1 m n, uma submatriz m m é obtida eliminando qualquer n m-ésima linha e qualquer n m-ésima coluna de A Seja k 1 k n denota o maior número inteiro de tal modo que alguma submatriz k k não tem determinante não nulo Prove que postoa = k b Reciprocamente, suponha que postoa = k Provar que existe uma submatriz k k com determinante não nulo 47 Seja A M n n F tem a forma A = 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 0 1 0 0 a 0 0 0 1 a n 1 Calcule deta + ti, onde I é a matriz identidade n n 48 Seja c jk o cofator da j-ésima linha e k-ésima coluna da entrada de A M n n F Prove que se B é uma matriz obtida de A por substituição da k-ésima coluna por e j, então detb = c jk 5
b Prove que para 1 j n, temos A c j1 c j c jn = deta e j c Deduzir que se C é uma matriz n n tal que C ij = c ij então AC = [deta]i d Prove que se deta 0 então A 1 = [deta] 1 C Definição: A clássica adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz transposta cuja ij-entrada é o ij-cofator de A 49 Encontre a clássica adjunta de cada uma das seguintes matrizes A11 A 1 A 1 A b 4 0 0 0 4 0 0 0 4 c 4 0 0 0 0 0 0 5 d 3 6 7 0 4 8 0 0 5 e 1 i 0 0 4 3i 0 i 1 + 4i 1 f 7 1 4 6 3 0 3 5 g 1 5 8 0 3 4 6 1 h 3 + i 0 1 + i 0 i 0 1 3 i 50 Seja C a clássica adjunta de A M n n F Prove as seguintes afirmações detc = [deta] n 1 b C t é a clássica adjunta de A t c Se A é uma matriz invertível triangular superior, então C e A 1 triangulares superiores são ambas matrizes 51 Sejam y 1, y,, y n são funções linearmente independentes em C Para cada y C, definimos T y C por [T y]t = det yt y 1 t y t y n t y t y 1t y t y nt y n t y n 1 t y n t y n n t O seguinte determinante é chamado Wronskiano de y, y 1,, y n Prove que T : C C é uma transformação linear b Prove que NuT contem S{y 1, y,, y n } 5 Seja V um espaço vetorial das matrizes n n sobre o corpo F Seja B um elemento fixo de V e seja T B um operador linear em V definido por T B A = AB BA Mostre que dett B = 0 Foz do Iguaçu, 0 de junho de 018 Víctor Arturo Martínez León 6