Processo Seletivo. 1.º Semestre de Caderno 1 Prova da 2. a Fase. Matemática. resolução h

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1 Processo Seletivo 1.º Semestre de 011. Caderno 1 Prova da. a Fase Matemática resolução h

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3 MATEMÁTICA 01. Seja (a 1, a, a, ) uma sequência com as seguintes propriedades: (i) a 1 = 1. (ii) a n = n a n, para qualquer n inteiro positivo. (iii) a n + 1 =, para qualquer n inteiro positivo. a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência. b) Calcule o valor de a 50. Resposta: a) a 1 = 1 a = a 1 = 1 a 1 = 0 0 = 0 = 1 a = a = a = a = 1 0 = 1 = a 5 = a 6 = a = a = = 6 a 7 = a 8 = a = a = 1 = 1 + = 8 a 9 = a 10 = a 5 = 5 a 5 = 5 = 10 a 11 = a 1 = a 6 = 6 a 6 = 6 6 = 6 a 1 = a 1 = a 7 = 7 a 7 = 7 = 1 a 15 = a 16 = a 8 = 8 a 8 = 1 + = = 6 Portanto, a sequência procurada é: (1, 1,,,, 6,, 8,, 10,, 6,, 1,, 6). b) Da sequência listada no item anterior, percebe-se que Segue que a 50 1 a a n 1... (n 1).. Como é a soma de 9 termos de uma progressão aritmética, temos que 15. FGVS1001/.ªFase-Cad1-Matemática-Resolução

4 0. A figura indica os gráficos das funções f, g, h, todas de IR em IR, e algumas informações sobre elas. (i) f() = + (ii) g() = (iii) h() = f() + g(), para qualquer. a) Indique, na figura de seu espaço de respostas, quais são os gráficos das funções f, g, h. Em seguida, calcule p. b) Calcule q. Resposta: y g h q 0 p f a) h() Para t Fazendo h(t) 0 para o cálculo de p, encontramos t 1 ou t,ou seja, 1 0, temos h(t) t log Segue que log. p t. b) Calculando o valor de para o qual f() = g(), temos: t, t 7 log ( t 0 t 7 ) Para log ( 7 ), será igual a Segue que q é igual a (11 7). log ( 7 ) 7 (com IR, t 7 ), ou seja, ( 7 ) FGVS1001/.ªFase-Cad1-Matemática-Resolução

5 0. Em microeconomia, com alguma frequência, são estudados problemas envolvendo curvas de indiferença do consumidor com relação à aquisição de dois bens ( e y, por eemplo), em associação à curva de restrição orçamentária do consumidor para aquisição desses bens. Do ponto de vista matemático, o que interessa nesse tipo de problema é a identificação de uma função (a partir de uma família de funções das curvas de indiferença), cujo gráfico seja tangente ao gráfico da função de restrição orçamentária, bem como a determinação do ponto de tangência P, que representa o equilíbrio do consumidor. y curva cuja determinação nos interessa (curva do equilíbrio do consumidor no ponto P) restrição orçamentária P curvas de indiferença Admita que a família de curvas de indiferença (com e y positivos) seja dada por, com k 0,100 orçamentária do consumidor em relação aos bens e y seja dada por y = + 9., e que a restrição a) Faça um esboço, no plano cartesiano, dos gráficos da restrição orçamentária, e das curvas de indiferença para k = e k = 1. b) Determine o valor de k na situação de equilíbrio do consumidor e, em seguida, calcule as coordenadas do ponto P de equilíbrio do consumidor (observação: neste problema, tanto k, quanto e y do ponto P não são números inteiros). Resposta: a) y curva de indiferença (k = ): y 1 restrição orçamentária: y = curva de indiferença (k = 1): 1 y b) Queremos determinar k na equação literal para que ela possua solução única. Portanto: ( 9) 7 k 9 k 0 9 k 0 k 0 Segue que: (Δ 0) P, FGVS1001/.ªFase-Cad1-Matemática-Resolução

6 0. Os alunos de uma classe foram consultados sobre quatro possibilidades diferentes de horário para o eame final da disciplina (possibilidades A, B, C e D). Cada aluno ordenou sua preferência da 1.ª à.ª escolha (a 1.ª é a mais desejada, e a.ª a menos desejada). A apuração dos resultados dessa consulta mostrou que foram escolhidas apenas 9 ordenações diferentes, dentre as possíveis. A tabela indica os resultados da consulta com os dados agrupados. Número de votos ª escolha A A A B B B C C D.ª escolha B B C C A C D A C.ª escolha C D B D C A B D A.ª escolha D C D A D D A B B Eemplo: do total de 50 alunos, preferem A à B, B à C e C à D (primeira coluna da tabela). a) Usando os dados da tabela, determine o horário vencedor, e com que porcentagem de votos, em uma eleição majoritária simples. Definição: eleição majoritária simples é aquela em que se leva em consideração apenas a 1.ª escolha de cada eleitor. b) Admita, agora, que são atribuídos peso quatro ( pontos) à 1.ª escolha de cada aluno, três ( pontos) à.ª escolha, dois ( pontos) à.ª escolha e um (1 ponto) à.ª escolha. Dada a matriz V 19 = [ ], determine a matriz P 9 de forma que V 19 P 9 resulte a matriz T 1 = [A B C D] do total de pontos dos horários A, B, C e D. Em seguida, ordene a classificação dos quatro horários, do que obteve mais pontos para o que obteve menos pontos. Resposta: a) A: = 1 votos B: = 15 votos C: 8 + = 10 votos D: 11 votos O horário B é o mais votado com 15 votos em 50, ou seja, com 0% dos votos. b) V 19 P 9 = T 1 = [A B C D] A B C D A = = 116 B = = 1 C = = 17 D = = 11 Classificação: 1.º o horário C, com 17 pontos,.º o horário B, com 1 pontos,.º o horário A, com 116 pontos,.º o horário D, com 11 pontos. FGVS1001/.ªFase-Cad1-Matemática-Resolução 6

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