MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA PARA MODELOS ESTRUTURAIS LINEARES E ELÁSTICOS

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1 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA PARA MODELOS ESTRUTURAIS LIEARES E ELÁSTICOS CAPÍTULOS 1 a 5 Luiz Fernano Martha Pontifíia Universiae Catóia o Rio e Janeiro PUC-Rio Departamento e Engenharia Civi Rua Marquês e São Viente, 5 - Gávea CEP 45-9 Rio e Janeiro, RJ Te.: (1) Fa: (1) E-mai: fm@tegraf.pu-rio.br URL:

2 SUMÁRIO 1. ITRODUÇÃO AO MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Moeo estrutura e moeo isreto DISCRETIZAÇÃO O MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Representação os arregamentos omo argas noais Daos e entraa típios e um programa e omputaor Resutaos típios e um programa e omputaor Sistemas e oorenaas generaizaas Graus e iberae e forças generaizaas gobais Graus e iberae e forças generaizaas oais nas ireções os eios gobais Graus e iberae e forças generaizaas oais nas ireções os eios oais IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMETO DE BARRAS Campo e esoamentos e tensões Reações entre esoamentos e eformações em barras Deformações aiais Deformações normais por feão Teoria e vigas e avier Teoria e vigas e Timoshenko Distorções por efeito ortante Vetor e eformações pontuais para o omportamento pano Distorções por torção Vetor e eformações integrais o eemento infinitesima..... Reações ifereniais e equiíbrio em barras Conições e equiíbrio o aso pano para efeitos e primeira orem Conição e equiíbrio na torção Lei onstitutiva inear para o materia Equiíbrio entre tensões e esforços internos Equiíbrio entre tensões normais e esforço norma e momento fetor Equiíbrio entre tensões e isahamento e esforço ortante Equiíbrio entre tensões isahantes e momento torçor Desoamentos reativos internos Desoamento aia reativo interno provoao por esforço norma Desoamento transversa reativo interno provoao por esforço ortante Rotação reativa interna provoaa por momento fetor Rotação reativa interna provoaa por momento torçor Desoamentos reativos internos provoaos por variação e temperatura Rigiez o eemento infinitesima e barra Equações ifereniais os moeos anaítios e barras Equação iferenia para o omportamento aia Equação e avier para o omportamento à feão Equações ifereniais para o omportamento à feão onsierano istorção e isahamento Equação iferenia para o omportamento à torção Ientifiação a soução partiuar omo soução oa e engastamento e barra ITERPOLAÇÃO DE DESLOCAMETOS EM BARRAS Funções e forma para interpoação e esoamentos e rotações em barras Funções e forma para omportamento aia Funções e forma para omportamento à feão seguno a teoria e avier Funções e forma para barra e pórtio pano sem artiuação Funções e forma para barra e pórtio pano om artiuação na esquera Funções e forma para barra e pórtio pano om artiuação na ireita Funções e forma para omportamento à feão seguno a teoria e Timoshenko Funções e forma para barra e pórtio pano sem artiuação Funções e forma para barra om artiuação na esquera... 69

3 ii Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha Funções e forma para barra om artiuação na ireita MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL Coefiientes e rigiez oais Prinípio os esoamentos virtuais Coefiientes e rigiez aia e barra prismátia Coefiientes e rigiez à feão e barra e avier prismátia sem artiuação Matrizes que reaionam esoamentos noais om eformações integrais Epressão genéria para a matriz e rigiez e barra no sistema e eios oais Matrizes e rigiez e barra prismátia e pórtio pano Matriz e rigiez oa e barra e greha Matriz e rigiez oa no sistema goba CARGAS EQUIVALETES ODAIS LOCAIS Reações e engastamento e barra isoaa para soiitações eternas Reações e engastamento e barra prismátia para arregamentos aiais e transversais Reações e engastamento e barra prismátia para variação e temperatura Reações e engastamento e barra isoaa no sistema goba Cargas equivaentes noais no sistema e eios gobais SISTEMA DE EQUAÇÕES GLOBAIS DE EQUILÍBRIO Montagem a matriz e rigiez goba Montagem as argas noais ombinaas no vetor as forças generaizaas gobais Interpretação o sistema e equações finais omo imposição e equiíbrio aos nós isoaos Consieração as onições e apoio Partiionamento o sistema e equações Diagonaização a inha e ouna a matriz e rigiez goba orresponente ao grau e iberae restrito Inserção e um apoio eástio fitíio om vaor muito ato o oefiiente e rigiez OBTEÇÃO DE RESULTADOS DE AÁLISE Determinação e reações e apoio Determinação e esforços internos nas barras Consierações finais... 17

4 1. ITRODUÇÃO AO MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Este ivro abora a anáise e estruturas retiuaas, isto é, e estruturas formaas por barras (eementos estruturais que têm um eio aramente efinio). Entre eas inuem-se treiças (estruturas om toas as barras artiuaas em suas etremiaes), pórtios ou quaros, e grehas (estruturas panas om argas fora o pano). O métoo e anáise tratao é o métoo os esoamentos, em que os parâmetros funamentais a soução são esoamentos e rotações os nós (pontos notáveis) o moeo estrutura. O ivro apresenta uma formaização matriia o métoo os esoamentos, que tem por objetivo aproimar a sua metooogia aos proeimentos aotaos usuamente nos programas e omputaor. Essa versão o métoo os esoamentos é onheia omo métoo a rigiez ireta. Atuamente, a utiização e programas e omputaor na anáise e estruturas é uma ativiae orriqueira no projeto e estruturas. Isso tem proporionao a aoção e métoos aa vez mais sofistiaos para a anáise e estruturas. Um eempo é a onsieração e efeitos e seguna orem, em que as onições e equiíbrio são impostas onsierano a geometria o moeo estrutura atuaizaa peos esoamentos e rotações provoaos peas soiitações eternas apiaas. Esse tipo e proeimento e anáise é mais sofistiao o que uma anáise e primeira orem, que onsiera a geometria origina ineformaa o moeo nas equações e equiíbrio. A onsieração e efeitos e seguna orem faz om que o moeo estrutura tenha um omportamento não inear, é a hamaa não ineariae e orem geométria. Uma anáise não inear e orem geométria é importante, pois permite antever possíveis probemas e instabiiae a estrutura. Entretanto, apesar a importânia e se onsierar efeitos e seguna orem, a versão atua este ivro trata apenas e anáise e estruturas em regime inear e eástio, isto é, apenas são onsieraos efeitos e primeira orem. A razão isso é que o foo o prinipa o ivro são os proeimentos e anáise estrutura peo métoo a rigiez ireta que são omuns para uma anáise inear e para uma anáise não inear. Outro proeimento e anáise que está se tornano omum na anáise omputaiona e estruturas é a onsieração e eformações provoaas peo efeito transversa ortante em barras. Em uma anáise estrutura traiiona espreza-se esse tipo e efomação. A teoria e feão mais omum que onsiera istorções por efeito ortante é a teoria e vigas e Timoshenko, que aota omo simpifiação a hipótese e manutenção e seções transversais panas para uma barra, isto é, esonsiera o empenamento a seção transversa assoiao ao efeito ortante. O esforço omputaiona aiiona para onsierar as istorções e isahamento essa forma simpifiaa é muito pequeno, e os programas moernos e anáise e estruturas tenem a onsierá-as. Este ivro formaiza proeimentos e anáise e estrutura retiuaas onsierano a hipótese traiiona a feão e barras, que não onsiera eformações por efeito ortante (teoria e vigas e avier ou e Euer-Bernoui), e a hipótese que onsiera essas eformações (teoria e vigas e Timoshenko). o onteto este ivro, só são onsieraos materiais ieaizaos om omportamento eástio-inear e sem imite e resistênia, isto é, esonsiera-se a não ineariae e orem físia. Isso é justifiao porque o foo prinipa o ivro é a anáise estrutura para estruturas retiuaas onsierano apenas efeitos e primeira orem. A onsieração e eis onstitutivas não ineares para os materias é um tema bastante ampo que foge ao esopo este ivro Moeo estrutura e moeo isreto A essênia os métoos a anáise e estruturas está na representação isreta o omportamento ontínuo, anaítio e matemátio e um moeo estrutura em termos e um número finito e parâmetros. Dessa maneira, a soução o probema estrutura, que esseniamente busa a eterminação o ampo e esoamentos e o ampo e tensões no omínio geométrio a estrutura, é aançaa através a eterminação os parâmetros que representam o omportamento o moeo estrutura e forma isreta. Essa essênia poe ser entenia entro e um esopo mais ampo, omo está resumio na Figura 1.1. A anáise estrutura moerna trabaha om quatro níveis e abstração om reação à estrutura que está seno anaisaa (Martha 1), seno o primeiro o muno físio, isto é, o níve que representa a estrutura rea ta omo é onstruía.

5 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha Estrutura Rea Moeo Estrutura Moeo Disreto Moeo Computaiona Ieaização o omportamento Disretização em parâmetros Impementação omputaiona Figura 1.1 Quatro níveis e abstração referentes a uma estrutura na anáise estrutura. O seguno níve e abstração a anáise estrutura é o moeo anaítio utiizao para representar matematiamente a estrutura que está seno anaisaa. Esse moeo é hamao e moeo estrutura ou moeo matemátio e inorpora toas as teorias e hipóteses eaboraas para esrever o omportamento a estrutura em função as iversas soiitações. Essas hipóteses são baseaas em eis físias, tais omo o equiíbrio entre forças e tensões, as reações e ompatibiiae entre esoamentos e eformações, e as eis onstitutivas os materiais que ompõem a estrutura. a onepção o moeo estrutura faz-se uma ieaização o omportamento a estrutura rea em que se aota uma série e hipóteses simpifiaoras. Estas estão baseaas em teorias físias e em resutaos eperimentais e estatístios, e poem ser iviias nos seguintes tipos: hipóteses sobre a geometria o moeo; hipóteses sobre as onições e suporte (igação om o meio eterno, por eempo, om o soo); hipóteses sobre o omportamento os materiais; hipóteses sobre as soiitações que atuam sobre a estrutura (argas e oupação ou pressão e vento, por eempo). A soução matemátia o moeo estrutura na situação estátia (sem efeitos inâmios e vibrações, por eempo) é um probema e vaor e ontorno, om um onjunto e equações ifereniais que evem ser satisfeitas em toos os pontos o meio ontínuo sóio, ateneno onições e ontorno em termos e esoamentos e forças e superfíie. o aso e estruturas retiuaas (formaas por eementos estruturais unifiares enominaos barras), o omportamento o meio sóio ontínuo é onensao nos eios as barras, isto é, o meio sóio é representao por um moeo aramao, iniao apenas peas inhas os eios as barras. Para tanto, a meânia os sóios ieaiza o omportamento as barras através e um onjunto e hipóteses sobre o seu omportamento inemátio e meânio. Por eempo, amite-se que as seções transversais e uma barra que se eforma permaneem panas. Essa ieaização o omportamento as barras é o que permite a riação o moeo estrutura para estruturas retiuaas. Para estruturas em que não é possíve ientifiar eementos estruturais unifiares, outras teorias matemátias ieaizam anaitiamente o omportamento estrutura o moeo, omo a teoria a eastiiae, a teoria as paas, a teoria as asas, a teoria a pastiiae et. O níve e simpifiação envovio na onepção e um moeo estrutura anaítio poe ser muito variáve, mesmo no aso e moeos e barras. Por eempo, nos moeos e primeira orem é onsierao que os esoamentos os pontos a estrutura são muito pequenos quano omparaos às imensões geométrias e suas seções transversais. Aotano essa hipótese, é possíve estabeeer onições e equiíbrio na geometria origina, ineformaa, a estrutura. Isso faiita muito o probema, pois não é neessário eterminar os esoamentos os pontos a estrutura para esrever as equações e equiíbrio. Por outro ao, em uma anáise e seguna orem, eve-se evar em onsieração os esoamentos na imposição as onições e equiíbrio, o que faz om que o probema tenha um omportamento não inear; é a hamaa não ineariae e orem geométria. O omportamento não inear e uma estrutura também poe ser atribuío ao omportamento não inear os materiais que a ompõem, mesmo em uma aproimação e primeira orem; é a hamaa não ineariae físia. Por eempo, poe-se amitir que o materia tem um imite e resistênia om reação a tensões em que, a partir e uma eterminaa onição para o estao e tensões, um ponto a estrutura se pastifia, ou seja, o materia pere a apaiae e resistênia nesse ponto. Em resumo, os moeos estruturais poem ser simpes ou sofistiaos, epeneno o tipo e probema estrutura que se eseja resover. Para situar o eitor, o foo este ivro entro o onteto e anáise e estruturas é a soução e moeos e estruturas retiuaas para anáises e primeira orem, isto é, não onsierano não ineariae e orem geométria. este voume é aotao um omportamento inear para os materiais. Portanto, a não ineariae físia também não é onsieraa.

6 Capítuo 1: Introução ao métoo a rigiez ireta O tereiro níve e abstração utiizao na anáise estrutura é o o moeo isreto (Figura 1.1), que é onebio entro as metooogias e áuo os métoos e anáise. Os métoos básios possibiitam a transformação o moeo estrutura ontínuo em um moeo isreto, que poe ser resovio manuamente ou impementao omputaionamente. De forma gera, os métoos e anáise utiizam um onjunto e variáveis ou parâmetros para representar o omportamento e uma estrutura. esse níve e abstração, o omportamento anaítio o moeo estrutura é substituío por um omportamento isreto, em que souções anaítias ontínuas são representaas peos vaores isretos os parâmetros aotaos. A passagem o moeo matemátio para o moeo isreto é enominaa isretização. Os tipos e parâmetros aotaos no moeo isreto epenem o métoo utiizao. o métoo as forças os parâmetros são forças ou momentos e, no métoo os esoamentos, são esoamentos ou rotações. Por eempo, a Figura 1. mostra a isretização utiizaa na soução e um pórtio pano peo métoo as forças. A soiitação eterna atuante, enominaa arregamento, é onstituía e uma força atera (horizonta) e uma força vertia uniformemente istribuía na viga (barra horizonta). a figura, as setas iniaas om um traço no meio são reações e apoio. esse métoo, os parâmetros aotaos para isretizar a soução são forças ou momentos reunantes para garantir o equiíbrio estátio a estrutura, isto é, forças e momentos assoiaos a vínuos eeentes e uma estrutura hiperestátia. Esses parâmetros são enominaos hiperestátios. Caso () H A V A M A H B V B M A Caso (1) Caso () H B Figura 1. Superposição e souções básias no métoo as forças. o eempo a Figura 1., os hiperestátios aotaos são as reações e apoio M A (reação momento no apoio a esquera) e H B (reação horizonta no apoio a ireita). A onfiguração eformaa o pórtio, enominaa eástia (iniaa pea inha traejaa na figura e mostraa em esaa ampiaa para esoamentos), é obtia pea superposição e souções básias os asos (), (1) e () iustraos na figura. A estrutura utiizaa nas souções básias é uma estrutura estatiamente eterminaa (isostátia) obtia a estrutura origina a- través a eiminação os vínuos eeentes assoiaos aos hiperestátios. Caa soução básia isoa um eterminao efeito ou parâmetro: o efeito a soiitação eterna (arregamento) é isoao no aso (), o efeito o hiperestátio M A é isoao no aso (1) e o efeito o hiperestátio H B é isoao no aso (). A metooogia e anáise peo métoo as forças etermina os vaores que os hiperestátios evem ter para reompor os vínuos eiminaos (restrição à rotação no apoio a esquera e restrição ao esoamento horizonta no a- poio a ireita). Dessa forma, a soução o probema fia parametrizaa (isretizaa) peos hiperestátios M A e H B. Por outro ao, a soução isreta peo métoo os esoamentos para estruturas retiuaas é representaa por vaores e esoamentos e rotações nos nós (pontos e enontro as barras ou etremiaes e barras), omo iniao na Figura 1.. Esses parâmetros são enominaos esoabiiaes. A notação aotaa neste ivro para iniar generiamente uma omponente e esoamento ou rotação é uma seta om um traço na

7 4 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha base. o eempo essa figura, as esoabiiaes são os esoamentos horizontais os nós superiores, e, os esoamentos vertiais esses nós, e, e as rotações os nós ivres ao giro, θ, θ e θ. C D C D z B z C z D z θ C C z θ D D C D C D z C z θ D D θ C Y z θ B X z θ B Figura 1. Parâmetros noais utiizaos na isretização peo métoo os esoamentos. a Figura 1., a onfiguração eformaa a estrutura (eástia mostraa em esaa ampiaa) representa a soução ontínua o moeo matemátio. Os vaores as esoabiiaes noais representam a soução isreta o probema. esse tipo e metooogia, baseaa em esoamentos, a soução ontínua poe ser obtia por interpoação os vaores isretos os esoamentos e rotações noais, onsierano também o efeito a força istribuía na barra horizonta. A Figura 1.4 mostra a isretização utiizaa na soução esse pórtio peo métoo os esoamentos. A soução ontínua em esoamentos a estrutura é obtia pea superposição e onfigurações eformaas eementares as souções básias os asos () a (7) mostraos na figura. Caa soução básia isoa os efeitos as argas eternas aso () e e aa uma as esoabiiaes asos (1) a (7). C Caso () Caso (1) C z θ C z θ C Caso () Caso () Caso (4) D D z θ z D θ B z θ D Caso (5) Caso (6) Caso (7) Figura 1.4 Superposição e souções básias no métoo os esoamentos. a Figura 1.4, as onfigurações eformaas eementares e aa aso básio são enominaas inematiamente eterminaas porque são funções onheias que mutipiam, isoaamente, aa uma as esoabiiaes. Essas onfigurações eformaas eementares são as próprias funções que interpoam os esoamentos e rotações noais para obter a soução ontínua. Em gera, para estruturas retiuaas om barras prismátias (a seção transversa não varia ao ongo o omprimento a barra), a soução obtia por interpoação é igua à soução anaítia o moeo estrutura. Isso oorre porque as funções e interpoação que efinem a onfiguração eformaa ontínua são ompatíveis om a ieaização matemátia o omportamento as barras feita pea meânia os sóios.

8 Capítuo 1: Introução ao métoo a rigiez ireta 5 o aso e estruturas ontínuas (que não são ompostas por barras), omumente é utiizao na anáise estrutura o métoo os eementos finitos 1 om uma formuação em esoamentos (Zienkiewiz & Taor, Vaz 11). esse métoo, o moeo isreto é obtio pea subivisão o omínio a estrutura em subomínios, hamaos e eementos finitos, om formas simpes (em moeos panos, usuamente triânguos ou quariáteros), omo eempifiao na Figura 1.5 para o moeo biimensiona e uma estrutura ontínua om um furo. Essa subivisão é enominaa maha e eementos finitos, e os parâmetros que representam a soução isreta são vaores e esoamentos nos nós (vérties) a maha. Figura 1.5 Disretização peo métoo os eementos finitos e uma estrutura ontínua. Poe-se observar por esse eempo que a obtenção o moeo isreto para estruturas ontínuas é muito mais ompea o que no aso e moeos e estruturas retiuaas (pórtios, treiças ou grehas). Para estruturas formaas por barras, os nós (pontos one são efinios vaores isretos) são ientifiaos naturamente no enontro ou nas etremiaes as barras, enquanto para moeos ontínuos os nós são obtios pea isretização o omínio a estrutura em uma maha. Uma importante iferença entre os moeos isretos e estruturas retiuaas e e estruturas ontínuas é que a isretização e uma maha e eementos finitos introuz simpifiações em reação à ieaização matemátia feita para o omportamento a estrutura. Isso oorre porque as funções e interpoação que efinem a onfiguração eformaa e uma maha e eementos finitos não são, em gera, ompatíveis om a i- eaização matemátia o omportamento o meio ontínuo feita pea teoria a eastiiae. Dessa forma, a soução o moeo isreto e eementos finitos é uma aproimação a soução anaítia a teoria a easti- 1 Muitos outros métoos também são utiizaos, tais omo o métoo os eementos e ontorno. As notas e aua e Feippa (9) apresentam uma eeente introução aos métoos e anáise e estruturas ontínuas.

9 6 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha iae, ao passo que a soução o moeo isreto e uma estrutura om barras prismátias é igua à soução anaítia a meânia os sóios. Outro ponto essenia a anáise estrutura moerna é que não se onebe mais reaizar ta ativiae sem o uso e programas e omputaor. Em outras paavras, e naa aianta oneber os moeos isretos se, no aso prátio e estruturas reais, não é possíve resovê-os manuamente, ou seja, na reaiae os tempos atuais o quarto níve a abstração preonizao na Figura 1.1 (o moeo omputaiona) é funamenta para o probema que se eseja resover. Com isso em mente, o métoo os esoamentos é o que está mais ireionao a uma impementação omputaiona. Portanto, onforme menionao, este ivro apresenta uma formaização matriia esse métoo, que tem por objetivo aproimar a sua metooogia aos proeimentos aotaos usuamente nos programas e omputaor. Essa versão o métoo os esoamentos é onheia omo métoo a rigiez ireta (White, Gerge e Sesmith 1976), mas esseniamente segue a metooogia o métoo e origem. Essa formaização matriia também é onheia omo anáise matriia as estruturas ou áuo matriia as estruturas. Seria ifíi itar toas as referênias sobre esse assunto, pois muitas fiariam esqueias. Mas não se poe eiar e menionar o ivro ássio e Weaver e Gere (199), uja primeira eição foi pubiaa em Outros autores onsagraos nessa área são Przemienieki (1985), om pubiação origina em 1968, Wang (197) e Meek (1971). o Brasi, os ivros os professores Fernano Venânio Fiho (1975) e Domíio Faão Moreira (1977) foram pioneiros nesse assunto. Uma eeente referênia é o ivro e MGuire e Gaagher (1979), que ganhou uma seguna eição om a oaboração e Ziemian mais reentemente (). Muito o onteúo este ivro é baseao na primeira eição o ivro e MGuire e Gaagher. Em partiuar, as omparações mostraas na introução o Capítuo e na Seção.1 entre o métoo a rigiez ireta e o métoo os eementos finitos (para estruturas ontínuas) foram toas eineaas no útimo apítuo a primeira eição o ivro e MGuire e Gaagher. Deve ser saientao que este ivro não apresenta nenhum aspeto e impementação omputaiona propriamente ita. Aresenta-se apenas um formaismo matriia para o métoo os esoamentos, na sua formuação gera para barras etensíveis e feíveis, isto é, sem simpifiação aguma para reuzir o número e esoabiiaes. Aém isso, a impementação omputaiona e um programa para anáise e estruturas retiuaas ou ontínuas (peo métoo os eementos finitos) neessita e muitos outros métoos e proeimentos, que vão bem aém o que é eposto neste ivro. Diversos outros aspetos estão envovios no esenvovimento e um programa e omputaor para eeutar uma anáise estrutura. Questões omo estruturas e aos e proeimentos para a riação o moeo geométrio, geração o moeo isretizao, apiação e atributos e anáise (proprieaes e materiais, arregamentos, onições e suporte et.) e visuaização os resutaos são funamentais nesse onteto.

10 . DISCRETIZAÇÃO O MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA A metooogia e riação o moeo isreto no onteto o métoo os esoamentos poe ser resumia na Figura 1.4. Os parâmetros e isretização são as omponentes e esoamentos e rotações ivres (não restritas por apoios) os nós o moeo estrutura. Os nós são os pontos e enontros e barras ou as etremiaes sotas e barras (não onetaas a outras barras). As omponentes e esoamentos e rotações noais ivres são enominaas esoabiiaes. Esseniamente, as esoabiiaes são os parâmetros que efinem o omportamento inemátio e um moeo estrutura, isto é, eas eterminam a sua onfiguração eformaa. As esoabiiaes são as inógnitas o métoo os esoamentos. a verae, a efinição mais aequaa para esoabiiaes seria parâmetros que efinem o omportamento inemátio e um moeo estrutura isretizao, pois, quano são onsieraas restrições nas eformações as barras, poe-se riar epenênias entre omponentes e esoamentos e rotações os nós o moeo. este ivro, não estão seno onsieraas restrições nas eformações nas barras, e, portanto, as esoabiiaes são as omponentes e esoamentos e rotações noais ivres. o onteto o métoo a rigiez ireta (formuação matriia o métoo os esoamentos), muitas vezes, uma esoabiiae é enominaa grau e iberae. Como na formuação matriia o métoo, em gera, as restrições e apoio são onsieraas em um estágio posterior a soução, é omum se referir a uma omponente e esoamento ou rotação noa restrita por apoio também omo grau e iberae, isto é, entro a formuação o métoo, poe-se referir a um grau e iberae restrito por apoio, o que seria uma inonsistênia e aoro om a efinição e esoabiiae. Por uma questão e onsistênia, este ivro aota a esignação grau e iberae para quaquer omponente e esoamento ou rotação noa, inuino as ivres e as restritas por apoios. o aso e barras isoaas, a esignação esoabiiaes a- ina é preservaa. Aém isso, estene-se o oneito e nó. o presente onteto, um nó eve ser entenio omo ponto e isretização. Esse oneito generaiza a ieia e barra para eemento e barra, preparano o métoo a rigiez ireta para sua forma generaizaa: o métoo os eementos finitos. A ieia que se eseja passar é a possibiiae e inserir um nó (ponto e isretização) no interior e uma barra, que fia subivia em uas barras, ou mehor, em ois eementos e barra. Essa subivisão poe ser iimitaa, ou seja, poe-se reursivamente iviir eementos e barra em mais eementos. Mas a questão que se ooa é: por que isretizar uma barra em vários eementos e barra? o onteto o métoo a rigiez ireta para estruturas retiuaas, a resposta para essa pergunta é simpesmente: por onveniênia. A subivisão e barras em iversos eementos e barra, ou mehor, a isretização e uma barra om a inserção e vários nós no seu interior, não moifia os resutaos a estrutura, peo menos quano se trabaha om barras om seção transversa que não varia ao ongo o omprimento. A isretização poe ser onveniente para simpifiar a apiação e uma força onentraa no interior a barra ou e uma força istribuía que abrange pariamente o vão a barra. Eistem asos, entretanto, em que a isretização poe ser um artifíio e moeagem que mehora a quaiae os resutaos. O eempo mais ássio é o a moeagem isretizaa e uma barra om seção transversa variáve. Esse artifíio isretiza uma barra em iversos eementos e barra, aa um om uma seção transversa onstante, e varia as suas proprieaes tentano apturar o efeito goba a barra origina. Esse eempo é frequente porque a maioria os programas e omputaor para anáise e estruturas retiuaas não impementa barras om seção transversa variáve. Obviamente, o resutao essa soução isretizaa é uma aproimação para o omportamento anaítio a barra om seção transversa variáve. A quaiae o resutao om isretização mehora à meia que mais eementos e barra são utiizaos. Essa isussão eva a outra inagação: por que os resutaos e uma soução a estrutura om barras prismátias inepenem o níve e isretização aotao? a verae, esse questionamento não everia fiar restrito a barras prismátias, uma vez que é possíve formuar souções funamentais onsistentes para barras om seção transversa variáve. Isso é feito utiizano integração numéria. A resposta a essa inagação está na própria essênia a formuação o métoo a rigiez ireta, onforme será esrito ao ongo este ivro. Entretanto, é possíve sintetizar uma resposta: A isretização e barras no métoo a rigiez ireta não moifia os resutaos e uma anáise estrutura, pois o omportamento ontínuo e um eemento e barra poe ser representao por parâme-

11 8 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha tros noais sem que se introuza nenhuma aproimação aiiona aém as simpifiações já ontias na ieaização anaítia o omportamento e barras. Essa é a prinipa iferença entre o métoo a rigiez ireta e o métoo os eementos finitos om formuação em esoamentos para o probema estrutura. Inerente à própria onepção o seguno métoo, são introuzias aproimações aiionais na substituição o omportamento ontínuo o meio peo omportamento isreto os nós o moeo em eementos finitos. Por isso, esse métoo tem um aráter aproimao..1. Representação os arregamentos omo argas noais O ponto-have para a isretização e um moeo estrutura entro o onteto o métoo a rigiez ireta está em souções funamentais para barras isoaas, que serão apresentaas nos Capítuos 5 e 6. Isso é o que permite utiizar um número finito e graus e iberae para representar aequaamente o omportamento a estrutura ontínua. A onepção a isretização peo métoo poe ser epiaa om o auíio o e- empo a Figura.1. A Figura.1 mostra uma viga ontínua om três vãos submetia a uma força uniformemente istribuía que abrange pariamente o vão entra superposição e estágios I + II. Consierou-se eiberaamente que a barra o vão entra é subiviia (isretizaa) em três eementos e barra, que orresponem aos ois trehos esarregaos e ao treho om a força uniformemente istribuía. Dessa forma, o aso gera e barra isretizaa está seno onsierao. A soiitação a viga ontínua é eomposta em ois estágios e arregamento, que são efinios a seguinte maneira: Estágio I: Estrutura submetia à força uniformemente istribuía em onjunto om as reações e engastamento perfeito o eemento e barra entra isoao, atuano nas suas etremiaes. Estágio II: Estrutura submetia a forças e momentos que orresponem às reações e engastamento perfeito o estágio I, atuano om sentios invertios nos nós as etremiaes o eemento e barra arregao. q M A M B V A q V B (I) (II) M A V A M A V A V B M B V B M B q (I + II) Figura.1 Superposição e estágios para isretização o omportamento e uma viga ontínua peo métoo a rigiez ireta. Observa-se que o arregamento o estágio I iniao na Figura.1 é autoequiibrao. Aém isso, as eformações e a eástia estão restritas ao eemento e barra arregao, seno que os esoamentos e rotações e toos os nós o moeo são nuos. Isso é fái e ser ientifiao, pois as forças e momentos que atuam nos nós etremos o eemento e barra arregao orresponem às reações e engastamento perfeito para o arregamento esse eemento. Com isso, o efeito o arregamento não é sentio nos outros eementos e barra a estrutura. Aemais, as omponentes e reações em toos os apoios no estágio I são nuas. Outro aspeto a se estaar é que, no estágio II, estão seno onsieraos omo nós os pontos entre os trehos esarregaos e o treho arregao o vão entra, assim omo os pontos os apoios a estrutura. Os nós estão ientifiaos na Figura.1 por um pequeno íruo preto.

12 Com a superposição os efeitos os estágios I e II mostraos nessa figura, tem-se: Capítuo : Disretização no métoo a rigiez ireta 9 1. A soma os arregamentos resuta no arregamento origina a superposição e estágios I + II.. Os esoamentos e rotações noais o estágio II são iguais aos provoaos peo arregamento origina, haja vista que são nuos no estágio I.. A eástia fina nos eementos e barra esarregaos orrespone à eástia o estágio II, uma vez que esses eementos não têm eformação no estágio I. 4. A eástia fina no eemento e barra arregao é obtia pea soma os esoamentos o estágio I, que são esoamentos para o eemento engastao perfeitamente em suas etremiaes, om os esoamentos o estágio II. 5. Os esforços internos finais nos eementos e barra esarregaos orresponem aos esforços internos obtios pea anáise o estágio II, pois esses eementos não têm esforços internos no estágio I. 6. Os esforços internos finais no eemento e barra arregao são obtios pea soma os esforços e engastamento perfeito o estágio I om os esforços provenientes a anáise o estágio II. 7. As reações e apoio finais são iguais às reações e apoio obtias na anáise o estágio II, pois o estágio I não tem reações e apoio. O objetivo a eomposição nos estágios e arregamento I e II é aro. A ieia é isoar, no estágio I, o efeito oa as soiitações que atuam no interior as barras (ou os eementos e barra). O efeito oa orrespone a uma situação e engastamento perfeito os eementos e barra arregaos. O estágio II onsiera o efeito goba a soiitação, que foi transformaa em forças e momentos noais iguais às reações e engastamento o estágio I, mas om sentios invertios. Observa-se que o omportamento fina a estrutura é pratiamente igua ao omportamento goba o estágio II, a menos os efeitos oais e engastamento o treho arregao. Em essênia, o estágio II orrespone ao omportamento goba isretizao a estrutura. Isso se á por ois motivos. O primeiro é que a soiitação, nesse aso, oorre somente nos nós (pontos e isretização) o moeo. O seguno motivo é que, peo menos em termos e esoamentos e rotações noais, os resutaos o estágio II são os a estrutura para o arregamento origina. Observa-se que a eomposição nos estágios e arregamento I e II só faz sentio porque o estágio I orrespone à situação oa e engastamento perfeito restrita ao treho arregao, que resuta em esoamentos e rotações noais nuos. Esse é um os fatos que garante que os resutaos o moeo isretizao não se moifiam se iferentes níveis e isretização forem utiizaos. Vae observar que essa é outra iferença básia entre o métoo a rigiez ireta para moeos retiuaos e o métoo os eementos finitos para meios estruturais ontínuos. o seguno métoo, eiste a eomposição em ois estágios e arregamento, mas o estágio I não é assoiao a uma situação e engastamento perfeito o eemento finito. Para generaizar a metooogia e eomposição nos estágios I e II, agumas efinições são neessárias: argas noais propriamente itas são forças e momentos que, no arregamento origina a estrutura, atuam iretamente sobre os nós a isretização; argas equivaentes noais são as argas noais que atuam no estágio II provenientes as reações e engastamento perfeito os eementos e barra arregaos no estágio I, om sentios invertios; argas noais ombinaas são resutao a ombinação as argas noais propriamente itas om as argas equivaentes noais. As argas noais ombinaas são as soiitações o estágio II e representam o efeito isretizao as soiitações eternas atuano sobre os nós. O moeo e pórtio pano a Figura. é utiizao para iustrar essas efinições. O arregamento origina o pórtio é onstituío e forças vertiais uniformemente istribuías que atuam nas vigas ininaas e por uas forças aterais horizontais. Para a anáise o pórtio esse moeo, a Figura. mostra o estágio I, e a Figura.4 iustra o estágio II. Observa-se na Figura. que a onfiguração eformaa a estrutura para o estágio I é restrita às barras arregaas. As reações e engastamento perfeito, atuano em onjunto om as forças vertiais uniformemente istribuías, isoam o efeito essas argas para o resto a estrutura. As outras barras não têm eformações, tampouo esforços internos. As reações nos apoios a base a estrutura são nuas. Em resumo, esse estágio e arregamento apresenta apenas efeitos oais o arregamento no interior as barras.

13 1 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha Figura. Pórtio pano om argas noais e argas em barras. Figura. Estágio I e arregamento o pórtio a Figura.. Figura.4 Estágio II e arregamento o pórtio a Figura.. Por outro ao, o estágio II (Figura.4) é soiitao peas argas noais ombinaas e aptura a resposta goba a estrutura. Os esoamentos e rotações noais esse estágio e arregamento orresponem aos es-

14 Capítuo : Disretização no métoo a rigiez ireta 11 oamentos e rotações noais a estrutura om o arregamento origina. O mesmo se á para as reações nos apoios a base. Deve-se saientar que os efeitos oais e engastamento perfeito os eementos e barra arregaos no seu interior são onheios a priori, pois são souções funamentais onheias e isponíveis (Capítuo 6). O oneito e argas equivaentes noais no métoo os eementos finitos eiste, entretanto a essas argas não é aa a onotação e reações e engastamento nos trehos arregaos, om os sentios invertios. esse métoo, argas equivaentes noais são enominaas onsistentes ou ompatíveis porque prouzem o mesmo trabaho virtua que o arregamento no interior o eemento finito prouz, para um ampo e esoamentos virtuais onsistente om a formuação aproimaa o eemento. Essa onotação para argas e- quivaentes noais é ompartihaa peo métoo a rigiez ireta, peo menos para barras prismátias, na meia em que as reações e engastamento perfeito e uma barra poem ser eterminaas por equivaênia e trabaho virtua utiizano funções e forma e barra omo ampo e esoamentos virtuais (Seção 6.1.1). Isso arateriza o métoo a rigiez ireta omo um aso partiuar o métoo os eementos finitos. Poe-se observar que, para o áuo a eástia e os esforços internos finais, eiste uma istinção entre e- ementos e barra arregaos no seu interior e eementos e barra esarregaos. A eástia e os esforços internos finais os eementos e barra esarregaos fiam eterminaos ompetamente pea anáise goba o estágio e arregamento II. Por outro ao, para se obter a eástia e os esforços internos nos eementos e barra arregaos, é preiso superpor os resutaos os estágios I e II. Aqui resie mais uma iferença entre o métoo a rigiez ireta e o métoo os eementos finitos. este útimo, epois que os arregamentos no interior os eementos finitos são onvertios em argas equivaentes noais, não se faz mais referênia aos arregamentos originais. A onfiguração eformaa e as tensões nos eementos finitos são eterminaas sem istinção entre eementos arregaos e esarregaos: apenas o efeito goba é onsierao. Em ambos os métoos, no estágio II, o resutao a superposição as argas noais ombinaas om as reações e apoio é um onjunto e forças e momentos enominao forças noais generaizaas gobais, que são resutantes a superposição e argas noais ombinaas e omponentes e reação e apoio. Essas forças serão formamente efinias na Seção.5. Em resumo, o moeo estrutura a ser anaisao peo métoo a rigiez ireta é o moeo isretizao o estágio e arregamento II, que é soiitao peas argas noais ombinaas. Um os objetivos essa anáise é eterminar os vaores os graus e iberae esonheios, isto é, as omponentes e esoamentos e rotações noais ivres. Outro objetivo é eterminar as omponentes e reação e apoio. Dessa forma, o vetor as forças noais generaizaas gobais fia ompetamente eterminao. Aém isso, a anáise o estágio II resuta na eterminação as eástias e esforços internos em toos os eementos e barra o moeo estrutura. Para ompementar os resutaos, é preiso superpor as eástias e esforços internos a situação e engastamento perfeito o estágio I, mas somente para os eementos e barra arregaos. Os apítuos seguintes este ivro etaham os passos essa metooogia. Por questão e onveniênia, as uas próimas seções esrevem, e uma maneira genéria e simpifiaa, omo são forneios os aos e entraa para um programa e omputaor e e que forma os resutaos tetuais (não gráfios) a anáise saem o programa... Daos e entraa típios e um programa e omputaor Esta seção iustra e forma muito simpifiaa o tipo e informação que é forneia para um programa e omputaor que anaisa estruturas retiuaas panas, onsierano apenas um aso e arregamento one toas as argas atuam onomitantemente. O objetivo é araterizar os grupos e aos neessários para o programa reaizar as seguintes tarefas: 1. Montar o sistema e equações e equiíbrio o métoo a rigiez ireta.. Resover esse sistema (eterminano os vaores os esoamentos e rotações os graus e iberae ivres).. Cauar as reações e apoio.

15 1 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha 4. Determinar esforços internos nas etremiaes as barras nas ireções os seus eios oais. Toos esses passos serão etahaos neste ivro. Obviamente, aa programa e omputaor efine um formato próprio para os aos e entraa. Os tipos e aos, entretanto, são omuns à maioria os programas e poem ser assifiaos basiamente nos seguintes grupos: oorenaas noais e restrições e apoio; iniênia noa as barras e proprieaes os seus materiais e e suas seções transversais grupo que também fornee informações sobre iberações e ontinuiae, por eempo, provenientes e rótuas; reaques e apoio; argas noais propriamente itas; arregamentos no interior as barras. Os três útimos grupos e aos são forneios para aa aso e arregamento, se eistissem mais o que um aso. Para iustrar os aos e entraa, aota-se o pórtio a Figura. omo eempo. A seguir, é reprouzia uma istagem e um arquivo tetua om os aos e entraa esse eempo para um programa genério: Coorenaas oais e Conições e Suporte ó X Y Deso.X Deso.Y RotaçãoZ Moa X Moa Y Moa Z (m) (m) (tipo) (tipo) (tipo) (k/m) (k/m) (km/ra) 1.. Fio Fio Fio Fio Fio Moa..... Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre Livre... Daos as Barras Barra ó ó Rótua Rótua Mo.East. Área Seção Mom.Inéria iniia fina iniia fina (k/m) (m) (m4) 1 1 ão ão.e ão ão.e Sim ão.e ão ão.e ão ão.e ão ão.e Daos e Cargas Conentraas em ós ó F (k) F (k) Mz (km) Daos e Carregamentos Uniformemente Distribuíos em Barras Barra Direção Q (k/m) Q (k/m) 4 Goba Goba. -1. A geometria goba o moeo é forneia através as oorenaas os nós, efinias em agum sistema e eios gobais. Para aa nó, forneem-se um número (ou ínie) e suas oorenaas. o aso pano, são as oorenaas em reação aos eios gobais X e Y. o eempo, o nó om ínie 1 está oaizao na origem o sistema e eios gobais. As restrições e apoio são informaas para aa nó e iniam os graus e iberae fios, ivres ou om um apoio eástio. o eempo, o nó om ínie 1 é um engaste e tem os três graus e iberae fios. O nó om ínie tem um apoio o º gênero (esoamentos nas ireções X e Y fios) e um apoio eástio rotaiona, ujo oefiiente e rigiez é forneio. Os emais nós têm toos os graus e iberae ivres. A topoogia o moeo, isto é, a maneira omo as barras se interonetam, é obtia peo programa e omputaor om base em uma informação que se ostuma enominar iniênia noa os eementos. Essa informação é uma as mais importantes para o programa e omputaor, pois permite que a matriz e rigiez goba o moeo (que ontém os oefiientes o sistema e equações e equiíbrio) seja montaa e uma

16 Capítuo : Disretização no métoo a rigiez ireta 1 maneira muito efiiente. Esseniamente, essa informação inia omo as barras usam os nós o moeo. Para aa barra, que é ientifiaa por um ínie, informa-se o número e seu nó iniia e e seu nó fina. O número e um nó é o ínie utiizao para efinir suas oorenaas. a informação sobre os ois nós e uma barra, é importante a orem em que os ínies os nós são forneios. Isso efine o sentio o eio oa a barra (Figura.9). Ta eio é orientao o nó iniia para o nó fina. O sentio o eio efine o sistema e eios oais a barra. O eio oa z a barra sempre sai o pano, e o eio oa é ta que o prouto vetoria o eio peo resuta no eio z. Várias informações estão assoiaas aos eios oais e um eemento e barra. Um arregamento no seu interior poe ser efinio om omponentes nas ireções os eios oais ou nas ireções os eios gobais. a próima seção, será visto que os resutaos os esforços internos atuantes nas etremiaes as barras têm sinais assoiaos às ireções os eios oais as barras. o eempo, aém a iniênia noa para aa barra, são forneios o vaor o móuo e eastiiae o seu materia e os vaores e área e momento e inéria a sua seção transversa. Os aos e proprieaes e barra ausam a presença e uma rótua na etremiae iniia a barra om ínie. As argas noais são informaas nas ireções os eios gobais. Os sinais os vaores forneios são assoiaos aos sentios esses eios. o eempo, as forças uniformemente istribuías são apiaas, nas barras om ínies 4 e 5, na ireção o eio goba Y. Portanto, o arregamento nessas barras é efinio nas ireções os eios gobais (o sina negativo inia que as forças istribuías são ontrárias ao sentio positivo o eio Y, isto é, para baio)... Resutaos típios e um programa e omputaor Os resutaos a anáise e uma estrutura retiuaa forneios por um programa e omputaor epenem muito o tipo e anáise. Em uma anáise simpes, omo a o pórtio a Figura., que tem apenas um aso e arregamento, os resutaos típios são: esoamentos e rotações noais; reações e apoio; esforços internos nas etremiaes as barras. A seguir, estão istaos os resutaos tetuais a anáise o pórtio e estuo feita por um programa genério: Resutaos e Desoamentos e Rotações oais ó Deso. X (m) Deso. Y (m) Rotação Z (ra) 1.e+.e+.e+.e+.e e-4 +.1e e e e e e e e e e e e- Reações e Apoio ó F (k) F (k) Mz (km) Resutaos e Esforços Internos nas Barras (ireções oais) Barra orma orma Cortante Cortante Momento Momento ó ini. ó fina ó ini. ó fina ó ini. ó fina (k) (k) (k) (k) (km) (km) Os esoamentos e rotações noais forneios peo programa têm as ireções os eios gobais. O mesmo oorre para as reações e apoio. A Figura.5 mostra esses resutaos e forma gráfia. A eástia a estrutura é traçaa om base nos vaores os esoamentos e as rotações noais. As funções e forma as bar-

17 14 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha ras (Seção 4.1) são usaas para isso. Para as barras ininaas arregaas, a eástia proveniente a situação e engastamento perfeito a barra eve ser superposta ao efeito goba os resutaos o programa e omputaor. a figura, as reações e apoio estão esenhaas om seus sentios físios, após a interpretação e seus sinais. Figura.5 Configuração eformaa (ampiaa em 4 vezes em reação à esaa a estrutura) e reações e apoio o pórtio a Figura.. Em gera, um programa e omputaor fornee, em resutaos tetuais, os esforços internos nas etremiaes as barras, e aoro om as ireções e seus eios oais. Os vaores seguem a onvenção e sinais a- otaa no métoo os esoamentos, omo efinio na Tabea.1. Conforme esrito anteriormente, as ireções os eios oais e uma barra epenem a orem e iniação os nós a barra. Isso eve ser evao em onta para interpretar e forma orreta os vaores os esforços internos forneios peo programa. Tabea.1 Convenção e sinais aotaa para quaros panos no métoo a rigiez ireta. Desoamentos horizontais + Desoamentos vertiais + Rotações + Forças horizontais + Forças vertiais + Momentos + Esforços aiais em etremiaes e barra Esforços ortantes em etremiaes e barra Momentos fetores em etremiaes e barra Para reaizar o traçao os iagramas e esforços internos, é preiso onverter os vaores obtios os resutaos tetuais o programa para a onvenção usua aotaa na anáise e estruturas (Martha 1). As Fi-

18 Capítuo : Disretização no métoo a rigiez ireta 15 guras.6,.7 e.8 mostram os iagramas e esforços normais, esforços ortantes e momentos fetores o eempo e aoro om essa onvenção usua. [k] Figura.6 Diagrama e esforços normais o pórtio a Figura.. Q [k] Figura.7 Diagrama e esforços ortantes o pórtio a Figura.. M [km] Figura.8 Diagrama e momentos fetores o pórtio a Figura...4. Sistemas e oorenaas generaizaas Uma as araterístias mais marantes o métoo a rigiez ireta é a soma e ontribuições e oefiientes e rigiez oais as barras (Capítuo 5) para ompor os oefiientes e rigiez gobais a estrutura (Ca-

19 16 Métoo a rigiez ireta para moeos estruturais ineares e eástios Luiz Fernano Martha pítuo 7). Essa soma é feita e forma epíita e ireta. Aiás, o termo ireta no nome o métoo vem justamente aí. Entretanto, para poer efetuar a soma e oefiientes e rigiez oais e várias barras, é preiso que esses oefiientes estejam efinios no mesmo sistema e eios. Oorre que os oefiientes e rigiez oais se referem a ireções os eios oais a barra. Para somar os oefiientes e rigiez oais eve-se projetá-os previamente para um sistema e eios únio (em gera, para o sistema e eios gobais). Para tratar e forma genéria e arbitrária a transformação os oefiientes e rigiez oais o sistema oa e uma barra para o sistema goba a estrutura, é onveniente efinir sistemas e oorenaas generaizaas, que são usaos para iniar as ireções os oefiientes e rigiez a barra ou a estrutura. Coorenaas generaizaas são ireções assoiaas aos graus e iberae (ou esoabiiaes) e uma barra ou e uma estrutura. As oorenaas generaizaas gobais são as ireções utiizaas para efinir os graus e iberae gobais (a estrutura). As oorenaas generaizaas oais (o eemento e barra) são as ireções utiizaas para efinir as esoabiiaes oais. Para uma barra, as oorenaas generaizaas oais poem estar assoiaas tanto às ireções os eios oais (ou o sistema oa) quanto às ireções os eios gobais (ou o sistema goba). A Figura.9 mostra um eempo om os três tipos e sistemas e oorenaas para um pórtio simpes. Os eios oais as barras também estão iniaos na figura. Os ínies as oorenaas generaizaas oais nas ireções os eios oais são ientifiaos peo superesrito i, seno i o ínie e uma oorenaa generaizaa oa. 9 Coorenaas generaizaas gobais Eios oais as barras Coorenaas generaizaas oais no sistema goba Coorenaas generaizaas oais nos sistemas oais Figura.9 Sistemas e oorenaas generaizaas aotaos no métoo a rigiez ireta para pórtios panos. a verae, as oorenaas generaizaas gobais foram utiizaas na Seção.1, mas sem epiitá-as: as forças generaizaas gobais se referem às oorenaas generaizaas gobais. Em outra situação, as souções funamentais (oefiientes e rigiez oais e reações e engastamento) para barras isoaas, apresentaas nas Seções 5.1 e 6.1, são efinias nas ireções as oorenaas generaizaas oais, nos sistemas oais as barras. As oorenaas generaizaas oais nas ireções os eios gobais são utiizaas em etapas intermeiárias o métoo a rigiez ireta, em que é neessário somar ontribuições vinas as iversas barras para ompor um efeito goba. O eempo mais eviente essa utiização é na montagem a matriz e rigiez goba a estrutura om base nos oefiientes e rigiez as barras (Seção 7.1). Outro eempo é a omposição as forças generaizaas gobais, que reebem ontribuição as argas equivaentes noais as barras arregaas e as argas noais propriamente itas (Seção 7.). o aso e treiças panas, a prinipa iferença em reação a pórtios panos é que as rotações os nós a treiça não são onsieraas graus e iberae. Portanto, aa nó e treiça tem ois graus e iberae: um esoamento horizonta e outro vertia. A Figura.1 mostra os três sistemas e oorenaas generaizaas para um moeo e treiça pana

20 Capítuo : Disretização no métoo a rigiez ireta Coorenaas generaizaas gobais Y X β 1 4 Coorenaas generaizaas oais no sistema goba 4 β 1 Coorenaas generaizaas oais no sistema oa Figura.1 Coorenaas generaizaas gobais e oais e um moeo e treiça pana. o aso e grehas, o pano a estrutura é formao peos eios gobais X e Y e são três os graus e iberae por nó: uma rotação em torno o eio X, uma rotação em torno o eio Y e um esoamento transversa ao pano a greha, na ireção o eio goba Z. A Figura.11 iustra uma greha e inia os sistemas e oorenaas generaizaas utiizaos. Coorenaas generaizaas gobais X Z Y Coorenaas generaizaas oais no sistema goba Z Y Coorenaas generaizaas oais no sistema oa 1 Z Y X 1 β X β Figura.11 Coorenaas generaizaas gobais e oais e um moeo e greha. As setas upas na Figura.11 representam oorenaas generaizaas assoiaas a rotações. Caa seta upa tem a ireção o eio em torno o qua se á a rotação. esse eempo, a numeração as oorenaas generaizaas é feita onforme se epia a seguir. As oorenaas são numeraas onseutivamente em aa nó. o sistema goba, a numeração segue a orem: primeiro, a ireção assoiaa à rotação em torno o eio X; seguno, a ireção assoiaa à rotação em torno o eio Y; e, tereiro, a ireção assoiaa ao esoamento na ireção Z. o sistema oa, a numeração segue a mesma orem, mas se refere aos eios oais a barra (, e z)..5. Graus e iberae e forças generaizaas gobais A soução ompeta e um moeo estrutura peo métoo a rigiez ireta é obtia pea superposição e uma soução goba o moeo om souções oais em aa barra o moeo. Conforme apresentao na Seção.1, a soução goba (estágio II) é uma representação isreta o probema, em que o ampo e esoamentos ontínuo é representao peas omponentes e esoamentos e rotações os nós o moeo. Uma omponente e esoamento ou rotação noa é efinia formamente omo: Di grau e iberae goba: omponente e esoamento ou rotação (ivre ou om restrição e apoio) em um nó o moeo estrutura, na ireção a oorenaa generaizaa goba i. essa efinição, a noção e grau e iberae goba estene o oneito e esoabiiae goba para inuir os esoamentos e rotações (onheios) assoiaos às restrições e apoio. O onjunto e graus e iberae gobais forma um vetor que é efinio a seguinte maneira: {D} vetor os graus e iberae gobais o probema isreto, inuino graus e iberae restritos por apoio.