Lista de Exercícios SUB e APE 3º Ano 2017

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1 Geometria Espacial : Lista de Exercícios SUB e APE º Ano (Fac. Albert Einstein - Medicin 017) Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide terá m de altura e cada aresta da base medirá m. A lateral da pirâmide será coberta com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para um melhor acabamento. Se a medida do lado de cada folha é igual a 0 cm, o número mínimo dessas folhas necessárias à execução do trabalho será Utilize 10, a) 85 b) 01 c) 0 d). (Fgv 017) a) O volume do cubo da figura é diagonais do cubo. Qual é o volume da pirâmide de vértice V? 64 cm. O ponto V é o ponto de encontro das b) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O se encaixou num copo exatamente como mostra a figura. O raio da bola mede 1 cm e OC 5 cm. O segmento AC é o raio do cilindro. O que tem o maior volume: a bola ou o copo?. (G1 - cftmg 016) Deseja-se construir uma caixa d'água no formato de um paralelepípedo retângulo, que armazene litros de água, como mostra a figura. Página 1 de 18

2 Sabe-se que o comprimento (c) é o dobro da largura ( ), que a altura (h) é 1 da medida da largura () e que 1m equivale a litros de água. Nessas condições, a largura dessa caixa d'água, em metros, é igual a a) 1,5. b) 1,8. c),7. d),0. 4. (Enem ª aplicação 016) O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de competição tem uma profundidade uniforme de m, que ajuda a diminuir a reflexão da água (o movimento) contra uma superfície e o regresso no sentido contrário, atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de comprimento e 5 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 0 m de largura e m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas. Disponível em: Acesso em: 6 ago. 01. Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor mais próximo de a) 0% b) 5% c) 47% d) 50% e) 88% 5. (Unesp 016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 4%. b) 6%. c) %. Página de 18

3 d) 6%. e) 8%. 6. (Enem PPL 015) Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é a) oito vezes maior. b) quatro vezes maior. c) duas vezes maior. d) a metade. e) a quarta parte. 7. (Enem 015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 0 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 5%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de cm e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) cm, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na 8. (Ufjf-pism 015) Um monumento será construído no formato de uma pirâmide de base hexagonal regular. Sabendo que a altura h do monumento é 4 m, a aresta lateral a mede 7 m, a aresta da base mede 4 6 m e desconsiderando possíveis perdas, determine: a) a área ocupada pela base do monumento em metros quadrados. b) a área mínima de espelhos necessária para cobrir completamente as laterais do monumento. c) o volume desse monumento. 9. (Uemg 015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta igual a 10 metros. Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere π ) a) 5,76m. b) 4,4m. c) 6,8m. d) 8,74m. Página de 18

4 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto, a tirinha e as informações do quadro para responder à(s) questão(ões). Uma caixa de suco de manga tem o formato de um bloco retangular com base quadrada de lado 0,7 dm. O suco contido nela é feito com a polpa de quatro mangas. Sabe-se que a polpa obtida de cada manga rende 0,45 litros de suco. - Libra e onça, bem como quilograma, são unidades de medida de massa. - A relação lida por Calvin no 1º quadrinho está correta. - 1,0 kg é aproximadamente igual a, libras. 10. (Fatec 015) A altura mínima que a caixa de suco deve ter, para conter todo o volume de suco obtido das quatro mangas é, em decímetros, igual a Desconsidere a espessura das paredes da caixa. a) 1,6. b) 1,8. c),0. d),. e), (Fgv 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm 1. (Enem 014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. Página 4 de 18

5 Considere um silo de m de altura, 6m de largura de topo e 0m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa m desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: Acesso em: 1 ago. 01 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 15. c) 10. d) 0. e) (Enem 014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a cm, 1cm e cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) d) e) (Enem PPL 014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 0 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 48. b) 7. c) 84. d) 10. e) (Enem 014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Página 5 de 18

6 Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 5% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 0% c),0% d) 6,0% e) 64,0% 16. (Enem 014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 4. Página 6 de 18

7 Geometria Analítica : 1. (Fgv 016) No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de ponto (, 4) é a) 4x y 5 0. b) 4x y 5 0. c) 4x 5y 9 0. d) x 4y 5 0. e) x 4y 5 0. x y 5 pelo. (Insper 014) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então a) b a. b) b a 9. c) b a 6. d) b a 9. e) b a 6.. (Unicamp 014) No plano cartesiano, a reta de equação x y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas 4 a) 4,. b) (, ) 4 c) 4,. d) (, ). 4. (Espm 014) As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x 4x (y 1) 0 são, respectivamente: a) (, 1) e 4 b) (, 1) e c) (4, 1) e d) 1, e e), e 5. (Fgv 014) No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,) e tangencia a reta de equação x 4y 1 0. A equação dessa circunferência é: a) x y 10x 6y 5 0 b) c) d) e) x y 10x 6y 6 0 x y 10x 6y 49 0 x y 10x 6y 16 0 x y 10x 6y (Enem PPL 01) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Página 7 de 18

8 Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave. A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t (em minutos) altitude y (em metros) Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por a) y = 400t b) y = 000t c) y = t d) y = t e) y = t Disponível em 7. (Fuvest 01) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0 x 1 y 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em 8. (Fgv 01) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A1,4, B4,5 e C6,. A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissa a) b), c),4 d),6 e),8 9. (Fgv 01) Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A 0,0, B 1,7 e C 8,6, sendo que as unidades estão em quilômetros. a) Em que ponto Px,y deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às três livrarias sejam iguais? b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C? 10. (Fgv 01) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 Página 8 de 18

9 11. (Espm 01) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A(0, 0), B(, ) e C(4, 5), a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A será: a) y = x b) y = x c) y = x d) y = 4x e) y = 5x Página 9 de 18

10 Gabarito: Página 10 de 18

11 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo Teorema de Pitágoras, segue que p 1 p 10 m 0cm. Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por Resposta da questão : a) Calculando: a 64 a 4 a h h cm 1 1 V a h 4 V b) A bola. Calculando: AC r raio da base c ilindro r 5 1 r 1 4 Vbola π1 99,π cm Vbola Vcilindro Vcilindro π π cm Resposta da questão : [D] Como L 18 m, c e h, temos c h m. Resposta da questão 4: [E] Se o volume da piscina olímpica é igual a era m, então o resultado é % 88% m, e o volume da piscina original Página 11 de 18

12 Resposta da questão 5: [D] A área total do paralelepípedo é dada por ( ) 8 m. Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões 5m e 1m. Logo, o acréscimo na área externa foi de m e, portanto, a resposta é % 6%. 8 Resposta da questão 6: [B] Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode escrever: Vantigo a b Vnovo a b Vnovo 4a b Vnovo 4 Vantigo Resposta da questão 7: [C] Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que 1,5 (1000 v) v 600cm. Portanto, a resposta é 600cm. Resposta da questão 8: a) A área da base é dada por (4 6) 144 m. Observação: Os dados são inconsistentes. De fato, considerando o triângulo retângulo formado pela altura do monumento, uma aresta lateral e o respectivo raio r do círculo circunscrito à base, pelo Teorema de Pitágoras, vem r 4 7 r. Ora, segue que r. Contradição. b) O apótema m do monumento é dado por 4 6 p 7 p 49 4 p 5 m. Desse modo, a área lateral do monumento é igual a m. Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para a área lateral. Página 1 de 18

13 c) O volume do monumento é m. Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para o volume. Resposta da questão 9: [A] O volume de água no reservatório cônico é igual a m. Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será 10 h 576 h 5,76 m. Resposta da questão 10: [C] Seja h a altura mínima da caixa de suco. O volume total de suco obtido das quatro mangas é igual a 0,45 4 0,98 L 0,98dm. Portanto, temos (0,7) h 0,98 h dm. Resposta da questão 11: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a, litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h 17,5 h 0,5 m 5cm. Resposta da questão 1: [A] Como h m, segue-se que b 6 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é igual a m. Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa m, podemos concluir que o resultado pedido é toneladas. Resposta da questão 1: [E] Seja V o volume real do armário. O volume do armário, no projeto, é 6 1 V cm. V cm. Logo, temos Página 1 de 18

14 Resposta da questão 14: [A] Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a (10 6) Resposta da questão 15: [D] Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 4 Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova 5 16 lata, temos 4 h 4 H h H h 64% H, isto é, a altura da lata atual deve 4 5 ser reduzida em 100% 64% 6%. Resposta da questão 16: [B] Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede. ( ) Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar 4 unidades de volume, 4 então ela levará 8 10 minutos para encher completamente o restante do depósito. 4 Página 14 de 18

15 Resposta da questão 1: [D] x y 5 circunferência tangência T(, 4) m reta tangente r CT m CT r 0 4 reta r y 4 x x 4y Resposta da questão : [E] C 0,0 e R 5 De acordo com as informações, temos r : y 10x a e s : y 9x b. Logo, se x 6 é a abscissa do ponto de interseção de r e s, então 10 6 a 9 6 b b a 6. Resposta da questão : [D] A equação segmentária da reta AB é x y x y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( 4), (, ). Resposta da questão 4: [B] Completando o quadrado, vem x 4x (y 1) 0 (x ) (y 1). Portanto, o centro da circunferência é o ponto (, 1) e seu raio é. Resposta da questão 5: [A] O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, ) à reta x 4y 1 0, isto é, Portanto, a equação da circunferência é (x 5) (y ) x y 10x 6y 5 0. Página 15 de 18

16 Resposta da questão 6: [D] Seja y mt h a equação da reta que passa pelos pontos indicados na tabela. Como a reta passa pelo ponto (0,10000), é imediato que h Além disso, como o ponto (5, 8000) pertence à reta, vem 8000 m m 400. Portanto, y t. Resposta da questão 7: [D] A circunferência C tem centro no ponto A(1, ) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo. Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem PA ( 1) (6 ) 0 e, portanto, PQ PA AQ PQ 0 1 PQ 19 u.c. Resposta da questão 8: [A] O coeficiente angular da reta AC é dado por yc ya 4. xc xa Assim, o coeficiente angular da reta suporte da altura relativa ao lado AC é 5 equação é e, portanto, sua 5 5 y 5 (x 4) y x 5. Página 16 de 18

17 A abscissa do ponto de interseção dessa reta com o eixo x é tal que 5 0 x 5 x. Resposta da questão 9: a) O ponto P é o circuncentro do triângulo ABC. Temos AB (1 0) (7 0) 50, AC (8 0) (6 0) 100 e BC (8 1) (6 7) 50. Como AC. AC AB BC, segue que o triângulo ABC é retângulo e sua hipotenusa é o lado Portanto, P é o ponto médio do lado AC, ou seja, P, (4, ). b) A área do quadrado é igual a AC km. Resposta da questão 10: [B] M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. Na diagonal AC, temos: Página 17 de 18

18 1 0 1 xm ym 6 Logo, M(1/, 6) Na diagonal BD, temos: xd 1 xd yd 6 6 yd 6 Logo, temos D(, 6) e + 6 = 9. Resposta da questão 11: [B] Sejam r a reta suporte do lado BC e t a reta suporte da altura relativa ao vértice A. O coeficiente angular da reta r é dado por yc yb 5 1 m r. xc xb 4 ( ) 6 1 Logo, como r t, segue que o coeficiente angular da reta t é mt e, portanto, a m equação de t é y ya m t (x x A ) y 0 (x 0) y x. r Página 18 de 18