Teoria Matemática das Eleições

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1 Teoria Matemática das Eleições Ficha de Trabalho nº 1 1. Numa Associação Recreativa com 710 associados realizaram-se eleições para a Presidência. Apresentaram-se três candidatos e os resultados foram os seguintes: António Bernardo Carlos Votos em branco Votos nulos Nº de votos Quantas pessoas votaram para a Presidência da Associação? 1.2. Houve abstenção? Qual a percentagem? 1.3. Calcula a percentagem de votos atribuída a cada candidato Sabendo que o sistema utilizado para encontrar o vencedor foi o sistema maioritário de uma volta, quem venceu as eleições? Com que tipo de maioria? Justifica a resposta A que distância percentual ficou o segundo candidato mais votado? 2. Nas eleições para a assembleia de uma freguesia, obtiveram-se os seguintes resultados: Não houve votos brancos. Partidos Número de votos O número de votos nulos foi 160. A A percentagem de abstenção foi de 35% B Qual o número de cidadãos inscritos para estas eleições? 2.2. Quantas pessoas votaram na eleição? 2.3. Calcule a percentagem de votos de cada um dos partidos Quem é o vencedor por maioria simples? C Algum dos partidos foi eleito por maioria absoluta? Justifique. 1

2 3. Os professores de Educação Física da Escola Secundária Arco-Íris pretendem introduzir uma nova modalidade desportiva na área do Desporto Escolar. As opções são quatro: golfe, badmington, Danças de salão e patinagem. Consultados todos os alunos da escola, obtiveram-se os seguintes resultados: û 298 estudantes votaram golfe e danças de salão; û 140 estudantes votaram patinagem e badmington; û 255 estudantes votaram patinagem e danças de salão; û 110 estudantes votaram golfe e badmington; û 213 estudantes votaram golfe, patinagem e danças de salão Qual a modalidade vencedora pelo sistema de aprovação? 3.2. Sabendo que todos os alunos votaram, quantos alunos tem a escola? 3.3. Que percentagem de alunos votou na modalidade golfe? 4. Utilizando o sistema de aprovação, sabe-se que numa votação entre 20 indivíduos 10 votaram apenas na opção A, 2 votaram nas opções A e B e 3 não votaram em nenhuma Quantos votaram apenas na opção A? 4.2. Quantos votaram apenas na opção B? 4.3. Qual saiu vencedora? 5. Um grupo de alunos vai escolher o delegado de turma pelo método de aprovação. Os resultados obtidos foram os seguintes: - 8 alunos escolheram o João e o Francisco. - 6 alunos escolheram o Manuel, a Joana e a Cátia. - 7 alunos escolheram a Maria, a Isabel e a Joana. - 9 alunos escolheram o João, a Maria, a Joana, a Isabel, a Cátia e o Francisco Quantos votos obteve cada um dos concorrentes? 5.2. Quem foi eleito delegado de turma? Justifique. 6. Na turma do Carlos, com 26 alunos, fez-se um inquérito, onde todos participaram, para saber qual o desporto preferido. Sabemos que as respostas foram: - 16 votaram ginástica - 10 votaram ténis - 11 votaram natação - 5 votaram ginástica e ténis - 5 praticam ténis e natação - 2 praticam as três modalidades a) Quantos alunos votaram apenas em natação? b) Quantos alunos votaram apenas em ténis e natação? 2

3 7. Uma Associação Recreativa pretende pintar as paredes exteriores do edifício da sua sede. Depois de alguma discussão concluíram que a escolha da cor da tinta não é consensual e por isso os elementos da organização deveriam proceder à eleição de uma de entre as cores azul, verde e laranja. BOLETIM Supõe que és um dos elementos dessa associação. Vais votar 1ª preferência através de um boletim de preferência onde indicas a tua 1ª, 2ª e 3ª 2ª preferência 3ª preferência preferência (neste boletim não são permitidos empates nem omissões). [Procede-se sucessivamente: distribuição dos boletins; nomeação de três elementos para a mesa de voto; votação secreta e individual; separação e contagem dos boletins com os diferentes tipos de voto.] Regista na tabela seguinte a contagem dos boletins de votação. Nº de boletins 1ª preferência Azul Azul Verde Verde Laranja Laranja 2ª preferência Verde Laranja Azul Laranja Azul Verde 3ª preferência Laranja Verde Laranja Azul Verde Azul 7.1. Apliquem o método da pluralidade de modo a determinar a cor preferida Apliquem o método de contagem de Borda de modo a determinar a cor preferida Comente comparativamente os resultados obtidos através dos dois métodos. 8. André (A), Bernardo (B), Cândido (C) e Damião (D) concorrem aos lugares de Presidente e Vice Presidente da Associação de Comerciantes de Bombim. Cada um dos votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos: Preferências Número de votos ª escolha A A A C B 2ª escolha D B C D D 3ª escolha C D B B C 4ª escolha B C D A A O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice Presidente Quantos associados votaram? 8.2. Sabendo que a associação tem 150 sócios, qual foi a percentagem de abstenção? 3

4 8.3. Quem é o Presidente, por Maioria Simples? E o Vice-Presidente? Com que percentagem de votos? 8.4. Algum dos candidatos obteve Maioria Absoluta? Quantos votos teria de ter um candidato para ter Maioria Absoluta? 8.5. Explique o procedimento a seguir se os estatutos da associação exigissem maioria absoluta para a eleição do seu presidente Usando o Sistema de Borda, Runoff e Runoff sequencial atribua os cargos de Presidente e Vice-Presidente. 9. Considere uma eleição, com três candidatos (A, B e C), por ordem de preferência Desenhe os seis diagramas de ordenação possíveis Suponha que existiam 50 eleitores. Faça uma distribuição de votos de tal modo que o A seja vencedor pelo método de contagem de Borda sem que seja vencedor pelo método de pluralidade. Coloque pelo menos um voto em cada um dos diagramas. 10. Numa dada região quer-se proceder à eleição do Presidente e do Vice Presidente da Associação Desportiva. Para esta eleição concorrem 5 candidatos A, B, C, D e E. O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice Presidente. Cada um dos votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos: Determine quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, se o método seguido fosse: a) Pluralidade b)contagem de Borda c) Runoff Considere a seguinte afirmação: Considerando a posição obtida pelo candidato A nas três listas ordenadas, se o método aplicado para apurar o vencedor fosse o de Runoff sequencial, este nunca iria ocupar o cargo de Presidente, independentemente da ordenação dos restantes candidatos. Sem proceder à aplicação do referido método, justifique a afirmação anterior Considere-se agora que o candidato E é excluído das eleições e que a ordenação dos restantes candidatos se mantém inalterada. Determine, neste caso, quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, através do método de Condorcet Comente os métodos utilizados, referindo-se à sua robustez. Preferências Número de votos ª A D E 2ª B B D 3ª C C C 4ª D E B 5ª E A A 4

5 11. A tabela seguinte mostra os resultados obtidos numa votação para eleição do Chefe da Diretoria de Finanças de À-dos-Impostos. Determina o vencedor, caso exista, usando: a) O método da pluralidade; b) O método de Borda; c) O método de Runoff; d) O método de Runoff sequencial; e) O método de Condorcet. 12. Numa dada localidade quer-se proceder à eleição do Presidente e do Vice Presidente da Associação Desportiva. Para esta eleição concorrem 4 candidatos A, B, C e D. O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice Presidente. Cada um dos sócios votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos: Preferências Número de votos ª A B A C B 2ª D A C D D 3ª C C B B C 4ª B D D A A Sabendo que a Associação Desportiva tem 270 sócios. Qual foi a percentagem de votantes nesta eleição? Apresente o resultado arredondado às décimas Considere apenas as linhas correspondentes às três primeiras preferências. Quem será eleito Presidente se as eleições forem por aprovação? Considerando apenas a primeira preferência, algum dos candidactos obteve maioria absoluta? Se não quantos votos faltou ao mais votado para a obter? Determine quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, se o método seguido fosse: a) Contagem de Borda b) Runoff Em função dos vários resultados encontrados, quem deveria, na sua opinião, ocupar os cargos? Ordem de preferência 1º João Xavier Rosa Inês 2º Rosa João Xavier Xavier 3º Xavier Inês João Rosa 4º Inês Rosa Inês João 6 votos 4 votos 7 votos 8 votos 5

6 13. Seis candidatos a administradores de uma Aspecto empresa foram submetidos à uma Ordem I II III IV V apreciação sobre vários aspectos de importância equivalente e relevantes para o 1º D U H M H exercício do cargo. Daí resultaram 2º N D E N E classificações que permitiram seriar os 3º H E M E D candidatos em cada um dos aspectos 4º E M D D N observados, conforme a tabela anexa. 5º M N U U U Determine quem será o administrador da 6º U H N H M empresa, explicitando os critérios usados para desfazer eventuais empates, aplicando os métodos: a) Pluralidade b) Contagem de Borda c)runoff d) Runoff sequencial e) Condorcet 14. Nas eleições para a Assembleia de freguesia de Algés, em 1997, a distribuição dos 19 mandatos originou: PSD 9; PS 7; PCP/PEV 2 PP Calcule as percentagens de mandatos obtidos pelas forças políticas indicadas. Alguma delas obteve maioria absoluta de mandatos? Nas resoluções que requeiram maioria absoluta dos deputados quantos são necessários, no mínimo, para aprovar uma medida? Justifique Indique todas as coligações que permitem aprovar uma medida por maioria absoluta, supondo que ocorre disciplina de voto. Como se designam este tipo de coligações? Determine o índice de poder de Banzhaf de cada força política, para aprovações por maioria absoluta Relacione o grau de influência de cada força política com a sua representatividade na Assembleia. Há proporcionalidade naquela relação? Justifique. 15. Nas eleições para a Assembleia da Freguesia de Câmara de Lobos, em 2001, a distribuição dos 13 mandatos foi: PSD 9 PS 3 PP Calcule as percentagens de mandatos obtidos pelas forças políticas indicadas. Alguma delas obteve a maioria absoluta dos mandatos? Justifique Determine o índice de poder de Banzhaf de cada força política para aprovações por maioria absoluta As forças políticas minoritárias poderão ter algum poder de decisão nesta Assembleia? Justifique. 6

7 16. No ano de 2001, a Assembleia da República Portuguesa era constituída pelos seguintes grupos parlamentares, correspondentes a partidos e coligações: BE 2 deputados PCP 17 deputados PP 15 deputados PSD 81 deputados PS 115 deputados Supondo que existe disciplina de voto em cada um dos grupos parlamentares, indique as 15 coligações com poder para aprovar uma medida por maioria absoluta. Diga como se denominam estas coligações Determine o índice de poder de Banzhaf de cada grupo parlamentar. Discuta a especificidade da composição da Assembleia nesta legislatura Para aprovar uma revisão da Constituição da República Portuguesa é necessária uma maioria qualificada de dois terços. Indique o número mínimo de deputados necessário para aprovar uma revisão constitucional. 17. Três alunos A, B e C, fizeram um trabalho sobre a Teoria das Eleições. Quinze alunos leram os trabalhos e ordenaram-nos tendo em conta a pontuação de acordo com uma tabela de avaliação fornecida pelo professor da seguinte forma (por ordem de preferência 1.º, 2.º e 3.º lugar) ACB ABC ACB BCA CAB BCA ABC BCA BAC CBA ABC ACB ABC BCA BAC Determine o vencedor pelo método de Borda Determine o vencedor pelo método de Condorcet Determine o vencedor pelo método de Runoff sequencial Em sua opinião, qual deve ser considerado o melhor trabalho. Justifique a sua resposta. 7