O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO A PROBLEMAS DE POTENCIAL BIDIMENSIONAIS COM ACOPLAMENTO ITERATIVO ENTRE SUB-REGIÕES

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1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO A PROBLEMAS DE POTENCIAL BIDIMENSIONAIS COM ACOPLAMENTO ITERATIVO ENTRE SUB-REGIÕES Carlos Ruy Nunz Barbosa TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. José Paulo Soars d Azvdo, Ph.D. Prof. Wb João Mansur, Ph.D. Prof. José Antonio Fonts Santiago, D.Sc. Eng. Francisco Manol Salgado Carvalho, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL FEVEREIRO DE 2005

2 BARBOSA, CARLOS RUY NUNEZ O Método dos Elmntos d Contorno Aplicado a Problmas d Potncial Bidimnsionais com Acoplamnto Itrativo ntr Sub-rgiõs. [Rio d Janiro] 2005 IX, 76 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc., Engnharia Civil / Rcursos Hídricos, 2005) Ts - Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE. Método dos Elmntos d Contorno 2. Campo Potncial Elétrico 3. Acoplamnto Itrativo I. COPPE/UFRJ II. Título ( séri ) ii

3 iii Para Carolina Pdro

4 Agradcimntos Ao Profssor Wb Mansur pla orintação, amizad apoio dmonstrado ao longo d todo o trabalho. Ao amigo Athanasio plo apoio constant no dsnvolvimnto do trabalho pla amizad dos últimos vint três anos. Ao profssor José Paulo pla oportunidad d dsnvolvr um trabalho multidisciplinar na Ára d Rcursos Hídricos. Ao profssor Santiago ao colga Salgado pla participação na banca apoio nos trabalhos. Ao colga Luís Adriano pla amizad apoio no dsnvolvimnto dos trabalhos. Aos colgas do CEPEL plo apoio incntivo. A scrtaria do PEC m spcial a Bth, Jairo, Ivon Raul plo apoio nos tratos administrativos. A minha sposa Simon ao pai Ewaldo Ruy pla paciência força dmonstrado durant todo o trabalho. A minha mã Marln qu stá smpr prsnt. Calos Ruy Nunz Barbosa iv

5 Rsumo da Ts aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M. Sc.). O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO A PROBLEMAS DE POTENCIAL BIDIMENSIONAIS COM ACOPLAMENTO ITERATIVO ENTRE SUB-REGIÕES Carlos Ruy Nunz Barbosa Fvriro/2005 Orintadors: José Paulo Soars d Azvdo Wb João Mansur Programa: Engnharia Civil Est trabalho tm como objtivo a anális d problmas linars d potncial bidimnsionais govrnados pla quação d Laplac, aplicando o método dos lmntos d contorno. O método numérico d solução é implmntado com a utilização do acoplamnto itrativo por sub-rgiõs. Esta técnica tm s mostrado muito promissora por prmitir a aplicação, idalmnt, d métodos numéricos técnicas d solução do sistma d quaçõs rsultants difrnts para cada sub-rgião. O programa computacional dsnvolvido visou o cálculo do campo létrico da distribuição d potncial m problmas ltrostáticos com um ou mais matriais dilétricos Finalmnt são aprsntados os rsultados das aplicaçõs dsnvolvidas para dmonstrar a validad da técnica numérica proposta no trabalho. v

6 Abstract of Thsis prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M. Sc.) BOUNDARY ELEMENTS METHOD APPLIED IN TWO DIMENSIONAL POTENCIAL PROBLEMS WITH SUB REGIONS ITERATIVE COUPLING Carlos Ruy Nunz Barbosa Fbruary/2005 Advisors: José Paulo Soars d Azvdo Wb João Mansur Dpartmnt: Civil Enginring Th prsnt work discusss th analysis of linar two-dimnsional problms govrnd by Laplac quation using boundary lmnt mthod. Th numrical solution algorithm mploys sub-rgions itrativ coupling. Th tchniqu sms to b promising as it allows th coupling of diffrnt numrical solution mthods, on ach rgion. Th softwar dvlopd calculats lctric fild and voltag distribution in lctrostatic problms with on or mor dilctric mdium. Finally, rsults and analyss ar prsntd in ordr to validat th proposd numrical tchniqu. vi

7 Lista d Principais Símbolos Constants Símbolo Dscrição Unidad / Valor D Dnsidad d fluxo létrico C/m 2 E, P Intnsidad d campo létrico. V/m ε, K Constant dilétrica F/m ρ Distribuição volumétrica d cargas létricas C/m 3 V, U Potncial scalar létrico V B Dnsidad d Fluxo magnético T H Intnsidad d campo magnético A/m J Dnsidad d Corrnt Elétrica A/m 2 Ω Domínio - Γ Contorno - σ Condutividad S/m µ Prmabilidad H/m vii

8 ÍNDICE CAPÍTULO - Introdução CAPÍTULO 2 - Problmas d Potncial Campo Eltrostático 4 2. Introdução Equaçõs d Maxwll o Problma Eltrostático Equaçõs d Laplac Poisson Métodos Numéricos aplicados à solução d problmas létricos 9 CAPÍTULO 3 - O Método dos Elmntos d Contorno 4 3. Introdução Equação Intgral do Contorno Soluçõs Fundamntais Sntnças d Rsíduos Pondrados para Equação d Laplac Equação Intgral d Contorno para Pontos Font no Contorno Valor do potncial do campo létrico para pontos intrnos 22 CAPÍTULO 4 - Implmntação Computacional Discrtização do Contorno Exprssão Matricial Cálculo d U P nos pontos intrnos Intgração numérica Nó duplo rcuado Solução do Sistma 34 CAPÍTULO 5 - Sub-rgiõs Introdução Soluçõs com montagm do sistma global Acoplamnto Itrativo Principais Algoritmos para implmntação 38 CAPÍTULO 6 - Programas Computacionais Entrada d Dados Dscrição do Contorno Gração dos Elmntos Idntificação das Sub-rgiõs Dfinição das Condiçõs d Contorno Dfinição dos Pontos Intrnos Programa MEC2Dq Dfinição do Arquivo d Saída Casos para tst do programa MEC2Dq Capacitor d Placas Parallas Tsts d Convrgência Tst d consistência do acoplamnto itrativo 58 CAPÍTULO 7 - Conclusõs Aspctos Grais Dsnvolvimntos Futuros 65 CAPÍTULO 8 - Rfrências Bibliográficas 66 viii

9 ANEXO - Arquivos d ntrada d dados 72 ANEXO 2 - Transformação d tlls 75 ix

10 CAPÍTULO - Introdução Com o dsnvolvimnto dos Sistmas Elétricos a ncssidad d técnicas mais prcisas vrsátis para a prdtrminação do comportamnto do campo létrico da distribuição d potncial adquiriu grand importância nas fass d psquisa, projto, manutnção rcapacitação d quipamntos linhas d transmissão. A rsolução d problmas práticos d ngnharia através da modlagm matmática dos fnômnos físicos nvolvidos smpr foi uma tarfa d difícil implmntação. A partir da anális da litratura a troca d informaçõs com os profssors do Programa d Engnharia Civil da COPPE/UFRJ, foi possívl idntificar a possibilidad d s dsnvolvr uma técnica, já amplamnt aplicada com sucsso m problmas d ngnharia civil, para solução das Equaçõs d Laplac Poisson ralizar uma implmntação computacional para solução d problmas létricos govrnados plas msmas quaçõs. Nas últimas décadas o procsso d anális solução dsts problmas foi profundamnt modificado plo dsnvolvimnto dos computadors pla gnralização das técnicas numéricas d solução como o método d simulação d cargas (MSC), Singr t al. (974), o método dos lmntos finitos (MEF), Zinkiwicz Morgan, (983). Com isso, tornou-s possívl dsnvolvr frramntas d cálculo confiávis para anális d problmas com gomtrias complxas, um ou mais matriais dilétricos, variação no tmpo, tc. Em particular, para aplicaçõs d ngnharia létrica, a litratura tm indicado o sucsso da utilização do MEF, para problmas d domínio fchado o MSC para os d domínio abrto, na grand maioria dos casos, a problmas ond apnas um matrial dilétrico é nvolvido na modlagm. Mais rcntmnt foi obsrvada a aplicação do Método dos Elmntos d Contorno (MEC), Brbbia (978), para rsolução d problmas da ára létrica d domínio abrto quando mais d um matrial dilétrico é nvolvido.

11 Est trabalho tm como o objtivo a aplicação do MEC à anális d problmas linars d potncial bidimnsionais govrnados pla quação d Laplac. O método consist, basicamnt, na transformação da quação difrncial qu govrna o problma d potncial m uma quação intgral qu rlaciona somnt valors no contorno; st é discrtizado m lmntos ond são calculados o potncial o campo létrico a partir d condiçõs d contorno stablcidas. Em sguida pod-s calcular o potncial o campo létrico m pontos intrnos ao domínio, m função apnas dos valors calculados no contorno. O método numérico d solução é implmntado com a utilização do acoplamnto itrativo por sub-rgiõs, Ellithy t al. (200). A técnica prmit tratar cada sub-rgião sparadamnt passar, como uma nova condição d contorno inicial, para uma outra sub-rgião, os valors calculados na intrfac ntrs as sub-rgiõs, dsta forma prmitindo a implmntação, idalmnt, d métodos numéricos técnicas d solução do sistma d quaçõs rsultant difrnts para cada sub-rgião. A litratura psquisada aprsnta o acoplamnto itrativo como muito promissor, prmitindo a solução d problmas com rgiõs compostas d matriais dilétricos com valors difrnts o qu, gralmnt, faz com o sistma d quaçõs rsultant da aplicação d métodos d solução fiqu mal condicionado dificultando,, m muitos casos, inviabilizando a solução. A xpriência no cálculo da distribuição d campos létricos potnciais m quipamntos létricos linhas d transmissão, nos trabalhos dsnvolvidos no CEPEL tm indicado a utilização combinada do MSC ou MEC com o MEF aprovitando o qu d mlhor xist nos dois métodos. Nst caso os rsultados ncontrados no cálculo do problma plo MSC são utilizados como dados d ntrada para o cálculo a sr ralizado na rsolução do problma plo MEF, Domingus t al. (997). Atualmnt sta implmntação stá sndo ralizada com os programas d solução trocando informaçõs d condição d contorno d forma isolada trabalhosa, o dsnvolvimnto da técnica d acoplamntos itrativos pod facilitar a implmntação dsta solução híbrida. 2

12 Na sqüência do trabalho são aprsntados os principais aspctos matmáticos da mtodologia, vários itns rlacionados com a sua implmntação computacional o programa computacional dsnvolvido. No capítulo 2 dscrv-s a formulação da solução do problma ltrostático um rsumo sobr a aplicação d métodos numéricos. No capítulo 3 é aprsntada a formulação básica do MEC para o cálculo d problmas d potncial. No capítulo 4 é aprsntada a implmntação computacional do MEC, com ênfas para a discrtização do contorno a intgração numérica. No capítulo 5 é aprsntada a formulação basada na técnica do acoplamnto itrativo ntr sub-rgiõs. No capítulo 6 são aprsntados os programas computacionais dsnvolvidos para ntrada d dados, programa d cálculo aprsntados os casos para tst do programa dsnvolvido. No capítulo 7 são aprsntadas as conclusõs do trabalho sugridos alguns dsnvolvimntos futuros. No capítulo 8 é aprsntada a bibliografia utilizada para ralização do trabalho. Finalmnt nos Anxos 2 são aprsntados os arquivos d ntrada d dados a formulação da transformação d Tlls para solução d problmas quas-singulars. 3

13 CAPÍTULO 2 - Problmas d Potncial Campo Eltrostático 2. Introdução Nst Capítulo são aprsntados o Modlo Eltrostático a partir das Equaçõs d Maxwll, as Equaçõs d Laplac Poisson a aprsntação dos principais Métodos Numéricos aplicados na rsolução d problmas ltromagnéticos. O studo do ltromagntismo pod sr dfinido através d concitos tóricos aplicados. Os concitos tóricos são dscritos por lis fundamntais formuladas durant o século 9 por vários cintistas - Faraday, Ampr, Gauss, Coulomb, outros. O físicomatmático Jams Clrk Maxwll, runiu stas lis m um grupo d quaçõs m drivadas parciais qu stablcm rlaçõs ntr cargas, corrnts létricas campos létricos magnéticos, st grupo d quaçõs é chamado d Equaçõs d Maxwll, (Popovic, 97). Os concitos aplicados são formulados a partir da utilização dos concitos tóricos. A anális d projtos d ngnharia létrica aprsnta com frqüência a ncssidad dsta formulação ao s calcular o potncial o campo létrico m divrsas aplicaçõs: - Dsnvolvimnto d projtos d linhas d transmissão (dimnsionamnto d fixs d condutors, gomtria das torrs, indução m objtos pssoas), quipamntos (isoladors, frragns, transformadors, tc.), Cordiro t al. (995) Dart t al. (999), Figura Ensaios d laboratório para a dfinição do campo létrico potncial m tsts d configuraçõs d arranjos d condutors frragns (distribuição d potncial mdição d tnsão d radiointrfrência m cadias d isoladors, corona visual ruído acústico, tc.), Domingus t al. (2003), Figura

14 -Dfinição d nívis d campo létrico potncial na vizinhança das linhas d transmissão substaçõs com objtivo d rspitar os limits stablcidos, Moss t al. (999). Figura 2. Linha d transmissão d alta Tnsão. Figura 2.2 Ensaio m frragm para fix d condutors 5

15 2.2 Equaçõs d Maxwll o Problma Eltrostático As Equaçõs d Maxwll são aprsntadas a sguir m sua forma difrncial, a forma difrncial foi à scolhida por qu é a mais comumnt utilizada para rsolução d problmas ltromagnéticos d intrfac como aprsntado abaixo,. E = B t D = ρ (2.) B H = J + = 0 D t Introduzindo nst ponto as rlaçõs constitutivas para um mio homogêno, isotrópico linar, D = ε E B = µ H (2.2) J = σ E têm-s, basicamnt, as rlaçõs do problma ltromagnético. Assim a satisfação d todas as quaçõs d forma simultâna possibilitará a sua solução. No ntanto ao s considrar, ao longo do tmpo, pqunas variaçõs nos campos létrico magnético (campos snoidais d baixa frqüência), sts podm sr studados d forma dsacoplada. E assim, as quaçõs aprsntadas m (2.) tornam-s: 6

16 E = 0 D = ρ B = J µ (2.3) B = 0 As duas primiras quaçõs d (2.3) dfinm o problma ltrostático as duas últimas o problma magntostático. Podmos obsrvar qu os dois pars d quaçõs são indpndnts (dsacopladas), isto só é possívl m problmas d campos stacionários (com pquna variação no tmpo), nos problmas m qu a variação no tmpo é considrada, qualqur mudança no campo létrico vai star associada à outra no campo magnético vic vrsa. 2.3 Equaçõs d Laplac Poisson No modlo ltrostático as lis qu govrnam o campo létrico a distribuição d potncial létrico podm sr dsnvolvidas a partir da rlação ntr a dnsidad d fluxo o campo létrico. Da li d Gauss m sua forma difrncial, sgunda quação d (2.3), da propridad constitutiva para um mio com a constant dilétrica do matrial ε, primira quação d (2.2), pod-s dscrvr o campo létrico na vizinhança d ρ (2.4). ρ. E = (2.4) ε Como o campo létrico E pod sr dfinido m trmos d um potncial scalar létrico: 7

17 E = - V (2.5) Substituindo (2.5) m (2.4), tm-s a quação d Poisson, 2 V = ρ ε (2.6) ainda para os problmas qu não nvolvrm cargas létricas dntro do dilétrico, ρ = 0 m (2.6), tm-s a quação d Laplac. 2 V = 0 (2.7) Pod-s ainda dfinir, Silvstr (968), para problmas rgidos pla quação d Laplac (2.7), nvolvndo mios linars com propridads dilétricas difrnts, as componnts normais d D E, o potncial V, condiçõs d quilíbrio continuidad, na intrfac dstas rgiõs, D = D (2.8) 2 substituindo a primira quação d 2.2 m 2.8 tm-s, ε = (2.9) E ε 2E2 ainda, V = V 2 8

18 O problma qu nvolv a solução das quaçõs d Poisson Laplac sujita às condiçõs d contorno, nvolvndo gomtrias complxas com mios com difrnts matriais dilétricos m sua maioria não aprsntam solução analítica. Para s ncontrar a solução para sts problmas podm-s aplicar técnicas d solução numéricas como às aprsntadas no próximo itm. 2.4 Métodos Numéricos aplicados à solução d problmas létricos A rsolução d problmas govrnados plas quaçõs d Laplac Poisson, m particular na maioria dos casos d ngnharia létrica, rqur o tratamnto d gomtrias complxas vários matriais dilétricos, impossibilitando tanto o uso d soluçõs analíticas quanto a possibilidad d dsnvolvr protótipos plos altos custos nvolvidos. Nsts casos podm sr aplicadas técnicas numéricas d solução. A aplicação dos métodos numéricos pod sr dfinida como a criação d um procsso numérico qu pod sr rsolvido com o uso do computador. Est procsso é dfinido a partir d uma discrtização, rduzindo um problma físico, contínuo, com um númro infinito d incógnitas, a um problma discrto com um númro finito d incógnitas. Dntr os métodos numéricos mais utilizados para a rsolução d problmas ltromagnéticos pod-s dstacar o MEF, spcialmnt para problmas cuja rgião d intrss é gralmnt complxa finita, o MSC MEC qu surgiram para suprir a ncssidad d tratar problmas ond a rgião d intrss é muito xtnsa - infinita ou smi-infinita. No MEF, Silvstr Frrari (983), as condiçõs d contorno da rgião ond s qur calcular o potncial o campo létrico têm d sr conhcidas. Dsta forma, para ncontrar a solução do problma o domínio é discrtizado m lmntos a solução global é aproximada por funçõs locais dfinidas nos nós dsts lmntos. O rsultado 9

19 é um grupo d quaçõs algébricas linars acopladas, sndo o númro d quaçõs igual ao númro d potnciais dsconhcidos. O MEF nos prmit ncontrar a solução numérica aproximada para problmas d contornos curvos a partir da discrtização do domínio m lmntos d formas gométricas divrsas lmntos quadráticos ou cúbicos - mlhorando a rprsntação do problma. Contudo m muitos problmas létricos não somos capazs d prcisar o potncial ou campo no contorno da rgião d intrss. Nsts casos podmos considrar um contorno artificial ond s assum qu o potncial é conhcido. Est contorno artificial tm d sr colocado long o bastant da rgião d intrss d forma a diminuir os rros advindos dsta aproximação no cálculo do potncial ou do campo létrico, assim implicando m um sistma muito grand d quaçõs, por vzs incompatívl com a capacidad d mmória dos computadors assim como o tmpo gasto no cálculo. Para solucionar st problma tm sido utilizado o MSC, Singr at al. (974), dsnvolvido dirtamnt para aplicaçõs m problmas d ngnharia létrica; nl substitui-s a distribuição ral d carga na suprfíci d um ltrodo por uma distribuição fictícia d cargas discrtas, colocadas no intrior do ltrodo, cujos valors são calculados ao srm satisfitas as condiçõs d contorno para um dtrminado númro d pontos scolhidos. Uma vz dtrminado o valor das cargas, o campo létrico o potncial num ponto qualqur da rgião d intrss pod sr calculado por suprposição. Vrifica-s ntão um procsso ond o númro d cargas sua posição no intrior do lmnto é modificada, plo usuário, a partir do conhcimnto d novos valors d potncial campo létrico, assim por vzs até qu o rro acitávl nos valors dtrminados para os pontos scolhidos sja atingido. Est procsso pod sr lnto ou aclrado dpndndo dirtamnt da xpriência do ngnhiro com a utilização do método, a capacidad d mmória disponívl no computador. 0

20 O MSC vm sndo muito utilizado para solução dos mais variados problmas létricos, m spcial quando s sta trabalhando com um problma d apnas um matrial dilétrico, Domingus t al. (989). Ainda qu alguns trabalhos aprsntm a aplicação do MSC para mais d um matrial, Malik (989), grand part da litratura aponta o MEC para solução d problmas qu nvolvm frontira abrta mais d um matrial dilétrico, Stinbiglr Hallr (99). O MEC, Brbbia Dominguz (989), consist, basicamnt, na transformação da quação difrncial qu govrna o problma m uma quação intgral rlacionando somnt valors das variávis no contorno qu é discrtizado m lmntos. A partir dsta discrtização, as intgrais no contorno são aproximadas por intgraçõs ftuadas m todos os lmntos possibilitando o conhcimnto do potncial o campo létrico m qualqur ponto no contorno da rgião d intrss sm a xistência ncssária d procssos itrativos a dfinição d sistmas d quaçõs mnors m rlação aos advindos, por xmplo, da utilização do MEF. Em sguida pod-s calcular o potncial o campo létrico m pontos intrnos ao domínio m função apnas dos valors calculados no contorno. Podm-s rlacionar alguns pontos positivos do MEC: pod sr aplicado para a solução d problmas d configuraçõs bi tridimnsionais com condiçõs d contorno bastant complxas; bom dsmpnho m trmos d tmpo d procssamnto, pois é rápido m casos simpls m casos d grand port o tmpo d computação é acitávl; o sistma d quaçõs rsultant gralmnt tm dimnsõs rduzidas mas, msmo para configuraçõs d grands dimnsõs com a utilização d um númro lvado d lmntos, a maioria dos microcomputadors consgu atndr à dmanda d mmória;

21 prparação d dados pod tornar-s rlativamnt simpls, mdiant uma adquada implmntação computacional gráfica dos dados d ntrada aprsntação d rsultados; possibilidad d rprsntação d vários matriais dilétricos implmntação d soluçõs híbridas com a utilização d outros métodos numéricos m conjunto, m spcial a partir da implmntação do acoplamnto itrativo. A xpriência no cálculo da distribuição d campos létricos potnciais m quipamntos létricos linhas d transmissão, nos trabalhos dsnvolvidos no CEPEL tm indicado a utilização combinada do MSC ou MEC com o MEF aprovitando o qu d mlhor xist nos dois métodos. Nst caso os rsultados ncontrados no cálculo do problma plo MSC são utilizados como dados d ntrada para o cálculo a sr ralizado na rsolução do problma por lmntos finitos, Domingus t al. (997). Atualmnt sta implmntação stá sndo ralizada com os programas d solução trocando informaçõs d condição d contorno d forma isolada trabalhosa, o dsnvolvimnto da técnica d acoplamntos itrativos pod facilitar a implmntação dsta solução híbrida. Um xmplo d aplicação dsta forma d modlagm híbrida pod sr obsrvado na Figura 2.3, qu aprsnta a fotografia do nsaio d um isolador d vidro para aplicação m linha d transmissão d alta tnsão, submtido a um intnso campo létrico na Figura 2.4 ond é aprsntado o cort do isolador mostrando a distribuição d potncial no su intrior. Foi utilizado o programa TRICAMP, basado no MSC, para calcular o potncial no contorno, st foi transfrido como condição d contorno inicial para o programa MEFE, basado no MEF, para o cálculo da distribuição d potncial no intrior do isolador. Ambos dsnvolvidos no CEPEL, Domingus t al. (995) Mpalantinos Nto t al. (989). 2

22 Figura 2.3 Ensaio d um isolador d vidro. Figura 2.4 Cort do isolador - distribuição d campo. A partir dst ponto são aprsntados os concitos básicos da aplicação do método dos lmntos d contorno na rsolução d problma d potncial. 3

23 CAPÍTULO 3 - O Método dos Elmntos d Contorno 3. Introdução Nst capítulo são aprsntados os concitos básicos do MEC aplicados à solução d problmas d cálculo d campo potncial ltrostático. Dsd o início do século passado, a aplicação d quaçõs intgrais na formulação d problmas d valor d contorno tv início com a dmonstração da xistência d soluçõs para sts problmas basado m um procsso d discrtização do contorno. Mas somnt na década d 60, com o advnto do computador, foi possívl a obtnção dstas soluçõs o dsnvolvimnto d uma técnica numérica para a solução dstas quaçõs, Brbbia t al. (984). Até a década d 70 o MEC ra utilizado quas somnt por matmáticos físicos muito pouco m problmas d ngnharia. Em spcial nos problmas d ngnharia létrica ond a rgião d intrss foss muito xtnsa, infinita ou smi-infinita, durant as décadas d 70 80, várias publicaçõs qu utilizam métodos intgrais, m particular o MSC, foram dsnvolvidas, como pod sr obsrvado m uma rvisão dstas aplicaçõs aprsntada m Malik (989). A partir da década d 90 o MEC comçou a sr mais utilizado nas aplicaçõs létricas aprovitando a xpriência adquirida com MSC, m spcial no dsnvolvimnto da malha d lmntos a partir d figuras gométricas primitivas (plano, sfra, toróid,tc.), como já utilizadas para rprsntar a distribuição das cargas no MSC, Gutflish t al. (994). Convém obsrvar qu na maioria dos trabalhos dsnvolvidos para a aplicação tanto do MSC quanto do MEC a problmas létricos, os programas computacionais foram dsnvolvidos para um dtrminado tipo d problma sua gomtria spcífica. 4

24 Dv-s rssaltar qu todas as aproximaçõs numéricas são fitas no contorno, assim trabalha-s com uma dimnsão a mnos, ou sja, o problma bidimnsional qu srá dsnvolvido rduz-s a apnas uma dimnsão, implicando m uma significant rdução da quantidad d dados ncssária para a caractrização do problma, consqüntmnt rduzindo o tmpo computacional gasto, fazndo qu os sistmas d quaçõs, apsar d srm chios não simétricos, sjam, gralmnt, mnors qu os ncontrados quando da utilização dos métodos d discrtização d domínio. 3.2 Equação Intgral do Contorno Com o objtivo d procurar uma solução aproximada para os problmas govrnados pla quação d Laplac aplicada a problmas bidimnsionais, dsnvolv-s a formulação dirta, Azvdo (985) Mansur t al. (995), obtida, a partir da utilização do método dos rsíduos pondrados. D forma a facilitar a litura da formulação do MEC foram utilizados para o potncial campo létrico os símbolos ltras U P rspctivamnt, consagradas na litratura, ao invés d V E, gralmnt usadas na ára létrica. A vantagm da scolha do método dos rsíduos pondrados stá no su grau d gnralidad, prmitindo a sua aplicação na rsolução d quaçõs difrnciais parciais no dsnvolvimnto d outras técnicas numéricas como o MEF. A partir da quação d Laplac (2.7) aplicada a um ponto X prtncnt a um domínio Ω, Figura 3., pod-s scrvr, 2 u( X ) = 0 (3.) 5

25 sujita as condiçõs d contorno ssnciais ou d Dirichlt _ u( x) = u( x) m Γ, x Γ (3.2) u u as condiçõs d contorno naturais ou d Numan, _ u(x) p( x) = = p( x) m Γp, x n Γ p (3.3) ond n é a coordnada na dirção do vtor unitário n normal ao contorno Γ = Γ + Γ u p orintada para fora do domínio Ω, sndo _ u _ p valors prscritos do potncial o campo létrico rspctivamnt, ao contorno Γ, como é aprsntado na Figura 3.. Γ u n n u(x) = u(x) Ω t p(x) = p(x) Γ p Figura 3. - Condiçõs d contorno ssnciais naturais para a quação d Laplac. 6

26 3.2. Soluçõs Fundamntais A Solução Fundamntal u*, satisfaz a quação d Poisson (3.4), corrspond ao campo grado por uma font unitária aplicada m um domínio infinito Ω *, 2 u X q( ξ, X) K X * * ( ξ, ) + = 0 ond, Ω (3.4) sndo * u singular m ξ = X. u * ( ξ, X) é a solução fundamntal q( ξ, X) uma font concntrada unitária, dfinida como a função gnralizada dlta d Dirac. q ( ξ, X) = 0 para ξ X q( ξ, X) dω = (3.5) Ω A solução fundamntal u * ( ξ, X) da quação (3.4) é, portanto a solução da quação d Poisson no ponto campo X - ponto ond s dsja calcular o potncial ou campo létrico - para uma font concntrada m ξ - ponto font - sndo ξ X pontos prtncnts ao domínio infinito Ω *, Figura 2.2, no qual s procura a solução da quação (3.4). * Existm infinitas soluçõs para a quação (3.4) qu dpndm do domínio Ω das condiçõs d contorno. A solução fundamntal do potncial para problmas bidimnsionais m mios infinitos é aprsntada a sguir: u * ( ξ, X) = ln R (3.6) 2 K π 7

27 ond R é a distância ntr x ξ. O fluxo fundamntal no contorno pod sr dtrminado a partir da dfinição d um * domínio Ω d contorno Γ dntro do domínio infinito Ω, como s pod obsrvar na Figura 2.2. Calculando-s a drivada dircional m rlação a normal no contorno Γ, pod-s scrvr: Y y x n r ξ y Ω ξ R t Ω ξ x x X Figura 2.2 Dtrminação da solução fundamntal. p * ( ξ, x ) = R n (3.7) 2 π K R Sndo o vtor R = x ξ, r o su vtor unitário, n o vtor normal r n o produto scalar. 8

28 3.2.2 Sntnças d Rsíduos Pondrados para Equação d Laplac Em princípio, as soluçõs da quação d Laplac obtidas por métodos aproximados, não atndm xatamnt (xcto para problmas bm simpls) a quação (3.) nm as suas condiçõs d contorno (3.2) (3.3). Dsta forma, admitindo-s u ~ p ~ como soluçõs aproximadas para o problma dfinido m (3.), com as condiçõs d contorno dfinidas m (3.2) (3.3), pod-s dfinir três tipos d funçõs d rsíduos qu dvm tndr para zro quanto mais à solução aproximada tndr para a solução analítica. Utilizando outra vz a quação d Laplac, pod-s scrvr: R R R Ω u p ( X) = ~ u( X) ( x) = u( X) - u( x) ~ ~ 2 ( x) = p( x) - p( x), X Ω, x Γ, x Γ u p (3.8) Ests rsíduos introduzidos na quação difrncial, quando da aplicação d soluçõs aproximadas, podm sr minimizados, a partir da sntnça básica d rsíduos pondrados para a quação d Laplac: Ω R Ω ( X) W ( ) dω( ) + R P ( ) W l ( ) dγp ( ) + l X X R U ( ) W l x x x x ( x) dγ U ( x) = 0 (3.9) ΓP ΓU = - * * * Sndo W ( X) = u ( ξ, X), W l ( x) = - u ( ξ, x) W l( x) = p ( ξ, x), funçõs d pondração, ond tm-s: l X Ω, x aγ P a = Γu rspctivamnt. Substituindo-s (3.8) m (3.9) Ω ~ 2 * * * ( u )u dω = (p - p) u dγp - (u - u) p dγu ΓP ~ _ Γu ~ _ (3.0) 9

29 Aplicando a 2 a idntidad d Grn, (3.0) scolhndo a solução fundamntal para a função φ, tm-s: * * 2 2 * u * u u ( u) u( u ) dω = ( u u) dγ (3.0a) n n Ω Γ Pod-s rscrvr (3.0): Ω u ( 2 * u ) d Ω * * = p u dγ - u p dγ (3.) Γ Γ Ond Γ = Γ u + Γ tm-s: p * p u dγ = p Γ Γp * u p dγ = u Γ Γ P * _ * u dγ p dγ P P + + Γu Γ U p u _ * * u dγ p dγ u U (3.2) A quação (3.) é considrada o ponto d partida para a ddução das quaçõs intgrais básicas do MEC para a quação d Laplac. Agora é prciso transformar a quação (3.) qu contém intgrais d domínio d contorno, m uma quação intgral, sm a participação da intgral d domínio. Lmbrando da propridad da função dlta d Dirac (3.3) para pontos ξ prtncnts ao domínio. Ω δ( ξ, x ) f( x) d( x) = f( ξ ) (3.3) Aplicando (3.3) à intgral d domínio da quação (3.), tm-s: Ω 2 * u ( ξ, x ) u( x) d( x) = δ( ξ, x) u( x) d( x) = - u( ξ ) (3.4) Ω 20

30 Substituindo agora (3.4) m (3.), podmos scrvr: u( * ξ ) p( x) u ( ξ, x) d( x) (3.5) * = u( x) p ( ξ, x) d( x) + Γ Γ Da quação antrior pod-s calcular o valor do potncial u( ξ ) nos pontos intrnos do domínio Ω d intrss, a partir d u(x) p(x) no contorno Γ, mas como u(x) p(x) inicialmnt não são conhcidos m todo contorno, a quação (3.5) ainda não é a solução complta da quação (3.) Equação Intgral d Contorno para Pontos Font no Contorno A quação intgral (3.5), dduzida antriormnt é válida para qualqur ponto ξ prtncnt ao domínio Ω dpnd dos valors d U P no contorno Γ qu ainda são dsconhcidos. Com o objtivo d calcular sts valors no contorno assim compltar a solução da quação (3.), supondo qu o domínio Ω é aumntado d um smi-círculo d raio r ξ um ponto ξ prtncnt ao smicírculo para um domínio bidimnsional, como é aprsntado na Figura 3.3. Γ c n r ξ ξ Γ Ponto do contorno Figura Dfinição do domínio para cálculo d pontos no contorno. 2

31 Estando o ponto ξ no cntro d um círculo, ao fazr-s o raio r ξ 0, Ω Ω ε tnd a Ω, Γ Γc tnd a Γ ξ passa a sr um ponto d contorno. Assim a xprssão (3.5) torna-s um caso particular da quação (3.6) para um ponto localizado no contorno Γ C(ξ) =. Por fim pod-s scrvr a quação intgral para pontos no contorno d problmas dfinidos pla quação d Laplac qu dá origm ao procsso d discrtização do método dos lmntos d contorno: * * C( ξ ) u( ξ ) + u( x) p ( ξ, x) d( x) = p( x) u ( ξ, x) d( x) (3.6) ond, Γ Γ 0 s ξ é um ponto xtrno C( ξ ) = β / 2π s ξ é um ponto no contorno s ξ é um ponto intrno sndo β o ângulo intrno formado plas tangnts a ξ m Γ. Cab obsrvar qu para contornos suavs m ξ, β = π C = 0, Valor do potncial do campo létrico para pontos intrnos Para trminar basta dfinir-s a quação intgral qu nos fornc os valors d campo létrico para pontos no intrior do contorno, já qu a quação (3.5) já fornc o potncial nos pontos intrnos da rgião d intrss. O campo létrico pod sr dfinido pla difrnciação da quação (3.5), Mansur t al. (995): * * u ( ξ, x) p ( ξ, x) pl = - p(x) dγ( x) - Γ ξ u( x) d ( x) l( ) l( ξ) Γ Γ (3.7) Sndo l o vtor unitário na dirção qu s dsja conhcr a drivada dircional tm-s: 22

32 * u ( ξ, x) l( ξ ) 2 π R = 2 r l (3.8) * p ( ξ,x) = l( ξ ) 2 π R 2 (2( r n)( r l) ( l n)) (3.9) 23

33 CAPÍTULO 4 - Implmntação Computacional Nst capítulo são aprsntados os passos ncssários para implmntação computacional do MEC basado na solução da quação intgral d contorno (3.6), aprsntada do capítulo 3. O procsso d implmntação já foi bm xplorado, Azvdo (99), Mansur t al. (995),Wrobl (2002) aqui é aprsntado d forma rsumida. 4. Discrtização do Contorno Quando os problmas aprsntam gomtrias simpls xist a possibilidad d utilizars soluçõs analíticas, mas nos casos d gomtrias complxas um procdimnto numérico tm qu sr utilizado com o objtivo d rduzir as quaçõs intgrais a uma forma algébrica. D forma a obtr a solução é ncssário discrtizar o contorno m lmntos, os quais aproximam a gomtria do problma. Os valors d U P no contorno são intrpolados nos lmntos, sndo os mais usados m formulaçõs bidimnsionais os constants, linars quadráticos. A Figura 4. rprsnta a gração d malha para o lmnto constant ou linar. Ambos têm sua gomtria linar dfinida por dois pontos nodais gométricos. No lmnto constant as variávis d contorno U P (tanto as prscritas, quanto as incógnitas) são considradas constants m cada lmnto iguais ao su valor no ponto funcional localizado no mio do lmnto. Já para o lmnto isoparamétrico linar, U P variam linarmnt dntro d cada lmnto m função dos valors nos dois nós funcionais localizados nos pontos 24

34 xtrmos do lmnto. Figura 4. Discrtização do contorno para lmntos constants ou linars. No lmnto isoparamétrico quadrático, Figura 4.2, tanto a gomtria quanto os valors d U P no contorno são rprsntados utilizando-s as funçõs d intrpolação dfinidas m (4.) para os dois nós xtrmos N N3 o nó cntral N 2. Nst trabalho, stas msmas funçõs são também aplicadas para o cálculo do comprimnto do lmnto. N ( η) = / 2η ( η) N ( η) = ( + η) ( η) 2 N ( η) = / 2η ( η + ) 3 (4.) A scolha do lmnto quadrático para implmntação, dv-s à ncssidad d s rprsntar gomtrias curvas sr o lmnto qu mlhor rprsnta a variação das funçõs ao longo do contorno, aumntando a prcisão do cálculo. Obsrvando os xmplos d discrtização, a malha d lmntos quadráticos, para um 25

35 msmo númro total d lmntos, gralmnt, rprsnta mlhor o contorno do problma. Figura 4.2 Discrtização do contorno por lmntos isoparamétricos quadráticos. 4.2 Exprssão Matricial Partindo das funçõs d intrpolação dfinidas m (4.) pod-s intrpolar U P no intrior d cada lmnto: 3 U( x ) = N ( η) U t= t t 3 P( x ) = N ( η) P (4.2) t= t t sndo t. U t P t o potncial a componnt normal do campo létrico nos pontos nodais Transformando a quação (3.6) para uma forma discrta, as intgrais no contorno Γ 26

36 dvm sr substituídas por somatórios d intgrais sobr cada lmnto. Adotando uma forma matricial, N * { P ( ξ, x) N( η) dγ ( x)} u = { = = * C( ξ ) U( ξ ) + U ( ξ, x) N( η) dγ ( x)} p (4.3) Γ ond N é o númro d lmntos. Os valors do potncial campo nos nós funcionais prtncnts aos lmnto : u ( x ) = N u N Γ p ( x ) = N p (4.4) ond, N = N ( η) N ( η) N ( )], [ 2 3 η u u = u u 2 3 p p = p p 2 3 (4.5) Já qu as funçõs d intrpolação os pontos d intgração numérica são dados na coordnada natural η, Figura 4.3, ond as funçõs valm no nó ond são dfinidas 0 nos outros dois nós, é mais indicado ralizar as intgraçõs d (4.3) nsta coordnada. y 3 2 η = η = 0 η = sntido d intgração N 2 3 N2 Domínio x N3 27

37 Figura 4.3 Elmnto isoparamétrico quadrático rprsntação da transformação para coordnadas naturais. Para dγ = J( η) dη, tm-s C( ξ ) U( ξ ) + N * { P ( ξ, x) N( η) J( η) dη} u = { = = N Γ * U ( ξ, x) N( η) J( η) dη}} p (4.6) Sndo o jacobiano para a transformação d coordnadas, J 2 2 / 2 = [(dx / dη ) + (dy / dη) ] (4.7) as suas drivadas m rlação às funçõs d intrpolação (4.), dx dn = x dη dη dy dn dn 2 = y + y dη dη dη dn 2 + x dη 2 2 dn3 + x dη dn3 + y dη 3 3 (4.8) o vtor unitário normal ao lmnto, n = / J [dx / dη i + dy / dη j] (4.9) a quação (4.3) pod sr scrita como, N = N C( ξ ) U( ξ ) + h ( ξ ) u = g ( ξ ) p (4.0) = 28

38 ond os coficints gnéricos das matrizs h ( ) g ( ) (k =, 2, 3) são dados por: ξ ξ k h ( ξ ) = g ( ξ ) = k P * (X, x) N ( η) J( η) U * (X, x) N ( η) J( η) k k dη dη (4.) Na quação (4.0) pod-s obsrvar a utilização d índics d lmntos (os lmntos variando d até N ), nquanto m (4.) tm-s uma numração d nós local para cada lmnto (k=, 2, 3). Para montar o sistma final d quaçõs é ncssário rlacionar a numração local d nós dos lmntos a um sistma d numração global, d forma qu cada nó é associado a um índic j corrspondnt à numração global dos nós. Utilizando os pontos nodais i como pontos d colocação ξ = ξ, a quação (4.0) pod sr scrita: i N = N C U + h u = g p (4.2) i i = com C = C( ξ ) U U ( ξ ) (4.3) i i i = i i Admitindo-s a continuidad d potncial fluxo ntr lmntos, Nnos o númro total d nós funcionais j corrspondndo à numração global dos nós, têm-s: Nnos j= Nnos C U + Hij u = G p ` (4.4) i i H ij j j= ij j G ij acumulam todas as contribuiçõs dos coficints dos nós d (4.4), pods ntão montar o sistma d quaçõs para as matrizs H G: H u = G p (4.5) Dv-s obsrvar qu para os trmos d H, 29

39 H ij = Hij s i j (4.6) H = C i + s i = j ij Hij Introduzindo os valors das condiçõs d contorno nos nós prscritos rarranjando H G, ou sja, trocando as colunas dstas matrizs, qu multiplicam a condição d contorno prscrita, o sistma d quaçõs pod sr scrito: A x = B (4.7) x 2 sndo, x x2 é o vtor das incógnitas nos nós. é o vtor d condiçõs d contorno prscritas. A é a matriz d coficints d influência qu multiplica as incógnitas. B é a matriz d coficints d influência qu multiplica as condiçõs d contorno prscritas. 4.3 Cálculo d U P nos pontos intrnos Rsolvido o sistma d quaçõs (4.7) com todos os valors d U P calculados pod-s agora calcular os pontos intrnos m qualqur part do domínio a partir das quaçõs (3.5) (3.7), agora d forma discrtizada. 30

40 Nnos j= Nnos U = G P H U (4.8) i ij j j= ij j Nnos * Nnos * U P Pl i = - K Pj dγ - U j dγ (4.9) j= l Γ j= l Γ Lmbrando qu as drivadas da quação (4.9) já foram aprsntadas m (3.8) (3.9), stas quaçõs compltam o modlo do MEC qu srá utilizado para dsnvolvimnto do programa computacional. 4.4 Intgração numérica As intgraçõs para o cálculo dos coficints h ( ξ ) g ( ξ ), indicadas m (4.), são rsolvidas numricamnt. Nst trabalho foi implmntada a quadratura d Gauss, Smith (2000), nos casos ond os pontos font stão próximos aos pontos campo (intgrais quas-singulars) a quadratura é aplicada m conjunto com a transformação d Tlls (987) Tlls Olivira (994). k k Os coficints da xprssão (4.) são ntão calculados utilizando-s a quadratura d Gauss: NG I = A( η ) dη = A g W (4.8) g= sndo, NG númro d pontos d Gauss utilizados. g A = A( η ) g g valors do intgrando corrspondnts as coordnadas naturais η g dos pontos d Gauss utilizados. Wg - psos corrspondnts às coordnadas ηg nos pontos d Gauss. 3

41 Aplicando a um ponto x g no intrior do lmnto d corrspondnt coordnada η g, tm-s. h ( ξ ) = k g ( ξ ) = k P *[ ξ, x( η)] N U *[ ξ, x( η)] N k k ( η) J( η) ( η) J( η) dη = dη = NG g= NG g= P ( ξ)( N * g * g k U ( ξ )( N ) ( J k g g ) ( J ) g ) g W g W g (4.9) O programa d cálculo utiliza a quadratura d Gauss (4.9) para ftuar todas as intgraçõs sobr os lmntos. Somnt nos locais ond a rlação D ntr a distância ntr o ponto font ponto campo o tamanho do lmnto, sja para cálculo no contorno ou para pontos intrnos, for mnor qu 3,62, utiliza-s à transformação d coordnadas proposta por Tlls, cujo objtivo, basicamnt, é d concntrar mais pontos d Gauss nsts locais. O rsultado obtido com st squma d intgração foi bastant bom, como pod sr visto nos rsultados aprsntados no capítulo 6. D forma complmntar, um rsumo da formulação da transformação d Tlls stá aprsntado no Anxo 2, ond as xprssõs para os coficints d (4.9), dpois d aplicada à transformação, são também aprsntados Nó duplo rcuado Quando não xistm dscontinuidads d campo létrico a implmntação computacional dsnvolvida é suficint para calcular as incógnitas do problma. Porém, é muito comum o aparcimnto d dscontinuidads nos problmas létricos, a partir da xistência d condiçõs d contorno difrnts aplicadas m um msmo nó, ou ainda, quando a gomtria do problma aprsnta ângulos, não suavs, proporcionando 32

42 dscontinuidads na drivada, como as aprsntadas na aplicação numérica, dsnvolvida no capítulo 6, rprsntando um capacitor d placas parallas. Nst trabalho, prvndo sts casos d dscontinuidad por conta da automatização do procsso, todos os nós (pontos d colocação) d dscontinuidad são duplicados rcuados, Figura 4.4, criando uma incógnita uma quação xtra. Na implmntação computacional foi utilizado um rcuo d 5% do comprimnto do lmnto a partir da posição antrior do nó duplicado. Est valor foi o qu mlhor rsultado ofrcu no balanço ntr o tratamnto da singularidad a rprsntação do problma físico. Nsts casos, o valor do potncial, U no primiro trmo d (4.4), tm d sr intrpolado dntro do lmnto com utilização das funçõs d intrpolação, como visto a sguir. ' ' ' = [ N (η )U + N (η )U + (η )U ] (4.20) U 2 2 N3 3 Lmbrando ainda qu C = 0.5 para pontos dntro do lmnto. Figura Nós duplicados rcuados na rgião d dscontinuidad. 33

43 4.5 Solução do Sistma Finalmnt o sistma d quaçõs (4.7) foi rsolvido com a utilização do Método da Eliminação d Gauss com pivotamnto total, Chapman (998). No próximo capítulo são aprsntados mais alguns dtalhs dsta implmntação nos algoritmos spcificamnt laborados para a implmntação do acoplamnto itrativo. 34

44 CAPÍTULO 5 - Sub-rgiõs 5. Introdução Para problmas d domínio não homogêno, Figura 5., mas composto por rgiõs homogênas, Figura 5.2, é indicado à técnica das sub-rgiõs, Mansur t al., (995), Wrobl (2002). Esta técnica consist m scrvr a quação (4.5), para cada rgião sparadamnt montar um sistma para todo o problma agrgando as quaçõs d compatibilidad d quilíbrio nas frontiras das rgiõs. Figura 5. Domínio não homogêno. S S 2 Figura 5.2 Domínio com sub-rgiõs homogênas. 35

45 5.2 Soluçõs com montagm do sistma global Considr uma rgião Ω formada por duas rgiõs Ω Ω2, Figura 5.3, tndo as constants dilétricas K K 2, como propridads dos matriais. { P c } { U c 2 } { P c 2 } { U c { I } P 2 } { I U } Γ { U { } I I 2 } Ω P I Ω 2 Γ Γ 2 Figura 5.3 Domínio dividido m duas sub-rgiõs Ω Ω2. Pod-s scrvr, sparadamnt para cada sub-rgião, as quaçõs matriciais d quilíbrio, dsnvolvidas no capítulo antrior para o MEC, ond os índics i c rfrm-s, rspctivamnt a intrfac ao rsto do contorno, os coficints das submatrizs C H C G i H i G são calculadas como aprsntado no capítulo antrior. C P I I (5.) U P C U C I C I [ H H ] = [ G G ] C U C I 2 C I [ H H ] = [ G G ] C P I 2 2 I (5.2) U 2 P2 36

46 37 Associando as sub-rgiõs aplicando as condiçõs d continuidad quilíbrio, têms, I I I U U U = = 2 (5.3) I I I P P K K P = = 2 2 (5.4) Assim (5.) (5.2) são scritas numa única xprssão matricial (matriz global), = C I C C I I C C I C C I I C P P P G G K K G G U U U H H H H (5.5) A montagm das matrizs das sub-rgiõs m uma única matriz global pod sr ralizada d divrsas maniras. Na implmntação dsnvolvida por Santiago (987), monta-s o sistma d solução m sub-matrizs qu intrligam as sub-rgiõs, isolando contornos intrfacs. Em Valntim (995), na matriz global, procura-s concntrar os coficints não nulos (matriz banda) d forma a armaznar a mnor quantidad possívl ncssária d coficints. Estas formas d implmntação, m particular para problmas létricos, com um númro grand d sub-rgiõs difrnça na ordm d grandza das propridads létricas, ntr os matriais dilétricos nvolvidos, podm fazr com qu a matriz global s aprsnt mal-condicionada, o qu, por vzs, impd a solução do sistma. 5.3 Acoplamnto Itrativo O procsso consist m tratar cada sub-rgião sparadamnt passar d forma itrativa, como uma nova condição d contorno, para uma outra sub-rgião, os valors

47 d U ou P calculados na intrfac ntr as sub-rgiõs, Figuras 5.3. Cada sub-rgião é tratada como um problma indpndnt, sndo assim, m nnhum momnto é montada uma matriz global, mas várias matrizs por sub-rgiõs. A solução global é computada através d um procsso itrativo ond todas as sub-rgiõs são prcorridas, nst procsso, as condiçõs d contorno d cada rgião são atualizadas (momnto ond é passada a influência das sub-rgiõs vizinhas), o sistma d quaçõs (5.) (5.2) é rsolvido vrificada a convrgência m todas as sub-rgiõs. O procsso é ntão rptido até s obtr a convrgência m todas as intrfacs. Nos últimos anos a técnica d acoplamnto itrativo tm sido aplicada, m spcial, para problmas m qu prcisamos dsnvolvr soluçõs híbridas, ou sja, com a utilização d mais d um método numérico, Ellithy Tanaka (2003) Soars Júnior (2004). Como a técnica prmit qu o sistma d quaçõs rsultants d cada subrgião sja rsolvido d forma indpndnt, pod-s modlar cada rgião com a técnica numérica mais apropriada, por xmplo na Figura 5.3, pod-s aplicar o MEF o MEC m cada sub-rgião, assim como, scolhr o método d solução do sistma d quaçõs mais adquado para cada sub-rgião, tndo o cuidado d mantr a corrta corrspondência ntr os nós da intrfac. Mais spcificamnt tratando d problmas d cálculo d campo potncial létrico, duas aplicaçõs parcm sr promissoras: na solução d problmas com matriais dilétricos difrnts (da ordm d.0e2); na aplicação d soluçõs híbridas Principais Algoritmos para implmntação Nst trabalho, no procsso d implmntação da técnica do acoplamnto itrativo 38

48 podm-s rssaltar os dois principais algoritmos dsnvolvidos. O primiro stablc a troca dos valors d U P nas intrfacs do problma o sgundo prpara, d forma automática, o problma, dfinindo as condiçõs d contorno iniciais para todas as suas intrfacs. A partir da implmntação numérica aprsntada no capítulo antrior, foi dsnvolvido, Tabla 5., st primiro algoritmo para solução d problmas com condição d contorno nas intrfacs d Dirichlt Numan. Tabla 5. Algoritmo para acoplamnto das intrfacs MEC-MEC I Rsolv MEC para uma sub-rgião: lio I P i obtnho I Ui + II Escrv o valor d U nas intrfacs com rlaxação: = α α I I I Ui+ ( ) Ui + Ui+ III Chcagm d convrgência: U I i+ U U I i+ I i < tolrância IV Rsolv MEC para a outra sub-rgião: lio I Ui + obtnho I Pi + V Escrv o valor d P nas intrfacs com rlaxação: = α α I I I Pi + ( ) Pi + Pi + VI Chcagm d convrgência: P I i+ P P I i+ I i < tolrância O loop continua até qu a convrgência sja atingida para um valor d tolrância prédfinido, m todas as intrfacs do problma. Em Ellithy Tanaka (2003), são aprsntados outros algoritmos para o acoplamnto nas intrfacs para aplicaçõs MEC-MEC MEF-MEC. Ants d aprsntar o sgundo algoritmo é prciso o concito d tratar as intrfacs por 39

49 curvas não por lmntos individualmnt, utilizado nst trabalho. Est concito para a ntrada d dados, dfinido na arquittura do sistma PHENIX, dsnvolvido no CEPEL qu já tm incorporado o programa MEFE, foi scolhido por sr d fácil implmntação também para uma futura incorporação dos módulos do MEC2Dq, programa dsnvolvido nst trabalho, ao PHENIX. Na curva são grados os lmntos para discrtização do problma (malha) é também a curva qu rcb as condiçõs d contorno dlimita as sub-rgiõs. Um xmplo d dsnho do problma por curvas pod sr obsrvado na Figura 5.4. No xmplo tmos duas curvas, nas cors prta vrmlha, dfinindo o contorno do problma a curva azul a intrfac ntr as subrgiõs. Na intrfac a curva ora prtnc a uma sub-rgião ora a outra, curva azul. Dsta forma, quando para uma sub-rgião A, a condição d contorno scolhida é U, para a sub-rgião B a condição tm d sr P. Cab lmbrar qu P tm sntido oposto m cada sub-rgião. Durant o procsso itrativo, por xmplo, a sub-rgião A qu tm como condição d contorno scolhida U, calcula atualiza valors d P para a próxima itração vicvrsa. Figura 5.4 Dsnho do contorno do problma por curvas. 40

50 O sgundo algoritmo part do princípio qu as intrfacs não têm condição d contorno dfinidas. Lmbrando qu cada sub-rgião constituirá um sistma próprio a sr rsolvido, tm-s obrigatoriamnt qu scolhr plo mnos uma condição d contorno para as intrfacs dntro d cada sub-rgião, tndo o cuidado d não altrar as condiçõs d contorno prscritas inicialmnt garantir qu plo mnos uma curva m cada sub-rgião tnha condição d contorno d potncial. Dsta forma, na Tabla 5.2 é aprsntado o procsso d scolha. Sndo: _ U condição inicial do problma _ P condição inicial do problma U potncial scolhido P campo létrico scolhido NSB númro d sub-rgiõs SB sub-rgião NcurvasSB númro d curvas da sub-rgião O primiro loop vai privilgiar as curvas com _ U prscrito para srm scolhidas como U. O sgundo garant qu plo mnos uma curva srá marcada com U. O trciro marca as curvas ainda não scolhidas, garantindo qu as curvas com P _ prscrito não sjam rradamnt marcadas. Assim, dpois d prcorridas todas as instâncias do algoritmo todas as curvas do problma trão condição d contorno. No próximo capítulo, a partir da implmntação da técnica d acoplamnto itrativo aprsntada, foram dsnvolvidos, para st trabalho, alguns casos tst para comparação com rsultados obtidos na litratura também com os modlos dsnvolvidos, já bastant tstados, no CEPEL. 4

51 Tabla 5.2 Algoritmo para scolha das condiçõs d contorno (CC) nas intrfacs Primiro passo: vrificar s xist uma curva com CC d i, NSB _ U prscrito _ S o SBi possuir alguma curva não scolhida com U prscrito ntão scolh apnas uma curva (a primira ncontrada) marca com U Próximo i Fim-s Fim i Sgundo passo: vrificar s alguma SB não tm uma curva com i, NSB S o SBi não tm curva com U ntão S possui curvas sm CC ntão scolh a primira curva sm CC marca com U Snão scolh a primira curva qu ainda não foi scolhida marca com U Fim-s Fim-s Fim i Trciro passo: compltar as curvas sm CC i, NSB j, NcurvasSB S curva j não possui CC ntão scolh curva marca com U Snão S possui U já scolhido por outro SB scolh a curva marco com P Snão _ S (não possuir) P prscrito scolh a curva marco U Snão scolh a curva marca com Fim-S Fim-S Fim-S Fim j Fim i P _ U 42

52 CAPÍTULO 6 - Programas Computacionais Os trabalhos dsnvolvidos no CEPEL na implmntação do programa MEFE, nos projtos dsnvolvidos com a aplicação do programa TRICAMP, são a bas a partir da qual, foram dsnvolvidos os módulos do programa MEC2Dq, m spcial com o objtivo d uma futura junção dsts programas possibilitando o dsnvolvimnto d soluçõs híbridas. Os trabalhos, dsnvolvidos m forma modular, prmitm qu altraçõs futuras implmntaçõs sjam ralizadas com mais facilidad m tmpo mnor. 6. Entrada d Dados Nst trabalho a gração dos arquivos d dados para tst do programa MEC2Dq, foi dfinida a partir d uma modificação ralizada nos módulos do programa PHENIX, prmitindo a gração d todos os dados d ntrada conform os formatos dfinidos no Anxo. Ests arquivos têm o formato d ntrada dfinidos m dtalh para prmitir qu o usuário, ntr com os dados do caso m studo. Como o arquivo para dfinição d pontos intrnos, qu é grado somnt para o MEC2Dq, o arquivo d saída são aprsntados no prsnt capítulo. Os dados para utilização do programa MEC2Dq foram divididos m cinco arquivos d ntrada d dados um d saída, para cada caso m studo, como listado a sguir: nom-do-caso.dn - distribuição d nós nas curvas (malha do MEC). nom-do-caso.cc - condiçõs d contorno nas curvas. nom-do-caso.sd - sub-rgiõs matriais qu compõ o domínio. nom-do-caso.dm caractrísticas dos matriais das sub-rgiõs. nom-do-caso.poi - dfinição dos pontos intrnos para o cálculo do potncial 43

53 campo létrico. nom-do-caso.out aprsntação da solução para o potncial o campo létrico no contorno nos pontos intrnos. 6.. Dscrição do Contorno Na figura 6. é aprsntada a tla d ntrada do programa qu gra a os dados gométricos do contorno do problma. Figura 6. Entrada da gomtria do problma. Val lmbrar qu a gomtria é dfinida plo dsnho do problma dividido m curvas, concito aprsntado no capítulo antrior. 44

54 6..2 Gração dos Elmntos Na Figura 6.2 é aprsntada a tla d ntrada do programa qu gra a malha dos lmntos no contorno arquivo nom-do-caso.dn. A discrtização do problma é ralizada d forma automática a partir da scolha do númro d nós d cada curva. Figura 6.2 Malha dos lmntos no contorno. 45

55 6..3 Idntificação das Sub-rgiõs Na Figura 6.3 é aprsntada a tla d ntrada do programa qu idntifica as sub-rgiõs d intrss os rspctivos valors dos matriais arquivos nom-do-caso.dm nom-do-caso.sd. O programa d idntificação sparação d sub-rgiõs dfin automaticamnt as sub-rgiõs as orinta no sntido anti-horário. Portanto no dsnvolvimnto do programa d cálculo, tomou-s o cuidado d invrtr o sntido qu dfin o contorno d um dado domínio, lmbrando qu o vtor normal smpr tm qu apontar para fora do domínio d intrss. Figura 6.3 Idntificação das sub-rgiõs matriais. 46

56 6..4 Dfinição das Condiçõs d Contorno Na Figura 6.4 é aprsntada a tla d ntrada do programa qu prmit a dfinição das condiçõs d contorno arquivo nom-do-caso.cc. Figura 6.4 Idntificação das condiçõs d contorno. 47

57 6..5 Dfinição dos Pontos Intrnos Para sta vrsão do programa MEC2Dq o arquivo para dfinição d pontos intrnos nom-do-caso.poi é um arquivo formato txto tm a sua formatação dfinida na Tabla 6.. Tabla 6. Formato do arquivo d pontos intrnos. Arquivo d pontos intrnos - <nom-do-caso>.poi L Formato Tipo Dscrição 0 E24.5 Extndd Númro Total d Pontos Intrnos E24.5, X, E24.5, Extndd, Extndd, X, I2 LongInt Lista com as coordnadas X Y dos Pontos Intrnos a Subrgião qu prtnc 6.2 Programa MEC2Dq No programa MEC2Dq é implmntada a formulação do MEC para problmas bidimnsionais rgidos pla quação d Laplac (2.7). O programa é composto por dz módulos qu contém todas as sub-rotinas dsnvolvidas. A função dsts módulos é aprsntada na Tabla

58 Tabla 6.2 Dscrição dos módulos do programa MEC2Dq. MÓDULO DESCRIÇÃO LrDadosq ErroUnit BasicDataTyp MECImputData DadosMEC2Dq PrparaCaso2Dq Intgraq Solvr P_intrnosq Lê os dados dos arquivos d ntrada.dn,.cc,.sd,.dm Control d rros Pré-procssamnto dos dados lidos Dfinição dos dados intrnos Gração dos dados intrnos a partir do préprocssador Raliza as intgraçõs dfin o sistma d quaçõs do MEC Rsolv o sistma d quaçõs Calcula os pontos intrnos Mc2Dq Programa principal acoplamnto itrativo 6.2. Dfinição do Arquivo d Saída Para sta vrsão do programa MEC2Dq o arquivo d saída com a solução do caso m studo nom-do-caso.out é um arquivo formato txto tm a sua formatação dfina na Tabla

59 Tabla 6.2 Formato do Arquivo d Solução. Arquivo d Solução - <nom-do-caso>.out L Formato Tipo Dscrição 0 E24.5 Extndd Tolrância I2 LongInt Númro d Itraçõs 2 E24.5 Extndd Parâmtro d Rlaxação 3 E24.5 Extndd Erro da Solução 4 I2, X, E24.5, X, E24.5 LongInt, Extndd, Extndd Lista com os nós do contorno os valors d potncial campo létrico 5 E24.5, X, E24.5, X, E24.5, X, E24.5 Extndd, Extndd, Extndd, Extndd Lista com as coordnadas X Y dos Pontos Intrnos os valors calculados d potncial campo létrico 6.3 Casos para tst do programa MEC2Dq Para validar o programa MEC2Dq foram dsnvolvidos dois casos tst, aprsntados nos itns a sguir Capacitor d Placas Parallas Na figura 6.5 é aprsntada à modlagm ralizada para um domínio dividido m duas sub-rgiõs sparadas por uma curva d intrfac capacitor d placas parallas. Est xmplo foi utilizado porqu, além d prmitir solução analítica, aparc d forma rcorrnt na litratura psquisada, Ellithy, (200) Ellithy Tanaka (2003), Li Yu (2002), Kamiya t al. (997), no dsnvolvimnto d divrsos tsts, quais sjam: algoritmos d acoplamnto por rlaxação; acoplamnto d sistmas híbridos; stabilidad ficiência do acoplamnto. A partir das condiçõs d contorno iniciais, dfinidas na Figura 6.6, compara-s a 50

60 simulação ralizada utilizando o MEC2Dq com a modlagm ralizada utilizando-s o programa basado no MEF, do sistma PHENIX, qu não utiliza a técnica d subrgiõs itrativas. É important rssaltar qu as condiçõs d contorno da intrfac são scolhidas calculadas durant o procsso d solução. MEC2Dq: malha d 2 nós por curva do contorno, 84 lmntos isoparamétricos quadráticos para cada sub-rgião (MEC-MEC), Figura 6.7. PHENIX: msmo númro d nós nas curvas d contorno, Figura 6.8, grando uma malha d 30 lmntos triangulars d primira ordm, Figura 6.9. As modlagns têm os sus rsultados comparados ao rsultado analítico. Para as duas altrnativas as constants dilétricas dos matriais das duas rgiõs (K K2) são iguais à unidad. Cada sub-rgião é um quadrado d lado igual à unidad. Figura 6.5 Acoplamnto capacitor d placas parallas. 5

61 P=0 U=kv U=0 P=0 Figura 6.6 condiçõs d contorno Iniciais. Figura 6.7 Malha para a solução MEC-MEC. 52

62 Figura 6.8 Nós para gração d malha da solução MEF. Figura 6.9 Malha para a solução MEF. 53

63 Nas Figura 6.0 é aprsntado o gráfico com as difrnças prcntuais, m scala logarítmica, das soluçõs MEC MEF m rlação à solução analítica para o potncial na frontira das sub-rgiõs. Foi utilizado para o MEC o valor d 0.5 para o parâmtro d rlaxação uma tolrância d.0e-0. O caso convrgiu m 35 itraçõs. Já para o MEF, qu utiliza um solvr basado no Método d Sobr-rlaxação, Mpalantinos Nto t al., 989, o alfa foi d.7 a tolrância d.0e-6 o caso convrgiu m 76 itraçõs. Potncial - Difrnça para Solução Analítica.0E+00 Difrnça prcntual (%).0E-02.0E-04.0E-06.0E-08 MEF MEC.0E Distância na intrfac (m) Distância na intfac (m) Figura 6.0 Soluçõs para o potncial na intrfac. D forma complmntar é aprsntado um gráfico com as difrnças prcntuais do MEC m rlação à solução analítica para o campo létrico calculado na intrfac, Figura

64 Campo Elétrico - MEC Difrnça Prcntual (%) Distância na frontira (m) Figura 6. Solução para o campo létrico na intrfac. A solução do MEF não é aprsntada para o campo létrico na intrfac. O campo létrico tria d sr intrpolado nos nós ntr os lmntos, uma vz qu st é constant dntro dos lmntos o qu acabaria mascarando a solução já qu a ordm do rro é pquna. Pod-s obsrvar qu ambas as soluçõs, no cálculo do potncial, tm difrnças prcntuais próximas d zro m rlação à solução analítica, nquanto o cálculo do campo létrico com o MEC tm uma variação d 2.5 a 4.5 pontos prcntuais m rlação à solução analítica. A xpriência mostra sr st nívl d rro acitávl para o cálculo d campo létrico Tsts d Convrgência Utilizando o capacitor d placas parallas dfinidas na Figura 6.6, dsnvolvu-s um studo sobr a faixa d variação do parâmtro d rlaxação alfa as constants dos matriais para as sub-rgiõs 2 (k k2). 55

65 A aplicação tm como objtivo tstar a influência d alfa na vlocidad da convrgência da solução. Alfa é variado m um intrvalo d 0. a.9, nquanto o valor d k fica fixo m, o d K2 varia d a 0.000, sgundo a Tabla 6.3. Na tabla é aprsntado o númro d itraçõs d cada combinação studada. Foi utilizada uma tolrância d.0e-0, Figura 6.2. Tabla 6.3 Variação d Alfa K2. Alfa k2 = k2 = 0 k2 = 20 k2 = 00 k2 = 000 k2 =

66 numro d itraçoõs k2 = k2 = 0 k2 = 20 k2 = 00 k2 = 000 k2 = Alfa Figura 6.2 Faixa d variação d alfa para difrnts valors d K2. No gráfico aprsntado na Figura 6.2 pod-s obsrvar qu msmo para valors da ordm d K2 =.0E4, a convrgência é atingida. O gráfico sugr qu para maiors valors d K2, mnor é a influência da sub-rgião 2 na solução global, o campo létrico s concntra ntão na sub-rgião d mnor K, quação (2.9). Pod-s ainda rssaltar qu é possívl a solução d problmas com matriais d propridads dilétricas bastant difrnts, tndo-s o cuidado d scolhr o valor ótimo d Alfa. Como os sistmas d quaçõs são rsolvidos sparadamnt a variação da solução, numa dada sub-rgião, ntr itraçõs, dpnd da prturbação causada plas subrgiõs limítrofs, obsrva-s a convrgência mais rápida para valors maiors d alfa nos casos d maiors valors d K2 maior influência da solução atual com rlação a antrior. Contudo, apsar do gráfico sugrir st comportamnto, o msmo obsrvado m, Ellithy t al. (200), tm qu sr tstado m outras configuraçõs, mais complxas, stas dvm sr studadas para dtrminar s st comportamnto é uma tndência ou alguma particularidad dst caso por tr uma gomtria simpls. 57

67 Cab obsrvar qu na litratura psquisada, os trabalhos tratam, m gral, d valors d k2 da ordm do dobro d k. Para aplicaçõs létricas, no ntanto, como por xmplo o isolador aprsntado no itm 2.4, podm ocorrr valors d k2 (cimnto) 30 vzs maiors qu k (ar). Finalmnt na Figura 6.3, K K2 tm valor igual à unidad nquanto varia-s os valors iniciais d U P na intrfac das sub-rgiõs d zro, 50% 75% da solução sprada na convrgência. Pod-s obsrvar qu a stimativa d um valor inicial para os valors d U P na intrfac não influnciou na vlocidad da convrgência. Valor inicial Numro d Itraçõs zro 0.5 Sol Sol Alfa Figura 6.3 Efito da scolha do valor inicial d alfa Tst d consistência do acoplamnto itrativo A partir d um caso d um domínio homogêno, Figura 6.4, são construídas duas subrgiõs fictícias com as constants dos matriais iguais a, Figura 6.5, dsnvolvidas modlagns para os dois casos, Figura

68 O objtivo é vrificar s, quando da aplicação do acoplamnto ntr as duas sub-rgiõs fictícias, surgiriam valors d potncial campo létricos spúrios nos cantos criados dntro do domínio inicial. No caso do potncial a solução é obsrvada sobr a curva o campo létrico sobr a curva 2, Figura 6.8. Nas Figuras , são aprsntados os gráficos dsnvolvidos para o rro prcntual ntr os valors calculados, com sm a sub-rgião fictícia (quadrado cntral), para o potncial o campo létrico. Figura 6.4 Domínio inicial. 59

69 Figura 6.5 Sub-rgiõs fictícias. Figura 6.6 Malha para domínio inicial. 60

70 Figura 6.7 Malha para sub-rgiõs fictícias. P=0 U=kv Curva 2 S2 U=0 S Curva P=0 Figura 6.8 Curvas scolhidas para obsrvação da solução. 6