MAE 0330 ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS. Análise Fatorial. Júlia M Pavan Soler

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1 MAE 0330 ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS Análs atoral Júla M Pavan Solr avan@.us.br S/06

2 Análs d Coonnts Prncas Consdr os sgunts dados: E u studo co caundongos, o so cororal ( graas) d 50 fêas fo ddo logo aós o nascnto d suas rras 4 nnhadas. A sgur, são arsntados o vtor d édas a atrz d corrlação dos dados obtdos. X 39,88 ; 45,08 ; 48,; 49, 95 0,750 R 0,639 0,6363 0,750 0,695 0,7386 0,639 0,695 0,665 0,6363 0,7386 0,665 Obtnção dos CP assocados à varação do so das fêas aós o nascnto da nnhada a artr da atrz d corrlação: * * 3* 4* Var(Z) %Ac. Z -0,4935-0,595-0, , ,0584 0, Z 0,7366 0, ,5854-0,3350 0,3833 0,09558 Z3-0,37 0,4363-0,6455 0, ,3478 0, Z4 0, , ,0698 0, ,748 0,05437 ; E *; Cov * 0 Cov * R Corr R P * * P * E CP das varávs adronzadas

3 Análs d Coonnts Prncas Dados: Pso das fêas aós o nascnto das quatro rras nnhadas: * * 3* 4* Var(Z) %Ac. Cofcnt -0,4935-0,595-0, , Z Corrl -0, ,934-0, ,8699 %Var(*/Z) 0,7459 0,8343 0,7688 0, ,0584 0, Cofcnt 0,7366 0, ,5854-0,3350 Z Corrl 0,4463 0,8349-0,3696-0,077 %Var(*/Z) 0, , ,374 0, ,3833 0,86085 Cofcnt -0,37 0,4363-0,6455 0,73533 Z3 Corrl -0, , , ,43849 %Var(*/Z) 0,089 0, , ,77 0,3478 0,94563 Cofcnt 0, , ,0698 0,36385 Z4 Corrl 0, , , ,70744 %Var(*/Z) 0,0478 0,4837 0, ,0953 0,748 Var(*) 4 Z, soznho, xlca 76% da varânca total das varávs adronzadas E Z todas as varávs rcb sos/cargas arcdos Tíco d atrz d corrlação unfor

4 Análs d Coonnts Prncas ; Cov PP E Obtnção dos CP dos dados d so das fêas aós o nascnto das nnhadas: CP das varávs orgnas (obtdos da atrz ) s 3,9909 ; 33,598 ; 36,5534 ; 37, 357 Padrão tíco d R co adrão unfor hoocdastcdad 3 4 Var(Z) %Ac. Cofcnt -0, ,4947-0,530-0, Z Corrl 0,8469 0,9046 0,8658 0,889 %Var(/Z) 0, , ,743 0, ,0 0,76378 Cofcnt 0,849 0,406-0, ,3703 Z Corrl 0,8639 0,448 0,5066 0,6 %Var(/Z) 0, ,0087 0,5699 0, ,5 0,85836 Cofcnt -0,6798-0,858 0,0346 0,7033 Z3 Corrl 0, ,49 0,099 0,4043 %Var(/Z) 0,9564 0,0307 0, , ,3 0, Cofcnt 0, ,806 0, ,66744 Z4 Corrl 0,3979 0, ,0906 0,6 %Var(/Z) 0, ,4864 0, , ,7 Var() 088,4 8,4 336,5 395,5 4948,

5 Análs d Coonnts Prncas Análs atoral Coo obtr as varávs orgnas a artr das coonnts rncas? Z P P P Z P Z Z ;. P a a a P Z P P P Z a Z a Z a Z P. a P a P ; ; Pns nst ssta d quaçõs coo a xrssão das varávs função d u conunto d fators couns Z

6 Análs d Coonnts Prncas Análs atoral Para os dados (adronzados) d so das fêas aós o nascnto das nnhadas: * * 3* 4* Z -0,4935-0,595-0, , Z 0,7366 0, ,5854-0,3350 Z3-0,37 0,4363-0,6455 0,73533 Z4 0, , ,0698 0,36385 Z P * 4 Z Z Z3 Z4 * -0,4935 0,7366-0,37 0,44008 * -0,595 0, ,4363-0, * -0, ,5854-0,6455 0,0698 4* -0, ,3350 0, ,36385 * P Z Escrva as xrssõs qu dscrv as varávs * função d Z Z, soznho, xlca 76% da varabldad total dos dados adronzados arc natural rduzr o robla ara ua únca dnsão Pns na sgunt stuação: Há ntrss odlar * função d u únco fator cou Coo ncontrar tal fator?

7 Análs d Coonnts Prncas Análs atoral Para os dados d so das fêas aós o nascnto das nnhadas tos: * * 3* 4* Z -0,4935-0,595-0, , Z 0,7366 0, ,5854-0,3350 Z3-0,37 0,4363-0,6455 0,73533 Z4 0, , ,0698 0,36385 Z Z Z3 Z4 * -0,4935 0,7366-0,37 0,44008 * -0,595 0, ,4363-0, * -0, ,5854-0,6455 0,0698 4* -0, ,3350 0, ,36385 Z P * 4 * P Z As cargas atrbuídas às varávs Z dv lvar conta as varâncas dstas varávs. Nst caso, od sr xrsso tros d fators couns, dnotados or, tal qu: Cov ( ) = I 3 4 P / / * Z * -0, , , ,0533 * -0,9803 0,809 0, ,38898 / 3* -0, ,3698-0,3775 0,0854 * P 4* -0, ,075 0,4744 0,6949 novas cargas ator cou 4

8 Análs d Coonnts Prncas Análs atoral 3 4 * -0, , , ,0533 * -0,9803 0,809 0, , * -0, ,3698-0,3775 0,0854 4* -0, ,075 0,4744 0,6949 * 4 P * P / / / Z 4 / Z Cov / / / / CovZ I Nst caso, o fator rcb os aors sos Pod-s xrssar * função do fator cou Nsta aroxação (rdução) od-s adconar u fator scífco dnotado or, tal qu * od sr odlado coo: * = -0, * = -0, * = -0, * = -0, Vaos ntão foralzar o rocdnto d ncontrar fators couns scífcos a u conunto d varávs!

9 Análs Multvarada d Dados Varávs Undads Aostras Obtvos: n n n n n Dscrvr a ntr-rlação ntr as varávs, sto é, obtr fators couns à todas as varávs obtr constructos, varávs latnts (não obsrvávs) Dscrvr a strutura d dndênca ntr as varávs or o da construção d fators (couns scífcos) Análs atoral

10 Varávs Constructos Plananto d Exrntos: Undads Aostras Varávs d Intrss Estrutura d Tratanto Estrutura d Plananto Varávs Obsrvávs (concrtas) x.: so, altura, tratura, glca, tc. Constructos: varávs (latnts) qu não od sr ddas drtant, gral, rqur a obsrvação d utas varávs ara sua caractrzação x.: QI, QE, ansdad, susctbldad, satsfação, sndro tabólca, tc.. Ua das utldads da análs fatoral é a dntfcação d constructos xstnts u conunto d dados x.: construr u índc gral d ntlgênca (Saran, 904)

11 Escala IDATE Qustonáro d Ansdad (Proto CEA-IME/USP) It Dscrção Snto- b Canso- faclnt 3 Tnho vontad d chorar 4 Gostara d sr flz coo as outras ssoas arc sr 5 Prco oortundads orqu não consgo toar dcsõs rádas 6 Snto- dscansado 7 Snto- calo, ondrado snhor d so 8 Snto qu as dfculdads stão s acuulando d tal fora qu não consgo rsolvr 9 Procuo- das co as cosas s ortânca 0 Sou flz Dxo- aftar uto las cosas Não tnho confança so 3 Snto- sguro 4 Evto tr qu nfrntar crss roblas 5 Snto- drdo 6 Estou satsfto 7 Às vzs déas s ortânca ntra na cabça 8 Lvo as cosas tão a séro qu não consgo trá-las da cabça 9 Sou ua ssoa stávl 0 co tnso rturbado quando nso roblas do onto O nívl d ansdad od sr ddo or o d u nstrunto dnonado IDATE. Dv-s avalar cada fras atrbundo-s nota ntr a 4, tal qu: (nunca ocorr) 4 (ocorr quas sr) E gral, utlza-s a Soa dos scors ara dr ansdad. Soa dos scors: 0-80

12 Escala IDATE Qustonáro d Ansdad It Dscrção Snto- b Canso- faclnt 3 Tnho vontad d chorar 4 Gostara d sr flz coo as outras ssoas arc sr 5 Prco oortundads orqu não consgo toar dcsõs rádas 6 Snto- dscansado 7 Snto- calo, ondrado snhor d so 8 Snto qu as dfculdads stão s acuulando d tal fora qu não consgo rsolvr 9 Procuo- das co as cosas s ortânca 0 Sou flz Dxo- aftar uto las cosas Não tnho confança so 3 Snto- sguro 4 Evto tr qu nfrntar crss roblas 5 Snto- drdo 6 Estou satsfto 7 Às vzs déas s ortânca ntra na cabça 8 Lvo as cosas tão a séro qu não consgo trá-las da cabça 9 Sou ua ssoa stávl 0 co tnso rturbado quando nso roblas do onto Alcação do qustonáro Idat a.0 studants unvrstáros (Andrad t al., 00) Avalação da Matrz d Corrlação: foração d dos conuntos d varávs co alta corrlação ntra bloco baxa corrlação ntr blocos: B=(, 0, 3, 6) B=(9,, 7, 8) B: varávs lgadas ao constructo satsfação ssoal B: var. lgadas ao constructo dfculdad ldar co roblas

13 Matrz d corrlação ntr os dos blocos d varávs do Instrunto IDATE , ,385 0, ,53 0,66 0,54 9-0,37-0,6-0,308-0,4-0,04-0,4-0,376-0,3 0, ,8-0,03-0,36-0,5 0,55 0, ,34-0,33-0,367-0,398 0,40 0,48 0,478 A xstênca d corrlaçõs rlatvant altas ntr as varávs d u so bloco, ndca a ossbldad d qu tas varávs d algo cou varávs lgadas a u so constructo A Análs atoral nos rt não sont dntfcar constructos, coo tabé nos fornc os ara d-los.

14 Análs atoral Coo xlcar o coortanto d varávs obsrvadas função d u conunto d varávs latnts (não obsrvávs, constructos)? : :,, :,, f fators couns fators scífcos cargas fatoras f Notação Matrcal

15 Análs atoral f Dagraa d canho d u odlo d Análs atoral ortogonal Var. Obsrvadas: rtângulos Var. Latnts (constructo): círculos Erros: s rrsntação gráfca As stas art d ua varávl ndndnt atng ua varávl dndnt S xstr corrlaçõs (ntr os fators scífcos ou so os couns), stas dv sr rrsntadas or arcos

16 Análs atoral f Suosçõs do odlo d fators ortogonas: Cov E f I Covf, 0 0 Cov dag,, Matrz d Covarânca argnal d : Dcoosção uto artcular! Cov Covf coonnt d covarânca dvdo ao fator cou coonnt d covarânca dvdo ao fator scífco

17 Análs atoral f Matrz d Covarânca argnal d : Var ) ( dnd dos fators couns scífcos h Counaldad da varávl Proorção da Var() xlcada lo conunto dos fators couns Var h h h Var ) ( Escfcdad

18 Análs atoral f h Var ) ( Cov ' ' ' ' ), ( dnd sont dos fators couns Var h h Var h H k Var H k % da Var() xlcada lo conunto dos fators couns % da Varânca Total d xlcada lo conunto dos fators couns % da Varânca Total xlcada lo fator cou k

19 Análs atoral f Matrz d Covarânca ntr as varávs : k k k k k k k k Cov Cov Cov ; ; ), ( Intrrtação das cargas fatoras: são as covarâncas ntr as varávs obsrvadas orgnas os fators couns k k k h Var Corr ), (

20 Análs atoral Exlo. Suonha qu u conunto d dados (4 varávs nsuradas n ndvíduos) arsnt a sgunt atrz d covarânca: 4,00 0,80,68,6 0,80,00 0,44 0,96,68 0,44,00,3,6,3 ; 0,96,00 Sa, Mostr qu, nst caso, val a gualdad:,60 0,0,00,0 0,40,0 0,0 0,60, , , ,0 4,00 0,80,68,6 0,80,00 0,44 0,96,68 0,44,00,3,6,60,3 0,0 0,96,00,00,0 0,40,0,60 0,0 0,40 0,60 0,0,0,00 0,0,8,0 0 0, , , ,0 h,60 0,40 h,7 4,7,8 counaldad + scfcdad d

21 Análs atoral Exlo. Suonha qu u conunto d dados arsnt a sgunt atrz d covarânca: 4,00 0,80,68,6 0,80,00 0,44 0,96,68 0,44,00,3 Tal qu, nst caso:,6,3 ; 0,96,00,60 0,0,00,0 0,40,0 0,0 0,60,8 0 0,5 Logo, od sr odlado tros d fators couns scífcos: 0,96 0 0,0 3 4,60 0,00 3 4,00,0 0,40,0 0,0 0, Isto rt a rotação d xos Nota: Esta é ua artcular solução ara. Not qu, ara qualqur atrz ortogonal, t-s: * ; I * *

22 Análs atoral Exlo. Suonha qu u conunto d dados arsnt a sgunt atrz d covarânca: 4,00 0,80,68,6 0,80,00 0,44 0,96,68 0,44,00,3,6,3 0,96,00,60 0,0,00,0 0,40,0 0,0 0,60,8 0 0,5 0,96 0 0,0 3 4,60 0,00 3 4,00,0 0,40,0 0,0 0, ² ² h² % Var,56 0,6,7 68,8 0,04,44, ,5 3 0,04,04 5 0,96 4,44 0,36,8 90 0, Total 5,4 7,04 % Var 50,4 0 70,4 Calcul: Var ; tr; Obtnha: covarâncas, counaldads, scfcdads. Intrrt os rsultados!

23 Análs atoral f Coo obtr os coonnts COMUNS (), ESPECÍICOS () Escors atoras (f ) do odlo? Método d Coonnts Prncas Método d Máxa Vrosslhança

24 Análs atoral va Coonnts Prncas f PP a a a a a a a a a a Aroxação usando coonnts dfn os tros couns!,, a,, a k k a k dag h,, h k k Coonnt scífco da varânca d

25 Análs atoral va Coonnts Prncas Obtnção do odlo d fators couns scífcos f aa a a a dag h k k Rrs Matrz rsdual Not: Para os lntos fora da dagonal d a aroxação od não sr boa!! U crtéro d bondad d aust é: S.Q. das ntradas d Rrs

26 Análs atoral va Coonnts Prncas Exlo. Consdr a atrz d covarânca d =( 3 ) dada or: 0,9 0,7 0,9 0,4 0,7 0,4 Obtr a solução do odlo fatoral ara va Coonnts Prncas: f??

27 Análs atoral va Coonnts Prncas Consdr o xlo qu obtvos a solução atátca dos coonnts. Agora vaos obtr a solução va CP: 0,9 0,7 0,9 0,4 0,7 0,4 Autovalors:, ,660 0,03035 Matrz dos autovtors: 0, ,080 0, , , ,5755 0, , , a a f 0,6436,350,5766 0,503 0, ,77 3 0, ,987 0,885 0,77

28 Análs atoral va Coonnts Prncas f 0,9 0,7 0,9 0,4 0,7 0,4 3 0,987 0,885 0,77 3 Matrz d covarânca aostral d tr = 3 : varânca total 3 =-0,974 0,9 0,7 0,9 0,4 0,7 0,4 0,974 0,8735 0,760 0,8735 0,783 0,683 0,760 0,683 0,5960 0, , ,4040 A varânca total stá rsrvada as os tros fora da dagonal od não star b aroxados!

29 Análs atoral va Coonnts Prncas 0,9 0,7 0,9 0,4 0,7 0,4 tr = 3 : varânca total Intrrt os rsultados! Varávl ator Counaldad Escfcdad Var 0,987 0,975-0,975=0,058 Var 0,885 0,783-0,783=0,68 Var 3 0,77 0,596-0,596=0,4040 Varânca,3536 0,6466 % Var 78,5%,5%

30 Análs atoral va Coonnts Prncas Exlo 3. Agora consdr a sgunt atrz d covarânca obtnha o odlo fatoral va CP:,00 0,6 0,63 0,6,00 0,45 0,63 0,45,00 Adot =! Autovalors:,307 0, ,394 Autovtors: -0,6978 0, , , , , , ,6839 0, Dscuta os rsultados!

31 Análs atoral va CP,00 0,6 0,63 0,6,00 0,45 0,63 0,45,00 tr = 3 : varânca total 0,80/; Var( )= Varávl ator ator Counaldad % Exlc Escf Var -0,895 0,06 0,80 0,80 0,99 Var -0,80-0,54 0,949 0,949 0,05 Var 3-0,8 0,506 0,930 0,930 0,070-0,80 Varânca,303 0,5505,6808 0,30 % Exlc 0,70 0,83 0,8933 0,07,6808/3

32 Análs atoral Exrcíco: Consdr o conunto d dados dos ardas d Manly (994): Matrx CORR, , ,668 0,6458 0,605 0,73496, , ,7685 0,590 0,668 0,67374, ,7639 0,567 0,6458 0,7685 0,7639, , ,605 0,590 0,567 0,60665,00000 * = 0,859 + * = 0, * = 0, * = 0, * = 0, Obtnha: counaldads, scfcdads a atrz rsdual.

33 Análs atoral va Máxa Vrosslhança Estação dos Coonnts do Modlo atoral va Máxa Vrosslhança Suonha qu os fators couns os scífcos sgu dstrbução Noral, tal qu, a dstrbução argnal d é : ~ N μ, Σ Então, ara ua aostra d n vtors ndndnts d a função d vrosslhança d, é dada or: n μ Σ μ L(,, ) n/ n/ Σ Maxzar L é quvalnt a nzar a sgunt dda d dstânca: ln + + tr ( S + - ) ln S - qu toa o valor zro s ( + ) é gual a S (atrz d covarânca aostral d ). Não xst solução xlícta ara os stadors d qu nz a função d dstânca uso d étodos nuércos.

34 Análs atoral va Máxa Vrosslhança Estação dos Coonnts do Modlo atoral va Máxa Vrosslhança A solução va MVS é count obtda consdrando a atrz d corrlação d, R (quvalnt a axzar a função d vrosslhança dos dados adronzados, *). Ass, é ncssáro nzar ln R R + R + tr ( R R R + R - ) ln R - Ass, a solução ara a dcoosção da atrz d covarânca é: ˆ D / ˆ ˆ / ; ˆ s R Ds R D / s Co s a statva da varânca d calculada co dvsor n.

35 Análs atoral,00 0,6 0,63 0,6,00 0,45 0,63 0,45,00 Solução do Modlo atoral ara a xtração dos coonnts (couns scífcos) va Coonnts Prncas os stadors d Máxa Vrosslhança: CP Max. Vross. Varávl Counald Escf Counald Escf -0,895 0,06 0,80 0,99 0,733 0,7 0,554 0,446-0,8-0,54 0,949 0,05 0,897-0,38 0,949 0,05 3-0,8 0,506 0,93 0,067 0,755 0,6 0,93 0,067 Varânca,303 0,5505,6808 0,03,936 0,599,4335 0,564 % Exlc 0,7 0,83 0,894 0,006 0,638 0,73 0,8 0,88 (Uso do R, MINITAB, ) As counaldads obtdas va CP são usadas coo valors ncas no algorto tratvo d axzação da função d vrosslhança

36 Análs atoral,00 0,6 0,63 0,6,00 0,45 0,63 0,45,00 Matrz Rsdual va Coonnts Prncas: 0, , ,795 0, , ,0594 0,795-0,0594 0, Matrz Rsdual va Máxa Vrosslhança: 0, , , , , , , , , A solução or áxa vrosslhança arsnta lhor rsultado na aroxação d asar da % da varânca total xlcada tr sdo nor

37 Análs atoral Rotação dos ators f é solução Cov Covf ΦΦ Ψ Sa * ; I * * * é solução *= Gotrcant é ua rotação d xos (novos fators) Podos buscar rotaçõs qu conduza a soluçõs fács d ntrrtar (édas, contrasts, foras canôncas)

38 Análs atoral Rotação dos ators Gografa Inglês Hstóra Artétca Algbra Gotra 0,439 0,4 0,88 0,39 0,48 0,439 0,35 0,354 0,3 0,39 R = 0,4 0,35 0,64 0,9 0,8 0,88 0,354 0,64 0,595 0,47 0,39 0,3 0,9 0,595 0,464 0,48 0,39 0,8 0,47 0,464 Varávl ator ator Counaldad Gogr 0,553 0,49 0,49 Inglês 0,568 0,88 0,406 Hst 0,39 0,45 0,356 Art 0,74-0,73 0,63 Algbra 0,74-0, 0,569 Go 0,595-0,3 0,37 Varanc,094 0,6057,85 % Var 0,368 0,0 0,469 Solução da análs fatoral va áxa vrosslhança : cargas ostvas rsosta éda fator d ntlgênca gral : tad das cargas é ostva tad é ngatva fator bolar Rotaconar os fators

39 Análs atoral Rotação dos ators 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0-0, -0, -0,3 0 0,0 Rotação d 0 0 xos orgnas 0, 0, Cargas atoras 0,3 0,4 V3 Nos novos xos o fator d ntlgênca gral () stá artconado nos fators * * 0,5 V V 0,6 V6 0,7 V5 V4 0,8 0 Os xos orgnas od sr rotaconados d tal fora qu todos os ontos ca no quadrant As varávs V4, V5 V6 (da ára xata) rcb carga alta * baxa * As varávs V, V V3 (da ára d huanas) rcb carga alta * carga odrada/baxa * *: habldad atátca *: habldad vrbal

40 Análs atoral Rotação dos ators 0,5 0,4 0 Rotação d 0 0 xos orgnas Cargas atoras V3 V Obtnha as novas coordnadas sob ua rotação d 0 graus nos xos orgnas (sntdo horáro) (Johnson and Wchrn, 978). 0,3 0, 0, V cos sn sn cos 0,0-0, -0, -0,3 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 V6 0,6 0,7 0 V5 V4 0,8 Cossno d 0 0 = 0,9397 Sno d 0 0 = 0,340 * ; I Obtnha tabé as coordnadas sob ua rotação d 40 graus (Evrtt, 007).

41 Análs atoral Rotação dos ators ators Orgnas ators Rotaconados (=40 0 ) Varávl ator ator Counald ator* ator* Counald Gogr 0,553 0,49 0,49 0,3 0,66 0,49 Inglês 0,568 0,88 0,406 0,3 0,55 0,406 Hst 0,39 0,45 0,356 0,085 0,59 0,356 Art 0,74-0,73 0,63 0,77 0,73 0,63 Algbra 0,74-0, 0,569 0,73 0,5 0,569 Go 0,595-0,3 0,37 0,57 0,3 0,37 Varanc,094 0,6057,85,6057,094,85 % Var 0,368 0,0 0,469 0,68 0,0 0,469 habldad atátca habldad vrbal As counaldads são nvarants or rotação ortogonal dos fators * *

42 Análs atoral Rotação dos ators Não xst ua solução únca ara rrsntar os fators * Φ* k Coo scolhr obtr ua solução/rotação? : novas cargas dos fators rotaconados Consgur valors 0 s s Na rátca o obtvo dos étodos d rotação é SIMPLIICAR as lnhas colunas da atrx d cargas ara facltar a ntrrtação f Matrz d Cargas lnhas Varabld. das varávs colunas varabldad dos fators k

43 Análs atoral Rotação dos ators Rotação Varax: Não xst ua solução únca ara rrsntar os fators * Φ* k Coo scolhr obtr ua solução/rotação? : novas cargas dos fators rotaconados Sa: k : roorção da counaldad d xlcada or k h V k * k V k k k k ; k k A atrz d rotação varax é scolhda d tal fora a axzar V (soa das varâncas d k ) sra-s qu alguas das novas cargas sa altas outras baxas, facltando a ntrrtação dos fators (axzar a varabldad dos fators/colunas d ).

44 Análs atoral Rotação dos ators Não xst ua solução únca ara rrsntar os fators Coo scolhr obtr ua solução/rotação? Métodos d Rotação Ortogonal: Rotação Varax: slfca as colunas da atrz d cargas Rotação Quartax: slfca as lnhas da atrz d cargas Rotação Equax: é u corosso ntr as duas outras técncas Exst anda as rotaçõs oblquas. Nst caso, as counaldads não são nvarants.

45 Análs atoral Rotação dos ators ators Orgnas ators Rotaconados Varávl ator ator Counald ator* ator* Counald Gogr 0,553 0,49 0,49 0,3 0,66 0,49 Inglês 0,568 0,88 0,406 0,3 0,55 0,406 Hst 0,39 0,45 0,356 0,085 0,59 0,356 Art 0,74-0,73 0,63 0,77 0,73 0,63 Algbra 0,74-0, 0,569 0,73 0,5 0,569 Go 0,595-0,3 0,37 0,57 0,3 0,37 Varanc,094 0,6057,85,6057,094,85 % Var 0,368 0,0 0,469 0,68 0,0 0,469 ators Rotaconados - Quartax ators Rotaconados - Equax Varávl ator ator Counald ator* ator* Counald Gogr 0,6 0,65 0,49 0,3 0,66 0,49 Inglês 0,344 0,536 0,406 0,3 0,55 0,406 Hst 0, 0,587 0,356 0,085 0,59 0,356 Art 0,777 0,39 0,63 0,77 0,73 0,63 Algbra 0,73 0,84 0,569 0,73 0,5 0,569 Go 0,58 0,88 0,37 0,57 0,3 0,37 Varanc,6733,48,85,6057,094,85 % Var 0,79 0,9 0,469 0,68 0,0 0,469

46 Análs atoral Escors atoras Escor atoral: valor qu cada ndvíduo na aostra t ara cada u dos fators couns f f ) ( Para o ndvíduo : Qual o valor d? n,,,, f

47 Análs atoral Escors atoras Qual o valor d f,?, n,, Método d Coonnts Prncas: ( ) f f Z D rros coonnts rncas / Método d Mínos Quadrados Pondrados (Bartltt): Suondo, conhcdos odlo d rgrssão lnar htrocdástco O rdtor d f é dado or: ˆf (x) Cofcnt do fator (x)

48 Análs atoral Escors atoras f ) ( Qual o valor d? n,,,, f Método da Rgrssão: (, são assudos conhcdos) O rdtor d f é dado or: ˆf I N N I N 0 0 0, ~ 0, ~ 0, ~ f f I N N 0, ~ 0, ~ f f ; ~ / I N f Cofcnt do fator (x)

49 Análs atoral Arquvo HATCO (Har t al., 005) ID X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X0 X X X3 X4 4, 0,6 6,9 4,7,4,3 5, 0 3 4, 0,8 3,0 6,3 6,6,5 4,0 8,4 43 4, ,4 5, 5,7 6,0 4,3,7 8, 48 5, 0 4,7,0 7, 5,9,8,3 7,8 3 3, ,0 0,9 9,6 7,8 3,4 4,6 4, , ,9 3,3 7,9 4,8,6,9 9,7 45 4, , 0,5 9, 4,8 3,3,8 7, , ,0,8 5, 5,0,4,7 8,4 38 3, ,, 6,7 6,8,6,9 8,4 4 4, ,5,8 9,0 5,0, 3,0 6, ,4 0 0

50 Egnvalu Análs atoral Quantos ators usar? Crtéro Scr : o núro d fators é scolhdo quando a dfrnça d xlcação ntr os fators tnd a s stablzar,5,0,5,0 0,5 Scr Plot d X, X, X3, X4, X6 X7 Lbrar qu na solução va CP o k-éso autovalor rrsnta a xlcação da varânca total dvda ao ator k k k 0,0 3 4 actor Nubr 5 6 Usar dos ou três fators.

51 Análs atoral Arquvo HATCO (Har t al., 005) Varabl ator ator Counaldad X 0,67-0,54 0,658 X -0,759 0,068 0,58 X3 0,73-0,337 0,646 X4-0,494-0,798 0,88 X6-0,45-0,83 0,87 X7-0,767 0,68 0,66 Varanc,535,7395 4,53 % Var 0,49 0,9 0,709 Solução va CP. Dscutr os rsultados!

52 Scond actor Intrrtação dos ators: Análs atoral 0,00 X7 X Loadng Plot d X, X, X3, X4, X6 X7-0,5 X3-0,50 X -0,75 X4 X6-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 rst actor 0, 0,4 0,6 0,8

53 Arquvo HATCO (Har t al., 005) Análs atoral ators Orgnas - CP ators Rotaconados - Varax Varávl ator ator Counaldad ator ator Counaldad X 0,67-0,54 0,658-0,787 0,94 0,658 X -0,759 0,068 0,58 0,74 0,66 0,58 X3 0,73-0,337 0,646-0,804-0,0 0,646 X4-0,494-0,798 0,88 0,0 0,933 0,88 X6-0,45-0,83 0,87 0,05 0,934 0,87 X7-0,767 0,68 0,66 0,764 0,79 0,66 Varanc,535,7395 4,53,3698,883 4,53 % Var 0,49 0,9 0,709 0,395 0,34 0,709 Valor básco Iag X, X X3: varávs assocadas a rço do roduto (X7: qualdad) X4 X6: varávs assocadas à ag da CO Coo valdar os rsultados d ua Análs atoral?

54 Arquvo HATCO (Har t al., 005) Análs atoral Escors dos ators Cofcnts dos ators Varávl ator ator X -0,35 0,59 X 0,89 0,095 X3-0,345 0,05 X4-0,0 0,499 X6-0,053 0,504 X7 0,37 0, ˆf Matrz (x) dos cofcnts dos fators Alcação: Uso dos ators ara Análs d dagnóstco d valors dscrants (coo od sr fto co os Coonnts Prncas).

55 Arquvo HATCO (Har t al., 005) Análs atoral Alcação: Os ators od sr usados análss adconas Tst d Dfrnças ntr as Médas das varávs X d acordo co o taanho das rsas (X8) X8=0 X8= t valor X 4,967,5 8,07 0 X,94833,9875-4,56 0 X3 8,667 6,805 8,83 0 X4 5,333 5,3-0,4 0,686 X6,6967,65 0,45 0,65 X7 6,09 8,95-9,9 0 Valor básco Iag -0, , ,77 0 0,0588-0,0788 0,68 0,499 Os rsultados do tst d hóts s anté na análs dos ators

56 Coonnts Prncas x Análs atoral Abas busca ua Rdução d Dnsonaldad, or xlcar u conunto d dados ultvarados usando u conunto nor d varávs CONTUDO, os crtéros d otaldad usados cada caso são dfrnts: An.. é óta no sntdo d xlcar as covarâncas/corrlaçõs ntr as varávs or o d fators couns. An.C.P. xlca a varânca total das varávs obsrvadas. Na análs d C.P. s o núro d coonnts rtdos é auntado, sto NÃO altra os antrors, as sto od não acontcr na Análs atoral, rncalnt sob a solução d MVS. Cálculo dos scors C.P. t solução únca. No caso d A.. (va MVS) xst dfrnts rocdntos nfrncas roostos.

57 Coonnts Prncas x Análs atoral As análss d C.P. va atrz d covarânca (=Cov()) ou d corrlação (R=Cov(*) são dfrnts. Na Análs atoral va MVS a solução ara a atrz d covarânca é obtda da solução da atrz d corrlação: / D s *, D / s * D / s, co n coo dvsor d s Tst (assntótco) da adquação do odlo fatoral: H0 : H : co strutura gral A statístca da razão d vrosslhanças (sob noraldad) é: ˆ ˆ ˆ L0 ln nln L S n Usando a corrção d Bartltt, rta-s H0 a u nívl d sgnfcânca α s: ˆ ˆ ˆ n 4 5/ 6ln ( ) S n ( ) /