Problemas. Regressão Linear Múltipla. Ajuda a encontrar relações Ceteris Paribus entre variáveis; Melhora o ajuste ao dados; Maior flexibilidade.

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1 Prof. Lorí Val, Dr. Rgrssão Lar Múltpla O odlo d rgrssão lar últpla Itrodução Dfção trologa Itrprtação Estação Itrprtação rvstada Qualdad do aust Proprdads statístcas Modlo d Rgrssão Lar Spls Dfção y + x + u Outros fators Maor dsvatag: rlvats prac fxos. Não é uto adquado para odlar rlaçõs Ctrs Parbus tr varávs, pos dfclt E( u x E( u Modlo d Rgrssão Lar Múltpla Auda a cotrar rlaçõs Ctrs Parbus tr varávs; Mlhora o aust ao dados; Maor flxbldad. Dfção Trologa Sa,, + varávs populacoas. O obtvo é xplcar fução d,,, sto é,, coo s altra s ua ou todas altra. as varávs,, s Problas Coo ão há ua rlação prcsa tr,,, coo lvar cota outros fators qu afta? Qual a vrdadra rlação fucoal tr,,,,? Coo capturar ua rlação ctrs parbus tr,,,, (s st for o caso?

2 O Modlo O (MLRM Modlo Lar d Rgrssão Múltpla é dado pla sgut quação: U Trologa : : varávl dpdt, varávl xplcada, varávl d rsposta, varávl prvsta, rgrssado, saída, fto. : varávs dpdts, varávs xplcatvas, varávs d cotrol, prdtors, rgrssors,, tradas, causas. U: : rro, dstúrbo ou ruído O tro U rprsta: rros d dda; fora fucoal adquada; varabldad rt das varávs volvdas; outros fators alé d,, qu afta a varávl. Hpótss Adcoas Sobr U Méda ula E(U Méda codcoal ula E( U,,, E( U O Método dos Míos Quadrados Para star os parâtros,,, da quação d rgrssão últpla é cssáro ua aostra da população! {( x,x,,x,y :,,} Cosdr ua aostra alatóra d taaho da população. Supodo qu sta aostra satsfaça o odlo pod-s scrvr: U Od a ltra rfr-s a -ésa obsrvação.

3 A dscrção do odlo d rgrssão últpla é oralt aprstado d fora atrcal. A quação atror pod sr scrta coo: + U Od: ( x (x U U U U x U (x Not-s qu cada lha da atrz rprsta u couto d valors das varaçõs dpdts rfrts a ua obsrvação, ao passo cada colua rprsta u couto d valors d ua varávl dpdt as obsrvaçõs aostras. A prra colua d é coposta trat d valors guas a u. As hpótss vstas para a rgrssão lar spls pod sr colocadas a fora atrcal da sgut fora: U ~ N (,Σ Od é u vtor-colua d zros Σ é ua atrz x. Σ σ I Od I é ua atrz-dtdad d ord x, co udads a dagoal prcpal zros todo o rsto. Os ltos da atrz são ão stocástcos co valors fxados aostras rptdas, a atrz (/( é ão sgular tal qu, para qualqur taaho aostral, sus ltos são ftos.

4 Estação dos Parâtros Da sa fora qu a rgrssão lar spls os stadors d íos quadrados dos cofcts d rgrssão pod sr obtdos, zado a soa dos quadrados dos rsíduos, sto é: Φ U ( Dfrcado Φ rlação aos parâtros d rgrssão:,,,, t-s: Φ Φ Φ ( (. (. Igualado cada drvada a zro ragrupado os tros, t-s: Para rsolvr as quaçõs oras d íos quadrados, scrv-s a prra quação da sgut fora: Od: Estação dos Parâtros Substtudo a quação atror as das quaçõs, obté-s após alguas splfcaçõs: ˆ ˆ ˆ Od:,,,.., K ( ( ( ( 4

5 Estação dos Parâtros Estação dos Parâtros Estas quaçõs pod sr rsolvdas para,,..,. A solução é spls, poré trabalhosa. S K, sto é, para o caso d duas varávs, t-s: Explo U Cosdr os dados coo sdo das varávs: Quatdad vdda d u produto, Prço do produto Gasto co a dvulgação do produto. Dtrar a quação d rgrssão d fução d d. Q (g Prço (R$ Ivstto (R$ l Od: 49 4,

6 Etão:.49 ( 4.,,.49 ( 4., ( 4.(,.49 ( 4 (,.,, Ass a quação procurada, srá:, Ŷ, -, + Dsta fora, ua rdução d R$ o prço do produto, s vstto publcdad, autara as vdas aproxadat g. U auto a publcdad d l, s altração o prço, auta as vdas g. Exrcíco U (Guarat. A tabla aprsta dados sobr o produto bruto ral, trabalho captal ral o stor dustral d Tawa. (a Aust os sguts odlos aos dados da tabla: t + t + t + U ' l t α + α l + α l + U t (b Qual odlo ofrc lhor aust por quê? t t t Ao ,4,,,, 4, 94,,9,, 9,, 4, 4, 4,, 4,4 9,,, 4, 4,,4, 9, 9,, 4,4, 999, Exrcíco U (Guarat. Od Produto Bruto ral ( lhõs d NT $* Trabalho (por l pssoas Captal Ral ( lhõs dnt $ (* Dólars Novos d Tawa Fot: Thoas P-Fa Ch, Ecooc Growth ad Structural Chag Tawa - 9/9, A Producto Fucto Approach, ts d doutorado ão-publcada, Dpartato d Ecooa, Ctro d Graduação, Cty Uvrsty of Nw or, Juho d 9, Tabla II. Solução do Exrcíco U (Guarat.

7 Fora Matrcal As quaçõs oras do étodo dos íos quadrados pod ( dv sr aprstadas otação atrcal, da sgut fora: ' ( ' Od: ' ' A Solução Explo Dos A solução para srá, tão: ( ' ( ' Cosdr os dados coo sdo d três varávs, sdo ua dpdt duas dpdts. Dtrar a quação d rgrssão d fução d d. 4 O odlo para st caso srá dado por: U Substtudo os valors tos: E E E E E

8 As quaçõs pod sr xprssas d fora atrcal, fazdo: 4 4 E T-s, tão: y A fora atrcal é, tão: y x+ A solução é dada por: y ( ' ' Ass, para os valors dados, t-: 4 A solução é dada por: y ( ' ' Ass, para os valors dados, t-s: 4 ˆ Rsolvdo por parts: ' y ' 4 4 ( ' Os cofcts srão:,,, 4 4 A quação d rgrssão, srá:,., ˆ + Ŷ E

9 Qualdad do Aust Na ANOVA a varabldad toro da éda gral é dcoposta varabldad dtro tr tratatos. Na Aáls d Rgrssão a varabldad total é dcoposta varabldad sobr a rgrssão (Explcada varabldad dvdo a rgrssão (Não- Explcada. Para ostrar sta dcoposção vaos partr da sgut dtdad: Ŷ ( ( ˆ Elvado os dos lados ao quadrado, t-s: ( Ŷ ( [ ( ( Ŷ ( ˆ Mapulado algbrcat, t-s: + ( Ŷ ] SQT (Soa dos Quadrados Total (TSS Total Su of Squars SQE (Soa dos Quadrados Explcados ou Austados (ESS Explad Su of Squars VT SQT ( VE SQE ( ˆ SSR (Soa dos Quadrados dos Rsíduos (RSS Rsdual Su of Squars VR SQR E ( ˆ Ass: G.L. ( ( Ŷ + ( Ŷ SQT SQR + SQE - ( Ass, a tabla da ANOVA para a Aáls d Rgrssão, fca: 9

10 Fot Rgrssão Soa dos Quadrados SQE GL Méda dos Quadrados MQESQE/ F Coo a rgrssão spls pod-s dfr o cofct d dtração ou R R SQE SQT SQR SQT Rsíduo (Erro SQR - MQS SQR/ ( MQE/MQS R ( ( ˆ ( ( ˆ R é ua fução ão dcrsct do úro d rgrssors. Cofor auta o úro d varávs xplcatvas R gralt tabé auta. Para vrfcar sto, basta lbrar qu: R VE VT VR VT R ( ˆ E ( ( Etão VT ( é dpdt do úro d varávs o odlo. ( Mas VR E Ŷ dpd do úro d varávs dpdts xstts o odlo. Ass, plo os tutvat, a dda qu auta o úro d varávs, VR dv dur ou ão autar.

11 Ass R, cofor dfdo rá autar. Dsta fora ao s coparar dos odlos d rgrssão co a sa varávl dpdt as dfrt úro d varávs dpdts, dv-s tr cautla a trprtação d R. Ass para coparar dos odlos co úros dfrts d varávs xplcatvas é covt lvar cota sta dfrça. Para fazr sto df-s u cofct d dtração altratvo, doado d R austado, da sgut fora: R VR /( VT /( Od úro d parâtros do odlo cludo o trcpto. Esta dda é austada para o úro d g.l. assocados às varaçõs qu faz part do su cálculo. R ( Ŷ ( Ou ada: ( ( ( ˆ ( σˆ R S Od o urador é a varâca rsdual, sto é, ua statva dos tros rro o doador a varâca da varávl. R pod sr dtrado a partr d R da sgut fora: R R Dsta fora s xstr apas ua varávl xplcatva os dos cofcts são guas. A partr d, o cofct austado srá spr or do qu o cofct ão austado. Obsrv qu s R, tão R tabé srá u s R, R podrá sr or do qu s >.

12 Não-Tdcosdad Os stadors d íos quadrados ordáros da rgrssão lar últpla são ão-tdcosos, sto é: E( E( E( E( Varâca dos Estadors Três fators fluca a varâca dos stadors Varâca do rro Varação d Grau d rlação lar tr as varávs xplcatvas Coo star σ? Tora : sob as hpóts á coadas, t-s: σˆ S E ( E( σˆ σ SQR ( Varâca dos Estadors A varâca dos stadors por: od σ Var( SST ( R é dada SST ( R ( ˆ SSE SST ( Tora d Gauss-Marov Sob as hpótss (H - (H os stadors d MQO são BLUE (Bst Lar Ubasd Estators, sto é, são os lhors stadors, o stdo d possuír or varâca (aor fcêca, dtro da class dos stadors lars ão-vsados.

13 Todos os stadors Estadors lars Estadors ão-tdcosos MQO Ifrêca odlos d rgrssão lar últpla. Dstrbução dos stadors d MQO Tsts d hpótss sobr u úco parâtro: o tst t Itrvalos d cofaça Tstado rstrçõs lars os parâtros: o tst F Tora Sob as hpótss (H - (H codcoalt os valors obsrvados das varávs dpdts. Logo ~ Var( N (,Var( ~ N (, Tsts d Hpótss Sobr u Úco Parâtro Cosdr o odlo U Hpótss sobr o parâtro b pod sr tstadas por: t σˆ Itrvalos d Cofaça Da sa fora pod sr crados trvalos d cofaça para os parâtros stados, através das sguts xprssõs: ± t σˆ Tstado Hpótss Sobr ua Cobação Lar d Parâtros Cosdr a rgrssão, abaxo, od sal é salaro, sc é o úro d aos scola scudára, u é o úro d aos a uvrsdad xp é o úro d aos d xprêca profssoal. log( sal + sc+ u+ xp + U

14 S qusros vrfcar s u ao a as d scola scudára quval a u ao adcoal a uvrsdad, qual hpóts dvra sr tstada? H : Coo tstar H? Solução Rdfa H da sgut fora: H : - A statístca do tst srá: t σˆ ˆ Proprdads asstótcas O rro padrão da dfrça dos dos stadors, srá: V( V( + V( Cov(, Cosstêca dos stadors Noraldad asstótca Até o oto fora studadas as proprdads aostras pquas dos stadors d íos quadrados. Por xplo, a proprdad d ão- tdcosdad dos stadors d MQO val para qualqur taaho d aostra. Estas proprdads são cohcdas coo proprdads xatas dos stadors. O próxo passo é studar quas são as proprdads dos stadors d MQO quado o taaho da aostra crsc. Estas proprdads são cohcdadas coo proprdads asstótcas. 4

15 Cosstêca Rlbrado qu sob as hpótss d Gauss-Marov E[ ] Para cada taaho d aostra, o stador possu ua dstrbução d probabldad. Cosstêca Coo o stador é ão-tdcoso, a éda d cada dstrbução é splst. S o stador for cosstt, a dda qu crsc a dstrbução fca as coctrada toro da éda Dfção Sa u stador do parâtro ^ para ua aostra d taaho. srá u stador cosstt s, para u úro ε qualqur: l Pr( > ε ^ ^ Tora: sob as hpótss (H - (H 4, os stadors d íos quadrados ordáros são cosstts. Noraldad Tora: sob as hpótss d Gauss- Marov (H a H os stadors d MQO são asstotcat oras od: ˆ a s pl rˆ ( D (, N Para os parâtros d clação s é u stador cosstt d σ V(U, para todo ( D N, σ a

16 O qu acotc quado varávs rrlvats são cluídas o odlo? Cosdr qu o odlo abaxo tha sdo spcfcado U Cosdr ada qu o fto d, após a clusão d o odlo, sa ulo. Isto é: E( E( y x,x y x,x +,x x E( + x y x Mas a prátca ão s sab a pror qu. O qu acotcrá co os stadors?,x O qu acotc quado varávs rlvats ão são cluídas o odlo? Os stadors srão vsados (tdcosos. O vés é gralt chaado d vés d varávs otdas U Cosdr o sgut odlo populacoal: Agora, supoha qu o odlo stado a varávl ão fo cluída. ~ ~ ~ ( ( ~ +