Análise Discriminante

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1 MAE 0330 ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS Anáse Dscrmnante Júa M Pavan Soer avan@me.us.br Sem/06

2 Anáse Mutvarada de Dados G Varáves Undades Amostras j j j n n n nj n nx(+) G j j n n n nj n n=n +n Objetvos: Dscrmnação: obter funcões das varáves que dscrmnem as observações em ruos função dscrmnante. Cassfcação: Obter funções das varáves que ermtam cassfcar novas observações em um de ruos. ANÁLISE DISCRIMINANTE

3 Anáse Dscrmnante Pouações: P e P Varáves Objetvo Insttuções Com ou Sem robemas 5 ndcadores fnanceros Anáse de Rsco Audtora Centes Bons ou Runs Sóco-econômcas, escoardade, Concessão de crédto a centes Genótos dos acentes (aa, Aa, AA) Bométrcas, resstênca, rodução Identfcação de fenótos mortantes Dê exemos de stuações com mas de ruos.

4 Anáse Dscrmnante Hemofícos - Hemofícos + Gruo o(ahf atv) o(ahf ant) Gruo o(ahf atv) o(ahf ant) -0,0056-0,657-0,3478 0,5-0,698-0,585-0,368-0,008-0,3496-0,879-0,368-0,086-0,0894 0,0064-0,4986-0,984-0,8-0,7-0,744 0,89-0,0997-0,0733-0,4055-0,48-0,97-0,0607-0,444 0,64-0,0867-0,056-0,4784 0,08 Johnson and Wchern, 99, Tabea.8) Objetvo: Obter uma função dscrmnante ara ruos de muheres que carream ou não enes da hemofa com base na atvdade da roteína AHF e de seu antíeno. Com base na função dscrmnante cassfque uma muher com meddas de AHF uas a: ( -0, -0,037)

5 Anáse Dscrmnante Banco Condção 3 4 B 0,8888 0,739,055 0,3938 B,6655 0,768 0,878 0,0004 B3, 0,966 0,949 0,34 B4,435 0,933 0,9577 0,35 B5,44 0,00,045 0,3966 B6,9 0,497,034 0,3095 B7,5895 0,593,0453 0,557 B8,37 0,46,0448 0,348 B9,8847 0,388 0,9864 0,0337 B0 0,59 0,9473,44 0,8 n Méda,485 0,580,007 0,73 D.P. 0,533 0,39 0,0674 0,76 B 0,49 0,366,7 0,68 B,447 0,0589 0,909 0,355 B3 0,5438 0,5358,03 0,48 B4 0,904 0,7087 0,997 0,65 B5 0,0 0,7378,58 0,0783 B6,006 0,04,03 0,086 B7 0,3 0,934 0,9753 0,0045 B8 0,909 0,634,44 0,5485 B9,9757 0,3395 0,9997 0,075 B0 0,776 0,339,077 0,957 n Méda 0,86 0,4,08 0,793 D.P. 0,7 0,3055 0,76 0,567 Condção: : Com robemas : Sem robemas Objetvo: Obter uma função de dscrmnação com base nas 4 varáves de ndcadores econômcos

6 Anáse Dscrmnante,0 0,8 Darama de Dsersão dos Bancos Condção 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Como as nsttuções bancáras de G e de G odem ser dentfcadas? Usando somente a varáve? Usando somente a varáve? Usando ambas, varáve e?

7 Anáse Dscrmnante,0 0,8 Darama de Dsersão dos Bancos Condção 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Como as nsttuções bancáras odem ser dentfcadas com base nas duas varáves e? Você acha ossíve obter aum outro exo de modo que as ouações ossam ser dscrmnadas?

8 Anáse Dscrmnante,0 0,8 Darama de Dsersão dos Bancos Condção 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Reresentação de um tercero exo (em azu) onde as nsttuções bancáras são mehor dscrmnadas (nearmente). Função Dscrmnante (near) de Fsher: obter um novo exo ara dscrmnar ruos. Este exo é uma combnação near das varáves ornas, onde as ouações odem ser mehor dferencadas.

9 Anáse Dscrmnante Notação (x) : vetor de varáves vndo de uma dentre duas ouações e ( ) E ( ) E ( ) Cov Cov ( ) : vetor de médas de uma observação mutvarada de : matrz de covarânca de uma observação mutvarada de Dados: Suonha que de cada ouação, e, seja seeconada uma amostra aeatóra de tamanho n e n, resectvamente.

10 Anáse Dscrmnante = (x) Método de Fsher ara Duas Pouações ) ( ) E ( E Cov Cov ( ) ( ) Suosção Matrzes de covarâncas homoêneas E E E Var Obter a combnação near das varáves que mehor dscrmne as duas ouações, sto é, que maxmze a razão (dferença entre as médas em undades de desvo adrão): Dstânca ao quadrado entre as médas de Varânca de

11 Anáse Dscrmnante Método de Fsher obter, ta que, o máxmo desta razão seja atndo Área comum: reão de dfíc dscrmnação Stuações favoráves: Médas mas afastadas Reresentação sob a suosção de Normadade. varânca equena

12 (x) Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Duas Pouações E E E Var Desuadade de Cauchy-Schwarz d M Dstânca de Mahaanobs é a função dscrmnante near de Fsher

13 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Duas Pouações Desuadade de Cauchy-Schwarz: b' d b' bd ' d ( se b d; d b) - b' d b' Abd ' A d ( se b A d; d Ab) ' ' se

14 Anáse Dscrmnante Método de Fsher (x) E E E Var função dscrmnante near de Fsher Para dados amostras: c S n n S n S n S c

15 Anáse Dscrmnante Gráfco de dsersão das observações. Indcação da função dscrmnante (exo ),0 0,8 0,6 0,4 0, Darama de Dsersão dos Bancos Condção d M A função dscrmnante é obtda de ta forma que a dstânca de Mahaanobs entre os centródes dos dos ruos no exo é máxma ossíve! 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Note que: m S c

16 Anáse Dscrmnante Banco Condção 3 4 B 0,8888 0,739,055 0,3938 B,6655 0,768 0,878 0,0004 B3, 0,966 0,949 0,34 B4,435 0,933 0,9577 0,35 B5,44 0,00,045 0,3966 B6,9 0,497,034 0,3095 B7,5895 0,593,0453 0,557 B8,37 0,46,0448 0,348 B9,8847 0,388 0,9864 0,0337 B0 0,59 0,9473,44 0,8 n Méda,485 0,580,007 0,73 D.P. 0,533 0,39 0,0674 0,76 S,485 0,58 0,64 0,66 0,84-0,07-0,07 0,0 0,86 0,44 B 0,49 0,366,7 0,68 B,447 0,0589 0,909 0,355 B3 0,5438 0,5358,03 0,48 B4 0,904 0,7087 0,997 0,65 B5 0,0 0,7378,58 0,0783 B6,006 0,04,03 0,086 B7 0,3 0,934 0,9753 0,0045 B8 0,909 0,634,44 0,5485 B9,9757 0,3395 0,9997 0,075 B0 0,776 0,339,077 0,957 n Méda 0,86 0,4,08 0,793 D.P. 0,7 0,3055 0,76 0,567 S S c 0,506-0,64-0,64 0,09 0,395-0,7-0,64 0,096 S 3,74 5, 79 c

17 Anáse Dscrmnante Função Dscrmnante Lnear de Fsher Cassfcação de Observações c S S m c Rera de aocação: Ponto médo m entre as duas médas unvaradas dos dos ruos: 0 0 aocar 0 em aocar 0 em

18 Anáse Dscrmnante Banco Condção Função Dscr Cassfcação B 7,3 B 9,6 B3,48 B4 9,9 B5 7,0 B6 6,74? B7 6,68 B8 6,7 B9 8,39 B0 7,3 B 3,4 B 5,06 B3 4,84 B4 4,67 B5 4,58 B6 6,8? B7 6,04 B8 3,89 B9 8,4 B0 4, ,68 Condção Condção Como os bancos são cassfcados? Qua a taxa de acerto?

19 Anáse Dscrmnante Banco Condção Função Dscr Cassfcação B 7,3 B 9,6 B3,48 B4 9,9 B5 7,0 B6 6,74 B7 6,68 B8 6,7 B9 8,39 B0 7,3 B 3,4 B 5,06 B3 4,84 B4 4,67 B5 4,58 B6 6,8 B7 6,04 B8 3,89 B9 8,4 B0 4, ,68 Condção Condção Como os bancos são cassfcados? Qua a taxa de acerto? %

20 Anáse Dscrmnante Dados HATCO: Lançamento de Produto Gruos 3 Gruo : Consumdores Méda 7,4 6,8 4 Gruo : Não Consumdores Méda 3, 4,4 3,8 Dferença entre Médas 4,,4 0, A varáve é a que mas dscrmna os dos ruos e 3 é a que menos dscrmna (em méda) Consdere as seuntes funções dscrmnantes:, + e a de Fsher

21 Anáse Dscrmnante Dados HATCO: Lançamento de Produto Dsersão dos 0 centes nas var. e Dsersão dos 0 centes nas var. e de acordo com o ruo de consumdores

22 Anáse Dscrmnante Gruos + =,36+,03 Gruo -m 8 7 0,5 7, 6 3 5,37, ,78 6, ,36 3, ,68 0,73 Méda 7,4 4, 7,07 4, Gruo ,9 -, ,9 -, ,59 -, ,84-6, 0 4 4,78-8,7 Méda 3, 7,6 8,88-4,07 m 5,3 0,9,95 0 Obtenha o ruo redto de cada observação Avae as cassfcações obtdas ara cada função dscrmnante Por que a soução de Fsher é ótma? m Gr < m Gr (-m) 0 Gr (-m) < 0 Gr m: méda das médas

23 Anáse Dscrmnante - Exemo Hemofícos - Hemofícos + Gruo o(ahf atv) o(ahf ant) Gruo o(ahf atv) o(ahf ant) -0,0056-0,657-0,3478 0,5-0,698-0,585-0,368-0,008-0,3496-0,879-0,368-0,086-0,0894 0,0064-0,4986-0,984-0,8-0,7-0,744 0,89-0,0997-0,0733-0,4055-0,48-0,97-0,0607-0,444 0,64-0,0867-0,056-0,4784 0,08 (Johnson and Wchern, 99, Tabea.8) Objetvo: Obter uma função dscrmnante ara ruos de muheres que carream ou não enes da hemofa com base na atvdade da roteína AHF e de seu antíeno. Com base na função dscrmnante cassfque uma muher com meddas de AHF uas a: ( -0, -0,037)

24 Anáse Dscrmnante Exemo: Dados dos ruos de acentes Hemofícos (carreadores do ene) e não Hemofícos (Normas) S c S c m 4. 6 m Normas < m Hemof.

25 (x) Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações ( ) E ( ) E... ( ) E Cov Cov ( ) ( )... ( ) Cov Suosção... E... E E Var ara todas as ouações Para ouações há nteresse em obter uma reresentação da ouação tota que envova oucas combnações neares,..., ; mn(, ),

26 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Re-escrevendo o Crtéro ara Duas Pouações: Crtéro ara Mutas Pouações (estender o somatóro ara ruos): B j j As funções dscrmnantes são obtdas a artr dos autovetores da matrz, ta que, B ), mn( ;,...,, Maxmzar a soma de quadrados Entre reatvamente à soma de quadrados dentro.

27 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Crtéro ara Mutas Pouações (): j j B As funções dscrmnantes,,..., ; mn(, ) a artr dos autovetores da matrz B, ta que, I são obtdas / / B e B : têm os mesmos autovaores Matrz smétrca: autovetores P Os autovetores são dados or: / P

28 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Consderando Dados Amostras: S B B c ˆ n j j j c n S n n S Matrz de covarânca comum: covarâncas DENTRO de ruo Matrz de covarâncas ENTRE ruos n B ˆ Stuação dea ara dscrmnação: varáves com covarâncas ENTRE e DENTRO de snas contráros!

29 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Consderando Dados Amostras: B S Bˆ c n nn ( n ) j j j As funções dscrmnantes,,..., ; mn(, ) são obtdas a artr dos autovetores da matrz Bˆ S c Para esaços dscrmnantes b-dmensonas (=), a dscrmnação das observações ode ser vsuazada or meo de ráfcos de dsersão de x

30 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Procedmento de Cassfcação baseado nas funções dscrmnantes: r j j j r j j rj j Aocar a observação 0 à ouação r se a dstânca ao quadrado entre 0 e o centróde do ruo r, r, for menor que a dstânca ao quadrado entre 0 e o centróde dos demas ruos (, ara todo r), sto é, se (na amostra): j j j, mn j j j j...,...,......

31 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Observação Gruo G : ~ N ; Obtenha as funções dscrmnantes de Fsher. Qua o vaor de? Cassfque as 9 observações de acordo com a função dscrmnante. Avae a cassfcação obtda. Há erro de cassfcação? Construa o ráfco de dsersão x. Interrete a soução de Fsher.

32 Anáse Dscrmnante 7,5 Gráfco de Dsersão das Observações Normas Bvaradas 4 5,0 5, ,0 8 -, , Obtenha as funções dscrmnantes que mehor searam os três ruos.

33 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações B Observação Gruo , 66 3 Cov(,) Entre-ruos S c 3 S 4 S 0 3 S 3 S 3 S S ,33 Médas das médas! 0,33 4 0,67 Cov(,) Dentro-ruos 0,385 0,938 0,385 0,495 S c B P 0, ,938 0,

34 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Dstâncas das observações (,) ao centróde de cada ruo Observação Gruo G G G3-5,705 -, ,485-0,336? 3-0, -, ,97-0,67 5 4,75,48? 6,375 0, ,605, ? ,365-0,49 Cass???,0,37 0,99,7 0,49 0, Cacue as dstâncas entre as obs e o centróde de cada ruo Matrz de Cassfcação Verd\Pred 3 Tota 3? 3 3 3

35 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Observação Gruo S 4 S 0 3 S ,67 Funções Dscrmnantes: 0,385 0,495 0,938 0, Cassfque a observação: x = ( 3) ˆ 0,385 0,4953, 87 0,938 0,3 0, 60 ˆ x G,0,37 0,99,7 0,49 0, j rj j G: d G : d G3 : d 3 (,87,0) (,87.37) (,87 0,99) (0,60,7) (0,60 0,49) (0,60 0,) 4,09 0,6 8,3

36 Anáse Dscrmnante Método de Fsher ara Mutas Pouações Observação Gruo G G G3-5,705 -,436,74 9,000 4,34 0 3,485-0,336,09,457 6,49 3-0, -,05,09 7,457, ,97-0,67 3,857,74 6, ,75,48 0,09,09 5,49 6,375 0,74 4,09,09 5, ,605,6 8,89 9,57, ,89 5,89, ,365-0,49,600 3,34,400 Cass 3 3 3,0,37 0,99,7 0,49 0, Cacue as dstâncas entre as obs e o centróde de e %CassCorr=00,00 Matrz de Cassfcação Verd\Pred 3 Tota

37 Anáse Dscrmnante Locaze as observações aos ruos redtos eas funções dscrmnantes.

38 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Soução de Fsher: Função Dscrmnante Lnear (x) ; S c Dscuta o crtéro de Fsher! m d m?? Observações de cassfcadas em Observações de cassfcadas em Buscar crtéros mas fexíves dferentes custos de cassfcação errada!

39 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Duas Pouações Suosção: Uma amostra é seeconada de cada uma das ouações, e, de tamanho n e n, resectvamente. Para dscrmnar as observações de cada ouação, uma aternatva é artconar o esaço amostra em duas reões, R e R, que favoreçam as ouações e, resectvamente, ta que, ara a observação 0 tem-se: 0 R 0 R a observação é de a observação é de Como determnar R e R?

40 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Notação e Defnções Erro de cassfcação devdo a reões de sobreosção nas ocorrêncas das observações vndas de e Cada erro de cassfcação tem uma ravdade esecífca: as consequêncas de se cometer um to de erro ode ser mas rave do que as de outro erro construr um crtéro dscrmnante que atrbua um custo de cassfcação errada ara cada to de erro: c ( ), c ( ) A robabdade de uma observação ertencer a uma ouação ode ser muto maor do que a robabdade dea ertencer a outra: como é o caso de ouações de tamanho dferente ncororar ao crtéro dscrmnante robabdades a ror de uma observação ertencer a cada ouação:, ; += Obter R e R que conduza ao menor custo eserado de cassfcação errada!

41 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Soução de Fsher: Função Dscrmnante Lnear S (x) ; c crtéro usando m atrbu mesma robabdade de cassfcação errada quaquer que seja a ouação. observações de cassfcadas em m Observações de cassfcadas em ara dferentes custos de cassfcação errada, ou no caso de tamanhos ouaconas desuas, é necessáro desocar m na dreção de taxa de erro tota mínmo

42 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Notação Probabdades de Cassfcação Predto Verdade P(,) P(,) P(,) P(,) Custos de Cassfcação Predto Verdade 0 c( ) c( ) 0 É natura o nteresse em mnmzar Custo Eserado de Cassfcação Errada (CECE).

43 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Probabdade de Cassfcação Predto Verdade P(,) P(,) P(,) P(,) Probabdades a ror de ocorrênca de observações de cada ouação. P P P P, P e ser cassfcada em P, P e ser cassfcada em P, P e ser cassfcada em P, P e ser cassfcada em P

44 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Probabdade de Cassfcação Predto Verdade P(,) P(,) P(,) P(,) Notação Custo de Cassfcação Predto Verdade 0 c( ) c( ) 0, P P, P P, P P, P P Loo, o custo eserado de cassfcação errada (CECE) é dado or: CECE c c P, c P, P c P Obter R e R que mnmzem CECE

45 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações x Função densdade de robabdades: Notação Probabdades a ror: x f x f x P P R f x dx Probabdade de Cassfcação Errada: P R R P R f x dx R R P P R f x dx Probabdade de Cassfcação Correta: P R R P R f x dx R R

46 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Mnmzar o custo eserado de cassfcação errada: CECE c c c P c P f x dx c f x dx R c f x c f x R R dx Somando e subtrando c f x dx R tem-se: 0 mínmo CECE R e R são conjuntos de vaores ara os quas: R : f f x x c c R : f f x x c c

47 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Normas,, ex / / x f Função densdade de robabdades: Rera de Dscrmnação ara Pouações Normas Cassfcar uma observação em se ertencer à reão R dada or: n : c c R n onde, R é dada eo comementar de R em. Função Dscrmnante Quadrátca (função quadrátca de ) ) ; ( N

48 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Normas Rera de dscrmnação n ˆ c c S S S S n ˆ S S S S onde, Na rátca os arâmetros da função quadrátca são substtuídos or suas estmatvas Aocar x 0 em se Aocar x 0 em caso contráro Função dscrmnante quadrátca 0 Crtéro fexíve ara heterocedastcdade

49 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Normas ;, ; ~ N Suosção: Rera de dscrmnação Aocar x 0 em se S S c 0 c c n c Aocar x 0 em caso contráro Note que a função dscrmnante 0 é near em 0

50 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Normas Aocar x 0 em se S S c Aocar x 0 em caso contráro Usando a notação de Fsher: O termo c n c 0 ;, ; ~ N y c 0 c m n c c n c mede o quanto o mte de Fsher se desoca consderando dferentes custos de cassfcação errada e robabdades a ror

51 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação - Caso de Duas Pouações Normas Função Dscrmnante Lnear ;, ; ~ N Aocar x 0 em se y 0 c m n c Aocar x 0 em caso contráro m observações de cassfcadas em Observações de cassfcadas em Se os custos e as rors são uas função dscrmnante near de Fsher Se c( ) > c( ) e = o mte é desocado ara a esquerda Se < e c( )=c( ) o mte é desocado ara a dreta

52 Anáse Dscrmnante Banco Condção 3 4 B 0,8888 0,739,055 0,3938 B,6655 0,768 0,878 0,0004 B3, 0,966 0,949 0,34 B4,435 0,933 0,9577 0,35 B5,44 0,00,045 0,3966 B6,9 0,497,034 0,3095 B7,5895 0,593,0453 0,557 B8,37 0,46,0448 0,348 B9,8847 0,388 0,9864 0,0337 B0 0,59 0,9473,44 0,8 n Méda,485 0,580,007 0,73 D.P. 0,533 0,39 0,0674 0,76 B 0,49 0,366,7 0,68 B,447 0,0589 0,909 0,355 B3 0,5438 0,5358,03 0,48 B4 0,904 0,7087 0,997 0,65 B5 0,0 0,7378,58 0,0783 B6,006 0,04,03 0,086 B7 0,3 0,934 0,9753 0,0045 B8 0,909 0,634,44 0,5485 B9,9757 0,3395 0,9997 0,075 B0 0,776 0,339,077 0,957 n Méda 0,86 0,4,08 0,793 D.P. 0,7 0,3055 0,76 0,567 Condção: : Com robemas : Sem robemas Objetvo: Obter uma função de dscrmnação com base nas 4 varáves de ndcadores econômcos Obtenha a função dscrmnante near e quadrátca Quas suosções estão míctas em cada caso?

53 Anáse Dscrmnante Dados dos Bancos 0,73,007 0,580,486 0,03 0,004 0,0 0,008 0,005 0,004 0,0 0,0 0,070 0,84 S 0,79,08 0,44 0,86 0,05 0,00 0,06 0,0 0,030 0,04 0,05 0,09 0,64 0,505 S 0,08 0,003 0,09 0,00 0,07 0,005 0,036 0,096 0,7 0,395 S c

54 Suosção: Anáse Dscrmnante Dados dos Bancos Custos de cassfcação Errada e Prors uas ara as ouações Função Dscrmnante Lnear de Fsher y ;, ; ~ N c n c 0 m y0 c m n c S S y0 c 0 m c c n c 0 0 4,73 8,80 0, ,6 4,933

55 Suosção: Anáse Dscrmnante Dados dos Bancos Custos de cassfcação Errada e Probabdades a Pror uas ara as ouações Função Dscrmnante Quadrátca 0 ;, ; ~ N ˆ c S S S S n 0 0 c y 0 0,4 9,33 38,94 4,535 38,603 7,076 04, , , , , , ,776 3, ,36 3 4

56 Anáse Dscrmnante Dados dos Bancos Banco Condção Rera Lnear Rera Quadrátca Gruo Gruo B 3,336 6,39 B,70 4,08 B3 0,3 7,94 B4 5,85 3,043 B5,403,86 B6,45 3,046 B7 3,46 6,8 B8,539 3,359 B9 0,635,47 B0,,5 B -4,74 -,808 B -3,57-5,3 B3 -,54 -,33 B4 -,3-4,80 B5 -,86-39,07 B6 -,86 -,397 B7 -,4-3,083 B8-0,79 0,73 B9 0,945,4 B0 -,484 -,75 Qua anáse deve ser adotada? Justfque.

57 Dados dos Bancos Banco Condção Gruo Gruo B 3,336 6,39 B,70 4,08 B3 0,3 7,94 B4 5,85 3,043 B5,403,86 B6,45 3,046 B7 3,46 6,8 B8,539 3,359 B9 0,635,47 B0,,5 B -4,74 -,808 B -3,57-5,3 B3 -,54 -,33 B4 -,3-4,80 B5 -,86-39,07 B6 -,86 -,397 B7 -,4-3,083 B8-0,79 0,73 B9 0,945,4 B0 -,484 -,75 Anáse Dscrmnante Rera Lnear Rera Quadrátca Qua anáse deve ser adotada? Justfque. Ambos os resutados assumram rors e custos de cassfcação errada uas ara os dos ruos. Função dscrmnante near assume matrzes de covarâncas homoêneas Função dscrmnante quadrátca é mas fexíve e ermte a heteroenedade (mas a função de dscrmnação não tem uma exressão smes) A taxa de erro de cassfcação fo maor ara a função quadrátca. Reazar um teste da uadade das matrzes de covarânca e decdr ea função near de Fsher no caso da não rejeção da hótese em teste (Ver teste de Box em Marda, 979).

58 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações Para a ouação : =,,, ; x f c Probabdades a ror Função densdade de robabdades Custo de cassfcar em uma obs de Objetvo: Mnmzar o custo eserado de cassfcação errada: P c P c P c CECE CECE CECE CECE

59 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações Obter Reões de =f() que mnmzem o custo eserado de cassfcação errada: CECE CECE CECE... CECE c P As Reões de Cassfcação que mnmzam CECE são defndas or aocar à ouação, =,,,, que atne o mínmo do erro de cassfcação, dado or: f c Se um emate ocorrer, ode ser cassfcado em quaquer das ouações de emate.

60 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações As Reões de Cassfcação que mnmzam CEEC são defndas or aocar à ouação, =,,,, que atne o mínmo do erro de cassfcação, dado or: f c Loo, se todos os custos são uas, devemos aocar à ouação se: f f,..., ; ou, equvaentemente: n f n f,..., ;

61 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações Aocar a se: f f ;,..., n n Caso Eseca: N ~ ; x f,,...,, ex / / x f x f n max n n n n x d Q,..., n n Defne-se Escore Dscrmnante Quadrátco ara a -ésma ouação:

62 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações n f n f,..., ; N ~ ; Aocar a se o escore quadrátco d Q x é maor que os demas onde d Q x n n,..., Se ~ N ;, sto é,... d Q x d x n,..., Escore dscrmnante near ara a ouação

63 Anáse Dscrmnante Probema Gera de Cassfcação Caso de Mutas Pouações N ~ ; n n ; ~ N n escore dscrmnante quadrátco máxmo x d Q x d escore dscrmnante near máxmo O Escore Dscrmnante near ode ser comarado ara duas ouações, de ta modo que, a condção é maor, fca equvaente a: x d x d x d n 0 n Aocar a se:

64 Anáse Dscrmnante Vadação de uma Função de Cassfcação Amostra Matrz de Cassfcação Predto Verdade n c n M n n M n c n Taxa de Erro Aarente (roorção de tens ma cassfcados) é dada or: APER n n M n n M AER R f ( x) dx f( x) dx R APER subestma a verdadera roorção de erro de cassfcação AER Partconar os dados em amostra de trenamento e amostra de vadação Método de Cross-vadação

65 Anáse Dscrmnante Vadação de uma Função de Cassfcação Amostra Aortmo de Cross Vadação. Ince com as observações de. Omta uma obs deste ruo e obtenha a função de cassfcação baseada nos remanescentes n- e n observações. Cassfque a obs omtda usando a função cacuada no asso 3. Reetr os assos e até que todas as obs de tenham sdo cassfcadas. Cacue o número de erros de cassfcação neste ruo 4. Reta os assos de a 3 ara as observações do ruo. Taxa de Erro de Cassfcação eserada é dada or: Eˆ( APER) n Cross M n n n Cross M

66 G Anáse Dscrmnante Padronzação de Varáves Varáves Undades Amostras j j j n n n nj n S G j j n n n nj n S Na AD a adronzação das varáves é usada com a fnadade de factar a nterretação dos esos das varáves na função dscrmnante e no cácuo de m. O R usa a adronzação das varáves ara cacuar as funções dscrmnantes. A adronzação da varáve j avaada no ndvíduo do ruo é dada or: * j j s j j Méda era da varáve j: j n n n S c j

67 Anáse Dscrmnante Consdere os dados a seur em que duas varáves foram observadas em três ndvíduos do ruo e em três ndvíduos do ruo : 4 3 G G Cacue a função dscrmnante de Fsher ara a dferença entre os ruos. Qua é a rera de cassfcação de observações? Que suosções são fetas?. Cacue também o escore dscrmnante ara cada ruo va o método era de cassfcação. Suonha que =. E se é duas vezes? 3. Cacue a taxa observada de erro de cassfcação. Cassfque a observação (4,7). 4. Cacue a taxa de erro de cassfcação va vadação cruzada. 5. Cassfque as observações em dos ruos va o método de aruamento de Ward. Comare os resutados. 6. Obtenha a função dscrmnante ara os dados adronzados.

68 Gráfco de Dsersão ,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Gruo =-0,33+0,67 *=0,33+0,67-4,54 =7,33+4,33-3,67 =7,67+3,67-8,7 Gruo Pred 7,38,84 33,95 3, 4 0 5,38 0,84 39,95 39, 3 8 4,37-0,7 3,96 4, 5 7 3,04 -,5 34,9 35, ,04 0,5 8,9 7,87 4 5,03 -,5 8,3 0,86 m=4,54 Soução usando acote da do R : vaores estão normazados ara ter varânca LD = * * LD= -m; m=(( )+(-.8))/= LD-m <= 0 ruo, cc ruo > ft.vaues$cass []

69 m S S m S c c c * ; c c S S

70 ##Comandos R #Anáse dscrmnante dat<-matrx(c(,4,3,5,3,4,,0,8,7,9,5,,,,,,),6,3) xbar<-comeans(dat[,:]) xbar<-comeans(dat[:3,:]) xbar<-comeans(dat[4:6,:]) cov<-cov(dat[:3,:]) cov<-cov(dat[4:6,:]) brary(botoos) mt<-boxm(dat[,-3],dat[,3]) brary(dscrmner) ftda<-nda(dat[,-3],dat[,3]) brary(mass) ##outra aternatva de anase ft<- da(dat[,3] ~ dat[,] + dat[,],ror=c(,)/) ft.vaues <- redct(ft, data.frame(dat[,:])) ft.vaues$x ft.vaues$cass ct <- tabe(dat[,3],ft.vaues$cass) #tabea com as cassfcações da(ro.tabe(ct, )) # % de cassf correta sum(da(ro.tabe(ct))) ft$svd # (SSB-\ambda SSW)a=0 mv<-areate(ft.vaues$x, data.frame(dat[,3]), FUN=mean) comeans(mv[])

71 ##Comandos R #Anáse de aruamento d <- dst(as.matrx(dat[,:])) d hc <- hcust(d) hc ot(hc, man= "Dendrorama - Exemo", xab="ndvíduos", sub="ward - Dst. Eucdana") rect.hcust(hc, =, border = "red") hc<- hcust(dst(mode.matrx(~- + V+V, as.data.frame(dat))),method="ward") hc ot(hc, man= "Dendrorama - Exemo", xab="ndvíduos", sub="ward - Dst. Eucdana") rect.hcust(hc, =, border = "red") brary(rahcs) c <- means(dat[,:], ) names(c) ot(dat[,:], co = c$custer, man="aruamento - K-Médas") onts(c$centers, co = :, ch = 8, cex = )

72 Heht dat[, :][,] Dendrorama - Exemo Aruamento - K-Médas ndvíduos Ward - Dst. Eucdana dat[, :][,]

73 Anáse Dscrmnante Temas ara Dscussão. A Anáse Dscrmnante ode ser usada em conjunto com a anáse de aruamento. O método de Ward (consderando a varáves redtoras) seue o mesmo crtéro da AD na construção dos ruos maxmzar a varânca ENTRE ruos e mnmzar a varânca DENTRO do ruo.. A Anáse Dscrmnante tem equvaêncas com a anáse de Reressão Loístca na dscrmnação de dos ruos aesar das remssas ara estmação da função dscrmnante não serem as mesmas. 3. A AD tem equvaêncas com a anáse de Comonentes Prncas na obtenção da combnação near ótma das varáves, aesar do crtéro de otmzação ser dferente.

74 Anáse de Comonentes Prncas Anáse Dscrmnante max max b w j P ; P j j P N j j N j b P j P j ; b j j j w j j j j j w P N j j j j j ; j N j j

75 Teste da Iuadade de Matrzes de Covarânca Σ Σ Σ Σ Σ μ G n H N... : ; ~,...,, 0 n n S Teste M de Box: ) )( ( ~ n n ) ( G G c G S n S n c B ) )( 6( 3 G n c G n n n S n S n S n c... ) (... ) ( ) ( S

76 No R brary(botoos) Data(rs) covtest<-boxm(rs[,-5],rs[,5]) covtest names(covtest) covtest$ooed