KAIO GEOVANNE DE MEDEIROS DANTAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL KAIO GEOVANNE DE MEDROS DANTAS CÁLCULO AUTOMÁTICO DE ESTRUTURAS RETICULADAS NATAL-RN 17

2 Kaio Geovanne e Meeiros Dantas Cácuo automático e estruturas reticuaas Trabaho e Concusão e Curso na moaiae Monografia, submetio ao Departamento e Engenharia Civi a Universiae Feera o Rio Grane o Norte como parte os requisitos necessários para obtenção o Títuo e Bachare em Engenharia Civi. Orientaor: Prof.ª. Dra. Fernana Rorigues Mittebach. Nata-RN 17

3 Universiae Feera o Rio Grane o Norte - UFRN Sistema e Bibiotecas - SISBI Cataogação e Pubicação na Fonte. UFRN - Bibioteca Centra Zia Mamee Dantas, Kaio Geovanne e Meeiros. Cácuo automático e estruturas reticuaas / Kaio Geovanne e Meeiros Dantas f.: i. Monografia (Grauação) - Universiae Feera o Rio Grane o Norte, Centro e Tecnoogia, Departamento e Engenharia Civi. Nata, RN, 17. Orientaora: Profª. Drª. Fernana Rorigues Mittebach. 1. Estruturas reticuaas - Monografia.. Anáise matricia - Monografia.. Estruturas panas - Monografia. 4. Estruturas espaciais - Monografia. 5. Mecânica computaciona - Monografia. I. Mittebach, Fernana Rorigues. II. Títuo. RN/UF/BCZM CDU 64

4 Kaio Geovanne e Meeiros Dantas Cácuo automático e estruturas reticuaas Trabaho e concusão e curso na moaiae Monografia, submetio ao Departamento e Engenharia Civi a Universiae Feera o Rio Grane o Norte como parte os requisitos necessários para obtenção o títuo e Bachare em Engenharia Civi. Aprovao em 1 e junho e 17: Prof.ª. Dra. Fernana Rorigues Mittebach - Orientaor Prof. Pero Meeiros Pitombeira Cunha Examinaor interno Eng. Me. Pauo Henrique Araújo Beerra Examinaor externo Nata-RN 17

5 DEDICATÓRIA Deico este trabaho a minha famíia, que me incentivou e me eu forças em toos os momentos e ecisões e minha via.

6 AGRADECIMENTOS Agraeço primeiramente a Deus, que com certea sempre esteve onipresente em minha via e foi minha fortaea em toos os momentos bons e ifíceis peos quais passei até a reaiação este sonho. À meu pai, Francisco e Assis, e principamente minha mãe, Maria as Vitórias, por too o amor, carinho e suporte necessário para que eu enfrentasse toos os esafios que me foram impostos. Aos meus avós paternos Manoe e Eite (in memorian), e e forma especia aos meus avós maternos João Capistrano e Maria o Carmo, por serem pra mim muito mais que avós e por sempre me incentivarem em tuo o que eu faço. À minha professora e orientaora Fernana Mittebach, peo carinho, isposição e tempo e paciência em repassar para mim toos os conhecimentos necessários à reaiação este trabaho e também à minha formação profissiona. Meu interesse em seguir na área e Estruturas se eu graças às suas auas. À minha tia Ana Raque e minha irmã Anna Kara por toos os momentos e escontração e por toas as vees que se ispuseram a me ajuar em iversos momentos, não só a grauação, como também a minha via. À minha sobrinha e meus primos, que tantas vees me aegraram quano eu chegava em casa epois e passar ias istante e minha famíia. À minha bisavó Patrocínia Costa (in memorian) por too o amor, carinho e apreniao que meu eu urante os anos em que tive a graça e conviver com a mesma, sempre me cercano e cuiaos e buscano o mehor para mim. Sou eternamente grato! Aos tantos amigos que fi ao ongo este tempo: Aan, Breno, Itajá, Keven, Luia e Vanerson, que no início o curso foram minhas companhias na UFRN. De forma especia a Aryano, Ana Caroina, Bárbara, Danie, Euaro, Francisco Euo, Gustavo, Isabea, Isabee, Lisyanne, Lucas, Luciano, Maria Lopes, Nicoe, Rafae e Renata, que com suas amiaes ajuaram a tornar os anos e curso mais agraáveis e menos ifíceis. Aos meus amigos e upas e trabaho Ewerton Aves e Amana Sousa, por ese os primeiros semestres estarem ao meu ao e me ajuarem em momentos ifíceis, peas conversas e peas risaas ao ongo e tantos anos. Às minhas amigas e companheiras e apartamento, Ana Isa e Iabea Regina, peo companheirismo e por toos os momentos que vivemos e compartihamos ao ongo esses cinco anos e convivência.

7 RESUMO Cácuo automático e estruturas reticuaas O presente trabaho abora o cácuo automático e estruturas reticuaas panas e espaciais, através o esenvovimento e impementação e um cóigo computaciona em inguagem Fortran, com formuação baseaa no Métoo a Rigie. Foram esenvovias sub-rotinas para resoução e treiças panas e espaciais, pórticos panos e espaciais e grehas, objetivano a eterminação e suas reações e apoio, esocamentos e esforços internos noais. Para os casos e pórticos panos também foram esenvovias sub-rotinas capaes e consierar a inserção e articuações (rótuas) nas extremiaes as barras. São apresentaos exempos e apicação para caa um os tipos e estruturas aboraas, faeno-se posteriormente a comparação os resutaos obtios peo cóigo computaciona esenvovio e aquees obtios na iteratura e em outros programas e anáise estrutura já vaiaos. Diante os resutaos, foi possíve verificar a eficácia o cóigo esenvovio, com vaores e reações, esocamentos e esforços noais satisfatórios e acoro com o critério estabeecio. Paavras-chave: Estruturas reticuaas, Anáise matricia, Estruturas panas, Estruturas Espaciais, Mecânica computaciona.

8 ABSTRACT Tite: Automatic Anaysis of Frame Structures This wor presents an automatic treatment by means of the Matrix Stiffness Metho appie to panes frames an space frame structures. A computationa coe was eveope an impementation, using Fortran. Subroutines were eveope to sove pane trusses, space trusses, pane frames, space frames an gris. The resuts are expresse by the vaues of the noa ispacements, the support reactions an noa interna forces in each frame. In pane frame, the eements might have hinges (rotation iberation) on its initia an/or fina noes. Exampes are consiere in orer to verify the efficiency of the numerica approach propose for frames structures, by comparing the present approach resuts with those obtaine by the vaiate acaemic programs (Ftoo an Sat) an anaytica soutions. The resuts testify the efficiency of the eveope computationa coe, that presente amost the same resuts of noa ispacements, the support reactions an noa interna forces in each frame of the comparison parameters. Keywors: Frame structures, Matrix anaysis, Pane structures, Space structures, Computationa mechanics.

9 ÍNDICE GERAL 1-INTRODUÇÃO Cassificação as estruturas reticuaas Objetivos Objetivo gera Objetivos específicos Estrutura o trabaho FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Cassificação as estruturas reticuaas Métoo a Rigie.... Anáise matricia e estruturas Sistema e referência goba e oca as estruturas Matri e rotação os eementos..... Matri e rigie os eementos Vetor e cargas noais equivaentes os eementos Apicação as conições e contorno... 8 METODOLOGIA Consierações gerais sobre o programa Montagem as matries e rigie ocais Matri e rigie oca para eementos e treiça pana e espacia Matri e rigie oca para eementos e greha Matri e rigie oca para eementos e pórtico pano Matri e rigie oca para eementos e pórtico espacia Montagem as matries e rotação os eementos Matri e rotação para eementos e estruturas panas Matri e rotação para eementos e estruturas espaciais Montagem o vetor e cargas noais equivaentes Montagem a matri e rigie goba e o vetor e forças goba a estrutura Resoução o sistema e equações Determinação os esforços noais... 57

10 4 RESULTADOS Treiça pana Pórtico pano Pórtico pano com rótua Greha Treiça espacia Pórtico espacia DISCUSSÕES Discussões acerca os resutaos Limitações Sugestões para continuiae o trabaho CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 79

11 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 - Subivisão e um pórtico pano em barras Figura - Treiças pana e espacia Figura - Pórtico pano... Figura 4 Viga... Figura 5 - Pórtico espacia... Figura 6- Greha... 1 Figura 7 - Configuração eformaa e pórtico pano através a superposição e configurações eformaas eementares... Figura 8- Numeração goba os nós e eementos e um pórtico pano... 5 Figura 9- Numeração goba as esocabiiaes e cargas noais e um pórtico pano... 6 Figura 1- Sistema e referência goba e oca e uma barra pana... 7 Figura 11 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e treiça pana8 Figura 1 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e treiça espacia... 8 Figura 1 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e pórtico espacia... 9 Figura 14 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e pórtico espacia... 9 Figura 15 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais e barra e greha... Figura 16- Rotação e eixos no pano... 1 Figura 17- Rotação os eixos no espaço triimensiona... Figura 18- Determinação os coeficientes e rigie oca em barra bi-engastaa... 5 Figura 19 - Reações e engastamento perfeito em barras e pórtico pano... 7 Figura - Arquivo e entraa para um pórtico pano... 4 Figura 1 - Ponto auxiiar nos referenciais goba e oca com os respectivos vetores unitários Figura - Cargas noais equivaentes para barras bi-engastaas Figura - Montagem a matri e rigie e vetor e forças a estrutura Figura 4 - Convenção e sinais para esforços e esocamentos noais Figura 5 - Exempo 1 - Treiça pana Figura 6- iscretiação e numeração os nós e eementos a treiça pana... 59

12 Figura 7 - Exempo - Pórtico pano Figura 8 - Discretiação e numeração os nós e eementos o pórtico pano Figura 9 - Exempo - Pórtico pano com rótua... 6 Figura - Discretiação e numeração os nós e eementos o pórtico pano com rótua... 6 Figura 1 - Exempo 4 - Greha Figura - Discretiação e numeração os nós e eementos a greha Figura - Exempo 5 - Treiça espacia Figura 4 - Discretiação e numeração os nós e eementos a treiça espacia Figura 5 - Exempo 6 - Pórtico espacia Figura 6 - Discretiação e numeração os nós e eementos o pórtico espacia... 7

13 ÍNDICE DE TABELAS Tabea 1 - Desocamentos noais para a treiça pana Tabea - Reações e apoio para a treiça pana... 6 Tabea - Esforços noais para treiça pana... 6 Tabea 4 - Desocamentos noais o pórtico pano... 6 Tabea 5 - Reações e apoio para o pórtico pano... 6 Tabea 6 - Esforços noais para o pórtico pano... 6 Tabea 7 - Desocamentos noais para o pórtico pano com rótua Tabea 8 - Reações para o pórtico pano com rótua Tabea 9 - Esforços noais para o pórtico pano com rótua Tabea 1 - Desocamentos noais para a greha Tabea 11 - Reações para a greha Tabea 1 - Esforços noais para a greha Tabea 1 - Desocamentos noais para a treiça espacia Tabea 14 - Reações para a treiça espacia... 7 Tabea 15 - Esforços noais para a treiça espacia... 7 Tabea 16 - Desocamentos noais para o pórtico espacia... 7 Tabea 17 - Reações para o pórtico espacia... 7 Tabea 18 - Esforços noais para o pórtico espacia... 74

14 SIMBOLOGIA SÍMBOLO A a i a (i) G C i c (i) c (i) G i Dti Dte E e X e Y e Z e x e y e f f i FX FY FZ G h y h I y I J t j SIGNIFICADO Área a seção transversa a barra Vetor e esforços noais o eemento (i) no referencia oca Vetor e esforços noais o eemento (i) no referencia goba Carregamento externo apicao na ireção o grau e iberae (i) Vetor e cargas noais equivaentes o eemento no referencia oca Vetor e cargas noais equivaentes o eemento no referencia goba Vetor e esocamentos noais a estrutura Desocamento na ireção o grau e iberae (i) Variação e temperatura na face inferior o eemento Variação e temperatura na face superior o eemento Móuo e easticiae ongituina o materia Vetor unitário na ireção o eixo goba X Vetor unitário na ireção o eixo goba Y Vetor unitário na ireção o eixo goba Z Vetor unitário na ireção o eixo oca x Vetor unitário na ireção o eixo oca y Vetor unitário na ireção o eixo oca Vetor goba e forças a estrutura Eemento o vetor e forças reativo à esocabiiae (i) Força na ireção o eixo goba X Força na ireção o eixo goba Y Força na ireção o eixo goba Z Móuo e easticiae transversa o materia Dimensão a seção transversa paraea ao eixo y oca Dimensão a seção transversa paraea ao eixo oca Momento e inércia à fexão em torno o eixo y Momento e inércia à fexão em torno o eixo Momento e inércia à torção Nó inicia o eemento

15 K (i) (i) G mt M y M Mx N n no i no f P p px py p Qx Qy Q R R t (i) tc t u (i) u (i) G X x X j X X K Matri e rigie goba a estrutura Nó fina o eemento Matri e rigie o eemento (i) no referencia oca Matri e rigie o eemento (i) no referencia goba Comprimento o eemento (barra) Momento torçor Momento fetor em torno o eixo oca y Momento fetor em torno o eixo oca Momento torçor em torno o eixo oca x Esforço norma Vetor unitário a ireção o nó inicia j para o ponto auxiiar Nó inicia o eemento Nó fina o eemento Carga concentraa Carga istribuía Carga istribuía no eixo oca x Carga istribuía no eixo oca y Carga istribuía no eixo oca Esforço cortante no eixo oca x Esforço cortante no eixo oca y Esforço cortante no eixo oca Vetor e reações e apoio a estrutura Matri e rotação o eemento (i) Carga trianguar crescente Carga trianguar ecrescente Vetor e esocamentos noais o eemento (i) no referencia oca Vetor e esocamentos noais o eemento (i) no referencia goba Eixo X goba Eixo x oca Coorenaa X goba o nó inicia j o eemento Coorenaa X goba o nó fina o eemento Coorenaa X goba o ponto auxiiar

16 Y y Y j Y Y K Z Z j Z Z K ρ Eixo Y goba Eixo y oca Coorenaa Y goba o nó inicia j o eemento Coorenaa Y goba o nó fina o eemento Coorenaa Y goba o ponto auxiiar Eixo Z goba Eixo oca Coorenaa Z goba o nó inicia j o eemento Coorenaa Z goba o nó fina o eemento Coorenaa Z goba o ponto auxiiar Recaque e apoio Variação e temperatura uniforme

17 16 1- INTRODUÇÃO 1.1 Cassificação as estruturas reticuaas A anáise estrutura permite a eterminação e agumas graneas funamentais para avaiar o comportamento as estruturas frente às ações soicitantes (cargas, variações e temperatura, recaques e apoio etc.), bem como reaiar seu correto imensionamento. De acoro com Moreira (1977), essas graneas são e quatro tipos: as ações mecânicas externas (soicitações e reações e apoio), as ações mecânicas internas (esforços seccionais e tensões), os esocamentos os pontos a estrutura e as eformações. Geramente, o objetivo a anáise e estruturas reticuaas é a eterminação os esocamentos noais, as reações e apoio e os esforços internos soicitantes. Para se chegar a esse objetivo é necessário criar um moeo estrutura, que é o moeo anaítico peo qua se representa matematicamente a estrutura rea, faeno assim uma ieaiação o comportamento a mesma. Isso se á através a moeagem geométrica a estrutura, as ações externas e internas, bem como a aoção e hipóteses simpificaoras (MARTHA, 1; MITTELBACH, 11). Com o esenvovimento a tecnoogia e, consequentemente, a evoução os computaores e as técnicas computacionais, a anáise e estruturas por métoos numéricos tornou-se caa ve mais utiiaa. Isso permitiu que estruturas mais compexas, cuja resoução anaítica seria muito ispeniosa, puessem ser resovias e maneira prática. Para que a impementação computaciona as estruturas seja possíve, é necessário faer a iscretiação as mesmas. Dentre os métoos computacionais estaca-se o Métoo os Eementos Finitos (MEF), no qua a iscretiação é obtia pea subivisão o omínio a estrutura em uma maha e eementos finitos com a consieração e um número finito e variáveis (graus e iberae) nos seus pontos noais. Em se tratano e estruturas reticuaas, que são aqueas formaas por barras igaas por nós nas suas extremiaes, o omínio já se encontra naturamente iscretiao, visto que essas estruturas são resovias através o conhecimento os esocamentos e esforços noais, tratano caa uma as barras como um eemento finito (MARTHA, 1; MITTELBACH, 11). As barras que constituem as estruturas reticuaas se caracteriam por possuírem uma imensão preponerante em reação às emais. São representaas por um segmento e reta, também chamao e eemento, cujas extremiaes são enominaas e pontos noais (nós).

18 17 Os pontos noais também poem ser consieraos internos à barra, o que consiste em iviia em barras menores (SORIANO, 5). Isso ocorre quano, por exempo, se quer apicar uma carga concentraa em um ponto iferente a extremiae a barra origina. A subivisão e uma estrutura (pórtico pano) em barras está iustraa na Figura 1. Figura 1 - Subivisão e um pórtico pano em barras P Fonte: Aaptao e Moreira (1977) 1. Objetivos 1..1 Objetivo gera Desenvover um cóigo computaciona em inguagem e programação Fortran, para anáise e resoução e estruturas reticuaas panas (pórticos e treiças) e espaciais (pórticos, treiças e grehas), com sistema isostático ou hiperestático, a fim e se conhecer o comportamento estrutura as mesmas frente às iversas ações soicitantes a que poem estar submetias. 1.. Objetivos específicos a) Detahar e expor o métoo matricia utiiao na impementação computaciona para anáise automática e estruturas reticuaas; b) Discorrer sobre a moificação as matries e vetores as estruturas frente à apicação as conições e contorno geométricas, bem como a simpificação a resoução os sistemas e equações e equiíbrio, necessária para o conhecimento o comportamento as estruturas; c) Determinar as reações e apoio, esocamentos e esforços internos nos pontos noais os tipos e estruturas reticuaas trataas ao ongo o trabaho.

19 18 1. Estrutura o trabaho O presente trabaho é composto por seis capítuos. No Capítuo iscorre-se sobre a cassificação as estruturas reticuaas, expicano suas proprieaes e as hipóteses consieraas na resoução as mesmas. Também apresenta-se o Métoo a Rigie para resoução essas estruturas, sua formuação matricia e consequentemente a obtenção as matries e vetores necessários aos cácuos. São aina apresentaas as operações reaiaas na formuação matricia as estruturas. No Capítuo apresenta-se a metooogia empregaa na resoução as estruturas reticuaas pea anáise matricia via impementação computaciona. Neste capítuo apresentam-se as consierações sobre o cóigo computaciona esenvovio, expicano sua estrutura gera (programa principa, sub-rotinas, arquivos e entraa e saía). São eencaas as matries e os vetores utiiaos no esenvovimento o cóigo, bem como as consierações, os métoos e as técnicas que foram empregaos urante ta proceimento. No Capítuo 4 estão apresentaos exempos utiiaos na obtenção os resutaos peo cóigo computaciona para os tipos e estruturas que o mesmo se propõe a resover, como pórticos panos (com e sem rótua) e espaciais, treiças panas e espaciais e grehas. Também são apresentaos os resutaos, para os mesmos exempos, obtios na iteratura e em programas e cácuo estrutura, tais como FTOOL (MARTHA, 1) e SALT, para posterior comparação. No Capítuo 5 apresentam-se as iscussões acerca os resutaos obtios e a comparação os mesmos com aquees obtios na iteratura ou em outros programas e anáise estrutura. Também iscorre-se sobre as imitações o cóigo computaciona esenvovio e as sugestões para continuiae o trabaho. Por fim, o Capítuo 6 apresenta as concusões sobre o trabaho, apresentano uma síntese e um parecer quanto ao atenimento e suas expectativas.

20 19 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1 Cassificação as estruturas reticuaas Soriano (5) cassifica as estruturas em barras e acoro com ois critérios: quanto aos esforços seccionais esenvovios nessas barras e quanto ao equiíbrio estático as estruturas. De acoro com o primeiro critério as estruturas reticuaas poem ser cassificaas como treiças pana ou espacia, pórticos pano ou espacia, greha e estruturas com escoras, tirantes ou cabos. A treiça, seja ea pana ou espacia, é um moeo e estrutura reticuaa formaa por barras retas e otaas e articuações (rótuas) nas suas extremiaes. Consiera-se que toas as cargas atuam iretamente sobre seus nós. Por esses motivos, as barras esse tipo e estrutura apresentam apenas esforços normais e tração ou compressão. Isso torna irreevante o posicionamento os eixos principais e inércia a seção transversa reta essas barras (MARTHA, 1; SORIANO, 5). A Figura iustra ois exempos e treiça: à esquera uma treiça pana e à ireita uma treiça espacia. Figura - Treiças pana e espacia Fonte: Sussein (1981) Martha (1) efine um pórtico pano como um moeo estrutura simpificao e uma estrutura triimensiona. Os pórticos panos são formaos por barras e soicitações externas contias num mesmo pano. As seções transversais essas barras ficam soicitaas por momento fetor em torno o eixo norma ao pano a estrutura e força norma e cortante no próprio pano a estrutura, no qua também evem estar situaos os eixos principais e inércia as seções transversais os eementos. Uma viga é um caso particuar e pórtico pano cujas barras estão toas contias num mesmo eixo (MARTHA, 1; SORIANO, 5). As Figuras e 4 iustram, respectivamente, exempos e pórtico pano e e viga.

21 Figura - Pórtico pano Figura 4 Viga Fonte: Autor (17) Fonte: Aaptao e Mittebach (11) Os pórticos espaciais, ta como reata Martha (1), são o caso mais gera e estruturas reticuaas. Caa ponto e uma estrutura como essa poe estar submetio a três componentes e esocamento e três componentes e rotação. Nas seções transversais as barras e pórticos espaciais poem ser esenvovios seis esforços seccionais: força norma, força cortante seguno os eixos y e, momento fetor em torno os eixos y e e, por fim, momento e torção (SORIANO, 5). A Figura 5 iustra um exempo e pórtico espacia. Figura 5 - Pórtico espacia Fonte: Aaptao e Mittebach (11) Sussein (1981) efine, resumiamente, as grehas como estruturas contias num pano com carregamento externo perpenicuar ao pano a estrutura. Soriano (5) reata que esse pano é usuamente horionta e que as seções transversais as barras esse tipo e

22 1 estrutura ficam soicitaas por momento fetor no pano a greha, força cortante norma ao pano a greha e momento e torção. Seno assim, é necessário que peo menos um os eixos principais e inércia a seção transversa esteja situao no pano a estrutura. Um exempo e greha está iustrao na Figura 6. Figura 6- Greha Fonte: Autor (17) Os tirantes e as escoras são moeos que apresentam eementos estruturais com eixos bem efinios, submetios, respectivamente, apenas à tração pura e à compressão pura. Os cabos também estão submetios à tração pura, porém iferem os tirantes por poerem apresentar eixo curvo em função as forças que he soicitam (MARTHA, 1; SORIANO, 5). Quanto ao seguno critério (equiíbrio estático), Soriano (5) cassifica as estruturas em hipostáticas, isostáticas ou hiperestáticas, seno as hipostáticas as que não apresentam víncuos externos (restrições e apoio) e internos suficientes para garantir seu equiíbrio ou e suas partes (não possuem estabiiae). Martha (1) efine as estruturas isostáticas (ou estaticamente eterminaas) como aqueas nas quais o número e víncuos externos e internos se iguaa ao número e conições e equiíbrio. Dessa forma, faeno-se uso as eis a estática é possíve eterminar os esforços seccionais e as reações e apoio esse tipo e estrutura. Por fim, as estruturas hiperestáticas (ou estaticamente ineterminaas) são aqueas cujos víncuos externos e internos são exceentes em reação ao número e equações e equiíbrio estático. Diante isso, aém as equações e equiíbrio é necessário evar em consieração a eformabiiae o moeo estrutura para se eterminar suas reações e apoio e seus esforços seccionais (MARTHA, 1; SORIANO, 5). De acoro com White (1976, apu MARTHA, 1), para resover uma estrutura hiperestática é necessário evar em consieração três conições básicas a anáise estrutura: conições e equiíbrio, conições e compatibiiae entre esocamentos e eformações, e

23 conições impostas peas eis constitutivas os materiais. A partir esse pressuposto, é necessário efinir metooogias para a soução essas estruturas. Basicamente, existem ois métoos básicos e anáise estrutura: o Métoo as Forças e o Métoo os Desocamentos. No primeiro métoo, também conhecio como Métoo a Fexibiiae quano o moeo estrutura é inear, as principais incógnitas o probema são as forças e os momentos. Esse métoo objetiva encontrar, em um conjunto e souções que atenem ao equiíbrio o sistema, aquea que também satisfa às conições e compatibiiae e eformação (MARTHA, 1). Já no Métoo os Desocamentos, também conhecio como Métoo a Rigie quano o moeo estrutura é inear, as principais incógnitas são os esocamentos e rotações.. Métoo a Rigie A ieia básica o Métoo a Rigie é encontrar, entro e um conjunto e souções que satisfaem às conições e compatibiiae e eformações, aquea que também satisfaça às equações e equiíbrio estático. A soução por esse métoo poe ser vista como uma superposição e configurações eformaas conhecias. A Figura 7 exempifica a superposição e configurações eformaas em um pórtico pano. Nessa figura, o caso () isoa o efeito a soicitação externa sobre a estrutura, mostrano a configuração eformaa a mesma. Os emais casos (1 a 7) isoam os efeitos causaos peas imposições e esocamentos e rotações noais isoaos. A superposição e toos os casos resuta na configuração eformaa fina o pórtico (MARTHA, 1). Figura 7 - Configuração eformaa e pórtico pano através a superposição e configurações eformaas eementares Fonte: Martha (1)

24 Diante isso, efinem-se as esocabiiaes e uma estrutura como seno as componentes e esocamentos e rotações noais necessárias para se conhecer sua configuração eformaa. Essas esocabiiaes poem ser cassificaas como internas (rotações os nós não rotuaos) ou externas (esocamentos ineares inepenentes os nós). De acoro com Soriano (5), os esocamentos noais ivres são enominaos e graus e iberae, enquanto os esocamentos noais os apoios são enominaos esocamentos prescritos. A apicação o Métoo a Rigie consiste em impeir toas as esocabiiaes a estrutura através a inserção e víncuos fictícios. A estrutura moificaa pea inserção os víncuos recebe o nome e Sistema Hipergeométrico (SH) e é única, visto que só existe uma possibiiae para chegar até a mesma, que é impeino toas as esocabiiaes. Apicamse, isoaamente, rotações ou esocamentos ineares unitários na ireção e caa um as esocabiiaes e avaiam-se os efeitos que essas rotações ou esocamentos ineares unitários causam na ireção as outras esocabiiaes. Feito isso, é possíve montar um sistema e equações cuja resoução permite conhecer o vaor que caa esocabiiae eve ter para recompor o equiíbrio a estrutura origina sem o apoio fictício (MARTHA, 1). Para uma estrutura reticuaa com n esocabiiaes, o sistema e equiíbrio resutante a apicação o Métoo a Rigie se escreve a seguinte forma: β 1 + β β β 1n n = C 1 β n + β n1 1 + β n + + β nn n = C n (1) One: β ij Força ou momento na ireção o grau e iberae i evio a um esocamento ou rotação unitária na ireção o grau e iberae j. Peo teorema os trabahos recíprocos, tem-se que β ij = β ji ; β i Força ou momento na ireção o grau e iberae i evio à soicitação externa; Δ i Desocamento na ireção o grau e iberae i; C i Carregamento externo apicao na ireção o grau e iberae i. De acoro com Mittebach (11) o referio métoo é especiamente aequao para a formuação matricia e uma estrutura. Dessa maneira, o sistema e equações (1) acima poe ser reescrito na forma matricia como se segue:

25 4 β 11 β 1 β 1n Δ 1 β 1 C 1 β [ 1 β β n Δ ] [ β ] = [ C ] + [ ] () β n1 β n β nn Δ n β n C n. Anáise matricia e estruturas Para que se possa reaiar a impementação computaciona e uma estrutura é necessário trata-a e forma generaiaa. De acoro com Mittebach (11), no caso e estruturas reticuaas, isso é feito impeino toos os esocamentos noais a estrutura para cacuar os coeficientes e apicar as conições e contorno geométricas na resoução o sistema e equiíbrio. Caamuro Jr e Micheim () faam que, aém e permitir a generaiação esejaa, a anáise matricia tem a vantagem e se aaptar bem ao emprego em computaores. Para se reaiar a impementação computaciona é necessário consierar agumas efinições quanto aos parâmetros utiiaos nos cácuos. Quano se trabaha com anáise matricia, o sistema e equações () mostrao anteriormente assume a forma a seguir (MITTELBACH, 11): n 1 f 1 R 1 [ 1 n ] [ f ] = [ R ] + [ ] () n1 n nn n f n R n One: ij Coeficientes e rigie. A matri formaa por esses coeficientes é enominaa matri e rigie a estrutura. Caa coeficiente representa a reação na ireção o grau e iberae i causaa por um esocamento ou rotação unitária na ireção o grau e iberae j. Peo teorema os trabahos recíprocos ij = ji ; i Desocamento na ireção o grau e iberae i. O conjunto os esocamentos é enominao vetor e esocamentos noais a estrutura; f i Eemento o vetor e forças reativo à esocabiiae i. O vetor e forças é formao peo somatório entre as cargas noais equivaentes e as cargas noais concentraas; R i Reação e apoio na ireção o grau e iberae i. O conjunto e reações forma o vetor e reações e apoio a estrutura, computao separaamente o vetor e cargas noais.

26 5 De maneira gera, o sistema e equações () tem a forma: K = f + R (4) One K é a matri e rigie goba a estrutura, é o vetor goba e esocamentos noais, f é o vetor goba as forças noais e R é o vetor e reações e apoio a estrutura...1 Sistema e referência goba e oca as estruturas Com a finaiae e ientificar e orenar as ações mecânicas e os esocamentos existentes na estrutura, é fixao, iniciamente, um sistema e referência para a mesma (MORRA, 1977). Esse sistema poe ser e ois tipos: goba ou oca. O sistema e referência goba trata a estrutura como um too. De acoro com Soriano (5, apu Kummer, 14) a esse sistema e referência ficam vincuaas as graneas reativas aos nós a estrutura, como coorenaas, esocamentos, reações e cargas concentraas. Mittebach (11) cita que, para anaisar matriciamente uma estrutura é necessário iniciamente numerar seus nós para que seja possíve numerar e ientificar as esocabiiaes associaas a caa um ees. A numeração os eementos também é importante para efinir os nós iniciais e finais e caa uma as barras. Essa numeração os nós, bem como a os eementos, é feita iniciamente e acoro com o sistema e referência goba XYZ. A Figura 8 iustra a numeração goba em um Sistema Hipergeométrico e um pórtico pano com quatro nós (numeração inseria nos círcuos) e três eementos (numeração inseria nos retânguos). Figura 8- Numeração goba os nós e eementos e um pórtico pano Fonte: Aaptao e Mittebach (11)

27 6 A caa nó a estrutura está associaa uma eterminaa quantiae e esocabiiaes e cargas noais. Ta quantiae, bem como o tipo e esocabiiaes e cargas, epene o tipo e eemento estrutura que se está anaisano. Iniciamente numeram-se os esocamentos e cargas transacionais e na sequência os rotacionais (SORIANO, 5). Um maior enfoque sobre isso será ao, posteriormente, quano expicaa a numeração oca os eementos. A Figura 9 iustra a numeração goba as esocabiiaes () e as cargas noais (f) e um pórtico pano. Figura 9- Numeração goba as esocabiiaes e cargas noais e um pórtico pano Fonte: Aaptao e Mittebach (11) Quano se anaisa uma estrutura matriciamente fa-se a superposição os efeitos e caa uma as barras a estrutura para compor a matri e rigie e o vetor e cargas (MITTELBACH, 11). Como reata Martha (1), a soma as contribuições os coeficientes e rigie ocais as barras é uma as características mais marcantes o Métoo a Rigie, que embasa a anáise matricia. De acoro com Soriano (5), é prático trabahar com um referencia oca xy para caa barra, e forma que o eixo x tenha origem no nó inicia a barra (nó j) e seja irigio para o nó fina a barra (nó ). Em barra reta, os eixos y e são paraeos aos eixos principais e inércia as seções transversais, com o eixo paraeo e e mesmo sentio que o eixo goba Z no caso e estrutura pana. (SORIANO, 5, p. 89). A Figura 1 iustra um exempo e uma barra pana referia, respectivamente, no referencia goba e oca.

28 7 Figura 1- Sistema e referência goba e oca e uma barra pana Fonte: Mittebach (11) Os esocamentos noais também são numeraos no referencia oca a barra. Nas barras também atuam esforços internos em seus pontos noais. De acoro com Martha (1, p. 4) Esforços internos em uma estrutura reticuaa representam as forças e momentos e igação entre partes separaas por um corte em uma seção transversa a estrutura. Consiera-se, em caa barra, um número e esforços noais igua ao os esocamentos noais (SORIANO, 5). Na numeração oca aota-se a notação u i para os esocamentos noais atuantes na i-ésima barra e a notação a i para os esforços noais a referia barra. Sobrescrito a essas notações numeram-se os esocamentos e esforços e acoro com a convenção já citaa anteriormente (esocamentos e esforços transacionais iniciamente e rotacionais na sequência). Numa barra e treiça pana existem ois esocamentos transacionais e ois esforços em caa um e seus pontos noais, totaiano quatro esocamentos e quatro esforços por barra. Dos quatro esforços noais apenas ois são iferentes e ero, seno estes representaos sempre no referencia oca. Peo fato e não existir cargas apicaas no interior a barra, para que os momentos fetores sejam nuos nas articuações, o único esforço interno tem e ser o esforço norma N (MARTHA, 1; SORIANO, 5). A Figura 11 iustra uma barra e treiça pana com sua respectiva numeração oca os esocamentos e esforços noais.

29 8 Figura 11 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e treiça pana Fonte: Soriano (5) Numa barra e treiça espacia existem três esocamentos transacionais e três esforços em caa um e seus pontos noais, perfaeno seis esocamentos e seis esforços por barra. Dos seis esforços, apenas ois são iferentes e ero (SORIANO, 5). Dessa forma, ta como ocorre nas barras e treiça pana, o único esforço interno que atua nas barras e treiça espacia é o esforço norma N. A Figura 1 iustra a numeração oca os esocamentos e esforços noais e uma barra e treiça espacia. Figura 1 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e treiça espacia Fonte: Soriano (5) Os pórticos panos possuem seis esocamentos e seis esforços noais em caa uma e suas barras. Os esocamentos corresponem a ois esocamentos transacionais no pano xy oca a barra e um esocamento rotaciona em torno o eixo perpenicuar ao pano a estrutura. Já os esforços noais que atuam nas barras esse tipo e eemento estrutura corresponem à força norma N, força cortante Q y (y oca) e momento fetor M ( oca) e vetor representativo norma ao pano a estrutura (SORIANO, 5). Uma barra e pórtico pano, com a numeração e seus respectivos esocamentos e esforços noais, encontra-se iustraa na Figura 1.

30 9 Figura 1 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e pórtico espacia Fonte: Soriano (5) Como já foi mencionao anteriormente, o caso mais gera e estruturas reticuaas é o pórtico espacia. A caa ponto noa as barras esse tipo e eemento estrutura estão associaos seis esocamentos e seis esforços noais, totaiano oe esocamentos e oe esforços noais por barra. Os esocamentos corresponem a três componentes e transação e três componentes e rotação. Já os esforços corresponem a esforço norma N, esforço cortante Q y (y oca), esforço cortante Q ( oca), momento fetor M y (em torno o eixo y oca), momento fetor M (em torno o eixo oca) e momento e torção T em torno o eixo oca x (MARTHA, 1). A numeração os esocamentos e esforços noais para o pórtico espacia está iustraa na Figura 14. Figura 14 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais em barra e pórtico espacia Fonte: Soriano (5) As barras e estruturas e greha possuem em caa ponto noa três esocamentos, seno um esocamento transaciona transversa ao pano a estrutura e uas rotações e vetores representativos no referio pano (SORIANO, 5). A caa nó também estão

31 associaos três esforços internos, seno ees um esforço cortante Q na ireção o eixo oca, um momento fetor M y em torno o eixo oca y e um momento torçor T em torno o eixo oca x (MARTHA, 1). Dessa forma, caa barra e uma greha totaia seis esocamentos e seis esforços noais, cuja numeração está iustraa na Figura 15. Figura 15 - Numeração oca os esocamentos e esforços noais e barra e greha Fonte: Soriano (5).. Matri e rotação os eementos De acoro com Venâncio Fiho (1975, apu Kummer, 14), para avaiar a interação entre as barras a estrutura é necessário estabeecer um sistema e referência único entre eas, seno esse sistema o goba. A transformação o referencia goba para o oca é feita através a matri e rotação e vetores. Essa matri poe ser euia no pano ou no espaço triimensiona, e acoro com o tipo e estrutura que se eseja anaisar. Para se eterminar a matri e rotação no pano poe-se iniciamente consierar um vetor v pertencente ao pano XY ou ao pano xy. Esse vetor poe ser ecomposto seguno os eixos XY o referencia goba ou seguno os eixos xy o referencia oca, ta como está iustrao na Figura 16. Através a ecomposição mostraa na figura referia, é possíve escrever: v x = v X cos(α) + v Y sen(α) v y = v X sen(α) + v Y cos(α) One v x e v y são as componentes o vetor v no referencia oca (pano xy) e v X e v Y são as componentes o vetor v no referencia goba (pano XY). (5)

32 1 Figura 16- Rotação e eixos no pano Fonte: Mittebach (11) As equações mostraas em (5) poem ser reescritas matriciamente, assumino a seguinte forma: [ v x cos α v ] = [ y sin α sin α cos α ] [v X v ] ou v xy = R t v XY (6) Y One v xy correspone ao vetor v na base xy, v XY correspone ao vetor v na base XY e R t correspone à matri e rotação no pano. De acoro com Soriano (5), a primeira inha a referia matri e rotação é formaa peos cossenos iretores em reação ao eixo x e a seguna inha é formaa peos cossenos iretores em reação ao eixo y. Ta autor aina reata que essa matri é ortogona. Os vaores e sin α e cos α poem ser eterminaos peas coorenaas no referencia goba os nós inicia e fina a barra. Aotano-se a notação X j e Y j para as coorenaas gobais no pano XY o nó inicia, bem como X e Y para as coorenas gobais o pano XY o nó fina o eemento, os termos a matri e rotação R t poem ser cacuaos como se segue: cos α = X X j sin α = Y Y j (7) (8)

33 Em que é o comprimento a barra, eterminao pea equação (9): = (X X j ) + (Y Y j ) (9) Soriano (5) expica que a matri e rotação no espaço triimensiona é efinia e maneira semehante ao que foi feito no pano. Essa matri e rotação para eementos triimensionais tem a seguinte forma: λ xx λ xy λ xz R = [ λ yx λ yy λ yz ] (1) λ X λ Y λ Z A primeira inha essa matri efine os cossenos iretores as ireções X, Y e Z em reação ao eixo x, a seguna inha efine os cossenos iretores as ireções X, Y e Z em reação ao eixo y e a terceira inha efine os cossenos iretores as ireções X, Y e Z em reação ao eixo. Aina e acoro com Soriano (5), como o eixo x passa peos nós inicia e fina a barra, cujas coorenaas gobais são, respectivamente, (X j, Y j, Z j ) e (X, Y, Z ), os cossenos iretores em reação a esse eixo poem ser eterminaos como: λ xx = X X j λ xy = Y Y j λ xz = Z Z j (11) (1) (1) One correspone ao comprimento a barra triimensiona, efinio como se segue: = (X X j ) + (Y Y j ) + (Z Z j ) (14) Os cossenos iretores em reação ao eixo y poem ser eterminaos e acoro com a Figura 17, que mostra a rotação os eixos no espaço triimensiona (SORIANO, 5):

34 Figura 17- Rotação os eixos no espaço triimensiona Seno: λ yx = cos a (15) λ yy = cos b (16) λ yz = cos c (17) Fonte: Autor (17). Fonte: Autor (17) A efinição os cossenos iretores em reação ao eixo poe ser feita através e agumas metooogias encontraas na iteratura. A escohia neste trabaho foi através a efinição e um ponto auxiiar para caa eemento, cujas coorenaas ajuam a efinir os cossenos iretores. Ta métoo encontra-se etahao no item... Uma ve eterminaas as matries e rotação, poem-se reacionar os vetores e esocamentos e esforços noais os eementos a estrutura no referencia oca e goba através as seguintes expressões: u (i) = R t (i) u (i) G (18) a (i) = R t (i) a (i) G (19) One u (i) e a (i) são, respectivamente, os vetores e esocamentos noais e esforços noais o eemento (i) no referencia oca, u (i) G e a (i) G são, respectivamente, os vetores e esocamentos noais e esforços noais o eemento (i) no referencia goba e R (i) t é a matri e rotação o eemento (i).

35 4.. Matri e rigie os eementos Como já foi citao no item., no Métoo a Rigie o comportamento e uma estrutura poe ser obtio pea superposição e configurações eformaas eementares conhecias. Caa configuração eformaa eementar é composta e configurações eformaas eementares as barras que a compõem, enominaas e souções funamentais. As souções funamentais poem ser e ois tipos: coeficientes e rigie ocais e reações e engastamento perfeito (MARTHA, 1). A matri e rigie os eementos isoaos, também chamaa e matri e rigie oca, é composta peos coeficientes e rigie ocais. Estes, e acoro com Martha (1, p. 69) [...] corresponem a forças e momentos que evem atuar nas extremiaes e uma barra para equiibrá-a quano são impostos, isoaamente, esocamentos ou rotações unitárias nas suas extremiaes. Os parâmetros funamentais peos quais se obtém os coeficientes e rigie ocais são o coeficiente e rigie axia, o coeficiente e rigie à rotação e o coeficiente e rigie à torção. O primeiro correspone à força axia que eve atuar em uma as extremiaes a barra ao se impor um esocamento unitário na referia extremiae enquanto toas as outras esocabiiaes são nuas. O seguno correspone ao momento que eve atuar em umas as extremiaes a barra ao se impor uma rotação unitária na referia extremiae enquanto as outras esocabiiaes são nuas. Nesse caso, os coeficientes variam e acoro com as conições e apoio a barra (bi-engastaa ou com articuação em uma ou nas uas extremiaes). O terceiro e útimo correspone a um fator utiiao na eterminação o momento e torção que eve atuar na extremiae inicia e uma barra quano uma rotação é imposta na extremiae fina, manteno a rotação a extremiae inicia nua. Toos os outros parâmetros necessários poem ser obtios a partir os funamentais. Os parâmetros funamentais citaos são obtios em função e proprieaes os materiais (como móuo e easticiae E e móuo e cisahamento G) e proprieaes geométricas (como área a seção A, momento e inércia à fexão I, momento e inércia à torção J t e comprimento a barra ) (MARTHA, 1). A Figura 18 iustra a eterminação os coeficientes e rigie oca e barras retas biengastaas com seção constante.

36 5 Figura 18- Determinação os coeficientes e rigie oca em barra bi-engastaa Fonte: Aaptao e Soriano (5) O parâmetro φ presente nos coeficientes e rigie à rotação na Figura 18 é utiiao para consierar o efeito a eformação por força cortante nas barras (cisahamento). Entretanto, no caso e barras reticuaas usais, nas quais o comprimento é muito maior que a atura a seção transversa, as eformações por cisahamento poem ser espreaas, visto que as mesmas são pequenas em reação àqueas provocaas por efeitos e fexão (MARTHA, 1; SORIANO, 5). Obtias as matries e rigie ocais as barras, é necessário reaiar a transformação o referencia oca para goba, a fim e montar posteriormente a matri e rigie goba a estrutura. Ta transformação poe ser feita utiiano a matri e rotação os eementos. De acoro com Mittebach (11) o equiíbrio o eemento no referencia oca poe ser escrito como se segue: (i) u (i) = c (i) + a (i) () One (i) é a matri e rigie oca o eemento e c (i) é o vetor e cargas noais equivaentes o eemento no referencia oca. O sistema e equiíbrio mostrao na equação (1) poe ser escrito no referencia goba, como se segue: (i) Gu (i) = c (i) G + a (i) G (1)

37 6 One (i) G e c (i) G são, respectivamente, a matri e rigie o eemento no referencia goba e o vetor e cargas noais equivaentes o eemento no referencia goba. Utiiano a transformação vetoria escrita na equação (18), poe-se escrever: u (i) = R t (i) u (i) G u (i) G = [R t (i) ] 1 u (i) () Como a matri e rotação é ortogona, tem-se: [R t (i) ] 1 = [R t (i) ] T () One [R t (i) ] T é a matri e rotação transposta. Pré-mutipicano a equação (1) por essa matri e rotação R t (i), escreve-se: R t (i) (i) G[R t (i) ] T u (i) = R t (i) [c (i) G + a (i) G] = c (i) + a (i) (4) Sabeno que o sistema e equação e equiíbrio oca poe ser escrito como mostra a equação (), tem-se: (i) = R t (i) (i) G[R t (i) ] T (5) (i) G = [R t (i) ] T (i) R t (i) (6) Determinaas as matries e rigie os eementos no referencia goba, a matri e rigie K a estrutura poe ser montaa a partir a corresponência entre a numeração oca e goba as esocabiiaes...4 Vetor e cargas noais equivaentes os eementos O seguno tipo e soução funamenta são as reações e engastamento perfeito as barras, que corresponem às reações que surgem numa barra isoaa evio à apicação e soicitações externas. Tais soicitações poem ser forças concentraas e istribuías,

38 7 momentos concentraos e variação e temperatura. As reações e engastamento perfeito poem ser provocaas por carregamentos axiais e/ou transversais (MARTHA, 1). A Figura 19 iustra a eterminação as reações e engastamento perfeito em barras e um pórtico pano para uma força istribuía p e uma força concentraa P, ambas genéricas. Figura 19 - Reações e engastamento perfeito em barras e pórtico pano Fonte: Soriano (5) As cargas noais equivaentes são opostas às reações e engastamento perfeito, corresponeno a apicar apenas nos nós as soicitações externas que atuam nos eementos. Geramente essas cargas são encontraas tabeaas na iteratura e acoro com os vários tipos e soicitação externa. O vetor e cargas noais equivaentes o eemento c (i), anaogamente à matri e rigie os eementos, poe ser escrito nos referenciais oca e goba. A transformação o referencia oca para o goba poe se escrita a seguinte forma: c (i) G = [R t (i) ] T c (i) (7) A corresponência entre a numeração oca e goba as cargas noais, juntamente com a contribuição as cargas concentraas apicaas nos nós formam o vetor e forças f a estrutura. Na presente apicação, serão associaos nós nos pontos e apicação e cargas concentraas, minimiano a necessiae o cácuo e forças noais equivaentes nesses casos específicos.

39 8..5 Apicação as conições e contorno Determinaa a matri e rigie e o vetor e forças a estrutura, é necessário apicar as conições e contorno geométricas a mesma, e moo a torna-a positiva efinia, permitino a resoução o sistema e equações. De acoro com Gere e Weaver Junior (1981, apu Kummer, 14) as conições e contorno poem ser iniciamente e ois tipos: esocamentos nuos referentes aos víncuos ou esocamentos com vaores previamente conhecios. Para a apicação as conições e contorno em proceimento automático é mais eficiente numerar os esocamentos na mesma orem a numeração os pontos noais. Os proceimentos mais utiiaos são a técnica os eros e uns e a técnica o número grane (SORIANO, 5). Determinaas a matri e rigie moificaa K e o vetor e forças moificao f a estrutura, os esocamentos são facimente eterminaos através a seguinte equação: K = f = (K ) 1 f (8) De posse os esocamentos, o vetor e reações R a estrutura poe ser eterminao como se segue: R = K f (9)

40 9 METODOLOGIA.1 Consierações gerais sobre o programa A apicação o cácuo automático as estruturas reticuaas foi reaiaa através e um cóigo computaciona em inguagem Fortran, no formato free form, usano o compiaor PLATO IDE. O cóigo é composto e um programa principa ao qua estão associaas sub-rotinas que reaiam a montagem as matries e rigie e os vetores e cargas noais equivaentes e e forças, montagem as matries e rotação, apicação as conições e contorno, resoução o sistema e equiíbrio e eterminação os vetores e esocamentos, reações e esforços noais. O programa foi esenvovio para resover cinco tipos e estruturas reticuaas, sejam eas isostáticas ou hiperestáticas: treiças panas e espaciais, pórticos panos e espaciais, e grehas. A escoha o tipo e estrutura a ser cacuaa é feita no programa principa. No caso os pórticos panos, existe a possibiiae e consierar a existência e articuações (rótuas) em seus eementos. Como é necessária uma quantiae consieráve e aos iniciais e entraa as estruturas a serem cacuaas, optou-se peo uso e um arquivo e entraa em formato txt no qua são inserios os aos requerios para caa tipo e estrutura: a) Número e nós a estrutura e suas coorenaas gobais; b) Número e nós prescritos e suas características. O prefixo 1 inica a existência e esocamento prescrito na ireção consieraa, seguio o vaor o esocamento prescrito. Já o prefixo inica a inexistência e esocamento prescrito na ireção consieraa (esocamento ivre); c) Número e eementos a estrutura, suas inciências (nós iniciais e finais) e características reativas a materia e proprieaes geométricas. ) Número e eementos rotuaos, no caso e pórticos panos, e a ocaiação a rótua no eemento (nó inicia e/ou fina). O prefixo 1 inica a existência e rótua no nó consierao, enquanto o prefixo inica a sua inexistência; e) Número e materiais iferentes existentes na estrutura e suas respectivas proprieaes, como móuo e easticiae (E), coeficiente e Poisson (ν) e coeficiente e iatação térmica inear (α).

41 4 f) Número e seções iferentes existentes na estrutura e suas respectivas proprieaes, como área, imensões as seções transversais, momentos e inércia à fexão em torno os eixos y e ocais e momento e inércia à torção; g) Número e eementos com carga e seus respectivos vaores; h) Número e nós com carga e seus respectivos vaores; i) Número e nós com apoios eásticos e suas proprieaes (rigie o apoio eástico). O prefixo 1 inica a existência e apoio eástico para a esocabiiaes e o prefixo inica a sua inexistência. A Figura iustra um exempo e arquivo e entraa para um pórtico pano. Figura - Arquivo e entraa para um pórtico pano Fonte: Autor (17) Após sua execução o programa retorna três arquivos e saía: o primeiro, um arquivo apresentano toos os aos e entraa a estrutura (para uma possíve conferência); o seguno, apresentano as matries e rotação, matries e rigie e vetores e cargas noais equivaentes (ocais e gobais) os eementos, e a matri e rigie e vetor e forças a estrutura (originais e moificaos peas conições e contorno); o terceiro, composto peos resutaos cacuaos peo programa, tais como esocamentos noais, reações e apoio e esforços soicitantes nos eementos.. Montagem as matries e rigie ocais Definios os aos e entraa, foram esenvovias uas sub-rotinas para a montagem a matri e rigie oca e caa eemento a estrutura, as quais são compostas peos

42 41 coeficientes e rigie ij, conforme equação (). Tais coeficientes, bem como a sua eterminação, estão escritos no item... Barras e tipos iferentes e estruturas possuem matries e rigie ocais iferentes, e acoro com as esocabiiaes que atuam nos seus pontos noais. A primeira sub-rotina monta as matries e rigie ocais as barras as estruturas panas e espaciais, com exceção as barras e pórtico pano com articuações em seus nós. A seguna sub-rotina é responsáve pea montagem as matries e rigie ocais os eementos e pórticos panos que possuem rótuas em seus nós iniciais e/ou finais. Consierano a numeração os esocamentos noais as barras, bem como os esforços iustraos na Figura 18, foram montaas as matries e rigie para os eementos e caa um os tipos e estruturas reticuaas...1 Matri e rigie oca para eementos e treiça pana e espacia As barras e treiças, sejam eas panas ou espaciais, estão submetias apenas a esforços axiais e tração ou compressão. Por esse motivo, a matri e rigie oca e uma barra esses tipos e estruturas é composta apenas peos coeficientes e rigie axiais. Como uma barra e treiça pana apresenta quatro graus e iberae (ois em caa ponto noa), como iustra a Figura 11, sua matri e rigie oca resutante se escreve: i EA EA EA EA () Para as barras e treiça espacia, que possuem seis graus e iberae (três em caa ponto noa), como iustra a Figura 1, tem-se a seguinte matri e rigie oca: