PROPOSIÇÃO DE METODOLOGIA PARA A ESTIMATIVA DA RESISTÊNCIA LATERAL ÚLTIMA DE ESTACAS E TUBULÕES CURTOS EM SOLOS ARGILOSOS. Antonio José Silva Maciel

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1 PROPOSIÇÃO DE METODOLOGIA PARA A ESTIMATIVA DA RESISTÊNCIA LATERAL ÚLTIMA DE ESTACAS E TUBULÕES CURTOS EM SOLOS ARGILOSOS Antonio José Siva Macie DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Webe João Mansur, Ph.D. Prof. Fernando Artur Brasi Danziger, D.Sc. Prof. Bernadete Ragoni Danziger, D.Sc. Prof. Francisco de Rezende Lopes, Ph.D. Prof. José Antonio Marques Carrer, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JANEIRO DE 006

2 MACIEL, ANTONIO JOSÉ SILVA Proposição de Metodoogia para Estimativa da Resistência Latera Útima de Estacas e Tubuões Curtos em Soos Ar- Giosos [Rio de Janeiro] 006 IX, p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Civi, 006) Dissertação - Universidade Federa do Rio de Janeiro, COPPE. Fundação. Estaca. Carga horizonta I.COPPE/UFRJ II. Títuo ( série ) ii

3 Ao Bom Deus que em sua insondáve providência cooperou por mais esta reaização em minha história; e também a Nossa Senhora das Graças, minha doce Mãe, por suas preciosas intercessões diante do trono do Atíssimo em favor deste fiho seu. iii

4 AGRADECIMENTOS Aos caros professores Webe João Mansur e Fernando Artur Brasi Danziger peos seus extraordinários exempos de competência e de disponibiidade. Aos meus pais, Antonio Caros Macie e Heena Siva Macie, por tanto amor a mim dedicado. história. Aos meus irmãos, Caros Heeno e Júio César, por fazerem parte da minha incentivos. A minha amada, Luciana Muniz Teixeira, por seu amor, sua paciência e seus Ao amigo, pároco e diretor espiritua, padre Carmine Pascae, por sua amizade, suas orações e seus consehos. Ao amigo engenheiro Caros Ferreira, empresa ENGENIT, peo exempo de profissiona e, por ter sido uma das fontes de onde surgiram as motivações para o desenvovimento deste tema de pesquisa. Ao amigo engenheiro Ricardo Martins, CENPES/PETROBRAS, peas vaiosas coaborações referentes ao emprego do programa ANSYS. E por fim, mesmo tendo dedicado a Ee este trabaho, agradeço ao Cristo, princípio e fim de todas as coisas, peo dom da vida e por ser a minha fonte inesgotáve de inspiração. iv

5 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) PROPOSIÇÃO DE METODOLOGIA PARA A ESTIMATIVA DA RESISTÊNCIA LATERAL ÚLTIMA DE ESTACAS E TUBULÕES CURTOS EM SOLOS ARGILOSOS Antonio José Siva Macie Janeiro/006 Orientadores: Webe João Mansur Fernando Artur Brasi Danziger Programa: Engenharia Civi O trabaho propõe uma metodoogia para a estimativa da resistência atera útima de estacas e tubuões curtos, quando empregados em soos argiosos saturados, com base em um método cássico argamente empregado neste tipo de anáise. A apicação do método proposto pode ser feita através do emprego das formuações desenvovidas ou da utiização dos ábacos. Uma comparação entre o método proposto e o método cássico possibiita concuir que: (i) as respostas fornecidas peo método proposto geram souções mais econômicas; (ii) a diferença entre os comprimentos mínimos necessários de estacas peos dois métodos aumenta com a diminuição da reação entre o comprimento e o diâmetro; (iii) a reação entre as respostas dos dois métodos, para a resistência atera útima normaizada, é independente da reação entre o aforamento e o diâmetro. Reaizaram-se, também, modeagens -D via Método dos Eementos Finitos. Os vaores da resistência atera útima previstos peo método proposto aproximaram-se significativamente dos obtidos com a modeagem numérica. v

6 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as partia fufiment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) A METHOD TO ESTIMATE THE ULTIMATE LATERAL RESISTANCE OF SHORT PILES IN CLAYS Antonio José Siva Macie January/006 Advisors: Webe João Mansur Fernando Artur Brasi Danziger Department: Civi Enginnering A method to estimate the utimate atera resistance of short pies in saturated cays has been deveoped. The proposed method is a modification of a we known method. Charts for practica appication have been presented. A comparison between the proposed method and the origina method shows that: (i) the proposed method provides more economica soutions; (ii) the difference between the minimum necessary pie ength obtained from both methods increases with the decrease of the embedment ength over diameter ratio; (iii) the ratio between the normaized utimate atera resistance provided by both methods does not depend on the distance from appied oad to the ground eve over diameter ratio. A three dimensiona Finite Eement Anaysis has been performed. The utimate atera resistance provided by the proposed method was very cose to the one provided by the finite eement anaysis. vi

7 ÍNDICE CAPÍTULO I... INTRODUÇÃO... I. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO... CAPÍTULO II...4 BREVE REVISÃO DA LITERATURA E O MÉTODO DE BROMS (964a)...4 II. INTRODUÇÃO...4 II. BREVE REVISÃO DA LITERATURA...4 II. O MÉTODO DE BROMS (964a)...6 II.. ESTACAS CURTAS NÃO RESTRINGIDAS EM SOLOS ARGILOSOS...9 II... O TRABALHO DE RANDOLPH & HOULSBY (984)... II... DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E APRESENTAÇÃO DAS FORMULAÇÕES DE BROMS (964a)... II... ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO...7 II.. EXEMPLOS...9 II... CASO I...0 II... CASO II... II... CONSIDERAÇÕES FINAIS... CAPÍTULO III... O MÉTODO PROPOSTO... III. INTRODUÇÃO... III. PRIMEIRA HIPÓTESE...9 III.. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA PRIMEIRA HIPÓTESE. III. SEGUNDA HIPÓTESE...4 III.. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA SEGUNDA HIPÓTESE.9 vii

8 III.4 TERCEIRA HIPÓTESE...40 III.4. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA TERCEIRA HIPÓTESE.47 III.5 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO...50 III.5. COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS...5 III.6 EXEMPLOS (Anáise Comparativa)...54 III.6. CASO I...59 III.6. CASO II...60 III.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS...6 CAPÍTULO IV...6 MODELAGEM -D VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS...6 IV. INTRODUÇÃO...6 IV. MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS FÍSICOS...6 IV. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS...65 IV.4 O PROGRAMA EMPREGADO...66 IV.4. MODELAGEM DO PROBLEMA...66 IV.4. PROBLEMAS DE CONTATO E DIFICULDADES ENFRENTADAS...69 IV.5 ESTUDO DE CASOS...7 IV.5. CASO...74 IV.5.. RESULTADOS...78 IV.5. CASO...8 IV.5.. RESULTADOS...86 IV.5. ANÁLISE DOS RESULTADOS...9 CAPÍTULO V...95 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESUISAS...95 V. CONCLUSÕES...95 V.. SUGESTÕES PARA FUTURAS PESUISAS...97 viii

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...98 ANEXO A...0 ANEXO B...0 ANEXO C...05 ANEXO D...08 ANEXO E...0 ANEXO F... ANEXO G...6 ANEXO H...4 ix

10 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO As inhas de transmissão constituem um caso particuar de obra de engenharia por gerarem significativas soicitações horizontais nas fundações, o que não ocorre na grande maioria das obras civis. Desta forma, ao empregarem-se estacas ou tubuões como soução para as fundações das torres das inhas de transmissão de energia eétrica faz-se necessária a consideração dos esforços horizontais. Um método para o cácuo da resistência atera útima de estacas foi proposto por BROMS (964a, 964b, 965). Deste então, este método vem sendo utiizado não só em projetos de estacas, mas, também, de tubuões [e é citado em um número significativo de ivros de fundações, como em VELLOSO & LOPES (00)]. Da apicação do método de BROMS (964a), para soos argiosos saturados em condição não drenada, verifica-se que no caso específico de estacas de pequeno comprimento e grande diâmetro, ou tubuões, podem surgir agumas anomaias decorrentes da simpificação adotada peo autor, para o diagrama das forças de reação do soo. O método apresentava resutados satisfatórios para estacas cuja reação L/D não era pequena sendo L o comprimento e D o diâmetro empregado o que ocorre na maioria das situações encontradas para estacas, mas demonstrava-se excessivamente conservador ao ser empregado para o dimensionamento de tubuões. A constatação reatada acima foi feita através de anáises de eementos de fundação com diferentes geometrias. Através destas, constatou-se que, em aguns casos, estruturas mais robustas precisavam de maiores comprimentos do que estruturas mais esbetas para resistir ao mesmo níve de soicitação.

11 Desta forma, e considerando-se que a situação de estaca curta e grande diâmetro, ou tubuões, é característica de aguns casos na prática de projeto de fundações de inhas de transmissão, considerou-se importante o desenvovimento de uma metodoogia anaítica, baseada no método de BROMS (964a), através da proposição de diferente hipótese simpificadora. Nesta percepção é que se consoidou a motivação para se empreender este trabaho. Em virtude da não disponibiidade de resutados experimentais (ensaios de campo) para se estabeecer uma comparação com os resutados fornecidos pea metodoogia proposta, decidiu-se efetuar anáises numéricas -D, através do Método dos Eementos Finitos. Objetivou-se, assim, estimar a carga de ruptura, o comportamento da reação do soo, bem como outros resutados que ajudassem a compreender o comportamento do modeo físico como um todo. I. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO Segue-se a esta introdução o capítuo II, onde é apresentada uma breve revisão bibiográfica acerca de aguns métodos que tratam da probemática de estacas carregadas ateramente, seja para condições de trabaho ou de ruptura. Posteriormente, é apresentado, ainda no capítuo II, detahadamente, o método de BROMS (964a), para o caso de estacas curtas não restringidas e utiizadas em soos argiosos, caso este que é o objeto desta pesquisa. No fim deste capítuo são apresentados resutados que expicitam as anomaias, decorrentes das hipóteses simpificadoras adotadas peo método, que aparecem no caso de pequena reação entre o comprimento e o diâmetro. No capítuo III é então desenvovido o método, objetivo desta tese, comparandose, iniciamente, as simpificações adotadas para os diagramas da força de reação do soo do método origina e do proposto. São apresentados exempos de cácuo utiizando-se os dois métodos, com o intuito de se estabeecer a comparação entre

12 ambos para diferentes condições de geometria e de parâmetros de resistência. Por fim são apresentados ábacos para dimensionamento. No capítuo IV, são apresentados os resutados das anáises efetuadas através do Método dos Eementos Finitos em modeos -D, que representam mais propriamente o modeo físico em questão. São abordadas, de modo sucinto, as dificudades encontradas na modeagem do probema, principamente as que giram em torno da probemática da utiização dos eementos de contato, imprescindíveis para estes tipos de anáises onde é presente, em agumas regiões do modeo, o descoamento sooestrutura. No fim do capítuo são apresentados os exempos para o estabeecimento da comparação entre as anáises por eementos finitos e o método proposto. O capítuo V apresenta as concusões obtidas no decorrer do trabaho, bem como sugestões para otimização e extensões para futuros trabahos.

13 CAPÍTULO II BREVE REVISÃO DA LITERATURA E O MÉTODO DE BROMS (964a) II. INTRODUÇÃO Neste capítuo será apresentada uma breve revisão de aguns dos trabahos existentes que tratam do probema de estacas soicitadas ateramente. Saienta-se que embora quase sempre só se mencione a paavra estaca, a apicabiidade destes trabahos se estende também, de modo gera, para os tubuões. Atenção particuar será dada ao método de BROMS (964a), que se constitui parte fundamenta para o desenvovimento do estudo que é proposto nesta dissertação. II. BREVE REVISÃO DA LITERATURA Um aspecto importante que deve ser exposto, iniciamente, é a diferenciação das metodoogias que se dispõem a anaisar estacas sob a ação de carga atera. Um primeiro grupo é constituído peos métodos que consideram as soicitações como cargas de serviço. O segundo grupo, que apresenta maior interesse para o estudo que é proposto nesta dissertação, é composto peos métodos que anaisam o probema considerando-se o estabeecimento da configuração de ruptura. Ao ongo dos anos, vários métodos têm sido propostos para se prever o comportamento das estacas soicitadas ateramente na configuração de serviço. O conceito de reação do soo está intimamente igado a estes tipos de anáises. 4

14 Segundo VELLOSO & LOPES (00), há duas formas de se considerar a reação do soo: a primeira é uma extensão da hipótese de Winker, formuada para o estudo das vigas de fundação (o soo é substituído por moas, neste caso, horizontais, independentes entre si); pea segunda hipótese, o soo é considerado como um meio contínuo eástico caracterizado peo móduo de easticidade e peo coeficiente de Poisson. Em ambas as formas, as tensões despertadas no soo devem ser verificadas quanto à possibiidade de se esgotar a resistência do mesmo, num processo à parte. Numa forma mais eaborada, em que a reação é do tipo moa, porém não-inear conhecida como curvas p-y, o comportamento do soo é modeado até a ruptura. De acordo com KIM & KIM (999), o uso de curvas p y, desenvovido por MCCLELLAND & FOCHT (956), se mostra como um dos procedimentos de maior utiidade prática para o projeto de fundações profundas sob carregamento atera. Para se obter uma descrição mais detahada dos trabahos referentes às anáises de estacas soicitadas ateramente na configuração de serviço, recomenda-se a eitura do trabaho de VELLOSO & LOPES (00) que fazem uma exceente abordagem do assunto. No que concerne aos trabahos que tratam da estimativa da resistência atera útima podem ser citados os trabahos de: HANSEN (96); BROMS (964a, 964b e 965); REESE et a. (975) e POULOS & DAVIS (980), entre outros. Dentre estes, os métodos de HANSEN (96) e o método de BROMS (964a, 964b) são os mais destacados nos ivros de fundações que abordam este assunto, como pode ser visto, por exempo, em VELLOSO & LOPES (00). O método de HANSEN (96) é baseado na teoria do empuxo de terra. O autor apresentou uma expressão para se prever a resistência atera útima de estacas em soos, dependentes dos parâmetros coesão (c) e/ou ânguo de atrito (ϕ). Este método oferece como vantagem: apicabiidade aos soos com c, ϕ e aos soos estratificados; e como desvantagens: a apicação restrita às estacas curtas e a soução por tentativas (VELLOSO & LOPES, 00). 5

15 O método de BROMS (964a) tem sido um dos métodos mais difundidos para a previsão da carga atera útima de estacas, podendo este fato ser atribuído à sua fáci apicação em casos práticos de projeto. De modo especia, este método é de grande interesse para o desenvovimento da pesquisa a que se propõe esta dissertação, peo fato de ser o ponto de partida para os desenvovimentos que são aqui apresentados. Diante do exposto acima, justifica-se a dedicação quase tota deste capítuo à apresentação e discussão deste método. II. O MÉTODO DE BROMS (964a) Em 964, Bengt B. Broms pubicou dois artigos no Journa of the Soi Mechanics and Foundations Division, da ASCE, que representam importantes contribuições para a estimativa da resistência atera útima de estacas. O primeiro trata de estacas em argias saturadas e o segundo em soos arenosos (situação drenada). BROMS (964a e 964b) traçou uma diferenciação entre o comportamento das estacas sob a ação das cargas de trabaho e na ruptura. Estabeeceu, também, a diferença entre o comportamento das peças consideradas curtas ou ongas, bem como os casos de serem ivres ou restringidas em seu topo. Segundo BROMS (964a), a resistência atera útima da estaca é governada pea tensão de pastificação na seção transversa e pea resistência atera oferecida peo soo. Desta forma, a ruptura se caracteriza pea ação que primeiro ocorrer: esgotamento da resistência estrutura da seção da peça ou esgotamento da capacidade apresentada peo soo de resistir às tensões que neste aparecem. Os possíveis modos de ruptura para estacas carregadas ateramente, enquadradas como ivres ou restringidas, são apresentados nas figuras II. e II., respectivamente. 6

16 Figura II. Modos de ruptura para estacas ivres (BROMS,964a) Figura II. Modos de ruptura para estacas restringidas (BROMS, 964a) No caso das estacas ivres, a ruptura pode ser caracterizada de duas formas: estaca onga: o momento máximo atuante na estaca esgota a resistência estrutura da seção e verifica-se a formação de uma rótua pástica, figura II. (a). estaca curta: a distribuição das tensões de reação do soo excede a capacidade de carga útima do mesmo ao ongo de todo o comprimento 7

17 do eemento de fundação, fazendo com que este sofra uma rotação, em torno de um ponto ocaizado a certa profundidade, caracterizando um movimento de um corpo rígido, figura II. (b). Conseqüentemente, o modo de ruptura depende do comprimento da estaca, da característica de sua seção transversa, e da capacidade de resistência do soo. As estacas restringidas apresentam as possibiidades dos diferentes modos de ruptura caracterizados da seguinte forma: estaca onga: a ruptura pode ser caracterizada quando duas rótuas pásticas se formam nos ocais onde se verificam a ocorrência dos momentos máximos positivo e negativo, de modo que ocorre uma redistribuição das tensões atuantes no soo. Verifica-se, assim, o movimento rotaciona de parte do eemento estrutura, figura II. (a). estaca de comprimento intermediário: a ruptura também pode ser caracterizada quando, após a formação da primeira rótua pástica no topo da estaca (junto ao boco de coroamento), as tensões atuantes no soo passam a exceder a capacidade resistente oferecida peo mesmo ao ongo de todo o comprimento da estaca e esta sofre rotação em torno de um ponto ocaizado a certa profundidade, figura II. (b). estaca curta: as tensões atuantes no soo excedem a sua capacidade resistente antes que ocorra a formação da primeira rótua pástica; desta forma, o conjunto sofre um movimento de corpo rígido transaciona no sentido da soicitação horizonta, figura II. (c). Saienta-se que o modo de ruptura que se constitui como o de rea interesse para esta pesquisa é o das estacas ivres que se comportam como curtas. A consideração que enquadra uma estaca ou um tubuão como curtos é o fato de suas respectivas seções transversais apresentarem capacidade de resistir aos esforços que hes são 8

18 impostos. No caso de estacas de concreto armado, a afirmação anterior equivae a dizer que estas serão enquadradas como curtas se suas seções transversais forem armadas de modo que resistam às tensões atuantes em decorrência da ação do momento máximo soicitante. II.. ESTACAS CURTAS NÃO RESTRINGIDAS EM SOLOS ARGILOSOS Antes de estabeecer a diferenciação no que diz respeito às metodoogias de cácuo entre o comportamento das estacas curtas e ongas, BROMS (964a) introduz uma série de considerações que embasam o desenvovimento das formuações que regem os dois casos. Estas são: em baixos níveis de carga, os desocamentos de uma estaca carregada ateramente crescem aproximadamente de forma inear com a carga apicada. À medida que se aproxima da carga de ruptura os desocamentos crescem em maior proporção do que os incrementos da soicitação apicada. O mecanismo de ruptura e a distribuição das resutantes das tensões no soo ao ongo do comprimento da estaca atuam de acordo com o mostrado na figura II.. Os vaores das forças de reação partem de c u D na superfície e desenvovem-se paraboicamente até a profundidade de D, onde a partir daí eas assumem um vaor entre 8c u D e c u D permanecendo constantes a partir desta profundidade, sendo c u a resistência não drenada do soo e D o diâmetro da seção transversa da estaca. BROMS (964a) adota o vaor de 9c u D para a reação atera útima, a partir de D de profundidade. O soo ocaizado em frente à estaca carregada ateramente e próximo da superfície sofre intumescimento, ou seja, é desocado para cima, 9

19 enquanto o soo ocaizado em frente da estaca e a partir de uma certa profundidade se move ateramente, da parte da frente da estaca para a parte de trás. O soo sofre descoamento na parte de trás da estaca até uma certa profundidade. Figura II. Distribuição das forças de reação do soo (BROMS, 964a) Agumas das proposições apresentadas basearam-se em resutados obtidos por outros autores. Assim, segundo BROMS (964a), HANSEN (948) mostrou que a resistência útima contra um carregamento atera atuando numa estaca em argias (baseado na consideração de que uma estaca com seção circuar pode ser aproximada por uma seção quadrada) varia entre 8,c u e,4c u. De outra forma, REESE (958), indicou que a reação útima do soo cresce na ruptura de aproximadamente c u na superfície do soo até c u a uma profundidade de aproximadamente três vezes a dimensão do diâmetro da estaca. Outros resutados importantes também foram apresentados por MCKENZIE (955) e DASTIDAR (956). 0

20 II... O TRABALHO DE RANDOLPH & HOULSBY (984) Em 984, RANDOLPH & HOULSBY (984) apresentaram o trabaho intituado: The Limiting Pressure on a Circuar Pie Loaded Lateray in Cohesive Soi. Este trabaho está intimamente igado ao trabaho de BROMS (964a) pois aborda de maneira detahada a determinação exata da reação útima do soo. Nas anáises de estacas carregadas ateramente em argias em condição não drenada, uma importante grandeza é a reação atera útima do soo, a certa profundidade, para movimento horizonta. Segundo RANDOLPH & HOULSBY (984), se o soo é modeado como um materia coesivo perfeitamente pástico então o cácuo desta grandeza é reduzido a um probema de estado pano de deformação na teoria da pasticidade, no qua a carga é apicada num ciindro ongo que se move ateramente através do meio infinito. A partir do exposto, RANDOLPH & HOULSBY (984) apresentaram formuações anaíticas exatas que determinam esta grandeza. Não é a intenção deste item da dissertação a apresentação destas formuações e sim os resutados obtidos através deste trabaho e estabeecer a devida correação com o trabaho de BROMS (964a). A partir da introdução do conceito de adesão (aderência entre a superfície do eemento estrutura e o soo) e após extensa justificação matemática para as suas proposições, RANDOLPH & HOULSBY (984) apresentaram a tabea II. que resume os resutados da reação atera útima do soo em função de fatores empregados para a determinação da correspondente adesão. A adesão é designada pea variáve a e é expressa pea mutipicação do fator α peo parâmetro de resistência c u (a = α.c u ), onde α varia entre 0 e. Conseqüentemente, o vaor da adesão estará compreendido entre os imites 0 e c u, que correspondem, respectivamente, às situações extremas de interfaces totamente isas (α=0) e interfaces totamente rugosas (α=). Para estas situações imites, as figuras II.4 e II.5 apresentam a extensão das zonas pastificadas no caso da configuração de ruptura do soo.

21 Tabea II. Vaores de P/(c u.d) - RANDOLPH & HOULSBY (984) α P/(c u.d) Figura II.4 Extensão da Zona Pastificada para α = 0 RANDOLPH & HOULSBY (984) Figura II.5 Extensão da Zona Pastificada para α =.0 RANDOLPH & HOULSBY (984) A partir do apresentado anteriormente, pode ser visto que o vaor adotado por BROMS (964a) para a reação atera útima de 9c u D recai justamente sobre a soução exata para estacas com superfície perfeitamente isa, a = 0. RANDOLPH & HOULSBY (984) afirmam que a partir dos resutados anaíticos obtidos, um vaor próximo a 0,5c u D (correspondendo a α = 0,4) pode ser mais apropriado para a reação atera útima do soo no caso estudado por BROMS (964a). No desenvovimento proposto nesta dissertação, será mantido o vaor de 9c u D de BROMS (964a), o qua representa uma adoção conservativa para uso em projeto.

22 II... DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E APRESENTAÇÃO DAS FORMULAÇÕES DE BROMS (964a) A hipótese que BROMS (964a) considera para a prováve distribuição das reações aterais útimas do soo é apresentada na figura II.. Na mesma figura, é apresentada a aproximação que ee passa a assumir para esta distribuição, sendo adotado assim um diagrama retanguar que vem a ser uma simpificação para se desenvoverem as equações que virão a reger o probema. A simpificação empreendida por ee equivae a desprezar a contribuição de um trecho da superfície do soo, até uma profundidade de,5d, por considerar que a resistência do soo nesta região não seja muito significativa. Adotando-se esta simpificação, ee admite que o momento fetor máximo e o comprimento necessário para a estaca são, de aguma forma, maiores que os correspondentes à prováve distribuição das forças de reação do soo na ruptura. A consideração feita acima denota que o método desenvovido iniciamente para estacas de pequenos diâmetros apresenta-se, de certo modo, conservativo. Posteriormente será mostrado que à medida que se utiizam peças com diâmetros maiores, o método fornece respostas excessivamente conservativas. Na figura II. pode-se ver não só a distribuição das forças de reação do soo, assumida por BROMS (964a) na ruptura, como também o mecanismo de ruptura propriamente dito. A ruptura acontece quando o soo pastifica ao ongo de todo o comprimento do eemento de fundação que sofre rotação num ponto ocaizado a certa profundidade, abaixo do níve da superfície. A aproximação adotada por BROMS (964a) para o diagrama da prováve distribuição das forças de reação do soo é mostrada na figura II.6.

23 Figura II.6 Diagrama das forças de reação do soo, estaca curta BROMS (964a) No que concerne ao equiíbrio do modeo estudado, estaca soicitada horizontamente, pode-se afirmar que o mesmo deve ser atendido para duas condições distintas, equiíbrio de forças horizontais e equiíbrio de momentos. Desta forma, a soicitação P ut (na configuração de ruptura) deve ser equiibrada pea resutante das forças de reação atuantes ao ongo de todo o comprimento da estaca. Do mesmo modo, que o momento máximo determinado a partir da ação das forças atuantes abaixo do pano onde se verifica a ocorrência de cortante nuo deve se iguaar ao momento cacuado a partir da ação das forças que atuam em cotas superiores a da referida seção. Em função da denominação empregada para as variáveis que regem o probema, mostrado na figura II.6, pode-se estabeecer que L =. 5D f g () onde f e g são parceas do comprimento tota da estaca, indicadas na figura II.6. 4

24 A ação do momento máximo soicitante é verificada na seção onde ocorre a anuação dos esforços cortantes. Isto ocorre quando a partir da integração do diagrama da distribuição das forças de reação do soo, iniciada a partir de.5d (conforme mostrado na figura II.6), obtém-se à profundidade de.5d f o mesmo vaor da soicitação horizonta útima (P ut ). f F dl = cu D f = Put.5D reação 9 sendo assim, f pode ser determinada de forma direta f Put = () 9c D u O momento fetor máximo, M max, é determinado pea combinação das ações de P ut e da resutante das forças de reação no trecho imitado entre.5d e.5d f de profundidade (ou seja, forças que atuam em cotas superiores à seção onde se verifica esforço cortante nuo); desta forma tem-se: M max = P ut ( e.5d f ) 9c D f u f forma: Tendo-se em vista a equação (), a equação anterior pode ser escrita da seguinte M = Put ( e.5d 0.5 f ) () max 5

25 Da mesma forma, pode-se determinar o momento fetor máximo através da consideração das forças que atuam em cotas inferiores a da referida seção M 9 4 max = cud. g (4) Logo, para se assegurar a condição de equiíbrio deve-se garantir a condição apresentada abaixo P 9 ( e.5d 0.5 f ) cudg 4 ut = através da equação acima, obtém-se o vaor de g da seguinte forma: 4Put g = ( e.5d 0.5 f ) (5) 9c D u Desta forma, pode-se então, tendo-se em vista as equações () e (), determinar a equação que fornece o comprimento mínimo necessário da estaca, para um dado carregamento na ruptura P ut, conhecendo-se o diâmetro da estaca e a resistência não drenada do soo. L =.5D f 4 f ( e.5d 0.5 f ) (6) 6

26 II... ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO A resistência atera útima adimensiona, P ut /c u D também pode ser determinada diretamente a partir do ábaco adimensiona apresentado na figura II.7, onde aquea é potada em função do parâmetro geométrico adimensiona L/D Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut /c u.d e/d= Parâmetro Geométrico Adimensiona - L/D Figura II.7 Ábaco de dimensionamento de estacas curtas soicitadas ateramente em soos argiosos BROMS (964a) Para se proceder à construção deste ábaco deduziu-se a expressão apresentada abaixo, cujo desenvovimento é apresentado no anexo A. P cu D 8e 9L 7 = 9 D D e D 4e L 6e L D D D 9 (7) 7

27 Deve ser enfatizado que, nesta anáise, admite-se que a ruptura acontece quando a estaca sofre rotação como um corpo rígido, e que o correspondente momento fetor máximo atuante M máx é menor que o momento útimo resistente da seção transversa da estaca. Apresenta-se também neste item o ábaco, figura II.8, que mostra a variação da resistência atera útima adimensiona, P ut /c u D, em função do momento de pastificação adimensiona M yied /c u D. 00 Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut / cu.d 0 e/d= Momento de Escoamento Adimensiona, M yied / c u.d Figura II.8 Ábaco de dimensionamento de estacas curtas soicitadas horizontamente em soos argiosos BROMS (964a) abaixo. A equação utiizada para se proceder à construção deste ábaco é mostrada c P ut 9. e 7 9. e 7 ud = D D 8. M c D u max (8) A dedução desta expressão é apresentada no anexo B. 8

28 II.. EXEMPLOS Pretende-se, com os próximos dois exempos, examinar como se comporta o método, apresentado anteriormente, ao ser empregado para a determinação dos comprimentos necessários, para uma dada carga de ruptura e um dado vaor de resistência não drenada, quando se varia o diâmetro da seção transversa do eemento de fundação. Ou seja, serão cacuados diferentes comprimentos necessários reativos aos diferentes diâmetros empregados, utiizando-se as formuações apresentadas anteriormente. Desta forma, de acordo com o mostrado na figura II.9, tem-se que um eemento de fundação (estaca ou tubuão) com diâmetro variáve D e aforamento e, empregado em argia saturada com resistência não drenada c u, está sujeito a uma soicitação horizonta P ut correspondente a um comprimento mínimo L. Figura II.9 Exempo Estaca soicitada ateramente Apresentam-se nos itens subseqüentes dois casos que iustram o probema abordado. 9

29 II... CASO I Apresentam-se na tabea II. os resutados dos cácuos fornecidos peo método de BROMS (964a) e, na figura II., o gráfico referente ao comprimento necessário em função do diâmetro empregado. Tabea II. Caso I - Resutados Dados do Probema Respostas Fornecidas Anaise P(kN) c u (kn/m ) D(m) e(m) Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d 00 0,0 0,0 0, 78,9 7,54 0,50 7,68 5,00 8, ,0 0,5 0, 58,6 6,5 0,40 5,4 80,00 507, ,0 0,0 0, 47,6 5,6 0, 8,69 55,56 7, ,0 0,5 0, 4,9 5, 0,9 4,6 40,8 65, ,0 0,40 0, 9,4 4,77 0,5,9,5 08, ,0 0,45 0, 9, 4,5 0, 0,07 4,69 76, ,0 0,50 0, 40,6 4,6 0,0 8,7 0,00 56, ,0 0,55 0, 4,0 4,4 0,8 7,7 6,5 4, ,0 0,60 0, 46, 4,5 0,7 6,9,89, ,0 0,65 0, 50, 4,0 0,5 6,0,8 7,5 00 0,0 0,70 0, 54,7 4,06 0,4 5,80 0,0, ,0 0,75 0, 59,5 4,04 0, 5,9 8,89 8,9 00 0,0 0,80 0, 64,7 4,0 0, 5,04 7,8 6, ,0 0,85 0, 70, 4,04 0, 4,75 6,9, ,0 0,90 0, 75,9 4,05 0, 4,50 6,7, ,0 0,95 0, 8,7 4,07 0, 4,9 5,54 0, ,0,00 0, 87,8 4,0 0,0 4,0 5,00 9, ,0,05 0, 94,0 4, 0,0,9 4,54 8, ,0,0 0, 00, 4,7 0,09,79 4, 7, ,0,5 0, 06,7 4, 0,09,66,78 6, ,0,0 0,, 4,5 0,08,54,47 6,7 00 0,0,5 0, 9,7 4,0 0,08,44,0 5,6 00 0,0,0 0, 6,4 4,4 0,08,4,96 5,5 8,0 Comprimento Mínimo em Função da Variação do Diâmetro 7,0 BROMS (964a) 6,0 5,0 L(m) 4,0,0,0,0 0, 0, 0,5 0,7 0,9,,,5 D(m) Figura II.0 Caso I Comportamento das respostas fornecidas peo método 0

30 II... CASO II Apresentam-se na tabea II. os resutados dos cácuos fornecidos peo método de BROMS (964a) e, na figura II., o gráfico referente ao comprimento necessário em função do diâmetro empregado. Tabea II. Caso II - Resutados Dados do Probema Respostas Fornecidas Anaise P(kN) c u (kn/m ) D(m) e(m) Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d 50 40,0 0,0 0,8 709,0 0,0 4,00 50,4 56,5 5, ,0 0,5 0,8 64,0 8,5,0,96 00,00 05, ,0 0,0 0,8 60,9 7,5,67 4,95 69,44 557, ,0 0,5 0,8 579, 6,8,9 9,4 5,0 7, ,0 0,40 0,8 567,0 6,,00 5,76 9,06, ,0 0,45 0,8 56,7 5,9,78, 0,86 54, ,0 0,50 0,8 56, 5,7,60,4 5,00, ,0 0,55 0,8 564, 5,5,46 9,9 0,66 84, ,0 0,60 0,8 569,7 5,, 8,84 7,6 65, ,0 0,65 0,8 577, 5,, 7,98 4,79 5, ,0 0,70 0,8 586,5 5,,4 7,8,76 4, ,0 0,75 0,8 597,0 5,0,07 6,70, 5, ,0 0,80 0,8 608,5 5,0,00 6, 9,77 9, ,0 0,85 0,8 60,9 4,9 0,94 5,8 8,65 5, ,0 0,90 0,8 64,0 4,9 0,89 5,47 7,7, ,0 0,95 0,8 647,6 4,9 0,84 5,7 6,9 8, ,0,00 0,8 66,8 4,9 0,80 4,9 6,5 6, ,0,05 0,8 676,4 4,9 0,76 4,68 5,67 4, ,0,0 0,8 69,4 4,9 0,7 4,48 5,7, ,0,5 0,8 706,7 4,9 0,70 4,0 4,7, ,0,0 0,8 7, 5,0 0,67 4,4 4,4 0, ,0,5 0,8 78, 5,0 0,64,99 4,00 9, ,0,0 0,8 754, 5,0 0,6,86,70 8, ,0,5 0,8 770,6 5, 0,59,75,4 7, ,0,40 0,8 787,0 5, 0,57,64,9 7,7,0 Comprimento Mínimo em Função do Diâmetro 0,0 9,0 BROMS (964a) 8,0 L(m) 7,0 6,0 5,0 4,0,0 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0,40,60 D(m) Figura II. Caso II Comportamento das respostas fornecidas peo método

31 II... CONSIDERAÇÕES FINAIS Os dois casos apresentados expõem como o método de BROMS (964a) apresenta uma anomaia no dimensionamento de estacas e tubuões curtos. Verificase, a partir das respostas apresentadas, que a função comprimento mínimo necessário, denotada por L=f(D,e,P,c u ), iniciamente se comporta como uma função decrescente e posteriormente começa a apresentar, a partir de um vaor mínimo para o comprimento, um comportamento crescente. Esta constatação caracteriza uma anomaia nas respostas fornecidas peo método, pois não é razoáve que um tubuão que possua uma seção transversa com, m de diâmetro necessite de um comprimento maior que um tubuão com 80 cm de diâmetro para resistir ao mesmo níve de soicitação horizonta. Isto pode ser visto no caso I. Esta constatação foi uma das primeiras motivações para se empreender este estudo, haja vista que é sempre esperado que para um eemento de fundação, estaca ou tubuão, quanto maior for seu diâmetro, menor deva ser seu comprimento para estabiizar o mesmo níve de soicitação horizonta útima. A proposição a ser apresentada no próximo capítuo intenta modificar o comportamento da curva, que descreve o comprimento mínimo necessário, a partir de modificação de uma das simpificações de cácuo adotadas por BROMS (964a). Sendo assim, espera-se que a curva obtida com o método proposto apresente um comportamento diferente da apresentada quando se utiiza o método cássico e, desta forma, possam ser obtidos vaores seguros e mais econômicos para os comprimentos necessários.

32 CAPÍTULO III O MÉTODO PROPOSTO III. INTRODUÇÃO Ao se estudar a metodoogia concebida por BROMS (964a) para a estimativa da resistência atera útima de estacas curtas soicitadas horizontamente, evidencia-se que o diagrama apresentado por aquee autor para descrever a distribuição das forças de reação do soo foi baseado numa série de resutados e proposições apresentados previamente por outros autores, conforme citado anteriormente. BROMS (964a) propôs a substituição deste diagrama que seria o rea por um simpificado, a fim de se faciitarem as deduções das expressões a serem utiizadas para o probema. Esta simpificação, embora represente bem o modeo físico para agumas variações na geometria do eemento de fundação, para outras pode conduzir o dimensionamento a uma anomaia, conforme observado no item anterior. A proposta origina, apresentada por BROMS (964a), para a prováve distribuição das forças de reação do soo, diz que a reação útima do mesmo varia, paraboicamente, entre c u D, na superfície do terreno, e um vaor entre 8c u D e c u D a uma profundidade de aproximadamente D, continuando constante ao ongo de todo o resto do comprimento da estaca, figura III.. Sendo assim, diante das dificudades impostas pea não inearidade desta função parabóica, ee propõe a aproximação deste diagrama por um outro, retanguar, onde se despreza a contribuição de um trecho situado entre a superfície do soo e a profundidade.5d.

33 A prática de se adotar o diagrama simpificado, proposto por BROMS (964a), certamente não compromete o dimensionamento de uma estaca que tenha 4 ou 5 metros de comprimento e possua o diâmetro em torno de 0 ou 0 cm, por exempo. Entretanto, conforme visto anteriormente, esta prática não conduzirá o dimensionamento a vaores adequados se, por exempo, for empregada para um tubuão de metro de diâmetro e 5 metros de comprimento. O autor da presente dissertação vem, através deste trabaho, apresentar uma aproximação diferente para o diagrama das forças de reação do soo. Com isto, intenta-se obter um método que forneça respostas mais adequadas para estruturas com grandes diâmetros, como é o caso dos tubuões. O que aqui se propõe é a não desconsideração de nenhuma faixa de soo, para o cômputo das forças de reação, e, sim, a substituição do trecho parabóico por um trecho inear, que se desenvova ao ongo dos mesmos D de profundidade. Isto pode ser visto na figura III.. Figura III. Simpificação do diagrama das forças de reação MÉTODO PROPOSTO 4

34 A proposição descrita não incui a inserção do resutado obtido por RANDOLPH & HOULSBY (984) para reação atera útima. Isto se justifica como sendo uma prática conservativa a ser apicada na metodoogia desenvovida nos itens que se seguem. Sabendo-se que a seção de ocorrência do momento máximo M max é a caracterizada pea seção onde se verifica o cortante nuo, e diante do fato de se admitir que as forças de reação do soo variem inearmente até a profundidade de D e que a partir desta profundidade eas são mantidas constantes, serão apresentadas quatro hipóteses de cácuo que governam o probema representado pea simpificação proposta neste trabaho; isto pode ser visto nas figuras III., III., III.4 e III.5. A primeira hipótese representa as situações onde a seção de ocorrência do momento máximo (ou de ocorrência do cortante nuo) se dá a uma profundidade maior do que D, ou seja, numa região onde as forças de reação no soo já se desenvovem de forma constante, conforme mostrado na figura III.. Esta é a única hipótese onde se verifica este fato, ou seja, em todas as demais hipóteses a seção de ocorrência do momento máximo é verificada a uma profundidade menor do que D. Figura III. Hipótese I 5

35 A segunda hipótese se difere da terceira e da quarta em função de que nea a reversão do sentido das forças de reação do soo (ponto de rotação) só é verificada a uma profundidade maior do que D, figura III.. Saienta-se que esta hipótese é de grande importância prática para o dimensionamento de tubuões de inhas de transmissão, haja vista que a faixa dos diâmetros correntemente empregados nos projetos e também a magnitude usua dos esforços transversais soicitantes conduzem a muitos dos probemas a se enquadrarem nesta hipótese. Figura III. Hipótese II Na terceira hipótese, figura III.4, a reversão do sentido das forças de reação do soo ocorre a uma profundidade menor do que D, onde a taxa de variação inear é mantida até que se atinga a profundidade de D. A partir deste ponto as forças de reação do soo se desenvovem com vaor constante até a profundidade necessária para que se atinga o equiíbrio. Logo, na terceira hipótese é assegurado que os eementos de fundação vão necessitar de um comprimento igua a, no mínimo, D. 6

36 Figura III.4 Hipótese III A útima hipótese, a quarta, representada pea figura III.5, abrange os casos onde o emprego de diâmetros demasiadamente grandes para soicitações transversais não tão significativas conduziriam a comprimentos necessários menores do que D. Nesta situação, verifica-se que a fundação atinge o equiíbrio sem que as forças de reação se desenvovam até a profundidade D onde estas passariam a permanecer, por hipótese, constantes. Esta hipótese será descartada no estudo que se propõe nesta dissertação, uma vez que, para este domínio da reação L/D, a base do eemento de fundação poderia exercer aguma infuência no cômputo das tensões para a anáise do equiíbrio. Também se justifica esta decisão peo fato de não ser prática corrente entre os engenheiros de fundação a adoção de estacas ou tubuões para estas reações de geometria. 7

37 Figura III.5 Hipótese IV Antes de se proceder à apresentação das formuações para cada hipótese de cácuo, serão definidas duas constantes que auxiiarão o desenvovimento matemático das várias hipóteses. A primeira é o produto da resistência não drenada e do diâmetro da fundação, conforme mostrado abaixo: λ = c u D (9) a segunda representa a resutante da integração do móduo das forças de reação do soo no trecho situado entre a superfície e D de profundidade. A = D F dl reação 0 A grandeza F reação equivae à integração das tensões de reação do soo contidas num mesmo pano horizonta ao ongo da interface de contato entre o soo e a superfície do eemento estrutura. Logo, a partir da observação das figuras III., III. e III.4, constata-se que A pode ser cacuado da seguinte forma: 8

38 λd A = (0) Apresenta-se, na seqüência, o desenvovimento das hipóteses de cácuo que governarão o probema que esta pesquisa pretende abranger. Eas serão estabeecidas em função da ocaização da seção de ocorrência do momento máximo e do ponto onde ocorrerá a reversão do sentido das forças de reação. Os fatores condicionantes, que caracterizam o enquadramento nas hipóteses, serão estabeecidos ao fim de cada desenvovimento matemático que representa o comportamento do modeo para a referida hipótese. III. PRIMEIRA HIPÓTESE Nesta hipótese, considera-se que a integra das forças de reação do soo, atuantes entre o níve do terreno e D de profundidade, constante A, seja menor ou igua à soicitação horizonta atuante, ou seja, o momento máximo (e cortante nuo) ocorre numa profundidade maior ou igua a D, ver figura III.6. Figura III.6 - Esquema - Primeira Hipótese 9

39 Definindo-se: f - distância entre o níve do terreno e a seção de ocorrência do momento fetor máximo; g - distância entre a profundidade D e o ponto de rotação ; h - distância entre o ponto de rotação e a base da estaca; n - distância entre a profundidade D e a seção de ocorrência do momento máximo; R - área do retânguo situado entre a aresta inferior do trapézio A e o pano da seção de ocorrência de momento máximo ( R corresponde à resutante da integração das forças de reação atuantes nesta região); y p - distância entre o centróide da figura geométrica resutante da união do trapézio A e do retânguo R até o segmento de reta que indica a seção de ocorrência do momento máximo, ocaizado à profundidade f. Observa-se que: f 0 Freação dl = A R onde R = 9λ n () Considerando-se que f representa a profundidade onde se verifica a ocorrência do momento fetor máximo, deve-se assegurar que, nesta seção, o esforço cortante seja nuo; portanto, estabeece-se que: 0

40 f Put = FreaçãodL = A R 0 () Logo, o momento fetor máximo pode ser determinado da seguinte forma: M = P ( e f ) max ut y p () onde f = D n (4) Sabendo-se que a distância do centróide de um trapézio quaquer até a sua maior base pode ser determinada pea equação (D.) do anexo D e que a distância do centróide de uma área quaquer, composta peo somatório de outras sub-áreas, pode ser determinada pea equação (D.) do anexo D, determina-se y p da seguinte forma: D D n n y p = (5) D 6n A parcea n do comprimento da estaca pode ser determinada a partir das equações (0), () e () e pode ser expicitada da seguinte forma: Put λd n = (6) 8λ

41 Cacuando-se o momento fetor máximo a partir da base da estaca, tem-se: M max h = C g n (7) ( ) ( g n B R ) onde B e C são, respectivamente, as áreas dos retânguos que representam as resutantes das integrações das forças de reação do soo nos trechos de comprimento g e h, e podem ser determinadas da seguinte forma: D g B = F dl = 9λ g D reação (8) C = D g h D g F reação dl = 9λ h (9) Fazendo-se o equiíbrio das forças horizontais tem-se que: C = B R (0) De (), (8),(9) e (0), tem-se que: g = h n ()

42 De (7), (0) e () tem-se que: M max = 9λ h () Iguaando-se () a (), escreve-se: ( e f ) Put y p h = () 9λ Com base em (4) e () e através da observação da figura III.6 determina-se o comprimento mínimo da estaca de diâmetro D, aforamento e, submetida a uma carga P ut na condição de ruptura, em um soo de resistência não drenada c u. ( e f y ) P ut p L = f (4) 9λ III.. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA PRIMEIRA HIPÓTESE A partir dos dados do probema a ser anaisado, pode-se verificar se a anáise será regida pea primeira hipótese a partir da seguinte consideração: a ocorrência do momento máximo deve se verificar a uma profundidade maior que D ; com isso, concui-se que a resutante da integração das forças de reação atuantes na região trapezoida A é menor que a carga útima P ut, ou seja, em nenhuma seção entre a

43 superfície e D de profundidade se verifica a anuação dos esforços cortantes. Logo, impõe-se como condicionante da hipótese que: A < P ut sabendo-se que A é determinado a partir da equação (0). III. SEGUNDA HIPÓTESE Nesta hipótese, considera-se que: a integra das forças de reação do soo, atuantes entre a superfície e D de profundidade, seja maior que a soicitação horizonta na ruptura [proporcionando assim que o momento máximo (e cortante nuo) ocorra a uma profundidade menor que D ] e também que a reversão do sentido das forças de reação só ocorra a uma profundidade maior do que D, ver figura III.7. Figura III.7 Esquema - Segunda Hipótese 4

44 Definindo-se: f - distância entre o níve do terreno e a seção de ocorrência do momento fetor máximo; g - distância entre a profundidade D e o ponto de rotação ; h - distância entre o ponto de rotação e a base da estaca; m - atura do trapézio de área ; - comprimento da interface dos trapézios P e ; y p distância do centróide do trapézio de área igua a P até o pano da seção de ocorrência do momento máximo; y q distância do centróide do trapézio de área igua a até o pano da seção que está a D de profundidade; área do trapézio situado entre o pano da seção de ocorrência de momento máximo e o segmento de reta que representa a cota D de profundidade, podendo também ser entendido como sendo a resutante da integração do móduo das forças de reação que atuam nesta parcea do comprimento da estaca. P área do trapézio situado entre a superfície do terreno e o pano da seção de ocorrência de momento máximo (o vaor desta área é dado pea integração das forças de reação do soo atuantes nesta região e corresponde exatamente ao vaor da soicitação horizonta útima, P ut, atuando no topo da estaca); observa-se que: f FreaçãodL = 0 P ut 5

45 e D f F reação dl = = A P ut (5) O momento fetor máximo pode ser determinado da seguinte forma: M = P ( e f ) max ut y p (6) A partir da apicação da equação (C.0) do anexo C para a geometria do trapézio A, tem-se que: f 6 7 = λ Pcu λ 7cu 6 (7) A definição de y p e y q pode ser feita a partir da apicação da equação (D.) do anexo D para a geometria dos trapézios P e ; ogo: ( 4λ ) ( λ ) f y p = (8) e ( 9λ) ( 9λ) m y q = (9) onde m é definido como sendo: 6

46 m = D f (0) e, comprimento da interface dos trapézios P e, é definido de acordo com a equação (C.5) do anexo C, como: 7 = cu f λ () Cacuando-se o momento fetor máximo a partir da base da estaca, tem-se: ( yq h g M = C g m B m m ) max () onde B e C são, respectivamente, as áreas dos retânguos que representam as resutantes das integrações das forças de reação do soo nos trechos g e h, e podem ser determinadas através das mesmas equações apresentadas em (8) e (9). A partir do equiíbrio de forças, tem-se que: C = B () Da equação () chega-se ao seguinte arranjo para a equação (): 7

47 h g g M = C yq (4) max forma: Inserindo-se as equações (8) e (9) em (), pode-se expicitar g da seguinte g = h (5) 9λ Introduzindo-se (5) e (9) em (4) obtém-se: M max = 9λ h y q (6) 8λ Iguaando-se (6) a (6) escreve-se: ( e f y ) Put p yq h = (7) 6λ 9λ Com base em (5) e através da observação da figura III.7 determina-se o comprimento mínimo da estaca de diâmetro D, aforamento e, submetida a uma carga P ut na condição de ruptura, em um soo de resistência não drenada c u : ( e f y ) Put p yq L = D (8) 9λ 6λ 9λ 8

48 III.. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA SEGUNDA HIPÓTESE Diferentemente da primeira hipótese, pode-se verificar que a ocorrência do momento máximo deve estar a uma profundidade menor que D, o que impica que se verifique a anuação dos esforços cortantes numa seção ocaizada no interior do trapézio de área A ; ogo, pode-se estabeecer que: A > P ut Um condicionante a mais que se faz necessário para se estabeecer a segunda hipótese é que se verifique que a reversão do sentido das forças de reação só ocorrerá a uma profundidade maior que D, o que impica que a grandeza g deve ser sempre positiva. Sendo assim, com base na equação (5) pode-se afirmar que h 9λ 0 Sendo h definida pea equação (7) concui-se que, para que haja o enquadramento na segunda hipótese, deve ser assegurado que : A > P ut y q P 8λ ut ( e f y p ) 9

49 III.4 TERCEIRA HIPÓTESE Nesta hipótese, considera-se que a integra do móduo das forças de reação do soo, atuantes no trecho entre a superfície e D de profundidade, seja maior que a soicitação horizonta na ruptura [proporcionando assim que o momento máximo (e cortante nuo) ocorra a uma profundidade menor que D ] e também que a reversão do sentido destas forças (ponto de rotação) seja verificada neste mesmo trecho. Entretanto, é necessário, para o enquadramento nesta hipótese, um comprimento mínimo maior ou igua a D, na configuração de ruptura, ver figura III.8. θ θ θ Figura III.8 Esquema - Terceira Hipótese Definindo-se: f - distância entre a superfície e a seção de ocorrência do momento fetor máximo; h - distância entre a profunidade D e base da estaca; 40

50 r - atura do trapézio ; s - atura do trapézio ; - comprimento da interface dos trapézios P e ; y p - distância do centróide do trapézio de área igua a P até o pano da seção de ocorrência do momento máximo; y q - distância do centróide do trapézio fictício de área igua a até o pano da seção que está a D de profundidade; y - distância do centróide do trapézio de área igua a até o pano da seção onde ocorre a reversão do sentido das forças de reação; - área do trapézio situado entre o pano da seção de ocorrência de momento máximo e o pano onde se verifica a reversão do sentido das forças de reação, podendo também ser entendido como sendo a resutante da integração do móduo das forças de reação que atuam nesta parcea do comprimento da estaca. - área do trapézio situado entre o pano onde se verifica a reversão do sentido das forças de reação e o pano que representa a profundidade D, podendo também ser entendido como sendo a resutante da integração do móduo das forças de reação que atuam nesta parcea do comprimento da estaca. - área do trapézio fictício que representa a soma do móduo de e do móduo de. Pode também ser definida como sendo o resutado da subtração entre a grandeza A [determinada pea equação (0)] e a área do trapézio P. Esta útima afirmação também pode ser representada pea equação (5). 4

51 P área do trapézio situado entre a superfície do terreno e o pano da seção de ocorrência de momento máximo (o vaor desta área é dado pea integração das forças de reação do soo atuantes nesta região, que corresponde ao vaor da soicitação horizonta útima, P ut, atuando no topo da estaca); θ - ânguo cuja tangente representa a taxa de variação inear da reação do soo no trecho entre o níve do terreno e a profundidade D. Para que haja equiíbrio de forças, deve-se assegurar que o somatório das forças horizontais atuantes abaixo da seção de ocorrência do momento máximo seja nuo, ogo = C (9) e, através do artifício exposto na figura III.9, pode-se apresentar a equação: C = (40) onde = (4) Figura III.9 Artifício de cácuo 4

52 O momento fetor pode ser determinado da seguinte forma: M = P ( e f ) max ut y p (4) onde f e y p são definidos da mesma forma como nas equações (7) e (8). Cacuando-se o momento fetor máximo a partir da base da estaca, tem-se: ( D f y ) ( r h M max = C D f q y ) (4) onde C é a área do retânguo que representa a resutante da integração das forças de reação do soo no trecho h, podendo ser determinada através da mesma equação apresentada em (9), e y q é definida da mesma forma como na equação (9). A equação (4) pode ser escrita da seguinte forma: C h M max = ( D f )( C ) yq ( r y ) (44) Introduzindo-se (40) em (44) tem-se: C h M max = [ D f ( r y )] yq (45) 4

53 Através da observação das equações (9) e (40) pode-se definir: 9λ h = (46) Introduzindo-se (9) e (46) em (45), chega-se à expressão para o momento fetor máximo: ( ) [ ] q y y r f D M = λ λ λ max (47) O anexo E apresenta a dedução da expressão que expicita a grandeza r y em função da grandeza. A expressão é apresentada abaixo: tg tg tg tg y r 4 = θ θ θ θ (48) Com base em (48) pode-se escrever (47) da seguinte forma: y q tg tg tg tg f D M = λ λ λ θ θ θ θ max (49) 44

54 Definindo-se as constantes: α = M max yq (50) 6λ β = 8D 6 f (5) λ através da equação (49) pode-se chegar, conforme apresentado no anexo F, ao seguinte poinômio: 4 C C C C4 C5 = 0 (5) onde as constantes do poinômio são definidas por: 4tgθ C = (5) 9λ 8 4β tgθ C = (54) λ λ C 4α tgθ 8 = β tgθ β (55) tgθ λ λ tgθ 4 β C4 = α αβ tgθ (56) tgθ 45

55 C 5 4 α = tgθ α (57) tgθ Desta forma, uma vez que se dispõe do poinômio, basta encontrar o vaor de, de modo que se atenda a equação (5) e se confirme o enquadramento na hipótese, para que se possa determinar o comprimento da estaca. Assim sendo, a partir da observação da figura III.8 e da equação (46) estabeecese que: L = D (58) 9λ A determinação da grandeza não é trivia, uma vez que as respostas fornecidas por ferramentas computacionais, como o Mappe, por exempo, para as raízes do poinômio do 4 o grau são consideravemente extensas e inviáveis no que diz respeito à manipuação e, até mesmo, para se programar em aguma inguagem computaciona. Logo, considera-se uma boa aternativa para a soução desta questão o emprego de aguma técnica numérica, como o método de Newton-Raphson (BATHE,996), por exempo, a fim de se obter a raiz do poinômio que satisfaz a equação (5). Saienta-se que o possíve intervao que contém a raiz rea do poinômio e que simutaneamente atende às exigências da hipótese de cácuo é definido em função do critério de enquadramento na mesma, ou seja, caso não exista uma raiz rea neste intervao, pode-se concuir que o probema não é regido pea terceira hipótese. Esta consideração será mehor discutida no próximo item. 46

56 III.4. CRITÉRIO DE ENUADRAMENTO NA TERCEIRA HIPÓTESE Da mesma forma que na segunda hipótese deve-se verificar a ocorrência do momento máximo (e anuação dos esforços cortantes) num pano situado no trecho entre o níve do terreno e a profundidade de D, ogo estabeece-se que: A > P ut O enquadramento na terceira hipótese inicia-se com o não atendimento dos critérios de enquadramento da primeira e da segunda hipóteses. Logo, uma vez atendida a condição exposta acima, A > P ut, pode-se excuir o emprego da primeira hipótese. Sequenciamente, deve-se testar a segunda hipótese, que será descartada caso se obtenha vaores negativos para a grandeza g, expressa pea equação (5). Isto equivae a dizer que a reversão do sentido das forças de reação (ponto de rotação) ocorrerá a uma profundidade menor do que D. Logo para que se descarte a possibiidade de emprego da segunda hipótese deve ser verificado, a partir de (5), que: = g h 9 λ < 0 Sendo h (referente à segunda hipótese) definida pea equação (7) deve-se garantir que: y q > P 8λ ut ( e f y p ) 47

57 A constatação de não enquadramento na primeira e na segunda hipótese não é suficiente para enquadrar uma anáise na terceira hipótese, haja vista que existe a possibiidade de que, em função dos dados de projeto, uma anáise seja enquadrada na quarta hipótese. Logo, para que haja o enquadramento na terceira hipótese, deve ser assegurada a necessidade do desenvovimento das forças de reação do soo a uma profundidade de no mínimo D, na configuração de ruptura. Esta afirmação pode ser traduzida matematicamente pea necessidade de o vaor de h, da terceira hipótese, ser maior ou igua à zero. A partir da equação (46) pode-se expicitar esta afirmação da seguinte forma:. 0 Sendo assim, concui-se que o condicionante exposto acima também pode ser apresentado conforme mostrado abaixo: Sabendo-se que não pode ser maior que, estabeece-se finamente que: < < Esta condição define o intervao onde deve ser encontrada uma raiz rea do poinômio apresentado em (5). Logo, após a verificação de que o probema estudado não está enquadrado na primeira e nem na segunda hipóteses, pode-se utiizar uma técnica numérica para a busca desta raiz. Procedendo-se assim, e não sendo encontrada nenhuma raiz rea do poinômio no intervao estabeecido, pode-se afirmar 48

58 que o probema não é regido pea terceira hipótese e sim pea quarta, que não é considerada no estudo a que se propõe esta dissertação. Desta forma, concui-se que a terceira hipótese é caracterizada peos seguintes condicionantes de cácuo: A > P ut y q > P 8λ ut ( e f y p ) < < Saienta-se que o procedimento de enquadramento de uma anáise numa dada hipótese é necessário apenas quando se deseja de fato saber qua das hipóteses corresponde ao caso em questão ou quando se deseja proceder às anáises através da apicação das expressões desenvovidas, seja de modo direto ou através de automatizações dos cácuos. No caso prático de utiização em projeto, os ábacos desenvovidos e apresentados no item seguinte prescindem do conhecimento da hipótese correspondente à anáise. 49

59 III.5 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO Foram apresentados no item II... os ábacos adimensionais para a resistência atera útima e para o momento de escoamento da estaca para o método de BROMS(964a). Apresentam-se, no presente item, os ábacos com as mesmas grandezas nos eixos, sendo que agora construídos com o emprego do método proposto. A partir do exposto, apresenta-se na figura III.0 o ábaco adimensiona, para a resistência atera útima normaizada em função do parâmetro geométrico adimensiona L/D (comprimento normaizado) Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut /cu.d e/d= Parâmetro Geométrico Adimensiona - L/D 0 Figura III.0 Ábaco de dimensionamento de estacas curtas soicitadas horizontamente em soos argiosos 50

60 Para se proceder à construção do ábaco, utiizaram-se simuações numéricas feitas através de programa desenvovido em inguagem Fortran, contendo as expressões desenvovidas para cada hipótese, e uma rotina baseada no método de Newton-Raphson para cacuar. Apresenta-se também, neste item, o ábaco, figura III., que mostra a variação da resistência atera útima normaizada, P ut /c u.d, como uma função do momento de escoamento normaizado M yied /c u.d. 00 Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut/cu.d 0 e/d= Momento de Escoamento Adimensiona, M yied /c u.d Figura III. Ábaco de dimensionamento de estacas curtas soicitadas horizontamente em soos argiosos Simiarmente ao ábaco apresentado na figura III.0, o ábaco para o momento de escoamento foi construído através de simuações numéricas feitas com o auxíio do referido programa. 5

61 III.5. COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS Apresenta-se na figura III. a superposição dos ábacos, para a resistência atera útima, reativos ao método cássico de BROMS (964a) e ao método proposto nesta dissertação, em função da reação L/D. Saienta-se que são apresentadas apenas três variações da reação entre o aforamento e o diâmetro, de modo a faciitar a visuaização das curvas utiizadas para a comparação. 60 METODO PROPOSTO BROMS (964a) 50 e/d= Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut/cu.d e/d= Parâmetro Geométrico Adimensiona - L/D Figura III. Comparação entre os ábacos de carga de ruptura normaizada versus comprimento normaizado Apresenta-se, a seguir, o gráfico (figura III.) que representa a reação entre a resistência atera útima normaizada do método proposto e o vaor correspondente do método de BROMS (964a), em função do comprimento normaizado L/D. 5

62 ,5 e/d=0 e/d=4 e/d=6 [(P ut /c u D )- Método Proposto] / [(P ut /c u D )-BROMS],5 0, L/D Figura III. Reação entre a resistência atera útima do método proposto e a do método de BROMS (964a) versus comprimento normaizado. Finamente, são apresentados os ábacos da resistência atera útima em função do momento de escoamento normaizado reativos ao método cássico de BROMS e ao método proposto, ver figura III Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut/cu.d 0 BROMS (964a) METODO PROPOSTO e/d=0 4 6 e/d= Momento de escoamento normaizado, M yied /c u.d Figura III.4 Comparação entre os ábacos de carga de ruptura normaizada versus momento de escoamento normaizado 5

63 III.6 EXEMPLOS (Anáise Comparativa) Neste item objetiva-se estabeecer mais uma comparação entre as respostas fornecidas peo método de BROMS (964a) e o que é proposto na tese. As respostas são apresentadas em tabeas e gráficos comparativos. Desenvoveu-se um programa em inguagem Fortran, que iniciamente tinha como objetivo somente a impementação da técnica numérica Newton-Raphson para auxiiar os cácuos referentes à terceira hipótese do método proposto. Entretanto, em um segundo momento, decidiu-se desenvovê-o de forma mais abrangente visando uma automatização de todos os processos de cácuo. No que concerne ao método proposto, este programa incui todos os testes de enquadramento nas hipóteses, seus respectivos pacotes de formuações e a inserção da sub-rotina que procede à busca da raiz rea, caso exista, referente ao poinômio do quarto grau que compõe a terceira hipótese. Esta busca, como citada acima, foi feita através da técnica numérica de Newton-Raphson. O referido programa também incui o pacote de formuações do método cássico de BROMS (964a). Tendo-se em vista a figura II.9 e as considerações feitas nos exempos apresentados no capítuo anterior, uma vez sendo dados os vaores da soicitação atera útima, da resistência não drenada do soo e do aforamento, varia-se o diâmetro da estaca e determina-se o comprimento necessário para a mesma. As anáises são feitas para os mesmos casos apresentados no capítuo anterior, ou seja, mantêm-se as mesmas variações de geometria e os mesmos vaores de carga útima. Apresenta-se na seqüência o resumo das equações empregadas nos cácuos do comprimento mínimo necessário para estaca sob a ação de carga atera na configuração de ruptura, fornecidas por ambos os métodos, tabeas III., III., III., III.4 e III.5. 54

64 Tabea III. Resumo das equações do método de BROMS (964a) EUAÇÕES DO MÉTODO DE BROMS f Put = 9c D u L =.5D f 4 f ( e.5d 0.5 f ) Tabea III. Resumo das constantes empregadas no método proposto CONSTANTES λ = c u D λ D A = Tabea III. Primeira hipótese do método proposto PRIMEIRA HIPÓTESE A < P ut EUAÇÕES n = P λ D 8λ f = D n D D n n y p = D 6n L = f P ( e f ) ut y p 9λ 55

65 Tabea III.4 Segunda hipótese do método proposto A > P ut SEGUNDA HIPÓTESE y q P 8λ ut ( e f y p ) EUAÇÕES = A P ut f 6 7 = λ Put cu λ 7cu 6 m = D f L = 7 = c f u λ ( 4λ ) ( λ ) f y p = y q m = ( 9λ) ( 9λ) ( e f y ) Put D 9λ 6λ 9λ p y q 56

66 Tabea III.5 Terceira hipótese do método proposto A > P ut TERCEIRA HIPÓTESE y q > P 8λ ut ( e f y p ) < EUAÇÕES = A P ut f 6 7 = λ Put cu λ 7cu 6 m = D f 7 = c f u λ ( 4λ ) ( λ ) f y p = y q m = ( 9λ) ( 9λ) M max = P ( e f ) ut y p α = M max y q 6λ β = 8D 6 f λ 4 tgθ C = 9λ 8 4β tgθ C = λ λ 57

67 θ λ λ θ α θ β θ β tg tg tg tg C 8 4 = θ αβ α θ β tg tg C 4 4 = θ α θ α tg tg C 5 4 = = C C C C C 9λ D L = 58

68 III.6. CASO I Tabea III.6 Caso I Comparação entre as respostas dos métodos Dados do Probema Respostas - BROMS (964a) Respostas MÉTODO PROPOSTO Anaise P(kN) c u (kn/m ) D(m) e(m) Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d HIP Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d ,0 0,0 78,9 7,54 0,50 7,7 5,0 8, 7,5 7,8 0,50 6,88 5,0 07, ,5 0,0 58,6 6,5 0,40 5,4 80,0 507,6 48,9 6,5 0,40 4,6 80,0 476, ,0 0,0 47,6 5,6 0, 8,7 55,6 7, 5, 5,7 0, 7,89 55,6 50, ,5 0,0 4,9 5, 0,9 4,6 40,8 65,4 6,4 4,8 0,9,80 40,8 47, ,40 0,0 9,4 4,77 0,5,9, 08,9 0,5 4,44 0,5,, 94, ,45 0,0 9, 4,5 0, 0, 4,7 76,4 6, 4,6 0, 9,4 4,7 6, ,50 0,0 40,6 4,6 0,0 8,7 0,0 56,,0,94 0,0 7,87 0,0 45, ,55 0,0 4,0 4,4 0,8 7,7 6,5 4,0 0,,76 0,8 6,84 6,5, ,60 0,0 46, 4,5 0,7 6,9,9,9 07,4,6 0,7 6,0,9 4, ,65 0,0 50, 4,0 0,5 6,,8 7,4 04,9,50 0,5 5,9,8 9, ,70 0,0 54,7 4,06 0,4 5,8 0,,5 0,4,40 0,4 4,86 0, 4, ,75 0,0 59,5 4,04 0, 5,4 8,9 8,9 00,0, 0, 4,4 8,9, ,80 0,0 64,7 4,0 0, 5,0 7,8 6, 97,8,4 0, 4,05 7,8 9, ,85 0,0 70, 4,04 0, 4,8 6,9,9 95,6,6 0,,7 6,9 7, ,90 0,0 75,9 4,05 0, 4,5 6,, 9,5,0 0,,44 6, 6, ,95 0,0 8,7 4,07 0, 4, 5,5 0,6 9,4,04 0,,0 5,5 5, ,996 0,0 87, 4,0 0,0 4, 5,0 9,5 89,6,99 0,0,00 5,0 4, ,05 0,0 94,0 4, 0,0,9 4,5 8, ,0 0,0 00, 4,7 0,09,8 4, 7, ,5 0,0 06,7 4, 0,09,7,8 6, ,0 0,0, 4,5 0,08,5,5 6, ,5 0,0 9,7 4,0 0,08,4, 5, ,0 0,0 6,4 4,4 0,08,,0 5, 4 8,0 Comprimento Mínimo em Função da Variação do Diâmetro 7,0 6,0 BROMS (964a) MÉTODO PROPOSTO 5,0 L(m) 4,0,0,0 quarta hipótese,0 0, 0, 0,5 0,7 0,9,,,5 D(m) Figura III.5 Caso I Gráfico da comparação entre as respostas dos métodos 59

69 III.6. CASO II Tabea III.7 Caso II Comparação entre as respostas dos métodos Anaise P(kN) c u (kn/m ) D(m) e(m) Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d HIP Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/c u.d M/c u.d ,0 0,80 709,0 0,05 4,00 50, 56, 5,7 69,0 9,90 4,00 49,5 56, 59, ,5 0,80 64,0 8,49,0 4,0 00,0 05,6 67,4 8,,0, 00,0 987, ,0 0,80 60,9 7,49,67 5,0 69,4 557, 57, 7,7,67 4, 69,4 59, ,5 0,80 579, 6,80,9 9,4 5,0 7,8 54,6 6,54,9 8,69 5,0 6, ,40 0,80 567,0 6,,00 5,8 9,,5 5,5 6,0,00 5,0 9, 04, ,45 0,80 56,7 5,94,78, 0,9 54, 508, 5,6,78,47 0,9 9, ,50 0,80 56, 5,67,60, 5,0, 497,6 5,0,60 0,60 5,0 99, ,55 0,80 564, 5,46,46 9,9 0,7 84,8 489, 5,05,46 9,8 0,7 7, ,60 0,80 569,7 5,, 8,8 7,4 65,9 48,9 4,85, 8,07 7,4 55, ,65 0,80 577, 5,9, 8,0 4,8 5,6 475, 4,68, 7,9 4,8 4, ,70 0,80 586,5 5,09,4 7,,8 4,7 468,6 4,54,4 6,48,8 4, ,75 0,80 597,0 5,0,07 6,7, 5,4 46, 4,4,07 5,88, 7, ,80 0,80 608,5 4,98,00 6, 9,8 9,7 456, 4,,00 5,9 9,8, ,85 0,80 60,9 4,94 0,94 5,8 8,7 5, 450, 4, 0,94 4,96 8,7 8, ,90 0,80 64,0 4,9 0,89 5,5 7,7,7 444,7 4, 0,89 4,59 7,7 5, ,95 0,80 647,6 4,9 0,84 5, 6,9 8,9 49, 4,05 0,84 4,7 6,9, ,00 0,80 66,8 4,9 0,80 4,9 6, 6,5 4,9,98 0,80,98 6, 0, ,05 0,80 676,4 4,9 0,76 4,7 5,7 4,6 48,8,9 0,76,7 5,7 9, ,0 0,80 69,4 4,9 0,7 4,5 5,,0 4,9,85 0,7,50 5, 8, ,5 0,80 706,7 4,94 0,70 4, 4,7,6 49,,79 0,70,0 4,7 6, ,0 0,80 7, 4,97 0,67 4, 4, 0,5 44,5,74 0,67, 4, 6, ,4 0,80 7, 4,98 0,65 4,0 4, 9,7 4,,7 0,65,00 4, 5, ,0 0,80 754, 5,0 0,6,9,7 8, ,5 0,80 770,6 5,06 0,59,7,4 7, ,40 0,80 787,0 5,0 0,57,6, 7, 4,0 Comprimento Mínimo em Função do Diâmetro 0,0 9,0 BROMS (964a) METODO PROPOSTO 8,0 L(m) 7,0 6,0 5,0 quarta hipótese 4,0,0 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6 D(m) Figura III.6 Caso II Gráfico da comparação entre as respostas dos métodos 60

70 III.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Através da apresentação dos itens III.5. e III.6 torna-se evidente a significativa diferença entre as respostas fornecidas peo método cássico e o que aqui é proposto. A figura III., que estabeece a reação entre as respostas fornecidas peo método proposto e o método de BROMS (964a), para a resistência atera útima normaizada, permite concuir, conforme se esperava, que a diferença entre as respostas fornecidas peos métodos diminui com o aumento da reação L/D. Constata-se ainda que esta reação apresenta maior variação no domínio de comprimento normaizado < L/D < 9; a partir de L/D = 9 a reação é quase inear, apresentando pequena variação. A observação da figura III. permite também a concusão de que o comportamento da reação entre as respostas, para a resistência atera útima normaizada dos dois métodos, é idêntico para todas as reações e/d, ou seja, é independente da reação entre o aforamento e o diâmetro. Este gráfico, apresentado na figura III., é dotado de grande significado prático. O mesmo pode ser empregado para se obter a estimativa da resistência atera útima fornecida peo método proposto através do produto do fator de correção, obtido no gráfico, peo vaor da resistência atera útima fornecida peo método de BROMS (964a). A constatação de que as respostas das duas metodoogias não diferem muito para peças com pequenos diâmetros também pode ser feita através da observação dos dois exempos do item III.6. Concui-se que as respostas fornecidas peo método proposto geram souções mais econômicas, uma vez que estas passam a requerer vaores menores para os comprimentos necessários, principamente para os casos onde se empregam seções transversais com grandes diâmetros. 6

71 Outra constatação importante é que a anomaia percebida nas respostas fornecidas por BROMS (964a), verificadas nas figuras II.0 e II., não é constatada nas respostas oriundas do método proposto, ou seja, a curva não apresenta um ponto de mínimo de função, comportando-se como uma função decrescente. Este fato atende a um dos objetivos pré-estabeecidos ao se ideaizar a concepção da metodoogia aqui desenvovida. Observa-se também, nos dois casos, que as curvas referentes ao método proposto são interrompidas em certos pontos; isto se dá porque, sob os mesmos parâmetros de projeto, diâmetros maiores conduziriam os modeos a serem enquadrados na quarta hipótese. A quarta hipótese não foi formuada por não se considerar que possa atender às necessidades de projeto para casos dotados de apicabiidade prática, ou seja, dificimente seria verificado o emprego de uma estaca com uma reação L/D menor do que três. Outra razão importante para o não desenvovimento desta hipótese é o fato de que as tensões atuantes na base da fundação (para este domínio de reação geométrica) poderiam ser significativas e, desta forma, o modeo matemático poderia não representar apropriadamente o modeo físico. Serão apresentadas, no próximo capítuo, anáises via Método dos Eementos Finitos que visam dar uma maior vaidação aos resutados aqui obtidos. 6

72 CAPÍTULO IV MODELAGEM -D VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS IV. INTRODUÇÃO Com o crescente impuso que vêm sofrendo as técnicas numéricas de soução de equações não-ineares, associadas ao contínuo desenvovimento dos processadores e dos dispositivos de armazenamento de dados que compõem as máquinas empregadas para ta fim, pode-se concuir que as ferramentas computacionais constituem-se atuamente em ferramentas indispensáveis para pesquisa, desenvovimento e apicações em souções de probemas de engenharia. Desta forma, recorre-se também aqui a esta importante ferramenta com o intuito de se estabeecer comparações entre os resutados fornecidos pea proposição apresentada nesta tese e os resutados obtidos com as simuações do comportamento soo-estrutura em modeo -D. IV. MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS FÍSICOS Os probemas de engenharia, de modo gera, são simuados através de modeos matemáticos que pretendem representar as situações encontradas na natureza, os sistemas físicos. A compexidade decorrente da consideração de todos os parâmetros envovidos em um sistema físico dá origem à descrição matemática de um sistema equivaente, no qua intervêm apenas os parâmetros que se consideram fundamentais, ou característicos, do fenômeno físico que se pretende estudar. A definição de um 6

73 sistema equivaente ao sistema físico é, assim, a primeira etapa do processo gera da modeagem matemática dos sistemas físicos. A descrição matemática do sistema equivaente é geramente feita através de um sistema de equações diferenciais que se estabeece com base nos princípios gerais do equiíbrio e da compatibiidade e nas reações constitutivas da Mecânica dos Meios Contínuos (MALVERN, 969). O sistema de equações diferenciais, váido em todo o domínio do probema, é compementado peas respectivas condições definidas, isto é, peas condições de contorno e condições iniciais, ficando assim competamente definido o modeo matemático contínuo. Os modeos contínuos têm um número infinito de graus de iberdade, na medida em que as variáveis de campo se distribuem continuamente em todo o domínio do probema. Savo raras exceções, que em gera não passam de probemas acadêmicos, é extremamente difíci ou praticamente impossíve determinar a soução anaítica dos modeos contínuos, em virtude da compexidade do domínio do probema rea em estudo. Nos casos em que ta é viáve, a soução é determinada por via puramente anaítica através de métodos ditos formais ou anaíticos. Embora os métodos formais continuem a ter a virtude da eegância matemática, pode-se dizer que os esforços de investigação têm se concentrado, predominantemente, na formuação dos chamados modeos discretos (BATHE, 996). Os modeos discretos são obtidos com o auxíio de aproximações que, introduzidas nos modeos contínuos, permitem exprimir as variáveis de campo em termos de um número finito de parâmetros. Deste modo, os modeos discretos são naturamente aproximados e têm um número finito de graus de iberdade. Os métodos que conduzem à determinação da soução destes modeos utiizam as ferramentas da Anáise Numérica, peo que se podem designar por métodos numéricos. Dentre os métodos numéricos disponíveis na atuaidade, optou-se peo método dos eementos finitos com o intuito de se simuar o comportamento da interação sooestrutura que constitui o probema objeto desta pesquisa. 64

74 IV. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O MEF {Método dos Eementos Finitos [(BATHE, 996); (COOK, 974); (HUGHES, 987)]} é um método numérico que pode ser apicado para a obtenção de souções para uma grande variedade de probemas de engenharia. Anáise de Tensões (Estáticas, Dinâmicas, Lineares, Não-ineares etc), Transferência de Caor, Mecânica dos Fuidos, Eetromagnetismo, são aguns dos probemas de engenharia que podem ser anaisados com o MEF. O Método dos Eementos Finitos, ampamente estudado e desenvovido ao ongo do útimo sécuo, tem-se mostrado como uma das mais poderosas ferramentas de anáise e soução de probemas estruturais e geotécnicos em gera. No caso particuar da interação soo-estaca, a possibiidade do emprego de eementos de contato, para se poder representar apropriadamente as situações de descoamento entre o soo e a estaca, torna evidente a potenciaidade e a grande utiidade que este método apresenta para o estudo desenvovido nesta dissertação, ou seja, estaca soicitada ateramente em soo argioso. No MEF, o soo, meio contínuo, é dividido em eementos discretos definidos por coordenadas de pontos nodais e conectividades; estes dois conjuntos de dados definem a geometria do eemento. Define-se também o modeo constitutivo que rege a reação tensão-deformação no eemento. Sendo o soo discretizado e somente uma região finita anaisada, a natureza infinita (ou semi-infinita) do soo não pode ser mensurada diretamente. Restrições ao movimento ou estado constante de tensão devem ser impostos no contorno, de modo que este, estando situado distante suficientemente da região de interesse, possibiite a obtenção de respostas satisfatórias para probemas estáticos. A descrição da modeagem matemática através do MEF não será apresentada nesta dissertação, tendo em vista que este tema é discutido em inúmeros ivros textos [(BATHE, 996); (COOK, 974); (HUGHES, 987)]. Aqui serão abordadas apenas as questões reacionadas ao emprego do método e à utiização do programa para o caso em estudo. 65

75 IV.4 O PROGRAMA EMPREGADO Utiizou-se nas anáises que serão apresentadas adiante o programa comercia ANSYS. Segundo MOAVENI (999), o ANSYS é um programa de eementos finitos generaista (muti-uso), que contém mais de inhas de programação. Ee é capaz de reaizar anáises estáticas, dinâmicas, de transferência de caor, de mecânica dos fuidos, eetromagnetismo, etc. Destaca-se o fato do ANSYS apresentar procedimentos para anáise eastopástica e ter disponíve o pacote para anáise de probemas de contato. Este aspecto é de grande interesse para o estudo reaizado nesta dissertação. Do emprego do ANSYS pôde-se concuir que este é uma ferramenta poderosa de anáise numérica para inúmeros probemas de engenharia estrutura e geotécnica. Entretanto, a sua utiização não é trivia, requerendo, desta forma, um empenho significativo da parte do usuário iniciante, caso este intente usá-o somente com o auxíio do manua do programa. Saienta-se que poucas pubicações que abordam a probemática da modeagem do soo com o emprego do programa ANSYS foram encontradas. Entretanto destacase o trabaho de ALESHIN & SELEZNEV (00) que trata do emprego do modeo constitutivo para representar o comportamento do soo, especificamente no ANSYS. IV.4. MODELAGEM DO PROBLEMA Ao se ideaizar a modeagem do probema da interação soo-estaca sob ação de carga atera (tratando-se de estacas curtas) ressata-se a diferenciação que deve ser estabeecida com reação aos modeos que representam os comportamentos dos materiais, argia e concreto. A consideração de que o eemento estrutura trabahe como curto impica que se verifique que a ruptura ocorra no soo, ou seja, esgota-se a 66

76 capacidade de resistir às tensões que nee aparecem, verificando-se assim um comportamento não-inear pástico do mesmo. Entretanto, esta caracterização de ruptura só é verificada no soo. O eemento estrutura, cujo materia (concreto) possui um móduo de easticidade muito maior do que o do soo, ainda se comporta dentro dos imites das deformações eásticas. A partir do exposto acima, utiizaram-se no ANSYS dois modeos distintos para representar o concreto e o soo. O primeiro foi representado peo modeo Linear Eástico Isotrópico, necessitando, desta forma, somente dos parâmetros: móduo de easticidade e coeficiente de poisson para se estabeecer a ei que governa a reação tensão-deformação no materia. Saienta-se que o soo por ter um comportamento não-inear apresenta uma natureza mais compexa no que concerne à modeagem do materia. Sendo assim, ao se representar o soo, meio contínuo, peo método dos eementos finitos ou diferenças finitas, a consideração da não-inearidade é introduzida através do modeo constitutivo, que reaciona as tensões e as deformações que aparecem no materia (KLAR, 00). Segundo DESAI & SIRIWARDANE (984), o comportamento da grande maioria dos materiais geoógicos apresenta-se de forma distinta do que é apresentado peos metais e, conseqüentemente, a sua resistência mecânica é dependente da tensão confinante [(σ σ σ )/], ou também chamada tensão média. Sob condições de drenagem tota ou parcia, a resistência dos soos geramente aumenta com o aumento da tensão média. Entretanto, existem exceções: o comportamento das argias saturadas, em situação não-drenada, apresenta-se como o comportamento dos metais, ou seja, independentes da tensão média. A partir do exposto acima, seria justificado o eventua uso do critério de Von Mises como modeo constitutivo para a representação do comportamento não drenado da argia. Entretanto, optou-se por empregar o critério de Drucker-Prager nesta apicação, peo fato dee ser um modeo genérico para soos, disponíve na bibioteca de modeos do ANSYS, e também porque recai no critério de Von Mises quando empregado vaor nuo para o ânguo de atrito, como no caso das argias. 67

77 Do emprego do modeo de Drucker-Prager, faz-se necessário o fornecimento dos seguintes parâmetros: móduo de easticidade, coeficiente de Poisson, coesão, ânguo de atrito e ânguo de diatância. Este útimo representa a variação de voume do materia devido ao cisahamento. Estes modeos são ampamente discutidos em (DESAI & SIRIWARDANE, 984). Ambos os modeos de materiais empregados, o Linear Eástico Isotrópico e o Drucker-Prager, encontram-se dentro do pacote denominado estrutura, no programa ANSYS. O programa também oferece uma vasta bibioteca de eementos. Entre estes existem os eementos do pacote (ou pasta) massa estrutura. Esta pasta, da mesma forma que a pasta estrutura (no caso da pasta para modeos de materiais), pode dar a impressão que só venha a atender a concreto, aço, madeira ou outro materia empregado na confecção de peças estruturais. Entretanto, este pacote de eementos, ta qua a pasta estrutura, atende a uma vasta gama de situações encontradas na natureza aonde se necessite de eementos de massa e/ou modeos constitutivos para materiais na apicação em casos de anáise de tensões, incusive para as apicações de modeagem de soo. Desta forma, optou-se por empregar o eemento SOLID95 [eemento D com 0 nós dotados de graus de iberdade cada (MOAVENI, 999)], contido no pacote massa estrutura, para ambos os materiais: soo e concreto, embora este útimo, nas anáises que serão efetuadas, não demande eemento que atenda às necessidades eventuais de anáises pásticas. O soo, meio infinito, será discretizado de forma que se imite uma região finita que será anaisada. O estabeecimento dos imites desta região, o seu contorno, será feito de modo que este não exerça perturbações significativas nas respostas, perturbações estas que poderiam ser causadas pea redução excessiva do modeo. Considerando-se que será empregado o recurso de simetria, o indicativo do pano que contém a interface dos voumes simétricos será caracterizado peo pano que passa peo centro da seção do eemento de fundação e que contém a resutante da 68

78 soicitação horizonta. Nas demais superfícies de contorno: aterais e inferior, será apicada a condição de desocamentos nuos, a fim de se representar a continuidade do meio infinito. IV.4. PROBLEMAS DE CONTATO E DIFICULDADES ENFRENTADAS A intenção inicia de se estabeecer uma comparação entre respostas fornecidas peo método aqui proposto e respostas advindas de anáises numéricas, através do emprego do MEF, trouxe consigo um probema: a consideração de como se tratar a questão do descoamento que ocorre entre a estaca e o soo, figura IV.. Figura IV. Descoamento entre o soo e a estaca A partir da intenção da reaização das anáises numéricas, constatou-se que estas não se resumiriam ao simpes uso de um programa comercia de eementos finitos, apicado a um probema governado por reações ineares. Constatou-se, também, que este probema de descoamento, que apareceria entre o soo e a estaca, se constitui um probema bem particuar e introduziria assim a necessidade da consideração de uma nova probemática: a utiização de eementos de contato. Os probemas de contato apresentam imediatamente duas dificudades significativas: a primeira, geramente não se conhecem as regiões que estarão em 69

79 contato até que se procedam as anáises. Dependendo do carregamento, do materia, das condições de contorno e de outros fatores, as superfícies podem descoar ou entrar em contato, umas com as outras, de maneira atamente imprevisíve e de modo abrupto. A segunda dificudade é que muitos dos probemas de contato necessitam que se considere o atrito entre as superfícies, e existem várias eis e modeos que descrevem o comportamento do atrito entre as superfícies e todos estes são nãoineares. Segundo o manua do ANSYS, versão 8.0, os probemas de contato são fortemente não-ineares e requerem significativos recursos computacionais para serem resovidos. Esta afirmação foi confirmada durante a reaização das inúmeras tentativas para se conseguir que os probemas convergissem para as suas respectivas souções. O emprego dos recursos oferecidos peo programa, nas apicações que se constituem o objeto deste item da pesquisa, mostrou-se em certos momentos desafiador, pois a probemática de contato, que é contempada no caso da interação soo-estrutura sob carga atera, não demandava apenas dos passos básicos e rotineiros que envovem uma anáise de um probema simpes através do MEF, como: discretização, definição dos eementos da maha e dos modeos dos materiais, estabeecimento das condições de contorno, apicação das cargas, etc, mas sim de uma série de definições de parâmetros para a escoha e a caibragem do agoritmo a ser empregado para a abordagem deste probema específico. Nas anáises que serão apresentadas adiante foi empregado como agoritmo de contato o Método das Penaidades, (BATHE, 996). O ANSYS disponibiiza 5 diferentes agoritmos que poderiam ser empregados neste caso. No manua do programa ee apresenta de modo sucinto as vantagens e desvantagens do possíve emprego de cada um dos métodos. Após a eitura deste item do manua, ainda assim, procederam-se agumas simuações para que se optasse peo Método das Penaidades. Uma das dificudades encontradas no emprego deste método é proveniente do fato dee introduzir o conceito de rigidez de contato. O Método das Penaidades utiiza uma moa de contato, estabeecendo assim um dispositivo que caracteriza a situação do contato entre as duas superfícies dos meios. Desta forma, a rigidez de contato 70

80 regua a interpenetração que pode haver entre as mahas de eementos dos diferentes corpos, bem como permite que apareçam os espaços (vazios) entre as superfícies, no caso do aparecimento de tensões de tração entre as mesmas. A atribuição de vaor ao parâmetro que denota esta rigidez constitui-se de modo particuar um dos grandes obstácuos a serem superados para obtenção de respostas coerentes. A utiização de vaores inexpressivos para a rigidez de contato, comparativamente com o móduo de easticidade do corpo deformáve (neste caso o soo), conduz a anáise a uma convergência mais rápida, no que diz respeito ao número de iterações necessárias. Entretanto, os resutados não são confiáveis, haja vista que vaores muito pequenos para a rigidez de contato evam o modeo a sofrer grandes interpenetrações entre as superfícies, o que atera de modo significativo os resutados naquea região. De outra forma, o emprego de vaores superestimados para a rigidez evita que se verifique a ocorrência de acentuadas interpenetrações no contato, entretanto conduz, na maioria das vezes, a um número excessivo de iterações ou, até mesmo, a que não se acance a convergência para as respostas. A dificudade exposta acima, no que concerne ao critério de tentativa e erro para a determinação do vaor da rigidez de contato, retrata uma das grandes dificudades encontradas para a soução do referido probema de contato. O fato de se empregarem modeos com muitos eementos eeva, conseqüentemente, o número de nós e o número de equações que compõem o sistema. Desta forma, é destacada a dificudade anteriormente reatada, pois o caráter fortemente não-inear da probemática de contato, associado ao comportamento pástico do soo, pode demandar um ato número de iterações para a convergência da soução e, em função da dimensão do modeo, pode ser necessário um ou mais dias de processamento em computador com boa configuração para se ter o resutado referente a uma anáise. A partir do exposto acima, um simpes teste para se verificar a adequação da estimativa para o vaor do parâmetro de rigidez de contato pode evar mais de um dia para ser reaizado. Concui-se, desta forma, que o custo computaciona das anáises (tempo gasto na resoução do sistema de equações e no processamento de dados) se apresenta como uma das dificudades encontradas nos procedimentos de anáise de probemas de contato. 7

81 IV.5 ESTUDO DE CASOS Procedeu-se ao estudo de dois casos, através do método dos eementos finitos, com a utiização do programa ANSYS. A partir destas anáises pretende-se examinar o comportamento do soo, com o auxíio da simuação numérica em ambiente D, de modo que se possa não só obter as respostas necessárias quanto à carga de ruptura e às tensões no soo, mas também ter uma noção mais apropriada do comportamento rea do modeo através desta simuação numérica. Em ambos os casos, modeou-se o soo e a estaca utiizando-se o recurso da partição do modeo por pano de simetria (BATHE, 996, COOK, 974). Ideaizou-se um ciindro de soo, onde o estabeecimento do seu contorno não impusesse aterações significativas nas respostas. Nas primeiras tentativas de modeagem e anáise, o ciindro de soo, ta qua o eemento de fundação, foi submetido ao seccionamento através de um pano passando por uma das seções diametrais. Após se proceder a agumas anáises prévias constatou-se que o modeo poderia ter o número de eementos diminuído significativamente (diminuindo, conseqüentemente, o número de nós e número de equações a serem resovidas), se o ciindro de soo fosse seccionado a uma certa distância do seu centro, desde que se mantivessem as distâncias necessárias da face do eemento de fundação ao contorno do ciindro de soo e, é caro, se mantivesse o seccionamento da estrutura passando peo seu respectivo centro. De acordo com o reatado acima, procedeu-se, em ambos os casos, de forma que o pano de simetria passasse por um dos eixos diametrais da estaca/tubuão (eixo ta que esteja contido no pano que contenha a resutante da soicitação horizonta) mas de forma que não passasse peo centro do ciindro de soo. Isto pode ser visto nas figuras IV. e IV.. As dimensões empregadas em cada caso são apresentadas adiante. 7

82 Figura IV. Vista superior do modeo e emprego do artifício de simetria Figura IV. Vista superior da estrutura e emprego do artifício de simetria Antes da apresentação dos resutados são descritas as características dos modeos, com os seus dados de projeto e os seus respectivos parâmetros para, a partir daí, se poder proceder à apresentação dos resutados. Estes foram obtidos com o programa ANSYS para o níve de carregamento que se considere como sendo a carga de ruptura. Esta consideração é feita a partir da apicação do útimo incremento de 7

83 carga em que se tenha assegurada a convergência para as respostas. A partir do exposto podem-se apresentar os seguintes gráficos: desocamentos que aparecem no modeo (possui um significado especia peo fato de permitir avaiação da penetração no contato); tensões horizontais na direção da apicação da carga; tensões verticais na base do eemento de fundação; regiões do soo que sofreram pastificação; integrações das tensões horizontais na direção da apicação da carga (comparação anaítico-numérica); comportamento da carga apicada versus o respectivo desocamento de topo na estaca comparado com as respostas estimadas, para a carga de ruptura, através dos métodos anaíticos. IV.5. CASO Neste primeiro caso, estudar-se-á um tubuão empregado em soo argioso saturado (situação não drenada), sob a ação de carga atera de topo com os seguintes dados de projeto: Carga de Ruptura [P ut (kn) ] = a estimar Diâmetro [D (m) ] = 0,8 m Comprimento [L (m) ] =,8 m Aforamento [e (m) ] = 0,4 m Resistência não drenada [c u (kn/m ) ] = 0 kpa 74

84 Modeou-se então no ANSYS o Caso I de acordo com o apresentado nas figuras IV.4, IV.5, IV.6 e IV.7. D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.4 Vista D da geometria do modeo D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.5 Vista fronta do pano de simetria 75

85 D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.6 Vista superior do modeo D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.7 Vista D detahe do aforamento O soo foi modeado através do seccionamento de um voume ciíndrico com 9, m de diâmetro e 5,0 m de atura (saienta-se que foi utiizado o recurso de partição do ciindro de soo por pano de simetria que não passa peo seu respectivo centro), de forma que se obteve uma distância, no sentido da apicação da carga, entre a face do tubuão e o contorno externo do soo, de 4,0 m e, no sentido ortogona da apicação da carga, entre a face do tubuão e o contorno externo do soo, de, m. 76

86 Este modeo foi constituído por 665 eementos, tendo-se empregado o tipo SOLID95 para representar o soo e o concreto e os tipos TARGE70 e CONTA74 para a discretização das superfícies de contato. O modeo foi constituído por 5755 nós, com graus de iberdade cada. Utiizaram-se os seguintes dados como entrada para os modeos constitutivos dos materiais: Móduo de Easticidade do Concreto =,x0 7 kn/m Coeficiente de Poisson para o Concreto = 0, Móduo de Easticidade do Soo =,0x0 4 kn/m Coeficiente de Poisson para o Soo = 0,499 Resistência não Drenada do Soo = 0,0 kn/m Ânguo de Atrito do Soo = 0 Ânguo de Diatância = 0 Os parâmetros utiizados para a caibragem da probemática de contato são mostrados no Anexo H. A partir das estimativas da carga de ruptura obtida através do emprego dos métodos anaíticos, conforme apresentado no Anexo G, foi imposta ao modeo uma carga horizonta no topo do tubuão de 86 kn, pois trabahou-se com o artifício da simetria, ou seja, isto corresponde a uma apicação de 7 kn. Esta carga foi apicada de forma incrementa e automática, de modo que foi informado ao ANSYS que o número de incrementos de carga deveria estar entre 5 e 50. A útima apicação dos incrementos de carga que obteve convergência para as respostas foi a reativa ao incremento 8, que correspondeu a 96 % da apicação da carga, após o acúmuo de 00 iterações. Desta forma, os resutados que serão apresentados na seqüência correspondem a uma carga atera de 65, kn (ou 8,6 kn para o modeo reduzido peo artifício da simetria). 77

87 IV.5.. RESULTADOS caso I. Apresentam-se nas figuras IV.8 a IV.5 os resutados referentes à anáise do D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.8 Desocamentos horizontais Dx (m) Caso I D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.9 Desocamentos horizontais Dx (m) Detahe Topo Caso I 78

88 D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV.0 Desocamentos horizontais Dx (m) Detahe Base Caso I D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV. Tensões horizontais Sx (kn/m ) Caso I (atuantes na direção da soicitação atera) 79

89 D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV. Tensões verticais Sz (kn/m ) Base Caso I D (m) =0,8 e(m)=0,4 c u (kpa) =0 L(m)=,8 Figura IV. Região pastificada Caso I 80

90 ,0 kn/m -0,5 Eementos Finitos Metodo proposto -,0 -,5 m -,0 -,5 -,0 -,5-4,0 Figura V.4a Integração das tensões de reação Resposta sem tratamento (Forças de reação ao ongo do comprimento do tubuão Caso I) kn/m 0, ,5 Eementos Finitos Metodo proposto -,0 -,5 m -,0 -,5 -,0 -,5-4,0 Figura V.4b Integração das tensões de reação Resposta com tratamento (Forças de reação ao ongo do comprimento do tubuão Caso I) 8

91 Carga Útima Estimada- 7 kn - MÉTODO PROPOSTO Carga Útima Estimada- 0 kn - MÉTODO DE BROMS [964a] kn Método dos Eementos Finitos m Figura IV.5 Curva Carga Apicada x Desocamento de Topo Estimativa da carga de ruptura ( Método dos Eementos Finitos) Comparação com respostas anaíticas Caso I Tabea IV. Caso I Resumo de Resutados CASO I - D = 0,80m; e = 0,4 m; c u = 0,0 kn/m ; L =,8 m MÉTODO BROMS(964a) PROPOSTO MEF P ut (kn) 0,0 7,0 65, M máx (kn.m) 5, 5,7,05 Cota (m) de ocorrência do M máx -,76 -,64 -,54 IV.5. CASO Neste segundo caso, estudar-se-á uma estaca empregada em soo argioso saturado (situação não drenada), sob a ação de carga atera de topo com os seguintes dados de projeto: 8

92 Carga de Ruptura [P ut (kn) ] = a estimar Diâmetro [D (m) ] = 0,4 m Comprimento [L (m) ] =,0 m Aforamento [e (m) ] = 0, m Resistência não drenada [c u (kn/m ) ] = 5 kpa Modeou-se então no ANSYS o Caso II de acordo com o apresentado nas figuras IV.6, IV.7, IV.8 e IV.9. D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.6 Vista D da geometria do modeo D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.7 Vista fronta do pano de simetria 8

93 D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.8 Vista superior do modeo D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.9 Vista D Detahe do aforamento O soo foi modeado através do seccionamento de um voume ciíndrico com 4,6 m de diâmetro e,6 m de atura (saienta-se que foi utiizado o recurso de partição do ciindro de soo por pano de simetria que não passa peo seu respectivo centro), de forma que se obteve uma distância, no sentido da apicação da carga, entre a face do estaca e o contorno externo do soo, de,05 m e, no sentido ortogona da apicação da carga, entre a face da estaca e o contorno externo do soo, de,6 m. 84

94 Este modeo foi constituído por 68 eementos, tendo-se empregado o tipo SOLID95 para representar o soo e o concreto e os tipos TARGE70 e CONTA74 para a discretização das superfícies de contato. O modeo foi constituído por 705 nós, com graus de iberdade cada. Utiizaram-se os seguintes dados como entrada para os modeos constitutivos dos materiais: Móduo de Easticidade do Concreto =,x0 7 kn/m Coeficiente de Poisson para o Concreto = 0, Móduo de Easticidade do Soo = 8, 0x0 kn/m Coeficiente de Poisson para o Soo = 0,499 Resistência não Drenada do Soo = 5 kn/m Ânguo de Atrito do Soo = 0 Ânguo de Diatância = 0 Os parâmetros utiizados para a caibragem da probemática de contato são mostrados no Anexo H. A partir das estimativas da carga de ruptura obtida através do emprego dos métodos anaíticos, conforme apresentado no Anexo G, foi imposta ao modeo uma carga horizonta no topo do tubuão de 4,5 kn, pois trabahou-se com o artifício da simetria, ou seja, isto corresponde a uma apicação de 68, kn. Esta carga foi apicada de forma incrementa e automática, de modo que foi informado ao ANSYS que o número de incrementos de carga deveria estar entre 0 e 60. A útima apicação dos incrementos de carga que obteve convergência para as respostas foi o incremento 8, que correspondeu a 94 % da apicação da carga, após o acumuo de 95 iterações. Desta forma, os resutados que serão apresentados na seqüência correspondem a uma carga atera de 64,0 kn (ou,0 kn para o modeo reduzido peo artifício da simetria). 85

95 IV.5.. RESULTADOS caso II. Apresentam-se nas figuras IV.0 a IV.7 os resutados referentes à anáise do D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.0 Desocamentos horizontais Dx (m) Caso II D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV. Desocamentos horizontais Dx (m) Detahe Topo Caso II 86

96 D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV. Desocamentos horizontais Dx (m) Detahe Base Caso II D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV. Tensões horizontais Sx (kn/m ) Caso II (atuantes na direção da soicitação atera) 87

97 D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.4 Tensões verticais Sz (kn/m ) Base Caso II D (m) =0,4 e(m)=0, c u (kpa) =5 L(m)=,0 Figura IV.5 Região pastificada Caso II 88

98 0, kn/m Eementos Finitos -0,5 Método Proposto -,0 m -,5 -,0 -,5 Figura IV.6a Integração das tensões de reação Resposta sem tratamento (Forças de reação ao ongo do comprimento do tubuão Caso II) -,0 kn/m 0, ,5 Eementos Finitos Método Proposto -,0 m -,5 -,0 -,5 -,0 Figura IV.6b Integração das tensões de reação Resposta com tratamento (Forças de reação ao ongo do comprimento do tubuão Caso II) 89

99 Carga Útima Estimada- 68. kn - MÉTODO PROPOSTO 60.0 Carga Útima Estimada- 57. kn - MÉTODO DE BROMS [964a] 50.0 kn Método dos Eementos Finitos Figura V.7 Curva Carga Apicada x Desocamento de Topo Estimativa da carga de ruptura ( Método dos Eementos Finitos) Comparação com respostas anaíticas Caso II m Tabea IV. Caso Resumo de Resutados CASO II - D = 0,40m; e = 0, m; c u = 5,0 kn/m ; L =,0 m MÉTODO BROMS(964a) PROPOSTO MEF P ut (kn) 57, 68, 64,0 M máx (kn.m) 69,7 7, 64, Cota (m) de ocorrência do M máx -,4 -, -,4 90

100 IV.5. ANÁLISE DOS RESULTADOS Foram reatados no item IV.4. agumas dificudades enfrentadas ao se proceder às anáises destes dois casos. O caráter fortemente não-inear da probemática de contato associado ao probema da pasticidade do soo impica em ato custo computaciona (para se proceder às anáises) e em dificudades de convergência para o modeo, principamente para cargas com vaores próximos ao vaor da carga de ruptura. Desta forma, os resutados apresentados referem-se à apicação do útimo incremento de carga em que se obteve a convergência do processo iterativo. Considerando-se as figuras IV.5 e IV.7, com reação ao comportamento das respostas obtidas via MEF, na anáise de carga incrementa, concui-se que a carga de ruptura rea do modeo é um tanto maior do que a carga referente à apicação do útimo incremento de carga em que se obteve a convergência para as respostas. As figuras IV.8 e IV.0 apresentam os vaores dos desocamentos na direção horizonta para os casos e, respectivamente. Observa-se que os desocamentos de topo apresentados peas fundações são da ordem de 7,5 cm para o caso I e 6,5 cm para o caso. A partir das figuras IV.9, IV.0, IV. IV. (que mostram em detahe os desocamentos do contato entre o soo e a fundação, nos trechos extremos da mesma), pode-se concuir que, para ambos os casos estudados, a continuidade de desocamentos é verificada em, praticamente, toda extensão das regiões que permaneceram em contato. Entretanto, em ambos os casos, um pequeno trecho, próximo à base da fundação, apresenta uma descontinuidade consideráve para os desocamentos, o que indica para uma possíve interpenetração excessiva nesta região. Este fator apresenta grande reevância, pois permite que se avaie a magnitude das interpenetrações que geramente ocorrem nas regiões de contato sob tensões de compressão. Nos casos estudados, a partir do afirmado anteriormente, não se considera que as interpenetrações ocorridas possam aterar significativamente as respostas gobais do sistema, embora gerem perturbações ocais. 9

101 As figuras IV.9 e IV. permitem, também, a observação da região do soo (trecho do soo em frente à estaca próximo à superfície) que sofre intumescimento, ou seja, acentuados desocamentos verticais no sentido da menor resistência (sentido ascendente). Os gráficos apresentados nas figuras IV. e IV. apresentam o comportamento das tensões horizontais (Sx kn/m ) ao ongo do modeo. Pode-se perceber, tanto no caso como no caso, que aparecem regiões tracionadas no soo, situadas sob as bases dos eementos de fundação. Isto também é percebido nas figuras IV. e IV.4, que apresentam as distribuições das tensões verticais nesta região. A partir das figuras IV. e IV.4, pode-se também perceber que o soo situado abaixo da base dos eementos de fundação não exerce nenhuma contribuição significativa para o cômputo das tensões que auxiiarão no estabeecimento das condições de estabiidade do eemento de fundação. As figuras IV. e IV.5 apresentam os gráficos que mostram as regiões pastificadas do modeo, para os casos e, respectivamente. O critério de Drucker-Prager, quando empregado para representar o comportamento das argias (em condição não drenada), conduz o modeo ao início da pastificação quando a tensão equivaente (oriunda da combinação das tensões principais, estabeecida pea expressão que o critério propõe) atinge o vaor de duas vezes o vaor da resistência não drenada. As respostas obtidas das anáises dos casos e, apresentadas nas figuras IV. e IV.5, respectivamente, conduzem a esta concusão, pois, próximo da configuração de ruptura, os vaores máximos das tensões equivaentes obtidos são da ordem: 60 e 50 kn/m, respectivamente, para os casos e que possuem os seguintes vaores para a resistência não drenada: 0 e 5 kn/m. Nas figuras IV.4a, IV.4b, IV.6a e IV.6b são apresentados os gráficos com as forças de reação ao ongo do comprimento do eemento de fundação. Tanto no caso como no caso pode-se perceber a ocorrência de respostas inesperadas para as tensões de compressão no trecho onde se verificam a ocorrência de interpenetrações excessivas. Peo fato desta constatação ser imitada a pequeno trecho do comprimento 9

102 da estaca (em ambos os casos), procedeu-se à correção destas respostas através da manutenção da tendência do comportamento das forças de reação percebidas no restante do comprimento do eemento de fundação. Desta forma, apresentam-se os gráficos IV.4b e IV.6b para a observação do comportamento da reação atera. Os vaores máximos obtidos para a reação atera foram 44,7kN/m e 69,75kN/m (6,0c u D e 6,98c u D), para os casos e, respectivamente. Acredita-se que a possibiidade de avanço na anáise incrementa com vaor de carga próximo à carga útima rea do modeo promoveria a obtenção de maiores vaores para a reação atera. Cabe embrar, que o método proposto, ta qua o método de BROMS (964a), propõe 9c u D para este vaor. Outro resutado que também pode ser obtido dos gráficos das figuras IV.4 e IV.6 é a ocaização do ponto de rotação das fundações. A comparação das respostas (modeo proposto e anáise numérica) mostrou-se muito boa em ambos os casos. As figuras IV.5 e IV.7 são de extremo interesse para o estudo em questão. Estas apresentam o comportamento da curva: soicitação horizonta x desocamento de topo. Pode-se perceber que para baixos níveis de carga o comportamento apresenta-se aproximadamente inear, para ambos os casos estudados. Entretanto, à medida em que se aproxima da carga de ruptura do modeo é acentuado o comportamento não inear do soo. Tanto no caso como no caso a carga, referente à apicação do útimo incremento de carga que obteve convergência, aproximou-se significativamente daquea prevista peo método proposto. No primeiro caso, que considera um tubuão com pequena reação L/D, podese perceber que a resposta fornecida peo método de BROMS (964a) é consideravemente diferente da obtida através da anáise via MEF. Já no que concerne ao caso, estaca com uma reação L/D quase duas vezes maior que a reação do tubuão do caso, esta diferença não é tão comprometedora, embora ainda seja significativa. 9

103 Considera-se ainda que os vaores das cargas de ruptura do modeo D, MEF, são, na reaidade, um tanto maiores do que os apresentados nas curvas (o que as aproximariam ainda mais das estimativas do método proposto), haja vista que estes vaores foram tomados das respostas fornecidas peo útimo processo iterativo que atingiu a convergência. Uma discretização mais refinada da maha dos eementos, associada à adoção de maiores vaores para a rigidez de contato, encareceria demasiadamente o custo computaciona. A utiização de um super-computador tavez possa viabiizar a obtenção de respostas referentes a apicação de carga mais próxima à carga de ruptura rea do modeo. As tabeas IV. e IV. trazem um resumo de resutados que também permite o estabeecimento de comparações entre o métodos anaíticos simpificados e o Método dos Eementos Finitos. As respostas obtidas através do método proposto para o momento fetor máximo e para a sua respectiva cota de ocorrência são bastante satisfatórias quando comparados com as respostas obtidas com o MEF. 94

104 CAPÍTULO V CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESUISAS V. CONCLUSÕES Uma nova proposta para se estimar a resistência atera útima de estacas e tubuões em soos argiosos saturados de comportamento não drenado foi apresentada nesta dissertação. A partir do estudo do método cássico de BROMS (964a) observou-se que o seu emprego fornece respostas muito conservativas para eementos de fundação em que se tenha uma reação entre o comprimento e o diâmetro pequena. Aém disso, o método de BROMS (964a) apresenta uma anomaia no que diz respeito ao dimensionamento de fundações com pequena reação entre o comprimento e o diâmetro. Isto foi constatado através da observação dos pontos de mínimo de função apresentados nas figuras II.0 e II.. No método proposto foram concebidas quatro hipóteses que governam o probema, sendo que três destas tiveram as formuações que as governam desenvovidas. A quarta hipótese, que atende ao domínio das estacas com reação L/D menor que três, não foi considerada peo fato de representar reações de geometria sem apicação prática e também por entrar numa faixa do domínio desta reação em que, possivemente, apareceriam tensões significativas na base da estaca. A apicação do método proposto pode ser feita através do emprego das formuações desenvovidas ou através da simpes utiização dos ábacos. Embora as expressões desenvovidas nesta dissertação apresentem-se como sendo mais compexas dos que as correspondentes ao método cássico, entende-se que o emprego dos ábacos pode ser um recurso de grande utiidade caso não se tenha interesse em automatizar os cácuos através de panihas eetrônicas ou da escrita de códigos de 95

105 programação. Esta útima opção se mostra como a mais prática para aquees que demandam a utiização freqüente de aguma metodoogia para se proceder a anáises de estacas e/ou tubuões curtos em soos argiosos (situação não drenada) na configuração de ruptura. Uma comparação entre o método proposto e o método de BROMS (964a) possibiita concuir que: (i) as respostas fornecidas peo método proposto geram souções mais econômicas, uma vez que estas passam a requerer vaores menores para os comprimentos necessários; (ii) a diferença entre as respostas fornecidas peos métodos aumenta com a diminuição da reação L/D ; (iii) o comportamento da reação entre as respostas dos dois métodos, para a resistência atera útima normaizada, é idêntico para todas as reações e/d, ou seja, é independente da reação entre o aforamento e o diâmetro; (iv) a anomaia percebida nas respostas fornecidas por BROMS (964a), verificadas nas figuras II.0 e II., não é constatada nas respostas oriundas do método proposto, ou seja, a curva não apresenta um ponto de mínimo de função, comportando-se como uma função decrescente. Logo, as formuações desenvovidas atendem à necessidade da eiminação desta anomaia e mostram-se adequadas para o emprego nas anáises de tubuões e estacas curtas. Com a finaidade de se obter uma maior vaidação para o método anaítico proposto, foram efetuadas simuações numéricas com o MEF, através de modeagens D. Estas anáises apresentaram-se como sendo bem particuares peo fato de demandarem a utiização dos recursos reacionados com a probemática de contato para o caso de anáise de tensões. Os resutados obtidos se mostraram de grande utiidade para se compreender mehor o comportamento do soo, o que se deu através da observação de aspectos que só poderiam ser visuaizados através de simuações D e que envovessem recursos dos probemas de contato e pasticidade. Pôde-se, então, através de recursos gráficos, observar como se comportam: (i) as regiões de descoamento do soo; (ii) as regiões onde o soo sofre intumescimento; (iii) as tensões na interface entre a base do eemento estrutura e o soo (que se mostraram insignificantes no cômputo das tensões que contribuem com a estabiidade); (iv) o modeo como um todo, no que diz respeito aos desocamentos. 96

106 As previsões do método proposto e as respostas obtidas com as modeagens numéricas D via MEF foram muito próximas, tanto no que diz respeito à carga atera útima, quanto ao momento fetor máximo e à sua respectiva cota de ocorrência. V.. SUGESTÕES PARA FUTURAS PESUISAS No que concerne à probemática das estacas e tubuões soicitados por carga atera, considera-se importante também o estabeecimento de comparações com respostas oriundas de resutados experimentais, advindos de ensaios em escaa natura ou em modeos reduzidos de aboratório. O desenvovimento de outro método, semehante ao efetuado nesta dissertação, para o caso onde se considere a resistência não drenada crescente com a profundidade também se mostra como uma possibiidade de grande interesse prático. A possibiidade de emprego de um super-computador para se proceder às anáises D se mostra como um recurso muito promissor para uma investigação mais acurada do comportamento do soo, principamente quando o mesmo começa a pastificar. A partir do emprego de uma maha bem refinada e da adoção de vaores mais adequados para a rigidez de contato, a utiização de uma máquina robusta poderia favorecer a anáise incrementa até bem próximo à carga de ruptura rea do modeo. A investigação de como acontece a mobiização da resistência do soo em função da apicação dos incrementos de carga também se mostra como um aspecto de grande interesse científico. Apresenta-se também, como possíve tema para futuros trabahos, um estudo comparativo entre as modeagens D e D (aproximação do sistema físico por modeo caracterizado peo probema de muro infinito). Desta forma, poderia ser estudada a infuência do efeito tri-dimensiona para diferentes reações comprimento/diâmetro ( L/D ). 97

107 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALESHIN, V., SELEZNEV, V., 00, Simuation of Soi in ANSYS. 0th CAD- FEM Users Metting 00, Internationa Congress on FEM Technoogy, October 9-, 00, Kutur-und Congress Centrum Graf-Zeppein-Hauss, Friendrichshafen, Lake Constance, Germany, pp. -7. BATHE, K. J., 996, Finite Eement Procedures. ed. New Jersey, Prentice Ha, Inc. BROMS, B. B., 964a, Latera Resistance of Pies in Cohesive Sois, Journa of Soi Mechanics and Foundations Division. ASCE. Vo. 90(), pp. -6. BROMS, B. B., 964b, Latera Resistance of Pies in Cohesioness Sois, Journa of Soi Mechanics and Foundations Division. ASCE. Vo. 90(), pp BROMS, B. B., 965, Design of Lateray Loaded Pies, Journa of Soi Mechanics and Foundations Division. ASCE. Vo. 9(), pp COOK, R. D., 974, Concepts and Appications of Finite Eement Anaysis. ed. New York, John Wiey & Sons. DASTIDAR, A. G., 956, Piot Tests to Determine the Effect of Pies in Restraining Shear Faiure in Cay, Princeton Univ., Princeton, N. J., 956 (unpubished). DESAI, C. S., SIRIWARDANE, H. J., 984, Constitutive Laws For Engineering Materias with Emphasis on Geoogic Materia. ed. New Jersey, Prentice Ha, Inc. HANSEN, J. B., 948, The Stabiizing Effect of Pies in Cay, C. N. Post. November, 948. ( Pubished by Christiani & Niesen, Copenhagen, Denmark). HANSEN, J. B., 96, The Utimate Resistance of Rigid Pies Against Transversa Forces, Buetin No.. Dansish Geothnica Institute, Copenhagen, Denmark, pp

108 HUGHES, T. J. R., 987, The Finite Eement Method Linear Static and Dynamic Finite Eement Anaysis. ed. New York, Dover Pubications, Inc. KIM, B. T., KIM, Y. S., 999, Back Anaysis for Prediction of the Behavior of Lateray Loaded Singe Pies in Sand, Eectronic Journa of Geotechnica Engineering, pp. -. KLAR, A., 00, Mode Studies of Seismic Behavior of Pies in Sands, D.Sc. Research Thesis, Israe Institute of Technoogy, Haifa, Israe. MALVERNS, L. E., 969, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. ed. New Jersey, Prentice-Ha, Inc. MCCLELLAND, B., FOCHT, J. A. Jr., 956, Soi Moduus for Lateray Loaded Pies, JSMFD, ASCE, vo. 86, no. SM5, pp MCKENZIE, T. R., 955, Strength of Deadman Anchors in Cay. Thesis presented to Princeton University, at Princeton, N. J., in 955, in partia fufiment of the requirements for the degree of Master of Science. MOAVENI, S., 999, Finite Eement Anaysis Theory and Appication with ANSYS. ed. New Jersey, Prentice Ha, Inc. POULOS, H. G., DAVIS, E. H., 980, Pie Foundation Anaysis and Design, Wiey, New York. RANDOLPH, M. F., HOULSBY, G. T., 984, The Limiting Pressure on a Circuar Pie Loaded Lateray in Cohesive Soi, Géotechnique 4, No. 4, pp REESE, L. C., COX, W. R., and KOOP, F. D., 974. Anaysis of Lateray Loaded Pies in Sand, Proc., 6th Offshore Technoogy Conf., Vo., Daas, Texas, pp

109 REESE, L. C., COX, W. R., and KOOP, F. D., 975. Fieds Testing and Anaysis of Lateray Loaded Pies in Stiff Cay Proc., 7th Offshore Technoogy Conf., Daas, Texas, pp VELLOSO, D. A., LOPES, F. R., 00, Fundações. Vo., 47 p., ed., Rio de Janeiro, Editora Coppe. 00

110 ANEXO A Neste anexo será apresentada a dedução da equação (7), utiizada para a eaboração do ábaco adimensiona mostrado na figura II.7. Dividindo-se a equação (6) por D, pode-se escrever: L D f f e 0.5 f =.5 (.5 ) (A.) D D D D Dividindo-se, também, ambos os membros da equação () por D, pode-se escrever esta equação da seguinte forma: Put f c D = 9 D (A.) u Sendo assim, uma vez que se conheça o vaor de f/d pode-se determinar o vaor de P ut /(c u D ). A partir desta observação, rescreve-se a equação (A.) do seguinte modo: f D e D 0.5 f L f.5 = D D 4 D (A.) Expandindo-se a equação (A.), pode-se rescrevê-a de modo que se obtenha a seguinte equação do segundo grau: 0

111 0 4 = D L D f D L D e D f (A.4) A partir de (A.4) pode-se estabeecer que: = D L D e D e L D e D L D e D f (A.5) Com base em (A.) chega-se ao seguinte resutado: = D L D e D el D e D L D e D c P u (A.6) 0

112 ANEXO B Neste anexo será apresentada a dedução da equação (8), utiizada para a eaboração do ábaco adimensiona mostrado na figura II.8. Dividindo-se a equação () por c u D, pode-se escrever: M c max ud Put e f = ( ) (B.) c D D D u Dividindo-se, também, ambos os membros da equação () por D, pode-se escrever esta equação da seguinte forma: Put 9 f c. D = D (B.) u Sendo assim, uma vez que se conheça o vaor de f/d pode-se determinar o vaor de P ut /(c u D ). A partir desta observação, rescreve-se a equação (B.) do seguinte modo: M c max ud 9 f e f = ( ) (B.) D D D Expandindo-se a equação (B.), pode-se rescrevê-a de modo que se obtenha a seguinte equação do segundo grau: 0

113 0 9 max = D c M D f D e D f u (B.4) A partir de (B.4) pode-se estabeecer que: max 9 D c M D e D e D f u = (B.5) Com base em (B.) chega-se ao seguinte resutado: max D c M D e D e D c P u u = (B.6) 04

114 ANEXO C São apresentadas neste anexo agumas considerações quanto à determinação das propriedades geométricas dos trapézios seccionados por reta paraea à base inferior, conforme apresentado na figura C.. A compreensão deste desenvovimento se mostra essencia para o bom entendimento das formuações propostas e apresentadas no capítuo III. θ C D θ θ F E θ Figura C. Trapézio Seccionado por Reta Paraea à Base Inferior Dado um trapézio CDEF quaquer, de dimensões H, B e b, ta como indicado, e sendo S a sua respectiva área, ao se seccionar o mesmo por pano paraeo aos ados B e b e conhecendo-se, previamente, a área inferior deimitada pea seção de corte e peos ados do trapézio, pode-se determinar então as dimensões x, h e h, apresentadas na figura C., da seguinte forma: Sabe-se que S = S S (C.) 05

115 H = h h (C.) ( B b) tgθ = (C.) H e x = b tgθ (C.4) h Inserindo-se (C.) em (C.4) tem-se: ( B b) x = b h (C.5) H Sendo S determinado conforme o mostrado abaixo S ( b x) h = (C.6) expicita-se h do seguinte modo h S b x = (C.7) Inserindo-se (C.5) em (C.7) tem-se: 06

116 h = (C.8) b S ( B b) H h grau: Desenvovendo-se a equação (C.8) chega-se à seguinte equação do segundo B b h H bh S = 0 (C.9) Logo, a partir do exposto acima, chega-se ao vaor de h através da determinação da raiz positiva da equação (C.9), sendo esta raiz apresentada abaixo. h = ( H b) ( B b) B b H S H b (C.0) 07

117 ANEXO D Tendo-se em vista a necessidade da determinação do centróide de trapézios ao ongo do desenvovimento das formuações apresentadas no capítuo III, apresenta-se a dedução da formuação desta posição geométrica. Seja determinar a distância CG, centróide de um trapézio, até a maior base do mesmo; sabe-se, que para uma seção quaquer, de área S, subdividida em n outras n sub-áreas S i, com i variando de a n, e S i = S, a grandeza CG pode ser determinada da seguinte forma i= n Si CGi i= CG = S (D.) onde CG i é a distância do centróide da sub-área S i até uns dos eixos passando pea origem do sistema ao qua a grandeza CG também é referenciada, conforme mostra a figura D.. Figura D. Centróide de uma área quaquer 08

118 Apicando-se as afirmações descritas no parágrafo anterior para o caso do trapézio em questão, e conforme o mostrado na figura B., formua-se o seguinte: Figura D. Centróide de um trapézio CG S CG S CG S S = (D.) sendo S = H b ; S ( B b) H = ; H CG = e CG = H ogo H (b B) CG = (D.) ( b B) 09

119 ANEXO E Apresenta-se neste anexo o desenvovimento da formuação da grandeza r-y, que aparece na equação (47) do item III.4, em função da grandeza. Seja o trapézio de área caracterizado peas variáveis abaixo, figura E.. Pode-se, então, escrever r-y, tendo-se em vista a equação (D.) do anexo D, como sendo: CG θ θ Figura E. Dimensões do Trapézio r r tgθ r y = (E.) 6 r tgθ Sabendo-se que a área pode ser definida conforme mostrado abaixo, ( r tgθ ) r = (E.) 0

120 concui-se que: tgθ r r = 0 (E.) Sabendo-se que a grandeza r tem que ser sempre positiva, pode-se determinar que: r = (E.4) tgθ tg θ tgθ r = (E.5) tgθ tgθ tg θ tgθ tg θ Logo, introduzindo-se (E.4) e (E.5) em (E.) tem-se: r y 4 = tgθ tgθ tgθ tgθ (E.6)

121 ANEXO F Neste anexo, a equação (49) será tratada de modo que se possam estabeecer as formuações que permitam determinar o vaor de e, consequentemente, soucionar o probema. A equação (49) também pode ser escrita da seguinte forma: λ λ θ θ θ θ λ max tg tg tg tg f D y M q = (F.) A expressão acima também pode ser escrita como: λ θ θ θ θ λ λ max tg tg tg tg f D y M q = (F.) Continuando-se o desenvovimento, tem-se:

122 [ ] [ ] [ ] tg tg tg tg tg f D tg y M q max = θ λ θ θ θ θ λ θ λ (F.) A equação (F.) também pode ser escrita da seguinte forma [ ] [ ] [ ] tg tg tg tg tg f D tg y M q = max θ λ θ θ θ θ λ θ λ (F.4) Definindo-se: λ α 6 max y M q = (F.5) λ β 6 8 f D = (F.6) pode-se escrever:

123 λ θ α β θ λ θ β α 8 tg tg tg = (F.7) A equação (F.7) também pode ser apresentada como: λ θ β α λ θ α β θ 8 tg tg tg = (F.8) Continuando-se o desenvovimento tem-se: 8 = tg tg tg θ β α λ θ β α λ θ (F.9) A partir da equação (F.9) pode-se obter: 0 4 = tg tg tg β α λ θ β α λ θ β α λ θ (F.0) 4

124 Expandindo-se a equação (F.0) pode-se, através do rearranjo da mesma, chegar ao seguinte poinômio: = θ α θ α θ αβ α θ β θ λ λ θ α θ β θ β λ θ β λ λ θ tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg (F.) 5

125 ANEXO G Neste anexo serão apresentados os cácuos dos casos e do capítuo IV, referentes às anáises feitas peos métodos anaíticos ( BROMS (964a) e o Método Proposto). Para o primeiro caso será mostrado o emprego do ábaco de dimensionamento. No segundo caso será anexada a saída do programa desenvovido (LATPILE) com as automatizações de cácuos, tanto do método cássico como para o método proposto. G. CASO O primeiro caso a ser estudado trata-se de tubuão soicitado ateramente em soo argiosos com os seguintes dados de projeto: Carga de Ruptura [P (kn) ] = a estimar Diâmetro [D (m) ] = 0.8 m Comprimento [L (m) ] =.80 m Aforamento [e (m) ] = 0.4 m Coesão [c u (kn/m ) ] = 0.0 A partir dos dados de projeto pode-se estabeecer os parâmetros adimensionais necessários: L.80 = = D e D = = 0.5 6

126 Para o método cássico de BROMS (964a) procede-se conforme o mostrado na figura G..: Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut /c u.d e/d= Parâmetro Geométrico Adimensiona - L/D 0 Figura G.. Utiização do Ábaco do Método de BROMS (964a) Desta forma tem-se: P ut = 6.5 cud ogo P =0.0 kn ut 7

127 Para o método proposto procede-se conforme o mostrado na figura G..: Resistência Latera Útima Adimensiona - P ut /cu.d e/d= Parâmetro Geométrico Adimensiona - L/D Figura G.. Utiização do Ábaco do Método Proposto Desta forma tem-se: P ut = 8.98 cud ogo P =7.4 kn ut * Obs.: Embora se tenha apresentado o emprego dos ábacos adimensionais, as respostas fornecidas acima foram obtidas através das equações anaíticas programadas no programa LATPILE. 8

128 G. CASO O segundo caso a ser estudado trata-se de estaca soicitada ateramente em soo argiosos com os seguintes dados de projeto: Carga de Ruptura [P (kn) ] = a estimar Diâmetro [D (m) ] = 0.4 m Comprimento [L (m) ] =.00 m Aforamento [e (m) ] = 0. m Coesão [c u (kn/m ) ] = 5.0 Na página seguinte encontra-se a saída computaciona referente a utiização do programa LATPILE: 9

129 ************************************************************************* * UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - COPPE - ENGENHARIA CIVIL * * * * MESTRADO - ESTRUTURAS * * * * TITULO TESE: PROPOSICAO DE METODOLOGIA PARA A ESTIMATIVA DA * * RESISTENCIA LATERAL ULTIMA DE ESTACAS E TUBULOES CURTOS * * EM SOLOS ARGILOSOS * * * * ALUNO: ANTONIO JOSE SILVA MACIEL * * * * ORIENTADORES: * * WEBE JOAO MANSUR * * FERNANDO ARTUR BRASIL DANZIGER * * * * PROGRAMA LATPILE ANALISE DE ESTABILIDADE * * DE ESTACAS E TUBULOES CURTOS * ************************************************************************* UANTIDADE DE ANALISES = 00 ENTRADA DE DADOS ()MANUAL ()INCREMENTAL = INCREMENTO RELATIVO NO CARREGAMENTO *************** DADOS DO PROBLEMA ************** Anaise P(kN) cu(kn/m) D(m) e(m)

130 **************************************** MÉTODO CLASSICO DE BROMS ***************************************** Anaise P(kN) cu(kn/m) D(m) e(m) Mmax(kN.m) L(m) e/d L/D P/cu.D^ M/cu.D^

131 ****************************************************** METODO PROPOSTO ************************************************ Anaise P(kN) cu(kn/m) D(m) e(m) HIP Mmax L(m) E/D L/D P/cuD^ M/cuD^

132

133 ANEXO H Para a caibragem da probemática de contato utiizou-se os dados contidos nas figuras H.a e H.b, para o Caso ; e H.c e H.d para o Caso. CASO I Figura H.a Parâmetros empregados para probema de contato Figura H.b parâmetros empregados para probema de contato 4

134 CASO II Figura H.c Parâmetros empregados para probema de contato Figura H.d Parâmetros empregados para probema de contato 5