Probabilidade e avaliação de testes diagnósticos

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1 robabldade e avalação de testes dagnóstcos Introdução: É conhecdo que fumar causa câncer de pulmão e doenças do coração. rovavelmente você já ouvu alguém dzer: Fulano fumou a vda toda e morreu velho sem câncer de pulmão. onsdere o segunte estudo: dos grupos de ndvíduos, um de fumantes e outro de não fumantes, são observados ao longo do tempo com relação à varável desenvolvmento da doença. ara cada ndvíduo podemos observar duas respostas: desenvolveu a doença ou não desenvolveu a doença. O estudo deste tpo de stuação requer tratamento probablístco. oncetos báscos: a Expermento aleatóro: rocesso de coleta de dados relatvos a um fenômeno que acusa varabldade em seus resultados. Seus resultados possíves são conhecdos, mas não se pode saber a pror qual deles ocorrerá. Vamos denotá-lo por ε. Exemplo: ε = dagnostcar um pacente resultado: doente ou sado. b Espaço amostral: onjunto de todos os resultados possíves de um expermento aleatóro. Vamos denotá-lo por Ω. Exemplo: ε = dagnostcar um pacente Ω = {D, S}, onde D = doente e S = sado c Evento: Subconjunto do espaço amostral. São representados por letras maúsculas e seus elementos por letras mnúsculas Exemplo: ε = lassfcar o grau de desnutrção de uma crança em grau I, II e III Ω = {I, II, III} Eventos: = {I}, B = {II}, = {III}, D = {I, II}, E = {I, III}, F = {II, III} Tpos de eventos: Evento smples: contém apenas um elemento de Ω. Evento certo ou certeza: contém todos os elementos de Ω. Se o evento = Ω é um evento certo. Evento mpossível: não contém elementos. É gual ao conjunto vazo. Evento unão U B: o evento unão B é formado pelos elementos que estão em ou em B ou em ambos ocorrênca de, ou de B, ou de ambos. Evento ntersecção B: o evento nterseção B é formado pelos elementos que estão em e em B ao mesmo tempo ocorrênca smultânea de e B. Evento complementar: omplementar de = negação de, contém todos os elementos do espaço amostral que não pertencem ao evento. É denotado por ou Eventos mutuamente excludente dsjuntos: quando não exstr ntersecção entre eles. e B são dsjuntos B =. Exemplo: Suponha que o espaço amostral seja formado pelos nteros postvos de a 0. Sejam os eventos: = {, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e = {5, 6, 7}. B = = evento smples, B = = o evento ntersecção é um evento mpossível. e são eventos dsjuntos. B =

2 Dagrama de Venn De manera nformal, probabldade é uma medda que quantfca a ncerteza presente em determnada stuação, ora usando um número, ora usando uma função matemátca. No caso do câncer de pulmão, é convenente dspormos de uma medda que exprma essa ncerteza em termos de uma escala numérca que vare do mpossível ao certo. Esta medda é a probabldade. Defnção clássca: Seja um evento qualquer do espaço amostral. Se os eventos smples são equprováves, sto é, eles têm a mesma chance de ocorrer, podemos calcular a probabldade de como: número de resultados favoráves à ocorrênca do evento número de resultados possíves do expermento n n Exemplo: Seja o expermento aleatóro jogar um dado e observar a face de cma. = {,, 3, 4, 5, 6}. Seja o evento o número é par, = {, 4, 6} n = 6 e n = 3. Se o dado for honesto, todas as ses faces têm a mesma probabldade de saírem para cma. ssm, a probabldade do evento é dada por = n / n = 3/6=0,5. orém, na maora das stuações prátcas, os eventos smples do espaço não são equprováves e não podemos calcular probabldades usando a defnção clássca. Neste caso vamos calcular probabldades como a freqüênca relatva de um evento. Defnção frequentsta: roporção de vezes que um evento ocorre em uma sére sufcentemente grande de realzações de um expermento, em condções dêntcas. Se é o evento de nteresse, a probabldade de é dada por: número de vezes que n número total de repetções do expermento n onde o número de repetções deve ser grande.

3 Exemplo : Uma amostra de 6800 pessoas de uma determnada população fo classfcada quanto à cor dos olhos e à cor dos cabelos. Os resultados foram: Tabela : lassfcação de uma amostra de 6800 pessoas quanto à cor dos olhos e dos cabelos or dos cabelos or dos olhos Loro astanho reto Ruvo Total zul Verde astanho Total onsdere o expermento aleatóro que consste em classfcar um ndvíduo quanto à cor dos olhos. Ω = {, V, }, onde: = {a pessoa tem olhos azus}, V = {a pessoa tem olhos verdes} e = {a pessoa tem olhos castanhos}. Os eventos não são equprováves: = nº de pessoas de olhos azus / nº de pessoas na amostra = 8/6800 = 0,434 Exemplo : suponha que desejássemos conhecer a probabldade de uma pessoa estar nfectada com a bactéra H. pylor. O expermento aleatóro consste em seleconar uma pessoa do grupo de nteresse e verfcar um dos resultados possíves: está nfectada ou não está nfectada. Estes dos eventos do espaço amostral não têm a mesma probabldade de ocorrênca, o que mpossblta o uso da defnção clássca de probabldade. través do exame de uma grande amostra de pessoas, usaremos a defnção frequentsta e estmaremos a probabldade de uma pessoa estar nfectada com a H. pylor usando a freqüênca relatva de pessoas nfectadas nessa amostra. ropredades da probabldade: 0 para qualquer evento Ω = 3 Se e B são dsjuntos, então: U B = + B 4 Se e B são dos eventos quasquer, então: U B = + B B 5 3

4 Exemplo: onsderando os dados da Tabela, qual a probabldade de um ndvíduo ter olhos azus ou cabelos loros? U L = + L B = 8/ / /6800 = 387/6800 = 0,5694 robabldade condconal: Mutas vezes, o objetvo é calcular a probabldade de um evento restrto a determnada condção, ou seja, a probabldade de um evento condconada a ocorrênca de outro. probabldade de um evento ocorrer dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada probabldade condconal do evento dado B. Ela é denotada por B e calculada por: B B, se B 0 B Esta expressão pode ser reescrta como: no cálculo de probabldades. B B B, chamada de regra do produto e é muto usada probabldade de ocorrer dado que o evento B ocorreu será: B B Exemplo: Um grupo de pessoas fo classfcado quanto a peso e pressão arteral de acordo com as proporções mostradas abaxo: Tabela : Dstrbução de um conjunto de pacentes segundo peso e pressão arteral eso ressão arteral Excesso Normal Defcente Total Elevada Normal Total a Qual a probabldade de uma pessoa escolhda ao acaso naquele grupo ter pressão elevada? b onsderando que a pessoa escolhda tem excesso de peso, qual a probabldade dela ter pressão elevada? c onsderando que a pessoa escolhda tem excesso de peso, qual a probabldade dela não ter pressão elevada? Solução: Eventos: = pressão elevada, B = pressão normal, = excesso de peso, D = peso normal e E = peso defcente 4

5 00 a = 00/000 = 0,0, b = , ,40 0,60 Eventos ndependentes: Dos eventos e B são ndependentes se o fato de um deles ter ocorrdo não altera a probabldade de ocorrênca do outro, sto é, Da regra do produto temos: B ou B B ou anda B B B B B B B Exercícos probabldade de que um homem esteja vvo daqu a 30 anos é /5; a probabldade de que a mulher esteja vva daqu a 30 anos é /3. Determnar a probabldade de que daqu a 30 anos, a ambos estejam vvos; b somente o homem esteja vvo; c somente a mulher esteja vva; d nenhum esteja vvo; e e pelo menos um esteja vvo. Solução: Sejam os eventos a ambos estejam vvos; H M H. M b somente o homem esteja vvo; H M H. M c somente a mulher esteja vva; H M H. M d nenhum esteja vvo; H M H. M e pelo menos um esteja vvo; H M H M H M 3 H M Obs: 5

6 4 6 3 H M H M H M H M Sejam e B eventos tas que = 0,; B = p; e B = 0,6. alcular p consderando e B: a mutuamente exclusvos; b ndependentes. Solução: a mutuamente exclusvos B 0 B B B B B 0,6 0, 0, 4 b ndependentes B. B B B B 0,6 p 0, 0, 0,6 p.0,8 0, 0,4 p 0,5 0,8 B. B B. artção do espaço amostral: onsdere o espaço amostral partconado em partes. Os eventos,,..., n formam a partção do espaço amostral quando: a Os eventos são dsjuntos, j j j b unão deles forma o espaço amostral n omo exemplo, consdere uma partção com 6 eventos como mostrado na Fgura 0 a segur. 6

7 robabldade total: Seja um evento qualquer contdo em um espaço amostral partconado por eventos. or exemplo: Seja um evento qualquer contdo em um espaço amostral partconado por, =,,..., 6, então, Exemplo: Das pacentes de uma línca de Gnecologa com dade acma de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteras. Sendo soltera, a probabldade de ter tdo um dstúrbo hormonal no últmo ano é de 0%, enquanto que para as demas essa probabldade aumenta para 30%. Qual a probabldade de uma pacente escolhda ao acaso ter tdo um dstúrbo hormonal? Solução: Eventos: = pacente soltera, = pacente é ou fo casada e = pacente teve dstúrbo hormonal no últmo ano Dados: = 0,40, = 0,60, = 0,0 e = 0,30 7

8 8 Teorema de Bayes: Suponha que os eventos,,..., n, formam uma partção do espaço amostral e que suas probabldades sejam conhecdas. Suponha anda que para um evento, se conheçam as probabldades para todo =,,.., n. Então, para qualquer, os, mas:, logo: Exemplo: onsderando o exemplo da clínca gnecológca, se a pacente tver dstúrbo hormonal, qual a probabldade de ser soltera? Solução: Eventos: = pacente soltera, = pacente é ou fo casada e = pacente teve dstúrbo hormonal no últmo ano Dados: = 0,40, = 0,60, = 0,0 e = 0,30 8,8% das mulheres que tveram dstúrbo hormonal são solteras. Duas magens de duas épocas dstntas foram classfcadas em 3 classes: floresta F, capoera e área agrícola. fm de comparar as mudanças entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada entre as magens classfcadas, obtendo-se a segunte matrz de confusão em ha: É p o c a Floresta apoera Área grícola Floresta apoera Época Área grícola Seleconando-se um ponto aleatoramente, calcule a probabldade deste ponto: 0, 0,60.0,30 0,40.0,0 n n,...,, n n 0,88 0, 0,04 0,60.0,30 0,40.0,0 0,40.0,0

9 0 a ser floresta na época : F 0, b ser floresta em ambas as épocas: F F 0, c ser capoera em qualquer época: 0, d não ter mudado de classe entre as épocas analsadas: F F F F ; e são dsjuntos, logo os eventos F F F F , e ser capoera na época, tendo sdo área agrícola na época : 0, f ser capoera na época, não tendo sdo área agrícola na época : / Teste dagnóstco defnção da doença é feta por outro teste ou crtéro, chamado padrão ouro. O padrão ouro tem baxíssma possbldade de erro, mas, em geral, é um teste caro, dfícl de ser feto ou causador de desconforto para o pacente. Se um teste não acerta sempre, como saber quão bom ele é? Qualdade de testes dagnóstcos O bom uso de um teste dagnóstco requer, além de consderações clíncas, o conhecmento de meddas que caracterzam a sua qualdade ntrínseca: a sensbldade, a especfcdade e os parâmetros que refletem a sua capacdade de produzr decsões clíncas corretas: valor da predção postva e o valor da predção negatva. 9

10 Vamos usar a segunte notação: D : o ndvíduo é doente, D : o ndvíduo não é doente, : o ndvíduo do teste é postvo, : o ndvíduo do teste é negatvo. Sensbldade: sensbldade, denotada por s, é defnda como s = + D ou seja, a probabldade de o teste ser postvo sabendose que o pacente que está sendo examnado é doente. Que, na prátca, é estmada pela proporção de resultados postvos do teste dentre os ndvíduos sabdamente doentes. Especfcdade: especfcdade, denotada por e, é defnda como e = D, ou seja, a probabldade de o teste ser negatvo sabendo-se que o pacente examnado não é portador da doença. Que, na prátca, é estmada pela proporção de resultados negatvos do teste dentre os ndvíduos sabdamente não doentes. ssm, um teste muto sensível é útl para detectar a presença da doença em ndvíduos doentes: se o ndvíduo está doente, ele va ndcar sto com alta probabldade. or outro lado, um teste muto específco é um teste útl para exclur a presença da doença em ndvíduos sados: se o ndvíduo não está doente, ele va ndcar sto com alta probabldade D D 500 s D 0,904 e D 579 0, 848 D D

11 Exemplo : onsdere os resultados de um teste ergométrco de tolerânca a exercícos entre ndvíduos com e sem doença coronarana. O teste fo consderado postvo quando se observou mas de mm de depressão ou elevação do segmento ST, por no mínmo 0,08 s, em comparação com os resultados obtdos com o pacente em repouso. O dagnóstco defntvo fo feto através de angografa. Os resultados encontrados seguem abaxo: Tabela 3: Resultados do teste ergométrco sensbldade e a especfcdade são estmadas por: S = 85 / 03 = 0,797; e = 37 / 44 = 0,740 Exemplo 3: O teste de apancolaou permte o dagnóstco precoce do câncer de colo de útero. ara avalar a acuráca dagnóstca deste teste, realzou-se um estudo com 373 pacentes atenddas no Hosptal das líncas de Botucatu nho e Matos, 00. O teste padrão-ouro utlzado em cada pacente para classfcá-la em portadora ou não do câncer de colo de útero fo o exame hstopatológco de uma amostra de tecdo através de bópsa cervcal. Os resultados são apresentados na Tabela 4. Tabela 4: Resultados do teste apancolaou na detecção de câncer de colo de útero S = 65 / 76 = 0,96 ou 96%; e = 50 / 97 = 0,55 ou 5,5%. Este teste tem alta sensbldade, mas especfcdade muto baxa. Valor de predção de um teste: Embora os índces sensbldade, s, e especfcdade, e, sntetzem bem a qualdade de um teste, o pesqusador em geral, não pode depender apenas de s e e, pos estes valores são provenentes de uma stuação em que se tem certeza do dagnóstco. O pesqusador, dante de um resultado do teste, precsa decdr se consdera o pacente doente ou não. ele nteressa conhecer as probabldades: V D : valor de predção postva V sp sp e p p = prevalênca da doença = nº de doentes / nº de ndvíduos VN D : valor de predção negatva VN e e p p sp s probabldades:

12 F D D V roporção de falso postvo FN D D VN roporção de falso negatvo Exemplo : Teste ergométrco V = 85 / 930 = 0,8763 e F = 0,8763 = 0,37 VN = 37 / 535 = 0,6 e FN = 0,6 = 0,3888 No exemplo, V é maor que VN, ndcando que um resultado postvo no teste é mas confável que um resultado negatvo. orém, esta afrmação é válda para um pacente de uma população semelhante à observada no exemplo, sto é, com a mesma prevalênca da doença. Suponha agora um grupo maor de 44 ndvíduos dos quas 000 com doença coronarana foram submetdos ao teste ergométrco. p = 000 / 44 = 0,890 S = 0,797 e e = 0,740 V sp sp 0,797 0,89 e p 0,797 0,89 0,740 0,89 0,937 VN e e p p s p 0,740 0,740 0,89 0,89 0,797 0,446 0,89 Exemplo contnuação: Vamos voltar ao teste apancolaou para dagnóstco do câncer de colo de útero apresentado anterormente. onsderando uma população com uma prevalênca de câncer de útero de 5% p=0,05, os valores de predção postva e negatva seram calculados da segunte forma: V sp sp 0,96 0,05 e p 0,96 0,05 0,55 0,05 0,094 VN e e p p s p 0,55 0,55 0,05 0,05 0,96 0,996 0,05 ssm, se aplcado a uma população com uma prevalênca de câncer de útero de 5%, uma pacente com resultado negatvo no teste apancolaou tem uma probabldade muto alta 99,6% de não ser portadora do câncer de colo de útero. No entanto, uma pacente com resultado postvo tem uma probabldade muto pequena de ser realmente portadora da doença 9,4%. Desse modo, o resultado postvo do teste apancolaou é pouco conclusvo, mas o resultado negatvo é muto confável.

13 Vamos consderar o V e o VN do teste apancolaou aplcado a uma população com prevalênca maor de câncer do colo do útero, dgamos, p = 0,0: V sp VN e sp 0,96 0,0 e p 0,96 0,0 0,55 0,0 e p p s p 0,55 0,55 0,0 0,0 0,96 0,664 0,98 0,0 Note que há um aumento sgnfcatvo no V e uma queda pequena no VN. O Efeto da revalênca nos Valores de redção: través das equações e, reproduzdas abaxo, podemos ver que, para um determnado teste ou seja, para valores fxos de sensbldade e especfcdade, quando maor a prevalênca da doença maor será o V e menor será o VN: e p e p p s sp V VN sp e p O quadro abaxo mostra os valores de predção para prevalêncas de % e 90%. Quando a prevalênca é baxa, o valor de predção postvo V é mas nfluencado pela especfcdade; O valor de predção negatvo VN é pouco nfluencado, tanto pela sensbldade quanto pela especfcdade, e é alto, como era de se esperar; ara a prevalênca alta, o valor de predção postvo V é próxmo de, ndependente dos valores da sensbldade e da especfcdade; lém dsso, o valor de predção negatvo VN é nfluencado mas pela sensbldade do que pela especfcdade. Exemplo: tualmente, a presença do HIV-IDS é detectada rotneramente pelo teste ELIS que tem sensbldade de 95,0% e especfcdade de 99,8% Laboratóro BBOTT. Em novembro de 00, o Laboratóro OraSure lançou o teste OraQuck o resultado fca pronto em 0 mnutos com sensbldade de 99,6% e especfcdade de 00,0%. Tabela 5 mostra os valores de predção postva e negatva do dagnóstco do HIV-IDS baseado nestes testes para crescentes níves de prevalênca da nfecção. 3

14 omo podemos notar, especalmente para o teste ELIS, à medda que a prevalênca cresce, ocorre aumento no V e dmnução do VN. Isso sgnfca que o dagnóstco baseado no teste ELIS tem uma grande proporção de falsos postvos em populações com baxa proporção de nfectados pelo HIV-IDS, de modo que um resultado postvo deve ser nvestgada com repetções do teste ou com outro teste. or outro lado, o resultado negatvo tem um valor de predção muto alto mesmo em grupos de altíssma prevalênca. Esta é uma característca dos testes de tragem, onde os resultados negatvos devem ser altamente confáves, enquanto os casos postvos são trados para novos testes. No caso do teste OraQuck, é possível observar somente um pequeno decréscmo no VN para grupos de altíssmo rsco. O V será sempre o valor máxmo de 00% devdo ao fato de que o teste dentfca todas as pessoas não nfectadas especfcdade gual a 00%. Tabela 5: Valores de redção ostva e Negatva no dagnostco do HIV-IDS do teste Elsa e do teste OraQuck. Exstem evdêncas para as seguntes conclusões: Um teste de alta especfcdade deve ser usado quando a prevalênca da doença é relatvamente baxa doença rara, mesmo que o teste tenha relatvamente baxa sensbldade; Um teste com alta sensbldade deve ser usado quando a prevalênca da doença é relatvamente alta doença comum, mesmo que o teste tenha relatvamente baxa especfcdade. urva RO urva RO Receve Operator aracterstc urve é a melhor manera de estabelecer o ponto de corte, otmzando a sensbldade e especfcdade do teste dagnóstco. O pesqusador deverá seleconar város pontos ou níves de alteração do teste e determnar a sensbldade e especfcdade em cada ponto. Ele então construrá um gráfco da sensbldade em função da proporção dos resultados falsos-postvos. O teste deal é aquele que alcança a extremdade mas superor e esquerda do gráfco. Uma das vantagens deste método é que as curvas de dferentes testes dagnóstcos podem ser comparadas; quanto melhor o teste mas perto estará sua curva do canto superor esquerdo do gráfco abaxo. curva RO compara o desempenho do teste quanto aos seus valores de sensbldade e especfcdade, varando o valor de corte. Quanto mas a curva se aproxma do ponto 0, melhor é o exame. área abaxo da curva pode ser uma medda do quão bom é o teste. 4

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