CAPÍTULO V TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES

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1 CPÍTULO V TORÇÃO DE PEÇS LINERES 5.. RESUO D TEORI 5... Veio Cilíndrico de Secção Circular Considere-se um veio de secção circular, de maerial homogéneo e isorópico, sumeido à acção de dois inários de orção ( ) iguais e de senidos oposos, aplicados nas duas secções exremas, (a) e (), e acuando nos respecivos planos, Fig.5.. O momeno orsor em qualquer secção inermédia enre (a) e () é consane e igual a. Uiliando as coordenadas cilíndricas (r,θ,), oriene-se o eixo dos segundo a direcção axial do veio e designem-se por u e v as componenes do deslocameno u r e u θ, segundo as direcções radial e angencial, respecivamene. componene do vecor deslocameno u, na direcção axial, é designada por w. B B Φ φ O C () φ θ (a) Fig.5.-Torção dum veio de secção circular J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 d Os inários aplicados produem uma roação relaiva Φ enre as duas secções exremas, de al modo que a gerari B, inicialmene recilínea, deforma-se segundo a configuração duma hélice cilíndrica B. Por raões de simeria, a deformação do veio processa-se de al modo que: (i)-secções recas do cilindro permanecem circulares e planas após a deformação, rodando em orno do respecivo cenro. (ii)-um raio qualquer raçado sore uma secção reca permanece recilíneo durane a deformação do veio. (iii)-o ângulo enre dois quaisquer raios no plano duma secção reca permanece consane durane a deformação do veio.

2 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Cada secção reca do veio roda em orno do respecivo cenro como um disco asoluamene rígido. O ângulo de roação φ é proporcional à disância da secção em quesão à ase fixa 0, iso é: φ θ (5.) onde θ é o ângulo de orção por unidade de comprimeno. Nesas condições, para um deerminado pono P da secção à disância da ase (a), a componene do deslocameno segundo o eixo de simeria do cilindro é nula (w0). Quano às componenes u e v (em coordenadas polares sore o plano da secção reca) em-se, de acordo com a Fig.5.: φ θ P v r θ P(r,θ,) O r Fig.5.-Roação da secção reca u 0 (5.) v rθ s componenes do esado de deformação em coordenadas cilíndricas oêm-se agora por derivação, recorrendo às equações deduidas no parágrafo.9, iso é: ε ε γ rr θ θθ ε γ rθ v w + rθ r θ γ 0 r (5.) O esado de ensão correspondene oém-se por aplicação das equações da lei de Hooke: σ τ rr θ σ σ τ τ 0 θθ Gγ θ Grθ rθ r (5.) s ensões de core τ θ variam, porano, linearmene com a disância r do pono que se esá a considerar em relação ao cenro geomérico da secção, conforme ilusrado no esquema da Fig.5.. ensão de core τ θ pode exprimir-se em função do momeno orsor : onde I Gθ r d Gθ I (5.5) r d é o momeno de inércia polar da área da secção reca circular relaivamene ao eixo do veio. J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

3 Capíulo V - Torção de Peças Lineares O τ θ Fig.5.-Disriuição das ensões onde R é o raio da secção reca do cilindro. Eliminando agora θ enre as equações (5.) e (5.5), oém-se a ensão τ θ em função do momeno orsor : r τ θ (5.6) I No caso verene, o momeno de inércia polar I é: πr I (5.7) ensão de core máxima ocorre nos ponos da periferia do veio, para rr, iso é: R τ max (5.8) I πr O valor C /θgi GπR / é a chamada rigide orsional do veio e a quanidade KI /RπR / é o módulo de orção da secção Veio de Secção Circular Oco Os resulados oidos no parágrafo anerior manêm-se válidos para um veio oco (Fig. 5.), com excepção para a expressão do momeno de inércia polar (I ), que nese caso oma a forma seguine: R R τ I π ( R R ) πr ( m ) (5.9) onde R é o raio do furo, R é o raio exerior do cilindro e m R /R. O módulo de orção (K) é, nese caso: Fig.5.-Veio circular oco I πr K ( m R ) (5.0) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

4 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações No caso paricular dum uo de parede delgada (espessura e), Fig.5.5, em que e R -R << R, em-se: R m R Fig.5.5-Tuo de parede fina R ( R + R )( R + R )( R R ) R e (5.) e onde R m (R +R )/ é o raio médio da secção. O momeno de inércia polar I é, aproximadamene: I R e R π m Ω (5.) onde Ω πr m e é a área da secção reca do uo. s expressões para a ensão de core e o ângulo de orção por unidade de comprimeno são, respecivamene: Rm τ (5.) I R Ω θ GI m m τ GR Ω GR m m (5.) 5... Veio Prismáico de Secção rirária. Teoria de Sain-Venan Considere-se agora um veio de secção arirária, Fig.5.6, sujeio à acção dum inário orsor. De acordo com a eoria de Sain-Venan, admiese que cada secção roda sem disorção, em orno do respecivo cenro de gravidade, de um ângulo φ que é proporcional à disância à ase fixa (..0), iso é, Fig.5.7: φ θ (5.5) O y x (C) G y x u P θ P v y x (C ) Fig.5.6-Veio de secção arirária Fig.5.7-Roação da secção J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

5 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 5 onde θ represena o ângulo de orção por unidade de comprimeno. dmie-se, amém um deslocameno axial igual para odas as secções, descrio por uma função conínua w w(x, y). O campo dos deslocamenos fica enão definido pelas rês componenes seguines: u θ y v θ x w w( x, y) às quais corresponde o seguine campo de deformações: ε γ γ xx x y ε ε γ 0 yy xy u w w + θ y + x x v w w + θ x + y y (5.6) (5.7) Por aplicação das equações da lei de Hooke, resulam as seguines componenes do esado de ensão: σ τ τ xx x y σ yy σ τ w G( θ y + ) x w G( θ x + ) y xy 0 (5.8) Das rês equações de equilírio definidas no capíulo I, fica-se aqui reduido a uma única equação de equilírio: τ x τ y + 0 x y (5.9) Quano às equações de compaiilidade, amém esas se reduem a uma equação única, que se pode escrever em ermos das ensões: τ y τ x x y Gθ (5.0) lém disso, o sisema de ensões correspondene à solução das duas equações aneriores deverá saisfaer amém as condições froneira ao longo da superfície laeral (C) do cilindro. J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

6 6 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Tendo em consideração o esquema ilusrada na Fig.5.8, a condição de ausência de ensões na superfície laeral do veio é raduida aravés da equação: τ l +τ y m 0 (em C) (5.) x Para resolver o sisema de equações (5.9)-(5.0), considere-se uma função auxiliar Φ(x,y), conínua, de al forma que: Φ τ x y τ y Φ x (5.) Facilmene se reconhece que as ensões τ x e τ y assim oidas saisfaem incondicionalmene a equação de equilírio (5.9). Susiuindo agora as expressões para τ x e τ y na equação de compaiilidade (5.0), oémse a seguine equação na função Φ: Φ Φ + Gθ x y (5.) O prolema da orção duma arra prismáica fica assim reduido à deerminação duma única função - a função de Sain-Venan Φ(x,y) - maemaicamene definida pela equação (5.). s condições froneira a er em cona na resolução daquela equação deduem-se direcamene a parir da equação (5.), iso é: Por ouro lado, endo em cona que: Φ Φ l m 0 (em C) y x dx m ds (5.) dy e l (5.5) ds onde s é a coordenada curvilínea ao longo do perímero do conorno da secção reca do veio, a equação (5.) pode escrever-se so a forma: (C) Φ dx Φ dy dφ + 0 (em C) x ds y ds ds G y d y dx n r ( l, m) ds Fig.5.8-Conorno da secção x (5.6) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

7 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 7 Esa equação radu que o valor da função Φ se maném consane ao longo da linha de conorno da secção reca do veio. Por ouro lado, uma ve que no cálculo das ensões de orção apenas inervêm as derivadas da função Φ, o valor consane dessa função na periferia do veio pode ser omado igual a ero, iso é: Φ 0 (em C) (5.7) O valor do momeno orsor aplicado ao veio pode ser calculado por uma simples inegração sore a área da secção reca, iso é: ( xτ yτ ) dxdy Φ dxdy (5.8) y x Iso é, o momeno orsor é numericamene igual ao doro do volume do espaço limiado inferiormene pelo plano xy e superiormene pela superfície represenada pela função de Sain-Venan Φ(x,y): xvolume (5.9) nalogia de emrana (Teoria de Prandl) Considere-se uma memrana elásica de espessura muio fina, sem peso, plana e inicialmene sujeia a uma racção uniforme, T, no plano (x,y), Fig.5.9(). Fixando a memrana ao longo dum conorno (C), aplique-se uma sore-pressão, p, amém uniforme, na direcção perpendicular à superfície da memrana. p (C) dy O y a Tdx dx Tdy (a) () Fig.5.9- emrana elásica x x memrana deforma-se, assumindo a forma duma superfície curva, Fig.5.9(a), que pode ser descria por uma função apropriada, f(x,y). dmia-se ainda que a pressão p é suficienemene reduida para que não seja significaivamene alerado o valor da ensão inicial T. Tome-se agora um elemeno de memrana recangular acd, de dimensões dx.dy, e considere-se o equilírio de odas as forças que sore ele acuam, Fig.5.0. J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

8 8 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Projecando as forças segundo a direcção do eixo dos, oém-se: pdxdy+ Tdy( + dx) Tdy( ) + x x x x + Tdx( dy) Tdx( ) 0 y y y y ou seja: pdxdy + T dxdy+ T dxdy 0 (5.0) x y Donde: + x y p T (5.) Tdx Tdy a y d pdxdy c Tdx Tdy + dx x x x x a pdxdy Tdy Tdy x x Fig.5.0-Equilírio das forças sore um elemeno de memrana equação (5.) é formalmene idênica à equação diferencial (5.) que define a função de orção de Sain- Venan, Φ. Se a ensão superficial da memrana (T) ou a pressão normal (p) forem ajusadas de al forma que a relação p/t seja numericamene igual a Gθ, enão a equação diferencial (5.) fica exacamene igual à equação (5.), correspondene à função de orção. lém disso, se a memrana for fixada ao longo dum conorno (C) igual ao da secção reca do veio à orção, aquela reproduirá fisicamene a forma da função Φ, na medida em que, para qualquer pono de coordenadas (x,y), se em Φ. Nesas condições, o declive da memrana em cada pono, d/dn, é J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

9 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 9 numericamene igual à ensão de core (na direcção perpendicular a n r ), e o volume so a memrana é igual a meade do momeno orsor no veio. Exise porano uma correspondência direca enre as duas siuações, endo em aenção que, de acordo com a analogia de Prandl: p T τ Gθ n Vol x (5.) Veio de Secção Recangular plicando a analogia de memrana a um veio prismáico de secção recangular (x), em que <<, Fig. 5., podem oer-se facilmene as expressões para a ensão máxima, que ocorre nos ponos médios () dos lados maiores e para a rigide à orção / θ: B Fig. 5. Veio de secção recangular B C G (5.) θ τ max (5.) Esas duas fórmulas são válidas apenas no caso de ser >>. Para secções recangulares menos "esreias", os valores que se oêm são menos rigorosos, conforme se ilusra no quadro a seguir, comparados com os resulados produidos por méodos mais elaorados, aseados na eoria de Sain-Venan. Na úlima linha da aela são amém apresenados os valores indicaivos para o cálculo da ensão de core nos ponos (B) sore os lados menores do recângulo. J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

10 0 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Taela 5. - Facores de correcção para as equações (5.) e (5.) / α τ max / / θ χ G B β τ/ Reomando o recângulo da figura anerior, imagine-se agora que o mesmo é "dorado" a 90 numa secção inermédia, assumindo a forma de um L, conforme represenado na Fig 5.(a) a seguir. memrana correspondene não alera significaivamene a sua forma, à excepção de + (a) () Fig. 5. Perfis equivalenes a secção recangular alguns efeios locais na região da "dora". O volume so a memrana, para uma deerminada pressão p permanece aproximadamene igual ao da secção recangular original. Isso significa que as equação (5.) e (5.) deduidas para a secção recangular amém se aplicam a uma secção angular com o mesmo comprimeno e largura. Igualmene se poderá concluir que as mesmas equações se aplicam a ouras secções aeras, como as represenadas na Fig. 5.(). O comprimeno do recângulo equivalene é igual ao perímero oal da linha média da secção considerada. J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

11 Capíulo V - Torção de Peças Lineares r equação (5.) para a ensão máxima é que já não é aplicável, devido ao efeio de concenração de ensões nos vérices reenranes da secção angular, Fig.5.. Uma solução aproximada, consise em adopar um coeficiene de concenração de ensões definido pela equação seguine: Fig.5.-Efeio da dora K max eq (.67) τ τ.7 r (5.5) Veio de Secção Tuular de Parede Fina Exise uma classe imporane de esruuras que uiliam elemenos uulares de parede fina ou que podem, em si mesmas, consiuir uma peça uular única sujeia a esforços de orção. É o caso, por exemplo, das vigas em caixão uiliadas em engenharia civil e dos elemenos esruurais uulares uiliados na consrução auomóvel e na indúsria aeronáuica, onde as próprias asas ou fuselagem das aeronaves são peças uulares de parede fina. aplicação da analogia de memrana a esruuras dese ipo orna-se paricularmene simples e expedia. (i) Tuo de Secção Unicelular Na Fig.5. esá represenada a secção genérica duma peça uular e a respeciva memrana. qui, a pare cenral da memrana é susiuída por uma placa rígida sem peso, manida na posição horional a uma deerminada alura h, por forma a ser compaível com a condição de ausência de ensões na superfície inerior da peça uular. Na maior pare das aplicações, a espessura da parede C D uular é consane. No enano, por B uma quesão de generalidade, admiese h aqui que a espessura pode variar ao longo do perímero L do uo, conservando-se sempre muio mais pequena do que a dimensão gloal da secção. Nese caso, pode desprear-se a variação do declive da memrana ao longo da espessura e admiir que C Fig.5. - Secção uular e BD são segmenos recilíneos, J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

12 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações porano de declive consane. Isso equivale a admiir que as ensões de core se disriuem uniformemene ao longo da espessura da parede da peça uular so orção. Em cada pono ao longo do perímero da secção, o declive da memrana é dado pela seguine expressão: h Declive (5.6) Donde, pela analogia de Prandl, se pode concluir que a ensão de orção é inversamene proporcional à espessura local da parede. Para se esaelecer a relação enre a ensão de core e o momeno orsor pode recorrer-se à analogia da memrana, calculando o momeno a parir do volume BCD na Fig.5.5. ssim: h Vol x h (5.7) onde é o valor médio da área delimiada pela linha média enre os conornos exerior e inerior da secção uular. Recorrendo à analogia da memrana (5.), oém-se: ou seja: τ (5.8) τ (5.9) Quando a espessura da parede é muio fina, o valor da área é aproximadamene igual à área delimiada pelo conorno exerior, ou à área delimiada pelo conorno inerior da secção. Se, na equação anerior, for uiliada uma das áreas ou, em ve da área, o valor τ ou τ da ensão assim calculado deverá ser corrigido por um facor muliplicaivo λ τ ou λ τ, respecivamene: λ τ de al modo que: L +, ou " λ " τ " + L" + τ λ τ, ou τ λ" τ" τ Considerando agora o equilírio verical da placa cenral rígida, pode escrever-se: τ J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

13 Capíulo V - Torção de Peças Lineares h p T ds (5.0) C onde o inegral de linha do segundo memro é avaliado ao longo de odo o perímero da secção. Uiliando de novo a analogia da memrana, oém-se: Gθ τ d s (5.) C ou seja, endo em cona a expressão para a ensão τ, dada por (5.9): ou ainda: θ ds G C (5.) G C θ ds C (5.) No caso paricular da espessura ser consane ao longo de odo o perímero L da secção do uo, pode escrever-se: G C (5.) θ L No caso de serem uiliadas as áreas ou, em ve da área, os facores de correcção a uiliar são agora, respecivamene: λ θ L de al modo que: ( L ) ( L + ) (ii) Tuo de Secção ulicelular, ou λ " θ ( L" + ) " L" C C / λ θ, ou C C"/ λ" θ ( " + L" + ) No caso duma secção uular mulicelular, Fig.5.5(), a analogia de memrana pressupõe a exisência de várias placas rígidas sem peso, cada uma delas em posição de equilírio na horional, a uma deerminada alura h i, relaivamene à ase, Fig.5.5(a). Seguindo um raciocínio J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

14 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações semelhane ao do parágrafo anerior, a equação de equilírio verical da célula de ordem i pode escrever-se: hi pi T ds (5.5) C i onde i é a área da célula h i represena a alura, se se raa duma parede exerior, ou a diferença enre as aluras dessa mesma célula e duma sua viinha, no caso duma parede de separação enre células adjacenes. No oal, oém-se um conjuno de equações lineares algéricas nas incógnias h i, em número igual ao número de comparimenos da secção: h h h p T ds C h p T ds C... hn pn T ds C n (5.6) Tal como no caso do uo de parede fina, a ensão de core em cada uma das paredes, pode ser calculada em função da correspondene espessura e da variação de alura da memrana, iso é: h τ (5.7) o uiliar esa expressão deve er-se em aenção que, pela analogia de memrana, p/ T Gθ. Por ouro lado, o volume oal so a memrana é dado pela expressão: n Vol i h Donde, pela analogia de memrana: h Fig.5.5-Secção uular (a) () i n i i i i (5.8) h (5.9) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

15 Capíulo V - Torção de Peças Lineares Veio Circular de Diâmero Variável Considere-se um veio B de secção circular de área variável, em que o raio R() varia ao longo do respecivo eixo, de comprimeno L, e sujeio a um ou vários inários de orção aplicados ao longo do respecivo eixo, Fig d L R() Fig.5.6-Veio de secção circular com diâmero variável Seja I o momeno polar de inércia polar da secção reca à disância da ase, e seja o momeno de orção nessa mesma secção. Para valores de dr/d relaivamene pequenos, iso é, para veios em que a variação de secção é relaivamene suave, a ensão de core correspondene é dada por uma expressão idênica à que é uiliada para os veios cilíndricos de secção circular: τ R( ) I Nauralmene que, aqui, o momeno de inércia I é amém uma função da disância que define a posição da secção em quesão: J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 π R( ) I( ) Quano à deformação do veio, considere-se um disco elemenar de espessura d, conforme represenado na figura. O ângulo de roação enre

16 6 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações as duas faces do elemeno d é dado pela expressão já deduida para o veio cilíndrico: d d φ (5.50) GI O ângulo de roação enre duas secções quaisquer, e, oém-se por inegração da equação (5.50): φ d (5.5) GI No caso paricular dum veio cilíndrico de secção circular, sujeio a um momeno consane, a equação anerior redu-se à equação (5.5): θ φ L GI Energia de Deformação em Torção energia elásica de deformação num veio de secção circular de diâmero gradualmene variável, é dado pela expressão seguine: U V τ dv G Pondo dv d (ver Fig.5.6), oém-se: V r GI dv L U d r d GI 0 L 0 GI d (5.5) No caso paricular dum veio cilíndrico de secção circular a equação anerior redu-se à forma seguine: L U (5.5) GI J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

17 Capíulo V - Torção de Peças Lineares PROBLES RESOLVIDOS PROBLE 5... Um veio em liga de alumínio (G7GPa) esá encasrado nas exremidades e C em duas paredes fixas, sendo soliciada por um momeno de orção 0kNxm, aplicado numa secção inermédia B, conforme indicado na figura. B 0kNm B C C Calcule o diâmero que o veio deverá er, saendo que a ensão de core máxima admissível para o maerial é τ adm 60 Pa e que o ângulo de orção por unidade de comprimeno não deve exceder º/m. RESOLUÇÃO: Sejam e C os momenos de reacção nas duas secções exremas e C, respecivamene. condição de equilírio dos momenos segundo a direcção do eixo do veio exige que seja: 0 (a) + C Por ouro lado, a condição de coninuidade geomérica na secção B implica que sejam iguais os ângulos de roação para os dois roços B e CB, iso é: φ B φ BC Ora as roações uniárias associadas a cada um dos momenos e C são, respecivamene: Donde: E, porano: θ B e GI φ B B e GI θ C CB GI φ BC BC C GI J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

18 8 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Ou seja: B BC GI C GI B BC C Susiuindo os valores para B e Donde BC, oém-se: Resolvendo o sisema de equações () e (), oém-se: C C (), KN m e C 6,67 KN m O momeno orsor máximo ocorre, porano, ao longo do roço B, e o seu valor é igual a, iso é:, KN m gora, impondo agora a condição: Oém-se: τ 6 max πd τ adm d 0, mm (c) πτ 6 adm π 60 0 Quano ao ângulo de orção, pode escrever-se: onde: θ max GI θ é o ângulo de orção por unidade de comprimeno (em radiano); I πd / é o momeno de inércia da secção em relação ao eixo; Enão: º 0,075 rad Gπd 0,075 J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

19 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 9 Donde: 0 d 0, mm π 0,075 Comparando com (c), concluí-se que, para saisfaer em simulâneo as duas condições imposas, o diâmero do veio deverá ser superior a 0, mm, iso é: d 0, mm PROBLE 5... Um moor desenvolve uma poência de 00 kw às 50 rpm sore a secção de um veio de secção circular, conforme ilusrado na figura. s rodas denadas em B e C asorvem 90 kw e 0 kw, respecivamene. Calcule o diâmero que o veio deverá er, supondo que a ensão admissível do maerial ao core é de 50Pa e que o ângulo de orção enre o moor e a roda denada C esá limiado a um valor de,5º. Considere que o módulo de rigide do maerial do veio é G80GPa. Noa: Tenha em aenção que Poência(kW)Binário(kNxm)xω(rad/s). oor Veio diâmero d Roda C Roda B Chumaceira 800mm 00mm RESOLUÇÃO: O inário enregue pelo moor na exremidade do veio oém-se a parir da poência e da velocidade de roação: P 00 0 Binário( ) 769, N m ω π 50 / 60 Ese é o momeno orsor que acua ao longo do segmeno B: B 769, N m roda denada B asorve 90kW, iso é 90/00 5% da poência oal, pelo que o momeno que passa para o segmeno BC é reduido na mesma proporção. ssim, oém-se: BC 769, ( 0,5) 0, 69N m J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

20 0 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações ensão de core máxima ocorre, nauralmene, no segmeno B (correspondene ao momeno máximo a que o veio esá sumeido). O seu valor é dado pela expressão haiual: 6 τ max πd condição de inegridade do maerial impõe que seja: iso é: donde: τ max 6 πd τ adm 6 769, 50 0 πd 6 769, d 0,09m 9mm (a) π Quano à condição relaiva à deformação do veio, em-se que a roação enre as duas secções exremas é igual à soma das roações φ B e φ BC dos segmenos B e BC, respecivamene. Para cada um deses segmenos, em-se: 6 θ B e GI θ C CB GI Donde: E, porano: B φ B B e Gπd φ C φ B φ BC Gπd φ BC BC Gπd BC ( B + BC ) B BC Susiuindo os valores para G, B, BC, B e BC, oém-se: Impondo agora a condição: φ C,9 0 ( rad) d φ C,5º 6 J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

21 Capíulo V - Torção de Peças Lineares resula: 6,9 0 d 0,097m 97mm,5 π /80 () Comparando (a) e () concluí-se que, para saisfaer as duas condições imposas, o diâmero do veio deverá ser superior a 97 mm, iso é: d 97 mm PROBLE 5... Um veio de secção circular composa é consruído a parir de uma arra de aço (G80 GPa) com 75 mm de diâmero, revesida por um uo de laão (G0GPa) perfeiamene acoplado. a)- Deermine o diâmero exerior do uo, de al modo que, quando for aplicado um momeno orsor ao veio composo, esse momeno seja igualmene reparido pelos dois maeriais. )- Para um momeno orsor aplicado de 6 knm, calcule a ensão de core máxima em cada um dos maeriais e o ângulo de orção do veio num comprimeno de meros. c)- Para o valor do momeno orsor considerado em ), calcule a energia elásica de deformação por mero de comprimeno do veio. RESOLUÇÃO: a)-cálculo do Diâmero Exerior do Tuo () () Sejam: - omeno orsor oal aplicado ao veio -omeno asorvido pelo núcleo de aço () -omeno asorvido pelo uo de laão () É ovio que se em: d d Por ouro lado, em-se: G I + (a) θ θ G I J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

22 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Ou seja: πd θ π θ ( d d ) Da condição de igualdade dos dois momenos e, oém-se: Iso é: ( d ) 80 d 0 d d,6 d Susiuindo o valor d 75 mm, oém-se o diâmero exerior do uo de laão: d,6 75mm 98, 7mm )-Tensões de Core e Ângulo de Torção O momeno orsor asorvido por cada um dos elemenos é igual a meade do momeno oal, iso é: Donde: ( τ ) max aço ( τ ) max laão 8 KN m R ,075 96,6 Pa I π 0,075 R ,09 6,5 Pa I π ( 0,0987 0,075 ) Quano ao ângulo de orção, ele é igual para amos os elemenos. Tomando o núcleo de aço, por exemplo, em-se: 8 0 θ 0,06 rad / m,85 º m G I , 0 / Para um comprimeno de meros de veio, em-se: Φ θ,85 7,º J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

23 Capíulo V - Torção de Peças Lineares c)-energia Elásica de Deformação: No caso da orção, a densidade de energia elásica é dada pela expressão geral seguine: U Ou seja, para o núcleo de aço: 0 τ G G I r, U 80 0, 0 Donde a energia oal no núcleo de aço: R R r r (Joule/m ) 6 6 R U U0πrdr 8,8π 0 r dr 8,8π 0 9 Joule / m 0 0 Em alernaiva, poder-se-ia uiliar direcamene a fórmula seguine: iso é: Para o uo de laão: e L U GI ( 8 0 ) 9Joule m U / , r 0, U 0 0 6, 0 R R r (Joule/m ) 6 6 r U U0 πrdr 0 0 r dr Joule / m R R Tamém aqui, podia escrever-se direcamene: 0,09 0,075 ( 8 0 ) 9Joule m U / , 0 Finalmene, oém-se a energia oal de deformação: U U + U 58 Joule / m J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

24 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações PROBLE Um veio uular de secção circular, é consruído em aço (G80GPa) e core (G0GPa), e alumínio (G0GPa), rigidamene ligados, com as dimensões indicadas na figura ao lado. a)-deermine o valor da rigide orsional ( /θ ) do veio composo represenado na figura ao lado. )- Considere as ensões admissíveis para o aço, para o core e para o alumínio iguais a 00 e 0 e 5 (Pa), respecivamene. Core Deermine o valor máximo do momeno orsor que o veio é capa de ransmiir. c)- Discua a validade e limiações da meodologia que seguiu na resolução das alíneas aneriores, endo em consideração, enre ouros parâmeros, a relação enre as espessuras das paredes dos uos e o respecivo diâmero. ço Núcleo de lumínio 80mm 90mm 00mm RESOLUÇÃO: a) Rigide à Torção do Veio Composo Usando uma nomenclaura semelhane à que foi uiliada no prolema anerior, sejam: () () () - omeno orsor oal aplicado ao veio -omeno asorvido pelo núcleo de lum () -omeno asorvido pelo uo de core () -omeno asorvido pelo uo de aço () Por ouro lado, em-se: Ou seja: d d d É ovio que, nese caso, se em: + + θ G I θ G I θ G I (a) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

25 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 5 9 πd 0 0 θ ( d d ) 9 π 0 0 θ () π θ ( d d ) dicionando as rês equações aneriores memro a memro, oém-se: [ 0d + 0( d d ) + ( d d )] π 0 80 θ Donde a rigide à orção do veio composo: C,88 0 Nm / rad (c) θ θ ) omeno Torsor áximo Os momenos asorvidos por cada um dos elemenos oém-se a parir das equações (), endo amém em cona a equação (c). ssim: 9 πd 0 0 0, 7 C ( d d ) 9 π 0 0 0, 99 C (d) ( d d ) 0, 9 π C s ensões de core máximas em cada um dos elemenos ocorre nos ponos das superfícies periféricas correspondenes, iso é, para dd, dd e dd, respecivamene: ( τ ) max ( τ ) max 6 ( τ ) max d I d I d I 6 0, π 0,08 6 0,99d π (0,09 0,08 ) 6 0,55d π (0, 0,09 ) 6 J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

26 6 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Resolvendo as inequações aneriores, oém-se o valor do momeno máximo para o qual nenhuma das ensões admissíveis dos diferenes maeriais será ulrapassada: c) Limiações do éodo max 0, 8kN m s equações uiliadas correspondem à solução exaca do prolema da orção de veios cilíndricos ou uos de secção circular, pelo que o rigor da meodologia adopada não depende dos valores relaivos dos diâmeros e das espessuras dos diversos elemenos do veio de secção composa em quesão. PROBLE Considere um veio prismáico de secção elípica, conforme represenado na figura, com os semi-eixos maior e menor iguais a a e, respecivamene. Uiliando a eoria de Sain-Venan para a orção de peças lineares, deermine: a)- disriuição das ensões na secção. )- O campo dos deslocamenos axiais em cada secção RESOLUÇÃO: a) Disriuição das Tensões na Secção O conorno elípico da secção é definido pela seguine equação: a O y B B x x a + y (a) Qualquer função de ensão do ipo: x y Φ m + a onde m é uma consane arirária, saisfa a condição froneira (a). Susiuindo na equação de compaiilidade (5.), resula que a função Φ(x,y) deverá oedecer à condição: Φ m + Gθ a J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

27 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 7 J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 donde resula: a a G m + θ e, porano: + Φ y a x a a Gθ O momeno orsor oém-se, de acordo com a equação (5.8): ) ( a a G dxdy y a x a a G + + θ π θ s componenes τ x e τ y oêm-se por derivação da função Φ, iso é: a y a y a G y x π θ τ + Φ a x a x G x y π θ τ + Φ ensão de core máxima ocorre nos ponos B da secção reca: a max π τ ) Campo dos Deslocamenos O deslocameno axial dos ponos de cada secção pode ser calculado por inegração, a parir das equações (5.7), exprimindo as deformações em ermos da função de ensão Φ, aravés das equações (5.8) e (5.). ssim oém-se: a x x G x y w a y a y G y x w + + Φ + + Φ + θ θ θ θ dmiindo que o deslocameno axial é nulo nos ponos do eixo do veio, iso é w0, para x0 e y0, o resulado da inegração das equações aneriores define o deslocameno axial dos ponos da secção reca:

28 8 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações ( w θ a a ) xy + No caso paricular duma secção circular (a ), em-se que w0, o que confirma a hipóese de ase adopada na eoria elemenar. PROBLE solução do prolema relaivo à orção dum veio de secção riangular equiláera (ver figura) pode oer-se a parir da seguine função de orção de Sain-Venan: Φ K x y h x + y h x + h y h / h / G x a)-deermine a consane K, em ermos de G e θ, e mosre que o momeno orsor é dado pela expressão: Gθh 5 a)- Deermine a consane K, em ermos de G e θ, e mosre que o momeno orsor é dado pela expressão: Gθh 5 )- Calcule o valor máximo da ensão de core e idenifique o(s) pono(s) onde ocorre. c)- Calcule o ângulo de orção por unidade de comprimeno. RESOLUÇÃO: a)-função de Sain-Venan e omeno de Torção h função de Sain-Venan Φ deverá saisfaer, simulaneamene, a equação de compaiilidade: h J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

29 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 9 e a condição de froneira: Φ Φ + Gθ x y o longo de odo o conorno (C) da secção riangular. (a) Φ 0 () Quano à condição (), asa aender às equações dos rês lados do riângulo: x x + y h / 0 y h / 0 x + h / 0 Para concluir que a função Φ saisfa, de faco, a condição froneira (). No que di respeio à condição de compaiilidade (a), é de noar que, desenvolvendo a expressão proposa para a função Φ, se oém: ( x + y ) ( x xy ) Φ Kh h h 7 Calculando agora as derivadas, oém-se, sucessivamene: Donde: Φ Kh x x h Φ Kh x x h Φ Kh y + xy y h Φ Kh + x y h ( x y ) Φ Φ + Kh x y Enão, para saisfaer a equação de compaiilidade (a), deverá ser: Donde: Kh Gθ Gθ K h (c) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

30 0 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações E porano: Φ Gθ ( x + y ) ( x xy ) h h O omeno de Torção é dado pela expressão geral: Φ ( x, y ) dxdy Donde, susiuindo, oém-se: Gθ Gθ h + h 7 [ ( ) ( ) x + y x xy h ] dx x h + 9 x h 9 [ ( ) ( ) x + y x xy h ] h Gθ h 5 h 7 dxdy )-Tensão de core máxima s componenes da ensão de core em cada pono (x,y) da secção são calculadas a parir das expressões gerais: y Φ τ x e y τ y Φ x 7 dy (d) Susiuindo pelas expressões em (), ao longo do eixo dos xx oém-se, (ver figura ao lado): τ max x τ τ x y Φ Gθ y + xy 0 y h Φ x Gθ h hx x O valor máximo da ensão de core ocorre a meio de cada um dos lados do riângulo e vale: Gθ h τ máx J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

31 Capíulo V - Torção de Peças Lineares c)-ângulo de Torção por Unidade de Comprimeno O ângulo de orção por unidade de comprimeno (θ ) pode oer-se, por exemplo, a parir da equação () acima, iso é: θ 5 Gh PROBLE Dedua as equações principais para a orção de veios cilíndricos de secção circular, recorrendo à aplicação da eoria da analogia memrana de Prandl. R RESOLUÇÃO: No caso dum veio de secção circular, as condições pariculares de simeria exisene permiem esaelecer, à parida, que a alura da memrana correspondene depende apenas duma única variável, que é a disância r ao cenro da secção. Corando a memrana por um plano horional paralelo à ase de fixação, considere-se o equilírio verical da pare superior, sujeia à acção das forças T e p, de acordo com o esquema represenado na figura. T O r p R d dr T ou seja: J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 d T π r pπr dr d p r (a) dr T Esa equação radu que o declive da memrana é proporcional à disância r ao cenro da secção. Consequene-mene, pela analogia da memrana, a disriuição das ensões no prolema de orção correspondene segue uma lei semelhane, iso é: τ G θ r Ese resulado esá perfeiamene de acordo com o que foi oido na inrodução eórica, quando o prolema da orção dum veio circular foi aordado pela primeira ve.

32 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações configuração deformada da memrana oém-se por inegração direca da equação (a), ou seja: pr pr dr + C T T consane de inegração na equação anerior é facilmene calculada pela condição de que, ao longo da periferia r R, a coa deve ser nula, iso é: ou seja: Donde: pr + C T e pr C e T 0 p ( R r ) T O volume so a memrana oém-se amém por inegração: R pπ R π p Vol π rdr ( R r ) rdr R 0 T 0 8 T Pela analogia da memrana, resula a seguine expressão para o momeno orsor: π Vol R Gθ GI θ ou seja, GI θ Eses resulados esão, amém, de acordo com as expressões deduidas no parágrafo 5., para a orção de veios de secção circular. e PROBLE Dedua as expressões para as ensões e deformação num veio prismáico de secção recangular (x), em que <<. B B J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

33 Capíulo V - Torção de Peças Lineares RESOLUÇÃO: Uma ve que o comprimeno é muio maior do que a largura, a forma da memrana deverá ser aproximadamene cilíndrica, com as respecivas geraries paralelas à direcção de, disorcendo apenas nas exremidades, onde assume uma coa nula. Na ona cenral, a curvaura segundo a direcção y é nula e as forças de pressão p são equiliradas pelas forças de ensão na direcção do eixo dos xx. Nesas condições, a equação de equilírio duma porção cenral da memrana, com as dimensões lxx escreve-se: y B x y d T l p x l dx ou seja: l x x d p x dx T Donde, por inegração: p p x x dx + T T C e (a) consane de inegração na equação (a) oém-se impondo a condição de ser 0, ao longo das linhas da periferia x ± /, iso é: Donde: e, porano: p + C 8T e p C e 8T 0 p x T Esa é a equação duma paráola, e o valor máximo do declive ocorre nos ponos da periferia, para x ± /, iso é: d p () dx T max J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

34 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Transporando ese resulado para o caso da orção dum veio de secção recangular, pode imediaamene concluir-se que a ensão máxima ocorre ao longo das linhas periféricas, x ± /, onde em o valor, τ max Gθ. Por ouro lado, o valor do volume so a memrana é dado, aproximadamene, pelo produo da área da secção (x) pela alura h da memrana, iso é: p Vol T Tamém pela analogia da memrana, a rigide orsional do veio será: C G (c) θ Eliminando Gθ enre as equações () e (c) oém- se, finalmene, o valor da ensão máxima em função do momeno orsor aplicado: τ max PROBLE Preende-se consruir um elemeno uular de secção recangular (00x00 mm ) em aço (G80GPa), para ransmiir um momeno orsor 0 knxm. y x O Deermine a espessura que deverá er o uo, para que a ensão de core não ulrapasse o valor admissível de τ adm 50Pa e a roação do veio seja inferior a º por mero. RESOLUÇÃO: Condição relaiva à limiação da ensão no uo: Na figura aaixo esá represenada a secção reca do uo e a respeciva memrana. No caso duma secção uular unicelular, e considerando a área J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

35 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 5 limiada pelo conorno exerior, a ensão é, numa primeira aproximação, dada pela expressão seguine: τ (a) h Nese caso, em-se: 0 0 N m 0, 0, 0,0 m L (0, + 0,) 0,6mm τ τ adm 50 Pa 00mm 00mm Susiuindo em (a), oém-se: Donde: m 0mm 50 0 Inroduindo o facor de correcção λ τ relaivo à ensão, em-se: λ τ L + Donde, a espessura corrigida: 0,0 0,0 0,6 0,0+ 0,0 λ, 7mm τ,7 Iso é, para que seja saisfeia a condição relaiva à ensão máxima, o valor da espessura da parede do uo deverá ser superior a,7 mm:,7 mm (*) () (*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse direcamene a área do conorno médio da espessura da parede, conduiria a um resulado apenas ligeiramene diferene, com mm. Condição relaiva à limiação da deformação do uo: Para um uo de parede de espessura consane, numa primeira aproximação, pode aplicar-se a seguine expressão para a Rigide Torsional da peça: G C (c) θ L J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

36 6 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Onde L é o perímero do conorno exerior da secção e é a área delimiada por esse mesmo conorno. Nese caso paricular, em-se: G 80 GPa ; 0 m L 0, + 0, 0,6 m θ adm º / m 0,075 rad/ m 0 0 N m Susiuindo eses valores na equação (c) oém-se: L G θ adm , ,075 Inroduindo o facor de correcção λ θ relaivo à deformação, oém-se: λ θ ( L ) L ( L + ) 0,6 e Donde, a espessura corrigida: (0,6 0,0056) 0,0 ( 0,0 0,6 0, ,0056 ) λ 6, mm τ - m, Iso é, para que seja saisfeia a condição relaiva à deformação máxima, o valor da espessura da parede do uo deverá ser superior a 6, mm: 6,mm (*) (d) (*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse direcamene a área do conorno médio da espessura da parede, conduiria a um resulado apenas ligeiramene superior, com 6,5mm. Para que sejam saisfeias amas as condições () e (d), o valor da espessura da parede do uo deverá enão ser superior a,7 mm:,7 mm (e) PROBLE Preende-se ransmiir um momeno de orção 0kNxm aravés duma arra uular em aço (G80GPa), de comprimeno lm, consiuída por dois uos de secções quadradas concênricas de lados iguais a 00mm e 00mm, respecivamene, amos em chapa de igual espessura () e ligados nos opos, J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

37 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 7 conforme indicado na figura. ligação na exremidade B deve ser al que permia uma evenual diferença enre os deslocamenos axiais dos dois elemenos. a)- Deermine a espessura () da chapa, de modo que em nenhum dos elemenos seja ulrapassada a ensão admissível do maerial τ adm 50Pa. )- Para o valor da espessura da chapa calculado na alínea anerior, deermine o ângulo de orção enre as duas secções exremas do uo. c)- Reconsidere a alínea a), supondo agora que o elemeno inerior é em aço maciço. RESOLUÇÃO: a) Cálculo da espessura da chapa 00mm m 00mm Designando por () e () os dois elemenos disinos do uo composo (ver figura), em-se: () () m 00mm 00mm L 0, 0, 0 0, 0,m m e L 0, 0, 0 0, 0,8m m Sejam e os momenos ransmiidos por cada um dos elemenos () e (), respecivamene. Enre eses dois momenos e o momeno gloal ( ) ransmiido pelo veio exise a relação seguine: + (a) rigide à orção para cada um dos elemenos oém-se a parir das expressões haiuais: J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

38 8 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 L G C L G C θ θ () Por ouro lado, aendendo a que os dois elemenos esão ligados enre si nas secções exremas, o ângulo de orção θ é igual para amos. lém disso, porque os dois elemenos são consruídos a parir do mesmo ipo de chapa, o módulo de rigide G e a espessura amém são iguais para amos. Sendo assim, eliminando o ângulo θ enre as duas equações aneriores, resula: L L (c) Resolvendo agora o sisema de equações (a) e (c), oém-se: L L L L L L + + (d) Susiuindo pelos valores numéricos correspondenes: m kn m kn + + 5, , , 0 6 0,, , , 0 0,8 s ensões em cada um dos elemenos são dadas pela expressão geral: τ ssim, em-se: 0, ,56 0, 0 0, 5 5 τ τ ensão máxima ocorre no elemeno (), pelo que:

39 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 9 donde:,5 0 τ ,5 0 8,9 0 m 8, 9mm Ese valor da espessura foi calculado com ase na linha de conorno exerior da secção ransversal, podendo ser oida uma aproximação mais rigorosa, muliplicando-o pelo facor de correcção para a ensão no elemeno exerior: λ τ L + Donde a espessura corrigida: 5 0,0 0,0 0,8 0, ,0089 λ,095 8,9mm 9, 75mm τ iso é, a espessura da chapa deve ser igual ou superior a 9,75mm(*). 6,095 (*)-Um cálculo mais elaorado, considerando a área do conorno da linha média da secção conduiria a um resulado praicamene igual, 9,8mm. ) Ângulo de Torção enre as duas Secções Exremas Uma ve que é já conhecida a espessura da parede, o cálculo da reparição dos momenos, dado pelas equações (d), pode ser reviso, conduindo a: L L + L L L + L ou seja, susiuindo pelos valores numéricos: (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) + (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) (00 9,8) + (00 9,8) (00 9,8) gora, asa susiuir em qualquer uma das expressões: L θ ou G θ L G Iso é, omando a primeira desas equações, por exemplo: 855Nm 55Nm J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

40 0 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações 855 (0 9,8 0 ) θ 6,7 0 rad 0,8º (0 9,8 0 ) 9,8 0 O ângulo de orção enre as duas secções exremas oém-se muliplicando θ pelo comprimeno l do veio, iso é: φb l θ 0,8 0,76º c) Elemeno Cenral em ço aciço () () Nese caso, em-se: C χ G θ C θ G L O valor do coeficiene χ ira-se da aela apresenada no parágrafo Para uma secção quadrada, é χ 0,, pelo que, da eliminação de θ enre as duas equações aneriores, resula: L χ Resolvendo agora o sisema de equações (a) e (e), oém-se: χl + χl + χl Susiuindo pelos valores numéricos correspondenes, oém-se: m 00mm 00mm (e) J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

41 Capíulo V - Torção de Peças Lineares (0, 0, 0, ) 0000, , + 0, 0, 0, 60 +,8 ( 0, ) , 0 +, ,8 ensão máxima no núcleo cenral é dada pela expressão correspondene a uma secção recangular (xh): τ α h Para uma secção quadrada, como no caso verene, α,80, pelo que:, τ, , (60 +,8) 6 Donde: E para o elemeno uular: 0,008m, 8mm Donde: ,56 0 τ 50 0 (60 +,8) 0, 5, + 0,090 0,008 8, mm Deve escolher-se o valor maior, pelo que, no caso dum núcleo maciço, a espessura da chapa para o uo exerior erá de ser igual ou superior a,97mm, iso é: 8, mm Ese valor da espessura foi calculado com ase na linha de conorno exerior da secção ransversal do uo, podendo ser oida uma aproximação mais rigorosa, muliplicando-o pelo facor de correcção para a ensão no elemeno exerior: λ τ L + Donde a espessura corrigida: 0,0 0,0 0,8 0, ,008 λ,088 8,mm 8, 96mm τ iso é, a espessura da chapa deve ser igual ou superior a 8,96mm. 7 6,088 J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

42 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações PROBLE 5... Um veio de secção recangular composa é consruído a parir de uma arra de aço (G a 80GPa) com as dimensões00mmx0mm de lado, revesida por um uo de laão (G l 0GPa), de secção recangular com uma espessura de parede de 5mm. monagem é feia de al modo a permiir um evenual desliameno axial enre os dois elemenos. a)- dopando a aproximação mais simples faer os cálculos sore a linha de conorno exerior do uo de laão, em ve da linha média, calcule o valor máximo do momeno orsor que pode ser ransmiido pelo veio. Considere (τ adm ) aço 50Pa e (τ adm ) laão 0Pa. )- Para o valor do momeno calculado na alínea a), deermine o ângulo de orção por mero de comprimeno. c)- Reconsidere agora as duas alíneas aneriores, faendo os cálculos sore a linha média da secção do uo de laão. RESOLUÇÃO: a) omeno Torsor áximo Considere-se a secção composa conforme represenada na figura: Laão() ço() 0mm 00mm rigide orsional do núcleo cenral em aço é dado pela expressão: C θ χ G onde é o momeno de orção asorvido pelo núcleo cenral, χ é um coeficiene que depende das dimensões relaivas do recângulo (χ0.9, para /5, conforme se pode irar da aela apresenada no parágrafo 5..5.) e θ é o ângulo de orção por unidade de comprimeno (igual para os dois elemenos). Susiuindo, oém-se: C 0,86 Nm (a) θ J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

43 Capíulo V - Torção de Peças Lineares Para o elemeno uular em laão, em-se: θ J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009 C G e L onde é a área gloal inerior à linha média da secção uular, e é a espessura do uo e L é o perímero da linha média da secção. Tomando, nesa primeira aproximação, a linha do conorno exerior, em ve da linha média, oém-se: (0, 0,0) 5 0 C, 0 Nm θ (0,+ 0,0) Eliminando o ângulo θ enre as equações (a) e (), oém-se: Por ouro lado: donde: 0, , 7 e 0, 66 Quano à ensões em cada um dos elemenos em-se, respecivamene: ( τ ) max α e 0,7,, 0 0, 0,0 0,66 ( ) τ 9,78 0 max ( 0, 0,0) 5 0 Impondo agora a condição (τ ) max 50Pa, oém-se: 6, , 7N m E impondo a condição equivalene para o elemeno uular: 6 9, , N m Donde, o valor máximo do momeno orsor ransmissível pelo conjuno é o seguine: )- Ângulo de Torção max 55, 7N m O ângulo de orção por unidade de comprimeno é dado pela expressão haiual: θ C ()

44 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Ou seja, para o caso verene: θ C C C + C c)- Conorno a meia espessura 55,7, 0 rad / m,97 0 Tomando, agora, a aproximação mais correca de considerar a linha de conorno a meia espessura, a área gloal da secção uular é 0,05x0,050,006m e o perímero da linha média é L 0,6m. Susiuindo na expressão para a rigide à orção do uo de laão, oém-se: C G e θ L (c) (0,05 0,05) 5 0, 0 Nm (0,05 + 0,05) Eliminando o ângulo θ enre as equações (a) e (c), oém-se: Por ouro lado: Donde: 0, , 68 e 0, 5 Quano à ensões em cada um dos elemenos em-se, respecivamene: ( τ ) max α e 0,68,,0 0 0, 0,0 0,5 ( τ ),0 0 max (0,05 0,05) 5 0 Impondo agora a condição (τ ) max 50Pa, oém-se: 6, Nm E impondo a condição equivalene para o elemeno uular: 6, Nm J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

45 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 5 Donde, o valor máximo do momeno orsor ransmissível pelo conjuno é o seguine: max 9Nm E o ângulo de orção por unidade de comprimeno correspondene é: θ C C C + C 9,9 0 rad / m,98 0 PROBLE 5... Considere um veio prismáico de secção uular mulicelular, conforme indicada na figura. O módulo de rigide do maerial é G80GPa e a ensão admissível é τ adm 50Pa Deermine o momeno orsor máximo que o veio é capa de ransmiir e o respecivo ângulo de orção por mero de comprimeno. RESOLUÇÃO: Condição relaiva à limiação da ensão no uo: Na figura aaixo esá represenada a secção reca do uo e a respeciva memrana. Sejam e as áreas de cada uma das células que consiuem a secção do uo. equação de equilírio para cada uma das células escreve-se, na forma mais geral: h h hi pi T ds i plicando a equação anerior às duas células e oém-se, respecivamene: mm 00 mm 5 50 mm J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

46 6 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações ( h h ) 0, h 0, h 0, 0, h p 0, T ,00 0,00 0,00 0,00 0, ( h h ) 0,975 h 0, h 0,975 h p 0,975 0, T ,00 0,00 0,005 0,00 Resolvendo ese sisema de equações em ordem às aluras h e h da memrana em cada uma das células, oém-se: h h 5,9 0,87 0 p T p T inclinação máxima (maior declive) da memrana verifica-se para o roço mais delgado da secção, com a espessura de 5 mm, iso é: h max Quano ao valor do volume so a memrana, em-se: h p 0,097 0,005 T (a) p V h + h 0, 5,9 0 T p + 0, 0,975,87 0,086 0 T gora, invocando a analogia de memrana de Prandl, em-se: p T Gθ h τ V Donde, aplicando às equações (a) e () acima, oém-se: τ max 0,98 Gθ, 0 Gθ 5 p T Susiuindo os valores para τ max 50Pa e G 80GPa, oém-se: θ, 0 rad / m 9 0, , 0,67 KN m 0,98 () J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

47 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 7 PROBLE 5... Considere uma peça uular de parede fina e espessura uniforme ( ), com uma secção conforme esá ilusrado na figura, consruída em chapa de aço (G80 GPa). Tomando como irrelevane as diferenças enre as áreas dos conornos ineriores e exeriores de cada célula: 5cm 5cm a)- Dedua as expressões para as ensões de core em cada um dos elemenos da secção, em função do momeno orsor aplicado e da espessura da chapa. )- Calcule o valor mínimo que a espessura da chapa deve er, para que a peça possa ransmiir um momeno orsor 0 KNxm, considerando τ adm 50 Pa. c)- Para a siuação considerada na alínea ), calcule o ângulo de orção por mero de comprimeno. RESOLUÇÃO: 5cm 5cm a)-tensões nas paredes do uo Uiliando o méodo da analogia de memrana, considere-se o esquema represenado na figura: 5cm 50cm,5 0 cm s equações de equilírio da memrana para as duas células que consiuem a secção são as seguines: 5cm 6,5 0 cm 5cm p T p T C h ds C h ds h h Susiuindo oém-se, sucessivamene: p.5 0 p T T [ h.5 + ( h h ) 0.5] [ h ( h h ) 0.5] J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

48 8 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações Donde: p.5h 0.5h 0.5 T p 0.5h + h T h h p T p T gora pode calcular-se o volume so a memrana: Vol h + h.76 0 p T E, de acordo com a analogia de memrana ( xvol e p/tgθ)): Gθ (a) Quano à ensão, asa noar que, de acordo com a analogia de memrana, τ h/. Donde: ( τ ) ( τ ) h h p T Gθ p Gθ T )-Espessura da parede ensão máxima ocorre nas paredes da célula : τ max, 78 τ adm Susiuindo os valores para 0 knxm e τ adm 50Pa: Donde: ,78, mm J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

49 Capíulo V - Torção de Peças Lineares 9 c)-ângulo de Torção De acordo com a equação (a) acima, pode escrever-se: θ 7,0 0 G Donde, susiuindo os valores para, G e, oém-se: θ 7, , 0 rad / m , 0 PROBLE Considere uma peça uular de parede fina, espessura uniforme, secção conforme ilusrado na figura, consruída em chapa de aço (G80 GPa). 5cm a)- Dedua as expressões para as ensões de core em cada um dos elemenos da secção. 5cm 5cm 5cm )- Calcule o valor mínimo que a espessura da chapa deve er, para que a peça possa ransmiir um momeno orsor 0 KNxm, considerando τ adm 50 Pa. RESOLUÇÃO: a)-tensões de Core Uiliando, igualmene, o méodo da analogia de memrana, considere-se o esquema represenado na figura: 50cm 5cm,5 0 cm h h h,5 0 cm 5cm 6,5 0 cm 5cm s equações de equilírio da memrana para as rês células que consiuem a secção são as seguines: J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009

50 50 ecânica dos aeriais e Esruuras Lineares. Teoria e plicações p T p T p T Susiuindo oém-se, sucessivamene: Donde: p.5 0 p p.5 0 T T T e o volume so a memrana: C h ds C C h ds h ds [ h.0 + ( h h ) ( h h ) 0.5] [ h ( h h ) ( h h ) 0.5] [ h ( h h ) ( h h ) 0.5] p.5h 0.5h 0.5h 0.5 T p 0.5h + h 0.5h T p 0.5h 0.5h h 0.05 T p h 0, T p h 0,6 T p h 0,6 T Vol h + h + h,0 0 p T De acordo com a analogia de memrana ( xvol e p/tgθ ):,08 0 Gθ (a) Quano à ensão, asa noar que, de acordo com a analogia de memrana, τ h/. Donde: J. F. Silva Gomes, FEUP - Poro, 009