A variable limit for the instability parameter of wall-frame or core-frame bracing structures

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1 Voume 5, Number (February, 0) p ISSN A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures Um imite variáve para o parâmetro de instabiidade de estruturas de contraventamento formadas por associações de pórticos com paredes ou núceos R. J. ELLWANGER a rjewanger@pop.com.br Abstract This work aims to investigate the viabiity and convenience of adopting a variabe imit a for the instabiity parameter of buidings with reinforced concrete wa-frame or core-frame structures. Initiay, the evoution of ta buidings goba stabiity theory is summarized, giving emphasis to define when a second order anaysis is needed. The treatment given to this subject by the present Braziian code for concrete structures design (NBR 68:007) is aso showed. It foows a detaied anaytica study that ed to the derivation of an equation for the variabe imit a ; a series of eampes is presented to check its accuracy. Resuts are anayzed, showing the vaidity bounds of the equation and research directions are suggested, in order to improve it. Keywords: instabiity, bracing structures, second order. Resumo O presente trabaho tem por objetivo investigar a viabiidade e a conveniência de se adotar um imite variáve a para o parâmetro de instabiidade de edifícios com estruturas de concreto armado, constituídas por associações de pórticos com paredes ou núceos. Iniciamente, é feito um resumo da evoução da teoria sobre a anáise da estabiidade goba de edifícios atos, especiamente sobre a definição da necessidade ou não de se reaizar uma anáise de segunda ordem; mostra-se também como esta questão é tratada pea atua norma de projeto de estruturas de concreto (NBR 68:007). Na seqüência, apresenta-se um detahado estudo anaítico que evou ao estabeecimento de uma fórmua para o imite variáve a, seguido de uma série de eempos para testar a vaidade da mesma. Os resutados são anaisados, mostrando-se os imites de vaidade da fórmua e indicando-se inhas de investigação no sentido de aperfeiçoá-a. Paavras-chave: instabiidade, estruturas de contraventamento, segunda ordem. a Professor Associado, Departamento de Engenharia ivi, Universidade Federa do Rio Grande do Su, e-mai: rjewanger@pop.com.br, endereço posta: Rua Marceo Gama 89/40, EP , Porto Aegre-RS, Brasi. Received: 4 Sep 0 Accepted: 8 Nov 0 Avaiabe Onine: 0 Feb 0 0 IBRAON

2 R. J. ELLWANGER. Introdução. Os efeitos de segunda ordem em estruturas de edifícios Dependendo de seu grau de deformabiidade, a estrutura de contraventamento de um edifício, quando submetida simutaneamente a ações verticais e de vento, pode desenvover efeitos adicionais em reação àquees que são usuamente determinados em uma anáise inear ou de primeira ordem (na qua o equiíbrio é estudado na configuração geométrica inicia da estrutura). Tratam- -se dos efeitos de segunda ordem, em cuja determinação devem ser considerados o comportamento não inear dos materiais (não inearidade física) e a configuração deformada na anáise do equiíbrio (não inearidade geométrica). O trabaho de Beck e König [], apresentado em 967, representou um marco histórico no desenvovimento da teoria e prática da anáise da estabiidade goba de edifícios atos. Foi estabeecido um critério, de grande simpicidade de apicação, o qua determina que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 0% em reação aos efeitos de primeira ordem. Foi adotado um modeo simpificado para o sistema de contraventamento, mostrado na figura. Iniciamente, é feito o agrupamento de todas as subestruturas de contraventamento num único piar e de todos os eementos contraventados (eementos portantes que não participam do contraventamento) num conjunto de barras bi-rotuadas, conforme mostrado na figura -a. É admitida uma distribuição uniforme de taa w para as ações do vento. P e V representam as ações verticais ais, por andar, transmitidas, respectivamente, às subestruturas de contraventamento e aos eementos contraventados. As ações w, P e V são consideradas com seus vaores característicos. Em seguida, para possibiitar a determinação dos efeitos de segunda ordem por meio da técnica do meio contínuo, adota-se um sistema aproimado equivaente, mostrado na figura -b, no qua se admite uma distribuição contínua e uniforme de andares e ações verticais (p P/h e v V/h). om reação à infuência das ações V, atuantes nos eementos contraventados, Beck e König [] mostraram que, quando o sistema se deforma ateramente, forças horizontais são transmitidas através das barras dos pavimentos ao sistema de contraventamento, fazendo aumentar o momento fetor na base do mesmo. Pode-se mostrar que este aumento é igua à soma dos produtos das forças V peos desocamentos horizontais dos respectivos pavimentos. Portanto, no que se refere à determinação deste momento fetor, incuindo os efeitos de segunda ordem, tudo se passa como se as cargas verticais atuantes no sistema de contraventamento fossem dadas pea soma de suas próprias ações P com as ações V. Em 978, o critério proposto por Beck e König [] passou a fazer parte das recomendações do omité Euro-Internationa du Béton (EB []). A apicação do mesmo consiste em comparar os momentos fetores gobais na base do sistema de contraventamento M I (considerando apenas os efeitos de primeira ordem) e M II (incuindo os efeitos de segunda ordem): II I M, M () Figura Modeo simpificado do sistema de contraventamento A B IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

3 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures ou 75, w 75, (p v) - 8EJ w, 75, () Observe-se que M I e M II são devidos a ações de cácuo, uma vez que as taas w, p e v estão majoradas peo coeficiente,75. Por outro ado, a não inearidade física é considerada, tomando-se para a rigidez dos eementos estruturais o vaor EJ 0,7 E cm J, onde E cm J representa a soma das rigidezes das subestruturas de contraventamento no estádio I (sem fissuração). Assim, efetuando esta substituição e reaizando os devidos agebrismos, chega-se à condição: ( p v) /( Ecm J ) 0,54 () Segundo Vasconceos [], os resutados obtidos por Beck e König [] só poderiam ser apicados a estruturas de edifícios cuja rigidez atera se concentrasse em poucos piares, igados rigidamente entre si, de maneira a poderem ser considerados equivaentes a um piar único, como o da figura. A correspondência deste modeo com outros tipos de contraventamento (paredes de seção variáve, pórticos etc.) passou a ser feita através da iguadade dos desocamentos horizontais provocados peas ações horizontais. O piar equivaente seria aquee com um fator de rigidez EJ ta que resutassem os mesmos desocamentos horizontais ocorridos na estrutura em consideração, para o mesmo carregamento horizonta. Para fins de simpificação, passou-se a determinar esta rigidez equivaente com base na atuação de uma carga horizonta unitária no topo do edifício. No Brasi, o procedimento passou a ser utiizado com a ateração do coeficiente majorador de,75 para,40 vide, por eempo, Sussekind [4] passando a ser conhecido por teste de robustez mínima. Em conseqüência, a inequação () aterou-se para: ( p v) /( ES-8J I ) 0,60 (4) onde E S-8 é o móduo de easticidade secante do concreto aos 8 dias e J I a soma das inércias das subestruturas de contraventamento no estádio I. Em 985, Franco [5] propõe que a rigidez do piar equivaente seja determinada com base na atuação de uma carga horizonta uniformemente distribuída, no ugar da carga unitária concentrada no topo. Aém disso, preconiza que a forma da inha eástica da estrutura de contraventamento pode afetar a apicação do critério de Beck e König []. Assim, o coeficiente numérico à direita da inequação (4) seria definido em função do tipo de contraventamento: n paredes ou núceos: coeficiente 0,7; n associações de paredes ou núceos com pórticos: coeficiente 0,6; n ecusivamente pórticos: coeficiente 0,5. Em 995, Franco [6], tratando da consideração da não-inearidade física através da redução das rigidezes dos eementos estruturais, propõe vaores para esta redução, diferenciados para ajes, barras de piares e de vigas com armadura simétrica e assimétrica. Apesar de não fazer parte do escopo do presente trabaho, merece menção o método baseado no coeficiente de ampificação de momentos g z, apresentado em 99 por Franco e Vasconceos [7]. Ee também apica o critério do acréscimo de 0% em reação aos efeitos de ª ordem para definir a necessidade ou não de uma anáise de ª ordem; aqui, porém, isto é feito para cada combinação entre ações horizontais e verticais. Aém disso, sob certas condições, o próprio método pode se constituir em uma anáise de ª ordem. Estas características fizeram com que este método fosse rapidamente difundido e passasse a ser ampamente utiizado no projeto de estruturas de edifícios.. Prescrições da ABNT NBR 68 A NBR 68 (ABNT [8]), atua norma para projeto de estruturas de concreto, incorporou a idéia fundamenta contida em [] e [], ao estabeecer, em sua seção 5, que os efeitos gobais de segunda ordem são desprezíveis quando inferiores a 0% dos respectivos efeitos de primeira ordem (estrutura com nós fios). Para verificar a possibiidade da dispensa da consideração dos esforços gobais de segunda ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser cassificada como de nós fios, sem a necessidade de cácuo rigoroso, a ABNT [8] apresenta dois processos aproimados, baseados respectivamente no parâmetro de instabiidade e no coeficiente g z. O primeiro consiste justamente na apicação do critério de Beck e König [] e estabeece que: Uma estrutura reticuada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fios se seu parâmetro de instabiidade a for menor que o vaor a, conforme as epressões: a N k /( E I ) S a 0, 0, n ' n Ù a 0,6 ' n ³ 4 (5) (6) n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um níve pouco desocáve do subsoo. é a atura a da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um níve pouco desocáve do subsoo. N k é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do níve considerado para o cácuo de ), com seu vaor característico. E S I representa o somatório dos vaores de rigidez de todos os piares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treiças ou mistas, ou com piares de rigidez variáve ao ongo da atura, pode ser considerado o vaor da epressão E S I de um piar equivaente de seção constante. A determinação desta equivaência será vista na seção.. I é o momento de inércia considerando as seções brutas dos piares. E S é o móduo de easticidade secante, epresso por: E S / 0,85Ei 0, fck (7) IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

4 R. J. ELLWANGER E S, E i (móduo de easticidade tangente) e f ck (resistência característica à compressão) são dados em MPa. A norma NBR 68 também incorporou as proposições de Franco [5], ao estabeecer diferentes vaores de a em função do tipo de estrutura de contraventamento: O vaor imite a 0,6 prescrito para n > 4 é, em gera, apicáve às estruturas usuais de edifícios. Pode ser adotado para associações de piares-parede e para pórticos associados a piares-parede. Pode ser aumentado para a 0,7 no caso de contraventamento constituído ecusivamente por piares-parede e deve ser reduzido para a 0,5 quando só houver pórticos. Em uma anáise de segunda ordem, devem ser considerados simutaneamente os efeitos das não-inearidades física e geométrica. A ABNT [8], em seu item 5.7., permite que, na obtenção dos esforços gobais de segunda ordem em estruturas reticuadas com quatro ou mais andares, a não-inearidade física seja considerada de forma aproimada. Isso se dá mediante uma redução das rigidezes dos eementos estruturais em função de E i I, ou de E S I se for apicada a equação (7). Representando as áreas das armaduras ongitudinais de tração e de compressão, respectivamente, por A s e A s, resutam as seguintes epressões para as rigidezes reduzidas: n ajes: ( EI) sec 0,E I 0, 5E n vigas: i ' ( EI ) sec 0,4 Ei I 0, 47ES I ' As ¹ As ' ( EI ) sec 0,5 Ei I 0, 588ES I ' As As n piares: ( EI) sec 0,8 E I 0, 94E i S S I I (8) (9) (0) () Aém disso, quando a subestrutura de contraventamento for constituída ecusivamente por vigas e piares (pórtico) e o coeficiente de avaiação da importância dos esforços de segunda ordem goba (g z ) for menor que, (o que corresponde a uma não-inearidade branda ), permite-se considerar a rigidez do conjunto de barras do pórtico como sendo: ( EI) sec 0,7 E I 0, 84E i S I (). Justificativa e objetivos da pesquisa Ao introduzir em seu teto os processos para verificação da dispensa de consideração dos efeitos gobais de ª ordem, a ABNT [8] representou um avanço em reação à norma anterior. No que diz respeito ao parâmetro de instabiidade para edifícios com quatro ou mais andares, deu um tratamento diferenciado aos diferentes tipos de sistemas de contraventamento, ao fiar diferentes vaores para o imite a. Todavia, a prescrição de um imite fio (a 0,6) para as associações de paredes e/ou núceos com pórticos é questionáve. À medida que pode variar a reação entre as rigidezes de pórticos e paredes/núceos, a também pode variar entre 0,5 e 0,7. Isto pode acarretar dois tipos de erros: a favor da segurança: em associações com predominância de paredes, a norma imita a em 0,6, quando poderia ser adotado um vaor maior, possivemente próimo de 0,7; contra a segurança: no caso de associações com predominância de pórticos, quando deveria ser adotado um vaor menor do que 0,6, possivemente próimo de 0,5. Esses erros, se epressos em função de a, aparentemente são pequenos. Todavia, convém embrar que a determinação do parâmetro de instabiidade envove a etração de uma raiz quadrada. onsequentemente, ao se verificar a dispensa da necessidade de uma anáise de ª ordem, o erro na determinação da rigidez necessária pode tornar-se reevante. Este trabaho tem por objetivo pesquisar uma forma de definição do imite a do parâmetro de instabiidade para associações de pórticos com paredes e/ou núceos, variáve com a reação entre as rigidezes dos mesmos. Iniciamente, é apresentada a formuação do comportamento inear dessas associações. Segue-se um estudo anaítico sobre o comportamento não-inear geométrico de paredes/núceos e pórticos isoados e, após, da associação entre os mesmos. O estudo tem por base o modeo simpificado apresentado na seção., sendo apicado o critério epresso pea inequação (); as equações diferenciais são resovidas peo método de Gaerkin. A fórmua deduzida para o imite variáve a é então testada em uma série de eempos de edifícios contraventados por associações de paredes com pórticos. São reaizados 88 testes, variando-se os números de andares, de vãos dos pórticos e a proporção entre as rigidezes de pórticos e paredes.. Anáise inear. Equivaência entre as subestruturas de contraventamento As subestruturas do tipo paredes ou núceos caracterizam-se por serem bastante rígidas ao esforço cortante, predominando as deformações por feão. Eas podem ser modeadas por simpes barras, engastadas na base do edifício, comportando-se como piares. A figura -a mostra uma parede ou núceo modeado por uma barra engastada-ivre, de comprimento e submetida a uma carga horizonta uniformemente distribuída de taa w. Representando por E, J e M(, respectivamente, o móduo de easticidade ongitudina do materia, o momento de inércia da seção transversa IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

5 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures Figura Barras equivaentes às subestruturas de contraventamento A Parede ou núceo B Pórtico pano (constante) e a função de momentos fetores, pode-se epressar a equação diferencia da inha eástica: E J d y / E J df / M ( w( - / () onsideram-se positivos os momentos causando tração no ado esquerdo da barra, ficando a concavidade da deformada votada para a direita; é sua decividade. Introduzindo-se as condições de contorno apropriadas, obtem-se y( e o desocamento horizonta no topo D : 4 é ö ù êç æ 4 w 4 y( - - ú 4EJ êë è ø ú D y( ) w / 8EJ 4 (4) (5) Nas subestruturas do tipo pórtico pano, predominam as deformações por feão das barras individuais de viga e piar. Quando o pórtico é submetido às ações horizontais, o momento fetor goba é predominantemente absorvido na forma de esforços normais nos piares, para os quais a estrutura proporciona uma grande rigidez. Por outro ado, é o esforço cortante goba que causa a maior parte das deformações horizontais da estrutura. Portanto, os pórticos podem ser modeados como barras verticais etremamente rígidas ao momento fetor goba, nas quais predominam deformações por corte. A figura -b mostra um pórtico pano submetido a uma carga horizonta uniformemente distribuída de taa w. Ee é modeado por uma barra vertica com predominância de deformações por corte. onforme é mostrado na figura, a deformada desta barra caracteriza-se por uma decividade máima junto à base e tendendo a zero no topo, justamente o contrário do que ocorre com a deformada da barra simuando a parede ou núceo. Esta decividade está reacionada com as diferenças entre desocamentos horizontais de andares adjacentes as quais, por sua vez, são proporcionais ao esforço cortante goba Q(. onforme Stamato [9], a deformada para este caso é descrita pea equação: S dy / S Q( w( - (6) A constante de proporcionaidade S representa a rigidez do sistema (pórtico pano) ao esforço cortante goba; ea é anáoga ao fator G A / c de uma barra com deformação por corte, onde G, A e c são, respectivamente, o móduo de easticidade transversa, a área e o coeficiente de forma da seção transversa. Resovendo-se a equação (6), obtem-se y( e o desocamento horizonta no topo: D y( ) w / S (7) As reações estabeecidas nesta seção têm por objetivo obter a inércia de uma barra equivaente a um pórtico pano. O item 5.5. da ABNT [8], ao tratar do parâmetro de instabiidade, estabeece uma metodoogia de determinação do fator E S I de um piar de seção constante, equivaente a um dado pórtico pano. Segundo esta metodoogia, a referida rigidez deve ser obtida cacuando-se, iniciamente, o desocamento horizonta no topo da estrutura de contraventamento (pórtico) sob a ação do carregamento horizonta, que vem a ser o D dado por (7). Em seguida, obtem-se a rigidez de um piar equivaente de seção constante ta que, sob a 4 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

6 R. J. ELLWANGER Figura Associação de pórticos com paredes ou núceos ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo desocamento horizonta no topo o que, neste caso, vem a ser o D da equação (5). Isto impica na iguadade entre as duas epressões, o que eva a: Apresenta-se nesta seção a formuação da resposta inear das associações de pórticos com paredes/núceos, para que a mesma seja posteriormente utiizada peo método de Gaerkin na obtenção de uma soução aproimada para o comportamento não-inear das mesmas. A figura -a mostra o modeo simpificado de um sistema de contraventamento formado por subestruturas dos tipos pórtico e parede/núceo. O modeo consiste numa parede (representando todas as paredes e núceos do sistema) e num pórtico (representando todos os pórticos do sistema) igados entre si por bieas (representando as ajes dos pavimentos). É admitida uma distribuição uniforme de taa w para as ações do vento. EJ representa a rigidez do conjunto de pórticos, conforme a equação (8). EJ representa a rigidez do conjunto de paredes/núceos. As figuras -b e -c mostram as ações às quais estarão submetidos a parede e o pórtico, respectivamente. Estas ações consistem em forças concentradas no topo (Q T para o pórtico e Q T para a parede) e em forças distribuídas que podem ser decompostas em parceas constantes e variáveis. As parceas constantes (w para o pórtico e w para a parede) são tais que w w w. As parceas variáveis com a atura (taa (u( para o pórtico e u( para a parede), juntamente com as ações Q T, representam forças internas decorrentes da interação entre a parede e o pórtico, os quais, por estarem igados peas bieas, ficam impedidos de desenvover suas deformadas naturais, mostradas na figura -d. O pórtico estará submetido a uma distribuição de esforços cortantes gobais dada por: S 4E J / (8) Q( w ( - QT u( (9). Associação de pórticos com paredes e/ou núceos onforme foi visto na seção., o comportamento do pórtico é descrito pea equação (6). Escrevendo esta equação, introduzindo (8) e (9) e isoando as parceas referentes às forças internas, obtem-se: Q 4EJ u( ) - w ( T - (0) Por sua vez, a parede estará submetida a uma distribuição de momentos fetores dada por: M ( w ( - / - Q T ( - - u( )( - () onforme também foi visto na seção., o comportamento da parede é descrito pea equação (). Escrevendo esta equação, entrando com M( dado por () e derivando ambos os membros, obtem-se sucessivamente: EJ df w ( - / - Q T ( - - u( )( - () IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº 5

7 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures EJ d f - w ( - Q Substituindo (0) em () e rearranjando: T u( ) (). O método de Gaerkin Em muitos probemas de Engenharia, como os apresentados nas próimas seções, surge a necessidade de se resover uma equação do tipo L(y) 0, onde L é um operador diferencia, cuja soução satisfaz a condições de contorno homogêneas. O método de Gaerkin consiste em obter uma soução aproimada, na forma: d f 4EJ EJ - w ( - w ( - 0 (4) å y( a j ( n i i i ) (8) onsiderando que w w w (ação a de vento atuante no sistema), definindo uma nova variáve K J /J, pode-se epressar a soução da equação (4) na forma: onde: K / -K/ w e e ( - 4EJ K w e 8EJ K e - w Ke 8EJ K e - K e K (5) (6) (7) onde ϕ i ( (i,,..., n) são funções, escohidas previamente e satisfazendo às mesmas condições de contorno; os a i são coeficientes a serem determinados. As n funções ϕi ( devem ser inearmente independentes e pertencer a um sistema, representado por { ϕ i ( } (i,,..., n) e dotado da propriedade de penitude no domínio da soução. Para que y ( seja a soução eata da equação dada, é necessário que L( y ) seja identicamente nuo. Esta condição, se L( y ) for contínuo, é equivaente à condição de ortogonaidade entre a epressão de L( y ) e todas as funções ϕ i ( (i,,..., n). Todavia, tendo disponíveis apenas n constantes a i, podem-se satisfazer somente a n condições de ortogonaidade. Apicando estas condições, obtem-se o seguinte sistema de equações: æ n ö L,,..., n) D ç è j ø ( y( ) j ç i ( L åa jj j( ji ( 0 ( i D (9) A soução deste sistema (inear, no caso de L ser um operador inear) fornece os vaores dos coeficientes a i, a partir dos quais se chega à soução aproimada y (. A demonstração da convergência, bem como considerações mais detahadas sobre o método de Gaerkin podem ser vistas em Kantorovich e Kryov [0]. Figura 4 Infuência das deformações na resposta da estrutura A Barra equivaente ao contraventamento B Deformação por corte a níve infinitesima 6 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

8 R. J. ELLWANGER 4. Dispensa da consideração dos efeitos de segunda ordem As seções 4. e 4. apresentam a formuação do comportamento não-inear geométrico, respectivamente, de conjuntos de paredes/ núceos e de pórticos. Para ambos os casos, são deduzidos os imites a do parâmetro de instabiidade, confrontando-os com os vaores prescritos pea ABNT [8]. A seção 4. reaiza o mesmo para as associações destes tipos de subestruturas, obtendo-se uma epressão para o imite variáve a, objetivo principa deste trabaho. A figura 4-a mostra a deformada de uma barra equivaente a um sistema de contraventamento, submetida a cargas uniformemente distribuídas de taas w e q, respectivamente, nas direções horizonta e vertica; q é dado pea soma das taas p e v da figura -b. Levando em consideração a deformação da barra (não-inearidade geométrica) e representando por Y a função primitiva dos desocamentos y(, o momento fetor será dado por: método de Gaerkin. Assumindo que esta soução seja proporciona à devida ecusivamente aos efeitos de primeira ordem, pode-se escrever: é æ ö ù aj ( a ê - ç - ú êë è ø ú (5) onde ϕ ( ) foi obtido derivando-se a equação (4) em reação a e suprimindo-se a constante que ficaria em evidência. Apicando a equação (9) com n, obtem-se sucessivamente: 0 ( a j ( ) j ( 0 L( f) j ( L 0 (6) M ( w( - / q[ y( ) - y( ] (0) ï ì ï ü 6EJa ù ( ) ( ) ú ú ù ê ê é æ ö í ú - ý - ç - ê ê é æ ö æ ö ç ç - ø q a w 0 è è ø ú è ø ïî ë ïþ ë 0 (7) ou Efetuando-se a integração e isoando a, resuta: [ ( ) -Y( - ( y( ] M ( w( - / q Y - () a 4w 4EJ - q (8) onsiderando que y(0) 0, o momento fetor na base será epresso por: [ ( ) Y(0) ] M (0) w q Y - 4. Subestruturas do tipo paredes ou núceos () Substituindo (8) em (5), obtem-se a soução aproimada: 4w 4EJ - q é æ ö ù ê - ç - ú êë è ø ú (9) Integrando (9) em reação a e apicando a condição de desocamento nuo na base, obtem-se a função dos desocamentos. Integrando novamente, obtem-se: No caso de contraventamento formado ecusivamente por paredes e/ou núceos, a equação diferencia da inha eástica será obtida substituindo-se M( dado por () na equação (): 4 w é ö ù Y ê ç æ 5 ( ) ú 4EJ - q êë 5 è ø ú (40) [ ( ) -Y( - ( y( ] E J d y / w( - / q Y - () onde é a constante de integração. O momento fetor na base pode ser obtido, combinando-se as equações () e (40): Derivando-a em reação a e considerando que as rotações são dadas por dy/, a equação () transforma-se em: w qw M ( 0) 5(8EJ - q ) 5 (4) E J d f q( - w( - 0 (4) Pode-se obter uma soução aproimada para a equação (4) por meio do A equação (4) pode ser transformada sucessivamente em: w æ 4q M (0) ç è 5(8EJ -q ö ) ø w 8EJ - q / 5 8EJ - q (4) IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº 7

9 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures A condição de que, no estado imite útimo (cargas majoradas em,4), os efeitos de ª ordem não podem superar em mais de 0% os efeitos de ª ordem (inequação ()), é apicada ao momento fetor na base, obtendo-se: dm Q( - ds - dm w( - q( - f ( f ( (48),4w 8EJ -,4q /5 8EJ -,4q,4w, (4) Trata-se de um esforço cortante incinado, conforme mostra a figura 4-b. A deformação por corte provocado por ee tem a mesma incinação, sendo dada, a níve infinitesima, por: Os termos w, em evidência em ambos os ados da inequação, desaparecem. Efetuando-se os devidos agebrismos, obtem-se: q / EJ 0,649 (44) omo uma parede ou núceo tem comportamento equivaente ao de um piar, a consideração da não-inearidade física pode ser feita adotando-se para EJ a epressão 0,94 E S I, de acordo com a equação (). Por outro ado, embrando que q é a carga vertica a N k e que é a atura, a inequação (44) transforma-se em: dy dy dy dy cosf ds f f (49) Ao estabeecer a equação diferencia da inha eástica para este caso, devem-se reaizar duas adaptações em reação à equação (6): entrar com dy/cosf, dado por (49), no ugar de dy e com Q( dado por (48). Desta forma, obtem-se: dy f ( Q( S w( - q( - S f ( (50) Nk / ESI 0,5974 Etraindo a raiz quadrada de ambos os membros: (45) Assim: dy w( - q( - S[ f ( ] (5) N k / ESI 0,77 (46) A inequação (46) indica, assim, um vaor a 0,77. Por sua vez, a ABNT [8] permite que seja aumentado para até 0,7 o coeficiente a, quando o contraventamento for constituído ecusivamente por paredes ou núceos. 4. Subestruturas do tipo pórticos panos No caso de contraventamento formado ecusivamente por pórticos, a barra equivaente da figura 4-a terá predominância de deformações por corte. Também neste caso, a epressão das soicitações deve evar em consideração a configuração deformada. Pode-se provar que os infinitésimos ds e da figura 4-b estão reacionados por: ds dy ( dy ) f (47) O esforço cortante pode ser obtido a partir da derivação da equação () em reação ao eio deformado da barra. Introduzindo ds dado por (47), obtem-se: Nos casos de que trata o presente trabaho, isto é, de não-inearidade geométrica branda, as rotações apresentam vaores bem menores do que a unidade; portanto, f ( pode ser desprezado na presença de e a equação (5) pode ser posta na forma: S w( - q( - Isoando : w( - S - q( - (5) (5) Integrando a equação (5) em reação a e apicando a condição de desocamento nuo na base, obtem-se a função dos desocamentos. Integrando novamente, obtem-se: Sw Sw w Y( q q q [ S - q( - ] { n[ S - q( - ]-} - n(s - q) - ( ) (54) 8 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

10 R. J. ELLWANGER onde é a constante de integração. Apicando a equação (54) para 0 e, pode-se epressar a diferença: Y( ) - Y( S w S ) n q S - q 0 w æ - ç q è S q ö ø (55) Assim, o momento fetor na base pode ser epresso, substituindo- -se a equação (55) na (): w M( ) S w S æ S ö S w Sw n - w n - q S q ç q - è ø q - q / S q 0 (56) Apicando-se a este momento fetor a condição epressa pea inequação (), resuta: das vigas para a deformação atera de um pórtico pode chegar a 65%, restando 5% devidos à feibiidade dos piares. Assim, considerando a situação de projeto de um pórtico esbeto (na qua a predominância dos efeitos do vento eva a uma tendência de iguadade entre as armaduras A s e A s das vigas), podem-se utiizar as equações (0) e () para reacionar as parceas dos desocamentos horizontais do pórtico com a consideração da não-inearidade física (y NL ), reativas às vigas (y NL VIGAS ) e aos piares (y NL PILARES ), com as correspondentes parceas (y L VIGAS ) e (y L PILARES ) dos desocamentos horizontais resutantes da anáise inear (y L ). Simutaneamente, podem-se apicar as recém mencionadas proporções de 5% e 65% de participação destas parceas em reação aos desocamentos ais, resutando as seguintes epressões: PILARES PILARES yl y NL 0,94 0,5yL 0,94 (6), 4 S w n, 4 q -, 4q S, 4 Sw -, 4 q w,, 4 (57) VIGAS VIGAS yl y NL 0,588 0,65yL 0,588 (6) Efetuando-se os devidos agebrismos, a inequação (57) transforma-se em:, 4(q /S) n - -, 4q /S q/s 0 77, (58) Tomando-se o fator q/s como incógnita, pode-se resover a inequação (58) por meio de tentativas, obtendo-se: Em seguida, efetuando a soma das parceas epressas por (6) e (6), obtem-se a seguinte reação entre os desocamentos horizontais ais y NL e y L :,5yL 0,65yL y NL 0,94 0,588 y 0,677 0 L (6) omo a rigidez atera do pórtico é inversamente proporciona a esses desocamentos, pode-se escrever: q / S 0,096 (59) ( EI ) sec 0, 677 E S I (64) Substituindo S pea epressão (8), resuta: q /EJ 0, 848 (60) De acordo com a ABNT [8], a não-inearidade física poderia ser considerada, substituindo-se EJ por (EI) sec dado por (). Todavia, a reação (EI) sec / E S I do conjunto de barras do pórtico, como uma função das reações (EI) sec / E S I das barras individuais, não pode ser considerada fia; ea pode variar em função de vários fatores, como número e atura dos andares, número e etensão dos vãos, reação entre as dimensões transversais de vigas e piares etc. Pinto e Ramaho [] mostram que a infuência da não inearidade física na rigidez atera dos pórticos depende principamente das taas de armadura e da magnitude do carregamento apicado, tendo obtido reações (EI) sec / E S I para o estado imite útimo variando entre 0,5 e 0,75. Por outro ado, Schueer [] afirma que a contribuição da feibiidade onsiderando esta epressão de (EI) sec e seguindo a mesma inha dedutiva que evou às inequações (45) e (46), obtem-se: N k / ESI 0,5 (65) Observe-se a coerência desta inequação com a ABNT [8], a qua fia em 0,5 o coeficiente a, quando o contraventamento for constituído ecusivamente por pórticos. Na verdade, para obter-se a 0,5, dever-se-ia ter: ( EI ) sec 0,650 E I 0, 55 E S i I (66) IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº 9

11 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures 4. Associações de pórticos com paredes e/ou núceos É adotado o mesmo modeo da figura e são consideradas as mesmas definições da seção.. Ao estabeecer a equação diferencia da inha eástica para o conjunto de pórticos (figura -c), apica-se a equação (50), acrescentando ao esforço cortante as parceas reativas às forças de interação entre paredes e pórticos, ta como foi feito na equação (9): w ( - Q u( ) d q ( ( Q( T - f f ( S S f ( (67) onsiderando que f ( pode ser desprezado na presença de e isoando as parceas referentes às forças de interação: Q T u( ) S - w ( - - q ( - (68) Ao estabeecer a equação diferencia da inha eástica para o conjunto de paredes (figura -b), entra-se com o momento fetor dado por () acrescido das parceas reativas às forças de interação, ta como foi feito na equação (): ( - - QT ( - - u( )( - q ) w [ Y ( ) -Y ( - ( - y( ] Derivando a equação (69) em reação a, obtem-se: EJ d y (69) soução inear, epressa peas equações (5), (6) e (7): é K / -K / w ù f ( ê e e ( - ú ë 4EJ Substituindo (7) em (7), resuta: é K / -K / w ù EJ f "( ê e e ( - ú ë 4EJ ék EJ f '( ê ë f ( K / -K / w ù K / -K / ( e - e )- EJ f ( ( e e )- ú 4EJ ) é ê ë w ú 4EJ K / -K / [ S - q( - ] e e ( - w( - 0 ù (7) (74) Assumindo que seja uma função constante, impica em serem nuas a primeira e a segunda parceas da equação (74), uma vez que eas estão com as derivadas f ( e f ( em evidência. Aém disso, considerando a definição já eistente de K, bem como a de S (equação 8), pode-se escrever: EJ 4EJ S (75) Em conseqüência disto, a terceira parcea da equação (74) cancea-se com aguns termos da quarta e a equação fica reduzida a: d y d f EJ EJ - w - QT u( ) d - q ( - ( ( f (70) é K / -K/ w ù q f ( ê e e ( - ú w ë 4EJ [ - f ( ] 0 (76) Substituindo (68) em (70) e rearranjando, resuta: EJ d f ( - w w )( - - ( q q )( - S ) (7) onsiderando que w w w (ação a do vento), q q q (ação gravitaciona a) e rearranjando novamente, obtem-se a equação diferencia que governa o comportamento de um sistema de pórticos e paredes/núceos incuindo a infuência das deformações: O método de Gaerkin será utiizado para encontrar uma função f ( constante, que seja uma boa aproimação para a envovida na equação (76). De acordo com (8), pode-se escrever: a j ( ' j( A apicação da equação (9) para este caso assume a forma: (77) d f EJ - [ S - q( - ] w( - 0 (7) K/ -K/ { a q [ e e w ( - 4EJ] w ( - a )} 0 0 (78) Para a apicação do método de Gaerkin à equação (7), será assumida uma soução dada peo produto de uma função pea 0 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

12 R. J. ELLWANGER Efetuando-se a integra, pode-se isoar a, obtendo-se: a q - 8EJ q - Kw K -K [ ( e -) - ( e -)] (79) Portanto, a soução aproimada para a equação (7) será dada por: é K / -K / w ù a ê e e ( - ú ë 4EJ (80) com a dado por (79). Integrando-a duas vezes, obtem-se a primitiva dos desocamentos: K/ -K / w æ ö ù ( e e ) ç - ú é Y ( a ê ë 4EJ è 6 ø 4 (8) sendo 4 uma constante indeterminada e resutante da condição de desocamento nuo na base: 4 - w 8EJ K(e K -) e (e ) K (8) O momento fetor na base é obtido, apicando-se a equação (): w M(0) ì a q í î K -K [ ( e -) ( e -)] 5 w ü ý EJ þ (8) Observe-se que a diferença Y() Y(0) fez desaparecer a constante 4. Substituindo, e, respectivamente, peas equações (6), (7) e (8), eva a equação (8) a assumir a forma: M(0) 5 4 w aqw (6K 8K )( e 96EJ K ) ( -K )( e e K -) -e K (84) Introduzindo as epressões de e também na equação (79) e substituindo a fórmua de a assim obtida na equação (84), obtem- -se a epressão do momento fetor na base do sistema formado por pórticos e paredes/núceos: Apicando-se a este momento fetor a condição epressa pea inequação (), resuta:, 4 w é K (K 8K / )( e ) ( - )( e -) -8Ke ê êë (6EJK /, 4q - K - K)( e ) K ( e -) Ke ù, 4 w ú, ú K Na inequação (86), pode-se isoar o fator q /EJ, obtendo-se: q EJ (6, K 8, 6K )( e (4/ 7) K ( e ) ) ( -, 6K )( e -) - 4, 6Ke K (86) (87) hamando de J a soma das inércias dos conjuntos de paredes/ núceos e de pórticos e considerando a definição anterior de K, pode-se escrever: J J J K J K ) J J ( K Isoando J : J K J ( K ) (88) (89) Definem-se I e I como as inércias brutas, respectivamente, dos conjuntos de pórticos e de paredes. hamando de I a soma de I e I e apicando as reações () e (66), tem-se que: I I I J J J J 0, 65 0, 94 0, 65 0, 9 585, K 065, J K A partir de (90), o fator EJ pode ser epresso por: EJ K E S I, 585K, 065 (90) (9) A equação (87) pode ser reescrita, substituindo-se EJ pea epressão (9), q por N k (carga vertica a) e por (atura do edifício). Em seguida, etraindo a raiz quadrada de ambos os membros, resuta: K M(0) w é (K 8K / )( e ) ( - )( e -) - 8Ke ù ê ú ë (6EJ /q K e - K K e K e - Ke K ) ( ) ( )( ) ( ) (85) N k E I S α (9) IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

13 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures onde 5 α (4/7) K (e ) K (,585K,065)[(6,K 8,6K )(e ) ( -,6K )(e -) - 4,6Ke ] (9) Obteve-se assim uma epressão para o imite a do parâmetro de instabiidade, variáve com K (reação entre as inércias reduzidas de pórticos e paredes/núceos). Para fins de obtenção de a, no entanto, é mais prático trabahar com as inércias brutas. ombinando as equações (66) e (90), obtem-se a seguinte reação entre K e I (razão entre a inércia bruta dos pórticos e a a): K 0,8 ( I / I ) /( - I / I ) (94) Assim, dada uma razão I quaquer, obtem-se K pea apicação da equação (94) e em seguida a pea apicação da (9). A seqüência de vaores de a, apresentada na tabea e representada graficamente nas figuras 7 e 8, mostra uma variação mais brusca para I próimo de (predominância de pórticos) e mais suave para I próimo de 0 (predominância de paredes). Observa-se também que a equação (9), nos etremos de seu intervao de apicação, reproduz fiemente a equação (46), mas apresenta uma diferença de,8% para contraventamento formado ecusivamente por pórticos. A seguir, a equação (9) será testada em uma série de eempos. 5. Eempos 5. Descrição dos testes Tabea Vaores de a, variando-se a razão I /I I /I a I /I a I /I a 0 0,77 0,50 0,755 0,90 0,65 0,0 0,77 0,60 0,744 0,95 0,6 0,0 0,77 0,70 0,76 0,98 0,574 0,0 0,768 0,80 0,699 0,99 0,555 0,40 0,76 0,85 0,679,00 0,509 A figura 5 mostra a configuração básica, em panta, do sistema de contraventamento transversa de um edifício de panta retanguar (eempos,, 5 e 7), o qua é constituído peas paredes e 5 junto às fachadas aterais e peos pórticos, e 4, de vão único (7,5 m de eio a eio de piar). Da mesma forma, pode-se observar na figura 6 a configuração básica do sistema de contraventamento transversa de um edifício de panta octogona aongada (eempos, 4, 6 e 8), sendo também formado por duas paredes e três pórticos que, neste caso, possuem três vãos iguais (5 m de eio a eio de piar). ada um destes sistemas foi empregado em edifícios de 5, 0, 0 e 0 andares com pé direito de m, constituindo os eempos a 8, cujas informações gerais constam na tabea. Para cada um dos oito edifícios, foram reaizados testes variando as seções retanguares das paredes e das barras dos pórticos, de forma a resutar na série de razões I apresentada na tabea. Isto eigiu, em aguns casos, aterações nas configurações básicas das figuras 5 e 6, mantendo-se, porém, a dupa simetria do contraventamento em panta. Para I foram suprimidas as paredes; para vaores decrescentes de I, os pórticos eram gradativamente suprimidos, ficando competamente eiminados para I 0. Nos eempos de 0 andares, foram incuídos pórticos adicionais em aguns casos e paredes adicionais em outros. As dimensões das seções transversais adotadas nos testes encontram-se na tabea 4. onsiderou-se a utiização de um concreto com f ck 5 MPa, resutando em um móduo E S 800 MPa. Foi considerada uma carga vertica a (vaor característico) de 0 kn/m por pavimento. Adotou-se uma carga devida à pressão do vento de,5 kn/m (vaor característico), constante ao ongo da atura. Esta consideração foi feita por tratar-se da primeira eperiência com uma formuação baseada num modeo com carga de vento de taa constante. Assim, foram testados 88 sistemas de contraventamento. ada teste teve por objetivo determinar a reação entre cargas verticais e rigidez horizonta que resutasse em um acréscimo de 0% no momento goba da base do edifício, em reação à anáise de primeira ordem; com isso, determinava-se o imite a do parâmetro de instabiidade. O procedimento apicado em cada teste consistiu em, iniciamente, fiar as dimensões das seções das barras do Figura 5 Sistema de contraventamento transversa: eempos,, 5 e 7 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

14 R. J. ELLWANGER Figura 6 Sistema de contraventamento transversa: eempos, 4, 6 e 8 Tabea Informações gerais dos eempos a 8 Eempo N de andares Atura (m) N de vãos de cada pórtico N de pórticos 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 5 0 a 5 N de paredes 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 4 conjunto de pórticos e cacuar sua rigidez horizonta I, de acordo com o item 5.5. da ABNT [8] (reação entre a carga de vento e o desocamento horizonta ocorrido no topo da estrutura). Em seguida, ajustou-se a seção do conjunto de paredes de forma a obter-se a razão I desejada. Na seqüência do teste, reaizou-se uma anáise inicia de segunda ordem do conjunto pórticos-paredes, empregando-se o método P-D. Em seguida, reaizaram-se novas anáises de segunda ordem, ajustando-se o vaor das cargas verticais até que resutasse o acréscimo desejado de 0% no momento goba da base. Embo- Tabea Razões I adotadas nos eempos,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,0 0 Tabea 4 Dimensões (cm) das seções transversais Eempo Vigas Piares Paredes 0 50 a a ,5 a a a a a a ,5 a 0 4, a 4 59, a a 0 48, , ,5 a 5 88, a , a a 998,5 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

15 A variabe imit for the instabiity parameter of wa-frame or core-frame bracing structures ra a ógica indique que o ajustamento devesse ser feito na rigidez horizonta, optou-se peo ajustamento das cargas, pois, aém de não afetar os resutados, tornou mais ági a reaização dos 88 testes. A não-inearidade física foi considerada por meio da redução da rigidez das barras individuais, epressa peas equações (0) e (). Adotou-se para a anáise um modeo de pórtico pano como o da figura, com os conjuntos de pórticos e de paredes unidos por bieas, por tratar-se do modeo no qua está baseada a formuação proposta neste trabaho. Posteriormente, aguns casos foram re-anaisados por um método com emprego de matriz de rigidez geométrica, a fim de confirmar os resutados obtidos peo P-D. 5. Anáise dos resutados Os vaores de a obtidos nos testes encontram-se na tabea 5. Para a interpretação dos resutados, é conveniente agrupar os oito eempos por número de andares e considerar dois intervaos de vaores da rigidez reativa: I < 0,9 e I > 0,9. As figuras 7 e 8 mostram, para cada número de andares, uma curva representando a variação do imite a encontrado nos testes, bem como a curva de a correspondente à fórmua (9). Ao anaisar os resutados referentes ao intervao I < 0,9, constata- -se que os vaores de a obtidos nos eempos estão, em sua quase aidade, abaio dos vaores previstos pea fórmua (9), apresentados na tabea. Assim, a apicação desta fórmua resuta em erros para mais, cujos vaores máimos são apresentados na tabea 6. Observa-se caramente que estes erros decrescem com o aumento de andares; iniciam com 6,% aos 5 andares e diminuem para,% aos 0 andares, mostrando uma tendência de se anuarem para um número de andares pouco superior a 0. Esse desempenho da equação (9) deve-se muito provavemente à adoção do modeo da figura -b no ugar do da figura -a; ou seja, o modeo com distribuição uniforme e contínua de andares e ações verticais proporciona uma precisão aceitáve apenas para edifícios a partir de 0 andares. I /I Tabea 5 Vaores de a, variando-se a razão I /I, o número de andares e o de vãos Eempo: Andares: ,00 0,55 0,54 0,58 0,59 0,569 0,54 0,608 0,59 0,95 0,55 0,557 0,567 0,56 0,605 0,590 0,69 0,65 0,90 0,57 0,584 0,594 0,59 0,60 0,6 0,656 0,656 0,85 0,590 0,60 0,6 0,64 0,650 0,644 0,675 0,676 0,80 0,60 0,69 0,69 0,6 0,66 0,66 0,690 0,690 0,70 0,66 0,64 0,65 0,657 0,687 0,687 0,70 0,7 0,60 0,64 0,656 0,67 0,676 0,70 0,70 0,74 0,77 0,50 0,65 0,665 0,685 0,689 0,76 0,76 0,74 0,75 0,40 0,66 0,67 0,695 0,699 0,74 0,76 0,74 0,740 0,0 0,675 0,68 0,74 0,75 0,78 0,76 0,75 0,75 0 0,68 0,68 0,76 0,76 0,749 0,749 0,764 0,764 Figura 7 Gráficos a razão I /I para os eempos de 5 e 0 andares Figura 8 Gráficos a razão I /I para os eempos de 0 e 0 andares 4 IBRAON Structures and Materias Journa 0 vo. 5 nº

16 R. J. ELLWANGER Tabea 6 Erros máimos (%) I /I 5 andares 0 andares 0 andares 0 andares 0,90 6,, 6,0, 0,95 0,7 8,5,6 4,4,00,,6 0,5 6, Por outro ado, para vaores de I superiores a 0,9, indicativos de uma ata predominância de pórticos, a tendência de erros decrescentes com o aumento de andares também eiste. Todavia, aqui ea está acompanhada por outra tendência que é a de erros para menos produzidos pea equação (9), crescentes com o número de andares, conforme se pode observar na tabea 6 para I 0,95 e,00. Essa tendência é devida ao fato da equação (9) evar em consideração que os pórticos se deformam somente devido ao esforço cortante goba. Smith e ou [] afirmam que, em edifícios esbetos, a feão goba dos pórticos, devida à deformação aia dos piares, pode ter uma contribuição significativa para os desocamentos horizontais. Trata-se do mesmo padrão de deformação das paredes, o que faz aumentar o coeficiente imite a. Assim, quanto mais ato o edifício e maior a presença de pórticos, maiores serão os erros gerados por uma formuação que ignore esse efeito. No caso de contraventamento formado ecusivamente por pórticos (I ), observa-se na tabea 6 que os erros máimos variam entre,% (5 andares) e 6,% (0 andares). om reação, ainda, ao caso I, os vaores de a, mostrados na primeira inha da tabea 5, sugerem ser conservador o imite a 0,5 prescrito pea ABNT [8] para o caso de contraventamento formado ecusivamente por pórticos, principamente em edifícios com mais de 0 andares. Por outro ado, os vaores de a encontrados para I 0, mostrados na útima inha da tabea 5, indicam ser também conservador o vaor de a 0,7 prescrito para o contraventamento formado ecusivamente por paredes/núceos, em edifícios com mais de 0 andares. Todavia, em edifícios com menos de 0 andares, pode ocorrer o contrário. Nos eempos anaisados, encontraram-se vaores igeiramente inferiores a 0,7 nos edifícios de 5 andares. Aém disso, a adoção do vaor fio a 0,6 para associações de pórticos com paredes e/ ou núceos deveria estar condicionada a um imite mínimo de contribuição das paredes para a rigidez do contraventamento, principamente em edifícios mais baios. Nos eempos anaisados, interpoações feitas na tabea 5 mostram que a inércia bruta das paredes em reação à inércia a deveria ser de peo menos 8% no eempo, 4% no e % nos eempos e oncusões Os vaores imites a do parâmetro de instabiidade, obtidos nos eempos do presente trabaho e apresentados na tabea 5, mostram uma variabiidade que vai de um mínimo de 0,54 no eempo até um máimo de 0,764 nos eempos 7 e 8. A proporção entre estes vaores etremos é de aproimadamente,5:. onsiderando que a obtenção dos mesmos envove a etração de uma raiz quadrada, a proporção entre os radicandos (reações carga vertica/rigidez horizonta) associados a esses etremos é superior a :. Esta variabiidade mostra a importância de se ter uma forma de prever-se um imite a apropriado à reação I e ao número de andares de um dado edifício a ser projetado, no ugar dos vaores fios estabeecidos pea ABNT [8]. A equação (9) representa uma tentativa inicia de se reaizar ta previsão. A precisão reativamente boa obtida nos eempos 7 e 8 para I < 0,9 mostra que o objetivo é viáve e que esforços merecem ser reaizados no sentido de atingi-o. Para fazer frente aos erros encontrados nos demais casos (predominância de pórticos e menor número de andares), deve-se introduzir o efeito da deformabiidade aia dos piares dos pórticos nas equações (6) e (50), fazendo com que a curva de a, correspondente à equação (9) e mostrada nas figuras 7 e 8, não decine tanto em seu trecho fina; deve-se também encontrar um meio de adequar a formuação à variação do número de andares. Outra questão a investigar é a viabiidade de se incorporar à formuação a variabiidade da infuência da não-inearidade física na rigidez atera dos pórticos (atuamente, esta infuência é considerada na forma de um coeficiente constante). onvém saientar que tudo isto deve ser feito de forma a manter a simpicidade da formuação, justamente uma das maiores virtudes da utiização do parâmetro de instabiidade. Finamente, convém destacar a necessidade de se adotar para os testes um modeo mais reaístico de anáise: simuação da estrutura como um reticuado tridimensiona considerando-se os pavimentos como diafragmas rígidos; variação da carga de vento ao ongo da atura do edifício; reaização da anáise não-inear através de um método incrementa-iterativo; e consideração mais acurada da não-inearidade física, por eempo, por meio das reações momento-curvatura. 7. Agradecimento Ao Prof. Eng. Mário Franco, peo fornecimento de materia vaioso à reaização deste trabaho. 8. 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