MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS

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1 MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS Luiz Fernando Martha Pontifícia Universidade Catóica do Rio de Janeiro PUC-Rio Departamento de Engenharia Civi Rua Marquês de São Vicente, 5 - Gávea CEP 45-9 Rio de Janeiro, RJ Te.: () 4-9 Fax: () 4-95 E-mai: [email protected] URL:

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3 Sumário. INTRODUÇÃO..... Breve histórico sobre a Engenharia Estrutura..... Anáise estrutura Modeo estrutura Modeo discreto Modeo computaciona..... Organização dos capítuos.... CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL..... Cassificação de estruturas reticuadas..... Condições básicas da anáise estrutura Condições de equiíbrio Condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações Leis constitutivas dos materiais..... Métodos básicos da anáise estrutura Método das Forças Método dos Desocamentos Comparação entre o Método das Forças e o Método dos Desocamentos Comportamento inear e superposição de efeitos Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas Determinação do grau de hiperestaticidade IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS Reações entre desocamentos e deformações em barras Deformações axiais Deformações normais por fexão Distorções por efeito cortante Distorções por torção Reações diferenciais de equiíbrio em barras Equiíbrio entre tensões e esforços internos Desocamentos reativos internos Desocamento axia reativo interno provocado por esforço norma Rotação reativa interna provocada por momento fetor Desocamento transversa reativo interno provocado por esforço cortante Rotação reativa interna provocada por momento torçor 6.5. Equação de Navier para o comportamento à fexão Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas A essência da anáise de estruturas reticuadas...65

4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS Traçado do diagrama de momentos fetores Energia de deformação e princípio da conservação de energia Princípio dos trabahos virtuais Princípio das forças virtuais Princípio dos desocamentos virtuais Teoremas de reciprocidade Souções fundamentais para barras isoadas Funções de forma para configurações deformadas eementares de barras de pórticos panos Coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano Coeficientes de rigidez à torção de barra Reações de engastamento de barra para soicitações externas MÉTODO DAS FORÇAS Metodoogia de anáise peo Método das Forças Hiperestáticos e Sistema Principa Restabeecimento das condições de compatibiidade Determinação dos esforços internos Matriz de fexibiidade e vetor dos termos de carga Escoha do Sistema Principa para uma viga contínua Sistema Principa obtido por eiminação de apoios Sistema Principa obtido por introdução de rótuas internas Escoha do Sistema Principa para um quadro fechado Sistema Principa obtido por corte de uma seção Sistema Principa obtido por introdução de rótuas Exempos de soução peo Método das Forças MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico Metodoogia de anáise peo Método dos Desocamentos Matriz de rigidez goba e vetor dos termos de carga Convenções de sinais do Método dos Desocamentos Exempo de soução de uma viga contínua Exempos de soução de pórticos simpes Pórtico com três desocabiidades Pórtico com articuação interna Pórtico com barra incinada MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS DEFORMAÇÕES Cassificação das simpificações adotadas Consideração de barras inextensíveis Exempo de soução de pórtico com barras inextensíveis...6

5 Luiz Fernando Martha Sumário 7... Regras para determinação de desocabiidades externas de pórticos panos com barras inextensíveis Simpificação para articuações competas Pórtico com articuação no topo de uma couna Pórtico com articuação dupa na viga e couna Exempo de soução de pórtico com duas articuações Consideração de barras infinitamente rígidas Exempo de soução de pórtico com dois pavimentos Exempo de barra rígida com giro PROCESSO DE CROSS Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos Distribuição de momentos fetores em um nó Soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio Formaização do Processo de Cross Processo de Cross para um pórtico com uma desocabiidade Processo de Cross para uma viga com duas desocabiidades Apicação do Processo de Cross a quadros panos MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA (não incuído, ainda sendo escrito). CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA Introdução Linhas de infuência para uma viga biapoiada Método cinemático para o traçado de LI Metodoogia para cácuo de LI s peo método cinemático Linha de infuência de esforço cortante em viga biengastada Linha de infuência de momento fetor em viga biengastada Exempo de determinação de envotórias de esforços internos...7 APÊNDICE A CONVENÇÃO DE SINAIS PARA ESFORÇOS INTERNOS (não incuído, ainda sendo escrito) APÊNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA... B.. Conversão de condições de apoio...4 B.. Roteiro do processo de Mohr...6 B.. Cácuo de desocamentos em vigas isostáticas...6 B.4. Anáise de vigas hiperestáticas...8 B.5. Determinação de reações de engastamento de vigas... B.6. Dedução de coeficientes de rigidez de barras... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...5

6 . INTRODUÇÃO O projeto e a construção de estruturas é uma área da Engenharia Civi na qua muitos engenheiros civis se especiaizam. Estes são os chamados engenheiros estruturais. A Engenharia Estrutura trata do panejamento, projeto, construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabaho e azer. Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio, como no caso de pontes e estádios de esporte, ou pode ser utiizada como o esqueeto de outro empreendimento, como no caso de edifícios e teatros. Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço, concreto, madeira, pedra, materiais não convencionais (materiais que utiizam fibras vegetais, por exempo), ou novos materiais sintéticos (pásticos, por exempo). Ea deve resistir a ventos fortes, a soicitações que são impostas durante a sua vida úti e, em muitas partes do mundo, a terremotos. O projeto estrutura tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ea será construída, satisfazendo questões de segurança, condições de utiização, condições econômicas, estética, questões ambientais, condições construtivas e restrições egais. O resutado fina do projeto estrutura é a especificação de uma estrutura de forma competa, isto é, abrangendo todos os seus aspectos gerais, tais como ocação, e todos os detahes necessários para a sua construção. Portanto, o projeto estrutura parte de uma concepção gera da estrutura e termina com a documentação que possibiita a sua construção. São inúmeras e muito compexas as etapas de um projeto estrutura. Entre eas está a previsão do comportamento da estrutura de ta forma que ea possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utiização para as quais ea foi concebida. A anáise estrutura é a fase do projeto estrutura em que é feita a ideaização do comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros, tais como peos campos de tensões, deformações e desocamentos na estrutura. De uma maneira gera, a anáise estrutura tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos (cargas e reações de apoio), e das correspondentes tensões, bem como a determinação dos desocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada. Essa anáise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e soicitações que devem ser previamente determinados. O desenvovimento das teorias que descrevem o comportamento de estruturas se deu iniciamente para estruturas reticuadas, isto é, para estruturas formadas por

7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha barras (eementos estruturais que têm um eixo caramente definido). Estes são os tipos mais comuns de estruturas, tais como a estrutura de uma cobertura ou o esqueeto de um edifício metáico. Mesmo em casos de estruturas nas quais nem todos os eementos estruturais podem ser considerados como barras (como é o caso de edifícios de concreto armado), é comum anaisar o comportamento goba ou parcia da estrutura utiizando-se um modeo de barras. Este ivro está direcionado para a anáise de estruturas reticuadas estaticamente indeterminadas, isto é, para a anáise de estruturas hiperestáticas. Isso incui as treiças (estrutura com todas as barras articuadas em suas extremidades), os pórticos ou quadros (panos e espaciais) e as grehas (estruturas panas com cargas fora do pano). Nee são tratados principamente os métodos cássicos da anáise de estruturas hiperestáticas: o Método das Forças e o Método dos Desocamentos. Nesse contexto, a anáise considera apenas cargas estáticas e admite-se um comportamento inear para a estrutura (anáise para pequenos desocamentos e materiais eásticoineares). Considera-se como pré-requisito para a eitura deste ivro conhecimentos de Mecânica Gera (Estática), Anáise de Estruturas Isostáticas (estruturas estaticamente determinadas) e Resistência dos Materiais. Parte-se do princípio de que o eitor entende os conceitos básicos de equiíbrio estático, esforços internos, tensões e deformações. Diversos ivros-texto abordam esses assuntos. Como sugestão para eitura, recomenda-se na área de Estática os ivros de Hibbeer (999) ou Meriam e Kraige (999), na área de Anáise de Estruturas Isostáticas os ivros de Campanari (985) ou Süssekind (977-), e na área de Resistência dos Materiais os ivros de Beer e Johnston (996), Féodosiev (977), Hibbeer () ou Timoshenko e Gere (994)... Breve histórico sobre a Engenharia Estrutura Timoshenko (878-97), um dos pais da Engenharia Estrutura moderna, descreve em seu ivro História da Resistência dos Materiais (Timoshenko 98) um histórico do desenvovimento teórico sobre o comportamento de estruturas. A Engenharia Estrutura vai encontrar raízes, se bem que de uma forma empírica, nos grandes monumentos e pirâmides do antigo Egito e nos tempos, estradas, pontes e fortificações da Grécia e da Roma antigas. O início da formaização teórica da Engenharia Estrutura é atribuído à pubicação do ivro Duas Ciências, de Gaieu, em 68, que deu origem a todo o desenvovimento da ciência desde o sécuo 7 até os dias de hoje. Antes disso, Leonardo da Vinci (45-59) já havia escrito agumas notas sobre Estática e Resistência dos Materiais. Durante esses sécuos, vários matemáticos e cientistas iustres deram suas contribuições para formaizar a Engenharia Estrutura ta como se entende hoje. Até o início do sécuo pode-se citar, dentre outros, Jacob Bernoui (654-75), Euer (77-78), Lagrange (76-8), Couomb (76-86), Navier (785-86), Thomas Young (77-89), Saint-Venant

8 Luiz Fernando Martha Introdução ( ), Kirchhoff (84-887), Kevin (84-97), Maxwe (8-879) e Mohr (85-98). A formaização da Engenharia Estrutura através de teorias científicas permite que os engenheiros estabeeçam as forças e soicitações que podem atuar com segurança nas estruturas ou em seus componentes. Também permite que os engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componentes, sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu bom funcionamento. A Engenharia Estrutura sofreu um grande avanço no fina do sécuo 9, com a Revoução Industria. Novos materiais passaram a ser empregados nas construções, tais como concreto armado, ferro fundido e aço. Também é nessa época que a Engenharia Estrutura teve um grande desenvovimento no Brasi. Em seu ivro História da Engenharia no Brasi (Tees 994-, Tees 984-), Pedro Caros da Siva Tees descreve, com uma impressionante quantidade de informações históricas, esse desenvovimento. Durante o sécuo, os principais desenvovimentos se deram nos processos construtivos e nos procedimentos de cácuo. A Engenharia Civi brasieira é detentora de vários recordes mundiais, notadamente na construção de pontes... Anáise estrutura Como dito, a anáise estrutura é a etapa do projeto estrutura na qua é feita uma previsão do comportamento da estrutura. Todas as teorias físicas e matemáticas resutantes da formaização da Engenharia Estrutura como ciência são utiizadas na anáise estrutura. A anáise estrutura moderna trabaha com quatro níveis de abstração para a estrutura que está sendo anaisada, ta como indicado na Figura.. O primeiro níve de abstração é o do mundo físico, isto é, esse níve representa a estrutura rea ta como é construída. Essa visão de caráter mais gera sobre a anáise de estruturas tem por objetivo definir caramente o escopo deste ivro. Estrutura Rea Modeo Estrutura Modeo Discreto Modeo Computaciona Figura. Quatro níveis de abstração para uma estrutura na anáise estrutura. Baseado na concepção do paradigma dos quatro universos da modeagem em Computação Gráfica ideaizado por Gomes e Veho (998) e no conceito de anáise estrutura de Feippa ().

9 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha... Modeo estrutura O segundo níve de abstração da anáise estrutura é o modeo anaítico que é utiizado para representar matematicamente a estrutura que está sendo anaisada. Esse modeo é chamado de modeo estrutura ou modeo matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses feitas para descrever o comportamento da estrutura para as diversas soicitações. Essas hipóteses são baseadas em eis físicas, tais como o equiíbrio entre forças e entre tensões, as reações de compatibiidade entre desocamentos e deformações, e as eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. A criação do modeo estrutura de uma estrutura rea é uma das tarefas mais importantes da anáise estrutura. Essa tarefa pode ser bastante compexa, dependendo do tipo de estrutura e da sua importância. Por exempo, o modeo estrutura de um prédio residencia de pequeno porte é concebido de uma forma corriqueira. Em gera, o modeo deste tipo de estrutura é formado por um conjunto de inhas que representam as vigas e counas do prédio e peas superfícies que representam as ajes de seus pavimentos. Por outro ado, a concepção do modeo estrutura de um prédio que abriga o reator de uma usina atômica é muito mais compexa e pode envover diversos tipos de eementos estruturais, das mais variadas formas (por exempo, superfícies para representar paredes estruturais com furos ou a superfície para representar a casca de concreto armado que cobre o prédio). Na concepção do modeo estrutura é feita uma ideaização do comportamento da estrutura rea em que se adota uma série de hipóteses simpificadoras. Estas estão baseadas em teorias físicas e em resutados experimentais e estatísticos, e podem ser divididas nos seguintes tipos: hipóteses sobre a geometria do modeo; hipóteses sobre as condições de suporte (igação com o meio externo, por e- xempo, com o soo); hipóteses sobre o comportamento dos materiais; hipóteses sobre as soicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação ou pressão de vento, por exempo). No caso de estruturas reticuadas, o modeo estrutura tem características que são bastante específicas. O modeo matemático deste tipo de estrutura usa o fato de os eementos estruturais terem um eixo bem definido e está embasado na Teoria de Vigas de Navier, que rege o comportamento de membros estruturais que trabaham à fexão, acrescida de efeitos axiais e de torção. A Figura. mostra um e- xempo de um modeo estrutura bidimensiona para o pórtico de um gapão industria.

10 Luiz Fernando Martha Introdução 5 Estrutura Rea Modeo Estrutura Figura. Estrutura rea e o seu modeo estrutura. Observa-se na Figura. que os eementos estruturais do gapão (vigas e counas) aparecem representados por inhas. A informação tridimensiona das barras fica representada por propriedades gobais de suas seções transversais, tais como área e momento de inércia. Portanto, no caso de estruturas reticuadas, a consideração da geometria do modeo é uma tarefa simpes: os eixos das barras definem os eementos do modeo estrutura. Entretanto, a consideração das outras hipóteses simpificadoras que entram na ideaização do comportamento da estrutura rea pode ser bastante compexa. Por e- xempo, a representação das soicitações (cargas permanentes, cargas acidentais, etc.) pode envover um ato grau de simpificação ou pode ser muito próxima da reaidade. O mesmo pode ser dito com respeito à consideração do comportamento dos materiais ou do comportamento das fundações (condições de apoio). No e- xempo da Figura., a igação da estrutura com o soo foi modeada por apoios que impedem os desocamentos horizonta e vertica, mas que permitem o giro da base das counas. Outro tipo de hipótese poderia ter sido feito para os apoios: por que não considerá-os como engastes perfeitos (que impedem também o giro da base)? Nesse mesmo modeo, as cargas verticais representam o peso próprio da estrutura e as cargas horizontais representam o efeito do vento. De quantas maneiras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras soicitações? Questões como essas mostram que existem diversas possibiidades para a concepção do modeo estrutura de uma estrutura. Nessa concepção diversos fatores entram em cena, tais como a experiência do anaista estrutura e a compexidade da estrutura e de suas soicitações. Apesar da importância da concepção do modeo estrutura dentro da anáise estrutura, não é o objetivo deste ivro abordar esse assunto. Os modeos matemáticos adotados para a ideaização do comportamento de estruturas usuais já estão de certa forma consagrados, principamente no caso de estruturas reticuadas. Esses modeos são descritos em ivros de Resistência dos Materiais (Féodosiev 977; Timoshen-ko & Gere 994; Beer & Johnston 996) e Teoria da Easticidade (Timo-

11 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha shenko & Goodier 98, Mavern 969, Litte 97, Boresi & Chong 987, Viaça & Taborda 998), entre outros. Também não são tratadas aqui questões que se referem à representação das soicitações reais no modeo estrutura, bem como questões reativas às eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Esses assuntos, em gera, são abordados em discipinas que tratam das etapas de dimensionamento e detahamento dentro do projeto estrutura, tais como Estruturas de Aço, Estruturas de Concreto ou Estruturas de Madeira. O foco principa deste ivro são as metodoogias de anáise de estruturas hiperestáticas. No corpo deste voume, o modeo estrutura competo (com materiais, soicitações e apoios definidos) vai ser sempre fornecido como ponto de partida para a anáise. Entretanto, para entender os métodos de anáise estrutura, é necessário conhecer os modeos matemáticos adotados para estruturas reticuadas. Portanto, os Capítuos, e 4 deste ivro resumem todas as teorias físicas e matemáticas que são necessárias para descrever os métodos de anáise estrutura que são tratados neste voume.... Modeo discreto O terceiro níve de abstração utiizado na anáise estrutura é o do modeo discreto (veja a Figura.). Esse modeo é concebido dentro das metodoogias de cácuo dos métodos de anáise. Portanto, a concepção do modeo discreto de estruturas reticuadas é um dos principais assuntos tratados neste ivro. De uma forma gera, os métodos de anáise utiizam um conjunto de variáveis ou parâmetros para representar o comportamento de uma estrutura. Nesse níve de abstração, o comportamento anaítico do modeo estrutura é substituído por um comportamento discreto, em que souções anaíticas contínuas são representadas peos vaores discretos dos parâmetros adotados. A passagem do modeo matemático para o modeo discreto é denominada discretização. Os tipos de parâmetros adotados no modeo discreto dependem do método utiizado. No Método das Forças os parâmetros adotados são forças ou momentos e no Método dos Desocamentos os parâmetros são desocamentos ou rotações. Por exempo, a Figura. mostra a discretização utiizada na soução de um pórtico pano peo Método das Forças. Nesse método, os parâmetros adotados para discretizar a soução são forças ou momentos redundantes para garantir o equiíbrio estático da estrutura. Isto é, são forças e momentos associados a víncuos excedentes de uma estrutura hiperestática. Esses parâmetros são denominados hiperestáticos.

12 Luiz Fernando Martha Introdução 7 () H A V A M A H B V B M A () () H B Figura. Superposição de souções básicas no Método das Forças. No exempo da Figura., os hiperestáticos adotados são as reações de apoio M A (reação momento no apoio da esquerda) e H B (reação horizonta no apoio da direita). A configuração deformada do pórtico, denominada eástica (indicada pea inha tracejada na figura e mostrada em escaa ampiada), é obtida pea superposição de souções básicas dos casos (), () e () mostrados na figura. A estrutura utiizada nas souções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura origina pea eiminação dos víncuos excedentes associados aos hiperestáticos. Cada soução básica isoa um determinado efeito ou parâmetro: o efeito da soicitação externa (carregamento) é isoado no caso (), o efeito do hiperestático M A é isoado no caso () e o efeito do hiperestático H B é isoado no caso (). A metodoogia de cácuo do Método das Forças determina os vaores que os hiperestáticos devem ter para recompor os víncuos eiminados (restrição à rotação no apoio da esquerda e restrição ao desocamento horizonta do apoio da direita). Dessa forma, a soução do probema fica parametrizada (discretizada) peos hiperestáticos M A e H B. Essa metodoogia será apresentada em detahes no Capítuo 5 deste ivro. Na soução peo Método dos Desocamentos para estruturas reticuadas, a soução discreta é representada por vaores de desocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro das barras), ta como indicado na Figura.4. Esses parâmetros são denominados desocabiidades. No exempo dessa figura, as desocabiidades são os desocamentos horizontais dos nós superiores, e, os desocamentos verticais desses nós, e, e as rotações dos nós ivres ao giro, θ B, θ C e θ D. y C y D x C x D

13 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha θ C y C θ D y D x C x D x C x D y C θ C θ D y D Y θ B X θ B Figura.4 Parâmetros nodais utiizados na discretização peo Método dos Desocamentos. Na Figura.4, a configuração deformada da estrutura (eástica mostrada em escaa ampiada) representa a soução contínua do modeo matemático. Os vaores das desocabiidades nodais representam a soução discreta do probema. Nesse tipo de metodoogia baseada em desocamentos, a soução contínua pode ser obtida por interpoação dos vaores discretos dos desocamentos e rotações nodais, considerando também o efeito da carga distribuída na barra horizonta. Em gera, para estruturas reticuadas com barras prismáticas, a soução obtida por interpoação é igua à soução anaítica do modeo estrutura. Isto ocorre porque as funções de interpoação que definem a configuração deformada contínua são compatíveis com a ideaização matemática do comportamento das barras feita pea Resistência dos Materiais. A metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos vai ser detahada no Capítuo 6. No caso de estruturas contínuas (que não são compostas por barras), o método comumente utiizado na anáise estrutura é uma formuação em desocamentos do Método dos Eementos Finitos (Zienkiewicz & Tayor, Feippa ). Nesse método, o modeo discreto é obtido pea subdivisão do domínio da estrutura em subdomínios, chamados de eementos finitos, de formas simpes (em modeos panos, usuamente triânguos ou quadriáteros), ta como exempificado na Figura.5 para o modeo bidimensiona de uma estrutura contínua com um furo. Essa subdivisão é denominada maha de eementos finitos e os parâmetros que representam a soução discreta são vaores de desocamentos nos nós (vértices) da maha. Pode-se observar por esse exempo que a obtenção do modeo discreto para estruturas contínuas é muito mais compexa do que no caso de modeos de estruturas reticuadas (pórticos, treiças ou grehas). Para estruturas formadas por barras, os nós (pontos onde vaores discretos são definidos) são identificados naturamente no encontro das barras, enquanto que para modeos contínuos os nós são obtidos pea discretização do domínio da estrutura em uma maha. Muitos outros métodos são utiizados, tais como o Método dos Eementos de Contorno. As notas de aua de Feippa () apresentam uma exceente introdução aos métodos de anáise de estruturas contínuas.

14 Luiz Fernando Martha Introdução 9 Figura.5 Discretização peo Método dos Eementos Finitos para uma estrutura contínua. Uma importante diferença entre os modeos discretos de estruturas reticuadas e de estruturas contínuas é que a discretização de uma maha de eementos finitos introduz simpificações em reação à ideaização matemática feita para o comportamento da estrutura. Isto ocorre porque as funções de interpoação que definem a configuração deformada de uma maha de eementos finitos não são, em gera, compatíveis com a ideaização matemática do comportamento do meio contínuo feita pea Teoria da Easticidade. Dessa forma, a soução do modeo discreto de eementos finitos é uma aproximação para a soução anaítica da Teoria da Easti-

15 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha cidade, ao passo que a soução do modeo discreto de uma estrutura com barras prismáticas é igua à soução anaítica da Resistência dos Materiais. Conforme comentado, este ivro trata apenas de modeos de estruturas reticuadas. Existem diversas referências para o tratamento de estruturas contínuas através do Método dos Eementos Finitos. Pode-se citar os ivros de Cook et a. (989), Feippa (), Zienkiewicz e Tayor (), Assan (999), e Soriano (). Este útimo se constitui em uma referência em português recente e competa (dentro do contexto da anáise de estruturas) sobre o Método dos Eementos Finitos.... Modeo computaciona Desde a década de 96 o computador tem sido utiizado na anáise estrutura, embora iniciamente somente nos institutos de pesquisa e universidades. Nos anos setenta essa utiização passou a ser corriqueira, e nos anos oitenta e noventa, com a criação de programas gráficos interativos, a anáise estrutura passou a ser feita com uso de computador em praticamente todos os escritórios de cácuo estrutura e empresas de consutoria. A anáise de estruturas pode ser vista atuamente como uma simuação computaciona do comportamento de estruturas. Embora este ivro não esteja direcionado diretamente ao desenvovimento de programas para prever o comportamento de estruturas, é importante ter em mente que não se concebe atuamente executar as tarefas de anáise estrutura, mesmo para o caso de estruturas reticuadas, sem o uso de computador e de Computação Gráfica. Portanto, este ivro pode ser considerado como introdutório para a anáise de estruturas. As souções apresentadas para os modeos discretos das formuações do Método das Forças e do Método dos Desocamentos são obtidas através de resoução manua. O enfoque dado aqui é para o entendimento do comportamento de estruturas reticuadas hiperestáticas e dos fundamentos dos métodos básicos da anáise estrutura. Livros-texto sobre o Método dos Eementos Finitos, como os que são citados acima, abordam de uma certa maneira a impementação computaciona do Método da Rigidez Direta (que é uma formaização do Método dos Desocamentos direcionada para uma impementação computaciona) e do Método dos Eementos Finitos. O Método das Forças tem uma metodoogia que não é conveniente para ser impementada computacionamente e, por isso, é pouco utiizado em programas de computador. Entretanto, diversos outros aspectos estão envovidos no desenvovimento de um programa de computador para executar uma anáise estrutura. Questões como estruturas de dados e procedimentos de criação do modeo geométrico, geração do modeo discretizado, apicação de atributos de anáise (propriedades de materiais,

16 Luiz Fernando Martha Introdução carregamentos, condições de suporte, etc.) e visuaização dos resutados são fundamentais nesse contexto. Essas questões não são tratadas nos ivros de eementos finitos, mas são da área de Modeagem Geométrica e Computação Gráfica... Organização dos capítuos Este capítuo procurou posicionar o eitor dentro da atividade de anáise estrutura e direciona para os principais tópicos que são abordados neste ivro. No Capítuo são introduzidos conceitos básicos sobre a anáise de estruturas. O capítuo trata principamente das condições básicas que têm que ser atendidas peo modeo estrutura, tais como reações de equiíbrio entre forças e entre tensões, as reações de compatibiidade entre desocamentos e deformações, e as eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. É feita uma introdução aos métodos cássicos da anáise estrutura: Método das Forças e Método dos Desocamentos. O comportamento inear de estruturas, condição para apicar superposição de efeitos, também é discutido. Também é feita uma abordagem conceitua entre as diferenças de comportamento de estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas. Finamente, é apresentado um procedimento gera para determinação do grau de hiperestaticidade de pórticos panos e grehas. O Capítuo resume a formaização matemática feita na ideaização do comportamento de barras. A Teoria de Vigas de Navier para o comportamento à fexão de barras é apresentada com todas as suas hipóteses e simpificações. As principais reações diferenciais da Resistência dos Materiais que regem o comportamento de barras para efeitos axiais, cisahantes, de fexão e de torção são apresentadas com vistas à sua utiização no desenvovimento dos métodos de anáise apresentados nos capítuos subseqüentes. O Capítuo 4 apresenta souções fundamentais que são utiizadas nas metodoogias dos Métodos das Forças e dos Desocamentos. Tais souções são obtidas com base no Princípio dos Trabahos Virtuais. Esse princípio, através de suas duas formuações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Desocamentos Virtuais, é necessário para deduzir as expressões utiizadas no cácuo de coeficientes dos sistemas de equações resutantes da discretização do probema peos Métodos das Forças e dos Desocamentos. O Método das Forças é apresentado em detahes no Capítuo 5. O capítuo trata principamente de apicações do método para pórticos panos, mas também são considerados exempos de treiças panas e grehas. Embora, atuamente, na prática esse método seja pouco utiizado (tem difíci impementação computaciona), o método tem o mérito de ser intuitivo e, por isso, em gera é o primeiro método a ser apresentado em ivros-texto.

17 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Capítuo 6 apresenta uma introdução ao Método dos Desocamentos. O objetivo é descrever os fundamentos do método apicado a pórticos panos. Nesse capítuo só são tratados pórticos com barras horizontais e verticais, pois a resoução de pórticos com barras incinadas pea formuação gera do Método dos Desocamentos é muito trabahosa para ser feita manuamente. No Capítuo 7 são introduzidas restrições que são comumente adotadas para as deformações de barras com o objetivo de reduzir o número de parâmetros discretos e, assim, faciitar a resoução manua peo Método dos Desocamentos. A apresentação do método com essas restrições pode ser considerada como a forma cássica de apresentação em ivros-texto, como por exempo no de Süssekind (977-), que estavam votados para uma resoução manua. Na verdade, o principa objetivo ao considerar essas restrições a deformações de barras é caracterizar o comportamento de pórticos com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações transversais por fexão. Por exempo, a consideração de barras sem deformação axia (chamadas de barras inextensíveis.) é uma aproximação razoáve para o comportamento de um pórtico. A hipótese de barras inextensíveis possibiita o entendimento do conceito de contra-ventamento de pórticos com barras incinadas, que é muito importante no projeto de estruturas. O Capítuo 8 descreve um processo de soução iterativa de pórticos peo Método dos Desocamentos. Esse processo é denominado Método da Distribuição de Momentos (White et a. 976) ou Processo de Cross (Süssekind 977-). Apesar deste processo ter caído em desuso nos útimos anos, ee tem a vantagem de propiciar um entendimento intuitivo do comportamento de vigas e quadros que trabaham fundamentamente à fexão, aém de permitir uma rápida resoução manua. O Método da Rigidez Direta, que é uma formaização do Método dos Desocamentos votada para sua impementação computaciona, é apresentado no Capítuo 9. Essa formuação gera do Método dos Desocamentos é feita para pórticos panos, com barras com quaquer incinação, com ou sem articuação, e para grehas. Finamente, o Capítuo descreve o procedimento de anáise estrutura para cargas acidentais e móveis, isto é, para cargas que não têm atuação constante ou posição fixa sobre a estrutura. Os conceitos de Linhas de Infuência e Envotórias de Esforços são introduzidos. É deduzido o método cinemático para o traçado de inhas de infuência, também chamado de Princípio de Müer-Bresau (White et a. 976, Süssekind 977-). As souções de engastamento perfeito deste princípio para barras isoadas são apresentadas. Essas souções faciitam a determinação de inhas de infuência por programas de computador que impementam o Método da Rigidez Direta. Dois apêndices compementam os capítuos descritos. O primeiro mostra a convenção de sinais adotada para esforços internos em estruturas reticuadas. O segundo apresenta a Anaogia da Viga Conjugada como forma aternativa para deduzir as souções fundamentais de barras introduzidas no Capítuo 4.

18 . CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL Este capítuo resume aguns conceitos básicos de anáise estrutura para estruturas que são compostas por barras. Esses conceitos foram seecionados de forma a permitir a compreensão dos demais capítuos deste ivro, e essa seeção foi baseada em consutas a trabahos de diversos autores que certamente descrevem esses conceitos em maior profundidade. Os principais ivros que serviram como referência para este capítuo foram os de White, Gergey e Sexsmith (976), Rubinstein (97), Candreva (98), Timoshenko e Gere (994), Tauchert (974) e West (989). São considerados como pré-requisitos para os assuntos tratados neste capítuo a definição de tensões, deformações e esforços internos (esforços normais e cortantes e momentos fetores e torçores) em barras e a anáise de estruturas estaticamente determinadas (estruturas isostáticas). Como referências para esses assuntos podese citar, aém das referências anteriores, os ivros dos seguintes autores: Beaufait (977), Beer e Johnston (996), Campanari (985), Feton e Neson (997), Feming (997), Süssekind (977-), Gorfin e Oiveira (975), Hibbeer (998) e Meriam (994)... Cassificação de modeos de estruturas reticuadas Conforme mencionado no Capítuo, este ivro está direcionado para a anáise de estruturas reticuadas, isto é, de estruturas formadas por barras. Esta seção faz uma cassificação dos tipos de modeos de estruturas reticuadas de acordo com o seu arranjo espacia e de suas cargas. Também são definidos sistemas de eixos gobais da estrutura e de eixos ocais das barras. Para cada tipo de estrutura são caracterizados os tipos de esforços internos e as direções dos seus desocamentos e rotações. A Figura. mostra um exempo de um quadro ou pórtico pano. Um quadro pano é um modeo estrutura pano de uma estrutura tridimensiona. Este modeo pode corresponder a uma fatia da estrutura, ou pode representar uma simpificação para o comportamento tridimensiona. Estruturas deste tipo estão contidas em um pano (neste ivro é adotado o pano formado peos eixos X e Y, como mostra a Figura.) e as cargas também estão contidas no mesmo pano. Isso incui forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z (que sai do pano).

19 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O quadro pano da Figura. tem um soicitação externa (carregamento) composta por uma força horizonta P (na direção de X) e uma carga uniformemente distribuída vertica q (na direção de Y). Também estão indicados na figura as reações de apoio, que são compostas de forças horizontais e verticais, e por um momento em torno do eixo Z. P q y C x C z θ C z θ D x D y D Y Y z θ B H A M A X H B V B X V A Figura. Eixos gobais, cargas, reações, desocamentos e rotações de um quadro pano. A Figura. também indica a configuração deformada da estrutura (ampificada de forma exagerada) com as componentes de desocamentos e rotações do nós (pontos extremos das barras). A simpificação adotada para modeos estruturais de quadros panos é que não existem desocamentos na direção transversa ao pano (direção Z) e rotações em torno de eixos do pano da estrutura. Portanto, um quadro pano apresenta somente as seguintes componentes de desocamentos e rotação: x desocamento na direção do eixo goba X; y desocamento na direção do eixo goba Y; z θ rotação em torno do eixo goba Z. As igações entre as barras de um pórtico pano são consideradas perfeitas (igações rígidas), a menos que agum tipo de iberação, ta como uma articuação, seja indicado. Isto significa que duas barras que se igam em um nó tem desocamentos e rotação compatíveis na igação. Ligações rígidas caracterizam o comportamento de pórticos e provocam a deformação por fexão de suas barras. Os esforços internos de um quadro pano também estão associados ao comportamento pano da estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas três esforços internos em um barra de um pórtico pano, definidos nas direções dos eixos ocais da barra, ta como indicado na Figura.: N esforço norma (esforço interno axia) na direção do eixo oca x;

20 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 5 Q = Q y esforço cortante (esforço interno transversa) na direção do eixo oca y; z M M = momento fetor (esforço interno de fexão) em torno do eixo oca z. y x M N M Q Q N Figura. Eixos ocais e esforços internos de uma barra de quadro pano. Esforços internos em uma estrutura caracterizam as igações internas de tensões, isto é, esforços internos são integrais de tensões ao ongo de uma seção transversa de uma barra. Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticuada resutantes de um corte em uma seção transversa. Os esforços internos correspondentes de cada ado da seção seccionada são iguais e contrários, pois correspondem uma ação e a reação correspondente. A reação entre tensões e esforços internos vai ser discutida no Capítuo. Uma treiça é uma estrutura reticuada que tem todas as igações entre barras articuadas (as barras podem girar independentemente nas igações). A Figura. mostra uma treiça pana com suas cargas e reações. Na anáise de uma treiça as cargas atuantes são transferidas para os seus nós. A conseqüência disso, em conjunto com a hipótese de igações articuadas, é que uma treiça apresenta apenas esforços internos axiais (esforços normais de tração ou compressão). Y N X N Figura. Eixos gobais, cargas, reações e esforço interno norma de uma treiça pana. Muitas vezes, a hipótese de igações articuadas é uma simpificação para o comportamento de uma treiça, pois muitas vezes não existem articuações nos nós. Esta

21 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha simpificação se justifica, principamente, quando os eixos das barras concorrem praticamente em um único ponto em cada igação. Nesse caso, o comportamento da estrutura de dá fundamentamente a esforços internos axiais (esforços cortantes e momentos fetores são pequenos na presença de esforços normais). Um outro tipo de estrutura reticuada é a greha. Grehas são estruturas panas com cargas na direção perpendicuar ao pano, incuindo momentos em torno de eixos do pano. A Figura.4 mostra uma greha com uma carga uniformemente distribuída transversa ao seu pano. Neste ivro é adotado que o pano da greha é formado peos eixos X e Y. Os apoios de uma greha apresentam apenas uma componente de força, que é na direção vertica Z, e duas componentes de momento. x M A y M A Z V A V B q z Y X y θ Figura.4 Eixos gobais, cargas, reações, desocamentos e rotações de uma greha. Por hipótese, uma greha não apresenta desocamentos dentro do seu pano. A Figura.4 indica a configuração deformada da greha (de forma exagerada), que apresenta as seguintes componentes de desocamento e rotações: z desocamento na direção do eixo goba Z; x θ rotação em torno do eixo goba X; y θ rotação em torno do eixo goba Y. Em gera, as igações entre as barras de uma greha são rígidas, mas é possíve que ocorram articuações. Uma igação articuada de barras de greha pode iberar a- penas uma componente de rotação, ou pode iberar as duas componentes. Os esforços internos de uma barra de greha estão mostrados na Figura.5, juntamente com a convenção adotada para os eixos ocais de uma barra de greha. São três os esforços internos: Q = Q z esforço cortante (esforço interno transversa) na direção do eixo oca z; y M M = momento fetor (esforço interno de fexão) em torno do eixo oca y; T = T x momento torçor (esforço interno de torção) em torno do eixo oca x. x θ

22 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 7 Q T M T Q M x y z Figura.5 Eixos ocais e esforços internos de uma barra de greha. É interessante fazer uma comparação entre as componentes de desocamentos e rotações de quadros panos e grehas, bem como entre os tipos de esforços internos. A Tabea. indica as componentes de desocamentos e rotações que são nuas para quadros panos e grehas. Observe que quando uma componente é nua para um quadro pano ea não é nua para uma greha, e vice-versa. A tabea também mostra as diferenças entre os esforços internos de quadros panos e grehas. Vê-se que os esforços normais são nuos para grehas. Por outro ado, os quadros panos não apresentam momentos torçores. As barras de um quadro pano e de uma greha apresentam esforços cortantes, mas ees têm direções distintas em reação aos eixos ocais. O mesmo ocorre para momentos fetores. Tabea. Comparação entre quadro pano e greha. Quadro Pano Greha Desocamento em X x x = Desocamento em Y y y = Desocamento em Z z = Rotação em torno de X x θ = Rotação em torno de Y y θ = Rotação em torno de Z Esforço norma Esforço cortante Momento fetor z z x θ y θ θ θ = x N = N (x oca) y Q = Q (y oca) z M = M (z oca) Momento torçor = T x z N = z Q = Q (z oca) y M = M (y oca) T = T (x oca)

23 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Finamente, o caso mais gera de estruturas reticuadas é o de quadros ou pórticos espaciais. Um exempo é mostrado na Figura.6. Cada ponto de um quadro espacia pode ter três componentes de desocamento (,, e ) e três componentes x y z x y z de rotação ( θ, θ, e θ ). Existem seis esforços internos em uma barra de pórtico x y espacia: esforço norma N = N (x oca), esforço cortante Q (y oca), esforço cortante Q (z oca), momento fetor M (y oca), momento fetor M (z oca), e z y z x momento torçor T = T (x oca). q z P z P x P y Z Y X Figura.6 Eixos gobais e cargas de um quadro espacia... Condições básicas da anáise estrutura No contexto da anáise estrutura, o cácuo corresponde à determinação dos esforços internos na estrutura, das reações de apoios, dos desocamentos e rotações, e das tensões e deformações. As metodoogias de cácuo são procedimentos matemáticos que resutam das hipóteses adotadas na concepção do modeo estrutura. Dessa forma, uma vez concebido o modeo de anáise para uma estrutura, as metodoogias de cácuo podem ser expressas por um conjunto de equações matemáticas que garantem a satisfação às hipóteses adotadas. Dito de outra maneira, uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura, sobre as cargas e soicitações, sobre as condições de suporte ou igação com outros sistemas e sobre as eis constitutivas dos materiais, a anáise estrutura passa a ser um procedimento matemático de cácuo que só se atera se as hipóteses e simpificações adotadas forem revistas ou reformuadas. As condições matemáticas que o modeo estrutura tem que satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura rea podem ser dividas nos seguintes grupos: condições de equiíbrio; condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações;

24 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 9 condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (eis constitutivas dos materiais). A imposição destas condições é a base dos métodos da anáise estrutura, isto é, as formas como essas condições são impostas definem as metodoogias dos chamados Métodos Básicos da Anáise de Estruturas, foco principa deste ivro. Esta seção exempifica as condições básicas que o modeo estrutura tem que atender através de um exempo simpes de três barras articuadas (Timoshenko & Gere 994), mostrado na Figura.7. Existe uma força externa P apicada no nó da estrutura que conecta as três barras. As barras são feitas com um materia com móduo de easticidade E e têm seções transversais com área A. N N N Y θ θ X P Figura.7 Estrutura com três barras articuadas.... Condições de equiíbrio No contexto deste ivro, no qua não são considerados probemas de vibrações ou de dinâmica de estruturas, condições de equiíbrio são condições que garantem o e- quiíbrio estático de quaquer porção isoada da estrutura ou da estrutura como um todo. No exempo da Figura.7, o equiíbrio tem que ser garantido gobamente, isto é, para a estrutura como um todo, em cada barra isoada e em cada nó isoado. Nesse exempo simpes, em que só existem esforços internos axiais nas barras (forças normais), as três reações de apoio nos nós superiores convergem em um ponto: o nó inferior. Na verdade, essas reações são os próprios esforços normais nas barras, ta como indicado na Figura.7. Aém disso, a simetria da estrutura impõe que os esforços normais nas barras incinadas sejam iguais (isto é, na verdade, uma

25 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha imposição de equiíbrio de forças na direção horizonta X). Dessa forma, o equiíbrio do nó inferior na direção vertica Y garante o equiíbrio goba da estrutura: F Y = N + N cosθ = P. (.) Nessa equação, tem-se: N N esforço norma na barra vertica; esforço norma nas barras incinadas. Na Equação (.), a condição de equiíbrio na direção vertica do nó inferior da estrutura foi escrita considerando a geometria origina (indeformada) da estrutura. Isto só é váido quando os desocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pequenos em reação às dimensões da estrutura. Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos desocamentos (White et a. 976, West 989), será adotada neste ivro. A anáise de estruturas com essa consideração denomina-se anáise de primeira ordem. Nem sempre é possíve adotar a hipótese de pequenos desocamentos. Por exempo, no projeto moderno de estruturas metáicas exige-se que se faça uma anáise de segunda ordem (desocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equiíbrio), peo menos de uma maneira aproximada. Apesar disso, neste ivro só serão consideradas anáises com pequenos desocamentos, e as condições de equiíbrio sempre serão escritas para a configuração (geometria) indeformada da estrutura. Esse ponto será justificado na Seção.4 deste capítuo, onde a hipótese de pequenos desocamentos é abordada em maior profundidade. Observa-se pea Equação (.) que não é possíve determinar os vaores dos esforços normais N e N. Isto é, existem duas incógnitas em termos de esforços e apenas uma equação de equiíbrio (considerando que a equação de equiíbrio na direção horizonta já foi utiizada). As estruturas que não podem ter seus esforços determinados apenas peas equações de equiíbrio são chamadas de estruturas hiperestáticas, como a estrutura do exempo da Figura.7. Existe um caso especia de estruturas que podem ter seus esforços internos e externos (reações de apoio) determinados apenas peas condições de equiíbrio são as chamadas estruturas isostáticas. Em gera, as equações de equiíbrio fornecem condições necessárias, mas não suficientes, para a determinação dos esforços no modeo estrutura. Para a determinação dos esforços em estruturas hiperestáticas, é necessário fazer uso das outras condições, que são tratadas nas seções a seguir.

26 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura... Condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações As condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações são condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatíve com seus víncuos externos. Deve-se ressatar que as condições de compatibiidade não têm reação aguma com as propriedades de resistência dos materiais da estrutura (consideradas nas eis constitutivas dos materiais, tratadas na seção a seguir). As condições de compatibiidade são expressas por reações geométricas impostas no modeo estrutura para garantir a continuidade no domínio da estrutura rea. Essas reações consideram as hipóteses geométricas adotadas na concepção do modeo. As condições de compatibiidade podem ser divididas em dois grupos: Condições de compatibiidade externa: referem-se aos víncuos externos da estrutura e garantem que os desocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou igações com outras estruturas. Condições de compatibiidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se deformar, contínua no interior dos eementos estruturais (barras) e nas fronteiras entres os eementos estruturais, isto é, que as barras permaneçam igadas peos nós que as conectam (incuindo igação por rotação no caso de não haver articuação entre barras). No exempo da Figura.7, as condições de compatibiidade externa são garantidas automaticamente quando só se admite uma configuração deformada para a estrutura que tenha desocamentos nuos nos nós superiores, ta como mostra a Figura.8. A configuração deformada está indicada, com desocamentos ampiados de forma exagerada, peas inhas tracejadas mostradas nessa figura. As condições de compatibiidade interna devem garantir que as três barras permaneçam igadas peo nó inferior na configuração deformada. Mantendo-se a hipótese de pequenos desocamentos, pode-se considerar que o ânguo entre as barras após a deformação da estrutura não se atera, ta como indicado na Figura.8.

27 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha θ θ θ θ d = D D d Figura.8 Configuração deformada da estrutura com três barras articuadas. Com base na Figura.8 e considerando a simetria da estrutura, pode-se então estabeecer reações de compatibiidade entre os aongamentos das barras da estrutura e o desocamento vertica do nó inferior: d = D ; d = D cosθ. Sendo: D d d desocamento vertica do nó inferior; aongamento da barra vertica; aongamento das barras incinadas. Isto resuta na seguinte equação de compatibiidade entre os aongamentos das barras: d = d cosθ. (.) A introdução da equação de compatibiidade acrescentou duas novas incógnitas ao probema, d e d, sem reacioná-as às incógnitas anteriores, N e N. Entretanto, essas quatro incógnitas vão ficar reacionadas através da consideração do comportamento do materia que compõe a estrutura, sem que isso introduza novas incógnitas.... Leis constitutivas dos materiais O modeo matemático do comportamento dos materiais, em um níve macroscópico, é expresso por um conjunto de reações matemáticas entre tensões e deforma-

28 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura ções, chamadas de eis constitutivas (Féodosiev 977). Essas reações contêm parâmetros que definem o comportamento dos materiais. A Teoria da Easticidade (Timoshenko & Goodier 98) estabeece que as reações da ei constitutiva são e- quações ineares com parâmetros constantes. Nesse caso, é dito que o materia trabaha em regime eástico-inear, em que tensões e deformações são proporcionais. Entretanto, nem sempre é possíve adotar um comportamento tão simpificado para os materiais. Por exempo, procedimentos modernos de projeto de estruturas metáicas ou de concreto armado são baseados no estado de imite útimo, quando o materia não tem mais um comportamento eástico-inear. Apesar disso, no contexto deste ivro só serão considerados materiais ideaizados com comportamento eástico-inear e sem imite de resistência. Isto é justificado peos seguintes motivos: De uma maneira gera, as estruturas civis trabaham em regime eásticoinear. Por isso, a maioria das estruturas é anaisada adotando-se essa aproximação. Mesmo para projetos baseados em regime útimo, a determinação da distribuição de esforços internos é, em gera, feita a partir de uma anáise inear. Isto é, faz-se o dimensionamento oca no estado útimo de resistência, com o uso de coeficientes de majoração de carga e de minoração de resistência, mas com esforços cacuados através de uma anáise goba inear. Esta é uma aproximação razoáve na maioria dos casos, mas o correto seria fazer uma anáise goba considerando o materia em regime não inear (que é reativamente compexa quando comparada com uma anáise inear). Na prática, uma anáise não inear é executada computacionamente de forma incrementa, sendo que em cada passo do processo incrementa é feita uma anáise inear. Como este ivro é introdutório para a anáise de estruturas, a consideração de um comportamento inear se justifica. O foco principa deste ivro são os métodos básicos da anáise estrutura. A consideração em si de eis constitutivas não ineares é um tema bastante ampo que foge do escopo deste ivro. Portanto, no exempo da Figura.7, o materia considerado tem um comportamento eástico-inear. As barras desta estrutura estão submetidas apenas a esforços axiais de tração. As tensões σ x e deformações ε x que aparecem nesse caso são normais às seções transversais das barras (na direção do eixo oca x, na direção axia da barra). A ei constitutiva que reaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida Lei de Hooke (Beer & Johnston 996, Féodosiev 977) e é dada por sendo: E móduo de easticidade (propriedade do materia); σ x = Eε x, (.)

29 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha σ x ε x tensões normais na direção axia da barra; deformações normais na direção axia da barra. No contexto de uma anáise com pequenos desocamentos, a tensão norma devida a um esforço axia é dada pea razão entre o vaor do esforço e a área da seção transversa, e a deformação norma é a razão entre o aongamento da barra e o seu comprimento origina. Assim, para a barra vertica da Figura.7 tem-se: N d = E, (.4) A e para as barras incinadas tem-se: N d = E. (.5) A cosθ Observa-se que as Equações (.4) e (.5) introduziram novas reações entre as incógnitas do probema sem que aparecessem novas variáveis. Dessa maneira, as Equações (.), (.), (.4) e (.5) formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas, N, N, d e d, resutando na soução única do probema. Vê-se que só foi possíve resover a estrutura hiperestática desse exempo utiizando todos os três tipos de condições: equiíbrio, compatibiidade e eis constitutivas. A próxima seção discute esse ponto em mais detahe. Há casos em que o materia é também soicitado ao efeito de cisahamento. Para materiais trabahando em regime eástico-inear, a ei constitutiva que reaciona tensões cisahantes com distorções de cisahamento é dada por: sendo: G móduo de cisahamento (propriedade do materia); τ tensão de cisahamento; γ distorção de cisahamento. τ = Gγ, (.6).. Métodos básicos da anáise estrutura O exempo simpes mostrado na seção anterior iustra bem a probemática para a anáise de uma estrutura hiperestática. Para se resover (cacuar esforços, desocamentos, etc.) uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar os três grupos de condições básicas da anáise estrutura: condições de equiíbrio, condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações e condições sobre o comportamento dos materiais (White et a. 976).

30 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 5 No exempo, existem infinitos vaores de N e N que satisfazem a equação de equiíbrio (.). Também existem infinitos vaores de d e d que satisfazem a equação de compatibiidade (.). Entretanto, existe uma única soução para essas entidades: é aquea que satisfaz simutaneamente equiíbrio, compatibiidade e eis constitutivas. Observa-se que para esse exempo a soução da estrutura hiperestática requer a resoução de um sistema de quatro equações a quatro incógnitas. Para estruturas usuais (bem maiores), a formuação do probema dessa maneira acarreta uma compexidade de ta ordem que a soução pode ficar comprometida. Assim, é necessário definir metodoogias para a soução de estruturas hiperestáticas. Isto vai resutar nos dois métodos básicos da anáise estrutura, que são introduzidos a seguir.... Método das Forças O primeiro método básico da anáise de estruturas é o chamado Método das Forças. Nesse método as incógnitas principais do probema são forças e momentos, que podem ser reações de apoio ou esforços internos. Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas principais escohidas e substituídas em equações de compatibiidade, que são então resovidas. O Método das Forças tem como idéia básica determinar, dentro do conjunto de souções em forças que satisfazem as condições de equiíbrio, qua a soução que faz com que as condições de compatibiidade também sejam satisfeitas. Na formaização do Método das Forças existe uma seqüência de introdução das condições básicas do probema: primeiro são utiizadas as condições de equiíbrio, em seguida são consideradas as eis constitutivas dos materiais, e finamente são utiizadas as condições de compatibiidade. O exempo da Figura.7 vai ser usado para iustrar essa seqüência. Considere que o esforço norma N na barra centra foi adotado como a incógnita principa. O número de incógnitas principais é igua ao número de incógnitas excedentes nas equações de equiíbrio. A escoha de N como principa foi arbitrária (teria sido indiferente escoher N ). Pea equação de equiíbrio (.) pode-se escrever N em função de N : P N N =. (.7) cosθ Peas Equações (.4) e (.5) pode-se expressar d e d em função de N e N, respectivamente. Utiizando a Equação (.7) e substituindo na Equação (.), tem-se a equação de compatibiidade expressa em termos da incógnita N :

31 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha EA P + N = EA (cosθ ) EA (cosθ ). (.8) Finamente, a soução desta equação resuta no vaor de N, e substituindo esse resutado na Equação (.7) tem-se N : P N = ; + (cosθ ) (cosθ ) N = P. + (cosθ ) Deve-se saientar que os vaores de N e N independem da área da seção transversa das barras e do móduo de easticidade porque esses parâmetros são, nesse e- xempo, iguais para as três barras, tendo sido canceados na soução da Equação (.8). Na verdade, a soução mostrada acima não corresponde à metodoogia utiizada na prática para anaisar uma estrutura hiperestática peo Método das Forças. A metodoogia adotada na prática faz uma parametrização (discretização) do probema em termos de variáveis independentes, ta como já sugerido na Seção.. do Capítuo. No caso do Método das Forças, essas variáveis são as forças (e momentos) associadas aos víncuos excedentes à determinação estática da estrutura. Essas forças e momentos são chamados de hiperestáticos. Para o exempo das três barras só existe um hiperestático. Uma possíve soução parametrizada peo Método das Forças é obtida pea superposição de souções básicas dos casos () e () mostrados na Figura.9. O hiperestático escohido nessa soução é a reação de apoio vertica X (= N ) e o víncuo associado é a restrição ao desocamento vertica do apoio centra. X = N () X = δ δ x X P P () Figura.9 Superposição de souções básicas do Método das Forças.

32 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 7 Na soução indicada na Figura.9, a estrutura utiizada nas souções básicas é uma estrutura estaticamente determinada (isostática) obtida da estrutura origina pea eiminação do víncuo excedente associado ao hiperestático. Essa estrutura isostática auxiiar é chamada de Sistema Principa (SP). Cada soução básica isoa um determinado efeito ou parâmetro no SP: o efeito da soicitação externa (carregamento) é isoado no caso () e o efeito do hiperestático X é isoado no caso (). As souções básicas mostradas na Figura.9 vioam uma condição de compatibiidade da estrutura origina pois o víncuo eiminado ibera o desocamento vertica do apoio centra. Por outro ado, as souções básicas do Método das Forças satisfazem as equações de equiíbrio da estrutura origina. A metodoogia de cácuo do Método das Forças determina o vaor que o hiperestático deve ter para recompor o víncuo eiminado no SP. Essa condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de compatibiidade que superpõe os desocamentos no víncuo eiminado de cada caso básico: Nessa equação: δ δ δ + δ X. (.9) = termo de carga: desocamento vertica no ponto do víncuo eiminado no caso (); coeficiente de fexibiidade: desocamento vertica no ponto do víncuo eiminado devido a um vaor unitário do hiperestático apicado isoadamente. A Equação (.9) determina o vaor do hiperestático X que faz com que o desocamento do ponto do víncuo eiminado seja nuo. Dessa forma, o vaor correto do esforço norma N (= X ) é determinado pois a compatibiidade da estrutura origina, vioada na criação da estrutura auxiiar (SP) utiizada na superposição de casos básicos, é recomposta. Considerando que desocamentos verticais são positivos no sentido da força unitária arbitrada para X (para cima), tem-se que os vaores do termo de carga e do coeficiente de fexibiidade para esse probema são: δ P = EA (cosθ ) e δ = EA + EA (cosθ ). Substituindo esses vaores na Equação (.9), pode-se observar que essa equação é exatamente igua à equação de compatibiidade (.8) encontrada anteriormente. No Capítuo 5 essa metodoogia prática do Método das Forças será formaizada detahadamente. Essa metodoogia está baseada na vaidade do Princípio da Superposição de Efeitos (veja a Seção.4) e serve para resover quaquer estrutura hiperestática reticuada com comportamento inear.

33 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Método das Forças é assim denominado pois os hiperestáticos são forças (ou momentos). O método também é denominado Método da Compatibiidade (West 989) pois as equações finais, como no exempo a Equação (.9), são equações de compatibiidade escritas em termos dos hiperestáticos.... Método dos Desocamentos O segundo método básico da anáise de estruturas é o chamado Método dos Desocamentos. Nesse método as incógnitas principais do probema são desocamentos e rotações. Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas principais escohidas e substituídas em equações de equiíbrio, que são então resovidas. O Método dos Desocamentos tem como idéia básica determinar, dentro do conjunto de souções em desocamentos que satisfazem as condições de compatibiidade, qua a soução que faz com que as condições de equiíbrio também sejam satisfeitas. Observa-se que o Método dos Desocamentos ataca a soução de estruturas de maneira inversa ao que é feito peo Método das Forças. Por isso esses métodos são ditos duais. Na formaização do Método dos Desocamentos a seqüência de introdução das condições básicas também é inversa: primeiro são utiizadas as condições de compatibiidade, em seguida são consideradas as eis constitutivas dos materiais, e finamente são utiizadas as condições de equiíbrio. O exempo da Figura.7 também vai ser utiizado para mostrar isso. A incógnita principa escohida é o aongamento d da barra vertica, que corresponde ao desocamento vertica D do nó inferior da estrutura (veja a Figura.8). O número de incógnitas no Método dos Desocamentos é igua ao número de incógnitas excedentes nas equações de compatibiidade. No exempo, existe uma equação de compatibiidade Equação (.) com duas incógnitas: d e d. A escoha de d como principa foi arbitrária. Utiizando a equação de compatibiidade e as Equações (.4) e (.5) da ei constitutiva, pode-se expressar a equação de equiíbrio (.) em função da incógnita principa: EA EA (cosθ ) d + = P. (.) A soução desta equação fornece o vaor de d, e substituindo esse resutado na E- quação (.) tem-se d : d P = + (cosθ ) EA ;

34 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 9 d P cosθ = + (cosθ ) EA. Para encontrar os vaores de N e N mostrados anteriormente basta utiizar as E- quações (.4) e (.5). Assim como na seção anterior para o Método das Forças, a soução peo Método dos Desocamentos apresentada iniciamente nesta seção tem um caráter apenas didático. Na prática é necessário formaizar o método para resover quaquer tipo de estrutura reticuada. A metodoogia adotada na prática faz uma parametrização (discretização) do probema em termos de variáveis independentes, ta como indicado na Seção.. do Capítuo. No caso do Método dos Desocamentos, essas variáveis são os parâmetros que definem competamente a configuração deformada da estrutura, que são chamados de desocabiidades. Para o exempo das três barras, devido à simetria da estrutura, está sendo considerado que o nó inferior não se desoca ateramente. Portanto, só existe uma desocabiidade, que é o desocamento vertica D do nó inferior. A soução parametrizada peo Método do Desocamentos é obtida pea superposição de souções básicas dos casos () e () mostrados na Figura.. () () P D D = x D P β K Figura. Superposição de souções básicas do Método dos Desocamentos. Na soução indicada na Figura., a estrutura utiizada nas souções básicas é uma estrutura cinematicamente determinada (estrutura com configuração deformada conhecida) obtida da estrutura origina pea adição do víncuo necessário para impedir a desocabiidade D. Essa estrutura cinematicamente determinada auxiiar é chamada de Sistema Hipergeométrico (SH). Cada soução básica isoa um determinado efeito ou parâmetro no SH: o efeito da soicitação externa (carregamento) é isoado no caso () e o efeito da desocabiidade D é isoado no caso (). As souções básicas mostradas na Figura. satisfazem as condições de equiíbrio do Sistema Hipergeométrico, mas vioam o equiíbrio da estrutura origina, que não contém o víncuo adiciona que impede a desocabiidade D. Dito de outra maneira, o apoio fictício adicionado no SH introduz uma reação de apoio espúria

35 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha que fere o equiíbrio da estrutura origina. Deve-se observar que as souções básicas do Método dos Desocamentos jamais vioam as condições de compatibiidade da estrutura origina, isto é, existe continuidade interna (igação entre as barras) e compatibiidade com os víncuos externos. A metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos determina o vaor que a desocabiidade D deve ter para recompor o equiíbrio da estrutura origina sem o apoio fictício do SH. Essa condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de equiíbrio que superpõe as reações no apoio fictício do SH de cada caso básico: Nessa equação: β + K D. (.) = β termo de carga: força (reação) vertica no apoio fictício do caso (); K coeficiente de rigidez: força vertica no apoio fictício do SH necessária para impor uma configuração deformada ta que a desocabiidade D tenha um vaor unitário. A Equação (.) determina o vaor da desocabiidade D que faz com que a reação fina (na superposição) no apoio fictício do SH seja nua. Dessa forma, o vaor correto de D é determinado pois o equiíbrio da estrutura origina, vioado na criação da estrutura auxiiar (SH) utiizada na superposição de casos básicos, é restabeecido. Considerando que forças verticais são positivas no sentido do desocamento unitário arbitrado para D (para baixo), tem-se que os vaores do termo de carga e do coeficiente de rigidez para esse probema são: β = P e K EA EA (cosθ ) = +. Substituindo esses vaores na Equação (.), pode-se observar que essa equação é exatamente igua à Equação de equiíbrio (.) encontrada anteriormente. No Capítuo 6 essa metodoogia prática do Método dos Desocamentos será formaizada detahadamente. Assim como para o Método das Forças, essa metodoogia está baseada na vaidade do Princípio da Superposição de Efeitos (veja a Seção.4) e serve para resover quaquer estrutura reticuada com comportamento inear. O Método dos Desocamentos é assim denominado pois as incógnitas (desocabiidades) são desocamentos (ou rotações). O método também é chamado de Método do Equiíbrio (West 989) pois as equações finais, como no exempo a Equação (.), são equações de equiíbrio tendo como variáveis principais as desocabiidades.

36 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura... Comparação entre o Método das Forças e o Método dos Desocamentos Nas duas seções anteriores os dois métodos básicos da anáise de estruturas reticuadas foram introduzidos com base em um exempo simpes com três barras articuadas. Como comentado, esses métodos serão apresentados em detahes em capítuos subseqüentes deste ivro. Entretanto, as principais idéias dos dois métodos já foram abordadas e é importante saientar os pontos principais. Nesta seção é feita uma comparação entre os Métodos das Forças e dos Desocamentos, mostrando um resumo da metodoogia de cada método através da tabea mostrada a seguir, saientando a duaidade entre os dois métodos. Método das Forças Idéia básica: Determinar, dentro do conjunto de souções em forças que satisfazem as condições de equiíbrio, qua a soução que faz com que as condições de compatibiidade também sejam satisfeitas. Metodoogia: Superpor uma série de souções estaticamente determinadas (isostáticas) que satisfazem as condições de equiíbrio da estrutura para obter uma soução fina que também satisfaz as condições de compatibiidade. Incógnitas: Hiperestáticos: forças e momentos associados a víncuos excedentes à determinação estática da estrutura. Número de incógnitas: É o número de incógnitas excedentes das equações de equiíbrio, denominado grau de hiperestaticidade. Método dos Desocamentos Idéia básica: Determinar, dentro do conjunto de souções em desocamentos que satisfazem as condições de compatibiidade, qua a soução que faz com que as condições de equiíbrio também sejam satisfeitas. Metodoogia: Superpor uma série de souções cinematicamente determinadas (configurações deformadas conhecidas) que satisfazem as condições de compatibiidade da estrutura para obter uma soução fina que também satisfaz as condições de equiíbrio. Incógnitas: Desocabiidades: componentes de desocamentos e rotações nodais que definem a configuração deformada da estrutura. Número de incógnitas: É o número de incógnitas excedentes das equações de compatibiidade, denominado grau de hipergeometria.

37 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Estrutura auxiiar utiizada nas souções básicas: Sistema Principa (SP): estrutura estaticamente determinada (isostática) obtida da estrutura origina pea eiminação dos víncuos excedentes associados aos hiperestáticos. Essa estrutura auxiiar vioa condições de compatibiidade da estrutura origina. Equações finais: São equações de compatibiidade expressas em termos dos hiperestáticos. Essas equações recompõem as condições de compatibiidade vioadas nas souções básicas. Termos de carga das equações finais: Desocamentos e rotações nos pontos dos víncuos iberados no SP devidos à soicitação externa (carregamento). Coeficientes das equações finais: Coeficientes de fexibiidade: desocamentos e rotações nos pontos dos víncuos iberados no SP devidos a hiperestáticos com vaores unitários atuando isoadamente. Estrutura auxiiar utiizada nas souções básicas: Sistema Hipergeométrico (SH): estrutura cinematicamente determinada (estrutura com configuração deformada conhecida) obtida da estrutura origina pea adição dos víncuos necessários para impedir as desocabiidades. Essa estrutura auxiiar vioa condições de equiíbrio da estrutura origina. Equações finais: São equações de equiíbrio expressas em termos das desocabiidades. Essas e- quações recompõem as condições de equiíbrio vioadas nas souções básicas. Termos de carga das equações finais: Forças e momentos (reações) nos víncuos adicionados no SH devidos à soicitação externa (carregamento) Coeficientes das equações finais: Coeficientes de rigidez: forças e momentos nos víncuos adicionados no SH para impor configurações deformadas com desocabiidades isoadas com vaores unitários..4. Comportamento inear e superposição de efeitos Como visto nas seções anteriores, na formaização dos métodos básicos da anáise estrutura o Princípio da Superposição de Efeitos (White et a. 976, West 989, Feton & Neson 996) é adotado. Esse princípio prescreve que a superposição dos campos de desocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoadamente é igua ao campo de desocamentos provocado peos mesmos sistemas de forças atuando concomitantemente. A Figura. exempifica esse princípio mostrando que a combinação inear de duas forças resuta nos mesmos desocamentos

38 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura da combinação inear dos desocamentos provocados peas forças atuando isoadamente. P P α P β P ( α + β ) ( α + β ) Figura. Combinação inear de duas forças e os correspondentes desocamentos. Para que se possa utiizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um comportamento inear. O comportamento inear de uma estrutura está baseado em duas condições. A primeira é que o materia trabahe no regime eástico-inear. A segunda condição é que seja váida a hipótese de pequenos desocamentos. Conforme abordado na Seção.., os desocamentos podem ser considerados pequenos quando as equações de equiíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem resutados praticamente iguais aos obtidos peas mesmas equações de equiíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura (White et a. 976). Exceto em casos particuares, as estruturas civis têm desocamentos pequenos em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros (comprimento da barra ou atura da seção transversa, por exempo). Um contra-exempo, para o qua não é possíve adotar a hipótese de pequenos desocamentos, é mostrado na Figura. (White et a. 976). Essa estrutura tem duas barras e três rótuas ainhadas, e o estado de equiíbrio estáve só pode ser acançado para a estrutura na configuração deformada. Cabos, que são estruturas muito fexíveis, são um outro exempo de estruturas cujo equiíbrio é acançado na geometria fina, considerando os seus desocamentos sobrepostos à geometria inicia indeformada. Essas estruturas não serão tratadas neste ivro, e serão cassificadas como instáveis.

39 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P Figura. Exempo de uma estrutura para a qua não se pode adotar pequenos desocamentos. Existem exempos cássicos de estruturas instáveis, tais como as mostradas na Figura. (White et a. 976). O pórtico da Figura.-a apresenta três componentes de reação de apoio que são verticais, não existindo nenhum víncuo que impeça o movimento horizonta do pórtico. A estrutura da Figura.-b tem três reações concorrentes em um ponto. Portanto, na configuração indeformada, não é possíve equiibrar o momento de forças atuantes, ta como a carga P, em reação ao ponto de convergência das reações de apoio. Nesse caso, tavez o equiíbrio pudesse ser acançado na configuração deformada da estrutura, quando as reações deixariam de concorrer em um ponto. Mesmo assim, essa estrutura sempre apresentaria um estado de instabiidade eminente. P (a) (b) Figura. Exempos de estruturas instáveis pea configuração dos apoios externos. A dependência do comportamento inear com a hipótese de pequenos desocamentos pode ser entendida a partir do exempo da Figura.4. Nessa estrutura, o desocamento vertica da extremidade inferior do baanço, δa, depende das características geométricas das barras, assim como dos vaores das forças V e H e das propriedades do materia da estrutura.

40 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 5 V H δa b Figura.4 Configuração deformada de um pórtico em forma de L. Considerando que a estrutura da Figura.4 tem um materia eástico-inear e seções transversais pré-definidas, e que as forças estão sempre atuando nos mesmos pontos, o comportamento da estrutura, no que diz respeito aos seus desocamentos, depende apenas das características geométricas da estrutura (a e b) e dos vaores das cargas (V e H), que podem variar. Duas situações podem ser consideradas: Desocamento δa com um vaor que não pode ser desprezado em reação às dimensões a e b, de ta maneira que as condições de equiíbrio devem ser escritas para a geometria deformada. Nesse caso, δ a = δa( V, H, a + δa, b), ou seja, a determinação de δa depende do conhecimento do seu próprio vaor. Isto caracteriza o que se define como não-inearidade geométrica (White et a. 976). Desocamento δa com um vaor muito menor do que as dimensões a e b, de ta maneira que as condições de equiíbrio podem ser escritas para a geometria origina indeformada. Nesse caso pode-se dizer que δ a = δa( V, H, a, b), ou seja, não existe dependência de δa em reação a si próprio. Como todas as outras propriedades são ineares, o comportamento da estrutura é inear. Isto é, δa varia inearmente em função dos vaores das cargas. No caso em que os desocamentos não são pequenos, a determinação de δa em gera não tem soução anaítica simpes. Nesse caso, o vaor de δa pode ser determinado através de agum processo iterativo. Por exempo, partindo-se de um vaor inicia que poderia ser nuo, determina-se o vaor seguinte considerando um comportamento inear. Com os vaores de desocamentos cacuados no passo anterior, atuaiza-se a geometria da estrutura e determina-se o vaor seguinte de δa. Esse processo se repete até que o vaor determinado em um passo não difira significativamente do vaor do passo anterior. Esse processo pode não convergir, e nesse caso a estrutura é instáve. Um exempo isostático simpes (White et a. 976) é mostrado na Figura.5 para iustrar o efeito da não-inearidade geométrica. A configuração deformada da estrutura está indicada peas inhas tracejadas da figura. Na configuração indeformada o ânguo entre as barras e o eixo vertica é θ, e na configuração deformada o a

41 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha ânguo é α. Nesse exempo os desocamentos não são considerados pequenos e a equação de equiíbrio que reaciona a força apicada P com o esforço norma N nas barras é escrita na configuração fina (deformada) da estrutura, ta como expresso na Equação (.). N tanθ tanθ N comprimento origina: /cosθ comprimento fina: ( tan ) + ( ) / cosα = θ + D α θ θ α D P Figura.5 Estrutura isostática com grandes desocamentos. + D P = N cosα = N. (.) ( tanθ ) + ( + D) Com base na Figura.5, pode-se reacionar o aongamento d das barras com o desocamento vertica D do nó centra. O aongamento das barras é a diferença entre o comprimento fina (deformado) das barras e o comprimento origina (indeformado), resutando na seguinte reação de compatibiidade: ( tanθ ) + ( + D) / cosθ d =. (.) Para obter a resposta do probema em termos de desocamentos, é necessário considerar a reação tensão-deformação do materia. Considerando a deformação nas barras como a razão entre o aongamento e o comprimento origina da barra, ea resuta em uma expressão que reaciona o esforço norma das barras com o seu a- ongamento: N = EA ( /cosθ ) d (.4)

42 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 7 Substituindo o aongamento d dado pea Equação (.) na Equação (.4), e depois substituindo o esforço norma N na Equação (.), isso resuta em uma expressão que reaciona a força apicada P com o desocamento vertica D: EA cosθ P = ( tanθ ) + ( + D) cos θ + D ( tanθ ) + ( + D). Simpificando essa expressão, tem-se: P = EA ( + D) cosθ ( tanθ ) + ( + D) (.5) A reação entre a força P e o desocamento D da Equação (.5) é mostrada na Figura.6 para aguns vaores do ânguo θ da configuração indeformada da estrutura. Os vaores da força apicada foram normaizados pea razão P/EA e os vaores dos desocamentos foram normaizados pea razão D/. P EA 4 P EA efeitos de segunda ordem pequenos desocamentos D θ = 5 θ = θ = 45 θ = 6 θ = 75 D Figura.6 Curvas carga-desocamento para estrutura isostática com grandes desocamentos. Com base na Figura.6 pode-se observar a natureza não inear da resposta da estrutura para grandes desocamentos. A curva carga-desocamento para o caso da estrutura achatada (ânguo θ grande) é a que apresenta maior grau de nãoinearidade, enquanto a curva para o caso da estrutura aongada (ânguo θ peque-

43 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha no) é praticamente inear. Nota-se também que a estrutura mais aongada é a mais rígida (vaor de carga mais ato para um dado vaor de desocamento). É interessante comparar a resposta não inear dada pea Equação (.5) com a resposta inear da estrutura da Figura.5 para pequenos desocamentos. A resposta inear é obtida iguaando os ânguos θ e α, e considerando d = D cosθ, ta como na Equação (.). Isto resuta na seguinte reação carga-desocamento: P inear EA (cosθ ) = D. (.6) Pode-se comparar a Equação (.6) com a derivada da resposta não inear avaiada para D = : dp( ) EA (cosθ ) =. (.7) dd Vê-se que o coeficiente anguar da resposta inear é igua à derivada da curva carga-desocamento não inear para D =, ta com indica o detahe da Figura.6. Isso mostra que a resposta inear é uma aproximação da resposta não inear para pequenos desocamentos. Esse estudo do comportamento não inear de uma estrutura indica que a soução para grandes desocamentos pode ser reativamente compexa, mesmo para o caso de uma estrutura bastante simpes como a da Figura.5. De uma certa maneira, o comportamento de todas as estruturas é não inear para o caso de uma anáise exata que envoveria a consideração dos desocamentos da estrutura nas equações de equiíbrio (equiíbrio imposto na configuração deformada). Entretanto (e feizmente), para os casos mais freqüentes de estruturas civis, os desocamentos são tão pequenos (para cargas usuais) que podem ser desconsiderados quando se formuam as condições de equiíbrio. Neste ivro só serão consideradas estruturas para as quais pode-se adotar a hipótese de pequenos desocamentos (equações de equiíbrio sempre escritas para a forma indeformada da estrutura). Essa hipótese é básica, juntamente com o comportamento inear dos materiais, para a utiização do princípio da superposição de efeitos (White et a. 976). Como dito anteriormente, esse princípio é apicado nos métodos básicos da anáise de estruturas, que são métodos ineares. Deve-se observar que métodos ineares de anáise também são adotados em cada passo de um processo iterativo de anáise não inear.

44 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 9.5. Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas Foi visto na Seção.. que existe um caso especia de estruturas que podem ter seus esforços internos e externos (reações de apoio) determinados apenas por condições de equiíbrio. Essas estruturas são definidas como estruturas estaticamente determinadas ou estruturas isostáticas. As estruturas que não podem ter seus esforços internos e externos determinados apenas peas condições de equiíbrio são definidas como estruturas estaticamente indeterminadas (estruturas hiperestáticas). Esta seção faz uma comparação entre o comportamento das estruturas isostáticas e hiperestáticas, mostrando suas vantagens e desvantagens, e justificando as razões das útimas aparecerem mais freqüentemente. Essa comparação é feita utiizando um pórtico pano (White et a. 976, West 989), mostrado na Figura.7, que aparece em duas versões. Na primeira (Figura.7- a), as condições de suporte são tais que se pode determinar as reações de apoio utiizando somente condições de equiíbrio. Como o pórtico é um quadro aberto (não existe um cico fechado de barras), pode-se determinar os esforços internos em quaquer seção a partir apenas destas condições, e, portanto, a estrutura é isostática. A segunda versão do pórtico (Figura.7-b) apresenta um víncuo externo excedente em reação à estabiidade estática, isto é, existem quatro componentes de reação de apoio para três equações de equiíbrio goba da estrutura. Essas equações de equiíbrio goba expressam as condições de somatório das forças horizontais nuo, somatório das forças verticais nuo e somatório dos momentos em reação a um ponto do pano nuo. A próxima seção apresenta um procedimento gera para determinação do grau de hiperestaticidade, isto é, do número de víncuos excedentes em reação à estabiidade estática, de pórticos panos e grehas. A Figura.7 mostra as reações de apoio nos dois pórticos. Devido à simetria dos quadros, as reações verticais têm vaores iguais à metade da carga vertica apicada (P). O pórtico isostático tem reação horizonta do apoio da esquerda nua, pois este é o único apoio que restringe o desocamento horizonta do quadro e não existem forças horizontais apicadas. Já o pórtico hiperestático tem os vaores das reações horizontais iguais, sendo as reações com sentidos inversos para garantir o equiíbrio na direção horizonta. O vaor destas reações (H) é indefinido quando se consideram somente as condições de equiíbrio. Intuitivamente é fáci de se verificar que os sentidos das reações horizontais da estrutura hiperestática são para dentro do pórtico. Na Figura.7-a, a configuração deformada da estrutura isostática, mostrada de forma exagerada (inha tracejada), indica uma tendência das barras verticais se afastarem reativamente. Na estrutura hiperestática a barra vertica da direita tem seu movimento horizonta restrito na base. Como a tendência é de abrir o pórtico, a reação associada a essa restrição vai fechar o pórtico, isto é, com sentido para dentro.

45 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P P (a) h P b/4 M b/ b/ P/ P/ P H h H h P (P b/4 H h) H h H h (b) h H M H b/ b/ P/ P/ Figura.7 Quadros isostático (a) e hiperestático (b), configurações deformadas, reações de apoio e diagramas de momentos fetores. Esse exempo iustra bem uma característica da estrutura hiperestática: existem infinitas souções que satisfazem as condições de equiíbrio (nesse caso existem infinitos vaores possíveis para a reação horizonta H). Como visto na Seção., para determinar o vaor de H, as condições de compatibiidade e as eis constitutivas dos materiais também são necessárias. Isto torna a resoução da estrutura hiperestática mais compexa. Apesar dessa desvantagem da estrutura hiperestática, a maioria das estruturas é estaticamente indeterminada. Isto se deve aos seguintes motivos (White et a. 976):. Agumas formas estruturais são intrinsecamente hiperestáticas, tais como o esqueeto de um edifício (conjunto de ajes, vigas e piares), a casca de uma cobertura ou uma treiça espacia.. Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm, em gera, uma distribuição mais otimizada ao ongo da estrutura. Isto pode evar a menores A convenção adotada neste ivro para o traçado do diagrama de momentos fetores é ta que o digrama é sempre desenhado do ado da fibra tracionada da seção transversa da barra.

46 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 4 vaores para os esforços máximos. No caso das estruturas da Figura.7, o máximo vaor de momento fetor ocorre para o meio da barra horizonta (viga) da estrutura isostática, embora essa estrutura não apresente momentos fetores nas barras verticais (counas). A viga da estrutura hiperestática a- presenta máximo momento menor do que na viga da estrutura isostática, mas as counas são requisitadas à fexão.. Na estrutura hiperestática há um controe maior dos esforços internos por parte do anaista estrutura. Isto pode ser entendido com auxíio da Figura.8. O quadro hiperestático dessa figura apresenta três situações para a rigidez reativa entre a viga e as counas. Na Figura.8-a, as counas são muito mais rígidas do que a viga, fazendo com que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Na Figura.8-c, por outro ado, a viga é muito mais rígida do que as counas, a ponto destas não oferecerem impedimento às rotações das extremidades da viga, que se aproxima do comportamento de uma viga simpesmente apoiada. A Figura.8-b apresenta um caso intermediário. Observa-se como os diagramas de momentos fetores da viga podem ser aterados, de um comportamento bi-engastado para um biapoiado, com a variação da rigidez reativa entre os eementos estruturais. Observa-se também que as reações de apoio horizontais do pórtico têm vaores distintos para cada uma das situações. Isto só é possíve no caso de estruturas hiperestáticas. O anaista estrutura pode exporar essa característica da estrutura hiperestática minimizando ao máximo, dentro do possíve, os esforços internos na estrutura. Isto não pode ser feito para uma estrutura isostática. No quadro da Figura.7-a, as reações de apoio e o diagrama de momentos fetores independem dos parâmetros de rigidez reativos entre viga e counas. Na estrutura isostática, as reações só dependem da geometria da estrutura e do vaor da carga. O diagrama de momentos fetores só depende dos vaores da carga e reações, e da geometria da estrutura. 4. Em uma estrutura hiperestática os víncuos excedentes podem induzir uma segurança adiciona. Se uma parte de uma estrutura hiperestática por agum motivo perder sua capacidade resistiva, a estrutura como um todo ainda pode ter estabiidade. Isto porque a estrutura hiperestática pode ter uma capacidade de redistribuição de esforços, o que não ocorre para estruturas isostáticas. Dois exempos dessa capacidade estão mostrados na Figura.9. Se a diagona comprimida D da treiça hiperestática da Figura.9-a perder a estabiidade por fambagem, a outra diagona D, que trabaha à tração, ainda tem condições de dar estabiidade à estrutura. O aparecimento de uma rótua pástica na extremidade da direita da viga da Figura.9-b, onde aparece o diagrama de momentos fetores com momento de pastificação M p, não acarretaria a destruição da estrutura, pois ea se comportaria como uma viga simpesmente apoiada, ainda estáve.

47 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P H a h P H a h H a h (P b/4 H a h) H a h (a) h M H a H a b/ b/ P/ P/ P H b h H b h P H b h H b h (b) h (P b/4 H b h) M H b H b b/ b/ P/ P/ P H c h H c h P H c h H c h (c) h (P b/4 H c h) M H c H c b/ b/ P/ P/ Figura.8 Variação do diagrama de momentos fetores em um quadro hiperestático em função da rigidez reativa entre viga e counas. P P D D M M p (a) Figura.9 Estruturas hiperestáticas que podem apresentar uma segurança adiciona. (b)

48 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 4 Pode-se concuir que as estruturas isostáticas deveriam ser evitadas por não oferecerem capacidade de redistribuição de esforços. Até certo ponto isto é verdade, mas existem agumas vantagens da estrutura isostática. Essas vantagens são decorrência da própria característica da estrutura isostática de ter seus esforços internos definidos única e excusivamente peas cargas apicadas e pea geometria da estrutura, não existindo dependência quanto às propriedades dos materiais e de rigidez das barras. Do ponto de vista físico, uma estrutura isostática tem o número exato de víncuos (externos e internos) para que tenha estabiidade. Retirando-se um destes víncuos, a estrutura se torna instáve, e é definida como hipostática. Adicionando-se um víncuo quaquer a mais, este não seria o necessário para dar estabiidade à estrutura, e ea se torna hiperestática. Pode-se observar que pequenas variações na geometria da estrutura isostática (mantendo-se váida a hipótese de pequenos desocamentos), por não aterarem as equações de equiíbrio, não introduzem esforços adicionais. Dessa forma, se os víncuos externos de uma estrutura isostática sofrerem pequenos desocamentos (recaques de apoio), só introduzirão movimentos de corpo rígido das barras, não causando deformações internas e por conseguinte não havendo esforços internos. Para estruturas hiperestáticas, entretanto, um movimento de apoio pode induzir deformações nas barras da estrutura, provocando esforços. A Figura. exempifica essa diferença de comportamento para uma viga biapoiada e outra apoiada e engastada. ρ ρ M (a) (b) Figura. Recaque de apoio em viga isostática e em viga hiperestática. As vigas da Figura. sofrem um recaque vertica (ρ) no apoio da direita que pode ser considerado pequeno em reação ao comprimento da viga (o recaque está desenhado exageradamente fora de escaa). Vê-se na Figura.-a que a viga isostática não se deforma, tendo apenas um movimento de corpo rígido sem o aparecimento de esforços internos. Já a viga hiperestática da Figura.-b tem deformações que induzem momentos fetores na estrutura. Recaques de apoio são soicitações que devem ser consideradas em estruturas hiperestáticas, podendo acarretar esforços internos dimensionantes. O fato de não

49 44 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha aparecerem esforços internos em estruturas isostáticas devidos a movimentos de apoio pode ser considerado uma vantagem deste tipo de estrutura. De forma anáoga, deformações provenientes de variações de temperatura provocam desocamentos sem que apareçam esforços internos em estruturas isostáticas. Intuitivamente isto pode ser entendido se for observado que a estrutura isostática tem o número estrito de víncuos para impedir seus movimentos, não impedindo, por exempo, uma pequena variação de comprimento de uma barra devido a aquecimento. Assim como os recaques de apoio, as variações de temperatura em membros de uma estrutura hiperestática podem induzir esforços que devem ser considerados. Outra vantagem da estrutura isostática é que ea se acomoda a pequenas modificações impostas em sua montagem ou construção, sem que apareçam esforços. Por exempo, se uma barra de uma treiça isostática tiver sido fabricada com uma pequena imperfeição em seu comprimento, as outras barras da estrutura se acomodam perfeitamente à nova geometria (que pode ser considerada para fins de equiíbrio praticamente igua à geometria de projeto porque as imperfeições são pequenas). Isto pode ser entendido intuitivamente se for considerado que a treiça isostática sem a barra imperfeita se constitui em um mecanismo instáve do ponto de vista estático. A geometria do restante da treiça pode ser aterada sem resistência pois o mecanismo se comporta como uma cadeia cinemática. Portanto, as outras barras facimente se acomodam ao comprimento modificado da barra fabricada com imperfeição..6. Determinação do grau de hiperestaticidade Existem várias formas de se determinar o grau de hiperestaticidade de uma estrutura. Esta seção apresenta um procedimento gera para a determinação do grau de hiperestaticidade para pórticos panos e comenta sobre a determinação para grehas. O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: g = (n de incógnitas do probema estático) (n de equações de equiíbrio). As incógnitas do probema estático dependem dos víncuos de apoio da estrutura e da existência de cicos fechados (aqui chamados de anéis). Cada componente de reação de apoio é uma incógnita, isto é, aumenta em uma unidade o grau de hiperestaticidade. Por outro ado, cada ane de um quadro pano aumenta em três unidades o grau de hiperestaticidade. Isto pode ser entendido com base na Figura.. Considerando um carregamento arbitrário soicitando a estrutura, as três componentes de reação de apoio da estrutura H A, V A e V B (veja Figura.-a) podem ser determinadas peas três equações do equiíbrio goba da estrutura no pano: F = somatório de forças na direção horizonta igua a zero; x

50 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 45 F = somatório de forças na direção vertica igua a zero; y M = somatório de momentos em reação a um ponto quaquer igua a zero. o M N Q M H A V A (a) V B N Q (b) Figura. Pórtico pano externamente isostático e com hiperestaticidade interna devida a um ane. Apesar de ser possíve determinar as reações de apoio do quadro da Figura. utiizando apenas equações de equiíbrio, não é possíve determinar os esforços internos nas barras da estrutura só com base em equiíbrio. Isto porque ao se seccionar a estrutura em quaquer seção de uma barra não se divide a estrutura em duas porções. Portanto, não se pode isoar dois trechos da estrutura de cada ado da seção, o que é necessário para determinar os vaores dos três esforços internos por equiíbrio. É possíve dividir a estrutura em duas porções se outra seção for seccionada. Entretanto, apareceriam mais três outras incógnitas, que seriam os esforços internos na outra seção. Dessa forma, observa-se que um ane introduz três incógnitas para o probema do equiíbrio estático. Pode-se resumir o número de incógnitas do probema estático de quadros panos como: (n de incógnitas do probema estático) = (n de componentes de reação de apoio) + (n de anéis). Com respeito ao número de equações de equiíbrio, deve-se considerar as três e- quações que garantem o equiíbrio goba da estrutura e as equações provenientes de iberações de continuidade interna na estrutura. Neste ivro estão sendo consideradas apenas iberações de continuidade de rotação, que são provocadas por rótuas (articuações internas) na estrutura. Dessa forma, (n de equações de equiíbrio) = ( equações do equiíbrio goba) + (n de equações vindas de articuações internas). Considerando que a equação do equiíbrio goba de momentos em quaquer ponto da estrutura já está contabiizada nas equações gobais, cada rótua simpes (na qua convergem apenas duas barras, veja Figura.-a) introduz apenas uma condição de equiíbrio, que impõe que o momento fetor na seção da rótua seja nuo. Embora o momento fetor tenha que ser nuo de cada ado da rótua, a imposição

51 46 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha de momento fetor nuo apenas por um ado da rótua já garante que o momento fetor entrando peo outro ado também seja nuo, posto que o equiíbrio goba de momentos no ponto da rótua já foi considerado. Para o caso de articuações com três barras convergindo, ta como no quadro da Figura.-b, são duas as equações adicionais de equiíbrio a serem consideradas: o momento fetor deve ser imposto nuo entrando por duas das barras adjacentes, sendo que não é necessário impor momento fetor nuo entrando pea terceira barra pois o equiíbrio goba de momentos já garante esta condição. Esta concusão pode ser generaizada da seguinte maneira: O número adiciona (em reação às equações de equiíbrio goba) de equações de equiíbrio (momento fetor nuo) introduzido por uma articuação competa na qua convergem n barras é igua a n. Nesse contexto, uma articuação competa é aquea em que todas as seções de barras adjacentes são articuadas. A Figura.-c mostra um pórtico com um nó no qua convergem três barras, sendo que apenas uma deas é articuada. Neste caso, a rótua introduz apenas uma equação adiciona de equiíbrio. (a) (b) (c) Figura. Pórticos panos com articuações internas: (a) rótua simpes (duas barras convergindo na articuação); (b) rótua com três barras convergindo; (c) nó com três barras convergindo, mas apenas uma barra articuada. Resumindo, o grau de hiperestaticidade de um pórtico pano pode ser definido como: g = [(n de componentes de reação de apoio) + (n de anéis)] [ + (n de equações vindas de articuações internas)]. O grau de hiperestaticidade das estruturas mostradas na Figura. podem ser determinados com base na metodoogia apresentada acima. Todos os apoios das estruturas impedem os desocamentos nos pontos do apoio, mas não impedem as rotações da seção do apoio. Este tipo de apoio é definido como do gênero, e a- presenta duas componentes de reações de apoio, uma na direção horizonta e outra na vertica. O pórtico da Figura.-a é isostático pois g = [(4) + ()] [ + ()] =. O quadro hiperestático da Figura.-b tem g = [(6) + ()] [ + ()] =. E a estrutura da Figura.-c tem g = [(6) + ()] [ + ()] =.

52 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 47 A Figura. mostra aguns exempos de cácuo do grau de hiperestacidade de pórticos panos. Os números de componentes de reação de cada apoio estão indicados na figura. Observe, no exempo da Figura.-e, que a barra horizonta inferior poderia ter sido considerada como um tirante pois trabaha somente a esforço axia (se não tiver carregamento). A determinação de g considerando o tirante teria quatro incógnitas (três reações e o esforço norma no tirante) e quatro equações (três do e- quiíbrio goba e uma da rótua superior), resutando em g =. O exempo demonstra que a metodoogia apresentada para determinação do grau de hiperestaticidade de pórticos panos é gera. (a) g = [() + ()] [ + ()] = (b) g = [(4) + ()] [ + ()] = (c) g = [(5) + ()] [ + (+)] = (d) g = [(4) + ()] [ + (+)] = 4 (e) g = [() + ()] [ + (++)] = Figura. Exempos de determinação do grau de hiperestaticidade de quadros panos.

53 48 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A determinação do grau de hiperestaticidade para grehas é anáoga ao procedimento adotado para pórticos panos. Como visto na Seção., grehas são estruturas panas com carregamento transversa ao pano. Portanto, considerando que o pano da greha contém os eixos X e Y, são três equações gobais de equiíbrio: F z = somatório de forças na direção do eixo vertica Z igua a zero; M x = somatório de momentos em torno do eixo X igua a zero; M y = somatório de momentos em torno do eixo Y igua a zero. Como uma barra de greha tem três esforços internos (esforço cortante, momento fetor e momento torçor veja a Seção.), um circuito fechado de barras (ane) aumenta, como nos quadros panos, em três unidades o grau de hiperestaticidade. Por outro ado, a presença de articuações (rótuas) em grehas pode acrescentar mais do que uma equação de equiíbrio por rótua. Isto porque, como um ponto de uma greha tem duas componentes de rotação, uma igação articuada de greha pode iberar apenas uma componente, ou pode iberar as duas componentes de rotação. A Figura.4 mostra a determinação do grau de hiperestaticidade para uma greha sem um circuito fechado de barras e sem articuações. No exempo, as únicas incógnitas do probema do equiíbrio estático são as quatro componentes de reação de apoio. Como só estão disponíveis as três equações gobais de equiíbrio, o grau de hiperestaticidade é g =. y M A V B x M A V A Y Z X g = [(4) + ()] [ + ()] = Figura.4 Exempo de determinação do grau de hiperestaticidade de greha. É interessante observar que, para grehas, não há distinção quanto ao número de componentes de reação entre os apoios do e do gênero. O apoio do gênero está associado a apenas uma componente de reação em quaquer situação (quadros panos, grehas ou quadros espaciais). O apoio do gênero para um quadro pano apresenta duas componentes de reação, para um quadro espacia apresenta três componentes, e para grehas apresenta apenas uma componente. A direção da reação do apoio do gênero para grehas é a mesma da reação do apoio do gênero, posto que em grehas só existem reações força na direção Z.

54 . IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS Como discutido no Capítuo, a anáise estrutura de estruturas reticuadas está fundamentada na concepção de um modeo matemático, aqui chamado de modeo estrutura, que adota hipóteses sobre o comportamento das barras. No Capítuo foram abordados conceitos básicos para a anáise de estruturas reticuadas, isto é, estruturas cujos eementos estruturais podem ser considerados como barras (peças estruturais que têm uma dimensão bem maior do que as outras duas). Este capítuo resume os principais conceitos matemáticos envovidos na ideaização do comportamento de barras no modeo estrutura adotado. Esses conceitos são básicos para a anáise de estruturas reticuadas e podem ser encontrados em vários ivros-texto sobre o assunto. O resumo aqui mostrado está baseado nos trabahos dos seguintes autores: Féodosiev (977), Beer & Johnston (996), Timoshenko & Gere (994), White et a. (976) e West (989). Ao fina deste capítuo é feita uma comparação entre o comportamento de estruturas isostáticas e hiperestáticas com base no modeo matemático adotado... Reações entre desocamentos e deformações em barras Como visto na Seção.. do Capítuo, o modeo estrutura tem como premissa uma condição de continuidade dos campos de desocamentos e deformações no interior das barras. Aém disso, esses dois campos têm que ser compatíveis entre si, isto é, os desocamentos e deformações de uma barra devem estar associados. Nos métodos de anáise essa condição de continuidade é forçada quase que automaticamente quando só se admitem deformações contínuas para as barras. Esta seção resume as hipóteses básicas do modeo estrutura que garantem continuidade e compatibiidade entre deformações e desocamentos no interior de uma barra. O modeo estrutura adotado está baseado na Teoria de Vigas de Navier para barras submetidas à fexão acrescida da consideração de efeitos axiais provocados por esforços normais à seção transversa da barra. O modeo também considera o efeito de torção para grehas (estruturas panas com cargas fora do pano) e estruturas espaciais. Aém disso, em gera não são consideradas deformações provocadas peos esforços cortantes (cisahamento) em barras. Essa hipótese é comumente a- dotada para fexão de barras ongas (barras cujo comprimento é muito maior do que a atura da seção transversa).

55 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Outra hipótese simpificadora que está sendo adotada aqui é o desacopamento dos efeitos axiais, de cisahamento, de fexão e de torção. Isto significa que esses efeitos podem ser considerados em separado e superpostos, resutando nas mesmas respostas dos efeitos atuando em conjunto. Essa hipótese é consistente com a hipótese de pequenos desocamentos mencionada na Seção.4 do Capítuo, que também está sendo adotada. Para definir as reações entre desocamentos e deformações em uma barra, é adotado um sistema de coordenadas ocais para a barra, ta como indicado na Figura.. y, v y x, u z dx Figura. Sistema de eixos ocais de uma barra. Na Figura., o eixo axia da barra, x, passa peo centro de gravidade das seções transversais e os outros eixos são transversais à barra. Em modeos de quadros panos, o eixo y pertence ao pano da estrutura e o eixo z sai fora do pano. Com base nesse sistema de coordenadas, são definidos os desocamentos e rotações que os pontos do eixo de uma barra de um pórtico pano podem ter: u(x) desocamento axia (na direção de x); v(x) desocamento transversa (na direção de y); θ(x) rotação da seção transversa por fexão (em torno do eixo z). No caso de grehas ou pórticos espaciais, também aparece: ϕ(x) rotação por torção (em torno do eixo x). Os desocamentos axiais u(x) e transversais v(x) de uma barra definem uma curva chamada eástica. Os sentidos positivos do desocamento transversa v(x) (positivo na direção do eixo oca y) e da rotação por fexão θ(x) (positiva no sentido antihorário) estão indicados na Figura., onde a eástica está indicada pea inha tracejada desenhada em uma escaa ampiada exageradamente. Considerando que os desocamentos são pequenos, pode-se aproximar a rotação da seção transversa pea tangente da eástica. Dessa forma, pode-se associar o desocamento transversa à rotação da seção transversa em uma equação que também é considerada uma equação de compatibiidade: dv θ =. (.) dx

56 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 5 v θ Figura. Eástica de uma viga biapoiada com desocamento transversa e rotação indicados com seus sentidos positivos.... Deformações axiais As deformações normais à seção transversa da barra provocadas por esforços axiais são chamadas de deformações axiais. Esforços axiais são esforços cuja resutante passa peo centro de gravidade da seção transversa. Portanto, na deformação axia todos os pontos de uma seção transversa têm sempre os mesmos desocamentos axiais. Uma conseqüência disso é que as seções transversais de uma viga submetida a uma deformação axia permanecem panas ao se deformarem, ta como indica a Figura.. Essa condição garante a continuidade de desocamentos no interior da viga. u dx u+du dx du Figura. Desocamento axia reativo de um eemento infinitesima de barra. A deformação axia é obtida com base no desocamento axia reativo, du, entre duas seções que distam dx entre si (veja a Figura.). A deformação é igua à razão entre a variação de comprimento do eemento infinitesima e o seu comprimento inicia: Nessa equação: ε a du x = dx. (.) dx comprimento origina de um eemento infinitesima de barra; du a ε x desocamento axia reativo de um eemento infinitesima de barra; deformação norma na direção ongitudina devida ao efeito axia.

57 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha... Deformações normais por fexão A Teoria de Vigas de Navier (785-86) está fundamentada em duas hipóteses básicas. A primeira deas é a hipótese de manutenção das seções transversais panas quando a viga se deforma, proposta originamente por Jacob Bernoui (654-75). A segunda hipótese despreza deformações provocadas por efeitos de cisahamento (esforços cortantes). De acordo com essas hipóteses, as seções transversais de uma viga que se deforma à fexão permanecem panas e normais ao eixo deformado da viga. Observe que essa condição garante uma continuidade de desocamentos no interior de uma barra que sofre fexão, pois cada seção transversa permanece encaixada com as suas adjacentes. A manutenção das seções transversais panas e normais ao eixo deformado da barra introduz uma condição de compatibiidade que reaciona deformações normais por fexão com a rotação da seção transversa. Considere a rotação reativa por fexão, dθ, de um eemento infinitesima de barra mostrada na Figura.4. dθ y dx x dθ dx Figura.4 Rotação reativa por fexão de um eemento infinitesima de barra. Cada fibra do eemento infinitesima é definida por uma coordenada y. Quando se consideram pequenos desocamentos, o encurtamento de uma fibra genérica é dθ y. A deformação norma por fexão é dada pea razão entre o encurtamento da fibra e o seu comprimento inicia, dx: Nessa equação: f dθ ε x = y. (.) dx dθ rotação reativa por fexão de um eemento infinitesima de barra;

58 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 5 f ε x deformação norma na direção ongitudina devida ao efeito de fexão. Na Equação (.) o sina negativo aparece pois uma fibra superior (y positivo) sofre deformação por encurtamento (negativa) quando dθ é positiva (anti-horária). O sina da equação considera uma deformação positiva (aongamento) para uma fibra inferior (y negativo), com dθ positiva. Considerando a reação entre o desocamento transversa v(x) e a rotação da seção transversa θ(x) dada pea Equação (.), pode-se escrever: f d v ε x = y. (.4) dx A Equação (.4) é uma reação de compatibiidade entre o desocamento transversa de uma barra e as suas deformações normais por fexão.... Distorções por efeito cortante O efeito cortante em uma barra também provoca o empenamento da seção transversa, ta como mostrado na Figura.5, e a distribuição de distorções de cisahamento não é uniforme ao ongo da seção. dh h x dx dx Figura.5 Desocamento transversa reativo por efeito cortante em um eemento infinitesima de barra. Esse efeito é considerado aproximadamente ao se adotar uma distorção de cisahamento média na seção transversa (Timoshenko & Gere 994, Féodosiev 977). A distorção de cisahamento por efeito cortante é representada de forma integra através do desocamento transversa reativo (veja a Figura.5): c γ dh sendo que: dh γ c =, (.5) dx

59 54 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha c γ distorção de cisahamento por efeito cortante (efeito integra na seção transversa); dh desocamento transversa reativo em um eemento infinitesima de barra. Entretanto, conforme dito anteriormente, para barras usuais (com comprimento muito maior do que a atura h da seção transversa) as defexões provocadas por efeitos cortantes são desprezadas na presença das defexões provocadas por efeitos de fexão...4. Distorções por torção Uma barra submetida a uma soicitação de torção apresenta distorções de cisahamento (Féodosiev 977). No caso de seções transversais com simetria radia (círcuos ou anéis circuares), ta como mostrado na Figura.6, as distorções são proporcionais ao raio r do ponto na seção, não ocorrendo o empenamento da seção (Timoshenko & Gere 994). Isto é, nesses casos é váida a hipótese de manutenção das seções panas. y x t γ dr r dϕ dx dx Figura.6 Distorção por torção em um eemento infinitesima de barra com seção circuar. A reação entre a rotação reativa por torção dϕ em um eemento infinitesima de barra e a correspondente distorção de cisahamento pode ser obtida observando na t Figura.6 que γ dx = r dϕ. Dessa forma, tem-se: Nessa equação: t γ t d γ = ϕ r. (.6) dx distorção de cisahamento por efeito de torção (seção com simetria radia); dϕ rotação reativa por torção de um eemento infinitesima de barra; r raio que define a posição de um ponto no interior da seção circuar. No caso de uma seção transversa que não apresenta uma simetria radia, ocorre um empenamento quando a barra é soicitada à torção. Nesse caso, a distorção não depende somente do giro reativo entre seções mas também de efeitos ocais. Para

60 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 55 considerar a distorção por torção de forma integra no níve da seção transversa, é feita uma aproximação, considerando-se ainda a manutenção das seções panas (Féodosiev 977). Isto vai ser visto na Seção Reações diferenciais de equiíbrio em barras O modeo matemático adotado para a representação do comportamento de estruturas reticuadas considera que as condições de equiíbrio devem ser satisfeitas para a estrutura como um todo, para cada barra ou nó isoado, ou para quaquer porção isoada na estrutura. Isto incui o equiíbrio de um eemento infinitesima de barra. Nesta seção são mostradas as equações que resutam do equiíbrio considerado em um níve infinitesima para uma barra. Conforme mencionado anteriormente, esse modeo matemático está baseado na Teoria de Vigas de Navier para barras submetidas à fexão, acrescida da consideração de efeitos axiais. Para deduzir as reações de equiíbrio para um eemento infinitesima de barra, é necessário definir uma convenção para direções positivas de cargas distribuídas e esforços internos. A convenção adotada neste ivro está indicada na Figura.7. q y q(x) M Q M + dm p(x) dx x N O p N + dn Q + dq dx Figura.7 Equiíbrio de um eemento infinitesima de barra e direções positivas adotadas para cargas distribuídas e esforços internos. Na Figura.7, as seguintes entidades são mostradas: p(x) taxa de carregamento distribuído ongitudina ao eixo da barra; q(x) taxa de carregamento distribuído transversa ao eixo da barra; N(x) esforço norma (esforço interno axia); Q(x) esforço cortante (esforço interno transversa); M(x) momento fetor (esforço interno de fexão).

61 56 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observa-se que os esforços normais são positivos quando são de tração ( saindo da seção transversa) e os momentos fetores são positivos quando tracionam as fibras inferiores (com y negativo). O equiíbrio de forças no eemento infinitesima nas direções horizonta e vertica, considerando as direções positivas mostradas na Figura.7, resuta em: dn F x = = p( x) ; (.7) dx dq F y = = q( x). (.8) dx O equiíbrio de momentos em reação ao ponto O dentro do eemento infinitesima (Figura.7), desprezando os termos de ordem superior, fornece a seguinte reação: dm M O = = Q( x). (.9) dx As Equações (.8) e (.9) podem ser combinadas, resutando em uma reação de equiíbrio entre o momento fetor em uma seção e a taxa de carregamento transversa distribuído: d M = q( x). (.) dx.. Equiíbrio entre tensões e esforços internos A formuação gera do modeo matemático para o comportamento de barras também considera reações de equiíbrio, no níve da seção transversa da barra, que associam tensões com esforços internos. Foi visto nas Seções.. e.. que os efeitos axiais e de fexão provocam deformações normais na direção ongitudina da barra. Como conseqüência, aparecem tensões normais ongitudinais σ x devidas a esses dois efeitos, ta como indica a Figura.8. M y N = + x CG z -y da σ x (y) a x σ σ (y) dx Figura.8 Decomposição das tensões normais ongitudinais em parceas devidas aos efeitos axia e de fexão. f x Seção transversa

62 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 57 As tensões indicadas na Figura.8 são: a σ x f σ x tensão norma na direção ongitudina da barra devida ao efeito axia; tensão norma na direção ongitudina da barra devida ao efeito de fexão. Essas tensões devem estar em equiíbrio com os esforço norma e momento fetor na seção transversa. Isto é, as resutantes das tensões normais ongitudinais, integradas ao ongo da seção transversa, devem ser iguais ao esforço norma e ao momento fetor na seção transversa. Na Figura.8 é considerado um caso de fexão composta reta. A fexão é composta quando é combinada com o efeito axia; é reta quando ocorre em torno de um dos eixos principais da seção transversa (no caso o eixo z), tendo como conseqüência que cada fibra identificada por uma ordenada y tem um vaor constante de tensão norma. Também é mostrado na Figura.8 que as tensões normais ongitudinais variam inearmente ao ongo da atura da seção transversa. Essa distribuição inear se deve a dois fatores. Primeiro, conforme mostrado nas Seções.. e.., pea hipótese da manutenção das seções panas, as deformações normais ongitudinais variam inearmente ao ongo da atura da seção. O segundo fator é a consideração de um comportamento inear para o materia. Pea Figura.8, vê-se que, para o efeito axia, as tensões são constantes ao ongo da seção transversa e, para o efeito de fexão pura, as tensões normais são nuas na fibra do centro de gravidade (CG) da seção. Dessa forma, as reações de equiíbrio entre as tensões normais ongitudinais e o esforço norma e o momento fetor são: Na equação (.) tem-se: A área da seção transversa. N = a a σ da N = σ A ; (.) A x x = f M σ ( y) da. (.) A x O sina negativo que aparece na Equação (.) se deve à convenção de sinais adotada: uma tensão norma positiva (tração) em uma fibra inferior (y negativo) provoca um momento fetor positivo (ta como mostrado na Figura.8). Anaogamente, as tensões cisahantes devidas ao efeito cortante devem estar em equiíbrio com o esforço cortante. As tensões cisahantes nesse caso estão na direção do eixo transversa y. Como mencionado na Seção.., o efeito cortante é em gera desprezado para a determinação de deformações. Quando é considerado, isto é feito de uma forma aproximada, considerando uma tensão cisahante média ao ongo da seção e uma área efetiva para cisahamento (Timoshenko & Gere 994, Féodosiev 977):

63 58 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha sendo: c y A Q = c m τ yda Q = τ y, (.) A χ τ componente da tensão de cisahamento pontua na direção y; m τ y tensão de cisahamento média por efeito cortante (direção y); χ fator de forma que define a área efetiva para cisahamento. O fator de forma χ considera a distribuição não uniforme de tensões de cisahamento na seção transversa devida ao esforço cortante. Esse fator tem vaor. para seções retanguares, /9 para uma seção circuar e aproximadamente. para uma grande variedade de perfis com forma I (White et a. 976). Finamente, deve ser considerado o equiíbrio entre o momento torçor na seção transversa da barra e as correspondentes tensões de cisahamento. A Figura.9 mostra a convenção de sinais para o momento torçor: a seta dupa indica um momento em torno do eixo x, que é positivo quando saindo da seção transversa. T T Seção transversa dx Figura.9 Momento torçor em um eemento infinitesima de barra e correspondente tensão de cisahamento. x z y CG r O efeito de torção, como visto na Seção..4, provoca distorções de cisahamento, com correspondentes tensões cisahantes. Para o caso de seções com simetria radia (círcuos e anéis), as tensões cisahantes por efeito de torção são tangenciais (perpendicuares ao raio). No caso gera, entretanto, a distribuição de tensões cisahantes por torção depende da forma da seção transversa. O equiíbrio entre essas tensões e o momento torçor na seção transversa estabeece que o produto vetoria t do vetor raio r peo vetor tensão cisahante τ em um ponto da seção (veja a Figura.9), integrado ao ongo da seção, deve ser igua ao momento torçor: sendo: = A da T r τ t da, (.4) t τ

64 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 59 T momento torçor (esforço interno de torção); r raio de um ponto (distância ao centro de gravidade da seção transversa); t τ tensão de cisahamento pontua por efeito de torção..4. Desocamentos reativos internos A seção anterior mostrou que os esforços internos (esforço norma, esforço cortante, momento fetor e momento torçor) em uma seção transversa representam resutantes de tensões internas integradas ao ongo da seção. O modeo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deformações tenham representações integrais no níve de seção transversa. Essas representações têm um significado físico e são chamadas de desocamentos reativos internos. Na verdade, os desocamentos reativos internos já foram introduzidos na Seção. e são resumidos abaixo: du desocamento axia reativo interno em um eemento infinitesima de barra (Figura.); dθ rotação reativa interna por fexão em um eemento infinitesima de barra (Figura.4); dh desocamento transversa reativo interno em um eemento infinitesima de barra (figura.5); dϕ rotação reativa interna por torção em um eemento infinitesima de barra (Figura.6). Com base nas reações entre deformações e desocamentos em barras (Seção.), nas reações das eis constitutivas do materia (Seção..) e nas reações de equiíbrio em tensões na seção transversa e esforços internos (Seção.), é possíve estabeecer reações entre os desocamentos reativos internos e os esforços internos..4.. Desocamento axia reativo interno provocado por esforço norma Para o efeito axia, usando as Equações (.), (.) e (.), tem-se que o desocamento reativo interno provocado por um esforço norma atuando em um eemento infinitesima de barra (Figura.) é igua a: a a du N N = σ x A = E ε x A = E A du = dx. (.5) dx EA

65 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha N N N du = dx EA dx du Figura. Desocamento axia reativo de um eemento infinitesima de barra provocado por esforço norma..4.. Rotação reativa interna provocada por momento fetor Para o efeito de fexão, usando as Equações (.), (.) e (.), tem-se que a rotação reativa interna provocada por um momento fetor atuando em um eemento infinitesima de barra (Figura.) é igua a f f d M M = x y da = E x y da = θ σ ( ) ε ( ) E y ( y) da dθ = dx, (.6) A A A dx EI sendo: I = y da momento de inércia da seção transversa em reação ao eixo z. A dθ M M d θ = M dx EI dx Figura. Rotação reativa interna por fexão de um eemento infinitesima de barra provocada por momento fetor.

66 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras Desocamento transversa reativo interno provocado por esforço cortante O desocamento transversa reativo interno provocado por um esforço cortante (Figura.) é considerado de forma aproximada de acordo com as Equações (.), (.6) e (.5): m A c A dh A Q Q = τ y = G γ = G dh = χ dx. (.7) χ χ dx χ GA Q Q dh Q dh = χ dx GA dx Figura. Desocamento transversa reativo de um eemento infinitesima de barra provocado por esforço cortante Rotação reativa interna provocada por momento torçor Para o efeito de torção, no caso de seções transversais circuares ou aneares, a rotação reativa interna provocada por um momento torçor pode ser obtida com base nas Equações (.4), (.6) e (.6): d T T = t t rda = G rda = ϕ τ γ G r rda dϕ = dx, (.8) A A A dx GJ p sendo: J p = r da momento poar de inércia da seção transversa circuar ou anear. A Para seções transversais sem simetria radia (caso gera), ocorre um empenamento da seção quando soicitada à torção. Como dito na Seção..4, é feita uma aproximação de forma a considerar o efeito de torção de forma integra para a seção transversa. Isto resuta em uma propriedade da seção transversa equivaente ao momento poar de inércia, chamada de momento de inércia à torção, que depende da forma da seção. A rotação reativa interna provocada por um momento torçor em um eemento infinitesima de barra (Figura.), considerando essa propriedade da seção transversa, é:

67 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha sendo: momento de inércia à torção da seção transversa. Jt T T dϕ = dx, (.9) GJ dϕ t T dϕ = T GJ t dx dx Figura. Rotação reativa interna por torção de um eemento infinitesima de barra provocada por momento torçor. Livros-texto da área definem as expressões para o momento de inércia à torção em função do tipo de seção transversa. Pode-se citar, por exempo, o ivro de Süssekind (977-) e o de Féodosiev (977)..5. Equação de Navier para o comportamento à fexão O comportamento de vigas à fexão foi formaizado no início do sécuo 9 por Navier. As reações diferenciais de equiíbrio e compatibiidade mostradas neste capítuo para o comportamento à fexão de vigas fazem parte dessa formaização, a chamada Teoria de Vigas de Navier. Essa teoria, que despreza deformações devidas ao efeito cortante, estabeece uma equação diferencia que reaciona os desocamentos transversais v(x) de uma viga com a taxa de carregamento distribuído transversamente q(x). Para se chegar nessa equação, primeiro é obtida uma reação entre o momento fetor na seção e a segunda derivada do desocamento transversa em reação a x. Isto é deduzido utiizando as Equações (.), (.) e (.4), sendo I(x) o momento de inércia da seção: f f d v d v M( x) M = σ x ( y) da = Eε x ( y) da = E y ( y) da = A A A dx. (.) dx EI( x) Essa equação reaciona o momento fetor em uma seção transversa da viga com a curvatura da viga, que pode ser aproximada por d v/dx no caso de pequenos desocamentos (Timoshenko & Gere 994, White et a. 976).

68 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 6 Combinando-se a Equação (.) com a Equação (.), chega-se a: d dx d v EI( x) = q( x). (.) dx No caso em que a barra é prismática (momento de inércia I da seção transversa constante ao ongo da barra), tem-se: 4 d v q( x) =. 4 (.) dx EI A Equação (.), ou a sua outra versão (.) para inércia constante, é chamada de Equação de Navier. Essa equação engoba, no níve de um eemento infinitesima de barra, todas as condições que o modeo estrutura tem que atender. A Equação (.4) considera condições de compatibiidade, a Equação (.) considera a ei constitutiva do materia, a Equação (.) considera condições de equiíbrio entre carregamento transversa distribuído, esforço cortante e momento fetor, e a Equação (.) considera o equiíbrio entre tensões normais e momento fetor. Pode-se ainda considerar a reação que existe entre o desocamento transversa e o esforço cortante em uma barra, que é obtida peas Equações (.9) e (.), considerando EI constante: d v Q( x) =. (.) dx EI.6. Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas Na Seção.5 do Capítuo foi feita uma comparação entre o comportamento de estruturas isostáticas e hiperestáticas. Nesta seção esse estudo é aprofundado para vigas isostáticas e vigas hiperestáticas com base na Equação de Navier. Considere, por exempo, as vigas isostáticas mostradas na Figura.4. A anáise do equiíbrio de um eemento infinitesima de barra resutou na Equação (.), que reaciona o momento fetor M(x) em uma seção da barra com a taxa de carregamento transversa distribuído q(x). Essa equação integrada duas vezes em reação a x ao ongo da viga fornece: q( x) dx + Bx + M ( x) B. (.4) = As constantes de integração B e B ficam definidas peas condições de contorno em termos de forças ou momentos nas extremidades das vigas. A viga biapoiada da Figura.4-a tem duas condições de contorno conhecidas em momentos (momentos fetores nuos nas extremidades): M() = e M() =. E a viga engastada e ivre da Figura.4-b tem uma condição de contorno em momento (momento fetor nu-

69 64 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha o na extremidade ivre) e outra em força (esforço cortante nuo na extremidade ivre): M() = e Q() =. y y q(x) q(x) x M() = M() = (a) (b) x M() = Q() = Figura.4 Duas vigas isostáticas e suas duas condições de contorno conhecidas em termos de forças ou momentos. Como pea Equação (.9) dm/dx = Q(x), pode-se concuir que as duas vigas isostáticas da Figura.4 têm condições de contorno suficientes para a determinação das constantes de integração B e B. Assim, os momentos fetores e os esforços cortantes ficam definidos nas vigas isostáticas utiizando somente condições de equiíbrio. No caso de vigas hiperestáticas, ta como as mostradas na Figura.5, não existem duas condições de equiíbrio em forças ou momentos disponíveis para a determinação das constantes B e B da Equação (.4). Portanto, utiizando somente equiíbrio não é possíve resover o probema. y y q(x) q(x) x v() = v() = θ() = M() = v() = θ() = x v() = θ() = (a) (b) Figura.5 Duas vigas hiperestáticas e suas quatro condições de contorno conhecidas. Entretanto, como dito na Seção. do Capítuo, as condições de compatibiidade e eis constitutivas devem ser consideradas para resover as vigas hiperestáticas. Essas outras condições estão incuídas na Equação de Navier (.). Considerando que essas vigas têm móduo de easticidade E e momento de inércia I da seção

70 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 65 transversa constantes, a Equação de Navier integrada quatro vezes em reação a x ao ongo da viga fornece: q( x) v ( x) + C EI 4 = dx + Cx + Cx + Cx. (.5) Considerando as Equações (.) e (.), observa-se que existem para as vigas da Figura.5 quatro condições de contorno em termos de desocamentos transversais v(x) ou de uma de suas derivadas dv/dx = θ(x) e d v/dx = M(x)/EI. Portanto, é possíve determinar as quatro constantes de integração da Equação (.5). Uma vez integrada essa equação e com o conhecimento das constantes de integração, os esforços internos (momentos fetores e esforços cortantes) podem ser encontrados peas Equações (.) e (.). Na verdade, os métodos básicos da anáise estrutura não resovem vigas hiperestáticas dessa maneira, que é reativamente compexa. A indicação da soução dessa forma foi feita apenas para demonstrar que, conforme mencionado na Seção., para resover uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar, aém do equiíbrio, as condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações e a ei constitutiva do materia..7. A essência da anáise de estruturas reticuadas A seção anterior fez uma comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas simpes (apenas um vão) com respeito às condições que o modeo estrutura tem que atender. Esse estudo pode ser generaizado para quadros panos (ou para quaquer estrutura reticuada), o que é feito nesta seção. Para tanto, agumas definições, baseadas no ivro de White et a. (976), vão ser feitas a seguir. Considere uma estrutura reticuada (isostática ou hiperestática) submetida a um conjunto de cargas F: F sistema de forças externas (soicitações e reações de apoio) atuando sobre uma estrutura. Essas forças externas geram um conjunto de forças internas f: f esforços internos (N, M, Q) associados (em equiíbrio) com F. As forças externas F e os esforços internos f formam um campo denominado: ( F, f ) campo de forças externas F e esforços internos f em equiíbrio. O campo de forças (F, f) caracteriza o comportamento de uma estrutura quanto às condições de equiíbrio. Como visto no Capítuo (Seções. e.5), no caso de uma estrutura hiperestática, para um dado sistema de forças externas F, existem infinitas distribuições de esforços internos que satisfazem as condições de equií-

71 66 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha brio. No caso de uma estrutura isostática só existe uma possíve distribuição de esforços internos que satisfaz o equiíbrio. Isto pode ser exempificado para as estruturas mostradas na Figura.6 com base no que foi exposto na Seção.5. O sistema de forças externas F nessas estruturas é formado pea carga P apicada e peas correspondentes reações de apoio. Os esforços internos são os correspondentes diagramas de esforço norma, esforço cortante e momento fetor. Na figura só estão mostrados diagramas de momentos fetores. O quadro isostático da Figura.6-a só tem um possíve diagrama de momentos fetores que satisfaz as condições de equiíbrio. Entretanto, o quadro hiperestático da Figura.6-b tem infinitos possíveis vaores para as reações de apoio horizontais H, isto é, existem infinitos diagramas de momentos fetores váidos satisfazendo o equiíbrio. P P b/4 H h H h P (P b/4 H h) H h H h M H M H P/ P/ (a) P/ P/ (b) Figura.6 Quadros isostático (a) e hiperestático (b), reações de apoio e diagramas de momentos fetores. Pode-se resumir isso da seguinte maneira: Uma estrutura estaticamente indeterminada tem infinitos campos de forças (F, f) que satisfazem as condições de equiíbrio. Uma estrutura estaticamente determinada só tem um possíve campo de forças (F, f). Por outro ado, para caracterizar uma estrutura quanto às condições de compatibiidade, as seguintes entidades são definidas: D campo de desocamentos externos (eástica) de uma estrutura; d campo de desocamentos reativos internos (du, dθ, dh) compatíveis com D. Os desocamentos reativos internos d caracterizam as deformações internas de uma estrutura para um eemento infinitesima de barra, ta como indica a Seção.4. Os desocamentos reativos internos podem ser interpretados como deformações internas generaizadas, definidas no níve de seção transversa. Os desocamentos externos D e os desocamentos reativos internos d formam um campo denominado:

72 Luiz Fernando Martha Ideaização do Comportamento de Barras 67 ( D, d) configuração deformada com desocamentos externos D e desocamentos reativos internos d compatíveis. Por definição, para uma dada estrutura, não existe nenhuma reação de causaefeito entre um campo de forças (F, f) e uma configuração deformada (D, d). Isto é, forças e desocamentos não estão associados. As únicas restrições são: (F, f) tem que satisfazer equiíbrio e (D, d) tem que satisfazer compatibiidade. As estruturas, em gera, têm infinitas configurações deformadas (D, d) váidas, isto é, que satisfazem as condições de compatibiidade. Quando isto ocorre, a configuração deformada é dita cinematicamente indeterminada. Por exempo, a Figura.7 mostra configurações deformadas de um quadro isostático e de um quadro hiperestático. Nos dois casos, quaquer configuração deformada que satisfaça as condições de compatibiidade com respeito aos víncuos externos e às condições de continuidade interna é váida. Não é difíci identificar que existem infinitas configurações deformadas váidas. h h b b Desocamentos reativos internos: du a, dθ a, dh a (a) Desocamentos reativos internos: du b, dθ b, dh b (b) Figura.7 Quadros isostático (a) e hiperestático (b) e configurações deformadas. Não se deve confundir uma configuração deformada cinematicamente determinada com uma estrutura estaticamente determinada. As configurações deformadas de estruturas isostáticas, como a da Figura.7-a, são sempre cinematicamente indeterminadas. Existem casos particuares de estruturas que só têm uma configuração deformada (D, d) possíve. Nesse caso, a configuração deformada é dita cinematicamente determinada. Um exempo desse tipo de configuração deformada é o Sistema Hipergeométrico (estrutura auxiiar utiizada na metodoogia do Método dos Desocamentos) mostrado na Seção.. do Capítuo. Geramente, uma configuração deformada cinematicamente determinada não corresponde a uma estrutura rea, mas a uma abstração sobre o comportamento de uma estrutura durante o processo de

73 68 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha anáise, como no caso de um Sistema Hipergeométrico (isto será visto em detahe no Capítuo 6, sobre o Método dos Desocamentos). Com base nas definições anteriores, pode-se fazer a seguinte afirmação com respeito a uma estrutura hiperestática: Uma estrutura hiperestática tem infinitos campos de forças (F, f) que satisfazem o equiíbrio e infinitas configurações deformadas (D, d) que satisfazem a compatibiidade. No entanto, só existe uma soução para o probema: é a- quea que satisfaz simutaneamente equiíbrio e compatibiidade. No caso de uma estrutura isostática, como só existe um possíve campo de forças (F, f) que satisfaz o equiíbrio, este também está associado a uma soução que satisfaz a compatibiidade. Pode-se fazer a seguinte afirmação sobre uma estrutura i- sostática: Uma estrutura isostática só tem um campo de forças (F, f) que satisfaz o e- quiíbrio; e a correspondente configuração deformada (D, d) satisfaz automaticamente a compatibiidade. Intuitivamente isto pode ser entendido se for considerado que uma estrutura isostática tem o número exato de víncuos para ser estáve. Como visto na Seção.5, essa característica faz com que a estrutura isostática se acomode a modificações de posição de víncuos externos ou a mudanças de víncuos internos sem exercer nenhuma resistência. Assim sendo, a estrutura isostática sempre satisfaz automaticamente as condições de compatibiidade. Os dois métodos básicos da anáise estrutura, foco principa deste ivro, diferem quanto à estratégia adotada para chegar à soução da estrutura, que deve satisfazer simutaneamente condições de equiíbrio e condições de compatibiidade: O Método das Forças, também chamado de Método da Compatibiidade, tem como estratégia procurar, dentre todos os campos de forças (F, f) que satisfazem o equiíbrio, aquee que também faz com que a compatibiidade fique satisfeita. O Método dos Desocamentos, também chamado de Método do Equiíbrio, tem como estratégia procurar, dentre todas as configurações deformadas (D, d) que satisfazem a compatibiidade, aquea que também faz com que o equiíbrio fique satisfeito. Pode-se observar que não faz sentido procurar a soução de uma estrutura isostática peo Método das Forças pois só existe um campo de forças (F, f) váido. Por outro ado, o Método dos Desocamentos resove uma estrutura isostática da mesma maneira que resove uma estrutura hiperestática, pois, em gera, todas as estruturas são cinematicamente indeterminadas (infinitas configurações deformadas váidas).

74 4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS Como visto no Capítuo (Seção.), os métodos de anáise de estruturas têm como metodoogia a superposição de casos básicos. No Método das Forças os casos básicos são souções estaticamente determinadas (isostáticas) e no Método dos Desocamentos são souções cinematicamente determinadas (configurações deformadas conhecidas). Essas souções, chamadas de souções fundamentais, formam a base da resoução dos métodos de anáise. Este capítuo apresenta agumas souções fundamentais da anáise de estruturas. O objetivo aqui é dar subsídios para os métodos de anáise tratados neste ivro. Resumidamente, o que é necessário para a resoução de uma estrutura peo Método das Forças é a determinação de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas. E, para o Método dos Desocamentos, é necessária a determinação de forças e momentos que impõem uma configuração deformada conhecida para uma estrutura. A dedução dessas souções fundamentais é feita com base no Princípio dos Trabahos Virtuais, através de suas duas formuações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Desocamentos Virtuais. Esta apresentação está fortemente cacada nos ivros de White et a. (976) e Tauchert (974). 4.. Traçado do diagrama de momentos fetores Conforme mencionado nos capítuos anteriores, para o entendimento dos métodos de anáise tratados neste ivro é necessário um conhecimento adequado da resoução de estruturas estaticamente determinadas e do traçado de diagramas de esforços internos (esforços axiais, esforços cortantes, momentos fetores e momentos torçores). Duas boas referências para esses assuntos são os ivros de Süssekind (977-) e Campanari (985). Nesta seção apenas são saientados aguns aspectos importantes no traçado do diagrama de momentos fetores. Primeiro, o diagrama de momentos fetores não é indicado com sina. A convenção adotada é que o diagrama é traçado sempre do ado da fibra tracionada da barra. Outro ponto importante é que esse traçado é feito convenientemente por superposição de efeitos em cada barra, sempre partindo dos vaores dos momentos fetores nas extremidades da barra. Considere, como exempo, a viga biapoiada com baanços mostrada na Figura 4.. Nessa figura estão mostrados as cargas, as reações de apoio e os diagramas de esforços cortantes e de momentos fetores.

75 7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Q [kn] M [knm] Figura 4. Viga biapoiada com baanços. M I [knm] M II [knm] M [knm] Figura 4. Superposição de efeitos para compor o diagrama de momentos fetores da Figura 4.. A Figura 4. iustra a superposição que é utiizada para compor o diagrama de momentos fetores. Considere a barra centra entre apoios. O diagrama fina (M) nessa barra é obtido pea superposição de um diagrama reto (M I), que é o traçado que une os vaores dos momentos fetores nas extremidades da barra com um diagrama parabóico (M II), que corresponde ao carregamento atuando no interior da

76 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 barra considerada como biapoiada. O diagrama M I é sempre uma inha reta pois corresponde a uma situação em que a barra está descarregada. Isso porque d M/dx = (pea Equação (.) do Capítuo, com carregamento distribuído transversa nuo). O procedimento de superposição de efeitos mostrado na Figura 4. é conhecido como pendurar o diagrama de viga biapoiada para o carregamento que atua no interior da barra. Dessa forma, o traçado do diagrama de momentos fetores em cada barra é feito em duas etapas. Primeiro determinam-se os momentos fetores nas extremidades da barra. Se a barra não tiver cargas transversais no seu interior, o diagrama fina é obtido simpesmente unindo os vaores extremos por uma inha reta (é o que acontece nos baanços da viga da Figura 4.). Em um segundo passo, se a barra tiver carregamento no seu interior, o diagrama de viga biapoiada para o carregamento é pendurado (superposto transversamente) a partir da inha reta que une os vaores extremos. Esse procedimento também é apicado para pórticos, como o que está mostrado na Figura 4.. Observa-se nessa figura que o traçado do diagrama de momentos fetores na barra horizonta é feito da mesma maneira que para a barra centra da viga da Figura 4.. Depois de cacuadas as reações de apoio, determinam-se os vaores dos momentos fetores nos nós do pórtico. Nesse caso, os momentos fetores tracionam as fibras de fora e, por isso, os diagramas nos nós são desenhados no ado externo do quadro (esta é a convenção utiizada). Nota-se também que os vaores dos momentos fetores em cada nó são iguais para as barras adjacentes. Este é sempre o caso quando se têm duas barras chegando em um nó e não existe uma carga momento concentrado atuando no nó. Para as barras verticais, que não têm carga no interior, o diagrama fina é reto. Para a barra horizonta, o diagrama é obtido pendurando, a partir da inha reta, a paráboa do segundo grau que corresponde ao diagrama de viga biapoiada do carregamento uniformemente distribuído. iguais iguais M [knm] Figura 4. Traçado de diagrama de momentos fetores em um pórtico pano.

77 7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A Figura 4.4 mostra diagramas de momentos fetores de viga biapoiada para cargas usuais: carga uniformemente distribuída, carga concentrada no centro da viga e carga concentrada em uma posição quaquer na viga. q P P q q P P Pb q /8 P/4 Pab/ a / / Figura 4.4 Diagramas de momentos fetores para vigas biapoiadas. b Pa Outro aspecto interessante é a obtenção do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. Esse procedimento é feito isoando-se cada barra da estrutura, ta como mostrado na Figura 4.5 para a barra horizonta do pórtico da Figura 4.. A barra é considerada como uma viga biapoiada com cargas momentos apicadas nas extremidades para representar o efeito do restante da estrutura sobre ea. Os vaores dos esforços cortantes nas extremidades das barras são determinados cacuando-se as reações de apoio da viga biapoiada por superposição de casos. O caso I corresponde às cargas momentos nas extremidades da barra e o caso II ao carregamento atuando no interior da barra. M [knm] M I [knm] M II [knm] Q [kn] Q I [kn] Q II [kn] Figura 4.5 Traçado do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. O cácuo das reações de apoio (esforços cortantes) nas extremidades, V esq (na esquerda) e V dir (na direita), do exempo da Figura 4.5 é mostrado abaixo:

78 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 Vesq = + ( 7 6) 6 + ( 4 6) = = 78 kn; Vdir = ( 7 6) 6 + ( 4 6) = = 66 kn. Esse procedimento mostra a importância da obtenção do diagrama de momentos fetores, pois isso possibiita a obtenção do diagrama de esforços cortantes. Deve-se também ressatar que, embora os exempos utiizados nesta seção tenham sido isostáticos, os mesmos procedimentos se apicam para estruturas hiperestáticas. Dessa forma, uma vez que se tenham determinado os vaores dos momentos fetores nas extremidades de quaquer barra e que se conheça o carregamento atuando no seu interior, podem-se traçar os diagramas de momentos fetores e de esforços cortantes na barra. O traçado de diagramas de momentos fetores é muito importante também dentro da metodoogia do Método das Forças. Conforme será visto na Seção 4.., esses diagramas são utiizados nos cácuos de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas, que correspondem a souções fundamentais utiizadas por esse método. 4.. Energia de deformação e princípio da conservação de energia O princípio gera da conservação de energia é muito importante em vários métodos da anáise de estruturas. Esse princípio, que é expresso como um baanço de energia (ou trabaho), se apica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis. Quando uma estrutura rígida em equiíbrio é submetida a um campo de desocamentos arbitrário, a soma agébrica do trabaho produzido por todas as forças apicadas peos respectivos desocamentos deve resutar em um vaor nuo. Em estruturas deformáveis, existe um termo adiciona de energia devido ao trabaho produzido peas tensões internas com as correspondentes deformações. A integra dessa componente pontua (infinitesima) de trabaho ao ongo do voume da estrutura é denominada energia de deformação interna e deve ser evada em conta no baanço de energia. Uma estrutura deformáve deve ser vista como um sistema eástico, ta como uma moa inear. A diferença é que uma estrutura é um sistema eástico contínuo, no qua cada ponto armazena uma parcea da energia tota de deformação. A Figura 4.6 mostra um eemento infinitesima de voume de uma estrutura submetido a uma deformação norma na direção x. A energia de deformação por unidade de voume, U, armazenada nesse eemento é a área abaixo da curva tensãodeformação, ta como indicado na figura. No caso do materia com comportamento inear, a reação tensão-deformação é dada pea Equação (.) do Capítuo e a energia de deformação por unidade de voume tem a seguinte expressão:

79 74 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha x x x x d U ε σ ε σ = =. (4.) dx dy dz x y z dx ε x σ x x σ σ x x ε E U Figura 4.6 Eemento infinitesima de voume submetido a uma deformação norma. A energia de deformação por unidade de voume pode ser generaizada para as outras componentes de deformação. No caso de uma barra de um pórtico pano, a energia de deformação por unidade de voume é composta por (veja a definição das deformações e das tensões na Seção. do Capítuo ): c c y f x f x a x a x c f a U U U U γ τ ε σ ε σ + + = + + =. (4.) Sendo: = a x a x a U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito axia; = f x f x f U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de fexão; = c c y c U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito cortante. No caso de grehas e quadros espaciais, o efeito de torção também deve ser considerado. Para uma seção com simetria radia, tem-se: = t t t U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de torção. Para seções sem simetria radia, a energia de deformação é computada de uma forma integra ao ongo de uma seção transversa, como será mostrado adiante. A energia de deformação interna tota é obtida pea integração da energia U ao ongo de todo o voume da estrutura. Para pórticos panos, tem-se: + + = = V c c y V f x f x V a x a x V dv dv dv dv U U γ σ ε σ ε σ. (4.)

80 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 75 No modeo matemático de estruturas reticuadas, as barras são representadas peos eixos que passam peos centros de gravidade das seções transversais. Nesse modeo, a energia de deformação também tem uma representação integra no níve de seção transversa, resutando em uma energia de deformação por unidade de comprimento de barra. A obtenção das expressões dessa energia é feita separando a integra de voume da Equação (4.) em uma integra de área (ao ongo da seção transversa) e uma integra de inha (ao ongo do comprimento das barras): a f c a f U da + U da + U da dx = du + du + A A A c U = du. (4.4) Sendo: estrutura estrutura estrutura U energia de deformação eástica tota armazenada na estrutura; a du estrutura energia de deformação para o efeito axia armazenada em um eemento infinitesima de barra; f du energia de deformação para o efeito de fexão armazenada em um eemento infinitesima de barra; c du energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um eemento infinitesima de barra. A expressão para a du é obtida com base nas Equações (.) e (.) do Capítuo : du a = a du σ x da dx = N du dx, (4.5) A sendo N o esforço norma na seção transversa e du o desocamento axia reativo interno dado pea Equação (.5) (veja a Figura.). A expressão para f du é obtida com base nas Equações (.) e (.): du f = f dθ σ x y da dx = M dθ dx, (4.6) A sendo M o momento fetor na seção transversa e dθ a rotação reativa interna por fexão dada pea Equação (.6) (veja a Figura.). A expressão para c du é obtida com base nas Equações (.5) e (.) : du c = c dh τ y da dx = Q dh dx, (4.7) A sendo Q o esforço cortante na seção transversa e dh o desocamento transversa reativo interno dado pea Equação (.7) (veja a Figura.).

81 76 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha No caso de grehas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado: t du energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um eemento infinitesima de barra. t A expressão para du, para seções transversais com simetria radia, é obtida com t base nas Equações (.6) e (.8). Para uma seção genérica sem simetria radia, du é obtida de forma integra na seção transversa (consute a Seção.4.4), resutando em: du t = T dϕ, (4.8) sendo T o momento torçor na seção transversa e dϕ a rotação reativa interna por torção dada pea Equação (.9) (veja a Figura.). A energia de deformação interna U é utiizada no princípio gera da conservação de energia. A apicação desse princípio no contexto da anáise estrutura tratada neste ivro requer a definição das seguintes premissas: O carregamento é apicado entamente, de ta forma que não provoca vibrações na estrutura (não existe energia cinética). O único tipo de energia armazenada pea estrutura é a energia de deformação eástica, não existindo perda de energia na forma de caor, ruído, etc. A estrutura tem um comportamento inear-eástico, isto é, o materia da estrutura trabaha em um regime eástico e inear (não existe pastificação em nenhum ponto) e os desocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equiíbrio na configuração indeformada da estrutura. Considerando essas hipóteses, o princípio da conservação de energia se reduz a: sendo: WE W E = U, (4.9) trabaho reaizado peas forças externas quando a estrutura se deforma. Isto é, o trabaho mecânico reaizado peas cargas apicadas em uma estrutura é igua à energia de deformação interna armazenada na estrutura. Se as cargas forem removidas entamente, o trabaho mecânico vai ser recomposto, da mesma forma que ocorre na compressão e descompressão de uma moa. A apicação direta desse princípio é iustrada abaixo na determinação do desocamento no ponto centra da viga mostrada na Figura 4.7, submetida a uma força vertica P apicada no meio do vão. Deseja-se cacuar o desocamento vertica D no ponto de apicação da carga. É desprezada a energia de deformação por cisa-

82 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 77 hamento em presença da energia de deformação por fexão. O diagrama de momentos fetores da viga para esse carregamento também está mostrado na figura. O trabaho reaizado pea força externa é a área abaixo da curva que reaciona a carga com o desocamento do seu ponto de apicação, ta como indicado na Figura 4.7. As reações de apoio da viga, que também são forças externas, não produzem trabaho pois os desocamentos correspondentes são nuos (restrições de apoio). P P P P P D /4 x P M(x) / / / / Figura 4.7 Viga biapoiada com uma carga centra. W E D D Portanto, considerando um comportamento inear para a estrutura, o trabaho tota das forças externas para esse exempo é: W E = P D. Como não existem esforços axiais nessa estrutura e a energia de deformação por cisahamento é desprezada, a energia de deformação eástica é função apenas do efeito de fexão. Considerando as Equações (4.4), (4.6) e (.6), tem-se: U = f du = = = M d M dx estrutura M EI M θ dx. EI Iguaando o trabaho externo com a energia de deformação interna, chega-se a: P D = M dx. EI Finamente, o desocamento vertica do ponto centra é dado por: D M P = dx D =. P EI 48EI Observa-se que a utiização do princípio da conservação de energia possibiitou o cácuo do desocamento vertica do ponto centra dessa viga. Entretanto, este princípio não permite o cácuo de desocamento de uma forma genérica. Considere, por exempo, que se deseja apicar uma outra carga na estrutura ou determinar o desocamento em outro ponto. Nesses casos, o princípio da conservação de e- nergia não fornece meios para o cácuo desejado. Isso porque uma única equação

83 78 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha W E = U não é suficiente para a determinação de mais de um desocamento desconhecido. A soução para isso é a generaização desse princípio para o Princípio dos Trabahos Virtuais, conforme vai ser mostrado na seção a seguir. 4.. Princípio dos trabahos virtuais O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo mas tem uma apicação muito imitada para o cácuo de desocamentos em estruturas. Basicamente, como visto na seção anterior, este princípio só permite cacuar desocamentos para o caso de soicitação de uma força concentrada, e o desocamento cacuado tem que ser no ponto de apicação e na direção da força. Anaogamente, também é possíve cacuar a rotação na direção de um momento concentrado apicado. Esse princípio pode ter seu enfoque modificado de forma a eiminar as imitações notadas acima. Considere um sistema de forças (F A, f A) em equiíbrio e uma configuração deformada (D B, d B) compatíve ta como definidos na Seção.7 do Capítuo. Isto é, F A é um sistema de forças externas (soicitações e reações de apoio) a- tuando sobre uma estrutura, f A são esforços internos (N A, M A, Q A) em equiíbrio com F A, D B é um campo de desocamentos externos (eástica) de uma estrutura e d B é um campo de desocamentos reativos internos (du B, dθ B, dh B) compatíveis com D B. A generaização que é feita em reação ao princípio de conservação de energia é que, agora, não existe quaquer igação entre o sistema de forças e a configuração deformada, a não ser que atuam em uma mesma estrutura. Isto é, não existe reação causa-efeito entre (F A, f A) e (D B, d B). O baanço entre o trabaho externo e a e- nergia de deformação interna combinando esses dois sistemas independentes resuta no Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV): em equiíbrio W E FA DB = f A = U db (4.) compatíveis Sendo: W E = FA DB trabaho virtua das forças externas F A com os correspondentes desocamentos (externos) D B; U = f A d B energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos f A com os correspondentes desocamentos reativos internos d B. No caso de pórticos panos, a energia de deformação interna virtua pode ser desmembrada em parceas que consideram os efeitos axia, de fexão e cortante:

84 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 79 N A dub + MA d B + QA U θ. (4.) = dhb Deve-se saientar que nas Equações (4.) e (4.) o termo ½ não aparece nem na expressão do trabaho externo virtua nem na expressão da energia de deformação interna virtua. Esse termo aparecia nas expressões do princípio da conservação de energia mostrado na Seção 4. porque forças e desocamentos estavam associados (causa e efeito). No trabaho externo virtua, as forças não são a causa ou efeito dos desocamentos, assim como na energia interna virtua os esforços internos não são a causa ou efeito dos desocamentos reativos internos. Devido justamente a essa independência entre forças e desocamentos, o termo virtua se apica. Em outras paavras, o trabaho W E e a energia de deformação U são ditos virtuais porque ees são meras abstrações de cácuo. O PTV só é váido se o sistema de forças (F A, f A) reamente satisfizer as condições de equiíbrio e se a configuração deformada (D B, d B) reamente satisfizer as condições de compatibiidade. Portanto, esse princípio pode ser utiizado para impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada (D, d) quaquer. Basta que se escoha arbitrariamente um sistema de forças ( F, f ), denominado virtua, do qua se saiba que satisfaz as condições de equiíbrio. Esta versão do PTV é chamada de Princípio das Forças Virtuais e vai ser apresentada na próxima seção. De maneira anáoga, o PTV pode ser utiizado para impor condições de equiíbrio a um sistema de forças (F, f) quaquer. Basta que se escoha arbitrariamente uma configuração deformada ( D, d), denominada virtua, da qua se saiba que satisfaz as condições de compatibiidade. Esta versão do PTV é chamada de Princípio dos Desocamentos Virtuais e será apresentada na Seção Princípio das forças virtuais Em muitas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada. Por exempo, quando se cacua uma componente de desocamento em um ponto de uma estrutura, o que se deseja é o vaor do desocamento que é compatíve com a configuração deformada da estrutura, que é provocada por aguma soicitação. No contexto deste ivro, o cácuo de desocamentos em estruturas isostáticas é a principa soução fundamenta utiizada dentro da metodoogia do Método das Forças, ta como introduzido na Seção.. do Capítuo. O Princípio das Forças Virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a determinação de desocamentos em estruturas. Esse princípio diz que:

85 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Dada uma configuração deformada rea (D, d) e um sistema de forças ( F, f ) arbitrário (virtua) em equiíbrio, a iguadade W E = U estabeece uma condição de compatibiidade para a configuração deformada rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças externas virtuais F com os correspondentes desocamentos externos reais D; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos virtuais f com os correspondentes desocamentos reativos internos reais d. O PFV utiiza um sistema auxiiar, chamado sistema virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer cacuar um desocamento ou rotação (ou estabeecer uma condição de compatibiidade). O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtua são compostas de uma força (ou momento) escohida arbitrariamente na direção do desocamento (ou rotação) que se deseja cacuar e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtua não existem na reaidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P no centro (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor do desocamento D em um ponto quaquer definido por uma distância a ao apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um força P apicada nesse ponto e com a mesma direção do desocamento. Nessa figura estão indicados os diagramas de momentos fetores M e M dos sistemas rea e virtua. Sistema Rea P Sistema Virtua P = P D D a b / / P /4 P x P b a P ab b P b x M (x) M(x) Figura 4.8 Cácuo de desocamento genérico em viga biapoiada com uma carga centra. O PFV apicado à viga da Figura 4.8 resuta em (desprezando deformações provenientes do efeito cortante):

86 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 W E = U P D = M dθ, sendo dθ a rotação reativa interna do sistema rea. Pea Equação (.6), tem-se: D = P M( x) M( x) dx. EI Portanto, o PFV permite o cácuo de desocamentos e rotações de forma generaizada. As cargas da estrutura rea podem ser quaisquer e podem-se cacuar desocamentos e rotações em quaquer ponto e em quaquer direção. Nesse exempo, a magnitude da força virtua P é irreevante, haja vista que o vaor dessa força vai se cancear na expressão acima pois o diagrama de momentos fetores virtuais M é uma função inear de P. Entretanto, usuamente adota-se um vaor unitário para a carga virtua. Observa-se que a apicação do PFV para o cácuo de desocamentos em estruturas que trabaham à fexão resuta no cácuo de uma integra que combina diagramas de momentos fetores nos sistemas rea e virtua. A Tabea 4. mostra expressões para avaiar essa integra para diagramas usuais em uma barra. Tabea 4. Combinação de diagramas de momentos fetores em barra. MMdx M A M B M B M C M C MA M A M A M B M A M C M A M B M C M D M B M C MB MC M A M B M A M C M B M B M B M C 6 M C M B 6 M C M C MD M A M D M B M D M C M D

87 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A expressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico de um ponto de um pórtico pano é obtida das Equações (4.) e (4.): Em que: W E = U = N du + M dθ + Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura desocamento genérico a ser cacuado no sistema rea; du desocamento axia reativo interno no sistema rea; dθ rotação reativa interna por fexão no sistema rea; dh desocamento transversa reativo interno no sistema rea; P carga virtua genérica associada ao desocamento a ser cacuado; N esforço norma no sistema virtua provocado por P ; M momento fetor no sistema virtua provocado por P ; Q esforço cortante no sistema virtua provocado por P. No caso de uma greha (estrutura pana com cargas fora do pano), o efeito de torção também deve ser considerado, resutando na seguinte expressão para o cácuo de um desocamento genérico peo PFV: Sendo: W E = U = M dθ + T dϕ + Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura dϕ rotação reativa interna por torção no sistema rea; T momento torçor no sistema virtua provocado por P. A Tabea 4. mostra aguns tipos de cargas virtuais utiizadas dentro do contexto do PFV para cacuar desocamentos e rotações em pontos de um pórtico pano. As cargas virtuais mostradas nessa tabea são utiizadas, dentro da metodoogia de cácuo do Método das Forças, para determinar desocamentos ou rotações nas direções de víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Como visto na Seção.. do Capítuo, o Método das Forças utiiza uma estrutura auxiiar isostática, chamada Sistema Principa, que é obtida da estrutura origina (hiperestática) pea eiminação de víncuos. Esses víncuos podem ser impedimentos de apoio ou víncuos de continuidade interna, e os desocamentos e rotações são sempre cacuados nas direções dos víncuos eiminados. O próximo capítuo aborda essa metodoogia em detahes.

88 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 Tabea 4. Cargas virtuais utiizadas para cacuar desocamentos e rotações em víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Víncuo eiminado Desocamento ou rotação associado(a) Carga virtua Impedimento horizonta de apoio Desocamento horizonta do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento vertica de apoio Desocamento vertica do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento de rotação de apoio Rotação da seção do víncuo eiminado M = Continuidade de rotação da eástica Rotação reativa entre seções adjacentes à rótua introduzida M = M = Desocamento horizonta reativo na seção de corte P = P = Continuidade de desocamentos e rotação da eástica Desocamento vertica reativo na seção de corte P = P = Rotação reativa na seção de corte M = M =

89 84 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Os desocamentos reativos internos no sistema rea dependem da soicitação externa que atua sobre a estrutura. Os desocamentos reativos internos foram definidos na Seção.4 do Capítuo para o caso de soicitações de carregamentos externos. Entretanto, existem outros tipos de soicitações que também provocam deformações em estruturas. As seções a seguir mostram apicações do PFV para o cácuo de desocamentos (e rotações) em estruturas isostáticas devidos a diferentes tipos de soicitações: carregamento externo, variação de temperatura e recaque de apoio. Na seqüência também é mostrada uma apicação do PFV para a verificação do atendimento a condições de compatibiidade de estruturas hiperestáticas Desocamentos provocados por carregamento externo As soicitações externas mais comuns em uma estrutura são carregamentos apicados, tais como peso próprio, cargas de ocupação, cargas móveis, cargas de vento, etc. A expressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a soicitações desse tipo em um quadro pano é obtida substituindo as Equações (.5), (.6) e (.7) dos desocamentos reativos internos reais na Equação (4.): Sendo: = N N M M + + Q Q dx dx χ dx. EI GA (4.4) P EA estrutura estrutura estrutura N esforço norma no sistema rea provocado peo carregamento externo; M momento fetor no sistema rea provocado peo carregamento externo; Q esforço cortante no sistema rea provocado peo carregamento externo. No caso de uma greha, utiizando a Equação (.9), a expressão do PFV resuta em: Sendo: = M M T T + + Q Q dx dx χ dx. GJ (4.5) P EI estrutura estrutura t GA estrutura T momento torçor no sistema rea provocado peo carregamento externo. A útima integra que considera o efeito de cisahamento (cortante) nas Equações (4.4) e (4.5) tem vaor pequeno em comparação com os outros termos no caso de barras ongas (atura da seção transversa menor que aproximadamente ¼ do vão da barra). Nesse caso a integra é desprezada.

90 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 85 A estrutura da Figura 4. vai ser utiizada para exempificar o cácuo de desocamento em um pórtico pano. Considere que se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. A Figura 4.9 mostra os sistemas rea e virtua utiizados, com a configuração deformada rea (onde o desocamento desejado está indicado) e o diagrama de momentos fetores virtua M. O diagrama de momentos fetores rea M está indicado na Figura 4.. O materia adotado é um aço com móduo de easticidade E =,5 8 kn/m. Para as counas é adotada a seção transversa CS x5., com área A c = 6,7 - m e momento de inércia I c = 4,8-5 m 4. A seção transversa da viga é a VS x4., com área A v = 5,5 - m e momento de inércia I v = 8,8-5 m 4. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.9 Cácuo de desocamento devido a um carregamento externo peo PFV. A energia de deformação interna virtua para o cácuo do desocamento da estrutura da Figura 4.9 é composta de duas parceas, uma provocada peos efeitos axiais e outra peos efeitos de fexão. O cácuo da parcea associada aos efeitos axiais é mostrado abaixo, sendo que a integra ao ongo da estrutura é decomposta em um somatório de integrais ao ongo das três barras: estrutura N N dx = EA barras barra N N dx = EA barras N N EA barra. (4.6) Nessa expressão, os esforços normais reais N e virtuais N são obtidos diretamente das reações de apoio indicados na Figura 4.9 e é o comprimento de uma barra. Dessa forma, tem-se: N + + = + + N ( ) ( 8) ( /) ( 78) ( /) ( 66) dx 6 4. EA EAv EAc EA (4.7) c estrutura

91 86 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O cácuo da parcea de energia de deformação virtua por fexão também é decomposto em um somatório de integrais computadas em cada barra: estrutura M M dx = EI barras barra M M dx EI. (4.8) A integra ao ongo de cada barra na Equação (4.8) é cacuada com base na Tabea 4.. O cácuo para a viga é expicado na Figura 4.. O diagrama de momentos fetores rea é desmembrado em dois triânguos e uma paráboa com máximo no centro, e o diagrama de momentos fetores virtuais é desmembrado em dois triânguos. Com base na Tabea 4., essas parceas são combinadas em separado para avaiar a integra. Esse exempo iustra a utiização da tabea de combinação de diagrama de momentos. Observa-se que os sinais da integra são positivos quando as parceas dos diagramas tracionam fibras do mesmo ado da barra, e são negativos quando tracionam fibras opostas. M M 6 M Mdx = M Mdx = M Mdx = M Mdx = M Mdx = M Mdx = Figura 4. Combinação de diagramas de momentos fetores rea e virtua para a viga da estrutura da Figura 4.9. As parceas de contribuição para a energia de deformação virtua por fexão indicadas na Figura 4. são somadas às parceas de contribuição das counas, resutando em:

92 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 87 6EI v estrutura M M dx = EI EI 7 6 EI v v EI EI v v EI EI c v EI c 6 (4.9) Com base nas Equações (4.4), (4.7) e (4.9), e nos vaores dos parâmetros E, A v, I v, A c e I c, o desocamento desejado da estrutura da Figura 4.9 pode ser cacuado: N N M M 4 = dx + dx =,4,79 =,8 m. P EA EI estrutura estrutura O sina negativo do desocamento cacuado significa que o seu sentido, da direita para a esquerda, é contrário ao sentido da carga virtua P apicada. Observa-se que a contribuição da parcea de energia de deformação devida ao efeito axia (,4-4 m) é muito menor em móduo do que a contribuição da parcea devida ao efeito de fexão (,79 - m). Isto é usua para pórticos que trabaham à fexão e, em gera, no cácuo manua a contribuição da energia de deformação axia é desprezada. Deve-se ressatar que as cargas, dimensões e parâmetros de materia e seções transversais adotados para esse exempo são reaistas Desocamentos provocados por variação de temperatura Como visto na Seção.5 do Capítuo, variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número exato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a pequenas modificações no comprimento (diatação ou encurtamento) de suas barras provocados por variações de temperatura. Em outras paavras, pode-se imaginar que uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar uma barra que sofreu uma pequena modificação em seu comprimento devido a uma variação de temperatura, já que a estrutura isostática sem aquea barra se configura em um mecanismo. Isto significa que a variação de temperatura provoca desocamentos sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática. Entretanto, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Muitas vezes essas soicitações são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas serão considerados no próximo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de desocamentos provocados por variação de temperatura em uma estrutura isostática.

93 88 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para se apicar o PFV é necessário determinar os desocamentos reativos internos devidos à variação de temperatura (rea): T du T dθ T dh desocamento axia reativo interno devido à variação de temperatura; rotação reativa interna por fexão devido à variação de temperatura; desocamento transversa reativo interno devido à variação de temperatura. Considere iniciamente um exempo simpes de uma viga biapoiada que sofre um aquecimento uniforme de temperatura T [ C], ta como indicado na Figura 4.. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α [/ C]. y T [ C] u T = du = α T x dx T u + du dx du T = α T dx Figura 4. Viga biapoiada com variação uniforme de temperatura. Nesse caso, a variação de comprimento de um eemento infinitesima de barra (de comprimento inicia dx) é: du T = α T dx. Agora considere o caso de uma viga que sofre um aquecimento +T [ C] nas fibras inferiores e um resfriamento T [ C] nas fibras superiores, ta como indicado na Figura 4.. A viga tem uma seção transversa ta que o centro de gravidade (por onde passa o eixo ongitudina x) se situa no meio da atura h da seção. Para pequenos desocamentos, um ânguo em radianos pode ser aproximado à sua tangente. Portanto, com base na Figura 4., a rotação reativa interna por fexão devido a essa variação transversa de temperatura é: d T T θ = α dx. h

94 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 89 y T [ C] +T [ C] x T dθ T = ( α T dx) h h/ α T dx (encurtamento da fibra superior) dx h/ x T dθ +T dx α T dx (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Viga biapoiada com variação transversa de temperatura. No caso gera, indicado na Figura 4., as fibras superiores e inferiores da barra sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma posição quaquer ao ongo da atura da seção transversa, definida pea sua distância y em reação à base da seção. Para a definição dos desocamentos reativos internos devidos a uma variação genérica de temperatura, as seguintes hipóteses serão adotadas: Não existe desocamento transversa reativo devido à variação de temperatura ( dh = ) T. A temperatura varia inearmente ao ongo da atura da seção transversa (da fibra inferior para a superior). A variação de temperatura da fibra inferior é T i e a da fibra superior é T s. A conseqüência desta hipótese é que a seção transversa da barra vai permanecer pana com a variação de temperatura (considerando um materia homogêneo). O desocamento axia reativo interno devido à variação de temperatura T ( du ) corresponde ao aongamento ou encurtamento da fibra que passa peo centro de gravidade da seção transversa. A variação de temperatura nessa fibra (T CG) é obtida por interpoação inear de T i e T s. Com base na Figura 4., os desocamentos reativos internos para uma variação genérica de temperatura são: du T = α T dx ; (4.) CG ( Ti Ts ) dx T dθ = α. (4.) h

95 9 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha y +T s α T s dx (aongamento da fibra superior) h y du T T dθ = α = α T CG ( Ti Ts ) dx h dx x +T i dx α T i dx (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Deformação de um eemento infinitesima de barra por variação de temperatura. O sina da rotação reativa interna da Equação (4.) depende dos vaores de T i e T s. Conforme está indicando na Figura 4., quando T i é maior que T s (no sentido T agébrico), dθ tem o sentido anti-horário e é convencionada positiva. O sina vai ser negativo quando a rotação for no sentido horário. A expressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a uma variação de temperatura genérica em um quadro pano é obtida substituindo T as Equações (4.) e (4.) dos desocamentos reativos internos reais (com dh = ) na Equação (4.): Sendo: M α ( Ti Ts ) = N α T + CG dx dx. h (4.) P estrutura estrutura α coeficiente de diatação térmica do materia; h atura da seção transversa de uma barra; Ti Ts TCG variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; variação de temperatura na fibra superior de uma barra; variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra. As integrais ao ongo da estrutura da Equação (4.) são decompostas em um somatório de integrais ao ongo das barras. Considerando que as barras são prismáticas e que a variação de temperatura nas fibras superiores e inferiores de cada barra é uniforme, essa equação pode ser simpificada para:

96 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 ( ) α Ti Ts = + α T CG N dx M dx. P barras barra h (4.) barras barra Observa-se na Equação (4.) que as integrais que aparecem correspondem às á- reas dos diagramas de esforço norma e momento fetor do sistema virtua cacuadas em cada barra. Para exempificar o cácuo de desocamento peo PFV devido a uma variação de temperatura, a mesma estrutura das Figuras 4. e 4.9 vai ser utiizada. Considere que a estrutura sofre um aquecimento interno de C, ta como indicado na Figura 4.4, e que também se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. Portanto, o mesmo sistema virtua adotado na Figura 4.9 será adotado aqui. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α =,/ C. A atura da seção transversa das counas é h c =, m e a atura da seção transversa da viga é h v =, m. Tanto para a viga quanto para as counas, o centro de gravidade da seção transversa se situa no meio da atura. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.4 Cácuo de desocamento devido a uma variação de temperatura peo PFV. Os esforços normais virtuais nas barras do exempo da Figura 4.4 são obtidos a partir das reações de apoio indicadas na figura, sendo que a viga tem N = +, a couna da esquerda tem N = +/ e a couna da direita tem N = /. A apicação da Equação (4.) para o cácuo do desocamento desse exempo resuta em: 4 = α TCG 6 CG + CG ( + ) + α T + α T ( T T ) α ( ) ( T T ) α ( ) ( T T ) ( ) α i s i s i s hv hc hc. (4.4) Adotou-se, como convenção, que os sinais dos momentos fetores são positivos quando tracionam as fibras interiores do quadro, resutando em áreas positivas.

97 9 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para o cácuo do desocamento pea Equação (4.4), as fibras interiores do quadro estão sendo consideradas como fibras inferiores das barras. Portanto, T i = + C, T s = C e T CG = + C. Utiizando h v =, m e h c =, m na Equação (4.4), resuta no desocamento horizonta do apoio da direita: [ +,8 ] + [ +,64 ] = +,7 = m. O sina positivo indica que o desocamento é da esquerda para a direita, pois este foi o sentido da carga virtua apicada Desocamentos provocados por recaques de apoio Recaques de apoio, em gera, são soicitações acidentais. Entretanto, as fundações de uma estrutura podem apresentar pequenos movimentos que devem ser considerados no projeto. Como visto no Capítuo (Seção.5), recaques de apoio, quando pequenos em reação às dimensões da estrutura, não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número exato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a um pequeno movimento de apoio. Em outras paavras, pode-se imaginar que ao se movimentar um a- poio a estrutura isostática perde um víncuo, transformando-se em um mecanismo (uma cadeia cinemática). Assim, a estrutura se acomoda como um corpo rígido (sem deformações) para a nova posição do apoio. Portanto, recaques de apoio provocam desocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deformações ou esforços. Por outro ado, movimentos diferenciados de apoios de estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Assim como no caso de variações de temperatura, os recaques de apoio podem provocar soicitações que são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de recaques de apoio em estruturas hiperestáticas serão considerados no próximo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de um desocamento provocado por um recaque de apoio de uma estrutura isostática. O mesmo pórtico pano adotado nas seções anteriores é considerado como exempo para o cácuo de desocamento, ta como mostrado na Figura 4.5. No exempo, o apoio da esquerda da estrutura sofre um recaque vertica (para baixo) ρ =,6 m. Observa-se através da eástica indicada (com ampitude exagerada) na Figura 4.5 que o quadro isostático sofreu um movimento de corpo rígido devido ao recaque. Isto é, as barras permanecem retas (sem deformação). Portanto, a energia de deformação interna virtua é nua: U =.

98 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 Sistema Rea Sistema Virtua P = Figura 4.5 Cácuo de desocamento devido a um recaque de apoio peo PFV. Por outro ado, o trabaho virtua das forças externas agora recebe a contribuição da reação de apoio do sistema virtua com o correspondente desocamento (recaque) de apoio rea: ( / ) ( ) W E = P + ρ. Nessa expressão foi considerado que a reação vertica virtua no apoio da esquerda é negativa pois tem o sentido de cima para baixo, assim como o recaque (rea) é negativo porque é para baixo. A imposição da expressão do PFV ( W E = U ) resuta no vaor do desocamento desejado, no qua o sina negativo indica que o desocamento é da direita para a esquerda: W E = = [ ( /) ( ρ) ] =, m. P A expressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a recaques de apoio em um quadro isostático é obtida considerando que U = : = [ ρ]. P (4.5) recaquesr Sendo: ρ recaque de apoio genérico na estrutura rea; R reação de apoio no sistema virtua correspondente ao recaque rea ρ. Os sinais das reações e recaques na Equação (4.5) devem ser consistentes.

99 94 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Verificação de atendimento à condição de compatibiidade Embora os exempos mostrados nas seções anteriores tenham tratado de estruturas isostáticas, o PFV também pode ser apicado para estruturas hiperestáticas. Nesse caso, a estrutura do sistema virtua não necessariamente precisa ter os mesmos víncuos da estrutura rea, pois a única restrição quanto ao sistema de forças virtuais é que satisfaça condições de equiíbrio. Por exempo, considere a viga engastada e apoiada da Figura 4.6. q Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q /8 M M = M 5q q / / 8 8 / / q /8 q /8 M M M M MMdx MMdx = + = M M q 8 q 8 Figura 4.6 Sistema virtua para verificação de correção de diagrama de momentos fetores de uma viga engastada e apoiada. Na Figura 4.6, a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é uma estrutura isostática obtida da estrutura rea pea eiminação de um víncuo (restrição à rotação θ na extremidade esquerda). Nesse caso, tendo-se disponíve o diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática rea, o cácuo da rotação na direção do víncuo eiminado deve resutar em um vaor nuo. Isto é na verdade uma verificação da correção do diagrama: o diagrama correto é aquee que faz com que a condição de compatibiidade no víncuo iberado no sistema virtua seja satisfeita. De fato, o cácuo da rotação θ peo PFV resuta em um vaor nuo: M( x) M( x) q q θ = dx = + =. M EI 8 EI 8 EI Nessa expressão, a integra foi avaiada conforme indica a Figura 4.6. O diagrama de momentos fetores rea foi desmembrado em um triânguo e em uma paráboa com máximo no centro. Com base na Tabea 4., essas parceas foram combinadas

100 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 95 em separado com o triânguo do diagrama de momentos fetores virtua para avaiar a integra. Deve-se tomar cuidado adiciona na escoha do sistema virtua: a estrutura adotada no sistema virtua nunca deve acionar um víncuo em reação à estrutura rea. Considere como exempo a estrutura da Figura 4.7, da qua se deseja cacuar o desocamento D no ponto centra. Note que a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é isostática. Entretanto, a estrutura virtua tem um víncuo adiciona na extremidade direita (engaste) que não existe na estrutura rea. Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q P = M = / 5q 8 D θ / / q 8 / / q /8 q /8 M M / Figura 4.7 Sistema virtua com víncuo adiciona em reação à estrutura rea. O probema com a escoha do sistema virtua da Figura 4.7 é que no trabaho externo virtua tota deve ser computado o trabaho reaizado pea reação de apoio momento virtua M com a correspondente rotação rea θ na extremidade direita. Isto impede a determinação do desocamento D pois na expressão do PFV aparecem duas incógnitas, D e θ : = = MM WE U P D M θ dx. EI Note nessa expressão que o trabaho da reação momento virtua M reaizado com a rotação rea θ é negativo pois essas entidades têm sentidos opostos (horário e anti-horário, respectivamente) Princípio dos desocamentos virtuais Em agumas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de equiíbrio a um sistema de forças. Por exempo, as souções fundamentais do Método dos Desocamentos correspondem à determinação de vaores de forças e momentos que equiibram uma estrutura que tem uma configuração deformada compatíve imposta, ta como apresentado na Seção.. do Capítuo.

101 96 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Princípio dos Desocamentos Virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para a determinação de forças (e momentos) necessárias para impor uma determinada configuração deformada a uma estrutura. Esse princípio diz que: Dado um sistema de forças rea (F, f) e uma configuração deformada ( D, d) arbitrária (virtua) compatíve, a iguadade W E = U estabeece uma condição de equiíbrio para o sistema de forças rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças externas reais F com os correspondentes desocamentos externos virtuais D ; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos reais f com os correspondentes desocamentos reativos internos virtuais d. Assim como o PFV, o PDV utiiza um sistema auxiiar virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer estabeecer uma condição de equiíbrio. O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com uma configuração deformada ( D, d) escohida arbitrariamente de ta maneira que uma única força (ou momento) desconhecida (a que se deseja cacuar) produza trabaho externo. A configuração deformada do sistema virtua não existe na reaidade (por isso, é dita virtua) e é uma mera abstração para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P com posição definida por uma distância a ao apoio da esquerda (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor da reação vertica V A no apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um campo de desocamentos externos virtuais D ta que a outra reação de apoio desconhecida V B não produza trabaho externo. Sistema Rea P D A Sistema Virtua = D b/ = V A V B a b a b Figura 4.8 Cácuo de reação de apoio de uma viga biapoiada peo PDV. Observa-se na Figura 4.8 que o campo de desocamentos externos virtuais não precisa satisfazer as condições de compatibiidade (externas ou internas) da estrutura rea. Como dito, a única restrição quanto à configuração deformada virtua é

102 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 97 que os desocamentos externos virtuais sejam compatíveis com desocamentos reativos (ou deformações) internos virtuais. Nesse exempo, foi imposto um campo de desocamentos virtuais de corpo rígido, isto é, sem deformação interna ( U = ). Pea Figura 4.8, o vaor do desocamento virtua D, que corresponde à carga externa rea P, é obtido por semehança de triânguos. Portanto o vaor da reação V A sai diretamente da imposição de W E = U : P b VA DA P D = VA =. O PDV também pode ser utiizado para determinar um esforço interno em uma estrutura. Para tanto, é necessário escoher uma configuração deformada virtua que isoe na equação W E = U o esforço que se quer cacuar. Considere, por e- xempo, que se deseja determinar o esforço cortante na seção S de uma viga apoiada, ta como mostrado na Figura 4.9. A viga está submetida a uma carga concentrada P definida por uma distância a ao apoio da esquerda, e a seção S é definida pea ordenada x ao início da viga, sendo que a > x. Sistema Rea Sistema Virtua A V A x M S a S Q S M S P b V B B x/ ( x)/ x a S = x b D b / = Figura 4.9 Cácuo de esforço cortante de uma viga biapoiada peo PDV. A configuração deformada virtua do exempo da Figura 4.9 foi definida de ta forma que não existe deformação no interior da viga, com exceção do ponto correspondente à seção S, onde existe um desocamento transversa reativo interno virtua S = concentrado. Isto é, foi imposta uma descontinuidade transversa unitária na posição da seção S. Deve-se observar que não existe rotação reativa entre os trechos da eástica virtua antes e depois da seção S. Este campo de desocamentos virtua foi escohido de ta forma que somente o esforço cortante Q S na seção S produza energia de deformação virtua interna (M S não provoca energia de deformação pois não existe rotação reativa): U =. Q S S

103 98 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Por outro ado, somente a força externa rea P provoca trabaho externo. As outras forças externas, as reações de apoio V A e V B, têm correspondentes desocamentos virtuais nuos. Portanto: W E = P D,, che- sendo que D está indicado na Figura 4.9. Com base na expressão ga-se ao vaor do esforço cortante desejado: W E = U P b Q S = +. É óbvio que, nesse exempo, a apicação do equiíbrio diretamente é uma forma muito mais simpes para se determinar o vaor do esforço cortante em S. O que se pretendeu mostrar com esse exempo é que o PDV é uma maneira aternativa para se impor condições de equiíbrio, que em aguns casos pode ser muito mais adequada. Deve-se observar também que o vaor do esforço cortante Q S foi obtido diretamente peo PDV, sem que se tivesse cacuado as reações de apoio da viga. Isso evidencia a eegância desse princípio como ferramenta matemática para imposição de equiíbrio. De maneira anáoga, o momento fetor na seção S desse exempo também pode ser determinado diretamente peo PDV. A Figura 4. mostra a configuração deformada virtua que é utiizada para determinar M S. A Sistema Rea a S x M S M S P b B x x ( x) / Sistema Virtua a b D = b x / θ S = x V A Q S V B x x Figura 4. Cácuo de momento fetor de uma viga biapoiada peo PDV. A eástica virtua do exempo da Figura 4. é composta de trechos retos com uma rotação reativa interna θ S = concentrada na posição da seção S (considerando pequenos desocamentos de ta forma que o arco de um círcuo é aproximado por sua corda). Nesse caso, não existe desocamento transversa reativo virtua e, portanto, somente M S produz energia de deformação interna virtua:

104 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 99 U = θ. M S S A partir da imposição de 4.), chega-se a: W E = U, sendo = P D e D = b x / (veja a Figura P b x M S = +. Os exempos de apicação do PDV mostrados acima trataram somente de vigas isostáticas. Aém disso, os campos de desocamentos virtuais impostos corresponderam a trechos retos de movimentos de corpo rígido. Isto foi feito apenas com o objetivo de apresentar o princípio, haja vista que a imposição de condições de equiíbrio em estruturas isostáticas é reativamente simpes. Na verdade, a grande vantagem do PDV é a determinação de forças ou momentos que equiibram uma estrutura quaquer (isostática ou hiperestática) que tenha uma configuração deformada conhecida (não rígida no caso gera). A expressão gera do PDV para o cácuo de uma força externa genérica atuando em um ponto de um pórtico pano para manter o seu equiíbrio é obtida das Equações (4.) e (4.), desprezando a energia de deformação por efeito cortante: Sendo: W E W E = U P = N du + M dθ. (4.6) estrutura estrutura P força externa genérica a ser cacuada no sistema rea; N esforço norma no sistema rea; M momento fetor no sistema rea; desocamento externo virtua no ponto da força genérica a ser cacuada; du desocamento axia reativo interno no sistema virtua; dθ rotação reativa interna por fexão no sistema virtua. No caso de uma greha (estrutura pana com cargas fora do pano), o efeito de torção também deve ser considerado, resutando na seguinte expressão para o cácuo de uma força externa genérica peo PDV, também desprezando a energia de deformação por efeito cortante: Sendo: W E = U P = M dθ + T dϕ. (4.7) estrutura estrutura

105 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha T momento torçor no sistema rea; dϕ rotação reativa interna por torção no sistema virtua PDV para soicitações de carregamentos externos e recaques de apoio Esta seção deduz a expressão do PDV para o cácuo genérico de forças ou momentos que equiibram uma estrutura quaquer (isostática ou hiperestática) cujas soicitações externas reais são carregamentos externos ou recaques de apoio. Essas soicitações se caracterizam por não apresentarem deformações iniciais. Para a apicação do princípio para esses tipos de soicitação, é necessário escrever as Equações (4.6) e (4.7) em função do campo de desocamentos externos reais e virtuais. Para tanto, é obtida com base na Equação (.5) uma reação entre o esforço norma N e o desocamento axia u: du N = EA. (4.8) dx A reação entre o momento fetor M e o desocamento transversa v é obtida com base na Equação (.): d v M = EI. (4.9) dx A reação entre o momento torçor T e a rotação por torção ϕ é obtida da Equação (.9): dϕ T = GJt. (4.) dx Substituindo as Equações (4.8) e (4.9) na Equação (4.6), e considerando pea E- quação (.) que d θ / dx = d v/ dx, tem-se a expressão do PDV para quadros panos em função dos desocamentos: Sendo: = + du du d v d v P EA dx EI dx. dx dx dx dx (4.) estrutura estrutura EA parâmetro de rigidez axia, sendo E o móduo de easticidade do materia e A a área da seção transversa; u(x) desocamento axia no sistema rea;

106 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais u(x) desocamento axia no sistema virtua; EI parâmetro de rigidez transversa por fexão, sendo I o momento de inércia da seção transversa; v(x) desocamento transversa no sistema rea; v(x) desocamento transversa no sistema virtua. No caso de grehas, a expressão do PDV em função de desocamentos transversais e rotações por torção externos é obtida substituindo as Equações (4.9) e (4.) na Equação (4.7): Sendo: GJt d v d v P = EI dx + GJ dx dx estrutura estrutura t dϕ dϕ dx. dx dx (4.) parâmetro de rigidez à torção, sendo G o móduo de cisahamento do materia e J t o momento de inércia à torção da seção transversa; ϕ(x) rotação por torção no sistema rea; ϕ(x) rotação por torção no sistema virtua. As Seções 4.4. e 4.4. mostram apicações das Equações (4.) e (4.) do PDV para o cácuo de forças e momentos em barras cinematicamente determinadas, isto é, em barras das quais se conhece a configuração deformada. Estas são souções fundamentais que formam base para o Método dos Desocamentos, ta como vai ser visto no Capítuo PDV para soicitações de variação de temperatura A variação de temperatura é um tipo de soicitação externa que se caracteriza por provocar deformações iniciais. No caso de estruturas isostáticas, as deformações provocadas por temperatura não sofrem quaquer tipo de restrição, não provocando, portanto, esforços internos na estrutura. Por outro ado, uma estrutura hiperestática pode ter tensões internas induzidas por variação de temperatura. A apicação do PDV para esse tipo de soicitação vai ser deduzida para o caso de pórticos panos. Nesse caso, o desocamento axia reativo interno e a rotação reativa interna por fexão devem considerar um termo devido ao esforço interno (que pode ser provocado conjuntamente por carregamento externo e recaques de apoio) e um termo devido à variação de temperatura: N T du = dx + du ; (4.) EA

107 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sendo que M T dθ = dx + dθ. (4.4) EI T T du e dθ são dados peas Equações (4.) e (4.), respectivamente. Para apicar a Equação (4.6) do PDV, é necessário escrever o esforço norma N e o momento fetor M considerando as deformações iniciais provocadas pea variação de temperatura. Isto é feito com base nas Equações (4.) e (4.4): T du du N = EA dx dx ; (4.5) T dθ dθ M = EI. (4.6) dx dx Substituindo os esforços internos reais dados peas Equações (4.5) e (4.6) na E- quação (4.6), resuta na expressão do PDV para estruturas hiperestáticas com soicitações reais de carregamento externo, recaques e variação de temperatura: T T du du du d v dθ P = + EA dx EI dx dx dx dx dx estrutura estrutura d v dx. (4.7) dx 4... Teoremas de reciprocidade O PTV pode ser utiizado para formuar dois teoremas que são muito úteis na anáise de estruturas eásticas ineares. Estes são os chamados teoremas de reciprocidade (Tauchert 974): o Teorema de Maxwe e a sua versão generaizada, o Teorema de Betti (White et a. 976). Considere duas souções estruturais competas A e B que atuam sobre a mesma estrutura eástica e inear (as souções são ditas competas porque cada uma deas satisfaz todas as condições de equiíbrio e compatibiidade). O sistema A é composto de um sistema de forças (F A, f A) em equiíbrio e associado a uma configuração deformada (D A, d A) compatíve. No sistema A, F A são as forças externas atuando sobre a estrutura, f A são esforços internos em equiíbrio com F A, D A é o campo de desocamentos externos da estrutura e d A são desocamentos reativos internos compatíveis com D A. Anaogamente, o sistema B é composto de um sistema de forças (F B, f B) em equiíbrio e associado a uma configuração deformada (D B, d B) compatíve. O PTV pode ser apicado a esses dois sistemas de duas formas, uma considerando o sistema A como rea e o sistema B como virtua e a outra ao contrário. Utiizando a Equação (4.) pode-se escrever as seguintes reações:

108 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais A DB = f A F d ; (4.8) B DA = fb B F d. (4.9) Considere que a estrutura é um quadro pano que tem um comportamento inear eástico. Nesse caso, a integra do ado direito do sina de igua das Equações (4.8) e (4.9) são iguais: N AN B M AMB QAQB f A db = f B da = dx + dx + χ dx. EA EI GA Dessa forma, pode-se enunciar o Teorema de Betti (Tauchert 974, White et a. 976): Se uma estrutura inear eástica é submetida a dois sistemas independentes de forças, o trabaho reaizado peas forças generaizadas do primeiro sistema com os correspondentes desocamentos generaizados do segundo sistema é igua ao trabaho reaizado peas forças generaizadas do segundo sistema com os correspondentes desocamentos generaizados do primeiro sistema: A F D = F D. (4.4) A B B As forças são ditas generaizadas pois podem envover cargas concentradas, cargas distribuídas e momentos apicados. Os desocamentos são ditos generaizados pois podem envover desocamentos e rotações. Um caso particuar do Teorema de Betti, chamado de Teorema de Maxwe, ocorre quando as souções competas independentes são constituídas de forças generaizadas unitárias isoadas, ta como as mostradas na Figura 4.. A Sistema A M B j = Sistema B A θ j A P i = B i Figura 4. Teorema de Maxwe para forças generaizadas unitárias. O Teorema de Maxwe, na versão para forças generaizadas unitárias apicadas, pode ser enunciado da seguinte maneira: Em uma estrutura inear eástica, o desocamento generaizado no ponto j provocado por uma força generaizada unitária atuando no ponto i é igua ao desocamento generaizado no ponto i provocado por uma força generaizada unitária atuando no ponto j (veja a Figura 4.): A j B i θ =. (4.4)

109 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Aternativamente, as souções podem ser constituídas de imposições de desocamentos generaizados unitários, ta como indica a Figura 4.. A M j Sistema A Sistema B A i = B θ j = B P i Figura 4. Teorema de Maxwe para desocamentos generaizados unitários. O Teorema de Maxwe, na versão para desocamentos generaizados unitários impostos, pode ser enunciado da seguinte maneira: Em uma estrutura inear eástica, a força generaizada que atua no ponto j necessária para provocar um desocamento generaizado unitário no ponto i é igua à força generaizada que atua no ponto i necessária para provocar um desocamento generaizado unitário no ponto j (veja a Figura 4.): A j B i M = P. (4.4) A primeira versão do Teorema de Maxwe vai ser utiizada no próximo capítuo para demonstrar a simetria da matriz de fexibiidade, que é a matriz dos coeficientes de fexibiidade do sistema de equações finais de compatibiidade do Método das Forças. A segunda versão do Teorema de Maxwe será utiizada na próxima seção e no Capítuo 6 para demonstrar a simetria da matriz de rigidez, que é a matriz dos coeficientes de rigidez do sistema de equações finais de equiíbrio do Método dos Desocamentos Souções fundamentais para barras isoadas A metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos, conforme introduzido na Seção.. do Capítuo, faz uma superposição de souções cinematicamente determinadas. Essas souções são configurações deformadas eementares da estrutura sendo anaisada. Dentro dessa metodoogia, conforme vai ser visto no Capítuo 6, uma configuração deformada eementar isoa um determinado efeito ou parâmetro que representa o comportamento cinemático (deformado) da estrutura. Cada configuração deformada eementar é uma soução fundamenta no contexto do Método dos Desocamentos. Nesse contexto, uma soução fundamenta de uma estrutura reticuada é composta de configurações deformadas eementares das suas barras. Esta seção apresenta souções fundamentais de barras isoadas que compõem as souções fundamentais do Método dos Desocamentos.

110 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 Existem dois tipos de souções fundamentais de barras isoadas para o Método dos Desocamentos. O primeiro corresponde a souções de uma barra quando são impostos, isoadamente, desocamentos ou rotações nas suas extremidades. Essas souções se constituem nas forças e momentos que devem atuar nas extremidades da barra para equiibrá-a quando um desocamento (ou rotação) é imposto em uma das suas extremidades, aém da eástica resutante. O segundo tipo são souções de engastamento perfeito de barras devido a soicitações externas. Essas souções são a eástica e as reações de apoio para uma barra com as extremidades engastadas (desocamentos e rotações restritos nas extremidades) resutantes da apicação de uma soicitação externa no interior da barra Funções de forma para configurações deformadas eementares de barras de pórticos panos As configurações deformadas eementares de uma barra isoada correspondem às eásticas que resutam da imposição individua de desocamentos ou rotações em uma de suas extremidades. Os desocamentos são impostos em direções paraeas aos eixos ocais de uma barra, sendo que o eixo x tem a direção axia da barra e o eixo y tem a direção transversa, ta como mostra a Figura 4.. d y d d 6 d 5 d d x S 4 x d 4 Figura 4. Eixos ocais e desocabiidades de uma barra de pórtico pano isoada. d d d u v d 6 d 5 A Figura 4. indica os desocamentos e rotações nas extremidades de uma barra de pórtico pano isoada nas direções dos eixos ocais da barra. Esses desocamentos e rotações são chamados de desocabiidades: d i desocabiidade de barra no sistema oca: desocamento ou rotação em uma extremidade de uma barra isoada, na direção de um dos eixos ocais. Sendo que d e d 4 são os desocamentos na direção axia, d e d 5 são os desocamentos na direção transversa, e d e d 6 são as rotações. A Figura 4. também introduz uma notação para indicar desocamentos e rotações: uma seta com um traço transversa na base. Na figura as desocabiidades também estão indicadas com seu significado físico na configuração deformada (com ampitude exagerada). Todas as desocabiidade estão mostradas com seus senti-

111 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha dos positivos. Os desocamentos são positivos nos sentidos dos eixos ocais da barra e as rotações são positivas no sentido anti-horário. Uma eástica eementar da barra de pórtico pano isoada é definida no sistema de eixos ocais peo desocamento axia u(x) e peo desocamento transversa v(x), que estão indicados na Figura 4.. Conforme foi comentado na Seção. do Capítuo, devido à adoção da hipótese de pequenos desocamentos, o comportamento axia e o comportamento transversa de uma barra são considerados independentes. Dessa forma, o desocamento axia u(x) só depende das desocabiidades axiais d e d 4, e o desocamento transversa v(x) fica definido somente peas desocabiidades d, d, d 5 e d 6. Considerando que não existe carregamento na direção axia no interior da barra, com base na Equação (.7) tem-se que o esforço norma N na barra é constante. Portanto, a partir da Equação (4.8), vê-se que o desocamento axia u(x) varia inearmente ao ongo da barra: u ( x) = B x + B. (4.4) Por outro ado, o desocamento transversa v(x) da barra é regido pea Equação (.) de Navier. Como não existe carregamento transversa neste caso, o desocamento transversa tem uma variação cúbica ao ongo da barra: v ( x) = C x + C x + C x + C. (4.44) As Equações (4.4) e (4.44) descrevem uma eástica genérica de uma barra isoada. Essa eástica pode ser descrita de uma maneira aternativa em função diretamente das desocabiidades: ( ) 4( ) 4 u ( x) = N x d + N x d ; (4.45) v ( x) = N x d + N x d + N x d + N x d. (4.46) ( ) ( ) 5( ) 5 6( ) As funções N i(x), chamadas de funções de forma, definem as eásticas eementares da barra isoada. Essenciamente, as Equações (4.4) e (4.45) são equivaentes. A diferença é que os parâmetros que definem a eástica axia da primeira equação são meros coeficientes de um poinômio inear, enquanto os parâmetros na segunda equação têm um significado físico: são as desocabiidades axiais. Anaogamente, as Equações (4.44) e (4.46) são equivaentes, mas na útima os parâmetros que definem a eástica transversa são desocabiidades que têm significado físico. Existe uma função de forma da barra isoada associada a cada uma de suas desocabiidades. No caso das desocabiidades axiais, as equações que definem as funções de forma são obtidas a partir da Equação (4.4), determinando os vaores das constantes B e B com base em condições de contorno adequadas. A função de 6

112 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 forma N (x) é definida considerando u() = e u() = na Equação (4.4), e a função de forma N 4(x) é definida considerando u() = e u() =. Isso resuta nas funções abaixo, que também estão mostradas na Figura 4.4: x N ( x) = ; (4.47) x N 4 ( x) =. (4.48) u(x) N ( x) = x u(x) N x) = 4 ( x x Figura 4.4 Funções de forma axiais de uma barra isoada. x De forma anáoga, para as desocabiidades transversais, as equações que definem as funções de forma são obtidas a partir da Equação (4.44), determinando os vaores das constantes C, C, C e C com base em condições de contorno adequadas. A função de forma N (x) é definida considerando v() =, dv()/dx =, v() = e dv()/dx = ; a função de forma N (x) é definida considerando v() =, dv()/dx =, v() = e dv()/dx = ; a função de forma N 5(x) é definida considerando v() =, dv()/dx =, v() = e dv()/dx = ; e a função de forma N 6(x) é definida considerando v() =, dv()/dx =, v() = e dv()/dx =. Isso resuta nas funções abaixo, que também estão mostradas na Figura 4.5: x ( x) x N = + ; (4.49) x ( x) x x N = + ; (4.5) N x 5( x) x = ; (4.5) x x N 6 ( x) = +. (4.5)

113 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha v(x) x ( x) = N + x v(x) N x 5( x) = x x x v(x) x ( x) = x N + x x v(x) x x N 6 ( x) = + x Figura 4.5 Funções de forma transversais (de fexão) de uma barra isoada Coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano As mais importantes souções fundamentais de barra isoada são os chamados coeficientes de rigidez de barra. No presente contexto, coeficientes de rigidez de barra são forças e momentos que devem atuar nas extremidades da barra isoada, paraeamente aos seus eixos ocais, para equiibrá-a quando um desocamento (ou rotação) é imposto, isoadamente, em uma das suas extremidades. As funções de forma mostradas na seção anterior definem eásticas correspondentes a essas souções fundamentais para uma barra de quadro pano. A seguinte notação é utiizada: k ij coeficiente de rigidez de barra no sistema oca: força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isoada, na direção da desocabiidade d i, para equiibrá-a quando a desocabiidade d j = é imposta (com vaor unitário), isoadamente, em uma das suas extremidades. O significado físico dos coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano no sistema oca é mostrado na Figura 4.6. Essa figura indica, no seu topo, a configuração deformada de uma barra isoada e o conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades da barra, paraeamente a seus eixos ocais, para equiibrá-a nessa configuração. Essas forças e momentos são definidos como: fi força generaizada de barra no sistema oca: força ou momento que atua na direção da desocabiidade d i de uma barra para equiibrá-a quando isoada. Como indica a Figura 4.6, a configuração deformada de uma barra pode ser decomposta em configurações deformadas eementares baseadas nas funções de forma definidas na seção anterior. A partir dessa superposição, as forças generaizadas da barra são obtidas pea soma das forças e momentos que equiibram a barra para cada uma das configurações deformadas eementares.

114 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 f f d f d 4 d 6 d d k 4 d 4 d 4 44 d 4 k d k f 6 f 5 f 4 d 5 k d k d k 55 d 5 d 4 d k d k 6 d k 5 d 5 k 65 d 5 d 5 k d k d k 5 d k 6 d d k 5 d k 5 d 5 k 66 d6 k 6 d 6 k 6 d 6 d 6 k 56 d 6 Figura 4.6 Superposição de configurações deformadas eementares para compor a eástica fina de uma barra de pórtico pano isoada. Observa-se na Figura 4.6 o desacopamento entre os efeitos axiais e transversais de fexão de uma barra. As deformadas eementares axiais devidas a d e d 4 não mobiizam os coeficientes de rigidez de fexão (forças na direção transversa ou momentos). Da mesma forma, as deformadas eementares transversais de fexão devidas a d, d, d 5 e d 6 não mobiizam coeficientes de rigidez axiais. Devido a esse desacopamento, aguns coeficientes de rigidez ocais são nuos. A superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4.6 resuta em uma reação entre cada força noda generaizada f i e as desocabiidades da barra. Por exempo, a força tota f é obtida pea soma das forças axiais na extremidade esquerda da barra, resutando em: f = k d + k 4d 4. Anaogamente, a força tota f é obtida pea soma das forças transversais na extremidade esquerda da barra, resutando em: f = k d + k d + k 5d 5 + k 6d6. Generaizando para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra, pode-se escrever a seguinte reação matricia:

115 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha f k f f = f 4 k f 5 f6 4 k k k k 5 6 k k k k 5 6 k 4 k 44 k k 5 5 k k d k 6 d k6 d d 4 k 56 d5 k66 d6 (4.5) A Equação (4.5) também pode ser escrita de uma forma condensada: { f } = [ k ] { d }. (4.54) Sendo: { f } vetor das forças generaizadas de barra no sistema oca: conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra (nas direções dos eixos ocais) para equiibrá-a quando isoada. [ k ] matriz de rigidez de uma barra no sistema oca: matriz dos coeficientes de rigidez ocais k ij nas direções dos eixos ocais. { d } vetor das desocabiidades de barra no sistema oca: conjunto de desocabiidades de uma barra nas direções dos eixos ocais. Duas observações podem ser feitas quanto à matriz de rigidez da barra isoada. A primeira é que peo Teorema de Maxwe (versão para desocamento unitário imposto, Equação (4.4)) a matriz é simétrica, isto é: k ji = k ij. (4.55) A segunda observação vem da superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4.6. Observa-se que os coeficientes de rigidez que correspondem a uma dada configuração deformada eementar têm o mesmo índice j. Pode-se dizer então: A j-ésima couna da matriz de rigidez [ k ] de uma barra no seu sistema oca corresponde ao conjunto de forças generaizadas que atuam nas extremidades da barra, paraeamente a seus eixos ocais, para equiibrá-a quando é imposta uma configuração deformada ta que d j = (desocabiidade d j com vaor unitário e as demais desocabiidades com vaor nuo). O PDV vai ser utiizado nas próximas seções para deduzir os vaores dos coeficientes de rigidez de uma barra de pórtico pano no sistema oca. Essa dedução é feita para barras prismáticas, isto é, barras com uma seção transversa uniforme ao ongo de seu comprimento. No Apêndice B é apresentado um processo, chamado Processo de Mohr (Süssekind 977-) ou Anaogia da Viga Conjugada, que permite a determinação de coeficientes de rigidez para barras não prismáticas.

116 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais Coeficientes de rigidez axia de barra A determinação dos coeficientes de rigidez axia de uma barra pode ser feita de uma forma direta através da imposição do equiíbrio da barra que sofre uma deformação axia. Por exempo, considere a imposição da desocabiidade d 4 mostrada na Figura 4.7. As forças externas f e f 4 estão indicadas com seus sentidos positivos. Pode-se observar que para provocar o aongamento da barra é necessário ter um esforço norma de tração N = f 4. Aém disso, a força f tem que ter o sentido contrário ao que está indicado para poder equiibrar a barra. A partir da a a reação σ = Eε entre a tensão e a deformação normais da barra, chega-se a: N A d E x x f = k d EA = d 4 k EA = 4 = ; EA EA f = f 4 f = k4 d 4 = d 4 k = 4. Entretanto, o PDV provê uma maneira mais gera para se chegar a esses mesmos resutados. Considere que se deseja determinar o vaor do coeficiente de rigidez k 4, que corresponde à força f que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando um desocamento axia d 4 = é imposto isoadamente na extremidade direita. O campo de desocamentos axiais reais desse probema é u ( x) = N 4 ( x) d 4, conforme indicado na Figura 4.7. Para se cacuar k 4, deve-se escoher um campo de desocamentos axiais virtuais ta que somente a força f produza trabaho externo virtua. Esse campo é u ( x) = N ( x) d, também mostrado na Figura 4.7. f = k4d4 Sistema Rea f 4 = k44d4 Sistema Virtua d 4 d Campo de desocamentos reais u(x) u ( x) = N ( x d 4 ) 4 Campo de desocamentos virtuais u(x) u ( x) = N ( x d ) x x Figura 4.7 Apicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez axia de uma barra isoada. Apicando o PDV com base na Equação (4.), somente com a parcea da energia de deformação axia, chega-se a:

117 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha k du du dn 4 dn 4 d 4 = EA dx = EA dx d 4. d dx dx dx dx Nessa expressão o vaor do desocamento virtua d imposto na extremidade esquerda se cancea. Portanto, tem-se: dn dn EA k 4 = EA dx = dx dx 4. Vê-se que o PDV determina diretamente o vaor do coeficiente de rigidez k 4 encontrado anteriormente, sem a necessidade de determinar outro coeficiente. Esse resutado pode ser generaizado para os outros coeficientes, bastando escoher os campos de desocamentos rea e virtua apropriados. Essa generaização resuta em: k = EA ij dn dn i j dx dx dx (, j =,4) i (4.56) Com base na Equação (4.56), os vaores dos coeficientes de rigidez axia podem ser cacuados. Os resutados estão mostrados na Figura 4.8. ( EA / ) d ( EA / ) d ( EA / ) d 4 ( EA / ) d 4 d d 4 Figura 4.8 Coeficientes de rigidez axia de uma barra isoada Coeficientes de rigidez à fexão de barra sem articuação O PDV também é utiizado para determinar de uma maneira gera os vaores dos coeficientes de rigidez à fexão que estão associados às desocabiidades d, d, d 5 e d 6. Considere que se deseja determinar o vaor do coeficiente de rigidez k, que corresponde à força f que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando uma rotação d = é imposta isoadamente também na extremidade esquerda. O campo de desocamentos transversais reais é v ( x) = N ( x) d, conforme indicado na Figura 4.9. Para se cacuar k, deve-se escoher um campo de desocamentos transversais virtuais ta que somente a força f produza trabaho externo virtua. Esse campo é v ( x) = N ( x) d, ta como mostrado na Figura 4.9 superposto ao campo de desocamentos reais.

118 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais Campo de desocamentos reais Campo de desocamentos virtuais = N ( x) ( x) = N ( x) d v ( x) d v f = kd d d f 6 = k6d f = k d f 5 = k5 d Figura 4.9 Apicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez à fexão de uma barra isoada. Utiizando a Equação (4.) do PDV, chega-se a: k d v d v d N d N d = EI dx EI dx d =. d dx dx dx dx Nessa expressão o vaor do desocamento virtua d se cancea. Portanto, tem-se: d N d N k = EI dx. dx dx A generaização desse resutado para as outros coeficientes resuta na Equação (4.57) abaixo. Os vaores dos coeficientes de rigidez à fexão são cacuados com base nessa equação. Os resutados estão mostrados na Figura 4.. k = EI ij Ni d dx d N dx j dx (, j =,,5,6) i (4.57) ( EI / ) d ( EI / ) d5 d ( 6EI / ) d ( 6EI / ) d ( 6EI / ) d5 ( 6EI / ) d 5 d 5 ( 6EI / ) d d ( 4EI / ) d ( EI / ) d ( ) 5 ( 6EI / ) d EI / d ( 6EI / ) d6 ( EI / ) d ( 4EI / ) d6 ( EI / ) d6 d 6 ( 6EI / ) d6 Figura 4. Coeficientes de rigidez à fexão de uma barra isoada sem articuação.

119 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Coeficientes de rigidez à fexão de barra com articuação na esquerda Estruturas reticuadas muitas vezes apresentam barras articuadas em uma extremidade ou em ambas. No modeo estrutura isso é modeado por uma rótua na extremidade articuada que ibera a continuidade de rotação da barra nessa extremidade com as outras barras adjacentes ou com um apoio. Procedimentos anáogos aos que foram adotados para determinar coeficientes de rigidez de barras sem articuação poderiam ser desenvovidos para barras com articuação. Para tanto, seria necessária a determinação de funções de forma para barras articuadas. Entretanto, um procedimento mais simpes, baseado em superposição de efeitos, pode ser adotado para determinar os coeficientes de rigidez de uma barra articuada. Considere, como exempo, a barra articuada na extremidade esquerda mostrada na Figura 4.. O objetivo nesse exempo é a determinação dos coeficientes de rigidez à fexão associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade direita. EI / EI / EI / 6EI / 4EI / (EI / + EI / ) / = EI / M A = EI / M A = EI / 6EI / EI / M A / = EI / Figura 4. Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à fexão de uma barra com articuação na esquerda. A Figura 4. mostra a configuração deformada da barra com a rotação unitária imposta, no sentido anti-horário, na extremidade direita. A articuação na extremidade esquerda faz com que o momento fetor nessa extremidade seja nuo. Essa condição pode ser acançada com base na superposição de duas configurações deformadas da barra, ta como indicado nessa figura. A primeira parcea corresponde a uma rotação unitária imposta, no sentido anti-horário, na extremidade direita da barra sem articuação. Para garantir o equiíbrio nessa configuração, aparece um momento na extremidade esquerda M A = EI / no sentido anti-horário. A segunda parcea da superposição corresponde à apicação de um momento M A no sentido horário nessa extremidade, de ta forma que o momento fina da superpo-

120 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 sição nessa extremidade seja nuo. As forças e momentos (coeficientes de rigidez) que atuam na barra articuada são obtidos das forças e momentos correspondentes nas parceas da superposição. Procedimentos anáogos podem ser feitos para determinar os outros coeficientes de rigidez da barra com articuação na esquerda. Os resutados disso estão mostrados na Figura 4.. ( EI / ) d ( EI / ) d5 d ( EI / ) d ( EI / ) d5 d 5 ( EI / ) d ( EI / ) d5 ( EI / ) d6 ( EI / ) d 6 d 6 ( EI / ) d6 Figura 4. Coeficientes de rigidez à fexão de uma barra isoada com articuação na esquerda. Deve-se saientar que os coeficientes de rigidez associados à rotação unitária imposta na extremidade esquerda da barra são nuos. Isto porque a articuação faz com que não haja resistência à rotação imposta nessa extremidade Coeficientes de rigidez à fexão de barra com articuação na direita Os mesmos procedimentos mostrados na seção anterior para determinar coeficientes de rigidez de uma barra com articuação na esquerda são adotados para uma barra com articuação na direita. A Figura 4. mostra a superposição de configurações deformadas que é utiizada para a determinação dos coeficientes de rigidez à fexão da barra com articuação na direita associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade esquerda. Todos os coeficientes de rigidez à fexão dessa barra estão mostrados na Figura 4.4. Nota-se também que os coeficientes associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade articuada são nuos.

121 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha EI / 6EI / EI / M B = EI / EI / ( EI / + EI / ) / = EI / M B / = EI / 4EI / 6EI / EI / M B = EI / Figura 4. Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à fexão de uma barra com articuação na direita. ( EI / ) d ( EI / ) d5 d ( EI / ) d ( EI / ) d 5 d 5 ( EI / ) d d ( EI / ) d ( ) 5 EI / d ( EI / ) d ( EI / ) d Figura 4.4 Coeficientes de rigidez à fexão de uma barra isoada com articuação na direita Matrizes de rigidez de barra de pórtico pano Esta seção mostra matrizes de rigidez de barras de pórticos panos no sistema oca para diferentes condições de extremidade. Isto resume os resutados para os coeficientes de rigidez de barra obtidos nas seções anteriores. Quatro tipos de condições de extremidade são consideradas: barra sem articuação Equação (4.58), barra com articuação na esquerda Equação (4.59), barra com articuação na direita Equação (4.6) e barra com articuação nas duas extremidades Equação (4.6). Os sinais dos coeficientes são positivos quando as forças e momentos correspondentes têm os sentidos positivos das desocabiidades (indicados na Figura 4.). De outra forma, os sinais são negativos. Observa-se também a simetria das matrizes de rigidez, o que é compatíve com a Equação (4.55).

122 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 Os coeficientes de rigidez axia são iguais para os quatro tipos de barra (primeiras e quartas inhas e counas das matrizes de rigidez). Observa-se o desacopamento entre o efeito axia e o efeito transversa de fexão peos coeficientes nuos comuns a todas as matrizes. Nas matrizes, as inhas e counas correspondentes às rotações das extremidades articuadas também são nuas. No caso da matriz de rigidez para a barra bi-articuada Equação (4.6) só os coeficientes de rigidez axia são diferentes de zero. [ ] = EI EI EI EI EI EI EI EI EA EA EI EI EI EI EI EI EI EI EA EA k (4.58) [ ] = EI EI EI EI EI EI EA EA EI EI EI EA EA k (4.59) [ ] = EI EI EI EA EA EI EI EI EI EI EI EA EA k (4.6) [ ] + + = EA EA EA EA k (4.6)

123 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Coeficientes de rigidez à torção de barra A determinação dos coeficientes de rigidez à torção de uma barra de greha ou de pórtico espacia pode ser feita utiizando o PDV, a exempo do que foi feito para a barra de pórtico pano na seção anterior. Considere a imposição de uma rotação por torção ϕ A na extremidade esquerda de uma barra isoada, enquanto a rotação na outra extremidade é mantida nua ( ϕ B = ), ta como mostra a Figura 4.5-a. Também considere a imposição de uma rotação ϕ B na extremidade da direita, mantendo ϕ A nua (Figura 4.5-b). São utiizadas setas dupas para representar rotações e momentos torçores. Os momentos torçores T A e T B que atuam nas extremidades da barra para impor essas configurações deformadas também estão indicados na Figura 4.5 com seus sentidos positivos. Como não existe carregamento no interior da barra, o momento torçor é constante ao ongo da barra. Aém disso, a partir da Equação (4.), vê-se que a rotação por torção ϕ (x) varia inearmente ao ongo da barra. Portanto, a mesma funções de forma axiais das Equações (4.47) e (4.48) podem ser utiizadas para representar a variação de ϕ (x), ta como indica a Figura 4.5. (a) (b) T T A A = K = ϕ ϕ A x ϕ ( x ) = N ( x ) ϕ A = ϕ A ϕ = A ( Kϕ ) ϕb ϕ A = ϕ x) = N ( x) ϕ ( 4 B ϕ B x = ϕb Figura 4.5 Coeficientes de rigidez à torção de uma barra isoada. ϕ B T B T = B ( Kϕ ) ϕ A = K K = GJt / ϕ ϕ ϕ B O PDV é utiizado para determinar o momento torçor T A da Figura 4.5-b. Este é o momento que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando uma rotação por torção ϕ B é imposta isoadamente na extremidade direita, considerando que ϕ A =. O campo de rotações por torção reais desse probema é ϕ( x) = N 4 ( x) ϕb. O campo de rotações por torção virtuais é ϕ( x) = N 4 ( x) ϕb, ta que somente o momento torçor da extremidade esquerda produza trabaho virtua externo. Apicando o PDV com base na Equação (4.), somente com a parcea de energia de deformação por torção, chega-se a: T dϕ dϕ A = GJt dx = ϕb dx dx dn dn 4 GJt GJt dx ϕb = ϕb. dx dx

124 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 O coeficiente de rigidez à torção é o fator que mutipica a rotação ϕ B. O sina negativo indica que o momento torçor T A tem o sentido contrário ao da rotação ϕ B imposta com sentido positivo. Esse resutado pode ser generaizado para os outros coeficientes, bastando escoher os campos de rotações rea e virtua apropriados. Essa generaização resuta nos coeficientes de rigidez à torção mostrados na Figura 4.5 (os coeficientes são os fatores que mutipicam as rotações). Define-se genericamente o parâmetro K como o coeficiente de rigidez à torção: ϕ GJt Kϕ = (4.6) Da mesma maneira como se definiu a matriz de rigidez de uma barra de pórtico pano no sistema de eixos ocais da barra, é possíve definir uma matriz de rigidez de barra de greha. Uma greha é uma estrutura pana com carregamento transversa ao seu pano. Por hipótese, uma barra de greha não tem soicitações axiais, apresentando efeitos de fexão e cisahamento transversais ao pano e efeito de torção. A Figura 4.6 mostra a convenção adotada neste ivro para os eixos ocais e para as desocabiidades ocais de uma barra de greha. As desocabiidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas dupas indicam rotações. y z x z d d d d 5 4 Figura 4.6 Eixos ocais e desocabiidades de uma barra de greha isoada. d d 6 x Com base na convenção adotada na Figura 4.6 e nos coeficientes de rigidez à fexão deduzidos na Seção 4.4., a Equação (4.6) mostra a matriz de rigidez de uma barra de greha no sistema oca. Esta matriz considera os coeficientes de rigidez à fexão e o coeficiente de rigidez à torção dado pea Equação (4.6). Os efeitos de deformação por cisahamento não são considerados. O momento de inércia da seção transversa é I = Iy, isto é, I é o momento de inércia em torno do eixo oca y mostrado na Figura 4.6. [ k ] + GJ = GJ t t + 4EI 6EI + EI + 6EI 6EI 6EI + EI EI GJ + GJ t t + EI 6EI + 4EI + 6EI + 6EI EI + 6EI + EI (4.6)

125 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Reações de engastamento de barra para soicitações externas Esta seção apresenta souções fundamentais de engastamento perfeito de barras isoadas para carregamentos apicados e soicitações de variação de temperatura. Essas souções serão utiizadas dentro da metodoogia do Método dos Desocamentos que será introduzida no Capítuo 6. A Figura 4.7 mostra a notação e os sentidos positivos das reações de engastamento perfeito para um carregamento genérico, em que: fˆ i reação de engastamento perfeito de barra no sistema oca: reação força ou momento que atua na direção da desocabiidade oca d i de uma barra com as extremidades fixas para equiibrá-a quando atua uma soicitação externa. y q(x) ˆf 6 x ˆf ˆf 4 ˆf ˆf ˆf 5 Figura 4.7 Notação e sentidos positivos de reações de engastamento perfeito para barras isoadas. Todas as deduções serão feitas para barras sem articuação. As reações de engastamento para uma barra com articuação podem ser obtidas a partir das reações de engastamento de uma barra sem articuação com o mesmo carregamento. A Figura 4.8 mostra a superposição de efeitos que é utiizada para a determinação das reações de engastamento de uma barra com articuação na esquerda. A Figura 4.9 faz o mesmo para uma barra com articuação na direita. fˆ = VA M A / f ˆ = fˆ5 = VB + M A / fˆ6 = M B M A / q(x) q(x) ˆf ˆf 5 M B ˆf 6 ( 4EI ) θ M A = / ( M + M A /) = M A / A / M A V A V B θ M A / ( EI ) θ M A / = / Figura 4.8 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articuação na esquerda.

126 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais M A fˆ = VA MB / f = M A M ˆ q(x) fˆ5 = VB + MB / ˆf ˆf ˆf 5 f ˆ6 = q(x) V A B / V B M B ( EI ) θ M B / = / M B / ( M + MB /) = M B / B / θ ( 4 EI ) θ M B = / Figura 4.9 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articuação na direita Reações de engastamento para carregamentos externos A determinação das reações de engastamento perfeito de uma barra soicitada para um carregamento externo genérico vai ser feita com base no Teorema de Betti, que foi apresentado na Seção 4.., seguindo o que foi feito por Feton & Neson (996). Para exempificar isso, considere a barra bi-engastada mostrada na Figura 4.4 com um carregamento distribuído transversamente. O objetivo do exempo é determinar a reação força transversa ˆf da extremidade esquerda da barra. ˆf y q(x) Sistema A ˆf 6 B B M B V Sistema B B B v ( x) = N ( x) v A (x) x B ˆf V ˆf 5 Figura 4.4 Apicação do Teorema de Betti para determinar a reação vertica na extremidade esquerda. Para a apicação do Teorema de Betti para o exempo da Figura 4.4, é necessário definir dois sistemas, A e B. O sistema A é a barra bi-engastada com o carregamento externo apicado e as correspondentes reações de apoio. O sistema B tem o víncuo associado à reação ˆf B iberado e uma força transversa V apicada no ponto do víncuo iberado. A configuração deformada do sistema B é ta que seu campo de desocamentos externos é proporciona à função de forma N (x). B M

127 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Teorema de Betti apicado ao exempo da Figura 4.4 impõe o seguinte: o trabaho reaizado peas forças e momentos externos do sistema A com os correspondentes desocamentos e rotações do sistema B é igua ao trabaho reaizado peas forças e momentos do sistema B com os correspondentes desocamentos e rotações do sistema A. Observa-se que todas as forças e momentos externos do sistema B têm desocamentos e rotações correspondentes nuos no sistema A. Portanto, o trabaho das forças do sistema A com os desocamentos do sistema B é nuo: ˆ B B f + q( x) N ( x) dx. = Dessa forma, chega-se a uma expressão para a determinação da reação desejada em função do carregamento transversa q(x): fˆ = q( x) N ( x) dx =. Um exempo anáogo é utiizado para determinar a reação momento ˆf na extremidade esquerda peo Teorema de Betti, ta como iustrado na Figura 4.4. Nesse caso, no sistema B ibera-se a rotação associada à reação ˆf no apoio da esquerda. ˆf y q(x) Sistema A v A (x) ˆf 5 ˆf 6 x B M B θ Sistema B B B v ( x) = N ( x) θ B B ˆf V V Figura 4.4 Apicação do Teorema de Betti para determinar a reação momento na extremidade esquerda. O campo de desocamentos externos do sistema B na Figura 4.4 é proporciona à função de forma N (x), e a apicação do Teorema de Betti para esse exempo resuta em: fˆ = q( x) N ( x) dx =. Os resutados obtidos nos exempos das Figuras 4.4 e 4.4 podem ser generaizados para diversos tipos de cargas: axiais, transversais distribuídas, transversais concentradas e momentos concentrados, ta como iustrado na Figura 4.4. y B M x

128 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais p(x) P j q(x) M j ˆf 6 ˆf ˆf 4 ˆf ˆf 5 Figura 4.4 Reações de engastamento perfeito axiais e transversais para barras isoadas. A expressão (4.64), resutante da apicação do Teorema de Betti, é utiizada para determinar as reações axiais ˆf e ˆf 4 devidas a uma carga axia distribuída p(x). A expressão (4.65) é utiizada para determinar as reações forças transversais ˆf e ˆf 5 e as reações momentos ˆf e ˆf 6 devidas a cargas transversais distribuídas, cargas transversais concentradas e cargas momentos concentrados (veja a Figura 4.4). fˆ = i i N ( x) q( x) dx i ˆf f ˆ = N ( x) p( x) dx ( i =,4 ) (4.64) i j N ( x ) P i j j j dn j( x j ) M j dx ( i =,,5,6) (4.65) As Figuras 4.4, 4.44 e 4.45 mostram reações de engastamento de barras submetidas a carregamentos transversais. Estas reações foram determinadas com base na expressão (4.65) e, para as barras articuadas, com base nas Figuras 4.8 e 4.9. q / q /8 q / q /8 5q /8 q q q q / 5q /8 q /8 q / f = + q / ˆ ˆ f = + q f = + q / ˆ5 ˆ f6 = q / / q /8 f = + q / 8 ˆ fˆ = f = + 5q /8 ˆ5 ˆ f6 = q /8 f = + 5q /8 ˆ ˆ f = + q /8 f = + q /8 ˆ5 fˆ6 = Figura 4.4 Reações de engastamento para barras com carga transversa uniformemente distribuída.

129 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P /8 P P /8 f ˆ = + P / f ˆ = + P/8 P / / P / / f ˆ5 = + P / fˆ6 = P /8 P P /6 f = + 5P /6 ˆ fˆ = 5P /6 P /6 f = + P /6 ˆ5 f = P /6 ˆ6 P /6 P /6 P 5P /6 f = + P /6 ˆ f = + P /6 ˆ f = + 5P /6 ˆ5 fˆ6 = Figura 4.44 Reações de engastamento para barras com carga concentrada no meio do vão. / Pab ( a b) / Mb q / P ( ) Pb a + b / a M 6Mab / a q / b 6Mab/ b Pa b / Ma 7q / q ( ) Pa a + b / ( b a) / q / f ˆ + f ˆ = +Pab / f ˆ = + Pa a + b ˆ f = Pa b ( ) = + Pb a b / ( ) 5 / 6 / f ˆ = + 6Mab/ fˆ = + Mb a b fˆ 5 = 6Mab / fˆ = + Ma b a ( ) / ( ) 6 / f = + q / ˆ ˆ f = + q / f = + 7q / ˆ5 ˆ f6 = q Figura 4.45 Reações de engastamento para barras com carga concentrada, momento concentrado e carga trianguar (West 989). /

130 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 Nesta seção as expressões para a determinação de reações de engastamento de barras isoadas soicitadas por carregamentos externos são exatas para o caso de uma barra com seções transversais que não variam ao ongo de seu comprimento. Isto porque os campos de desocamentos externos utiizados no sistema auxiiar para a apicação do Teorema de Betti (sistema B) são proporcionais às funções de forma, que correspondem a souções para barras com seção transversa constante. No Apêndice B é apresentado um processo, chamado Processo de Mohr ou Anaogia da Viga Conjugada, que permite a determinação de reações de engastamento para barras não prismáticas Reações de engastamento para variação de temperatura Para finaizar as expressões para a determinação de reações de engastamento perfeito de barras isoadas, é necessário considerar as soicitações de variação de temperatura. Iniciamente será mostrado um procedimento simpes (McGuire & Gaagher 979), baseado em superposição de efeitos. Um método gera, baseado no PDV, vai ser mostrado mais adiante. A Figura 4.46 iustra o caso de uma variação uniforme de temperatura T CG, correspondendo ao que ocorre na fibra do centro de gravidade da seção transversa. A barra tem um materia com móduo de easticidade E e coeficiente de diatação térmica α. A seção transversa tem área A e momento de inércia I. y f ˆ = EAαT CG fˆ 4 = EAαT CG T CG [ C] x T CG [ C] T = αt CG N = ( EA/ ) T EA T N = ( EA/ ) T Figura 4.46 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação uniforme de temperatura (McGuire & Gaagher 979). O cácuo das reações de engastamento provocadas pea variação uniforme de temperatura do exempo da Figura 4.46 é feito por superposição de efeitos, tendo como estrutura base a barra com o víncuo que impede o desocamento axia do apoio da direita iberado. Na primeira parcea da superposição, a barra sofre a variação uniforme de temperatura e pode se aongar (ou encurtar) ivremente. O desocamento axia no apoio da direita é = αt CG. Na segunda parcea da superpo- T sição, é apicada uma força axia N = ( EA/ ) T que impõe um desocamento axia

131 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha desse apoio igua a T, mas no sentido contrário. Observa-se que as reações de engastamento nesse exempo são forças axiais iguais ao esforço norma N. O cácuo das reações de engastamento para uma variação transversa de temperatura é feito de forma anáoga por superposição de efeitos, ta como indicado na Figura As parceas da superposição têm os víncuos que impedem as rotações nas extremidades da barra iberados. Na primeira parcea ocorre uma deformação por fexão da barra devida à variação transversa de temperatura, na qua cada e- T emento infinitesima de barra sofre uma rotação reativa interna dθ, que é dada pea Equação (4.). Na segunda parcea são apicados momentos M = EI dθ T / dx nas extremidades da barra que anuam essa deformação. Observa-se que as reações de engastamento nesse exempo são momentos iguais ao momento M apicado. EI fˆ α = T s [ C] T i [ C] ( T T ) h i s T dθ = α ( Ti Ts ) dx h y T s [ C] T i [ C] T dθ M = EI dx EI fˆ α = 6 x EI ( T T ) h i s T dθ M = EI dx dx M M d θ = EI Figura 4.47 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação transversa de temperatura (McGuire & Gaagher 979). Os mesmos resutados encontrados acima podem ser acançados de uma maneira mais forma com base na Equação (4.7) do PDV. O sistema rea corresponde à barra bi-engastada que sofre uma variação axia e transversa de temperatura. Como pode ser observado nas Figuras 4.46 e 4.47, os desocamentos finais reais axiais u(x) e transversais v(x) são nuos. Dessa forma, a Equação (4.7) se reduz a: T T du du dθ P = EA + dx EI dx dx dx dx M d v dx. (4.66) dx O sistema virtua é escohido de ta forma que apenas a reação (rea) de engastamento que se deseja determinar produza trabaho virtua externo. Portanto, para o cácuo da reação ˆf escohe-se um campo de desocamentos virtuais igua a

132 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 u( x) = d N( x), sendo d o desocamento axia virtua na extremidade esquerda. De maneira semehante, para o cácuo da reação ˆf escohe-se um campo de desocamentos virtuais igua a v( x) = d N( x), e anaogamente para as outras reações. Com base nas Equações (4.66), (4.) e (4.), chega-se às expressões gerais para o cácuo das reações de engastamento de uma barra isoada provocadas por uma variação de temperatura: Sendo: dni fˆ i = EAα TCG dx ( i =,4) (4.67) dx fˆ α = EI i ( T T ) i h s d Ni dx dx ( i =,,5,6) (4.68) EA parâmetro de rigidez axia, sendo E o móduo de easticidade do materia e A a área da seção transversa; EI parâmetro de rigidez transversa por fexão, sendo I o momento de inércia da seção transversa; α coeficiente de diatação térmica do materia; h atura da seção transversa de uma barra; Ti Ts TCG variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; variação de temperatura na fibra superior de uma barra; variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra. As reações de engastamento cacuadas peas Equações (4.67) e (4.68) estão mostradas na Figura Observa-se que os vaores são os mesmos encontrados anteriormente nos exempos das Figuras 4.46 e EIα EAαT CG ( T T ) h i s / T s [ C] EIα ( T T ) h i s / EAαT CG f ˆ = + EAα fˆ = T CG T i [ C] f = + EIα ( T T ) h ˆ f ˆ 4 = EAα fˆ5 = f = EIα i s / T CG ( T T ) h ˆ6 i s / Figura 4.48 Reações de engastamento para uma barra com variação de temperatura.

133 5. MÉTODO DAS FORÇAS Na soução de uma estrutura hiperestática, conforme introduzido no Capítuo (Seção.), é necessário considerar os três grupos de condições básicas da Anáise Estrutura: condições de equiíbrio, condições de compatibiidade (continuidade interna e compatibiidade com os víncuos externos) e condições impostas peas eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Formamente (veja a Seção..), o Método das Forças resove o probema considerando os grupos de condições a serem atendidas peo modeo estrutura na seguinte ordem: Condições de equiíbrio; Condições sobre o comportamento dos materiais (eis constitutivas); Condições de compatibiidade. Na prática, entretanto, a metodoogia utiizada peo Método das Forças para anaisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de souções básicas que satisfazem as condições de equiíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibiidade da estrutura origina, para na superposição restabeecer as condições de compatibiidade. Cada soução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoadamente todas as condições de compatibiidade da estrutura origina, as quais ficam restabeecidas quando se superpõem todos os casos básicos. A estrutura utiizada para a superposição de souções básicas é, em gera, uma estrutura isostática auxiiar obtida a partir da estrutura origina pea eiminação de víncuos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principa (SP). As forças ou os momentos associados aos víncuos iberados são as incógnitas do probema e são denominados hiperestáticos. Essa metodoogia de soução de uma estrutura hiperestática peo Método das Forças vai ser expicada detahadamente na próxima seção. 5.. Metodoogia de anáise peo Método das Forças O objetivo desta seção é apresentar a metodoogia de anáise de uma estrutura hiperestática peo Método das Forças. Para faciitar o entendimento do método, esta apresentação é feita com base em um exempo, que é mostrado na Figura 5..

134 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A θ A = H B = B Figura 5. Estrutura utiizada para a descrição da metodoogia do Método das Forças. A configuração deformada do pórtico da Figura 5. é mostrada de forma exagerada (o fator de ampificação dos desocamentos da deformada é igua a ). Todas das barras da estrutura têm os mesmos vaores para área (A = 5 - m ) e momento de inércia (I = 5-4 m 4 ) da seção transversa, e para o móduo de easticidade (E = 8 kn/m ) do materia Hiperestáticos e Sistema Principa Para anaisar a estrutura com respeito às condições de equiíbrio, são mostradas na Figura 5. as cinco componentes de reações de apoio da estrutura. São três as equações do equiíbrio goba da estrutura no pano (veja a Seção.6 do Capítuo ): F = somatório de forças na direção horizonta igua a zero; x Fy = somatório de forças na direção vertica igua a zero; Mo = somatório de momentos em reação a um ponto quaquer igua a zero. Como a estrutura é hiperestática, não é possíve determinar os vaores das reações de apoio da estrutura utiizando apenas as três equações de equiíbrio que são disponíveis. O número de incógnitas excedentes ao número de equações de equiíbrio é definido como: g grau de hiperestaticidade. No exempo, g =.

135 Luiz Fernando Martha Método das Forças H B H A M A V B V A Figura 5. Componentes de reações de apoio da estrutura da Figura 5.. Conforme mencionado, a soução do probema hiperestático peo Método das Forças é feita pea superposição de souções básicas isostáticas. Para isso cria-se uma estrutura isostática auxiiar, chamada Sistema Principa (SP), que é obtida da estrutura origina hiperestática pea eiminação de víncuos. O SP adotado no exempo da Figura 5. é a estrutura isostática mostrada na Figura 5.. H B X θ A X Figura 5. Sistema Principa adotado para a soução da estrutura da Figura 5.. Observa-se na Figura 5. que foram eiminados dois víncuos externos da estrutura origina: a imposição de rotação θ A nua do apoio da esquerda e a imposição de H desocamento horizonta B nuo do apoio da direita. O número de víncuos que devem ser eiminados para transformar as estrutura hiperestática origina em uma estrutura isostática é igua ao grau de hiperestaticidade, g. A escoha do SP é arbi-

136 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha trária: quaquer estrutura isostática escohida é váida, desde que seja estáve estaticamente. As Seções 5. e 5.4, a seguir, vão abordar a questão da escoha do Sistema Principa. Os esforços associados aos víncuos eiminados são as reações de apoio M A e H B, que estão indicadas na Figura 5.. Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as incógnitas da soução peo Método das Forças. Utiiza-se a nomencatura X i para indicar os hiperestáticos, sendo i o seu índice, que varia de a g. No exempo, tem-se: X = M A reação momento associada ao víncuo de apoio θ = ; X = H B reação horizonta associada ao víncuo de apoio =. Os hiperestáticos do exempo são mostrados na Figura 5. com sentidos que foram convencionados como positivos: momento positivo no sentido anti-horário e força horizonta positiva com sentido da esquerda para a direita. A H B 5... Restabeecimento das condições de compatibiidade A soução do probema peo Método das Forças recai em encontrar os vaores que X e X devem ter para, juntamente com o carregamento apicado, recompor os víncuos de apoio eiminados. Isto é, procuram-se os vaores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibiidade vioadas na criação do SP, H θ A = e B =, sejam restabeecidas. A determinação de X e X é feita através da superposição de casos básicos, utiizando o SP como estrutura para as souções básicas. O número de casos básicos é sempre igua ao grau de hiperestaticidade mais um (g + ). No exempo, isso resuta nos casos (), () e () que são mostrados a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP O caso básico (), mostrado na Figura 5.4, isoa o efeito da soicitação externa (carregamento apicado) no SP. A figura mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a ) do SP no caso (). A rotação δ e o desocamento horizonta δ, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, são chamados de termos de carga. Um termo de carga é definido formamente como: δi termo de carga: desocamento ou rotação na direção do víncuo eiminado associado ao hiperestático X i quando atua a soicitação externa isoadamente no SP (com hiperestáticos com vaores nuos). Neste exempo, os dois termos de carga podem ser cacuados utiizando o Princípio das Forças Virtuais (PFV), ta como mostrado na Seção 4... do Capítuo 4. Esse cácuo não está sendo mostrado por uma questão de simpicidade, pois o ob-

137 Luiz Fernando Martha Método das Forças jetivo aqui é apresentar a metodoogia do Método das Forças. Ao ongo deste capítuo serão mostrados diversos exempos de apicação do PFV para o cácuo de termos de carga e outros coeficientes. Os vaores dos termos de carga do exempo estão indicados na Figura 5.4. δ δ =,64 rad δ = + 5, m δ Figura 5.4 Soicitação externa isoada no SP da estrutura da Figura 5.. O sina negativo da rotação δ indica que a rotação tem o sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X no caso () a seguir. Anaogamente, o sina positivo de δ indica que este desocamento tem o mesmo sentido que é considerado para o hiperestático X no caso () a seguir. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.5 mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a ) do SP no caso (). O hiperestático X é coocado em evidência, já que ee é uma incógnita do probema. Considera-se um vaor unitário para X, sendo o efeito de X = mutipicado peo vaor fina que X deverá ter. A rotação δ e o desocamento horizonta δ provocados por X =, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, são chamados de coeficientes de fexibiidade. Formamente, um coeficiente de fexibiidade é definido como: δij coeficiente de fexibiidade: desocamento ou rotação na direção do víncuo eiminado associado ao hiperestático X i devido a um vaor unitário do hiperestático X j atuando isoadamente no SP. Os vaores dos coeficientes de fexibiidade do caso (), que estão indicados na Figura 5.5 foram cacuados peo PFV. Por definição, as unidades dos coeficientes de fexibiidade correspondem às unidades de desocamento ou rotação divididas pea unidade do hiperestático em questão.

138 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha x X δ X = δ = +,5 rad/knm δ =,6997 m/knm δ Figura 5.5 Hiperestático X isoado no SP da estrutura da Figura 5.. As mesmas observações feitas quanto aos sinais dos termos de carga podem ser feitas para os coeficientes de fexibiidade. Isto é, o sina da rotação δ é positivo pois tem o mesmo sentido do que foi arbitrado para X = e o sina do desocamento horizonta δ é negativo pois tem o sentido contrário ao que foi arbitrado para X = no caso () a seguir. Observe que o sina dos coeficientes δ ii (que têm i = j), sendo i o índice do hiperestático, sempre é positivo, pois esses coeficientes são desocamentos ou rotações nos próprios pontos de apicação de forças ou momentos unitários. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.6 mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a 4) do SP no caso (). De maneira anáoga ao caso (), o hiperestático X é coocado em evidência, considerando-se um vaor unitário mutipicado peo seu vaor fina. A rotação δ e o desocamento horizonta δ provocados por X =, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, também são coeficientes de fexibiidade. As unidades destes coeficientes, por definição, são unidades de desocamento ou rotação divididas pea unidade do hiperestático X. Os vaores dos coeficientes de fexibiidade do caso () também estão indicados na Figura 5.6. Observe que os vaores de δ e δ são iguais. Isto não é coincidência. Os coeficientes δ ij e δ ji, sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais. Isso é demonstrado peo Teorema de Maxwe mostrado na Seção 4.. do Capítuo 4.

139 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 x X δ X = δ δ = + 6,8 m/kn =,6997 rad/kn Figura 5.6 Hiperestático X isoado no SP da estrutura da Figura 5.. δ Restabeecimento das condições de compatibiidade A partir dos resutados obtidos nos casos mostrados, pode-se utiizar superposição de efeitos para restabeecer as condições de compatibiidade vioadas na criação do SP. Isto é feito a seguir. Superposição das rotações do nó inferior esquerdo (nó A): δ + δ X + δ X = Superposição dos desocamentos horizontais no nó inferior direito (nó B): δ + δ X + δ X = Sistema de equações de compatibiidade: δ δ + δ X + δ X + δ X + δ X = =,64 + 5, +,5,6997 X X, ,8 X X = = A soução deste sistema de equações de compatibiidade resuta nos seguintes vaores das reações de apoio X e X : X = +,9 knm ; X = 7,9 kn. O sina de X é positivo pois tem o mesmo sentido (anti-horário) do que foi arbitrado para X = no caso () e o sina de X é negativo pois tem o sentido contrário (da direita para a esquerda) ao que foi arbitrado para X = no caso (), ta como indica a Figura 5.7.

140 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 7,9 kn,9 knm Figura 5.7 Vaores e sentidos dos hiperestáticos na soução da estrutura da Figura 5.. Os vaores encontrados para X e X fazem com que θ A = e B =. Dessa forma, atingiu-se a soução correta da estrutura, pois aém de satisfazer as condições de equiíbrio que sempre foram satisfeitas nos casos (), () e () também satisfaz as condições de compatibiidade. H 5... Determinação dos esforços internos A soução da estrutura não termina na obtenção dos vaores dos hiperestáticos X e X. Ainda é necessário obter os diagrama de esforços internos e os desocamentos da estrutura. Existem duas aternativas para isso:. Cacua-se uma estrutura isostática (o Sistema Principa) com o carregamento apicado simutaneamente aos hiperestáticos com os vaores corretos encontrados como se fossem forças e momentos apicados.. Utiiza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos (ou desocamentos) finais. Embora a primeira opção possa parecer mais simpes, a segunda opção é a que vai ser utiizada na maioria das souções. O motivo para isso é que no cácuo dos vaores dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade peo PFV (Seção 4... do Capítuo 4) é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos (), () e (). Portanto, como os diagramas de esforços internos dos casos básicos já estarão disponíveis, os esforços internos finais da estrutura hiperestática origina são obtidos por superposição dos esforços internos dos casos básicos. Por exempo, os momentos fetores finais (M) podem ser obtidos pea superposição dos diagramas de momentos fetores (M i) dos casos básicos:

141 Luiz Fernando Martha Método das Forças 7 M = M +, + MD MD sendo que o diagrama M corresponde ao caso () e os diagramas M e M são provocados por vaores unitários dos hiperestáticos nos casos () e (), respectivamente. Esse resutado pode ser generaizado para todos os esforços internos esforços normais finais (N), esforços cortantes finais (Q) e momentos fetores finais (M) de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g: Sendo: N j = g j= N = N + N j X j ; (5.) j = g j= Q = Q + Q j X j ; (5.) j = g j= M = M + M j X j. (5.) diagrama de esforços normais no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; N j diagrama de esforços normais no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário; Q diagrama de esforços cortantes no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; Qj diagrama de esforços cortantes no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário; M diagrama de momentos fetores no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; M j diagrama de momentos fetores no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário. Na seqüência deste capítuo será mostrado como se cacuam os coeficientes que aparecem na formuação do Método das Forças peo PFV com base nos diagramas de esforços internos dos casos básicos. Nesta seção isso não foi feito pois o objetivo era apresentar a metodoogia gera de soução.

142 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5.. Matriz de fexibiidade e vetor dos termos de carga O sistema de equações de compatibiidade da soução peo Método das Forças do exempo da seção anterior pode ser reescrito de uma forma matricia: δ + δ X + δ X = δ δ δ X + = δ + δ X + δ X =. δ δ δ X No caso gera de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g, pode-se escrever: { } + [ δ ]{ X} { } δ. (5.4) = Sendo: { δ } vetor dos termos de carga; [ δ ] matriz de fexibiidade; { X} vetor dos hiperestáticos. O número de equações de compatibiidade na reação matricia (5.4) é igua ao grau de hiperestaticidade da estrutura, sendo que cada equação restabeece o víncuo associado ao hiperestático genérico X i. O termo de carga δ i é o desocamento ou a rotação que aparece no víncuo eiminado associado ao hiperestático X i no caso (). O coeficiente δ ij da matriz de fexibiidade é o desocamento ou a rotação que aparece no víncuo eiminado associado ao hiperestático X i provocado por X j = no caso (j). Observa-se que o vetor dos termos de carga depende do SP escohido e da soicitação externa. Já a matriz de fexibiidade só depende do SP escohido. Portanto, se outro carregamento (ou quaquer outra soicitação) atuar, mantendo-se o mesmo SP, somente os termos de carga têm que ser cacuados novamente. O Método das Forças é assim chamado pois as incógnitas são forças (ou momentos). O método também é chamado de Método da Compatibiidade pois as equações finais expressam condições de compatibiidade. Ee também é denominado Método da Fexibiidade pois envove coeficientes de fexibiidade em sua soução. Duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de fexibiidade. A primeira é que peo Teorema de Maxwe, mostrado na Seção 4.. (versão para forças generaizadas unitárias impostas, equação (4.4)), a matriz é simétrica. Ou seja: δ ji = δ ij. (5.5) A segunda observação é que os coeficientes de fexibiidade que correspondem a um dado caso básico casos () e () da seção anterior têm o mesmo índice j. Pode-se escrever então:

143 Luiz Fernando Martha Método das Forças 9 A j-ésima couna da matriz de fexibiidade [ δ ] da estrutura corresponde ao conjunto de desocamentos generaizados (desocamentos ou rotações) nas direções dos víncuos eiminados do SP provocados por X j = (hiperestático X j com vaor unitário atuando isoadamente no SP). 5.. Escoha do Sistema Principa para uma viga contínua No exempo da Seção 5., para se chegar ao Sistema Principa foram eiminados víncuos de apoio. Esta opção pode ser a mais intuitiva, mas não é a única. Em aguns casos, por uma questão de conveniência da soução, pode-se eiminar víncuos internos da estrutura hiperestática para a determinação do SP. Em outros casos, a única aternativa é a eiminação de víncuos internos. Esta seção anaisará uma estrutura com duas aternativas para o SP: uma eiminando víncuos externos de apoio e outra eiminando a continuidade interna na sua configuração deformada. No exempo adotado vai ficar caro que a segunda aternativa é a mais conveniente, pois resuta em cácuos bem mais simpes para a determinação dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade. Isso acontece na maioria dos casos quando são introduzidas rótuas na estrutura para eiminar a continuidade interna de rotação. Considere a viga contínua mostrada na Figura 5.8, com três vãos e com uma carga uniformemente distribuída abrangendo o vão da esquerda. A rigidez à fexão da viga, EI, é fornecida. Pede-se o diagrama de momentos fetores da estrutura. Para o cácuo de desocamentos ou rotações é utiizado o PFV, cujo desenvovimento teórico foi mostrado no Capítuo 4 (veja Seção 4...). Nesse cácuo, não são considerados efeitos axiais (mesmo porque não existem esforços axiais na viga contínua) ou efeitos de cisahamento na energia de deformação. q Figura 5.8 Viga contínua com três vãos e carregamento uniformemente distribuído no primeiro vão. A estrutura da Figura 5.8 tem grau de hiperestaticidade g =. Para a resoução peo Método das Forças, duas opções para o Sistema Principa (SP) vão ser consideradas. O objetivo é caracterizar as diferenças que existem na escoha do SP. Na primeira opção são eiminados víncuos externos (víncuos de apoio) e na segunda são eiminados víncuos internos (continuidade de rotação).

144 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Sistema Principa obtido por eiminação de apoios Nesta opção são eiminados os apoios internos da viga para se chegar ao SP. Os hiperestáticos X e X são as reações de apoio associadas a estes víncuos, ta como indicado na Figura 5.9. q X X Figura 5.9 Primeira opção para SP da estrutura da Figura 5.8. A soução peo Método das Forças recai em determinar os vaores que as reações de apoio X e X devem ter para que, juntamente com o carregamento atuante, os desocamentos verticais dos pontos dos apoios eiminados sejam nuos. Desta forma ficam restabeecidas as condições de compatibiidade externas eiminadas com a criação do SP. A metodoogia utiizada para impor as condições de compatibiidade consiste em fazer uma superposição de casos básicos utiizando o SP como estrutura auxiiar. Como a estrutura origina é duas vezes hiperestática, existem três casos básicos, ta como mostrado a seguir Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP Neste caso somente a soicitação externa atua no SP e os vaores dos hiperestáticos são nuos (X = e X = ). A Figura 5. mostra a configuração deformada do caso (), onde os termos de carga δ e δ estão indicados, e o diagrama de momentos fetores, M, para este caso. q δ δ 5q/6 q/6 q /8 q /6 q /6 M Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9.

145 Luiz Fernando Martha Método das Forças 4 Os termos de carga no caso () têm a seguinte interpretação física: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado peo o carregamento externo no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado peo carregamento externo no caso () Caso () Hiperestático X isoado no SP Neste caso somente o hiperestático X atua no SP, sem a soicitação externa e com X =. Como o vaor do hiperestático X não é conhecido, cooca-se X em evidência no caso (), considerado como caso básico X = e mutipicando externamente pea incógnita X, ta como indicado na Figura 5.. A configuração deformada e o diagrama de momentos fetores do caso () estão mostrados na figura, onde os coeficientes de fexibiidade δ e δ estão indicados. Por definição, o diagrama de momentos fetores M é para X =. Os coeficientes de fexibiidade no caso () são interpretados fisicamente como: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (). δ δ X = / / x X / / M Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9.

146 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Caso () Hiperestático X isoado no SP Neste caso somente o hiperestático X atua no SP, sem a soicitação externa e com X =. Anaogamente ao caso (), cooca-se X em evidência no caso (). A configuração deformada e o diagrama de momentos fetores, M (para X = ), do caso () estão mostrados na Figura 5., onde os coeficientes de fexibiidade δ e δ estão indicados. δ δ X = / / x X / / M Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. Os coeficientes de fexibiidade no caso () têm a seguinte interpretação física: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso () Restabeecimento das condições de compatibiidade Com base na superposição dos três casos básicos, são restabeecidas as condições de compatibiidade que foram vioadas na criação do SP. O objetivo é restabeecer as condições impostas peos apoios eiminados, isto é, vai se impor que, na superposição, os desocamentos verticais finais dos pontos dos apoios são nuos: δ δ δ + δ δ X =. δ X O cácuo dos coeficientes que aparecem neste sistema de equações é feito com auxíio do PFV. Conforme visto na Seção 4... do Capítuo 4, o PFV trabaha com um sistema rea de deformação, do qua se quer cacuar um desocamento em a-

147 Luiz Fernando Martha Método das Forças 4 gum ponto, e um sistema de forças virtuais, com uma força apicada no ponto e na direção do desocamento que se quer cacuar. No presente exempo da viga contínua com três vãos, para o SP adotado, os desocamentos a serem cacuados são sempre os desocamentos verticais nos pontos dos apoios eiminados para a criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados sempre serão forças unitárias apicadas nestes pontos. Observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos () e () para os hiperestáticos X e X com vaores unitários. Dessa forma, os sistemas de deformação rea são os casos (), () e () e os sistemas de forças virtuais são os casos () e () com X = e X =, respectivamente. Cácuo de δ No cácuo do termo de carga δ peo PFV, o sistema rea de deformação é o caso () e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Portanto, a expressão para este coeficiente, desprezando deformações por cisahamento, é (veja a Seção 4...): δ = MMdx = MMdx. EI EI viga A integra acima é cacuada para cada trecho da viga: M Mdx = MMdx + MMdx + MMdx. Esta integra é cacuada com base na Tabea 4. do Capítuo 4 para a combinação de diagramas de momentos fetores. Para tanto, os diagramas em cada trecho da viga são decompostos em parceas retanguares (que não existem neste caso), trianguares e parabóicas simpes, ta como indica a Figura 5.. Abaixo são mostradas as expressões das combinações das parceas dos diagramas. Em cada trecho, cada parcea no caso () é combinada com as outras parceas no caso (). Observa-se que os momentos fetores no caso () tracionam as fibras inferiores e no caso () tracionam as fibras superiores. Portanto, os sinais das integrais são negativos. O vaor fina para δ é mostrado em função de (comprimento de um trecho), q (taxa de carregamento distribuído) e EI (rigidez à fexão da viga). Isso resuta em: q q M M dx = 6 8 () () ; q q q q M M dx = () () () () ;

148 44 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha q M M dx = 6 () ; 4 q MMdx =. 4 O vaor fina de δ é: 4 q δ = MMdx =. EI 4EI M q /8 q /6 q /6 q /6 MMdx MMdx M M dx M / / / Figura 5. Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do termo de carga δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Este cácuo é anáogo ao cácuo do termo de carga δ. Para cacuar δ peo PFV, o sistema de deformação rea é o caso () e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =, resutando em: δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Esta integra é cacuada com base na combinação dos diagramas de momentos fetores em cada trecho da viga, ta como mostrado na Figura 5.4. As expressões para as integrais para cada trecho e o resutado fina para δ estão mostrados abaixo. Assim como para δ, os sinais são negativos pois os momentos fetores dos casos () e () tracionam fibras opostas:

149 Luiz Fernando Martha Método das Forças 45 q q M M dx = 6 8 () () ; q q q q M M dx = () () () () ; q M M dx = 6 () ; 5q 4 MMdx =. 4 Isso resuta em: 4 5q δ = MMdx =. EI 4EI M q /8 q /6 q /6 q /6 MMdx MMdx M M dx M / / / Figura 5.4 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do termo de carga δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Para cacuar o coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação e o sistema de forças virtuais coincidem: são o caso () com X =. Dessa forma,

150 46 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Esta expressão demonstra que o sina de δ é positivo, conforme foi mencionado anteriormente neste capítuo, na Seção 5.. (δ ii é sempre positivo, sendo i o índice do hiperestático). A combinação dos diagramas de momentos fetores estão mostradas na Figura 5.5 e as expressões para as integrais em cada trecho para o cácuo deste coeficiente são mostradas abaixo: M M dx = + () ; M M dx = () + () + () + () ; M M dx = + () ; 4 MMdx = +. 9 O vaor resutante para δ é: 4 δ = MMdx = +. EI 9EI / M / / M Mdx M M dx M M dx M / / / Figura 5.5 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ reativo ao SP da Figura 5.9.

151 Luiz Fernando Martha Método das Forças 47 Cácuo de δ e δ No cácuo do coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação é o caso () com X = e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ, os papéis dos casos () e () se invertem: o sistema de deformação rea é o caso () com X = e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Isso resuta em: δ = MMdx = MMdx ; EI EI viga δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Estas expressões demonstram que δ e δ são iguais, conforme foi mencionado anteriormente na Seção 5.. (δ ij = δ ji, sendo i e j índices de hiperestáticos). A Figura 5.6 mostra a combinação dos diagramas de momentos fetores; as expressões para as integrais em cada trecho e o cácuo fina destes coeficientes são mostrados abaixo. Observa-se que estes coeficientes são positivos pois os momentos fetores dos casos () e () tracionam fibras do mesmo ado (neste exempo são as fibras superiores): M M dx = M M dx = + () ; M M dx = M M dx = () + () + () + () ; M M dx = M M dx = + () ; 7 MMdx = MMdx = + ; 8 7 δ = δ = MMdx = MMdx = +. EI EI 8EI

152 48 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha / M / / MMdx M M dx M M dx M / / / Figura 5.6 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo dos coeficientes de fexibiidade δ e δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Assim como para δ, no cácuo do coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação e o sistema de forças virtuais se identificam. Para δ, os dois sistemas são o caso () com X =. Isto resuta em: δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Como mencionado, observa-se que o sina de δ é positivo. O cácuo deste coeficiente é feito através das integrais mostradas abaixo que resutam da combinação dos diagramas de momentos fetores mostrada na Figura 5.7: M M dx = + () ; M M dx = () + () + () + () ; M M dx = + () ; 4 MMdx = + ; 9

153 Luiz Fernando Martha Método das Forças 49 4 δ = MMdx = +. EI 9EI / M / / M Mdx M Mdx M M dx M / / / Figura 5.7 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ reativo ao SP da Figura 5.9. Soução do sistema de equações de compatibiidade Com base nas expressões dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade encontrados anteriormente, pode-se montar o sistema de equações de compatibiidade fina do Método das Forças para este exempo: δ 4 4 δ δ X q X + = + =. δ δ δ X EI 5 4 EI X A partir da soução deste sistema de equações determinam-se os vaores dos hiperestáticos X e X em função de (comprimento de um vão da viga) e q (taxa de carregamento distribuído): X X q = +. q = Observa-se que estes vaores independem do parâmetro EI (rigidez à fexão da viga), que foi eiminado na soução do sistema de equações acima.

154 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Reações de apoio e diagrama de momentos fetores finais Para finaizar a soução da viga contínua com três vãos, resta determinar o diagrama de momentos fetores finais. Conforme mencionado anteriormente neste capítuo (Seção 5..), este diagrama pode ser determinado de duas maneiras: Cacua-se o Sistema Principa com o carregamento apicado simutaneamente aos hiperestáticos X e X com os vaores corretos encontrados; Utiiza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos momentos fetores finais: M = M + M X + M X. A segunda opção é em gera utiizada pois os diagramas de momentos fetores dos casos básicos já estão disponíveis (foram necessários para o cácuo dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade). A Figura 5.8 mostra as reações apoio e os momentos fetores finais para esta estrutura. q q/ q/ q/ q/6 q /8 q /5 M q /6 Figura 5.8 Reações de apoio e diagrama de momentos fetores finais da estrutura da Figura Sistema Principa obtido por introdução de rótuas internas Nesta outra opção para o SP, são eiminados víncuos internos de continuidade de rotação da eástica (configuração deformada) da viga. Neste caso, são introduzidas duas rótuas nas seções dos dois apoios internos. Os hiperestáticos X e X são momentos fetores associados à continuidade de rotação da viga nestas seções, ta como mostrado na Figura 5.9.

155 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 X X X X Figura 5.9 Segunda opção para SP da estrutura da Figura 5.8. Seguindo a metodoogia do Método das Forças, a soução do probema recai em determinar os vaores que os momentos fetores X e X devem ter para que, juntamente com o carregamento atuante, fique restabeecida a continuidade de rotação da eástica da viga. Os mesmos passos mostrados para a soução considerando a opção anterior do SP (Seção 5..) são feitos para esta opção. Isto é mostrado a seguir Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP q δ δ = q/ q/ δ δ q /8 M Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida ao carregamento externo no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida ao carregamento externo no caso ().

156 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = δ δ / / / x X M δ δ Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso () Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = δ δ / / / x X M δ Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso ();

157 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 δ rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso () Restabeecimento das condições de compatibiidade Para esta opção do Sistema Principa, é preciso restabeecer as condições de continuidade de rotação nas seções onde foram introduzidas as rótuas. Isto é feito com base na superposição dos três casos básicos. As equações de compatibiidade vão impor que, na superposição, as rotações reativas entre as seções adjacentes a cada rótua sejam nuas, resutando em: δ δ δ X + =. δ δ δ X O cácuo dos coeficientes deste sistema de equações também é feito com auxíio do Princípio das Forças Virtuais (PFV). Para o Sistema Principa adotado, são cacuadas as rotações reativas entre as seções adjacentes a cada rótua introduzida na criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados são sempre pares de momentos unitários apicados adjacentes às rótuas. Assim como para a primeira opção do SP (Seção 5..), observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos () e () para os hiperestáticos X e X com vaores unitários. Assim, os sistemas de deformação rea são os casos (), () e () e os sistemas de forças virtuais são os casos () e () com X = e X =, respectivamente. Uma grande vantagem desta segunda opção do SP é a faciidade no cácuo dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade. Este cácuo é mostrado abaixo com base na combinação dos diagramas de momentos fetores dos casos básicos mostrados anteriormente: q q δ = () () = ; EI 8 4EI δ = ; δ = ( )( )( ) ()()() = + EI + + ; EI δ = δ = ( )( )( ) = + EI + 6 ; 6EI δ = ( )( )( ) ( )( )( ) = + EI + +. EI

158 54 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O sistema de equações de compatibiidade resutante e a sua soução estão indicados abaixo: δ δ δ + δ δ X δ X q = EI 4 + EI 6 6 X X = ; X X q = + 5. q = 6 Observa-se que os vaores de X e X correspondem exatamente aos vaores dos momentos fetores nas seções dos apoios internos da viga contínua, conforme indicado na Seção Portanto, esta opção do SP acarreta, como não poderia deixar de ser, a mesma soução da estrutura hiperestática. Outra vantagem desta segunda opção do SP é a faciidade no traçado do diagrama dos momentos fetores finais. Nas seções onde foram introduzidas rótuas o vaor do momento fetor fina é o próprio vaor do hiperestático correspondente a cada rótua, como está indicado na Figura 5.8. O traçado do diagrama ao ongo das barras é obtido por uma superposição simpes dos diagramas dos casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triânguo com uma paráboa, no segundo é uma superposição de dois triânguos e no terceiro é só um triânguo Escoha do Sistema Principa para um quadro fechado Na seção anterior foi anaisada uma viga contínua com duas opções para o SP: uma com eiminação de víncuos externos e outra com eiminação de continuidade interna. Esta seção estende este estudo para um quadro externamente isostático, mostrado na Figura 5., de ta maneira que, para a criação do SP, é necessário eiminar víncuos internos de continuidade. De acordo com a Seção.6 do Capítuo, o grau de hiperestaticidade do quadro é g =. Todas as barras têm os mesmos parâmetros de materia e de seção transversa. Neste estudo, apenas são discutidos os Sistemas Principais adotados e as interpretações físicas dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade. A soução fina da estrutura não é mostrada, visto que isso é feito para diversos outros exempos no restante deste capítuo. Duas opções são adotadas para o SP da soução do pórtico da Figura 5. peo Método das Forças. Na primeira, o ane (circuito fechado de barras) é cortado, secionando-o em uma seção. Na segunda, são introduzidas rótuas internas.

159 Luiz Fernando Martha Método das Forças 55 P h S / / Figura 5. Pórtico pano externamente isostático e com hiperestaticidade interna devida a um ane Sistema Principa obtido por corte de uma seção A primeira opção para a criação do SP da estrutura da Figura 5. é feita secionando o ane na seção S indicada na figura. O SP resutante é mostrado na Figura 5.4. X X X X X X Figura 5.4 Primeira opção para SP do quadro da Figura 5.. Os hiperestáticos correspondentes a esta opção do SP também estão indicados na Figura 5.4. Ees são os esforços internos (de igação) na seção S. Os casos básicos da soução da estrutura peo Método das Forças com este SP são mostrados a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP A Figura 5.5 mostra o efeito da soicitação externa para o SP adotado. Vêem-se na figura as interpretações físicas dos termos de carga para este caso, sendo que: δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado pea soicitação externa no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado pea soicitação externa no caso () (no exempo, δ é nuo);

160 56 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada pea soicitação externa no caso (). P δ δ P/ P/ Figura 5.5 Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP O caso () da soução com o SP adotado é mostrado na Figura 5.6, e as interpretações físicas dos coeficientes de fexibiidade correspondentes são: δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso (). δ δ x X X = X = Figura 5.6 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.7 mostra o caso () da soução para o SP adotado. Os coeficientes de fexibiidade podem ser interpretados como:

161 Luiz Fernando Martha Método das Forças 57 δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso () (no exempo, δ é nuo). δ x X X = X = Figura 5.7 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP Finamente, o caso () desta opção do SP é indicado na Figura 5.8, cujos coeficientes de fexibiidades têm a seguinte interpretação física: δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso (). δ δ x X X = X = Figura 5.8 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4.

162 58 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Restabeecimento das condições de compatibiidade Dentro da metodoogia do Método das Forças, a superposição dos casos básicos (), (), () e () é utiizada para recompor as condições de compatibiidade que foram vioadas na criação do SP. Para tanto, somam-se os vaores das descontinuidades de desocamentos axia e transversa e de rotação na seção de corte S, e impõe-se que as somas tenham vaores nuos. Isso resuta em um sistema com três equações de compatibiidade: δ δ δ + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X = =. = Dessa forma, é possíve encontrar os vaores de X, X e X que fazem com que os desocamentos axia e transversa reativos e a rotação reativa na seção de corte S sejam nuos. Com isso, as três condições de continuidade vioadas são restabeecidas Sistema Principa obtido por introdução de rótuas A Figura 5.9 mostra a segunda opção para o SP da estrutura da Figura 5.. Este SP é obtido introduzindo-se três rótuas no ane da estrutura. Os momentos fetores nas seções onde as rótuas são introduzidas são os hiperestáticos desta soução. X X X X X X Figura 5.9 Segunda opção para SP do quadro da Figura 5.. Deve-se observar que as rótuas poderiam ser coocadas em quaisquer outros três pontos, desde que não ficassem ainhadas em uma mesma barra, o que caracterizaria uma instabiidade (veja a Seção.4 do Capítuo ). A Figura 5.-a mostra outro SP váido obtido pea introdução de três rótuas na estrutura da Figura 5.. A Figura 5.-b indica um SP não váido pois as três rótuas estão ainhadas na barra superior do pórtico.

163 Luiz Fernando Martha Método das Forças 59 (a) (b) Figura 5. Outras aternativas para SP do quadro da Figura 5. com introdução de rótuas: (a) opção váida; (b) opção inváida. Outra observação importante com respeito à soução utiizando um SP que é obtido pea introdução de rótuas é que, em gera, na soução dos casos básicos, é necessária a decomposição do quadro isostático composto em quadros isostáticos simpes. No caso gera, esta decomposição resutaria em quadros biapoiados, triarticuados ou engastados com baanços. Para o SP adotado, uma possíve decomposição seria em um quadro biapoiado e outro triarticuado, ta como mostrado para os casos () e () a seguir. Para os casos () e () a mesma decomposição se apicaria. As interpretações físicas dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade para esta opção do SP podem ser feitas genericamente da seguinte maneira: δ i δ ij rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada ao hiperestático X i provocada pea soicitação externa no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada ao hiperestático X i provocada por X j = no caso (j). Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP A Figura 5. indica a soução do caso () da presente opção para o SP. Observa-se que para resover este probema isostático é conveniente decompor o quadro composto da Figura 5.9 em um quadro triarticuado que é suportado por um quadro biapoiado com uma barra vertica em baanço na esquerda. O quadro composto é separado em duas porções peas rótuas associadas aos hiperestáticos X e X. Os apoios do quadro triarticuado são fictícios, mas servem para indicar que existem duas forças de igação (apoios do gênero) e a ordem de carregamento dos quadros simpes: nas seções de igação das rótuas separadas, a porção que contém o apoio fictício é a porção suportada. Para resover o probema, devem-se determinar as reações de apoio no quadro triarticuado e apicar estas reações como se fossem cargas atuando no quadro biapoiado. Na verdade, cada par reação-carga em um apoio fictício da decomposição representa um esforço interno de igação em uma rótua. No caso () deste exempo só existem esforços de igação verticais, como mostra a Figura 5..

164 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P/ P P/ P/ P/ P/ P/ Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9. Caso () Hiperestático X isoado no SP A soução do caso () desta opção do SP é semehante à soução do caso (). A decomposição do quadro composto no caso () está mostrada na Figura 5.. / X = X = / x X / / Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. Esta seção indicou a soução de um quadro fechado hiperestático, mas externamente isostático, adotando duas opções para o SP. Em princípio pode parecer mais compicado criar o SP introduzindo rótuas internas (segunda opção) do que secionando em uma seção (primeira opção). Entretanto, conforme foi visto na Seção 5., existem peo menos duas vantagens para isso. A primeira é que, em gera, a introdução de rótuas resuta em um cácuo mais simpes dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade. A segunda vantagem é que o traçado do diagrama de momentos fetores fina, que é obtido pea superposição dos diagramas dos casos básicos, é mais simpes. Nos pontos onde são introduzidas rótuas, o vaor do diagrama de momentos fetores fina é o próprio vaor do hiperestático correspondendo àquea rótua. O restante deste capítuo apresenta souções de pórticos panos, treiças e grehas peo Método das Forças.

165 Luiz Fernando Martha Método das Forças Exempos de soução peo Método das Forças Exempo Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI =, x 5 knm. Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) X X Caso () Soicitação externa isoada no SP M X Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP X = /4 M /6 /6 X = /4. X M. X /6 X = /4 /4 /6 /4 /4 Equações de Compatibiidade δ δ δ X X = + 8.kNm + = δ δ δ X X = 45.8kNm 54 δ = = EI EI 6 δ = = + EI EI δ = 4 6 = + EI + EI δ = δ δ = = 4 6 = EI + EI + Diagrama de Momentos Fetores M = M + M X + M X M (knm)

166 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exempo Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma soicitação: uma força horizonta de 5 kn apicada no apoio da direita e um recaque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um materia com móduo de easticidade E =, x 8 kn/m e seções transversais com momento de inércia I =, x - m 4. Considere váida a hipótese de pequenos desocamentos. Pede-se: (a) Determine o diagrama de momentos fetores da estrutura isostática. (b) Determine o diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática. Deve-se utiizar o Método das Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principa a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por fexão. (b.) Dê a intepretação física do termo de carga δ do sistema de equações de compatibidade do Método das Forças para esta soução. (b.) Mostre a dedução do termo de carga δ peo Princípio das Forças Virtuais. (c) Considere que as counas dos quadros acima tiveram a seção transversa modificada para uma com momento de inércia I =, x - m 4 (a viga não se atera). Responda sem fazer nenhum cácuo: (c.) O diagrama de momentos fetores da estrutura isostática se atera? Por que? (c.) O diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática se atera? Por que? Item (a) M (knm) Item (b) Caso () Soicitação eterna isoada no SP Idêntico ao item (a). Caso () X isoado no SP ρ =.6m Como a estrutura é isostática, o pequeno recaque de apoio não provoca deformações (só movimento de corpo rígido). Portanto, o recaque não provoca momentos fetores, que só são devidos à carga de 5 kn apicada. / X = M /. X Item (b.) Equação de compatibiidade + δ X δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso () δ =

167 Item (b.) Cácuo de δ peo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Rea (Estrutura da qua se quer cacuar o desocamento.) É o caso (), que é idêntico ao item (a). PFV: WE W E = U Trabaho das forças externas do sistema virtua com os correspondentes desocamentos externos do sistema rea. Neste caso, o trabaho externo virtua é igua ao produto de X = por δ mais o produto da reação vertica no apoio direito do caso () força de / para baixo peo recaque de a- poio ρ : W = δ + (/) ρ. E Luiz Fernando Martha Método das Forças 6 Sistema Virtua (Estrutura com força unitária virtua na direção do desocamento que se quer cacuar.) É o caso () com X =. U Energia de deformação interna virtua. Esta é a energia de deformação por fexão provocada peos momentos fetores do sistema virtua M = M com as correspondentes rotações reativas internas do sistema rea d θ = ( M / EI) dx. Deve ser observado que o recaque de apoio ρ não provoca deformações internas (só provoca movimento de corpo rígido). Portanto, d θ é somente devido à carga de 5 kn apicada. Assim: MM U = Mdθ = Mdθ = dx EI estrutura estrutura estrutura Assim: δ δ = (/ EI) M M (/) ρ dx estrut. = EI δ = 4.5x rad δ = = + x EI + δ +δ X = X 5kNm 5 =.6 rad / knm Diagrama de Momentos Fetores M = M + M X M (knm) Item (c.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fetores só depende dos vaores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos desocamentos, as equações de equiíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origina) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fetores não se atera com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. Item (c.) Na estrutura hiperestática, por ter víncuos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez reativa entre as barras. Com as counas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fetores fica aterado com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. Exempo Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI = 4, x 4 knm.

168 64 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principa e Hiperestáticos Caso () Soicitação externa isoada no SP X X X X SP M [knm] Caso () Hiperestático X isoado no SP Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = /6 /6 X = X = M x X /6 /6 M x X /6 /6 /6 /6 /6 /6 Equações de compatibiidade: δ + δx + δ X = = δ + δ X + δ X = X EI 4 EI + 8 X X = + 9,4 knm X = + 9, knm 56 δ = = EI EI 4 δ = = EI + EI δ = = + EI + + δ = δ = 6 = EI EI EI δ = 4 6 = EI + Momentos Fetores Finais: M = M + M X + M X 8 EI M [knm]

169 Luiz Fernando Martha Método das Forças 65 Exempo 4 Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do ado esquerdo são isostáticos e os do ado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como soicitação uma carga uniformemente distribuída apicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como soicitação um aumento uniforme de temperatura ( T = C) na viga. Todas as barras têm um materia com móduo de easticidade E = 8 kn/m e coeficiente de diatação térmica α = 5 / C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I =, x m 4. Pede-se: (a) Indique os aspectos das configurações deformadas (ampificadas) das quatro estruturas. (b) Determine os diagramas de momentos fetores das estruturas isostáticas e os aspectos (não precisa dos vaores numéricos) dos diagramas de momentos fetores das estruturas hiperestáticas. (c) Determine o diagrama de momentos fetores (com vaores numéricos) da estrutura hiperestática inferior (soicitada pea variação de temperatura). Deve-se utiizar o Método das Forças, adotando obrigatoriamente como Sistema Principa a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por fexão. Sabe-se que o aongamento reativo interno de um eemento infenitesima de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α T dx. Neste caso não existe rotação reativa interna do eemento infinitesima. (d) Considere que as counas dos quadros acima tiveram a seção transversa modificada para uma com momento de inércia I =, x - m 4 (a viga não se atera). Responda: (d.) Os diagramas de momentos fetores das estruturas isostáticas se ateram? Por que? (d.) Os diagramas de momentos fetores das estruturas hiperestáticas se ateram? Por que? Item (a)

170 66 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Item (b) M [knm] M [knm] M= M [knm] (veja soução abaixo) Item (c) Caso () Variação de temperatura no SP Caso () Hiperestático X isoado no SP δ M = δ X =. X δ 5 5 = α T L = 6 = + 7 Equação de compatibiidade δ + δ X = X = kn Momentos fetores finais (veja acima) M = M + M X = + M ( = M ) m δ δ ( M ) M X = = dx = + 6 EI EI = m/kn Item (d.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fetores só depende dos vaores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos desocamentos, as equações de equiíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origina) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fetores não se atera com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fetores indicado no item (a) (diagrama parabóico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura i- sostática terá sempre momentos fetores nuos. Item (d.) Na estrutura hiperestática, por ter víncuos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez reativa entre as barras. Com as counas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fetores fica aterado com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de momentos fetores indicado no item (a), mas os vaores ficam aterados em reação ao diagrama com viga e counas com mesma seção transversa.

171 Luiz Fernando Martha Método das Forças 67 A soução da estrutura hiperestática peo Método das Forças, para a soicitação de variação uniforme de temperatura na viga, demonstra que a os vaores dos momentos fetores finais dependem dos vaores reativos entre momentos de inércia das seções transversais barras: O caso () mostrado no item (c) permanece inaterado, isto é: 5 5 δ = α T L = 6 = + 7 m. O diagrama de momentos fetores M do item (c) é o mesmo, mas o vaor do coeficiente de fexibiidade fica aterado: δ = [ 6] + EI viga EI couna 4/7 4/ δ = = 6 m/kn Equação de compatibiidade δ X X 8 +δ = = 7 kn Momentos fetores finais M = M ( 8 + M X = M 7) 4/7 8/7 M [knm] 4/7 8/7 Exempo 5 Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI =, x 5 knm. Sistema Principa e Hiperestáticos (g = ) X X X Caso () Soicitação externa isoada no SP X M

172 68 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso () Hiperestático X isoado no SP Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = /6 /6 X = /6 X = /6 /6 /6 /6 M. X M. X /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Equações de Compatibiidade δ δ δ X X = 6.kNm + = δ δ δ X X = + 7.7kNm 96 δ = = + EI + + EI δ = = EI EI δ = = + EI + + EI 4 δ = δ = = EI 6 EI 7 δ = = + EI + EI Momentos Fetores Finais M = M + M X + M X M [knm] Exempo 6 Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI = 4, x 4 knm.

173 Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) X Luiz Fernando Martha Método das Forças 69 Momentos Fetores Finais X M = M + M X + M X X X M [knm] Caso () Soicitação externa isoada no SP M Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP / X = / / X = / / / / / / / M. X M. X / / / X = X = / / / Equações de Compatibiidade δ δ δ X X =.5kNm + = δ δ δ X X = 5.kNm 78 δ = = + EI + + EI δ = = + EI EI δ = = + EI + + EI 9 δ = δ = = + EI + EI 6 δ = = + EI + EI

174 7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exempo 7 Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fetores utiizando o Método das Forças. As seguintes soicitações atuam na estrutura concomitantemente: Uma carga concentrada de 4 kn no centro de cada vão. Aquecimento das fibras superiores da viga de T s = 5 C ao ongo de toda a sua extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, T i = C). Recaque vertica (para baixo) de cm do apoio direito. Sabe-se: (a) A viga tem um materia com móduo de easticidade E = 8 kn/m e coeficiente de diatação térmica α = 5 / C. (b) A viga tem seção transversa com área A =, x m e momento de inércia I =, x m 4. A atura da seção transversa é h =,6 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da atura. (c) O desocamento axia reativo interno provocado pea variação de temperatura em um eemento infinitesima de barra é du T = α T CG dx, sendo T CG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversa. (d) O rotação reativa interna provocada pea variação de temperatura em um eemento infinitesima de barra é T α ( Ti Ts )dx dθ =. h Sistema Principa e Hiperestático (g=) X X Caso () Soicitação externa isoada no SP M [knm] Como o Sistema Principa é isostático, a variação de temperatura e o recaque de apoio só provocam desocamentos (não provocam esforços internos). Portanto, os momentos fetores só são devidos às cargas de 4 kn apicadas. Caso () X isoado no SP X = X = M /6 /6 /. X Equação de compatibiidade δ + δ X = δ é a rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua introduzida na criação do Sistema Principa no caso (). δ é a rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua introduzida na criação do Sistema Principa devido a X = no caso ().

175 Luiz Fernando Martha Método das Forças 7 Cácuo de δ peo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Rea (Estrutura da qua se quer cacuar a rotação reativa.) É o caso (). PFV: WE W E = U Trabaho das forças externas do sistema virtua com os correspondentes desocamentos externos do sistema rea. Neste caso, o trabaho externo virtua é igua ao produto de X = por δ mais o produto da reação vertica no apoio direito do caso () força de /6 para baixo peo recaque de apoio: W = δ + ( /6) (.). E W E δ δ = U MM α ( Ti Ts ) = dx + M. EI h 6 dx = EI 6 α ( 5) =.6 6 EI δ δ 4 =.. 6 = EI EI +δ X = X 45kNm + = Momentos Fetores Finais M = M + M X M [knm] Sistema Virtua (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação reativa que se quer cacuar.) É o caso () com X =. U Energia de deformação interna virtua. (Despreza-se a energia de deformação por cisahamento e, como o esforço norma no caso () é nuo, a energia de deformação axia é nua.) Portanto, a energia de deformação é somente devida à fexão, isto é, é a energia (virtua) provocada peos momentos fetores do sistema virtua M = M com as correspondentes rotações reativas internas do sistema rea d θ. A rotação reativa interna rea no caso () é devida às cargas de 4 kn apicadas e devida à variação de temperatura: P T dθ = dθ + dθ Sendo, dθ P = ( M / EI) dx e T dθ = [ α ( Ti Ts )/ h] dx Deve ser observado que o recaque de apoio não provoca rotação reativa interna (só provoca movimento de corpo rígido). Assim: P T U = Mdθ = Mdθ = Mdθ + Mdθ estrutura estrutura estrutura M M M α ( Ti Ts ) U = dx + dx EI h estrutura Exempo 8 Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI = 4.x 4 knm. Somente considere deformações por fexão.

176 7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principa e Hiperestáticos Caso () Soicitação externa isoada no SP X M X X X [knm] Caso () Hiperestático X isoado no SP Caso () Hiperestático X isoado no SP / / / / /6 /6 / / /6 / M / x X M / / x X / / / / X = X = /6 /6 / /6 X = X = / Sistema de Equações de Compatibiidade δ δ δ X X = 48.6kNm + = δ δ δ X X = + 4.kNm 96 δ = EI = + EI 486 δ = EI + + = EI δ δ δ 6 = 4 = EI + EI = δ = = EI + 6 EI + = 6 = EI EI Momentos fetores finais M = M + M [knm] + MX M X

177 Luiz Fernando Martha Método das Forças 7 Exempo 9 Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fetores. Todas as barras têm a mesma inércia a fexão EI e pode-se considerar que não existem deformações axiais e de cisahamento nas barras. M [knm] Pede-se: Item (a) Determine um possíve sistema principa (Método das Forças) para o quadro acima. As incógnitas (hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principa em quadros isostáticos simpes (tri-articuados, bi-apoiados ou engastados e em baanço). Item (b) Considerando o sistema principa encontrado no item anterior, indique os casos básicos caso (), caso (), caso (), etc. utiizados para anáise da estrutura peo Método das Forças. Determine os diagramas de momentos fetores para todos os casos básicos. Item (c) Escreva iteramente (somente símboos, sem números) o sistema de equações finais da soução desta estrutura peo Método das Forças. Escoha uma destas equações e indique as expressões numéricas envovidas nos cácuos de cada um dos coeficientes da equação escohida. Não é preciso competar as contas para cacuar os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. Indique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escohida. Item (d) Com base no diagrama de momentos fetores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistema principa escohido, determine os vaores das incógnitas (hiperestáticos) que resutariam da soução da estrutura peo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando os vaores dos hiperestáticos encontrados, resuta no diagrama de momentos fetores fornecido. Item (a) Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) X X X X X X X X X X

178 74 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Item (b) Caso () Soicitação externa isoada no SP Caso () X isoado no SP / /6 /6 / X = X = /6. X M / /6 / /6 /6 M Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP / / X = X = / /. X. X / / M X = M / / Item (c) Equações de Compatibiidade δ δ δ δ X δ + δ δ δ X = δ δ δ δ X Considere a primeira equação deste sistema: Esta equação impõe uma condição de compatibiidade interna: a rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X é nua, isto é, no ponto onde foi introduzida a rótua a rotação da eástica é contínua. Termo de carga δ [rad] rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida à soicitação externa no caso (): δ = EI Coeficiente de fexibiidade δ [rad/knm] rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = : δ = EI Coeficiente de fexibiidade δ [rad/knm] rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = :

179 δ Luiz Fernando Martha Método das Forças 75 = EI 6 Coeficiente de fexibiidade δ [rad/knm] rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = : δ =.5.5 EI Item (d) Os vaores dos hiperestáticos podem ser obtidos do diagrama de momentos fetores finais da estrutura que foi fornecido: X = +5. knm Demonstração de que a superposição dos casos básicos resuta nos momentos finais: M + M X + M X + M X = M Considere o momento fetor assinaado no diagrama. Observa-se que este vaor pode ser obtido pea superposição dos momentos fetores dos casos básicos nesta seção: (-.) 8. + (-.) 89. = +. X = +8. knm O mesmo pode ser verificado para outras seções. X = +89. knm M [knm] Exempo Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como soicitação o carregamento uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura T i = 6 C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura ( T s = C). Todas as barras têm um materia com móduo de easticidade E =, x 8 kn/m e coeficiente de diatação térmica α = 5 / C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I =, x m 4, atura h =.6 m e centro de gravidade no meio de atura. Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura.

180 76 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Pede-se: Item (a): Determine o diagrama de momentos fetores da estrutura isostática. Item (b): Determine o diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática. Item (c): Considere que as counas dos quadros acima tiveram a seção transversa modificada para uma com momento de inércia I =, x - m 4 (a viga não se atera). Responda: (c.) Os diagramas de momentos fetores das estruturas isostáticas se ateram? Por que? (c.) Os diagramas de momentos fetores das estruturas hiperestáticas se ateram? Por que? Item (a) M [knm] Item (b) Sistema Principa e Hiperestático (g=) Caso () Soicitação externa isoada no SP X δ M Caso () X isoado no SP N = N = + N = δ X = M. X X = Equação de compatibiidade δ + δ X = q T δ Sendo δ = δ + : q δ desocamento horizonta da seção do apoio da direita devido à carga distribuída no caso (). desocamento horizonta da seção do T δ apoio da direita devido à variação de temperatura no caso (). δ δ MM = dx = 7 6 = EI EI T T = Md + Ndu q 5 T θ dθ du δ δ T T viga α = viga ( T T ) i h s α 8 dx = dx = α T dx = α 8 dx α 8 = GC T 8 viga Mdx + α Ndx viga α 8 T = 6 + α 8 6 = m m

181 Luiz Fernando Martha Método das Forças 77 δ δ ( M ) = dx = + 6 EI EI = m/kn δ ( ) X + δ X = 5 58 = kn X = Momentos fetores finais M = M + M X M [knm] Item (c) Item (c.) Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fetores só depende dos vaores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos desocamentos, as equações de equiíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origina) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fetores não se atera com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fetores indicado no item (a) (diagrama parabóico na viga). Momentos fetores devidos à variação de temperatura isoada na estrutura isostática são sempre nuos. Item (c.) Na estrutura hiperestática, por ter víncuos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez reativa entre as barras. Com as counas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à fexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fetores fica aterado com a modificação do momento de inércia da seção transversa das counas. A soução da estrutura hiperestática peo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os vaores dos momentos fetores finais dependem dos vaores reativos entre momentos de inércia das seções transversais das barras. Exempo Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI =, x 5 knm.

182 78 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principa e Hiperestáticos (g = ) Caso () Soicitação externa isoada no SP M X X X X Caso () Hiperestático X isoado no SP / / M. X Caso () Hiperestático X isoado no SP /6 /6 / / /6 M. X / / X = X = /6 / / X = X = /6 /6 Equações de Compatibiidade δ δ δ X X = + 4.6kNm + = δ δ δ X X = 4.8kNm 7 δ = = EI + EI δ = = + EI EI δ = 6 = + EI + + EI 7 δ = δ = 6 = EI + 6 EI 5 δ = = + EI + + EI Momentos Fetores Finais M = M + M X + M X M [knm]

183 Luiz Fernando Martha Método das Forças 79 Exempo Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI =,4 x 4 knm. Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) Caso () Soicitação externa isoada no SP X X X X M Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP /6 /4 X = /6 /6 X = /4 /4 X = X = /4. X /4 /4 /4. X /6 M /4 M Equações de Compatibiidade δ δ δ X X =,knm + = δ δ δ X X = + 6,6kNm δ = = EI EI δ = = EI EI δ δ δ = = EI EI + 4 = δ = 6 4 = EI + EI = 6 4 = EI + EI + Momentos Fetores Finais M = M + M X + M X M [knm]

184 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exempo Provão de Engenharia Civi, Em uma construção a meia encosta, a aje de piso foi apoiada em estruturas metáicas compostas de perfis I, coocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fetor atuante. Ao inspecionar a obra para recebimento, você verificou a existência de um recaque vertica de cm no engaste A de uma das estruturas metáicas, cujo modeo estrutura é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaiar os esforços adicionais nessa estrutura, ocasionados peo recaque, você utiizou o Método das Forças e, para tanto, escoheu o Sistema Principa (no qua foi coocada uma rótua no nó B) e o hiperestático X (carga momento em ambos os ados da rótua inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversa do perfi e a orientação dos eixos x e y estão representadas na figura (na direita). A B aje encosta C X X y x Móduo de easticidade do materia: E =, x 8 kn/m Momentos de inércia da seção transversa: J x = 5, x -5 m 4 J y = 8,4 x -6 m 4 Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fetores, causado apenas peo recaque em A. Despreze deformações axiais das barras. Caso () Soicitação externa isoada no SP Caso () X isoado no SP ρ δ = ρ /4 δ = +,5 ρ =, m rad M = X = X = /4 M. X V = /4 A Equação de compatibiidade δ + δ X = δ é a rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua do Sistema Principa provocada peo recaque de apoio no caso (). δ é a rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua do Sistema Principa provocada por X no caso (). = δ = 4 = + EI + EI O enunciado diz que os perfis metáicos foram coocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fetor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversa a ser adotado é o maior momento de inércia da barra: I = J x = 5, x -5 m 4. δ + =,5 + X 8 5 X = 5, δ X Cácuo de δ peo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Rea (Estrutura da qua se quer cacuar a rotação reativa.) É o caso (). 7,65 knm. Sistema Virtua (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação reativa que se quer cacuar.) É o caso () com X =.

185 Luiz Fernando Martha Método das Forças 8 PFV: WE W E = U Trabaho das forças externas do sistema virtua com os correspondentes desocamentos externos do sistema rea. Neste caso, o trabaho externo virtua é igua ao produto de X = por δ mais o produto da reação vertica no apoio esquerdo do caso () força de /4 para cima peo recaque de apoio: δ + V ρ WE = A W E = δ + ( + /4) (,) U Energia de deformação interna virtua. O recaque de apoio não provoca deformações internas (só provoca movimentos de corpo rígido das barras). Portanto: U = W E = U δ + ( + /4) (,) δ = =,/4 = +,5 rad Momentos Fetores Finais M = M + M X M = X = 7,65 M [knm] Exempo 4 Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI =, x 4 knm. Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) Caso () Soicitação externa isoada no SP X M X X X

186 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP /6 /6 X = M / / /6 /6 X = / / /6 /6. X M /6 / / /6 X = /6 X = / / /6. X Equações de Compatibiidade δ δ δ X X = + 6,8 knm + = δ δ δ X X =,5 knm δ = = EI EI δ = = EI EI δ δ δ 6 + = = EI EI = 6 = EI = δ = 6 = EI EI 4 EI Momentos Fetores Finais M = M + M X + M X M [knm] Exempo 5 Utiizando o Método das Forças, determine o diagrama de esforços normais para a treiça hiperestática ao ado submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 5 C em todas as barras. Todas as barras têm o mesmo vaor para a inércia axia EA =, x 5 kn e para o coeficiente de diatação térmica α =, x -5 / C. Sabese que o desocamento axia reativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igua a: du T = αtdx.

187 Luiz Fernando Martha Método das Forças 8 Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) Caso () Soicitação externa isoada no SP Caso () X isoado no SP X N +5-5 N. X X = + + Equação de Compatibiidade δ + δ X = P T Termo de carga: δ = δ + δ P δ desocamento horizonta no apoio da direita devido à carga P = 5 kn no caso (). desocamento horizonta no P δ apoio da direita devido à variação uniforme de temperatura T = 5 C no caso (). Esforços Normais Finais (N só é devido à carga de 5 kn pois a variação de temperatura não provoca esforços no SP isostático ) P NN δ = dx = [ ( 5 4) ] = + EA EA EA estrutura T T δ = Ndu = NαTdx = 5α Ndx = 5α ( 4) = + 4 estrutura N 8 δ = dx = [ ( 4) ] = + EA EA EA estrutura 5 5 EA = kn = / C ( + 4) X = 75 kn α X = [ ] α N = N + N X N [kn] 5 5 Exempo 6 Determine peo Método das Forças o diagrama de momentos fetores do quadro hiperestático ao ado. Somente considere deformações por fexão. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI = 9,6 x 4 knm.

188 84 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principa e Hiperestáticos (g=) Caso () Soicitação externa isoada no SP X X X X Caso () X isoado no SP Caso () X isoado no SP / /6 / X = X = /6 /6 / / M / / /6 x. X / M X = X = / /6 / / /6 / / /6 /6 x. X /6 /6 Equações de compatibiidade: δ δ δ X X = + 6,6 knm + = δ δ δ X X = 9,7 knm δ = = EI EI δ = = + EI EI 7 δ = 6 = + EI EI 7 δ = δ = = EI + 6 EI 7 δ = 6 = + EI EI Momentos fetores finais: M = M + M X + M X M [knm]

189 Luiz Fernando Martha Método das Forças 85 Exempo 7 Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = 6EI, para todas as barras. Sistema Principa (SP) e Hiperestático X Caso () Soicitação externa isoada no SP 4 M [knm] T [knm] + Caso () Hiperestático X isoado no SP M T 6 X x X = X = 6 Equação de Compatibiidade δ + δ X δ δ δ δ = = [ 6 ( 6) ] 6 EI GJ t = = EI 6EI EI = ( ) ( ) + 6 ( 6) ( 6) EI = + = EI 6EI EI X = kn [ ] + GJ t

190 86 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Momentos Fetores e Momentos Torçores finais M + = M MX T = T + T X 8 M [knm] T [knm] Exempo 8 Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = EI, para todas as barras. Sistema Principa (SP) e Hiperestático Caso () Soicitação externa isoada no SP M [knm] 4 kn X kn kn T [knm] Caso () Hiperestático X isoado no SP M X = X = T x X

191 Luiz Fernando Martha Método das Forças 87 Equação de Compatibiidade δ + δ X δ δ = = EI [ ( ) ( 6) ] GJ 4 4 = + = EI EI + t = EI [ ( ) ( ) + ( ) ( ) ] GJ 5 EI 6 54 = + EI EI = + t 54 EI X = 6.5 kn Momentos Fetores e Momentos Torçores finais M = M + MX M [knm] 4 kn T = T + T X T [knm] 6.5 kn kn 5.5 kn Exempo 9 Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = EI, para todas as barras. Sistema Principa (SP) e Hiperestático Caso () Soicitação externa isoada no SP M [knm] T [knm] X

192 88 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso () Hiperestático X isoado no SP M T X = X = x X 6 Equação de Compatibiidade: δ + δ X X = +.5 kn δ δ = = EI [( ) 6 ] = t = EI [ ( ( ) ( ) ) ] GJ 9 54 = + EI EI = + t GJ 8 EI 7 EI Momentos Fetores e Momentos Torçores finais M = M + M X M [knm] T = T + T X T [knm] Exempo Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = EI, para todas as barras. Sistema Principa (SP) e Hiperestático X

193 Caso () Soicitação externa isoada no SP M [knm] Luiz Fernando Martha Método das Forças 89 T [knm] + Caso () Hiperestático X isoado no SP M T / / X = X = + x X / + / Equação de Compatibiidade: δ = 6 + [] 6 EI GJ = t 6 EI δ = EI δ + δ X X = +4.4 kn [( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 6] GJ 54 8 = + = EI EI + t = Momentos Fetores e Momentos Torçores finais M M + M = X T = T + T X 8 EI M [knm] T [knm] Exempo Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = 6EI, para todas as barras.

194 9 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principa (SP) e Hiperestático (g = ) Caso () Soicitação externa isoada no SP 8 M [knm] T [knm] X Caso () Hiperestático X isoado no SP M T X = X = 6 x X 6 Equação de Compatibiidade: δ = EI [( ) (6) 6 + ( 6)(8) 6] = = = GJ EI GJ EI 6EI EI δ = EI δ + δ X X = +7.5 kn t t [( ) ( ) 6 + ( 6) ( 6) 6] GJ = + = + = EI GJ EI 6EI + t t = Momentos Fetores e Momentos Torçores finais M M + M = X T = T + TX 97.5 M [knm] T [knm] 44 EI Exempo Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. A reação entre a rigidez à torção e a rigidez à fexão é GJ t = 6EI, para todas as barras.

195 Luiz Fernando Martha Método das Forças 9 Caso () Soicitação externa isoada no SP GJ t = 6EI M 6 8 Sistema Principa e Hiperestático (g = ) [knm] SP 6 T +6 X [knm] +6 Caso () Hiperstático X isoado no SP M X = T + x X Equação de compatibiidade: δ + δ X = δ = EI [( ) ( + 6) + ( + )( + 6) ] = + + = + GJ EI GJ EI δ δ = EI = + + = + + = EI GJ EI 6EI t [( ) ( ) + ( + ) ( + ) ] + t X EI EI = 45 EI X =,6 kn t GJ t Momentos Fetores Finais: M = M + M X Momentos Torsores Finais: T = T + T X M 46,8 8 T [knm],8 5, 5, [knm] +46,8 +5, 6 Exempo Empregando-se o Método das Forças, obter os diagramas de momentos fetores e momentos torçores para a greha ao ado. Todas as barras têm a reação indicada entre a rigidez à torção GJ t e a rigidez à fexão EI. GJ t = EI

196 9 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha GJ t = EI Caso () Soicitação externa isoada no SP M [knm] Sistema Principa e Hiperestático (g = ) X SP 7 T [knm] Caso () Hiperstático X isoado no SP 6 X = 6 M T +6 x X Equação de compatibiidade: δ + δ X δ δ δ δ = = EI = = = EI GJ EI GJ EI [ 6 ( 7) ] t t = EI = + + = + + = EI GJ EI EI EI [ ] + t 68 4 EI + EI X = X = +5,5 kn GJ t GJ t Momentos Fetores Finais: M = M + M X M Momentos Torsores Finais: T = T + T X T 4,5,5 4,5 8 [knm] 4,5 [knm],5 +,5

197 6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Conforme foi introduzido na Seção. do Capítuo, o Método dos Desocamentos pode ser considerado como o método dua do Método das Forças. Em ambos os métodos a soução de uma estrutura considera os três grupos de condições básicas da Anáise Estrutura: condições de equiíbrio, condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações e condições impostas peas eis constitutivas dos materiais. Entretanto, o Método dos Desocamentos resove o probema considerando os grupos de condições a serem atendidas peo modeo estrutura na ordem inversa do que é feito peo Método das Forças: Condições de compatibiidade; Leis constitutivas dos materiais; Condições de equiíbrio. A duaidade entre os dois métodos fica cara quando se observa a metodoogia utiizada peo Método dos Desocamentos para anaisar uma estrutura. A metodoogia de cácuo do método consiste em: Somar uma série de souções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem as condições de compatibiidade, mas que não satisfazem as condições de equiíbrio da estrutura origina, para na superposição restabeecer as condições de equiíbrio. Esse procedimento é o inverso do que é feito na soução peo Método das Forças mostrada no capítuo anterior. Cada caso básico satisfaz isoadamente as condições de compatibiidade (continuidade interna e compatibiidade com respeito aos víncuos externos da estrutura). Entretanto, os casos básicos não satisfazem as condições de equiíbrio da estrutura origina pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equiíbrio. As condições de equiíbrio da estrutura ficam restabeecidas quando se superpõem todas as souções básicas. 6.. Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico A soução peo Método dos Desocamentos pode ser vista como uma superposição de souções cinematicamente determinadas, isto é, de configurações deformadas conhecidas, conforme iustra a Figura 6.. Essa figura mostra a configuração deformada de um pórtico pano formada pea superposição de configurações deformadas eementares, cada uma associada a um determinado efeito que é isoado.

198 94 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P q P q D D () () D D 4 D () () (4) D 5 D 6 D 6 D 7 (5) (6) (7) Figura 6. Configuração deformada de um pórtico pano formada pea superposição de configurações deformadas eementares. Na Figura 6., a configuração deformada eementar do caso () isoa o efeito da soicitação externa (carregamento), sendo que essa configuração deformada é ta que os nós (extremidades das barras) da estrutura apresentam desocamentos e rotações nuos. A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga (barra horizonta) devida à carga uniformemente distribuída apicada. As demais configurações deformadas mostradas nessa figura, dos casos () a (7), correspondem a imposições de desocamentos e rotações nodais isoados, isto é, cada caso apresenta uma configuração deformada eementar em que somente uma componente de desocamento ou rotação noda tem um vaor não nuo. A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 6. indica que a configuração deformada fina de uma estrutura reticuada pode ser parametrizada peas componentes de desocamentos e rotações dos nós da estrutura. Isso é possíve porque pode-se determinar a configuração deformada de uma barra a partir dos desocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento. De fato, as Equações (4.45) e (4.46) da Seção 4.4. do Capítuo 4 determinam a eástica (desocamentos axiais e transversais) de uma barra em função dos desocamentos e rotações nas extremidades das barras. A eástica fina da barra é obtida superpondo o efeito da soicitação externa isoado no caso (). Com base nisso, a seguinte definição é feita:

199 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 95 Desocabiidades são as componentes de desocamentos e rotações nodais que estão ivres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura. Dessa forma, as desocabiidades são os parâmetros que definem (competamente) a configuração deformada de uma estrutura. As desocabiidades são as incógnitas do Método dos Desocamentos. A seguinte notação vai ser utiizada: Di desocabiidade de uma estrutura: componente de desocamento ou rotação ivre (não restrita por apoio) em um nó da estrutura, na direção de um dos eixos gobais. A desocabiidade D i também é chamada de desocabiidade goba para diferenciá-a de uma desocabiidade oca de uma barra isoada (veja a Seção 4.4.). No exempo mostrado na Figura 6., D e D 4 são desocamentos horizontais dos nós superiores, D e D 5 são desocamentos verticais dos nós superiores, D e D 6 são rotações dos nós superiores e D 7 é a rotação do nó inferior direito. As demais componentes de desocamentos e rotação não são desocabiidades ivres pois são restritas por apoios. Uma estrutura que tem todas as suas desocabiidades definidas (com vaores conhecidos) é denominada estrutura cinematicamente determinada. No exempo da Figura 6., as configurações deformadas eementares dos casos () a (7) são consideradas cinematicamente determinadas com exceção dos vaores das desocabiidades D i, que não são desconhecidos a priori. O modeo estrutura utiizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura origina pea adição de víncuos na forma de apoios fictícios. Esse modeo é chamado de Sistema Hipergeométrico (SH). O SH correspondente à estrutura da Figura 6. é mostrado na Figura 6.. Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir (prender) as desocabiidades são numerados de acordo com a numeração das desocabiidades. Isto é, o apoio impede a desocabiidade D, o apoio impede a desocabiidade D, e assim por diante Figura 6. Sistema Hipergeométrico do pórtico pano da Figura 6..

200 96 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Pode parecer estranho criar uma estrutura (o SH) na qua todos os nós são engastados competamente. Na verdade, o SH é utiizado para isoar as diversas componentes cinemáticas da estrutura, isto é, isoar os efeitos de cada uma de suas desocabiidades. Como mostrado na Figura 6., em cada um dos casos básicos da soução peo Método dos Desocamentos, no máximo uma desocabiidade assume um vaor não nuo. Com base no SH, essa desocabiidade é imposta como um recaque do correspondente apoio fictício inserido na criação do SH, enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais desocabiidades. Neste ponto é interessante resgatar um paraeo que foi feito no Capítuo entre o Método das Forças e o Método dos Desocamentos. Conforme discutido na Seção.. e no capítuo anterior, as incógnitas do Método das Forças são os hiperestáticos, que são forças e momentos associados a víncuos excedentes à determinação estática da estrutura. Por outro ado, as incógnitas do Método dos Desocamentos são as desocabiidades, que são componentes de desocamentos e rotações nodais que definem a configuração deformada da estrutura. Com respeito à estrutura utiizada nas souções básicas, no Método das Forças essa estrutura é o Sistema Principa, que é uma estrutura estaticamente determinada (isostática) obtida da estrutura origina pea eiminação dos víncuos excedentes associados aos hiperestáticos. Em contraposição, no Método dos Desocamentos a estrutura utiizada nas souções básicas é o Sistema Hipergeométrico, que é uma estrutura cinematicamente determinada obtida da estrutura origina pea adição dos víncuos necessários para impedir as desocabiidades. Essa comparação evidencia a duaidade entre os dois métodos. Uma observação importante é que, enquanto existem vários possíveis Sistemas Principais (Método das Forças) para uma estrutura, existe somente um Sistema Hipergeométrico (Método dos Desocamentos). Isso porque para se chegar ao Sistema Principa isostático do Método das Forças existem várias possibiidades para se eiminar víncuos da estrutura e para se chegar ao Sistema Hipergeométrico só existe uma possibiidade, que é impedindo todas as desocabiidades. 6.. Metodoogia de anáise peo Método dos Desocamentos O objetivo desta seção é apresentar a metodoogia de anáise estrutura do Método dos Desocamentos, o que é feito com base em um exempo numérico cujos dados são mostrados na Figura 6.. Os cácuos dos coeficientes que aparecem na soução não vão ser indicados nesta seção, mas serão expicados em seções subseqüentes (a Seção 6.6. mostra os cácuos dos coeficientes para a estrutura da Figura 6.). Todas as barras da estrutura do exempo têm as mesmas propriedades eásticas e de seção transversa. O materia adotado tem móduo de easticidade E =, 7 kn/m. A seção transversa das barras tem área A =, - m e momento de i-

201 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 97 nércia I =, - m 4. A soicitação externa é uma carga uniformemente distribuída q = 5 kn/m apicada na barra horizonta. Desocabiidades: D D D D D D Figura 6. Estrutura utiizada para a descrição da metodoogia do Método dos Desocamentos e suas desocabiidades. A Figura 6. também indica a configuração deformada da estrutura (com uma ampificação de 45 vezes) e as desocabiidades D, D e D, correspondendo, respectivamente, aos desocamentos horizonta e vertica e à rotação do nó interno. A figura também serve para apresentar uma notação para desocamentos e rotações: uma seta com um traço perpendicuar na base. Essa notação permite indicar as desocabiidades sem desenhar a configuração deformada da estrutura, que em gera é compicada ou desconhecida. Como foi dito, a configuração deformada da estrutura fica parametrizada peas desocabiidades. Observe que existem infinitos vaores para D, D e D satisfazendo as condições de compatibiidade. Isto é, existem infinitas configurações deformadas que satisfazem as condições de compatibiidade com respeito aos víncuos externos (apoios), que satisfazem as condições de continuidade do campo de desocamentos no interior das barras e que satisfazem a continuidade de igação entre as barras (as barras permanecem igadas e com o mesmo ânguo entre si no nó interno). Entretanto, somente uma dessas configurações deformadas está associada ao equiíbrio da estrutura. Conforme discutido na Seção.7 do Capítuo, o Método dos Desocamentos tem como estratégia procurar, dentre todas as configurações deformadas que satisfazem a compatibiidade, aquea que também faz com que o equiíbrio seja satisfeito. O equiíbrio da estrutura é imposto na forma de equiíbrio dos nós isoados, considerando também que as barras isoadas estão em equiíbrio. Portanto, a soução desse probema peo Método dos Desocamentos recai em encontrar os vaores que D, D e D devem ter para que o nó interno fique em equiíbrio, visto que os nós dos apoios têm seu equiíbrio automaticamente satisfeito peas reações de apoio. Dentro da metodoogia do Método dos Desocamentos apicada ao exempo da Figura 6., souções básicas (casos básicos) isoam o efeito da soicitação externa (carregamento) e os efeitos de cada uma das desocabiidades. Cada efeito isoado

202 98 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha afeta o equiíbrio do nó interno. Na superposição dos casos básicos é imposto o equiíbrio do nó interno. O Sistema Hipergeométrico (SH) para a estrutura do exempo é mostrado na Figura 6.4. Os casos básicos utiizam esse SH como estrutura auxiiar, através da qua os efeitos isoados são impostos. Figura 6.4 Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 6.. No exempo em estudo, existem quatro casos básicos casos (), (), () e () conforme descrito a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH O caso (), mostrado na Figura 6.5, isoa o efeito da soicitação externa, isto é, do carregamento apicado. Dessa forma, a carga externa é a apicada no SH com D =, D = e D =. Nesse caso, as forças e os momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH são chamados de termos de carga β i. Um termo de carga é definido formamente como: βi reação no apoio fictício associado à desocabiidade D i para equiibrar o SH quando atua a soicitação externa isoadamente, isto é, com desocabiidades com vaores nuos. β = +5 knm β = β = +5 kn Figura 6.5 Soicitação externa isoada no SH da estrutura da Figura 6.. Neste exempo, são três os termos de carga, conforme indicado na Figura 6.5, sendo que β é a reação horizonta, β é a reação vertica e β é a reação momento nos três apoios fictícios do nó interno. Essas reações correspondem à situação de engastamento perfeito do SH, e os seus vaores são cacuados de maneira a equiibrar o nó interno evando em conta o carregamento uniformemente distribuído que atua na barra horizonta. As reações de engastamento de barras carregadas são cacuadas ta como mostrado na Seção do Capítuo 4.

203 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 99 Também os esforços internos no caso () são esforços em barras cujos nós extremos são engastados. Dessa forma, somente as barras que têm carga no seu interior a- presentam esforços internos e deformações. Isto pode ser entendido peo fato de os apoios fictícios adicionados no SH isoarem as barras com respeito a deformações. Caso () Desocabiidade D isoada no SH O caso (), mostrado na Figura 6.6, isoa o efeito da desocabiidade D, mantendo nuos os vaores das desocabiidades D e D. Conforme indicado nessa figura, a desocabiidade D é coocada em evidência. Considera-se um vaor unitário para D, sendo o efeito de D = mutipicado peo vaor fina que D deverá ter. D = K K K K = +55,7 kn/m K = +6,4 kn/m K = +764,8 knm/m x D Figura 6.6 Desocabiidade D isoada no SH da estrutura da Figura 6.. Para impor a configuração deformada onde D = e as demais desocabiidades são mantidas nuas, é necessário apicar um conjunto de forças e momentos nodais que mantém o SH em equiíbrio nessa configuração, ta como indicado na Figura 6.6. As forças e momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH para equiibrá-o quando é imposta uma configuração onde D = são chamados de coeficientes de rigidez gobais K ij. Formamente, o coeficiente de rigidez goba é definido como: Kij coeficiente de rigidez goba: força ou momento que deve atuar na direção de D i para manter a estrutura (na verdade, o SH) em equiíbrio quando é imposta uma configuração deformada onde D j = e as demais desocabiidades são nuas. No caso (), os coeficientes de rigidez gobais são a força horizonta K, a força vertica K e o momento K. Por definição, as unidades dos coeficientes de rigidez correspondem às unidades de força ou momento divididas pea unidade da desocabiidade em questão. Nesse exempo, no caso () a unidade de D é a de desocamento em metros. Conforme vai ser visto ainda neste capítuo, os coeficientes de rigidez gobais são obtidos em função de coeficientes de rigidez das barras isoadas, que por sua vez

204 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha são tabeados (veja a Seção 4.4. do Capítuo 4). Uma das vantagens do Método dos Desocamentos em reação ao Método das Forças é que o cácuo dos coeficientes de rigidez é baseado em vaores tabeados, o que exige um esforço menor na soução manua da estrutura, quando comparado com o cácuo dos coeficientes de fexibiidade do Método das Forças mostrado no capítuo anterior. Essa vantagem também faciita a impementação computaciona do Método dos Desocamentos. Caso () Desocabiidade D isoada no SH De maneira anáoga, no caso (), a desocabiidade D é coocada em evidência, considerando o efeito devido a um vaor unitário de D mutipicado peo seu vaor fina, ta como indicado na Figura 6.7. Esse caso isoa o efeito da desocabiidade D, mantendo nuos os vaores das desocabiidades D e D. K K D = K K = +6,4 kn/m K = +979,7 kn/m K = +6,4 knm/m x D Figura 6.7 Desocabiidade D isoada no SH da estrutura da Figura 6.. A força horizonta K, a força vertica K e o momento K, que aparecem nos a- poios fictícios do SH para mantê-o em equiíbrio quando é imposta uma configuração deformada onde D =, são os coeficientes de rigidez gobais que aparecem no caso (). As unidades desses coeficientes, por definição, são unidades de força ou momento divididas pea unidade da desocabiidade D (metro), ta como mostrado na Figura 6.7. Caso () Desocabiidade D isoada no SH Do mesmo modo, no caso () a desocabiidade D é coocada em evidência, como mostra a Figura 6.8. Esse caso isoa o efeito da desocabiidade D, mantendo nuos os vaores das desocabiidades D e D. A figura também mostra os coeficientes de rigidez gobais desse caso. Observe que as unidades desses coeficientes são unidades de força ou momento divididas por radiano, pois a desocabiidade D é uma rotação.

205 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos K D = K K K = +764,8 kn/rad K = +6,4 kn/rad K = +, knm/rad x D Figura 6.8 Desocabiidade D isoada no SH da estrutura da Figura 6.. Restabeecimento das condições de equiíbrio A partir dos resutados obtidos nos casos mostrados acima, pode-se utiizar a superposição dos casos para restabeecer as condições de equiíbrio do nó interior. A resutante de forças e momentos externos neste nó deve ser nua, ta como feito a seguir. Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior: β + KD + KD + KD = Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior: β + KD + KD + KD = Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior: β + KD + KD + KD = Pode-se generaizar esses resutados, escrevendo uma equação de equiíbrio na direção da desocabiidade D i para uma estrutura com n desocabiidades: j n i ij j = j= = β + K D. (6.) A soução do sistema formado peas três equações de equiíbrio do exempo desta seção, com os vaores mostrados anteriormente para os termos de carga β i e para os coeficientes de rigidez gobais K ij, resuta nos seguintes vaores para as desocabiidades: D = +,45 m; D =,5 m; D =,75 rad.

206 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Esses vaores fazem com que as resutantes de forças e momentos externos que a- tuam no nó interno da estrutura sejam nuas. Dessa forma, atingiu-se a soução correta da estrutura, pois aém de satisfazer as condições de compatibiidade que sempre foram satisfeitas nos casos (), (), () e () ea também satisfaz as condições de equiíbrio, haja vista que não existem forças e momentos externos (fictícios) apicados ao nó. O equiíbrio dos outros dois nós sempre foi satisfeito peas reações de apoio, cujos vaores finais podem obtidos pea superposição dos vaores das reações obtidos em cada caso. Os sinais das desocabiidades são determinados peos sentidos em que foram impostos os desocamentos unitários e a rotação unitária nos casos básicos. Assim, o sina positivo de D indica que esse desocamento tem o mesmo sentido (da esquerda para a direita) do desocamento horizonta imposto no caso (). O sina negativo de D indica que esse desocamento vertica é para baixo pois é contrário ao desocamento unitário imposto no caso (). E o sina negativo de D mostra que esta rotação é no sentido horário pois é contrária à rotação unitária imposta no caso (). Determinação dos esforços internos Uma vez determinados os vaores das desocabiidades, os diagramas finais de esforços da estrutura do exempo em estudo também podem ser obtidos pea superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos, conforme vai ser mostrado na seqüência deste capítuo. Por exempo, os momentos fetores finais (M) podem ser obtidos pea superposição dos diagramas de momentos fetores (M i) dos casos básicos: M = M +, + MD + MD MD sendo que o diagrama M corresponde ao caso () e os diagramas M, M e M são provocados por vaores unitários das desocabiidades nos casos (), () e (), respectivamente. Esse resutado pode ser generaizado para todos os esforços internos esforços normais finais (N), esforços cortantes finais (Q) e momentos fetores finais (M) de uma estrutura com n desocabiidades: j = n j= N = N + N j D j ; (6.) j = n j= Q = Q + Q j D j ; (6.) j = n j= M = M + M j D j. (6.4)

207 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos Sendo: N diagrama de esforços normais da estrutura (na verdade, do SH) no caso (), isto é, quando é imposta a soicitação externa com todas as desocabiidades mantidas nuas; N j diagrama de esforços normais da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde D j = e as demais desocabiidades são nuas; Q diagrama de esforços cortantes da estrutura (na verdade, do SH) no caso (), isto é, quando é imposta a soicitação externa com todas as desocabiidades mantidas nuas; Qj M M j diagrama de esforços cortantes da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde D j = e as demais desocabiidades são nuas; diagrama de momentos fetores da estrutura (na verdade, do SH) no caso (), isto é, quando é imposta a soicitação externa com todas as desocabiidades mantidas nuas; diagrama de momentos fetores da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde D j = e as demais desocabiidades são nuas. 6.. Matriz de rigidez goba e vetor dos termos de carga Pode-se reescrever o sistema de equações de equiíbrio do exempo da seção anterior de uma forma matricia: β β β + K + K + K D + K D + K D + K D D D + K + K + K D D D = = = β β β K + K K K K K K K K D D D No caso gera de uma estrutura com n desocabiidades, pode-se escrever: Sendo: { β } vetor dos termos de carga; [ K] matriz de rigidez goba; { D} vetor das desocabiidades. { } + [ K]{ D} { } = =. β. (6.5)

208 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O número de equações de equiíbrio na Equação matricia (6.5) é igua ao número de desocabiidades, sendo cada equação dada pea Equação (6.), que corresponde a uma desocabiidade genérica D i. Observa-se que a matriz de rigidez goba independe da soicitação externa (carregamento), que só é considerada no vetor dos termos de carga. A matriz [K] é uma característica da estrutura apenas, já que só existe um possíve Sistema Hipergeométrico para cada estrutura. A exempo do que foi feito na Seção 4.4. do Capítuo 4 para uma barra isoada, duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de rigidez goba. A primeira é que peo Teorema de Maxwe (versão para desocamento unitário imposto, Equação (4.4)) a matriz é simétrica. Ou seja: K ji = K ij. (6.6) A segunda observação é que os coeficientes de rigidez que correspondem a uma dada configuração deformada eementar casos (), () e () da seção anterior têm o mesmo índice j. Pode-se dizer então: A j-ésima couna da matriz de rigidez [ K ] goba da estrutura corresponde ao conjunto de forças generaizadas (forças e momentos) que atuam nas direções das desocabiidades para equiibrá-a quando é imposta uma configuração deformada ta que D j = (desocabiidade D j com vaor unitário e as demais desocabiidades com vaor nuo). O Método dos Desocamentos é assim chamado pois as incógnitas são desocamentos (ou rotações). O método também é chamado de Método do Equiíbrio pois as equações finais expressam condições de equiíbrio. Ee também é chamado de Método da Rigidez pois envove coeficientes de rigidez em sua soução. É interessante rever uma comparação que foi feita no Capítuo entre o Método das Forças e o Método dos Desocamentos no que diz respeito aos sistemas de e- quações resutantes dos métodos e aos coeficientes dessas equações. Conforme discutido na Seção.. e no capítuo anterior, as condições expressas peo sistema de equações finais do Método das Forças são condições de compatibiidade. Essas condições são impostas nas direções dos víncuos eiminados para se chegar ao Sistema Principa (SP). Por outro ado, as equações finais do Método dos Desocamentos expressam condições de equiíbrio, que são impostas nas direções das desocabiidades, ou seja, nas direções dos víncuos introduzidos para se chegar ao Sistema Hipergeométrico (SH). No Método das Forças, os hiperestáticos mantêm o equiíbrio e recompõem a compatibiidade, ao passo que, no Método dos Desocamentos, as desocabiidades mantêm a compatibiidade e recompõem o equiíbrio.

209 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 5 Os termos de carga no Método das Forças são desocamentos ou rotações provocados pea soicitação externa atuando no SP com hiperestáticos com vaores nuos. Já no Método dos Desocamentos, os termos de carga são forças ou momentos necessários para equiibrar o SH, com desocabiidades com vaores nuos, submetido à soicitação externa. Isto é, no Método dos Desocamentos os termos de carga são reações de engastamento perfeito. Finamente, os coeficientes da matriz de fexibiidade do Método das Forças são desocamentos ou rotações provocados por hiperestáticos com vaores unitários atuando no SP. Os coeficientes da matriz de rigidez goba do Método dos Desocamentos são forças ou momentos necessários para equiibrar o SH submetido a desocabiidades com vaores unitários Convenções de sinais do Método dos Desocamentos As equações finais do Método dos Desocamentos expressam o equiíbrio dos nós da estrutura nas direções das desocabiidades. Por isso, é conveniente introduzir uma convenção de sinais para forças e momentos que faciite a definição de condições de equiíbrio. Isto vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais, esforços cortantes e momentos fetores em quadros panos. A Tabea 6. resume a convenção de sinais adotada no método para quadros panos. Tabea 6. Convenção de sinais adotada para quadros panos no Método dos Desocamentos. Desocamentos + horizontais: Desocamentos verticais: + Rotações: + Forças horizontais: + Forças verticais: + Momentos: + Esforços axiais em extremidades de barra: Esforços cortantes em extremidades de barra: Momentos fetores em extremidades de barra:

210 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observa-se na Tabea 6. que os desocamentos e forças horizontais são positivos quando têm o sentido da esquerda para a direita e negativos quando têm o sentido contrário. Os desocamentos e forças verticais são positivos quando têm o sentido de baixo para cima e negativos quando votados para baixo. As rotações e os momentos são positivos quando têm o sentido anti-horário e são negativos quando têm o sentido horário. A convenção para esforços atuando nas extremidades das barras é a mesma, porém se refere a direções no sistema de eixos ocais da barra (direção axia e direção transversa ao eixo da barra). A convenção de sinais para momentos fetores vai ser exporada para descrever os diagramas de momentos fetores nos passos intermediários do método. Ao invés de desenhar os diagramas de momentos fetores dos casos básicos do Método dos Desocamentos, os momentos fetores serão indicados nas extremidades da barras, segundo a convenção de sinais apresentada acima. Deve-se observar que, conforme foi expicado na Seção 4. do Capítuo 4, o traçado do diagrama de momentos fetores em uma barra da qua se conhecem os momentos fetores nas extremidades e o carregamento no interior da barra é um procedimento simpes: pendura-se, a partir da inha reta que une os momentos nas extremidades da barra, o diagrama de momentos fetores devido ao carregamento em uma viga biapoida de mesmo comprimento. Uma das utiidades da convenção de sinais mostrada acima é condensar informações sobre os esforços que atuam em uma barra. Por exempo, considere a viga biengastada mostrada na Figura 6.9. q A EI = const. Reações de apoio e seus sinais: B Diagrama de momentos fetores: (traçado do ado das fibras tracionadas) q / q / q /8 M A V A V A = +q/ V B M B V B = +q/ Indicação dos momentos fetores usando a convenção de sinais: M A = +q / M B = q / +q / q / Figura 6.9 Indicação de momentos fetores em uma viga biengastada utiizando a convenção de sinais do Método dos Desocamentos. A Figura 6.9 indica vaores de reações de apoio com seus sentidos físicos e com os sinais da convenção adotada. O diagrama de momentos fetores para essa viga

211 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 7 biengastada está mostrado na sua forma usua, isto é, desenhado do ado da fibra da seção transversa que é tracionada. Também está mostrado como se indicam os momentos fetores nas extremidades usando a convenção de sinais do método. Observa-se que os momentos fetores nas extremidades da barra têm o mesmo sina das reações momento. Souções básicas de vigas biengastadas, também chamadas de souções de engastamento perfeito (veja a Seção do Capítuo 4), são necessárias para a utiização do Método dos Desocamentos. Isso porque o caso () da superposição de casos básicos do método corresponde a uma situação de engastamento perfeito (veja a Seção 6.). As reações de apoio de vigas biengastadas, e por conseguinte os momentos fetores, são tabeados para diversos tipos de carregamento, ta como indicado na Seção Outras souções fundamentais que são necessárias dentro da metodoogia do Método dos Desocamentos são souções para desocamentos ou rotações impostos isoadamente em uma das extremidades de uma barra. Conforme visto na Seção 4.4., essas souções resutam em coeficientes de rigidez de barra. Para exempificar a convenção de sinais adotada, são mostradas na Figura 6. as souções para rotações impostas às seções extremas de uma barra isoada. ( 6EI / ) θ θ ( 4EI /) θ ( 6EI / ) θ ( 6EI / ) θ ( EI /) θ ( 4 EI /) θ ( EI /) θ θ ( 6EI / ) θ Indicação dos momentos fetores usando a convenção de sinais: ( 4 EI / ) θ + ( EI / ) θ + ( EI / ) θ + ( 4EI / ) θ + Figura 6. Indicação de momentos fetores resutantes da imposição de rotações nas extremidades de uma barra isoada utiizando a convenção de sinais do Método dos Desocamentos. Na próxima seção é mostrado um exempo de uma viga contínua que tem por objetivo utiizar a convenção de sinais na soução peo Método dos Desocamentos. Aguns conceitos importantes do método serão saientados nessa soução Exempo de soução de uma viga contínua Considere a viga contínua mostrada na Figura 6.. O vaor da rigidez à fexão da viga é EI =, x 4 knm. O vaor da carga uniformemente distribuída é q = kn/m.

212 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Figura 6. Viga contínua para exempo de soução peo Método dos Desocamentos. As únicas desocabiidades da estrutura da Figura 6. são as rotações D e D dos nós dos apoios internos. Isto é indicado na Figura 6. com o correspondente Sistema Hipergeométrico (SH). Desocabiidades: D D Sistema Hipergeométrico: Figura 6. Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 6.. Uma vez identificadas as desocabiidades e o SH, a metodoogia do Método dos Desocamentos segue com a superposição de casos básicos, cada um isoando um determinado efeito no SH, ta como definido na Seção 6.. Isso é mostrado a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β β Figura 6. Configuração deformada (exagerada) do caso () da estrutura da Figura 6.. Neste caso, é imposta uma configuração deformada, indicada na Figura 6. de forma ampiada, na qua as rotações dos nós dos apoios internos são mantidas nuas enquanto atua o carregamento. Para que o SH fique em equiíbrio com essa condição imposta, aparecem reações momentos nas chapas fictícias do SH. Essas reações nos apoios fictícios do SH são chamadas de termos de carga, conforme visto anteriormente. Os termos de carga β e β são apresentados genericamente na Figura 6. com seus sentidos positivos. A interpretação física desses termos pode

213 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 9 ser entendida com auxíio do diagrama de momentos fetores para o caso (), mostrado na Figura 6.4. β β M [knm] β = + knm β = knm Figura 6.4 Diagrama de momentos fetores do caso () da estrutura da Figura 6.. Os momentos fetores para o caso () são determinados a partir da soução conhecida para uma viga biengastada com carregamento uniformemente distribuído, conforme mostrado anteriormente. Os momentos de engastamento perfeito nas extremidades de uma barra têm vaores em móduo igua a q /, sendo o comprimento da barra. Os momentos fetores são mostrados na Figura 6.4 de duas maneiras. Na primeira, o diagrama é traçado na convenção usua, isto é, do ado da fibra da seção transversa que é tracionada. Na segunda, os vaores dos momentos fetores são indicados nas extremidades das barras de acordo com a convenção de sinais adotada no Método dos Desocamentos. Observam-se, no diagrama traçado, as descontinuidades do diagrama de momentos fetores, indicando condições de equiíbrio da estrutura origina (sem as chapas fictícias) que são vioadas. Entretanto, o equiíbrio do SH é satisfeito com a introdução dos termos de carga β e β. Fica cara a interpretação física desses termos na Figura 6.4. Nota-se também a simpicidade para a obtenção dos vaores dos termos de carga. Como o sentido das reações momento é compatíve com o sentido dos momentos fetores que atuam nas extremidades das barras, para obter os vaores dos termos de carga basta somar os vaores, com sina, dos momentos fetores nas seções adjacentes ao nó do termo de carga. Dessa forma: β = q4 / + q6 / = = + knm; β = q6 / + q / = = knm. Como dito anteriormente, ao invés de desenhar os diagramas de momentos fetores dos casos básicos do Método dos Desocamentos, os momentos fetores serão indicados nas extremidades da barras de acordo com a segunda maneira apresen-

214 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha tada na Figura 6.4. No exempo desta seção, as duas maneiras são mostradas para caracterizar bem o sentido físico dos termos de carga. Isso também será feito para caracterizar os coeficientes de rigidez gobais nos dois outros casos básicos deste exempo. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K K K K x D M [knm/rad] K = + x knm/rad K = + 4x knm/rad Figura 6.5 Configuração deformada e diagrama de momentos fetores do caso () da estrutura da Figura 6.. No caso () é imposta uma configuração deformada na qua a rotação D é unitária, coocando o seu vaor a ser determinado em evidência, ta como mostrado na Figura 6.5. A figura também mostra o diagrama de momentos fetores M, que corresponde ao vaor unitário de D. Os vaores dos momentos fetores são obtidos dos coeficientes de rigidez de barra (4EI/ e EI/) provocados por rotações impostas em suas extremidades, ta como indicado na Figura 6. (com θ = ). Os momentos fetores são mostrados na forma de um diagrama (traçado do ado da fibra tracionada) e com vaores nas extremidades das barras. Deve-se observar que a barra da direita na Figura 6.5 não sofre deformações no caso () e, portanto, tem momentos fetores nuos. Também estão indicadas na figura as interpretações físicas dos coeficientes de rigidez gobais K e K : correspondem às descontinuidades no diagrama de momentos fetores. Em outras paavras, esses coeficientes são os momentos necessários para manter em equiíbrio o SH quando é imposta uma configuração deformada onde D = isoadamente. É

215 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos evidente que outros momentos e forças são necessários para manter o SH em equiíbrio nessa configuração deformada, mas ees são reações nos apoios reais da estrutura. Os coeficientes de rigidez gobais são os momentos (neste exempo) que aparecem nos apoios fictícios do SH. Os vaores de K e K são obtidos peas somas dos momentos fetores (com sina) nas seções adjacentes ao nó correspondente: K = + 4EI/4 + 4EI/6 = = + knm/rad; K = + EI/4 = + 4 knm/rad. A soma dos coeficientes de rigidez (ocais) de barra (4EI/4 e 4EI/6) para a obtenção do coeficiente de rigidez goba K pode ser entendida de outra maneira: o esforço (K ) necessário para girar a estrutura de D = é a soma dos esforços (os coeficientes de rigidez das barras) necessários para girar cada barra em separado. Essa soma de contribuições de coeficientes de rigidez de barra para compor um coeficiente de rigidez goba da estrutura é uma das características mais importantes do Método dos Desocamentos. Essa característica proporciona a concepção de agoritmos simpes para a impementação computaciona do método. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K K K K x D M [knm/rad] K = + 4x knm/rad K = + x knm/rad Figura 6.6 Configuração deformada e diagrama de momentos fetores do caso () da estrutura da Figura 6..

216 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O caso () mostrado na Figura 6.6 é inteiramente anáogo ao caso (). Os vaores dos coeficientes de rigidez gobais obtidos nesse caso são: K = + EI/4 = + 4 knm/rad; K = + 4EI/6 + 4EI/ = = + knm/rad. Equações de equiíbrio Para se resover a estrutura peo Método dos Desocamentos, como visto na Seção 6., são impostas condições de equiíbrio que determinam que os momentos externos totais introduzidos peas chapas fictícias do SH sejam nuos. Utiizando a superposição dos casos básicos, essas condições de equiíbrio resutam no seguinte sistema de equações de equiíbrio: β β + K + K D + K D + K D D = = D + D =. A soução desse sistema de equações fornece os seguintes vaores para as desocabiidades: D =, x - rad; D = +,5 x - rad. O vaor negativo de D indica que a rotação da seção do apoio interno da esquerda se dá no sentido horário e o vaor positivo de D indica que a rotação na seção do outro nó interno tem o sentido anti-horário. Esses sentidos de rotação são compatíveis com a configuração deformada da estrutura, para este carregamento, que é mostrada (ampiada exageradamente) na Figura 6.7. D D Figura 6.7 Configuração deformada da estrutura da Figura 6.. Determinação do diagrama de momentos fetores finais Após a determinação dos vaores das desocabiidades, resta a determinação dos efeitos finais na estrutura. Isto é feito utiizando a superposição de casos básicos, sendo que agora os casos () e () são ponderados com os vaores encontrados para D e D. Por exempo, os momentos fetores finais na estrutura são obtidos por: M = M + M D + M D M = M,x - x M +,5x - x M.

217 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos Essa superposição é feita individuamente para todas as seções extremas das barras, honrando o sina da convenção do método que aparece nos diagramas dos casos básicos. O resutado é mostrado na Figura 6.8. Pode-se observar que a soma dos momentos fetores finais, com sinais, das duas seções adjacentes a cada nó interno é nua, indicando que o equiíbrio do nó à rotação está sendo satisfeito. M [knm] +8,6,8 +,8,7 +,7 +9,8 Figura 6.8 Momentos fetores da estrutura da Figura 6. utiizando a convenção de sinais do Método dos Desocamentos. Entretanto, essa forma de apresentação de resutados de momentos fetores não é adequada. É preciso traçar o diagrama de momentos fetores ao ongo da estrutura, sendo que o diagrama é desenhado usuamente do ado da fibra tracionada das seções transversais. Portanto, é preciso interpretar a convenção de sinais de momentos fetores, verificando o sentido dos momentos nas duas extremidades de cada barra. Isto é mostrado na Figura 6.9, que indica os sentidos dos momentos fetores que atuam nas extremidades das barras e sobre os nós da viga contínua. Essa figura também mostra o traçado do diagrama de momentos fetores finais da estrutura. 8,6 8,6,8,8,7,7 9,8 9,8 M [knm],8,7 8, ,8 Figura 6.9 Momentos fetores da estrutura da Figura 6. desenhados do ado da fibra das seções transversais. A partir da soução do exempo desta seção podem-se fazer aguns comentários. Em todas as etapas do Método dos Desocamentos, os esforços nas barras e as reações de apoio são sempre determinados com base em configurações deformadas conhecidas. É sempre assim: conhece-se a configuração deformada e daí se tiram os esforços e reações. Esse é certamente um raciocínio característico do método, bem dife-

218 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha rente da forma como que se resovem estruturas isostáticas por equiíbrio ou estruturas hiperestáticas peo Método das Forças. Apesar dessa metodoogia não ser intuitiva para quem começa a aprender o Método dos Desocamentos, a soução de cada caso básico é bem simpes. Isso porque as deformações impostas são sempre configurações muito simpes: ou são a soução de engastamento perfeito do caso () ou é imposta apenas uma desocabiidade isoada nos outros casos. Os esforços e reações em cada caso básico são obtidos de souções tabeadas. Esta metodoogia simpes também permite agoritmos de fáci impementação computaciona Exempos de soução de pórticos simpes Foi observado na seção anterior que os coeficientes de rigidez gobais, que compõem o sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos, são formados pea contribuição de coeficientes de rigidez de barras individuamente. No exempo da seção anterior, como só havia desocabiidades do tipo rotação, só se evaram em conta coeficientes de rigidez à rotação. Nesta seção a utiização dos coeficientes de rigidez de barra vai ser generaizada com a consideração adiciona de coeficientes de rigidez axia e transversa. Como visto na Seção 4.4. do Capítuo 4, o objetivo dos coeficientes de rigidez de barra é tabear souções para os esforços que devem atuar em uma barra isoada devidos a desocamentos ou rotações impostos isoadamente em uma extremidade da barra. Esses coeficientes também são chamados de coeficientes de rigidez ocais. Três exempos são apresentados nesta seção com o objetivo de mostrar a metodoogia do Método dos Desocamentos principamente no que se refere ao cácuo dos coeficientes de rigidez gobais em função dos coeficientes de rigidez ocais das barras. Nos dois primeiros exempos, as barras são horizontais ou verticais. Isso faz com que os coeficientes de rigidez ocais, nas direções ocais, sejam horizontais ou verticais, podendo ser somados diretamente para compor os coeficientes de rigidez gobais. O terceiro exempo mostra que é necessário projetar os coeficientes de rigidez ocais de uma barra incinada para fazer essa composição Pórtico com três desocabiidades Considere o pórtico mostrado na Figura 6.. As duas barras têm o mesmo materia com móduo de easticidade E e têm a mesma seção transversa, cuja reação entre área A e momento de inércia I é dada por A/I = m -. O objetivo do exempo é a determinação do diagrama de momentos fetores. Na Figura 6. estão indicadas as desocabiidades da estrutura e o correspondente Sistema Hipergeométrico (SH).

219 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 5 Figura 6. Exempo de soução de pórtico com três desocabiidades. Desocabiidades Sistema Hipergeométrico (SH) D D D Figura 6. Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 6.. A soução peo Método dos Desocamentos apresentada neste capítuo utiiza uma superposição de casos básicos utiizando como estrutura auxiiar o SH. Isto é mostrado a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β M [knm] β β β = kn β = +6 kn β = knm Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.. Os termos de carga β, β e β do caso () são indicados na Figura 6. com seus sentidos positivos. O sentido rea vai ser dado peo sina do termo. Se for negativo, isso indica que o sentido é contrário ao desenhado. Nesse caso, como as cargas são apicadas diretamente sobre o nó onde foram coocados os apoios fictícios do SH, os termos de carga são obtidos diretamente peo equiíbrio do nó, resutando

220 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha nos vaores indicados. Como não existem cargas apicadas no interior das barras, estas não apresentam deformações. Se não existem deformações, não existem esforços. Por isso, os momentos fetores M no caso () são nuos, conforme indicado na Figura 6.. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K K K EA/6 EA/6 6EI/4 EI/4 EI/4 6EI/4 x D +6EI/4 +6EI/4 M K = + EA/6 + EI/4 K = + K = + 6EI/4 Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.. O caso () está indicado na Figura 6.. Observa-se nessa figura como os coeficientes de rigidez ocais das barras contribuem para os coeficientes de rigidez gobais da estrutura. Por exempo, a força K, que deve atuar na direção goba de D para dar configuração deformada onde D =, é obtida pea soma do coeficiente de rigidez axia EA/6 da barra horizonta com o coeficiente de rigidez transversa EI/4 da barra vertica. Vê-se também que em nenhuma das duas barras aparecem forças verticais no nó desocado para dar a configuração deformada imposta. Assim, não há contribuição para o coeficiente de rigidez goba K, o que resuta em um vaor nuo. De forma anáoga, o coeficiente de rigidez goba K recebe uma contribuição nua da barra horizonta, pois esta sofre apenas uma deformação axia, e uma contribuição do momento 6EI/4 vindo da barra vertica. Na Figura 6. também estão mostrados o vaores dos momentos fetores M (para D = ) nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais apresentada na Seção 6.4. Neste caso somente a barra vertica apresenta momentos fetores. Nos casos seguintes, os coeficientes de rigidez gobais são cacuados de maneira anáoga, sendo todos indicados nas Figuras 6.4 e 6.5. Também estão indicados

221 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 7 nas figuras os momentos fetores M e M (para D e D com vaores unitários) nas extremidades das barras, seguindo a convenção de sinais do método. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K EI/6 K K EA/4 6EI/6 D = 6EI/6 EI/6 x D +6EI/6 +6EI/6 M EA/4 K = + K = + EI/6 + EA/4 K = + 6EI/6 + Figura 6.4 Caso () da estrutura da Figura 6.. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K D = 6EI/6 EI/6 K K 4EI/4 4EI/6 6EI/4 6EI/6 D = 6EI/4 EI/4 x D +4EI/6 +4EI/4 +EI/4 M +EI/6 K = + 6EI/4 K = + 6EI/6 + K = + 4EI/6 + 4EI/4 Figura 6.5 Caso () da estrutura da Figura 6..

222 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Equações de equiíbrio Conforme visto anteriormente (veja as Seções 6. e 6.5), a soução peo Método dos Desocamentos recai em equações de equiíbrio que impõem reações finais nuas nos apoios fictícios do SH. Para o exempo desta seção, essas equações são: β β β + K + K + K D + K D + K D + K D D D + K + K + K D D D = = = Utiizando a reação fornecida entre o vaor da área e do momento inércia da seção transversa das barras (A/I = m - ), pode-se coocar os coeficientes de rigidez gobais em função do parâmetro de rigidez à fexão EI. Isso resuta no seguinte sistema de equações, cuja soução também é indicada em função de EI: EI D 6 D = 5 D D D D = +,85 EI = 9,595 EI = 4, EI A configuração deformada fina da estrutura é mostrada na Figura 6.6. Observase que os sinais dos desocamentos e da rotação são consistentes: D é positivo (da esquerda para a direita), D é negativo (de cima para baixo) e D é negativo (sentido horário).. D D D D Figura 6.6 Configuração deformada (com ampiação exagerada) da estrutura da Figura 6.. Determinação do diagrama de momentos fetores finais Os momentos fetores finais na estrutura são obtidos pea superposição de efeitos dos casos básicos, sendo M nuo: M = M + M D + M D + M D Isso resuta nos vaores, com sinais, dos momentos fetores nas extremidades das barras indicados na esquerda da Figura 6.7. Esses sinais são interpretados segundo a convenção do método, resutando nos sentidos indicados no meio da figura. Finamente, o diagrama de momentos fetores é desenhado do ado da fibra tracionada, conforme indicado na direita da Figura 6.7.

223 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 9 +4, +6, 4, 4,,9,9 M [knm] 4, M [knm] 6, Figura 6.7 Diagrama de momentos fetores da estrutura da Figura Pórtico com articuação interna Esta seção mostra a soução peo Método dos Desocamentos de um pórtico simpes com seis desocabiidades e uma articuação (rótua) interna, ta como mostrado na Figura 6.8. As três barras têm a mesma seção transversa, com área A e momento de inércia I, e materia com móduo de easticidade E. A reação entre A e I é dada por A/I = m -. A Figura 6.9 mostra as desocabiidades e o correspondente Sistema Hipergeométrico. Figura 6.8 Exempo de soução de pórtico com articuação interna. D D D Desocabiidades D 6 D 5 D 4 Sistema Hipergeométrico (SH) Figura 6.9 Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 6.8. Assim como no exempo da seção anterior, o objetivo principa deste exempo é mostrar a determinação dos coeficientes de rigidez gobais em função dos coeficientes de rigidez ocais da barras. Essa determinação é simpes pois as barras da

224 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha estrutura são perpendicuares entre si. Quando existem barras incinadas, é preciso converter coeficientes de rigidez ocais das direções ocais para as direções gobais. Isso porque os coeficientes de rigidez gobais são formados por somas de contribuições dos coeficientes de rigidez ocais das diversas barras. Para poderem ser somados, os coeficientes ocais devem ter as mesmas direções (horizontais ou verticais). A próxima seção apresenta um exempo com barra incinada, onde vai ser mostrado como se faz esta conversão. Observe nas Figuras 6.8 e 6.9 que a articuação do nó superior direito é considerada na extremidade direita da barra horizonta (da viga). A outra possibiidade para considerar a rótua seria na seção superior da barra vertica (couna) da direita. Ainda haveria uma outra possibiidade que seria considerar as duas barras articuadas neste nó. Isso geraria, como será mostrado no próximo capítuo, uma indeterminação do sistema de equações finais de equiíbrio quanto ao vaor da rotação D 6. Na verdade, isso resuta em um truque de cácuo em que esta rotação não é considerada como desocabiidade. Essa discussão vai ser deixada para o próximo capítuo. A superposição de casos básicos utiizando como estrutura auxiiar o SH é mostrada a seguir. Em cada caso básico são mostradas as configurações deformadas impostas e estão indicados os correspondentes momentos fetores nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais apresentada na Seção 6.4. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β β 5 β 6 β β β M [knm] β = kn β = + 7,5 kn β = + 45 knm β 4 = β 5 = +,5 kn β 6 = Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.8. Os termos de carga β i são indicados na Figura 6. com seus sentidos positivos. O sentido rea vai ser dado peo sina do termo. Se for negativo, isso indica que o sentido é contrário ao desenhado. Para o caso (), é necessária a soução prévia das reações de engastamento perfeito de uma viga engastada na esquerda e articuada

225 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos na direita devido a uma carga uniformemente distribuída. Essa soução é mostrada na Seção do Capítuo 4 (veja a Figura 4.4). O momento fetor que aparece na extremidade esquerda da viga da estrutura é igua a + 6 /8 = + 45 knm, ta como indicado na Figura 6.. Os vaores, com sina, dos termos de carga mostrados na Figura 6. são obtidos com base nas cargas apicadas e na soução de engastamento perfeito para a viga com uma rótua na extremidade direita (veja a Figura 4.4). Os procedimentos para a determinação dos coeficientes de rigidez gobais K ij do exempo desta seção são anáogos aos que foram feitos para o exempo da seção anterior e estão mostrados nas Figuras 6. a 6.6. Entretanto, essas figuras não indicam os esforços que atuam nas extremidades das barras isoadas em cada caso básico. O raciocínio para a obtenção dos coeficientes gobais pode ser feito consutando as figuras dos coeficientes de rigidez ocais da Seção 4.4. do Capítuo 4. Os coeficientes de rigidez gobais dos casos () a (6) estão indicados com seus sentidos positivos nas Figuras 6. a 6.6. O sentido rea é dado peo sina. Se o sina for negativo, o sentido rea é contrário ao desenhado. Os vaores dos coeficientes dos casos () a (6) também estão mostrados nas figuras correspondentes em função dos parâmetros de rigidez axia EA e de rigidez à fexão EI. É interessante observar a infuência da articuação da barra horizonta na determinação dos coeficientes de rigidez da estrutura. Por exempo, devido a essa articuação, nos casos básicos (), () e (5) (Figuras 6., 6. e 6.5) os coeficientes K 6, K 6 e K 65 são nuos, apesar de a barra horizonta estar sendo mobiizada à fexão. Note também que a barra horizonta não é mobiizada à fexão no caso (6) (Figura 6.6). Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K K 5 K 6 K K K 4 +6EI/4 M EI/4 6EI/4 +6EI/4 x D K = + EA/6 + EI/4 K = + K = + 6EI/4 K 4 = EA/6 K 5 = K 6 = Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.8.

226 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K 5 K 6 K D = K K 4 +EI/6 M x D EA/4 K = + K = + EI/6 + EA/4 K = + EI/6 + K 4 = K 5 = EI/6 K 6 = Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.8. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K 5 K 6 K K D = K 4 +4EI/4 +EI/6 6EI/4 D = EI/4 +EI/4 M x D K = + 6EI/4 K = + EI/6 + K = + EI/6 + 4EI/4 K 4 = K 5 = EI/6 K 6 = Figura 6. Caso () da estrutura da Figura 6.8.

227 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos Caso (4) Desocabiidade D 4 isoada no SH K 4 K4 D 4 = K 54 K 64 K 4 K 44 +6EI/4 M 4 EI/4 6EI/4 +6EI/4 x D 4 K 4 = EA/6 K 4 = K 4 = K 44 = + EA/6 + EI/4 K 54 = + K 64 = + 6EI/4 Figura 6.4 Caso (4) da estrutura da Figura 6.8. Caso (5) Desocabiidade D 5 isoada no SH K 5 K 55 K 65 K 45 K 5 K 5 D 5 = EI/6 M 5 x D 5 EA/4 K 5 = K 5 = EI/6 K 5 = EI/6 K 45 = + K 55 = + EI/6 + EA/4 K 65 = + Figura 6.5 Caso (5) da estrutura da Figura 6.8.

228 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso (6) Desocabiidade D 6 isoada no SH K 6 K 56 K 66 K 6 K 6 K 46 +4EI/4 6EI/4 D 6 = EI/4 M 6 +EI/4 x D 6 K 6 = K 6 = K 6 = K 46 = + 6EI/4 K 56 = + K 66 = + 4EI/4 Figura 6.6 Caso (6) da estrutura da Figura 6.8. Equações de equiíbrio O sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos, expressão (6.5), para o exempo desta seção contém seis condições de equiíbrio, uma para cada desocabiidade. Utiizando a reação fornecida A/I = m -, pode-se coocar os coeficientes de rigidez gobais em função do parâmetro de rigidez à fexão EI. Isso resuta no sistema de equações mostrado em seguida, cuja soução também é indicada em função de EI:, D + 7, D + 45, D = EI = ; D4 +, D D6 D D D D D D = + 56,55 EI = 6,5 EI = 68,75 EI. = + 7,5 EI = 56,65 EI = 5,45 EI

229 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 5 Determinação do diagrama de momentos fetores finais A configuração deformada fina da estrutura e o diagrama de momentos fetores, obtido pea superposição dos diagramas dos casos básicos dada pea Equação (6.4), estão indicados na Figura 6.7. Configuração deformada: (ampiada exageradamente) Indicação dos momentos fetores usando a convenção de sinais: D D 4 D 5 +, D D, D D 6 M [knm] +4, +5,7 Sentidos dos momentos fetores nas extremidades das barras: Diagrama de momentos fetores: (traçado do ado das fibras tracionadas),, 4, 5,7 M [knm] Figura 6.7 Configuração deformada e diagrama de momentos fetores da estrutura da Figura 6.8. Observa-se pea soução do exempo desta seção que o Método dos Desocamentos tem uma metodoogia com procedimentos simpes e padronizados. Entretanto, neste exempo e no anterior só foram consideradas barras horizontais e verticais. A próxima seção vai mostrar a soução de uma estrutura com uma barra incinada Pórtico com barra incinada Nos exempos apresentados nas Seções 6.5, 6.6. e 6.6. as barras são horizontais ou verticais. Isso faz com que os coeficientes de rigidez ocais, nas direções ocais, sejam horizontais ou verticais, podendo ser somados diretamente para determinar os coeficientes de rigidez gobais da estrutura. Esta seção mostra os procedimentos necessários para considerar uma barra incinada. O mesmo exempo mostrado na Seção 6. (Figura 6.) vai ser estudado nesta seção para mostrar os cácuos dos coeficientes de rigidez gobais quando uma das barras é incinada. O caso básico () desse exempo, mostrado na Figura 6.5, não sofre a

230 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha infuência da barra incinada, visto que somente a barra horizonta tem carregamento. O cácuos dos coeficientes de rigidez gobais dos casos básicos (), () e () são expicados nas Figuras 6.8, 6.9 e 6.4. Esse cácuo continua sendo feito somandose os vaores dos coeficientes de rigidez ocais das barras que são mobiizadas na configuração deformada imposta em cada caso. Entretanto, para uma barra incinada, a imposição de uma desocabiidade na direção horizonta ou vertica acarreta deformações axiais e transversais combinadas. Por outro ado, esforços axiais e transversais na barra incinada devem ser projetados para as direções horizonta e vertica para compor um coeficiente de rigidez goba. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K senθ = 4/5 K cosθ = /5 K θ x D (6EI/5 ) senθ K = +(EA/5) cos θ + (EI/5 ) sen θ + EA/6 K = +(EA/5) cosθ senθ (EI/5 ) senθ cosθ K = +(6EI/5 ) senθ (EA/5) cosθ (EA/6) (EI/5 ) senθ (EA/6) (EI/5 ) senθ (EA/5) cosθ (6EI/5 ) senθ Figura 6.8 Cácuo dos coeficientes de rigidez do caso () da estrutura da Figura 6.. O caso básico () da soução da estrutura da Figura 6. está detahado na Figura 6.8. Observa-se nessa figura que o desocamento horizonta D = imposto, quando projetado nas direções dos eixos ocais da barra incinada, tem uma componente axia igua a cosθ e uma componente transversa igua a senθ, sendo θ o ânguo que a barra incinada faz com o eixo horizonta da estrutura. Dessa forma, a barra incinada é mobiizada tanto axiamente quanto transversamente. Com base nas componentes axia e transversa do desocamento imposto, é possíve determinar as forças e os momentos que devem atuar nas extremidades da barra incinada para ea acançar o equiíbrio na configuração deformada imposta. Os vaores das forças e dos momentos são obtidos em função dos coeficientes de rigi-

231 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 7 dez ocais da barra e estão indicados na Figura 6.8 nas direções dos seus eixos ocais (com seus sentidos físicos reais). Resta cacuar os coeficientes de rigidez gobais para o caso (). Para determinar os coeficientes K e K, é necessário projetar as forças axia e transversa que atuam no topo da barra incinada nas direções horizonta e vertica desses coeficientes. O coeficiente de rigidez K é obtido pea soma das projeções horizontais das forças axia e transversa com a força axia que atua na barra horizonta. O coeficiente de rigidez K é obtido pea soma das projeções verticais das forças axia e transversa no topo da barra incinada, sendo que não há uma contribuição da barra horizonta para esse coeficiente. Finamente, o coeficiente de rigidez K é cacuado pea soma dos momentos que atuam nas extremidades das barras incinada e horizonta, considerando os seus sentidos reais. Os vaores desses coeficientes estão mostrados na Figura 6.8 em função dos parâmetros de rigidez axia EA e de rigidez à fexão EI. Os vaores numéricos dos coeficientes, indicados na Figura 6.6, foram cacuados considerando o móduo de easticidade do materia E =, 7 kn/m, a área A =, - m e o momento de inércia I =, - m 4 da seção transversa das barras. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K K K senθ = 4/5 cosθ = /5 θ (EA/5) senθ (EI/5 ) cosθ K = +(EA/5) senθ cosθ (EI/5 ) cosθ senθ EI/6 6EI/6 6EI/6 x D K = +(EA/5) sen θ + (EI/5 ) cos θ + EI/6 K = (6EI/5 ) cosθ + 6EI/6 (6EI/5 ) cosθ (6EI/5 ) cosθ EI/6 (EA/5) senθ (EI/5 ) cosθ Figura 6.9 Cácuo dos coeficientes de rigidez do caso () da estrutura da Figura 6.. A Figura 6.9 mostra o caso básico () da soução dessa estrutura. As projeções nas direções dos eixos ocais da barra incinada do desocamento vertica D = resutam em uma componente axia igua a senθ e em uma componente transversa i- gua a cosθ.

232 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Utiizando os coeficientes de rigidez ocais da barra incinada, determinam-se as forças e os momentos que atuam nas suas extremidades para essa configuração deformada imposta. O coeficiente de rigidez goba K é obtido pea soma das projeções horizontais das forças axia e transversa no topo da barra incinada, sendo que a barra horizonta não contribui para esse coeficiente (não foi mobiizada axiamente). O coeficiente de rigidez goba K é cacuado pea soma das projeções verticais das forças axia e transversa da barra incinada com a força transversa da barra horizonta. O coeficiente de rigidez goba K é obtido pea soma (com sina) dos momentos que atuam nas duas barras nas extremidades que se tocam. Os vaores finais desses três coeficientes estão indicados na Figura 6.7. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K D = K K θ senθ = 4/5 cosθ = /5 6EI/6 EI/6 x D K = +(6EI/5 ) senθ 4EI/5 K = (6EI/5 ) cosθ + 6EI/6 K = +4EI/5 + 4EI/6 6EI/5 4EI/6 6EI/6 6EI/5 EI/5 Figura 6.4 Cácuo dos coeficientes de rigidez do caso () da estrutura da Figura 6.. O caso básico () do exempo da barra incinada é mais simpes pois a rotação D = imposta provoca apenas configurações deformadas eementares (não compostas) nas duas barras. Para obter os coeficientes de rigidez gobais desse caso basta projetar a contribuição da barra incinada nas direções dos eixos gobais e somá-a com a contribuição da barra horizonta. Isso está mostrado na Figura 6.4. Os vaores finais desses coeficientes estão indicados na Figura 6.8.

233 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos 9 Determinação do diagrama de momentos fetores finais O sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos para o exempo da barra incinada já foi mostrado nas Seções 6. e 6.. A soução dessas equações resuta nos vaores das desocabiidades da estrutura: D = +,45 m; D =,5 m; D =,75 rad. Com base nesses vaores, é possíve determinar o diagrama de momentos fetores finais da estrutura, o que é feito pea superposição dos diagramas dos casos básicos indicada na Figura (6EI/5 ) senθ M [knm] +(6EI/5 ) senθ M (para D = ) (6EI/5 ) cosθ (6EI/5 ) cosθ +6EI/6 +6EI/6 M (para D = ) +4EI/5 +EI/5 +4EI/6 +EI/6 M (para D = ) M = M + M D + M D + M D 5, +5,,,9 M [knm] M [knm] Figura 6.4 Diagrama de momentos fetores finais da estrutura da Figura 6.. Observa-se peo exempo desta seção que a soução de uma estrutura com barra incinada é um pouco mais compexa do que a soução de uma estrutura só com barras horizontais e verticais. No caso de barras incinadas, os coeficientes de rigidez ocais, nas direções ocais, não podem ser somados diretamente para compor os coeficientes de rigidez gobais. O procedimento adotado para determinar a contribuição dos coeficientes de rigidez ocais de uma barra incinada é dividido em duas etapas. Primeiro, uma desocabiidade goba do tipo desocamento que é

234 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha imposta é decomposta em uma componente axia e outra transversa em reação à barra incinada. Segundo, os coeficientes de rigidez ocais gerados independentemente para as componentes axia e transversa da desocabiidade são projetados nas direções da desocabiidade goba da estrutura (horizonta ou vertica). Esse procedimento pode ser impementado de uma forma genérica em um programa de computador para a anáise de estruturas peo Método dos Desocamentos. Isso será mostrado no Capítuo 9 como um dos procedimentos do Método da Rigidez Direta. Os exempos mostrados neste capítuo saientam a característica mais marcante do Método dos Desocamentos: a soma de contribuições de coeficientes de rigidez (ocais) de barras para compor um coeficiente de rigidez goba da estrutura. Essa característica permite a concepção de agoritmos simpes para a anáise de estruturas. Isso é exporado na impementação de programas de computador, que em gera utiizam esse método. O Capítuo 9 mostra o agoritmo que é utiizado para montagem da matriz de rigidez goba em função das matrizes de rigidez ocais das barras que compõem a estrutura. Entretanto, a resoução manua de uma estrutura peo método é dificutada peo número excessivo de equações de equiíbrio geradas (uma para cada desocabiidade). A presença de barras incinadas também torna a anáise manua de estruturas muito trabahosa. Pode-se concuir que a soução manua de uma estrutura peo Método dos Desocamentos para uma estrutura genérica (com muitas barras, sendo agumas incinadas) é muito difíci de ser reaizada. Reamente, atuamente não se concebe mais anaisar uma estrutura sem o auxíio de um programa de computador. Entretanto, agumas vezes é necessário anaisar manuamente uma estrutura. Isso é feito, em gera, para se adquirir sensibiidade sobre o comportamento da estrutura ou para entender a metodoogia de anáise do Método dos Desocamentos. Com esses objetivos, o próximo capítuo considera uma série de simpificações que são adotadas para viabiizar a resoução manua de uma estrutura por esse método.

235 7. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS DEFORMAÇÕES O Método dos Desocamentos, conforme apresentado no capítuo anterior, tem uma metodoogia de cácuo bem mais simpes do que a metodoogia do Método das Forças, apresentado no Capítuo 5. Aguns aspectos podem ser enumerados para caracterizar esse fato. Por exempo, no Método dos Desocamentos só existe uma opção para a escoha do Sistema Hipergeométrico (estrutura cinematicamente determinada utiizada nos casos básicos), enquanto que no Método das Forças existem várias opções para a escoha do Sistema Principa (estrutura estaticamente determinada utiizada nos casos básicos). Também pode ser observado que o cácuo dos vaores dos coeficientes de rigidez do sistema de equações finais de equiíbrio do Método dos Desocamentos é muito mais simpes (soma direta de coeficientes de rigidez de barras) do que o cácuo dos coeficientes de fexibiidade do Método das Forças (integrais de energia de deformação). Esses dois fatores justificam o fato da maioria dos programas de computador para anáise de estruturas adotar o Método dos Desocamentos em suas impementações. Entretanto, a apicação do método (na forma apresentada no capítuo anterior) para a resoução manua de uma estrutura é muito trabahosa. Isso se deve ao número excessivo de incógnitas (desocabiidades) que resuta da soução, mesmo para estruturas simpes, e à compexidade na consideração de barras incinadas. Na verdade, a forma apresentada no capítuo anterior para o Método dos Desocamentos é dirigida para uma soução por computador. A formaização do método para uma impementação computaciona será vista no Capítuo 9, onde é apresentado o Método da Rigidez Direta. Este capítuo faz uma apresentação do Método dos Desocamentos de uma forma cássica, votada para a resoução manua sem auxíio de computador, procurando diminuir ao máximo o número de desocabiidades. Essa é forma em que o método era apresentado em ivros tradicionais de anáise de estruturas reticuadas, como o de Süssekind (977-). Para tanto, são introduzidas simpificações no comportamento das barras com respeito às suas deformações. Isto é, são adotadas restrições nas deformações das barras, como, por exempo, a hipótese de que as barras não se deformam axiamente. Essa hipótese também é adotada comumente na resoução manua peo Método das Forças quando se despreza a parcea de energia de deformação axia no cácuo dos coeficientes de fexibiidade e termos de carga.

236 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Resumindo, este capítuo apresenta o Método dos Desocamentos com restrições nas deformações de barras com os seguintes objetivos: Reduzir o número de desocabiidades da estrutura, visando principamente uma resoução manua. Caracterizar o comportamento de pórticos (quadros) com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações transversais por fexão das barras. Embora a motivação inicia seja reduzir o número de desocabiidades de uma estrutura, o segundo objetivo é o mais importante na presente abordagem. O eementos estruturais de um pórtico rea têm deformações axiais muito menores do que as deformações transversais por fexão. Portanto, a consideração de barras sem deformação axia (chamadas de barras inextensíveis) é uma aproximação razoáve para o comportamento de um quadro. A hipótese de barras inextensíveis possibiita o entendimento do conceito de contraventamento ou travejamento de pórticos, que é muito importante no projeto de estruturas. A apresentação desse conceito é um dos principais objetivos deste capítuo. Aém disso, este capítuo apresenta aguns macetes de cácuo, ta como eiminação de trechos em baanço, que também reduzem o número de incógnitas na soução peo Método dos Desocamentos, sem introduzir nenhuma simpificação quanto ao comportamento das estruturas. 7.. Cassificação das simpificações adotadas Pode-se cassificar as simpificações adotadas para diminuir o número de desocabiidades na soução de uma estrutura reticuada em quatro tipos: Eiminação de trechos em baanço; Consideração de barras inextensíveis; Eiminação de desocabiidades do tipo rotação de nós quando todas as barras adjacentes são articuadas no nó; Consideração de barras infinitamente rígidas. A primeira simpificação é, na verdade, um macete de cácuo, visto que trechos em baanço de pórticos podem ter seus esforços internos determinados isostaticamente (basta cacuar os esforços a partir das extremidades ivres do baanço). A Figura 7. mostra um exempo dessa simpificação. A estrutura é dividida em duas partes: o trecho em baanço e o restante. O baanço é cacuado como uma estrutura isostática engastada no ponto de contato com o restante do pórtico. O pórtico, sem o baanço, é cacuado para uma força e um momento obtidos peo transporte da força que atua no baanço para o ponto de contato.

237 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações P P M = P P Figura 7. Separação do trecho em baanço de um pórtico pano. A conseqüência da soução do pórtico da Figura 7. com a eiminação do trecho em baanço é evidente. Considerando que cada nó sem restrição de apoio tem desocabiidades, a estrutura competa com baanço tem desocabiidades. A mesma estrutura sem o baanço tem apenas 6 desocabiidades. É obvio que o cácuo de desocamentos nos pontos do baanço depende da resposta do restante da estrutura. Entretanto, esse cácuo pode ser feito por superposição de efeitos, somando-se aos desocamentos do baanço, considerado como engastado, o movimento de corpo rígido associado aos desocamentos e à rotação do ponto de contato do restante do pórtico com o baanço. 7.. Consideração de barras inextensíveis Uma simpificação comumente adotada na resoução manua de estruturas peo Método dos Desocamentos é a de que as barras não se deformam axiamente. Essa simpificação é chamada de hipótese de barras inextensíveis e está fundamentada no fato de que as barras usuais de um pórtico têm em gera uma deformação axia muito menor do que as deformações transversais devidas ao efeito de fexão. Um exempo disso foi mostrado na Seção 4... do Capítuo 4. Deve-se observar que a soução de uma estrutura com base nessa hipótese difere um pouco da soução sem a simpificação. Portanto, deve-se tomar cuidado com a adoção dessa hipótese, que só se justifica para a resoução manua de pórticos panos pequenos. A consideração de barras sem deformação axia, com o objetivo de diminuir o número de desocabiidades de uma estrutura reticuada, está sempre associada à hipótese de pequenos desocamentos. A combinação dessas duas simpificações tem como conseqüência uma redução drástica no número de desocabiidades do tipo transação, não afetando o número de desocabiidades do tipo rotação. Isso é expicado em seguida.

238 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Considere o pórtico da Figura 7., cujas counas (barras verticais) por hipótese não têm deformação axia. Com essa hipótese, a distância entre um nó superior de um ado da estrutura e o nó correspondente na base não pode se aterar. Como os nós da base são fixos, os nós superiores têm seus movimentos restringidos a um arco de círcuo centrado no nó correspondente da base, ta como indica a Figura 7.-a. Esses arcos de círcuo são os ugares geométricos (LG) que definem as possíveis posições que os nós superiores do pórtico podem ocupar quando se considera as counas inextensíveis. LG do nó superior para grandes desocamentos LG do nó superior para pequenos desocamentos (a) Figura 7. Lugares geométricos (LG) dos nós superiores de um pórtico com counas inextensíveis. Adotando-se também a hipótese de pequenos desocamentos, pode-se aproximar o arco de círcuo por uma tangente ao círcuo, ta como indicado na Figura 7.-b. Dessa forma, o LG de um nó superior é uma reta horizonta transversa ao eixo da couna correspondente. Pode-se generaizar a conseqüência da combinação da hipótese de barras inextensíveis com a hipótese de pequenos desocamentos da seguinte maneira: Hipótese de barras inextensíveis (com pequenos desocamentos): os dois nós extremos de uma barra só podem se desocar reativamente na direção transversa ao eixo da barra. Com base nessa hipótese, anaisa-se a configuração deformada do pórtico da Figura 7.. As três barras do pórtico são inextensíveis e a soicitação é uma carga horizonta P apicada no topo. (b) P b h b Figura 7. Configuração deformada (ampiada exageradamente) de um pórtico com barras inextensíveis para uma carga horizonta no topo.

239 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 5 Observe na Figura 7. que os nós superiores na configuração deformada têm a mesma cota vertica h (em reação à base) da configuração indeformada, embora as counas apresentem desocamentos transversais por fexão. Aparentemente as counas deveriam ter se aongado para isso ser possíve. De maneira anáoga, os dois nós superiores continuam tendo a mesma distância b entre si na configuração deformada (os nós superiores têm o mesmo desocamento horizonta ), embora a viga tenha se deformado transversamente. Essas aparentes inconsistências só fazem sentido se os desocamentos reamente forem pequenos. Na verdade, o que se considera com a hipótese de barras inextensíveis (com pequenos desocamentos) é: a distância, na direção do eixo indeformado, entre os dois nós extremos de uma barra não se atera quando esta se deforma transversamente por fexão. A consideração de barras inextensíveis para a estrutura da Figura 7. resuta na redução do número de desocabiidades do tipo transação. A Figura 7.4-a indica as desocabiidades dessa estrutura para o caso de barras extensíveis e a Figura 7.4- b indica as desocabiidades para o caso de barras inextensíveis. Neste caso, como os LG s dos dois nós superiores são retas horizontais, esses nós não têm desocamentos verticais. Portanto, D = e D 5 =, isto é, duas desocabiidades do tipo transação são eiminadas. Aém disso, os dois nós superiores têm desocamentos horizontais que são iguais, portanto D 4 = D. Isso eimina mais uma desocabiidade do tipo transação, pois o mesmo parâmetro de desocabiidade horizonta está associado aos dois nós superiores. Portanto, o número de desocabiidades é reduzido de 6 para. barras inextensíveis D D barras extensíveis D D 6 D 5 D 4 D = D 5 = D D 4 = D D D 6 (a) Figura 7.4 Redução do número de desocabiidades para o pórtico da Figura 7.. Como foi dito, a consideração de barras inextensíveis não afeta as desocabiidades do tipo rotação. Essa hipótese apenas reduz o número de desocabiidades do tipo transação. Entretanto, essa vantagem é acompanhada de uma desvantagem, que é a compexidade na identificação das desocabiidades do tipo transação. A Seção 7.. resume as regras que são utiizadas para determinar desocabiidades do tipo transação em pórticos panos com barras inextensíveis. (b)

240 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Com a simpificação de barras inextensíveis é feita uma renumeração das desocabiidades resutantes. É costume numerar primeiro as desocabiidades do tipo rotação e depois as desocabiidades do tipo transação. Para a estrutura da Figura 7., isso resuta na numeração mostrada na Figura 7.5. A Figura 7.5-a indica as desocabiidades com a notação adotada, e a Figura 7.5-b indica a interpretação física das desocabiidades. D D D D D D D D (a) D D Figura 7.5 Renumeração das desocabiidades para o pórtico da Figura 7.. No restante deste ivro a seguinte terminoogia será adotada (Süssekind 977-): Desocabiidades internas: são as desocabiidades do tipo rotação. Desocabiidades externas: são as desocabiidades do tipo transação. di: número tota de desocabiidades internas. de: número tota de desocabiidades externas. Na estrutura da Figura 7.5, D e D são desocabiidades internas, D é uma desocabiidade externa, di = e de =. (b) 7... Exempo de soução de pórtico com barras inextensíveis Para exempificar a soução de um pórtico pano com barras inextensíveis peo Método dos Desocamentos, o exempo adotado na Seção 6.6. será anaisado novamente. O objetivo é fazer uma comparação com a soução com barras extensíveis do capítuo anterior. A Figura 7.6 mostra o modeo estrutura desse exempo. Figura 7.6 Exempo de pórtico com barras inextensíveis e articuação na viga.

241 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 7 Assim como na Seção 6.6., a articuação do nó superior direito é considerada na extremidade direita da barra horizonta (da viga). A Seção 7. vai mostrar outras possibiidades para considerar essa articuação. As três barras inextensíveis têm a mesma seção transversa, com momento de inércia I, e materia com móduo de easticidade E. Na Seção 6.6. foi adotada uma reação entre a área e o momento de inércia da seção transversa dada por A/I = m -. A hipótese de barras inextensíveis é anáoga a considerar um vaor infinito para essa reação. A Figura 7.7 mostra as desocabiidades e o correspondente Sistema Hipergeométrico (SH) da estrutura da Figura 7.6. Observa-se nessa figura que o SH apresenta apenas três apoios fictícios. Desocabiidades Sistema Hipergeométrico (SH) D D D D Figura 7.7 Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 7.6. Com respeito às desocabiidades internas, as chapas e do SH fixam as rotações D e D dos nós superiores. Observa-se que a chapa impede a rotação da seção do topo da couna, pois a articuação interna está sendo considerada (modeada) na extremidade direita da viga. Vê-se que a consideração de barras inextensíveis não atera a adição de apoios para o impedimento de desocabiidades internas: na criação do SH, uma chapa fictícia é adicionada para cada rotação ivre. Por outro ado, a adição de apoios no SH para impedir desocabiidades externas requer uma anáise adiciona. Como os nós superiores não têm desocamentos verticais (counas inextensíveis), não é necessário adicionar apoios fictícios para impedir esses desocamentos. Aém disso, apenas um apoio (o apoio ) é necessário para fixar o desocamento horizonta D dos dois nós superiores. Como a viga é inextensíve, o apoio adicionado no nó superior esquerdo também impede o desocamento horizonta do nó superior direito. Na verdade, o apoio pode ser coocado indistintamente em quaquer um dos dois nós superiores. Nas duas situações o movimento horizonta dos nós superiores fica impedido. Esse exempo mostra que a criação do SH (e a identificação das desocabiidades) de um pórtico com barras inextensíveis não é tão direta como é para o caso de barras extensíveis. Com barras extensíveis, cada nó superior do pórtico tem três desocabiidades (dois desocamentos e uma rotação). Portanto, a criação do SH é

242 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha simpes: basta adicionar três apoios fictícios por nó (veja a Figura 6.9). Já no caso de barras inextensíveis, a criação do SH do exempo é feita em duas fases. Na primeira, são inseridas duas chapas para impedir as desocabiidades internas. Na segunda é feita uma anáise para identificar que é necessário inserir apenas um apoio fictício no SH para fixar a desocabiidade externa. Essa anáise adiciona é o preço que se paga para diminuir o número de desocabiidades quando se adota a hipótese de barras inextensíveis. Isso pode ser reativamente compexo no caso gera, principamente quando existirem barras incinadas. A Seção 7.. a seguir estabeece regras gerais para a adição de apoios fictícios no SH para impedir desocabiidades externas de pórticos panos com barras inextensíveis. Uma vez obtido o SH da estrutura da Figura 7.6, a metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos segue o procedimento padrão de superposição de casos básicos. Como a estrutura tem três desocabiidades, existem quatro casos básicos: o caso () isoa o efeito da soicitação externa no SH e os demais casos isoam, individuamente, os efeitos das desocabiidades. Isso é mostrado a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β β β +45 M [knm] β = + 45 knm β = Figura 7.8 Caso () da estrutura da Figura 7.6. β = kn A Figura 7.8 mostra que o caso () desse exempo é semehante ao do exempo da Seção 6.6. com barras extensíveis. A principa diferença está na transmissão dos esforços cortantes das extremidades da viga para esforços normais nas counas. Como não foram adicionados apoios fictícios no SH para impedir os desocamentos verticais dos nós superiores, a viga vai buscar apoio na base da estrutura. Isto é, os cortantes que devem atuar nas extremidades da viga (com os dois nós extremos engastados) são fornecidos peas reações verticais dos apoios originais da base da estrutura. Vê-se que as counas, por serem inextensíveis, têm que transmitir, via esforço axia, as reações da base para os cortantes nas extremidades da viga.

243 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 9 Essa anáise eva a concuir que as counas inextensíveis têm esforços normais indefinidos a priori. Isto é, os esforços normais nas counas são conseqüência dos esforços cortantes na viga. De fato, como a barra não tem deformação axia, o seu esforço axia pode assumir quaquer vaor. Visto de uma outra forma, as counas inextensíveis são requisitadas a transmitir (via esforço norma) os esforços cortantes das extremidades da viga em substituição aos apoios fictícios que não foram necessários para criar o SH. Observa-se também que a determinação das reações nos apoios do SH (tanto reais quanto fictícios) é feita com base na configuração deformada que é imposta. No caso () mostrado na Figura 7.8, as reações verticais da base foram determinadas peos vaores dos esforços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga para que ea tenha uma configuração deformada com todos os nós fixos e a soicitação externa atuando. Isso é uma característica do Método dos Desocamentos. É sempre assim: conhecese a configuração deformada e, então, se determinam os esforços e reações de apoio. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K D = K +4EI/4 +EI/6 D = M 6EI/4 EI/4 EI/6 EI/6 +EI/4 K = + EI/6 + 4EI/4 K = x D K = + 6EI/4 Figura 7.9 Caso () da estrutura da Figura 7.6. O caso () desse exempo está mostrado na Figura 7.9. Os coeficientes de rigidez gobais correspondentes a esse caso também estão indicados na figura. Como no caso () acima, as reações verticais dos apoios da base são determinadas peos esforços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga, que são transmitidos via esforços normais peas counas. Essa transmissão pode ser entendida com base na Figura 7., que mostra as barras do caso () isoadas, indicando os esforços que atuam nas suas extremidades. Observa-se que o coeficiente K é obtido pea soma dos momentos que devem atuar nas extremidades da viga e da couna que sofrem a rotação D = que é imposta.

244 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O coeficiente K é nuo pois a viga é articuada na direita, não aparecendo um momento na chapa. O coeficiente K corresponde ao esforço cortante no topo da couna da esquerda. E, finamente, observa-se que os esforços cortantes nas extremidades da viga correspondem aos esforços normais nas counas. K = + EI/6 + 4EI/4 EI/6 D = EI/6 4EI/4 EI/6 EI/6 EI/6 K = + 6EI/4 6EI/4 D = x D 6EI/4 EI/4 EI/6 EI/6 Figura 7. Isoamento das barras no caso () da estrutura da Figura 7.6. É interessante comparar esse caso com o correspondente para barras extensíveis, indicado na Figura 6.. Para barras extensíveis, como existem apoios fictícios no SH que impedem os desocamentos verticais dos nós superiores, os cortantes nas extremidades da viga não são transmitidos para as counas e morrem ogo nos apoios adjacentes. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K K +4EI/4 D = M 6EI/4 EI/4 +EI/4 x D K = K = + 4EI/4 K = + 6EI/4 Figura 7. Caso () da estrutura da Figura 7.6.

245 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 4 A Figura 7. indica o caso () desse exempo, com os correspondentes coeficientes de rigidez gobais. A característica mais importante a ser observada nesse caso é que o coeficiente de rigidez K corresponde ao esforço cortante no topo da couna da direita. Isto é, o apoio, que fica na esquerda do pórtico, está recebendo o esforço cortante da couna do outro ado. Esse esforço cortante está sendo transmitido via esforço norma pea viga, ta como é mostrado na Figura 7.. K = + 6EI/4 6EI/4 6EI/4 K = + 4EI/4 6EI/4 4EI/4 x D 6EI/4 D = EI/4 Figura 7. Isoamento das barras no caso () da estrutura da Figura 7.6. Observe que a configuração deformada do SH nesse caso é a mesma que no caso correspondente para barras extensíveis mostrado na Figura 6.6. Entretanto, naquee caso a viga não é soicitada a esforço norma, pois existe um apoio adjacente ao nó superior direito que impede o seu desocamento horizonta. Esse tipo de anáise evidencia a compexidade adiciona da resoução peo Método dos Desocamentos para barras inextensíveis. A grande vantagem desse método era justamente a simpicidade nos procedimentos, que podiam ser facimente automatizados. Por isso, na impementação computaciona do método, considera-se em gera barras sem nenhuma restrição nas deformações, embora isso acarrete um maior número de incógnitas. A anáise com a hipótese de barras inextensíveis, como dito, só se justifica na resoução manua. Existe uma maneira aternativa para se determinar o vaor do coeficiente de rigidez K, que é baseada no equiíbrio goba do SH. O ponto de partida dentro da metodoogia do Método dos Desocamentos é sempre a configuração deformada imposta. Com base na configuração deformada do caso (), na qua é imposta uma rotação D =, os esforços cortantes e momentos fetores de todas as barras ficam determinados. Por conseguinte, as reações de apoio na base da estrutura também ficam determinadas. Nesse caso, como mostra a Figura 7., a reação horizonta na couna da esquerda é nua e a reação horizonta na couna da direita é igua a 6EI/4, da direita para a esquerda Finamente, o coeficiente de rigidez K é determinado impondo que o somatório de todas as forças horizontais seja nuo. Essa maneira aternativa nem sempre é possíve de ser apicada. Nesse caso foi possíve pois existia apenas uma incógnita com reação ao equiíbrio na direção

246 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha horizonta. Essa aternativa por equiíbrio goba do SH vai ser saientada em outros exempos no restante do capítuo. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K D = K K +6EI/4 +6EI/4 EI/4 EI/4 +6EI/4 +6EI/4 6EI/4 6EI/4 K = + 6EI/4 + K = + 6EI/4 + K = + EI/4 + EI/4 Figura 7. Caso () da estrutura da Figura 7.6. M x D O útimo caso desse exempo é mostrado na Figura 7.. O caso () mostra que a anáise para barras inextensíveis pode ser bastante diferente da anáise para barras extensíveis. Com barras inextensíveis, quando é imposto um desocamento D = no caso (), os dois nós superiores sofrem o mesmo movimento horizonta, pois a viga nunca pode ter seu comprimento aterado. Isso significa que um desocamento imposto em um nó pode acarretar um desocamento de outro nó, o que nunca acontece para o caso de barras extensíveis. Dessa forma, as duas counas são mobiizadas (se deformam) quando o desocamento D = é imposto. Por outro ado, a viga não se deforma pois as rotações nas extremidades estão fixas, tendo apenas um movimento de corpo rígido. A Figura 7.4 expica a determinação dos coeficientes de rigidez gobais desse caso. Como se vê nessa figura, os coeficientes de rigidez K e K correspondem aos momentos fetores que devem atuar no topo das counas quando é imposto um desocamento horizonta unitário no topo, mantendo a rotação fixa. O coeficiente de rigidez K corresponde aos esforços cortantes no topo das counas, sendo que o esforço cortante da couna da direita é transmitido ao apoio fictício do SH via esforço norma na viga. Aternativamente, o coeficiente de rigidez K pode ser determinado peo equiíbrio goba do SH. Para tanto, as reações horizontais na base do pórtico ficam determinadas a priori pea configuração deformada das counas (iguais a EI/4, da direita para esquerda). A imposição de somatório nuo das forças horizontais resuta em K = +4EI/4.

247 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 4 K = + EI/4 + EI/4 EI/4 EI/4 D = D = EI/4 6EI/4 EI/4 6EI/4 K = + 6EI/4 K = + 6EI/4 x D EI/4 6EI/4 EI/4 6EI/4 Figura 7.4 Isoamento das barras no caso () da estrutura da Figura 7.6. Equações de equiíbrio e determinação do diagrama de momentos fetores finais O sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos para esse e- xempo é mostrado abaixo com a correspondente soução para as desocabiidades (em função de /EI): β β β K + K K K K K K K K D D D = EI D 8 D 8 D = D D D = 67,78 EI = 56,66 EI = + 5,6 EI. Observa-se que os vaores das desocabiidades para a soução com barras inextensíveis são igeiramente diferentes dos vaores das desocabiidades correspondentes na soução com barras extensíveis da Seção 6.6. do Capítuo 6. A rotação D da presente soução corresponde à rotação D = 68,75/EI do exempo da Seção A rotação D acima corresponde à rotação D 6 = 5,45/EI para barras extensíveis. Finamente, o desocamento horizonta D da soução com barras inextensíveis tem um vaor intermediário entre os vaores das desocabiidades horizontais (D = +56,55/EI e D 4 = +7,5/EI) dos nós superiores do pórtico com barras extensíveis. A configuração deformada fina da estrutura e o diagrama de momentos fetores, obtido pea superposição dos diagramas dos casos básicos dada pea Equação (6.4), estão indicados na Figura 7.5. Comparando essa figura com a Figura 6.7 da soução com barras extensíveis, observa-se que os momentos fetores finais das duas souções são próximos.

248 44 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Configuração deformada: (ampiada exageradamente) Indicação dos momentos fetores usando a convenção de sinais: D D +, D D D, M [knm] +,8 +8, Sentidos dos momentos fetores nas extremidades das barras: Diagrama de momentos fetores: (traçado do ado das fibras tracionadas),,,8 8, M [knm] Figura 7.5 Configuração deformada e diagrama de momentos fetores da estrutura da Figura 7.6. Na comparação entre as souções do pórtico anaisado com e sem a consideração da hipótese de barras inextensíveis, deve-se evar em conta que na Seção 6.6. foi adotada uma reação entre a área e o momento de inércia da seção transversa dada por A/I = m -, que é um vaor pequeno em reação a vaores utiizados em estruturas usuais. Quanto maior for esta reação para uma barra, mais próxima ea estará do comportamento inextensíve. Apesar disso, as diferenças entre as duas souções anaisadas não são muito grandes. Isso demonstra que a hipótese de barras inextensíveis fornece uma boa aproximação para a soução de pórticos feita manuamente Regras para determinação de desocabiidades externas de pórticos panos com barras inextensíveis No exempo resovido na seção anterior foi visto que a identificação das desocabiidades externas quando se adota a hipótese de barras inextensíveis requer uma anáise adiciona para identificar as possíveis transações que os nós de um pórtico podem sofrer. O exempo estudado é reativamente simpes, pois só tem uma barra horizonta e duas verticais. O objetivo desta seção é estabeecer regras para a identificação de desocabiidades externas (transações) de um pórtico pano quaquer com barras inextensíveis, incuindo barras incinadas.

249 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 45 Na verdade, como vai ser visto, a maneira mais simpes de se determinar as desocabiidades externas de um pórtico com barras inextensíveis é introduzindo os a- poios fictícios para a criação do SH: a cada apoio necessário para fixar uma transação noda é identificada uma desocabiidade externa. As regras apresentadas a seguir são chamadas de regras de trianguação. Para entender essas regras, considere o pórtico com duas barras inextensíveis mostrado na Figura 7.6. LG do nó superior com reação ao inferior esquerdo LG do nó superior com reação ao inferior direito Figura 7.6 Trianguação formada por um nó igado a dois nós fixo por duas barras. De acordo com a hipótese de barras inextensíveis, o nó superior da estrutura da Figura 7.6 só pode se desocar reativamente ao nó inferior esquerdo perpendicuarmente à barra da esquerda. Isso define um ugar geométrico (LG) para o nó superior. Outro LG é definido com reação ao nó inferior direito: ee só pode se desocar transversamente à barra da direita. Como o movimento do nó superior tem que satisfazer simutaneamente aos seus dois LG s, o desocamento do nó é nuo. Isto é, a única posição possíve do nó na configuração deformada da estrutura é a sua posição origina. Portanto, o nó superior não tem desocabiidades externas. Com base nesse raciocínio, para impedir desocabiidades externas de um pórtico pano com barras inextensíveis, são definidas duas regras para a adição de apoios fictícios no SH:. Um nó que estiver igado a dois nós fixos à transação por duas barras inextensíveis não ainhadas (formando um triânguo) também fica fixo à transação. Portanto, não é necessário adicionar um apoio fictício a esse nó. Caso o nó só esteja igado a um nó fixo por uma barra, ou a dois nós fixos por duas barras ainhadas, deve-se adicionar um apoio para impedir o desocamento na direção transversa ao eixo dessa(s) barra(s).. Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma trianguação se comporta como um corpo rígido para transações. Portanto, deve-se procurar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo rígido do conjunto. Aguns exempos da apicação dessas regras são apresentados a seguir para a determinação do SH de pórticos com barras inextensíveis. As desocabiidades não são indicadas: cada uma é identificada por um apoio fictício necessário para fixar os nós da estrutura.

250 46 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Esses exempos são anaisados apenas com respeito às desocabiidades externas. Entretanto, as chapas fictícias que são adicionadas para impedir desocabiidades internas também são indicadas. Uma chapa fictícia é adicionada para cada nó que tem a sua rotação ivre. Os apoios fictícios são numerados da seguinte maneira: primeiro numeram-se as chapas que impedem as desocabiidades internas; em seguida os apoios que impedem as desocabiidades externas são numerados. O primeiro exempo corresponde a um pórtico com dois pavimentos. Existem três situações: pavimentos sem barras diagonais (Figura 7.7), primeiro pavimento com uma diagona e segundo pavimento sem diagona (Figura 7.8), e os dois pavimentos com diagona (Figura 7.9) Figura 7.7 SH de um pórtico com dois pavimentos sem barras diagonais. 5 4 Figura 7.8 SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagona no primeiro pavimento. 4 Figura 7.9 SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagona em cada pavimento. No pórtico da Figura 7.7, pea regra, é necessário adicionar o apoio 5 para impedir o movimento horizonta do nó da esquerda do primeiro pavimento (o nó que tem a chapa ). Isso faz com que, também pea regra, o nó da direita desse pavimento não tenha desocamento. Isto é, o nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está igado por duas barras inextensíveis e não ainhadas a dois nós

251 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 47 fixos à transação (o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita), formando uma trianguação. Portanto, não é necessário inserir mais apoios fictícios nesse pavimento. Observe que o apoio 5 pode ser coocado tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o desocamento horizonta desse pavimento (os nós do pavimento não têm desocamentos verticais pois as counas são inextensíveis). Por raciocínio anáogo, no segundo pavimento do pórtico da Figura 7.7, é necessário adicionar apenas o apoio 6 para fixar os nós desse pavimento. Parte-se da condição de que os nós do primeiro pavimento já estão fixos. Para essa estrutura, contabiizando o número de chapas e apoios fictícios que foram inseridos para criar o SH, o número de desocabiidades internas é di = 4 e o número de desocabiidades externas é de =. No pórtico com uma diagona no primeiro pavimento mostrado na Figura 7.8 já existe uma trianguação formada peos dois nós da base com o nó que tem a chapa. Portanto, pea regra, este nó já está fixo e não é necessário adicionar um apoio para impedir a transação horizonta do primeiro pavimento. Para o segundo pavimento, o comportamento é igua ao da estrutura anterior, e é necessário adicionar o apoio 5 fixar os nós do pavimento. Nesse caso, di = 4 e de =. No útimo pórtico dessa série, o pórtico com duas diagonais mostrado na Figura 7.9, observa-se que, pea regra de trianguação, não é necessário inserir nenhum apoio para impedir desocabiidades externas (di = 4 e de = ). Esse pórtico, por não ter desocabiidades do tipo transação, é chamado de pórtico indesocáve (Süssekind 977-). As barras incinadas dos exempos acima têm a função de impedir desocamentos horizontais dos pavimentos. Essas barras são chamadas de barras de contraventamento ou travejamento, em uma ausão ao fato que essas barras enrijecem a estrutura para resistir a cargas aterais de vento. Na verdade, eas aumentam a rigidez do pórtico não somente para resistir a cargas aterais, mas também a cargas verticais que também podem provocar desocamentos horizontais, dependendo da configuração do pórtico. O conceito de contraventamento de pórticos, isto é, de inserção de barras diagonais em painéis da estrutura, é muito importante no projeto estrutura, principamente no caso de estruturas metáicas que têm as peças estruturais mais esbetas do que no caso de estruturas de concreto armado, por exempo. É necessário contraventar uma estrutura para impedir o aparecimento de grandes desocamentos horizontais. Um pórtico sem barras incinadas de contraventamento pode apresentar, apenas por causa das deformações por fexão das barras, desocamentos horizontais muito grandes, incompatíveis com o bom funcionamento de uma estrutura civi. É necessário entender que sempre vão aparecer desocamentos horizontais em um pórtico, mesmo com barras de contraventamento, pois estas também se deformam axiamente. Entretanto, como a deformação axia de uma barra usua de uma es-

252 48 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha trutura é muito menor do que as deformações transversais por fexão, os desocamentos horizontais são muito menores quando se projeta uma estrutura com barras de contraventamento. Um outro exempo de um pórtico contraventado é mostrado na Figura 7.. É interessante observar que, para tornar esta estrutura indesocáve, só é necessário introduzir uma barra incinada por pavimento (em apenas um compartimento ou baia por pavimento). Isto é, como as vigas do pavimento são inextensíveis, basta que um nó do pavimento tenha o seu movimento horizonta impedido para que todos os outros nós do pavimento também tenham seus desocamentos horizontais impedidos. Na estrutura da Figura 7., por trianguação, o nó com a chapa 7 está fixo. Também por trianguação, todos os outros nós do pavimento ficam fixos. Para o pavimento superior, o mesmo raciocínio se apica. Partindo do fato de que os nós do primeiro pavimento estão fixos, observa-se que a única diagona do segundo pavimento é suficiente para contraventar esse pavimento Figura 7. SH de um pórtico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento. No contraventamento de pórticos, é comum coocar duas diagonais com incinações opostas por pavimento. Isso porque, dependendo do sentido das cargas aterais, uma diagona vai trabahar à compressão e a outra à tração. Esse procedimento é adotado para evitar que o contraventamento deixe de surtir efeito no caso da diagona que trabaha à compressão perder a estabiidade quando submetida a vaores atos de esforços axiais (a perda de estabiidade de barras submetidas a esforços de compressão é um fenômeno que se denomina fambagem). A Figura 7. mostra o exempo de um pórtico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento. Um tirante contraventa o pavimento para cargas aterais da esquerda para direita e o outro tirante para cargas aterais no sentido oposto. Figura 7. Pórtico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento.

253 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 49 A seqüência de pórticos mostrados nas Figuras 7. a 7.5 anaisa a criação do SH para uma estrutura com três painéis no segundo pavimento, mas sem as counas centrais no primeiro pavimento Figura 7. SH de um pórtico com três painéis sem diagonais Figura 7. SH de um pórtico com três painéis e uma diagona no paine centra Figura 7.4 SH de um pórtico com três painéis e duas diagonais Figura 7.5 SH de um pórtico com três painéis e três diagonais. O primeiro pórtico, mostrado na Figura 7., não tem barras incinadas nos painéis. Nesse caso, o apoio 9 adicionado no nó da esquerda do primeiro pavimento é suficiente para impedir o movimento horizonta de todos os nós desse pavimento. Entretanto, somente os nós que têm as chapas 5 e 8 têm os desocamentos verticais fixos, pois não existem counas no pavimento inferior para restringir os desocamentos verticais dos outros nós. Portanto, os apoios e são inseridos para impedir esses desocamentos verticais. Para o segundo pavimento, como não existem barras incinadas, é necessário inserir o apoio para impedir o desocamento ho-

254 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha rizonta do pavimento. Os desocamentos verticais de todos os nós do segundo pavimento são nuos pois ees estão igados por counas (inextensíveis) aos nós do primeiro pavimento, que estão todos fixos. Portanto, mais nenhum apoio é necessário para criar o SH. O resutado em termos do número de desocabiidades é di = 8 e de = 4. O segundo pórtico dessa série (Figura 7.) tem uma diagona no paine centra do seu segundo pavimento. Após a inserção dos apoios e, essa barra incinada é suficiente para impedir as transações dos nós do segundo pavimento. Isso porque, por trianguação, o nó que tem a chapa fica fixo à transação pois está igado aos nós (fixos) que têm as chapas 6 e 7 por duas barras não ainhadas. Os demais nós do segundo pavimento também ficam fixos por trianguação, resutando em di = 8 e de =. É interessante observar que, após a adição do apoio, o apoio do SH da Figura 7. poderia ter sido coocado aternativamente fixando o movimento horizonta do nó que tem a chapa. Nesse caso, por trianguação, os nós que têm as chapas, 7, e 4 (nesta ordem) também ficariam fixos. Isso mostra que, quando se adota a hipótese de barras inextensíveis, não existe só um SH possíve, embora as aternativas sejam semehantes, como no caso da estrutura da Figura 7.. Conforme observado anteriormente, essa hipótese eimina em parte a vantagem que o Método dos Desocamentos tem na faciidade de automatização dos seus procedimentos. A própria anáise que se faz nesta seção, exporando as regras de trianguação, mostra que não é simpes criar um agoritmo para identificar desocabiidades externas em um pórtico com barras inextensíveis. A Figura 7.4 mostra o terceiro pórtico da seqüência, com diagona nos dois painéis da esquerda. Nesse caso, após a adição do apoio, o nó que tem a chapa fica fixo por causa da barra incinada no paine da esquerda. Depois disso, assim como para o SH da Figura 7., os demais nós também ficam fixos, resutando em di = 8 e de =. Finamente, na Figura 7.5 vê-se o SH do pórtico com diagona nos três painéis. Intuitivamente (pea seqüência de pórticos estudada), é de se imaginar que o número de desocabiidades externas desse pórtico seja de =. Entretanto, mesmo depois de adicionar o apoio 9 para prender o movimento horizonta do primeiro pavimento, não é possíve encontrar outro nó que se igue a dois nós fixos por duas barras não ainhadas. A única maneira de demonstrar que de = é ançando mão da regra, que até agora não foi utiizada. Observe que o conjunto de barras dos três painéis forma uma trianguação competa. Esse conjunto, pea regra, tem um comportamento de corpo rígido para transações. Para prender os movimento de corpo rígido desse conjunto, considerando que os desocamentos verticais dos nós do topo das counas inextensíveis do primeiro pavimento são nuos, vê-se que só é necessário fixar o movimento horizonta em um ponto, o que é feito peo apoio 9. Aiás, esse apoio poderia ser coocado em quaquer nó da trianguação.

255 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 5 Dois exempos adicionais são considerados para exempificar a criação de SH para pórticos panos com barras inextensíveis. Ees estão mostrados nas Figuras 7.6 e Figura 7.6 SH de um pórtico com um apoio simpes do º gênero. O pórtico da Figura 7.6 é semehante ao pórtico da Figura 7.7, com exceção de que o suporte da direita é um apoio simpes que só restringe o desocamento vertica do nó (apoio do º gênero). Nesse caso, na criação do SH, tanto a desocabiidade interna quanto o desocamento horizonta desse nó têm que ser fixados (chapa 5 e apoio 6) Figura 7.7 Duas opções para SH de um pórtico com vigas incinadas. Por útimo, a Figura 7.7 mostra um pórtico com duas vigas incinadas, mas sem uma barra horizonta que una os nós no topo das counas. Pea regra de trianguação, é preciso inserir o apoio 4 e o apoio 5 para impedir os desocamentos horizontais desses nós, ta como indicado no centro da figura. O nó que tem a chapa fica fixo após a inserção desses apoios. Aternativamente, conforme indicado à direita da figura, pode-se fixar os movimentos do nó com a chapa com os apoios 4 (horizonta) e 5 (vertica). Isso fixa, por trianguação, os dois outros nós. 7.. Simpificação para articuações competas Na Seção 7.. foi anaisado um pórtico simpes com barras inextensíveis e uma articuação (rótua) interna. Essa articuação, embora tenha sido considerada na extremidade direita da viga (veja a Figura 7.6), também articuou a seção no topo da couna da direita. De fato, o momento fetor fina no topo da couna também é nuo (veja a Figura 7.5). Esse resutado é óbvio: uma rótua, na qua convergem duas barras, articua as seções adjacentes de ambas as barras.

256 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Mas fica a pergunta: e se a seção no topo da couna também tivesse sido modeada com uma rótua? Pea observação acima, isso seria uma redundância, visto que uma única rótua já é suficiente para articuar a seção da extremidade direita da viga e a seção no topo da couna. Entretanto, conforme será mostrado nesta seção, essa redundância pode resutar na diminuição de uma desocabiidade interna na soução do probema: a rotação do nó competamente articuado. Isso se configura em um macete de cácuo que não modifica os resutados. Para justificar esse truque de cácuo, a rótua da estrutura da Seção 7.. vai ser modeada de mais duas formas diferentes, uma com a couna articuada e outra com a viga e a couna articuadas. Portanto, ao todo são mostradas três maneiras de se considerar a articuação da estrutura da Figura 7.6: (a) Viga articuada na extremidade direita e couna direita não articuada (já mostrado na Seção 7..). (b) Couna direita articuada no topo e viga não articuada (Seção 7..). (c) Viga e couna articuadas no nó superior direito (Seção 7..) Pórtico com articuação no topo de uma couna Como dito, a mesma estrutura anaisada na Seção 7.. vai ser anaisada nesta seção. A diferença é que nesta seção a articuação interna vai ser considerada no topo da couna direita, ta como indicado na Figura 7.8, ao invés de considerá-a na extremidade direita da viga. A soução (b) com a rótua no topo da couna é semehante à soução (a) comentada na Seção 7... Portanto, apenas aguns pontos em que as duas souções diferem entre si serão saientados. Figura 7.8 Exempo de pórtico com barras inextensíveis e articuação em couna. As desocabiidades da estrutura são basicamente as mesmas da soução (a) (veja a Figura 7.7), excetuando-se o fato de que a rotação D agora corresponde à rotação da seção da extremidade direita da viga. Como conseqüência, a chapa do SH da

257 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 5 soução (b) fica acima da rótua no topo da couna da direita. Isso pode ser visto nas figuras dos casos básicos dessa soução, mostrados a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β β β + M [knm] β = + knm β = knm β = kn Figura 7.9 Caso () da estrutura da Figura 7.8. O caso () da soução (b), mostrado na Figura 7.9, difere do caso () da soução (a) (Figura 7.8) nos momentos de engastamento da viga, que agora é considerada sem articuação. Por conseguinte, os termos de carga β e β mostrados na Figura 7.9 correspondem à soução de viga biengastada. O termo de carga β é igua ao da soução (a). Caso () Desocabiidade D isoada no SH K D = K K +4EI/4 +4EI/6 +EI/6 D = M 6EI/4 EI/4 6EI/6 6EI/6 +EI/4 K = + 4EI/6 + 4EI/4 K = + EI/6 x D K = + 6EI/4 Figura 7. Caso () da estrutura da Figura 7.8. O caso () da soução (b) com articuação na couna (Figura 7.) também difere do caso () da soução (a) (Figura 7.9) somente na viga, que agora se comporta como

258 54 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha uma barra biengastada. Isso atera os coeficientes de rigidez K e K. Este útimo é nuo na soução (a) e diferente de zero na soução (b). Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K K D = +EI/6 +4EI/6 M x D 6EI/6 6EI/6 K = + EI/6 K = + 4EI/6 + K = Figura 7. Caso () da estrutura da Figura 7.8. O caso () das souções com articuação na viga (Figura 7.) e com articuação na couna (Figura 7.) são bastante diferentes. Na primeira soução, a rotação D = é imposta no topo da couna e, na segunda, a rotação D = é imposta na seção da extremidade direita da viga. Com isso, o coeficiente de rigidez K não é mais nuo como é na soução (a) e o coeficiente de rigidez goba K agora corresponde ao coeficiente de rigidez à rotação da viga, e não da couna como é na soução (a). Uma outra diferença marcante é o fato da couna da direita não sofrer fexão na soução (b), não aparecendo também esforço cortante nessa couna. Dessa forma, o coeficiente de rigidez goba K, que está associado ao esforço cortante no topo da couna, é nuo na soução (b). Também se observa que não existem reações de apoio horizontais no caso () da Figura 7., mostrando de forma aternativa que, por equiíbrio goba de forças na direção horizonta, o coeficiente K é igua a zero. Caso () Desocabiidade D isoada no SH Finamente, o caso () da soução (b), mostrado na Figura 7., difere do caso () da soução (a) apenas no comportamento da couna da direita. Com isso, o coeficiente de rigidez goba K é nuo na soução (b) pois o topo da couna é articuado. O coeficiente de rigidez K também é diferente pois o esforço cortante na couna da direita agora corresponde ao de uma barra com engaste na base e articuação no topo.

259 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 55 D = K D = K K +6EI/4 M EI/4 6EI/4 EI/4 +6EI/4 +EI/4 EI/4 K = + 6EI/4 + x D K = + K = + EI/4 + EI/4 Figura 7. Caso () da estrutura da Figura 7.8. Equações de equiíbrio Com base nos casos básicos da soução (b) para o exempo que está sendo anaisado, monta-se o correspondente sistema de equações de equiíbrio. Isso está indicado abaixo juntamente com os vaores obtidos para as desocabiidades (em função de /EI): + + EI D D 5 64 D = D D D = 67,78 EI = + 78,88 EI = + 5,6 EI Nota-se que os vaores obtidos para a rotação D e para o desocamento horizonta D são os mesmos obtidos na soução (a) (Seção 7..). Entretanto, o vaor obtido para a rotação D difere do vaor obtido anteriormente. Isso era esperado, haja vista que essa rotação tem interpretações físicas diferentes nas duas souções, ta como indicado na Figura 7.. Essa figura mostra as configurações deformadas da soução (a) viga articuada e da soução (b) couna articuada.. Configuração deformada (viga articuada) Configuração deformada (couna articuada) D D D D D D D ( a) D D D ( b) Figura 7. Configurações deformadas das estruturas das Figuras 7.6 e 7.8.

260 56 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observa-se na Figura 7. que a rotação D da soução (a) é no sentido horário, correspondendo ao vaor negativo D ( a) = 56,66/EI, enquanto que na soução (b) o ( b) sentido é anti-horário, compatíve com o vaor positivo D = +78,88/EI. Fica caro na figura que D ( a) corresponde à rotação da seção do topo da couna quando a ( b) articuação pertence à viga e que D corresponde à rotação na extremidade direita da viga para o caso da articuação pertencer à couna. Portanto, os vaores de D tinham mesmo que ser diferentes nas duas souções. Apesar disso, como não podia deixar de ser, os resutados finais para os esforços internos (e reações de apoio) obtidos pea soução (b) são os mesmos da soução (a). Por exempo, pode-se verificar que a superposição dos diagramas de momentos fetores (M = M + M D + M D + M D ) da soução (b) resuta no mesmo diagrama da soução (a) mostrado na Figura Pórtico com articuação dupa na viga e couna Finamente, o pórtico anaisado nas Seções 7.. e 7.. será anaisado nesta seção considerando que tanto a viga quanto a couna da direita contêm uma rótua no nó superior direito soução (c). Conforme mencionado anteriormente, o objetivo dessa anáise é justificar um truque de cácuo que eimina a desocabiidade interna de um nó com articuação competa (com as seções adjacentes rotuadas). O modeo estrutura da soução (c) está mostrado na Figura 7.4, onde a articuação competa do nó superior direito está indicada. As Figuras 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8 mostram os casos (), (), () e (), respectivamente. Figura 7.4 Exempo de pórtico com barras inextensíveis e articuação dupa na viga e couna. Quase todos os casos básicos da soução (c) têm aspectos semehantes aos da soução (a) ou da soução (b). Por exempo, o caso () mostrado na Figura 7.5 tem os mesmos resutados do caso () da soução (a) (Figura 7.8). Saienta-se o fato de que tudo o que se refere à desocabiidade D na soução (c) é nuo. Dessa forma, o termo de carga β é igua a zero. O coeficiente de rigidez K do caso () (Figura 7.6), que é semehante ao caso () da soução (a) (Figura 7.9),

261 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 57 também é nuo. Anaogamente, no caso () (Figura 7.8), que é semehante ao caso () da soução (b) (Figura 7.), o coeficiente K =. O único caso básico da soução (c) que não tem semehante nas outras souções é o caso (), mostrado na Figura 7.7. Observa-se nesse caso que não existe resistência do SH para a rotação D = que é imposta. Portanto, os coeficientes de rigidez desse caso são nuos, assim como os momentos fetores (ou quaquer outro esforço interno), pois as barras não têm deformação. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH β β β +45 M [knm] β = + 45 knm β = β = kn Figura 7.5 Caso () da estrutura da Figura 7.4. Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K D = K +4EI/4 +EI/6 6EI/4 D = EI/4 EI/6 EI/6 +EI/4 M K = + EI/6 + 4EI/4 K = x D K = + 6EI/4 Figura 7.6 Caso () da estrutura da Figura 7.4.

262 58 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso () Desocabiidade D isoada no SH K K K D = D = M x D K = K = K = Figura 7.7 Caso () da estrutura da Figura 7.4. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K D = K K +6EI/4 M EI/4 6EI/4 EI/4 +6EI/4 +EI/4 EI/4 K = + 6EI/4 + x D K = K = + EI/4 + EI/4 Figura 7.8 Caso () da estrutura da Figura 7.4. Equações de equiíbrio O sistema de equações de equiíbrio da soução (c) é indicado abaixo: D + EI D = D

263 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 59 Observa-se que a matriz de rigidez goba desse sistema de equações é singuar pois tem a segunda inha e a segunda couna nuas. Isso quer dizer que esse sistema, peo menos na forma como está apresentado, não tem soução. Na verdade, isso é consistente com o fato da articuação estar sendo considerada de forma redundante. Entretanto, se a segunda inha da equação for eiminada, bem como a infuência da desocabiidade D (eiminando a segunda couna da matriz), isso resuta em um sistema de equações que tem soução para D e D : D D = 67,78 EI + EI = D D = + 5,6 EI Nota-se que os vaores de D e D são os mesmos obtidos nas souções (a) e (b). Os momentos fetores (ou quaquer outro esforço interno ou reações de apoio) também resutam nos mesmos vaores obtidos nas outras souções. Também se observa que na soução (c) a superposição envove apenas três casos: M = M + M D + M D. Este é justamente o macete de cácuo: simpesmente desconsidera-se a desocabiidade interna de um nó competamente articuado. Esta é a terceira simpificação adotada quando se resove manuamente uma estrutura peo método dos desocamentos. Como visto na anáise desta seção, essa simpificação não modifica os resutados, apenas deixa uma desocabiidade interna indefinida. Quando se adota essa simpificação, entretanto, devem-se tomar aguns cuidados. Por exempo, só se pode fazer a simpificação quando reamente todas as barras que chegam no nó têm as seções adjacentes articuadas. Por exempo, a Figura 7.9 mostra um exempo em que somente uma barra é articuada em um nó e um e- xempo correspondente onde todas as barras são articuadas nesse nó. Os SH s dos dois casos estão também indicados na figura. No primeiro caso, a desocabiidade interna do nó com articuação tem que ser considerada e, no segundo caso, essa desocabiidade pode ser eiminada. (a) (b) 6 5 SH SH Figura 7.9 Estrutura em que não se pode desconsiderar a rotação do nó da articuação (a) e estrutura em que a simpificação pode ser feita (b).

264 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Outro macete de cácuo pode ser feito no caso de um apoio simpes do º gênero (apoio que fixa desocamentos e ibera a rotação) no qua converge apenas uma barra. O truque consiste em interpretar a iberação da rotação como uma articuação da barra, considerando o apoio como um engaste. Isso é exempificado na Figura 7.4. Dessa forma, eimina-se a desocabiidade interna do nó do apoio. Interpretação SH Figura 7.4 Simpificação para o caso de apoio do º gênero no qua só converge uma barra. Nos exempos mostrados neste e no próximo capítuo, essa interpretação estará sendo feita impicitamente, sem que se desenhe o apoio como um engaste e a barra articuada na extremidade do apoio. Entretanto, será dessa forma que a barra estará sendo considerada. Essa simpificação também deve ser usada com cuidado. A Figura 7.4 mostra um exempo em que duas barras convergem para um nó com um apoio do º gênero, sem que exista uma articuação. Nesse caso, o truque não é possíve e a desocabiidade interna do nó do apoio deve ser considerada. SH Figura 7.4 Situação em que não é possíve adotar a simpificação para apoio do º gênero Exempo de soução de pórtico com duas articuações Esta seção mostra um exempo de soução de uma estrutura com barras inextensíveis em que se adota a simpificação para nós competamente articuados. O modeo estrutura e sua soução estão mostrados na Figura 7.4. Todas as barras têm a mesma inércia à fexão EI, onde E é o móduo de easticidade do materia e I é o momento de inércia da seção transversa das barras. Existe uma articuação interna e uma articuação externa (apoio do º gênero no qua converge apenas uma barra). De acordo com a simpificação que foi introduzida na seção anterior, nos dois nós correspondentes a essas articuações as desocabiidades internas não serão consideradas.

265 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 6 Sistema Hipergeométrico Caso () Soicitação externa isoada no SH SH β = + 6 knm β = 9 kn 6 4 / = 4 β β M +6 [knm] + 4 (5/8) = 5 Caso () Desocabiidade D isoada no SH EI/4 6EI/4 K = +9EI/4 +EI/4 K = EI/4 Caso () Desocabiidade D isoada no SH EI/4 6EI/4 K = EI/4 6EI/4 K = +8EI/4 K +4EI/4 +EI/6 K x D D = +EI/4 D = K -6EI/4 K +EI/4 x D M M +EI/4 EI/4 EI/4 EI/4 EI/4 Equações de equiíbrio: β + KD + KD = β + KD + KD = + 6 EI D = 9 D D D 7 = + 5 EI 696 = + 5 EI Momentos Fetores Finais: M = M + M D + M D M [knm] M [knm] Figura 7.4 Soução de um pórtico com uma articuação interna e outra externa.

266 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Na soução mostrada na Figura 7.4, deve-se observar que o termo de carga β e os coeficientes de rigidez K e K podem ser cacuados de duas maneiras. Ees podem ser determinados pea soma dos esforços cortantes que atuam nas counas no níve do pavimento ou podem ser cacuados impondo-se o equiíbrio goba do SH na direção horizonta (Σ F x = ). Por exempo, no caso () pea soma dos cortantes nas counas no níve do pavimento, β = 4 (/8) 4/ = 9 kn. Peo equiíbrio goba, deve-se considerar todas as forças horizontais atuantes, incusive as resutantes das cargas distribuídas: Σ F x = β (5/8) 4/ =. Isso resuta no mesmo vaor para β Consideração de barras infinitamente rígidas O útimo tipo de simpificação adotada para reduzir o número de desocabiidades na soução de um pórtico peo Método dos Desocamentos é a consideração de barras com rigidez infinita, isto é, de barras que não têm nenhuma deformação. Essa consideração não é feita para todas as barras de um pórtico e só faz sentido para um caso especia de anáise simpificada do comportamento goba do pórtico. Por exempo, na anáise de um prédio para cargas aterais (de vento, por exempo), pode-se considerar que o conjunto de ajes e vigas de um pavimento do prédio forma um diafragma rígido quando o pórtico se desoca ateramente. Em outras paavras, em situações especiais o pavimento pode ser considerado como um eemento infinitamente rígido em comparação com as counas do prédio (eementos estruturais que têm deformações transversais por fexão). Para entender como a consideração de pavimentos ou barras rígidas infuencia a determinação das desocabiidades de um pórtico, o exempo da Figura 7.4 vai ser anaisado. Nesse pórtico as counas são inextensíveis, com uma inércia à fexão EI constante. A viga é considerada como uma barra infinitamente rígida. A soicitação externa é uma carga horizonta P atuando no pavimento rígido. P h b Figura 7.4 Pórtico com uma viga infinitamente rígida.

267 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 6 Considerando que as counas do pórtico da Figura 7.4 são inextensíveis, os nós do pavimento do pórtico só podem se desocar na direção horizonta. Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido. Portanto, o único movimento que a viga infinitamente rígida pode ter é o desocamento horizonta mostrado na Figura D D Figura 7.44 Configuração deformada da estrutura da Figura 7.4. Vê-se na configuração deformada mostrada na Figura 7.44 que os nós do pavimento não sofrem rotações pois a viga se desoca horizontamente mantendo-se reta (é uma barra que não pode se deformar). Dessa forma, a estrutura só tem uma desocabiidade, que é o desocamento horizonta D do pavimento. Através dessa anáise pode-se avaiar como a consideração de barras infinitamente rígidas infuencia na redução do número de desocabiidades de um pórtico. Se as barras do pórtico adotado como exempo não tivessem nenhuma restrição quanto às suas deformações, o número tota de desocabiidades seria 6 ( em cada nó do pavimento). Considerando as três barras sem deformação axia, o número de desocabiidades reduz para (veja a Figura 7.5). Finamente, com a consideração da viga infinitamente rígida, o número de desocabiidades se reduz a. É evidente que tanto a hipótese de barras inextensíveis quanto a consideração de barra com rigidez infinita modificam os resutados da soução de um pórtico quando comparados com a soução sem essas simpificações. As restrições nas deformações de barras devem ser consideradas tendo com objetivo uma anáise simpificada, em gera reacionada com a resoução manua de uma estrutura. Outro ponto a ser considerado é que a identificação das desocabiidades de pórticos com barras infinitamente rígidas só pode ser feita caso a caso. Muitas vezes é necessário visuaizar a priori (através de esboços, por exempo) a configuração deformada de uma estrutura para identificar suas desocabiidades. Seria muito difíci estabeecer regras a para determinação de desocabiidades de pórticos que têm peo menos uma barra rígida, ta como foi feito na Seção 7.. para pórticos com apenas barras inextensíveis. Apesar disso, para pórticos simpes com poucas barras infinitamente rígidas, não é difíci identificar as desocabiidades. Assim como para pórticos só com barras i- nextensíveis, a maneira mais simpes de se determinar as desocabiidades de um pórtico com barras inextensíveis e rígidas é introduzindo os apoios fictícios para a criação do SH: a cada apoio necessário para fixar os nós da estrutura é identificada uma

268 64 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha desocabiidade. Isso vai ser considerado nos exempos que contêm barras infinitamente rígidas deste capítuo. Votando ao pórtico da Figura 7.4, a sua soução recai na superposição dos casos () e () mostrados nas Figuras 7.45 e O SH desse exempo está mostrado na Figura 7.45, onde só foi necessário adicionar um apoio fictício (o apoio ) para fixar a estrutura, podendo-se identificar dessa forma a desocabiidade D. Como os nós superiores da estrutura não têm rotações, não é necessário inserir chapas fictícias (que fixam desocabiidades internas) no SH. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH P SH M β β = P Figura 7.45 Sistema Hipergeométrico (SH) e caso () da estrutura da Figura 7.4. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = D = 6EI/h 6EI/h M EI/h +6EI/h EI/h +6EI/h K +6EI/h +6EI/h EI/h 6EI/h 6EI/h 6EI/h EI/h EI/(h b) EI/(h b) EI/(h b) EI/(h b) 6EI/h EI/h EI/h x D EI/(h b) EI/(h b) EI/h 6EI/h EI/h 6EI/h 6EI/h 6EI/h K = +4EI/h EI/(h b) EI/(h b) Figura 7.46 Caso () da estrutura da Figura 7.4. O fato de não existirem chapas fictícias no SH faz com que a determinação dos esforços nas barras no caso () (Figura 7.46) exija uma anáise mais detahada. Como sempre no Método dos Desocamentos, o ponto de partida para a soução de cada caso básico é a configuração deformada que é imposta. Nesse caso, é imposto um desocamento D =. As counas do pórtico são deformadas de ta maneira que há um desocamento transversa nos nós superiores, sem que ees girem. A viga se desoca como um corpo rígido.

269 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 65 Com base na configuração deformada das counas no caso (), os esforços cortantes e momentos fetores nas suas extremidades são conhecidos (coeficientes de rigidez de barra veja a Figura 4. do Capítuo 4). Por outro ado, o fato da viga não ter deformação por fexão não acarreta a condição de momentos fetores nuos. Assim como para counas inextensíveis os esforços normais não são conhecidos a priori, os momentos fetores na viga rígida também não podem ser determinados antecipadamente. De fato, a viga rígida pode ter quaquer distribuição para momentos fetores, já que ea sempre se mantém reta. Assim, os momentos fetores na viga rígida devem ser determinados para satisfazer o equiíbrio da estrutura. Isso pode ser entendido com base no isoamento das barras no caso (), ta como indicado na Figura A viga rígida tem que ter momentos nas suas extremidades de forma a estabeecer o equiíbrio de momentos nos nós superiores. Assim, os sentidos dos momentos fetores que atuam nas seções da viga são sempre opostos aos sentido dos momentos nas counas. Utiizando a convenção de sinais do Método dos Desocamentos, os momentos fetores do diagrama M têm sinais positivos nas counas e negativos na viga, resutando em um somatório de momentos nuos em cada nó. Essa anáise pode ser vista de uma outra maneira. A presença da viga rígida fez com que não fosse necessário inserir chapas fictícias no SH para impedir desocabiidades internas. Então, a viga rígida tem que fazer o pape das chapas fictícias. Esse pape é feito equiibrando os momentos fetores que atuam nas counas para a configuração deformada imposta. O isoamento das barras na Figura 7.46 também mostra que devem aparecer esforços cortantes nas extremidades da viga rígida, que são transmitidos via esforço norma nas counas para os apoios da base. A determinação do coeficiente de rigidez K pode ser feita de duas maneiras. Ee pode ser obtido pea soma dos esforços cortantes no topo das counas ou peo equiíbrio goba de forças horizontais. De ambas as maneiras, o vaor resutante é K = +4EI/h. Equação de equiíbrio e determinação do diagrama de momentos fetores finais Com base na superposição dos casos básicos () e (), é estabeecido o equiíbrio da estrutura origina. Isso é feito obrigando o efeito fina do apoio fictício na estrutura ser igua a zero: β + KD = P + ( 4EI / h ) D =. A soução dessa equação de equiíbrio resuta no vaor da desocabiidade da estrutura: P h D = +. 4EI

270 66 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Finamente, o diagrama de momentos fetores, mostrado na Figura 7.47, é obtido com base na reação M = M + M D, onde nesse exempo M =. É interessante observar que os vaores dos momentos fetores independem da argura b do pórtico. +P h/4 P h/4 P h/4 +P h/4 P h/4 P h/4 P h/4 P h/4 M M +P h/4 +P h/4 P h/4 P h/4 Figura 7.47 Diagrama de momentos fetores da estrutura da Figura Exempo de soução de pórtico com dois pavimentos Esta seção anaisa uma estrutura com dois pavimentos rígidos, mostrada na Figura As counas são inextensíveis, com uma inércia à fexão EI constante. Figura 7.48 Pórtico com dois pavimentos rígidos. Diferentes condições de articuação são consideradas para as counas. A couna do segundo pavimento à esquerda é articuada no topo. No mesmo pavimento, a couna da direita é articuada na base. A couna da esquerda no primeiro pavimento é considerada articuada na base (apoio do º gênero). A única couna que não tem articuação é a couna do primeiro pavimento à direita. A soução dessa estrutura peo Método dos Desocamentos está mostrada na Figura As únicas desocabiidades são os desocamentos horizontais D e D dos dois pavimentos. Isso é identificado peos apoios fictícios e do SH, necessários para fixar os desocamentos horizontais dos pavimentos. Como os nós da estrutura não têm desocamentos verticais (counas inextensíveis) e as vigas são infinita-

271 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 67 mente rígidas, não são necessários mais apoios para prender a estrutura. Portanto, só existem duas desocabiidades. Sistema Hipergeométrico SH Caso () Soicitação externa isoada no SH β β = kn β M β = kn [knm] Caso () Desocabiidade D isoada no SH Caso () Desocabiidade D isoada no SH +EI/6 EI/6 -EI/6 +EI/6 M EI/6 6EI/6 K = +EI/6 K D = K +6EI/6 x D M +EI/6 EI/6 K = 6EI/6 +EI/6 K D = K x D EI/6 K = 6EI/6 EI/6 +6EI/6 6EI/6 K = +6EI/6 Equações de equiíbrio: β + K β + K D + K D + K D = D = Momentos Fetores Finais: M = M + M D + M D + EI D = + 6 D 88 D = + EI 648 D = + EI M M [knm] +48 [knm] 48 Figura 7.49 Soução da estrutura da Figura 7.48.

272 68 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Na soução do pórtico com dois pavimentos mostrada na Figura 7.49, observa-se que no caso () os momentos fetores são nuos pois as counas não têm deformações nem cargas no seu interior. Nesse caso, as forças horizontais apicadas são transmitidas via esforço norma nas vigas rígidas diretamente para os apoios fictícios do SH. As reações nos apoios fictícios são os termos de carga β e β. Nos casos () e (), o ponto de partida são as deformações conhecidas que são impostas para as counas. Essas deformações induzem momentos fetores e esforços cortantes nas extremidades das counas (coeficientes de rigidez de barras com e sem articuação veja as Figuras 4., 4. e 4.4 do Capítuo 4). Os momentos fetores que aparecem nas extremidades das vigas rígidas são tais que equiibram os momentos nas extremidades das counas. Isto é, os momentos fetores dos diagramas M e M que aparecem nas extremidades das vigas rígidas têm vaores e sinais que fazem com que o somatório dos momentos em cada nó seja nuo. Os coeficientes de rigidez dessa estrutura (K, K, K e K ) correspondem aos esforços cortantes nas counas em cada pavimento. Por exempo, o coeficiente K é cacuado, no caso (), pea soma dos cortantes nas extremidades das counas no primeiro pavimento: K = +EI/6 + EI/6 + EI/6 + EI/6 = +EI/6. No mesmo caso, o coeficiente K é obtido pea soma dos cortantes no topo das counas do segundo pavimento: K = EI/6 EI/6 = 6EI/6. Para essa estrutura não é possíve determinar os coeficientes de rigidez impondo-se apenas o equiíbrio goba da estrutura na direção horizonta pois em cada caso existem duas incógnitas para uma equação de equiíbrio Exempo de barra rígida com giro Nos dois exempos anteriores, as barras infinitamente rígidas sofriam um desocamento horizonta sem rotação. Nesta seção é considerado um pórtico, mostrado na Figura 7.5, que tem uma barra rígida que sofre um giro. Esse pórtico tem a couna da esquerda considerada infinitamente rígida, sendo que a viga e a outra couna são fexíveis (com inércia à fexão igua a EI) e inextensíveis. P h b Figura 7.5 Pórtico com uma couna infinitamente rígida que sofre um giro.

273 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 69 Como a couna rígida da estrutura da Figura 7.5 está articuada na base (apoio do º gênero), existe a possibiidade dessa barra girar, tendo como centro de rotação o ponto do apoio. Isso é indicado na Figura 7.5, que mostra a única configuração deformada possíve para esse pórtico. Como o ânguo entre a couna rígida e a viga não pode se aterar (igação rígida sem articuação), o giro θ da couna induz uma rotação igua na extremidade esquerda da viga. D D h θ θ θ = D /h Figura 7.5 Configuração deformada da estrutura da Figura 7.5. Considerando que os desocamentos são pequenos, o ânguo θ pode ser aproximado pea sua tangente. Portanto, θ = D /h, sendo h o comprimento da couna rígida. Observa-se que um desocamento D da esquerda para a direita induz uma rotação θ no sentido horário. A hipótese de pequenos desocamentos também permite que se considere que o movimento do nó no topo da couna rígida não tenha uma componente vertica. Como a rotação θ do nó está associada ao seu desocamento horizonta D, só existe um parâmetro que define o movimento do nó. Portanto, esse nó só tem uma desocabiidade. Pode-se adotar para esse parâmetro tanto o desocamento horizonta D quanto a rotação θ. Nesse exempo o desocamento horizonta D foi adotado como desocabiidade pois também corresponde ao desocamento horizonta do nó superior direito. Como esse nó tem uma articuação competa, a única desocabiidade resutante da estrutura é D. A Figura 7.5 mostra o SH correspondente, onde somente o apoio fictício é necessário para prender competamente a estrutura. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SH P SH M β β = P Figura 7.5 Sistema Hipergeométrico (SH) e caso () da estrutura da Figura 7.5.

274 7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O caso () desse exempo também está mostrado na Figura 7.5. Como as barras fexíveis não estão deformadas pois não têm carga no seu interior, não aparecem momentos fetores nessas barras. Portanto, também não aparece momento fetor na couna rígida. A carga P apicada é transmitida via esforço na viga para o apoio do SH, resutando no termo de carga β = P. Caso () Desocabiidade D isoada no SH D = K EI/(b h) θ +EI/(b h) h θ θ = /h M +EI/h x D (EI/b) θ b (EI/b) θ /b (EI/b) θ /h K = +EI/(b h ) + EI/h (EI/b) θ /h (EI/b) θ (EI/b) θ /h (EI/b) θ /b (EI/b) θ /b EI/h (EI/b) θ /b (EI/b) θ /h EI/h EI/h (EI/b) θ /b (EI/b) θ /b Figura 7.5 Caso () da estrutura da Figura 7.5. O caso () dessa soução, mostrado na Figura 7.5, merece atenção especia. É imposta uma configuração deformada ta que D =. Isso provoca uma rotação θ = /h, no sentido horário, na extremidade esquerda da viga. Com base nessa rotação imposta à viga, todos os esforços atuantes nas barras do SH ficam determinados no caso (). Isso pode ser entendido anaisando o equiíbrio das barras isoadas, conforme mostrado na Figura 7.5. A rotação θ imposta na extremidade esquerda da viga provoca um momento nessa extremidade igua a (EI/b) θ no sentido horário. No diagrama M, isso corresponde ao vaor negativo EI/(b h) na seção esquerda da viga. Para que haja equiíbrio de momentos no nó superior esquerdo, aparece um momento fetor no topo da couna rígida igua a +EI/(b h). Os esforços cortantes nas extremidades da viga e da couna rígida são cacuados de forma a equiibrar essas barras. Portanto, esses esforços são sempre iguais em vaores e com sentidos opostos, formando conjugados que equiibram os momentos nas barras.

275 Luiz Fernando Martha Método dos Desocamentos com Restrições nas Deformações 7 Por outro ado, o momento fetor e os esforços cortantes nas extremidades da couna fexíve da direita ficam determinados pea condição de desocamento horizonta unitário imposto no topo (veja os coeficientes de rigidez de barra com articuação mostrados na Figura 4. do Capítuo 4). Para competar o equiíbrio das barras isoadas no caso () desse exempo, é necessário determinar os esforços normais em todas as barras. Como indica a Figura 7.5, os esforços normais são determinados por útimo, de forma a equiibrar os esforços cortantes nas barras. A Figura 7.5 também indica o vaor do coeficiente de rigidez K, que corresponde à soma dos esforços cortantes no topo das counas. Equação de equiíbrio e determinação do diagrama de momentos fetores finais Com base no termo de carga β e no coeficiente de rigidez K, pode-se determinar o vaor da desocabiidade D, o que é feito a partir da equação de equiíbrio mostrada abaixo: EI b + h β + KD = + = P h b P D D = +. h b EI b + h Finamente, os momento fetores finais na estrutura podem ser determinados utiizando a superposição de efeitos M = M + M D, onde M =. O diagrama de momentos fetores finais está mostrado na Figura P h /(b+h) P h /(b+h) P h /(b+h) P h /(b+h) M M +P (b h)/(b+h) P (b h)/(b+h) Figura 7.54 Diagrama de momentos fetores da estrutura da Figura 7.5.

276 8. PROCESSO DE CROSS O Processo de Cross, ou Método da Distribuição de Momentos (White et a. 976), é um método reativamente simpes para o cácuo de momentos fetores em vigas contínuas, pórticos panos, grehas e até em pórticos espaciais. Este processo é baseado no Método dos Desocamentos e só se apica para estruturas sem desocabiidades externas (do tipo transação), isto é, ee só se apica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham desocabiidades do tipo rotação. Apesar desta imitação, o método criado por Hardy Cross na década de 9 ( Anaysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments, Transactions, ASCE, Paper no. 79, vo. 96, 96) ainda é utiizado hoje para o cácuo de estruturas. O trabaho de Cross teve um impacto inicia muito grande pois possibiitou a soução manua de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns. O concreto armado propicia a criação de pórticos com igações contínuas, com ato grau de hiperestaticidade. A apicação prática do Processo de Cross diminuiu bastante pois atuamente se faz uso de programas de computador para a anáise de estruturas, que geramente utiizam o Método dos Desocamentos (embora aguns programas utiizem o Processo de Cross como procedimento de anáise de vigas contínuas). Apesar do uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas útimas décadas, a sua apresentação neste ivro tem um objetivo acadêmico, pois ee tem um apeo intuitivo muito forte e, por isso, serve para uma mehor compreensão do comportamento à fexão de estruturas reticuadas. Este capítuo foi escrito baseado nos ivros de White, Gergey e Sexsmith (976) e de Süssekind (977-). Existem muitas outras referências cássicas para o Processo de Cross que não são mencionadas. Entretanto, devido à sua reevância no Brasi, não se pode deixar de mencionar o ivro do professor Jayme Ferreira da Siva Junior (Método de Cross, McGraw-Hi, 975). O capítuo começa com uma seção de apresentação de uma interpretação física do Processo de Cross, como foi introduzido de forma muito conveniente por White et a. As duas seções seguintes apresentam os dois pontos básicos que fundamentam o método: A distribuição de um momento apicado em um nó de um pórtico por parceas de momentos fetores equiibrantes nas barras adjacentes (Seção 8.). A soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos para uma estrutura que só tem rotações como desocabiidades (Seção 8.).

277 74 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Deve-se observar que o Processo de Cross também pode ser apicado a estruturas com desocabiidades externas, isto é, com transações nodais. Isso é feito apicando-se a metodoogia do Método dos Desocamentos mostrada nos Capítuos 6 e 7 considerando como incógnitas apenas as desocabiidades externas. Isso resuta em uma série de casos básicos, sendo cada um dees resovido peo Processo de Cross. A Seção 8.6 vai apresentar esta metodoogia. 8.. Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos White, Gergey e Sexsmith (976) apresentaram de forma brihante um experimento físico que serve para entender intuitivamente o Processo de Cross. A Figura 8. mostra imagens desse experimento. Pea Figura 8., o Método da Distribuição de Momentos pode ser entendido com a apicação física de sucessivos travamentos e iberações de rotações nodais de uma viga contínua com três vãos. Iniciamente a viga tem todas as suas rotações nodais travadas (Figura 8.-a). Em seguida se apica uma carga concentrada na posição média do vão centra (Figura 8.-b). Como todos os nós têm as suas rotações artificiamente fixadas, o efeito inicia da carga só é sentido no vão centra. Isto é, os dois vãos extremos não sofrem nenhuma deformação, portanto não apresentam momentos fetores. Nesta situação existe um desequiíbrio de momentos fetores nos dois nós intermediários (este desequiíbrio está sendo artificiamente equiibrado por momentos externos apicados peas travas que fixam as rotações). Se a rotação do segundo nó da esquerda para a direita for iberada, o nó gira até atingir uma situação de equiíbrio (Figura 8.-c). Nesta situação os momentos fetores nas seções adjacentes desse nó têm que estar em equiíbrio pois a trava iberada não pode introduzir nenhum momento externo. O primeiro e o segundo vãos da viga se deformam em conseqüência da iberação da rotação, acarretando em uma modificação na distribuição de momentos fetores nos vãos. Enquanto isso o terceiro vão permanece indeformado e sem momentos fetores. No passo seguinte do processo, o segundo nó é travado novamente e o terceiro nó tem sua rotação iberada (Figura 8.-d). O resutado é uma modificação da configuração deformada apenas nos dois vãos adjacentes ao nó iberado (o primeiro vão permanece com a deformação do passo anterior) e uma nova distribuição de momentos fetores nos vãos afetados. A repetição desse processo de sucessivos passos de travamento de um nó e iberação de um outro nó vai acarretar em uma acomodação da viga em uma situação em que não é mais necessário travar as rotações nodais pois o equiíbrio de momentos fetores nos nós é atingido. Esta situação fina é mostrada na Figura 8.-e.

278 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 75 Figura 8. Experimento físico para interpretação física do Processo de Cross (imagens reproduzidas do ivro de White, Gergey e Sexsmith, 976).

279 76 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Pode-se saientar aguns aspectos importantes desse experimento: Em cada passo do processo iterativo, apenas um nó tem a rotação iberada, sendo que todos os outros nós têm as rotações fixadas. Quando um nó é equiibrado através da iberação de sua rotação, as barras adjacentes ao nó se deformam, ocorrendo uma redistribuição de momentos fetores nessas barras e afetando o equiíbrio dos nós adjacentes. Após cada passo a rotação do nó iberado é fixada com o vaor acumuado dos incrementos de rotação de todos os passos anteriores. O equiíbrio de um nó que tem a sua rotação travada só é atingido artificiamente através da apicação de um momento externo pea trava. Quando os momentos fetores nas seções adjacentes a um nó estão em equiíbrio, não é necessário travar o nó. Neste caso, a trava iberada não exerce nenhum momento externo no nó. Com base nesse experimento, pode-se adiantar dois pontos chaves do Processo de Cross. O primeiro é a distribuição de momentos fetores nas barras adjacentes de um nó que tem a sua rotação iberada. A próxima seção faz uma anáise dessa redistribuição de momentos fetores. O outro ponto chave é o próprio processo iterativo e incrementa de determinação das rotações nodais. A Seção 8. anaisa a soução incrementa do sistema de equações de equiíbrio de uma viga contínua. Após a anáise desses dois pontos chaves, o Processo de Cross vai ser formaizado na Seção Distribuição de momentos fetores em um nó Considere o quadro da Figura 8. que tem barras inextensíveis, todas com igua vaor para o parâmetro de rigidez à fexão EI. O pórtico tem um nó centra com a rotação ivre e um momento externo M E apicado. Todos os outros nós têm suas rotações fixas (engastes). Apenas uma das barras tem uma articuação na extremidade oposta ao nó centra. Para se anaisar a distribuição do momento M E por momentos fetores nas barras da estrutura da Figura 8., o Método dos Desocamentos vai ser empregado. Como as barras são inextensíveis, a estrutura só tem uma desocabiidade, que é a rotação do nó centra (veja o Capítuo 7). O Sistema Hipergeométrico (SH) e os casos básicos da soução peo método estão mostrados na Figura 8..

280 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 77 EI = const. M E Figura 8. Apicação de um momento externo em um nó com rotação iberada. 4 Caso () Momento externo isoado no SH M E M = Caso () Desocabiidade D isoada no SH EI/ 4 K i i= D = K = 4EI/ K = 4EI/ K 4 = EI/ 4 K = 4EI/ K = x D β = M E EI/ EI/ M Figura 8. Casos básicos da soução peo Método dos Desocamentos da estrutura da Figura 8.. Na soução mostrada na Figura 8., é utiizada a seguinte notação: K coeficiente de rigidez à rotação da barra i. i Os vaores para rigidez à rotação de barras com EI constante foram deduzidos na Seção 4.4. do Capítuo 4: K 4EI barra sem articuação; i = i Ki = EI i barra com articuação na extremidade oposta à extremidade que sofre o giro. A equação de equiíbrio resutante da soução peo Método dos Desocamentos para esta estrutura é: β + K D, = onde os vaores do termo de carga β e coeficiente de rigidez goba K estão indicados na Figura 8.. A soução dessa equação resuta no vaor da desocabiidade rotação D : ME D =. K i

281 78 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A determinação dos momentos fetores finais nas barras é feita por superposição dos efeitos dos casos () e (): M = M + M D, sendo que M é nuo. Com base nos vaores obtidos acima, tem-se os vaores dos momentos fetores finais mostrados na Figura 8.4 nas seções extremas das barras. Esses vaores estão definidos em função do parâmetro γ i de cada barra, sendo γ coeficiente de distribuição de momento da barra i. i O coeficiente de distribuição de momento de uma barra com reação a um nó é a razão entre o coeficiente de rigidez à rotação da barra e o somatório dos coeficientes de rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó: Ki γ i =. (8.) K i O somatório de todos os coeficientes de distribuição de momento de todas as barras adjacentes a um nó, com respeito a este nó, é unitário: γ i =. i (8.) M E γ / / M E γ γ M E M E γ M E γ 4 M E γ / M E γ M Figura 8.4 Momentos fetores finais nas extremidades das barras da estrutura da Figura 8.. Observa-se também pea Figura 8.4 que a distribuição do momento externo apicado no nó acarreta em momentos fetores nas outras extremidades das barras. O vaor do momento fetor na outra extremidade é igua à metade do vaor na extremidade adjacente ao nó equiibrado, para o caso de barra sem articuação, ou igua a zero, para o caso de barra articuada. Define-se, então, o coeficiente de transmissão de momento da barra i: ti = / coeficiente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articuação. t i = coeficiente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articuada. Para o caso da barra sem articuação, o vaor / corresponde à reação entre os coeficientes de rigidez EI/ e 4EI/ devidos a uma rotação imposta.

282 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 79 Concui-se que o momento externo M E apicado no nó é distribuído nas barras por momentos fetores nas seções adjacentes ao nó, chamados de parceas equiibrantes, que são proporcionais aos coeficientes de distribuição de momento no nó: M = γ. (8.) i M E Nas seções das barras opostas ao nó aparecem momentos fetores, chamados de parceas transmitidas, que são iguais ao produto das parceas equiibrantes peo coeficiente de transmissão de momento de cada barra. No caso de barras que não têm seção transversa constante, os coeficientes de rigidez à rotação não correspondem aos vaores 4EI/ ou EI/, assim como o coeficiente de transmissão de momento da barra sem articuação não é igua a /. O apêndice B (veja a Seção B.6) apresenta uma metodoogia que possibiita a determinação dos coeficientes de rigidez à rotação de barras que pode ser apicada para uma barra que não tem a seção transversa constante. De uma forma genérica, quando a inércia à fexão EI varia ao ongo do comprimento de uma barra, o coeficiente de transmissão de momento da barra pode ser avaiado peos coeficientes de rigidez à rotação da barra conforme indicado na Figura 8.5 (Süssekind 977-). i θ A M B M A A B V A V B M A = K AA θ A V A = (M A + M B)/ M B = K BA θ A V B = V A Figura 8.5 Coeficientes de rigidez à rotação de uma barra com inércia à fexão EI variáve. Utiizando a notação adotada na Figura 8.5, para uma rotação θ A imposta na extremidade A de uma barra, enquanto a outra extremidade B permanece fixa, o coeficiente de transmissão de momento de A para B, t AB, é igua à razão entre o vaor do momento fetor M B na extremidade oposta e o vaor do momento fetor M A na extremidade que sofre o giro. Ou seja, KBA t AB =, (8.4) K sendo K AA e K BA coeficientes de rigidez à rotação indicados na Figura 8.5. AA

283 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 8.. Soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio Conforme apresentado na Seção 8., o Método da Distribuição de Momentos é um processo iterativo de sucessivos passos de travamento de um nó e iberação de um outro nó. Esta seção procura dar uma interpretação matemática para o processo, mostrando que ee se constitui em uma soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio do Método dos Desocamentos. Isso vai ser mostrado com auxíio de um exempo, que é uma viga contínua com três vãos mostrada na Figura 8.6. A viga tem uma inércia à fexão EI =,4 x 4 knm. O primeiro apoio simpes do º gênero (apoio que fixa desocamentos e ibera a rotação) está sendo considerado como uma articuação na extremidade da barra, sendo que a rotação do nó do primeiro apoio não está sendo considerada como incógnita (veja a Seção 7.. do Capítuo 7). Portanto, a viga só tem duas desocabiidades, que são as rotações D e D das seções dos dois apoios internos. Figura 8.6 Viga contínua com duas desocabiidades. A soução da viga da Figura 8.6 peo Método dos Desocamentos resuta no seguinte sistema de equações de equiíbrio (veja os Capítuos 6 e 7): ( ) + ( ) + ( EI /8 + 4EI /6) D + ( EI /6) ( EI /6) D + ( 4EI /6 + 4EI /6) Substituindo o vaor fornecido para EI e passando os termos de carga para o ado direito do sina de igua, tem-se: + 5 D + 8 D = 5 (8.5) + 8 D + D = + (8.6) A soução direta do sistema formado peas equações (8.5) e (8.6) resuta nos seguintes vaores para as rotações D e D : D =,5 rad ; D = +,565 rad. Uma aternativa para a soução do sistema de equações de equiíbrio acima é uma soução iterativa do tipo Gauss-Seide. Esta soução é o segundo ponto chave para o Método de Distribuição de Momentos (o primeiro é a distribuição de momentos em um nó mostrada na Seção 8.). A soução iterativa é iniciada admitindo um vaor nuo para D e encontrando um vaor para D com base na equação (8.5): D D = =

284 Luiz Fernando Martha Processo de Cross D + 8 () = 5 D =, rad. O segundo passo da soução iterativa consiste em utiizar este vaor encontrado para D na equação (8.6) para determinar um vaor para D : + 8 (, ) + 8 D = + D = +,475 rad. No terceiro passo, a equação (8.5) é utiizada novamente com o útimo vaor obtido para D para determinar um novo vaor para D, resutando em: + 5 D + 8 ( +,475 ) = 5 D =,46 rad. A Tabea 8. indica os resutados da soução iterativa após quatro cicos competos de passagem peo par de equações (8.5) e (8.6). Os vaores exatos da soução direta também estão mostrados na tabea. Pode-se verificar que os vaores obtidos pea soução iterativa são bastante próximos dos vaores exatos. Na verdade, a soução exata sempre pode ser atingida, para um determinado grau de precisão desejado, bastando para isso executar um número suficiente de cicos. Tabea 8. Soução iterativa das equações (8.5) e (8.6). D [rad] D [rad] Vaores iniciais Primeiro cico, +,475 Segundo cico,46 +,555 Terceiro cico,4968 +,567 Quarto cico,4997 +,564 Vaores exatos,5 +,565 O processo de soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio mostrado a- cima é uma interpretação matemática do experimento mostrado na Seção 8.. Isso é mostrado em seguida, com base na Figura 8.7. Pode-se imaginar que a situação inicia, designada Estágio, corresponde a uma configuração de engastamento dos nós interiores da viga contínua da Figura 8.6, isto é, com rotações fixadas com vaores nuos. No Estágio, ocorre uma iberação da rotação D, enquanto a rotação D é mantida nua. Este estágio corresponde ao resutado do primeiro passo da soução iterativa, resutando no primeiro vaor encontrado para D. No Estágio, a rotação D é fixada com o vaor obtido no estágio anterior e a rotação D é iberada exatamente como feito no segundo passo da soução iterativa. O Estágio corresponde a um congeamento da rotação D com o vaor obtido no estágio anterior e uma iberação da rotação D. No Estágio 4, a rotação D é fixada e a rotação D é iberada. Esse processo continua até atingir a convergência das rotações dos nós. Isso ocorre quando os incrementos de rotação dos nós são desprezíveis.

285 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Estágio Estágio Estágio Estágio Estágio 4 D D D D D D D D D D D = D = D D D D D =, D = D =, = +,475 =,46 = +,475 =,46 = +,555 Figura 8.7 Interpretação física da soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio da viga da Figura 8.6 (configurações deformadas com fator de ampificação igua a 5). Deve-se observar que em cada estágio da soução iterativa mostrada na Figura 8.7 os momentos fetores nas barras da viga poderiam ser determinados com base nos no vaores correntes da rotações D e D. Dessa forma, pode-se acompanhar a evoução da distribuição dos momentos fetores nas barras e o desequiíbrio de momentos fetores nos nós ao ongo do processo. A anaogia da soução iterativa indicada na Figura 8.7 com o experimento mostrado na Seção 8. é evidente. Em cada estágio do processo iterativo, apenas um nó tem a rotação iberada. O nó iberado gira até atingir um estado de equiíbrio. O incremento de rotação corresponde ao vaor do desequiíbrio de momentos fetores no nó. Com o giro do nó, as barras adjacentes se deformam, ocorrendo uma redistribuição de momentos fetores nessas barras e afetando o equiíbrio do nó adjacente. No estágio seguinte, a rotação do nó iberado é fixada com o vaor acumuado de rotação de todos os estágios anteriores. O equiíbrio de momentos fetores no nó fixado é aterado pea iberação da rotação do nó adjacente. O nó que tem a sua rotação fixada artificiamente só fica equiibrado com a apicação de um momento externo. O processo iterativo continua até que a estrutura atinja uma situação de equiíbrio goba, onde não é necessário apicar momentos externos nos nós interiores. D rad rad rad rad rad rad rad

286 Luiz Fernando Martha Processo de Cross Formaização do Processo de Cross O Método da Distribuição de Momentos pode ser visto como a junção de duas i- déias apresentadas nas Seções 8. e 8.. A soução do método segue a mesma inha do processo iterativo mostrado na seção anterior. A diferença é que as rotações não são cacuadas em cada estágio do processo. Ao invés disso, é feito um acompanhamento detahado da evoução dos vaores dos momentos fetores nas extremidades de todas as barras. Os vaores dos momentos fetores nas barras são determinados em cada estágio com base na distribuição de parceas equiibrantes que foi estudada na Seção 8.. Iniciamente, o Processo de Cross é mostrado para uma estrutura que tem apenas um nó a equiibrar. Em seguida, na Seção 8.4., o processo é formaizado com auxíio da viga contínua estudada na Seção Processo de Cross para um pórtico com uma desocabiidade O Processo de Cross é formuado nesta seção para um pórtico que só tem uma rotação noda ivre. O objetivo aqui é mostrar que, utiizando o princípio básico de distribuição de momento externo apicado em um nó dado pea expressão (8.), pode-se determinar os vaores das parceas equiibrantes de momentos fetores nas barras diretamente (não é necessário cacuar a rotação do nó). Considere o pórtico mostrado na Figura 8.8 que tem barras inextensíveis e rigidez à fexão EI constante para todas as barras. As barras estão numeradas conforme mostrado na figura, sendo que a barra tem uma articuação na base. Figura 8.8 Pórtico com uma desocabiidade interna. Os coeficientes de rigidez à rotação das três barras do exempo com reação ao nó centra ivre são: K = EI 5, K = 4EI 4 e K = 4EI 6.

287 84 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Utiizando a expressão (8.) pode-se determinar os coeficientes de distribuição de momento das três barras no nó ivre: K K K γ = =,6, γ = =, 44 e γ = =,. K + K + K K + K + K K + K + K A Figura 8.9 mostra o estágio inicia do Processo de Cross para o pórtico estudado. A figura também indica os vaores dos coeficientes de distribuição de momento das três barras com reação ao nó centra. Neste estágio, o nó tem a rotação fixada com vaor nuo, isto é, o nó está competamente engastado. Nesta situação, as barras descarregadas não apresentam momentos fetores e a barra carregada tem momentos fetores de engastamento perfeito, que são obtidos da Figura 4.4 do Capítuo 4. Observa-se que os momentos fetores nas seções adjacentes ao nó centra não estão equiibrados. +,, M [knm] Figura 8.9 Estágio inicia do Processo de Cross para o pórtico da Figura 8.8. No segundo estágio do processo, o nó centra tem a rotação iberada (Figura 8.). De acordo com o que foi visto na Seção 8., o momento tota desequiibrante no nó (com vaor de +, knm) é equiibrado por parceas equiibrantes de momentos fetores nas três barras adjacentes ao nó. M [knm] t = 7,8 +,, 9, t = / 4,5, Parceas Equiibrantes: t = / (+,),6 = 7,8 (+,),44 =, 6,6 (+,), = 9, Figura 8. Estágio fina do Processo de Cross para o pórtico da Figura 8.8.

288 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 85 As parceas equiibrantes (indicadas na Figura 8.) são proporcionais aos vaores dos coeficientes de distribuição de momento e têm sentido contrário ao momento desequiibrante. O sentido contrário é indicado peo sina contrário das parceas equiibrantes em reação ao momento desequiibrante, o que é consistente com a convenção de sinais adotada no Processo de Cross, que é a mesma do Método dos Desocamentos. Também conforme visto na Seção 8., o equiíbrio do nó centra acarreta em um transporte das parceas equiibrantes para os outros nós das barras. As parceas transmitidas de momentos fetores são determinadas peos coeficientes de transmissão de momento (t) indicados na Figura 8.. As parceas equiibrantes e transmitidas de momentos fetores nas barras que são obtidas no segundo estágio do processo se acumuam aos momentos fetores do estágio inicia de engastamento perfeito. Este acúmuo é consistente com o acúmuo de rotações nodais que é uma característica do processo iterativo mostrado na Seção 8.. Os vaores finais acumuados de momentos fetores nas extremidades das barras do pórtico estudado são mostrados na Figura 8.. O diagrama de momentos fetores, desenhado com ordenadas do ado da fibra tracionada, também está indicado na figura., 4,5 7,8 7,8, 45 +, 4,5, M [knm] 6,6 6,6 Figura 8. Diagrama fina de momentos fetores para o pórtico da Figura 8.8. Observa-se pea anáise do pórtico desta seção que a apicação do Processo de Cross para uma estrutura com apenas uma desocabiidade é muito simpes. Os momentos fetores nas barras são determinados sem que se precise cacuar rotações. Esta simpicidade é mantida para o caso de se ter mais do que uma desocabiidade, conforme vai ser visto em seguida Processo de Cross para uma viga com duas desocabiidades No exempo da seção anterior, após o estágio inicia foi necessário apenas um passo para equiibrar o nó e terminar o processo iterativo. Isso porque existia apenas um nó a equiibrar. Quando a estrutura tem mais do que uma desocabiidade, isto

289 86 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha é, quando a estrutura tem mais do que um nó a equiibrar, a mesma metodoogia de equiíbrio noda baseado nos coeficientes de distribuição de momento é apicada. Neste caso, entretanto, as parceas transmitidas de momentos fetores no equiíbrio de um nó acarretam em desequiíbrio de nós adjacentes já equiibrados. Portanto, para atingir a convergência fina do processo é necessário repetir cicos de equiíbrio noda até que as parceas transmitidas sejam desprezíveis. Este é justamente o processo iterativo que foi mostrado na Seção 8.. A única diferença é que no Processo de Cross formaizado nesta seção as rotações dos nós equiibrados não são cacuadas. Ao invés disso, os vaores dos momentos fetores nas barras são determinados em cada estágio. Para exempificar a metodoogia de cácuo do Processo de Cross para estruturas com mais do que uma desocabiidade, a mesma viga contínua estudada na Seção 8. (Figura 8.6) vai ser anaisada. A Figura 8. indica todos os estágios dessa soução. Apenas os dois nós interiores são equiibrados (a primeira barra é considerada articuada na extremidade esquerda). É adotada uma precisão de, knm para momentos fetores. Isto é, adota-se uma casa decima para representar os vaores dos momentos fetores. A B C,6,64,5,5 D Estágio 64, +4, 4, +84, 84, Estágio 8,, 6, Estágio +,5 +, +, +,5 Estágio 4, 7,4,7 Estágio 4 +,9 +,9 +,8 +,9 Estágio 5,,6, Estágio 6 +, +, +, Fina 86,4 +86,4 9, +9, 7,5 Figura 8. Processo de Cross para a viga contínua da Figura 8.6 (momentos em knm). Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 8.. Os cácuos destes coeficientes para o primeiro nó são: EI/8 4EI/6 γ BA = =,6 e γ BC = =, 64. EI/8 + 4EI/6 EI/8 + 4EI/6 Para o segundo nó, tem-se: 4EI /6 γ CB = γ CD = =,5. 4EI/6 + 4EI/6

290 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 87 O processo mostrado na Figura 8. inicia no Estágio, que corresponde a uma situação de engastamento perfeito. Os vaores dos momentos fetores iniciais nas barras são determinados com base na Figura 4.4 do Capítuo 4. Observa-se que existe desequiíbrio de: 64, + 4, = +5, knm no primeiro nó. O segundo nó tem um desequiíbrio de: 4, + 84, =, knm. No Estágio, o primeiro nó é equiibrado. No caso gera de uma estrutura com várias desocabiidades, não existe uma ordem preferencia para equiíbrio dos nós: quaquer nó desequiibrado pode ser o próximo a ser equiibrado. Entretanto, o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequiíbrio em móduo naquee instante for o nó a ser equiibrado (Süssekind 977-). O equiíbrio do primeiro nó resuta nas seguintes parceas equiibrantes: (+5,),6 = 8, knm; (+5,),64 =, knm. Conforme está mostrado na Figura 8., após o equiíbrio do nó as parceas equiibrantes são subinhadas para indicar que os momentos fetores acima naquee nó estão em equiíbrio (somados dão um vaor nuo). O equiíbrio desse nó não transmite momento fetor para a esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articuada. A parcea transmitida para a direita é igua à metade da parcea equiibrante (t = /):, / = 6, knm. Esta parcea transmitida vai se somar ao momento fetor na seção à esquerda do segundo nó. Como este nó ainda não foi equiibrado, o seu desequiíbrio tota agora é: 4, + 84, 6, = 46, knm. No Estágio, o equiíbrio do segundo nó resuta em parceas equiibrantes iguais (as parceas aparecem subinhadas na Figura 8.): ( 46,),5 = +, knm. As parceas transmitidas nesse equiíbrio são iguais também: +, / = +,5 knm. A parcea transmitida para a direita vai para a seção do engaste. A única conseqüência é que esta parcea se soma ao momento fetor inicia na seção do engaste (que absorve quaquer vaor de momento fetor). A parcea transmitida para a esquerda, por sua vez, desequiibra o primeiro nó já equiibrado. Não tem probema: é só começar um novo cico de equiíbrio noda, iterando até convergir.

291 88 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O desequiíbrio de +,5 knm no primeiro nó é equiibrado no Estágio. As parceas equiibrantes são: (+,5),6 = 4, knm; (+,5),64 = 7,4 knm. Estes vaores foram aproximados de ta maneira que, utiizando uma casa decima, resutasse em uma soma exatamente igua a,5 knm, dessa forma forçando o equiíbrio de momentos fetores dentro da precisão desejada. Observa-se que um procedimento semehante é feito no Estágio 4, que equiibra a parcea transmitida de,7 knm. Os vaores das parceas equiibrantes de +,9 knm e +,8 knm foram obtidos de maneira a somar exatamente +,7 knm, mesmo que em princípio ees devessem ser iguais (os dois coeficientes de distribuição de momento no nó são iguais a,5). Com esse procedimento, os momentos fetores finais do processo vão satisfazer o equiíbrio com o número de casas decimais especificado para precisão. No Estágio 4 as parceas transmitidas para a esquerda e para a direita são iguais (+,9 knm). Como se está utiizando apenas uma casa decima para representar os vaores de momentos, o arredondamento da metade de +,9 knm poderia ter sido para cima ou para baixo. Optou-se por arredondar para baixo pois isso vai fazer o processo iterativo convergir mais rapidamente. Observe que as diferenças de vaores são muito pequenas (da ordem da precisão especificada). No útimo estágio (Estágio 6) ocorre o mesmo que no Estágio 4. As parceas equiibrantes de +, knm e +, knm não são iguais, mas equiibram o momento desequiibrante de, knm com uma casa decima. Neste estágio, a parcea transmitida para a esquerda (metade de +, knm) foi arredondada para um vaor nuo. Dessa forma o primeiro nó permaneceu em equiíbrio e o processo termina. Deve-se observar que as parceas transmitidas sempre decrescem em móduo, o que garante a convergência do processo iterativo. Isso se deve a dois motivos. Primeiro, as parceas equiibrantes decrescem em móduo em reação ao momento desequiibrante em cada nó pois os coeficientes de distribuição de momento são no máximo iguais a uma unidade (em gera, menores do que uma unidade). Segundo, porque os coeficientes de transmissão de momento também são menores do que uma unidade. Os vaores dos momentos finais nas extremidades de todas as barras, mostrados no fina da tabea da Figura 8., são determinados com base no acúmuo (soma com sina) dos momentos fetores de todos os estágios do processo. O diagrama de momentos fetores na viga contínua é mostrado na Figura 8. desenhado do ado da fibra tracionada.

292 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 89 M [knm] 86,4 9, 7, Figura 8. Diagrama de momentos fetores da viga contínua da Figura Apicação do Processo de Cross a quadros panos A metodoogia do Processo de Cross apresentada na seção anterior pode ser apicada diretamente para pórticos panos indesocáveis (sem transações nodais). Isso vai ser exempificado com a soução do quadro pano mostrado na Figura 8.4. O objetivo desta soução é obter o diagrama de momentos fetores do quadro peo Processo de Cross utiizando uma precisão de KNm, isto é, sem nenhuma casa decima. Todas as barras do pórtico são inextensíveis e têm a mesma inércia à fexão EI para todas as seções. E A B F C D G Figura 8.4 Exempo de pórtico pano para soução peo Processo de Cross. Conforme estudado no Capítuo 7, o pórtico da Figura 8.4 só tem desocabiidades internas (rotações nodais). As desocabiidades do nó E não são consideradas pois o nó corresponde a uma extremidade ivre de baanço. A rotação do nó F não está sendo considerada como desocabiidade pois a barra superior da direita está sendo considerada articuada no nó F (veja a Seção 7..). Dessa forma, o quadro têm quadro desocabiidades internas, que são as rotações dos nós A, B, C e D. A soução iterativa do Processo de Cross do quadro da Figura 8.4 está mostrada na Figura 8.5. Esta figura indica os coeficientes de distribuição de momento de cada barra para cada nó a ser equiibrado. No nó A, somente as barras AB e AC são consideradas para a determinação dos coeficientes pois a barra AE é um baanço. Os cácuos dos coeficientes para este nó são:

293 9 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4EI/ 4EI/5 γ AB = = e γ AC = =. 4EI/ + 4EI/5 4EI /+ 4EI/5 Para o nó B, os cácuos dos coeficientes são: 4EI/ EI/ γ BA = =,7, γ BF = =, e 4EI/+ EI/ + 4EI/5 4EI/+ EI/ + 4EI/5 4EI/5 γ BD = =,5. 4EI/+ EI /+ 4EI/5 No nó C, tem-se: 4EI/5 4EI/ γ CA = γ CG = =,4 e γ CD = =,. 4EI/5 + 4EI /+ 4EI/5 4EI/5 + 4EI/+ 4EI/5 Finamente, os coeficientes de distribuição de momento para o nó D são: 4EI/5 4EI/ γ DB = = e γ DC = =. 4EI/+ 4EI/5 4EI/ + 4EI/5,7, , / Figura 8.5 Processo de Cross para o quadro pano da Figura 8.4 (momentos em knm).,4,4 / / O Processo de Cross mostrado na Figura 8.5 é iniciado com o cácuo dos momentos de engastamento perfeito das barras carregadas. Nas barras AB, BF e CD, os momentos de engastamento são obtidos da Figura 4.4 do Capítuo 4. Observa-se que os momentos fetores iniciais da barra CD foram arredondados para a precisão desejada. O momento de engastamento no nó A da barra EA é cacuado conforme indica o detahe no topo esquerdo da Figura 8.5 (cácuo isostático de reações de engastamento de uma barra em baanço com uma carga uniformemente distribuí-,5 /

294 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 9 da). O momento fetor desta barra em A é negativo pois atua na extremidade da barra no sentido horário. Em cada passo do processo vai se procurar sempre equiibrar o nó que tem o maior momento desequiibrante em móduo. No estágio inicia, os nós C e D têm o vaor máximo em móduo de momento desequiibrante e optou-se por equiibrar o nó D (momento desequiibrante igua a 67 knm) no primeiro passo. Considerando os coeficientes de distribuição de momento neste nó, tem-se como parceas equiibrantes + knm, na barra DB, e +56 knm, na barra DC. As parceas transmitidas são +55 knm (arredondada para baixo), para o nó B, e +8 knm, para o nó C. No passo seguinte, o nó C é o que tem o maior momento desequiibrante em móduo ( = +95 knm). O equiíbrio deste nó acarreta na transmissão de momentos para os nós A e D (que passa a ficar desequiibrado novamente). O próximo nó a ser equiibrado é o nó B, em seguida o nó A, e assim sucessivamente até que os momentos transmitidos sejam menores do que knm (a precisão desejada). A Figura 8.5 mostra os momentos fetores finais nas extremidades de todas as barras. Os vaores finais são cacuados superpondo os vaores dos momentos de todos os estágios do processo. O diagrama de momentos fetores finais deste exempo é indicado na Figura M [knm] 8 Figura 8.6 Diagrama de momentos fetores do quadro pano da Figura 8.4.

295 . CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA.. Introdução Diversas estruturas são soicitadas por cargas móveis. Exempos são pontes rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam pontes roantes para transporte de cargas. Os esforços internos nestes tipos de estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas apicadas, mas também com a posição de atuação das cargas. Portanto, o projeto de um eemento estrutura, como uma viga de ponte, envove a determinação das posições das cargas móveis que produzem vaores extremos dos esforços nas seções do eemento. No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posição de atuação de cargas acidentais de ocupação também infuencia na determinação dos esforços dimensionantes. Por exempo, o momento fetor máximo em uma determinada seção de uma viga contínua com vários vãos não é determinado peo posicionamento da carga acidenta de ocupação em todos os vãos. Posições seecionadas de atuação da carga acidenta vão determinar os vaores imites de momento fetor na seção. Assim, o projetista terá que determinar, para cada seção a ser dimensionada e para cada esforço dimensionante, as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os vaores extremos (máximos e mínimos de um determinado esforço). Uma aternativa para este probema seria anaisar a estrutura para várias posições das cargas móveis ou acidentais e seecionar os vaores extremos. Este procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira gera, exceto para estruturas e carregamentos simpes. O procedimento gera e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam vaores extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura é feito com auxíio de Linhas de Infuência. Linhas de Infuência (LI) descrevem a variação de um determinado efeito (por exempo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fetor em uma seção) em função da posição de uma carga unitária que passeia sobre a estrutura. Assim, a LI de momento fetor em uma seção é a representação gráfica ou anaítica do momento fetor, na seção de estudo, produzida por uma carga concentrada unitária, geramente de cima para baixo, que percorre a estrutura. Isso é exempificado na figura., que mostra a LI de momento fetor em uma seção S indicada. Nesta figura, a posição da carga unitária P = é dada peo parâmetro x, e uma ordenada genérica da LI representa o vaor do momento fetor em S em função de x, isto é, LIM S = M S(x). Em gera, os vaores positivos dos esforços nas inhas de infuência são desenhados para baixo e os vaores negativos para cima. x P = S M S (x) Figura. Linha de Infuência de momento fetor em uma seção de uma viga contínua. Com base no traçado de LI s, é possíve obter as chamadas envotórias imites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais. As envotórias imites de momento fetor em uma estrutura descrevem, para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os vaores máximos e mínimos de momento fetor em cada uma

296 94 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha das seções da estrutura, de forma anáoga ao que descreve o diagrama de momentos fetores para um carregamento fixo. Assim, o objetivo da Anáise Estrutura para o caso de cargas móveis ou acidentais é a determinação de envotórias de máximos e mínimos de momentos fetores, esforços cortantes etc., o que possibiitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo de soicitação. As envotórias são, em gera, obtidas por interpoação de vaores máximos e mínimos, respectivamente, de esforços cacuados em um determinado número de seções transversais ao ongo da estrutura. A determinação de vaores máximos e mínimos de um esforço interno em uma seção de estudo é exempificada para o caso do momento fetor na seção S da figura anterior. O carregamento permanente, constituído do peso próprio da estrutura, é representado por uma carga uniformemente distribuída g, ta como indica a figura.. S g LIM S Figura. Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga contínua. Considerando que a ordenada de LIM S (= M S(x)) é função de uma carga concentrada unitária, o vaor do momento fetor em S devido ao carregamento permanente pode ser obtido por integração do produto da carga infinitesima gdx por M S(x) ao ongo da estrutura: M g S = M ( x) gdx = LIM gdx S S Considere que existe um carregamento acidenta de ocupação que é representado por uma carga uniformamente distribuída q. Por ser acidenta, a carga q pode atuar parciamente ao ongo da estrutura. O que se busca são as posições de atuação da carga q que maximizam ou minimizam o momento fetor em S. O vaor máximo de M S é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da LIM S, e o vaor mínimo é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas negativas da LIM S. Isso é mostrado nas figuras. e.4. S q q LIM S Figura. Posicionamento de carga acidenta uniformemente distribuída para provocar máximo momento fetor em uma seção. S q LIM S Figura.4 Posicionamento de carga acidenta uniformemente distribuída para provocar mínimo momento fetor em uma seção. Os vaores máximos e mínimos de M S devidos somente ao carregamento acidenta podem ser obtidos por integração do produto LIM S qdx nos trechos positivos e negativos, respectivamente, da inha de infuência: 4 q ( MS ) = LIMS qdx + máx 9 q ( M ) = LIM S mín 4 S qdx 9 LIM S qdx

297 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 95 Assim, os vaores máximos e mínimos finais de M S provocados peo carregamento permanente e peo carregamento acidenta são: g q ( M S ) máx = MS + ( MS ) máx g q ( M S ) mín = MS + ( MS ) mín Observe que, no caso gera, o vaor máximo fina de um determinado esforço em uma seção não é necessariamente positivo, nem o vaor mínimo fina é necessariamente negativo. Isto vai depender da magnitude dos vaores provocados peos carregamentos permanente e acidenta. Quando máximos e mínimos tiverem o mesmo sina, o esforço dimensionante será o que tiver a maior magnitude. Quando máximos e mínimos tiverem sentidos opostos, principamente no caso de momento fetor, ambos podem ser dimensionantes... Linhas de infuência para uma viga biapoiada A determinação das expressões anaíticas de inhas de infuência é reativamente simpes para o caso de estruturas isostáticas. Neste caso, um enfoque baseado no equiíbrio expícito da estrutura submetida a uma carga concentrada unitária pode ser utiizado para determinar as inhas de infuência. Tome por exempo a viga biapoiada mostrada na figura.5. O equiíbrio de forcas verticais e de momentos em reação ao ponto A, por exempo, determina os vaores das reações de apoio V A = ( x) / e V B = x /. Estas equações nada mais são do que as próprias expressões anaíticas das inhas de infuência das reações de apoio, pois expressam a variação de V A e V B em função da posição x da carga concentrada unitária. A x P = B V A V B LIV A V A (x) = ( x) / LIV B V B (x) = x / Figura.5 Linhas de Infuência de reações de apoio em uma viga biapoiada. A imposição direta do equiíbrio também pode ser utiizada para determinar as inhas de infuência do esforço cortante e do momento fetor em uma seção genérica S da viga biapoiada, ta como mostrado na figura.6. Para isso, duas situações são consideradas, uma quando a carga concentrada unitária está à esquerda da seção S e outra quando a carga está à direita: Esforço cortante P = à esquerda de S (x < a) Q S = V B LIQ S = LIV B = x /. P = à direita de S (x > a) Q S = +V A LIQ S = +LIV A = ( x) /. Momento fetor P = à esquerda de S (x a) M S = +b V B LIM S = +b LIV B = b x /. P = à direita de S (x a) M S = +a V A LIM S = +a LIV A = a ( x) /.

298 96 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A x a P = S b B M S M S V A Q S V B Q S (x) = x / + Q S (x) = ( x) / LIQ S M S (x) = b x / a a b/ M S (x) = a ( x) / b LIM S Figura.6 Linhas de Infuência de esforço cortante e momento fetor em uma seção da viga biapoiada... Método cinemático para o traçado de LI O Princípio dos Desocamentos Virtuais (PDV) oferece um método aternativo para o traçado de inhas de infuência. Considere que a viga biapoiada da seção anterior sofreu um campo de desocamentos virtuais v(x), conforme indicado na figura.7, onde o apoio da esquerda é desocado virtuamente para baixo de uma unidade de distância. Como a viga biapoiada é isostática, o movimento do apoio vai impor um desocamento de corpo rígido para a viga. Isto é, a viga permanece reta e não existem deformações internas. Deve-se observar que, por uma questão de consistência com a convenção adotada para o traçado de LI s, está sendo considerado como positivo um desocamento transversa v(x) para baixo, e negativo para cima. A x P = B v(x) = ( x) / V B V A Figura.7 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de reação de apoio de uma viga biapoiada. O PDV diz que o trabaho virtua produzido peas forças externas (reais) da estrutura peos correspondentes desocamentos externos virtuais é igua à energia de deformação interna virtua, que no caso é nua (não existem deformações internas virtuais). Portanto, o trabaho virtua das forças externas é nuo, isto é: V A + P v(x) + V B = V A(x) = ( x) /.

299 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 97 Vê-se que a apicação do PDV resutou na expressão anaítica encontrada anteriormente para a LIV A. Não podia deixar de ser desta maneira, pois o PDV nada mais é do que uma forma aternativa para se impor condições de equiíbrio. As inhas de infuência do esforço cortante e do momento fetor em uma seção S da viga biapoiada também podem ser determinadas peo PDV. O campo de desocamentos virtuais para a obtenção de LIQ S está mostrado na figura.8. x P = M S Q S V A a/ b/ Q S M S v(x) = ( x) / V B a b x P = v(x) = x / M S Q S a/ b/ V A Q S M S V B Figura.8 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de esforço cortante em uma seção de uma viga biapoiada. O campo de desocamentos virtuais da figura.8 é ta que a viga é cortada na seção S e é imposto um desocamento transversa reativo nesta seção igua a uma unidade de distância. Com a seção cortada, por ser a viga isostática, ea se transforma em um mecanismo (em uma cadeia cinemática) que não oferece resistência ao movimento imposto. Portanto, os movimentos virtuais dos dois segmentos de viga após o corte são de corpo rígido (sem deformação virtua interna). Aém disso, as incinações dos dois segmentos de viga à esquerda e à direita de S devem permanecer iguais para que não haja rotação reativa nesta seção, desta forma evitando que o momento fetor M S produza trabaho virtua. Nota-se também na figura.8 que o desocamento transversa reativo na seção S é contrário às direções positivas do esforço cortante Q S, isto é, o segmento à esquerda de S sobe de a /, enquanto o segmento à direita desce de b /. A apicação do PDV à estrutura da figura.8 resuta em: P = à esquerda de S (x < a): Q S a / Q S b / + M S / M S / P x / + V A + V B = Q S(x) = x /. P = à direita de S (x > a): Q S a / Q S b / + M S / M S / + P ( x) / + V A + V B = Q S(x) = ( x) /. Como pode-se notar, estas expressões são as mesmas obtidas anteriormente para a LIQ S por apicação de condições de equiíbrio diretamente. O campo de desocamentos virtuais para determinar a inha de infuência de momento fetor em uma seção S da viga biapoiada é mostrado na figura.9. Este campo de desocamentos é ta que a continuidade de rotação da viga é iberada na seção S e é imposta uma rotação reativa unitária (θ = rad) nesta seção (consideram-se pequenos desocamentos, isto é, um arco de cír-

300 98 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha cuo é aproximado por sua corda). Nota-se na figura.9 que o segmento de viga à esquerda da seção S sofre um giro com um ânguo igua a b/ no sentido horário, que é contrário à direção positiva de M S na extremidade do segmento. Observa-se também que o segmento à direita de S gira de a/ no sentido anti-horário, que é contrário à direção positiva de M S na porção da direita. M S x M S P = V A Q S V B a b v(x) = b x / v(x) = a ( x) / a a b/ θ = b Figura.9 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de momento fetor em uma seção de uma viga biapoiada. Apicando o PDV à estrutura da figura.9, obtem-se: P = à esquerda de S (x a): +Q S a b / Q S a b / M S b / M S a / + P b x / + V A + V B = M S(x) = b x /. P = à direita de S (x a): +Q S a b / Q S a b / M S b / M S a / + P a ( x) / + V A + V B = M S(x) = a ( x)/. Isso resuta nas mesmas expressões para LIM S obtidas anteriormente. Pode-se resumir a a obtenção de inhas de infuência de um efeito (reação de apoio, esforço cortante ou momento fetor) na viga biapoiada por apicação do PDV da seguinte maneira (Süssekind, J.C., Curso de Anáise Estrutura, Editora Gobo, 977): Para se traçar a inha de infuência de um efeito E (esforço ou reação), procede-se da seguinte forma: rompe-se o víncuo capaz de transmitir o efeito E cuja inha de infuência se deseja determinar; na seção onde atua o efeito E, atribui-se à estrutura, no sentido oposto ao de E positivo, um desocamento generaizado unitário, que será tratado como sendo muito pequeno; a configuração deformada (eástica) obtida é a inha de infuência. O desocamento generaizado que se faz referência depende do efeito em consideração, ta como indicado na figura.. No caso de uma reação de apoio, o desocamento generaizado é um desocamento absouto da seção do apoio. Para um esforço cortante, o desocamento generaizado é um desocamento transversa reativo na seção do esforço cortante. E para um momento fetor, o desocamento generaizado é uma rotação reativa entre as tangentes à eástica adjacentes à seção do momento fetor. Esta maneira de se determinar inhas de infuência, embora só tenha sido mostrada para uma viga biapoiada, se apica para quaquer tipo de estrutura, incusive estrutura hiperestática. Este método foi formuado por Müer-Bresau no fina do sécuo 9 e por isso é chamado de Princípio de Müer-Bresau (White, R.N., Gergey, P. e Sexsmith, R.G., Structura Enginnering, John

301 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 99 Wiey, New York, 976; Süssekind, J.C., Curso de Anáise Estrutura, Editora Gobo, 977), também conhecido como método cinemático para o traçado de LI. Efeito Reação de apoio V Desocamento generaizado = Esforço cortante Q Q = Momento fetor M M θ = Figura. Desocamentos generaizados utiizados no método cinemático para traçado de LI. A demonstração do Princípio de Müer-Bresau para estruturas hiperestáticas vai ser feita utiizando-se o Teorema de Betti, que é uma conseqüência do PDV. Considere as duas vigas contínuas hiperestáticas com mesmo comprimento mostradas na figura.. A viga () tem uma carga concentrada unitária P =, apicada a uma distância x do início da viga. A viga () difere da primeira pea inexistência do primeiro apoio, sendo que nesta posição é apicada uma carga concentrada P que provoca, no seu ponto de apicação, um desocamento para baixo de uma unidade de distância. () x P = V A v (x) () P v (x) Figura. Apicação do Teorema de Betti a duas vigas contínuas. O PDV é apicado para as vigas () e () da figura., sendo que os campos de desocamentos virtuais utiizados são os desocamentos da outra viga, isto é, o campo de desocamentos virtuais imposto à viga () é a eástica v (x) da viga () e para a viga () é imposta a eástica v (x) como campo de desocamentos virtuais. Considerando um comportamento eástico-inear, as expressões do PDV para as duas vigas são: MM F v dx + EI QQ = dx GA MM F v dx + EI QQ = dx GA c c

302 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Nestas expressões, o somatório do ado esquerdo do sina de iguadade representa o trabaho virtua das forças externas, isto é, ΣF v é o trabaho das forças da viga () com os correspondentes desocamentos externos da viga (), e ΣF v é o inverso. As integrais do ado direito do sina de iguadade representam a energia de deformação virtua interna. A primeira integra é a e- nergia de deformação por fexão e a segunda é a energia de deformação por cisahamento. M e Q são os diagramas de momento fetor e esforço cortante da viga (), e M e Q são os diagramas da viga (). O parâmetro E é o móduo de easticidade do materia, o parâmetro G é o móduo de cisahamento, I é momento de inércia da seção transversa e A c é a área efetiva para cisahamento da seção transversa. Observa-se que as energia de deformação virtua interna das duas expressões são iguais. Portanto: v = F v F. Esta é a expressão do Teorema de Betti, que só é váido para estruturas eásticas-ineares: o trabaho da forças externas de uma estrutura com os correspondentes desocamentos externos de outra estrutura é igua ao trabaho das forças externas da outra estrutura com os correspondentes desocamentos da primeira. Apicando o Teorema de Betti para as duas vigas da figura., tem-se: V A + P v (x) = P V A(x) = v (x) LIV A = v (x). Como a eástica v (x) da viga () corresponde justamente à imposição de um desocamento unitário na direção oposta à reação de apoio V A (com a iberação do víncuo associado), fica demonstrado que o Princípio de Müer-Bresau também é váido para vigas hiperestáticas. Demonstrações anáogas poderiam ser feitas para inhas de infuência de esforço cortante e momento fetor, ou mesmo para outros tipos de estruturas, como pórticos hiperestáticos. Um fato importante a ser destacado, e que transparece da figura., é que as inhas de infuência para estruturas hiperestáticas são formadas por trecho curvos, enquanto que para estruturas isostáticas eas são formadas por trechos retos, conforme mencionado anteriormente. O método cinemático fornece uma expicação intuitiva para isso. No caso de estruturas isostáticas, a iberação do víncuo associado ao efeito que se quer determinar a LI resuta em um estrutura hipostática, que se comporta como uma cadeia cinemática quando o desocamento generaizado é imposto. Como a cadeia cinemática não oferece resistência aguma ao desocamento imposto, as barras da estrutura sofrem movimentos de corpo rígido, isto é, permanecem retas. Assim, as LI para estruturas isostáticas são formadas por trechos retos. Entretanto, a iberação do víncuo no caso de uma estrutura hiperestática resuta em uma estrutura que ainda oferece resistência ao desocamento generaizado imposto. Isto significa que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao desocamento imposto, isto é, as barras se fexionam. Se forem desprezadas deformações por cisahamento e considerando barras prismáticas (seções transversais constantes), a equação diferencia que governa o comportamento de barras à fexão é a Equação de Navier: 4 d v( x) q( x) =, 4 dx EI onde v(x) é o desocamento transversa da barra, q(x) é a taxa de carregamento transversa distribuído, E é o móduo de easticidade do materia e I é o momento de inércia da seção transversa. Como no caso do método cinemático para o traçado de LI a taxa de carregamento distribuído é nua, a eástica resutante (que é a própria LI) é regida pea seguinte equação diferencia: 4 d v( x) d LI = =. 4 dx 4 dx 4 Portanto, no caso gera, as LI s para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos que são descritos matematicamente por poinômios do º grau.

303 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência O método cinemático é bastante úti para a determinação do aspecto de uma LI, isto é, quando se deseja obter apenas a forma da LI. Isto é freqüente utiizado no projeto de estruturas submetidas a cargas acidentais uniformemente distribuídas, conforme foi exempificado na seção.. No exempo mostrado, a forma da LI de momento fetor na seção de estudo é suficiente para determinar os posicionamentos da carga acidenta que maximizam ou minimizam o momento fetor na seção. Os vaores máximos e mínimos do momento fetor na seção não precisam ser cacuados necessariamente com base na LI; quaquer outro método poderia ser utiizado. Assim, somente os aspectos da LI s possibiitam a determinação de vaores máximos e mínimos de esforços ao ongo da estrutura. Para exempificar formas típicas de LI s, as figuras. a.7 mostram LI s para uma viga Gerber isostática e para uma viga contínua hiperestática. As figuras. e. mostram LI s de reações de apoio. A B V A V B = LIV A = LIV B Figura. Linhas de infuência de reações de apoio para uma viga Gerber isostática. A B V A V B = LIV A = LIV B Figura. Linhas de infuência de reações de apoio para uma viga contínua hiperestática. As figuras.4 e.5 mostram LI s de esforços cortantes. No caso de seções de apoio, como existe uma descontinuidade da LI nestes pontos, sempre são consideradas seções imediatamente à esquerda e à direita dos pontos dos apoios. Observa-se nestas figuras que as inhas de infuência de esforços cortantes para seções de um determinado vão entre apoios têm um comportamento típico. Assim, a seção A dir do primeiro vão após o baanço tem LI de esforço cortante com descontinuidade ocaizada próxima ao apoio A, sendo que fora do vão a LI é igua às LI s das seções S e B esq, ou de quaquer outra seção do mesmo vão. Em outras paavras, duas seções

304 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha de um mesmo vão têm LI s de esforço cortante diferindo apenas pea ocaização da descontinuidade, que fica sobre a seção. A esq A dir S B esq B dir = LIQ Aesq = LIQ Adir = LIQ S = LIQ Besq = LIQ Bdir Figura.4 Linhas de infuência de esforços cortantes para uma viga Gerber isostática. A esq A dir S B esq B dir S = LIQ Aesq = LIQ Adir = LIQ S = LIQ Besq = LIQ Bdir = LIQ S Figura.5 Linhas de infuência de esforços cortantes para uma viga contínua hiperestática.

305 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência E, finamente, as figuras.6 e.7 mostram LI s de momentos fetores. A S B θ = LIM A θ = LIM S θ = LIM B Figura.6 Linhas de infuência de momentos fetores para uma viga Gerber isostática. A S B S C θ = LIM A θ = LIM S θ = LIM B θ = LIM S θ = LIM C Figura.7 Linhas de infuência de momentos fetores para uma viga contínua hiperestática.

306 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha.4. Metodoogia para cácuo de LI s peo método cinemático A seção anterior mostrou que o Princípio de Müer-Bresau é úti para a determinação quaitativa dos aspectos de inhas de infuência. Entretanto, este método cinemático também pode ser utiizado para determinar equações e vaores de LI s de uma maneira gera. A metodoogia descrita a seguir foi apresentada peo Prof. B. Ernani Diaz (Revista RBE, 984), que demonstrou que o método cinemático pode ser impementado computacionamente, com poucas modificações, em quaquer programa genérico para anáise de estruturas reticuadas. A determinação de uma LI baseada no método cinemático é feita pea superposição de duas configurações deformadas (eásticas) para uma mesma estrutura. Isto é exempificado para o caso da LI de esforço cortante em uma seção genérica de uma viga contínua, que é indicada na figura.8. M M = V V (I) M = M V V (II) V V M M (I)+(II) = Figura.8 Determinação de LI de esforço cortante de uma seção de uma viga contínua por superposição de efeitos. Nesta figura, a viga contínua é submetida a dois tipos de soicitações, mostradas nos casos (I) e (II). O caso (I) corresponde a um desocamento generaizado (para o traçado da LI) imposto ocaizadamente à barra que contém a seção de estudo. No exempo da figura, considerou-se deiberadamente que a barra em questão não abrange todo o vão centra entre apoios. Dessa forma, está se considerando uma situação mais gera. O campo de desocamentos imposto no caso (I) fica restrito à barra da seção de estudo pois ee corresponde a uma situação de engastamento perfeito da barra, isto é, como se ea fosse biengastada. Pode-se notar que esta situação corresponde ao caso () da metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos (capítuo 5). Assim, as reações de apoio (V, M, V e M ) da barra biengastada submetida ao desocamento generaizado imposto são os chamados termos de carga (β i) do Método dos Desocamentos. O caso (II) da superposição considera o efeito goba do desocamento generaizado imposto. Este efeito goba é determinado peo cácuo da eástica goba da estrutura devida a uma soicitação onde as reações de engastamento do caso (I) são apicadas aos nós extremos da barra em questão com seus sentidos opostos, ta como indica a figura.8. Estas forças e momentos, com os sentidos opostos, são chamados de cargas equivaentes nodais para a soicitação do caso

307 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 5 (I). Nota-se que, na superposição dos dois casos, as forças e momentos apicados aos nós da barra se canceam, resutando somente no desocamento generaizado imposto à viga como um todo. Dessa forma, pode-se observar que a metodoogia adotada para o cácuo da LI peo método cinemático segue o formaismo do Método da Rigidez Direta: no caso (I) e considerado o efeito da soicitação externa e no caso (II) a estrutura é resovida gobamente soicitada por cargas equivaentes nodais. A única novidade é que a soicitação externa neste caso é um desocamento generaizado imposto à barra que contém a seção de estudo com as extremidades engastadas. Por esse motivo, quaquer programa de computador que impemente o Método da Rigidez Direta (procedimento padrão) e determine vaores da eástica pode ser facimente modificado para cacuar LI s peo método cinemático. Portanto, para impementar computacionamente este método, é necessário fornecer souções de engastamento perfeito para inhas de infuência típicas em uma barra. Estas souções devem conter as reações de engastamento perfeito e a equação da eástica devida a um desocamento generaizado imposto. Isso é feito a seguir para LI s de esforço cortante e momento fetor em uma seção genérica de uma viga biengastada..5. Linha de infuência de esforço cortante em viga biengastada A figura.9 mostra a soução de uma viga biengastada à qua é imposto um desocamento generaizado para o traçado de LI de esforço cortante em uma seção genérica. A barra é considerada prismática, com móduo de easticidade E e momento de inércia da seção transversa I. A convenção de sinais adotada para reações de apoio é ta que reações forças verticais são positivas quando orientadas para cima e negativas para baixo. Reações momentos são positivas quando no sentido anti-horário e negativas quando no sentido horário. A convenção de sinais para a eástica é ta que desocamentos tranversais v(x) são positivos quando para baixo e negativos para cima. Como dito anteriormente, a inversão da convenção para desocamentos transversais se deve a um costume de se indicar ordenadas positivas de inhas de infuência para baixo. M v esq(x) M v dir(x) S = V V a Figura.9 Soução de uma viga biengastada para determinação de LI de esforço cortante em uma seção. A soução para a eástica da viga da figura.9 foi obtida considerando a seguinte equação diferencia (equação de Navier com taxa nua de carregamento transversa distribuído) e as seguintes condições de contorno e de continuidade: Equação diferencia 4 d v( x) = 4 dx b

308 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Condições de contorno v ( ) = v ( ) = dv() dv( ) = = dx dx Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada) v dir ( a) v ( a) = esq dv dv a dir ( a) esq ( ) = dx dx Isso resuta na seguinte soução para a eástica da viga, isto é, para a inha de infuência do esforço cortante em uma seção genérica: x x LIQS = vesq( x) = + para x < a x x LIQS = vdir ( x) = + para a < x Na figura.9, as reações de apoio são mostradas com o sentido físico correspondente à LI indicada. Considerando a convenção de sinais adotada, as reações de engastamento têm os seguintes vaores: EI V = EI V = EI M = 6 EI M = 6.6. Linha de infuência de momento fetor em viga biengastada A determinação da LI de momento fetor em uma seção quaquer da viga biengastada é anáoga ao que foi feito para a LI de esforço cortante. Isto é mostrado na figura.. M v esq(x) v dir(x) M S V V θ = a b Figura. Soução de uma viga biengastada para determinação de LI de momento fetor em uma seção. A equação diferencia e as condições de contorno são as mesmas da LI de esforço cortante. A- penas as condições de continuidade são diferentes: Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada) v ( a) v ( a) esq = dir dvesq ( a) dvdir ( a) = dx dx

309 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 7 A soução para a inha infuência de momento fetor é mostrada abaixo: a x a x LIMS = vesq ( x) = x para x a a x a x LIMS = vdir ( x) = x + + a para a x E, finamente, as reações de engastamento perfeito têm os seguintes vaores (consistentes com a convenção de sinais adotada): V a EI = 6 V a EI = 6 + 6a EI 6a EI M = 4 M = Na figura., as reações estão indicadas com o sentido físico correspondente à LI exempificada..7. Exempo de determinação de envotórias de esforços internos Viga biapoiada com baanços, carga permanente e carga móve Carga Móve Carga Permanente A B C D E F G Besq Bdir Fesq Fdir Estrutura e seções transversais para envotórias Esforços internos da carga permanente A Besq Bdir C D E Fesq G Fdir Carga Permanente: Esforços Cortantes [kn] A B C D E F G Carga Permanente: Momentos Fetores [knm]

310 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móve Posição da carga móve para Q Besq mínimo Besq (carga móve não atuando) LIQ Besq Posição da carga móve para Q Besq máximo ( Q ) c. m. Besq = [ (.) + (.) + (.) ] = 6. kn mín. c. m. ( Q ) Besq = máx. Posição da carga móve para Q Bdir mínimo Bdir LIQ Bdir Posição da carga móve para Q Bdir máximo ( Q ) c. m. Bdir mín. = [ (.5) +.5 (.5) ] = 8. 75kN ( Q ) c. m. = [ (.) + (.75) +.5 (.5) +.5 (.) ] = 9. kn Bdir máx. + 5 Posição da carga móve para Q C mínimo C LIQ C Posição da carga móve para Q C máximo ( Q ) c. m. C mín. = [ (.5) +.5 (.5) +.5 (.5) ] =. 5kN. ( Q ) m. = [ (.75) + (.5) +.5 (.5) (.75) ] = 57. kn c máx. + C 5

311 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 9 Posição da carga móve para Q D mínimo D LIQ D Posição da carga móve para Q D máximo ( Q ) c. m. D mín. = [ (.5) + (.5) (.5) +.5 (.5) ] =. 5kN. ( Q ) m. = [ (.5) + (.5) (.5) +.5 (.5) ] =. kn c máx. + D 5 Posição da carga móve para Q E mínimo E LIQ E Posição da carga móve para Q E máximo ( Q ) c. m. E mín. = [ (.75) + (.5) (.75) +.5 (.5) ] = 57. 5kN. ( Q ) m. = [ (.5) +.5 (.5) +.5 (.5) ] =. kn c máx. + E 5 Posição da carga móve para Q Fesq mínimo Fesq LIQ Fesq Posição da carga móve para Q Fesq máximo ( Q ) c. m. Fesq = [ (.) + (.75) +.5 (.) +.5 (.5) ] = 9. 5kN mín. ( Q ) c. m. = [ (.5) +.5 (.5) ] = + 8. kn Fesq 75 máx. (carga móve não atuando) Posição da carga móve para Q Fdir mínimo Fdir LIQ Fdir Posição da carga móve para Q Fdir máximo c. m. ( Q Fdir ) mín. = ( Q ) c. m. = [ (.) + (.) + (.) ] = 6. kn Fdir máx. +

312 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Envotórias de Esforços Cortantes Envotórias de Esforços Cortantes [kn] Seção Carga Carga Móve Envotórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A -. * -. Besq Bdir C D E Fesq Fdir G +. * +. * O esforço cortante devido à carga móve na extremidade ivre do baanço corresponde à carga de kn posicionada sobre esta seção máximos 7.5 carga permanente mínimos faixa de trabaho Envotórias: Esforços Cortantes [kn] Determinação dos momentos fetores mínimos e máximos da carga móve Posição da carga móve para M B mínimo B LIM B (carga móve não atuando) Posição da carga móve para M B máximo ( M ) c. m. B mín. = [ (.) +.5 (.) ] = 5. knm c. m. ( M ) B máx. =

313 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência Posição da carga móve para M C mínimo C LIM C Posição da carga móve para M C máximo ( M ) c. m. C mín. = [ (.5) +.5 (.5) +.5 (.75) ] = 9. knm. ( M ) m. = [ (.5) + (.5) +.5 (.5) ] = 95. knm c máx. + C Posição da carga móve para M D mínimo D LIM D Posição da carga móve para M D máximo ( M ) c. m. D mín. = [ (.5) +.5 (.5) +.5 (.5) ] = 75. knm. ( M ) m. = [ (.) + (.5) +.5 (.) ] = 55. knm c máx. + D Posição da carga móve para M E mínimo E LIM E Posição da carga móve para M E máximo ( M ) c. m. E mín. = [ (.5) +.5 (.75) +.5 (.5) ] = 9. knm. ( M ) m. = [ (.5) + (.5) +.5 (.5) ] = 95. knm c máx. + E

314 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Posição da carga móve para M F mínimo (carga móve não atuando) F LIM F Posição da carga móve para M F máximo ( M ) c. m. F mín. = [ (.) +.5 (.) ] = 5. knm c. m. ( M ) F máx. = Envotórias de Momentos Fetores Envotórias de Momento Fetor [knm] Seção Carga Carga Móve Envotórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A B C D E F G carga permanente mínimos máximos Envotórias: Momentos Fetores [knm] faixa de trabaho 55

315 APÊNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA Este apêndice apresenta a Anaogia da Viga Conjugada como forma aternativa para deduzir souções fundamentais de vigas. Essa metodoogia para anáise de vigas está baseada em uma comparação entre as equações diferenciais de equiíbrio e de compatibiidade que regem o comportamento de barras à fexão. Essas equações foram deduzidas no capítuo e estão mostradas na tabea B. de forma comparativa. A anaogia entre as equações diferenciais foi observada iniciamente por Mohr (85-98), e por isso esse método é conhecido como Processo de Mohr (Süssekind 977-). Tabea B. Comparação entre equações diferenciais de equiíbrio e compatibiidade para fexão de vigas (vide capítuo ). Equações de Equiíbrio Equações de Compatibiidade dm dv = Q(x) Eq. (.9) = θ (x ) Eq. (.) dx dx d M = q( x) Eq. (.) dx d v M( x) = Eq. (.) dx EI Nota-se na tabea B. que o pape que M(x) faz nas equações de equiíbrio é o mesmo que o pape que v(x) exerce nas equações de compatibiidade, isto é, M(x) é anáogo a v(x). Observa-se também que Q(x) é anáogo a θ(x) e q(x) a M(x)/EI. A idéia origina de Mohr em exporar essa anaogia está em utiizar as equações de compatibiidade da viga rea como se fossem equações de equiíbrio de uma viga fictícia, chamada de viga conjugada, com carregamento q C (x) = M(x)/EI, esforço cortante Q C (x) = θ(x) e momento fetor M C (x) = v(x), ta como indica a tabea B.. Com base nessa anaogia, a resoução do probema do equiíbrio da viga conjugada é equivaente à resoução do probema da compatibiidade da viga rea. Como a imposição de condições de equiíbrio é, em gera, mais simpes e intuitiva do que a imposição de condições de compatibiidade, a anaogia da viga conjugada se apresenta como uma aternativa para a imposição de condições de compatibiidade em vigas.

316 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Tabea B. Anaogia da viga conjugada. VIGA REAL VIGA CONJUGADA Carregamento q(x) q C (x) = M(x)/EI Esforço cortante Q(x) Q C (x) = θ(x) Momento fetor M(x) M C (x) = v(x) Rotação Desocamento transversa θ(x) v(x) A anaogia da viga conjugada tem diversas apicações na anáise de vigas. As principais são: Cácuo de desocamentos em vigas. Anáise de vigas hiperestáticas. Determinação de reações de engastamento de vigas para carregamentos arbitrários. Dedução de coeficientes de rigidez de barras isoadas. Todas essas apicações podem ser anaisadas utiizando o Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV), ta como foi mostrado no capítuo 4. Entretanto, a anaogia da viga conjugada é uma aternativa mais simpes de ser utiizada em muitos casos, e também muito úti quando a viga tem uma rigidez à fexão variáve, isto é, quando EI não é constante. Nota-se que em todos os exempos tratados no corpo deste ivro só são consideradas barras prismáticas, isto é, barras com seção transversa que não variam ao ongo do seu comprimento. Este apêndice fornece uma metodoogia para dedução de souções fundamentais de barras com inércia variáve. Como visto nos capítuos 6, 7 e 9, o Método dos Desocamentos se baseia em souções fundamentais de barras isoadas (reações de engastamento de barras e coeficientes de rigidez de barras). Portanto, este apêndice estende a apicação do Método dos Desocamentos e do Método da Rigidez Direta para barras com inércia variáve. B.. Conversão de condições de apoio A apicação da anaogia da viga conjugada requer a conversão das restrições de apoio da viga rea para a viga conjugada. As restrições de apoio, que são condições de compatibiidade da viga rea, são expressas em termos de desocamentos transversais v e de rotações θ. Na viga conjugada, as restrições reativas a desocamentos transversais devem ser convertidas para restrições com respeito a mo-

317 Luiz Fernando Martha Anaogia da Viga Conjugada 5 mentos fetores M C, assim como as restrições que se referem a rotações são traduzidas para restrições impostas a esforços cortantes Q C. A tabea B. mostra a conversão das possíveis restrições de apoio em vigas (reais) para as correspondentes restrições de apoio na viga conjugada em termos de momentos fetores e esforços cortantes. Tabea B. Conversão de restrições da apoio para a viga conjugada. VIGA REAL VIGA CONJUGADA apoio simpes v = θ engaste v = θ = apoio simpes M C = Q C extremidade ivre M C = Q C = extremidade ivre v θ engaste M C Q C engaste desizante v θ = v = ρ apoio simpes com recaque vertica engaste com recaque vertica θ = ρ engaste com recaque rotação apoio simpes interno rótua interna v = ρ apoio simpes interno com recaque vertica θ esq = θ dir v = θ esq θ dir v θ esq = θ dir v = ρ v = ρ θ = ρ v = ρ M C = ρ M C = ρ Q C = ρ Q C esq = Q C dir M C = Q C esq Q C dir M C Q C esq = Q C dir M C = ρ engaste desizante M C Q C = apoio simpes com momento apicado M C = ρ extremidade ivre com momento apicado M C = ρ extremidade ivre com força apicada Q C = ρ rótua interna apoio simpes interno rótua interna com momento apicado M C = ρ

318 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Na tabea B., os recaques de apoio impostos na viga rea têm o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais adotada: desocamento transversa v é positivo de baixo para cima e rotação θ é positiva no sentido anti-horário. Os correspondentes momentos fetores M C e esforços cortantes Q C também são positivos na viga conjugada. Dessa forma, quando um recaque vertica positivo é imposto na viga rea, o momento que é apicado na viga conjugada faz com que as fibras inferiores fiquem tracionadas na seção de apicação (isso corresponde a um momento fetor positivo). Anaogamente, quando uma rotação positiva é imposta como recaque de apoio na viga rea, a força apicada na viga conjugada provoca um esforço cortante positivo na seção de apicação. B.. Roteiro do processo de Mohr Para se anaisar uma viga peo processo de Mohr, deve-se adotar a seguinte seqüência de procedimentos: Conversão de restrições de apoio da viga rea para a viga conjugada conforme indicado na tabea B.. Determinação do aspecto do diagrama de momentos fetores da viga rea. No caso de vigas isostáticas, o diagrama é determinado utiizando apenas condições de equiíbrio. Para vigas hiperestáticas, o traçado do aspecto correto do diagrama de momentos fetores é muito importante. Para tanto, deve-se identificar que fibras são tracionadas peos momentos fetores nas extremidades de todas as barras. O traçado da eástica (configuração deformada) pode auxiiar nessa identificação. Dessa forma, o diagrama dos momentos fetores fica parametrizado peos vaores dos momentos fetores nas extremidades das barras. Determinação do carregamento na viga conjugada, q C = M/EI. A consideração de barras com rigidez à fexão EI variáve (inércia variáve) ao ongo do comprimento da viga é considerada no carregamento da viga conjugada. 4 Imposição de condições de equiíbrio da viga conjugada. Isso equivae a impor condições de compatibiidade da viga rea. B.. Cácuo de desocamentos em vigas isostáticas O tipo de apicação mais simpes da anaogia da viga conjugada é a determinação de desocamentos (ou rotações) em vigas. Isso pode ser apicado a quaquer tipo de viga, isostática ou hiperestática. Entretanto, a definição do carregamento na viga conjugada depende do conhecimento do diagrama de momentos fetores da viga rea. No caso de uma viga isostática, esse diagrama é determinado diretamente. Para uma viga hiperestática, a determinação do diagrama de momentos fetores

319 Luiz Fernando Martha Anaogia da Viga Conjugada 7 requer uma anáise anterior. Essa anáise pode ser feita por quaquer método, incusive pea anaogia da viga conjugada, conforme mostrado na próxima seção. Nesta seção dois exempos isostáticos são anaisados. O primeiro exempo, mostrado na figura B., é o de uma viga engastada e em baanço com uma força vertica apicada na extremidade ivre. O objetivo desse e- xempo é cacuar o desocamento transversa v B e a rotação θ B da seção na extremidade ivre. A v A = θ A = VIGA REAL Diagrama de momentos fetores: M A = P M(x) B P v B θ B x θ B v B P/EI VIGA CONJUGADA A C M A = C Q A = P/EI / C M B C Q B C M B = (P /EI) (/) = P /EI v B = P /EI C Q B = P /EI B P /EI P /EI V B C C M B θ B = P /EI Figura B. Cácuo de desocamento e rotação em extremidade ivre de baanço. O diagrama de momentos fetores da viga rea da figura B. é trianguar, tracionando as fibras superiores (negativo pea convenção adotada). Isso acarreta em um carregamento negativo (de cima para baixo) que varia inearmente na viga conjugada. As conversões das condições de apoio também estão indicadas na figura B.. Vê-se que a viga conjugada também é isostática. Isso vai sempre acontecer: uma viga rea isostática acarreta em uma viga conjugada isostática. Como a viga conjugada é estaticamente determinada e, portanto, tem somente uma soução para as equações de equiíbrio, pode-se concuir que a viga rea isostática tem uma única soução que satisfaz as condições de compatibiidade (assim como tem uma única soução que satisfaz as condições de equiíbrio). O desocamento transversa e a rotação da seção na extremidade ivre do baanço são cacuados determinando-se, por equiíbrio, o momento fetor e o esforço cortante na seção correspondente da viga conjugada. O momento fetor é negativo pois traciona as fibras superiores nessa seção. Portanto, v B é negativo, isto é, de cima para baixo (o que era de se esperar). O esforço cortante nessa seção também negativo, acarretando um uma rotação θ B no sentido horário.

320 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O segundo exempo isostático é a viga biapoiada mostrada na figura B.. O objetivo é cacuar o desocamento transversa v B no centro da viga e a rotação θ C na extremidade direita. Nesse exempo, os momentos fetores na viga rea tracionam as fibras inferiores da viga, resutando em um carregamento positivo (de baixo para cima) na viga conjugada. O desocamento v B é determinado peo cácuo do momento fetor no ponto B da viga conjugada, e a rotação θ C é determinada peo cácuo do esforço cortante em C. A v A = θ A VIGA REAL Diagrama de momentos fetores: M(x) / B P v B + M B = +P/4 / / / v C = θ C x VIGA CONJUGADA θ C C A B P /6EI P/4EI P /6EI / / C M A = C M C = C C Q A Q C P /6EI / C M B = (P /6EI) (/) + (P /6EI) (/6) C M B = P /48EI C Q C = +P /6EI / / P /6EI /6 /6 / / C v B = P /48EI θ C = +P /6EI Figura B. Cácuo de desocamento no centro de viga biapoiada e de rotação na extremidade. B.4. Anáise de vigas hiperestáticas Duas vigas hiperestáticas são anaisadas nesta seção. A primeira é uma viga com dois vãos mostrada na figura B., submetida a uma carga uniformemente distribuída. O objetivo é determinar o diagrama de momentos fetores. Conforme comentado na seção B., a soução de uma viga hiperestática pea anaogia da viga conjugada fica faciitada se o aspecto do diagrama de momentos fetores da viga rea for determinado a priori. No caso da viga da figura B., os momentos fetores nas extremidades são nuos, e o momento fetor M B na seção do apoio centra é imaginado tracionando as fibras superiores. Isto é, é feita uma suposição que o momento em B é negativo. Se a anáise resutar em um vaor para M B negativo, isso significa que o momento fetor em B traciona as fibras inferiores. No e- xempo isso não ocorre, confirmando que em B as fibras superiores estão tracionadas. O restante do diagrama de momentos fetores da viga da figura B. fica determinado em função do momento fetor M B. Nos dois vãos as paráboas do segundo

321 Luiz Fernando Martha Anaogia da Viga Conjugada 9 grau, correspondentes à carga uniformemente distribuída, são penduradas a partir das inhas retas que unem os vaores nuos em A e C com o vaor negativo em B. Dessa forma, o diagrama de momentos fetores fica parametrizado por M B. VIGA REAL VIGA CONJUGADA A B 8 kn/m C M B/EI v A = θ A m 6 m v B = θ B esq = θ B dir v C = θ C C M A = C Q A C C M B = M C = C C C Q B esq = Q B dir Q C M B/EI Diagrama de momentos fetores: M B A B C A 9 6 B + C 9/EI (M B/EI) (/) 6/EI (M B/EI) (6/) A B C,5 (9/EI) (/) (6/EI) 6 (/),5 C V C C C M B = (M B/EI) (6/) + (6/EI) 6 (/) + V C 6 = C M A = (M B/EI) (/) (M B/EI) (6/) 5 + C (9/EI) (/).5 + (6/EI) 6 (/) 6 + V C 9 = M B = 7 knm Figura B. Soução de viga countínua de dois vãos com carregamento uniformemente distribuído. Uma observação importante é que a viga conjugada é hipostática. É sempre assim: uma viga rea hiperestática acarreta em uma viga conjugada hipostática. Isso indica que a viga rea hiperestática tem infinitas souções que satisfazem as condições de compatibiidade isoadamente, assim como tem infinitas souções que satisfazem as condições de equiíbrio isoadamente (existem infinitos possíveis vaores de M B que satisfazem as equações de equiíbrio da viga rea). A soução correta é aquea que satisfaz simutaneamente as condições de equiíbrio e de compatibiidade. Com base na anaogia da viga conjugada, a soução correta é aquea que satisfaz as condições de equiíbrio na viga conjugada pois estas substituem as condições de compatibiidade na viga rea. Como a viga conjugada é hipostática, o carregamento da viga conjugada tem que ser auto-equiibrado pois não existem víncuos externos suficientes para garantir o equiíbrio em uma estrutura hipostática. Dessa forma, a determinação do vaor do momento fetor M B é feita por equiíbrio na viga conjugada, ta como indica a figura B.. Para tanto, um macete adotado consiste em decompor o carregamento da viga conjugada em parceas trianguares

322 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha e parabóicas. Isso faciita muito os cácuos, evitando que se determine o ponto no vão onde o carregamento muda de sentido. As resutantes das parceas trianguares e parabóicas do carregamento estão indicadas na figura, assim como suas posições. Observa-se que a área de uma paráboa simétrica (como as da figura B.) é igua a / do produto de sua base pea sua atura. Duas equações de equiíbrio na viga conjugada são consideradas para o cácuo de M B. Essas equações impõem momento fetor nuo nos pontos B e A. As duas incógnitas são M B e a reação do apoio da direita (cujo vaor fina não está indicado). O segundo exempo de anáise de uma viga hiperestática peo processo de Mohr é a viga com dois vãos mostrada na figura B.4, que sofre um recaque para baixo no apoio da esquerda. VIGA REAL VIGA CONJUGADA EI =,6x 4 knm A B C ρ =,4 m V B V C M C ρ M B/EI M C/EI V A v A = ρ θ A v B = θ B esq = θ B dir Diagrama de momentos fetores: M(x) a = 6 m M B b = 4 m v C = θ C = + +M C x C M A =-ρ C Q A ρ A a/ M Ba/EI C M B = M C = M B / C M B = C C Q B = Q Bdir esq b/ M B/EI b/ M Bb/EI C M C = C Q C = C M C/EI M C b/ei C ΣM A = M Ba a M Bb b M + + Cb b ρ a a + = EI EI EI ρ =,4 m a = 6 m b = 4 m EI =,6x 4 knm a B M B = 8 knm M C = 4 knm Figura B.4 Soução de viga contínua de dois vãos com recaque de apoio. O traçado do aspecto do diagrama de momentos fetores da viga rea da figura B.4 é feito com base na eástica (configuração deformada) da viga. Vê-se na figura que a eástica tem um vaor negativo em A (que corresponde ao recaque de apoio imposto), passa por zero em B e chega em zero em C com uma tangente horizonta (engaste). A forma mais natura da viga se deformar é a mostrada na figura, com uma concavidade votada para baixo no primeiro trecho e uma concavidade votada para cima no trecho fina próximo ao engaste. No ponto onde há a mudança de concavidade o momento fetor é nuo (d v/dx = M/EI). O momento fetor no primeiro trecho traciona as fibras superiores e no trecho fina traciona as fibras inferiores. Portanto, concui-se que o momento fetor em A é nuo, em B é negativo, e

323 Luiz Fernando Martha Anaogia da Viga Conjugada em C é positivo, resutando no aspecto do diagrama de momentos fetores mostrado na figura B.4. O diagrama é formado por trechos retos pois não existem cargas distribuídas (d M/dx = q = ). Assim, o diagrama fica parametrizado peos vaores de M B e M C. A determinação desses vaores é feita com base nas equações de equiíbrio mostradas na figura B.4. B.5. Determinação de reações de engastamento de vigas Uma apicação importante da anaogia da viga conjugada é a determinação de reações de engastamento perfeito de barras submetidas a cargas arbitrárias. Para e- xempificar isso, considere a viga da figura B.5 que é engastada na esquerda e articuada na direita. Esta viga tem soução determinada no capítuo 4 (vide figura 4.4), sendo que a articuação aqui está sendo considerada como um apoio do segundo gênero, mas que é equivaente a ter o nó engastado e a barra com rótua na direita. VIGA REAL VIGA CONJUGADA M A q M A/EI A B V A v A = θ A = V B v B = θ B C M A = C Q A M A/EI C M B = C Q B Diagrama de momentos fetores: M A q /8 + q /8EI M A/EI / A B M B = V A = (M A/) + (q /) ΣF y = V B = q V A C M B = + (M A /EI) (/) (q /8EI) (/) (/) = M A = q /8 (q /8EI) (/) / / V A = 5q/8 V B = q/8 Figura B.5 Cácuo de reações de apoio de viga engastada e simpesmente apoiada. A soução da viga da figura B.5 é semehante à soução da viga da figura B.. O momento fetor em A é considerado tracionando as fibras superiores. O equiíbrio

324 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha da viga conjugada mostra que isso tem que ser assim mesmo pois o carregamento na viga conjugada tem que ser auto-equiibrado. O segundo exempo de determinação de reações de engastamento de barra considera o caso de rigidez à fexão (inércia) variáve, ta como mostrado na figura B.6. A viga rea dessa figura é engastada na esquerda, articuada na direita e está submetida a uma força concentrada no meio do vão. Aém disso, a seção transversa da metade esquerda da viga tem momento de inércia igua a I, e a seção transversa da outra metade tem momento de inércia igua a I. M A A V A v A = θ A = VIGA REAL P I B I / / C V B v C = θ C VIGA CONJUGADA M A/EI B A M B/EI M B/EI / / C M A = C Q A = C C M C = C Q C Diagrama de momentos fetores: M A P/4 + M(x) M B / / M B = P/4 M A/ x M A/EI A M B/8EI / B M B/EI M B/EI / / / M A/8EI M B/4EI /6 /6 / / C C M C = M A MB MB = 8EI 8EI 6 4EI M A = P/9 M B = 5P/6 Figura B.6 Cácuo de reações de apoio de viga engastada e simpesmente apoiada com inércia variáve. A soução da viga da figura B.6 é semehante à soução da viga anterior. A principa diferença é que o carregamento na primeira metade da viga conjugada é igua ao diagrama de momentos fetores da viga rea dividido por EI. Isso provoca uma descontinuidade na taxa de carregamento distribuído no ponto B. A figura B.6 também mostra a decomposição do carregamento na viga conjugada e a soução por equiíbrio nessa viga.

325 Luiz Fernando Martha Anaogia da Viga Conjugada B.6. Dedução de coeficientes de rigidez de barras Finamente, esta seção exempifica a utiidade da anaogia da viga conjugada para determinação de coeficientes de rigidez de barra. A figura B.7 iustra a determinação de coeficientes de rigidez à rotação de uma barra sem articuação. Essa soução foi obtida peo Princípio dos Desocamentos Virtuais no capítuo 4 (vide figura 4.). V A VIGA REAL MB V B A B VIGA CONJUGADA M A/EI ρ M A v A = θ A = Diagrama de momentos fetores: M A + x M(x) ΣF y = V B = V A v B = θ B = +ρ +M B θ B = ρ ΣM = V A = V B = (M A+M B)/ C M A = C Q A = M A/EI / M A/EI C M B = M A = M B/ C ΣF y = / M B/EI C M B = C Q B = +ρ ρ M B/EI M B/EI M B = (4EI/) ρ M A = (EI/) ρ V A = V B = (6EI/ ) ρ Figura B.7 Cácuo de coeficientes de rigidez à rotação de viga biengastada.

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329 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Timoshenko & Young 965 Viaça & Taborda 998 Zienkiewicz & Tayor S.P. Timoshenko e D.H. Young, Theory of Structures, Segunda Edição, McGraw-Hi, New York, 965. S.F. Viaça e L.F. Taborda Garcia, Introdução à Teoria da Easticidade, Terceira Edição, COPPE/UFRJ, 998. O.C. Zienkiewicz e R.L. Tayor, The Finite Eement Method Vo. : The Basis, Quinta Edição, Butterworth-Heinemann, Oxford, Massachusetts,.