Simulação Numérica de radiação sonora através do Método de Elementos de Contorno

Transcrição

1 Simulação umérica d radiação sonora através do Método d Elmntos d Contorno Emrson S. Costa Mstrando m Modlagm Matmática Computacional, CEFET-MG 3.5-, Blo Horizont, MG mrsondsousa@yahoo.com.br Estr. M. Borgs CEFET-MG Dpartamnto Acadêmico d Disciplinas Básicas 3.5-, Blo Horizont, MG str@ds.cftmg.br Márcio M. Afonso CEFET-MG Dpartamnto Acadêmico d Engnharia Elétrica 3.5-, Blo Horizont, MG marciomatias@ds.cftmg.br Rsumo: Com o advnto dos computadors o dsnvolvimnto cintífico tcnológico, problmas altamnt complxos pudram sr simulados computacionalmnt utilizando modlos matmáticos qu prmitiram incluir um númro muito maior d variávis. Alguns dsss problmas stão rlacionados com a radiação acústica d fonts sonora, cua modlagm é d fundamntal importância para comprndr a propagação das ondas acústicas, consqüntmnt, dsnvolvr mcanismos para rdução d ruídos acústicos. A propagação d ondas acústicas nvolv fnômnos difrnts como radiação, absorção, transmissão rflxão. A formulação analítica da Equação linar da onda acústica é obtida através da quação d Consrvação da Quantidad d Movimnto, quação d Estado d Continuidad. A partir dssas quaçõs, ncontra-s a quação difrncial d Hlmholtz qu dscrv o problma da radiação acústica. ss trabalho é obtida a solução da quação difrncial d Hlmholtz para um cilindro infinito pulsant m um mio livr homogêno. A solução analítica é implmntada os rsultados obtidos são comparados com os da litratura. A formulação numérica para st problma é obtida usando o Método dos Elmntos d Contorno (MEC). Est método aprsnta grand podr para solução d dtrminados problmas acústicos m campo abrto, m rlação aos métodos difrnciais. O MEC rduz a dimnsão do problma, simplificando com isso os dados d ntrada a srm trabalhados rduzindo o tmpo computacional utilizado.. ITRODUÇÃO O som pod sr dfinido como uma variação da prssão ambint dtctávl plo sistma auditivo o ruído como um som sm harmonia. Um mcanismo bastant comum para grar sons consist m fazr vibrar uma strutura. Estruturas vibrants movimntam ciclicamnt as moléculas do ar ao su rdor, grando localmnt concntração rarfação dstas, o qu provoca variaçõs d prssão. A propagação sonora ao ar livr é normalmnt studada m trmos d três componnts: a font sonora, a tratória d transmissão o rcptor. Primiramnt, a font mit uma crta potência sonora, grando um nívl sonoro qu pod sr mdido nas proximidads da font. A partir daí, o nívl sonoro é atnuado à mdida qu o som s propaga, ntr a font o rcptor, ao longo d dtrminada tratória. A modlagm da radiação acústica é d fundamntal importância para s comprndr a propagação das ondas acústicas, consqüntmnt, dsnvolvr mcanismos para atnuação d ruídos acústicos. Para stimativas d nívis d prssão sonora, é prciso conhcr os nívis d potência sonora das fonts m qustão. 67

2 A distribuição d prssão m fluido suita a uma font d vibração é dada pla quação d Hlmholtz. A ddução dsta quação comça plas quaçõs qu govrnam os fluidos, considrando algumas rstriçõs. st trabalho é aprsntada a solução analítica da quação d onda para um cilindro infinito qu stá vibrando (xpandindo contraindo) uniformmnt na dirção radial com amplitud constant. Essa solução ncontrada é ntão comparada com a litratura. Uma formulação numérica para st problma também é aprsntada, através da formulação dirta do Método dos Elmntos d Contorno. Atualmnt, o Método dos Elmntos d Contorno é um dos métodos mais avançados utilizados spcialmnt quando s trata d problmas considrando mios infinitos smi-infinitos, pois prmit a rdução da dimnsão do problma, rduzindo o númro d quaçõs utilizadas, prmitindo a solução apnas no contorno, sm ncssidad d s analisar todo o su domínio. A solução numérica para o problma dscrito, usando o Método dos Elmntos d Contorno, stá m fas final d implmntação.. EQUAÇÃO DE ODA A quação qu govrna o fnômno da radiação acústica é ncontrada através as quaçõs d stado, d consrvação da massa, da consrvação da quantidad d movimnto. Para mios fluidos, a quação d stado rlaciona grandzas físicas qu dscrvm o comportamnto trmodinâmico do fluido. β ( ) P P = () ond P é a prssão instantâna m um ponto, P é a prssão d quilíbrio no fluido, β é o módulo adiabático (coficint d xpansão térmica do fluido), é a dnsidad instantâna m um ponto é a dnsidad d quilíbrio do fluido. Podmos dfinir a condnsação s m um ponto como a variação da dnsidad d quilíbrio s = xprssar a Equação () m trmos da prssão acústica p da condnsação s p β s () ond p = P P é a prssão acústica. Esta aproximação é limitada às ondas d amplituds rlativamnt pqunas cua mudança na dnsidad do mio é pquna comparada com su valor d quilíbrio, isto é, a condnsação s dv sr muito pquna, s <<, Kinslr t al., (98). Esta suposição é ncssária, para chgar a uma toria simpls para sons m fluidos, qu dscrv adquadamnt a maioria dos fnômnos comuns m acústica. Para rlacionar o movimnto do fluido com sua comprssão ou xpansão, prcisamos d uma função qu rlacion a vlocidad u da partícula do fluido com sua dnsidad instantâna. Considra-s um lmnto infinitsimal d volum d fluido, fixo no spaço. A quação d continuidad rlaciona a taxa d crscimnto d massa nss lmnto d volum, com o fluxo d massa através da suprfíci fchada qu o nvolv. Uma vz qu o fluxo d massa dv sr igual à taxa d crscimnto, obtm-s a quação d continuidad. s + u = (3) t A quação d movimnto rlaciona a prssão acústica p com a vlocidad u instantâna d partícula, para um fluido adiabático não viscoso, isto é, os fitos da viscosidad do fluido são dsprzados. Dssa manira ncontra-s a quação d Eulr (Equação d força) para fnômnos acústicos d pquna amplitud. = p (4) t Grau d adsão ntr as moléculas d fluido. 673

3 Combinando as Equaçõs (), (3) (4) obtm-s a quação d onda linarizada, para a propagação d sons m fluidos, xprssa m trmos da prssão acústica ond p p = (5) c t é o oprador Laplaciano c = β é a vlocidad d propagação da onda acústica no mio. Para fluidos não viscosos, a vlocidad da partícula é irrotacional, u =. Isso significa qu a vlocidad pod sr scrita como o gradint d uma função scalar φ, dnominada potncial d vlocidad, u = φ. Dssa manira, obtms a quação d onda linarizada, xprssa m trmos do potncial d vlocidad d onda acústica: φ φ. (6) = c t Para a solução da Equação (6), supõ-s o potncial d vlocidad com dpndência harmônica no tmpo. A partir da quação (6), ncontra-s a Equação d Hlmholtz indpndnt do tmpo para um mio sm prdas, xprssa m trmos d potncial d vlocidad d onda acústica: ( r) + k φ ( r) = φ (7) f f ond φ f rprsnta a part spacial do potncial d vlocidad, ω rprsnta a frqüência angular da vibração k é o númro d onda. 3. A SOLUÇÃO AALÍTICA Utilizando-s o método d sparação d variávis, obtm-s a part spacial da solução da Equação d Hlmholtz, dada pla Equação (6): ( kr) ( ka) () V H φ ( r, ψ, z) =, r a (8) () k H ond H ( ) ( u) H ) ( u ) ( são as funçõs d Hankl do º tipo d ordm, rspctivamnt, k é o númro d onda, a é o raio do cilindro, r é a dirção radial do potncial d vlocidad. A solução, dada pla Equação (8) é obtida para o caso spcial d radiação uniform (modo monopolo), isto é, a suprfíci do cilindro stá vibrando uniformmnt na dirção radial com uma amplitud d V mtros por sgundo, numa frqüência d f hrtz. 4. RESULTADOS E COMPARAÇÕES A solução analítica da quação difrncial d Hlmholtz foi implmntada no softwar MatLab os rsultados obtidos foram comparados com os obtidos por Papini (999), mostrados na Tabla xibidos no Gráfico. a anális dos dados, foram calculados o absoluto abs, o rro rlativo ao rsultado obtido por Papini (999) rl, dfinidos da manira qu s sgu abs = val val (9) rl = () val ond val é o valor obtido por Papini (999), val é o valor obtido nst trabalho. Frq. (Hz) Analítica Papini Analítica (Implm.) 6,5,779467, ,49396, ,593,593 5,886,886 Tabla : Comparação d rsultados Frq. (Hz) Erro absoluto Erro rlativo 6,5-7,E-9-9,7974E-9 5 7,E-9,6696E-8 5,5E-8 6,94755E-8 5,E-9 9,86E-9 Tabla : Erros 674

4 Modulo do Potncial d Vlocidad (m/ s),9,8,7,6,5,4,3,, Analítica Papini Analítica (Implmntada) 6, Frqüência (Hz) Figura : Comparação d rsultados implmntados Vrifica-s pla Figura qu o módulo do potncial d vlocidad diminui à mdida qu a frqüência aumnta. Isso pod sr vrificado na Equação (8), ond é mostrado qu o potncial d vlocidad é invrsamnt proporcional ao númro d onda k. Os rsultados obtidos nst trabalho, aprsntados nas Tablas mostrados na Figura, são bastant satisfatórios quando comparados aos rsultados obtidos d Papini (999), através do cálculo dos rros absoluto rlativo. 5. MÉTODO UMÉRICO 5. Vantagns do Método d Elmntos d Contorno Problmas d ngnharia são frqüntmnt dscritos por lis físicas, as quais são comumnt xprssas por quaçõs difrnciais parciais. Em muitos casos, uma rprsntação matmática altrnativa quivalnt do problma é ncontrada m trmos d quaçõs intgrais d contorno. A mais gral ftiva técnica numérica para solução d quaçõs intgrais d contorno é o Método d Elmntos d Contorno. Uma pculiaridad do Método d Elmntos d Contorno é qu l provê um modlo contínuo do domínio, uma vz qu nnhuma discrtização do msmo é rqurida, tornando-o dssa manira um método ficaz para solução d problmas d domínio infinito. As soluçõs nos pontos intrnos são calculadas após as incógnitas d contorno trm sido calculadas, d manira smlhant a um pós-procssamnto. 5. Equação Intgral d Contorno A quação difrncial clássica, Equação d Hlmholtz, qu dscrv o problma d radiação acústica d um cilindro infinito pulsant foi dtrminada nos capítulos antriors. Para ncontrar a Equação Intgral no contorno, a partir da Equação d Hlmholtz, considra-s um corpo bidimnsional B imrso m um domínio infinito, rprsntado na Figura abaixo. Figura Rprsntação do domínio dos contornos A solução da Equação (7) qu dscrv o problma analisado suito a condição d contorno = (condição d umann) () é ncontrada através da solução d quaçõs intgrais d contorno. A Equação (7), qu é uma quação difrncial, é válida m todos os pontos do domínio. Para transformá-la m uma quação intgral, supõ-s qu la sa la pod sr não nula m todo o domínio, grando assim um rsíduo r. Com isso pod-s scrv-la da sguint forma: φ. () ( r ) + k φ( r ) = r, r O rsíduo da quação () é avaliado m cada ponto. Através do Método dos Rsíduos Pondrados, qu obtém a soma dos rsíduos no domínio. Para isso, insr-s uma função d pondração u para qu sta soma sa nula. Dssa forma, obtm-s 675

5 r u d =. (3) (4.) Substituindo a quação () na quação (3) obtm-s: ( + k φ) Aplicando o torma da φ u d =. (4) divrgência na quação () ncontra-s (4.3) u d + φ d n () φ u + k u d = Para obtr a solução da quação acima, tm-s qu fazr uso d algumas idntidads vtoriais, a sabr: u d + ( φ u ) d =. ( u k φ + φ u ) ( ). d () ( u φ) u φ u φ = (5) u = ( φ u ) φ u φ. (6) Aplicando a propridad distributiva a Equação (5) na Equação (4) obtm-s: ( u φ) d + ( u k φ u φ ) d =. (7) Aplicando o torma da divrgência na quação (7) obtm-s: u φ d + ( u k φ u φ) d = Sab-s qu: (8) φ d = φ nˆ d = (9) Assim, a Equação (8) torna-s: u d + ( u k φ u φ ) d = () Substituindo a quação (6) na quação () obtm-s: Dvido à propridad da função dlta d Dirac, tmos: ( u + k u ) φ d = φ ( r ). (3) Substituindo a quação (3) na quação () obtm-s: u φ d φ d φ( r ) =. (4) A quação acima foi obtida para pontos d colocação r prtncnts ao domínio, ond u é a solução fundamntal, rprsntada pla função d Grn. Esta solução é aprsntada para o corpo bidimnsional, Ciskowski t al. (99), como: u i = H ( kr) (5) 4 sua drivada é dada por ik R q = = H ( kr) (6) 4 n ond R é a distância ntr o ponto r o ponto d aplicação r ' no domínio. o Método dos Elmntos d Contorno, sta quação é aplicada no Contorno. Quando r = r ', o valor d R srá zro, causando um problma d singularidad nas Equaçõs (5) (6). Uma manira d vitar ss problma é considrar um ponto r ' no contorno, mas com o domínio ao su rdor sndo aumntado por um smi-círculo d raio ε, xaminar a solução no limit quando o 676

6 raio ε. Como st procsso limit dpnd apnas da ordm da singularidad do potncial d vlocidad φ, qu é a msma para os opradors d Hlmholtz Laplac, sgundo Papini, (999), é ralizado um studo das intgrais d contorno da quação (4) utilizando a solução fundamntal para a quação d Laplac no domínio. Dssa forma, chga-s na Equação Intgral no Contorno: u d φ d = φ( Y ). (7) Uma manira mais gral d rprsntá-la, na qual r ' pod star localizado no domínio, no contorno ou fora do domínio, pod sr formulada utilizando-s um trmo livr c( r' ) rlacionado à posição d r ', u d φ d = c( Y ) φ( Y ).(8) S o ponto r ' prtncr ao domínio xtrno ao corpo studado, su valor srá, s o ponto prtncr ao contorno ntão su valor srá s o ponto prtncr ao intrior do corpo, Ciskowski t al., (99) 5.3 Discrtização das Variávis Para a discrtização das variávis físicas gométricas do problma, o contorno é discrtizado m lmntos. Assum-s uma distribuição constant das variávis u u ao longo dos lmntos m qu o contorno foi discrtizado. Assim, das Equaçõs (3) (4) pod-s scrvr φ ( r' ) + φ ( r' ) u n = = ( r,r' ) d( r ) As intgrais ( r,r ') d d ( r ) = (9) u d quação acima são chamadas d coficints d influência, pois rlacionam a influência da na solução no ponto P, quando a solução fundamntal é intgrada sobr o lmnto Q. Rnomando as intgrais, tm-s G H = = u d (3) d (3) ond i rprsnta o ponto d colocação o lmnto m considração a sr intgrado. Assim a Equação (9) pod sr scrita da sguint manira φ ( r ') + φ H = G Dnominando H por = = n (3) H para i H = (33) H + para i = pois φ ( r ') é zro para os lmntos qu não contém a singularidad um para os qu contém. Dssa forma, chga-s a sguint quação = φ H = G q (34) = ond = q = (condição d umann) n conform dfinido antriormnt. o caso mais gral, as variávis u u são aproximadas por funçõs d intrpolação da forma E ( Q) = φmm( Q) m= φ (35) ond E rprsnta o grau da função intrpoladora. Assum-s qu a posição do nó i também varia d a. Assim, a solução fundamntal é aplicada m cada nó, o qu possibilita vrificar a influência d todos os outros lmntos no nó da singularidad dl nl msmo, obtndo-s um sistma d quaçõs xprsso na forma matricial, para cada ponto do contorno, como sgu 677

7 H φ = Gq (36) ond H G são duas matrizs x, φ é um vtor d dimnsão q é um vtor unitário d dimnsão. Insrindo-s todos os lmntos das matrizs H G corrspondnts às condiçõs d contorno dsconhcidas do lado squrdo aquls corrspondnts às condiçõs d contorno conhcidas do lado dirito, multiplicando as matrizs do lado dirito, forma-s o sguint sistma d quaçõs: Ay = b (37) ond y é o vtor dos valors d contorno dsconhcidos d φ. O vtor b é ncontrado multiplicando as colunas corrspondnts d H ou d G plos valors conhcidos d φ q. Uma dsvantagm do Método d Elmntos d Contorno é qu a matriz do sistma final é chia não simétrica. Após a rsolução no contorno é possívl calcular qualqur valor intrno do potncial ou d sua drivada. 6. COCLUSÃO A formulação analítica do problma d radiação acústica d um cilindro infinito pulsant foi ralizada nst trabalho, ond foi obtida a solução para o caso m qu a suprfíci do cilindro stá vibrando uniformmnt na dirção radial com uma amplitud d V o mtros por sgundo, numa frqüência d f hrtz. A solução analítica foi implmntada comparada com os valors ncontrados por Papini (999), ond s obsrvou qu os rsultados foram bastant satisfatórios. Foi ralizado o studo da formulação numérica do msmo problma, através do Método dos Elmntos d Contorno (MEC). Foi utilizada a formulação dirta do MEC scolhida para a solução da Equação d Hlmholtz, utilizando lmntos d contorno linars. ssa formulação do MEC, foi obtida a quação intgral d contorno para a quação qu dscrv o problma da radiação acústica d um cilindro infinito pulsant. O dsnvolvimnto matmático das intgrais d contorno, através do MEC, às vzs, não é tão fácil. As dificuldads stão rlacionadas com as soluçõs fundamntais rquridas nssa formulação qu nvolvm as Funçõs d Hankl Bssl. Além disso, não s pod squcr dos problmas d singularidads d algumas intgrais qu a matriz do sistma final é chia não simétrica. A solução numérica, através do método dirto do MEC, stá m fas final d implmntação. 7. REFERÊCIAS Brbbia, C. A., Walkr, S., Boundary Elmnt Tchniqus in Enginring. London, 98. Chrtock, Gorg, Sound Radiation from Vibrating Surfacs, Th Journal of th Acoustical Socity of Amrica, Volum 36, úmro 7, Julho 964, Páginas Ciskowski, R.D., Brbbia, C.A. Boundary Elmnt Mthods in Acoustics. Southampton- Boston: Computational Mchanics Publications, 99. Dbain, E.P., Trvlyan, J., Bttss, P., Wav Boudary Elmnts: a thortical ovrviw prsnting applications in scattring of short wavs. Enginring Analysis with Boundary Elmnts, Volum 8, Issu, Fbruary 4, Pags 3-4 Kinslr, L.E., Fry, A.R., Coppns, A.B., Sandrs, J.V. Fundamntals of Acoustics. w York: John Wily & Sons, 98. Papini, G. S., Estudo umérico d Barriras Acústicas. Dissrtação d Mstrado, UFMG, Blo Horizont, 999. Yoon, W.S., Park, J.M., Evrsman,W. Two- Dimnsional radiation and scattring at short wav lnght, Journal of Vibration and Acoustics, V., 99. Ziomk, L.J. Fundamntals of Acoustic Fild Thory and Spac-Tim Signal Procssing. Boca Raton: CRC Prss,