Introdução aos Tensores pág.

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1 INTRODUÇÃO AOS TENSORES Intodução aos Tensoes pág.. Concetos pelmnaes Vetoes e tensoes contavaantes. Invaantes Vetoes e tensoes covaantes. Tensoes mstos Opeações fundamentas com tensoes... 6 a) Adção e subtação... 6 b) Multplcação extena... 7 c) Contação de um tenso msto... 7 d) Multplcação ntena... 7 e) Tensoes smétcos e ant-smétcos... 7 f) Le do quocente Tensoes elatvos O elemento de compmento de aco e o tenso métco... 0 a) O tenso fundamental covaante... 0 b) O tenso fundamental contavaante... c) A fomação de novos tensoes po meo dos tensoes fundamentas... d) Magntude de um veto e ângulo ente vetoes... 3 e) Popedades do detemnante métco Componentes físcos de um tenso Equação da lnha geodésca Le de tansfomação dos símbolos de Chstoffel Devada covaante... a) Devada covaante de tensoes... b) Devada covaante de tensoes elatvos Devada ntínseca ou absoluta Fomas tensoas do gadente dvegênca laplacano e otaconal... 9 a) Gadente... 9 b) Dvegênca... 9 c) Laplacano d) Rotaconal Tenso de cuvatua ou de Remann-Chstoffel Poblemas popostos Soluções dos poblemas popostos Apêndce A Coodenadas cuvlíneas Apêndce B A convenção de Ensten paa somatóos Apêndce C Algumas técncas do Cálculo de Vaações Refeêncas bblogáfcas... 8

2 INTRODUÇÃO AOS TENSORES Pefáco Se Deus não exste nada se pede po se acedta nele; mas se exste pede-se tudo po não se acedta. Blase Pascal Este texto ddátco fo pepaado paa o ensno do tópco sobe tensoes da ementa de Métodos Matemátcos Aplcados II dscplna que todo aluno de Físca na Unvesdade Fedeal Flumnense deve cusa. Pocuou-se vesa sobe tantos concetos e métodos quantos podem se expostos e devdamente exectados em ceca de 4 hoas de aula. A pofunddade com que os mesmos foam abodados fo defnda po esse lmte tempoal bem como pelo fato de se o texto destnado a alunos de gaduação. Pé-equstos específcos são matzes e coodenadas cuvlíneas; pé-equstos genécos são as dscplnas de Cálculo e Álgeba Lnea constantes em qualque gade cucula de Físca. Especalmente mpotante no estudo de tensoes é a desenvoltua na utlzação da convenção de Ensten paa a notação de somatóos; nesse ntento povê-se um apêndce a se ldo pelos que anda não domnem aquela notação. Popoconam-se também apêndces sobe coodenadas cuvlíneas e vsando ao estudo das geodéscas sobe algumas técncas do Cálculo de Vaações. O auto é patculamente gato aos seus alunos pela depuação de váos eos tpogáfcos e estmaa a contbução de qualque leto nesse sentdo estando o coeo eletônco abaxo à dsposção paa a comuncação de qualque tpo de eo pesente nesta oba. Unvesdade Fedeal Flumnense Depatamento de Matemátca Aplcada Nteó ulho de 003. ROBERTO TOSCANO COUTO toscano@d.uff.b

3 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 3. Concetos pelmnaes Equaton Secton A descção matemátca das les físcas paa se válda deve se ndependente do sstema de coodenadas empegado: as equações matemátcas que expessam as les da natueza devem se covaantes sto é nvaantes na sua foma sob mudanças de coodenadas. É exatamente o cumpmento dessa exgênca que leva os físcos ao estudo do Cálculo Tensoal de captal mpotânca na Teoa Geal da Relatvdade e muto útl em váos outos amos da Físca. N Suponha que esteamos tabalhando com N vaáves eas x x x. A azão dessa manea de escevê-las com supeíndces em vez de subíndces fcaá mas claa adante. Tas vaáves são denomnadas coodenadas; a um conunto de seus valoes chamamos de ponto; á a totaldade de pontos coespondentes a todos os valoes das coodenadas consttu um espaço de N dmensões aqu denotado po V N. Dz-se que tal espaço V N é descto no sstema de coodenadas x onde está mplícto que = N. A estatéga usada paa desenvolve a geometa do espaço V N consste em toma concepções geométcas odnáas e estende suas defnções àquele espaço sempe com o cudado de que suas estções ao nosso espaço tdmensonal eucldano epoduzam as defnções famlaes. Po exemplo uma cuva é defnda como a totaldade dos pontos dados pelas equações x = f () t ( = N) (-) chamadas paametzação da cuva sendo t o paâmeto e f () t N funções. Dssemos acma que é um pncípo básco do Cálculo Tensoal que não fquemos esttos a um únco sstema de coodenadas. Devemos desenvolve elações que seam váldas não em um sstema de coodenadas apenas mas em todos. Nesse sentdo consdee outas N vaáves x dadas atavés de N funções das coodenadas x N x = f ( x x x ) ( = N). (-) Estas equações defnem paa cada ponto N x x x um conunto novo de coodenadas x x x N o novo sstema de coodenadas x. Admtmos que o acobano x J = = x N N x x N N (-3) nunca se anule paa que a Eq. (-) possa se nvetda: N x = g ( x x x ) ( = N). (-4) As Eqs. (-) e (-4) defnem uma tansfomação de coodenadas. Note que J = =. x J (-5)

4 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 4 Denotaemos a Eq. (-) mas sucntamente na foma x = x ( x) (-6) pos a notação desempenha um papel mpotantíssmo no Cálculo Tensoal e a Eq. (-6) é mas fácl de se esceve do que a Eq. (-). Nessa notação a Eq. (-4) sea x = x ( x ). Em geal os sstemas de coodenadas x x etc que sugão no decoe da exposção podem se quasque sstemas de coodenadas cuvlíneas (e.g. as coodenadas clíndcas ou as esfécas) a não se que se dga explctamente tata-se de um sstema de coodenadas específco. Contudo às vezes enfatzaemos o caáte genéco das coodenadas efendo-se a elas como coodenadas cuvlíneas.. Vetoes e tensoes contavaantes. Invaantes. Equaton Secton (Next) Consdee um ponto P de coodenadas x e um ponto vznho Q de coodenadas x + dx. Esses dos pontos defnem um deslocamento nfntesmal caactezado pelo veto PQ ; no sstema de coodenadas x esse veto é descto pelas N gandezas dx que podem se chamadas de seus componentes naquele sstema de coodenadas. Usemos agoa um sstema de coodenadas x dfeente. Neste os componentes daquele veto são dx. Os componentes de PQ nos dos sstemas conectam-se pela equação (note o uso da convenção de Ensten paa o somatóo) x dx = dx (-) que são lneaes e homogêneas. O veto PQ há de se consdeado como tendo um sgnfcado absoluto mas os númeos que o descevem seus componentes dependem do sstema de coodenadas empegado emboa uma vez conhecdos num sstema podem se calculados em qualque outo atavés da Eq. (-). O conunto dos componentes dx do deslocamento nfntesmal é o potótpo de uma classe de entes geométcos denomnados vetoes contavaantes assm defndos: Qualque conunto de N gandezas X defndas num ponto P VN que se tansfomem sob mudança de coodenadas de acodo com a equação x X = X (-) x é dto foma os componentes de um veto contavaante em P. Assm o deslocamento nfntesmal é um exemplo de veto contavaante. Um outo exemplo agoa com componentes fntos são as devadas τ dx / dt calculadas num ponto de uma cuva como a da Eq. (-); é o chamado veto tangente cua tansfomação segundo a Eq. (-) é faclmente vefcada atavés da aplcação da ega da cadea paa deva x () t = x [ x ()] t : dx dx τ = = = τ dt dt. (-3)

5 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 5 Possegumos defnndo entes da classe contavaante que apesentem caacteístcas mas complcadas que o veto contavaante como segue: Um conunto de N gandezas T que se tansfomem sob mudança de coodenadas de acodo com a equação l T = T (-4) l x x é dto foma os componentes de um tenso contavaante de a odem. A extensão dessa defnção de tensoes contavaantes paa odens supeoes a é medata e não pecsa se escta aqu. Mas ndo na deção oposta notamos que um veto contavaante é um tenso contavaante de a odem e sto sugee a exstênca de um tenso contavaante de odem zeo uma únca gandeza ( N = componente) que se tansfome segundo a 0 elação de dentdade T ( x ) = T( x) ; (-5) tal gandeza é denomnada nvaante e seu valo ndepende do sstema de coodenadas empegado. Na ealdade tata-se de uma função do ponto P do espaço V N f ( P ) cuos valoes dependem do ponto P mas não do sstema de coodenadas usado paa epesenta cada ponto. Assm um nvaante em V N é uma função tal qual f ( P ) que também ecebe a denomnação de função escala ou smplesmente escala. As gandezas T ( x ) e T( x ) na equação acma de mesmo valo são vstas como os componentes de uma função escala nos sstemas de coodenadas x e x espectvamente. 3. Vetoes e tensoes covaantes. Tensoes mstos. Equaton Secton (Next) Sea φ uma função escala das coodenadas (um nvaante). Pela ega da cadea φ φ =. (3-) Esta le de tansfomação das N gandezas φ / x paece com a descta pela Eq. (-) mas com um pouco mas de atenção vemos que as vaáves x e x apaecem em lugaes tocados nas devadas / x. Assm como os componentes do deslocamento nfntesmal são o potótpo do veto contavaante as devadas pacas de um nvaante tas quas φ / x (que defnem os componentes do gadente de φ como veemos na Seç. a) são o potótpo dos chamados vetoes covaantes assm defndos: Um conunto de N gandezas X que se tansfomem de acodo com a equação X = X (3-) x é dto foma os componentes de um veto covaante. Convenconalmente o índce quando ndcatvo do caáte contavaante é posto como supeíndce e quando covaante como subíndce. Fo no sentdo de cump esta convenção que as coodenadas foam esctas como x em vez de x emboa apenas seus dfeencas e não elas pópas apesentem o caáte tensoal contavaante.

6 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 6 Encaando o veto covaante como um tenso covaante de a odem não temos dfculdades em defn tensoes covaantes de odens mas altas. Po exemplo: N gandezas T que se tansfomem segundo a equação T = x l T l (3-3) x é dto foma um tenso covaante de a odem. Note que os nvaantes também podem se consdeados como tensoes covaantes de odem zeo. Uma vez defndos os tensoes contavaantes e os covaantes não é dfícl defn tensoes com caáte tanto contavaante quanto covaante são os chamados tensoes mstos. Po 3 exemplo suponha que N gandezas T se tansfomem segundo a equação l m x n T = Tlm ; (3-4) n x x x dzemos seem elas os componentes de um tenso msto de 3 a odem com um índce contavaante e dos índces covaantes; também dzemos que esse tenso é do tpo [ou ( ) ]. Note que os tensoes covaantes e os contavaantes podem se vstos como casos especas de tensoes mstos; um tenso contavaante de a odem é do tpo 0 e um tenso covaante de 3a odem é do tpo 0 3. O delta de Konece é melho denotado como δ pos é um tenso de a odem do tpo ; de fato obseve que l δ = = = δl. (3-5) Um tenso pode se dado em um únco ponto P do espaço V N ao longo de uma cuva po todo um subespaço de V N ou todo o V N em s. Nos tês últmos casos dzemos esta dante de um campo tensoal assm enfatzando que tensoes se encontam defndos num contnuum. 3 Po exemplo tês funções das coodenadas V ( x x x ) ( = 3) são os componentes de um campo vetoal covaante num volume V se em cada ponto de V elas se tansfomaem como os componentes de um veto covaante. A mpotânca dos tensoes na Físca Matemátca e Geometa esde no fato de que uma equação tensoal se vedadea num sstema de coodenadas sê-lo-á em todos (cf. Pob. ). 4. Opeações fundamentas com tensoes Equaton Secton (Next) a) Adção e subtação Dos tensoes de mesma odem e tpo podem se somados ou subtaídos esultando nouto de mesma odem e tpo. Assm se A e B foem tensoes e as gandezas S e D foem defndas po S = A + B e D = A B então é fácl pova que S e D seão tensoes (cf. Pob. 3).

7 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 7 b) Multplcação extena l Atavés da multplcação de cada componente de um tenso de odem m po cada componente de um tenso de odem n obtemos os componentes de um tenso de odem m + n chamado poduto exteno (ou poduto deto) daqueles tensoes. Po exemplo o poduto exteno dos tensoes U e m W é o tenso lm l m T = U W ; outos exemplos: T = U W T l l = U W e T l l = U W. A pova do caáte tensoal desses podutos extenos é obtda usando as les de tansfomação dos tensoes que entam como fatoes (cf. Pob. 4). c) Contação de um tenso msto Fazemos a contação de um tenso msto qualque gualando um índce covaante a um índce contavaante e somando com espeto a esse índce (a epetção do índce á ndca somatóo segundo a convenção do somatóo) assm fomando um tenso cua odem é duas undades a menos que a do tenso ognal. Po exemplo do tenso msto de 4 a odem T gualando os índces e obtemos o tenso msto de a odem l T l = T l e deste com uma segunda contação (gualando e l) obtemos o tenso de odem zeo T = T = T. Acma após as contações os tensoes esultantes mesmo sendo em geal dfeentes do tenso ognal contnuam denotados pela leta T ; no caso a dstnção é feta atavés dos índces (claamente o tpo do tenso T é dstnto do tpo de T ). l l Paa lusta uma manea de pova que o esultado da contação ealmente possu caáte tensoal façamos a contação dos índces e na Eq. (3-4); vemos que o esultado T T é de fato um tenso: l m l m l l n n n T = T = Tlm = Tlm = Tln = Tl. n n x d) Multplcação ntena Consste numa combnação da multplcação extena com a contação. Po exemplo dados n n os tensoes U e W lm podemos foma o poduto exteno U W lm e depos conta os índces e n paa obte o poduto nteno U W lm daqueles tensoes. Fazendo agoa = m obtemos um outo poduto nteno: U W. e) Tensoes smétcos e ant-smétcos l Dzemos que um tenso é smétco em elação a dos índces contavaantes ou covaantes se foem guas os dos componentes que se obtêm pela toca dos dos índces consdeados; neste caso o pópo tenso é dto smétco. Assm se δ m n

8 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 8 T lm lm = T (4-) paa todas as combnações dos índces e então o tenso é smétco pos apesenta smeta nesses índces. A smeta assm defnda é uma popedade que ndepende do sstema de efeênca. De fato paa um tenso T segue da Eq. (-4) que l l l = l = l = l = () () (3) T T T T T (4-) onde na passagem () são tocados os papés das letas e l ( ) na passagem () é usada a smeta de T e na passagem (3) é usada a Eq. (-4). Dzemos que um tenso é ant-smétco em elação a dos índces contavaantes ou covaantes se os dos componentes que se obtêm pela toca dos dos índces consdeados foem nulos ou dfeem apenas no snal; neste caso o pópo tenso é dto ant-smétco. Assm se T lm lm = T (4-3) paa todas as combnações dos índces e então o tenso é ant-smétco pos apesenta antsmeta nesses índces. Em quato dmensões obseve que dos 6 componentes do tenso ant-smétco T os quato componentes T (sem somatóo) são nulos; os estantes quando não nulos seão guas em módulo e de snas contáos aos paes de modo que genecamente apenas ses componentes são ndependentes (um hexaveto). Smlamente vemos que genecamente os tensoes ant-smétcos de tecea odem T têm somente quato componentes ndependentes l enquanto o tenso ant-smétco T tem só um. Não há tensoes ant-smétcos de odem supeo a quato em quato dmensões (cf. Pob. 3). Note que a smeta ou ant-smeta efee-se a dos índces contavaantes ou a dos índces covaantes. Assm não dzemos have smeta quando T = T ; tal elação em geal não se tansmte de um sstema de coodenadas paa outo. f) Le do quocente Suponhamos que não sabamos se um ente U sea um tenso. Se um poduto nteno de U com um tenso abtáo fo um tenso então U seá também um tenso. Esta é a le do quocente. Po exemplo se o poduto nteno Aaτ ( ) a ente o conunto de N funções A( a ) e um tenso abtáo τ a fo um tenso covaante de a a odem então A( a) = A um tenso msto de a odem. A demonstação da le do quocente é casuísta; nas seções de execícos (Seçs. 4 e 5) fonecemo-la em alguns casos (cf. Pobs. 4 a 8). ( ) Uma tal toca ecípoca das letas que desgnam dos índces po se muto feqüente no desenvolvmento de equações tensoas seá abevadamente ndcada assm: l. Muto comum também são as tocas smples de uma leta (dgamos ) po outa () ou de duas letas ( e ) po outas duas (m e n) etc as quas assm ndcaemos: ; m n; etc.

9 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 9 5. Tensoes elatvos Equaton Secton (Next) As gandezas T são dtas componentes de um tenso elatvo de peso W contavaante nos supeíndces e covaante nos subíndces se elas se tansfomaem de acodo com a equação l W T = J T l (5-) x onde J é o acobano dado pelas Eqs. (-5) e (-3) admtdo postvo. É comum se denotaem os tensoes elatvos po meo das letas gótcas (e.g. T e G são as letas T e G); mas po causa da dfculdade de manuscevê-las usaemos letas de mão (e.g. A a B b F f T t ). Segundo a pátca adotada antes efemo-nos aos tensoes elatvos de odem 0 e como escalaes elatvos e vetoes elatvos espectvamente. Há cetas nomenclatuas adotadas paa tensoes elatvos de cetos pesos: (a) quando W = 0 dzemos que as gandezas fomam um tenso absoluto que é o tenso até então estudado; (b) quando W = o tenso elatvo também é conhecdo como capacdade tensoal; e (c) quando W = o tenso elatvo ecebe também o nome de densdade tensoal (se de odens 0 e dzemos densdade escala e densdade vetoal espectvamente). Neste últmo caso o nome vem do fato de a gandeza físca ρ (densdade) se dessa categoa à qual empesta o seu nome. Realmente consdee a expessão da massa total num volume V onde se enconta matéa dstbuída com densdade ρ ( x). Mudando de coodenadas segundo a le de tansfomação x = x ( x ) vemos atavés da ntegal que fonece a massa total M M = ρ( x) d x = ρ[ x( x )] d x = ρ ( x ) d x V V x V que a densdade de matéa nas novas coodenadas é dada po ( ) ρ x = / x ρ( x) ou sea a gandeza físca ρ ( x) é um escala elatvo de peso (uma densdade escala). As opeações de adção subtação multplcação etc de tensoes elatvos são semelhantes às de tensoes absolutos. É fácl mosta que (cf. Pob. 9): dos tensoes elatvos de mesma odem tpo e peso podem se somados sendo o esultado um tenso elatvo de mesma odem tpo e peso tensoes elatvos podem se multplcados ntena ou extenamente sendo o poduto um tenso elatvo cuo peso é a soma dos pesos dos fatoes um tenso elatvo pode se contaído sendo de mesmo peso o tenso elatvo esultante a smeta e a ant-smeta de tensoes elatvos ndependem do sstema de coodenadas São escalaes elatvos de pesos e 0 os detemnantes de tensoes absolutos de a odem T U e W espectvamente. Paa pova sso (cf. Pob. 0) basta esceve as les de tansfomação dos tensoes toma o detemnante em cada membo da equação e usa a ega do poduto de detemnantes lembando que J = / x e J = / : l = l = l T T T J T (peso ) l l l U = U U = J U (peso ) (5-) (5-3)

10 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 0 x l l W = W W = W (peso 0). l (5-4) Consdeemos agoa no espaço de tês dmensões o símbolo de Lev-Cvta E. Paa nvestga seu caáte tensoal notamos que usando a expessão do detemnante em temos desse símbolo podemos dze que o acobano é dado po Potanto pela Eq. (B-35) temos que J 3. = E (5-5) E = JE lmn l m n ou multplcando po J e tendo em conta que Elmn = E lmn (a defnção do símbolo de Lev- Cvta é a mesma em qualque sstema de coodenadas) lmn = J = l m n lmn E E E (5-6) evelando que E é um tenso elatvo covaante de 3 a odem de peso. Po um acocíno análogo também mostamos que l m n Elmn = JE (5-7) evelando que E também é um tenso elatvo contavaante de peso o que ustfca a notação altenatva E paa o símbolo de Lev-Cvta. Em esumo o símbolo de Lev-Cvta é um tenso elatvo de 3 a odem que é denotado po E se fo consdeado covaante e de peso e po E se contavaante e de peso. 6. O elemento de compmento de aco e o tenso métco Equaton Secton (Next) a) O tenso fundamental covaante Em coodenadas catesanas ( x y z ) o quadado da dstânca ente dos pontos nfntesmalmente póxmos é ds = dx + dy + dz. (6-) No espaço de N dmensões dzemos que as coodenadas x são catesanas se o quadado da dstânca ente dos pontos nfntesmalmente póxmos P ( x ) e P ( x + dx ) fo dado pela fómula Ptagóca ds = dx dx ( = N) [ x : coodenadas catesanas] (6-) que é a extensão natual da Eq. (6-) paa espaços com mas de tês dmensões. Escevendo esta equação em coodenadas x genécas o que se faz substtundo dx = ( / ) dx obtemos

11 INTRODUÇÃO AOS TENSORES uma foma quadátca dos dfeencas das coodenadas em sua expessão mas geal denomnada foma fundamental ou foma métca (ou smplesmente métca): onde g ds g dx dx = (6-3) ( x) [ x : coodenadas catesanas] (6-4) x x é o chamado tenso métco ou tenso fundamental do espaço claamente smétco. É fácl mosta que g de fato se tansfoma como um tenso covaante de a odem pos sob a mudança de coodenadas x paa x ( x são catesanas) temos que m n m n m n g ( x) = = = gmn ( x ) m n m n gmn ( x ). (6-5) Logo ds sendo o poduto dos tensoes no o membo da Eq. (6-3) é também um tenso: um nvaante no caso como é de se espea uma vez que a dstânca ente dos pontos não deve depende das coodenadas utlzadas no seu cálculo. Entetanto exstem "espaços" onde não é possível ntoduz um sstema de coodenadas catesanas. Como exemplo temos o "espaço" bdmensonal fomado pelos pontos na supefíce de uma esfea de ao R onde a dstânca ente dos pontos nfntesmalmente póxmos é dado em temos das coodenadas esfécas θ e ϕ (co-latdude e longtude espectvamente) po ds = R dθ + R sen θ dϕ. Não exstem coodenadas (dgamos ξ e η) em temos da qual essa foma quadátca tome a foma ds = dξ + dη como a da Eq. (6-) com N =. Uma manea de ntoduz tas espaços nos nossos estudos consste em defn espaços dotados do conceto de dstânca como segue: Temos um espaço métco ou emannano sempe que a dstânca quadátca nfntesmal pude se escta como uma foma quadátca dos dfeencas das coodenadas que sea nvaante;.e. ds = g dx dx = nvaante. (6-6) Num tal espaço se a métca fo defntvamente postva ( gdx dx > 0 exceto se os dfeencas dx se anulaem) ( ) e fo possível ntoduz as chamadas coodenadas catesanas nas quas o tenso métco e a dstânca quadátca nfntesmal tomam as fomas especas g se = e g 0 se N ds = ( dx ) + ( dx ) + + ( dx ) (6-7) váldas em todos os pontos dzemos que o espaço é eucldano (usamos o snal = paa ndca que a gualdade só é válda num sstema de coodenadas específco). Espaços eucldanos são potanto casos especas de espaços emannanos. ( ) Alguns autoes consdeam emannano apenas o espaço de métca defntvamente postva chamando de pseudo-emannano o espaço de métca de snal não-defntvo.

12 INTRODUÇÃO AOS TENSORES No Pob. 3 mostamos que as gandezas g na Eq. (6-6) podem se sempe consdeadas como os componentes de um tenso covaante de a odem smétco [a pova apesentada na Eq. (6-5) basea-se na Eq. (6-4) que fo deduzda a pat da Eq. (6-) e só vale potanto na hpótese de o espaço admt as coodenadas catesanas]. b) O tenso fundamental contavaante Seam g g o detemnante do tenso métco denomnado detemnante métco e admtdo nesta exposção que nunca se anula e G o co-fato de g nesse detemnante; sabemos que g G = g G = δ g (6-8) de acodo com as egas odnáas paa o desenvolvmento de detemnantes. Defnamos agoa as gandezas g G. (6-9) g Pelas elações dadas na Eq. (6-8) vemos que tas gandezas satsfazem as equações g g = δ. (6-0) Lembando que paa qualque matz ( a ) o elemento a da sua nvesa é dado po a = A / a (6-) onde A é o co-fato do elemento a no detemnante a = a e consdeando a smeta de G nos índces e (vez que se tata dos co-fatoes dos elementos do detemnante smétco g ) vemos que as gandezas g defndas atavés da Eq. (6-9) são os elementos da matz nvesa (também smétca) da matz ( g ). Em vsta dsso econhecemos no o membo da Eq. (6-0) o cálculo de um elemento genéco do poduto da matz ( g ) pela sua nvesa. Usando a Eq. (6-0) podemos mosta que g é um tenso do tpo 0 (cf. Pob. 4). É o chamado tenso contavaante fundamental ou anda tenso conugado ou ecípoco de g (é smétco confome á dscutmos acma). Duas obsevações: a) a Eq. (6-0) mosta um fato á compovado na Eq. (3-5) que o delta de Konece δ é um tenso. Logo abaxo fcaá clao que g g e δ epesentam um mesmo obeto geométco: a métca o que ustfca chama δ de tenso fundamental msto; b) os co-fatoes G de g fomam um tenso elatvo contavaante de peso (cf. Pob. ). c) A fomação de novos tensoes po meo dos tensoes fundamentas Os tensoes fundamentas g e g podem se usados nas opeações de abaxa e levanta índces tensoas assm defndas: m m e n T g T n T g T (6-)

13 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 3 onde dzemos que o tenso T teve seu índce m abaxado como na pmea opeação e seu índce n levantado como na segunda. Dado um tenso este e os que dele esultam abaxando e levantando índces são denomnados tensoes assocados; usamos a mesma leta paa denotá-los (T nos exemplos acma). Tensoes assocados são vstos como epesentações de um mesmo obeto geométco (de fato a elação X = g X estabelece um somofsmo ente os vetoes covaantes e contavaantes assocados) exemplos: (a) g g e δ ( = g g ) são dfeentes epesentações da métca do espaço; (b) o veto contavaante dx e o veto covaante = g dx epesentam o mesmo deslocamento nfntesmal PQ desde o ponto ( x ) dx P até o ponto Q ( x + dx ). A lbedade de levanta e abaxa índces exge cudado com a odem hozontal na qual os índces contavaantes e covaantes são esctos. Po exemplo em geal X seá dfeente de X sendo guas quando X fo smétco: ( ) 0 X X = g X g X = g X X = X = X. Po esta azão daqu po dante evtaemos esceve um subíndce e um supeíndce na mesma lnha vetcal. (Nos espaços vagos é comum esceve pontos e.g: T.. l ; no caso acma teíamos. X e X. pátca que não adotaemos.) Ressalva: Nas coodenadas catesanas x o tenso métco é dado pela Eq. (6-7) e potanto A = g A = A mostando que os componentes catesanos de um veto não se dstnguem quanto ao tpo contavaante ou covaante; sso obvamente é váldo paa os componentes catesanos de um tenso qualque. Potanto qualque que sea o tpo do tenso seus componentes catesanos podem se denotados com subíndces apenas pátca comum na lteatua e que seá adotada aqu. d) Magntude de um veto e ângulo ente vetoes O escala X Y obtdo pelo poduto nteno de X com Y eduz-se ao poduto escala famla no sstema de coodenadas catesanas. Podemos assm defn a magntude X de um veto X ou o seu assocado X atavés da equação ( ) X X X = g X X = g X X. (6-3) Podemos também defn o ângulo θ ente os vetoes A e B (lembe-se de que estes epesentam obetos geométcos que também podem se desctos pelos componentes covaantes A e B ) como sendo o poduto nteno dos vetoes untáos α e β obtdos a pat daqueles vetoes: A A B B cos θ α β onde α / e β = /. (6-4) É fácl ve que esses dos concetos (magntude e ângulo) são nvaantes e se eduzem aos concetos famlaes no espaço eucldano tdmensonal.

14 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 4 e) Popedades do detemnante métco Substtundo T po g na Eq. (5-) obtemos g = J g ; (6-5) ou sea como qualque detemnante de um tenso de a odem covaante o detemnante métco é um escala elatvo de peso. Tando a az quadada de ambos os membos da equação acma obtemos (admtndo g > 0) g = J g (6-6) ou sea g é um escala elatvo de peso. Ele desempenha um papel mpotante nas ntegações; po exemplo temos que De fato usando a Eq. (6-6) obtemos N dv g dx dx dx = Invaante. (6-7) N N N dv = g dx dx dx = g J dx dx dx = g dx dx dx = dv. Assm concluímos que se φ fo um nvaante então φ dv = φdv V V. (6-8) x. Re- A Eq. (6-7) é usada paa defn o elemento de volume no V N fato de que aquela equação é obtda natualmente patndo das coodenadas catesanas almente usando a notação A = ( ) paa a matz com elementos a / l a. Essa defnção decoe do vemos que J = = a al = det A det A = det A det A = det( AA ) = a a = a a = = g = g onde usamos popedades dos detemnantes bem conhecdas e também a Eq. (6-4). Potanto patndo do elemento de volume em coodenadas catesanas x mudando paa as coodenas cuvlíneas x e usando J = g vefcamos que a defnção de dv dada na Eq. (6-7) é consstente: N N N dv = dx dx dx = J dx dx dx = g dx dx dx dv. 7. Componentes físcos de um tenso Equaton Secton (Next) Num sstema de coodenadas cuvlíneas x otogonal ( g = 0 se ) sea veto qualque e ξ um veto untáo ( g ξξ = ). Temos a segunte defnção: X um Componente físco do veto X na deção de ξ ξ ξ ξ g X = X = X. (7-)

15 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 5 Essa é uma expessão nvaante que em coodenadas catesanas z (nas quas Z e ζ são os componentes catesanos dos vetoes X e ξ espectvamente) toma a foma ( ) X ξ = Z ζ. (7-) Sendo esse poduto escala dos vetoes Z e ζ a poeção otogonal usual de Z na deção de ζ ustfcada está a defnção na Eq. (7-). No caso de um tenso de a odem os seus componentes físcos são calculados nas deções de dos vetoes untáos ξ e η (que podem concd) sendo defndos como segue: ( etc. ) ξη ξη ξη T = T = T (7-3) A extensão da defnção de componentes físcos de tensoes paa os casos de odem supeo a 3 é óbva. Ressalva: Gealmente os vetoes untáos ξ η ao longo dos quas os componentes físcos são calculados são aqueles tangentes às cuvas coodenadas. Admtemos que esse é o caso ao nos efemos aos componentes físcos de um tenso que seão então denotados com uma baa em cma: Xξ X ξ Tξη T ξη etc. Um exemplo paa claea mas as déas: na notação odnáa os componentes físcos de um veto X são no sstema de coodenadas esfécas os coefcentes dos vesoes na equação X = X e + Xθ eθ + Xϕ eϕ pos X = e X = Z Xθ = eθ X = θ Z e Xϕ = eϕ X = ϕ Z onde θ ϕ e Z são os componentes catesanos de e e θ eϕ e X espectvamente. Nas Eqs. (7-) e (7-3) tanspaece que os componentes físcos de um dado tenso podem se calculados usando seus componentes contavaantes covaantes ou mstos (esses e os componentes físcos epesentam um mesmo obeto geométco confome á afmamos na Seç. 6c). Calculemos os componentes físcos de um veto ao longo das cuvas coodenadas em temos de seus componentes contavaantes ou covaantes. Paa faclta a exposção consdeamos um espaço tdmensonal. É necessáo usa a Eq. (7-) tês vezes em cada uma com o veto untáo ξ tangente a uma das cuvas coodenadas. Oa dada uma cuva x = x () s qualque (paametzada pelo compmento de aco) sabemos que o veto untáo tangente é ξ = dx / ds. No caso de se ela a cuva de x 3 (onde x = x = constante) como mosta a fgua à deta o veto untáo tangente é ξ cuva de x dx / ξ = ds ξ = 0 3 ξ = 0. Sendo esse um veto untáo temos que = g ξ ξ = g ξ ξ = g ( ξ ) ( ) Nas coodenadas catesanas não sendo os índces dstngudos pelo caáte contavaante ou covaante escevemo-los como subíndces (cf. a essalva feta ao fnal da Seç. 6c)

16 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 6 donde calculamos ξ e abaxando o índce também ξ ξ eξ 3: / g g g g / g ξ = ξ = ξ = ξ =. (7-4) Potanto de acodo com a defnção dada na Eq. (7-) o componente físco do veto X ao longo da cuva de x é dado po X = X ξ = Xξ = X/ g. Ao longo das cuvas de x e x 3 temos esultados smlaes. Logo os componentes físcos de X no sstema de coodenadas cuvlíneas consdeado são X/ g X / g e X3/ g 33 ; (7-5) estes são calculados em temos dos componentes covaantes X X e X 3. Paa calcula os componentes físcos em temos dos componentes contavaantes usamos a expessão na Eq. (7-) que envolve esses componentes: X = X ξ = X g / g = X g / g = X g é o componente físco ao longo da cuva de x ; este e os outos dos são X g X g e 3 X g. (7-6) 33 Em esumo: X X = = X g g X X = = X g g X X = = X g. (7-7) g33 No caso de um tenso de a odem os componentes físcos são calculados pelo mesmo pocedmento. Po exemplo seleconando ξ ao longo da cuva de x e η ao longo da cuva de x temos que 3 3 ξ = ξ = 0 ξ = 0 e η = 0 η = η = 0 g g bem como ξ = ξ = ξ = δ = δ e g g g g g η = η = η = δ = δ ; g g g g g potanto o componente físco de T nessas deções é T T = T ξη = T ξη = g g ou em temos dos componentes contavaantes ξη δ δ T = T = T g g = T g g. Em esumo os nove componentes físcos desse tenso tanto em temos dos seus componentes covaantes quanto dos contavaantes são

17 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 7 T = T T T3 3 T g T g g T g g g 33 g g g g33 T T T 3 3 = T g g T g T g g g 33 g g g g33 T3 T3 T T g33 g T g33 g T g g 33 g33 g g33 g 33 (7-8) ( ) Os manuas de fómulas matemátcas gealmente lstam os fatoes de escala h em temos dos quas o elemento de compmento de aco é dado po donde faclmente concluímos que ds = h ( dx ) + h ( dx ) + h 3 ( dx ) (7-9) g g g33 g = h g = h e g33 = h3 (7-0) esultados útes paa a utlzação das Eqs. (7-7) e (7-8). 8. Equação da lnha geodésca Equaton Secton (Next) Consdee todas as cuvas que lgam dos pontos fxos P e P. Em geal dente todas essas cuvas apenas uma denomnada geodésca ente P e P tem compmento meno que o de todas as outas. Segue um método de detemná-la. Admta que uma das cuvas que lgam P e P tenha a paametzação x = x () t t [ t t ] (8-) onde t é um paâmeto genéco e x ( t ) e x ( t ) são espectvamente as coodenadas de P e P. O seu elemento de compmento de aco é logo seu compmento é ds = ds = g dx dx = g x x dt ; (8-) t t = sdt com s g x x. (8-3) As equações paamétcas x () t da geodésca mnmzam a ntegal que fonece as quas segundo o Cálculo de Vaações são dadas pelas equações de Eule-Lagange (cf. Ap. C): d s s 0. dt = (8-4) Lembando que g não depende explctamente de x temos que

18 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 8 ( ) s ( g x x ) g = g x x = = x + x g x x s g g x + g x g x g x = ( δ x + x δ ) = = = s s s s e que s g = ( g x x ) = x x ; s s esses esultados substtuídos na Eq. (8-4) fonecem d g x g xx 0. dt s s = Até agoa usamos um paâmeto completamente genéco ao longo da geodésca solução da equação acma. Se tomamos como paâmeto o compmento de aco meddo desde o ponto P então s = e s = 0 passando a equação acma a te a foma ( g ) d dx g dx dx d x dg dx g dx dx = g + = ds ds ds ds ds ds ds ds ds O segundo temo pode se escto assm: 0. dg dx g dx dx g dx dx g dx dx = = + ds ds ds ds ds ds ds ds Logo substtundo essa equação na anteo obtemos. g g g + + = 0. ds ds ds d x g dx dx Intoduzndo nesta equação o chamado símbolo de Chstoffel de a espéce obtemos com l no luga de g g g [ ] + g l d x ds dx dx + [ l] = 0. ds ds (8-5) Po fm multplcando po l g e ntoduzndo o símbolo de Chstoffel de a espéce g l [ l] (8-6) encontamos a equação da geodésca na foma nomalmente apesentada na lteatua d x ds dx dx + = 0 ds ds (8-7)

19 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 9 cua solução fonece a paametzação x () s da geodésca no espaço que é caactezado pela métca g. Note pela Eq. (8-5) que o símbolo de Chstoffel de a espéce é smétco nos dos pmeos índces ( e no caso) e potanto pela Eq. (8-6) que também o de a espéce é smétco mas nos dos índces nfeoes. Da Eq. (8-6) é fácl deduz que gm = [ m]. (8-8) Um meo mnemônco de memoza as Eqs. (8-6) e (8-8) é consdea váldas as opeações de levanta e abaxa índces paa os símbolos de Chstoffel. Assm na Eq. (8-6) o índce l de [ ] é abaxado como m l é levantado como paa se obte { } e na Eq. (8-8) o índce de { } paa se obte [ m ]. As seguntes elações envolvendo os símbolos de Chstoffel e a métca são útes nas aplcações e são deduzdas nos execícos esolvdos (cf. Pobs. 37 e 38): g = [ ] + [ ] g l l = g g l l g = g (8-9) (8-0) (8-) g = g g = g g = g Na lteatua em vez de { } também se usam { } e onde g = 0 e com a convenção da soma suspensa (8-) (8-3) (8-4) Γ ; esta últma notação entetanto sugee um caáte tensoal que como veemos adante não é vedadeo em geal. 9. Le de tansfomação dos símbolos de Chstoffel Equaton Secton (Next) Consdee o símbolo de Chstoffel de a espéce no sstema de coodenadas g g g [ ] + ; x : (9-) paa obtê-lo no sstema de coodenadas x calculemos nesse sstema o pmeo temo ente paênteses fazendo uso da ega da cadea e da le de tansfomação da métca:

20 g INTRODUÇÃO AOS TENSORES 0 x ( m x n gmn x ) l x m x n x ( m x n x m x n gmn gmn ) = = + + l Desta equação com duas pemutações ( g / g / g / ) obtemos no sstema x os dos últmos temos da Eq. (9-); substtundo nesta os esultados encontamos. l m n m n m n [ ] g mn x x x x g x x = + x mn + l l m n m n m n gmn x x + + g mn + l lm l m n m n gmn x g mn l lmn nlm m n x + x x x l m n m l n n l m m n mn ln lm x g l m n mn g g g = + + l m n m n gmn gln glm g l m n mn x = + + (onde ndcamos as tocas de índces de acodo com o odapé da p. 8) ou l m n m n x [ ] = [ lm n] + gmn. (9-) Esta é a le de tansfomação do símbolo de Chstoffel de a espéce. Obseve que o segundo temo no o membo mpede que [] se tansfome como um tenso do tpo 0 3 (covaante de 3a odem). Calculemos agoa o símbolo de Chstoffel de a espéce no sstema de coodenadas em temos desses símbolos no sstema de coodenadas x. Usando a Eq. (9-) temos s l m n m n s ab x = g [ s] = g [ lm n] g a b + s mn s l m s n m s n ab x ab = g [ lm n] + g g a b s a b s mn δ n b l m m an g [ lm n] a m x = + a { lm} δ n b δ a m x

21 INTRODUÇÃO AOS TENSORES ou tocando a po n l m n m x = + lm n m. (9-3) Esta é a le de tansfomação do símbolo de Chstoffel de a espéce. Novamente note que é o se tansfome como um tenso do tpo. segundo temo no o membo que mpede que { } Da (9-3) podemos calcula em temos dos símbolos de Chstoffel de a espéce uma expessão paa x /. Multplcando tal equação po / x m a obtemos a a l m n a m x = + lm n m δ a n δ a m donde a a l m x a = lm. (9-4) Nesta expessão podemos nvete x e x paa obte a a l m x a = lm. (9-5) 0. Devada covaante Equaton Secton (Next) a) Devada covaante de tensoes Exceto no caso da dfeencação de uma função φ ( x ) nvaante paa a qual φ / x = ( φ / )( / x ) mostando que φ / x é um veto covaante as devadas pacas de a tensoes não esultam em novos tensoes. Consdee po exemplo um veto contavaante V ; n dfeencando em elação a x ambos os membos de sua le de tansfomação obtemos a x V = x a V a a a a = V n n = + n n V V x V. a No o membo o o temo mpede que V / x se tansfome como um tenso de a odem do tpo. Entetanto elmnando a devada segunda x a / que apaece naquele temo po meo da Eq. (9-5) encontamos n

22 INTRODUÇÃO AOS TENSORES a a a l m V V a = + V n n n lm a a m l V a = + V V n n n lm m V δ l n a V m a = V V n + nm ou a a V m a V + V V n = nm n + (0-) onde vemos que os temos ente colchetes é um tenso de a odem do tpo (pos se tansfoma como tal); a expessão desses temos é usada paa defn a devada covaante do veto contavaante V (em elação a x e com espeto à métca g ncopoada nos símbolos de Chs- toffel) e é denotada de váas maneas: V DV + V V ; ou ou V ou V ; (0-) Dx aqu daemos pefeênca às duas pmeas fomas. A Eq. (0-) mosta que à devada pacal V / x devemos adcona um temo "coe- tvo" { } V no caso paa obtemos um tenso: a devada covaante V ;. Veemos que sso n vale paa qualque tenso T : T ; n = T / + temos "coetvos". Se consdeamos agoa um veto covaante a le de tansfomação V = V / x obtemos a V e dfeencamos em elação a x a sua V a a a Va x = V a = + V a. Nesta elmnando a devada segunda po meo da Eq. (9-4) encontamos V a a l m Va a = + V a lm ou

23 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 3 V a V V a V = = V ( ) a l m Va a = V a lm a m e l a m l Vm l m l = V lm m l Vm = V l lm ( ) onde vemos que os temos macados po ( ) fomam um tenso de a odem do tpo 0 ; acabamos de ustfca a segunte defnção paa a devada covaante de um veto covaante: V m Vml ; V l lm. (0-3) A defnção de devada covaante pode se estendda paa qualque tenso. Podemos enteve como sea a fómula da devada covaante de um tenso genéco po smples nspeção das Eqs. (0-) e (0-3). Mas paa que a ndução que conduz à fómula geal da devada covaante sea bem compeendda calculemos a devada covaante do tenso msto T empegando uma vez mas o método como a obtvemos acma paa o caso dos vetoes contavaantes e a a s b s covaantes: Devando a le de tansfomação T = ( / )( / ) Tb em elação a x e usando as Eqs. (9-4) e (9-5) paa elmna as devadas segundas obtemos a a b a b s b a a b s Tb s x s x = T s b = + T s b + T s b s T ( ) b a l m s a a b l m s x b = ( ) + Tb s s + Tb lm s = lm { } δ a s { lm} b a b m a b s s l s ( ) + Tb T b s + Tb s x x x s m a T T a l m s b { } T { } b s lm x mb l a b s Tb s s m m a a = T s + b Tm T + T b m. Reaanando os esultados encontamos

24 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 4 a T a b s m a a Tb s s m + T T = T s + b Tm m b ( ) ( ) onde vemos que os temos macados po ( ) um tenso de 3 a odem do tpo é a devada covaante deseada: s s Tb s s m Tb ; + Tb Tm. (0-4) b Agoa é fácl esceve a devada covaante de qualque tenso; po exemplo: Tl s s s s l ; n = + l + l sl s. n T T T T T sn sn n ln (0-5) Caso não se quea deduz esta fómula pelo pocedmento acma não é dfícl mosta que a expessão de T l ; n acma se tansfoma de fato como um tenso do tpo que os índces ndcam (do tpo 3 ). A qualfcação covaante paa esse tpo de devada é ustfcada pelo fato de se o esultado dessa dfeencação um tenso com um índce covaante a mas. A devada covaante de um escala φ( x) em elação a x é defnda smplesmente po φ; φ/ x á que esta devada pacal é um tenso (um veto covaante). Também não há dfculdades em se vefca que as egas paa a dfeencação covaante de somas e podutos de tensoes são as mesmas da dfeencação odnáa; obseve os seguntes exemplos no caso de podutos: B l ( A B l) ; n A ; n B n l A B l; n DA ( ) = = + (devada covaante de poduto nteno) Dx B lm ( A B lm) ; n A ; n B n lm A B lm; n DA ( ) = = + (devada covaante de poduto exteno) Dx O teoema de Rcc cua demonstação é dexada paa os execícos (cf. Pob. 40) dz seem nulas as devadas covaantes do tenso fundamental e dos seus tensoes assocados: ; ; ; g = 0 ; g = 0 ; δ = 0. (0-6) Podemos então dze que tas tensoes "compotam-se como constantes" sob a dfeencação covaante. Isso ustfca po exemplo abaxa o índce em T ; como nomalmente faíamos l ; Tl; g T = pos l l l ; l ; ; g T = ( g T ) = T. (0-7) Ressalva: Obseve pela Eq. (0-5) que os temos "coetvos" a que nos efemos antes (que devem se adconados à devada pacal do tenso paa que o e-

25 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 5 sultado sea um tenso) são multplcações do tenso po símbolos de Chstoffel de a espéce. Oa estes símbolos se anulam num sstema de coodenadas catesanas: nestas o tenso métco é constante [cf. Eq. (6-7)] e a Eq. (8-5) mosta que os símbolos de Chstoffel de a espéce devem se nulos e po consegunte também os de a espéce [cf. Eq. (8-6)]. Potanto num sstema de coodenadas catesanas todos aqueles temos "coetvos" são nulos e a devada covaante eduz-se à devada pacal usual. Ao le esta seção o aluno deve te fcado ntgado sobe o que tem a devada covaante a ve com as geodéscas a ponto de esses dos concetos apesentaem em comum temos tão especas quanto os símbolos de Chstoffel. A azão dsso é dada no fnal da Seç.. b) Devada covaante de tensoes elatvos Deduzmos este tópco de duas maneas sendo a segunda delas mas smples e o estudante com pessa pode pula a pmea possegundo no texto que se nca logo após a Eq. (0-). Na pmea manea de deduz a devada covaante de tensoes elatvos fundamental é a fómula da devada pacal do acobano J = / x J x x = a a J (0-8) cua demonstação é dexada paa a seção de execícos esolvdos (cf. Pob. 46). Elmnando a devada segunda usando a Eq. (9-4) obtemos a l m l J a a = J J a = lm al (0-9) equação que seá de uso mas deto nas deduções que seguem. O pocedmento é o mesmo que fo usado paa tensoes absolutos. Comecemos com o caso de um escala elatvo de peso W f ; dfeencando em elação a x ambos os membos de sua le de tansfomação W f = J f e usando a Eq. (0-9) paa elmna a devada do acobano obtemos f l W J W f x = WJ f + J l W a = Wf J J + J al l l W f x l l l W W a W f = Wf J J Wf J + al l f ou

26 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 6 l f W x a W f f J W = f l x x x al onde vemos que os temos ente colchetes é um veto elatvo covaante de peso W (pos se tansfoma como tal); a expessão desses temos é usada paa defn a devada covaante de f (um escala elatvo de peso W ): f s f ; l W f. l (0-0) sl V a ; dfeencando em ela- Consdee agoa um veto elatvo contavaante de peso W n ção a x ambos os membos de sua le de tansfomação a a W x J V = V usando a Eq. (0-9) paa elmna a devada do acobano e a Eq. (9-5) paa elmna a devada segunda que suge obtemos a a a W W W V J J V n n n V J = + a x = W J J + J + J n al a a x W l a W a W V = W V J W V J n n + J n x al ou a l a a W W V W V n V n n a V m V l a l m W a + J n V lm m l a a W a W V a = WV J V n n + J W n + V V lm a δ l n a a V m a a W V a +V W J W n V = + mn n n V V a onde vemos que os temos ente colchetes é um tenso elatvo de peso W do tpo ; ele é usado paa defn a devada covaante de V ( um veto elatvo contavaante de peso W ): V s V ; + V W. V (0-) s

27 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 7 Olhando paa as fómulas de devadas covaantes de tensoes elatvos deduzdas acma Eqs. (0-0) e (0-) vemos que é o seu últmo temo que as tonam dfeentes daquelas efeentes a tensoes absolutos sendo potanto fácl a genealzação paa uma tenso elatvo de odem e tpo qualque T : s T ; a = (temos usuas caso T fosse um tenso) W T. (0-) sa A segunda manea mas smples de se chega a essa defnção de devada covaante de tensoes elatvos basea-se naquela dada paa tensoes absolutos. É fácl mosta que se T W / g fo um tenso elatvo de peso W T T seá um tenso absoluto do mesmo tpo (cf. Pob. ). A devada covaante deste também seá um tenso absoluto cua multplcação W / po g fonece de volta um tenso elatvo de peso W. Este é po defnção a devada covaante de T : W / W / ; a g ( g ) ; a T T. Desenvolvendo essa expessão obtemos o membo deto da Eq. (0-): T W / W / ; a g g T a W / ( g T {}) = ( ) + x = W / W ( W /) g T W / g g T g a + + a = T g + a ( {}) W T T g a ( ) ( ) ( T {}) onde macamos com ( ) os temos usuas caso T fosse um tenso absoluto [obvamente po ( { } ) T denotamos os temos que envolvem os símbolos de Chstoffel] e em vsta da Eq. (8-) podemos dentfca o temo assnalado po ( ) com { s } A Eq. (0-) no caso especal de W = (.e. de uma densdade vetoal contavaante) e com = fonece um esultado muto mpotante: sa. V V ; = ( V : veto elatvo contavaante de peso ). (0-3) x Esta equação é válda em qualque sstema de coodenadas; nas catesanas em patcula o o membo é a dvegênca do campo fomado pelas N gandezas V o que ustfca dze que a equação acma defne a dvegênca covaante de V um escala elatvo de peso (cf. Pob. 47).

28 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 8. Devada ntínseca ou absoluta Equaton Secton (Next) C Consdee um veto V : x ( t) qualque num ceto ponto de uma cuva C dada paametcamente po x () t. Tomando em cada ponto da cuva um veto eqüpolente a V [.e. de mesma magntude e deção ( ) que V ] temos o que chamamos de um campo V ( x () t ) vetoal eqüpolente ao longo de C. Se utlzamos um sstema de coodenadas catesanas x os componentes V do campo consdeado seão constantes e dv / dt = 0. Já num sstema de coo- denadas cuvlíneas x os componentes V desse mesmo campo não satsfazem necessaamente uma equação smla dv / dt = 0 pos os componentes em elação a uma base que mu- da de ponto a ponto (o que caacteza as coodenadas cuvlíneas) cetamente vaam. Suge assm a questão: em coodenadas genécas que equação é satsfeta pelo campo consdeado? Na obtenção da esposta constataemos o pode da descção tensoal. Pmeamente obseve que a equação dv / dt = 0 dscutda acma pode se assm escta: dv V dx DV dx 0 = = = (-) dt dt x Dx dt onde na últma passagem usamos o fato de que em coodenadas catesanas a devada pacal é gual à devada covaante (cf. a essalva feta no fnal da Seç. 0a). O temo macado po ( ) sendo o poduto de dos tensoes é também um tenso cua mpotânca gaante-lhe nome e notação especal: devada ntínseca do veto V ao longo da cuva x () t (num sstema genéco de coodenadas) comumente denotada po meo do símbolo δ e sendo encontada na lteatua em váas fomas equvalentes: δv DV dx V dx dv dx = V V δ t dt + Dx x = + dt dt dt (-) onde substtuímos a expessão da devada covaante de V. Oa a Eq. (-) dz que δv / δt = 0 (devada ntínseca nula em coodenadas catesanas); mas sendo essa uma equação tensoal ela vale em qualque sstema de coodenadas. Recpocamente se um campo fo tal que δv / δ t = 0 ao longo de uma cuva essa equação em coodenadas catesanas x eduz-se à equação dv / dt = 0 pela qual concluemos que se tata de um campo eqüpolente ao longo da cuva dada. Podemos esum a esposta ao poblema posto como segue: a devada ntínseca de um campo V de vetoes ao longo da cuva x () t é nula.e. δv δ t se e somente se esse campo fo eqüpolente ao longo da cuva. ( ) = 0 (-3) ( ) Dos vetoes têm a mesma deção se o ângulo ente eles segundo a defnção dada na Seç. 6d fo nulo.

29 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 9 A devada ntínseca é faclmente estendda ao caso de um tenso genéco; po exemplo temos que m δt l DT l dx. (-4) δ t m Dx dt Usando a notação da devada ntínseca podemos eesceve a equação da geodésca dada pela Eq. (8-7) como segue: ( ) d x dx dx d dx dx dx dv dx δv + V 0 = + = + = = ds ds ds ds ds ds ds ds ds δ s onde o veto V dx / ds é tangente à geodésca e untáo. Potanto a geodésca é a cuva ao longo da qual os vetoes untáos tangentes fomam um campo eqüpolente (.e. apesentam devada ntínseca nula). No espaço tdmensonal eucldano esse fato é óbvo: as geodéscas são lnhas etas cuos vetoes untáos tangentes são claamente paalelos. Essa ntepetação da equação da geodésca como sendo uma devada ntínseca nula esponde à questão levantada ao fnal da Seç. 0b a de sabe qual elação ente os concetos de geodésca e devada covaante explcaa nesses a pesença dos símbolos de Chstoffel.. Fomas tensoas do gadente dvegênca laplacano e otaconal Equaton Secton (Next) a) Gadente Consdee a função escala φ ( x). Defnmos o gadente de φ num sstema genéco de coodenadas cuvlíneas x como sendo o veto covaante (gad φ) φ = φ ; (-) pela smples azão de φ / x se um tenso (um veto covaante como fo dto) que nas coodenadas catesanas concde com a defnção usual do gadente. b) Dvegênca F como a segunte conta- Defnmos a dvegênca de um campo vetoal contavaante ção de sua devada covaante: A azão é smples: como a devada covaante ; dv F F. (-) F ; F = + F em coodenadas catesanas tona-se na devada pacal F / x então o nvaante F ; nessas coodenadas eduz-se à conhecda fómula dv F = F /. Os componentes contavaan- tes F são usados na defnção dada na Eq. (-) poque no caso dos componentes covaantes F ; esulta num tenso de a odem covaante em vez de um escala como há de se o dv F.

30 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 30 Obtemos dv F a dvegênca em temos dos componentes covaantes do veto usando a nvaânca dessa gandeza: logo dv F = dv F ; (-3) = = ; = ; dv F dv F F ( g F ) ou lembando que g "compota-se como uma constante" sob a dfeencação covaante [cf. Eq. (0-7)] obtemos dv F = g F (-4) ;. Feqüentemente encontamos na lteatua a segunte fómula paa a dvegênca: ( g F ) dv F = g (-5) deduzda na seções de execícos esolvdos (cf. Pob. 49). c) Laplacano O laplacano de uma função nvaante das coodenadas x é defndo como sendo o nvaante que se obtém calculando a dvegênca do gadente de φ : φ dv(gad φ). (-6) Podemos desenvolve esta expessão e obte duas fómulas do laplacano usadas na lteatua físca. Pmeamente usando as Eqs. (-3) e (-5) obtemos φ = dv(gad φ) = dv(gad φ) = g (gad φ) g φ gg (gad φ) gg = =. g g (-7) De outo modo usando as Eqs. (-4) e (0-3) encontamos (gad φ) φ = dv (gad φ) = (gad φ) = (gad φ) φ φ φ φ = g g ( ). = g ; g (-8) Destaquemos a expessão nvaante do laplacano obtda de passagem acma que também apaece com feqüênca na lteatua. φ = g φ (-9) ;

31 INTRODUÇÃO AOS TENSORES 3 d) Rotaconal No espaço eucldano tdmensonal paa um veto V de componentes V nas coodenadas catesanas x temos que se R E ( V ) então R 3 R 3 e R são espectvamente os componentes catesanos do otaconal de V ao longo dos exos x x e 3 x [ R3 = E 3( V ) = ( V ) etc] e os demas valoes de R devdo à ant-smeta nos índces l e m ou são nulos (se l = m) ou o negatvo de um daqueles componentes. Em suma apenas tês valoes de R são ndependentes e são eles os componentes catesanos de V. Mas usando a Eq. (B-0) e lembando que num sstema catesano as devadas pacas podem se substtuídas pelas devadas covaantes podemos esceve R V x x V = V V ; ;. Oa essa expessão é tensoal. Está assm ustfcada a defnção do otaconal de um veto covaante V num sstema de coodenadas cuvlíneas x como sendo o tenso covaante de a odem ant-smétco R V; V;. Computando essas devadas covaantes obtemos V = R V V ( V ) ou sea chegamos à segunte expessão mas smples do otaconal: Rotaconal de V = V V. (-0) Obseve que paa um veto contavaante a dfeença V ; V ; de devadas covaantes não é gual à dfeença V / V / x de devadas pacas. 3. Tenso de cuvatua ou de Remann-Chstoffel Equaton Secton (Next) Uma condção sufcente paa que as devadas pacas duplas f y e f y seam guas é que f ( x y ) sea da classe C. Emboa se admta que componentes de tensoes sempe satsfaçam tal condção sso não gaante que uma dfeencação covaante dupla ndependa da odem em que cada uma sea calculada. Assm po exemplo paa um veto V a temos que V a ; V a; em geal. Deduzmos em seguda a condção paa que a odem de cálculo da devada covaante não mpote.