UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO LUIZ GUSTAVO DIAS LOPES UMA CONTRIBUIÇÃO PARA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS EM OTIMIZAÇÃO DE MÚLTIPLAS RESPOSTAS SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA Dssrtação submtda ao Programa d Pós-Graduação m Engnhara d Produção como art dos rqustos ara obtnção do título d Mstr m Cêncas m Engnhara d Produção Ára d Concntração: Qualdad Produto Orntador: Prof. Andrson Paulo d Pava, Dr. Abrl d 0 Itajubá, MG

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO UMA CONTRIBUIÇÃO PARA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS EM OTIMIZAÇÃO DE MÚLTIPLAS RESPOSTAS SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA LUIZ GUSTAVO DIAS LOPES Abrl d 0 Itajubá, MG

3 Ddcatóra Ddco st trabalho à mnha sosa Nl, ao mu flho Gulhrm à mnha mã Ruth qu m ncntvaram ntgralmnt or todo longo rcurso d dsnvolvmnto dst trabalho.

4 Agradcmntos Prmramnt a DEUS, qu m almntou o sírto nos momntos dfícs. Ao rof. Dr. Andrson Paulo d Pava, orntador amgo, los das d ddcação, acênca comtênca transmtdas durant todo dsnvolvmnto dst trabalho. À mnha sosa Nl, comanhra nsarávl, lo amor, ddcação comrnsão. Ao mu flho Gulhrm aos mus rmãos Jorg Luz, Shla, Shrl Mônca, la amzad aoo ncondconal. Aos mus cunhados Marl Antono Carlos Zambron. Sm ls, st momnto não tra acontcdo. Aos mus cunhados Sul José Gonçalvs or todo aoo qu smr ud contar. momntos. Ao amgo Prof. Dr. Pdro Paulo Balstrass, la ajuda aoo m todos os Ao rmão amgo Paulo Hnrqu Camos, smr soldáro, ostvo ncntvador. Aos rofssors do IEPG, Prof. Dr. Carlos Hnrqu Prof. Dr. João Batsta Turron, lo aoo nos momntos dfícs. Ao Prof. Dr. Carlos Eduardo, coordnador do curso d ós-graduação m Engnhara d Produção, la amzad aoo durant todo o curso. Aos amgos colgas do IEPG qu contrbuíram com um gsto ou uma alavra amga nos momntos dfícs com sso m dram forças ara u chgar até aqu. E ao CNPQ, lo aoo fnancro através do sstma d bolsas.

5 Rsumo Garantr as caractrístcas d qualdad d um roduto é uma tarfa dfícl, scalmnt quando a rlação ntr os fators as múltlas rsostas corrlaconadas não são totalmnt conhcdas. Como a função d transfrênca das varávs d rsosta corrlaconadas od sr scrta m trmos d scors d comonnts rncas, a varânca ou ncrtza contda nas rsostas orgnas md qu o vrdadro comortamnto da função d rgrssão sja bm lcado. Mdant ao osto, sta squsa arsnta um método laborado ara stmar a ncrtza total ou a varânca rmntal, qu afta todas as varávs d rsosta, usando o nvrso da ncrtza multvarada como dagonal rncal d uma matrz d sos dagonal ara ondrar os scors dos comonnts rncas qu são utlzados como substtutos do conjunto d dados orgnas corrlaconados. Além dsso, consdra-s como tnsão dssa abordagm a análs fatoral com rotação Varma a ondração dos scors fatoras, como altrnatva à rgrssão multvarada. O rncal objtvo dsta roosta é mlhorar a lcação (R adj.) a rvsão (R rd) dos modlos d Comonnts Prncas, lvando o rsultado rcntual dstas duas métrcas ao maor valor ossívl. Assm qu o mlhor modlo sja scolhdo, uma rotna d otmzação basada no Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM) é alcada ara dtrmnar a solução ótma. Para confrmar a fcênca da roosta fo cutada uma smulação utlzando-s como bas d dados os rmntos ralzados or Salgado Jr. (00). Os rsultados obtdos nsta smulação mostrou qu o método matmátco dsnvolvdo é adquado, uma vz qu os valors da métrca R (adj) smr s dslocaram ara atamars surors, atngndo um rcntual d lcação acma d 85%. Numa sgunda ratfcação da fcênca do método é usado um studo d caso consdrando-s as caractrístcas d qualdad da rugosdad da surfíc no tornamnto do aço duro AISI 500 obtdas com frramntas d gomtra alsadora (Wr). Os fators adotados m uma matrz d Arranjo Comosto Cntral (CCD) são a vlocdad d cort, o avanço da frramnta a rofunddad d cort, ara um conjunto d cnco métrcas d rugosdad altamnt corrlaconadas (R a, R y, R z, R q R t ). Os rsultados mostram qu a abordagm do EQMM alcada à otmzação do tornamnto do aço duro AISI 500 roduz soluçõs muto rto d todos os alvos rvamnt stablcdos. O mlhor onto d ótmo obtdo ara o modlo bvarado formado lo conjunto R a R q, rrsntado lo Modlo A, é consgudo com Vc = 6 m / mn, Fn = 0,3 mm / rv A = 0, mm ara o Modlo B, qu contmla as cnco rsostas, Vc = 9 m / mn, Fn = 0,3 mm / rv A = 0, mm. Os rsultados ndcam qu os dfrnts métodos d modlagm: CP (sm so sm rotação), WCP(com so sm rotação), FCP (sm so com rotação) WFCP(com so com rotação), conduzm, aromadamnt, às msmas rsostas rvstas no dal. Palavras-chav: Mínmos Quadrados Pondrados (MQP), Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM), Mtodologa d Surfíc d Rsosta (MSR), Análs d Comonnts Prncas (ACP) Análs Fatoral (AF).

6 v Abstract Ensur th qualty charactrstcs of a roduct s a hard task scally whn th rlatonsh among factors and th multl corrlatd rsonss s unknown. As th transfr functon of corrlatd rsons varabls may b wrttn n trms of rncal comonnt scors, th varanc or uncrtanty contand n th orgnal rsonss rvnts that th tru bhavor of th rgrsson functon wll not b wll land. About ths concrn ths thss rsnts a modl buldng stratgy to stmat th total uncrtanty (or rmntal varanc) that affcts all rsons varabls, usng th nvrs of multvarat uncrtanty as th man dagonal of a dagonal matr of wghts for rncal comonnts scors usd to rlac th orgnal corrlatd datast. In addton, an tnson of ths aroach consdrs th factor analyss wth Varma rotaton and wghtng for factor scors as altrnatvs to th multvarat rgrsson. Th man objctv of ths roosal s to mrov th lanaton of R (adj) and th rdcton of (R rd.) of th modls makng thr rsults as hghr as ossbl. Snc th bst modl s chosn, an otmzaton routn basd on Multvarat Man Squar Error (MMSE) s ald to dtrmn th otmal soluton. To confrm th ffctvnss of th roosal a smulaton was rformd usng as databas th rmnts conductd by Salgado Jr. (00). Th rsults of ths smulaton showd that th mathmatcal mthod dvlod s adquat, snc th valu of R (adj) always movd to hghr lvls, rachng rats abov 85% of lanaton. In a scond ratfcaton of th ffctvnss of th mthod a cas study of qualty charactrstcs of th surfac roughnss n th AISI 500 hard turnng obtand wth Wr gomtry tools s usd. Th adotd factors n a CCD array ar th Cuttng sd, fd rat and dth of cut, for a st of fv hghly corrlatd surfac roughnss mtrcs (R a, R y, R z, R q and R t ). Th rsults show that th MMSE aroach ald n th otmzaton of th 500 hard turnng roducs solutons vry closr to all targts rvously stablshd. Th bst rsons wth otmum obtand for th bvarat modl formd by R a R q s achvd at Vc = 6 m / mn, Fn = 0.3 mm / rv and A = 0. mm and for th st of fv mtrcs s achvd at Vc = 9 m / mn, Fn = 0.3 mm / rv and A = 0. mm. Th rsults ndcat that dffrnt modlng mthods: PC (wthout wght and wthout rotaton), WPC(wth wght and wthout rotaton) FPC (wthout wght and wth rotaton) and WFPC(wth wght and wth rotaton) conduct aromatly to th sam rdctd rsonss at otmum. Kywords: Wghtd Last Squar (WLS), Multvarat Man Squar Error (MMSE), Rsons Surfac Mthodology (RSM), Prncal Comonnt Analyss (PCA) and Factor Analyss (FA).

7 v Lsta d Abrvaturas Sglas ABNT ACP AF A P CCC CCD CCF CCI CE CNC CP CV DOE EQMM Fn GUM LOF MLPCA MSR MQP NBR OLS PC PC R a Assocação Braslra d Normas Técncas Análs d Comonnts Prncas ou Prncal Comonnt Analyss (PCA) Análs Fatoral Profunddad d Cort Arranjo Comosto Crcunscrto Arranjo Comosto Cntral ou Bo-Wlson Cntral Comost Dsgn Arranjo d Fac Cntrada Arranjo Comosto Inscrto Rgão Cntral Comando Numérco Comutadorzado Comonnt Prncal ou Prncal Comonnt (PC) Cofcnt d Varação Mtodologa d Projtos d Ermntos ou Dsgn of Ermnts Erro Quadrátco Médo Multvarado ou MMSE Avanço d cort Gua ara Erssão da Incrtza d Mdção Falta d ajust ou Lack of Ft Análs d Comonnts Prncas or Máma Vrossmlhança Mtodologa d Surfíc d Rsostas Mínmos Quadrados Pondrados ou Wghtd Last Squar (WLS) Norma Braslra Mínmos Quadrados Ordnáros ou Ordnary Last Squar Escor d Comonnt Prncal Prmro Comonnt Prncal (Escor) Rugosdad Méda Artmétca

8 v R q R R (adj.) R (Prd.) Vc Rugosdad Méda Quadrátca Cofcnt d Dtrmnação Cofcnt d Dtrmnação Ajustado Cofcnt d Dtrmnação Prvsto Vlocdad d Cort

9 v Lsta d Símbolos Alfa Autovalor Méda Esaço rmntal Produtóro Somatóro a Profunddad d cort f n Avanço da frramnta P R a Posção d mdção Rugosdad méda artmétca R q Rugosdad méda quadrátca R t Rugosdad total R y Rugosdad máma R z Rugosdad méda s T V c Varânca Alvo Vlocdad d cort

10 v Sumáro. INTRODUÇÃO 0. Consdraçõs ncas 0. Objtvo 03.3 Justfcatva 04.4 Lmtaçõs 04.5 Estrutura do trabalho 04. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 06. Planjamnto Análs d Ermntos (DOE) 06. Mtodologa d Surfíc d Rsosta 08.3 Algortmos d Estmação d Cofcnts: OLS WLS.4 Análs d Comonnts Prncas 3.4. Análs d Fators 7.5 Incrtza m Mdçõs.6 Otmzação Não Lnar 4.7 Consdraçõs fnas do caítulo 7 3. ESTRATÉGIA DE PONDERAÇÃO MULTIVARIADA 8 3. Dsnvolvmnto da Proosta 8 3. Consdraçõs fnas do caítulo 3 4. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO Bas d Dados Dados Smulados Rsultados Dscussão Consdraçõs fnas do caítulo ESTUDO DE CASO AISI 500 AÇO HRC 50

11 5. Procsso d Tornamnto Máqunas, matras, frramntas nstrumnto d mdção Arranjo Ermntal Análs d Corrlação ntr as Rsostas Análs d Comonnts Prncas Análs Fatoral Rsultados Dscussão Otmzação Ermntos d Confrmação Consdraçõs fnas do caítulo CONCLUSÕES Sugstõs ara trabalhos futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS 9

12 . Introdução.. Consdraçõs ncas A rsnça d corrlação rc fort nfluênca na construção d modlos d rgrssão causando nstabldad rovocando rros m sus cofcnts. Em outras alavras, as quaçõs d rgrssão não são adquadas ara rrsntar as funçõs objtvo sm consdrar a strutura d varânca-covarânca (ou corrlação) (MONTGOMERY, 009 BOX HUNTER, 973). Est ascto da otmzação multobjtvo é lcado la nfluênca qu a corrlação rc sobr as varávs d rsosta, os d acordo com Catn (995) a solução global não dv otmzar duas varávs d rsosta m dtrmnto d outra. Conform aontado or outros squsadors, Chao Hamada (00) Har t al. (006) Yuan t al. (008), analsar as rsostas ndvdualmnt od lvar a um conflto d ótmo, os os nívs dos fators qu aftam ostvamnt uma rsosta odm, or outro lado, aftar ngatvamnt a outra. Wang (006) confrma qu as corrlaçõs médas ou altas stnts ntr as múltlas rsostas aftam sgnfcatvamnt a qualdad do roduto stas corrlaçõs dvm sr consdradas quando os roblmas d otmzação d múltlas rsostas form rsolvdos. McFarland Mahadvan (008) afrmam qu a fort corrlação ntr as rsostas ndca qu as varávs odm sr trabalhadas através d um conjunto rduzdo d dados a mtodologa utlzada ara rdução d dmnsonaldad é a Análs d Comonnts Prncas (ACP), qu od sr usada ara lcar a maora da varabldad d um conjunto d varávs corrlaconadas. Tong t al. (005) utlzaram a ACP ara smlfcar o rocsso d otmzação rsolvr roblmas d múltlas rsostas concluíram qu, com algumas modfcaçõs, sto é, quando s trabalha a ACP assocada a uma outra frramnta, o rocdmnto é váldo. Andrws t al. (996), num trabalho ara lcar a rlação ntr a análs d comonnts rncas (ACP) o método d rgrssão lnar, mrgaram outros st métodos ara avalar como tratar os rros d mdção. Foram utlzados os métodos: Mínmos quadrados ordnáros (OLS), mínmos quadrados ondrados (WLS), método da varânca ftva EVM (do nglês, Effctv Varanc Mthod), rgrssão ondrada múltla (MWR), análs d comonnts rncas não-ondrada UPCA (do nglês, Unwghtd Prncal Comonnt Analyss) duas outras formas d análs d comonnts rncas ondrada dnomnadas WPCA WPCA (do nglês, Wghtd Prncal Comonnt Analyss). O objtvo rncal

13 do studo fo lcar a rlação ntr a ACP a rgrssão lnar, como objtvo scundáro, mostrar qu m alguns casos, como o modlo d Análs d Comonnts Prncas Pondrada (WACP), é ossívl obtr rsultados com mnors rros ncrtzas. O studo dou um alrta quanto à rsnça d rros nas mdçõs qu odm aftar a strutura d dados consquntmnt os rsultados. Porém, não fo mnconado sobr as ossívs formas d tratar sts dados ara vtar qu os rros d mdção nfluncm os comonnts rncas. Wntzl Lohans (998) alcaram um rocdmnto basado no método d Análs d Comonnts Prncas or Máma Vrossmlhança MLPCA (do nglês Mamum Lklhood Prncal Comonnt Analyss) ara nclur a covarânca do rro d mdção na dcomosção multvarada. O método é smlhant à ACP clássca, orém, consdra a ncrtza d mdção no rocsso dando mnor ênfas nas mdçõs com grand varânca. Bratchll (989) mrgou uma surfíc d rsosta d sgunda ordm basada na ACP ara rrsntar adquadamnt o conjunto d rsostas orgnas num quno númro d varávs latnts ou CP s. A abordagm d Bratchll não arsnta altrnatvas ara os casos m qu o maor comonnt rncal não é caaz d lcar a maor art da varânca, bm como não ndca como os lmts d scfcação mtas d cada rsosta odm sr transformados ara o lano d comonnts rncas. Asar dstas lacunas, o uso da ACP ara surar a nfluênca da corrlação é muto tnso na ára d usnagm, rncalmnt com arranjos d Taguch (TZENG CHEN, 006 DUBEY YADAVA, 008). A ACP s tornou uma frramnta ndsnsávl ara a análs multvarada m áras como a análs loratóra d dados, modlagm, análs d mstura calbração, mas a rncal dsvantagm ou nconsstênca dsta abordagm, é qu torna-s mlícto os rssuostos sobr os rros d mdção os quas são mutas vzs dsconsdrados. Isso corrom a qualdad da nformação rstada od lvar a rsultados quvocados (ANDREWS t al., 996). Dvrsos trabalhos d Andrws Wntzll (997), Wntzll Lohns (997), Wntzll t al. (998), Martínz, Ru Rus (00) Lahadlma t al. (006) falam da nflunca dos rros d mdção nos comonnts rncas. Utlzam dvrsos métodos chgam a combná-los na busca or rsultados mas confávs. Porém, não fo ncontrada m nnhum dos trabalhos squsados uma sugstão d como vtar qu as ncrtzas contdas nas varávs orgnas contamnm as Comonnts Prncas as rsostas.

14 3 A ncrtza d mdção é um roblma qu afta a rcsão dos rsultados. Pérz (00) afrma qu as ncrtzas d mdção odm aftar tanto as varávs d rsosta quanto as varávs ndndnts. Ignorar stas ncrtzas tornam nfcnts os rsultados d modlos obtdos rmntalmnt. Nst contto, st studo roõ um método ara fltrar a ncrtza total utlzála como matrz d so ara ondrar os scors dos comonnts rncas. O rncal objtvo dsta roosta é mlhorar a lcação dos modlos d rgrssão através da mamzação d sus índcs, R (adj) R (rd.) dos modlos d Comonnts Prncas, usando o método dos Mínmos Quadrados Pondrados. Aós a corrção da ncrtza, um método d otmzação mult-objtvo, basado no concto do Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM), srá utlzado ara mlhorar a solução as caractrístcas múltlas corrlaconadas combnando a Análs d Comonnts Prncas (ACP) a Mtodologa d Surfíc d Rsosta (MSR). Para avalar a boa adquação dsta roosta fo ralzada uma oração d tornamnto do aço ndurcdo AISI 500 utlzando-s frramntas d gomtra alsadora (Wr) CNGA0408 S055WH... Objtvo Gral Dsnvolvr um método ara stmar a ncrtza total ou, varânca rmntal, qu afta todas as varávs d rsosta, usando o nvrso da ncrtza multvarada como matrz d so ara ondrar os scors dos comonnts rncas qu são utlzados como substtutos do conjunto orgnal d dados corrlaconados.... Objtvos scífcos Elvar o índc d lcação do modlo mamzando os rcntuas d R adj. R rd. ao maor valor ossívl; Utlzar a Análs Fatoral (AF) com rotação Varma ara avalar o ncrmnto na lcação rdção das rsostas do modlo; Avalar como a ondração a rotação, bm como sua ntração, odm nfluncar na dtrmnação dos cofcnts d rgrssão a sua ossívl nfluênca no dslocamnto do onto d ótmo. Analsar o comortamnto do método roosto através d smulação d surfícs d rsosta;

15 4 Alcar o método dsnvolvdo ao rocsso d acabamnto surfcal do aço AISI 500, usnado com frramnta d gomtra alsadora (WIPER)..3. Justfcatvas A consdração d qu as ncrtzas d mdção qu aftam as varávs orgnas também contamnam as comonnts rncas fazndo com qu o comortamnto da função objtvo não sja bm lcado, já é uma fort justfcatva ara o dsnvolvmnto dsta abordagm. Entr outras, od-s dstacar: Comrnsão da nfluênca da strutura d corrlação nas varávs d rsosta qu caso sja nglgncada od lvar a ontos d ótmo narorado. A ncssdad do cálculo da ncrtza total ara construr a matrz d so ondrar os scors dos comonnts rncas; O dsnvolvmnto d um método com caacdad d dntfcar os arâmtros qu atndam às múltlas rsostas sm grar confltos; A ncssdad d s alcançar uma lcação satsfatóra do modlo lvando-s os rcntuas d R ajustado R rvsto ao maor valor ossívl; Avalação das mlhoras rovocadas com a alcação do método d otmzação multobjtvo, Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM)..4. Lmtaçõs Por s tratar d uma dssrtação d mstrado, sta squsa não tm a ntnção d aurr todas as qustõs sobr o assunto, os dmandara tmo suror ao dsonívl ara a laboração, cução fnalzação do trabalho. Sndo assm, as lmtaçõs dsta squsa são: Não dsnvolvr softwars scífcos ara solução d roblmas; anas srão utlzados os softwars comrcas; Os rsultados obtdos com a rsnt abordagm não odm sr traolados ara dfrnts matras, frramntas ou máqunas são váldos anas ara a faa d nívs adotados..5. Estrutura do trabalho A strutura adotada ara st trabalho od sr rsumda como s sgu.

16 5 O caítulo arsntará a rvsão bblográfca dos tmas abordados nsta squsa, contmlando alguns trabalhos ublcados no mo cntífco. O caítulo 3 abordará a Estratéga d Pondração Multvarada qu dz rsto ao dsnvolvmnto do método. O caítulo 4 abordará uma smulação utlzando como bas d dados os rmntos ralzados com aço d cort fácl L4. O caítulo 5 arsntará o rocsso d tornamnto, as varávs d control d rsosta uma brv arsntação da máquna, frramntas nstrumntos utlzados no dsnvolvmnto dsta squsa. No qu dz rsto à análs dos rsultados dos rmntos ralzados, sta análs contmlará três taas: () modlagm das varávs d rsosta; () otmzação do sstma utlzando o método consdrado no trabalho (3) rmnto d confrmação do onto d ótmo ndcado lo método EQMM. O caítulo 6 arsntará as conclusõs dst trabalho basadas nos rsultados obtdos sugstõs ara trabalhos futuros.

17 6. Rvsão Bblográfca A ncrtza é um arâmtro assocado ao rsultado d uma mdção qu caractrza a dsrsão dos valors qu odram sr razoavlmnt atrbuídos a um mnsurando (GUM, 996). Pérz (00) alrta qu tanto os arâmtros quanto as rsostas são aftadas las ncrtzas qu odm tornar a análs statístca nfcnt, s sts ftos não form consdrados. Sgundo Andrws t al. (996) a Análs d Comonnts Prncas é uma frramnta amlamnt, orém, sta frramnta ncorora os rros d mdção no conjunto d dados orgnas, lvando à rsultados nganosos. Dant dssas advrtêncas, as ncrtzas m mdçõs não odm sr gnoradas. Para tanto, Andrws t al. (996) Wntzl Lohans (998) rousram métodos técncas ara mnmzar ou ncororar os rros d mdçõs qu, sgundo Pérz (00), são mutas vzs gnorados or squsadors qu não consdram as ncrtzas d mdção. As ncrtzas m mdçõs não odm sr nglgncadas, muto lo contráro, dvm sr corrgdas ou ncororadas ao rocdmnto d ajust do modlo. Com o objtvo d forncr os valors d mdçõs qu rrsntassm a varabldad do rocsso d fabrcação, Pérz (00) ncororou a ncrtza na avalação da rugosdad, consdrando: a varabldad assocada ao nstrumnto d mdção, a varabldad das mddas ralzadas m uma únca ça a varabldad assocada ao róro rocsso d fabrcação (or mo da varabldad stnt ntr as dfrnts ças)... Planjamnto Análs d Ermntos (DOE) Projto d Ermntos, ou smlsmnt DOE (do nglês, Dsgn of Ermnts), é uma mtodologa rlatvamnt antga, dsnvolvda or Sr Ronald A. Fshr, ntr , sndo ostrormnt arfçoada or outros mortants squsadors como Bo, Huntr Taguch, dntr outros. O DOE é uma mtodologa d otmzação statístca qu busca ncontrar, através da análs smultâna d város fators, os mlhors nívs ara um conjunto d arâmtros qu rçam nfluênca sobr crto rocsso. Montgomry (009) dz qu rmnto é um tst, ou uma sér d tsts, no qual são ftas mudanças roostas nas varávs d ntrada d

18 7 um rocsso, d modo qu s ossa obsrvar dntfcar mudanças corrsondnts na rsosta d saída. Os lmntos báscos qu comõ sta mtodologa são: Fators controlados: varávs qu odm sr modfcadas durant os rmntos ara dtrmnar a nfluênca nas saídas. Fators não controlados: varávs qu dvram rmancr constants durant os rmntos, mas d alguma forma varam altrando as saídas. Rsostas: saídas qu dvrão sr otmzadas. Modlo: consst na quação qu rlacona as rsostas com as varávs do rocsso. A Fgura. mostra um sboço dos lmntos d um rocsso. Fgura. Fators do rocsso A volução das técncas d Planjamnto Análs d Ermntos tm sdo amlamnt arovtada las mrsas. Sgundo Bryman (989) a squsa rmntal adquru uma consdrávl mortânca na squsa organzaconal dvdo, rncalmnt, a dos fatos: o rmro dls dz rsto à força dss método d nvstgação m rmtr qu o squsador faça forts dclaraçõs d causaldad; o sgundo, dz rsto à facldad ncontrada lo squsador, m stablcr rlaçõs d causa fto, fazndo com qu o rmnto sja consdrado um modlo d dlnamnto d squsa. Sgundo Montgomry (009) os objtvos do rmnto odm nclur:. Dtrmnação d quas varávs são mas nflunts na rsosta y.

19 8. Dtrmnação do valor a sr atrbuído aos s nflunts d modo qu y stja rto da gênca nomnal. 3. Dtrmnação do valor a sr atrbuído aos s nflunts d modo qu a varabldad m y sja quna. 4. Dtrmnação do valor a sr atrbuído aos s nflunts d modo qu os ftos das varávs não-controlávs sjam mnmzados. O arranjo rmntal mas comum é o fatoral comlto, ara o qual o númro d rmntos é gual ao númro d nívs rmntas lvado ao númro d fators. Nst to d rocdmnto, todas as combnaçõs odm sr tstadas todas as ntraçõs, avaladas. Est to d arranjo cobr todo o saço rmntal. Porém, Montgomry (009) alrta qu uma quantdad muto grand d fators od tornar o rocsso d rmntação nvávl, os à mdda qu o númro d fators crsc lnarmnt, o númro d rmntos ara sss fators crsc onncalmnt. Como altrnatva, ara rduzr o númro d rmntos, utlza-s o método d Taguch ara fltrar as varávs, d forma a stablcr quas odm sr dsconsdradas do rocsso sm qu ocorram ntrfrêncas na rsosta ou o Placktt-Burman qu é um arranjo fraconáro ara avalar anas os ftos rncas... Mtodologa d Surfíc d Rsosta D acordo com Bo Drar (987), Montgomry Rungr (003) Montgomry (009), a Mtodologa d Surfíc d Rsosta (RSM Rsons Surfac Mthodology) é uma colção d técncas matmátcas statístcas qu são utlzadas ara modlar analsar roblmas nos quas a rsosta d ntrss é nfluncada or mutas varávs o objtvo é a otmzação dsta rsosta. Por mlo, suonha qu s dsj ncontrar quas os nívs d tmratura ( ) rssão ( ) qu mamzm o rndmnto (y) d um rocsso. O rocsso d rndmnto (y) é uma função dos nívs d tmratura rssão, como sgu: Y f, (.) ond rrsnta o ruído ou rro obsrvado na rsosta y. A surfíc rrsntada la quação E(Y)= f (X, X)=, ntão a surfíc rrsntada or = f (X, X ) é chamada d Surfíc d Rsosta, conform rrsntado la Fgura..

20 9 Fgura. Surfíc d rsosta Na maora dos roblmas d surfíc d rsosta, a rlação ntr a rsosta as varávs ndndnts é dsconhcda. Assm, o rmro asso dntro da mtodologa RSM é ncontrar uma aromação adquada ara o vrdadro rlaconamnto ntr y o conjunto d varávs. Gralmnt, um olnômo d baa ordm é mrgado m alguma rgão das varávs ndndnts. S a rsosta é bm modlada or uma função lnar das varávs ndndnts, ntão a róma função é um modlo d rmra ordm. k k Y 0 (.) D acordo com Bo Drar (987), suondo qu a rsosta srada E(Y) sja função d K varávs rdtoras,,..., k, codfcadas d tal manra qu o cntro da rgão d ntrss é a orgm (0, 0,..., 0), o rlaconamnto ntr y as varávs rdtoras od sr rsso sgundo uma ansão m Sér d Taylor, tal qu:... ) ( 0 0 k j k j K I X Y E (.3) ond o subscrto zro ndca a avalação na orgm. S os trmos d alta ordm form gnorados, a ansão roduzrá: k 0 (.4) S, m adção, form mantdos os trmos d sgunda ordm, a aromação s tornará: j j k 0 (.5)

21 0 Assm, a função aromada d um modlo d rmra ordm od sr rrsntada: k k (.6) S houvr curvatura no rocsso, ntão um olnômo d ordm mas alta dv sr utlzado, tal como um modlo d sgunda ordm, or mlo. γ β β χ χ j χ χ ε 0 β β j (.7) j Sgundo Bo Drar (987) quas todos os roblmas d surfíc d rsosta utlzam um dsss dos modlos, ou, m alguns casos, ambos. Contudo, é mrovávl qu um modlo olnomal sja uma aromação razoávl do modlo ral m todo o saço rmntal cobrto las varávs ndndnts, mas, lo mnos ara uma dtrmnada rgão, l funconará muto bm (MONTGOMERY, 009). Os arâmtros (β) do modlo olnomal odm sr stmados utlzando-s o método T T dos Mínmos Quadrados Ordnáros, rrsntados na forma matrcal β X X X Y ˆ. Para casos ond a varânca não é constant, od-s utlzar o método dos mínmos quadrados ondrados (Wghtd Last Squars WLS) no qual a dagonal rncal d uma matrz d ondração W od sr rrsntada lo nvrso do quadrado dos rsíduos do modlo ajustado, lo nvrso da ncrtza d mdção ou la varânca calculada com rmntos rlcados (CHO PARK, 005). Gralmnt, quando s stá m um onto da surfíc d rsosta qu stá dstant do onto d ótmo, a curvatura do sstma é bm quna, d ond dcorr qu um modlo d rmra ordm sja adquado ara modlar a rsosta. O objtvo rmntal é, ntão, camnhar ráda fcazmnt m drção às romdads da rgão d ótmo. Uma vz qu tal rgão é ncontrada, um modlo mas laborado dv sr utlzado, tal como o d sgunda ordm. Nst stágo, dv-s localzar o onto d ótmo (PAIVA, 006). A Mtodologa d Surfíc d Rsostas tm como fnaldad rncal dtrmnar as condçõs oraconas ótmas ara o sstma ou dtrmnar uma rgão do saço fatoral, m qu as scfcaçõs oraconas sjam satsftas. O trmo ótmo na mtodologa é mrgado m sntdo scal. Os rocdmntos d subda da mtodologa garantm convrgênca ara somnt um ótmo local (PAIVA, 008). A valdação da rsnça da curvatura no modlo é basada na análs dos ontos cntras ara os fators codfcados.

22 Dv-s consdrar lo mnos tantos ontos cntras quanto form os k fators do rmnto. Montgomry (009) cta alguns arranjos utlzados ara a alcação da surfíc d rsosta, tas como o arranjo comosto cntral, o arranjo d Bo-Bhnkn, o quradal, o quno arranjo comosto o híbrdo. O arranjo comosto cntral (Bo-Wlson Cntral Comost Dsgn, ou smlsmnt, CCD) é um arranjo amlamnt utlzado na rátca ara ajustar um modlo d surfíc d rsosta d sgunda ordm dvdo à sua rlatva fcênca com rsto ao númro d corrdas rqurdas. O CCD é uma matrz formada or três conjuntos dstntos d lmntos rmntas: um conjunto d ontos fatoras sgundo um arranjo fatoral comlto ou fraconado; um conjunto d ontos cntras, adconalmnt, um conjunto d nívs tras dnomnados ontos aas. O númro d ontos aas m um CCD é gual ao dobro do númro d fators rrsntam sus valors trmos. A dstânca ntr o cntro do arranjo (ontos cntras) um onto fatoral aal, comumnt rrsntada or, dnd d crtas rordads dsjadas ara o rmnto do númro d fators nvolvdos (MONTGOMERY, 009). Em função da localzação dos ontos aas, os arranjos odm sr classfcados como crcunscrtos (CCC), nscrtos (CCI) ou d fac cntrada (CCF). A Fgura.3 rrsnta as dfrnts classfcaçõs d um CCD. Fgura.3 Classfcação do CCD Gralmnt, um CCD com k fators rqur k corrdas fatoras, k corrdas aas, no mínmo, um onto cntral, sndo mas comum a utlzação d cnco ontos cntras. A ortogonaldad do arranjo é rqusto ara a avalação d quas ftos (lnar, quadrátco ou d ntração) são sgnfcatvos. Isso sgnfca qu os ftos d dfrnts varávs odm sr

23 stmados d manra ndndnt. Um CCD rotaconávl é aromadamnt ortogonal s form adotados m torno d cnco ontos cntras. Dssa forma, od-s srar uma boa stmatva do rro rmntal. Rotaconaldad rfr-s à varânca da rsosta rdta s mantr constant ara qualqur onto rmntal ao longo da crcunfrênca d rao ( ). Sgundo Bo Drar (987): k 4 4 (númro d rmnt os ) (.8) O CCD ajusta-s, quando ncssáro, m um modlo olnomal d sgunda ordm (MONTGOMERY, 009). Est modlo é adquado, uma vz qu mutos rocssos odm sr aromados or uma ansão m sér d Taylor, truncada m um trmo quadrátco..3. Algortmos d Estmação d Cofcnts: OLS WLS D acordo com Myrs t al. (00), o método dos Mínmos Quadrados Ordnáros (Ordnary Last Squars OLS) é tcamnt usado ara stmar os cofcnts d rgrssão num modlo d rgrssão lnar múltla. Para stmar os arâmtros (β) do modlo olnomal, Pava (006) aconslha a utlzação do método OLS, qu m forma matrcal, od sr rrsntado como: β T T X X X Y sndo X a matrz d fators codfcados Y a rsosta. ˆ (.9) Quando os rros ε não são corrlaconados, mas têm varâncas dsguas a matrz d covarânca do ε é 0 w V w (.0) 0 w n Então, o rocdmnto d stmação é gralmnt chamado d mínmos quadrados ondrados. Sja W = V -. Uma vz qu V é uma matrz dagonal, W também é dagonal com lmntos dagonas ou sos w, w,... w n. A quação dos Mínmos Quadrados Pondrados normas od sr scrta como:

24 3 β T T X WX X WY (.) Nst algortmo, as obsrvaçõs com grands varâncas trão um so mnor do qu as obsrvaçõs com qunas varâncas. Para usar os mínmos quadrados ondrados d forma rátca, é rcso conhcr os sos w, w,... w n. As vzs, o conhcmnto révo, a rênca ou as nformaçõs basadas m consdraçõs tórcas báscas odm sr usadas ara dtrmnar os sos. Em outras stuaçõs od-s dscobrr mrcamnt qu a varabldad na rsosta é uma função d um ou mas rgrssors, assm, o modlo od sr adquado ara rvr a varânca d cada obsrvação, ortanto, dtrmnar os sos. Em alguns casos od-s tr qu stmar o so, ralzar as análss, r-stmar um novo conjunto d sos com bas nsss rsultados, m sguda ralzar a análs novamnt (MYERS t al., 00). Os métodos dos Mínmos Quadrados Ordnáros (OLS) Mínmos Quadrados Pondrados (WLS) são bastant dfunddos m dvrsos trabalhos cntífcos. Cho Park (005) tstaram os dos modlos no dsnvolvmnto da mtodologa d Projtos Robustos concluram qu o método dos Mínmos Quadrados Ordnáros od não sr uma frramnta fcaz ara a obtnção d funçõs d rsostas ara méda varânca. Els ndcam o uso do método dos Mínmos Quadrados Pondrados, afrmam qu st é mas fcaz qu o método OLS ara mamzar a fcênca da stmatva dos arâmtros..4. Análs d Comonnts Prncas A Análs d Comonnts Prncas (ACP), sgundo Wang Du (999), é uma das técncas mas utlzadas ara rduzr dmnsonaldad, d acordo com Johnson Wchrn (007) também é utlzada ara ntrrtar um conjunto orgnal d dados. Esta técnca statístca também é caaz d rtr nas rmras comonnts rncas a maora da nformação, rsultando m uma rda mínma d nformação (MOITA NETO MOITA, 998). Suondo-s qu é corrlaconado com valors scrtos m trmos d um vtor T alatóro Y Y Y,..., Y assumndo qu Σ é a matrz d varânca-covâranca assocada, a st vtor, ntão Σ od sr fatorado m ars d autovalors-autovtors,,...,, ond... 0, tal qu a -ésma combnação lnar não corrlaconada od sr scrta como PC T Y Y Y... Y com,,...,. O -ésmo comonnt rncal od sr obtdo com a mamzação dsta combnação lnar

25 4 (JOHNSON WICHERN, 007). A quantdad d nformação aglutnada nos rmros os da CP é bastant sgnfcatva. A ntrrtação gométrca dsss os é mostrada na fgura.4. Fgura.4- Intrrtação gométrca dos comonnts rncas. Gomtrcamnt, as varávs das comonnts rncas CP CP são os os do novo sstma d coordnadas obtdo la rotação do sstma orgnal. Os novos os rrsntam as drçõs d varabldad máma. Na Fgura.5 há duas varávs orgnas,, duas comonnts rncas CP CP. A rmra comonnt rncal, CP, rsond la maor art da varabldad das duas varávs orgnas. Fgura.5 Rrsntação gráfca das varávs orgnas as comonnts rncas - Font: Montgomry (004) Na Fgura.6, são lustradas três varávs orgnas do rocsso. A maor art da varabldad ou movmnto dssas três varávs stá m um lano, d modo qu foram usadas anas duas comonnts rncas ara dscrvê-las. Nsta fgura, novamnt CP é rsonsávl la maor art da varabldad, mas uma quantdad não trval é também

26 5 dvda a sgunda comonnt rncal CP. Est é, na vrdad, o rncal objtvo dos comonnts rncas: achar o novo conjunto d drçõs ortogonas qu dfnm a varabldad máma dos dados orgnas, qu sra-s, lvará a uma dscrção do rocsso rqurndo consdravlmnt mnos varávs do qu as varávs orgnas (MONTGOMERY 004). Fgura.6 Rrsntação das varávs do rocsso - Font: Montgomry (004) D uma forma gral, afrmam Mota Nto Mota (998), os comonnts rncas k odm substtur as varávs orgnas, m um conjunto mnor d dados, os, é comum obtr m anas ou 3 das rmras comonnts rncas mas qu 90% das nformaçõs ncssáras sm qu haja rjuízo ara o studo. Isto qur dzr qu st quas tanta nformação m k comonnts rncas qu nas varávs orgnas. Os métodos mas utlzados ara stmar o númro d comonnts rncas sgnfcants, são aquls basados nos crtéros d Kasr (JOHNSON WICHERN, 007). D acordo com sss crtéros, o autovalor do comonnt rncal dv sr maor qu um ara rrsntar o conjunto orgnal. Além dsso, a varânca acumulada lcada los comonnts rncas dv sr suror a 80%. Ests crtéros são adquados quando utlzados com uma matrz d corrlação. Caso contráro, a matrz d covarânca somnt odrá sr utlzada ara um conjunto orgnal d rsostas scrtas m alguma scala. Gralmnt, os arâmtros oulaconas d varânca-covarânca Σ d corrlação ρ, são dsconhcdos. Nst caso, a matrz d corrlação da amostra R j a matrz d varânca-covarânca da amostra S j odm sr usadas (JOHNSON WICHERN, 007). S

27 6 as varávs studadas são consdradas no msmo sstma d undads ou s las são rvamnt adronzadas, S j é a scolha mas adquada. Caso contráro, R j dv sr mrgado na fatoração. A matrz d varânca-covarânca da amostra od sr scrta como sgu: s com, n j j j j n j j y y y y n s y y n s s s s s s s s s S (.) Assm, os lmntos da matrz d corrlação da amostra r j odm sr obtdos conform: j s s s s y Var y Var y y Cov r jj j j j j y y j,,...,, ˆ ˆ,, (.3) Sgundo Johnson Wchrn (007) m trmos rátcos o CP é uma combnação lnar não corrlaconada, rsso m trmos d uma matrz d scors, qu od sr rrsntada tal como a rssão (.4). n n n k s s s s s s s s s CP T T Z (.4) A análs d comonnts rncas srv como um asso ntrmdáro na nvstgação análs dos dados (JOHNSON WICHERN, 007). Esta técnca, sgundo Mota Nto Mota (998), também od sr usada ara julgar a mortânca das róras varávs orgnas scolhdas, ou sja, as varávs orgnas com maor so (loadngs) na combnação lnar dos rmros comonnts rncas são as mas mortants do onto d vsta statístco. Sgundo Pava t al. (007) od-s usar a análs d comonnts rncas d forma combnada com outras mtodologas ara s otmzar múltlas rsostas corrlaconadas. Num rocsso d tornamnto do aço AISI 500 fo alcado um modlo híbrdo combnando a análs d comonnts rncas com a mtodologa d surfíc d

28 7 rsosta. Os rsultados mostraram a comatbldad da tora com a rátca, os consguram smultanamnt mamzar a taa d rmoção d matral, mnmzar os tmos d cort os custos, nquanto mantnham a qualdad da rugosdad dsjada. Bratchll (989) utlzou a análs d comonnts rncas na modlagm d surfíc d rsosta multvarada vrfcou qu o método traz luz ara solução. Também rcomndou a utlzação d métodos d rotação das comonnts rncas ara mlhorar a lcação dos modlos. Wang Du (999) afrmam qu st método é artcularmnt útl na análs d grands conjuntos d dados corrlaconados. Rbro t al. (00) afrmam qu uma vz qu a corrlação ntr as múltlas rsostas é dtctada, o uso da Análs d comonnts Prncas od sr rcomndado a rsosta Y od sr substtuída los scors dos rmros comonnts rncas. Yacoub MacGrgor (004) utlzaram a Análs d Comonnts Prncas ara otmzar um rocsso químco com st varávs d ntrada dz varávs d rsosta altamnt corrlaconadas. Aós a alcação da ACP, vrfcou-s qu as três rmras comonnts rncas armaznavam nformaçõs sufcnts ara rrsntar o conjunto orgnal d dados..4.. Análs d Fators A análs d fators é uma técnca statístca multvarada. É também uma frramnta bastant útl odrosa qu atua ftvamnt na tração d nformaçõs d grands bass d dados mantém o sntdo d grands colçõs d dados ntr-rlaconados (HAIR t al., 006). O rncal roósto da análs fatoral é dscrvr, smr qu ossívl, as rlaçõs d covarâncas ntr mutas varávs m trmos d algumas bass subjacnts, mas não obsrvávs, chamadas d fators. Anda, sgundo Har t al. (006), m trmos gras, a análs fatoral aborda o roblma d analsar a strutura das ntr-rlaçõs (corrlaçõs) ntr um grand númro d varávs, dfnndo um conjunto d dmnsõs latnts comuns, chamadas d fators. Uma vz qu as dmnsõs a lcação d cada varávl stjam dtrmnadas, os dos rncas usos da análs fatoral rsumo rdução d dados odm sr consgudos. A análs fatoral, d acordo com Johnson Wchrn (007), od sr consdrada uma tnsão da análs d comonnts rncas. Ambas odm sr vstas como tntatvas d aromar a matrz d covarânca Σ. No ntanto, a aromação basada no modlo d

29 8 análs d fatoral é mas laborada. A rncal qustão na análs fatoral é s os dados são consstnts com uma strutura ré-stablcda. O vtor alatóro X obsrvávl, com comonnts, tm méda μ matrz d covarânca Σ. O modlo solcta qu o fator X sja lnarmnt dndnt d algumas varávs alatóras não-obsrvávs, F, F,... F m, chamadas d fators comuns, fonts adconas d varação ε, ε... ε, chamados rros ou, às vzs, fators scífcos. Em artcular, o modlo d análs d fatoral é: Χ F F F F F F m F m m m F m F m (.5) ou m notação matrcal: L F (.6) ( ) ( m ) ( m) ( ) O cofcnt j é chamado d carrgamnto da -ésma varávl sobr o j-ésmo fator, ntão a matrz L é a matrz d carrgamnto do fator. Nota-s qu o -ésmo fator scífco ε stá assocado anas com a -ésma rsosta X. Os dsvos X - μ, X - μ,..., X - μ, são rssos m trmos d + m varávs alatóras F, F,... F m, ε, ε... ε qu não são obsrvávs. Isto dstngu o modlo d fators da quação (.6) do modlo d rgrssão multvarada na quação (.7), no qual as varávs ndndnts, cuja osção é ocuada or F na quação (.6) odm sr obsrvadas. O modlo d rgrssão lnar multvarada é: Z ( n m ) ( n( r )) (( r ) m ) ( nm ) com (.7) E(ε )=0 Cov (ε (), ε (k) )= σ k I,k =,, m no qual r é o númro d varávs ndndnts no modlo d rgrssão. As m obsrvaçõs sobr o j-ésmo nsao tm matrz d covarânca Σ = {σ k }, mas as obsrvaçõs d dfrnts rmntos não são corrlaconadas. Aqu β σ k são arâmtros dsconhcdos; a matrz do rojto Z tm j-ésma lnha [Z j0, Z j,, Z jr ]. Com tantas quantdads nobsrvávs, uma vrfcação drta do modlo fatoral d obsrvaçõs m X, X X não traz solução. No ntanto, com algumas suosçõs

30 9 adconas sobr os vtors alatóros F ε, o modlo na quação (.6) mlca crtas rlaçõs d covarânca, qu odm sr vrfcadas. Assumndo qu: E ( F ) 0, Cov ( F ) E[ FF ' ] (.8) ( m ) ( mm ) E ( ) 0 ( ), Cov ( ) E[ ' ] ( ) ψ ψ 0 0 P (.9) qu F ε são ndndnts, ntão Cov (ε, F) = E (ε, F ) = 0 ( m ) Ests rssuostos a rlação na quação (.6), consttum o modlo d fators ortogonas, ond, méda da varávl - ésmo fator scífco F j j - ésmo fator comum L j carga da - ésma varavl no j - ésmo fator Os fators alatóros não obsrváv s F satsfazm as sgunts condçõs : F são ndndn ts E(F) 0, Cov (F) I E( ) 0, Cov ( ), ond é uma matrz dagonal Todos os fators d carrgamntos obtdos a artr do carrgamnto ncal or uma transformação ortogonal têm a msma caacdad d rroduzr a matrz d covarânca (ou corrlação). A artr da álgbra matrcal, sab-s qu uma transformação ortogonal corrsond a uma rotação rígda dos os das coordnadas. Por st motvo, uma transformação ortogonal do carrgamnto fatoral, bm como a transformação mlícta dos fators, é chamada d rotação fatoral (JOHNSON WICHERN, 007). Har t al. (006) dstaca qu a rotação fatoral é uma frramnta muto mortant na ntrrtação dos fators. Sgundo Pas Santos (009), a rotação d fatoral é uma técnca ara grar os os d rfrênca dos fators, m torno da orgm, até alcançar uma osção dal, arsntando uma rsctva dfrnt. D acordo com Har t al. (006) o caso mas smls d rotação é uma rotação ortogonal, qu na rátca, assm como todos os métodos d rotação, o objtvo é smlfcar as

31 0 lnhas colunas da matrz fatoral ara facltar a ntrrtação. Por smlfcação das lnhas ntnd-s tornar o mámo d valors m cada lnha tão rómos d zro quanto ossívl, sto é, mamzar a carga d uma varávl m um únco fator, or smlfcação das colunas, sgnfca tornar o mámo d valors m cada coluna tão rómos d zro quanto ossívl, ou sja, tornar o númro d cargas lvadas o mnor ossívl. Há quatro métodos ara grar ortogonalmnt as cargas fatoras ncas ncontradas or qualqur um dos comonnts rncas ou tração d máma vrossmlhança: varma, quartma, quma orthoma (JOHNSON WICHERN, 007). O Varma é um método d rotação ortogonal rtnd qu, ara cada comonnt rncal, stam anas alguns sos sgnfcatvos todos os outros sjam rómos d zro, sto é, o objtvo é mamzar a varação ntr os sos d cada comonnt rncal, daí o nom Varma. Est crtéro s concntra na smlfcação das colunas da matrz fatoral (HAIR t al., 006). O Quartma é também um método d rotação ortogonal rtnd smlfcar as lnhas d uma matrz d sos, sto é, o su objtvo é tornar os sos, d cada varávl, lvados ara um nº rduzdo d comonnts rómos d zro ara todas as rstants comonnts; O Equma é outro método d rotação ortogonal, qu rtnd sr uma solução d comromsso ntr os dos métodos antrors. Em vz d s concntrar nas lnhas ou nas colunas da matrz d sos, o su objtvo é smlfcar smultanamnt lnhas colunas. O orthoma é o quarto método d rotação ortogonal, qu mamza um crtéro com bas na varação das cargas. Dos d ftuada a rotação, torna-s mas smls dntfcar ntrrtar cada comonnt rncal (fator) a artr dos sos das varávs qu a comõm. Quanto mas rómo d (um) stvr ss so, mas fort é a assocação ntr a dta varávl o comonnt, nquanto qu um so da varávl rómo d 0 (zro) rmt conclur qu ouco contrbu ara a formação do fator. Johnson Wchrn (007) sugrm a utlzação do método d rotação Varma, os além d rsrvar a ntgrdad das nformaçõs, aós a alcação do método, l também é caaz d dstacar os gruos d cofcnts sgnfcatvos dos gruos dsrzívs m qualqur coluna da matrz.

32 Har t al. (006) nformam qu o método Varma é um dos métodos mas comuns d rotação ortogonal, orqu o squsador smlsmnt utlza a técnca rotaconal dada lo rograma d comutador a maora dos rogramas tm como adrão d rotação o Varma. A dsto dsta stuação, não há razão analítca ara favorcr um método rotaconal sobr o outro..5. Incrtza m Mdçõs Incrtza é a falta d conhcmnto a ror rfrnt ao rsultado d uma ação ou ao fto d uma condção. É um trmo utlzado m um vasto númro d camos, nclundo statístca, conoma, sguros, ngnhara cêncas. Ela alca-s à dfculdad m rvr vntos futuros, ou a vntuas rros m mddas físcas já ralzadas. A ncrtza d uma mdda rm-s or uma faa d valors qu stão rovavlmnt rto do valor ral. D acordo com o Gua ara a Erssão da Incrtza d Mdção (GUM, 996) a alavra ncrtza sgnfca dúvda,, ortanto, m su sntdo mas amlo "Incrtza d Mdção" sgnfca dúvda sobr a valdad do rsultado d uma mdção, qu caractrza a dsrsão dos valors qu odram razoavlmnt sr atrbuídos a um mnsurando. Sgundo o Gua ara a Erssão da Incrtza d Mdção stm mutas fonts ossívs d ncrtza m uma mdção, o qu faz do rsultado, aós a corrção dos ftos sstmátcos rconhcdos, anda tão somnt uma stmatva do valor do mnsurado or causa da ncrtza rovnnt dos ftos alatóros da corrção mrfta do rsultado no qu dz rsto aos ftos sstmátcos. Na rátca, d acordo com o Gua, stm mutas fonts ossívs d ncrtza m uma mdção, nclundo: a) dfnção ncomlta do mnsurado; b) ralzação mrfta da dfnção do mnsurado; c) amostragm não rrsntatva a amostra mdda od não rrsntar o mnsurado; d) conhcmnto nadquado dos ftos das condçõs ambntas sobr a mdção ou mdção mrfta das condçõs ambntas; ) rro d tndênca ssoal na ltura d nstrumntos analógcos; f) rsolução fnta do nstrumnto ou lmar d mobldad; g) valors natos dos adrõs d mdção matras d rfrênca;

33 h) valors natos d constants d outros arâmtros obtdos d fonts trnas usados no algortmo d rdução d dados; ) aromação suosçõs ncororadas ao método rocdmnto d mdção; j) varaçõs nas obsrvaçõs rtdas do mnsurado sob condçõs aarntmnt dêntcas. A ncrtza od sr classfcada como Incrtza Padrão, Incrtza Padrão Combnada Incrtza Eandda. A Incrtza Padrão é a ncrtza do rsultado d uma mdção rssa como um dsvo adrão. Esta od sr classfcada m Avalação do To A Avalação do To B. O objtvo da saração or to é a ara ndcar as duas formas dfrnts d avalar as comonnts d ncrtza srv anas ara dscussão. A classfcação não s dsõ a ndcar qu sta qualqur dfrnça na naturza dos comonnts rsultants dos dos tos d avalação. Ambos os tos d avalação são basados m dstrbuçõs d robabldad, os comonnts d ncrtza rsultant d qualqur to são quantfcados or varâncas ou dsvos adrão. O rocdmnto to A ara stmar a ncrtza adronzada basa-s m arâmtros statístcos, stmados a artr d valors d obsrvaçõs rttvas do mnsurando. Sja q uma varávl alatóra. Sjam q k (ara k=,,...,n) n valors obtdos ndndntmnt ara a varávl q. Sua méda od sr stmada or: q n n k q k (.0) O dsvo adrão rmntal da varávl q, rrsntado or s, é stmado or: s( q ) n k q k q n (.)

34 3 Dv sr lmbrado qu, ara qu a stmatva d s (q) la quação (.) sja confávl, é ncssáro nvolvr um númro sufcntmnt grand d obsrvaçõs ndndnts (é rcomndávl lo mnos n > 0). Quando é utlzado o valor médo das ndcaçõs, obtdo a artr da méda d um conjunto d m ndcaçõs d q, o dsvo adrão rmntal da méda d q é stmado or: s q s( q) (.) m Nst caso, a ncrtza adrão assocada à varávl q, rrsntada or u(q), é stmada lo dsvo adrão da méda das m obsrvaçõs ftuadas. Assm: u q s q (.3) Quando não são nvolvdas médas d ndcaçõs, mas anas um únco valor da ndcação, a ncrtza adrão concd com o dsvo adrão rmntal s(q), qu já dv tr sdo dtrmnado a ror. O númro d graus d lbrdad nvolvdos (υ) na dtrmnação u(q) é dado lo númro d mdçõs ndndnts ftuadas mnos um, sto é: n (.4) Quanto ao método d avalação do to B, nm smr é ossívl ou conomcamnt vávl quantfcar a nfluênca d crtas fonts d ncrtzas m uma mdção a artr da análs d obsrvaçõs rttvas. Entrtanto, anda assm, é ncssáro stmar a nfluênca d cada font d ncrtzas ara stmar a ncrtza combnada da mdção. A dtrmnação to B da ncrtza adrão d uma font d ncrtza é ralzada or mos não statístcos. Em gral outras nformaçõs conhcdas a ror são consdradas: mdçõs antrors, crtfcados d calbração, scfcaçõs do nstrumnto, d manuas técncos outros crtfcados msmo stmatvas basadas m conhcmntos rêncas antrors do rmntalsta. A stmatva to B gralmnt dnd d grand rênca rátca od sr tão confávl quanto a do to A.

35 4 Incrtza Padrão Combnada é a ncrtza adrão do rsultado d uma mdção, quando ss rsultado é obtdo a artr dos valors d uma sér d outras quantdads, gual à raz quadrada ostva d uma soma d trmos, os trmos sndo os dsvos ou covarâncas dstas outras quantdads ondradas d acordo com a forma como o rsultado da mdção vara com mudanças nstas grandzas. Quando as grandzas são corrlaconadas, a rssão arorada ara a ncrtza combnada u c ( y) assocada com o rsultado d uma mdção é: u c ( y ) N f u f f N N ; j j u j (.5) Os trmos d cofcnts d corrlação são mas fács d sr ntrrtados do qu as covarâncas. O trmo d covarânca da quação (.5) od sr scrto como: N f u c ( y ) u f f u j, r, N N j j j (.6) Incrtza Eandda é uma quantdad qu dfn um ntrvalo sobr o rsultado d uma mdção qu od sr srado ara comrndr uma fração d uma dstrbução dos valors qu odm sr razoavlmnt atrbuídos ao mnsurando. A ncrtza andda U é obtda la multlcação da ncrtza adrão combnada U c (y) or um fator k, dado or: u k (.7) u c Pérz (00) dsnvolvu modlos qu rmtram dtrmnar a qualdad da surfíc das ças, obtdas or rocssos d usnagm, consdrando a ncrtza dvdo ao rocsso aos nstrumntos d mdção, usando o nvrso da ncrtza combnada como dagonal rncal da matrz W m um algortmo do método dos mínmos quadrados ondrados. El afrma qu dvrsos squsadors, ao dsnvolvrm os sus modlos, não lvam m conta a ncrtza nas mdçõs. E sta ncrtza faz com qu o comortamnto da função objtvo não sja bm lcado..6. Otmzação Não Lnar Em grand art dos rodutos rocssos conhcdos, a qualdad não od sr avalada or anas uma caractrístca funconal do roduto (MYERS MONTGOMERY, 00). Em s tratando d rocssos ou rodutos qu ossuam múltlos atrbutos d qualdad

36 5 (caractrístcas dsjávs ou gívs), é smr dfícl s ncontrar um conjunto d arâmtros ótmos ara todas as caractrístcas d ntrss a artr da otmzação ndvdual d cada função d transfrênca ré-stablcda. Além dst to d otmzação sr d fcáca mrovávl, as ntr-rlaçõs ntr as váras caractrístcas odm lvar a análs unvarada às conclusõs quvocadas sm sntdo (WU, 005; KHURI CORNELL, 996). Pava t al. (007) dzm qu o rncal objtvo da otmzação é ncontrar a mlhor combnação ossívl d fators - chamados d varávs d rojto - ara otmzar uma dada função objtvo. Sgundo Tong t al. (005) od-s utlzar a análs d comonnts rncas ara smlfcar o rocsso d otmzação. Porém, Bratchll (989) chama atnção ara dos tos d dfculdads otncas qu ocorrm na otmzação d múltlas rsostas basado m comonnts rncas. A rmra dfculdad é dvdo ao conflto d mínmos mámos d um gruo d varávs qu dv sr smultanamnt mamzado. Esta dfculdad surg quando as varávs têm cargas guas oostas a otmzação do comonnt rncal tm um fto bnéfco ara algumas varávs, mas é uma dsvantagm ara outras. A sgunda dfculdad lvantada or Bratchll (989) surg quando algumas varávs são ouco rrsntadas or um comonnt rncal. Otmzar tal comonnt não lva m consdração a ouca rrsntação da varávl não od garantr a obtnção d um bom onto ótmo ara stas varávs. Também od ocorrr s algumas varávs domnam o comonnt rncal ou, mas gralmnt, s dos gruos d varávs são aromadamnt ortogonas rrsntadas or dfrnts comonnts rncas. Estas ossívs dfculdads da ACP lvam à conclusão d qu quanto mas homogênos form os conjuntos d análs, mlhor srá a rrsntatvdad dos comonnts rncas. Bratchll (989) Tong t al. (005) dscutram a abordagm d múltlas rsostas basadas na análs drta dos comonnts rncas ara otmzação smultâna d rocssos ou rodutos. Lao (006) roôs a otmzação d múltlas rsostas utlzando análs d comonnts rncas ondrados. Nst caso, o so qu cada comonnt rncal rcb dnd da varânca qu or l é lcada. A otmzação multvarada basada no Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM) consdra todos os asctos lncados acma. As múltlas rsostas consdradas m um rocsso arsntam confltos d objtvos, lvando a otmzação ndvdual a um conjunto

37 6 d dfrnts soluçõs. Est fato caractrza um roblma d otmzação multobjtvo, consdrando as rstrçõs d dsgualdad, od sr scfcado conform quação abao: Mnmzar Sujto a : f g f,..., f j, 0, j,,..., m (.8) suondo qu f, f,..., f são corrlaconados com valors scrtos m trmos d um vtor alatóro. O Erro Quadrátco Médo Multvarado (EQMM) é um crtéro multvarado dual d surfíc d rsosta dsnvolvdo ara substtur a méda stmada ŷ or um scor d rgrssão do comonnt rncal stmado CP a varânca (PAIVA t al., 009). Tndo CP ˆ lo rsctvo autovalor como mta ara o -ésmo comonnt rncal, uma formulação ara rro quadrátco médo multvarado od sr dfnda como: EQMM CP CP (.9) Na Eq. (.9) CP é o olnômo d sgunda ordm ajustado, é o valor alvo do - CP ésmo comonnt rncal qu dv mantr uma rlação drta com as mtas orgnas do conjunto d dados. Esta rlação od sr laborada usando a Eq. (.30): CP T q Z Y Z Y Y j j Y,,..., ; j,,..., q (.30) Na quação (.30) são os autovtors assocados ao -ésmo comonnt rncal Y rrsnta o alvo ara cada uma das rsostas orgnas. Com sta transformação od sr stablcdo um valor cornt ara a mta do -ésmo comonnt rncal, qu é comatívl com as mtas do roblma orgnal. S for ncssáro mas d um comonnt rncal, ntão as funçõs do EQMM, cujos autovalors são guas ou surors a uma undad, odm sr scrtas na sgunt forma: Mnmzar EQMM T,,..., k ; k k k EQMM CP PC k k (.3)

38 7 Sujto a : T (.3) g ˆ 0 (.33) Com : Z Y Z Y Z Y PC Y Y Y (.34) CP b 0 T T f f,,...,. (.35) ond Z rrsnta o valor adronzado da -ésma rsosta consdrando o su valor alvo, tal qu Z. Y Y Y Y arâmtro do vtor, b é o trmo constant da rgrssão, 0 Y Y. k é o númro d fators ε é o trmo do rro; é o objtvo corrsondnt aos cofcnts d rgrssão d rmra ordm f T é o gradnt da função f T Hssana, formada los trmos quadrátcos d ntração do modlo stmado d Y..7. Consdraçõs Fnas do Caítulo é a matrz Nst caítulo foram abordados os rncas tmas lgados a roosta dsta squsa, contmlando alguns trabalhos ublcados no mo cntífco. Conform od sr constatado, alguns trabalhos abordam a qustão da ncrtza rsnt no rsultado d uma mdção outros constatam qu ssas ncrtzas (varâncas) odm lvar a rsultados quvocados. Porém, cto Pérz (00) qu mostrou como corrgr as rsostas orgnas utlzando o nvrso da varânca como matrz d ondração, outros autors lmtaram-s a advrtr qu os rsultados odm sr nganosos caso as ncrtzas d mdção sjam gnoradas. O caítulo 3 abordará a Estratéga d Pondração Multvarada qu lca todo rocsso d dsnvolvmnto do modlo matmátco qu tm or objtvo stmar a ncrtza total qu afta todas as varávs d rsosta.

39 8 3. Estratéga d Pondração Multvarada Para dsnvolvr uma quação adquada ara ncrtza multvarada qu satsfaça os modlos com rotação sm rotação, faz-s ncssáro ftuar combnaçõs d algumas quaçõs tstá-las ara avrguar s o rsultado atngdo é comatívl com o srado. Acrdtando-s na mortânca d nformar o rotro d cução d todo trabalho, st caítulo aborda o dsnvolvmnto da roosta qu tm or fnaldad stmar a ncrtza total qu afta todas as varávs d rsosta, através d uma matrz d so, ondrar os scors d comonnts rncas qu srvrão d substtutos do conjunto orgnal d dados corrlaconados. Para lustrar a alcação do método roosto, é bdo um fluograma dstacando todas as açõs mortants qu foram cutadas ara atngr o objtvo do trabalho. 3.. Dsnvolvmnto da Proosta Da msma forma qu os k comonnts rncas odm substtur as varávs orgnas, m um conjunto mnor d dados, rsultando m uma rda mínma d nformação (MOITA NETO MOITA, 998), as varávs corrlaconadas odm sr substtuídas los scors d comonnts rncas sm qu haja rda sgnfcatva d nformaçõs. Esta substtução, conform dmonstrado or Pava (006), mostrou-s vávl tanto ara funçõs objtvo quanto ara rstrçõs. Além dssas ossbldads, a rotação dos os rrsntados los Comonnts Prncas (CP) também od sr usada ara mlhorar a lcação d varânca-covarânca. O modlo básco, d uma quação arorada da ncrtza multvarada ara grandzas corrlaconadas dos scors d Rgrssão dos Comonnts Prncas, od sr drvado da róra rssão ara a ncrtza combnada d grandzas corrlaconadas, tal qu: u m n n y u u u r, c j j f n j f f j (3.) Consdrando qu na Análs d Comonnts Prncas as múltlas rsostas odm sr combnadas na forma d scors d comonnts rncas, tal como ond Z od sr stablcdo como: CP k Z T E

40 9 Z P ( ) (3.) Então, alcando-s a Eq. (3.) ara o caso da ACP, tm-s: y f ( ) PC scor Z (3.3) Portanto, f (3.4) Para um ar d varávs, a combnação das quaçõs (3.) (3.3) od sr scrtas como: u m PC u u u u r, j j j j (3.5) ond é o autovtor da matrz d corrlação usada na tração dos comonnts rncas; é o dsvo adrão dos dados da rsosta (coluna) ; j é o dsvo adrão dos dados da rsosta (coluna) j; u é a ncrtza (ou varânca) d cada obsrvação da rsosta ; u é a ncrtza d cada obsrvação da rsosta j r, é o cofcnt d corrlação ntr as rsostas j. j A otmzação através da ACP od não roduzr rsultados satsfatóros m dtrmnadas stuaçõs. Bratchll (989) dstaca qu algumas dfculdads odm sr rsolvdas ou vtadas lo uso d outras técncas. Ao alcar a ACP ara modlar otmzar rsostas multvaradas fo obsrvado qu m algumas stuaçõs a rotação dos comonnts rncas fornc um mo fácl acssívl d análs otmzação d uma rsosta múltla, qu smlfca a ntrrtação da rsosta global mantém a flbldad assocada à modlagm lnar ou não-lnar. A análs fatoral é uma das técncas qu od mlhorar os ajusts. É uma frramnta matmátca ara analsar uma amla vardad d conjuntos d dados, com alcatvos scalmnt mortants ara o lanjamnto d rmntos (DOE). Sgundo a rcomndação d Bratchll, trando-s os scors usando a análs fatoral o método d rotação Varma, a matrz W odrá sr obtda analogamnt ao caso j

41 30 antror, tal qu, a matrz d ondração srá o nvrso da ncrtza multvarada calculada la quação (3.6) a sgur u m FA u u u u r, rotatd k k j k k j j j (3.6) ond k k são os cofcnts dos fators obtdos lo método d rotação Varma qu é alcado ara smlfcar a strutura d dados. D acordo com Johnson Wchrn (007) st é o mtodo d rotação mas utlzado. Cho Park (005) rcomndam o uso do método dos Mínmos Quadrados Pondrados ara qulbrar os dados com os sos qu são nvrsamnt roorconas à varação m cada nívl das varávs lcatvas quando a varânca não é constant. Através dst método, Pérz (00) ondrou os rgrssors da surfíc d rugosdad das varávs d rsosta R a R q usando o nvrso da ncrtza d mdção como matrz d ondração, qu é dtrmnada la quação (3.7), W y (3.7) u y ond W y é uma matrz dagonal com os sus rncas lmntos da dagonal u y é a ncrtza total do rocsso ara cada um dos valors da rsosta. Alcando-s o método matmátco dsnvolvdo nas quaçõs (3.5) (3.6), é ossívl stablcr a matrz W ara alcar o método WLS (Mnmos Quadrados Pondrados) nos scors dos comonnts rncas, tas como: W (3.8) CP CP u M ond W é adotado como a matrz nvrsa da varânca ara CP (comonnt rncal) ou ara FCP (comonnt rncal traído através da análs fatoral rotaconado lo método Varma), u m é a ncrtza total do rocsso. Para lustrar a alcação do método, a Fg. 3. mostra os assos fundamntas na abordagm da roosta usando ACP.

42 3 In íc o C ra r b a s d d a d o s (D O E - M S R ) R (a d j) é a d q u a d o? S m N ão A rm a z n a r va râ n ca A lca r W L S u s a n d o m a trz d s o (W ) C a lc u la r a n c rt z a m u ltva ra d a R (a d j) é a d q u a d o? S m N ão C a lcu la r W PC u M PC A lca r m é to d o d ro ta ç ã o V a rm a E tra r sco r s d o s C P u sa n d o O L S R (a d j) é a d q u a d o? S m N ão A lca r W L S u s a n d o m a trz d s o (W ) R (a d j) é a d q u a d o? S m N ão O tm za r F m Fgura 3. - Fluo d alcação do modlo WLS ACP 3.. Consdraçõs fnas do caítulo Est caítulo abordou o rocsso d dsnvolvmnto do modlo matmátco qu tm or objtvo stmar a ncrtza total qu afta todas as varávs d rsosta. Incou-s o caítulo com a osção do modlo básco d uma quação arorada da ncrtza multvarada ara grandzas corrlaconadas no fnal, s chgou ao modlo roosto, qu é

43 3 a combnação d duas quaçõs. Establcu-s a matrz d so ara alcação do método WLS, or fm, fo arsntado o fluo d alcação do modlo WLS-ACP. O caítulo 4 abordará uma smulação comutaconal do modlo. Para tanto, srá utlzado o banco d dados dos rmntos ralzados or Salgado Jr. (00). Ests dados srão altrados através da alcação d cofcnts d varação (CV) com o ntuto d s vrfcar as osclaçõs das rsostas com varâncas baas altas.

44 33 4. Smulação Comutaconal do Modlo Com o objtvo d tstar a fcênca do método dsnvolvdo, st caítulo arsnta uma smulação qu aborda anas duas rsostas (Y Y ). Estas rsostas, consquntmnt, graram scors d comonnts rncas CP FCP, sndo st últmo, os scors d comonnts rncas obtdos através da análs fatoral. 4.. Bas d Dados As nformaçõs, cddas utlzadas nsta smulação, fazm art da bas d dados dos rmntos ralzados or Salgado Jr. (00). Nsts rmntos, ças do aço ABNT L4 com a comosção químca (,03% C; 0,3% S; 0,35% Mn;,40% Cr; 0,04% Mo; 0,% N; 0,00% S; 0,0% P) dmnsõs d 49 mm 50 mm, foram usnadas num torno CNC Nardn Logc 75 com vlocdad d rotação máma d rm otênca d 5,5 KW. Logo aós o tornamnto fo utlzado um rugosímtro MITUTOYO Surftst SJ-0P ara dtrmnar os valors d rugosdad d cada ça. As frramntas d cort utlzadas foram mtal duro class ISO P35 rvstdo com três cobrturas (T (C, N), Al O 3, TN), (GC 4035 Sandvk) na gomtra ISO SNMG PM o suort dsgnação ISO DSBNL 66H 09. Os arâmtros d usnagm adotados ara st rmnto, vlocdad d cort (Vc), avanço da frramnta (fn) rofunddad d cort (a) stão dscrtos na Tabla 4.. Varávs d Control Nívs -,00 0,00 +,00 Vlocdad d Cort (Vc ) 0,00 80,00 340,00 Avanço d Frramnta (fn ) 0,08 0,0 0, Profunddad d Cort (a ) 0,70 0,95,0 Tabla 4. Varávs d control Aós a cução dos rmntos fo grado um banco d dados ara o dsnvolvmnto do trabalho. A Tabla 4. arsnta o rsumo dos valors obtdos ara as duas varavs d rsostas, Y Y, qu assam a sr consdradas ara fto d smulação.

45 34 Tabla 4. Rsumo dos valors das varávs Y Y A artr dst onto, os valors obtdos or Salgado Jr. (00) foram modfcados, d forma controlada, ara tstar a fcênca do modlo. Para avalar a rlação ntr a alcação da ondração a ordm d grandza da varânca, as quaçõs das varávs orgnas foram majoradas a artr d cofcnts stablcdos m função dos cofcnts d varação (CV). Mantndo-s a méda varando-s os valors d CV, novas quaçõs d varânca foram gradas, usando as constants mírcas da Tabla 4.3. Os cofcnts d varação alcados odm sr obsrvados nsta tabla. CV k k 5% -4,00-0,0 0% -,50 0,0 0% -,0 0,55 30% -0,40 0,75 40% 0,0 0,90 50%,00 0,98 75%,00, Tabla 4.3- Cofcnts d Varação. ond CV são os cofcnts d varação utlzados nsta smulação K K rrsntam as constants qu altram a varânca. Estas constants foram obtdas mrcamnt.

46 35 Com a alcação d cada cofcnt d varação, novos valors foram grados ara tstar a caacdad do modlo d mlhorar os rsultados d R (adj) R (rd). Para mlfcar o fto dssas altraçõs sobr as rsosta, a Tabla 4.4 mostra os novos valors rsultants da alcação do cofcnt d varação (CV) d 5% sobr a constant (b 0 ). Não foram ostas outras tablas com os valors rsultant da alcação dos cofcnts d varação d 0%, 0%, 30%, 40%, 50% 75%, os sso mlcara m aumntar ss vzs o volum d tablas, corrsondnt a quantdad d smulaçõs cutadas. Tabla 4.4 Rsumo dos valors das varávs Y Y altrados A smulação fo ralzada a artr do cálculo d valors rvstos las novas quaçõs d varânca, usando a matrz onncal orgnal como dado d ntrada. Porém, nst caso, os ontos cntras qu são numrcamnt guas, conduzram aos msmos valors. Isso trara nconsstênca à smulação, orqu o MSE é calculado como a varânca das rsostas no onto cntral com rsostas guas. Os R (adj) sram mámo com rro zro, o qu não srvra ara a smulação. Assm, adotou-s as msmas varâncas dos ontos cntras das médas (Y Y ), smulando os três ontos cntras da quação da varânca como uma normal N (valor rvsto; varânca dos ontos cntras das médas). Dsta forma, foram grados st CCDs smulados ara rssar os ftos da alcação dos cofcnts d varação sobr os valors trabalhados. A Tabla 4.5 mostra os valors rsultants da alcação do cofcnt d varação (CV) d 5%. Plos msmos motvos lcados antrormnt, as outras tablas com os rsultados da alcação dos

47 Dsvo Padrão (SD) 36 dmas CV não srão mostradas nst trabalho, anas os rsultados obtdos. Dstacam-s, nsta tabla, os três ontos cntras como chav do modlo, qu nfluncam drtamnt no ntndmnto do comortamnto das varávs d rsosta. b 0 Vc Fn A Vc Fn A Vc Fn Vc A Fn A Y Y - - -,79 0, ,96 9, , 9, ,8 0, ,6 3, ,78 3, ,35,73 8,53,67 9 -,68 0 0, ,6,4 0,68 0 0, ,55 3,00 0 -,68 0 0, ,9,3 0,68 0 0, ,4 0, ,68 0 0, ,9 8, ,68 0 0, ,80 3, ,54, ,78 3, ,98 4,3 Tabla 4.5 CCD Smulado ara CV d 5% Os rflos das smulaçõs rsultants da alcação dos cofcnts d varação (CV) odm sr vsualzados nas Fguras d 4. a 4.4. Para dar o trabalho mas lv scolhu-s, d forma alatóra, arsntar somnt os gráfcos ondrados com os CV d 5%, 0%, 40% 75%. O comortamnto dos 8 ontos fatoras, 6 ontos aas 3 ontos cntras odm sr obsrvados nstas fguras. A Fgura 4. arsnta o gráfco do Dsvo Padrão ondrado com CV = 5%. Dsvo Padrão com CV = 5% 4,000 3,500 3,000,500,000,500,000 0,500 0, Y Y Fgura 4. - Gráfco do dsvo adrão com CV = 5%

48 37 A Fgura 4. arsnta o gráfco do Dsvo Padrão ondrado com CV = 0%. Prcb-s qu com o aumnto do rcntual do CV as rsostas Y Y s afastam uma da outra. Fgura 4. - Gráfco do dsvo adrão com CV = 0% A Fgura 4.3 arsnta o gráfco do Dsvo Padrão ondrado com CV = 40%. O afastamnto dos valors das rsostas Y Y tornam-s mas acntuado. Fgura Gráfco do dsvo adrão com CV = 40% Comarando-s a Fgura 4.4 com dsvos adrão ondrados com CV a 75% a Fgura 4. com dsvos adrão ondrados com CV a 5%, rcb-s qu a dstânca ntr os dos valors tornou-s bastant acntuada. Dsta forma, rtnd-s tstar a robustz do modlo com valors d dsvos adrão com mnor maor ntnsdad.

49 38 Fgura Gráfco do dsvo adrão com CV = 75% Sgundo o msmo adrão d arsntação dos gráfcos d dsvo adrão, o rómo conjunto d fguras arsnta os ftos da alcação dos CV sobr os sos. A Fgura 4.5 arsnta o gráfco d Psos ondrados com CV = 5%. Psos com CV = 5% 500, , ,000 00,000 00,000 0, Var(Y) Var(Y) Fgura Gráfco do Pso com CV = 5% Os msmos rflos da alcação dos CV s sobr os dsvos adrão odm sr rcbdos nos sos qu srão utlzados como matrz d ondração ara os scors d comonnts rncas. A Fgura 4.6 arsnta o gráfco d Psos ondrados com CV = 0%. Prcb-s qu com o aumnto do rcntual do CV as rsostas Y Y tndm a s afastarm uma da outra, da msma forma qu ocorru com o dsvo adrão.

50 39 Fgura Gráfco do Pso com CV = 0% A Fgura 4.7 arsnta o arsnta o gráfco d Psos ondrados com CV = 40%. O afastamnto dos valors das rsostas Y Y tornam-s mas acntuado, rncalmnt nos três ontos cntras. Fgura Gráfco do Pso com CV = 40% Novamnt, comarando-s a Fgura 4.8 com sos ondrados com CV d 75% a Fgura 4.5 com sos ondrados com CV d 5%, rcb-s qu a dstânca ntr os dos valors tornou-s bastant acntuada. Portanto, rtnd-s tstar o comortamnto d R (adj) R (rd) ondrados com dfrnts valors.

51 Dados Smulados Fgura Gráfco do Pso com CV = 75% No dcurso do trabalho, traíram-s os novos valors ara os gruos d rugosdad méda, dsvo adrão varânca. Os dados rsultants da smulação com alcação do cofcnt d varação (CV) d 5% stão arsntados na Tabla 4.6. Tabla 4.6 Valors da Rugosdad Méda, Dsvo Padrão Varânca

52 4 A corrlação ntr as rsosta é um ascto muto mortant qu dv sr consdrado ara o dsnvolvmnto do trabalho. Através o uso do Softwar Mntab fo ralzado sta análs obsrvou-s qu st corrlação d 0,99 ntr as duas rsostas com valor P_valu = 0,000. Em sguda, com a alcação da quação (3.5), ftuou-s o cálculo da ncrtza multvarada do ar d rsostas (Y Y ) ara os comonnts rncas (U m CP). Rtus o rocdmnto ara a dntfcação da ncrtza multvarada dos comonnts rncas rotaconados (U m FCP), alcando-s a quação (3.6). A Tabla 4.7 b os rsultados dsts cálculos. Tabla 4.7 Cálculo da Incrtza Multvarada Através do método matmátco dsnvolvdo fo ossívl vdncar as ncrtzas do rocsso grar os valors qu comõ a Tabla 4.7, sto é, a ncrtza multvarada total stnt nos CP FCP. Então, alcando-s a Eq. (3.8) sobr os valors arsntados nsta tabla, fo stablcda a matrz W ara alcar o método WLS (Mnmos Quadrados Pondrados) sobr os scors dos comonnts rncas. A matrz W fo adotada como matrz nvrsa da varânca ara ondrar os scors dos comonnts rncas (CP) os

53 4 scors dos comonnts rncas rotaconados (FCP). Os rsultados grados com o mrgo da matrz d ondração (W) odm sr vrfcados na Tabla Rsultados Dscussão Tabla 4.8 Matrz d ondração ara CP FCP. O rmro comonnt rncal (CP) fo obtdo com a alcação da Eq. (.4). Usando a Análs d Comonnts Prncas ara dcomor a strutura d corrlação, od sr vrfcado, na Tabla 4.9, qu o CP lca 96,4% da varação total obsrvada na rugosdad do ar d varávs, com autovalor d,99 os rsctvos autovtors d 0,707. Tabla 4.9 Análs d Comonnts Prncas

54 43 Aós a raração dos dados, alcou-s a mtodologa d surfíc d rsosta (MSR) ara analsar o gruo d médas d rugosdad. Por mo do softwar Mntab 5 fo grado um modlo ara o ar d varávs Y Y. O rsultado do R (adj) arsntado na Fgura 4.9, obtdo através do modlo quadrátco comlto, mostrou-s rrsntatvo, os atngu o rcntual satsfatóro ara lcar a varabldad do modlo. Rsons Surfac Rgrsson: CP vrsus Vc; Fn; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for CP Trm Cof SE Cof T P Constant,3087 0,307 4,336 0,003 Vc 0,550 0,47,78 0,8 Fn -0, ,47-0,534 0,60 A,5054 0,47 8,0 0,000 Vc*Vc -0,3069 0,560 -,056 0,079 Fn*Fn -0,733 0,560-4,70 0,00 A*A -0, ,560-3,684 0,008 Vc*Fn 0,83 0,85 0,693 0,5 Vc*A 0, ,85 0,000,000 Fn*A -0,560 0,85 -,788 0,07 S = 0,53644 PRESS = 4,30796 R-Sq = 93,78% R-Sq(rd) = 86,04% R-Sq(adj) = 85,78% Analyss of Varanc for CP Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9 8,9397 8,9397 3,55,73 0,00 Lnar 3 9,069 9,069 6,343 3,3 0,00 Squar 3 7,6494 7,6494, ,30 0,008 Intracton 3,634,634 0,75446,75 0, Rsdual Error 7,994,994 0,740 Lack-of-Ft 5 0,00 0,00 0,0003 0,00,000 Pur Error,983,983 0,9594 Total 6 30,859 Fgura 4.9 Modlo Quadrátco Assm sndo, fo ncssáro ondrar os scors d comonnts rncas (CP) utlzando-s uma matrz d so WCP, como nvrso da varânca. Pérz (00) usou um modlo smlhant ara modlar as rsosta d R a R q. Os rsultados dsta alcação odm sr obsrvados na Fgura 4.0, a quação d rgrssão grada ara st modlo od sr scrta como: WCP = 0, ,5 Vc - 0,0754 Fn +,5 A - 0,0667 Vc - 0,47 Fn - 0,33 A + 0,3 Vc Fn - 0,0006 Vc A - 0,56 Fn A (4.)

55 44 Rgrsson Analyss: CP vrsus Vc.; Fn.;... Wghtd analyss usng wghts n WPC - 0,05 Prdctor Cof SE Cof T P Constant 0,548 0,93,87 0,04 Vc. 0,53 0,08437,99 0,00 Fn. -0, ,077 -,04 0,33 A.,503 0,0783 4,70 0,000 Vc -0, , ,70 0,504 Fn -0,473 0, ,6 0,00 A -0,3349 0,0885-3,56 0,009 Vc*Fn 0,300 0,08937,47 0,86 Vc*A -0, ,0967-0,0 0,995 Fn*A -0,5557 0,0955-5,4 0,00 S = 0,65800 R-Sq = 97,9% R-Sq(adj) = 95,3% PRESS = 3,673 R-Sq(rd) = 97,54% Analyss of Varanc Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 43,783 5,976 36,90 0,000 Rsdual Error 7 3,03 0,433 Lack of Ft 5 0,06 0,003 0,00,000 Pur Error 3,05,508 Total 6 46,84 Fgura 4.0 Modlo quadrátco grado la MSR Conform od sr obsrvado, houv uma mlhora sgnfcatva nos rsultados do R (adj) R rvsto. Os valors assaram d 85,78% 86,04% ara 95,30% 97,54%, rsctvamnt, no modlo com ondração. Isso rrsnta um crscmnto d 9,5,54 ontos rcntuas (..). Analsando o LOF (do nglês lack of ft), rcb-s qu o modlo é adquado, os arsnta P-Valu maor ou gual a 0,05. A Fgura 4. arsnta os gráfcos d surfíc d rsosta construídos a artr dos valors grados ara os scors d CP. Fgura 4. Surfíc d rsosta gráfco d contorno ara CP

56 45 Bratchll (989) afrma qu a rotação dos comonnts rncas od arsntar fators com caacdad d srm faclmnt ntrrtados. Para tstar os ftos da rotação sobr o modlo, uma análs fatoral multvarada fo alcada. O método d tração dos dados fo a análs d comonnts rncas o to d rotação fo o Varma. Os rsultados obtdos nsta tntatva d mlhorar a rformanc do R R rvsto através da rotação dos dados stão arsntados na Fgura 4.. (adj) Rsons Surfac Rgrsson: FCP vrsus Vc; Fn; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for FCP Trm Cof SE Cof T P Constant 0,043 0,46 0,0 0,847 Vc -0, ,008 -,59 0,73 Fn -0, ,008-4,073 0,005 A 0, ,008 7,8 0,000 Vc*Vc 0, ,09 3,37 0,0 Fn*Fn -0, ,09 -,744 0,5 A*A -0, ,09 -, 0,073 Vc*Fn 0, ,37 3,076 0,08 Vc*A -0, ,37-0,000,000 Fn*A -0, ,37-0,478 0,647 S = 0,37453 PRESS =,804 R-Sq = 93,93% R-Sq(rd) = 86,37% R-Sq(adj) = 86,3% Analyss of Varanc for FCP Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9 5,090 5,0895,66988,04 0,00 Lnar 3 9,977 9,9770 3,3573 3,97 0,000 Squar 3 3,7073 3,7073,3577 8,9 0,009 Intracton 3,3444, ,4485 3,3 0,09 Rsdual Error 7 0,970 0,9705 0,387 Lack-of-Ft 5 0,0007 0,0007 0,0004 0,00,000 Pur Error 0,9703 0, ,4857 Total 6 6,0000 Fgura 4. Modlo quadrátco grado la MSR Pod-s confrmar através dos rsultados arsntados na Fgura 4. qu a sugstão d Bratchll surtu fto ostvo, orém, não muto sgnfcatvo. Com a alcação da anals fatoral com rotação Varma, grou-s os os d rfrênca m torno da orgm até alcançar uma osção dal, arsntando uma rsctva dfrnt. Através dsta nova rsctva o valor do cofcnt d dtrmnação ajustado (R (adj)) fo lvado ara 86,3% nquanto qu o valor do R rvsto fo ara 86,37%. A análs d LOF contnua ndcando qu o modlo é adquado, os arsnta (P-Valu 0,05).

57 46 Asar dos bons rsultados afrdos com a rcomndação d Bratchll, tstou-s a ossbldad d mlhorar anda mas os valors arsntados antrormnt. Sndo assm, fo ncssáro ondrar os scors d comonnts rncas rotaconados (FCP) utlzando-s uma matrz d so WFCP, como nvrso da varânca. Os rsultados dsta ondração odm sr obsrvados na Fgura 4.3. Rgrsson Analyss: FCP vrsus Vc.; Fn.;... Wghtd analyss usng wghts n WPCFA - 0,05 Prdctor Cof SE Cof T P Constant -0,408 0,703 -,40 0,048 Vc. -0,53 0, ,5 0,059 Fn. -0,404 0, , 0,000 A. 0, , ,69 0,000 Vc 0,565 0, ,6 0,000 Fn -0,0384 0,079-0,53 0,60 A -0, , ,0 0,347 Vc*Fn 0,4055 0, ,45 0,00 Vc*A 0, , ,00,000 Fn*A -0,0630 0, ,79 0,455 S = 0,6473 R-Sq = 98,% R-Sq(adj) = 95,6% PRESS = 3,38469 R-Sq(rd) = 97,78% Analyss of Varanc Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 49,604 6,63 39,68 0,000 Rsdual Error 7,93 0,49 Lack of Ft 5 0,005 0,00 0,00,000 Pur Error,98,464 Total 6 5,536 Fgura 4.3 Modlo quadrátco grado la MSR A nova quação d rgrssão é: WFCP = - 0,408-0,53 Vc - 0,40 Fn + 0,734 A + 0,57 Vc - 0,0384 Fn - 0,0797 A + 0,406 Vc Fn + 0,0000 Vc A - 0,063 Fn A (4.) Conform od sr constatado na Fgura 4.3, o modlo dsnvolvdo é caaz d transformar um rsultado bom m um rsultado muto bom, lo fato d tr consgudo lvar o rcntual d lcação do modlo, rrsntado or R (adj), d 86,3% ara 95,6% do R rvsto d 86,37% ara 97,78%. Analsando-s lo ascto d ajust do modlo, rcbs qu o modlo é adquado, os o LOF arsnta P-Valu 0,05.

58 Fn 47 A Fgura 4.4 arsnta os gráfcos d surfíc d rsosta construído a artr dos valors grados ara os scors dos comonnts rncas rotaconados. C ontour P lot of P C F A v s F n; Vc,5-0 0 S ur fac P lot of P C F A v s F n; Vc,0 0,5 0,0 0-0,5 P C F A - -,0 -,5 - -,5 -,0 - -0,5 0,0 V c 0,5,0, V c F n Fgura 4.4 Surfíc d rsosta gráfco d contorno do Prmro Comonnt Prncal com rotação Varma. Os rsultados dos R [R (adj) R (rd)] mostraram-s snsívs às altraçõs das varâncas majoradas a artr dos cofcnts d varação dscrtos na Tabla 4.3. Os modlos ondrados sm rotação (CP) com rotação (FCP) arsntaram os mlhors rsultados, conform od sr obsrvado na Tabla 4.0, Modlos / Pondração Orgnal 5% 0% 0% 30% 40% 50% 75% CP (sm rotação) FCP (com rotação) R (Adj) 85,78% 95,30% 9,80% 88,0% 87,90% 87,90% 87,90% 88,0% R Prd. 86,04% 97,54% 96,36% * * * * * R (Adj) 86,3% 95,60% 9,00% 90,0% 89,90% 89,80% 89,50% 89,30% R Prd. 86,37% 97,78% 96,37% * * * * * Tabla 4.0 Rsultados d R (adj) R rvsto. Obsrva-s também nsta tabla qu a artr do cofcnt d varação d 0%, alcado sobr a varânca, os valors dos R mostraram uma tndênca d quda. Ao analsar os rsultados vrfcou-s qu, asar da rdução dos rcntuas, todos os valors rmancram acma d 87%. Nsta análs, dstacou-s a robustz do modlo FCP (com rotação Varma ondração) qu s mantv acma d 89%. Bratchll (989) rcomndou a rotação dos comonnts rncas ara mlhorar a lcação dos modlos. Isto fcou comrovado através dsta smulação, na qual o modlo rotaconado ondrado arsntou a mlhor lcação. Ests rsultados odm sr vsualzados na Fgura 4.5.

59 C 0 48 Comaração so vs rotação 96,00% 95,00% S 0, R-Sq 98,% R-Sq(adj) 96,4% 96,00% 95,00% S 0, R-Sq 94,0% R-Sq(adj) 88,% 94,00% 94,00% 93,00% 93,00% 9,00% 9,00% 9,00% 9,00% 90,00% 90,00% 89,00% 89,00% 88,00% 88,00% 87,00% 0,00% 0,00% 40,00% 60,00% 80,00% 87,00% 0,00% 0,00% 40,00% 60,00% 80,00% CV - sm rotação CV - com rotação Fgura 4.5 Rsultado dos modlos na comaração Pso VS. Rotação Para tstar s as médas dos modlos são guas, fo ralzado o Pard T-Tst. O rsultado arsntado na Fgura 4.6 mostra um P-Valu 0,05, comrovando qu os valors são dfrnts. Outra nformação osta nsta fgura é a sobrosção das lnhas ndcando os rsultados dos modlos ondrados, sto é, com so sm rotação (CP) com rotação so (FCP). Conform mnconado antrormnt, o modlo FCP é mas robusto, os mantv o rcntual d lcação do modlo acma d 89%. Fgura 4.6 Rsultado dos modlos - Pso VS. Rotação

60 Consdraçõs fnas do caítulo Dant do osto nst caítulo, é ossívl vrfcar qu os rsultados obtdos nsta smulação são satsfatóros ara st gruo d análs. O método matmátco dsnvolvdo s mostrou adquado, uma vz qu os rsultados das métrcas R (adj) R (Prd) smr s dslocaram ara atamars surors, atngndo rcntuas d lcação d rvsbldad acma d 85%. O método rcomndado or Bratchll (989) mostrou robustz, os consguu mantr os mlhors rsultados ara varânca acma d 0%. O caítulo 5 arsntará o studo d caso do aço AISI 500 com durza 50 HRC a análs dos rsultados obtdos através dos rmntos. Srá arsntado também, ants do studo d caso, o rocsso d tornamnto, as máqunas, matras nstrumntos utlzados nst studo, bm como, o arranjo rmntal algumas análss.

61 50 5. Estudo d caso AISI 500 aço 50 HRC Est studo tm or objtvo avrguar a fcênca do método dsnvolvdo ara fltrar as ncrtzas qu aftam as varávs d rsosta utlzando como bas d tsts o rocsso d tornamnto do aço ABNT 500 ndurcdo. Para atngr o objtvo dsta sção, utlzou-s a mtodologa d rojto d rmntos os valors mnsurados ara as varávs d rsosta R a (rugosdad méda artmétca), R y (rugosdad máma), R z (rugosdad méda), R q (rugosdad méda quadrátca) R t (rugosdad total) ara ncar uma análs dos rsultados qu dmonstr a robustz do rojto. No ntanto, ants d ntrar no crn da qustão qu nvolv o studo d caso do aço AISI 500, st caítulo abordará toda art nrnt ao lanjamnto do rmnto qu nvolv o rocsso d tornamnto, o matral utlzado, o modlo d rmnto adotado, dstacando-s as varávs d control as varávs d rsosta consdradas ara st trabalho também, as máqunas, frramntas nstrumntos utlzados na ralzação dos rmntos na colta d dados. Em sguda, aborda-s a cução dos rmntos as análss. A análs dos rsultados fo dvdda m três taas: a rmra trata do rocsso d modlagm d todas as varávs d rsosta mddas ou calculadas ara st trabalho. Procura-s, nsta taa, rrsntar matmatcamnt um ar d varávs d rsosta (R a R q ) m sguda todas as cnco rsostas (R a, R y, R z, R q, R t ). Dst modo, foram utlzadas a mtodologa d surfíc d rsosta (MSR) o método d mínmos quadrados ondrados. A sgunda art da análs trata do rocsso d otmzação das varávs d rsosta. Portanto, o método (EQMM) fo alcado sus rsultados comarados aos obtdos lo método dsnvolvdo. Por fm, a trcra taa trata do rmnto d confrmação qu fo cutado ara vrfcar s o onto d ótmo ndcado lo método dsnvolvdo ralmnt obtém os valors srados ara as varávs d rsosta conform rvsto lo modlo adotado. 5.. Procsso d Tornamnto O tornamnto é um rocsso mcânco d usnagm dstnado à obtnção d surfícs d rvolução com aulo d uma ou mas frramntas monocortants. Para tanto, a ça gra m torno do o rncal d rotação da máquna a frramnta s dsloca smultanamnt sgundo uma trajtóra colanar com o rfrdo o (ABNT NBR 675 TB 83, 97). O cort normalmnt contínuo o movmnto smultâno da ça da

62 5 frramnta são caractrístcas marcants do rocsso d tornamnto, dfrndo-o dos dmas rocssos d usnagm. A Fgura 5. mostra uma rrsntação do squma do rocsso d tornamnto. Fgura 5. Rrsntação squmátca do rocsso d tornamnto Font: Catálogo Sandvk As oraçõs d tornamnto odm sr classfcadas quanto à forma da trajtóra da frramnta m tornamnto rtlíno ou tornamnto curvlíno. Também odm sr classfcadas quanto à fnaldad do rocsso d usnagm m tornamnto d dsbast tornamnto d acabamnto. O rocsso d tornamnto do aço duro ABNT 500 od sr vsualzado através da Fgura 5.. Fgura 5. Rrsntação do rocsso d tornamnto do aço duro ABNT 500 As varávs d control adotadas ara o rocsso d tornamnto são os arâmtros d usnagm, a sabr, vlocdad d cort ( V ), avanço da frramnta ( f ) rofunddad d c n cort ( a ). Estas varávs são rconhcdamnt as mas mortants uma vz qu

63 5 nfluncam fortmnt o rocsso d tornamnto d uma manra gral, o acabamnto surfcal do roduto o dsgast d frramnta. A vlocdad d cort ( V ) é a taa na qual a surfíc não cortada da ça assa la c arsta d cort da frramnta, rssa normalmnt m m/mm. O avanço da frramnta ( f ) n é a dstânca rcorrda la frramnta m cada rvolução da ça. Esta varávl é rssa m mm/rv. A rofunddad d cort ( a ) rssa m mm, é a sssura ou rofunddad d ntração da frramnta mdda rndcularmnt ao lano d trabalho. A scolha da faa a sr utlzada ara os arâmtros d usnagm durant a cução do trabalho dnd d dvrsos fators, ntr ls o to d matral a sr usnado, a máquna dsonívl ara o trabalho a frramnta d cort slconada. Os valors dsts arâmtros d usnagm stão dscrtos na Tabla 5.. Tabla 5.. Parâmtros das varávs d control As varávs d rsosta ou saídas adotadas ara st trabalho são as varávs qu rrsntam o acabamnto surfcal da ça no rocsso d manufatura. O acabamnto surfcal é fundamntal ond houvr gêncas quanto a dsgast, atrto, corrosão, aarênca, rsstênca à fadga, transmssão d calor, rordads ótcas, scoamnto d fluídos surfícs d mdção tas como blocos-adrão, mcrômtros aquímtros. O acabamnto surfcal é mddo através da rugosdad surfcal, a qual é rssa m mcromtros (µm). A rugosdad surfcal obtda vara drtamnt m função do conjunto máquna-frramnta adotado no rocsso d fabrcação, bm como m função dos arâmtros d usnagm scolhdos. No Brasl, os conctos d rugosdad surfcal são dfndos la norma ABNT NBR 6405/988. Estm dos sstmas báscos d mdção da rugosdad surfcal da ça, a sabr, o da lnha méda o da nvolvnt. O sstma adotado las normas braslras é o sstma d mdção da lnha méda ou sstma M. Nst sstma d mdção todas as

64 53 grandzas são dfndas a artr d uma lnha d rfrênca, a lnha méda. A lnha méda é dfnda como uma lnha dsosta arallamnt à drção gral do rfl, dntro do rcurso d mdção, d tal modo qu a soma das áras surors, comrndda ntr la o rfl ftvo, sja gual à soma das áras nfrors. A Fgura 5.3 mlfca a dfnção da lnha méda. Fgura 5.3 Rgra ara dfnção da lnha méda Font: Salgado Jr. (00) A + A = A 3 (5.) Foram scolhdas as mddas d rugosdad surfcal R, a R, y R z, R q R ara t também comor a análs dst trabalho. Estas varávs são dfrnts formas d mdr a rugosdad d uma surfíc suas rncas caractrístcas srão dtalhadas a sgur. Rugosdad Méda Artmétca ( R ) a É a méda artmétca dos valors absolutos das ordnadas dos afastamntos dos ontos do rfl d rugosdad, m rlação à lnha méda, dntro do comrmnto d mdção ( l m ). A Fgura 5.4 rrsnta a forma d cálculo da rugosdad méda artmétca ( R ). a Fgura 5.4 Rrsntação do cálculo d Font: Salgado Jr. (00) R od sr calculada através da quação: a R a

65 54 R a m 0 m γ d (5.) O arâmtro R é amlamnt utlzado, sndo alcávl na maora dos rocssos d a fabrcação. Porém, somnt o arâmtro R não é caaz d dscrvr totalmnt uma a surfíc. Sua dsvantagm é vdncada quando um val ou co não tíco é dtctado na surfíc, orém não ntrfr no cálculo do valor médo, mantndo ratcamnt oculto o dfto. Por st motvo é aconslhávl, ara dtrmnadas alcaçõs, usar outro arâmtro d rugosdad. Rugosdad Méda Quadrátca ( R ) q É o valor médo quadrátco d todos os dsvos do rfl d rugosdad m rlação à lnha méda, dntro do comrmnto d mdção l. É um arâmtro muto smlar ao R. A m a Fgura 5.5 rrsnta a forma d cálculo d R. q A rugosdad méda quadrátca ( Fgura 5.5 Rrsntação do cálculo d Font: Salgado Jr. (00) R q R q ) od sr dfnda la quação abao: R q l m y d l (5.3) 0 m Ou, aromadamnt od sr consdrada como: R, a, 5 (5.4) q R a Rugosdad Máma ( R ) y

66 55 É o maor valor das rugosdads arcas ( Z ) dntr as obtdas nos dvrsos comrmntos d amostragm ( l ) qu s arsntam no comrmnto d mdção ( l m ). Como mlo, consdr a Fgura 5.6. Entr cnco comrmntos d amostragm conscutvos, o maor valor da rugosdad arcal R y Z. Z ocorr no sgundo cut-off. Nst caso, Fgura 5.6 Rrsntação do cálculo d Font: Salgado Jr. (00) R y R z O arâmtro R tm grand actação uma vz qu nforma sobr a máma y dtroração da surfíc vrtcal da ça fornc nformaçõs comlmntars ao arâmtro R. Indvdualmnt, o arâmtro a R também não arsnta nformação sufcnt y a rsto da surfíc, uma vz qu dvrsas formas d rugosdad odm arsntar o msmo valor d R. y Rugosdad Méda ( R z ) Corrsond à méda artmétca dos cnco valors d rugosdad surfcal. Consdrando a Fgura 5.6 acma como mlo, o cálculo do arâmtro R z é ralzado utlzando a quação abao. Est arâmtro nforma a dstrbução méda da surfíc vrtcal dfn muto bm a surfíc m rfs ródcos. R z Z Z Z Z Z (5.5) 5 Rugosdad Total ( R ) t Corrsond à dstânca vrtcal ntr o co mas alto o val mas rofundo no

67 56 comrmnto d mdção ( l m ), ndndntmnt dos valors d rugosdad arcal ( Z ). A Fgura 5.7 rrsnta o cálculo da varávl arâmtro R. O arâmtro t R tm o msmo mrgo do t R, orém com maor rgdz, uma vz qu consdra o comrmnto d y amostragm gual ao comrmnto d mdção. Fgura 5.7 Rrsntação do cálculo d Font: Salgado Jr. (00) 5.. Máquna, matras, frramntas nstrumnto d mdção Os rmntos foram ralzados m um torno CNC Nardn Logc 75 com vlocdad d rotação máma d rm otênca d 5,5 kw, torr com oto osçõs torqu mámo d 00 Kgf.m. conform Fgura 5.8. R t Fgura 5.8 Torno CNC Nardn Os coros d rova utlzados no rocsso d tornamnto foram ftos com dmnsõs d 49 mm d dâmtro 50 mm d comrmnto. Todas as ças foram tmradas rvndas na faa d C. Aós ss tratamnto térmco, a durza das ças fcou ntr 49 5 HRC, até uma rofunddad d três mlímtros abao da surfíc.

68 57 O matral das ças utlzadas fo o aço ABNT 500, com a comosção químca dscrta na Tabla 5.. C S Mn Cr Mo N S P,03% 0,3% 0,35%,40% 0,04% 0,% 0,00% 0,0% Tabla 5. - Comosção do aço ABNT 500 Fgura Coros d rova do aço ABNT 500 Para qu os coros d rova, arsntados na Fgura 5.9, stvssm no su stado tmrado rvndo d acordo com as scfcaçõs, fo ralzado o tratamnto térmco nas dndêncas da Imbl Indústra Bélca - d acordo com a fass a sgur: Pré-aqucmnto or duas horas, à tmratura d 500 ºC, Aqucmnto or quarnta mnutos, a 830 ºC, Rsframnto or trnta mnutos (martêmra a 80 ºC), Rsframnto ao ar até 80 ºC, Rvnmnto or duas horas a 00 ºC, Rsframnto ao ar até aromadamnt 30ºC, Rvnmnto or duas horas a 00 ºC, Rsframnto ao ar. Com st tratamnto térmco, os coros d rova assaram a arsntar durza méda rofunddad d acordo com as scfcaçõs mnconadas antrormnt. Quanto a frramnta d cort, fo utlzada a frramnta d crâmca msta com gomtra alsadora (wr), com as sgunts caractrístcas: Crâmca msta (Al O 3 + TC)

69 58 class Sandvk Coromant CC 650 rcobrta com uma camada d Ntrto d Ttâno (TN); Gomtra ISO CNGA S055WH, com gomtra wr. Esta frramnta é ndcada ara oraçõs d acabamnto m aços ndurcdos, frro funddo, frros funddos ndurcdos surlgas rsstnts ao calor, ond a combnação d rsstênca ao dsgast boas rordads térmcas são ncssáras. A artculardad dsta frramnta é a gomtra dfrncada no rao d onta, qu ossblta acabamntos mlhors ara um msmo avanço gual ara avanços surors. Como s vê na Fgura 5.0. Fgura Gomtra do rao d onta ara frramntas alsadora (Sandvk, 00) Sgundo Prra (006) st uma dfrnça muto grand d qualdad ntr as ças usnadas com frramnta d gomtra alsadora as ças usnadas com frramnta convnconal, rncalmnt dant da ossbldad d s utlzar avanços maors. Nas análss d Prra (006) fo vrfcado qu a rugosdad d R a, utlzando-s frramnta d gomtra alsadora, os valors s mantvram ratcamnt stávs até o avanço d 0,30 mm/v, a artr dss onto vrfcou-s uma tndênca ascndnt da rugosdad. Porém, ara os coros d rova usnados com frramnta convnconal, os valors d rugosdad são drtamnt roorconas ao aumnto do avanço, numa scala bastant ascndnt até 0,30 mm/v, conform od sr vrfcado na Fgura 5..

70 59 Fg. 5. Rugosdad Ra (V c =50 m/mn, a =0, mm, frramnta convnconal frramnta alsadora), Adatado d Salls (004). Durant a cução dos rmntos, algumas frramntas sofrram qunos danos, como lascamnto, dvdo rncalmnt à alta vlocdad maor avanço. Stuação arcda é confrmada or Noordn, Affand Hndrko (008), qu constataram qu a vda da frramnta, m sus rmntos, fo aftada los msmos motvos. Portanto, ls rconzam qu uma combnação d baos arâmtros d cort é a mlhor solução ara tornar as frramntas d crâmca rvstda durar mas tmo, smultanamnt, grar acabamnto fno. O uso d astlhas Wr aumnta a rodutvdad mantém a rugosdad da surfíc a mnor ossívl. Essa caractrístca artcular od sr utlzada ara lmnar oraçõs d rtfcação, o qu rrsnta uma grand vantagm ara os fabrcants. A Fgura 5. rrsnta o rocsso d tornamnto, do aço tmrado AISI 500 com astlhas Wr, ralzado no Laboratóro da Automação da Manufatura (LAM) da Unvrsdad Fdral d Engnhara d Itajubá. A máquna utlzada, conform já mnconado nst trabalho, fo um Torno Nardn Logc 75 com comando numrcamnt comutadorzado.

71 60 Fg. 5. Procsso d tornamnto do aço 500 com astlha Wr. Logo aós o tornamnto dos coros d rova, utlzou-s um rugosímtro MITUTOYO Surftst SJ-0P ara dtrmnar os valors d rugosdad d cada ça. Os valors mddos ara as varávs d rsosta R, a R, y R z, R q R foram ldos drtamnt t na tla do lato rgstrados m lanlha ltrônca. Esta facldad fo ossívl dvdo à nstalação d um softwar forncdo la Mtutoyo qu rmtu a ntrfac do aarlho com o comutador. Est rugosímtro, arsntado na Fgura 5.3, é rodcamnt calbrado lo laboratóro d mtrologa da Unvrsdad Fdral d Itajubá. Fgura 5.3 Rugosímtro utlzado na ltura das mdçõs Arranjo Ermntal Os rmntos ara st trabalho foram cutados d acordo com um arranjo do to CCD construído conform lanjamnto arsntado na Tabla 5.. Est arranjo é comosto or 8 ontos fatoras, 6 ontos aas 5 ontos cntras consdra ρ =,68. Na msma tabla, CP A corrsond aos scors do rmro comonnt rncal do ar d varávs R a R q, assm como, CP B corrsond aos scors do rmro comonnt rncal

72 6 do gruo d varávs R a, R y, R z, R q, R t. Os scors d comonnts rncas traídos la análs fatoral com rotação Varma stão dntfcados la ltra F. Portanto, FCP A rrsnta os scors do rmro comonnt rncal do ar d varávs R a R q rotaconados lo método Varma FCP B rrsnta os scors do rmro comonnt rncal do gruo d varávs R a, R y, R z, R q, R t, também rotaconados lo método Varma. Os scors foram traídos da rsctva matrz d corrlação do conjunto d dados. Parâmtros Rsostas Escors CP Escors AF Vc Fn d R a R y R z R q R t CP A CP B FCP A FCP B -,00 -,00 -,00,00 -,00 -,00 -,00,00 -,00,00,00 -,00 -,00 -,00,00,00 -,00,00 -,00,00,00,00,00,00 -,68 0,00 0,00,68 0,00 0,00 0,00 -,68 0,00 0,00,68 0,00 0,00 0,00 -,68 0,00 0,00,68 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Man SD Targt Y Z Z Y Y Tabla Planjamnto do rmnto ara cnco rsostas. Aós o tornamnto d cada ça a rugosdad surfcal fo mdda nos quatro ontos conform ndcados na Fgura 5.4. Fgura Dstrbução dos ontos d mdção m cada ça.

73 6 Os rmntos foram cutados conform lanjamnto dscrto na ágna antror grou um banco d dados ara o dsnvolvmnto do trabalho. Os 9 coros d rova do aço AISI 500 com durza 50 HRC dmnsõs d 49 mm d dâmtro 50 mm d comrmnto foram usnados m um torno CNC Nardn Logc. Em cada coro d rova foram ralzadas mdçõs m 4 ontos dstntos na rgão cntral da ça com alnhamnto dstants 90º ntr s. Em cada onto foram ralzadas 3 rtçõs na mdção. Cosdrando-s as cnco rsostas (R a, R y, R z, R q, R t ) foram ralzadas, no total,.40 mdçõs. Aós a cução dos rmntos fo grado um banco d dados ara o dsnvolvmntodo trabalho. A Tabla 5.4 arsnta o rsumo dos valors obtdos ara as varávs d rsosta, R a, R y, R z, R q, R t. Os comonnts rncas CP A CP B, qu rrsntam os scors d comonnts rncas ara o ar d varávs R a R q os scors d comonnts rncas ara as cnco rsostas, rsctvamnt, foram obtdos com a alcação da Eq. (.4). Conform od sr obsrvado, na msma tabla, os rsultados do R (adj) atngu valors acma d 80% somnt ara as rsostas R y, R t CP B, sto é, 8,68%, 84,46% 8,0%, rsctvamnt. As dmas rsostas fcaram com os valors abao d 76%. Isto sgnfca qu a varânca stnt ntr as varávs d rsosta stão com bao rcntual d lcação. Os valors do R (rd), qu dmonstram o grau d rvsbldad do modlo, stão todos abao d 50%. Isto caractrza uma oortundad ara s tstar a caacdad do método m dslocar o valor dsta métrca, assm como também do R (adj), ara atamars surors, garantndo um rcntual satsfatóro d lcação d rvsbldad dos modlos m todas as rsostas. Anda na Tabla 5.4, o LOF ou Falta d Ajust ( do nglês lack-of-ft) arsnta valors qu varam d 0,003 a 0,60. Est índc, usado m rgrssão DOE, avala o ajust do modlo. Quando o su -valu é suror ao nívl d sgnfcânca, sto é 5%, há vdêncas d qu o modlo lca adquadamnt a varação da rsosta, mostrando qu não há falta d ajust (MONTGOMERY, 009).

74 63 Comonnts Pâramtros Rsostas Prncas Vc Fn d R a R y R z R q R t CP A CP B ,5 0,97 0,85 0,9 0,99 -,09-3, ,,3,07 0,6,6 -,3 -, ,39,65, 0,53,67,06, ,38,34,87 0,50,4 0,90, ,8,5 0,99 0,3,7 -,73 -, ,7,09,00 0,,3 -,8 -, ,36,,75 0,46,39 0,57 0, ,4,65,09 0,53,73,5,8 -, ,37,04,84 0,47,07 0,7 0,78, ,36,0,95 0,48,3 0,64,05 0 -,68 0 0,0 0,74 0,63 0, 0,79 -,79-4,0 0,68 0 0,53 3,46,48 0,68 3,5,76 4, ,68 0,35,93,7 0,4,98 0,3 0,9 0 0,68 0,4,36, 0,5,43,3, ,30,0,8 0,40,05-0,0 0, ,9,5,73 0,39,9-0, 0, ,3,77,6 0,60,70 0,88 0, ,9,86,60 0,36,9-0,36-0, ,3,88,60 0,4,98 0,0 0,0 S R² ajustado R² rvsto P-Valu LOF 0,05 0,8 0,4 0,09 0,7 0,7 0,96 74,99% 8,68% 75,6% 65,3% 84,46% 73,57% 8,0% 5,67% 38,9% 0,40% 0,40% 48,84% 4,8% 8,03% 0,003 0,06 0,0 0,60 0,3 0,49 0,004 Tabla Rsumo d valors obtdos ara todas as varávs d rsosta Análs d Corrlação ntr as Rsostas A strutura d corrlação ntr as varávs d rsosta é um ascto muto mortant ara o dsnvolvmnto dst trabalho não od sr nglgncada. Através do uso do softwar Mntab fo ossívl obsrvar qu st fort corrlação ntr as varávs d rsosta qu comõm o conjunto d dados. Todos os valors stão rómos d um () arsntam P-valu 0,05. Bo t al. (973) obsrvam qu quando ocorrm sts tos d dndêncas, a análs multvarada od sr uma scolha vávl. A Tabla 5.5 mostra os rsultados dsta análs.

75 64 Rsostas Ra Ry Rz Rq Ry 0,968 0,000 Rz 0,976 0,975 0,000 0,000 Rq 0,946 0,95 0,936 0,000 0,000 0,000 Rt 0,967 0,998 0,97 0,90 0,000 0,000 0,000 0,000 Tabla Análs d Corrlação ntr a rsostas Análs d Comonnts Prncas Na squênca, fo ralzada uma análs dos comonnts rncas com o objtvo d vrfcar s é ossívl obtr nas rmras comonnts rncas mas d 90% das nformaçõs ncssáras ara o dsnvolvmnto do trabalho. Como od sr obsrvado na Tabla 5.6 o rmro comonnt rncal ara o ar d varávs (R a R q ), CP A, consguu lcar 97,3% da varânca acumulada. Para CP B, qu rrsnta o conjunto d rsostas (R a R y R z R q R t ), obtv-s o rsultado 96,4% da varânca acumulada. D acordo com Johnson Wchrn (007), basados nos crtéros d Kasr, o autovalor do comonnt rncal dv sr maor qu um ara rrsntar o conjunto orgnal, além dsso, a varânca acumulada lcada los comonnts rncas dv sr suror a 80%. Dss modo, o rmro comonnt rncal d cada conjunto d rsosta é caaz d rrsntar a surfíc d rsostas m studo, não sndo ncssáro utlzar o sgundo comonnt rncal. CP CP A (RaRq) CP B (Ra.Ry.Rz. Rq. Rt) Autovalor.946 0, ,3 0,03 0,04 0,00 Proorção 0,973 0,07 0,964 0,05 0,006 0,005 0,000 Acumulado 0,973,000 0,964 0,989 0, Varávs CP CP CP CP CP3 CP4 CP5 Ra 0,707 0,707 0,45-0,075-0,55-0,7 0,0 Ry 0,45 0,36 0,388 0,06 0,76 Rz 0,45 0,05-0,564 0,687-0,063 Rq 0,707-0,707 0,436-0,8 0,375 0,075-0,076 Rt 0,449 0,45 0,34-0, -0,684 Tabla Análs d Comonnts Prncas

76 Análs Fatoral A Tabla 5.7 arsnta a varânca rmntal consguda com as mdçõs da rugosdad da surfíc da cada coro d rova ara cada varávl d rsosta. Var R a Var R y Var R z Var R q Var R t 0,000 0,03 0,007 0,0004 0,086 0,000 0,0076 0,0097 0,0009 0,0065 0,0003 0,0533 0,0058 0,000 0,0455 0,0004 0,047 0,07 0,00 0,087 0,0003 0,0059 0,085 0,0004 0,0045 0,0004 0,005 0,0060 0,0006 0,0063 0,0006 0,09 0,074 0,0009 0,07 0,0006 0,039 0,050 0,000 0,030 0,0009 0,09 0,0075 0,00 0,065 0,0004 0,0577 0,097 0,003 0,0503 0,0000 0,005 0,0008 0,0000 0,0040 0,006 0,078 0,0584 0,000 0,076 0,0009 0,00 0,06 0,0007 0,0039 0,000 0,0568 0,0480 0,000 0,0485 0,00 0,043 0,093 0,008 0,0393 0,000 0,0567 0,000 0,0008 0,0467 0,0003 0,0034 0,003 0,39 0,79 0,0005 0,049 0,0056 0,0007 0,0098 0,0003 0,0074 0,0 0,0006 0,0349 Tabla Varânca Ermntal Para dar rossgumnto ao trabalho fo ncssáro calcular a ncrtza multvarada do ar d rsostas (R a R q ) do conjunto das cnco rsostas (R a R y R z R q R t ). Com a alcação da quação (3.5) obtv-s o rsultado da ncrtza multvarada ara o comonnt rncal rrsntado or U mcp A ara calcular a ncrtza multvarada rrsntada or U mcp B, fo utlzada a quação (5.8) qu é uma vrsão andda ara contmlar as cnco varávs d rsosta. Para a dntfcação da ncrtza multvarada dos comonnts rncas rotaconados, U mfcp A o rocdmnto acma fo rtdo alcando-s a quação (3.6). Para U mfcp B adotou-s o msmo algortmo, no qual os autovtors da quação (5.8) foram substtuídos or K, sndo K, K,...K n, os cofcnts dos fators obtdos através da análs fatoral com o modlo d rotação Varma. A Tabla 5.8 b os rsultados dsts cálculos.

77 66 U mcp A U mfcp A U mcp B U mfcp B 0,03 0,07 0,53 0,08 0,5 0,08 0,68 0,0 0,030 0,08 0,7 0,84 0,084 0,08 0,73 0,066 0,040 0,03 0,7 0,03 0,058 0,04 0,0 0,00 0,09 0,09 0,56 0,046 0,094 0,040 0,93 0,098 0,8 0,035 0,4 0,09 0,087 0,093 0,37 0,70 0,004 0,00 0,08 0,00 0, 0,063 0,497 0,046 0,0 0,06 0,77 0,0 0,69 0,097 0,56 0,46 0,76 0,063 0,455 0,097 0,4 0,08 0,85 0,56 5,495 59,906 3,07 3,89 0,07 0,04 0,60 0,033 0,05 0,04 0,04 0,070 Tabla 5.8 Cálculo da Incrtza Multvarada O objtvo do modlo matmátco dsnvolvdo é fltrar as ncrtzas do rocsso qu aftam as varávs d rsosta consquntmnt contamnam as comonnts rncas. Os rsultados rssos na Tabla 5.8 rrsntam os valors da ncrtza multvarada total stnts nos CP A, FCP A, CP B FCP B. Então, alcando-s a Eq. (3.8) sobr os valors arsntados nsta tabla, foram stablcdas as matrzs W ara alcar o método WLS (Mnmos Quadrados Pondrados) sobr os scors dos comonnts rncas. A matrz W fo adotada como matrz nvrsa da varânca ara ondrar os scors dos comonnts rncas CP A CP B os scors dos comonnts rncas rotaconados FCP A FCP B. Os rsultados grados com o mrgo da matrz d ondração (W) odm sr vrfcados na Tabla 5.9.

78 67 WCP A WFPC A WCP B WFPC B 3,87 58,9 6,550,405 8,663 35,363 5,959 8,4 33,670 56,995 4,6 3,58,965,34 3,658 5,34 4,697 74,54 4,40 3,489 7,3 40,865 9,906 04,40 0,904 34,586 3,93,583 0,669 5,88 3,40 0,07 7,806 8,459 4,46 34,057,486 0,776,685 5,87 36,66 580,988 57,0 97,50 4,53 5,964,03,8 9,789 38,956 5,658 83,568 5,98 0,90,78 6,847 5,695 5,9,96 0,339 8,774 35,403 3,504 6,40 0,8 0,07 0,3 0,07 4,04 4,9 6,3 30,93 9,64 4,008 4,894 4,75 Tabla 5.9 Cálculo do so 5.7. Rsultados Dscussão Nsta sção srão analsados dscutdos os rsultados corrsondnts aos scors do rmro comonnt rncal do ar d varávs R a R q dntfcado como CP A, também, os scors do rmro comonnt rncal das cnco varávs d rsosta R a R y R z R q R t rrsntados or CP B. Esta dfnção od sr claramnt vsualzada na Tabla Análs Rsultados ara CP A Aós a tração raração dos dados alcou-s a mtodologa d surfíc d rsosta (MSR), utlzando-s o softwar Mntab 5, ara grar as nformaçõs ostas na Fgura 5.5.

79 68 Rsons Surfac Rgrsson: CP A vrsus Vc; F; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for PCRaRq Trm Cof SE Cof T P Constant 0, ,304 0,30 0,77 Vc 0,080 0,94 0,43 0,689 F,4674 0,94 7,56 0,000 A 0,0988 0,94 0,473 0,647 VcVc 0,0474 0,94 0,7 0,90 FF -0,746 0,94 -,0 0,9 AA 0, ,94 0,303 0,769 VcF -0,098 0,536-0,087 0,933 VcA -0,0000 0,536-0,000,000 FA 0, ,536 0,003 0,998 S = 0,7746 PRESS = 9,8449 R-Sq = 86,78% R-Sq(rd) = 4,8% R-Sq(adj) = 73,57% Analyss of Varanc for CP A Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9 30, ,4034 3,3786 6,57 0,005 Lnar 3 9,605 9,605 9,8707 9,9 0,000 Squar 3 0,7890 0,7890 0,630 0,5 0,684 Intracton 3 0,0039 0,0039 0,009 0,00,000 Rsdual Error 9 4,6300 4,6300 0,5444 Lack-of-Ft 5 3,6756 3,6756 0,7353 3,08 0,49 Pur Error 4 0,9543 0,9543 0,3858 Total 8 35,0334 Fgura 5.5 Modlo quadrátco grado la MSR ara a varávl CP A Conform od sr obsrvado na Fgura 5.5 o rsultado ara R (adj) R (rd), obtdos através do modlo quadrátco comlto, não foram rrsntatvos, os não consguram atngr um rcntual satsfatóro ara lcar a varabldad do modlo o rro d rvsão. Sndo assm, o modlo rcsa sr ajustado ara qu o rcntual d lcação justfqu sua rlação com uma ou mas varávs rdtoras. Para tanto, os scors d comonnts rncas (CP A ) foram ondrados or uma matrz d so W(CP A ), qu é o nvrso da varânca. Num studo sobr a qualdad das ças no rocsso d usnagm, Pérz (00) modlou as rsostas d R a R q, usando como matrz d so o nvrso da ncrtza (varânca) das rsostas orgnas. Nst trabalho, conform mnconado antrormnt, utlza-s o nvrso da ncrtza multvarada. Os rsultados da ondração d CP A odm sr obsrvados na Fgura 5.6.

80 69 Rgrsson Analyss: CP A vrsus Vc.; Fn;... Wghtd analyss usng wghts n WPC A Prdctor Cof SE Cof T P Constant -0,0737 0,907-0,5 0,806 Vc 0,345 0,476 0,9 0,386 Fn,386 0,480 9,37 0,000 A 0,039 0,569 0,5 0,808 Vc 0,0464 0,696 0,7 0,790 Fn -0,45 0,386 -,05 0,33 A 0,089 0,775 0, 0,97 VcFn -0,0669 0,8-0,37 0,70 VcA -0,068 0,80-0,38 0,74 FnA -0,005 0,76-0,0 0,994 S =,036 R-Sq = 96,9% R-Sq(adj) = 93,7% PRESS = 40,80 R-Sq(rd) = 96,49% Analyss of Varanc Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 7,94 5,33 30,9 0,000 Rsdual Error 9 36,49 4,05 Lack of Ft 5 34,46 6,89 3,60 0,03 Pur Error 4,03 0,5 Total 8 64,43 Fgura 5.6 Anals d rgrssão ara CP A ondrada la matrz d so W(CP A ) D acordo com o rsultado mostrado na tabla 5.6, o R (adj) atngu o valor d 93,7%, rrsntando um ncrmnto d 0,3.. m rlação ao studo sm ondração nquanto qu o valor do R (rd) subu d 4,8% ara 96,49%, um ncrmnto d 8,68.. Isso confrma qu o modlo é caaz d or as ncrtzas do rocsso consgu, através da utlzação d uma matrz d ondração como nvrso da ncrtza, mlhorar a lcação do modlo. Assm, a quação d rgrssão do modlo ondrado od sr scrta conform q. (5.6). CP A = - 0, ,35 Vc +,390 Fn + 0,039 A + 0,046 Vc - 0,45 Fn + 0,09 A - 0,067 Vc Fn - 0,068 Vc A - 0,00 Fn A (5.6) Sgundo a rcomndação d Bratchll (989), qu afrma qu a rotação dos comonnts rncas od rocar uma vsão dfrnt facltando a ntrrtação dos fators, foram traídos novos valors ara o ar d varávs R a R q. Para tanto, alcou-s uma análs fatoral multvarada. O método d tração dos dados fo a análs d comonnts rncas o to d rotação fo o Varma. Assm, os scors dos comonnts rncas rotaconados ara o ar d varávs d rsosta assou a sr rrsntado or

81 70 FCP A. A Fgura 5.7 mostra os rsultados obtdos com a alcação do método rcomndado or Bratchll. Rsons Surfac Rgrsson: FCP A vrsus Vc; F; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for FCP A Trm Cof SE Cof T P Constant 0, ,4599,76 0,70 Vc 0,0537 0,786 0,09 0,99 F 0, ,786,40 0,040 A 0, ,786 0,3 0,8 Vc*Vc -0,684 0,787-0,584 0,573 F*F -0, ,787 -,098 0,30 A*A -0, ,787 -,07 0,336 Vc*F -0, ,3640-0,00 0,984 Vc*A 0, ,3640 0,5 0,903 F*A -0,0463 0,3640-0,79 0,787 S =,096 PRESS = 7,867 R-Sq = 47,00% R-Sq(rd) = 4,5% R-Sq(adj) = 0,00% Analyss of Varanc for FCP A Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9 8,459 8,4596 0,9399 0,89 0,570 Lnar 3 6,807 6,8075,0605,94 0,93 Squar 3,79,7907 0,7636 0,69 0,583 Intracton 3 0,0994 0, ,033 0,03 0,99 Rsdual Error 9 9,5408 9,54084,06009 Lack-of-Ft 5 0,364 0,3639 0,078 0,03 0,999 Pur Error 4 9,794 9,7945,9486 Total 8 8,0000 Fgura 5.7 Modlo quadrátco grado la MSR ara a varávl FCP A O objtvo d mlhorar as rsostas do modlo não fo alcançado, os o valor d R (adj) fo rduzdo ara zro o R (rd) arsntou um valor bastant rduzdo, conform od sr obsrvado na Fgura 5.7. O rsultado ngatvo dst modlo abr saço ara tstar a fcênca do modlo matmátco dsnvolvdo. Os scors d FCP A foram ondrados la matrz W(FCP A ) qu rrsnta o nvrso da ncrtza multvarada dos comonnts rncas rotaconados (U m FCP A ). Assm, a quação d rgrssão do modlo ondrado od sr scrta conform q. (5.7). FCP A = - 0,8 + 0,007 Vc + 0,67 Fn - 0,00 A. + 0,054 Vc - 0,00Fn - 0,093 A - 0,003 Vc Fn + 0,0 Vc A - 0,8 Fn A (5.7)

82 7 Dst modo, os rsultados dsta alcação stão arsntados na fgura 5.8. Rgrsson Analyss: FCP A vrsus Vc.; Fn;... Wghtd analyss usng wghts n WFPC A Prdctor Cof SE Cof T P Constant -0,80 0,8 -,6 0,40 Vc. 0,0074 0, , 0,97 Fn 0,676 0,0605,00 0,000 A. -0,0085 0, ,03 0,979 Vc 0, ,0735 0,74 0,479 Fn -0,0074 0, ,03 0,975 A -0,0936 0,0696 -,35 0,0 VcFn -0, ,077-0,04 0,966 VcA 0,07 0, ,8 0,783 FnA -0,797 0,0744 -,73 0,8 S =,30370 R-Sq = 97,0% R-Sq(adj) = 94,0% PRESS = 5,8980 R-Sq(rd) = 96,90% Analyss of Varanc Fgura 5.8 Anals d rgrssão ara FCP A ondrada la matrz d so W(FCP A ) Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 497,576 55,86 3,53 0,000 O rsultado Rsdual arsntado Error na 9 Fgura 5, confrma,700 a caacdad do método m fltrar as Lack of Ft 5 9,49,898,3 0,409 ncrtzas do rocsso. Esta afrmação stá sustntada lo rcntual d 94% d lcação Pur Error 4 5,804,45 obtdo ara Total o R (ad) lo rcntual 8 5,87 d 96,90% obtdo ara o R (rd). A combnação do método com a rotação dos comonnts rncas, além d lvar o rcntual do cofcnt d dtrmnação ajustado, mantv a análs d Falta d Ajust (LOF) com P-Valu 0,05, o qu ndca qu o modlo é adquado. Esta análs od sr obsrvada na Tabla 5.0. Sourc DF SS MS F P Rgrssão 9, ,576 55,86 3,530 0,000 Erro rsdual 9,000 5,97,700 Falta d ajust 5,000 9,49,898,30 0,409 Erro uro 4,000 5,804,45 Total 8,000 5,87 Tabla 5.0 Análs da Falta d ajust

83 Análs Rsultados ara CP B Esta análs abrang um conjunto d dados qu nvolv todas as varávs d rsosta contmladas nst studo, sto é R a ; R y ; R z ; R q ; R t. O qu motva sta análs é nvstgar s o modlo matmátco dsnvolvdo ara duas rsostas roorcona o msmo fto ara cnco rsostas. Sndo assm, a quação (3.5) dsnvolvda ara vdncar a ncrtza multvarada d um ar d rsostas (U mcp A ) fo andda ara as cnco rsostas (U mcp B ). Esta modfcação od sr vsualzada na quação (5.8) ,,,,,,,,,, r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u u u u u u PC u m RaRyRzRqRt (5.8) Para calcular a ncrtza multvarada ara os scors obtdos através da análs fatoral com rotação, os autovtors da quação (5.8) dvm sr substtuídos or K, sndo K, K,...K n, os cofcnts dos fators obtdos or rotação Varma.

84 73 A Fgura 5.9 b os rsultados ara CP B obtdos através da Mtodologa d Surfíc d Rsosta. Rsons Surfac Rgrsson: PC B vrsus Vc; Fn; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for PCB Trm Cof SE Cof T P Constant 0,3390 0,473 0,33 0,76 Vc 0,33 0,589 0,5 0,6 Fn, ,589 9,55 0,000 A 0,7857 0,589 0,690 0,508 Vc*Vc 0,0045 0,589 0,040 0,969 Fn*Fn -0,5479 0,589-0,984 0,35 A*A 0, ,589 0,4 0,88 Vc*Fn -0,037 0,338-0,094 0,97 Vc*A 0,67 0,338 0,344 0,739 Fn*A -0, ,338-0,66 0,87 S = 0, PRESS = 6,4599 R-Sq = 90,5% R-Sq(rd) = 8,03% R-Sq(adj) = 8,0% Analyss of Varanc for PCB Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9 78, ,5465 8,774 9,54 0,00 Lnar 3 77, ,3738 5,793 8,8 0,000 Squar 3,033,033 0,3438 0,38 0,773 Intracton 3 0,44 0,44 0,047 0,05 0,984 Rsdual Error 9 8,367 8,367 0,95 Lack-of-Ft 5 7,985 7,985,5970 5,40 0,004 Pur Error 4 0,55 0,55 0,069 Total 8 86,783 Fgura 5.9 Modlo quadrátco grado la MSR ara a varávl CP B Sm alcar a ondração nos scors d comonnts rncas, od-s notar qu o cofcnt d dtrmnação ajustado, R (adj), consgu lcar 8,0% da varabldad do modlo, mas o R (rd) arsnta anas 8,03% d rvsbldad. Todava, s st ncrtza nas varávs orgnas, havrá também nas comonnts rncas mdndo qu o valor do cofcnt d dtrmnação ajustado atnja valors mas altos. Sndo assm, ara dtrmnar a ncrtza multvarada mbutda nos rmntos ralzados, a quação (5.8) fo alcada ara dstacar sts dados. Por mo dsts valors fo ossívl dtrmnar a matrz d ondração, W(CP B ), qu é o nvrso da ncrtza multvarada utlzada ara ondrar os scors d CP B. Os rsultados consgudos com a ondração d CP B odm sr obsrvados na Fgura 5.0.

85 74 Rgrsson Analyss: PC B vrsus Vc.; Fn.;... Wghtd analyss usng wghts n WPC B Prdctor Cof SE Cof T P Constant 0,099 0,4356 0,07 0,947 Vc. 0,0767 0,376 0,3 0,754 Fn.,809 0,90 9,96 0,000 A. 0,003 0,430 0,0 0,996 Vc*Vc 0,07 0,5 0,07 0,948 Fn*Fn -0,638 0,6-0,77 0,46 A*A -0,063 0,549-0,5 0,80 Vc*Fn -0,0047 0,898-0,0 0,987 Vc*A -0,080 0,835-0,0 0,93 Fn*A -0,0356 0,906-0, 0,905 S =,80668 R-Sq = 96,% R-Sq(adj) = 9,4% PRESS = 4,5857 R-Sq(rd) = 94,64% Analyss of Varanc Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 746,9 8,94 5,40 0,000 Rsdual Error 9 9,377 3,64 Lack of Ft 5 8,353 5,67,5 0,005 Pur Error 4,04 0,56 Total 8 775,606 Fgura 5.0 Anals d rgrssão ara CP B ondrada la matrz d so W(CP B ) Comarando-s as Fguras constata-s qu o valor d R (adj) assou d 8,0% ara 9,4%, rrsntando um crscmnto d,0 ontos rcntuas. O msmo ocorr, d forma mas acntuada, com o R (Prd.) qu assou d 8,03% ara 94,64%. Portanto, a utlzação d uma matrz d so ara ondrar os scors dos comonnts rncas favorc um ajust mlhor, lvando o rcntual d lcação do modlo. A quação d rgrssão do modlo ondrado od sr scrta conform quação (5.9). CP B = 0, ,077 Vc +,8 Fn + 0,00 A + 0,07 Vc - 0,64 Fn - 0,063 A - 0,005 Vc Fn - 0,08 Vc A - 0,036 Fn A (5.9) Dant da ctatva d mlhorar anda mas os rsultados alcançados, dcdu-s sgur a rcomndação d Bratchll utlzar o método d rotação dos comonnts rncas ara tntar mlhorar a lcação dos modlos. Sndo assm, uma Análs Fatoral Multvarada com rotação Varma fo alcada ara trar os scors comonnts rncas das cnco varávs d rsosta qu assou a sr rrsntado or FCP B. Em

86 75 sguda, alcou-s a mtodologa d surfíc d rsosta (MSR), ara analsar FCP B. Os rsultados dsta alcação stão ostos na Fgura 5.. Rsons Surfac Rgrsson: FCP B vrsus Vc; Fn; A Th analyss was don usng codd unts. Estmatd Rgrsson Coffcnts for FCP B Trm Cof SE Cof T P Constant -0,8599 0,3869-0,469 0,650 Vc 0, ,343 0,84 0,858 Fn 0, ,343 3,730 0,005 A 0, ,343 0,395 0,70 Vc*Vc 0, ,344 0,04 0,967 Fn*Fn 0,7974 0,344 0,765 0,464 A*A 0, ,344 0,7 0,793 Vc*Fn 0,0050 0,306 0,06 0,987 Vc*A 0, ,306 0,509 0,63 Fn*A -0, ,306-0,38 0,893 S = 0,86604 PRESS = 4,4934 R-Sq = 6,50% R-Sq(rd) = 9,48% R-Sq(adj) = 5,00% Analyss of Varanc for PCBF Sourc DF Sq SS Adj SS Adj MS F P Rgrsson 9,497,497,4997,67 0,9 Lnar 3 0,5765 0,5765 3,555 4,70 0,03 Squar 3 0,4644 0,4644 0,5478 0, 0,889 Intracton 3 0,088 0,088 0,0696 0,09 0,96 Rsdual Error 9 6,7503 6,7503 0,75003 Lack-of-Ft 5 0,680 0,680 0,360 0,08 0,99 Pur Error 4 6,33 6,33,53306 Total 8 8,0000 Fgura 5. Modlo quadrátco grado la MSR ara a varávl FCP B Conform od sr obsrvado, o rsultado obtdo ara R (adj) com a rotação dos scors dos comonnts rncas lca anas 5% da varabldad do modlo o R (rd) atngu anas 9,48%. A artr dsts rsultados rcb-s a stênca d muta ncrtza (varânca) no modlo. Portanto, torna-s claro a ncssdad d s conhcr as ncrtzas contdas no rocsso utlzá-las, conform ndcado or Pérz (00), como matrz d so ara ondrar os scors do comonnt rncal. Então, os scors do comonnt rncal rotaconado (FCP B ) foram ondrados la matrz d so W(FCP B ), como nvrso da varânca. Os rsultados dsta ondração odm sr obsrvados na Fgura 5..

87 76 Rgrsson Analyss: FCPC B vrsus Vc.; Fn.;... Wghtd analyss usng wghts n WFCP B Prdctor Cof SE Cof T P Constant 0,63 0,53,73 0,8 Vc. -0,06 0,0776-0,5 0,884 Fn. 0, ,0645 3,40 0,000 A. 0,0947 0,0755 0,39 0,705 Vc*Vc -0,883 0,0790 -,38 0,04 Fn*Fn 0, ,0699 0,77 0,46 A*A -0,0354 0, ,4 0,93 Vc*Fn 0, ,0994 0,68 0,5 Vc*A 0,500 0,08676,33 0,8 Fn*A -0,0034 0, ,0 0,989 S =,9448 R-Sq = 96,% R-Sq(adj) = 9,4% PRESS = 3,650 R-Sq(rd) = 95,98% Analyss of Varanc Fgura 5. Anals d rgrssão ara FCP B ondrada la matrz d so Sourc DF SS MS F P Rgrsson 9 36,0 36,3 5,39 0,000 Rsdual Error 9,84,47 Com a Lack alcação of Ft do modlo 5 matmátco 8,055 sobr,6 o conjunto,35 d dados 0,398 rotaconados, fo Pur Error 4 4,786,96 ossívl lvar Total o rcntual d lcação 8 338,85 do cofcnt d dtrmnação ajustado, R (adj), d 5% ara 9,4%, assm como, também lvar o rcntual do R (rd) d 9,48% ara 95,98%. Esta combnação rocou não só uma boa lcação da varabldad do modlo, mas também, mantv a análs da Falta d Ajust (LOF) com P-Valu 0,05, o qu ndca qu o modlo é adquado. O rsultado dsta análs od sr obsrvado na Tabla 5.. Sourc DF SS MS F P Rgrssão 9 36,0 36,3 5,390 0,000 Erro rsdual 9,84,47 Falta d ajust 5 8,055,6,350 0,398 Erro uro 4 4,786,96 Total 8 338,85 Tabla 5. Análs da Falta d Ajust

88 77 A quação d rgrssão do modlo ondrado od sr scrta conform quação (5.0). FCP B = 0,63-0,0 Vc + 0,865 Fn + 0,030 A - 0,88 Vc + 0,054 Fn - 0,04 A + 0,068 Vc Fn + 0,5 Vc A - 0,00 Fn A (5.0) Para rsumr comarar os rsultados obtdos nos dos conjuntos d dados CP A CP B, utlzou-s um modlo fatoral comlto, como od sr vsto na Tabla 5.. Com sta abordagm, od-s analsar a nfluênca da rsnça ou ausênca dos sos ou rotação sobr a rordad d lcação dos modlos. Consdrando os casos "A" "B " como duas rtçõs d lanjamnto fatoral comlto, obtv-s os sgunts rsultados. Método Pso Rotação R adj. R rd. CP A Sm Sm 73,57% 4,8% WCP A Com Sm 93,70% 96,49% FCP A Sm Com 0,00% 4,5% WFCP A Com Com 94,00% 96,90% CP B Sm Sm 8,0% 8,03% WCP B Com Sm 9,40% 94,64% FCP B Sm Com 5,00% 9,48% WFCP B Com Com 9,40% 96,0% Tabla 5. Rsumo dos rsultados A Fgura 5.3 mostra o gráfco d Parto Factoral Plot. Nsta análs, conform od sr obsrvado, a matrz d so roosta lo método d ondração multvarada é mas mortant ara mlhorar a lcação do modlo qu a rotação Varma. Msmo qu o fator d rotação sua ntração com a ondração sja sgnfcatvo, od-s obsrvar qu o nívl qu mamza R adj é obtdo sm rotação ara st caso. Assm, mbora sta conclusão não ossa sr traolada ou gnralzada ara outros modlos, nst caso scífco, sgurmos com a fas d otmzação usando anas o modlo ondrado dos scors dos comonnts rncas (WCP A ) ara avalar a fcênca da abordagm d otmzação EQMM (Erro Quadrátco Médo Multvarado).

89 Man Man Trm Trm 78 Parto Chart of th Standardzd Effcts (rsons s Radj, Alha = 0,05),776,78 Parto Chart of th Standardzd Effcts (rsons s Rrd, Alha = 0,05) A A AB AB B Factor A B Nam Wght Rotaton B Factor A B Nam Wght Rotaton Standardzd Effct Standardzd Effct 6 Man Effcts Plot for Radj Data Mans Man Effcts Plot for Rrd Data Mans Wght Rotaton,0 Wght Rotaton 0,9 0,8 0,8 0,7 0,6 0,6 0,4 0,5 0, Wthout Wth Wthout Wth Wthout Wth Wthout Wth Fgura 5.3 Análs Estatístca da nfluênca do so Rotação m R adj R rd Otmzação Aós a scolha do modlo qu mlhor rrsnta a stratéga do método dsnvolvdo, ncou-s a fas d análs qu trata do rocsso d otmzação das varávs d rsosta. O alcatvo Solvr do softwar Ecl fo utlzado ara rsolvr o roblma qu trata da otmzação através do EQMM. Est to d otmzação, basada no concto do Erro Quadrátco Médo Multvarado, é caaz d dscobrr a mlhor combnação ara atndr todas as mtas stablcdas ara um conjunto d rsostas corrlaconadas. Os cofcnts das cnco varávs d rsosta dos comonnts rncas CP A CP B, traídos do softwar Mntab 5, foram utlzados ara grar a tabla d dados ara alcação do EQMM. Assm, a quação (5.) fo alcada na otmzação das rsostas das varávs d rsosta. Mnmzar Sujto EQMM a : T PC PC (5.) A artr dos cofcnts mostrados na Tabla 5.3 fo ossívl dntfcar a rugosdad rvsta os ontos d ótmo codfcados dcodfcados qu comõ a Tabla 5.5.

90 79 R a R q R y R z R t WCP A WCP B Constant 0,3054 0,436,9484,6830,9808-0,0737 0,099 Vc 0,0065 0,0079 0,0359 0,038 0,0359 0,345 0,0767 Fn 0,38 0,5 0,7386 0,59 0,758,386,809 A 0,0066 0,003 0,0540 0,0453 0,0677 0,039 0,003 Vc 0,0063-0,0034-0,03 0,0084-0,0090 0,0464 0,07 Fn -0,07-0,097-0,080-0,0-0,009-0,45-0,638 A 0,03-0,0046-0,009 0,07 0,000 0,089-0,063 Vc Fn -0,008-0,00 0,008-0,067-0,0059-0,0669-0,0047 Vc A -0,00 0,006 0,0645 0,0473 0,0470-0,068-0,080 Fn A 0,006-0,0034-0,0309-0,09-0,05-0,005-0,0356 Tabla 5.3 Cofcnts stmados ara o modlo quadrátco comlto As mtas d rugosdad foram dfndas usando-s como bas os rsultados das mdçõs afrdas ara as rsostas R a, R q, R y, R z R t, mostrado na Tabla 5.4. Sobr o mlhor rsultado consgudo durant o rocsso d usnagm, qu dz rsto ao décmo rmro rmnto, fo dtrmnado uma mta d rdução d 0%. R a R q R y R z R t Méda 0,30 0,409,95,6,975 Dsv. Padrão 0,08 0,49 0,678 0,494 0,69 Alvo 0,075 0,095 0,59 0,5 0,63 Escor -,8 -,07 -,970 -,50 -,943 Tabla 5.4 Dfnção das Mtas d Rugosdad D acordo com a Tabla 5.4, as mtas ara as rugosdad da surfíc são, rsctvamnt, 0,075, 0,095, 0,590, 0,50 0,630. Padronzando sss valors usando os rsctvos autovtors da Tabla 5.3, é ossívl calcular as mtas ara os comonnts rncas. Assm, ara o caso A A ara o caso B B A PC PC Tabla 5.5 mostra os rsultados da otmzação do EQMM consdrando os comonnts rncas sm ondração as quaçõs d rgrssão dos comonnts rncas com ondração. PC Y

91 Fn 80 Tabla 5.5 Rsultados da Otmzação através do EQMM Os rsultados arsntados na Tabla 5.5 ndcam qu dfrnts métodos d modlagm conduzm à rvsõs bm rómas d rsostas ótmas, sm dfrnça sgnfcatva ntr os rsultados obtdos com o EQMM. No ntanto, os scors dos comonnts rncas ondrados (WCP A WCP B ) arsntaram maor R rvsto. Então, é ossívl conclur qu as soluçõs obtdas com as quaçõs d rgrssão ondrada dos comonnts rncas, atngram as mtas roostas, através da abordagm do Erro Quadrátco Médo Multvarado qu mantém o maor nívl d rvsbldad. Essas soluçõs (ara o caso d A B) são rfrívs, os são mas consstnts assguram qu os rsultados da otmzação srão rroduzdos nas stuaçõs rátcas ndustras. A Fgura 5.4 mostra a sobrosção das cnco quaçõs d rugosdad corrlaconadas com os rsctvos lmts surors nfrors. A fgura também arsnta a solução obtda com a alcação da rotna d otmzação através do EQMM ara a função objtvo WCP B. -,5 -,6 Ra 0,05 0,09 Rq 0,08 0, -,7 WPCB Ry 0,5 0,7 -,8 -,9 -,0 -,5 A = -0,05833 B = -,6893 Ra = 0, Rq = 0, Ry = 0,6433 Rz = 0,49539 Rt = 0, ,0-0,5 0,0 Vc 0,5,0,5 Rz 0,4 0,6 Rt 0,5 0,7 Hold Valus d -0,04 Fgura 5.4 Contour Plot do EQMM ara função objtvo WCP B.

92 Ermntos d Confrmação Os rmntos d confrmação foram ralzados com o objtvo d vrfcar s os ontos d ótmo aontados lo rocdmnto rmntal mrgado são ralmnt atngívs. Para tanto, lanjou-s ralzar dz rmntos d confrmação ara dntfcação da rugosdad surfcal ara R a R q. Os arâmtros adotados ara sts rmntos odm sr notados na Tabla 5.6, a qual b, além dos arâmtros aontados lo EQMM, os valors rvstos ara as rsostas Ra Rq. Tabla 5.6 Rsultado do EQMM ara as rsostas m análs Os nsaos foram rtdos ara uma dtrmnada condção ótma cujos valors dos arâmtros foram dntfcados lo método d otmzaçao EQMM. Em cada coro d rova, aós o tornamnto, ocorrram doz mdçõs no cntro da ça. Isto é, foram tomadas três mdçõs m cada um dos quatro ontos da ça, dstants 90º ntr s, conform mlfcado na Fgura 5.4 da sção 5.3. Dando contnudad ao rocdmnto rmntal foram usnados dz coros d rova as mdçõs foram ralzadas utlzando um rugosímtro Mtutoyo Surftst SJ-0P. Est rocdmnto grou um banco d dados com sscntos valors, orém, dvdo ao tamanho da lanlha, os msmo foram rsumdos anas as médas foram dsonblzadas conform mostrado na Tabla 5.7. Tabla 5.7 Rugosdad Méda ara as cnco rsostas

93 8 Rgrsson Analyss: Ra vrsus C3; C4;... Wghtd analyss usng wghts n wra Th rgrsson quaton s Ra = 0, ,07 C3 + 0,06 C4 + 0,0057 C5 + 0,007 C6-0,034 C7 + 0,0035 C8-0,007 C9-0,006 C0 + 0,004 C Prdctd Valus for Nw Obsrvatons Nw Obs Ft SE Ft 95% CI 95% PI 0,085 0,0 (0,059; 0,) (-4,467; 4,638) 0,085 0,0 (0,059; 0,) (-4,467; 4,638) Fgura 5.5 Análs do Intrvalo d Confança d R a Rgrsson Analyss: Rq vrsus C3; C4;... Wghtd analyss usng wghts n wrq Th rgrsson quaton s Rq = 0, ,03 C3 + 0,46 C4 + 0,0006 C5 + 0,0065 C6-0,09 C7-0,0006 C8-0,004 C9-0,0059 C0-0,0056 C Prdctd Valus for Nw Obsrvatons Nw Obs Ft SE Ft 95% CI 95% PI 0,09 0,04 (0,076; 0,4) (-4,36; 4,533) 0,09 0,04 (0,076; 0,4) (-4,36; 4,533) Fgura 5.6 Análs do Intrvalo d Confança d R q Dant do osto nas Fguras é ossívl vrfcar qu os rsultados obtdos nos rmntos d confrmação são satsfatóros ara as rsostas m análs. Obsrvando-s as Fguras rcb-s qu todas as rsostas osconaram-s dntro do ntrvalo d confança, com dstaqu ara os valors obtdos ara R y, R z R t. Fgura 5.7 Análs do Intrvalo d Confança d todas as varávs

94 83 Fgura 5.8 Intrvalo d Confança d R y, R t R z As fguras analsadas nsta sção mostram a fcênca do método matmátco adotado qu consguu rvr o comortamnto d todas as varávs d rsosta. Esta afrmação od sr vrfcada através da comaração ntr os valors rvstos lo modlo o osconamnto das médas obtdas nos rmntos d confrmação, dntro dos lmts dos ntrvalos d confança, conform mostrado na Tabla 5.8. Prvsão do Modlo Ermntos d Confrmação Valors Prvstos Lmt Lmt Modlo Alvos Médas nfror suror Modlo Prz Proosto R a 0,075 0,0 0,059 0, 0,090 0,08 R y 0,590 0,746 0,584 0,97 0,757 0,654 R z 0,50 0,675 0,488 0,76 0,67 0,50 R q 0,095 0,37 0,076 0,4 0,4 0,097 R t 0,630 0,780 0,54 0,99 0,763 0,676 Tabla 5.8 Prvsão do modlo VS rsultados dos rmntos Todas as varávs d rsosta osconaram-s dntro do ntrvalo d confança. No ntanto, ara os três arâmtros Ry; Rz Rt, qu são mas snsívs à dsrsão or s basarm na amltud, o método s mostrou mas fcnt. O Tst Parado com IC 95% fo alcado ara comarar o Modlo d Pérz o Modlo Proosto. Est tst mostrou um P-valu = 0,054, ntão od-s conclur qu ambos os métodos conduzm a rsultados guas. Mas a vantagm do modlo roosto é trabalhar

95 84 com comonnts rncas, nquanto qu o Modlo d Pérz trabalha com rsostas ndvduas Consdraçõs fnas do caítulo Est caítulo abordou o studo d caso do aço AISI 500 abrangndo o dsnvolvmnto do studo, os rmntos a alcação do modlo matmátco roosto. Conform fo obsrvado, os rsultados alcançados com a alcação do modlo matmátco dstacam a sua alcabldad, os fo caaz d mlhorar o rcntual d lcação o rcntual d rvsbldad m todos os modlos arsntados. O método d otmzação também s mostrou caaz d ndcar um onto d ótmo ralsta, uma vz qu todas varávs analsadas fcaram dntro do ntrvalo d confança.

96 85 6. Conclusão Esta squsa arsntou um modlo stratégco ara stmar a ncrtza total qu afta todas as varávs d rsosta, usando o nvrso da ncrtza multvarada como matrz d ondração ara os scors dos comonnts rncas qu são utlzados como substtutos do conjunto orgnal d dados corrlaconados. O rncal objtvo dsta roosta é alcançar uma lcação satsfatóra ara varânca do modlo, lvando o rcntual do cofcnt d dtrmnação ajustado, R (adj), ao maor nívl ossívl consquntmnt, rduzr o rro d rvsão do modlo. Dstaca-s a sgur algumas conclusõs traídas das sçõs antrors d acordo com os rsultados alcançados: A matrz d so arsnta fort nfluênca sobr o modlo lva o rsultado do R (adj) a nívl satsfatóro, sto é, acma d 80%. Por outro lado, a matrz d so não rduz o rro d rvsão (S) conform srado, mas conduz a uma mlhora da rvsbldad vdncada a artr d maors valors obtdos ara R rvsto. Sgundo a rcomndação d Bratchll uma Análs Fatoral com rotação Varma fo alcada no conjunto d dados. Em ambos os casos, FCP A qu rrsnta os scors dos comonnts rncas ara as varávs d rsosta R a R q FCP B qu rrsnta os scors dos comonnts rncas ara as varávs d rsosta R a ; R y ; R z ; R q ; R t, o rsultado do R (adj) rmancu abao do valor consdrado satsfatóro ara lcar a varabldad do modlo. A Análs Fatoral não s mostrou caaz d mlhorar st rsultado, conform srado. Todava, quando FCP A FCP B foram ondrados la matrz d so, os rsultados d R (adj) atngram os valors d 94% 9,4% rsctvamnt. Outra stuação qu mrc dstaqu é qu st modlo s mostrou mas robusto ara varâncas mas altas. Além dsso, a Análs Fatoral com rotação Varma mantv o P-valu ara o lack-of-ft acma dos 5%. Consdrando os rsultados da otmzação, fo ossívl obsrvar qu a abordagm do EQMM alcada na otmzação do tornamnto do aço AISI 500 ndurcdo roduzu soluçõs muto rómas d todos os alvos. O onto d ótmo ara o modlo A (R a R q ) é consgudo com Vc = 6 m / mn, Fn = 0,3 mm / rv A = 0, mm ara o modlo B, qu contmla as cnco rsostas, Vc = 9 m / mn, Fn = 0,3 mm / rv A = 0, mm. Os rsultados ndcam qu os dfrnts métodos d modlagm roduzm rsostas ótmas bm rómas uma das outras, sm dfrnça sgnfcatva ntr os rsultados obtdos com o EQMM. No ntanto, os scors dos comonnts rncas ondrados (WCP A WCP B )

97 86 arsntaram maor R rvsto, sugrndo qu as quaçõs d rgrssão ondrada dos comonnts rncas atngram as mtas roostas, através da abordagm do Erro Quadrátco Médo Multvarado, qu mantém o maor nívl d rvsbldad. Estas soluçõs são rfrívs orqu são mas consstnts, assgurando qu os rsultados da otmzação srão rroduzdas no contto ndustral. Os rmntos d confrmação vdncaram qu o método matmátco dsnvolvdo ara ondrar os scors dos comonnts rncas, usando a matrz nvrsa da varânca como matrz d so, é fcnt. Através dos altos ajusts consgudos ara o R garantu-s qu é ossívl rvr o comortamnto das varávs d rsosta. Os rmntos também vdncaram qu ara as métrcas R y, R z R t, qu são mas snsívs à dsrsão or s basarm na amltud, o método s mostrou mas fcnt. É mortant rssaltar qu a qualdad dos rsultados obtdos com a rsnt abordagm não od sr traolada ara dfrnts matras, frramntas ou máqunas são váldos ara a faa dos nívs adotados. No ntanto, dvdo aos rsultados alcançados, ods rcomndá-lo na otmzação d rocssos d manufatura. 6.. Sugstõs ara trabalhos futuros Est trabalho focou o dsnvolvmnto d um método ara stmar a ncrtza total ou, varânca rmntal, qu afta todas as varávs d rsosta, usando o nvrso da ncrtza multvarada como matrz d so ara ondrar os scors dos comonnts rncas, tndo como bas d studos os rsultados do rocsso d tornamnto do aço AISI HRC. Todava, com o ntuto d armorar o método ou dntfcar as lmtaçõs a srm surmdas, outros asctos odm sr consdrados m trabalhos futuros, tas como: Ajustar o modlo ara o tratamnto d dados com baa corrlação smular alguns nívs ara avalar os rsultados; Vrfcar s com a alcação d outros métodos d rotação, conform aconslhado or Bratchll, consgu-s mlhors rsultados ara a lcação do modlo; Utlzar matras com durzas dfrnts tstar s st lmtação do modlo m rlação a sta scfcação; Avrguar a alcabldad do modlo m outros rocssos d manufatura, amlando o hstórco d alcação aumntando o conhcmnto a rsto do modlo dsnvolvdo;

98 87 Contmlar as varávs não controlávs no trabalho avalar qual o rcntual d ruído rsnt na ncrtza total.

99 88 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDREWS, D.T, t al (996), Commnts on th rlatonsh btwn rncal comonnts analyss and wghtd lnar rgrsson for bvarat data sts. Chmomtrcs and Intllgnt Laboratory Systm. ANDREWS, D.T, WENTZELL P.D, (997), Alcaton of mamum lklhood rncal comonnt analyss: ncomlt data sts and calbraton transfr. Analytca Chmca ACTA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 675: Procssos Mcâncos d Usnagm. Ro d Janro, 97, 9. BOX,G.E.P.; HUNTER, W.G.; MACGREGOR, J.F. and ERJAVEC, J. Som roblms assocatd wth th analyss of multrsons data, Tchnomtrcs 5 () (973), BOX, G. E. P.; DRAPER, N. R. (987). Emrcal modl-buldng and rsons surfacs. Nw York, Wly. (Wly Srs n Probablty and Mathmatcal Statstcs). BRATCHELL, N. (989), Multvarat Rsons Surfac Modllng by Prncal Comonnts Analyss. Journal of Chmomtrcs, v 3, BRYMAN, A.; (989), Rsarch Mthods and Organzaton Studs, Unwn Hyman Ltd, 83. CATEN, C. S. (995). Método d otmzação d rodutos rocssos mddos or múltlas caractrístcas d qualdad Dssrtação d Mstrado, Unvrsdad Fdral do Ro Grand do Sul, Programa d Pós-graduação m Engnhara d Produção, Porto Algr, RS. CHIAO, H.; and HAMADA, M. (00) Analyzng rmnts wth corrlatd multl rsonss. J Qual Tchnol 33(4): CHO B.R.. PARK C. (005), Robust dsgn modlng and otmzaton wth unbalancd data, Comutrs & Industral Engnrng DUBEY, A.K. and YADAVA, V., (008), Mult-objctv otmzaton of Nd:YAG lasr cuttng of nckl-basd suralloy sht usng orthogonal array wth rncal comonnt analyss, Otcs and Lasr n Engnrng 46 () GUM, Gua ara a Erssão da Incrtza d Mdcão, sgunda dção, 996. HAIR Jr., J.F. t al. Multvarat Data Analyss. 6th d. Ur Saddl Rvr, NJ: Prntc Hall, JOHNSON, R. A., WICHERN, D. W. (007), Ald Multvarat Statstcal Analyss, Nw Jrsy: Prntc-Hall, Inc., 6th d., 773. KHURI, A. I., CORNELL, J. A. Rsons surfacs: dsgns and analys. Marcl Dkkr Inc, d, Nw York, USA, 50., 996.

100 89 LAHDELMA, R., MAKKONEN, S., SALMINEN, P., (006), Two ways to handl dndnt uncrtants n mult-crtra dcson roblms, Th ntrnatonal Journal of Managmnt Scnc. LIAO, H. C. (006), Mult-rsons otmzaton usng wghtd rncal comonnt. Intrnatonal Journal Adv. Manuf. Tchnol, n. 7, MARTÍNEZ, A., RIU, J., RIUS, F. X. (00), Multl analytcal mthod comarson usng mamum lvlhood rncal comonnt analyss and lnar rgrsson wth rrors n both as, Analytca Chmca ACTA MCFARLAND, J. and MAHADEVAN, S. (008) Error and varablty charactrzaton n structural dynamcs modlng, Comutr Mthods n Ald Mchancs and Engnrng, MOITA NETO J. M. E MOITA G. C. (998) An Introducton Analyss Eloratory Multvarat Dat Dartamnto d Químca - Unvrsdad Fdral do Pauí Trsna PI, MONTGOMERY, D. C. (004), Introdução ao Control Estatístco da Qualdad, John Wly & Sons, 4 d.,53. MONTGOMERY, D. C. (009), Dsgn and Analyss of Ermnts, John Wly & Sons, 7th d., Nw York, 699. MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. (003), Ald Statstcs and Probablty for Engnrs, John Wly & Sons, 3 d., 8. MYERS, R.H., MONTGOMERY, D.C. and VINING, G.G., Gnralzd Lnar Modls wth Alcatons n Engnrng and th Scncs, Wly Srs n Probablty and Statstcs, Nw York (00). MYERS, R.H., MONTGOMERY, D. C., (00), Rsons Surfac Mtodology: Procss and Product Otmzaton Usng Dsgnd Ermnts, John Wly & Sons, d., 798. MYER V.R. (007), Masurmnt uncrtanty - Journal of Chromatograhy A, 58 (007) 5 4 NOORDIN, M. Y., AFFANDI M. Z. HENDRIKO, D. KURNIAWAN, (008), Hard turnng of cold work tool stl usng wr cramc tool, Journal Mkankal, Jun 008, No. 5, Faculty of Mchancal Engnrng, Unvrst Tknolog Malaysa, PAES, A. N. SANTOS, C.S.A., (009), As statístcas d nascmnto os fators matrnos da crança nas mcrorrgõs do Nordst braslro: uma nvstgação usando análs fatoral, Cntro d Cêncas Eatas da Naturza, Unvrsdad Fdral da Paraíba, João Pssoa, Brasl. PAIVA, A. P. (004). Estudo da Mnmzação d Erro nas Mdçõs d Concntração d Emulsõs or Ttração Karl-Fschr Utlzando-s Projtos d Ermnto Dssrtação d Mstrado, Itajubá, Unvrsdad Fdral d Itajubá UNIFEI, 96. PAIVA, A. P. (006). Mtodologa d Surfíc d Rsosta Análs d Comonnts Prncas m Otmzação d Procssos d Manufatura com Múltlas Rsostas

101 90 Corrlaconadas Ts d Doutorado, Itajubá, Unvrsdad Fdral d Itajubá UNIFEI, 57. PAIVA, A. P. t al (007). A multvarat hybrd aroach ald to AISI 500 hardnd stl turnng otmzaton, Journal of Matrals Procssng Tchnology 89 (007) 6 35 PAIVA, A. P. t al (009). A multvarat man squar rror otmzaton of AISI 500 hardnd stl turnng, Intrnaconal Journal of Advancd Manufacturng Tchnology, DOI 0.007/s PAIVA, E. J. (008). Otmzação d Procssos d Manufatura com Múltlas Rsostas Basadas m Índc d Caacdad Dssrtação d Mstrado, Unvrsdad Fdral d Itajubá, Insttuto d Engnhara d Produção, tajubá, MG. PEREIRA, J. C. C. (006), Dtrmnação d Modlos d Vda d Frramnta Rugosdad no Tornamnto do Aço ABNT 500 Endurcdo Utlzando a Mtodologa d Surfíc d Rsosta (DOE). Dssrtação d Mstrado, Itajubá, Unvrsdad Fdral d Itajubá UNIFEI, 58. PÉREZ, L.C. J. (00) Surfac roughnss modllng consdrng uncrtanty n masurmnts Intrnatonal Journal of Producton Rsarch, X, Volum 40, Issu 0,, Pags RIBEIRO, J.S., TEÓFILO, R.F., AUGUSTO, F. FERREIR, M. M.C., Smultanous otmzaton of th mcrotracton of coff volatls usng rsons surfac mthodology and rncal comonnt analyss, Chmomtrcs and Intllgnt Laboratory Systms, 0 (00) 45 5 SALES, G. T. (004). Tornamnto do aço ASTM 300M ndurcdo com frramntas d crâmca PCBN com gomtra Wr, Dssrtação d mstrado, Itajubá, Unvrsdad Fdral d Itajubá UNIFEI, 7. SALGADO JR. A. G.(00) Otmzação d Múltlos Duas Corrlaconados no Procsso d Tornamnto do Aço d Cort Fácl ABNT l4, M.Sc., Dssrtação d Mstrado, Unvrsdad Fdral d Itajubá, Insttuto d Engnhara d Produção, tajubá, MG. TONG, L.I., WANG, C.H., CHEN H. C., (005) Otmzaton of multl rsonss usng rncal comonnt analyss and tchnqu for ordr rfrnc by smlarty to dal soluton, Intrnaconal Journal of Advancd Manufacturng Tchnology 7: TZENG, Y-F. and CHEN, F-C., (006), Multobjctv rocss otmzaton for turnng of tool stls, Intrnatonal Journal of Machnng and Machnablty of Matrals () WANG, C.H. (006) Dynamc mult-rsons otmzaton usng rncal comonnt analyss and multl crtra valuaton of th gry rlaton modl, Intrnatonal Journal Adv Manufactory Tchnology, DOI 0.007/s : WANG, F.K. DU, T.C.T. (999), Usng rncal comonnt analyss n rocss rformanc for multvarat data, Intrnaconal Journal of Managmnt Scnc, Omga 8 (000) 85-94

102 9 WENTZELL, P. D t al. (997), Mamum lklhood rncal comonnt analyss. Journal of Chmomtrcs vol., WENTZELL, P. D., LOHNES, M.T, (998), Mamum lklhood rncal comonnt analyss wth corrlatd masurmnt rrors: thortcal and ractcal consdratons. Chmomtrcs and Intllgnt Laboratory Systm. WU, F. C. Otmzaton of corrlatd multl qualty charactrstcs usng dsrablty functon. Qualty Engnrng, v. 7, n.,. 9-6, 005. YACOUB, F., MacGREGOR, J. F. (004), Product Otmzaton and Control n th Latnt Varabl Sac of Nonlnar PLS Modls, Chmomtrcs and Intllgnt Laboratory Systms, v 70, YUAN, J.; WANG, K.; YU, T. and FANG, M. (008), Rlabl mult-objctv otmzaton of hgh-sd WEDM rocss basd on Gaussan rocss rgrsson, Intrnatonal Journal of Machn Tools & Manufactur 48 (008),

103 9 ANEXOS ANEXO A Artgo m ngls m submssão A multvarat surfac roughnss modlng and otmzaton undr uncrtanty condtons Luz Gustavo D. Los a, Andrson Paulo d Pava a, Luz Frnando Barca b, João Robrto Frrra a and Pdro Paulo Balstrass c a Industral Engnrng Insttut, Fdral Unvrsty of Itajuba, Itajuba, Brazl b Mchancal Engnrng Insttut, Fdral Unvrsty of Itajuba, Itajuba, Brazl c Industral Engnrng Insttut, Unvrsty of Tnnss, Knovll, TE, USA. Abstract: Ensur th qualty charactrstcs of a roduct s a hard task scally whn th rlatonsh among factors and th multl corrlatd rsonss ar unknown. As th transfr functon of corrlatd rsons varabls may b wrttn n trms of rncal comonnt scors, th varanc or uncrtanty contand n th orgnal rsonss rvnts that th tru bhavor of th rgrsson functon wll not b wll land. About ths concrn ths ar rsnts a modl buldng stratgy to stmat th total uncrtanty (or rmntal varanc) that affcts all rsons varabls, usng th nvrs of multvarat uncrtanty as wghtng matr for rncal comonnts scors usd to rlac th orgnal corrlatd datast. In addton, an tnson of ths aroach consdrs th factor analyss wth Varma rotaton and wghtng for factor scors as altrnatvs to th multvarat rgrsson. Th man objctv of ths roosal s to achv a satsfactory modl lanaton, makng rdctd R (R rd.) as hghr as ossbl. Snc th bst modl s chosn, an otmzaton routn basd on Multvarat Man Squar Error (MMSE) s ald to dtrmn th otmal soluton. To confrm th ffctvnss of th roosal a cas study of qualty charactrstcs of th surfac roughnss n th AISI 500 hard turnng obtand wth Wr gomtry tools s usd. Th adotd factors n a CCD array ar th Cuttng sd, fd rat and dth of cut, for a st of fv hghly corrlatd surfac roughnss mtrcs (R a, R y, R z, R q and R t ). Th rsults show that th MMSE aroach ald n th otmzaton of th 500 hard turnng roducs solutons vry closr to all targts wth otmum at Vc=9 m/mn, Fn=0,3 mm/rv and d=0, mm. Th rsults ndcat that dffrnt modlng mthods conduct aromatly to th sam rdctd rsonss at otmum, but th multvarat wghtd rsons surfacs (WPC b ) rsntd th hghst rdctablty.

104 93 Kywords: Wghtd Last Squar (WLS), Multvarat Man Squar Error (MMSE), Rsons Surfac Mthodology (RSM), Prncal Comonnt Analyss (PCA) and Factor Analyss (FA).. Introducton Th rsnc of corrlaton gratly nfluncs th modl buldng tasks causng ts nstablty and rovokng rrors n th rgrsson coffcnts. In othr words, th rgrsson quatons ar not adquat to rrsnt th objctv functons wthout consdrng th varanc-covaranc (or corrlaton) structur [-6]. Th latr asct of th multobjctv otmzaton s th nflunc of th corrlaton among th rsonss ovr th global soluton. As ontd out by many rsarchrs [4, 5-6], th ndvdual analyss of ach rsons may lad to a conflctng otmum, snc th factor lvls that mrov on rsons can, othrws, dgrad anothr. Wang [3] confrms that mdan or hgh corrlatons stng among multl rsonss sgnfcantly affct th roduct qualty and ths corrlatons must b consdrd whn rsolvng th otmzng roblm of multl rsonss. Smlarly, McFarland and Mahadvan [] affrmd that larg corrlaton suggst that th aramtrs can b charactrzd usng a rducd st of varabls and th standard mthod for fndng such a rducd st s rncal comonnt analyss (PCA). Tong t al. [4] usd th PCA to smlfy th otmzaton rocss and mult-rsons roblms and concludd that th rocdur s vald wth som modfcatons. Wntzl and Lohans [8] ald a rocdur basd on th mthod of mamum lklhood rncal comonnt analyss MLPCA to nclud masurmnt rror covaranc n multvarat dcomoston. Th mthod s smlar to convntonal PCA, but t consdrs th masurmnt uncrtanty n th rocss lacng lss mhass on masurmnts wth larg varanc. Bratchll [0] mloyd a scond-ordr rsons surfac basd on PCA to adquatly rrsnt th orgnal st of rsonss n a small numbr of latnt varabls. Th Bratchll s aroach do not rsnt altrnatvs for th cass whr th largst rncal comonnt s not abl to lan th most art of varanc as wll as do not ndcat how th scfcaton lmts and targts of ach rsons could b transformd to th lan of rncal comonnts. In st of ths gas, th us of PCA s to ovrcom th corrlaton nflunc s vry tnsv n th machnng ltratur, manly assocatd wth Taguch dsgns [-].

105 94 PCA has bcom an ndsnsabl tool for multvarat analyss n aras such as loratory data analyss, modlng, mtur analyss, and calbraton, but th major waknss of ths aroach, s that t maks mlct assumtons about masurmnt rrors whch ar oftn ncorrct. Ths corruts th qualty of nformaton rovdd and may lad to rronous rsults [9]. Th masurmnt uncrtanty s a roblm that affcts th rsults accuracy. Pérz [5] affrms that th masurmnt uncrtants can both affct th rsons varabls and th ndndnt varabls. Ignorng ths uncrtants maks nffcnt th rsults obtand through any dsgn of rmnts. In ths contt, ths study rooss a modl buldng aroach to stmat th total masurmnt uncrtanty that affcts all rsons varabls, usng th nvrs of multvarat uncrtanty as wghtng matr for rncal comonnts scors usd to rlac th st of corrlatd varabls n a st of uncorrlatd ons. Th man objctv of ths roosal s to achv a satsfactory varanc lanaton, makng th rdcton R as hghr as ossbl. Aftr th uncrtanty corrcton, a mult-objctv otmzaton mthod basd on th conct of Multvarat Man Squar Error (MMSE) was usd to mrov th multl corrlatd charactrstcs combnng PCA and RSM. To llustrat th roosal, Wr CNGA0408 S055WH nsrts wr usd n a AISI 500 hardnd stl turnng oraton.. Dvlomnt of th mthod Corrlatd varabls can always b rlacd by rncal comonnts scors wthout sgnfcatv loss of nformaton. Addtonally, th rotaton of as whch PC s rrsntng can also b usd to mrov th varanc-covaranc lanaton. Thn, to dvlo a WPCR (Wghtd Prncal Comonnt Rgrsson) mthod usng th uncrtanty of masurmnts or th rmntal varanc and valuat how th wghtng and rotaton can nflunc th dtrmnaton of th rgrsson coffcnts, ths aroach combns Prncal Comonnt Analyss (PCA), Factor Analyss (FA) and Wghtd Last Squar (WLS) n th modl buldng task. Th Prncal Comonnt Analyss (PCA) - s on of th most wdly ald tools usd to summarz common attrns of varaton among varabls. Ths statstcal tchnqu s also abl to rtan manngful nformaton n th arly PCA as. Suosd that

106 95, f f ar corrlatd wth valus wrttn n trms of a random f,..., T vctory Y Y,..., Y,. Assumng that Σ s th varanc-covaranc matr assocatd to ths vctor thn Σ can b factorzd n ars of gnvalus-gnvctors,,...,, whr... 0, such as th th uncorrlatd lnar combnaton may b statd as PC T Y Y Y... Y wth,,...,. Th th rncal comonnt can b obtand as mamzaton of ths lnar combnaton [3]. Ths statstcal tchnqu s calld Prncal Comonnt Analyss (PCA), on of th most wdly ald tools to summarz common attrns of varaton among varabls rtanng manngful nformaton n th arly PCA as. Th gomtrc ntrrtaton of ths as s shown n Fg.. Fg.. Gomtrc ntrrtaton of rncal comonnts. Gnrally, as th aramtrs Σ ρ ar unknown th saml corrlaton matr R j and th saml varanc-covaranc matr S j may b usd [3]. If th varabls studd ar takn n th sam systm of unts or f thy ar rvously standardzd, S j s a mor arorat choc. Othrws, R j must b mloyd n th factorzaton. Th saml varanc-covaranc matr can b wrttn as follows: S j s s s s s s s s, s wth s n n y y s y y y y j j j j n n j () Thn, th lmnts of saml corrlaton matr R j can b obtand as:

107 96 j s s s s y Var y Var y y Cov r jj j j j j y y j,,...,, ˆ ˆ,, () In ractcal trms, PC s an uncorrlatd lnar combnaton rssd n trms of a scor matr, dfnd as [3] n n n k s s s s s s s s s PC T T E Z (3) Factor analyss s a multvarat statstcal tchnqu vry usful and owrful tool for ffctvly tractng nformaton from larg databass and maks sns of larg collctons of ntrrlatd data [6]. Accordng Johnson and Wchrn [3] th obsrvabl random vctor, wth comonnts, has man µ and covaranc matr Σ. Th factor modl ostulats that s lnarly dndnt uon a fw un-obsrvabl random varabls F, F, F m, calld common factors, and addtonal sourcs of varaton ε, ε, ε, calld rrors or, somtms, scfc factors. In artcular, th factor analyss modl s, m m m m m m F F F F F F F F F Χ (4) or n matr notaton, ) ( ) ( ) ( ) ( m m F L (5)

108 97 Th coffcnt j s calld th loadng of th th varabl on th jth factor, so th matr L s th matr of factor loadngs. Not that th th scfc factor s assocatd only wth th th rsons X. Th dvatons X μ, X μ,,, X μ, ar rssd n trms of + m random varabls F,F, F m, ε, ε, ε whch ar unobsrvabl. Ths dstngushs th factor modl of quaton (5) from th multvarat rgrsson modl n quaton (6), n whch th ndndnt varabls whos oston s occud by F n quaton (5) can b obsrvd. Th multvarat lnar rgrsson modl s, Z ( n m ) ( n( r )) (( r ) m ) ( nm ) Wth (6) E(ε )=0 and Cov (ε (), ε (k) )= σ k I,k =,, m Th m obsrvatons on th jth tral hav covaranc matr Σ = {σ k }, but obsrvaton from dffrnt trals ar uncorrlatd. Hr β and σ k ar unknown aramtrs; th dsgn matr Z has j th row [Zj0, Z j,, Z jr ]. Wth so many unobsrvabl quantts, a drct vrfcaton of th factor modl from obsrvatons on X, X X s holss. Howvr, wth som addtonal assumtons about th random vctors F and ε, th modl n quaton (5) mls crtan covaranc rlatonshs, whch can b chckd. W assum that E ( F ) 0, Cov ( F ) E[ FF ' ] (7) ( m ) ( mm ) E ( ) 0 ( ), Cov ( ) E[ ' ] ( ) ψ ψ 0 0 P (8) and that F and ε ar ndndnt, so Cov (ε, F) = E (ε, F )= 0 ( m ) Ths assumtons and th rlaton n quaton (5) consttut th orthogonal factor modl, whr,

109 98 man of varabl th scfc factor F j jth common factor L j loadng of th th varabl on th jth factor Th unobsrvab l random vctors F and satsfy th followng condtons : F and ar ndndn t E(F) 0, Cov (F) I E( ) 0, Cov ( ), whr s a dagonal matr.. Multvarat Uncrtanty for PC scor rgrsson To dvlo an arorat quaton for th multvarat uncrtanty for corrlatd quantts th basc modl can b wrttn as u m n n y u u u r, c j j f n j f f j (9) Consdrng that n th PCA, th multl rsonss can b combnd n th form of rncal comonnt scors, such as PC k Z T E, whr Z can b stablshd as: Z P ( ) (0) Thn, alyng Eq. (9) to th cas of Prncal Comonnt Analyss (PCA), w hav: y f ( ) PC scor Z () whr f () Fnally, th combnaton of quatons (9) and () can b wrttn as: u m PC u u u u r, j j j j (3)

110 99 Whr s gnvctor of th corrlaton matr usd n th tracton of rncal comonnts; s th standard dvaton of th rsons data (column) I; s th standard j dvaton of th rsons data (column) j; u s th uncrtanty (or varanc) of ach obsrvaton rsons I; u s th uncrtanty of ach obsrvaton of th rsons j and j r, s th coffcnt of corrlaton btwn and j rsonss. j.. Multvarat Uncrtanty for PC scor obtand by Factor Analyss Th otmzaton by PCA can not always roduc satsfactory rsults. Bratchll [0] onts out that som dffcults can b rsolvd or avodd by usng othr tchnqus. Usng th rncal comonnt analyss to modl and otmz multvarat rsons was obsrvd that n som stuaton th rotaton of th rncal comonnts rovds an asy and accssbl mans of analyzng and otmzng a multvarat rsons whch smlfs ntrrtaton of th ovrall rsons and rtans th flblty assocatd wth lnar or non-lnar modlng. Factor analyss s on of tchnqus that can mrov th adjustmnts. It s a mathmatcal tool for amnng a wd rang of data sts, wth alcatons scally mortant to th dsgn of rmnts (DOE). Followng Bratchll s rcommndaton, th comonnt scors wr obtand by factor analyss, so that th wghtd matr wll b th nvrs of multvarat uncrtanty calculatd usng th quaton blow, u m FA u u u u r, rotatd k k j k k j j j (4) whr k and k ar th coffcnts of th factors obtand by Varma rotaton. Rotaton s ald to smlfy th data structur and accordng Johnson and Wchrn [3] varma rotaton s th most common choc..3. Wghtd Last Squars Whn th rrors ε ar uncorrlatd but hav unqual varancs so that th covaranc matr of ε s

111 00 0 w V w (5) 0 w n Say, th stmaton rocdur s usually calld wghtd last squars. Lt W=V -. Snc V s a dagonal matr, W s also dagonal wth dagonal lmnts or wghts w,w,,w n. Th wghtd last squars normal quatons ar β T T X WX X WY (6) whch s th wghtd last squars stmator. Th obsrvaton wth larg varancs wll hav smallr wghts than obsrvatons wth small varancs [7]. To us wghtd last squars n a ractcal sns, w must know th wghts w,w,,w n. Somtms ror knowldg or rnc or nformaton basd on undrlyng thortcal consdratons can b usd to dtrmn th wghts. In ordr stuatons w may fnd mrcally that th varablty n th rsons s a functon of on or mor rgrssors, and so a modl may b ft to rdct th varanc of ach obsrvaton and hnc dtrmn th wghts. In som cass w may hav to stmat th wghts, rform th analyss, r-stmat a nw st of wghts basd on ths rsults, and thn rform th analyss agan [7]. Cho and Park [7] rcommnd th us of Wghtd Last Squars mthod to balanc th data wth wghts that ar nvrsly roortonal to th varanc at ach lvl of th lanatory varabls whn th varanc s not constant. Through ths mthod, Pérz [5] wghtd th rgrssors of surfac roughnss for R a and R q usng th nvrs of th masurmnt uncrtanty as wghtng matr, whch s dtrmnd n th followng quaton, W y (7) u y whr W y s a dagonal array wth ts man dagonal lmnts and of th rocss for ach of th rsons valus. u s th total uncrtanty

112 0 Alyng th mathmatcal mthod dvlod n quaton (3 and 4) s ossbl to stablsh th W matr to aly th WLS (wghtd last squar) mthod on rncal comonnt scors, such as: W PC (8) PC u M whr W matr s adotd as varanc nvrs of PC or PC rotatd and U m s th total uncrtanty of th rocss. To lan th mthod alcaton Fg. shows th fundamntal sts n th roosd aroach usng PCA. Fg.. Flow of sarchng for WLS modls.

113 0 3. Otmzaton Ths scton dscusss th alcaton of Multvarat otmzaton basd n MMSE. Undr varous crcumstancs th multl rsonss consdrd n a rocss rsnt conflct of objctvs, wth ndvdually otmzaton ladng to dffrnt soluton sts. Ths fact charactrzs a multobjctv otmzaton roblm, and also consdrng nqualty constrants, can b statd as Eq. (9): Mnmz Subjct to : f g f,..., f j, 0, j,,..., m (9) Suosd that f, f,..., f ar corrlatd wth valus wrttn n trms of a T random vctor Y Y Y,..., Y,. Assumng that Σ s th varanc-covaranc matr assocatd to ths vctor thn Σ can b factorzd n ars of gnvalusgnvctors,,...,, whr... 0, such as th th uncorrlatd lnar combnaton may b statd as PC T Y Y Y... Y wth,,...,. Multvarat Man Squar Error (MMSE) s a multvarat dual rsons surfac crtra dvlod rlacng th stmatd man ŷ by an stmatd rncal comonnt scor rgrsson PC and th varanc ˆ by th rsctv gnvalu [8]. Takng PC as th targt for th -th rncal comonnt, a multvarat man squar rror formulaton can b dfnd as: MMSE PC PC (0) In Eq. (0) PC s th fttd scond-ordr olynomal, s th targt valu of th - PC th rncal comonnt that must k a straghtforward rlaton wth th targts of th orgnal data st. Ths rlatonsh may b stablsh usng Eq. () such as: PC T q Z Y Z Y Y j j Y,,..., ; j,,..., q () In th Eq. () ar th gnvctors assocatd to th -th rncal comonnt and Y rrsnts th targt for ach of th orgnal rsonss. Wth ths transformaton, t can

114 03 b stablshd a cohrnt valu for th targt of th -th rncal comonnt, that s comatbl wth th targts of th orgnal roblm. If mor than on rncal comonnt s ndd, thn th MMSE functons whos gnvalus ar qual or gratr than th unty, may b wrttn n followng form: Mnmz MMSE T,,..., k ; k k k MMSE PC PC k k () Subjct T to : (3) 0 g ˆ (4) Wth Z Y Z Y Z Y : (5) PC Y Y Y PC b 0 T T f f,,...,. (6) valu Y Whr Z rrsnts th standardzd valu of th -th rsons consdrng ts targt, such that Z. Y Y Y trm; s th vctor of aramtrs, b s th rgrsson constant trm, 0 Y Y. k s th numbr of factors and ε s th rror f T s th gradnt of th objctv functon corrsondng to th frst-ordr rgrsson coffcnts and f T s th Hssan matr, formd by th quadratc and ntracton trms of th stmatd modl of Y. 4. Ermntal rocdur To accomlsh wth th goals of ths ar, dry turnng tsts wr conductd on a CNC lath wth mamum rotatonal sd of 4000 rm and owr of 5,5 kw. Th work cs usd n th turnng rocss wr mad wth dmnsons of Ø 49mm 50 mm. All of thm wr qunchd and tmrd. Aftr ths hat tratmnt, thr hardnss was btwn 49 and 5 HRC, u to a dth of 3mm blow th surfac. Th work c matral was AISI 500 stl, wth th followng chmcal comoston:.03% C; 0.3% S; 0.35% Mn;.40% Cr; 0.04%

115 04 Mo; 0.% N; 0.00% S; 0.0%. Th Wr md cramc (AlO3 + TC) nsrts (CNGA 0408 S055WH) coatd wth a vry thn layr of ttanum ntrd (TN) w usd n th rmnt. Th WIPER nsrts rrsnt a nw tchnology on turnng oratons, manly by thr nw tyo of nos confguraton. Dndng on th machnng aramtrs, ths nsrt s caabl of gnratng a bttr surfac fnsh at a much hghr fd. Thrfor, th us of Wr nsrts ncrass th roductvty, kng th surfac roughnss as lowr as ossbl. Ths artcular charactrstc can b usd to lmnat grndng oratons, whch rrsnts a grat advantag to th manufacturrs. Fg. 3 rrsnts th turnng rocss of AISI 500 hardnd stl wth Wr nsrts usd n ths rmntal study. Fg. 3 Hard Turnng rocss wth Wr gomtry tool. Adotng ths rmntal condton, th work cs wr machnd usng th rang of aramtrs dfnd n Tabl. Tabl. Lvls of th varabls for th rmnt. Paramtrs Lvls Codd Unts Cuttng sd (m/mn) Fd rat (mm/rv) Dth of cut (mm) A squntal st of rmntal runs was stablshd usng a CCD bult accordng to th dsgn shown n Tabl. Th followng surfac roughnss aramtrs wr assssd rmntal dsgn rsonss usng a Mtutoyo ortabl roughnss mtr modl Surftst 0 st to a cut-off lngth of 0.5 mm: arthmtc avrag surfac roughnss (R a ), mamum