2 Revisão bibliográfica

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1 Revisão bibliográica 44 Revisão bibliográica Esa revisão bibliográica apresenará inicialmene os conceios de ensão in siu, modos de alha e ensões ao redor do poço de orma a ilusrar o processo de iniciação e direção de propagação de uma raura. Em seguida serão apresenados alguns conceios do raurameno hidráulico, sendo eles: a pressão de echameno e a pressão líquida, ambém conhecida por ne pressure; os princípios undamenais do raurameno que compreendem o luxo de luido na raura e o conceio de ilração; o balanço de massa e a deormação elásica da rocha. Poseriormene serão apresenados modelos e méodos desenvolvidos para o conhecimeno da evolução da raura no empo. O declínio de pressão ambém será abordado já que é uma orma de análise de pressão que permie a esimaiva de inormações imporanes para o projeo de um raurameno hidráulico. Ao inal do capíulo a écnica do raurameno em ormações de ala permeabilidade será apresenada, pois consiui o cenário de aplicação do modelo proposo por ese rabalho..1. Tensões in siu, modos de alha e ensões ao redor do poço Considerando um elemeno de rocha em subsuperície que se enconra em equilíbrio, o esado de ensão in siu auando sobre ele será compressivo, ormado por rês ensões principais, uma verical e duas horizonais, conorme apresenado pela igura.1.

2 Revisão bibliográica 45 Figura.1 Tensões in siu em um elemeno de rocha [4]. A ensão verical in siu, σ v, é resulado do soerrameno sendo igual ao peso das camadas de rocha sobrejacenes. Em resposa a esse carregameno, o elemeno de rocha ende a se deormar laeralmene, sendo, conudo, limiado pelos elemenos vizinhos, resulando assim no aparecimeno das ensões in siu horizonais, σ H e σ h, as quais podem ou não ser iguais. Nesa siuação, onde as ensões horizonais são geradas apenas a parir do peso das camadas sobrejacenes, a ensão verical in siu é a maior ensão. No enano, o regime de ensão in siu pode ser unção ambém das orças ecônicas que auam sobre a crosa erresre, alerando a magniude das ensões e ocasionando modos de alha. Considerando σ 1 a maior ensão principal, σ a ensão principal inermediária e σ 3 a menor ensão principal, a igura. mosra os rês principais ipos de alhas e a relação desas alhas com as ensões in siu. A alha normal esá represenada na igura. (a) e sua ocorrência se dá quando σ V > σ H > σ h ; Já a igura. (b) apresena a alha ranscorrene, onde σ H > σ V > σ h ; A alha de empurrão ou reversa esá represenada na igura. (c), ocorrendo quando σ H > σ h > σ V.

3 Revisão bibliográica 46 σ 1 σ σ 3 σ σ 1 σ 1 σ 3 σ 3 σ Figura. Três principais modos de alha e sua relação com as ensões in siu. Conorme mencionado, embora em equilíbrio, as ormações exisenes em subsuperície esão sempre submeidas às ensões in siu. Desa orma, no momeno em que um poço é perurado, sendo a rocha removida, ocorre uma aleração no esado de ensão exisene no subsolo, mas especiicamene na parede do poço e em sua vizinhança. De orma a enar recompor esse esado de ensão inicial, a rocha removida é subsiuída por luido. No enano, a pressão do luido não é capaz de recompor o esado de ensão original, gerando uma concenração de ensões angenciais ao redor do poço. Esa aleração no esado de ensão se esende desde a parede do poço aé alguns diâmeros de disância, quando a ensão ende a reornar ao seu esado inicial. No caso de um poço verical localizado em uma área em que as ensões horizonais in siu são iguais, o campo de ensões ao redor do poço, ormado pelas ensões angenciais, será uniorme, conorme mosrado na igura.3 (a). Caso as ensões horizonais in siu sejam dierenes, o campo em vola do poço será nãouniorme e a ensão angencial maior auará na parede do poço paralelamene à maior ensão horizonal in siu, iso é, nos ponos a 90 e 70 em relação a esa ensão, conorme mosrado na igura.3 (b).

4 Revisão bibliográica 47 Figura.3 Campo de ensão uniorme (a) e campo de ensão não-uniorme (b) ao redor do poço [4]... Iniciação e propagação da raura O raurameno hidráulico consise no bombeio de luido por denro do poço em uma vazão superior a vazão de ilração do luido pela ormação, ocasionando um aumeno de pressão no poço, que esá represenado pelas seas azuis na igura.4. Esse aumeno de pressão leva a uma aleração das ensões angenciais, que nese caso sorem uma redução, podendo passar do esado inicialmene compressivo para um esado de ração. A alha da rocha ocorrerá no pono ao redor do poço em que a ensão angencial de ração aingir a resisência a ração da rocha, dependendo assim do esado de ensões in siu auando no poço. Considerando um poço verical e assumindo um alhameno normal, em que a maior ensão principal in siu é a ensão verical, represenada pelo peso das camadas de rocha sobrejacenes, e as ouras duas ensões principais in siu são horizonais, represenadas pelas ensões horizonais máxima, σ H, e mínima, σ h, esse pono será aquele onde a ensão angencial ao redor do poço é paralela a menor ensão horizonal in siu, conorme mosrado na igura.4, represenado pela lera A.

5 Revisão bibliográica 48 σ H σ h σ h σ H Figura.4 Visa superior de um poço verical mosrando o pono de iniciação da raura [4]. Dando coninuidade ao bombeio de luido, a raura criará aberura e se propagará perpendicularmene à menor ensão horizonal in siu, já que é a direção de menor resisência, originando uma raura verical, como mosrado na igura.5, que apresena uma ormação com regime de alha normal. A raura será horizonal somene quando o regime de alha or reverso, no qual a ensão verical é a menor das ensões. Alguns exemplos onde esse cenário pode ser enconrado são: proundidades rasas, áreas econicamene aivas e regiões com a presença de domos salinos. σ V σ H σ h Figura.5 Fraurameno hidráulico de um poço verical [5].

6 Revisão bibliográica Pressão de echameno e pressão líquida (ne pressure) Considerando que a raura se propaga perpendicularmene à menor ensão, já que esa é a direção de menor resisência, percebe-se que a aberura da raura somene será criada se a pressão denro da raura, P, or superior à ensão in siu mínima, que nese caso é dada por σ h. A pressão sob a qual a raura eeivamene echa, iso é, não possui aberura, é denominada pressão de echameno, P c, e assumindo uma condição ideal onde a rocha é homogênea, a pressão de echameno é deinida como igual à ensão mínima. No raurameno hidráulico esas pressões são relacionadas pela pressão líquida ou ne pressure, eq. (.1): P NET P P (.1) c A magniude da ne pressure é uma das principais preocupações durane uma operação de raurameno hidráulico pois, além de ser direamene responsável pelo conrole da aberura da raura, é a sua relação com a dierença de ensão enre o reservaório e as barreiras adjacenes, deinida por σ, que conrolará o crescimeno da raura em alura. Conorme mosrado na igura.6, caso a P NET seja maior que σ, a raura penerará nas barreiras adjacenes, crescendo em alura. O conrole da alura da raura é de grande imporância para que o projeo de raurameno inicialmene programado seja aingido, caso conrário, problemas como o crescimeno da raura aravés das barreiras adjacenes, em derimeno ao comprimeno programado, ou a peneração da raura além do conao óleo-água, gerando problemas de cone de água, poderão ocorrer. P NET P σ h ARN σ h FLH σ σ h FLH σ h ARN σ h ARN σ H Figura.6 Relação da ne pressure com o conrole do crescimeno da alura da raura.

7 Revisão bibliográica Princípios undamenais do raurameno hidráulico Três relações básicas governam o processo do raurameno hidráulico, sendo elas: o luxo de luidos na raura, o balanço de massa e a deormação elásica da rocha Fluxo de luido na raura Durane a esimulação por raurameno hidráulico, um luido viscoso não- Newoniano é injeado pelo poço a alas vazões e alas pressões para criar e esender uma raura na ormação. O escoameno do luido de raurameno se dá, geralmene, em regime urbuleno desde os equipamenos de superície aé os canhoneios, passando a laminar denro da raura. Para que um luido de raurameno seja eiciene, ele deve apresenar algumas propriedades ísicas e químicas: Ser compaível com o maerial e o luido da ormação. Ter boa capacidade de ranspore. Ter baixa perda de luido para a ormação. Deve ser acilmene removido da ormação após o raameno. Deve proporcionar baixa perda de carga durane as operações de bombeio. Sua preparação deve ser simples e de ácil realização no campo. Deve ser esável em alas emperauras de orma a maner sua viscosidade em ambienes agressivos. Aualmene no mercado esão disponíveis diversos ipos de luidos de raurameno hidráulico: base óleo, base álcool, emulsões, espumas e os luidos base água. Os parâmeros que conrolam o luxo do luido denro da raura são sua reologia e a ilração. A reologia vai aear principalmene o ranspore do agene de susenação, a perda de carga e a geomeria da raura. A ilração, ou seja, a perda de luido para ormação adjacene à raura, é ambém responsável por conrolar o amanho da raura gerada.

8 Revisão bibliográica Reologia do luido de raurameno A propriedade reológica mais imporane dos luidos é sua resisência ao luxo, caracerizada pela viscosidade. É conveniene considerar o luxo como o deslizameno de camadas paralelas, uma em relação à oura. A ensão cisalhane é aquela gerada enre as camadas, endo dimensão de orça por unidade de área. Já a axa de cisalhameno γ&, medida em 1/s, pode ser deinida como a axa de variação da velocidade com a disância enre as camadas deslizanes. Para luidos Newonianos, a ensão cisalhane varia linearmene com a axa de cisalhameno, sendo a viscosidade o coeiciene de proporcionalidade. Desa orma, quano maior a viscosidade, maior será a resisência do luido ao luxo. A unção maerial que relaciona a ensão cisalhane com a axa de cisalhameno é a curva reológica, necessária para o cálculo do gradiene de pressão numa siuação de luxo. Os luidos podem ser classiicados de acordo com o ormao de suas curvas reológicas, onde o ormao da curva do luido Newoniano é uma linha rea passando pela origem. O comporameno reológico do luido de raurameno é predominanemene não-newoniano. Iso signiica que a viscosidade aparene do luido, deinida pela razão enre a ensão cisalhane e a axa de cisalhameno, é dependene do cisalhameno que o luido experimena a cada pono, ou seja, a viscosidade aparene varia com a axa de cisalhameno. Esse comporameno não-newoniano exerce um imporane papel na ricção desenvolvida denro do ubo e ao longo da raura e ambém na capacidade do luido em ransporar o agene de susenação. No caso dos luidos de raurameno, eles apresenam em sua maioria uma redução na viscosidade com o aumeno da axa de cisalhameno. O modelo que capura ese comporameno do luxo, sendo o mais uilizado para represenar a reologia do luido de raurameno, é o modelo de Poência, eq. (.): τ & n Kγ (.) onde K é o índice de consisência, expresso em lb.s n /, e n é o índice de comporameno do luxo, sendo ese adimensional. Desa orma, sabendo-se que a axa de cisalhameno varia ao longo da aberura da raura, sendo esa ala na parede da raura e nula no cenro, a viscosidade do luido de raurameno ambém irá variar, sendo muio menor na parede da raura do que no cenro do luxo. As variações na axa de cisalhameno e na viscosidade são imporanes na previsão da aberura da raura e no ranspore do agene de susenação.

9 Revisão bibliográica 5 Os parâmeros do modelo reológico variam com a composição química do luido, emperaura e com ouros aores, incluindo a axa de cisalhameno. Durane a operação de raurameno hidráulico o luido passa por grandes variações em ermos de cisalhameno, desde o bombeio aravés da ubulação e pelos canhoneados, onde experimena uma ala axa de cisalhameno, aé sua deposição inal na raura, quando a axa de cisalhameno é signiicaivamene menor. Em conraparida, ocorre um aumeno na emperaura do luido aé esa aingir a emperaura da ormação. O modelo reológico é uilizado para prever o gradiene de pressão associado a uma velocidade média de luxo em uma dada geomeria. Para ese cálculo é conveniene usar a viscosidade Newoniana equivalene, µ e, que é a viscosidade uilizada na equação do luido Newoniano que permie a obenção do mesmo gradiene de pressão sob as mesmas condições de luxo. Enquano a viscosidade aparene é uma propriedade do luido, a viscosidade equivalene depende ambém da geomeria de luxo. No raurameno hidráulico o luxo laminar em duas geomerias é de paricular ineresse, pois ambos correspondem a dierenes geomerias de raura. Um deles é o luxo em placas paralelas que ocorre em um canal de seção reangular cuja razão enre a alura das placas e a disância enre placas é exremamene grande, ou seja, a alura pode ser considerada ininia. O ouro é o luxo elipsoidal que ocorre em um canal de seção elípica com razão de aspeco ininio. Para o canal de seção reangular, a equação Newoniana para a deinição do gradiene de pressão e a viscosidade equivalene para o modelo de Poência são dadas pelas eq. (.3) e (.4). p 1µ u L w avg n 1 n 1+ n 1 n n 1 Kw uavg (.3) µ e (.4) 3 n Já para um canal de seção elípica, a equação Newoniana para a deinição do gradiene de pressão e a viscosidade equivalene para o modelo de Poência, deerminada por analogia com o luxo em placas paralelas [6], são dadas pelas eq. (.5) e (.6). p 16µ u L w avg 0 n ( π 1) n 1 n n 1 n 1 1+ K w0 uavg (.5) µ e π n (.6)

10 Revisão bibliográica 53 Cabe ressalar que a viscosidade equivalene é unção da velocidade média na raura, u avg, e da geomeria do canal de luxo, sendo esa unção da aberura da raura, w, para o canal de seção reangular e da aberura máxima, w 0, para o canal de seção elípica Filração Um dos ponos mais imporanes no desenho de um raurameno hidráulico é o conhecimeno da velocidade de ilração do luido, que ocorre de denro da raura para a ormação. Um dos objeivos do polímero conido no luido de raurameno é conrolar essa perda de luido para a ormação. Ele aua criando coninuamene um reboco na ace da raura, que maném uma resisência ao luxo aravés dela. Além do reboco, ouros dois processos inererem na ilração, que são: a invasão da ormação pelo ilrado do luido de raurameno e o deslocameno e a compressibilidade do luido do reservaório. Carer [7] combinou eses rês processos considerando-os uma propriedade do maerial e deiniu a velocidade de ilração, eq. (.7): C v L L (.7) Nesa equação C L é o coeiciene de ilração, represenando o eeio combinado dos rês processos ciados aneriormene. A equação de Carer assume que o luxo de luido para a ormação é linear e que o ilrado do luido de raurameno é um luido Newoniano, que é o caso de luidos que geram reboco. Inegrando a eq. (.7) no empo, pode-se ober o volume ilrado, eq. (.8): VL CL + SP (.8) A Esa equação mosra que V L é o volume ilrado aravés da área A, desde sua criação aé o empo. O parâmero S P é uma consane de inegração, chamado de spur loss, que represena o volume de luido perdido anes da ormação do reboco na ace da raura e somene é aplicado para o período de propagação da raura. A pare do coeiciene de ilração relaiva ao processo de ilração aravés do reboco e o spur loss são parâmeros medidos em laboraório.

11 Revisão bibliográica Balanço de massa O princípio do balanço de massa esabelece que o volume de luido bombeado para a ormação é igual à soma do volume da raura criada com o volume de luido ilrado aravés das aces da raura, conorme a eq. (.9): V V + V (.9) i L Na práica, o volume oal da raura se reere ao volume de duas asas de raura. Nese rabalho, por conveniência, as variáveis se reerirão a apenas uma das duas asas da raura. Desa orma, V i é o volume injeado em uma asa da raura, V é o volume de uma asa da raura e V L é o volume de luido ilrado para a ormação pelas duas aces de uma asa da raura. A parir do balanço de massa apresenado, pode-se deinir o parâmero eiciência, que é a ração que represena a pare do luido que permanece na raura, sendo a relação enre o volume de raura criado, V, e o volume oal injeado, V i, conorme a eq. (.10). Cabe ressalar que a eiciência do raameno é deinida a parir do volume da raura no inal do bombeio, V p. V V η (.10) i A ilração de luido pelas aces da raura ocorre durane odo o raameno, iso é, ano durane o bombeio de luido, sendo V Lp o volume de luido ilrado durane o bombeio, como durane o período de declínio de pressão, sendo V Ls ( ) o volume de luido ilrado nese período, que se inicia ao érmino do bombeio e conempla o processo de echameno da raura, iso é, redução da aberura criada. Nese caso, o volume de luido ilrado para a ormação pode ser expresso pela eq. (.11): V L V + V ( ) (.11) Lp Ls No momeno do echameno da raura, quando c, o volume da raura é igual ao volume do agene de susenação que oi injeado durane o bombeio, V prop. Desa orma, pode-se esabelecer que no echameno, o balanço de massa é expresso pela eq. (.1): V V + V + V (.1) i prop Lp Ls( c) Esa equação mosra que no inal do raameno, o volume da raura será igual ao volume do agene de susenação e o resane de luido bombeado será ilrado pela ormação durane odo o processo, iso é, no período do bombeio, V Lp, e durane o declínio de pressão, V Ls. Caso o agene de susenação não seja

12 Revisão bibliográica 55 bombeado, como ocorre nos eses de calibração, odo o luido injeado é ilrado para a ormação, echando a raura compleamene. Considerando que a área da raura, A, seja a área de uma ace de uma asa da raura e que a raura enha uma aberura variável, a aberura média da raura, w, é deinida como a razão enre o volume, V, e a área da raura, A, conorme a eq. (.13): V w (.13) A Deinindo como q a vazão injeada em uma asa da raura e assumindo que esa vazão é consane ao longo do empo de injeção, o volume injeado é deinido pela eq. (.14): V i q (.14) Uilizando a eq. (.13) e a eq. (.14), o balanço de massa dado pela eq. (.9) pode ser expresso pela eq. (.15), sendo ambém apresenado na igura.7: q Aw + (.15) V L Figura.7 Balanço de massa esquemaizado [] Incorporação do conceio de ilração no balanço de massa Considerando que durane a operação de raurameno hidráulico ponos da ace da raura próximos ao poço são aberos no início do bombeio, enquano ponos próximos a exremidade da raura são considerados ponos mais novos, para a incorporação no balanço de massa das equações de velocidade de ilração, eq. (.7), e de volume de ilrado, eq. (.8), é necessário rasrear o

13 Revisão bibliográica 56 empo em que cada elemeno da ace da raura oi abero. Fazendo-se esa consideração, o balanço de massa no im do bombeio pode ser escrio da seguine orma, eq. (.16): V V + k( A C ) + A S (.16) i p p L P p P Onde V p é o volume da raura no im do bombeio, A p é a área da raura no im do bombeio e p é o empo de bombeio. O parâmero k é o aor de disribuição do empo de aberura dos elemenos da ace da raura, represenando a hisória de evolução da raura. Se oda a superície da raura abrisse no início da injeção, o parâmero k aingiria seu máximo absoluo igual a dois. Carer [7] deiniu τ como o empo de aberura, sendo que cada elemeno da ace da raura possui sem próprio τ. Com esa consideração a vazão de ilração pelas duas aces da raura é deinida pela eq. (.17): V L CL A τ (.17) Carer [7] ormulou um balanço de massa em ermos de vazão, considerando que a vazão de injeção deve ser igual à soma da vazão de ilração com a axa de crescimeno do volume da raura. Para a deinição da vazão de ilração, Carer [7] assumiu que o crescimeno da raura ao longo do empo é conhecido, ornando possível deinir a vazão de ilração como a soma das dierenes vazões aravés dos dierenes elemenos das duas aces da raura. Já a axa de crescimeno do volume da raura será unção da variação da área com o empo e da aberura com o empo, não esquecendo que cada nova área criada raz uma perda adicional por spur loss. O balanço de massa, que considera a vazão de injeção consane, pode ser enão deinido pela eq. (.18): CL da da da q dτ + SP + w + τ d d d 0 dw A d (.18) A solução analíica para o balanço de massa de Carer [7] é obida considerando que a variação da aberura com o empo e muio menor que a variação da área com o empo e, desa orma, assumi-se que a raura já possui sua aberura inal desde o início, eq. (.19): ( w + SP ) q β A( ) exp( β ) erc ( β ) + 1 4C π (.19) π L Sendo β deinido pela eq. (.0):

14 Revisão bibliográica 57 C π w + S L β (.0) P.4.3. Deormação elásica da rocha As relações básicas de luxo e de balanço de massa são acopladas uilizando a relação enre a aberura da raura e a ne pressure, que é esabelecida pela elasicidade linear. A deormação elásica implica mudanças reversíveis, ou seja, quando a orça é removida, as parículas volam às suas posições iniciais, não se veriicando qualquer deormação permanene no maerial. Nese caso diz-se que exisiu um comporameno elásico. Por ouro lado, a iniciação e propagação de uma raura mosram que o maerial rompeu, ocorrendo desa orma uma aleração irreversível. Para a modelagem do raurameno hidráulico se considera que a rupura do maerial esá ocorrendo na pona da raura enquano que no resane da raura esará ocorrendo uma deormação elásica. Desa orma, a elasicidade linear é uma erramena úil no esudo do raurameno hidráulico, pois ano a ensão quano a deormação, exceo a deormação mais complexa que ocorre na região da pona da raura, podem ainda ser adequadamene descrias por esa eoria. Iso se jusiica, já que a criação de uma raura produz pequenas ensões adicionais em relação ao esado de ensão in siu exisene. Com base na elasicidade linear, o conceio do esado plano de deormação é uilizado no raurameno hidráulico para descrever a raura de orma simpliicada. O esado plano de deormação assume que o corpo é ininio em pelo menos uma direção, como por exemplo, na direção z. Na exisência de orças exernas, esas serão aplicadas no plano x-y, repeindo-se ininiamene em cada seção. Desa orma, o esado de deormação é independene da coordenada z, reduzindo-se o problema em uma dimensão. Assumindo o esado plano de deormação, Sneddon [8] desenvolveu uma solução maemáica que descreve a deormação ocorrida em uma issura linear pressurizada. Esa deormação é a aberura da enda e apresena ormao elípico conorme mosrado na igura.8 e pela eq. (.1).

15 Revisão bibliográica 58 y c x w P 0 Figura.8 Esquema da deormação ocorrida em uma enda linear pressurizada. 4P w( x) x E' 0 c (.1) Nesa equação, x é a disância a parir do cenro da enda, c é a disância do cenro da enda aé a pona e P 0 é a pressão consane no inerior da enda. O módulo plano de deormação E é unção do módulo de elasicidade e do coeiciene de Poisson, como mosrado pela eq. (.). E E ' (.) ( 1 ν ) De acordo com a eq. (.1), a aberura máxima ocorre no cenro da enda com x 0, sendo deinida pela eq. (.3). 4cP w 0 0 (.3) E' Esa solução mosra que a aberura depende linearmene da pressão. Aplicando ese conceio ao raurameno hidráulico, a pressão P 0 é subsiuída pela ne pressure e aberura w 0, que represena a aberura máxima no cenro da elipse, pode ser subsiuída pela aberura média da raura uilizando-se um aor de orma, que será apresenado mais adiane. A relação enre a ne pressure e a aberura média é expressa por um aor de proporcionalidade que é deinido como a complacência da raura e esabelece que a ne pressure comprime a ormação, resulando na aberura média da raura, conorme mosrado na eq. (.4): w c P NET (.4) A complacência da raura, c, é unção da dimensão caracerísica e de propriedades elásicas. No raurameno a dimensão caracerísica pode ser subsiuída pela meade da alura da raura, h /, ou pelo seu comprimeno, x. Iso dependerá do plano em que o esado plano de deormação é aplicado. Os modelos D desenvolvidos para descrever a propagação da raura uilizam os planos horizonal e verical para a aplicação desa eoria. Eles serão abordados mais adiane nese capíulo.

16 Revisão bibliográica 59 Green e Zerna [9] desenvolveram o mesmo raameno maemáico para uma enda circular pressurizada. Nese caso, a aberura máxima é deinida pela eq. (.5). 8RP0 w0 (.5) πe'.5. Modelos D de propagação de raura Os modelos de engenharia para a propagação de uma raura hidráulica combinam elasicidade, luxo de luidos, balanço de massa e em alguns casos um criério de propagação. Dado o hisórico de injeção do luido, um modelo deve prever a evolução com o empo das dimensões da raura e da pressão no poço. O comprimeno da raura é uma variável muio imporane para as esimaivas de produção. Da mesma orma é a aberura, que permie o posicionameno do agene de susenação, ornecendo conduividade à raura. Modelos que esimam esas duas dimensões enquano a erceira, a alura da raura, é ixa, são chamados modelos D. Oura simpliicação uilizada nos modelos D inicialmene é que eles relacionam o comprimeno e a aberura da raura sem considerar dealhes da ilração. Ese é o conceio das chamadas equações de aberura Equação de aberura de Perkins and Kern Modelo PKN O modelo PKN esabelece que a condição de esado plano de deormação ocorre no plano verical, normal a direção de propagação da raura, a qual é considerada a dimensão ininia. Desa orma, a hipóese assumida implica que o comprimeno da raura é muio maior que a alura da raura, e que a aberura é ainda menor que esas duas dimensões. Cabe ressalar que o modelo permie que os esados de ensão e de deormação não sejam exaamene iguais em odos os planos vericais, divergindo um pouco da condição de esado plano de deormação. Oura hipóese assumida pelo modelo é que a ne pressure é consane ao longo do plano verical, sendo unção apenas da coordenada laeral x. De acordo com a eq. (.1), esa hipóese deine o ormao elípico da raura no plano verical e permie a aplicação da eq. (.3) uilizando como dimensão caracerísica a meade da alura da raura, conorme mosrado pela eq. (.6):

17 Revisão bibliográica 60 h PNET w0 (.6) E' A aberura w 0 variará com a coordenada laeral x, já que é unção da ne pressure, conorme mosrado na igura.9. Para deinir esa variação, Perkins and Kern [10] uilizaram a eq. (.5), que deine o gradiene de pressão num canal de seção elípica, e para deerminar a velocidade média na seção elípica, assumiram que o luxo na raura é igual a vazão de injeção. Desa orma, sabendo-se que a área da elipse pode ser deinida pela eq. (.7): A elipse h w π 0 (.7) O gradiene de pressão na raura pode ser expresso pela eq. (.8): dp dx NET 64µ q (.8) 3 π w h 0 Subsiuindo a eq. (.6) na eq. (.8), e inegrando esa equação com a condição de ne pressure nula na pona da raura, é obido o peril da aberura da raura ao longo da coordenada laeral x conorme mosrado pela eq. (.9). 1/ 4 0( ) x w x w,0 1 w (.9) x Onde a aberura máxima da elipse no poço, w w,0, é deinida pela eq. (.30): w w,0 3 µ q x,57 ' E 1/ 4 (.30) Esa é a equação de aberura de Perkins e Kern [10], que relaciona o comprimeno da raura à aberura máxima da raura no poço sem considerar a ilração, iso é, assume a hipóese de que a ace da raura é impermeável. Para a deinição da aberura média da raura, basa muliplicar a aberura máxima no poço por um aor de orma conorme deinido pela eq. (.31): w γ (.31) w w,0 No modelo de Perkins e Kern ese aor deve considerar o ormao elípico da raura na direção verical, sendo ele a consane π/4, e deve considerar ambém a variação laeral da raura, sendo esa expressa pelo aor 4/5. Desa orma, a aberura média é deinida pela eq. (.3): µ q x w,4 E' 1/ 4 (.3) Acoplando a equação da aberura média a um balanço de massa simples, válido para o caso sem ilração e com vazão de injeção consane, eq. (.33), é

18 Revisão bibliográica 61 possível deinir o comprimeno da raura em unção do empo, eq. (.34), a aberura da raura em unção do empo, eq. (.35), e a ne pressure em unção do empo, eq. (.36), para o modelo de Perkins e Kern. Cabe ressalar que, no modelo de Perkins e Kern, a ne pressure aumena com o empo. q w x h (.33) x 1/ 5 3 q E' 0,54 4 h µ 4 / 5 (.34) w w,0 1/ 5 q 3,04 E' h µ 1/ 5 (.35) P NET 1/ 5 4 E' q 1,5 6 h µ 1/ 5 (.36) Na indúsria do peróleo oura versão da eq. (.30) é mais uilizada, eq. (.37), pois apresena uma consane melhorada. Essa pequena modiicação oi deinida uilizando-se o limie de um resulado enconrado por Nordgren [11], sendo desa orma conhecida como a equação de aberura de Perkins-Kern- Nordgren (PKN): w w,0 µ q x 3,7 E' 1/ 4 (.37) Uilizando o aor de orma é possível deinir a aberura média para a equação de Perkins-Kern-Nordgren, eq. (.38): µ q x w,05 E' 1/ 4 (.38) Com a inclusão da equação da coninuidade, Nordgren [11] adicionou a ilração ao modelo de Perkins e Kern. Como a solução obida para o modelo PKN é numérica, somene é possível expressar analiicamene algumas aproximações da geomeria da raura uilizando os casos limies de ala e baixa eiciência. O empo adimensional, D, deinido por Nordgren com a eq. (.39), é o parâmero uilizado para avaliar a eiciência. D 5 64CLE' h 3 3 π µ q / 3 (.39)

19 Revisão bibliográica 6 O parâmero C L é o coeiciene de ilração, inroduzido por Carer [7]. Para valores de D < 0,01, o caso é de ala eiciência, e o comprimeno e aberura da raura podem ser aproximados pelas eq. (.40) e (.41) respecivamene. 1/ 5 3 E' q x ( ) 0,39 4 h µ 4 / 5 (.40) w w 1/ 5 q,18 E' h µ 1/ 5 (.41) Já para valores de D > 1, o caso é de baixa eiciência, e o comprimeno e aberura da raura podem ser aproximados pelas eq. (.4) e (.43) respecivamene. q x ( ) (.4) π C h w w L 1/ 4 4 q 3 E' C h µ π L 1/ 8 (.43) A solução apresenada por Perkins, Kern e Nordgren não leva em consideração a mecânica da raura e o eeio de exremidade, pois considera que a energia necessária para se propagar uma raura é signiicanemene menor do que a necessária para permiir o luxo de luidos ao longo do comprimeno da raura. Desa orma, a solução apresenada concenra-se no luxo de luidos. Além disso, conorme mosrado, ela é válida para rauras coninadas, iso é, de alura ixa, quando o comprimeno da raura é muio maior que sua alura.

20 Revisão bibliográica 63 w 0 (x) h w w, 0 x Figura.9 Geomeria PKN [6]..5.. Equação de aberura de Khrisianovich-Zhelov-Geersma-deKlerk Modelo KGD Khrisianovich e Zhelov [1] desenvolveram um modelo de raura no qual a raura é criada com a mesma aberura ao longo de odo o plano verical, iso é, ao longo de oda a alura da raura, de orma que a seção verical resulane é um reângulo, conorme mosrado na igura.10. A hipóese é razoável para rauras com alura muio maior que seu comprimeno ou na condição de que as aces da raura deslizam no opo e na base do reservaório e, desa orma, a aberura passa a ser unção apenas da coordenada laeral x. O esado de deormação plana nese caso é aplicado no plano horizonal da raura, iso é, no plano normal a direção da alura da raura, a qual é considerada a dimensão ininia, implicando uma alura de raura muio maior que seu comprimeno, e uma aberura ainda menor que esas duas dimensões.

21 Revisão bibliográica 64 w (x) h x w w Figura.10 Geomeria KGD [6]. A solução enconrada por Khrisianovich e Zhelov [1] inclui aspecos da mecânica da raura relacionados à exremidade da raura. Eles assumiram que a vazão na raura é consane e que a pressão na raura pode ser aproximada por uma pressão consane, exceo em uma pequena região próxima a exremidade da raura, a qual oi considerada uma região não-molhada e, desa orma, não possui pressão. Esa hipóese é uilizada porque o gradiene de pressão na raura é alamene sensível a sua aberura, apresenando maior variação apenas na exremidade da raura. Eles mosraram que em unção desa região seca ser muio pequena, a pressão no resane da raura é quase igual a pressão no poço, apresenando um rápido declínio próximo a exremidade da raura. Aproveiando o resulado de que a região da exremidade da raura é bem pequena, Geersma e deklerk [13] simpliicaram a solução enconrada por Khrisianovich e Zhelov. Eles uilizaram a equação do gradiene de pressão para um canal reangular, eq. (.3), em sua orma inegral e aplicaram a condição de Barenbla [14]. Esa condição requer um echameno suave da exremidade da raura e implica um aor de inensidade de ensão nulo. O peril de aberura obido considerando a região não pressurizada da exremidade da raura pode ser aproximado pelo peril de raura com pressão consane, apresenado pela eq. (.1) e cuja aberura máxima oi apresenada pela eq. (.3). Subsiuindo a dimensão caracerísica, c, pelo comprimeno da raura na eq. (.3), é obida a eq. (.44):

22 Revisão bibliográica 65 4x P w NET w E' (.44) Resolvendo as equações proposas, Geersma e deklerk [13] chegaram a uma equação explícia da aberura, sendo esa a equação de aberura do modelo KGD, deinida pela eq. (.45). Da mesma orma que a equação de aberura de Perkins e Kern [10], a equação de aberura do modelo KGD relaciona o comprimeno da raura à aberura da raura no poço sem considerar a ilração, iso é, assume a hipóese de que a ace da raura é impermeável. w w µ q x 3, E' h 1/ 4 (.45) Para a deinição da aberura média, eq. (.46), é uilizado apenas o aor de orma π/4, considerando o ormao elípico na horizonal, já que a aberura é consane no plano verical. µ q x w,53 E' h 1/ 4 (.46) Acoplando a solução da aberura média a um balanço de massa simples, válido para o caso sem ilração e com vazão de injeção consane, eq. (.33), é possível deinir o comprimeno da raura em unção do empo, eq. (.47), a aberura da raura em unção do empo, eq. (.48), e a ne pressure em unção do empo, eq. (.49), para o modelo KGD. Cabe ressalar que no modelo KGD, a ne pressure diminui com o empo. x 1/ 6 3 q E' 0,539 3 h µ / 3 (.47) w w 1/ 6 3 q,36 3 E' h µ 1/ 3 (.48) 3 1/ 3 ( ' ) 1/ E P NET 1,09 µ (.49) Geersma e deklerk [13] ambém incorporaram ao modelo a ilração seguindo o méodo de Carer [7], uilizando um balanço de massa, eq. (.50): q ww β x exp( β ) erc( β ) + 1 (.50) 64C h π L Sendo β deinido pela eq. (.51): β 8C π π w L (.51) w

23 Revisão bibliográica 66 Conorme apresenado, o modelo KGD coloca maior enoque na mecânica da raura e esima o gradiene de pressão de orma mais aproximada. Cabe lembrar que o modelo é válido para rauras coninadas, iso é, de alura ixa, quando a alura da raura é muio maior que seu comprimeno Modelo radial Frauras radiais são aquelas que se desenvolvem sem enconrar barreiras. Elas podem se desenvolver no raurameno de reservaórios homogêneos espessos ou ainda nos rauramenos ocorridos a parir de um pequeno inervalo canhoneado. Um modelo razoável de aberura para a raura radial pode ser desenvolvido por analogia aos modelos PKN e KGD a parir da relação enre suas aberuras médias, considerando o raio da raura, R, igual ao comprimeno da raura, x, sendo ese igual a meade da alura, h /. Ese modelo é apresenado pela eq. (.5). µ q R w,4 E' 1/ 4 (.5) Acoplando a solução da aberura média a um balanço de massa simples, válido para o caso sem ilração e com vazão de injeção consane, eq. (.53), é possível deinir o raio da raura em unção do empo, eq. (.54), a aberura média da raura em unção do empo, eq. (.55), e a ne pressure em unção do empo, eq. (.56), para o modelo radial. Cabe ressalar que, da mesma orma que no modelo KGD, a ne pressure diminui com o empo no modelo radial. π R q w (.53) x 1/ 9 3 q E' 0,57 µ 4 / 9 (.54) 1/ 9 3 q µ w 1,95 E' 1/ 9 (.55) 3 1/ 3 ( ' ) 1/ E P NET,51 µ (.56)

24 Revisão bibliográica Diagnósico da raura a parir do gráico log-log O gráico do logarimo da ne pressure versus o logarimo do empo é uma erramena uilizada para inerprear o processo de raurameno. As inclinações da curva de pressão observadas no gráico são caracerísicas de ipos de geomeria de raura e de modos de propagação. Foram deinidos seis ipos de propagação disinos que esão represenados na igura.11 e na abela.1. O primeiro ipo de propagação é ideniicado pela redução da ne pressure com o empo, indicando que raura esá se propagando sem resrições, como pode ser observado quando o inervalo canhoneado é pequeno em relação à espessura do reservaório. Esse comporameno de redução da pressão com o empo é o análogo ao modelo KGD, que implica uma alura de raura muio maior que seu comprimeno, e ao modelo radial, que represena uma propagação da raura sem barreiras. A parir do momeno que a alura da raura enconra barreiras, iso é, zonas de maior ensão no opo e na base do reservaório, sua propagação passa a ser coninada e a pressão começa a aumenar. Ese ipo de propagação onde a pressão cresce com o empo é o comporameno previso pelo modelo PKN. Quando a raura começa a penerar nas barreiras adjacenes, ocorrendo um crescimeno em alura conrolado, é observado um crescimeno da pressão com o empo, porém numa axa menor que a observada aneriormene, indicando o ipo de propagação III, que ambém pode ser unção do aumeno da permeabilidade de issuras naurais presenes na ormação. O ipo de propagação IV, onde a pressão é consane ao longo do empo, pode er disinas causas. Uma delas é quando a pressão medida se aproxima da pressão de sobrecarga. Nese caso, é possível que a raura mude a sua direção de propagação, de verical para horizonal, originando uma raura em ormao T. Ouras possíveis causas para a propagação ipo IV são: aberura das issuras naurais presenes na ormação, que regulam a pressão para um valor consane aravés do conrole da ilração; e o crescimeno da raura aravés da barreira, icando pare de sua aberura reduzida devido à maior ensão da barreira, sendo ese enômeno conhecido como pinch poin. O modo de propagação ipo V ocorre quando um grande aumeno de pressão é observado, indicando uma resrição na propagação da raura. Esa resrição pode ser unção de um ip screenou, que é uma resrição na exremidade da raura, ou pode ocorrer próxima ao poço, ideniicada por um crescimeno de pressão ainda maior. Já o

25 Revisão bibliográica 68 modo de propagação ipo VI represena um crescimeno verical desconrolado, sendo observada assim uma queda da pressão com o empo. Figura.11 Tipos de propagação da raura ideniicados a parir de um gráico log-log da ne pressure versus empo [5]. Inerpreação das inclinações da curva de pressão no gráico log-log da ne pressure versus empo (considera n 0,5) Tipo de propagação Ia -1/6 a -1/5 KGD Ib -1/8 a -1/5 Radial II 1/6 a 1/4 PKN III Inclinação no log-log Reduz a parir de II IV 0 Inerpreação Crescimeno em alura conrolado Aumeno da permeabilidade de issuras Crescimeno em alura aravés de pinch poin Dilaação das issuras Fraura em ormao T V >1 Resrição na propagação da raura VI Negaiva a parir de IV Crescimeno desconrolado em alura Tabela.1 - Inerpreação das inclinações da curva de pressão no gráico log-log da ne pressure versus empo..7. Crescimeno da raura com base na lei de poência Considerando a vazão de injeção consane, Nole [15,16,17] assumiu que o crescimeno da área da raura segue uma relação de poência com o empo, eq. (.57):

26 Revisão bibliográica 69 A A p p α (.57) sendo o expoene α consane no empo. Com esa hipóese, Nole inroduziu uma nova unção, eq. (.58): VLp g0 ( α ) (.58) C A L p p A unção g 0 (α) pode ser considerada igual ao aor k de disribuição do empo de aberura, porém ela é deinida ao inal do bombeio, p, e possui algumas resrições. Ela assume que o crescimeno da área da raura é uma unção da poência do empo, que a ilração ocorre de acordo com o modelo de Carer [7] e não considera o spur loss, que deve ser adicionado ao volume ilrado, V Lp. A unção g 0 (α) pode ser deinida analiicamene pela eq. (.59): α π Γ( α ) g ( 0 α) (.59) 3 Γ + α.7.1. O expoene α Conorme mosrado pela eq. (.59), g 0 é somene unção do expoene α. Nole deiniu valores limies para α de acordo com a eiciência. O limie inerior α 0, se aplica a um comporameno da raura dominado pela ilração, sendo a eiciência próxima de zero. Já o limie superior α 1, se aplica para uma ilração que pode ser desprezada e desa orma a eiciência se aproxima de 1. Considerando o caso em que a eiciência se aproxima de zero, pode-se assumir que odo o volume injeado, V i, é perdido pra ormação, sendo igual ao volume perdido durane o bombeio, V Lp. Nese caso a área da raura é proporcional a raiz do empo, e desa orma o limie inerior α 0 é igual a ½. A eq. (.60) mosra esa relação, combinando a eq. (.14), que deine V i, com a eq. (.58), que deine o volume perdido pra ormação, V Lp, sem considerar o spur loss. q A 1/ α 0 C g L 0 1 (.60) Já para o caso em que a eiciência se aproxima de 1, o volume ilrado é aproximadamene zero e, desa orma, o volume injeado, V i, pode ser

27 Revisão bibliográica 70 aproximado pelo volume da raura no inal do bombeio, V p. Igualando as eq. (.13) e (.14), emos a eq. (.61): q A (.61) w O limie superior do expoene α pode ser deinido uilizando a eq. (.61) e as relações de aberura da raura durane o bombeio para cada modelo considerando luido não Newoniano [5], conorme apresenado pelas eqs. (.6). PKN n Kq w ' E 1 n+ 1 n [ ] 1 h x n+ 1 n+ 1 n+ n Kq x KGD w ' (.6) n E h Radial n Kq w ' E 1 n+ 1 n [ R ] n+ Combinando a eq. (.61) e a eq. (.6), é possível deinir a relação da área com o empo para cada modelo. Nos modelos PKN e KGD a área é proporcional a x e para o modelo radial a área é proporcional a R, eqs. (.63): PKN x x (n+ ) /(n+ 3) (n + ) A α1 (n + 3) KGD x x ( n+ 1) /( n+ ) ( n + 1) A α1 ( n + ) (.63) Radial R R (n+ ) /(3n+ 6) (4n + 4) A α1 (3n + 6) Durane a operação de raurameno, a eiciência inicia em seu máximo e reduz gradualmene com a propagação da raura em unção do aumeno da área exposa a ilração. Como resulado a área da raura deveria evoluir com um expoene α que reduziria ao longo do empo. Nese caso, a variação do expoene com o empo aleraria a ilração, já que esa é unção da evolução da área da raura. Por simpliicação, como ese eeio é pequeno, oi assumido que o expoene α é consane, sendo ese deinido com base na eiciência do raameno e uilizando os valores limies de α, eq. (.64).

28 Revisão bibliográica 71 α α + η( α 0 ) (.64) 0 1 α.8. Teses de calibração Para garanir o sucesso de uma operação de raurameno hidráulico é necessário um cuidadoso projeo e preparo do raameno. Em conraparida, ese projeo requer o conhecimeno de diversos parâmeros que nem sempre são conhecidos. Para enar resolver ese problema são realizados eses de calibração anes da operação principal do raurameno hidráulico. Os eses de calibração êm como objeivo ober inormações da ormação, de orma a aprimorar o projeo inicial do raameno. Essas inormações são esimadas aravés do bombeio de luido para a ormação e ambém aravés do declínio de pressão. Com o bombeio de luido para a ormação, os eses permiem ideniicar: Pressão e vazão de propagação da raura, aravés do ese conhecido como Sep Rae Tes; Toruosidades próximas ao poço e a perda de carga nos canhoneados, aravés do Sep Down Tes; A possível geomeria da raura com coninameno ou não em alura, a parir da inerpreação da pressão durane o bombeio do minirac. O minirac é o principal ese de calibração. Ele uiliza o mesmo luido e a mesma vazão do raameno principal, porém não é bombeado o agene de susenação, possibiliando o conhecimeno de inormações imporanes para o desenho do raameno. Além dos parâmeros ineridos durane o bombeio, o declínio de pressão do minirac permie esimar: Pressão de echameno da raura; Coeiciene de ilração; Eiciência do luido, que permie ambém a deerminação do expoene α. Esse conhecimeno é adicionado ao modelo, aprimorando o projeo e aumenando as chances de sucesso da operação.

29 Revisão bibliográica 7.9. Declínio de pressão análise de Nole Com o érmino da injeção de luido é iniciado o declínio de pressão. O comporameno da raura durane o declínio é odo governado pelo processo de ilração e pelo balanço de massa. Durane ese período, a pressão no poço começa a declinar e as aces da raura vão se aproximando aé o seu echameno compleo, no caso dos eses de calibração. Toda a variação de volume é aribuída à redução na aberura da raura, assumindo que a área permanece consane e que não há mais propagação. Como os modelos relacionam a aberura da raura à ne pressure aravés da complacência, a combinação dos dois úlimos permie a esimaiva dos parâmeros de ilração, considerando que o declínio é unção dese processo. Conorme mencionado, ese é um dos objeivos da realização do ese de calibração, conhecido como minirac. Assumindo que a área da raura permanece consane durane o declínio de pressão, Nole [15,16,17] esendeu a deinição de g 0 (α), que se concenrava no érmino do bombeio, p, para odo o período do declínio de pressão, deinindo a unção volume perdido para a ormação, eq. (.65): VL( p + ) g( D, α ) (.65) C A L p p O subscrio p reere-se ao érmino do bombeio e o empo é o período que se inicia após o desligameno das bombas. Desa orma, V L(p+ ) é o volume ilrado durane o bombeio e durane o declínio de pressão, incluindo apenas o volume que é unção do coeiciene de ilração. O volume oal perdido para a ormação pode ser ainda maior se o spur loss or dierene de zero. O empo adimensional, D é deinido pela eq. (.66): p D (.66) p p Nole [15,16,17] deiniu a solução analíica de g( D,α) para dois valores especíicos de α, eq. (.67) e eq. (.68): 1 g sen 1 1/ 1/ α ( D,1/ ) (1 + D) (1 + D ) + D (.67) [(1 + ) ] 3 / 3/ 4 α 1 g( D,1) D D (.68) 3

30 Revisão bibliográica 73 Para a deinição da unção g( D,α) para ouros valores de α, Nole [16] sugeriu a uilização de uma inerpolação, eq. (.69): g( D α α0, α ) g( D,1/ ) + [ g( D,1) g( D,1/ ) ] (.69) 1 α 0 Valkó e Economides [6] deiniram uma solução analíica para qualquer valor de α uilizando a unção F [a, b; c; z], que é a unção hipergeomérica, sendo esa abelada, eq. (.70): 1 [ 1, α;1 + α;(1 + ) ] 4α D + 1+ D F D g ( D, α) (.70) 1+ α Durane o declínio de pressão de um raameno de calibração, pode-se assumir que o volume da raura ao inal do bombeio, V p, é igual ao volume de luido ilrado durane o declínio, V Ls, já que não é bombeado agene de susenação no raameno de calibração. Desa orma, a axa de variação do volume da raura é igual a vazão de ilração, q L, eq. (.71): dv dv ql (.71) d d p Ls V p VLs Assumindo que a área permanece consane durane o declínio de pressão, a eq. (.71) pode ser reescria conorme apresenado pela eq. (.7). dw A p q L (.7) d A vazão de ilração oal, q L, é obida inegrando a eq. (.17) com relação a área, eq. (.73): q L CL Ap ( D, α ) (.73) p Onde a unção ( D,α) é a unção vazão de ilração, sendo igual a derivada da unção g( D,α) [16], eq. (.74): ( dg(, α) D D, α ) (.74) d D Uilizando a equação da vazão de ilração, eq. (.73), e a relação enre a ne pressure e a aberura, dada pela eq. (.4), assumindo que a complacência da raura é consane, o balanço de massa da eq. (.7) pode ser reescrio como mosra a eq. (.75): dp CL A NET p Apc ( D, α ) (.75) d p

31 Revisão bibliográica 74 Uilizando a deinição de D, eq. (.66), a relação enre ( D,α) e g( D,α), eq. (.74), e inegrando a eq. (.75) de D 0 aé, é obida a eq. (.76): P ISIP CL p Pw ( D) [ g( D, α) g0( α) ] (.76) c A pressão P ISIP é deinida como a pressão no poço no momeno do desligameno das bombas e P w é a pressão no poço durane o declínio de pressão. Nole [15,16,17] esabeleceu ainda a unção G ( D,α), sendo a unção declínio de pressão, deinida pela eq. (.77): 4 G( D, α) [ g( D, α) g0( α) ] (.77) π Desa orma a eq. (.76) pode ser reescria como mosra a eq. (.78): P ISIP πcl p Pw ( D ) G( D, α ) (.78) c Esa equação lineariza a relação enre o dierencial de pressão e a unção G, esabelecendo que em condições ideais o declínio de pressão pode ser aproximado por uma rea e o echameno da raura ocorrerá quando a curva de pressão se desviar da rea. Nese pono, a pressão de echameno é chamada P c e a unção G é chamada de G( cd ), onde cd é o empo adimensional no momeno do echameno da raura, conorme mosrado na igura.1. Figura.1 Declínio de pressão em condições ideais, permiindo que a relação enre a pressão e a unção G seja aproximada por uma rea [5]. A inclinação da rea, p*, é dada pela eq.(.79): CL p p* π (.79) c

32 Revisão bibliográica 75 Desa orma, um gráico do dierencial de pressão versus a unção G, combinado às equações de complacência da raura que deinem c, permiem a esimaiva do coeiciene de ilração C L, como será apresenado no próximo ópico. A eiciência do ese de calibração pode ser deinida a parir da unção g(,α), relacionando-se o volume da raura no inal do bombeio, que no ese de calibração é igual ao volume ilrado durane o declínio, com o volume oal bombeado, que no ese de calibração é igual ao volume oal de luido ilrado para a ormação. Assumindo o spur loss igual a zero, o volume ilrado ao inal do bombeio, V Lp, é deinido pela eq. (.58). Já o volume ilrado durane o declínio de pressão pode ser deinido combinando a eq. (.58) com a eq. (.65), sendo igual a eq. (.80): V Ls [ g(, α ) g ( )] ( ) C A 0 α (.80) D L p p D A eiciência do raameno pode ser expressa pela eq.(.81): ( ) VLs cd g( cd, α ) g0( α) η (.81) V + V ( ) g(, α) Lp Ls cd cd Uma aproximação da eiciência ambém pode ser obida a parir da unção G, eq. (.8). Para ano basa subsiuir a deinição da unção G, dada pela eq. (.77), na eq. (.81), e assumir α ½, sendo g 0 π/, sabendo-se que esa aproximação ambém considera o spur loss igual a zero. G( cd ) η (.8) + G( ) cd Cabe ressalar, que a eiciência é uma variável de esado, que signiica dizer que ela erá valores dierenes no minirac e no raameno principal. Apenas o coeiciene de ilração é um parâmero do modelo, podendo ser ranserido direamene do minirac para o raameno principal Deerminação da complacência c para cada geomeria Como o coeiciene de ilração é unção da complacência da raura, c, é preciso deini-la para cada geomeria. A complacência da raura é enconrada aravés da deinição da aberura média que é a razão enre o volume da raura e a área da raura, eq. (.13). O volume de uma asa de uma issura linear [6,8] é dado pela eq. (.83), considerando que a issura linear possui comprimeno c e

33 Revisão bibliográica 76 exensão δ, conorme apresenado na igura.13, e que oi abera por uma ne pressure consane. π δ c PNET V (.83) E' c δ Figura.13 Fissura linear de comprimeno c e exensão δ. Para o modelo PKN, no qual é assumido o esado plano de deormação no plano verical, o meio-comprimeno c é subsiuído pela meade da alura e δ pelo meio-comprimeno x da raura. Como as duas asas da issura são conabilizadas nese caso, o volume deve ser muliplicado por. Assim, a aberura média do modelo PKN pode ser deinida pela eq. (.84): w π x h P π h V NET 1 PNET (.84) h x 4E' h x E' E desa orma, pode-se deinir a complacência que é o aor de proporcionalidade enre a aberura média e a ne pressure, eq. (.85): c PKN π h (.85) E' A mesma equação de volume pode ser aplicada ao modelo KGD, porém como o esado plano de deormação é aplicado ao plano horizonal, o meiocomprimeno c é subsiuído por x e δ pela alura da raura, eq. (.86): w π h x P π x V NET 1 PNET (.86) h x E' h x E' A complacência no modelo KGD é enão deinida pela eq. (.87): c KGD π x (.87) E' Com relação ao modelo radial, o volume de uma asa de uma raura circular [6] é deinido pela eq. (.88): 8R 3 PNET V (.88) 3E' A aberura média de uma raura radial e conseqüenemene a complacência do modelo radial são deinidos pelas eq. (.89) e eq. (.90), respecivamene:

34 Revisão bibliográica 77 w c Rad V π R 8R P 3E' π R 16R 3πE ' 3 NET P NET (.89) 16R (.90) 3πE '.9.. Deerminação do coeiciene de ilração C L Conorme já apresenado pela eq. (.79), o coeiciene de ilração C L pode ser deinido a parir de p*, que é a inclinação do gráico do dierencial de pressão versus a unção G: C c p * L (.79) π p Conhecendo-se a complacência da raura para cada modelo, é possível deinir os respecivos coeicienes de ilração: C h p * PKN L (.91) E' p C C KGD L Rad L x p * (.9) E' p 3R p * 3π E' (.93) p Observando as equações do coeiciene de ilração percebe-se que para o modelo PKN, C L pode ser deinido direamene, pois é unção da alura da raura, a qual é um parâmero conhecido. Cabe ressalar que a alura da raura nese caso é considerada igual à alura permeável. Já o coeiciene de ilração dos modelos KGD e radial são dependenes do comprimeno da raura, sendo eses x e R respecivamene. Para deerminá-los, parindo da deinição da eiciência, eq. (.10), basa uilizar a hipóese inicial do declínio de pressão durane um ese de calibração, que esabelece que o volume da raura no inal do bombeio é igual ao volume ilrado durane o echameno da raura, conorme mosrado pela eq. (.94): V η p Ls (.94) V i V V i Uilizando a unção G, eq. (.77), e a deinição de V Ls, eq. (.80), o volume ilrado durane o echameno da raura pode ser reescrio pela eq. (.95):

35 Revisão bibliográica 78 V Ls π ( D) CL p ApG( cd, α) (.95) Subsiuindo a eq. (.95) na eq. (.94) e isolando a área, em-se a eq. (.96): A p ηvi (.96) π CL pg( c D, α) Subsiuindo as equações de C L na eq. (.96), é possível deinir o comprimeno da raura para as geomerias PKN, eq.(.97), KGD, eq. (.98) e Radial, eq. (.99): x PKN E' ηvi (.97) π h p * G(, α) cd 1/ ' KGD E ηvi x (.98) * (, ) π h p G cd α 1/ 3 3E' ηv i R 8 * (, ) (.99) p G cd α.9.3. Declínio de pressão não ideal Para que a eq. (.78) seja válida, iso é, para que a relação enre a pressão e a unção G seja uma rea durane o declínio de pressão, oram assumidas algumas hipóeses, e esas se enconram lisadas a seguir: A ilração segue o modelo de Carer [7], que é caracerizado por um coeiciene de ilração consane, independene da pressão; A área da raura evolui segundo uma relação de poência com o empo durane o período de injeção; A área permeável da raura e a complacência da raura permanecem consanes durane o declínio; O luido de raurameno é incompressível; A pressão de echameno é consane. Essas hipóeses esabelecem as condições de ocorrência de um declínio de pressão ideal. Porém, nem sempre as condições ideais aconecem no campo, podendo uma dessas hipóeses ser violada, resulando em um declínio de pressão não ideal. Nese caso, será observado um declínio de pressão com

36 Revisão bibliográica 79 curvas, iso é, não será obida uma linha rea enre a pressão e a unção G. Declínios de pressão não ideais são resulanes dos seguines evenos: Mudança na geomeria da raura: mesmo após o im do bombeio, a raura pode coninuar a se propagar, sendo ese eeio conhecido por ip exension. É um enômeno ípico de baixas permeabilidades, onde a energia armazenada não consegue se dissipar devido a baixa ilração, resulando na propagação da raura após o desligameno das bombas. Oura aleração na geomeria da raura pode ser observada caso, no período de injeção, a raura cresça em alura, penerando nas barreiras acima e abaixo do reservaório. Nese caso, como as barreiras apresenam pressão de echameno maior que a pressão de echameno do reservaório, a endência é que, durane o declínio de pressão, a raura nas barreiras se eche anes que a raura no reservaório, alerando sua geomeria. Ese enômeno é conhecido como recessão em alura, ou heigh recession. Coeiciene de ilração variável: o modelo de Carer [7] assume um coeiciene de ilração consane e independene da pressão, no enano, ele pode se ornar dependene da pressão. Iso pode ocorrer quando a pressão de propagação da raura é superior a pressão de aberura das issuras naurais presenes na ormação. Com as issuras aberas ocorre um aumeno na vazão de ilração, deixando esa de ser dominada pela mariz da rocha. Nese caso o coeiciene de ilração varia com o empo, sendo o enômeno chamado de pressure dependen leako (PDL). Barree [18,19] desenvolveu uma écnica para a ideniicação da ocorrência do declínio de pressão não ideal. Para ano, deve-se ploar a pressão, a derivada da pressão dp/dg e a unção G dp/dg versus a unção G. O declínio de pressão não ideal será ideniicado de acordo com o ormao caracerísico observado no gráico. A igura.14 é um exemplo de declínio de pressão ideal. Pode-se observar que a curva da pressão versus a unção G é uma rea, sendo ese ao evidenciado pela unção G dp/dg, na medida em que esa unção coincide com uma rea passando pela origem. O echameno da raura é ideniicado no momeno em que a unção G dp/dg desvia da rea, indicando que houve uma mudança na curva de pressão versus a unção G.

37 Revisão bibliográica 80 P c Figura.14 Exemplo de um declínio de pressão ideal [19]. No declínio não ideal devido ao eeio de ip exension a unção G dp/dg ambém coincide com uma rea, porém esa não passa pela origem, cruzando o eixo y acima dela. A igura.15 é um exemplo de ip exension. Cabe ressalar que nese caso ainda não oi observado o echameno da raura, pois a unção G dp/dg não apresenou qualquer desvio da rea. Figura.15 Exemplo do eeio de ip exension durane o declínio de pressão [19]. Na ocorrência de recessão em alura, ou heigh recession, a curva de pressão versus a unção G apresenará uma concavidade para baixo, indicando que uma queda de pressão mais lena esá ocorrendo. Iso se deve ao recebimeno do luido que esava esocado nas barreiras, já que esas são

38 Revisão bibliográica 81 ormações mais impermeáveis que o reservaório e se echam primeiro em unção da maior pressão de echameno. Esse comporameno da pressão é ampliado na unção G dp/dg, conorme mosrado na igura.16, sendo caracerizado pela unção permanecer abaixo da rea que passa pela origem, a qual é responsável por indicar o declínio de pressão normal. Nese exemplo ocorre o echameno da raura, sendo o pono de echameno ideniicado no momeno em que a unção G dp/dg desvia da rea que passa pela origem. Figura.16 Exemplo do eeio de recessão em alura no declínio de pressão [19]. A oura orma de declínio não ideal se deve a um coeiciene de ilração variável que é unção da aberura de issuras na ormação. Como nese caso a ilração que esá ocorrendo é maior do que em um declínio de pressão normal, a curva de pressão versus a unção G apresena uma concavidade para cima, indicando uma queda de pressão mais rápida que o normal. Esse comporameno da pressão é ampliado na unção G dp/dg, conorme mosrado na igura.17, sendo caracerizado pela unção permanecer acima da rea que passa pela origem, a qual é responsável por indicar o declínio de pressão normal. Nesa igura ambém é possível ideniicar a pressão de aberura das issuras naurais, sendo o pono correspondene ao momeno em que a unção G dp/dg reorna à rea que passa pela origem. Ese reorno caraceriza que a ilração volou a ser dominada pela mariz da rocha. Também é possível ideniicar o pono de echameno da raura, que ocorre quando a unção G dp/dg desvia da rea que passa pela origem.

39 Revisão bibliográica 8 Figura.17 Exemplo de um declínio de pressão com pressure depende leako (PDL) [19]..10. A écnica do TSO A produividade de um poço após ser raurado será governada por uma combinação enre a conduividade da raura e o comprimeno da raura. A conduividade da raura é deinida por: C k w (.100) Ela pode ser relacionada ao comprimeno da raura aravés da permeabilidade do reservaório, deinindo a conduividade adimensional da raura: k w C d (.101) k x A conduividade adimensional da raura é uma medida relaiva enre a acilidade com que os luidos conseguem migrar ao longo da raura em direção ao poço, sendo o resulado do produo enre a aberura da raura e a permeabilidade da raura, com a capacidade que o reservaório em em alimenar a raura, sendo esa o resulado do produo enre a permeabilidade do reservaório e o comprimeno da raura. Desa orma, pode-se dizer que o reservaório e a raura são dois sisemas rabalhando em série e que deve haver um equilíbrio enre eles, sendo a conduividade adimensional um imporane

40 Revisão bibliográica 83 parâmero no projeo de uma raura. Ese equilíbrio é esabelecido no momeno em que se ainge uma conduividade adimensional próxima a 1. Em reservaórios de baixa permeabilidade, a conduividade adimensional da raura é nauralmene ala. A raura ideal nese caso deve maximizar o seu conao com o reservaório, aciliando a sua alimenação, devendo ser, mesmo que esreia, uma raura basane longa. Já em reservaórios de ala permeabilidade, uma grande aberura é essencial para o desempenho da raura. Como a capacidade do reservaório em alimenar a raura já é boa, esa deve ser basane larga de orma a minimizar a resisência ao luxo no carreameno dos luidos produzidos. Devido a esa necessidade, oi desenvolvida a écnica do TSO, que impede o crescimeno laeral da raura e com a coninuidade do bombeio a raura passa a ganhar aberura. Esa écnica, aplicada a arenios de moderada a ala permeabilidade, permiiu a expansão do raurameno hidráulico para ormações inconsolidadas, com o desenvolvimeno da écnica do racpack, a qual uiliza uma compleação com elas de gravel pack. Desa orma, o racpack combina os beneícios do raurameno hidráulico aravés do aumeno de produividade, ulrapassando a região de dano próxima ao poço, com o conrole da produção de areia, no momeno que aua ambém como um gravel pack. O TSO, ou ip screenou, ocorre quando uma quanidade suiciene de agene de susenação se concenra na exremidade da raura, impedindo a sua propagação. Uma vez que o crescimeno da raura oi bloqueado, e assumindo que a vazão de bombeio é maior que a vazão de ilração para a ormação, a coninuidade do bombeio irá inlar a raura, iso é, irá aumenar sua aberura. O TSO e o ganho de aberura são geralmene acompanhados por um aumeno na ne pressure, pois, conorme apresenado aneriormene, a aberura da raura é direamene proporcional a esa pressão. Num gráico log-log da ne pressure versus empo esse aumeno de pressão é geralmene indicado por uma inclinação maior ou igual a 1. O raurameno hidráulico uilizando a écnica do TSO pode ser dividido em dois eságios: criação da raura, equivalene aos raamenos convencionais, e o alargameno e empacoameno da aberura após o ip screenou. A igura.18 compara os eságios do processo.

41 Revisão bibliográica 84 Figura.18 Eságios do raurameno em ormações de ala permeabilidade []. Tano o raameno convencional quano o raameno em ala permeabilidade uilizam inicialmene o bombeio de um colchão para a criação da raura. O colchão é um volume de luido bombeado sem o agene de susenação para proporcionar a propagação da raura e permiir a criação de uma aberura inicial para receber o agene de susenação. Como durane o bombeio do raameno uma grande quanidade de luido é ilrada para a ormação, o colchão aua ornecendo grande pare desse luido exra, porém é necessário que seu volume seja programado de acordo com os objeivos do raameno. Por exemplo, a uilização de um colchão muio grande pode resular em um comprimeno e alura de raura excessivos. Já um colchão muio pequeno pode levar a um screenou ou embuchameno premauro, que é o bloqueio na enrada da raura ou nos canhoneados pela ala concenração de agene de susenação. Ese é um eveno não programado no qual a pressão sobe rapidamene, sendo necessário inerromper a operação. No caso do raurameno de ala permeabilidade, o TSO é um eveno programado e o dimensionameno do colchão é de grande imporância para o início do ip screenou, sendo geralmene bombeado um volume relaivamene menor que o colchão do raameno convencional. Após o colchão, inicia-se o bombeio de uma pasa composa pelo luido de raurameno e pelo agene de susenação. A concenração do agene de susenação vai crescendo em eságios, que podem ser em rampa ou em degrau, aé chegar a sua concenração máxima ao inal do raameno. No raurameno em ala permeabilidade a concenração inicial do agene de

42 Revisão bibliográica 85 susenação vai geralmene de 1 aé 4 lb/gal de pasa, aé que seja bloqueada a propagação da raura. Durane o bombeio dos eságios, o luido conido na pasa vai sendo ilrado para a ormação, desidraando a pasa e, desa orma, a concenração do agene de susenação denro da raura vai aumenando. Os eságios seguines são bombeados em concenrações maiores, pois erão menos empo para se desidraar e com axas de ilração menores. Desa orma, odos os eságios aingem uma mesma concenração, preenchendo a raura uniormemene. As iguras.19 e.0 mosram esse processo. Figura.19 Bombeio do colchão e início do bombeio do primeiro eságio do agene de susenação []. Figura.0 Evolução da disribuição da pasa durane o bombeio []. Quando o agene de susenação ainge as exremidades da raura, ocorre o chamado ip screenou. A indicação é o início do aumeno de pressão. A parir daí, o bombeio de pasa para denro da raura passa a inlar e a empacoar a