Relações diferenciais de equilíbrio para vigas

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1 Reações diferenciais de euiíbrio para vigas Já foi visto ue o euiíbrio de vigas pode ser imposto gobamente, o ue resuta na determinação das reações de apoio (para vigas isostáticas), ou em porções isoadas, o ue possibiita a determinação dos esforços internos (também para vigas isostáticas). As condições de euiíbrio para vigas também podem ser impostas em peuenas porções isoadas, o ue resuta em reações diferenciais de euiíbrio entre a taa de carregamento transversa, o esforço cortante e o momento fetor. Considere a viga biapoiada com carga uniformemente distribuída mostrada abaio. O objetivo desta anáise é determinação das seguintes reações: Taa de variação do esforço cortante no trecho de comprimento : + + Taa de variação do momento fetor no trecho de comprimento : O euiíbrio da peuena porção de comprimento resuta em: = 0 + ( F y + ) = 0 = = ( + ) ( + ) = 0 = + + = + + = + = A reação / mostrada acima tem uma interpretação ue é indicada no diagrama de esforços cortantes da viga: +/ () α = / A incinação da reta do diagrama, isto é, o coeficiente anguar do diagrama de esforços cortantes é igua a (igua a menos a taa de carregamento transversa distribuído apicado de cima para baio): = tan α = A taa variação do esforço cortante no trecho de comprimento é igua a. Introdução à Anáise de Estruturas Luiz Fernando artha 7

2 A reação / também tem uma interpretação ue é indicada no diagrama de momentos fetores da viga: () β + /8 A incinação da reta ue interpoa os vaores do diagrama de momentos fetores no trecho com comprimento é igua à taa de variação do momento fetor no trecho: = = tan β Agora imagine ue o comprimento do trecho isoado tenha um vaor tão peueno uando se ueira. Isto é, imagine no imite uando tender a zero. Nessa situação, as taas de variação do esforço cortante e do momento fetor vão tender a vaores pontuais das incinações dos diagramas. atematicamente, os imites das taas de variação de esforço cortante e momento fetor uando o comprimento do trecho tende a zero são representadas por: im = 0 im = 0 d d ; sendo ue ; sendo ue d é chamada de derivada do esforço cortante em reação a. d é chamada de derivada do momento fetor em reação a. A derivada de uma função uauer representa a taa de variação pontua da função. As epressões para as derivadas do esforço cortante e momento fetor são: d = im = im = 0 0 d = (derivada do esforço cortante é igua a ) d = im = im = 0 0 d = () (derivada do momento fetor é igua a ) Estas epressões são chamadas reações diferenciais de euiíbrio de vigas. Observe ue estas epressões são gerais, isto é, não são específicas para o caso da viga biapoiada com carga uniformemente distribuída. Isto porue, mesmo no caso de carga distribuída não constante, no imite uando tende a zero, a taa de carregamento distribuído no trecho de comprimento é constante e igua a (), sendo () o vaor da carga no ponto de avaiação. A interpretação da derivada do momento fetor é mostrada abaio: A derivada do momento fetor é a incinação da curva do diagrama de momentos fetores em uauer ponto de avaiação, isto é a sua taa de variação pontua (ou sua derivada) é igua a: () β d = ( ) = tan β Introdução à Anáise de Estruturas Luiz Fernando artha 8

3 Pode-se combinar as reações diferenciais do esforço cortante de do momento fetor para obter uma reação diferencia de segunda ordem entre o momento fetor e a taa de carregamento distribuído: d d d = = d = (derivada à segunda do momento fetor é igua a ) Anáise uaitativa dos aspectos dos diagramas de esforços internos As reações diferenciais de euiíbrio de vigas são muito úteis para descrever os aspectos uaitativos dos diagramas de esforços cortantes e momentos fetores, ta como feito a seguir. Duas importantes propriedades das derivadas de funções devem ser saientadas: Nos pontos de máimos ou mínimos de uma função a sua derivada (taa de variação pontua) é nua. A derivada à segunda de uma função dá uma indicação de sua curvatura ou concavidade da função. Ponto de máimo f() = 0 (derivada nua) < 0 (curvatura negativa) Ponto de mínimo Trecho reto = 0 (derivada nua) Trecho horizonta = 0 (curvatura nua) > 0 (derivada positiva) Trecho reto = 0 (curvatura nua) = 0 (derivada nua) < 0 (derivada negativa) = 0 (curvatura nua) > 0 (curvatura positiva) Com base nessas propriedades das derivadas, os diagramas de esforços cortantes e momentos fetores de agumas vigas serão anaisados a seguir. Deve ser observado ue o diagrama de momentos fetores é desenhado com os vaores positivos em baio e os negativos em cima. Portanto, um trecho descendente do diagrama tem derivada positiva e um trecho ascendente tem derivada negativa. Consistentemente, um trecho com concavidade votada para cima tem derivada à segunda negativa e um trecho com concavidade para baio tem derivada à segunda positiva. Introdução à Anáise de Estruturas Luiz Fernando artha 9

4 Viga biapoiada com cargas concentradas Trecho horizonta pois d = 0 (carga distribuída nua) carga concentrada apicada > 0 momento fetor aumenta de vaor Vaor máimo de momento fetor pois esforço cortante troca de sina neste ponto Carga concentrada para baio bico para baio < 0 momento fetor diminui de vaor Trecho horizonta pois d = 0 (carga distribuída nua) carga concentrada apicada Vaor máimo de momento fetor pois esforço cortante troca de sina neste ponto > 0 momento fetor aumenta de vaor Carga concentrada para baio bico para baio < 0 momento fetor diminui de vaor Introdução à Anáise de Estruturas Luiz Fernando artha 30

5 Viga contínua com baanços e com carga uniformemente distribuída d = Todos os trechos têm a mesma incinação Tangente horizonta pois esforço cortante é nuo na etremidade Vaores mínimos ocais de momento fetor pois o esforço cortante troca de sina nestes pontos Tangente horizonta pois esforço cortante é nuo na etremidade Vaores máimos ocais de momento fetor pois o esforço cortante é nuo nestes pontos d = Todos os trechos têm concavidade para cima Introdução à Anáise de Estruturas Luiz Fernando artha 31