Geometria Espacial - Cilindros

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1 Geometria Espacial - Cilindros ) (ENEM) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 0% no consumo de água. Nessa situação, ) (UEL) A capacidade aproximada de um aterro sanitário com a forma apresentada na figura a seguir é: a) 5 m b) 800 m c) 87 m d) 7 m e) 768 m a) a quantidade de água economizada foi de,5 m. b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 50 litros. d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 00,00, se o custo de m de água para o consumidor fosse igual a R$,50. e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 0% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. ) (VUNESP) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram mil litros de látex. Considerando a aproximação m, se utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto com 0, m de raio e m de altura, a quantidade de látex derramado daria para encher exatamente quantos vasilhames? a). b) 0. c). d) 5. e) 0. ) (UNIFESP) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro. Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 0cm, o volume do bloco de concreto, em cm, é a) 000. b) c) d) e) 00. 5) (Faap) A razão na qual um comprimido de vitamina C começa a dissolver-se depende da área da superfície do comprimido. Uma marca de comprimido tem forma cilíndrica, comprimento centímetros, com hemisférios de diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade, conforme figura a seguir. Uma segunda marca de comprimido vai ser fabricada em forma cilíndrica, com 0,5 centímetro de altura.

2 ( ) A área total do cilindro aumenta em 0,5% ( ) O volume do cilindro aumenta em,% ( ) A área de uma das bases do cilindro aumenta em % ( ) A área lateral do cilindro não varia. ( ) A soma do raio da base do cilindro com sua altura permanece inalterada. Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo que o seu volume seja igual ao do primeiro comprimido. a) b) c) d) e) 9) (SpeedSoft) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da figura hachurada (ver abaixo) em torno de um eixo e. As medidas estão em cm e os ângulos são todos retos. 6) (UFES) A seção plana de um certo cilindro circular reto, ao longo do seu eixo, é um quadrado de área A. O volume desse cilindro é: a) b) c) d) A A A A A 7) (Fuvest) A uma caixa d'água de forma cúbica com metro de lado está acoplado um cano com cilíndrico com cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano, vazio. Soltase a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? a) 90 cm b) 9 cm c) 9 cm d) 96 cm e) 98 cm 8) (Covest) Aumentando-se o raio de um cilindro em 0% e diminuindo-se sua altura em 0%, podemos afirmar que: Assinale V ou F. 0) (SpeedSoft) Com o papel usado para cobrir completamente (e sem desperdício de papel) uma caixa de sapatos de dimensões 0cm, 8 cm e 5 cm, podemos cobrir um cilindro de raio 0 cm e com qual altura? (adote ) (UFPR) Considerando o cilindro de revolução obtido pela rotação do retângulo ABCD em torno do lado AB e sabendo que os lados AB e BC do retângulo medem cm e cm, respectivamente, é correto afirmar: 0. A seção do cilindro por um plano que contém AB é um quadrado. 0. A seção do cilindro por um plano perpendicular a AB é um círculo. 0. Os planos que contêm as bases do cilindro são paralelos entre si. 08. A área total do cilindro é menor do que a área da superfície esférica de raio cm. 6. O volume do cilindro é o dobro do volume do cone de revolução obtido pela rotação do triângulo ABD em torno de AB. Dê, como resposta, a soma das afirmações corretas. ) (UFBA) Considerando-se C, C, C,... cilindros com o mesmo volume, de modo que os respectivos raios das bases, medidos em centímetros, formem uma progressão

3 geométrica com o primeiro termo e razão iguais a correto afirmar: 5 0. O número real 5 6 é o termo de ordem da seqüência dos raios. 0. O termo geral da seqüência dos raios pode ser k escrito como rk = 5 0. Considerando-se apenas os termos de ordem par da seqüência dos raios, obtém-se uma progressão geométrica de razão 5, em que todos os termos são números inteiros positivos. 08. A seqüência formada pelas alturas dos cilindros é uma progressão geométrica de razão cm, a área total do primeiro cilindro, expressa em cm, é um número menor que. ) (Vunesp) Considere dois canos, A e B, de PVC, cada um com 0 metros de comprimento, A possuindo r = 5cm de raio, e B, R = 5cm. O cano A é colocado no interior de B de forma que os centros coincidam, conforme a figura, e o espaço entre ambos é preenchido com concreto. 0 5, é 5) (Vunesp) Considere um cilindro circular reto de altura xcm e raio da base igual a ycm. Usando a aproximação =, determine x e y nos seguintes casos: a) o volume do cilindro é cm e a altura é igual ao triplo do raio; b) a área da superfície lateral do cilindro é 50cm e a altura tem 0cm a mais que o raio. 6) (Unirio) Considere um cilindro eqüilátero de raio R. Os pontos A e B são pontos de secção meridiana do cilindro, sendo A o ponto médio da aresta. Se amarrarmos um barbante esticado do ponto A ao ponto B, sua medida deverá ser: a) R 5 b) R c) R d) R e) R 5 7) (Vunesp) Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h completamente cheia de um determinado líquido. Este líquido deve ser distribuído totalmente em copos também cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e cujo raio é dois terços do raio da lata. Determine: a) os volumes da lata e do copo, em função de r e h; b) o número de copos necessários, considerando que os copos serão totalmente cheios com o líquido. Considerando =,, a) calcule a área de uma das superfícies de concreto expostas, em cm, quando um corte perpendicular ao comprimento do cano for feito; b) encontre o volume de concreto, em m, para preencher toda a extensão de 0 metros entre os dois canos. ) (FATEC) Considere o losango cujos dos medem 6 cm e um doa ângulos internos mede 60. A rotação desse losango em torno de um de seus lados gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é: a) 6 c) 6 e) 78 8) (FGV) Considere uma lata de óleo de cozinha de formato cilíndrico que, originalmente, comportava o volume de litro de óleo e, atualmente, passou a comportar 0,9 litro. Assumindo-se log0,90,95 = 0,5, e admitindose que a altura da lata permaneceu a mesma, a redução percentual do raio de sua base foi igual a a) 6%. b) 5%. c) %. d) %. e) %. 9) (UEMG) Deseja-se projetar uma lata cilíndrica que tenha um volume de 9 cm. Se a altura da lata cilíndrica é igual a cm, a medida do raio deverá ser de a) 6 cm. b) cm. c) 8 cm. d) cm.

4 0) (UFPR) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a circunferência de equação x + y = 5, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar: 0. Uma das diagonais do quadrado está contida na reta de equação x + y = O ponto (-, ) não pertence à circunferência. 0. A reta de equação x + y + 5 = 0 é tangente à circunferência. 08. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é igual a 50 unidades de volume. 6. O cilindro de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do quadrado. Marque como resposta a soma dos itens corretos. ) (Fuvest) Na figura abaixo, têm-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento BC, cujas distâncias a AC e AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d. ) (UEL) O diretor de um clube deseja construir um poço, com formato cilíndrico, de 0,0 m de profundidade e diâmetro interior igual a,0 m. Se a parede desse poço for construída com alvenaria na espessura de 0, m, o volume desta alvenaria será igual a: a), ) (UFV) O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao contrário, fosse adicionado litro de água na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é: a) 6 b) c) 9 d) 7 e) 5 5) (Mack) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 5%; para que o volume permaneça o mesmo, a altura do cilindro deve ser diminuída de k%. Então k vale: a) 5 b) 8 c) 0 d) e) 6 ) (FEI) No projeto de um prédio foi inicialmente prevista a construção de um reservatório de água com formato cilíndrico, cujas medidas seriam: raio da base igual a m e altura igual a m. Depois foi constatado que o volume do reservatório havia sido subestimado, sendo necessário, na verdade, o dobro do volume inicialmente previsto. Qual deverá ser a medida do raio da base, sabendo que a altura do reservatório não poderá ser alterada? a) m b) m c) m d) m e) 6 m 6) (ITA) O raio de um cilindro de revolução mede,5m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m, vale: / / 7) (FGV) O sólido da figura foi obtido a partir de duas secções em um cilindro circular reto de altura cm e raio da base 0cm. As secções foram feitas na intersecção do cilindro com um diedro de 60º, como mostra a figura : figura figura

5 Sabendo que os pontos A, B, C, A,B e C pertencem às faces do diedro e às circunferências das bases do cilindro, como mostra a figura, a área da superfície BB C C, contida na face lateral do cilindro, em cm, é igual a a) 60 b) 0 d) 90 8) (UFPR) O tanque de combustível de um posto de gasolina possui o formato de um cilindro circular reto e está instalado de modo que as bases estão na vertical. Para saber o volume de combustível presente no tanque, o funcionário utiliza uma régua graduada e só necessita observar a altura alcançada pelo combustível dentro do tanque. Essa régua foi confeccionada com base no estudo da função que relaciona o volume v com a altura h, desde zero até a altura total T. Qual dos gráficos abaixo mais se aproxima do gráfico dessa função? a) b) c) d) e) 9) (VUNESP) Para calcular o volume de uma tora, na forma de um tronco de cone circular reto de altura h, uma fórmula utilizada pelo IBAMA é V = ( A A ). h B b, onde AB é a área da base maior e Ab é a área da base menor. Por outro lado, uma fórmula utilizada por algumas madeireiras é VM = Ab.h Nessas condições, considere uma tora de metros de comprimento, raio da base menor 0cm e raio da base maior 50cm. Determine quanto, em porcentagem, o volume calculado pela madeireira é menor que o volume calculado pelo IBAMA para essa tora. 0) (IBMEC) Para sua próxima turnê internacional, um cantor planeja montar para sua posição de destaque no show um palco circular de diâmetro 5 metros. O designer de iluminação propôs uma superfície cilíndrica metálica, parcialmente cortada, para cercar o palco. A cerca metálica está representada pela região sombreada da figura abaixo. Se o ponto mais alto da cerca metálica mede m e o custo de cada metro quadrado deste material é R$ 00,00, então, considerando aproximadamente a) R$ 6,80. b) R$,00. c) R$ 68,00. d) R$ 0,00. e) R$ 680,00. ) (VUNESP) Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite longa vida mostrou-se conveniente para ser utilizada como manta para subcoberturas de telhados, com a vantagem de ser uma solução ecológica que pode contribuir para que esse matéria não seja jogado no lixo. Com a manta, que funciona como isolante térmico, refletindo o calor do sol para cima, a casa fica mais confortável. Determine quantas caixinhas precisamos para fazer uma manta (sem sobreposição) para uma casa que tem um telhado retangular com 6,9 m de comprimento e,5 m de largura, sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontada (e ter o fundo e o topo abertos), toma a forma aproximada de um cilindro oco de 0, m de altura e 0,05 m de raio, de modo que, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemos um retângulo. Nos cálculos, use o valor aproximado =. 5

6 secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é: a) 50 ) (PUC-SP) Quantos mililitros de tinta podem ser acondicionados no reservatório cilíndrico de uma caneta esferográfica, sabendo que seu diâmetro é mm e seu comprimento é cm? a) 0,768 b),768 c) 0,0768 d) 7,68 e) 0,00768 ) (UFSCar) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo retoretângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras. Se a escala das medidas indicadas na fotografia é :00, o volume do sólido fotografado, em m, é igual a a) ( + ). c) ( - ). d) ( - ). e) ( - ). ) (Faap) Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e 8,5cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900ml, o volume de ar contido na lata "cheia" e "fechada" é: a) 9, ml b) 0,0 ml c) 5,60 ml d),7 ml e) 5,50 ml 5) (Fatec) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 0cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma 6) (Vunesp) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por a) 6. b). c) 8. d). 7) (FMTM) Sejam V e V volumes de dois cilindros retos de altura metro e raios da base, em metros, respectivamente iguais a R e R-. Sendo V > V, o maior valor possível de V - V, em m³, é a) b) c) d) e) 6 8) (Vunesp) Suponha que o raio e a altura de um recipiente cilíndrico meçam, respectivamente, r cm e h cm. Vamos supor ainda que, mantendo r fixo e aumentando h de cm, o volume do recipiente dobre e que, mantendo h fixo e aumentando r de cm, o volume do recipiente quadruplique. Nessas condições, calcule: a) o valor de h; b) o valor de r. 9) (FATEC) Um cilindro circular reto tem volume igual. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual a 6

7 9 a) b) c) d) e) 0 que estava com água. De quanto subiu o nível d'água do aquário quando o cilindro foi colocado lá? Admita que não ) (Fuvest) Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a, altura e está inclinado de um ângulo de 60 (ver cilindro, passando por seus centros. Se P e A são os pontos representados na figura, calcule PA. 0) (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 0 cm de altura e área da base igual a 00 cm, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 6,5cm. Então, o volume dessas pedras é: a) 00 cm b) 00 cm c) 500 cm d) 800 cm ) (FUVEST) Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios m e 5m. A profundidade da vala é constante e igual a m. O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de,5m e altura igual a 8m. Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala. ) (Unicamp) Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB=a e da altura mínima CD = b. Justifique seu raciocínio. 5) (UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 0. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner. 6) (UDESC) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura. A área lateral desse cilindro é: a) π.h / b) π.h / c) π.h d) π.h e). π.h / 7) (Faap) Um fabricante de caixas d'água pré-moldadas, deseja fabricá-las na forma cilíndrica com metros de altura interna com capacidade de.000 litros. Então, o raio da base da caixa d'água é, em metros, igual a: a) b) c) d) e) 0 0 ) (SpeedSoft) Um cilindro de raio cm e altura 5cm foi colocado num aquário com forma de um paralelepípedo reto-retângulo de 0cm x cm de base e 5cm de altura, 8) (UFRN) Um fabricante de doces utiliza duas embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9 cm, e a segunda (Y) tem formato de um cilindro reto cujas 7

8 medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada uma, 0 cm. Sendo assim, podemos afirmar que a) a área total da embalagem Y é embalagem X. b) o volume da embalagem Y é 5 da área total da do volume da embalagem X. c) a área total da embalagem X é menor que a área total da embalagem Y. d) o volume da embalagem X é menor que o volume da embalagem Y. 9) (UNICAMP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é exibida ao lado. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existente no topo é de 0cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60cm de altura e sua base tem /0 da área da abertura superior do pluviômetro. (Obs.: a figura ao lado não está em escala). 5) (FGV) Um produto (creme de leite) pode ser embalado em dois tipos de latas, A e B, ambas com formato de cilindro reto. Suas características são: Tipo A: raio da base 8cm e altura cm, Tipo B: altura igual ao diâmetro da base. As duas latas devem ter o mesmo volume. Uma delas gasta de material na sua construção, x% a mais em relação à outra. O valor de x é aproximadamente igual a: a), b),5 c) 66,7 d) 55,6 e) 77,8 5) (FGV) Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 0cm e raio da base 5cm. O cilindro B tem altura 0cm e raio da base de 0cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material? b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$,00 a unidade, e o do cilindro B a R$7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno. b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no cilindro interno subiu cm, calcule o volume de água precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500m de comprimento por 00m de largura. 50) (VUNESP) Um porta-canetas tem a forma de um cilindro circular reto de cm de altura e 5cm de raio. Sua parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo é eqüilátero e está inscrito na circunferência. A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os cálculos finais, considere as aproximações = e,7 = 5) (UFPE) Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 0cm de raio e 0cm de altura. Retira-se do mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do cilindro e formando um ângulo de 60. Se V é o volume, em cm, do que restou do queijo, determine V/0 π. 5) (Unifesp) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50cm e raio r = 5cm. Este recipiente contém litro de água a menos que sua capacidade total. 8

9 a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use π =,). b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente litros de água? 55) (Vunesp) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura cm, está até à metade com água (figura ). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 7cm e raio r (figura ). a) Sabendo que R = (/)r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no cone, em =.) b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura ). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 56) (UFBA) Um reservatório com a forma de cilindro circular reto e raio da base igual a 5 dm contém determinada quantidade de água. Coloca-se dentro dele um sólido de forma irregular, que fica totalmente submerso, e observa-se que o nível da água eleva-se dm. Calcule, em dm, o volume do sólido irregular. 57) (Vunesp) Um retângulo de medidas cm e cm faz uma rotação completa em torno de seu lado maior, conforme a ilustração. Adotando =,, a) encontre a área total da figura gerada; b) encontre o volume da figura gerada. 58) (Cesgranrio) Um salame tem a forma de um cilindro reto com 0cm de altura e pesa kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço varia entre cm e 6cm. O peso do pedaço é de: a) 600g b) 60g c) 60g d) 60g e) 60g 59) (Faap) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volume é dado por V= H. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 0m, podemos afirmar que: A diferença, em litros entre os resultados dos volumes aproximados usando π =, e π =, é: a) b) 00 c) 0 d).000 e) 60) (Faap) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volume é dado por: V= π R H. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 0m, podemos afirmar que: O volume exato desse cilindro (em m ) é: a).000 π b) 00 π c).000 π / d) 00 π / e) 00 π 6) (Fatec) Um tanque para depósito de combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 0m de altura e m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação do mesmo, pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma lata de tinta pintam-se m da superfície. Nessas condições, é verdade que a menor quantidade de 9

10 latas que será necessária para a pintura da superfície lateral do tanque é: a) b) c) 7 d) e) 5 6) (Vunesp) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 0 m de água e m de petróleo. Se a altura do tanque é metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é b) 7. d) 8. 6) (Fatec) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base m. O nível da água nele contida está a da altura do tanque. Se π =,, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é: a) 00 b) c) d) e) Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terce parte. 65) (ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume. A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: 6) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 0 cm x 0 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. 66) (UFPR) Uma fábrica produz tubos de concreto com o formato de cilindro circular reto, oco, de m de comprimento e raios interno e externo de 5 cm e 50 cm, respectivamente. No pátio da fábrica, esses tubos ficam depositados em pilhas, conforme ilustração abaixo. Considere que as seguintes letras designem as medidas, relativas a uma dessas pilhas: h - altura, em cm; d - 0

11 distância, em cm, entre os dois suportes verticais que sustentam os tubos empilhados; v - volume, em cm, de todo o concreto contido nos tubos. Assim, é correto afirmar: 68) (Fuvest) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado. Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se: d = 5 x 90 d = 5 x 00 v = x 7000 π v = x 7500 π h = 00( + ) h = 00( ) 67) (Fuvest) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura cm e raios das bases R e r, respectivamente. a) VA = VB b) VB = VA c) VA = VB d) VA = VB e) VB = VA 69) (UFPB) Uma tora de madeira, em forma de um cilindro circular reto, com m de altura e m de diâmetro, foi serrada, formando uma secção plana ABCD, conforme ilustra a figura ao lado. Se AB e CD são, respectivamente, diâmetros das bases inferior e superior, a área da região ABCD, em m, é igual a: Se o volume V(x) de um líquido que atinge uma altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico a seguir, quais os valores de R e de r? a) 6 b) 8 c) 0 d) 0 e) 0

12 Gabarito ) Alternativa: B ) Alternativa: D ) Alternativa: D ) Alternativa: A 5) Alternativa: B 6) Alternativa: C 7) Alternativa: C 8) F - F - V - F - F 9) V = 0 cm 0) H = 8/ cm ) V V V F F ++ = 7 ) Resposta - ) a) 68cm b) 0,68m ) Alternativa: B 5) a) x = 9 e y = b) x = 5 e y = 5 6) Alternativa: A 7) a) O volume da lata é π r h, e o volume do copo é r h b) 9 copos 8) Alternativa: B 9) Alternativa: D 9 π ) Alternativa: D 5) Alternativa: E 6) Alternativa: B 7) Alternativa: E 8) Alternativa: A 9) % 0) Alternativa: D ) Resposta: 50 ) Alternativa: A ) Alternativa: E ) Alternativa: A 5) Alternativa: E 6) Alternativa: A 7) Alternativa: D 8) a) h = cm b) r = cm 9) Alternativa: B 0) Alternativa: D ) Resposta: 58 ) π.r (a+b) ) O nível subiu cm. ) PA = Resolução: 0) V F V F F + = 5 ) Resposta: d ) Alternativa: C ) Alternativa: A

13 Da figura, calcula-se a geratriz, encontrando-se o valor. O que se busca é a diagonal do prisma oblíquo da figura abaixo. Pela lei dos cossenos, obtém-se o valor do segmento azul, que é obtém-se a hipotenusa PA, que é 5) R = m 6) Alternativa: D 7) Alternativa: B 8) Alternativa: D 9) a) 600cm b) 00m 50) 57,5cm 5) Alternativa: C. Com o teorema de Pitágoras, 5) a) na embalagem A. Nela se gasta 50 cm de material, e na B, 00 cm. b) a embalagem B, que tem o dobro do volume mas não custa o dobro da A.. 6) Alternativa: A 6) Alternativa: B 65) Alternativa: A Como na região média da vara a área da seção do cilindro (perpendicular à vara) é maior, então a distância entre duas graduações deve ser menor, para que tenhamos sempre o mesmo volume entre cada graduação da vara. 66) F V F V V F 67) R = cm e r = cm 68) Alternativa: A Pode-se calcular os raios em função de a e calcular os volumes, para depois compará-los; ou pode-se perceber que o raio é proporcional ao comprimento da circunferência da base, enquanto o volume é proporcional ao quadrado do raio e proporcional à altura. Assim, o volume é proporcional ao quadrado da circunferência da base e proporcional à altura, de forma que duplicar a circunferência da base acarreta em quadruplicar o volume, enquanto duplicar a altura acarreta em duplicar o volume. 69) Alternativa: B 5) V/0 π = 0 5) a) 5 cm b) R = 0. 9 cm 55) a) 08r cm e 7r cm, respectivamente. b) 0% e h = 0cm, respectivamente. 56) V = 5 dm 57) a),88cm b),0cm 58) Alternativa: A 59) Alternativa: A 60) Alternativa: A 6) Alternativa: C 6) Alternativa: B