Aulas Particulares on-line

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1 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, MTMÁTI PRÉ-VSTIULR LIVRO O PROFSSOR

2 IS rasil S.. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IS rasil S.. / Pré-vestibular / IS rasil S.. uritiba : IS rasil S.., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISN: Pré-vestibular.. ducação.. studo e nsino. I. Título isciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química iologia História Geografia Produção utores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago alixto Rita de Fátima ezerra Fábio Ávila anton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo osta Silva Filho Jayme ndrade Neto Renato aldas Madeira Rodrigo Piracicaba osta leber Ribeiro Marco ntonio Noronha Vitor M. Saquette dson osta P. da ruz Fernanda arbosa Fernando Pimentel Hélio postolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva uarte. R. Vieira nilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e esenvolvimento Pedagógico sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/,

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5 Geometria espacial e de posição ) Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então todos os pontos da reta pertencem a esse plano. geometria de posição é o ponto inicial para o entendimento da geometria espacial. om ela temos a melhor percepção das projeções tanto de um ponto na reta como de uma reta no plano, dando início à formação de um sólido. É muito utilizada na astronomia e na computação gráfica. Postulados (axiomas) 1) Por dois pontos distintos passa uma única reta. ) Por três pontos distintos, não-colineares, passa um único plano. 4) Um ponto de uma reta divide-a em duas semirretas, e esse ponto é dito origem das semirretas. 5) Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos onde tal reta é a origem dos semi- -planos. M_V_MT_09 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 1

6 6) Um plano divide o espaço em dois semiespaços, sendo esse plano a origem dos semiespaços. 7) uas retas r e s são ditas paralelas quando forem coplanares e a interseção for vazia, ou quando forem coincidentes (r s). Nesse caso, são ditas paralelas coincidentes. r e s, o ângulo entre r e s é dado pelo ângulo entre as concorrentes r 1 e s 1, que são, respectivamente, as paralelas a r e s passando por P. 4) Uma reta r é secante a um plano α quando a interseção é um ponto. sse ponto é dito traço da reta no plano. α P 8) Por um ponto exterior a uma reta r, passa uma única reta s e paralela a r. 5) Uma reta r é paralela a um plano α quando a interseção for vazia. r α 9) uas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. 6) ois planos são secantes quando a interseção é uma reta e são paralelos quando a interseção é vazia. Secantes α Paralelos r β α β Posições relativas lguns teoremas importantes: 1) Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano que os contêm. ) uas retas concorrentes determinam um único plano que as contêm. 1) Retas concorrentes quando a interseção é um ponto. r P r s = {P} ) Retas reversas quando a interseção é vazia (não são coplanares e não são paralelas). ) Ângulos entre retas reversas adas duas retas reversas r e s e um ponto P, exterior a s ) uas retas paralelas não coincidentes determinam um único plano. 4) Sejam três planos distintos e secantes dois a dois em três retas distintas, sendo que essas retas ou são paralelas duas a duas, ou são concorrentes num mesmo ponto. 5) ados dois planos paralelos a α e β, seja γ um terceiro plano secante a α, logo γ também será secante a β e as interações serão paralelas. 6) Por um ponto exterior a um plano α existe um único plano paralelo a α que contenha tal ponto. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

7 Projeção ortogonal 1) projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é um ponto P, que é a interseção da reta que passa por P e é perpendicular ao plano α. ) projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta ou é um ponto, no caso de r α. xistem poliedros não-convexos: lgumas notações: P ponto α plano r reta perpendicular // paralela Poliedros convexos Os poliedros são sólidos delimitados por figuras planas e muito utilizados por escultores contemporâneos, pois suas combinações de faces, vértices e arestas expressam bem as três dimensões. tualmente, encontramos jogos infantis como o RPG, cujos dados são poliedros. Temos como grande estudioso dos poliedros, Platão. onsideramos um poliedro convexo, aquele obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos e quando o segmento de reta que liga dois pontos do poliedro estiver contido no poliedro. omo exemplo, podemos destacar uma caixa de sapatos e uma pirâmide. `` xemplo: Relação de uler Para todo poliedro convexo vale a seguinte relação: `` onde: V + F = + V = número de vértices F = número de faces = número de arestas xemplo: Pontos e partes do poliedro M_V_MT_09 Vértices:,,,... restas:,,,... Faces:, F, iagonal da Face: F, F,... iagonal do poliedro: F, G... V = 5 (,,,, ) F = 5 (,,,, ) = 8 (,,,,,,, ) Logo, podemos observar que a relação de uler é verdadeira. V + F = + (5 + 5 = 8 + ) Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/,

8 icas para o cálculo do número de arestas = n. de faces x n de lados de faces = n. de vértices x n. de arestas de cada vértice Outras relações importantes são: soma dos ângulos das faces: SF = 60º (V ) número de diagonais: V(V 1) = Σdf superfície do poliedro convexo aberta: V + F = + 1 Poliedros regulares Poliedro regular é aquele em que todas as faces são polígonos regulares congruentes, e todos os ângulos sólidos são congruentes. Só existem cinco polígonos regulares: Tetraedro regular 4 faces triangulares equiláteras; 4 vértices onde chegam arestas; 6 arestas. Octaedro regular 8 faces triangulares equiláteras; 6 vértices onde chegam 4 arestas; 1 arestas. odecaedro regular 1 faces pentagonais regulares; 0 vértices onde chegam arestas; 0 arestas. Icosaedro regular 0 faces triangulares equiláteras; 1 vértices onde chegam 5 arestas; 0 arestas. Hexaedro regular 6 faces quadradas; 8 vértices onde chegam arestas; 1 arestas. Prismas hama-se prisma a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a um segmento de reta, que tem uma das extremidades contida num polígono pertencente a um plano, de forma que todos esses segmentos estejam num mesmo semiespaço (assim, as bases são paralelas e iguais). 4 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

9 Oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. 90º Regular: é todo prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. lementos: al Fl Secção Reta: é a seção obtida no prisma por um plano perpendicular à aresta lateral. h = altura ab = aresta da base al =aresta lateral V = vértices Fl = face lateral Transversal: é a seção obtida no prisma por um plano paralelo aos planos das bases. lassificação dos prismas Reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Fórmulas: Área Total (St) St = Sb + SI Sb = área da base SI = área lateral M_V_MT_09 Volume (V) V = Sb. h Sb = área da base h = altura sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 5

10 ubo É um prisma quadrangular regular, com todas as arestas iguais. iagonal = a + b + c emonstração do cálculo da diagonal Área Total St = 6a Volume V = a iagonal = a emonstração do cálculo da diagonal d = a + b = d + c = a + b + c = a + b + c = d + a = (a ) + a = a = a Paralelepípedo retângulo: é um prisma reto cujas bases são retângulos. Pirâmides ado um polígono contido em um plano, se de um ponto V fora do plano, traçarmos segmentos aos vértices desse polígono, o sólido formado será uma pirâmide. ( V Área total St = (ab + ac + b ( 6 Volume V = a. b. c Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano é o centro desta. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

11 lementos da pirâmide V emonstração do volume h h O a a = h + a F F a = apótema da base h = altura da pirâmide = apótema da pirâmide ou altura da face O = centro da base Área e volume Área lateral (S ) S = p. p = semiperímetro da base = apótema da pirâmide Área total (S T ) S = área da base S = área lateral S T = S + S aso particular Tetraedro regular Volume (V) V S.h = a h a S = área da base h = altura a O M M_V_MT_09 O = baricentro do triângulo equilátero h = altura sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 7

12 O = M a O = a O = = h a a + Área total (S T ) Volume (V) S =4. T a 4 a a a 6 h = S T =a S.h a V= S = 4 a a 6 V= 4 a V= 1 h o. ``. (UFF) Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas são formados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro. Um par. ois pares. Três pares. Quatro pares. e) inco pares. Solução: e e Três pares e Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as outras são triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. etermine o número de faces, vértices e arestas do poliedro `` onsidere as seguintes sentenças: I. Se dois planos distintos têm um ponto comum, então terão também outro ponto comum distinto do primeiro. II. Três pontos distintos determinam um único plano. III. distância entre dois pontos de uma reta é um número real que depende da unidade da medida escolhida. ssinale a alternativa correta. penas II é falsa. e) I e II são falsas. II e III são verdadeiras. I, II e III são falsas. penas I é verdadeira. Solução: II. Falsa, três pontos distintos não colineares determinam um único plano. `` Solução: 7F 4 xf = x = x. x = 8 + x 4x = 8 + x x = 8 F = F = 5 =. 8 = 56 V + F = + V + 5 = 56 + V = sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

13 4. Pedrinho fez um poliedro convexo de origami que tinha 5 faces quadrangulares e 6 faces pentagonais. alcule o número de vértices desse poliedro. `` Solução: 5F 4 6F 5 F = 11 = a. b. a. c. b. c = a. b. c = a. b. c = = 600 = 5 a. b. c = `` V + F = + V + 11 = 5 + V = 16 ois blocos de alumínio em forma de cubo, com aresta medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. alcule x. Solução: 7. `` 8. Uma caixa cúbica com 10cm de aresta tem o mesmo volume que um litro. alcule quantos litros tem uma caixa d água cúbica com 1m de aresta. Solução: 1litro = 1 000cm = 1dm 1m = 1 000dm = figura representa a planificação de uma pirâmide quadrilátera regular, com todas as arestas iguais. Se OQ vale cm, calcule o volume da pirâmide: P Q V = V 1 + V x = x = 1 16 x = 19cm s faces de um paralelepípedo retângular têm por área 1cm, 15cm e 0cm. alcule o volume desse paralelepípedo. `` Solução: P a a h O Q `` Solução: ado: a. b = 0 a. c = 15 b. c = 1 a PQ = a = a = 6cm OQ = cm M_V_MT_09 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 9

14 10 9. `` h O P S. h V= 6 S = = V = 6 cm Q ( ) = h + h = cm alcule o volume do tetraedro regular que tem área total igual a 6 m. Solução: a a a S T = a V = 1 a = 6 6 a=6m V = 1 a V =18 m 10. Pedro comprou uma barra de chocolate cúbica e pretende dividi-ia em pirâmides que tenham como base as faces do cubo. Ouantas pirâmides Pedro pode formar? `` 1. Solução: Se tomarmos um ponto no interior do cubo, poderemos formar seis pirâmides com vértices nesse ponto e base nas faces do cubo. onsidere as seguintes sentenças: I. se dois planos distintos têm um ponto comum, então terão outro ponto comum, distinto do primeiro. II. três pontos distintos determinam um único plano. III. a distância entre dois pontos de uma reta é um número real, que depende da unidade da medida escolhida. ssinale a alternativa correta. penas II é falsa. I e III são falsas. II e III são verdadeiras. I, II e III são falsas. e) penas I é verdadeira.. Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Se duas retas distintas não são paralelas, elas são congruentes. uas retas não-coplanares são reversas. Se a interseção de duas retas é conjunto vazio, elas são paralelas. Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorren- tes, elas determinam um e um só plano.. m relação ao plano a, os pontos e estão no mesmo semiespaço e os pontos e estão em semiespaços opostos. m relação ao plano b, os pontos e estão em semiespaços opostos, bem como os pontos e. Pode-se concluir que o segmento : é paralelo a a Ç b. encontra a e b. encontra a, mas não b. encontra b, mas não a. e) não encontra a nem b. 4. reta r é paralela ao plano a. ntão: todas as retas de a são paralelas a r. a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de a. existem em a retas paralelas e retas reversas em relação a r. existem em a retas paralelas e perpendiculares a r. e) todo plano que contém r é paralelo a a. Sejam r, s e t retas no espaço. Se r e s são perpendiculares a t, então: r e s são paralelas. r e s são perpendiculares. r e s são reversas. r e s são coplanares. e) nenhuma das afirmativas acima é verdadeira. Se uma reta a é perpendicular a uma reta b e a reta b é paralela a uma reta c, podemos concluir que: a c a c a = c sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

15 M_V_MT_09 a // c e) nenhuma das anteriores está correta. 7. ois planos b e g se cortam na reta r e são perpendiculares a um plano a. ntão: b e g são perpendiculares. r é perpendicular a a. r é paralela a a. todo plano perpendicular a a encontra r. e) existe uma reta paralela a a e a r. 8. São dados cinco pontos não-coplanares,,,,. Sabe-se que é um retângulo, e. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: e. e. e. e. e) e. 9. as afirmações abaixo: I. uas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares. II. uas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si. III. Se um plano intercepta dois outros planos, em retas paralelas, então os dois também são paralelos. Temos que: apenas uma é falsa. apenas uma é verdadeira. apenas duas são verdadeiras. todas são falsas. e) todas são verdadeiras. 10. etermine o número de vértices de um poliedro convexo com 0 faces pentagonais. 11. Um poliedro convexo possui 6 faces pentagonais e oito faces hexagonais. etermine o número de vértices desse poliedro. 1. (PU) O poliedro regular que possui 0 vértices, 0 arestas e 1 faces denomina-se: tetraedro. hexágono. octaedro. icosaedro. e) dodecaedro. 1. (UFP) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. O número de arestas é: e) (IT) Se um poliedro convexo possui 0 faces e 1 vértices, o número de arestas desse poliedro é: e) 15. (Mackenzie) Sabe-se que um poliedro convexo tem 8 faces e que o número de vértices é maior que 6 e menor que 14. ntão, o número de arestas é tal que: < 0 1 < < e) (Unificado) Um poliedro convexo tem 14 vértices. m 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem arestas nos demais concorrem 5 arestas. O número de faces do poliedro é igual a: e) (URJ) om uma chapa plana, delgada, de espessura uniforme e massa homogeneamente distribuída, construíram-se duas peças: uma com a forma de um cubo (Fig. ) e a outra com a forma de um poliedro com 9 faces, formado a partir de um outro cubo congruente ao primeiro, onde as três faces menores são quadrados congruentes (Fig. ). Fig. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, Fig. 11

16 s informações acima possibilitam a seguinte conclusão: o peso de é igual ao de. o volume de é igual ao de. a superfície de é maior que a de. a superfície de é menor que a de. 18. (UFF) O sólido representado abaixo possui todas as arestas iguais a L. Sabendo-se que todos os ângulos entre duas faces adjacentes são retos, pode-se afirmar que o seu volume é: 7L 9L 11L 19L e) 7L 19. (Fuvest) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 40cm. s áreas de duas de suas faces são 0cm e 48cm. área total do paralelepípedo, em cm, é: e) (Unificado) 1cm 4cm 4cm L 1. (Fuvest) ois blocos de alumínio em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm e xcm. O valor de x é: e) 0. (Unirio) Uma piscina na forma de um paralelepípedo retângulo tem 8m de comprimento, 6m de largura e m de profundidade. Um nadador que estava totalmente submerso na piscina verificou que, ao sair, o nível da água baixou 0,5cm. O volume do nadador, em dm, é igual a: e) 10. (Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas internas são, em m, expressas por x, 0 x, e. O maior volume que essa piscina poderá ter, em m, é igual a: e) (UFF) m um cubo de aresta l, a distância entre o ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de suas arestas é: 1 1cm cm 1cm cm Na fabricação da peça anterior, de um único material que custa R$5,00 o cm deve-se gastar a quantia de: R$400,00 e) R$80,00 R$60,00 R$40,00 R$9,00 l l l l 1 e) l sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

17 M_V_MT_09 5. soma das seis distâncias a cada face de um ponto P, no interior de um cubo, é igual a 6cm. O volume desse cubo é: 1m 6m 8m 64m e) 16m 6. (F-MG) s dimensões de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 8. Se a diagonal desse paralelepípedo mede 5cm, a sua área total, em cm, é: e) (FM) Sejam a, b, c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, p a soma das dimensões, d a diagonal, k a área total e V o volume. Temos: p = d + k d = p + k k = p + d V = pdk e) p = dk 8. (Vunesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura abaixo, obteremos uma figura espacial cujo nome é: e) pirâmide de base pentagonal. paralelepípedo. octaedro. tetraedro. prisma. 9. (Ufc) figura abaixo representa um galpão com as medidas indicadas. 4m 5m 8m 5m O volume total desse galpão é: 880m 90m 960m 1 00m 0. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: H/6 H/ H H e) 6H 1. (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura acima. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6m, então o volume do cubo, em m, é igual a: e) 1 (UFF) figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/,. P Q 0m 1

18 Sabendo-se que PQ mede cm e que as faces laterais são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é: 18 cm 6 cm 7. (esgranrio) m um cubo de aresta 6, considera-se o tetraedro V, como o indicado na figura. V 48 cm 60 cm e) 7 cm. É possível construir uma pirâmide regular de 7 vértices com todas as arestas congruentes, isto é, de mesma medida? Justifique. 4. altura da pirâmide de base F contida no cubo de aresta igual a abaixo, é: e) 5. Um tetraedro regular tem área total igual a 6 cm. ntão, sua altura, em cm, é igual a: F G 8. O volume do tetraedro é: 6 e) 1 (Fuvest) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a? 1 15, 5, e) 9. (Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 0cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo e) ado um cubo de aresta, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo? 1. (spx) onsidere as seguintes proposições: I. Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano. II. Uma reta e um ponto determinam sempre um único plano. III. Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então, ela é perpendicular a esse plano. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

19 M_V_MT_09 Pode-se afirmar que: só I é verdadeira. só III é verdadeira. só I e III são verdadeiras. só III é falsa. e) só I e III são falsas.. (F) Os planos a e b são paralelos. reta r é perpendicular a a e a reta s é perpendicular a b. Pode-se concluir que r e s são: coplanares. reversas. ortogonais. perpendiculares.. (F) Qual é a afirmação verdadeira? Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a todas as retas contidas nesse plano. Se dois planos são perpendiculares entre si, qual- quer outro plano que os corta faz retas perpendiculares. Se uma reta e um plano são perpendiculares entre si, então o plano contém todas as suas retas perpendiculares à reta dada pelo seu ponto de intersecção com o plano dado. Se duas retas paralelas r e s encontram o plano a em e, respectivamente, o segmento de reta é perpendicular à reta r e s. 4. (F) ado um plano p e dois pontos e fora dele, é verdadeiro afirmar que: nunca se pode passar por e um plano paralelo a p. é sempre possível passar por e pelo menos um plano perpendicular a p. há no máximo dois planos passando por e, per- pendiculares a p. nunca se pode passar por e dois planos, sendo um paralelo e outro perpendicular a p. 5. (F) Qual das afirmações é correta? ois planos a e b paralelos à mesma reta, são paralelos entre si. Um plano a paralelo a uma reta de um plano b é paralelo a b. Um plano a paralelo a duas retas de um plano b é paralelo a b. Um plano a perpendicular a uma reta de um plano b é perpendicular a b. 6. (F) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Por uma reta dada pode-se conduzir um plano pa- ralelo a um plano dado. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. Por um ponto qualquer é possível traçar uma reta que intercepta duas retas reversas dadas. Se duas retas concorrentes de um plano são, res- pectivamente, paralelas a duas retas de outro plano, então estes planos são paralelos. 7. (F) O conjunto de soluções de uma única equação linear a 1 x + a y + a z = b é representado por um plano no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a 1, a, a não são todos iguais a zero). nalise as figuras a seguir. I. II. Três planos se cortando numa reta. Três planos se cortando num ponto. III. Três planos sem interseção. I. II. III. ssinale a opção verdadeira. figura I representa um sistema de três equações, com uma única solução. figura III representa um sistema de três equa- ções, cujo conjunto solução é vazio. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 15

20 8. 9. figura II representa um sistema de três equações, com uma infinidade de soluções. s figuras I e III representam um sistema de três equações, com soluções iguais. (F-SP) onsidere as proposições a seguir: I. se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro; II. se uma reta é paralela a um plano, então é paralela a todas as retas do plano; III. se dois planos são secantes, toda reta de um intercepta o outro plano. Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são: apenas I. I e III. II e III. apenas II. Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente: 1 plano. planos. planos. 4 planos. e) 5 planos e) (esgranrio) O poliedro da figura (uma invenção de Leonardo a Vinci, utilizada modernamente na fabricação de bolas de futebol) tem como faces 0 hexágonos e 1 pentágonos. O número de vértices do poliedro é: e) (URJ) onsidere a estrutura da figura a seguir como um poliedro de faces quadradas, formadas por 4 cubos de arestas iguais, sendo V o número de vértices distintos, F o número de faces distintas e o número de arestas distintas Quantos pares de retas reversas existem em um cubo? 11. Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as outras são triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. etermine o número de faces, vértices e arestas do poliedro. 1. soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é igual a 5 760º, e ele possui somente faces triangulares e heptagonais. Sendo 8 o seu número de arestas, calcule o número de faces de cada tipo. 1. (UFF) São dados 7 triângulos equiláteros, 15 quadrados e 0 pentágonos regulares, todos de mesmo lado. Utilizando esses polígonos, o número máximo de poliedros regulares que se pode formar é: Se V, F e são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas desse poliedro, temos V + F igual: e) 16. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de uler de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a: 5 4 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

21 e) (nem) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos que, de um de seus vértices partem 5 arestas, de 5 outros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante parte arestas. O número de arestas do poliedro é: e) (IT) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: e) 19. (Mackenzie) m um poliedro convexo, em 4 de seus vértices concorrem arestas, em outros 5, 4 arestas e nos vértices restantes, 6 arestas. O número de faces do poliedro é igual a: e) 15 Para confeccionar uma bola de futebol, o artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. o costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7cm de linha. epois de pronta, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: 7,0m 6,m 4,9m,1m 1. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. ste novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: m = 9, n = 7 m = n = 9 m = 8, n = 10 m = 10, n = 8 e) m = 7, n = 9. Um cubo é formado de cubinhos congruentes e cinco de suas faces, excetuando-se a base, foram pintadas. M_V_MT_09 0. (URJ) Um icosaedro regular tem 0 faces e 1 vértices, a partir dos quais retiram-se 1 pirâmides congruentes. s medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/ da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. esmontando-se essa pilha de cubinhos, verificamos que há cubinhos que estão pintados em uma face, duas faces e três faces. O número de cubinhos pintados em apenas duas faces é igual a: sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 17

22 64 e) 60. Uma barra (paralelepípedo retângulo) de doce de leite com 5cm x 6cm x 7cm foi completamente envolvida por um papel laminado. Se a barra for cortada em cubos de 1cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer cobertura de papel laminado? 4. (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de leite, tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a = 10cm, b = 7cm e c = 16cm. Inclina-se a caixa de 60 em relação ao plano horizontal, de modo que apenas uma das menores arestas fique em contato com o plano, como mostra a figura. a alcule o volume do leite derramado. 5. Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo número de cubos pequenos em cada aresta, sobram cinco; e se tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos pequenos? 6. s medidas das três dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em progressão geométrica. Sabendo que a área total e o volume desse paralelepípedo são, respectivamente, 11cm e 64cm, calcule as medidas das suas dimensões. 7. Um fabricante de embalagens, para fazer caixas de papelão, sem tampa, em forma de prisma hexagonal regular (veja figura 1, abaixo), utiliza hexágonos regulares de papelão, cada um deles com lado 0cm. orta, em cada vértice, um quadrilátero, como o pontilhado na figura e, a seguir, dobra o papelão nas linhas tracejadas. b c cm e) 7 776cm 8. s faces de um paralelepípedo são losangos de lado igual a m, sendo a diagonal menor igual ao lado. O volume desse paralelepípedo vale: m m m m e) m 9. (UF) base de um prisma reto é um triângulo isósceles cujos lados iguais medem cm e um dos ângulos internos mede 10. Se esse prisma tem 6 cm de altura, o seu volume, em cm, é: e) 1 0. (UFF) base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8m e altura de m; o seu volume será: 1m 4m 6m 48m e) 60m 1. (Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas e do cubo. 0cm h= cm Fig. 1 Fig. 18 Sabendo-se que a altura é de cm, seu volume é: 900cm 700 cm 77 cm razão entre o volume do prisma XFYGH e o do cubo é: sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 8 M_V_MT_09

23 e) 6. (URJ) O menor número de seções planas que se pode fazer em uma peça cúbica de modo a dividi-la em 7 cubos congruentes é: e) 7 4. Operários rolam um cubo de granito de 1m de aresta até ele dar uma volta completa. distância, em metros, percorrida por um vértice é de: ( + )p + 1 ( )p p p e) p 5. figura mostra a vista de cima de uma pirâmide V-, de base retangular. projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base divide a aresta ao meio. M_V_MT_09. Um dado com forma de cubo tem suas faces numeradas arbitrariamente de 1 a 6. figura abaixo representa o mesmo dado em duas posições diferentes. 5 Qual a face oposta à face 1? 4 5 e) V Se = 10, = 5 e a altura da pirâmide é 5, então o comprimento da aresta V é: e) 5 6. etermine a razão entre o volume de um tetraedro e o volume do octoedro cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro. 7. onsidere um tetraedro regular aresta L, altura h e altura de uma face h 1. Se k é um ponto interno do tetraedro e x, y, z e w são as distâncias de k a cada uma de suas faces, pode-se afirmar que: x + y + z + w = L x + y + z + w = h sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 19

24 x + y + z + w = h1 x + y + z + w = L e) x + y + z + w = h1 8. (URJ) om os vértices,, e de um cubo de aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra a figura abaixo: 1 5 e) 41. (UFF) No tetraedro regular representado na figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM. P R 0 0 alcule: o volume da pirâmide em função de a; a razão entre os volumes do tetraedro e do cubo. 9. (URJ) Um triângulo equilátero (fig. 1) de papelão foi dobrado na sua altura H. poia-se o papelão dobrado com os lados e sobre a mesa, de modo que o ângulo H ˆ tenha 60 (fig. ). Fig. 1 H Fig. tangente do ângulo θ que H faz com o plano da mesa é igual a: m um tetraedro O, os ângulos entre as arestas que concorrem em O são todos iguais a 90. Se O =, O = 5 e O = 1, o comprimento da maior aresta do tetraedro é: θ H M N razão RS é igual a: MN e) 4. (UFS) onsidere um cubo de aresta igual a 1cm. Sejam e duas faces opostas desse cubo. Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado como base e como vértice. área total dessa pirâmide mede: ( 1 + ) cm ( ) ( ) ( ) ( + ) 1 + cm cm cm e) cm 4. (easesp) onsidere um octógono regular, cuja aresta mede 6cm e um de seus vértices V repousa sobre um plano P perpendicular a P em V, até interceptar o plano P, formando uma pirâmide de base quadrangular. ssinale, então, dentre as alternativas a seguir, a única que corresponde à área total dessa pirâmide assim construída. sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, S M M_V_MT_09

25 V 0% 16% 15% 1% P V e) 10% 9 cm 6 cm ( ) cm 47. alcule o volume do poliedro F, cujas faces são um quadrado de lado a, dois triângulos equiláteros F e e dois trapézios F e F, ambos com base maior F = a. 144 cm e) 108 cm 44. m uma pirâmide triangular regular V, o triedro de vértice V é trirretângulo, e as arestas V, V e V têm comprimentos iguais. O cosseno do ângulo diedro, formado pelas faces e V, vale, aproximadamente: 0, 0,50 0,58 0,71 e) 0, alcule a aresta do tetraedro que se obtém unindo-se os baricentros das faces de tetraedro regular de cm de aresta. M_V_MT_ (Unificado) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 0cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 1cm e apótema da base medindo 5cm. pós se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 1

26 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09

27 M_V_MT_09. Não, pois as faces laterais seriam 6 triângulos equiláteros; em torno do vértice da pirâmide teríamos 6 x 60 = 60 ; portanto, as faces laterais estariam contidas no plano da base l 6 9. V = 1 000cm F = 5 V = = faces triangulares; 5 faces heptagonais cubos 50 cm cubos. cm, 4cm e 8cm. a cm 46. a sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, 47.

28 4 sse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IS RSIL S/, M_V_MT_09