Estatística Multivariada Normal Multivariada Função densidade conjunta e contorno de probabilidade

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1 Estatístca ultvarada Normal ultvarada Função dnsdad conjunta contorno d robabldad Prof. José Francsco orra Pssanha rofssorjfm@hotmal.com

2 Dstrbução normal unvarada Sja uma varávl alatóra normalmnt dstrbuída com méda dsvo-adrão (, ) ~ N tm dstrbução Normal com méda varânca f() A função dnsdad da normal é totalmnt caractrzada or dos arâmtros: a méda: E() a varânca: Var() f π A função dnsdad f() é smétrca m torno da méda da dstrbução ossu a forma d um sno

3 ~ N(, ) Dstrbução normal unvarada Função dnsdad d robabldad ( π ) π f π Quadrado da dstânca ntr a méda m undads d dsvos adrão Númro d dsvos adrão ntr a méda ( ) Substtundo m f() tm-s: f π ( ) / ( )( ) ( )

4 Dstrbução conjunta d normas ndndnts f, π Dnsdad conjunta varávs alatóras ndndnts, N, ~ Dnsdads margnas π f,..., π f,..., K

5 Dstrbução conjunta d normas ndndnts π f,..., K dt K O K K L O L K T L O L K

6 Dstrbução conjunta d normas ndndnts π T f f,k, E L O L atrz d covarâncas dagonal, os as varávs alatóras são ndndnts Dnsdad conjunta

7 Dstrbução normal multvarada Função dnsdad d robabldad d ~ N (,) π T f f /,..., N L O L, ~ Normal varada ( varávs alatóras) ~, N Dstânca d ahalanobs A dstrbução normal multvarada é uma gnralzação da normal unvarada Vtor d médas atrz d covarâncas A função dnsdad da normal multvarada é caractrzada lo vtor d médas la matrz d covarânca

8 Encontra-s no ont da função dnsdad da normal Quadrado da dstânca gnralzada ntr a méda Dstânca d ahalanobs T ( ) Emlo: Normal bvarada () so kg altura cm ( ) T ( ) Prasanta Chandra ahalanobs ( 7)( 7) ρ 5 6

9 Normal bvarada, ~ N Normal bvarada ( ) Parâmtros da dstrbução normal bvarada Vtor d médas atrz d covarâncas π T f / / Obtnha a dnsdad conjunta

10 Normal bvarada atrz d covarâncas m função das varâncas do cofcnt d corrlação lnar ρ ρ ρ ρ ρ cofcnt d corrlação ntr Dtrmnant da matrz d covarâncas varânca gnralzada ρ ρ f ( ) ρ ( / π ) / ( ρ ) T ( ) ( ) ( )

11 Normal bvarada ρ ρ dt ( ρ ) Invrsa da matrz d covarâncas ρ dt ( ) ρ ρ ( ρ ) ρ ρ ρ ρ

12 ρ ρ ρ T + ρ ρ T Normal bvarada π T f / / Forma uadrátca

13 O ont da dnsdad normal multvarada é o uadrado da dstânca gnralzada ou dstânca d ahalanobs: f ( ) ( / π ) / Normal bvarada T ( ) ( ) ( ) Quadrado da dstânca d ahalanobs T ( ) Comar a rssão acma com o uadrado da dstânca ucldana Quadrado da dstânca ucldana ( ) + ( ) Dstânca ntr ( ) T ( ) ( )

14 Normal bvarada Cálculo da dstânca d ahalanobs T ( ) ρ ρ + ρ ρ ρ ( )( ) Dstânca d ahalanobs Soma d arclas admnsonas

15 Normal bvarada Função dnsdad d robabldad da normal bvarada ( ) f (, ) π ( ρ ) ρ + ρ ( )( ) f(, ) Função dnsdad cntrada no vtor méda

16 Normal bvarada Função dnsdad f (, ) π ( ρ ) ρ + ρ ( )( ) Fazndo o ont da dnsdad normal multvarada gual a uma constant C tm-s a uação d uma ls cntrada na méda: ρ + ρ ( )( ) C f ( ) π C ( ρ ) Valor da função dnsdad nos ontos u formam a ls O lugar gométrco dos vtors u satsfazm a gualdad acma é uma ls cntrada no vtor méda com os nas drçõs dos autovtors d.

17 Normal bvarada Eos da ls são arllos aos os das varávs Eos da ls são nclnados m rlação aos os das varávs Eos da ls são nclnados m rlação aos os das varávs

18 Prordads da dstrbução normal multvarada Sja um vtor alatóro com dstrbução N (,) Prordad ) Combnaçõs lnars das comonnts d tm dstrbução normal a a a a a y T + + K K a a a N y T T ~, A a a a a y y Y L O K T A A N Y A ~, combnaçõs lnars d varávs alatóras normalmnt dstrbudas combnação lnar d varávs alatóras normalmnt dstrbudas

19 Prordads da dstrbução normal multvarada Sja um vtor alatóro com dstrbução N (,) Prordad ) Subconjuntos das comonnts d têm dstrbução normal multvarada +, ~, ~ N N ,,,,,,,, L L O O L L L L O O L L

20 Prordads da dstrbução normal multvarada Sja um vtor alatóro com dstrbução N (,) Prordad 3) Covarâncas nulas ntr varávs normalmnt dstrbudas ndcam u são varávs ndndnts são ndndnts

21 Forma uadrátca No caso gral, fazndo o ont da função dnsdad gual a uma constant C tm-s a uação d um lsód cntrado na méda com os nas drçõs dos autovtors da matrz d covarâncas : f ( ) ( / π ) / T ( ) ( ) ( ) T C Elsód d vtor alatóro com dstrbução normal trvarada

22 Forma uadrátca T C As drçõs dos os do lsód são dfndas las drçõs dos autovtors da matrz d covarâncas. Os comrmntos dos sm-os do lsód são roorconas aos autovalors da matrz d covarâncas. λ λ K K λ autovtors autovalors T, traço( ) λ + λ + K+ λ T j j

23 Intrvalo d robabldad da normal unvarada Sja uma varávl alatóra com dstrbução normal com méda varânca, ntão P ( + ) 95% 95%,, dsvos adrão m rlação a méda

24 Contorno d robabldad Sja um vtor alatóro com dstrbução normal multvarada, ~ N (,). Nst caso, T χ ~ Função dnsdad da dstrbução u-uadrado Caso normal bvarada () so kg altura cm ( ) T ( ) 9 7 ( 7)( 7) 7 75 ρ + ~ χ

25 Contorno d robabldad Sabmos u T C dfn um lsód No caso bvarado () a forma uadrátca dfn uma ls Qu ls contém 95% da robabldad? Rsosta: % ( 7)( 7) ρ χ ( 7)( 7) P 5% 95 + ρ χ ( 5% ) 5, 99 χ ( 5% ) % %

26 Caso normal bvarada () so kg altura cm Contorno d robabldad 5 ( ) T ( ) 9 7 ( 7)( 7) 7 75 ρ + ~ χ ( 5% ) 5, 99 χ Euação do contorno d robabldad ( 7)( 7) ,99 + ρ

27 Contorno d robabldad No caso gral, tmos o contorno com robabldad -α d uma dstrbução multvarada Euação do contorno d robabldad -α T χ ( α% ) Elsód cntrado na méda com os nas drçõs dos autovtors da matrz d covarânca O comrmnto d cada sm-o do lsód é roorconal ao rsctvo autovalor P Probabldad do vtor alatóro rtncr ao contorno [ ] T χ α α

28 Emlo : Contorno d robabldad Consdr a normal bvarada com médas, varâncas covarânca. Dsnh o contorno d robabldad d 5%. ) Calcul os autovalors d dt ( λi ) λ λ ( λ)( λ) / λ 3λ +,5 λ λ α 5% ( 5% ), 39 χ,366,634

29 Emlo : Contorno d robabldad ) Calcul os autovtors d Autovtor assocado com λ λ, 366,366,366,888,46 Autovtor assocado com λ λ, 634,366,366,46,888

30 Emlo : Contorno d robabldad 3) Dsnh o contorno d robabldad ( 5% ), 39 χ λ λ,366,634,888,46,46,888 χ (, ) λ 5 χ (, ) λ 5

31 Emlo : Contorno d robabldad Calculando os autovalors autovtors d com o R: ) Entrando com a matrz d covarânca no R or coluna: sgmamatr(c(,srt()/,srt()/,),nrow) ) Calculando os autovalors autovtors: mgn(sgma);lambdam$valus;m$vctors > lambda [] λ λ > [,] [,] [,] [,] Cada coluna é um autovtor

32 Emlo : Contorno d robabldad Dsnhando o contorno com o R ) Entrando com a matrz d covarânca no R or coluna: sgmamatr(c(,srt()/,srt()/,),nrow) ) Dsnhando o contorno d 5% lot(lls(sgma,cntrc(,),lvl.5,nonts),ty'l,a s) lls acot obtdo m htt://bl.unv-lyon.fr/lbrary/lls/ cntr vtor com as coordnadas do cntro da ls lvl nívl d robabldad nonts númro d ontos ty to do onto

33 Emlo : Contorno d robabldad Dsnhando o contorno com o R

34 Emlo : Contorno d robabldad A tabla abao mostra a dad (anos) o rço d vnda (US$ ) ara n carros usados, carro dad rço,3,9,,7,3,,5,45,7,3 a) Dsnh o contorno d robabldad d 5% cont uantas obsrvaçõs stão no ntror do contorno. b) Os dados são rovnnts d uma dstrbução normal bvarada?

35 Emlo : Contorno d robabldad A tabla abao mostra a dad (anos) o rço d vnda (US$ ) ara n carros usados, a) Dsnh o contorno d robabldad d 5% cont uantas obsrvaçõs stão no ntror do contorno #monta matrz d dados <-c(3,5,5,7,7,7,8,9,,) <-c(.3,.9,.,.7,.3,.,.5,.45,.7,.3) <-cbnd(,) # calcula vtor mda mualy(,,man) # calcula matrz d covarâncas sgmavar() # dsnha o contorno d 5% lot(lls(sgma,cntrmu,lvl.5,nonts),ty'l',lmc(,),ylmc(,3)) onts() Anas 4 ontos no ntror do contorno d 5%

36 Emlo : Contorno d robabldad A tabla abao mostra a dad (anos) o rço d vnda (US$ ) ara n carros usados, a) Dsnh o contorno d robabldad d 5% cont uantas obsrvaçõs stão no ntror do contorno. Não rcsa dsnhar o contorno ara sabr uantas obsrvaçõs stão no su ntror, os sts ontos dvm satsfazr a sgunt dsgualdad: T χ ( α ) Nst caso α5%, logo o u-uadrado tablado é,39.

37 Emlo : Contorno d robabldad A tabla abao mostra a dad (anos) o rço d vnda (US$ ) ara n carros usados, a) Dsnh o contorno d robabldad d 5% cont uantas obsrvaçõs stão no ntror do contorno. Programa R snvsolv(sgma) for ( n :){ au[,]-mu d[]t(au)%*%snv%*%au } round(d,) Em 4 obsrvaçõs d<.39, logo há 4 obsrvaçõs no ntror do contorno d 5%

38 Emlo : Contorno d robabldad A tabla abao mostra a dad (anos) o rço d vnda (US$ ) ara n carros usados, b) Os dados são rovnnts d uma dstrbução normal bvarada? Dado o uno númro d obsrvaçõs da amostra (n) é dfícl rjtar a hóts d normaldad bvardada

39 Bblografa Johnson, R.A. & Wchrn, D.W. Ald ultvarat Statstcal Analyss. 5 d., Prntc-Hall.