ANÁLISE LINEAR ELÁSTICA DE PÓRTICOS ESPACIAIS

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1 SIMMEC/EMMCOMP 01 I Simpósio de Mecânica Computacional II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional Jui De Fora, M, 8-0 de Maio De 01 ANÁISE INEAR EÁSTICA DE PÓRTICOS ESPACIAIS Iara Soua Ribeiro, Hisashi Inoue iarasribeiro@ahoo.com, hisashi@ufsj.edu.br Universidade Federal de São João del-rei UFSJ Campus Alto Paraopeba, , Minas erais, Ouro Branco, Brasil átia Inácio da Silva, Paulo Anderson Santana Rocha katia@em.ufop.br, paulorocha@em.ufop.br Universidade Federal de Ouro Preto UFOP Morro do Crueiro, , Minas erais, Ouro Preto, Brasil Resumo. O presente trabalho tem como objetivo realiar a análise linear elástica de pórticos espaciais a partir de uma formulação matricial baseada no Método dos Deslocamentos, de modo a determinar os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços seccionais da estrutura. Para tal, se desenvolveu uma base computacional, implementada em linguagem FORTRAN, e denominada PORTD (Programa de Análise de Pórticos Espaciais), a qual, em sua versão atual, possibilita a modelagem de pórticos constituídos por elementos estruturais com inércia constante, submetidos a cargas nodais e com ligações rígidas entre as vigas e as colunas. Para validar a estratégia proposta, os resultados obtidos com o programa PORTD (01) são comparados com as respostas encontradas na literatura ou a partir do software SAP000. Palavras chave: Pórticos Espaciais, Método dos Deslocamentos, Análise inear Elástica

2 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais 1 INTRODUÇÃO Uma estrutura deve suportar as solicitações sob as quais se encontra submetida apresentando segurança quanto à ruptura do material constituinte e à estabilidade global e parcial de seus elementos, além de possuir desempenho estrutural adequado a sua finalidade e à vida útil para qual foi projetada. O bom desempenho do projeto de uma edificação deve se essencialmente ao projeto estrutural. A análise estrutural é a principal etapa desse projeto e consiste na determinação dos esforços e deslocamentos das estruturas quando submetidas a ações externas solicitantes como carregamentos, mudança de temperatura e recalque nos apoios. Essa análise é de fundamental importância para permitir a escolha da solução técnica mais adequada para o projeto em estudo. Neste trabalho tem se a análise de pórticos espaciais constituídos por barras, isto é, elementos estruturais que se caracteriam por ter o comprimento preponderante em relação às outras dimensões da seção transversal. Sendo assim, o sistema físico estrutura em barras pode ser idealiado em um conjunto de elementos unidimensionais, ligados entre si e ao meio exterior de forma pontual, caracteriando um conjunto de pontos nodais da estrutura (Soriano, 005). Quando submetida a solicitações uma estrutura sofre deformações e, consequentemente, os pontos da estrutura se deslocam para novas posições, com exceção para os pontos fixos (apoios), que não sofrerão deslocamentos. Para identificar e ordenar matricialmente as ações (forças e momentos) e os deslocamentos existentes nos nós de uma estrutura ou nas extremidades de um elemento fa se necessária a utiliação de dois sistemas de coordenadas, isto é, um sistema de coordenadas globais referente à estrutura e um sistema de coordenadas locais referente ao elemento estrutural (ere e Weaver, 1987). Para estruturas mais simples, a análise estrutural pode ser realiada analiticamente, porém a complexidade da maioria dos problemas práticos impossibilita a obtenção de uma solução analítica para as equações que os regem, faendo com que o único meio viável para a análise dos mesmos seja a aplicação de uma formulação matricial ou processos numéricos. Os métodos numéricos comumente utiliados são os métodos matriciais nos quais toda a teoria é desenvolvida na álgebra matricial. Inicialmente, a estrutura é idealiada com uma montagem de elementos estruturais discretos com formas presumidas da distribuição de deslocamentos e tensões. A solução completa é então obtida pela combinação dessa SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

3 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha distribuição individual e aproximada de deslocamentos e tensões de modo a satisfaer o equilíbrio de forças e a compatibilidade de deslocamentos nas junções desses elementos. As equações que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente, seja a partir de equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deslocamentos. Dependendo da formulação adotada geram se dois métodos, a saber: o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. No Método das Forças, também denominado de Método da Flexibilidade, as incógnitas do problema são as reações e/ou os esforços internos superabundantes ao equilíbrio estático da estrutura. Nesse método, seleciona se um conjunto de redundantes estáticas e se transforma a estrutura hiperestática em uma estrutura passível de ter seus esforços solicitantes determinados com as equações da estática, denominada sistema principal. Já no Método dos Deslocamentos as incógnitas são os deslocamentos da estrutura. O primeiro destes métodos é necessário ao desenvolvimento do segundo, pois a formulação do Método dos Deslocamentos tem como base a análise via Método das Forças de elementos isolados hiperestáticos (Süssekind, 1980, 1981, Soriano e ima, 006, 007). O Método dos Deslocamentos também denominado de Método da Rigide é o mais adequado e praticamente o único utiliado para a implementação computacional devido ao fato de não se considerar a escolha prévia de um sistema principal, como no Método das Forças (Soriano e ima, 199, Soriano, 005), e foi o adotado neste trabalho. Neste método se estabelece um sistema de equações de equilíbrio em que a matri dos coeficientes é denominada de matri de rigide e o vetor de termos independentes, vetor de forças nodais. Introduindo se as condições de contorno do problema (deslocamentos conhecidos) e resolvendo se o sistema de equações resultante se obtêm os deslocamentos dos pontos nodais não restringidos. A partir destes deslocamentos podem se determinar os esforços internos nas extremidades dos elementos, bem como, as reações de apoio da estrutura. MÉTODO DOS DESOCAMENTOS No Método dos Deslocamentos as incógnitas do problema são os deslocamentos dos nós do modelo estrutural, os quais se relacionam com as forças nodais a partir da seguinte equação u =F, (1) sendo, u e F, respectivamente, a matri de rigide global da estrutura, o vetor dos deslocamentos nodais e o vetor das forças nodais. Para o caso de análise linear a matri de rigide tem coeficientes constantes. O vetor das forças ( F ) inclui as forças aplicadas externamente segundo as direções livres e as reações de apoio, que são grandeas desconhecidas. As forças nodais, segundo as direções livres, são obtidas pela soma das forças externas diretamente aplicadas aos pontos nodais com as cargas SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

4 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais nodais equivalentes. O vetor de deslocamentos ( desconhecidos e os deslocamentos prescritos. u ) inclui os deslocamentos livres Um coeficiente ij da i ésima linha e j ésima coluna da matri é numericamente igual à força generaliada aplicada na direção i que corresponde a um deslocamento unitário generaliado na direção j, quando todos os demais deslocamentos são nulos. Considerando se o princípio da superposição, o coeficiente jk da matri de rigide global é obtido pela soma de contribuições de coeficientes de rigide dos diversos elementos estruturais que concorrem no ponto nodal onde ocorre a direção j. Para isso, considera se o sistema apresentado na Eq. (1) escrito para cada elemento estrutural de ordem i, isoladamente, sob a forma, i u, i = F, (), i em que,, i u e, i F são, respectivamente, a matri de rigide de elemento, o vetor de, i deslocamentos e o vetor de ações de extremidade referentes ao elemento i e referenciados ao sistema local. Como as grandeas mostradas na Eq. (1) são referentes ao sistema global, para efetuar a soma das contribuições de coeficientes de rigide dos diversos elementos estruturais e montar a matri de rigide global da estrutura, considera se a matri de rotação R, que relaciona o sistema de coordenadas local com o sistema de coordenadas global da estrutura. Considerando se um elemento i da estrutura pode se escrever u R u, (), i i, i F R F, (), i i, i sendo u e i, F i, i, referentes ao sistema global., respectivamente, os deslocamentos e as ações de extremidade do elemento Como a matri de rotação é ortogonal tem se que u = R u, (5) T i, i i, F = R F. (6) T i, i i, T R e considerando se que Pré multiplicando ambos os lados da Eq. () por (sendo I a matri identidade), bem como as Eqs. (5) e (6), chega se a T RR i i I T T T Ri, i Ri Ri u, i Ri F, i ui, Fi, R R u F u F T i i, i i, i, i, i, i, (7) SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

5 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha A partir da Eq. (7) conclui se que a matri de rigide do i ésimo elemento referente ao sistema global pode ser avaliada a partir de R R. (8) T i, i i, i A matri de rigide global da estrutura,, é então obtida pela soma das contribuições de rigide de cada um de seus elementos, isto é, pela soma dos coeficientes das matries de rigide de cada elemento (referentes ao sistema de coordenadas global) nos correspondentes coeficientes da matri de rigide global da estrutura. Esta correspondência entre os termos da matri de rigide de elemento,, e os termos da matri i, é definida a partir dos graus de liberdade de cada um dos nós da estrutura. Após a obtenção da matri de rigide global da estrutura, do vetor de forças externas e da introdução das condições de contorno do problema podem se determinar os deslocamentos dos pontos nodais da estrutura. Neste trabalho, adotou se a técnica de ero e um para introdução das condições de contorno e a resolução do sistema linear de equações resultante é feita a partir do método de auss. Uma ve calculados os deslocamentos, podem se avaliar os esforços internos nas extremidades dos elementos, bem como, as reações de apoio da estrutura..1 Matri de Rigide de Pórtico Espacial Os pórticos espaciais são estruturas reticuladas nas quais cada ponto nodal apresenta seis graus de liberdade (três deslocamentos lineares e três rotações) e uma seção genérica apresenta seis esforços internos, a saber: um esforço normal, dois esforços cortantes, dois momentos fletores e um momento de torção, como mostra a Fig u, f u, f u, f Figura 1. raus de liberdade de um elemento de pórtico espacial Segundo Soriano e ima (199), os coeficientes da matri de rigide de um elemento podem ser obtidos aplicando se o Método das Forças a partir da imposição de deslocamentos unitários segundo cada um dos referidos graus de liberdade do elemento, enquanto os demais são mantidos nulos. Esse procedimento resulta na seguinte matri de rigide de elemento SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

6 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais EA EA l 1EI Z 6EI Z 1EI EI EIY 6EIY 1EIY 6EI Y I I EIY EIY 6EIY EIY EI EI 6EI EI EA EA EI 0 6EI 1EI 6EI EIY 6EIY 1EIY 6EI Y I I EIY EIY 6EIY EIY EI EI 6EI EI (9) sendo I Y e I Z os momentos principais de inércia; I a constante torcional ou momento de inércia à torção pura; e A a área da seção transversal do elemento.. Matri de Rotação A matri de rotação de elemento no caso tridimensional é dada por R R 0 0 R= 0 0 R R com, (10) R= 1, (11) 1 sendo ij o cosseno diretor do eixo i local em relação ao eixo j global. No presente trabalho, para se construir a matri de rotação, adotou se a estratégia de se utiliar um ponto auxiliar contido em um dos planos principais do elemento, como mostra a Fig., de modo a se obter os cossenos diretores apresentados na Eq. (11). SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

7 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha Z x Z Y j x k Y Figura. Referenciais global e local com os respectivos vetores unitários Nesta figura j e k são, respectivamente, o nó inicial e final do elemento; é o nó auxiliar escolhido no plano x do elemento;,y e Z são os vetores unitários nas direções de, Y e Z ; e x, e são os vetores unitários nas direções de x, e. Sendo assim, os cossenos diretores na direção x podem ser determinados pelas equações 11 1 k ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) k j k j k j Y k Y ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) k j k j k j j j, (1), (1) 1 Z k Z ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) k j k j k j j ogo, pode se escrever x 11i 1 j 1k.. (1) O vetor unitário n na direção j, se escreve como n Y Z, em que, e são os cossenos diretores calculados a partir de ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) j j j Y Y ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) j j j Z Z ( ) ( Y Y ) ( Z Z ) j j j j j j, (15), (16), (17) SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

8 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais em que, Y e Z, são as coordenadas do nó auxiliar. Faendo se o produto vetorial entre os vetores x e n, obtém se um vetor c, no sentido do eixo, sendo c calculado pela seguinte equação: c ( ) ( ) ( ). (18) Portanto, os cossenos diretores de podem ser determinados a partir de c c c ogo, pode se escrever 1i j k. O vetor pode ser obtido através do produto vetorial x. Deste modo se obtém 1 1 1, (19) 1 11, (0) (1) 1 1 1, () , () () ogo, escreve-se 1i jk. EEMPOS Neste item apresentam se os resultados numéricos correspondentes à análise de três pórticos espaciais. Para validar as implementações computacionais realiadas nesta pesquisa, os resultados obtidos com a base computacional desenvolvida PORTD (01) são comparados com as respostas fornecidas pela literatura ou com resultados obtidos a partir do software SAP Exemplo 1 Neste exemplo tem se o cálculo dos deslocamentos, esforços internos e reações de apoio do pórtico espacial apresentado na Fig., anteriormente analisado por ere e Weaver (1967). SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

9 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha P P P P x Figura. Pórtico espacial Ex.1 As propriedades físicas e geométricas da seção transversal de todos os elementos do pórtico são: E Pa, P.5kN, A cm, 5.7 cm, I 0.90 cm, I 0.90 cm,. m e 0.5. Na Figura apresenta se a discretiação adotada para a análise numérica a partir do programa PORTD (01). Consideraram se elementos e 5 nós. Menciona se que os nós 6, 7, 8 e 9 são nós auxiliares correspondentes, respectivamente, aos elementos, 1, e e utiliados para a avaliação da matri de rotação dos mesmos. Ix x Figura. Pórtico espacial discretiado Ex.1 Nas Tabelas 1 e mostram se, respectivamente, as reações de apoio e os esforços internos nos elementos, obtidos numericamente, sendo essas respostas comparadas com as apresentadas na literatura. Para a solução deste problema a partir do programa PORTDD (01) fe se necessária a consideração do nó 5, mas o mesmo não foi utiliado na análise realiada por ere e Weaver (1987), por isso os resultados da literatura para este nó não são apresentados na Tab.. SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

10 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais Tabela1. Reações de apoio Ex.1 NÓ Rx (kn) R (kn) R (kn) RMx (knm) RM (knm) RM (knm) PORTD IT. PORTD IT. IT. PORTD PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT Tabela. Esforços internos Ex. 1 E NÓ Rx (kn) R (kn) R (kn) RMx (knm) RM (knm) RM (knm) PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT Exemplo Neste exemplo tem se a análise do pórtico espacial mostrado na Fig. 5 e anteriormente analisado por ere e Weaver (1987). As propriedades das seções transversais de todos os elementos são as mesmas e as constantes numéricas do problema são: E Pa, P. kn, A cm, Ix cm, I cm, I 9.85 cm,. m e 0.5. Na Figura 6 apresenta se a discretiação adotada na análise numérica do pórtico com um total de 5 elementos e de 6 nós. Para a avaliação da matri de rotação dos elementos utiliaram se os nós 7 e 8 como nós auxiliares para os elementos 1 e, respectivamente, e o nó 8 como nó auxiliar para os demais elementos. SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

11 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha P / / P P / P / x Figura 5. Pórtico espacial Ex x Figura 6: Pórtico espacial discretiado Ex. Nas Tabelas e apresentam se, respectivamente, as reações de apoio e os esforços internos dos elementos, obtidos com auxílio do programa computacional PORTD (01) comparados com os resultados fornecidos na literatura. Observa se que não são apresentados na Tab. os resultados da literatura para os nós 5 e 6 utiliados na discretiação do pórtico, pois os mesmos não foram considerados na análise realiada por ere e Weaver (1987). SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

12 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais Tabela. Reações de apoio Ex. NÓ Rx (kn) R (kn) R (kn) RMx (knm) RM (knm) RM (knm) PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT Tabela. Esforços internos Ex. E NÓ R (kn) R Y (kn) R Z (kn) RM (knm) RM Y (knm) RM Z (knm) PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORTD IT. PORT D IT Exemplo Neste exemplo fa se a análise do mesmo pórtico apresentado no exemplo considerando se que as propriedades físicas do material são E Pa e 0.0, e que a seção transversal dos elementos é constituída por um perfil metálico do tipo dupla cantoneira, 5151., com as seguintes propriedades geométricas: A 6. cm, Ix 0. cm, I 8.05 cm e I cm. Os resultados numéricos obtidos a partir do programa PORTD (01) foram comparados com os determinados utiliando se o software SAP000. As Tabelas 5 e 6 apresentam, respectivamente, as reações de apoio e os esforços internos dos elementos. SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

13 I. S. Ribeiro, H. Inoue,. I. Silva & P. A. S. Rocha Tabela 5. Reações de apoio Ex. NÓ Rx (kn) R (kn) R (kn) RMx (knm) RM (knm) RM (knm) PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP. PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP Tabela 6. Esforços internos Ex. E NÓ Rx (kn) R (kn) R (kn) RMx (knm) RM (knm) RM (knm) PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP PORTD SAP CONCUSÕES Com a finalidade de validar as implementações numéricas foi apresentada no item a análise linear elástica de alguns sistemas estruturais espaciais. Neste tipo de análise examina se a estrutura a partir de uma configuração indeformada, ou seja, neste caso não são levados em consideração os efeitos de segunda ordem. Nos exemplos 1 e apresentaram se as análises de dois pórticos espaciais propostos por ere e Weaver (1967). Os resultados obtidos com a base computacional PORTD (01), foram comparados com as respostas fornecidas na literatura. Observa se nas Tabs. 1,, e que os resultados encontrados numericamente são coincidentes com os resultados disponíveis na literatura. O pórtico do exemplo é similar àquele estudado no exemplo sendo alteradas apenas as propriedades geométricas da seção transversal dos elementos e as propriedades físicas do SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01

14 Análise inear Elástica de Pórticos Espaciais material. Os resultados obtidos através do programa PORTD (01) foram comparados com as respostas fornecidas pelo software SAP000 (1995). A partir das Tabs. 5 e 6 verifica se que os resultados fornecidos pelos dois programas são os mesmos. A partir dos problemas analisados não se identificou nenhuma divergência entre os resultados fornecidos pelo programa PORTD (01) e os encontrados na literatura ou obtidos pelo software SAP 000. Sendo assim, pode se concluir que as implementações foram desenvolvidas de maneira satisfatória. ARADECIMENTOS À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas erais FAPEMI. REFERÊNCIAS ere, J. M. e Weaver, J. W., 1987, Análise de Estruturas Reticuladas. Ed. Rio de Janeiro, uanabara. Soriano, H.. e ima, S. S., 199, Análise de Estruturas em Computadores: Estruturas Reticuladas, vol. 1, Rio de Janeiro, UFRJ. Soriano, H.. e ima, S. S., 006, Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos, Ed., Rio de Janeiro, Editora Ciência Moderna tda. Soriano, H.., 005, Análise de Estruturas Formulação Matricial e Implementação Computacional, Rio de Janeiro, Editora Ciência Moderna tda. Soriano, H.., ima, S. S., 007, Estática das Estruturas, Rio de Janeiro, Editora Ciência Moderna tda. Süssekind, J. C., 1980a, Curso de Análise Estrutural, vol. Método dos Deslocamentos, ed., São Paulo, Ed. lobo. Süssekind, J. C., 1980b, Curso de Análise Estrutural, vol. Deformações em Estruturas e Método das Forças, ed., Porto Alegre, Ed. OBO. Süssekind, J. C., 1981, Curso de Análise Estrutural, vol. 1 Estruturas Isostáticas, 11 ed., São Paulo, Ed. OBO. SIMMEC/EMMCOMP 01 ABMEC, Jui de Fora, M, 8-0 de maio de 01