MÉTODO DINÂMICO PARA DETEÇÃO DO PEBS E SHADOWING METHOD PARA CÁLCULO DO PONTO DE EQUILÍBRIO DE CONTROLE EM ESTUDOS DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA

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1 Ivo Sech Nazareo MÉTODO DINÂMICO PARA DETEÇÃO DO PEBS E SHADOWING METHOD PARA CÁLCULO DO PONTO DE EQUILÍBRIO DE CONTROLE EM ESTUDOS DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA Dssertação apresetada à Escola de Egehara de São Carlos da Uversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obteção do Título de Mestre em Egehara Elétrca. ORIENTADOR: Prof. Dr. Newto Geraldo Bretas São Carlos 2003

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3 A mha mãe, Aparecda, pela dedcação de sua vda à mha educação.

4 v Agradecmetos Ao Professor Doutor Newto Geraldo Bretas, pela oretação e esametos; Ao Professor Doutor Luís Ferado Costa Alberto, pela oretação e esametos; Aos amgos do Laboratóro de Aálses Computacoas, pelo compahersmo e esametos; Ao meu pa, Egehero Julo Bosco Nazareo, pelas dscussões e esametos; À mha esposa Slmara e ao meu flho Carlos Eduardo; À mha rmã e colega de mestrado, Jula Sech Nazareo; Aos docetes, fucoáros e colegas do departameto de Egehara Elétrca; À Uversdade de São Paulo, pela estrutura; À Fudação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo - FAPESP, pela bolsa de estudo cocedda;

5 v "E aqueles que por obras valerosas Se vão da le da Morte lbertado, Catado espalhare por toda parte, Se a tato me ajudar o egeho e arte." Cato Ι, 2 de Os Lusíadas, Luís de Camões

6 v Resumo NAZARENO, I. S. (2003). Método dâmco para deteção do PEBS e "Shadowg Method" para cálculo do poto de equlíbro de cotrole em estudos de establdade trastóra. Dssertação (Mestrado) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, No estudo de establdade trastóra, as ão leardades eretes aos sstemas aladas a grade dmesão do problema, cotrbuem para que as aálses dos sstemas de potêca sejam muto complexas. O estudo clássco de establdade trastóra utlza soluções umércas teratvas de um cojuto de equações dferecas assocadas à dâmca do sstema, vsado a obteção do tempo crítco de abertura. Porém, este ão é o processo mas adequado à aplcações em tempo real devdo ao esforço computacoal exgdo em tas terações umércas. Os métodos dretos são adequados para aálses em tempo real, já que obtêm as formações ecessáras sem a solução explícta de equações dferecas. Detre os métodos dretos exstetes, as déas de Lyapuov assocadas ao prcípo de varâca de LaSalle destacam-se por serem métodos eergétcos e dretos adequados ao estudo de establdade em sstemas ão leares. Baseados em tas déas, dversos métodos de estmatva da regão de establdade foram propostos. Detre estes, o BCU tem sdo aceto como o mas efcete para a determação do tempo crítco de abertura. Apesar do BCU ser bastate efcete, exstem casos de falha do mesmo. Este trabalho vsa elmar dos problemas relacoados ao BCU: o prmero problema advém do fato de que em sempre o máxmo de eerga potecal ocorre as vzhaças do PEBS. O segudo problema está assocado aos casos em que a trajetóra do sstema gradete reduzdo ão passa as vzhaças do poto de equlíbro de cotrole. Para solucoar estes dos problemas utlza-se um método dâmco para a deteção do ext pot e o Shadowg Method para cálculo do poto de equlíbro de cotrole. Testes com os dos algortmos mostram que eles ecotram soluções para casos de falha do PEBS e BCU, porém problemas de deteção dos potos de teresse ada persstem. Algus métodos alteratvos, baseados os algortmos ctados são propostos, bem como aspectos de melhora de covergêca dos mesmos. Palavras-chave: establdade trastóra; métodos dretos; tempo real;

7 v Abstract NAZARENO, I. S. (2003). A dyamc method to PEBS detecto ad the Shadowg Method to calculate the cotrollg ustable equlbrum pot traset stablty studes. M. Sc. Dssertato - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, 2003 I traset stablty assessmet, the oleartes of the systems ad the dmeso of the problem cotrbute to the complexty of the aalyss power systems. The classcal umercal soluto to obta the crtcal clearg tme (cct) has bee used, but t s tme-cosumg ad ot adequate for real-tme applcatos. The drect methods have the adequacy for real-tme aalyss because they get the ecessary formato for stablty wthout the explct soluto of the set of dfferetal equatos assocated to the system dyamcs. Amog the exstg methods of power system traset stablty aalyss, Lyapuov deas assocated to LaSalle s varace prcple are very mportat. Ispred by these deas, methods to estmate the stablty rego have bee obtaed. Oe of them s the BCU, that has bee accepted as the most effcet method the determato of the crtcal cct. Despte BCU s effcecy, t fals may cases. The ma objectve of ths research s to solve two problems assocated to the BCU: the frst problem s the fact that ot always the maxmum of potetal eergy occurs the eghborhood of PEBS. The secod problem s the fact that may cases the trajectory of the reduced gradet system does ot pass the eghborhood of the cotrollg ustable equlbrum pot. For the soluto of these problems t wll be used a dyamc method for the ext pot detecto ad the Shadowg Method to calculate the the cotrollg ustable equlbrum pot. Tests have show that the aforemetoed robust algorthms fd the solutos for may cases for whch BCU ad PEBS method fals, but may cases of fal persst. Some alteratve methods, based the metoed algorthms are proposed, ad so, aspects to mprove ts covergecy. Key-words: traset stablty; drect methods; real tme;

8 v Lsta de Fguras 2. Método de Newto Trasformação de Park Uma máqua lgada a um sstema elétrco Crcuto equvalete a fgura 2.3 com gerador represetado pelo modelo clássco Dscretzação da Potêca acelerate e da velocdade o tempo para o método passo-a-passo Sstema multmáquas Uma Máqua versus Barrameto Ifto através de uma Lha de Trasmssão Dupla - Sstema OMIBS pré-falta Sstema OMIBS falta Sstema OMIBS pós-falta Curva P-δ para o sstema OMIBS Coceto de Establdade Curva P-δ, Crtéro das Áreas Iguas Represetação Geométrca dos Cojutos a Prova do Teorema de Lyapuov Curva de Nível de uma Fução de Lyapuov Área de Atração do Poto de Equlíbro Estável do Sstema Pós-falta Aproxmação Local da Frotera de Establdade Esboço de uma baca eergétca Gráfco da Eerga Potecal x Âgulo Frotera da Área de Atração do Sstema de 3 Barras Sstema de 3 Barras Curva Equpotecal do Sstema de 3 Barras para Curto Trfásco Sóldo a Lha -2 Próxmo a Barra 2 e "Ext Pot" Calculado pelo Método PEBS Eerga Potecal com Potos x e x 2 como Máxmos Locas... 69

9 x 4.2 x e x 2 como Poto de Equlíbro a Frotera de Establdade do Sstema Pós-falta Ilustração do Algortmo BCU Curva Equpotecal do Sstema de 3 Barras para Curto Trfásco Sóldo a Lha -2 Próxmo a Barra 2 e Poto de equlíbro de Cotrole Calculado pelo Método PEBS Cruzameto ão Ortogoal da Trajetóra em Falta com o PEBS Superfíce Irregular do PEBS Falha da Deteção do "Ext Pot" pelo algortmo PEBS PEBS dâmco Problemas Assocados a Deteção do p.e.. de Cotrole Sstema de Duas Máquas versus Barrameto Ifto Retrato de Fase do Sstema de Duas Máquas versus Barrameto Ifto Falha da Deteção do p.e.. de cotrole pelo algortmo BCU "Shadowg Method" Cclos do "Shadowg Method" Atuação do algortmo PEBS dâmco a deteção do "ext pot" correto Atuação do algortmo PEBS dâmco assocado ao "Shadowg Method" a deteção do "ext pot" e do p.e.. de cotrole corretos "Shadowg Method" a deteção do p.e.. de cotrole correto Sstema de 4 barras do IEEE º cojuto- Gráfcos de establdade para tcr de 20[ms] º cojuto- Gráfcos de establdade para tcr de 22[ms] º cojuto- Gráfcos de establdade de º "swg" Sstema New Eglad Falha do algortmo PEBS dâmco Esboço do ovo Algortmo PEBS dâmco proposto Esboço do algortmo "Shadowg Method" modfcado... 6 aexo b. Esquemas de elmação por coluas (a) e por lhas (b)... 29

10 x Lsta de Tabelas 6. tcr s e eergas para sstema de 3 geradores do caso base tcr s para sstema de 3 geradores com mpedâca de falta tcr s para sstema de 3 geradores do com mpedâca de falta tcr s e eergas para sstema de 3 geradores com geração de 270 MW em G tcr s e eergas para sstema de 4 barras do caso base tcr s e eergas para caso base do sstema New Eglad Comparação do úmero de falhas do algortmo "shadowg method" em relação ao BCU para os casos aalsados... 4

11 x Lsta de Abrevaturas e Sglas BCU - Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot COA - Ceter of Agle COI - Ceter of Ierta FEM - Força Eletromotrz IEEE - Isttute of Eletrcal ad Eletrocs Egeers OMIBS - Oe Mache Ifte Bus System - Uma Máqua versus Barrameto Ifto OMR - Oe Mache Referece - Uma máqua como Referêca p.e. - poto de equlíbro p.e.e. - poto de equlíbro estável p.e.. - poto de equlíbro stável PEBS - Potecal Eergy Boudary Surface tca - tempo crítco de abertura tcr - tempo crítco de abertura

12 x Lsta de Símbolos ( ) A x s - frotera de establdade do p.e.e. x s α - âgulo de defasagem etre a referêca fxa e a referêca grate o tempo gual a zero δ cr - âgulo crítco de abertura δ m () t - âgulo do rotor da máqua δ - âgulo mecâco formado etre o rotor e a referêca grate δ ew - âgulo ecotrado após passo fxo a dreção do gradete φ ( x p,t) - solução do sstema com codção cal x p θ - âgulo do rotor da máqua referecado ao COA θ km - dfereça dos âgulos de carga da barra k para a barra m ω m - velocdade agular elétrca ω s ~ ω - referêca grate à velocdade sícroa - velocdade agular referecada ao COA A ( x s ) - área de atração ou regão de establdade do p.e.e. x s A ( x s ) - fecho da área de atração do p.e.e. x s B km - susceptâca da lha k - m D E f 0 - costate de amortecmeto - Força Eletromotrz da máqua - freqüêca da rede elétrca G km - codutâca da lha k - m H h - costate de tempo - úmero de passos de tegração do PEBS dâmco

13 x I & j J M M m M T p P a - correte elétrca etre e j - mometo de érca do cojuto rotor-turba do gerador - costate de érca - mometo de érca mecâco - mometo de érca total do sstema - úmero de pares de pólos - potêca acelerate P COA - desbalaço de potêca total do sstema; P e P e P eu P k P L P m - potêca elétrca - potêca elétrca da máqua - potêca elétrca em valores por udade - Potêca Atva jetada a barra k em pu - potêca atva da carga da barra - potêca mecâca P mu - potêca mecâca em valores por udade Q k Q L R(θ) S B t T e T m T r V V V V k V m V p - Potêca Reatva jetada a barra k em pu - potêca reatva da carga da barra - cojuto dos potos formados do p.e.e. até o poto θ, o shadowg - potêca aparete de base - tempo - torque elétrco - torque mecâco - torque resultate da dfereça dos torques mecâco e elétrco - Fução de Lyapuov - tesão a barra fta - tesão da barra - Eerga Cétca do sstema - tesão da barra m em pu - Eerga Potecal do sstema

14 xv ( x ) s W - fecho da varedade estável do p.e.. x ( x ) s W - varedade estável do p.e.. x ( x ) W u - varedade stável do p.e.. x X d - reatâca trastóra de exo dreto pf X eq - reatâca equvalete do sstema reduzdo pós-falta prf X eq - reatâca equvalete do sstema reduzdo pré-falta f X eq - reatâca equvalete do sstema reduzdo falta X j - reatâca etre e j; x p - codção cal o state da abertura Y Y 2 Y 3 Y 4 - a matrz admtâca das barras dos geradores coectadas etre s - a matrz admtâca das barras dos geradores coectadas as barras de cargas - a matrz admtâca das barras dos geradores coectadas às barras das cargas - a matrz admtâca das barras de carga coectadas etre s Y bus - matrz admtâca odal Y ~ bus - matrz admtâca odal e ó de FEM s Y j - elemeto j da matrz Y ~ red Y ~ red - matrz Y ~ bus reduzda

15 xv Sumáro RESUMO v ABSTRACT v INTRODUÇÃO. Establdade Trastóra em Sstemas de Potêca....2 Objetvos de estudo e Orgazação do Trabalho ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA E MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO ASSOCIADO AO ESTUDO DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA 5 2. Objetvos dos estudos de establdade em Sstemas elétrcos Modelagem do Problema Dâmco para o Estudo de Establdade Trastóra Modelo Estátco Pré-Establdade Modelagem Clássca de Máquas Sícroas para o Estudo de Establdade ESTABILIDADE TRANSITÓRIA EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 7 3. Dvsão do Problema o Tempo Solução Numérca pelo método passo-a-passo Sstema Multmáquas Sstema OMIBS Scrosmo frete a Establdade - Um problema de referecal Uma Máqua como Referêca... 33

16 xv 3.7 Cetro de Âgulo como Referêca ESTABILIDADE TRANSITÓRIA POR MÉTODOS DIRETOS Crtéro das Áreas Iguas Teora dos Sstemas Dâmcos Autôomos O Método de Lyapuov para Sstemas Autôomos Defção da Área de Atração Aplcação dos Métodos Dretos e sua Fução Eerga à Sstemas de Potêca Evolução dos Métodos Dretos Método PEBS Sstema Gradete Assocado ao Modelo Clássco - Fudametação Teórca do PEBS Método BCU ("Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot") ESTADO DA ARTE: PROBLEMAS E SOLUÇÕES DO PEBS E BCU Problemas Assocados a Deteção do "Ext Pot" PEBS dâmco Problemas Assocados a Deteção do Poto de equlíbro Istável de Cotrole Shadowg Method RESULTADOS OBTIDOS Sstema de 3 Barras com 3 Geradores Sstema de 4 Barras com 5 máquas (bus4 do IEEE) Sstema New Eglad - 39 barras (0 geradores) Cosderações fas dos testes realzados RESULTADOS OBTIDOS 0 7. Dscussão dos resultados obtdos pelo algortmo PEBS dâmco Propostas para melhora do algortmo PEBS dâmco Dscussão dos resultados obtdos pelo algortmo "Shadowg Method" Proposta para melhora do algortmo "Shadowg Method"... 5

17 xv 8 CONCLUSÕES 7 BIBLIOGRAFIA 9 APÊNDICES 24 Apêdce A 24 A. Método de Itegração Numérca de Euler Smples A.2 Método de Itegração Numérca de Ruge-Kutta Apêdce B 27 B. Elmação de Gauss Apêdce C 30 C. Carga de Arquvo com Dados do Sstema de 4 Barras do IEEE C.2 Carga de Arquvo com Dados do Sstema de 39 Barras - New Eglad... 32

18 Capítulo INTRODUÇÃO. Establdade Trastóra em Sstemas de Potêca A aálse de establdade trastóra é um dos mas complexos e atraetes problemas em sstema elétrcos de potêca. As ão leardades eretes aos sstemas aladas à grade dmesão do problema toram o comportameto dos sstemas de potêca muto complexos. Para compreeder melhor estes sstemas, cocetos matemátcos moderos da teora de sstemas dâmcos têm sdo utlzados. O estudo de establdade em sstemas de potêca traduz-se matematcamete o estudo da establdade de um cojuto de equações dferecas ão leares e autôomo. Como este cojuto ão possu solução aalítca, a abordagem clássca utlza-se de úmeras soluções umércas teratvas para a obteção do tempo crítco de abertura. Obvamete este processo ão é adequado a aplcações em tempo real. Métodos dretos são adequados para aálses de establdade trastóra em tempo real, uma vez que formações a respeto da establdade podem ser obtdas sem a ecessdade da solução explícta das equações dferecas. Detre os métodos dretos exstetes, os resultados de Lyapuov assocados ao prcípo de varâca de LaSalle, têm se destacado por serem métodos eergétcos e dretos adequados ao estudo de establdade de sstemas ão leares. Dos resultados de Lyapuov orgaram-se uma grade quatdade de métodos para efetuar a estmatva da regão de establdade dos sstemas de potêca. O coceto de poto de equlíbro stável de cotrole fo cocebdo e uma grade varedade de metodologas para calculá-lo fo desevolvda.

19 2 Etre estas metodologas, o método BCU ( Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot ) tem sdo aceto pela comudade cetífca como sedo o método mas efcete para a determação do tempo crítco de abertura. Sua efcêca é coseqüêca de um embasameto teórco sóldo que permtu defr precsamete o poto de equlíbro stável de cotrole. Maores detalhes a respeto deste método podem ser ecotrados em Chag et al. (994), em Alberto (997), ode uma aálse detalhada deste método fo realzada ou em Bretas e Alberto (2000). Embora o BCU seja um método bastate efcete, exste uma grade quatdade de casos em que o BCU falha. Uma das causas de falha do BCU é aalsada detalhadamete o artgo de Llamas et al. (995). Estes mostram algus exemplos em que o BCU predz establdade mas o sstema perde o scrosmo em swgs subseqüetes ao prmero. Llamas et al. assocam o problema à ão satsfação da codção de trasversaldade que é exgda para o desevolvmeto teórco do BCU, e ão é testada a mplemetação computacoal deste. Em verdade, todos os métodos que utlzam o coceto de poto de equlíbro de cotrole aalsam a establdade do sstema apeas para o prmero swg. Se os amortecmetos ão forem sufcetemete grades, o sstema poderá possur eerga para torar-se stável os swgs subseqüetes. Em outras palavras, o poto de equlíbro de cotrole é determado relatvamete ao modo de stabldade exstete o sstema durate a falta. Após a elmação do defeto, outros modos de stabldade podem surgr devdo a eerga acumulada pelo sstema durate a falta. Um outro problema ecotrado o algortmo BCU está assocado a um problema umérco relacoado a deteção do PEBS ("Potetal Eergy Boudary Surface") ou do ext pot. Quado o ext pot ou poto de saída ão é ecotrado corretamete, o algortmo BCU falha a determação do poto de equlíbro de cotrole correto levado a estmatvas da área de atração corretas ou mesmo a resultados ão coclusvos. Este problema umérco fo observado em dversas stuações. Uma delas ocorre quado há máquas fortemete acopladas, ou seja, coeretes. Uma outra stuação bastate comum em que o BCU falha ocorre quado a resstêca de falta ão é ula.

20 3.2 Objetvos de Estudo e Orgazação do Trabalho O escopo deste trabalho se resume a aplcação dos algortmos propostos por Scruggs e Ml (200) e Tree et al. (996) para a deteção correta do "ext pot" e do poto de equlíbro stável de cotrole a as coclusões sobre a robustez e aplcabldade destes métodos em tempo real. Scruggs e Ml (200) propuseram um método dâmco para verfcar quado a trajetóra em falta cruza o PEBS. Para esta verfcação, utlza-se um sstema gradete assocado. Smula-se o sstema gradete a partr do state cal da falta, verfcado para cada passo, se o poto resultate está ou ão detro de uma área de atração do sstema pós-falta. Procura-se, etão, o "ext pot" até o state que o processo de verfcação forma que tal poto é stável. A robustez do método resde o fato de que o processo de verfcação proposto basea-se a própra defção do que é o PEBS, e é rápdo o sufcete para ão prejudcar o método dreto. Tree et al. (996) propuseram o "shadowg method" para sobrepujar falhas a deteção do poto de equlíbro de cotrole quado do uso do algortmo BCU. Explorado o formato e o fluxo as vzhaças da varedade estável do poto de equlíbro stável de cotrole, esta técca cosegue covergr efcetemete para tal poto de cotrole em stuações ode o algortmo BCU falha. Vsado tal objetvo, o trabalho fo elaborado com a segute orgazação: No capítulo 2 estuda-se a modelagem de sstemas de potêca para o estudo de establdade trastóra. Deduz-se a equação de swg como sedo a equação dferecal represetate da dâmca das máquas sícroas do sstema. O modelo clássco de máquas sícroas é apresetado e a modelagem de um sstema de potêca para estudos estátcos (fluxo de carga) também é apresetada resumdamete. No capítulo 3 dscute-se a establdade trastóra clássca. A solução umérca clássca é descrta. A equação de "swg" é desevolvda para aplcações em sstemas multmáquas e o caso partcular de sstemas de uma máqua versus barrameto fto. Uma descrção de como o problema da establdade em sstemas multmáquas pode ser vsto como sedo um problema de scrosmo etre geradores é estudada. Referecas clásscos são descrtos: uma máqua como referêca (OMR) e referêca o cetro de âgulo (COA).

21 4 No capítulo 4 dscute-se a abordagem e as fudametações dos métodos dretos para o estudo de establdade trastóra. O método de Lyapuov é estudado baseado a teora de sstemas dâmcos autôomos, e uma fução do tpo eerga, baseado os estudos de Lyapuov é etão descrta. O desevolvmeto dos métodos dretos a lteratura, bem como a covergêca dos estudos dos métodos dretos para ovas téccas de estmatva da área de atração são descrtos, termado-se pelos estudos assocados ao PEBS e BCU, que são duas destas téccas. No capítulo 5 são descrtos e exemplfcados os problemas assocados aos métodos dretos PEBS e BCU e propostos os algortmos PEBS dâmco e "shadowg method" como algortmos robustos capazes de sobrepujar as defcêcas e falhas descrtas do PEBS e BCU. No capítulo 6 são mostrados os resultados obtdos com os métodos robustos a predção da establdade para três sstemas: 3 barras, 4 barras e 39 barras (New Eglad). No capítulo 7 dscussões a respeto dos resultados e falhas dos métodos mplemetados são realzadas. Novas metodologas mas refadas, baseadas em tas métodos robustos, são propostas. No capítulo 8 são descrtas as coclusões deste trabalho.

22 5 Capítulo 2 ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA E MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO ASSOCIADO AO ESTUDO DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA Os modelos de sstemas de potêca para o estudo de establdade trastóra descrevem através de equações matemátcas o comportameto dâmco do sstema elétrco de potêca. Os modelos matemátcos são, etão, mplemetados em programas computacoas, que smulam o comportameto do sstema elétrco quado da ocorrêca de uma stuação de cotgêca. O objetvo deste capítulo é stuar o problema de establdade trastóra detre os varados problemas assocados aos sstemas elétrcos de potêca, bem como, o estudo da modelagem matemátca assocada ao problema. Prmeramete, será vsto a classfcação do estudo de establdade em pequeas perturbações e trastóra, sedo esta dvsão ecessára, de acordo com os dferetes objetvos da aálse em sstemas elétrcos de potêca, fato que leva a dferetes modelos represetatvos do sstema. Já a seção 2, será deduzda a equação de "swg", que é uma equação dferecal que represeta a dâmca da máqua assocada a um sstema elétrco em estudo e que será utlzada os estudos de establdade trastóra como parte do modelo represetate do sstema elétrco. A seção 3 descreve as equações represetates do modelo estátco de um sstema de potêca, bem como a forma de obteção, através de um algortmo, dos estados assocados a este problema estátco. Estes estados são mportates porque são as codções cas do estudo de

23 6 establdade trastóra. A seção 4 descreve a modelagem clássca de máquas sícroas assocadas ao estudo de establdade trastóra, ode se busca uma represetação das gradezas evolvdas a operação do gerador, equato equpameto mas mportate para o estudo de establdade trastóra em sstemas elétrcos de potêca. 2. Objetvos dos Estudos de Establdade em Sstemas Elétrcos O estabelecmeto do estudo de establdade, bem como outros estudos em sstemas elétrcos de potêca, está profudamete relacoado aos objetvos que este estudo deseja alcaçar. Os modelos represetatvos utlzados, como é o caso dos modelos de máquas sícroas, podem ser mas ou meos smplfcados, de acordo com o objetvo do estudo. Neste cotexto, objetvos dferetes levam a modelos dferetes. No estudo de establdade é exatamete sto que acotece. Depededo do objetvo, modela-se o sstema, que é etão estudado da maera mas efcete para o modelo proposto. Como o objetvo deste trabalho cosste o estudo de establdade trastóra, será vsto como o problema estará represetado, para que este objetvo seja alcaçado. Um sstema elétrco de potêca é composto, bascamete, de geradores sícroos, lhas de trasmssão e cargas. A operação do sstema em regme permaete é aquela em que suas gradezas ão varam com o tempo, o que mplca que ão exste desbalaço eergétco, ou seja, a potêca gerada é gual à potêca cosumda mas as perdas eretes ao sstema. Nesta stuação, os geradores sícroos têm velocdades agulares costates, e os âgulos de fase do sstema permaecem costates, garatdo um fluxo de carga costate o sstema. Nesta stuação é dto que o sstema está em um poto de operação estável. O sstema permaecerá este poto até que algum dstúrbo acoteça. Estes dstúrbos o sstema podem ser aumetos ou dmuções de carga, ou cotgêcas severas, como curto-crcutos. Nestes casos, o comportameto dâmco do sstema medate as perturbações se tora algo mportate, pos o sstema agora, está submetdo a um desbalaço de potêca, e é ecessáro que ele retore a uma operação estável. Aspectos qualtatvos e quattatvos do comportameto dâmco do sstema, bem

24 7 como as atuações ecessáras à establzação do sstema são o escopo do estudo de establdade de sstemas elétrcos de potêca. O estudo de establdade se dvde, bascamete, em dos: establdade de pequeas perturbações e establdade trastóra, ou a grades perturbações. Esta dvsão do estudo deve-se a dfereça de objetvos o estudo, fato que leva a modelages dferetes para cada um dos estudos em sua aplcação a sstemas elétrcos de potêca. Quado o objetvo do estudo de establdade é a reação do sstema a pequeas perturbações, ode se etede por pequeas perturbações as varações de carga comus ao da-a-da da operação de sstemas de potêca, ou etão, faltas aleatóras que resultam em curto-crcutos brados, que por sua vez, são rapdamete elmados pelo sstema de proteção, sem afetar sgfcatvamete a trasmssão de potêca. Detro deste cotexto, as equações dferecas do sstema podem ser learzadas em toro do poto de operação estável, uma vez que o sstema está submetdo a pequeas perturbações que ão afastam sgfcatvamete as varáves de estado deste poto de operação. O modelo represetate, etão, é um cojuto de equações dferecas varates o tempo, do tpo: x = A x, (2.) e a aálse de establdade é feta através da teora de sstemas leares, e está dretamete assocada ao estudo dos autovalores da matrz A. Já o estudo de establdade trastóra, o sstema está sujeto a grades dstúrbos, que ocasoam stuações de desbalaço de potêca, a partr de ode o sstema pode, por s só, ecotrar um poto de operação estável, ou seja, um equlíbro o sstema, sto o leva ao pleo atedmeto eergétco, ou ada, mutas vezes o sstema pode ão ecotrar este equlíbro, e uma terveção tora-se ecessára para que o sstema volte a operar estavelmete. Etede-se como terveção, por exemplo, a atuação do sstema de proteção para a elmação de uma falta, ou até um alívo de carga caso seja ecessáro. Neste estudo, como as perturbações são grades, as ão-leardades eretes ao sstema elétrco ão podem ser desprezadas. O objetvo do estudo de establdade trastóra reca, etão, a verfcação da mauteção do scrosmo etre os geradores do sstema em um curto tervalo de tempo após a ocorrêca do defeto. Logo, o modelo matemátco do sstema é um cojuto de equações dferecas ão-leares.

25 8 Pelo fato de estar se tratado de stuações evolvedo tempos de o máxmo algus segudos, a atuação de cotroladores pode, em algus casos ser desprezada. Após a terveção, o sstema adqure uma ova cofguração, e esta ova cofguração o sstema deve atgr um ovo poto de operação estável, partdo de uma stuação desbalaceada, ou seja, como houve um desbalaço de potêca, as máquas do sstema ão matveram as velocdades agulares costates, porém o sstema mesmo desequlbrado deve ser capaz de retorar a um poto de operação estável. Se a trajetóra do sstema covergr para um poto de operação estável, após a terveção, o sstema é dto trastoramete estável. O tempo máxmo em que a terveção tem de ocorrer para que o sstema permaeça estável é dto tempo crítco de abertura (tcr). Logo se a terveção ocorrer após o tempo crítco de abertura, o sstema é trastoramete stável, e caso cotráro, trastoramete estável. A determação do tempo crítco de abertura é, portato o objetvo prcpal do estudo de establdade trastóra. 2.2 Modelagem do Problema Dâmco para o Estudo de Establdade Trastóra Para o estudo de establdade é ecessáro um modelo matemátco que represete o comportameto do sstema elétrco. No caso de establdade trastóra, um modelo matemátco que descreve o comportameto dâmco do sstema pode ser obtdo aplcado um balaço de potêca em cada máqua do sstema. Com este procedmeto obtém-se a tão cohecda equação de "swg". Como pode ser vsto em Ramos et al. (2000), em um gerador a potêca mecâca é forecda por um elemeto prmáro, e a eerga é trasformada em potêca elétrca dexado o sstema em equlíbro. Quado o sstema se desequlbra, a parte da eerga que sobra ou falta é trasformada em potêca acelerate ou desacelerate do rotor da máqua. Da mecâca, tem-se a equação: J θ = T r (2.2) ode: J - mometo de érca do cojuto rotor-turba do gerador[kg.m 2 ];

26 9 [rad]; θ - âgulo mecâco do rotor com relação ao exo de referêca fxo T r - torque resultate [N.m]; ode T r é o torque resultate da dfereça do torque mecâco, proveete do agete motor, e o torque elétrco, que advém da potêca elétrca, através de campos magétcos. Logo: T r = T T (2.3) m e O âgulo mecâco do rotor com relação a um exo fxo θ, trasforma-se em um problema quado do estudo de sstemas elétrcos, pelo fato de o mesmo ser uma fução do tempo quado o sstema opera em regme permaete. Para solucoar este problema escolhe-se o sstema referecal agular rotatvo e sícroo (referêca grate), que o caso do Brasl, é de 60 Hz (freqüêca elétrca de operação). Para sso tem-se: ode: ( ω t +α ) ( t) ( ω t + α ) δ ( t) θ = + (2.4) s s - referêca grate à velocdade sícroa; α - âgulo de defasagem etre a referêca fxa e a referêca grate o tempo t = 0 ; δ - âgulo mecâco formado etre o rotor e a referêca grate; () t m Dervado-se duas vezes a equação (2.4) com relação ao tempo, tem-se: () t = δ m () t m θ (2.5) Apesar da mudaça de referêca podemos observar que a aceleração agular é depedete da referêca utlzada, logo a equação que descreve o comportameto dâmco ao logo do tempo a referêca estátca é a mesma que descreve o comportameto dâmco ao logo do tempo a referêca grate. Portato, rearrajado-se a equação (2.), tem-se: e substtudo o resultado a equação (2.3), tem-se (2.7): J J δ = T r (2.6) δ = T m T e (2.7) Para obter um cojuto de equações dferecas que defa um espaço de estados para a máqua, é mas coveete escrever a equação (2.7) em termos do âgulo δ e, que é o âgulo formado etre a referêca grate e o exo do campo magétco que

27 0 evolve o rotor, pos o torque elétrco T e será uma fução deste âgulo. O âgulo δ m e o âgulo elétrco δ e estão relacoados por: δ e p = δ (2.8) 2 m ode: p - úmero de pares de pólos da máqua; Da mesma maera, pode-se relacoar a velocdade mecâca com a elétrca, através da equação: p ω = ω (2.9) 2 e m Nestas ovas varáves a equação (2.7) pode ser escrta como: 2 J δ e = T p m T e (2.0) Como o mometo de érca J de uma máqua ão é comumete forecdo pelos fabrcates, mas sm a costate de érca H, pode-se escrever: ode: 2 H J = (2.) ω S B 2 0m S B - potêca aparete trfásca base da máqua; 2 ω - velocdade mecâca sícroa do sstema; 0m S B 2 ω 0m - é o torque base T B ; Pode-se reescrever (2.0), utlzado-se (2.9) e (2.), resultado em: ode: 2 H Tm Te ω e = T ω 0 e ω 0e - velocdade elétrca sícroa do sstema; Passado a equação (2.2) para valores por udade, obtém-se a equação (2.3): ode: B (2.2) 2 H ω u = Tmu Teu (2.3)

28 ω e ω u = - valor em p.u. da velocdade agular do campo (em relação à ω 0 e referêca grate); Tm T mu = - valor em p.u. do torque mecâco; T B Te T eu = - valor em p.u. do torque elétrco; T B Esta equação é chamada de equação de osclação ou equação de "swg", e ão troduz erros decorretes de aproxmações a modelagem da osclação da máqua. Outro tpo de equação de "swg" comumete utlzada em estudos de establdade trastóra cosdera que a velocdade agular ω m tem uma varação muto pequea durate o período trastóro, pos caso cotráro, ocorrera a perda de scrosmo rapdamete, e o sstema torar-se-a stável. Com sso, pode-se cosderar que o mometo agular do rotor M m = J ω é costate. Multplcado ambos os lados da m equação (2.7) por ω m, podemos obter uma ova equação de "swg" que tem como parâmetro o mometo agular M m, costate por hpótese. Obvamete, um erro decorrete desta hpótese estará presete este equacoameto, e algus artgos da lteratura sugerem que um termo de amortecmeto pode ser cluído a ova equação para compesar este erro. Escrevedo a equação (2.3) em relação ao âgulo elétrco δ e, em valores p.u. e com a aproxmação dscutda, tem-se: ode: M 2 M = p S m B M 2 J ω m = ; p S δ e + D δ e = Pmu Peu (2.5) B Não exste ehum procedmeto padrozado para se ecotrar um valor aproprado para a costate de amortecmeto D este caso. Algus dcatvos para o cálculo desta costate podem ser ecotrados em Aderso e Fouad (977). A equação (2.5) também é cohecda como equação de "swg", como dto aterormete, e será utlzada o desevolvmeto deste trabalho.

29 2 2.3 Modelo Estátco do Problema Pré-Establdade Como dto a seção ateror, o sstema operado em regme permaete é um sstema estável. Neste caso a aceleração agular é ula porque a potêca mecâca jetada pelo elemeto prmáro é gual a potêca elétrca solctada pelo sstema elétrco. Esta característca de operação préva ao problema de establdade é obtda também através de um modelo do sstema, só que um modelo estátco, que cosste essecalmete a determação do estado de equlíbro da rede de eerga elétrca. Esta modelagem utlza um cojuto de equações algébrcas assocadas a equações represetates dos lmtes dos equpametos modelados. Neste estudo as varações o tempo são cosderadas letas o sufcete para que efetos trastóros possam ser gorados. A este tpo de estudo é dado o ome de fluxo de carga ou fluxo de potêca. Neste texto ão serão dscutdos aspectos do fluxo de carga, por ão ser o escopo do trabalho, mas serão mostradas as equações estátcas do fluxo de carga, bem como uma explcação da sua solução para que o trabalho ão fque prejudcado pela falta de caracterzação da obteção das codções cas das varáves de estado do estudo de establdade trastóra. Das les de Krchhoff, deduzem-se as equações abaxo, para a potêca atva e reatva, que são as equações báscas do fluxo de carga: ode: P k Q k = V = V k m K V k m K V m m ( G θ + B seθ ) km cos (2.6) km km km ( G θ B cosθ ) km se (2.7) K - cojuto de todas as barras que se coectam a barra k ; k =, K, úmero de barras ; P k - Potêca Atva jetada a barra k em pu; Qk - Potêca Reatva jetada a barra k em pu; V k - tesão da barra k em pu; Vm - tesão da barra m em pu; G km - codutâca da lha k - m ; km km km

30 3 Bkm - susceptâca da lha k - m ; θ km - dfereça dos âgulos de carga da barra k para a barra m ; A resolução de um sstema de equações algébrcas como as descrtas acma por processos teratvos, bem como a cosderação da atuação de dspostvos de cotrole e dos lmtes do sstema, costtuem-se a solução do fluxo de carga para sstemas elétrcos de potêca. Por se tratar de um sstema de equações algébrcas ão-leares, a solução dar-se-á através de métodos teratvos (umércos). Detre os métodos exstetes, que são úmeros, geralmete escolhe-se o método de Newto ou o método Desacoplado Rápdo, por serem os que possuem maor teresse prátco, coforme Motcell (983). Ada segudo Motcell (983), a resolução de sstemas algébrcos pelo método de Newto tem o segute formato: Seja o método de Newto para um sstema udmesoal: g ( x) = 0 (2.8) Determa-se o valor de x ode g (x) se aula. Esta solução correspode ao poto em que a curva corta o exo x a fgura abaxo: Fgura 2. - Método de Newto A resolução teratva segue os passos: ) k = 0 e k x = x ;

31 4 ) Partdo de um poto k x, calcula-se o valor de (x) g para este poto; g ) Compara-se o valor calculado acma com a tolerâca especfcada, se k ( x ) < ε, pare; v) Learza-se a fução g (x) em toro do poto calculado o passo, por termédo da sére de Taylor: g k k k k k ( x + x ) g( x ) + g ( x ) x (2.9) ode g (x)=dg/dx; v) Resolve-se o problema learzado até que: k k k g ( x ) + g ( x ) x = 0 (2.20) v) faz-se k = k +, e retora-se ao passo, até o passo ser ateddo; Ecotrado o poto que atede a solução do sstema de equações represetates do modelo estátco do sstema de potêca, têm-se os dados cas do estudo de establdade trastóra. 2.4 Modelagem Clássca de Máquas Sícroas para Estudo de Establdade Trastóra A represetação das máquas sícroas cosste em um problema o estudo de egehara elétrca. Esta represetação é feta através de modelos de máquas, que são gerados, por sua vez, a partr de hpóteses smplfcadoras. Estas hpóteses smplfcadoras são soluções de compromsso em relação ao objetvo do estudo, e por sso, algus modelos apesar de smples, escodem mutos detalhes e aproxmações. Na modelagem de máquas sícroas, quado uma referêca é fxada ao estator, as gradezas eletromagétcas meddas através da referêca fxa apresetam varações o tempo, devdo ao movmeto do rotor. Estas varações serão fuções do âgulo θ, como mostrado a fgura 2.2. Uma smplfcação do modelo pode ser feta através do uso de uma referêca grate que acompahe o movmeto do rotor, crado para o estator ovas varáves que são depedetes do tempo. Esta smplfcação pode ser feta com uma mudaça de varáves chamada Trasformação de Park.

32 5 A Trasformação de Park gera três ovas corretes 0, d e q, ode d correspode à projeção das corretes de fase ao logo de um exo paralelo ao exo magétco do erolameto de campo, deomado de exo dreto (exo d), e q correspode à projeção das corretes de fase ao logo de um exo atrasado de 90º em relação ao exo dreto, chamado de exo em quadratura (exo q). A varável 0 é uma correte estacoára, proporcoal à correte de seqüêca zero. Exo Dreto θ b Q N Exo de referêca fxo ao estator c ' D Exo em Quadratura a ' ω F Rotor S a c b ' Fgura 2.2- Trasformação de Park Algus modelos smplfcados têm sdo largamete usados o estudo de establdade trastóra, devdo as suas smplcdades e efcêcas, como os modelos clássco, um exo e dos exos. Em mutas aálses, utlza-se o modelo clássco para a aálse de establdade trastóra, pos este modelo smplfcado do gerador, cosste apeas em uma máqua como uma fote de tesão atrás de uma mpedâca. As prcpas smplfcações deste modelo são: Reguladores de Tesão ão estão presetes e exctação maual é utlzada. Isto mplca que em regme de operação, a magtude da tesão da fote do modelo é determada pela correte de campo que é costate; Crcutos amortecedores são descosderados (subtrastóros desprezados); Decameto do fluxo do crcuto de campo é desprezado; A potêca mecâca jetada pelo elemeto prmáro é cosderada costate; A salêca tem efeto pequeo e é desprezada para estudo da establdade trastóra;

33 6 Cosdere a fgura 2.3, ode o gerador G represeta uma usa elétrca composta de város geradores. O gerador está coectado a uma lha de trasmssão (LINHA) em crcuto duplo através de um trasformador (T). A lha está coectada ao sstema elétrco através da mpedâca equvalete (Z T ). Fgura 2.3- Uma máqua lgada um sstema elétrco Baseado o modelo clássco, o crcuto equvalete fca: Fgura 2.4-Crcuto equvalete à fgura 2.3 com gerador represetado pelo modelo clássco ode: gual a xg é gual a reatâca sícroa x d para aálse em regme permaete e x d para aálse trastóra; E g é proporcoal ao fluxo de campo cocateado, que é suposto costate; Portato, para o modelo clássco de gerador, as equações dferecas relatam apeas o movmeto do rotor, como demostrado a seção 2.2 para a equação de "swg".

34 7 Capítulo 3 ESTABILIDADE TRANSITÓRIA EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA O estudo de establdade trastóra em sstemas eletroeergétcos passa a ter setdo quado os sstemas elétrcos vão gahado grades dmesões e se torado complexos. Nestes sstemas, como é o caso do atual sstema braslero, cofabldade de operação, custos de operação, qualdade de forecmeto etre outras característcas, são muto mportates. Detre as característcas esperadas de um sstema elétrco, está a robustez a cotgêcas, pequeas ou grades, a qual se dá o ome de establdade, como descrto o capítulo ateror. Establdade, etão, é a capacdade de permaecer operado, mesmo com restrções, quado do acotecmeto de um eveto (perturbação) que tre o sstema de um poto de operação ormal (estável). Obvamete, o estudo de establdade está assocado a uma margem de maobra, ou folgas exstetes em um sstema elétrco, ou seja, sstemas muto carregados tedem a ser meos robustos a perturbações devdo a operação próxma aos lmtes dos equpametos assocados a ele, da geração até o atedmeto de carga. Porém, folgas e marges, além de represetarem seguraça dâmca para o sstema também represetam custos para sua operação. Uma relação de compromsso etre a operação dâmca segura e seu custo de operação deve ser ecotrada, para que o sstema ofereça qualdade e custo módco ao seu usuáro. Detro deste cotexto, estudos de establdade trastóra e dâmca, tedem a mostrar o comportameto dâmco de um sstema aalsado, seja para estudo de seu carregameto e defção de uma possível margem de seguraça, seja para estudos referetes a problemas estruturas, como curto-crcutos.

35 8 Neste capítulo, a establdade trastóra será dscutda sobre sua forma clássca. Prmeramete, o problema será defdo o tempo, ou seja, serão mostradas as dvsões ecessáras do estudo durate o tempo de aálse, sedo que o objetvo desta dvsão é represetar, através de cojutos de equações dferecas, um sstema com 3 topologas de rede elétrca dferetes. Na seguda seção será dscutda a solução computacoalmete óbva, para um cojuto de equações dferecas, que é a solução umérca (passo-a-passo) através de uma dscretzação a passos pequeos o tempo. O objetvo deste tpo de solução é a busca do tempo crítco de abertura, através da aálse da establdade da solução das equações dferecas ordáras do sstema, equato o tempo de abertura va aumetado. Na tercera seção será dscutdo como o problema pode ser modelado para o estudo de establdade em um sstema multmáquas. O objetvo desta modelagem é a busca de uma equação dferecal aplcável a sstemas multmáquas. Hpóteses smplfcadoras da rede elétrca assocadas ao uso do modelo clássco de máquas sícroas e a cosderação de cargas como sedo de mpedâca costate, permtem a redução da rede aos ós das FEM s e a dedução da equação dferecal, coseqüetemete. Na quarta seção será dscutdo o sstema OMIBS, que é uma forma de smplfcação do estudo do sstema multmáquas, defrotado apeas a máqua que se quer estudar, cotra o resto do sstema, que é cosderado muto grade (fto) em relação à máqua em questão. O objetvo desta descrção é o fato de que mutas vezes os estudos de establdade são realzados em sstemas OMIBS, ode se pode verfcar especfcamete o comportameto da úca máqua, estudado a establdade de uma maera mas smplfcada. Através do estudo em sstemas OMIBS, obtém-se exemplos smples que permtem explcações muto ddátcas a respeto da establdade de um sstema. Na quta seção será tratado o problema do scrosmo frete a establdade. O objetvo é mostrar que a establdade pode ser vsta como o scrosmo etre geradores, desde que algumas cosderações sejam colocadas. Através do estudo do scrosmo etre geradores, pode-se cosderar o sstema stável ou estável apeas através da equparação das gradezas dâmcas evolvdas. Falmete, a sexta e sétma seções represetam duas formas de se referecar o estudo de establdade, trasformado-o em um estudo de scrosmo. A sexta seção

36 9 descreve a referêca em relação a uma máqua (OMR), e a sétma seção descreve a referêca em relação ao cetro de âgulo, ou cetro de érca. 3. Dvsão do Problema o Tempo Matematcamete, começa-se pela dvsão do problema do estudo de establdade trastóra em 3 sub-problemas: pré-falta, falta e pós-falta. Esta dvsão é ecessára pelo fato de que as equações dferecas represetates do sstema baseam-se a estrutura, ou topologa, da rede elétrca. Como se estuda uma falha estrutural em uma rede, ou seja, estuda-se uma cotgêca que muda a topologa da rede, as característcas do sstema se alteram quado do adveto de um defeto, e se alteram ovamete, quado o defeto é elmado, ou seja, têm-se 3 cojutos de equações dferecas dferetes represetado 3 tervalos de tempo, ode: O sstema pré-falta represeta a operação do sstema elétrco ates da cotgêca, ou seja, a stuação de equlíbro ates da ocorrêca de um defeto; O sstema falta represeta o sstema durate a cotgêca, ou seja, período o qual o sstema sofre um defeto (por exemplo: curto-crcuto); O sstema pós-falta represeta o sstema após o térmo da cotgêca, ou seja, após a elmação do defeto; Logo, a codção cal das equações dferecas ordáras do sstema falta é o poto fal do estudo do sstema estável pré-falta, ou seja, a codção cal de tratameto do sstema falta será obtda através da codção fal do sstema pré-falta e, aalogamete, o poto cal do sstema pós-falta será obtdo do poto fal do sstema em falta, ou seja, o poto cal de estudo do sstema pós-falta será o poto ode o defeto fo elmado. Nestas codções, o prcpal problema de establdade trastóra é garatr o retoro a um poto de operação que é represetado por um poto de equlíbro estável o sstema pós-falta: x s, ou seja: ( lmφ ( x, t) = ) (3.) p x s t

37 20 ode: cal x p ; φ ( x p,t) é a solução do sstema após a elmação da falta com codção x p codção cal dada pelo sstema falta o state da abertura; O cojuto de equações dferecas represetates do sstema é descrto por 3 cojutos de equações dsttos, como abaxo: Sstema Pré-falta: M t 0 prf δ + D δ = Pmu Peu = 0 δ ( t) = δ 0, δ ( t) = 0 (3.2) =,..., Sstema em Falta: M 0 t t a f δ + D δ = Pmu Peu = 0 δ (0) = δ 0, δ (0) = 0 (3.3) =,..., Sstema Pós-falta: M t t a pf pf f δ + D δ = Pmu Peu = 0 δ ( t a ) = δ ( t a ) (3.4) =,..., 3.2 Solução Numérca pelo método passo-a-passo O modelo matemátco do sstema elétrco para a aálse de establdade trastóra é um cojuto de equações dferecas que represeta a dâmca das máquas do sstema, como descrto aterormete. Como ão exste solução aalítca para as

38 2 equações de "swg", métodos umércos devem ser mplemetados para a obteção da solução. Este tpo de solução umérca é cohecdo como passo-a-passo. Város são os métodos umércos para solução de equações dferecas. Detre os de caráter mas prátco, por serem de smples mplemetação, estão os métodos explíctos de Euler Smples e Ruge-Kutta de 2ª e 4ª ordes. No aexo A ecotram-se os algortmos destes métodos. Neste tpo de solução de equações dferecas (solução umérca), as equações são tegradas o tempo, para passos muto pequeos, e as varáves do sstema são cosderadas costates estes tervalos, pelo fato de suas varações serem muto pequeas. De fato, o que ocorre é uma dscretzação do tempo, com tervalos mímos, para solução de uma equação dferecal o tempo. Supoha a equação de "swg" com o amortecmeto desprezado, que pode, etão, ser descrta da segute forma: dδ = ω dt dω Pa = dt M (3.5) ode: P = P P, é a potêca acelerate; a m e Em um tervalo, dga-se o -ésmo, de t para t + assumda costate o tervalo, etão:, a potêca acelerate P a é t ω ( + ) = ω + Pa ( ) (3.6) M A velocdade calculada em t é assumda costate durate o tervalo até o tempo t +, ode: ( + ) = δ ( ) + t ω ( + ) δ (3.7) Grafcamete, a dscretzação pode ser vsta a fgura 3.:

39 22 Fgura 3.- Dscretzação da Potêca acelerate e da velocdade o tempo para o método passo-a-passo Observa-se, etão, que através da dscretzação das soluções do sstema de equações dferecas o tempo obtém-se a solução aproxmada do sstema. Uma vez obtda a maera de solucoar o sstema, aplcar-se-á a ele uma falta por um tempo pré-determado, de tal maera que, quado o tempo crítco de abertura for alcaçado, e o sstema torar-se stável, pára-se a tegração, ou seja, quado o cremeto o passo de tegração torar o sstema stável, a tegração deve ser terrompda, e o tempo assocado ao úmero de passos desta tegração deve ser computado como sedo o tempo crítco de abertura. De fato, smular-se-á o sstema até que o mesmo fque stável. Se o cremeto de um passo levar o sstema à stabldade, o tempo crítco de abertura fo ecotrado. 3.3 Sstema Multmáquas Esta seção dedca-se a modelagem do problema de establdade para sstemas multmáquas baseado os modelos descrtos o capítulo 2. As hpóteses smplfcadoras exstetes o estudo de establdade trastóra em sstema multmáquas cosstem em:

40 23 A rede elétrca opera em regme permaete seodal e é cosderada estátca date da eletromecâca dos geradores; O modelo clássco de máqua sícroa é utlzado; As cargas são cosderadas mpedâcas costates e obtdas do fluxo de carga ão-lear, bem como o módulo e âgulo das tesões das barras; A potêca mecâca é cosderada costate; O sstema elétrco represetado a fgura 3.2 mostra o sstema equvalete a um sstema multmáquas. Os geradores são cosderados fotes de tesão lgados a rede elétrca através de uma reatâca de exo dreto cosderadas como sedo o sstema pré-falta. x d. Estas codções cas são Fgura 3.2- Sstema Multmáquas Ode a matrz de admtâcas Ybus que represeta a topologa do sstema elétrco e é dado pela equação: Y bus m Y Y 2 (3.8) = Y Y 3 4 m

41 24 ode: Y represeta a matrz de admtâcas x que cotém dados do sstema das barras dos geradores coectadas etre s; Y 2 represeta a matrz de admtâcas x m que coecta as barras dos geradores às m barras das cargas do sstema; Y 3 represeta a matrz de admtâcas m x que coecta as barras dos geradores às m barras das cargas do sstema; Y 4 represeta a matrz de admtâcas m x m que cotém dados do sstema das m barras de carga coectadas etre s; As cargas do sstema que estão coectadas as m últmas barras do sstema da fgura 3.2 devem ser trasformadas em admtâcas costates de carga, uma vez que uma das suposções do modelo é a de que as mpedâcas permaeceram costates durate o feômeo trastóro, logo, as cargas que são geralmete dadas em potêcas atva e reatva devem ser trasformadas em admtâcas através da equação: Y P Q L L L =, ode =2+,...,2+m (3.9) V ode: P L é a potêca atva que represeta a carga atva da barra ; Q L é a potêca reatva que represeta a carga reatva da barra ; V é a tesão da barra ; É possível que exstam cargas as barras que coectam os geradores ao sstema elétrco, este caso, estas cargas também devem ser trasformadas através da equação (3.9), ou seja, este caso =+,...,2+m. Para as prmeras barras do sstema descrto a fgura 3.2, que represetam os ós teros (fctícos) dos geradores, é possível motar uma matrz admtâca dagoal x, com as reatâcas trastóras covertdas para admtâcas, que represetem as mesmas, como a equação (3.0): Y G YG = M 0 L O L Y 0 M G (3.0)

42 25 Aalogamete, é possível motar uma matrz admtâca (m+)x(m+), que represete as cargas do sstema, já trasformadas em admtâcas de carga pela equação (3.9): m Y Y m Y Y Y m m L m L LL LG L + = = + + L M O M L (3.) Falmete, mota-se a matrz Y ~ bus que represeta o sstema como um todo, desde o ó fctíco das forças eletromotrzes dos geradores até as cargas costates do sstema, passado pela rede elétrca. Esta matrz está a equação (3.2): m Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y m LL LG G G G G bus = ~ (3.2) Como objetvo é buscar uma equação de swg para utlzação em sstemas multmáquas, apeas as fuções que cotém os âgulos rotórcos teressarão. Fca teressate efetuar uma redução a matrz Y ~ bus, para que a mesma fque expressa somete em relação aos ós das forças eletromotrzes (FEM s) e para sto este mometo partcoa-se a matrz (3.2), como a equação (3.3): m Y Y Y Y Y m D C B A bus + = + ~ (3.3) Ao cosderar-se todas as admtâcas de cargas costates, as jeções de correte em cada barra de carga toram-se ulas, uma vez que toda correte que chega a barra de carga atede a carga. Portato, apeas as barras de geração têm jeção de correte, logo se tem: m E E Y Y Y Y I m L G D C B A G j + = + 0 (3.4) Expaddo a equação (3.4), tem-se: de Y L até Y L, ou seja Y LG, estão as admtâcas de carga coectadas as barras de geração, que represetam as cargas que possam estar coectadas estas barras.

43 26 I G j = Y A E G + Y B E 0 = Y C E G + Y D E L L (3.5) Substtudo, E L da equação (3.5), tem-se: 0 = + Y E I I L G j G j = Y = = D E D L Y Y C E D G E L = Y Y A E G + Y B ( Y D Y C E G ) ~ [ Y A + Y B Y D Y C ] E G = Y red E G C E G (3.6) Logo, em (3.6) obteve-se a expressão reduzda para Y ~ bus. Evdetemete, o cálculo matemátco da versa da matrz admtâca odal em um processo é algo que demada muto tempo e esforço computacoal, torado-se algo probtvo em sstemas de grade porte. Neste setdo mplemeta-se o processo de redução de Gauss para redução da matrz Y ~ bus. O aexo B cotém a descrção do processo de redução de Gauss. Uma vez obtdas as expressões das jeções de corretes o sstema reduzdo aos ós das FEM s, é possível verfcar a jeção do fluxo de potêca atva estes ós através da equação (3.7): ode: é um dos ós das FEM s dos geradores; E E δ = ; Logo, de (3.7) e (3.6), tem-se: P e * = Re[ E I ] (3.7) P e j = = * * Re E Yj E j (3.8) j= ode: = φ é um elemeto da matrz Y ~ bus reduzda; Yj G j + j B j = Yj j Substtudo os valores de Yj e E j pelas expressões descrtas em (3.7), tem-se:

44 27 P e = E 2 G + j = j= j E E j Y j { cos[ ( δ δ )]} φ (3.9) j j Decompodo-se a fução, co-seo de (3.9), coforme a detdade trgoométrca: cos(a-b)=cos a cos b + se a se b, tem-se: P e = E 2 G + j = j= j E E j Y j [ cos cos( δ δ ) + seφ se( δ δ )] φ (3.20) j j j j Para smplfcar a otação, serão defdas duas costates: D C j j = E = E E E j j Y Y j j cosφj = seφ = j E E E E j j G B j j (3.2) Logo, a equação (3.20) fca: P e = E 2 G + j = j= j [ D cos( δ ) + C se( δ δ )] j δ (3.22) j j j Falmete, substtudo-se a equação de "swg" represetate da dâmca do sstema, tem-se: δ = ω M δ + D δ = P mu E 2 G + j = j= j [ D cos( δ δ ) + C se( δ δ )] j j j j (3.23) A equação (3.23) represeta, etão, a equação de "swg" de uma máqua para um sstema multmáquas.

45 Sstema OMIBS Em estudos de establdade, é possível ver duas modelages: Sstemas multmáquas; Sstemas OMIBS (uma máqua versus barrameto fto); De fato sstemas OMIBS são uma smplfcação do estudo multmáquas, ode se cosdera o resto sstema muto grade em relação à máqua que se quer estudar, podedo tratar o resto do sstema como uma máqua fta, ou seja, uma máqua com mometo de érca fto e potêca lmtada, ão sedo sesível as varações dâmcas da máqua coectada a ela. Esta seção dedca-se ao estudo do sstema OMIBS o cotexto do problema de establdade trastóra, como uma maera de smplfcar o estudo de establdade em um sstema multmáquas, quado o objetvo do estudo refere-se apeas a uma máqua do sstema em questão. Grades sstemas elétrcos podem ser cosderados barras ftas quado coectados a máquas pequeas. A fgura 3.3 lustra um sstema OMIBS: Fgura 3.3 Uma Máqua versus Barrameto Ifto através de uma Lha de Trasmssão Dupla - Sstema OMIBS pré-falta As premssas adotadas para este tratameto são: A barra fta é cosderada estátca date da dâmca do gerador; O modelo clássco de máqua sícroa é utlzado; A potêca mecâca é cosderada costate;

46 29 A barra fta é um referecal de tesão e um referecal agular do sstema, como a barra "slack" é para um fluxo de carga, logo, é comum adotar-se a tesão esta barra com o valor em módulo de p.u., com âgulo 0º, fxado-se etão a referêca estes valores. A dedução do cojuto de equações dferecas para sstemas OMIBS (equações de "swg") será obtda através da aplcação de uma falta o sstema represetado pela fgura 3.3. A falta será aplcada o cetro de uma de suas lhas de trasmssão, que resulta em um sstema com a topologa de falta represetada pelo dagrama uflar da fgura 3.4: Fgura 3.4 Sstema OMIBS falta Após a elmação da cotgêca devdo a atuação do sstema de proteção, a topologa do sstema muda ovamete. O dagrama uflar da fgura 3.5 represeta esta stuação: Fgura 3.5 Sstema OMIBS pós-falta Cada um dos dagramas, que represeta cada uma das dvsões temporas do problema, é represetado por um cojuto de equações dferecas. A força eletromotrz (FEM), que é cosderada costate durate todo o tempo de estudo,

47 30 devdo ao modelo de máqua utlzado, deve ser calculada baseado as característcas do sstema pré-falta. Para o sstema pré-falta, pode-se obter o fasor correte I o j através da equação (3.24): o j I o o V V = j X j j (3.24) A tesão o gerador E o G é, etão, dada por: o o o X L E G = V + I j X d + 2 (3.25) Ode: X L 2 é a reatâca equvalete das lhas de trasmssão em paralelo; Pela modelagem cosderada, esta tesão permaecerá costate durate todo estudo do feômeo trastóro. Pode-se, etão, calcular a potêca elétrca do sstema pré-falta: ode: P prf e E = X V G prf eq se ( δ ) V é a tesão a barra fta (geralmete p.u.); (3.26) prf X eq é a reatâca equvalete do sstema reduzdo ao ó da FEM (o caso da fgura 3.3, o crcuto equvalete composto pela reatâca trastóra e as reatâcas das lhas de trasmssão); δ é a dfereça agular etre o fasor tesão do gerador e o fasor tesão da barra fta; Logo, a equação de "swg" que represeta o modelo dâmco do sstema pré-falta é dado por: M δ = P m P prf e = P m E X V G prf eq se ( δ ) (3.27) Após a obteção do modelo dâmco represetatvo do sstema pré-falta, deve-se verfcar o comportameto do sstema falta para a cotgêca aplcada (fgura 3.4). Com o mesmo procedmeto utlzado o cálculo do sstema pré-falta, obteve-se a equação de "swg" que represeta o modelo dâmco do sstema falta:

48 3 M δ = P m P f e = P m E V G f X eq se ( δ ) (3.28) ode: f X eq é a reatâca equvalete do sstema reduzdo ao ó da FEM (o caso da fgura 3.4, o crcuto equvalete composto pela reatâca trastóra e a reatâca equvalete da trasformação delta-estrela do crcuto formado pelas lhas de trasmssão esta stuação); Após a obteção do modelo dâmco represetatvo do sstema falta, deve-se verfcar o comportameto do sstema pós-falta, obtdo após a elmação da cotgêca devdo a atuação do sstema de proteção. Com o mesmo procedmeto utlzado o cálculo do sstema pré-falta e o cálculo do sstema falta, obtém-se a equação de "swg" que represeta o modelo dâmco do sstema pós-falta: ode: M δ = P m P pf e = P m E X V G pf eq se ( δ ) (3.29) pf X eq é a reatâca equvalete do sstema reduzdo ao ó da FEM (o caso da fgura 3.5, o crcuto equvalete composto pela reatâca trastóra e a reatâca da lha de trasmssão que sobrou); A fgura 3.6 lustra a curva P-δ, dos 3 sstemas obtdos para a cotgêca smulada: Fgura 3.6 Curva P-δ para o sstema OMIBS

49 32 Neste caso, como a curva da stuação falta fca abaxo da reta da potêca mecâca o sstema acelera, porém sto ão é ecessaramete uma verdade e sm um exemplo. Pode-se verfcar também que a curva do sstema pós falta está acma da reta da potêca mecâca, o que dz que o sstema tem um poto estável para o sstema pósfalta. Caso esta curva tvesse seu máxmo abaxo da reta da potêca mecâca, o sstema acelerara defdamete, mostrado que a cotgêca levou o sstema a stabldade. A aálse de establdade do sstema represetado esta fgura será realzada a seção do capítulo Scrosmo frete à Establdade - Um Problema de Referecal A déa de establdade pode ser defda matematcamete, como pode ser vsto em Bretas e Alberto (2000): Defção: Dz-se que a solução de equlíbro x 0 de um sstema autôomo, descrto pelas equações dferecas x = f (x), é estável o setdo de Lyapuov (ou somete estável), se para cada úmero ε>0, exstr um úmero real δ>0, tal que para toda codção cal x(t 0 ) satsfazedo a desgualdade 0 ) 0 x ( t x < δ, a trajetóra do sstema x(t) satsfaz a desgualdade x( t x < ε para todo t>t 0. 0 ) 0 Ou seja, trajetóras cado próxmas de x 0 ão se afastam da solução de equlíbro para t>t 0. Como pode ser vsto a fgura 3.7: Fgura 3.7 Coceto de establdade

50 33 Porém, mutas vezes a palavra establdade em sstemas elétrcos refere-se ao scrosmo etre as máquas do sstema, ou seja, o fato de seus âgulos rotórcos permaecerem osclado cojutamete. O coceto matemátco de scrosmo é bem dferete do coceto matemátco de establdade, uma vez que exge dos etes que devem permaecer osclado cojutamete. Exstem dversas defções de scrosmo a lteratura, etretato, em sstemas elétrcos de potêca etede-se por scrosmo o fato de duas soluções permaecerem osclado detro de certos lmtes pré-estabelecdos. Logo se tem como defção possível: Defção: Dz-se que as soluções x t e y t estão scrozadas, se e somete se x ( t) y( t) < L, para todo t>t 0, ode o úmero L pode ser escolhdo de acordo com os lmtes do sstema. Em sstemas multmáquas a relação etre o scrosmo e a establdade ão se dá de forma dreta, pela ausêca de uma referêca. É ecessáro, etão, que se troduza o sstema multmáquas um referecal grate à velocdade sícroa. Uma forma de obter esta referêca é através da trasformação de um sstema composto por máquas em um sstema composto por - máquas mas uma máqua que preserva o referecal. A ecessdade deste referecal fca evdete pelo fato de que se as máquas acelerassem defdamete, porém cojutamete, o scrosmo sera matdo, mas a velocdade estara loge da velocdade sícroa. Para sobrepujar esta característca do sstema, adota-se um referecal, trasformado-se ovamete o estudo de scrosmo etre geradores o estudo de establdade de um cojuto de equações dferecas aproprados. A adoção deste referecal será abordada de duas maeras: Uma máqua como referêca (OMR); Cetro de Âgulo como referêca (COA ou COI); 3.6 Uma Máqua como Referêca Uma das maeras ecotradas para solucoar o problema do referecal é utlzar uma máqua como referêca, fazedo com o sstema teha 2-2 equações dferecas represetates do sstema, mas duas equações como referêca. Subtrado-se as 2-2

51 34 equações da referêca, obtém-se um cojuto de equações dferecas que represetam o sstema. Tomado-se a -ésma máqua como referêca tem-se a equação (3.30). = = = = = = = = = = e m e m e m e m e m M P P M P P M P P M P P M P P ω δ ω ω ω δ δ δ ω ω δ δ δ ω ω ω ω ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( M M M M M M (3.30) Esta formulação é chamada de problema de establdade utlzado uma máqua como referêca. No equlíbro deste sstema todas as máquas possurão mesma velocdade e mesma aceleração. A prova smples de que o scrosmo etre máquas represeta a establdade de um cojuto de equações dferecas aproprado pode ser ecotrada em Bretas e Alberto (2000). 3.7 Cetro de Âgulo como Referêca Outra maera ecotrada para solucoar o problema do referecal é utlzar o cetro de âgulo (COA - "Cetre of Agle") ou cetro de érca (COI - "Cetre of Ierta") como referêca. O objetvo desta utlzação, que é baseado as cojecturas físcas do cetro de massa mecâco, é dar à represetação um sgfcado físco mas evdete. Por defção o cetro de âgulo é: = = T M M 0 δ δ ode: = = M T M (3.3) A velocdade agular do COA é obtda através da dervada de (3.3):

52 35 Dervado-se ovamete: ω = M ω (3.32) 0 M T = M T 0 = = ( Pm Pe ) ω = P (3.33) A equação (3.33) represeta a dâmca do sstema do COA, ode P COA represeta o desbalaço de potêca do sstema como um todo. Substtudo P e da equação (3.33), tem-se: P COA = = = COA = j= 2 ( P E G ) 2 D cos( δ ) m = j= + j j δ (3.34) Tomado-se, etão o COA como referêca, tem-se ovos estados relatvos ao COA: θ = δ δ 0 (3.35) θ = ~ ω = ω ω 0 Logo a equação de swg, sem amortecmeto, referecada ao COA fca: ~ P ω = ~ θ = ω m P M e M T P COA =, K, j (3.36) Esta formulação é chamada de problema de establdade utlzado o cetro de âgulo como referêca. No equlíbro deste sstema todas as máquas possurão mesma velocdade e mesma aceleração. Da defção de θ observa-se que os âgulos relatvos ão são learmete depedetes, e a eles se aplca a segute codção: = = M θ = 0 (3.37) De fato, a codção da equação (3.36) mplca que o sstema depede exclusvamete de 2-2 equações referecadas ao COA, que por sua vez depede de 2 equações. Assm, quado da utlzação do COA como referêca, - âgulos são obtdos, e um é referdo aos outros. Esta coclusão permte verfcar que o sstema referecal COA equvale ao sstema OMR (uma máqua como referêca) descrto a seção ateror.

53 36 O sstema referecal COA é muto utlzado a lteratura, quado do estudo de establdade trastóra por métodos dretos, que será tema do próxmo capítulo. Esta utlzação deve-se ao fato de que este sstema referecal dá uma terpretação físca mas evdete à fução eerga utlzada por estes métodos.

54 37 Capítulo 4 ESTABILIDADE TRANSITÓRIA POR MÉTODOS DIRETOS Como brevemete mecoado o capítulo ateror, os métodos dretos foram propostos para sobrepujar a adequacdade das aálses de establdade pelo método passo-a-passo (tegração umérca) em aplcações em tempo real. Neste setdo, a característca ímpar destes métodos resde o fato de que eles predzem a establdade sem a ecessdade da utlzação da tegração umérca, obtedo o tcr ou tca (tempo crítco de abertura), de maera rápda computacoalmete, vablzado sua utlzação em aplcações de tempo real. A tegração pelo método passo-a-passo resolve umercamete as equações dferecas represetates do modelo ão-lear do sstema de potêca. Esta resolução, o etato, cosome muto tempo computacoal, devdo ao processo teratvo com passos muto pequeos, ecessáro para que a solução umérca correspodete seja próxma, o sufcete, do comportameto real do sstema. Obvamete uma ferrameta que cosome muto tempo computacoal ão pode ser aplcada para soluções em tempo real, ode se etede por soluções em tempo real a deteção de problemas, obteção de dados, processameto destes, tomada de decsões e falmete atuação o sstema o mometo da cotgêca. Uma das buscas realzadas pelos pesqusadores de establdade trastóra cosste exatamete em ecotrar métodos que possam ser aplcados em tempo real, pelo meos a tempo de dsparar ações prevetvas. Uma das coclusões óbvas deste processo de busca é o fato de que soluções umércas teratvas ão são aplcáves, e portato, as

55 38 soluções por métodos umércos descrtos aterormete ão são aplcáves este cotexto. Os métodos de obteção de respostas de establdade que ão utlzam soluções umércas teratvas foram chamados a lteratura de métodos dretos. Este capítulo trata do desevolvmeto dos métodos dretos através de uma pesqusa bblográfca, desde o íco dos estudos até o estado da arte. Trata-se, este capítulo, das defções e da modelagem destes métodos para a aplcação em sstemas elétrcos. Prmeramete, a seção será descrto o crtéro das áreas guas, que pode ser vsto como uma tetatva préva da obteção do tcr por um método dreto, sem a resolução explícta das equações dferecas que regem o comportameto do sstema pós-falta. Este crtéro será demostrado em um sstema OMIBS, e chegar-se-á a expressão de cálculo do tcr sem a solução das equações dferecas ordáras do sstema pós-falta. Na seguda seção tem íco o embasameto dos métodos dretos, através da cosoldação dos cohecmetos de sstemas dâmcos. O objetvo é mostrar como o modelo dâmco do sstema elétrco de potêca se sere, e quas suas característcas, um cojuto maor de sstemas dâmcos. A tercera seção descreve os estudos de Lyapuov, que forecem as codções sufcetes para que uma fução explcte a establdade ou stabldade de um sstema. Estes estudos represetam parte da fudametação dos métodos dretos, e por sso serão descrtos. Na quarta seção caracterza-se completamete a área de atração, baseado os estudos de Chag et al. (987), cujo objetvo é fudametar teorcamete os métodos dretos, objetvado a estruturação do problema para aplcação em estudos de establdade trastóra. A quta seção dedca-se a obteção de uma fução eerga (do tpo de Lyapuov) aplcável a sstemas elétrcos de potêca em sstemas multmáquas, e coseqüetemete, para sstemas OMIBS. Através desta fução eerga cosegue-se, etão, ecotrar um parâmetro comparatvo (eerga), que serve para determar a establdade ou ão de um sstema elétrco de potêca. A sexta seção dedca-se a pesqusa bblográfca relatva aos métodos dretos, tedo como objetvo demostrar a evolução temporal do estudo, até o estado da arte, fudametado o objetvo deste trabalho. Com esta evolução, a predção cosstete da frotera da área de atração, bem como, a busca de um poto de equlíbro esta

56 39 frotera, que seja resposável pela codção ou ão de establdade, toram-se os objetvos dos métodos dretos, e os processos de estmatva evolurão estas buscas. Com esta evolução chega-se a dos algortmos que são descrtos e exemplfcados as seções sete e ove, PEBS e BCU respectvamete. O PEBS, seção 7, busca crcudar o problema de deteção do poto de equlíbro de cotrole, o qual a dreção da trajetóra de falta sera usada a determação da margem de establdade do sstema. Um poto chamado de "ext pot", a dreção da falta, sera ecotrado e a establdade deste poto represetara a establdade do sstema elétrco. A seção 8 dedca-se a fudametação dos algortmos PEBS e BCU, baseada os estudos de Chag et al. (988) de caracterzação do sstema gradete assocado ao sstema orgal. O objetvo desta seção é crar a base teórca dos algortmos PEBS e BCU que serão estudados este trabalho. A seção 9 dedca-se ao estudo do algortmo BCU, proposto por Chag et al. (994). Devdo a uma defção precsa do poto de equlíbro stável de cotrole, o método BCU busca este poto através da frotera da regão de establdade, cado-se o PEBS. Pelo fato de ão se tratar de uma aproxmação, como é o caso do PEBS, obtémse a predção de establdade de maera mas correta. 4. Crtéro das Áreas Iguas Este crtéro está fudametado o coceto de eerga dos sstemas físcos. Esta eerga depede exclusvamete de seu estado, ou seja, velocdade e posção. Da equação do movmeto de uma partícula, segudo a 2ª le de Newto: dv m = F( x) (4.) dt Multplcado-se pela velocdade v, pode-se elmar a varável tempo: dv dx m v = F( x) m v dv = F( x) dx (4.2) dt dt ( ) Itegrado-se a equação acma desde um certo estado ( ) x do corpo em estudo, obtém-se: 2,v 2 x até um outro estado,v

57 40 v2 v υ dυ = ( x) 2 x2 m v2 m v = F x Ec x2 x F dx ( x) dx 43 E p (4.3) logo: E c E p = = 2 m v x2 F( x) x dx m v 2 (4.4) Escolhda uma referêca, pode-se defr a fução eerga de maera absoluta. Seja a referêca defda pela posção x 0 e pela velocdade v = 0. Etão, a eerga total é defda por: E T = E E ( v) = c p c E ( x) = + E 2 p m v x F( x) x0 2 dx (4.5) Os sstemas em que a tegral ão é depedete do camho são cohecdos como sstemas coservatvos, e dz-se que E p é uma prmera tegral destes sstemas e pode ser descrto assm: de p ( x) m x = (4.6) dx Esta equação mostra que a força atua o setdo verso do gradete da fução eerga potecal. O sstema de uma máqua versus barrameto fto (OMIBS) é um sstema coservatvo, caso as perdas por amortecmeto sejam desprezadas. Logo, pode-se defr uma fução eerga para o sstema de potêca este caso. Algumas premssas são cosderadas este crtéro: Potêca mecâca costate; Amortecmeto desprezado; Modelo clássco para máquas sícroas;

58 4 Este método é baseado o fato de que se o sstema é estável o prmero swg, o que faz com que o âgulo do rotor, após a falta, alcace um valor máxmo, e etão fque osclado em toro do valor fal. De fato é assumdo que exste um equlíbro o sstema pós-falta. Portato a establdade é obtda pela motoração da varação da velocdade agular do rotor, garatdo que ela se tore zero após a perturbação. A equação de swg para um sstema OMIBS é: dω EG E M = Pm se( δ ) = Pm Pe máx se( δ ) (4.7) dt X Para se obter a fução eerga referete a este sstema, prmeramete multplca-se a equação (4.7) por ω e obtém-se: dω M ω = P dt M ω dω = m E E X dδ se( δ ) = dt [ P P se( δ )] dδ m G e máx [ P P se( δ )] m e máx dδ dt (4.8) Etão, tegra-se a equação acma, tomado como referêca a velocdade agular ula e o âgulo do equlíbro estável δ s e têm-se: E E c p 2 M ω = 2 = P ( δ δ ) m s Pe máx [cos( δ ) cos( δ )] s (4.9) A fgura 4. mostra a curva P-δ:

59 42 Fgura 4. - Curva P-δ, Crtéro das Áreas Iguas A tegral da eerga potecal, para a área A 3 fca: E c = E p = δ δ a 0 f e ( P P ) dδ (4.0) m Porém, a eerga cétca o state cal é ula, logo, a eerga cétca o mometo da abertura será: E δ a f c = Ec = Pm Pe ) d = δ 0 ( δ A (4.) Logo, a eerga crítca do sstema se dá quado a eerga total o state da abertura (4) for gual a eerga potecal do poto de equlíbro δ u, ou seja: A + = (4.2) 3 A = A + A2 A3 A2 Portato, se o defeto for elmado de tal maera que a área 3 seja meor que a área 2 o sstema é estável, e caso cotráro stável. Igualado-se as áreas acma, através de suas tegras de eerga potecal, é possível extrar uma expressão para o cálculo do âgulo crítco de abertura, que será aquele âgulo lmte etre a establdade e a stabldade: 3 f u u Pm ( δ 0 δ ) + Pe cos( δ 0 ) Pe cos( δ ) máx máx cos( δ cr ) = (4.3) f pf ( P P ) emáx emáx pf

60 43 Observa-se, etão, que o âgulo crítco de abertura fo obtdo sem a solução umérca das equações dferecas. É justamete essa característca que defe um método dreto. Porém, o objetvo do estudo é a obteção de um tempo crítco de abertura, logo, uma smulação umérca do sstema em falta será feta até que o âgulo crítco se guale ao âgulo do sstema em falta. O tempo em que sto acotece será o tempo crítco de abertura. 4.2 Teora dos Sstemas Dâmcos Autôomos O modelo obtdo para estudo de establdade em sstemas elétrcos de potêca é um cojuto de equações dferecas ordáras que represeta a dâmca do sstema em estudo, ou seja, o sstema elétrco de potêca é tratado como um sstema dâmco para o estudo de establdade. Neste cotexto, uma breve descrção da teora de sstemas dâmcos se faz ecessára para fudametar o estudo de establdade. Grade parte dos sstemas dâmcos são descrtos por equações dferecas de ª ordem do tpo x = f, ode a fução f pode depeder das própras varáves de estado x, do tempo t e ada de uma fote extera u. Os sstemas elétrcos de potêca pertecem a uma classe dstta de sstemas ão depedetes da varável tempo, em de elemetos forçates u,ou seja, são sstemas do tpo ( f ( t x) = f ( x) ),, chamados de sstemas autôomos. Seja o sstema autôomo abaxo: x = f ( x) (4.4) ode: f : D R é uma fução cotuamete dferecável em um domío D R em R. Supoha que x D seja um poto de equlíbro de (4.4), tal que: ( x) = 0 f (4.5) Supoha que x 0, e cosdere a segute mudaça de varáves y = x x, a dervada de y é dada por: y = x = f ( x) = f ( y + x) = g( y), ode ( 0 ) = 0 g (4.6)

61 44 y = Desta forma o sstema g( y), a varável y, possu o poto de equlíbro a orgem. Coclu-se portato que, sem perda de geeraldade, pode-se sempre assumr que f ( x) satsfaz ( 0 ) = 0 f, e estudar a establdade a orgem x = 0. Exatamete para retratar o problema a orgem é que esta passagem fo descrta. Para os problemas de establdade trastóra que ão tverem poto de equlíbro a orgem, é sempre possível ecotrar, sem ehuma perda de geeraldade, um ovo sstema que teha poto de equlíbro a orgem, e que represete o sstema atgo completamete. 4.3 O Método de Lyapuov para Sstemas Autôomos O estudo de establdade por métodos dretos permte a predção da establdade sem a solução explícta das equações dferecas que represetam o sstema elétrco de potêca. Porém, além de predzer a establdade de potos de equlíbro, os métodos dretos forecem camhos para estmar a área de atração. Exste a ecessdade, etão, da cração de fuções que explctem a establdade ou stabldade de um sstema. Como pode ser vsto em Vdyasagar (993), se fosse possível defr, em algum setdo, a eerga total de um sstema, a qual tvesse a propredade de ser zero a orgem e postva em outros lugares, ou seja, ter um mímo local ou global em 0, coseqüetemete, se o sstema, orgalmete a orgem, fosse perturbado, o ível de eerga do sstema aumetara, e etão, a partr daí, olhar-se-a para o comportameto dâmco do sstema, e depededo da fução eerga utlzada, poder-se-a coclur sobre a establdade. Neste cotexto etram as déas do método de Lyapuov, que por sua vez se baseam as déas de Lagrage (800): "Se uma certa posção de repouso de um sstema mecâco coservatvo é um poto de mímo da eerga potecal, etão esta é uma posção de equlíbro estável. Caso cotráro, a posção é stável." Lyapuov, geeralzado as déas de Lagrage, ou geeralzado o coceto de eerga mecâca de um sstema, estabeleceu o segute teorema:

62 45 Teorema de Lyapuov(4.): Seja x=0, um poto de equlíbro do sstema (4.4), e D R um domío cotedo x = 0. Seja uma fução de classe C, V : D R, cohecda como fução de Lyapuov, defda postva, ode: Etão, se: V(0) = 0 e ( x) > 0 a) ( x) 0 V em { 0} V em { 0} D (4.7) D : (4.8) sua dervada o tempo seja sem-defda egatva, etão, a solução do sstema dâmco assocado é estável; b) ( x) < 0 V em D { 0} : sua dervada o tempo seja defda egatva, etão, a solução do sstema dâmco assocado é asstotcamete estável; A demostração do teorema de Lyapuov tora-se ecessára para o etedmeto da modelagem dos métodos dretos, bem como para a coerêca desta dssertação. A prova do teorema de Lyapuov descrta a segur pode ser ecotrada, por exemplo, em Khall (996): Prova: Para um dado > 0 r tal que: ε, escolhe-se ( 0,ε ] B r { x R x r} D = (4.9) Seja α = m V ( x). Etão, da equação (4.7), coclu-se que α > 0. Fazedo ( 0 ) β,α, tem-se: Logo x =r Ω β está o teror de β { B V (x β} Ω = x r ) (4.20) B r, como pode ser vsto a fgura 4.2 :

63 46 Fgura Represetação geométrca dos cojutos a prova do teorema de Lyapuov Ω β é um cojuto com a característca de que as trajetóras que se cam detro dele em t = 0, ele permaecem para t 0, pos coforme (4.8): Uma vez que ( x( t) ) 0 V ( x( t) ) V ( x( 0) ) β, t 0 V& (4.2) Ω β é um cojuto compacto, coclu-se que a equação 4.4 tem uma úca solução defda para todo o tempo t 0, ode x (0) Ω β. Se V (x) é cotíua e V ( 0) = 0, exste um δ > 0, tal que: Etão: e, Portato, x x δ V (x) < β, (4.22) B δ Ω β B r (4.23) ( 0) Bδ x(0) Ω β x( t) Ω β x( t) B r (4.24) mostra que o poto de equlíbro x = 0 é estável. x( 0) δ x( t) < r ε, t 0 (4.25) Para provar a establdade asstótca, é ecessáro mostrar que x( t) 0 quado t, ou seja, para todo a > 0 arbtráro, exste um T > 0, tal que x ( t) < a, para todo t > T.Por repetção dos argumetos prévos, sabe-se que para todo a > 0, pode-se escolher b > 0, tal que Ω b Ba. Portato, é sufcete mostrar que V ( x( t) ) 0, quado t. Uma vez que, V ( x(t) ) é mootoamete decrescete e lmtado ferormete por zero, portato: ( x( t) ) c 0 V quado t (4.26)

64 47 Para mostrar que c = 0, será utlzado o argumeto da cotradção. Supoha que c > 0. Pela cotudade de V (x), exste um d > 0, tal que Bd Ω c. O lmte de ( x( t) ) c > 0 V mplca que a trajetóra de x (t) fca fora da bola B d para todo t 0. Seja γ = max V& ( x), etão por (4.8), γ < 0, de tal forma que: d x r t ( x( t) ) = V ( x(0) ) + V ( x( τ )) dτ V ( x(0) ) γ t V & (4.27) 0 Uma vez que o lado dreto da expressão pode evetualmete se torar egatvo, a equação cotradz a suposção de que c > 0. Uma fução cotíua e dferecável V ( x) satsfazedo (4.7) e (4.8), é chamada de fução de Lyapuov. A superfíce, ( x) c superfíce de Lyapuov ou curva de ível. V =, para algum c > 0, é chamada de Fgura Curva de Nível de uma Fução de Lyapuov A codção V & 0 mplca que quado a trajetóra cruza a superfíce de Lyapuov, V ( x) = c, ela se move para detro do cojuto Ω = { x R V x) c} c ( e detro deste cojuto ão cosegue mas sar. Quado V & 0, a trajetóra move-se de uma superfíce de Lyapuov para outra mas teror, com meor c. Com o decréscmo de c, a superfíce de Lyapuov, V ( x) = c, ecolhe em dreção a orgem, mostrado que a trajetóra alcaça a orgem, equato o tempo avaça. Se for cohecdo apeas que V & 0, ão se pode garatr que a trajetóra alcaçará a orgem, porém pode-se coclur que a orgem é estável, desde que a trajetóra esteja cotda detro de uma bola B ε para uma dada codção cal x (0), permaecedo o teror de uma superfíce de Lyapuov que cotém a bola. Já para V & 0, pelo mesmo racocío, a trajetóra movese de uma superfíce de Lyapuov para outra mas exteror, com maor c. Com o

65 48 acréscmo de c, a superfíce de Lyapuov, V ( x) = c, aumeta a dreção cotrára a da orgem, mostrado que a trajetóra se afasta da orgem, equato o tempo avaça. 4.4 Defção da Área de Atração Como dto aterormete, a aálse de establdade pelo método passo-a-passo é adequada para aplcações em tempo real, já que ecessta de soluções umércas de equações dferecas que cosomem muto tempo computacoal. Para possbltar aplcações em tempo real os métodos dretos são propostos, uma vez que são mas adequados para tal fm, devdo ao fato de ão utlzarem soluções explíctas das equações dferecas para estmação do tempo crítco de abertura. Matematcamete, começa-se pela dvsão do problema (estudo de establdade trastóra através de métodos dretos) em 3 sub-problemas: pré-falta, falta e pós-falta, como descrto a seção 3. do capítulo 3. Da equação (3.), para se predzer se a solução do sstema (φ) retora ao poto de equlíbro estável do sstema pós-falta, é ecessáro obter-se uma estmatva da regão de establdade do sstema pós-falta. Com a estmatva da regão de establdade, pode-se verfcar se o defeto é elmado ates de atgr o poto o qual a trajetóra do sstema em falta abadoa esta área de atração, predzedo se o sstema permaecerá estável. As fudametações do modelo dos métodos dretos para cálculo do tempo crítco de abertura (predção da establdade) que seguem este relatóro têm palavras escrtas em tálco que represetam os fudametos serdos o estudo pela ova abordagem proposta. Seja um sstema dâmco autôomo represetado a equação (4.4), ode a fução f ( x) é de classe C, R em R, ode a classe C é uma classe partcular de fuções que são cotíuas e dferecáves e suas dervadas são cotíuas. Para este sstema são ecessáras e descrtas termologas que podem ser ecotradas, por exemplo, em Bretas e Alberto (2000). Um poto (x ) qualquer do sstema dâmco descrto acma, é dto poto de equlíbro (p.e.) se f ( x ) = 0. Dz-se que um poto de equlíbro é hperbólco se a matrz Jacobaa J ( x ), calculada o poto x, do sstema learzado este poto ão tem autovalores com parte real zero. Dz-se que um p.e. hperbólco, x s,é estável (p.e.e.), se todos os autovalores da matrz

66 49 Jacobaa calculada em x s, têm parte real egatva, caso cotráro o p.e. é dto stável (p.e..). O tpo de um p.e.. é defdo pelo úmero de autovalores com parte real postva que a matrz Jacobaa têm, ou seja, com autovalor com parte real postva, o p.e.. é de tpo-, e assm por date. O cojuto formado pelos p.e`s do sstema da equação (4.4) será chamado de E, e o cojuto formado pelos p.e`s de tpo- do mesmo sstema será chamado de E. Um sstema é dto globalmete estável se a orgem é estável e para qualquer codção cal dada para o mesmo, a solução se aproxma da orgem quado o tempo tede ao fto. Em sstemas ão leares em sempre ocorre a establdade global, sedo que esta codção fca restrta a um cojuto de codções cas, cotdas o espaço R, que possuem trajetóras que covergem para o p.e.e. x s. No caso de sstemas de potêca a determação deste cojuto de codções cas é o prcpal objetvo das aálses. A esse cojuto é dado o ome de área de atração ou regão de establdade A ( x s ): { x s } ( x ) = x R ( x, t) A lmφ =, (4.28) s t A frotera de establdade, ou seja, a regão lmítrofe da regão de establdade, e o fecho de A ( x s ) são represetados, respectvamete por A( x s ) e ( x s ) A. A fgura 4.4 represeta a área de atração de um sstema de potêca: A(x s ) frotera da área de atração trajetóra do sstema em falta x s x 0 elmação do defeto Poto o qual a trajetóra do sstema em falta abadoa a área de atração Fgura 4.4- Área de atração do poto de equlíbro estável do sstema pós-falta

67 50 Ode: x s é o poto de equlíbro estável do sstema pós-falta; x 0 é o poto de equlíbro estável do sstema pré-falta; A(x s ) é a regão de establdade do sstema pós falta; Portato, se o defeto for elmado ates de atgr o poto o qual a trajetóra do sstema em falta abadoa a área de atração, o sstema permaecerá estável. Sedo s mafold ) ( x ) x um p.e. hperbólco de (4.4), defe-se varedade estável ( stable W como: W s ( x ) = { x R ( x, t) x, quado t } φ (4.29) e varedade stável ( ustable mafold ) W u x ) como: W u ( ( x ) = { x R ( x, t) x, quado t } φ (4.30) obs: ambos cojutos são varates; A teora do método BCU requer que os potos de equlíbro stáves de cotrole perteçam à frotera da área de atração do p.e.e. do sstema pós-falta, e para esse atedmeto é ecessáro que a codção de trasversaldade seja satsfeta e que o úmero de potos de equlíbro a frotera da área de atração seja fto, ode se etede que codção de trasversaldade é a característca de que todas as varedades estáves e stáves dos potos de equlíbro stáves da frotera de establdade devem se terceptar trasversalmete. Matematcamete, a codção de trasversaldade é atedda se: em todo poto da terseção x ( A B), ode A e B são varedades em R, os espaços tagetes A e B em x, geram o espaço tagete de em x : x ( A) + T ( B) R, para x ( A B) T = A e B ão se terseccoarem; x (4.3) R Após estas defções, vê-se que são ecessáras algumas cosderações referetes ao sstema dâmco autôomo a ser estudado. Sejam as cosderações, 2 e 3 para sstemas dâmcos:

68 5. todos os potos de equlíbro da regão de frotera de establdade devem ser hperbólcos; 2. a codção de trasversaldade deve ser satsfeta; 3. o teorema de Lyapuov (4.) deve ser satsfeto; As cosderações e 2 acma dzem que o sstema dâmco que cotém estas característcas é do tpo Morse-Smale, e ada que os cojutos dâmcos Morse-Smale são desos detro do cojuto dos sstemas dâmcos. Os sstemas de potêca estão cotdos detro do cojuto dos sstemas dâmcos que têm característcas de campo vetoral Morse-Smale. Cosdere o teorema de Lyapuov (4.), que também pode ser, ecotrado em Bretas e Alberto (2000), Chag et al. (987) e Hale e Koçak (99). A fução defda pelo teorema, fução de Lyapuov, é algumas vezes deomada fução eerga do sstema dâmco, uma vez que a mesma pode represetar em algus casos a eerga de um sstema. Devdo a esta represetação, algumas coclusões são possíves a respeto das cosderações e do teorema de Lyapuov; as cosderações e 2, a respeto dos sstemas dâmcos, são propredades geércas que garatem a establdade estrutural de sstemas dâmcos. As codções a e b, do teorema de Lyapuov, mplcam que a trajetóra camhe em dreção ao poto de equlíbro estável ou dvrja em dreção ao fto, o que garate que comportametos dâmcos caótcos ou osclatóros, como cclos lmtes, ão ocorram. E, falmete, se os potos de equlíbro são hperbólcos, eles são solados. A teora fudametal a respeto da formação de regões de establdade dz que a frotera da regão de establdade é formada pela uão das varedades estáves dos potos de equlíbro stáves que pertecem à frotera de establdade. Os dos teoremas abaxo dão as codções ecessáras e sufcetes para que um p.e.. esteja a frotera de establdade: Teorema 4.2: (Codção ecessára e sufcete para um p.e.. estar a frotera da área de atração) Para o sstema dâmco da equação 4.4, que satsfaz as cosderações, 2 e 3, x é um poto de equlíbro stável a frotera da regão de establdade A(x s ) de um poto de equlíbro estável x s, se e somete se W u (x ) A(x s ) φ;

69 52 Teorema 4.3: (Caracterzação da frotera de establdade) Para o sstema dâmco da equação (4.4), que satsfaz as cosderações, 2 e 3, seja x, =,2,..., um poto de equlíbro stável a frotera da regão de establdade A(x s ) de um poto de equlíbro estável x s, etão: s ( x ) = W ( x ) s U A (4.32) x EI A As provas destes dos teoremas podem ser ecotradas em Chag et al. (987). Seja x, k=,2,... um p.e. de tpo- a frotera de establdade A( ) k x s. Uma vez que as varedades estáves destes potos têm dmesão -, e ode as dmesões dos demas potos de equlíbro são meores que -, o segute coroláro do teorema 4.3 é descrto: Coroláro 4.: Para o sstema dâmco descrto a equação (4.4), satsfazedo as cosderações, 2 e 3, seja x k, k=,2,... um p.e. tpo- do sstema dâmco da expressão (4.4), a frotera da regão de establdade A( ) Etão: A s ( xs ) = UW ( xk ) x E I A k s s ode W ( x ) represeta o fecho de ( x ) k W. k, sto é, E I A. x s x k (4.33) Das cosderações acma realzadas, Chag et al., extraíram resultados sgfcatvos a respeto da relação dos potos de equlíbro e das fuções eerga. Estes resultados serão reapresetados aqu. Teorema 4.4: (Fução Eerga e Potos de Equlíbro) a. Se o sstema dâmco represetado a expressão (4.4) s satsfaz as cosderações, 2 e 3, etão, a varedade estável ( x ) W de um poto de equlíbro x, o poto aode a fução eerga alcaça um mímo é exatamete o equlíbro x, sto é: V ( x ) ( x ) ( x) = m V (4.34) s x W b. Para o sstema dâmco da equação (4.4), que satsfaz as cosderações, 2 e 3, a frotera da regão de establdade A( ) de x s, x s

70 53 o poto o qual a fução eerga alcaça um mímo deve ser um poto de equlíbro de tpo-; c. Para o sstema dâmco da equação (4.4), que satsfaz as cosderações, 2 e 3, se for admtdo que a regão de establdade A ( x s ) de x s é lmtada, etão, a frotera de establdade A( ) de x s, o poto o qual a fução eerga alcaça um máxmo deve ser um poto de equlíbro de tpo-, chamado em lígua glesa de "source"; x s Através destas demostrações a frotera de establdade ou frotera da área de atração fca completamete caracterzada. Esta caracterzação, que é a base do estudo dos métodos dretos, fo descrta ao mesmo tempo em que as omeclaturas e defções correspodetes a estes métodos foram mecoadas. Este embasameto será, daqu em date, utlzado para a modelagem do problema de establdade por métodos dretos e sua fução eerga. A vsão matemátca do problema será substtuída pela vsão de sstemas de potêca (scrosmo), recorredose aos cocetos matemátcos, aterormete descrtos, quado os mesmos se fzerem ecessáros. 4.5 Aplcação dos Métodos Dretos e sua Fução Eerga a Sstemas de Potêca O modelo matemátco de um sstema de potêca para o estudo de establdade trastóra é um cojuto de equações dferecas ão leares, ode o objetvo, do poto de vsta matemátco, é determar se a trajetóra do sstema pós-falta tede para o p.e.e. pós-falta. O método eergétco basea-se os cocetos da mecâca, de que é possível defr uma fução eerga assocada a um sstema, afm de estudá-lo sem a ecessdade do estudo de seu movmeto completo, ou seja, coclu-se a respeto dos estados cas e fas de um sstema, sem cohecer o camho percorrdo pelo mesmo. Baseado esta déa eergétca é possível descobrr se o estado fal de um sstema de potêca é estável ou ão, sem cohecer o camho descrto, sto é, sem a tegração umérca

71 54 passo-a-passo, que cosome muto tempo computacoal e mpede aplcações em tempo real. Seja um sstema de equações dferecas dado por: θ = ω ω = f ( θ, ω ) (4.35) dv Uma fução V(θ,ω) é dta uma quatdade coservada por (4.35) se = 0, ou dt seja V é costate para todo t ao logo das soluções. As fuções eerga utlzadas a mecâca são as prmeras tegras de sstemas coservatvos, porém ão exstem metodologas para se costruírem as prmeras tegras, a ão ser para sstemas de 2ª ordem. Logo é possível ver que para um sstema de 2ª ordem, é possível estudar o comportameto de um sstema (coclur sobre seu estado cal e fal) sem resolver explctamete a equação dferecal que o descreve. O crtéro das áreas guas (seção 4.), por exemplo, utlza este procedmeto eergétco para o cálculo do âgulo crítco de abertura. Para o sstema que descreve o comportameto de uma máqua (modelo clássco - seção 2.4, capítulo 2) cotra um barrameto fto (seção 3.4, capítulo 3), tem-se: δ = ω (4.36) M ω = P m P e máx seδ Seja: 2 s s V( δ, ω) = M ω P m ( δ δ ) Pe (cosδ cosδ ) (4.37) máx 2 uma fução eerga (Lyapuov) assocada ao problema de uma máqua versus barrameto fto. Pode-se faclmete ver que V é uma ª tegral do sstema (4.36). No problema ctado, de uma máqua versus um barrameto fto ( Oe Mache Ifte Bus System OMIBS ), através do coceto de coservação da eerga, resolve-se o problema da establdade trastóra, porém em problemas multmáquas, ode o sstema ão é cosderado coservatvo, é ecessáro um cohecmeto profudo do campo vetoral para a solução do problema de establdade. Os cocetos deste campo vetoral podem ser ecotrados em Bretas e Alberto (2000), em Hale e Koçak (99) e em Lma (977).

72 55 Após a obteção da área de atração que ão é smples e está caracterzada a seção ateror, o problema da establdade trastóra em sstemas de potêca fca resolvdo, smulado-se o sstema até que este atravesse a frotera da regão de establdade; o tempo decorrdo até este cruzameto é o tempo crítco de abertura, ou tempo máxmo de duração da falta para que se garata a establdade do sstema. No estudo de establdade em sstemas coservatvos, a força atua o setdo egatvo do gradete da eerga potecal. Lyapuov, geeralzado as déas de Lagrage, estabeleceu teoremas a respeto dos sstemas autôomos, defdo uma fução, dta de Lyapuvov, e um camho para a estmação da regão de establdade. Seus teoremas são codções sufcetes, porém ão ecessáras, o que faz com que as estmatvas da área de atração sejam coservadoras. Não exstem métodos sstemátcos para ecotrar uma fução de Lyapuov para sstemas de ordem maor ou gual a 3, em geral as fuções eerga forecem um dcatvo para ecotrá-las. O desevolvmeto da fução eerga utlzada este estudo pode ser ecotrado em Bretas e Alberto (2000), e fo proposto prmeramete por Aylett (958). A fução eerga é obtda multplcado-se a -ésma equação de swg referecada ao COA (3.36, seção 7,capítulo 3) por ~ ω. Este procedmeto é aálogo a multplcar a força pela velocdade, a fm de obter a potêca em um sstema mecâco. A multplcação resulta em: M d ~ ω dt 2 ( P E G ) + [ Cj se( θ θ j ) m = j = j + D j se M ( θ θ )] + P ~ ω = 0 Porém, ~ dθ ω =, podedo-se escrever a equação (4.33) assm: dt ~ ~ dω 2 dθ M ω ( P E G ) + m dt dt = + + = j M T COA [ Cj se( θ θ j ) + Dj cos( θ θ j )] = j = j = M M T P COA dθ dt = 0 + dθ + dt (4.38) (4.39)

73 56 Por defção, sabe-se que C j = C j e D j = D j. Logo, se obtêm as segutes gualdades: = j= j = j= j C D j j ( θ θ ) dθ d j se ( θ θ j ) = Cj se( θ θ j ) (4.40) dt dt = j= + ( θ + θ ) dθ d j cos ( θ θ j ) = Dj cos( θ θ j ) (4.4) dt dt = j= + Também por defção, da referêca agular COA, sabe-se que: logo, tem-se também a gualdade: = M M T P COA dθ dt = P COA M T = M ~ω = 0 M = ~ω = 0, (4.42) Itegrado-se (4.39), do tempo t = 0 até t, após substtução de (4.40), (4.4) e (4.42) em (4.39), obtêm-se: V ( θ, ~ ω ) = + + t 0 = t 0 = j = + t t d ~ d M ~ ω 2 θ ω dt ( Pm E G ) dt + dt 0 = dt d( θ θ j ) Cj se( θ θ j ) dt + dt 0 = j = + D j d( θ + θ j ) cos( θ θ j ) dt dt (4.43) Elmado-se a varável tempo, pelo fato de se admtr que o tempo t = 0, o sstema esteja o poto de equlíbro estável ( θ s,0) o poto ( ω ), e que o tempo t, o sstema esteja θ, ~, obtém-se a segute expressão para a fução eerga: V ( θ, ~ ω ) = + + ~ ω 0 = s s θ θ = j = + j M ~ ω d ~ ω θ θ j θ + θ j s s θ θ = j = + j Resolvedo-se as tegras, tem-se: C D j j θ 2 ( Pm E G ) s θ = se( θ θ ) d( θ θ ) + cos( θ θ ) d( θ + θ ) j j j j dθ + (4.44)

74 57 V ( θ, ~ ω ) = + = 2 M ~ ω 2 j = j = + C θ + θ j s s θ θ = j = + j 2 ( Pm E G ) = s ( θ θ ) s s [ cos( θ θ ) cos( θ θ )] D j j cos( θ θ ) d( θ + θ ) j j j (4.45) Porém a últma parcela da expressão da eerga é uma tegral depedete do camho, o que sgfca que o sstema ão é coservatvo quado as codutâcas de trasferêca são dferetes de zero. Apesar dsto, esta fução tem sdo empregada com sucesso em aplcações evolvedo grades sstemas. Para sso, aproxma-se o camho de tegração da tegral depedete do camho, por uma reta, e obtém-se: θ s θ js = j = + = j = + θ θ j D j D j cos( θ θ ) d( θ + θ ) θ + θ j θs θ js θ θ θ + θ j s j js [se( θ θ ) se( θ θ )] j j s js (4.46) Esta aproxmação está deduzda em Bretas e Alberto (2000). 4.6 Evolução dos Métodos Dretos Os estudos dos métodos dretos para predção da establdade de sstemas elétrcos, foram propostos por Gless (966) e El-abad e Nagappa (966), baseados a teora de Lyapuov, evtado-se a resolução explícta das equações dferecas do sstema, que é feto através de tegração umérca. Kakmoto et al. (978) e Athay et al. (979) propuseram o poto de equlíbro stável de cotrole, a qual a dreção da trajetóra de falta sera usada a determação da margem de establdade do sstema. Em Chag et al. (987) foram descrtos dos teoremas que caracterzam completamete a regão de establdade e fo estudada a modelagem clássca do problema de establdade trastóra de sstemas de potêca através de métodos dretos. A caracterzação completa da área de atração realzada a seção 4.4 deste capítulo demostrou ser algo muto complexo quado aplcado a sstemas de potêca. Apesar da teora matemátca precsa descrta e ctada, ão se obteve até o mometo um processo sstemátco aplcável a sstemas elétrcos de potêca. Com sso, város métodos foram propostos a lteratura, como tetatvas de se estmar a área de atração. Detre dos

75 58 métodos dretos propostos, baseados os estudos de Lyapuov, estão os descrtos abaxo: Poto de equlíbro de meor Eerga; Potos de Equlíbro Istáves Aproxmados e Modos de Istabldade; Crtéro da Aceleração; Potecal Eergy Boudary Surface (PEBS); Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot (BCU); Prmeramete fo proposto a lteratura a deteção do poto de equlíbro stável de meor eerga ( closest ustable equlbrum pot ) para a estmação da establdade do sstema pós-falta, ode se comparava o valor da fução eerga de todos os potos de equlíbro stáves da frotera de establdade e utlzava-se o de meor eerga. Etão se determava uma estmatva da regão de establdade baseada este poto (este ível eergétco). Comparado a eerga do sstema em falta com a do poto de equlíbro stável de meor eerga, era prevsta a establdade (caso a eerga do sstema em falta fosse maor que a do poto determado o sstema sera stável e ao cotráro, estável). Duas defcêcas evdetes desta cosderação são: a estmatva muto coservadora da área de atração e a ecessdade de se calcular todos os potos de equlíbro stáves a frotera da área de atração. Mutas vezes, o poto de meor eerga era um poto dstate da trajetóra da falta em cosderação, o que faza com que a estmatva do tcr (tempo crítco de abertura) fcasse muto reduzda, ou seja, a teora do closest ustable equlbrum pot desevolvda, a regão de establdade era exclusvamete depedete do sstema pós-falta, sedo depedete da trajetóra da falta, e por sso a predção da establdade fcava muto coservadora. Isto fez com que a abordagem dada a este estudo da área de atração fcasse restrta a apeas algus estudos devdo ao coservadorsmo de suas predções, e também pela ecessdade de se calcular os úmeros potos de equlíbro de um sstema elétrco de grade porte, o que levava a grade cosumo de tempo computacoal, ou seja, o egável fato de ão se levar a trajetóra ou dreção da falta em cosderação, pealzou muto a estmatva da área de atração por este método, stgado pesqusadores a cosderarem a dreção da falta para predção da establdade.

76 59 Em Chag et al. (989) fo caracterzado um destes estudos evolvedo o poto de equlíbro stável de meor eerga para avalação da seguraça dâmca de um sstema de potêca, ode fo verfcado, como dto aterormete, que a predção da establdade através da cosderação deste poto, é muto coservadora devdo ao fato da ão cosderação da trajetóra de falta. Porém, esta predção de establdade muto coservadora tem aplcações quado se procura avalar a robustez de um sstema elétrco. A verfcação de que o uso do poto de equlíbro stável de meor eerga a predção da establdade trastóra leva a resultados muto coservadores já tha sdo percebdo por Athay et al. (979), motvo pelo qual foram propostos o poto de equlíbro stável de cotrole e o PEBS. Os pesqusadores atetaram-se ao fato do cálculo de potos de equlíbro stáves mpedr o sucesso do método acma descrto. Logo, uma ova déa surgu o setdo de aproxmar o cálculo destes potos, evtado o esforço computacoal de outrora. Porém ao se tetar crar uma assocação etre os potos de equlíbro stáves e os modos de stabldade do sstema, verfcou-se que o úmero de combações possíves que geraram potos de equlíbro stáves sera muto grade, vablzado também esta metodologa do poto de vsta computacoal. As estmatvas do tempo crítco obtdas por este método ada foram coservadoras, e problemas de covergêca assocados ao método de Newto utlzado para ecotrar os verdaderos potos de equlíbro, cado-se os aproxmados, foram verfcados. Devdo aos problemas computacoas assocados ao cálculo desecessáro de város potos de equlíbro, e também devdo ao fato das predções de establdade obtdas, com os dos métodos ctados acma, serem coservadoras; surgram a lteratura métodos que tetaram se utlzar da trajetóra da falta, como base para a predção de qual poto de equlíbro sera o mas mportate para determada falta. Esta déa, bem razoável, basea-se o fato de que para faltas ou cotgêcas dferetes, exstem acelerações dferetes as máquas do sstema, que fazem com que potos de equlíbros dferetes sejam resposáves pela defção da establdade ou stabldade de um sstema, pelo meos para o º "swg". A prmera déa que surgu fo a de verfcar qual máqua tha maor aceleração cal, proporcoalmete a sua costate de érca. A máqua escolhda por este crtéro de aceleração sera a máqua para a qual se procurara um poto de equlíbro stável aproxmado assocado, e determar-se-a a eerga crítca do sstema. Poderase também utlzar um poto de equlíbro aproxmado como codção cal do método

77 60 de Newto-Raphso, do poto de equlíbro stável, e etão se obter o valor da eerga crítca. A partr dos estudos realzados, verfcou-se que em sempre a máqua que detha maor relação de aceleração cal era a máqua que defa o poto de equlíbro stável mportate. As vezes outra máqua acelerava mas em um tempo maor, sedo ela a resposável por defr o poto. Isso vablzou aplcações do crtéro de aceleração. O método PEBS, proposto por Athay (979), surgu para tetar solucoar o problema da estmatva da área de atração elmado o cálculo explícto dos potos de equlíbro stáves, ecotrado, a dreção da falta, uma aproxmação local da frotera de establdade do sstema. Em Chag et al. (988) apresetou-se a fudametação teórca do PEBS (Potecal Eergy Boudary Surface) para aálse da establdade trastóra em sstemas de potêca. Fo proposto, etão, o deomado poto de equlíbro stável de cotrole (do glês: "cotrollg ustable equlbrum pot"). Este poto sera o poto de equlíbro, que a dreção da falta, sera o resposável pela defção da establdade. A cosderação deste poto retrou o problema do coservadorsmo a predção de establdade, porém, agora, já ão se podera garatr que as estmatvas estaram detro da área de atração, ão se garatdo a establdade em "swgs" posterores, ou establdade "mult-swg". A proposta do uso poto de equlíbro stável de cotrole ( cotrollg ustable equlbrum pot c.u.e.p ) a predção de establdade cosdera a trajetóra da falta, ou seja, a regão de establdade é estmada localmete. A déa desta técca resde as defcêcas das aterores, que é o fato de ão ser ecessára a estmatva completa da área de atração, mas sm, somete a parte mportate para o estudo. Porém, um problema e uma dfculdade fcam evdetes: o problema se dá pelo fato de só se garatr a establdade de º "swg" e a dfculdade é que ão é fácl ecotrar o poto de equlíbro stável de cotrole. Quado o poto de equlíbro stável de cotrole fo proposto, ada fo dto o setdo de como se ecotrar este poto. O PEBS, como já fo dto, ão calcula explctamete o poto de equlíbro stável de cotrole. Para calcular este poto dversos métodos foram propostos culmado a proposta do método BCU (Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot). Chag et al. (994) defu que o poto de equlíbro stável de cotrole é o poto de equlíbro stável, cuja varedade estável

78 6 cotém o ext pot, ou poto ode a trajetóra de falta dexa a regão de establdade. Para calcular o poto acma descrto, o BCU basea-se a relação etre a frotera de establdade do modelo clássco de sstemas de potêca e a frotera de establdade do sstema reduzdo que é defdo apeas o espaço dos âgulos. O BCU utlza esta relação quado calcula o poto de equlíbro stável de cotrole da frotera de establdade do sstema gradete reduzdo, e ão a frotera de establdade do sstema do modelo clássco. Isto é feto devdo a facldade de cálculo do poto de equlíbro stável de cotrole o espaço dos âgulos. Llamas et al. (995), observaram algus problemas assocados ao algortmo BCU. Foram dados algus exemplos ode o mesmo falha a predção da establdade. Esta falha já hava sdo ecotrada por Chag et al. (988), e dz respeto a ão satsfação da codção de trasversaldade ecessára para o fucoameto do algortmo, mas que ão é verfcada pelo mesmo. A codção de trasversaldade que fora aterormete mecoada como uma codção ecessára para fucoameto do algortmo BCU, é aalsada em Alberto e Bretas (999) para sstemas de uma máqua versus barrameto fto. A codção de trasversaldade está tmamete relacoada com os parâmetros do sstema e reca sobre o fato de que todas as varedades estáves e stáves dos potos de equlíbro stáves, que perteçam à frotera da área de atração, devem cruzar-se trasversalmete. Apesar desta codção ser muto forte, o BCU ão a verfca, comprometedo a predção de establdade. Tree et al. (996) desevolveram uma técca melhorada para cálculo do poto de equlíbro stável de cotrole chamada de shadowg method. Esta técca melhorada veo corrgr dos problemas do algortmo BCU. O prmero problema é assocado ao fato do algortmo procurar um poto de mímo local partdo do ext pot calculado pelo PEBS, mímo este, que pode ão ser ecotrado e causar uma falha do algortmo. O segudo problema deve-se ao fato do algortmo usar o poto de mímo local calculado, como codção cal para ecotrar o poto de equlíbro stável de cotrole, porém o poto cal (mímo local) pode ão estar a regão de covergêca do poto de equlíbro stável de cotrole, e etão o algortmo ão ecotra ou ecotra um outro poto de equlíbro stável, predzedo erroeamete a establdade trastóra do sstema de potêca. O shadowg method proposto por Tree et al. (996) corrge os dos problemas do algortmo BCU através da utlzação da varedade estável do poto de equlíbro

79 62 stável de cotrole. A técca cosste a utlzação do fluxo e da forma da superfíce de eerga equpotecal em toro da varedade estável do poto de equlíbro stável de cotrole. O shadowg method corrge o ext pot através do fluxo do sstema gradete a vzhaça da varedade estável do poto de equlíbro stável de cotrole, obtedo uma seqüêca de fta de potos que coverge ao poto de equlíbro stável de cotrole. Com sso a técca descrta evta o cálculo do mímo local partdo do ext pot e garate a proxmdade do poto fal da seqüêca calculada em relação ao poto de equlíbro stável de cotrole, garatdo etão, uma codção cal a regão de covergêca para ecotrar o poto de equlíbro stável de cotrole. Scruggs e Ml (200) propõem um método dâmco de deteção do PEBS para predção de establdade trastóra em sstemas de potêca. O artgo mostra dos problemas assocados a deteção do ext pot. O prmero problema deve-se ao fato de que os métodos de deteção do ext pot (gradete e ray ) cosderam que a trajetóra de falta cruzará o PEBS ortogoalmete, o que ão é sempre verdade, uma vez que ão se cohece a trajetóra da falta. Esta cosderação faz com que o ext pot estmado afaste-se em mutos casos do real ext pot, predzedo-se erroeamete a establdade trastóra. O segudo problema está assocado a cosderação de que a eerga potecal de um sstema em falta cresce até cruzar o PEBS, o etato, esta afrmação em sempre é verdade, fazedo com que o ext pot seja ecotrado atecpadamete. O método dâmco, proposto por Scruggs et al., para evtar os dos problemas mecoados aterormete, basea-se a própra defção do PEBS, ou seja, o método verfca se os potos da trajetóra de falta estão detro da frotera da área de atração do sstema gradete através de uma tegração com úmero e tamaho de passos predefdos. Esta metodologa faz com que o ecotro do ext pot seja depedete da trajetóra de falta e depedete do cruzameto ortogoal da trajetóra de falta com o PEBS, elmado os dos problemas cas. Rodrgues et al. (996, 2000 e 200) dscutem o prcípo de varâca de LaSalle. Os estudos da teora de cojutos varates agem o setdo de expadr o úmero de problemas a serem cosderados através das fuções de Lyapuov, o qual os métodos dretos estão fudametados, possbltado o tratameto de sstemas ão leares até etão ão solucoáves através das fuções de Lyapuov.

80 63 Os métodos PEBS e BCU são os que mas se destacaram a estmação da área de atração, e ada são os objetvos de estudo desta pesqusa e serão aalsados separadamete em detalhes. 4.7 Método PEBS O método PEBS (do glês:"potecal Eergy Boudary Surface") fo proposto, calmete por Kakmoto et al. em (978) e expaddo por Athay et al. (979) com o objetvo de crcudar o problema de deteção do poto de equlíbro de cotrole, o qual a dreção da trajetóra de falta sera usada a determação da margem de establdade do sstema. Para uma dada trajetóra de falta, o método ecotra uma aproxmação da frotera da área de atração, como represetado a fgura 4.5: Fgura Aproxmação local da frotera de establdade Nesta seção será mostrada a déa motvacoal, com base heurístca do PEBS, bem como seu algortmo baseado estas déas. A superfíce de eerga potecal pode ser vsta como uma baca eergétca ao redor do poto de equlíbro estável, assocado a uma fução eerga que pode ser separada em duas compoetes, uma de eerga cétca e outra de eerga potecal. Algus dos potos extremos da fução eerga potecal cocdem com a frotera de

81 64 establdade, ou a borda desta baca, ode resdem os potos de equlíbro stáves. A fgura 4.6 esboça esta stuação. Baseado esta formação tegram-se as equações dferecas do sstema em falta até que o ível eergétco do sstema seja gual ao ível eergétco do PEBS, ou seja, tegram-se as equações dferecas até que os âgulos e as velocdades agulares resultem, uma eerga assocada total, gual à do PEBS. Uma explcação bastate efcete para o PEBS é dada em Bretas e Alberto (2000), que compara o sstema a uma bola detro de uma baca eergétca cuja frotera é o PEBS, baca esta que é aáloga a uma hdrográfca. A falta é equvalete a aplcação de uma força esta bola, de forma a tetar retrá-la da baca que a cotém. Logo a força máxma, a dreção perpedcular à lha do dvsor de águas, que podera ser aplcada à bola sera aquela que fzesse com que a mesma chegasse ao dvsor de águas com velocdade ula, sedo que se a eerga fosse sufcete para que a bola passasse pelo dvsor de águas da baca, o sstema sera cosderado stável, caso cotráro, estável. O PEBS veo solucoar o problema cocerete a estmatva da área de atração através da elmação do cálculo dos potos de equlíbro stáves, como dscutdo a seção 4.2 deste capítulo. V p Fgura 4.6: Esboço de uma baca eergétca

82 65 Es a déa do método: Seja a fução eerga para o sstema : V ( δ, ω), que pode ser dvdda em V ( δ, ω) = V k ( δ, ω) + V ( δ, ω) : p V ( δ, ω) : Eerga Cétca; k V ( δ, ω) : Eerga Potecal; p Nos potos de equlíbro do sstema a velocdade é ula e V (δ ) é um poto extremo em relação a δ. Traçado-se um gráfco de eerga potecal em relação ao âgulo δ em um sstema OMIBS, tem-se a segute fgura: p V p x δ Fgura 4.7 : Gráfco da Eerga Potecal x Âgulo δ A frotera da baca eergétca formada com os potos extremos da eerga potecal, como pode ser vsto a fgura 4.7, é cohecda como PEBS. Utlzado-se desta frotera, o algortmo do PEBS smula o sstema em falta através de solução umérca das equações dferecas que represetam o sstema elétrco, até que o âgulo (δ) cruze o PEBS. Este poto é chamado de ext pot. No problema multmáquas, o poto de equlíbro estável está localzado a parte mas baxa da baca de eerga potecal, sedo a sua frotera defda pelos potos extremos da fução eerga, e por lhas (varedades) que uem estes potos. O exemplo de baca eergétca da fgura 4.8 mostra este fato.

83 66 Fgura 4.8-Frotera da área de atração do sstema de 3 barras (referêca agular COA) Baseado esta metodologa, o PEBS evta o cálculo de potos de equlíbro stáves para a estmatva da área de atração, o que evta esforço computacoal desecessáro. Seja o seu algortmo: Algortmo PEBS: a) Verfca-se o poto o qual a trajetóra do sstema em falta cruza o PEBS ( V (δ ) é máxmo); δ* é este poto; p b) A eerga potecal que é relacoada ao âgulo δ* é a eerga crítca do sstema, se a eerga do sstema em falta for meor que a eerga crítca o mometo da abertura, o sstema é estável; Matematcamete o PEBS é a frotera da área de atração do segute sstema gradete assocado ao sstema orgal:

84 67. V p ( δ ) δ = = Pm Pe ; (4.47) δ Como exemplfcação do método PEBS para um sstema elétrco, seja o sstema elétrco composto por 3 barrametos, descrto a fgura 4.9 abaxo, ode os dados do sstema já represetam um fluxo de carga covergdo, represetado o sstema pré-falta até o acotecmeto de uma cotgêca. Fgura 4.9- Sstema de 3 barras O sstema descrto fo submetdo a uma cotgêca, curto-crcuto trfásco sóldo, a lha -2 próxmo a barra 2, de maera que a própra barra tvesse de ser elmada. Nestas codções, aplcado a aálse pelo método PEBS, utlzado o COA como referêca e a fução eerga descrta o capítulo ateror, obteve-se a segute baca eergétca da fgura 4.0:

85 68 Fgura Curva equpotecal do sstema de 3 barras para curto trfásco sóldo a lha -2 próxmo a barra 2 e ext pot calculado pelo método PEBS 4.8 Sstema Gradete Assocado ao Modelo Clássco Fudametação Teórca do PEBS O método PEBS, para uma dada trajetóra de falta, ecotra uma aproxmação da frotera da área de atração, como represetado as fguras 4.7 e 4.8. O ecotro desta aproxmação local da frotera de establdade é feto através de um sstema dmesoalmete reduzdo e computacoalmete mas efcete. Essa redução é proveete dos argumetos heurístcos que craram o PEBS, como dscutdo a seção ateror. Porém apeas quado Chag et al. (988) aalsaram o problema, é que costatações a respeto do sstema gradete assocado foram demostradas matematcamete, fudametado o PEBS. Esta fudametação está resumda abaxo, para ão dexar o coceto do PEBS sem base teórca. Seja o sstema descrto pelas equações dferecas:

86 69 ode: d x = x dt M x = D x k se x + p x = δ, é o âgulo de fase da máqua em um sstema OMIBS; Os potos de equlíbro são: Seja x s o poto de equlíbro estável de teresse e sstema 4.35 acma: (4.48) = se p x, x = 0 (4.49) k V x, x = Vk x + V p x = m x p s 2 Nos potos de equlíbro de sstemas da forma do (4.43), tem-se: x = 0; V P ( x) é um máxmo local com respeto a x ; A fgura 4. represeta a fução eerga V ( ) : 2 p V x, x a fução eerga do ( x x ) k ( cos x cos x ) s (4.50) V p x δ Fgura 4.- Eerga Potecal com potos x e x 2 como máxmos locas A fgura 4.2 mostra uma déa qualtatva da frotera de establdade de um sstema (4.48):

87 70 Fgura x e x 2 como p.e.s a frotera de establdade do sstema pós-falta. É possível otar que: a tersecção da frotera de establdade de x s do sstema reduzdo mostrado a fgura 4. com o cojuto x, x : x = 0, x R é a regão P = x, x : x2 < x < x, x = 0 ; A frotera da regão udmesoal P o espaço de x cosste de dos potos x e x 2 ; Os potos { x, x 2 } são caracterzados como máxmos locas da fução eerga potecal V ( ) ; p A extesão destas déas do sstema OMIBS para o sstema multmáquas ão é trval. Devdo a base heurístca do método PEBS é dfícl exergar quado o método provém uma boa aproxmação local ou ão para a frotera de establdade, e em quas codções ele a faz. A abordagem para fudametação teórca do PEBS o problema multmáquas, é baseado em Varaya (985), que vê o PEBS como a frotera de establdade do sstema gradete assocado, ao sstema orgal, coforme a equação (4.47), cujo, o modelo clássco (equação de "swg") para geradores é:

88 7 δ = ω V δ ω = ω p ( ) M D δ (4.5) ode δ, ω R e M, D são matrzes dagoas postvas. A motvação por trás da abordagem é o fato da eerga potecal ser a fução eerga do sstema gradete. E ada pelo fato de todos os potos de equlíbro estarem o subespaço {( δ, ω ): ω = 0} e estes potos ( δ, ω ) V ( δ ) V =. Para determar o relacoameto etre a frotera de establdade do sstema gradete assocado com o sstema clássco, a equação (4.5) será trasformada passo-apasso, va perturbação, até alcaçar a equação (4.47). Reescrevedo a equação do modelo clássco para máquas: V p M δ + D δ + = 0 (4.52) δ p E reescrevedo também, a equação do modelo gradete assocado: V p ( δ ) δ + = 0 δ (4.53) Se o termo M δ for suprmdo, tem-se: V p V p ( δ ) D δ + = 0 e δ + = 0 δ δ (4.54) Para suprmr o termo M δ, cosdera-se um passo termedáro: V p ε I δ + D δ + = 0 (4.55) δ ode: ε é um coefcete sufcetemete pequeo; I é a matrz detdade;

89 72 Logo, para determar a relação etre as froteras de establdade dos sstemas gradete assocado e clássco utlzam-se os segutes passos: º passo: determa-se o relacoameto etre as froteras de establdade dos sstemas de 4.54: V p δ = D e V δ δ = ) p ( (4.56) δ δ ode D, é a versa da matrz D, e também é uma matrz dagoal postva; 2º passo: determa-se o relacoameto etre as froteras de establdade dos sstemas (4.52) e (4.55): δ = ω V ( ) p δ M ω = D ω δ (4.57) e δ = ω V δ ε ω = ω p ( ) (4.58) I D δ 3º passo: determa-se o relacoameto etre as froteras de establdade dos sstemas: V p δ = D (4.59) δ e δ = ω V δ ε ω = ω p ( ) I D δ (4.60) A abordagem empregada para estabelecer o relacoameto etre a frotera de establdade dos sstemas é smlar para os passos e 2, ode prmeramete derva-se uma completa caracterzação da frotera de establdade dos sstemas descrtos estes dos passos. Depos, é coduzda uma aálse qualtatva a varação da frotera de establdade, quado o campo vetoral destes sstemas é perturbado. Já o passo 3, usase a técca de perturbação sgular para mostrar o relacoameto etre a frotera de

90 73 establdade dos sstemas 4.59 e A caracterzação da frotera de establdade para os 3 passos pode ser ecotrada em Chag et. al. (988). 4.9 Método BCU ("Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot") Para a deteção do poto de equlíbro stável de cotrole da regão de establdade, o BCU ( Boudary Cotrollg Ustable Equlbrum Pot ), fo proposto por Chag et al. (994). O algortmo basea-se a relação da frotera da área de atração do sstema pós-falta etre o modelo orgal e o modelo reduzdo (gradete assocado). Logo, como vsto a seção ateror, ecotrado-se os potos de equlíbro stáves de cotrole do sstema gradete assocado, ecotram-se os potos de equlíbro stáves de cotrole do sstema do modelo orgal, ou seja, através do sstema do modelo gradete assocado se ecotram os potos de equlíbro stáves de cotrole do sstema do modelo orgal. Detre as vatages de se utlzar o sstema gradete está a redução do sstema orgal (de 2- para - varáves), porém exste um desevolvmeto de teora em sstemas dâmcos para verfcar se essa relação é possível, como descrto a seção ateror. Como os campos vetoras assocados ao sstema dâmco autôomo em questão são dsspatvos e são Morse-Smale, a frotera da área de atração destes sstemas é formada pela uão das varedades estáves dos potos de equlíbro stáves que pertecem à frotera da área de atração. Sob certas hpóteses, o poto de equlíbro stável de cotrole (δ co ) do sstema gradete assocado pertecerá à frotera da área de atração deste sstema se e somete se o poto de equlíbro stável de cotrole (δ co,0) pertecer à frotera de establdade do sstema orgal. Esta assocação etre os potos de equlíbro stáves sugere a utlzação do sstema gradete reduzdo assocado para o cálculo do poto de equlíbro stável de cotrole relatvo a uma codção de falta do sstema orgal. O algortmo BCU, para a deteção do poto de equlíbro stável de cotrole através da utlzação do modelo do sstema gradete assocado fca assm:

91 74 Algortmo BCU: Ao logo da trajetóra do sstema em falta (δ(t),ω(t)), ecotra-se o ext pot δ * que é o poto o qual a trajetóra projetada δ(t) atge o prmero máxmo local da eerga potecal V p ( ). Utlza-se o poto δ * como sedo codção cal e tegra-se o sstema f = reduzdo pós-falta até ecotrar o prmero mímo local de ( δ ). Seja este δ * o. Utlza-se o poto δ * o como estmatva cal para resolver f(δ)=0. Seja δ * co o zero de f ecotrado. (δ * co,0) será o poto de equlíbro de cotrole relatvo à trajetóra em falta (δ(t),ω(t)) A fgura 4.3 lustra o algortmo. trajetóra do sstema faltoso Fgura Ilustração do algortmo BCU Para o sstema de 3 barras represetado pela fgura 4.9, obteve-se, para a mesma falta descrta a seção 4.9, o poto de equlíbro de cotrole obtdo pelo método BCU. A fgura 4.4 represeta a baca eergétca para este caso:

92 75 Fgura Curva equpotecal do sstema de 3 barras para curto trfásco sóldo a lha -2 próxmo a barra 2 e p.e.. de cotrole calculado pelo método BCU

93 76 Capítulo 5 ESTADO DA ARTE: PROBLEMAS E SOLUÇÕES DO PEBS E BCU Os métodos dretos, detre eles o PEBS e o BCU, vêm sedo muto estudados pelos pesqusadores de establdade de sstemas elétrcos de potêca por se destacarem detre os outros métodos dretos. O PEBS se destaca por ser de smples mplemetação possbltado aplcações prátcas em tempo real. Apesar desta smplcdade, o algortmo pode por vezes levar a estmatvas ão coservadoras da área de atração. Já o BCU tem formulação matemátca precsa para a busca do poto de equlíbro stável de cotrole, evtado tas predções ão coservadoras da área de atração, porém, o algortmo tem uma mplemetação que demada maor esforço computacoal. Apesar de suas qualdades, ambos algortmos têm problemas assocados à deteção dos potos de equlíbro de cotrole e "ext pots". Como é comum a mutos algortmos, eles se baseam em característcas, em sempre testadas, quado do estudo de um sstema elétrco. Esta pesqusa tem como objetvo a elmação de problemas relacoados a deteção do ext pot va método PEBS e do poto de equlíbro stável de cotrole va método BCU. Estudos vêm sedo realzados, detre eles um método dâmco para a deteção do PEBS (Scruggs e Ml (200)) e o shadowg method para a deteção do poto de equlíbro stável de cotrole (va BCU) (Tree et al. (996)). Uma vez mecoados os métodos para deteção do tempo crítco de abertura através de aálses dretas, serão descrtas aqu as fragldades de ambos algortmos para a percepção dos problemas os quas os algortmos PEBS e BCU falham.

94 77 5. Problemas assocados a deteção do ext pot Os problemas assocados à deteção do ext pot, através do método PEBS, estão assocados às codções do cruzameto da trajetóra em falta com a frotera de establdade. A própra defção do que é o "ext pot" dz que este é o poto em que a trajetóra em falta cruza a frotera de establdade. Como fo vsto o capítulo ateror, a caracterzação da frotera da área de atração ão é algo smples, apesar de matematcamete estar completamete caracterzada. Isto trás problemas que foram parcalmete sobrepujados pelos métodos PEBS e BCU, quado da assocação do sstema gradete reduzdo com o modelo clássco, e da aproxmação local da área de atração. Porém, é evdete que as aproxmações tato da regão de establdade, quato dos potos de equlíbros ecotrados, gerarão problemas quado submetdos a dferetes cotgêcas. Uma das stuações de mas clarvdêca dos problemas assocados as aproxmações, é o estudo de establdade "multswg". Com a caracterzação apeas local da área de atração, ão se pode garatr a permaêca detro da área de atração para "swgs" subseqüetes ao prmero, uma vez que tas osclações poderão estar fora da localdade estudada. Detro deste cotexto, é que exste o desevolvmeto de algortmos que tetam dar robustez aos métodos dretos. Da equação (4.42), sabe-se que o PEBS é a frotera da área de atração do sstema gradete assocado, que têm propredades que foram exploradas para a cração de métodos prátcos de deteção do "ext pot", que são: propredade (): o PEBS é formado pelas varedades estáves dos potos de equlíbro stáves a frotera da área de atração do sstema reduzdo, ou seja, coforme Scruggs e Ml (200), o PEBS forma uma varedade fechada de dmesão 2 o espaço dos âgulos que é usualmete suave e de rao aproxmadamete costate, em relação ao p.e.e. pós-falta;

95 78 propredade (2): um poto do PEBS caracterza-se por um máxmo de eerga potecal a dreção ormal ao PEBS; Esta depedêca da geometra faz com que em algus casos, o "ext pot" ecotrado possa estar muto loge do PEBS, afastado muto a estmatva (predção da establdade) da realdade. O método PEBS utlza o coceto de eerga que resulta em um ídce escalar (µ ou eerga), que é obtdo através da comparação do ível eergétco de um poto sobre a trajetóra em falta com o ível máxmo de eerga potecal sobre a trajetóra de falta. O método assume, ada, que a trajetóra de falta cruzará o PEBS ortogoalmete, porém sto é razoável apeas para cruzametos com formas como a da superfíce de eerga potecal descrta a propredade () (para o sstema gradete assocado), e ão para trajetóras em falta o sstema dâmco completo (sstema calmete obtdo), ode eerga é serda o sstema, o que pode culmar em stuações que a dreção da trajetóra em falta camha para potos com âgulos agudos o PEBS, como a fgura abaxo: Fgura 5. - Cruzameto ão ortogoal da trajetóra em falta com o PEBS

96 79 A outra cosderação é o fato de que se supõe que a eerga do sstema cresce durate a falta, até o cruzameto do PEBS, o que ão é sempre verfcado. Como o algortmo busca um máxmo a dreção de falta, caso a superfíce teha uma odulação esta mesma dreção, o método ecotra um "ext pot" em algum lugar que ão o PEBS, como pode ser vsto a fgura 5.2: Fgura 5.2: Superfíce Irregular do PEBS Para a exemplfcação fal do problema de deteção do "ext pot", submeteu-se o sstema de 3 barras da fgura 4.9 a uma falta a lha -2 próxma a barra 2, com mpedâca de falta de 0,045 pu. A trajetóra resultate exbe uma osclação a dreção de saída do PEBS. Este comportameto apreseta problemas com relação a propredade (2), como mostrado a fgura 5.2. Como o sstema têm "swgs" detro da área de atração para a falta em questão, ecotra-se através de Vp, um máxmo a dreção da falta, predzedo-se erroeamete o PEBS. Deve-se otar que decorre muto tempo até o cruzameto real com o PEBS, como pode ser vsto a fgura 5.3:

97 80 Fgura Falha da deteção do "ext pot" pelo algortmo PEBS 5.2 PEBS dâmco Para solução dos problemas assocados à deteção do "ext pot" mecoados a seção ateror, fo proposto por Scruggs e Ml (200), um método dâmco para deteção do "ext pot" do método PEBS, que explora a própra defção do PEBS, que é o fato de que o mesmo é defdo como a frotera da regão de atração do sstema gradete assocado. É possível testar, a qualquer mometo, se um estado δ está detro do PEBS, ou seja, smula-se o sstema pós-falta para os âgulos do estado δ em questão, e se verfca se os ovos potos de operação ecotrados estão mas próxmos do p.e.e. Para sto basta realzar a tegração umérca para o sstema pós-falta e testar sua covergêca ao p.e.e. Esse teste, de uma maera dferecada, é exatamete o que a proposta de um modelo dâmco para cálculo do PEBS (PEBS dâmco) faz. Como o processo de tegração é muto leto, passos fxos são propostos, ou seja, a tegração é lmtada a um úmero de passos, e a verfcação de que o estado em teste δ 0 está cotdo, ou ão, o PEBS é feta.

98 8 A maor vatagem deste método é que ele é baseado a própra defção do PEBS, e ão as característcas da superfíce de eerga potecal. Outra vatagem é que ele é depedete da trajetóra de falta, permtdo coclusões mas geras a respeto do comportameto do ext pot. Esta metodologa dâmca para deteção do PEBS, será chamada, de agora em date, de PEBS dâmco. O algortmo de fucoameto do método gradete dâmco ou PEBS dâmco, como aqu é chamado, é dado abaxo: Algortmo do PEBS dâmco:. Calcular a dstâca agularδ d do p.e.e. pós-falta ao estado atual δ 0. Seja δ = δ 0 ; 2. Em δ, ecotre o vetor utáro ormalzado ū, a dreção do gradete de eerga potecal. r δ, dado por: u = δ =. r. r ( δ ) 2 ; 3. Calcularδ ew, um ovo poto o espaço-δ, dado por: δ = δ + uδ d h, ode h é um tero maor que 0. ew / 4. Seja δ = δ ew e repta o passo 2 para h terações; 5. Calcule a dstâca δ d2, o espaço-δ, etre o âgulo δ ew resultate e o p.e.e. pósfalta, ecotrado um escalar µ, para o algortmo PEBS dâmco: µ PD (δ 0 )= δ d - δ d2 ; 6. Se µ PD (δ 0 )>0, δ 0 está detro do PEBS, caso cotráro, ão;

99 82 A fgura 5.4 lustra o algortmo acma: Retrato de Fase de um Sstema de 3 barras qualquer δ δ δ δ δ δ Fgura PEBS dâmco 5.3 Problemas assocados a deteção do poto de equlíbro stável de cotrole Embora o método BCU veha sedo utlzado com sucesso para aálses de establdade trastóra de prmero swg em mutos sstemas de potêca e em dversas stuações de falta, exste uma grade quatdade de casos os quas o BCU pode falhar. Algumas destas dfculdades foram vslumbradas orgalmete o trabalho de Chag et al. (994), mas ão foram completamete resolvdas. As codções as quas estas dfculdades podem ocorrer ão estão bem estabelecdas fazedo com que a ocorrêca do problema seja mprevsível. Apesar de se ecotrar um ext pot (PEBS ou PEBS dâmco como prmero passo do BCU), exstem problemas para a deteção de um mímo local de eerga potecal (segudo passo do algortmo BCU), e quado este mímo local cosegue ser

100 83 ecotrado, ele ão pertece à regão de atração do poto de equlíbro stável de cotrole, o que faz com que o algortmo ecotre o poto de equlíbro stável de cotrole errado, ou seja, exstem casos em que a trajetóra do sstema gradete reduzdo ão passa as vzhaças do poto de equlíbro de cotrole. Isso ocorre quado o gradete da eerga potecal é bastate acetuado as vzhaças do PEBS. Tree et al. (996) apresetaram dos problemas geércos de deteção do poto de equlíbro de cotrole. Para a vsualzação dos problemas, seja a fgura 5.5: Retrato de fase Fgura Problemas assocados a deteção do p.e.. de cotrole Ode: s θ é o p.e.e pós-falta; u θ é o p.e. de cotrole; mgp θ é o poto de mímo gradete ; s u ( ) W θ é a varedade estável do p.e. de cotrole; egs θ é o ext pot do passo- do BCU; tpo 2 θ é o p.e.. de tpo-2 a frotera de establdade;

101 84 º Problema demostrado por Tree et al.(996): φ Pode ão exstr o poto de mímo gradete ecotrado ao logo da trajetóra egsa ( θ t) gs, egsa egs2, fato que é mostrado a fgura 5.5, com θ = θ como poto de partda. Se ão exste poto de mímo gradete ecotrado, o sstema ou rá para o fto, ou covergrá para o p.e.e pós-falta; a deteção do poto de equlíbro de cotrole rá falhar, resultado a predção errada da establdade trastóra. 2º Problema demostrado por Tree et al.(996): Quado um poto de mímo gradete é ecotrado, é esperado que θ u seja resultado de uma solução de & VPE mgp θ = VPE =, com θ como poto cal. Isto, θ mgp o etato, pode ão ser verdade. θ pode ão estar o domío de covergêca de u θ para cada algortmo de solução utlzado. Isto pode ser vsto a fgura através do egsa egs3 poto θ = θ. mgp mgp3 Exste um poto de mímo gradete resultate θ = θ, mas quado aplca-se u o algortmo de solução ão-lear, ão se chega em θ, e sm em um p.e.. de tpo-2 tpo 2 como o θ da fgura 5.5. Um p.e. de tpo-2 em toro de um p.e.. de tpo- tem, em geral, maor valor de eerga potecal, uma vez que a eerga decresce ao logo da trajetóra do sstema gradete. Obvamete, baseado-se a predção de establdade em p.e. s dferetes do p.e. de cotrole, leva-se a avalações ão coservadoras de establdade. Serão mostrados mas dos exemplos de falha do algortmo BCU, relacoados ao sstema da fgura 4.9. O exemplo lustra a stuação ode o BCU falha, para um caso de máquas fortemete acopladas. Seja o sstema de 2 geradores versus barrameto fto apresetado a fgura 5.6. O parâmetro X é a reatâca da lha -2. Um curto crcuto ocorre a barra 2 e desaparece após um certo tempo de tal forma que o sstema pós-falta é gual ao pré-falta. Para valores da reatâca X grades, o BCU fucoa perfetamete. Para valores de X pequeos (X=0,04pu), o BCU pode apresetar problemas. Utlzado-se um passo de tegração de 0,05s e com X=0,04pu obteve-se o retrato de fase da fgura 5.7.

102 85 Fgura Sstema de duas máquas versus barrameto fto Retrato de Fase de um Sstema de 2 barras versus um barrameto fto Fgura Sstema de duas máquas versus barrameto fto A falha do BCU para esta stuação é um problema umérco relacoado ao passo 2 do algortmo BCU. A smulação do sstema em falta gera uma seqüêca de potos, e uma aproxmação correta do ext pot é obtda o passo do algortmo. Obvamete

103 86 esta aproxmação ão pertecerá exatamete ao PEBS embora esteja muto próxma dele. A falha ocorre porque a trajetóra do sstema gradete reduzdo ão passa as proxmdades do poto de equlíbro de cotrole. Poderá ão exstr o mímo local da orma ( δ ) = f ao logo da trajetóra do sstema reduzdo pós-falta ou mesmo se esta exstr este mímo estará loge do poto de equlíbro de cotrole correto. Se o passo de tegração for reduzdo, o ovo ext pot obtdo estará mas próxmo da frotera da área de atração do sstema reduzdo fazedo com que a trajetóra do sstema reduzdo o passo 2 do algortmo passe mas próxmo das vzhaças do poto de equlíbro de cotrole. No caso de sstemas com acoplameto forte etre as máquas, o passo de tegração deverá ser bem pequeo, pos o gradete da eerga potecal a dreção de ur as máquas é muto grade. Qualquer erro a determação do ext pot poderá fazer com que a trajetóra do sstema reduzdo pósfalta se afaste rapdamete do poto de equlíbro de cotrole mpossbltado a covergêca do algortmo. Isto acotece porque o PEBS este caso é uma lha de máxmos muto acetuada ode exste um despehadero a curva de eerga para ambos os lados do PEBS, etão qualquer erro a determação do ext pot faz com que a trajetóra do sstema reduzdo caa por este despehadero afastado-se rapdamete da varedade estável do poto de equlíbro de cotrole como mostra a fgura 5.7. O processo de teste de covergêca e redução do passo de tegração pode torar o processo computacoal leto. O outro exemplo de problema de deteção do poto de equlíbro de cotrole assocado ao método BCU, dz respeto ao comportameto do algortmo quado este atua a busca do poto de equlíbro de cotrole próxmo a uma bfurcação sela-ó, que pode ocorrer quado da mudaça de carregameto de um sstema. O poto de equlíbro stável de cotrole, este caso é um poto que está próxmo a uma bfurcação. Com a varação do carregameto do sstema, algo que é comum durate a operação do mesmo, este poto de equlíbro se afasta ou se aproxma do poto de bfurcação. Neste caso fo verfcado emprcamete que, o BCU ão cosegue detfcar o poto de equlíbro de cotrole correto, e predz erroeamete a establdade. Seja a fgura 5.8, que represeta a stuação descrta para o sstema de 3 barras da fgura 4.9, com geração do gerador em 270 [MW], submetdo a uma falta trfásca sólda a lha -3, próxmo a barra 3.

104 87 Fgura Falha da deteção do p.e.. de cotrole pelo algortmo BCU 5.4 Shadowg Method O shadowg method fo proposto por Tree et al (996) para a solução dos problemas assocados a deteção do poto de equlíbro de cotrole. A déa deste método parte da utlzação da varedade estável do poto de equlíbro stável de s u cotrole ( ) W θ. Esta utlzação é feta através do fluxo e da forma da superfíce de eerga equpotecal em toro desta varedade. Bascamete, o shadowg method utlza o fluxo do gradete a vzhaça da varedade estável do poto de equlíbro stável de cotrole, por um tempo relatvamete pequeo, para se aproxmar do poto de equlíbro stável de cotrole. O resultado é etão corrgdo para um outro mas próxmo da varedade em questão, e o procedmeto é repetdo. Desta forma, obtém-se uma seqüêca de potos, os quas covergem ao poto de equlíbro stável de cotrole. O fal da seqüêca de potos calculados deve estar bem próxma do poto de equlíbro stável de cotrole, de tal maera que, utlzado como codção cal o poto fal da seqüêca calculada, cosegue-se determar o poto de equlíbro stável de cotrole. Ou seja, após o shadowg method, resolve-se o passo 3 do

105 88 algortmo da maera covecoal, pos o método garate a proxmdade do poto de equlíbro stável de cotrole. A fgura 5.9 lustra o processo: ext pot 3 ext pot 2 PEBS poto de equlíbro de cotrole ext pot trajetóra do sstema em falta ext pot 4 SEP Fgura 5.9: Shadowg Method O shadowg method segue o algortmo abaxo: Algortmo do Shadowg Method : Um cclo geérco de 3 passos começado com o -ésmo cclo, ode [,...,N ] é dado por: r m(. Seja θ = φ ( θ ), t ), com t relatvamete pequeo; gs r r s s 2. Forme um cojuto ray (rao) R ( θ ) = { θ : θ = ( θ θ ) α + θ, α 0} m r V 3. Determar o poto θ R( θ ) que satsfaz PE m s ( θ θ ) = 0 θ feto através do método de Newto com θ r como poto cal. m. Isto pode ser ode:

106 89 R VPE φ gs é a solução do sstema gradete θ = V PE = em θ m( ), com codção cal em θ, ou seja, para um t relatvamete pequeo, m ( θ ( ), t ) r smula-se umercamete o sstema gradete, obtedo ao fal deste tempo θ ; V PE m m s ( θ θ ) = 0 θ sgfca uma codção de extremo (máxmo) da r fução eerga ao logo da reta formada pelo cojuto R( θ ); A fgura 5.0 represeta o algortmo do método para dos cclos: Prmero cclo: s- a s-3; Segudo cclo: s-4 a s-6; θ u θ r2 θ r θ m0 θ m θ m2 W S (θ u ) θ S θ S Fgura 5.0: cclos do Shadowg Method

107 90 Capítulo 6 RESULTADOS OBTIDOS Fo mplemetado um programa computacoal para smulação dos estudos de establdade trastóra. Este programa fo mplemetado para aplcações em sstemas multmáquas, coforme as característcas e modelos descrtos até agora. Nele é possível fazer smulações de establdade por métodos dretos ou pelo método de tegração umérca; pode-se utlzar o COA ou OMR como referêca. Foram mplemetados também os métodos dretos PEBS e BCU, e os métodos PEBS dâmco e o "shadowg method", como métodos dretos robustos. Três sstemas smulados o programa terão seus resultados apresetados. 6. Sstema de 3 barras com 3 geradores Um dos sstemas smulados fo o represetado a fgura 4.9, do capítulo 4. Serão mostrados aqu os resultados obtdos para curto-crcutos smulados, utlzado todos os métodos dretos mplemetados, bem como o resultado obtdo pela smulação umérca. Smulação do caso base: O sstema represetado pela fgura 4.9 fo submetdo a um curto-crcuto trfásco sóldo em todas as suas lhas, próxmos a todas as suas barras. Os resultados obtdos estão descrtos a tabela 6., ode: a ª colua represeta a lha de aplcação do curto-crcuto (falta); a 2ª colua represeta a barra próxma a falta; a 3ª colua represeta o tempo crítco de abertura (predção da establdade va PEBS) para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 4ª colua represeta o tempo crítco de abertura (predção da establdade va BCU) para a falta aplcada (referêca agular: COA);

108 9 a 5ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca pelo processo de tegração umérca para o prmero "swg" do sstema, com referêca agular a últma máqua (máqua 3); a 6ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca passoa-passo para o todos os "swgs" do sstema (establdade "mult-swg"), com referêca agular o COA; (tempo de smulação de 4 [s]) a 7ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca passoa-passo para o todos os "swgs" do sstema (establdade "mult-swg"), com referêca agular a últma máqua; (tempo de smulação de 4 [s]) as coluas de 8 a represetam quas máquas perderam scrosmo (torado o sstema stável) e quas foram seus comportametos (A-aceleração e D - desaceleração) A peúltma colua represeta a eerga potecal do "ext pot" ecotrada pelo método PEBS; A últma colua represeta a eerga potecal do p.e.. de cotrole ecotrada pelo método BCU; Curtocrcuto (pu) Tempo crítco [ms] Establdade (º-A/D) 2 Eerga º swg Multswg º swg Multswg Lha Bar P B B O C O E Máq Máq Máq Máq C ra PEBS C M O M B (PEBS) (OMR) (COA) (OMR) U U R A R S A -A -A -A 2, 2, A 2-A -A -A 6,0 5, A -A -A -A 0,5 0, A3D 3 -A -A -A 5,5 4, A3D 2A3D 2A3D 2A3D A3D 2A3D 2A3D 2A3D - - Tabela 6.: tcr s e eergas para sstema de 3 geradores do caso base A aálse destas smulações os mostra que tato o PEBS quato o BCU ecotraram valores corretos para as faltas smuladas. No curto-crcuto smulado a lha -3, próxmo a barra, a eerga e o tcr ecotrados pelo BCU são maores que a 2 (º-A/D): úmero da máqua - Acelerou /Desacelerou. 3 2A3D: sgfca que a máqua 2 acelerou e a 3 desacelerou; 4 - : sgfca que o dado dcado ão fo obtdo pelo algortmo 4 - : sgfca que o dado dcado ão fo obtdo pelo algortmo

109 92 eerga e o tcr obtdos pelo PEBS. Isto acotece devdo a um arredodameto umérco e é um caso específco. Neste caso, a trajetóra de falta passa muto próxma ao p.e.. de cotrole, sedo que o "ext pot" ecotrado fca em um ível eergétco pouco meor que o p.e.. de cotrole. No caso dos curtos a lha 2-3, ão fo ecotrado um poto de equlíbro estável para o sstema pós-falta, porque a cotgêca é muto severa para o sstema, que ão tem solução este caso. Apesar deste sstema ser smples e de pequeo porte, exstem casos em que os algortmos falham. Para estes casos de falha utlzam-se o PEBS dâmco e o "shadowg method", como tetatva de obter o resultado correto para o sstema. Smulação do caso com mpedâca de falta: a seção 5. fo mostrado um caso de falha de deteção do "ext pot" através do método PEBS. Para o mesmo caso, que é uma falta a lha -2 próxmo a barra 2 com mpedâca de falta de 0,045 pu, obtevese, utlzado o algortmo PEBS dâmco com 0 passos (h=0) a dreção do gradete, o retrato de fase da fgura 6.: Fgura 6.: Atuação do algortmo PEBS dâmco a deteção do "ext pot" correto Os resultados obtdos para este sstema estão descrtos a tabela 6.2, ode: Ep é a eerga potecal do poto de teresse ecotrado pelo algortmo;

110 93 BCU dâmco é o algortmo BCU, com "ext pot" ecotrado pelo método PEBS dâmco; Curto-crcuto Método Dreto Lha Barra PEBS BCU PEBS Dâmco BCU Dâmco tcr [ms] Ep (pu) 6,77 9,86 9,7 26,52 Tabela tcr s para sstema de 3 geradores com mpedâca de falta Pode-se perceber que o algortmo PEBS dâmco recohece o comportameto osclatóro do sstema detro da área de atração, smulado o mesmo, até ecotrar o "ext pot" verdadero. Verfca-se porém, que as eergas e o tcr s ecotrados pelos algortmos BCU e BCU dâmco são maores que as eergas e os tcr s ecotrados pelos métodos PEBS e PEBS dâmco. Como descrto por Tree et al. (996), e explcado a seção 5.3, o algortmo de solução ão chega ao p.e. de cotrole, mas sm a um p.e. de tpo-2, que este caso tem eerga potecal maor, levado o algortmo a predções ão coservadoras de establdade (tcr maor). Submetedo o sstema ao "shadowg method" a tetatva da deteção do p.e.. de cotrole, obteve-se o resultado, que pode ser vsto a fgura 6.2: Fgura 6.2: Atuação do algortmo PEBS dâmco assocado ao "Shadowg Method" a deteção do "ext pot" e do p.e.. de cotrole corretos.

111 94 Observa-se, etão que com o "shadowg method", ecotra-se o p.e. de cotrole correto, que mpõe ao sstema a segute codção para establdade: Curto-crcuto Método Dreto Lha Barra PEBS Dâmco "Shadowg Method" Dâmco tcr [ms] Ep (pu) 9,7 2,0 Tabela tcr s para sstema de 3 geradores com mpedâca de falta Observa-se, etão, que somete através da utlzação cojuta dos algortmos propostos por Scruggs e Ml (200) e por Tree et al. (996), pôde-se solucoar o problema para o caso osclatóro descrto. Smulação do caso de forte acoplameto etre geradores : O exemplo de falha da deteção do p.e.. de cotrole pelo método BCU da fgura 5.8, também fo aalsado umercamete e grafcamete. A tabela 6.4 mostra os resultados obtdos: Curto-crcuto Método Dreto Lha Barra PEBS PEBS Dâmco BCU "Shadowg Method" Tcr [ms] Ep (pu) 6,8 6,8-0,24 Tabela tcr e eerga para sstema de 3 geradores com geração de 270 MW em G Neste caso ão exste problema de deteção do "ext pot", o que pode ser percebdo pelo fato do algortmo PEBS dâmco obter o mesmo resultado do algortmo PEBS covecoal. Porém, a deteção do p.e.. de cotrole, o algortmo BCU falha e se perde a sua busca. Este fato é devdo a ão localzação do mímo do gradete local, assocado ao passo 2 do algortmo. Quado esta localzação falha o BCU falha, como descrto por Tree et al. (996) quado do desevolvmeto do "shadowg method". O retrato de fase da fgura 6.3 lustra a deteção do p.e. de cotrole este caso:

112 95 Fgura "Shadowg Method" a deteção do p.e.. de cotrole correto O mímo local assocado ao passo 2 do algortmo BCU ão fo localzado este caso devdo as codções da superfíce eergétca cradas pela geração elevada do gerador. Com o aumeto da geração, houve prmeramete uma bfurcação sela-ó, ode a sela que represetava o p.e.. de cotrole e a sela de tpo-2 coalesceram em um úco poto de equlíbro degeerado. Com o aumeto da geração cotuado, este equlíbro degeerado desaparece, descofgurado o p.e. de cotrole a regão, que agora passou a ser o p.e. de cotrole mostrado a fgura 6.3. O algortmo de solução do BCU se perdeu a busca do p.e.. de cotrole, porém o "shadowg method" coseguu, devdo a sua robustez, explorar as característcas dsttas das varedades a frotera do PEBS, buscado o poto de equlíbro de cotrole correto. 6.2 Sstema de 4 barras (bus4 do IEEE) O sstema de 4 barras do IEEE fo estudado para as cotgêcas em todas as suas barras para o caso base cujos dados estão descrtos o aexo C. A fgura 6.4 represeta o sstema:

113 Fgura 6.4: Sstema de 4 barras do IEEE Smulação do caso base: O sstema represetado pela fgura 6.4 fo submetdo a um curto-crcuto trfásco sóldo em todas as suas lhas, próxmos a todas as suas barras. Os resultados obtdos estão descrtos a tabela 6.5, ode: a ª colua represeta a lha de aplcação do curto-crcuto (falta); a 2ª colua represeta a barra próxma a falta; a 3ª colua represeta o tempo crítco de abertura calculado va PEBS para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 4ª colua represeta o tcr calculado va PEBS dâmco para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 5ª colua represeta o tcr calculado va BCU para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 6ª colua represeta o tcr calculado va BCU, com "ext pot" calculado pelo método PEBS dâmco, para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 7ª colua represeta o tcr calculado va "shadowg method", para a falta aplcada (referêca agular: COA); a 8ª colua represeta o tcr calculado va "shadowg method", com "ext pot" calculado pelo método PEBS dâmco, para a falta aplcada (referêca: COA); a 9ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca pelo processo de tegração umérca para o prmero "swg" do sstema, com referêca agular a últma máqua;

114 97 a 0ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca pelo processo de tegração umérca para o todos os "swgs" do sstema (establdade "mult-swg"), com referêca agular o COA; (tempo de smulação de 4 [s]) a ª colua represeta o tcr ecotrado através de smulação dâmca passo-a-passo para o todos os "swgs" do sstema (establdade "mult-swg"), com referêca agular últma máqua; (tempo de smulação de 4 [s]) a 2ª colua represeta as eergas potecas dos "ext pots" calculados pelo método PEBS; a 3ª colua represeta as eergas potecas dos "ext pots" calculados pelo método PEBS dâmco; a 4ª colua represeta as eergas potecas dos p.e..s de cotrole calculados pelo método BCU; a 5ª colua represeta as eergas potecas dos p.e..s de cotrole calculados pelo "shadowg method", com "ext pots" calculados pelo método PEBS dâmco; Curtocrcuto tempo crítco [ms] eerga (pu) L B Métodos Dretos solução umérca P ext pot p.e.. de cotrole P B a E SM r P B E PEBS BCU h r B d. C SM SM. OMR COA OMR E º Mult Mult B C B d D d a a S U swg Swg Swg S S U d ,34 0, ,44 0, ,86,90-0, ,62,63-0, ,62,65 -, ,43,42,27, ,94,96,69, ,92,94 -, ,00 2,03 -, ,04 2,04 -, ,84,82,7, ,04 2,04 -, ,4,2 0,96 0, ,70,70-0, ,74,73,64, ,8,7,07, ,76,75,64,64 5 método BCU e "shadowg method" falham a deteção do p.e.. de cotrole; 6 método BCU falha a deteção do poto;

115 Curtocrcuto tempo crítco [ms] eerga (pu) L B Métodos Dretos solução umérca P ext pot p.e.. de cotrole P B a E SM r P B E PEBS BCU h r B d. C SM SM. OMR COA OMR E º Mult Mult B C B d D d a a S U swg Swg Swg S S U d ,75,74,64, ,22,2,09, ,9,93 -, ,94,96 -, ,9,9-0, ,3,04 0,82 0, ,06 2,08 -, ,27,8,06, ,37,28,0, ,32,20,0, ,32,22,09, ,0,,09, ,33,23,, ,09,09,07, ,9,8,07, ,25,24,, ,22,2,09, Tabela 6.5: tcr s e eergas para sstema de 4 barras do caso base As fguras, 6.5 a, b, c, d e e, 6.6 a, b, c, d e e, e 6.7 a, b, c, d e e, lustram o comportameto dâmco das máquas do sstema quado submetdos a uma cotgêca trfásca sólda a lha -2 próxmo a barra 2 para o sstema de 4 barras do IEEE. Os três prmeros gráfcos, a, b e c da fgura 6.5, represetam o sstema para um tempo de abertura de 20 ms calculado em relação ao COA, e os dos últmos d e e, represetam o sstema para um tempo de abertura de 20 ms calculado utlzado as 5 método BCU e "shadowg method" falham a deteção do p.e.. de cotrole; 6 método BCU falha a deteção do poto; 7 sstema permaece estável apesar da falta; 8 Neste caso ocorre lhameto do sstema. A barra 5 fca solada do resto do sstema. Logo ão é possível aalsar a establdade de tal crcuto aalsado o sstema como um todo, mas é possível aalsar a establdade em cada uma das lhas. Neste caso a lha que cotém o gerador 5 é stável a partr do prmero state de abertura da lha. Porém a outra lha (resto do sstema) é estável.

116 99 equações dâmcas das máquas. Em ambos os casos o comportameto do sstema é estável. A fgura 6.6 tem a mesma otação apresetada a fgura 6.5, porém o tempo de abertura é 2 ms maor ( passo de tegração) (22ms), o que leva o sstema a stabldade. Os três prmeros gráfcos da fgura 6.7 abaxo cotêm a smulação para o tempo de abertura dcado pelo método PEBS covecoal (28ms), e os últmos dos gráfcos cotêm o tempo de stabldade em prmero "swg" (232ms) calculado pelas equações dferecas do sstema (Aálse da establdade de º swg). Seja a fgura 6.5, represetado as smulações para o tcr de 20[ms]: Fgura 6.5 a: δ x t para 20 [ms] a referêca COA Fgura 6.5 b: ω x t para 20 [ms] a referêca COA

117 00 Fgura 6.5 c: E p x t para 20 [ms] a referêca COA Fgura 6.5 d: δ x t para 20 [ms] para smulação covecoal

118 0 Fgura 6.5 e: ω x t para 20 [ms] para smulação covecoal Seja a fgura 6.6, represetado as smulações para o tcr de 22[ms]: Fgura 6.6 a: δ x t para 22 [ms] a referêca COA

119 02 Fgura 6.6 b: ω x t para 22 [ms] a referêca COA Fgura 6.6 c: E p x t para 22 [ms] a referêca COA

120 03 Fgura 6.6 d: δ x t para 22 [ms] para smulação covecoal Fgura 6.6 e: ω x t para 22 [ms] para smulação covecoal Seja a fgura 6.7, cotedo as smulações para os tcr s calculados pelo PEBS para a establdade de º "swg" através de smulação dâmca:

121 04 Fgura 6.7 a: δ x t para 28 [ms] a referêca COA - algortmo PEBS covecoal Fgura 6.7 b: ω x t para 28 [ms] a referêca COA - algortmo PEBS covecoal Fgura 6.7 c: E p x t para 28 [ms] a referêca COA - algortmo PEBS covecoal

122 05 Fgura 6.7 d: δ x t para 232 [ms] para smulação covecoal Fgura 6.7 e: ω x t para 232 [ms] para smulação covecoal

123 Sstema New Eglad - 39 barras (0 geradores) O sstema New Eglad fo estudado para as cotgêcas em todas as suas barras para o caso base cujos dados estão descrtos o aexo C. A fgura 6.8 represeta o sstema: G8 G9 G G G G G5 G4 G7 3 G3 Fgura 6.8: Sstema New Eglad Smulação do caso base: O sstema represetado pela fgura 6.8 fo submetdo a um curto-crcuto trfásco sóldo em todas as suas lhas, próxmos a todas as suas barras. Os resultados obtdos estão descrtos a tabela 6.6. O formato da tabela 6.6 é semelhate ao da tabela 6.5 (sstema de 4 barras), excludo-se as coluas 9, 0 e.

124 Curtocrcuto tempo crítco [ms] eerga (pu) L B Métodos Dretos P P B S a ext pot p.e.. de cotrole E E r h r PEBS PEBS B BCU C SM SM. B C M B S d. D d S U d a a U d ,44 4,48 3,8 3, ,88 3,89 3,8 3, ,26 8,27 6,84 6, ,06 6,06-6, ,4 3,42 3,35 3, ,93 6,99-3, ,89,90-8, ,3 0,53 8,54 8, ,97 6,02-6, ,69 3,69-6, ,40 0,4-6, ,60 7,59 6,46 6, ,56 0,55 0,53 0, ,4 9,40-0, ,0 8,00-5, ,59 6,59-5, ,4 8,49-0, ,50 8,56-0, ,3 6,6-9,08 9 ocorre lhameto o sstema; 0 método BCU e "shadowg method" falham a deteção do poto; método BCU falha a deteção do poto;

125 Curtocrcuto tempo crítco [ms] eerga (pu) L B Métodos Dretos P P B S a ext pot p.e.. de cotrole E E r h r PEBS PEBS B BCU C SM SM. B C M B S d. D d S U d a a U d ,96 5,99 9,08 9, ,9 7,26-9, ,24 7,30-9, ,72 6,79 9,40 9, ,86 6,9-9, ,2 6,22 7,5 5, ,87 5,90-3, ,28 7,34-0, ,34 7,40-0, ,48 4,48 6,08 6, ,37 5,37-6, ,76 5,75 6,38 4, ,27 6,32 6,37 4, ,0 6,03 5,9 5, ,30 6,03 6,77 6, ,68 7,68-0, ,30 8,30-0, ,28 8,30-0, ,5 7,55-0, ,84 5,84-5, ,97 7,96-5, ,58 8,56-6, ,27 9,28-6, ,32 8,33-6, ,97 7,5-6, ,7 6,7 4,67 4, ,93 4,93-4, ,45 5,6-9, ,45 4,68-9, ,85 8,96 -, ,0 9,09 -, ,98 8,00-9, ,76 8,76 9,88 9, ,04 9,07-0, ,40 5,59 2,4 2, ocorre lhameto o sstema. 0 método BCU e "shadowg method" falham a deteção do poto; método BCU falha a deteção do poto;

126 Curtocrcuto tempo crítco [ms] eerga (pu) L B Métodos Dretos P P B S a ext pot p.e.. de cotrole E E r h r PEBS PEBS B BCU C SM SM. B C M B S d. D d S U d a a U d ,3 2,28-6, ,79,93-6, ,62 8,62-0, ,2 8,3-0, ,26 5,4-9, ,59 5,74-9, ,6,63-9, ,24 3,28 2,05 2, ,63 3,95 2,48 2, ,63 5,60 2,48 2, ,55 3,00,55, ,5,52,55, ,58 2,58,9, ,2,2,9, ,52 0,52 0,47 0, ,48 0,47 0,47 0,47 Tabela 6.6: tcr s e eergas para caso base do sstema New Eglad Pode ser observado que em algumas cotgêcas o "shadowg method" ou o BCU ecotram p.e..s de cotrole com íves eergétcos maores do que os "ext pots" ecotrados pelos algortmos PEBS e PEBS dâmco. Estes casos represetam falhas dos algortmos. Estas falhas serão dscutdas o capítulo segute. 6.4 Cosderações fas dos testes realzados Os resultados obtdos evdecaram o esforço a predção da establdade. É possível exstrem outras stuações de falha dos algortmos PEBS e BCU, bem como stuações ode o PEBS dâmco e o "shadowg method" podem falhar. Porém os resultados obtdos mostram que os dos algortmos robustos mplemetados são realmete mas efcetes que os tradcoas. No capítulo segute serão dscutdas as característcas de falha dos dos algortmos robustos mplemetados. 9 ocorre lhameto o sstema. 0 método BCU e "shadowg method" falham a deteção do poto; método BCU falha a deteção do poto;

127 0 Capítulo 7 Dscussão dos Resultados Obtdos e Novas Metodologas Apesar dos algortmos robustos mplemetados melhorarem a deteção dos potos de teresse, ada exstem casos ode os mesmos falham. Este capítulo trata destes casos propodo ovas metodologas através de mudaças os algortmos. Na prmera e a seguda seções serão dscutdos problemas relacoados à deteção do "ext pot" pelo método PEBS dâmco, e será proposto um algortmo melhorado, bem como o esboço de seu fucoameto. Na tercera e quarta seções serão dscutdos problemas relacoados à deteção do p.e.. de cotrole pelo "shadowg method", e será esboçado o fucoameto de um algortmo melhorado. 7. Dscussão dos resultados obtdos pelo algortmo PEBS dâmco Os casos-base dos três sstemas aalsados ão apresetaram problemas de deteção do "ext pot", que seram os casos ode o algortmo PEBS dâmco devera obter respostas corretas e dferetes das do algortmo PEBS covecoal. Pode ser observado que as dfereças etre os tcr e etre as eerga ecotradas, pelos dos algortmos, são pequeas e devdas tão somete ao processo de cálculo de cada método. De fato, o cremeto o processo de deteção do "ext pot" propcado pelo algortmo PEBS dâmco está assocado somete àqueles casos ode o sstema é stável e o comportameto da fução eerga ão é moótoo detro da área de

128 atração. Esta é uma codção que em sempre ocorre, mas que ão pode ser desprezada pelos pesqusadores, pos sua descosderação mplca em resultados de establdade muto coservadores. Apesar do algortmo PEBS dâmco ser efcete a deteção dos "swgs" que ocorrem o sstema, seu processo de cálculo do "ext pot" é falho em certas crcustâcas, a saber: a escolha do úmero de passos fxo e dvsão da dstâca agular etre o "ext pot" ecotrado e o p.e.e. pós-falta, por este úmero de passos, leva a perda de formação sobre o comportameto do campo vetoral a regão de estudo, o que se tora muto mportate as proxmdades de potos de equlíbro; cosderação de uma regão estável formada pelos potos ode as dstâcas agulares até o p.e.e. pós-falta são meores que a dstâca agular etre o "ext pot" e o mesmo p.e.e., o que em sempre é verdade; Para lustrar estas crcustâcas de falha, seja a fgura 7., que lustra o retrato de fase do mesmo sstema de 3 barras utlzado para mostrar o fucoameto do algortmo PEBS dâmco: dstâca agular etre o "ext pot" e o pee pós-falta subtrajetóra stável subtrajetóra cosderada estável pelo algortmo fgura 7.: Falha do algortmo PEBS dâmco

129 2 Pode-se observar a fgura 7. que o crtéro de comparação utlzado para deteção do "ext pot" falha. Ele falha porque ão cosdera a possível exstêca de um poto de equlíbro stável detro da superfíce que o algortmo precsa delmtar para a deteção das sub-trajetóras. Em outras palavras, o algortmo compara dstâcas agulares, o que é o mesmo que traçar uma crcuferêca com cetro o p.e.e. pós-falta e rao gual a dstâca etre o cetro e o "ext pot" em estudo. Somete quado a sub-trajetóra cruza esta crcuferêca, o algortmo atge as codções do crtéro de parada, ecotrado o "ext pot". No etato, quado exste um poto de equlíbro detro desta crcuferêca, as codções de establdade detro da mesma já ão são aquelas cosderadas para a costrução do algortmo, levado ao caso mostrado a fgura 7., ode exstem sub-trajetóras stáves detro da crcuferêca em estudo. 7.2 Propostas para melhora do algortmo PEBS dâmco Um algortmo PEBS dâmco melhorado pode ser mplemetado para que os problemas acma ctados ão ocorram. A prmera tetatva realzada utlzava-se da aálse de duas sub-trajetóras referetes a dos "ext pots" sucessvos, como têm sdo mostrado as fguras desta dssertação (sub-trajetóras estável e stável), mas que ão fazem parte do algortmo PEBS dâmco. Através da comparação da dstâca etre os potos fas destas sub-trajetóras, que tederam a se afastar quado ecotrassem o "ext pot", podera se ecotrar o poto em questão. Porém este crtéro recara em problemas smlares ao do algortmo PEBS dâmco, ode, devdo a escolha de passos fxos, as codções muto varates do campo vetoral as proxmdades de um possível poto de equlíbro ão seram cosderadas. A proposta mas cosstete para um ovo algortmo PEBS dâmco com passos varáves basea-se a utlzação do somatóro de uma orma (qualquer) do campo vetoral (já utlzada o algortmo BCU) para poderação do tamaho do passo do algortmo, lberado o úmero de passos, até que o somatóro das dstâcas percorrdas por cada passo fosse maor ou gual á dstâca agular calculada etre o p.e.e. pós-falta e o "ext pot" caddato. O algortmo para este método sera:

130 3 Algortmo do PEBS dâmco Modfcado:. Calcular a dstâca agular(δ d ) do p.e.e. pós-falta ao estado atual δ 0. Seja δ = δ 0 ; 2. Escolha um úmero de passos cas h 0,sedo um tero maor que 0; 3. Defa h tot como sedo o total da dstâca agular percorrda; 4. Calcule o somatóro orma do estado atual: f (δ ) ; 5. Calcule o ovo tamaho do passo: percorrdo h tot ; f ( δ ) h = h0 e some ao total f ( δ ) 6. Em δ, ecotre o vetor utáro ormalzado ū, a dreção do gradete de 0 eerga potecal, dado por: u = δ =. r. ( δ r ) 2 ; 7. Calcularδ ew dado por: δ = δ + δ h ; ew u d / 8. Seja δ = δ ew,, e repta os passos 4, 5 e 6, calculado ovos δ ew, até que h tot δ d; 9. Calcule a dstâca δ d2, o espaço-δ, etre o âgulo resultate e o p.e.e. pósfalta. 0. Calcule µ PD (δ 0 )= δ d -δ d2 ;. Se µ PD (δ 0 )>0, δ 0 estará detro do PEBS, caso cotráro, ão estará; A fgura 7.2 esboça a stuação para o algortmo descrto:

131 4 Fgura 7.2: Esboço do ovo Algortmo PEBS dâmco proposto Uma aaloga físca que evdeca a prcpal característca deste algortmo sera cosderar que o ovo algortmo "frea" o processo em codções adversas, quado a smulação passa próxmo a potos de equlíbro, ode o campo vetoral sofre grades mudaças de dreção e ode passos grades demas faram o algortmo se perder. 7.3 Dscussão dos resultados obtdos pelo algortmo "Shadowg Method" A comparação do úmero de falhas dos algortmos de cálculo do p.e.. de cotrole resultou a tabela 7., para os casos-base smulados dos sstemas com 3, 4 e 39 barras: sstema aalsado º de total de falhas do falhas do curto-crcutos Shadowg Method BCU 3 barras (caso-base) barras (caso-base) New Eglad (caso-base) Tabela 7.: Comparação do úmero de falhas do algortmo "shadowg method" em relação ao BCU para os casos aalsados