4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS

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1 4. SOLUÇÕES FUNDAMENAIS Como visto no Capítuo (Seção.), os métodos de anáise de estruturas têm como metodoogia a superposição de casos básicos. No Método das Forças os casos básicos são souções estaticamente determinadas (isostáticas) e no Método dos Desocamentos são souções cinematicamente determinadas (configurações deformadas conhecidas). Essas souções, chamadas de souções fundamentais, formam a base da resoução dos métodos de anáise. Este capítuo apresenta agumas souções fundamentais da anáise de estruturas. O objetivo aqui é dar subsídios para os métodos de anáise tratados neste ivro. Resumidamente, o que é necessário para a resoução de uma estrutura peo Método das Forças é a determinação de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas. E, para o Método dos Desocamentos, é necessária a determinação de forças e momentos que impõem uma configuração deformada conhecida para uma estrutura. A dedução dessas souções fundamentais é feita com base no Princípio dos rabahos Virtuais, através de suas duas formuações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Desocamentos Virtuais. Esta apresentação está fortemente cacada nos ivros de White et a. (976) e auchert (974). 4.. raçado do diagrama de momentos fetores Conforme mencionado nos capítuos anteriores, para o entendimento dos métodos de anáise tratados neste ivro é necessário um conhecimento adequado da resoução de estruturas estaticamente determinadas e do traçado de diagramas de esforços internos (esforços aiais, esforços cortantes, momentos fetores e momentos torçores). Duas boas referências para esses assuntos são os ivros de Süssekind (977-) e Campanari (985). Nesta seção apenas são saientados aguns aspectos importantes no traçado do diagrama de momentos fetores. Primeiro, o diagrama de momentos fetores não é indicado com sina. A convenção adotada é que o diagrama é traçado sempre do ado da fibra tracionada da barra. Outro ponto importante é que esse traçado é feito convenientemente por superposição de efeitos em cada barra, sempre partindo dos vaores dos momentos fetores nas etremidades da barra. Considere, como eempo, a viga biapoiada com baanços mostrada na Figura 4.. Nessa figura estão mostrados as cargas, as reações de apoio e os diagramas de esforços cortantes e de momentos fetores.

2 7 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Q [kn] M [knm] Figura 4. Viga biapoiada com baanços. M I [knm] M II [knm] M [knm] Figura 4. Superposição de efeitos para compor o diagrama de momentos fetores da Figura 4.. A Figura 4. iustra a superposição que é utiizada para compor o diagrama de momentos fetores. Considere a barra centra entre apoios. O diagrama fina (M) nessa barra é obtido pea superposição de um diagrama reto (M I), que é o traçado que une os vaores dos momentos fetores nas etremidades da barra com um diagrama parabóico (M II), que corresponde ao carregamento atuando no interior da

3 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 barra considerada como biapoiada. O diagrama M I é sempre uma inha reta pois corresponde a uma situação em que a barra está descarregada. Isso porque d M/d = (pea Equação (.) do Capítuo, com carregamento distribuído transversa nuo). O procedimento de superposição de efeitos mostrado na Figura 4. é conhecido como pendurar o diagrama de viga biapoiada para o carregamento que atua no interior da barra. Dessa forma, o traçado do diagrama de momentos fetores em cada barra é feito em duas etapas. Primeiro determinam-se os momentos fetores nas etremidades da barra. Se a barra não tiver cargas transversais no seu interior, o diagrama fina é obtido simpesmente unindo os vaores etremos por uma inha reta (é o que acontece nos baanços da viga da Figura 4.). Em um segundo passo, se a barra tiver carregamento no seu interior, o diagrama de viga biapoiada para o carregamento é pendurado (superposto transversamente) a partir da inha reta que une os vaores etremos. Esse procedimento também é apicado para pórticos, como o que está mostrado na Figura 4.. Observa-se nessa figura que o traçado do diagrama de momentos fetores na barra horizonta é feito da mesma maneira que para a barra centra da viga da Figura 4.. Depois de cacuadas as reações de apoio, determinam-se os vaores dos momentos fetores nos nós do pórtico. Nesse caso, os momentos fetores tracionam as fibras de fora e, por isso, os diagramas nos nós são desenhados no ado eterno do quadro (esta é a convenção utiizada). Nota-se também que os vaores dos momentos fetores em cada nó são iguais para as barras adjacentes. Este é sempre o caso quando se têm duas barras chegando em um nó e não eiste uma carga momento concentrado atuando no nó. Para as barras verticais, que não têm carga no interior, o diagrama fina é reto. Para a barra horizonta, o diagrama é obtido pendurando, a partir da inha reta, a paráboa do segundo grau que corresponde ao diagrama de viga biapoiada do carregamento uniformemente distribuído. iguais iguais M [knm] Figura 4. raçado de diagrama de momentos fetores em um pórtico pano.

4 7 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A Figura 4.4 mostra diagramas de momentos fetores de viga biapoiada para cargas usuais: carga uniformemente distribuída, carga concentrada no centro da viga e carga concentrada em uma posição quaquer na viga. q P P q q P P Pb q /8 P/4 Pab/ a / / Figura 4.4 Diagramas de momentos fetores para vigas biapoiadas. b Pa Outro aspecto interessante é a obtenção do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. Esse procedimento é feito isoando-se cada barra da estrutura, ta como mostrado na Figura 4.5 para a barra horizonta do pórtico da Figura 4.. A barra é considerada como uma viga biapoiada com cargas momentos apicadas nas etremidades para representar o efeito do restante da estrutura sobre ea. Os vaores dos esforços cortantes nas etremidades das barras são determinados cacuando-se as reações de apoio da viga biapoiada por superposição de casos. O caso I corresponde às cargas momentos nas etremidades da barra e o caso II ao carregamento atuando no interior da barra. M [knm] M I [knm] M II [knm] Q [kn] Q I [kn] Q II [kn] Figura 4.5 raçado do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. O cácuo das reações de apoio (esforços cortantes) nas etremidades, V esq (na esquerda) e V dir (na direita), do eempo da Figura 4.5 é mostrado abaio:

5 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 Vesq = ( 7 6) 6 ( 4 6) = 6 7 = 78 kn; Vdir = ( 7 6) 6 ( 4 6) = 6 7 = 66 kn. Esse procedimento mostra a importância da obtenção do diagrama de momentos fetores, pois isso possibiita a obtenção do diagrama de esforços cortantes. Deve-se também ressatar que, embora os eempos utiizados nesta seção tenham sido isostáticos, os mesmos procedimentos se apicam para estruturas hiperestáticas. Dessa forma, uma vez que se tenham determinado os vaores dos momentos fetores nas etremidades de quaquer barra e que se conheça o carregamento atuando no seu interior, podem-se traçar os diagramas de momentos fetores e de esforços cortantes na barra. O traçado de diagramas de momentos fetores é muito importante também dentro da metodoogia do Método das Forças. Conforme será visto na Seção 4.., esses diagramas são utiizados nos cácuos de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas, que correspondem a souções fundamentais utiizadas por esse método. 4.. Energia de deformação e princípio da conservação de energia O princípio gera da conservação de energia é muito importante em vários métodos da anáise de estruturas. Esse princípio, que é epresso como um baanço de energia (ou trabaho), se apica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis. Quando uma estrutura rígida em equiíbrio é submetida a um campo de desocamentos arbitrário, a soma agébrica do trabaho produzido por todas as forças apicadas peos respectivos desocamentos deve resutar em um vaor nuo. Em estruturas deformáveis, eiste um termo adiciona de energia devido ao trabaho produzido peas tensões internas com as correspondentes deformações. A integra dessa componente pontua (infinitesima) de trabaho ao ongo do voume da estrutura é denominada energia de deformação interna e deve ser evada em conta no baanço de energia. Uma estrutura deformáve deve ser vista como um sistema eástico, ta como uma moa inear. A diferença é que uma estrutura é um sistema eástico contínuo, no qua cada ponto armazena uma parcea da energia tota de deformação. A Figura 4.6 mostra um eemento infinitesima de voume de uma estrutura submetido a uma deformação norma na direção. A energia de deformação por unidade de voume, U, armazenada nesse eemento é a área abaio da curva tensãodeformação, ta como indicado na figura. No caso do materia com comportamento inear, a reação tensão-deformação é dada pea Equação (.) do Capítuo e a energia de deformação por unidade de voume tem a seguinte epressão:

6 74 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha d U ε σ ε σ = =. (4.) d dy dz y z d ε σ σ σ ε E U Figura 4.6 Eemento infinitesima de voume submetido a uma deformação norma. A energia de deformação por unidade de voume pode ser generaizada para as outras componentes de deformação. No caso de uma barra de um pórtico pano, a energia de deformação por unidade de voume é composta por (veja a definição das deformações e das tensões na Seção. do Capítuo ): c c y f f a a c f a U U U U γ τ ε σ ε σ = =. (4.) Sendo: = a a a U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito aia; = f f f U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de feão; = c c y c U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito cortante. No caso de grehas e quadros espaciais, o efeito de torção também deve ser considerado. Para uma seção com simetria radia, tem-se: = t t t U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de torção. Para seções sem simetria radia, a energia de deformação é computada de uma forma integra ao ongo de uma seção transversa, como será mostrado adiante. A energia de deformação interna tota é obtida pea integração da energia U ao ongo de todo o voume da estrutura. Para pórticos panos, tem-se: = = V c c y V f f V a a V dv dv dv dv U U γ σ ε σ ε σ. (4.)

7 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 75 No modeo matemático de estruturas reticuadas, as barras são representadas peos eios que passam peos centros de gravidade das seções transversais. Nesse modeo, a energia de deformação também tem uma representação integra no níve de seção transversa, resutando em uma energia de deformação por unidade de comprimento de barra. A obtenção das epressões dessa energia é feita separando a integra de voume da Equação (4.) em uma integra de área (ao ongo da seção transversa) e uma integra de inha (ao ongo do comprimento das barras): a f c a f U da U da U da d = du du A A A c U = du. (4.4) Sendo: estrutura estrutura estrutura U energia de deformação eástica tota armazenada na estrutura; a du estrutura energia de deformação para o efeito aia armazenada em um eemento infinitesima de barra; f du energia de deformação para o efeito de feão armazenada em um eemento infinitesima de barra; c du energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um eemento infinitesima de barra. A epressão para a du é obtida com base nas Equações (.) e (.) do Capítuo : du a = a du σ da d = N du d, (4.5) A sendo N o esforço norma na seção transversa e du o desocamento aia reativo interno dado pea Equação (.5) (veja a Figura.). A epressão para f du é obtida com base nas Equações (.) e (.): du f = f dθ σ y da d = M dθ d, (4.6) A sendo M o momento fetor na seção transversa e dθ a rotação reativa interna por feão dada pea Equação (.6) (veja a Figura.). A epressão para c du é obtida com base nas Equações (.5) e (.) : du c = c dh τ y da d = Q dh d, (4.7) A sendo Q o esforço cortante na seção transversa e dh o desocamento transversa reativo interno dado pea Equação (.7) (veja a Figura.).

8 76 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha No caso de grehas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado: t du energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um eemento infinitesima de barra. t A epressão para du, para seções transversais com simetria radia, é obtida com t base nas Equações (.6) e (.8). Para uma seção genérica sem simetria radia, du é obtida de forma integra na seção transversa (consute a Seção.4.4), resutando em: du t = dϕ, (4.8) sendo o momento torçor na seção transversa e dϕ a rotação reativa interna por torção dada pea Equação (.9) (veja a Figura.). A energia de deformação interna U é utiizada no princípio gera da conservação de energia. A apicação desse princípio no conteto da anáise estrutura tratada neste ivro requer a definição das seguintes premissas: O carregamento é apicado entamente, de ta forma que não provoca vibrações na estrutura (não eiste energia cinética). O único tipo de energia armazenada pea estrutura é a energia de deformação eástica, não eistindo perda de energia na forma de caor, ruído, etc. A estrutura tem um comportamento inear-eástico, isto é, o materia da estrutura trabaha em um regime eástico e inear (não eiste pastificação em nenhum ponto) e os desocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equiíbrio na configuração indeformada da estrutura. Considerando essas hipóteses, o princípio da conservação de energia se reduz a: sendo: WE W E = U, (4.9) trabaho reaizado peas forças eternas quando a estrutura se deforma. Isto é, o trabaho mecânico reaizado peas cargas apicadas em uma estrutura é igua à energia de deformação interna armazenada na estrutura. Se as cargas forem removidas entamente, o trabaho mecânico vai ser recomposto, da mesma forma que ocorre na compressão e descompressão de uma moa. A apicação direta desse princípio é iustrada abaio na determinação do desocamento no ponto centra da viga mostrada na Figura 4.7, submetida a uma força vertica P apicada no meio do vão. Deseja-se cacuar o desocamento vertica D no ponto de apicação da carga. É desprezada a energia de deformação por cisa-

9 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 77 hamento em presença da energia de deformação por feão. O diagrama de momentos fetores da viga para esse carregamento também está mostrado na figura. O trabaho reaizado pea força eterna é a área abaio da curva que reaciona a carga com o desocamento do seu ponto de apicação, ta como indicado na Figura 4.7. As reações de apoio da viga, que também são forças eternas, não produzem trabaho pois os desocamentos correspondentes são nuos (restrições de apoio). P P P P P D /4 P M() / / / / Figura 4.7 Viga biapoiada com uma carga centra. W E D D Portanto, considerando um comportamento inear para a estrutura, o trabaho tota das forças eternas para esse eempo é: W E = P D. Como não eistem esforços aiais nessa estrutura e a energia de deformação por cisahamento é desprezada, a energia de deformação eástica é função apenas do efeito de feão. Considerando as Equações (4.4), (4.6) e (.6), tem-se: U = f du = = = M d M d estrutura M M θ d. Iguaando o trabaho eterno com a energia de deformação interna, chega-se a: P D = M d. Finamente, o desocamento vertica do ponto centra é dado por: D M P = d D =. P 48 Observa-se que a utiização do princípio da conservação de energia possibiitou o cácuo do desocamento vertica do ponto centra dessa viga. Entretanto, este princípio não permite o cácuo de desocamento de uma forma genérica. Considere, por eempo, que se deseja apicar uma outra carga na estrutura ou determinar o desocamento em outro ponto. Nesses casos, o princípio da conservação de e- nergia não fornece meios para o cácuo desejado. Isso porque uma única equação

10 78 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha W E = U não é suficiente para a determinação de mais de um desocamento desconhecido. A soução para isso é a generaização desse princípio para o Princípio dos rabahos Virtuais, conforme vai ser mostrado na seção a seguir. 4.. Princípio dos trabahos virtuais O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo mas tem uma apicação muito imitada para o cácuo de desocamentos em estruturas. asicamente, como visto na seção anterior, este princípio só permite cacuar desocamentos para o caso de soicitação de uma força concentrada, e o desocamento cacuado tem que ser no ponto de apicação e na direção da força. Anaogamente, também é possíve cacuar a rotação na direção de um momento concentrado apicado. Esse princípio pode ter seu enfoque modificado de forma a eiminar as imitações notadas acima. Considere um sistema de forças (F A, f A) em equiíbrio e uma configuração deformada (D, d ) compatíve ta como definidos na Seção.7 do Capítuo. Isto é, F A é um sistema de forças eternas (soicitações e reações de apoio) a- tuando sobre uma estrutura, f A são esforços internos (N A, M A, Q A) em equiíbrio com F A, D é um campo de desocamentos eternos (eástica) de uma estrutura e d é um campo de desocamentos reativos internos (du, dθ, dh ) compatíveis com D. A generaização que é feita em reação ao princípio de conservação de energia é que, agora, não eiste quaquer igação entre o sistema de forças e a configuração deformada, a não ser que atuam em uma mesma estrutura. Isto é, não eiste reação causa-efeito entre (F A, f A) e (D, d ). O baanço entre o trabaho eterno e a e- nergia de deformação interna combinando esses dois sistemas independentes resuta no Princípio dos rabahos Virtuais (PV): em equiíbrio W E FA D = f A = U d (4.) compatíveis Sendo: W E = FA D trabaho virtua das forças eternas F A com os correspondentes desocamentos (eternos) D ; U = f A d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos f A com os correspondentes desocamentos reativos internos d. No caso de pórticos panos, a energia de deformação interna virtua pode ser desmembrada em parceas que consideram os efeitos aia, de feão e cortante:

11 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 79 N A du MA d QA U θ. (4.) = dh Deve-se saientar que nas Equações (4.) e (4.) o termo ½ não aparece nem na epressão do trabaho eterno virtua nem na epressão da energia de deformação interna virtua. Esse termo aparecia nas epressões do princípio da conservação de energia mostrado na Seção 4. porque forças e desocamentos estavam associados (causa e efeito). No trabaho eterno virtua, as forças não são a causa ou efeito dos desocamentos, assim como na energia interna virtua os esforços internos não são a causa ou efeito dos desocamentos reativos internos. Devido justamente a essa independência entre forças e desocamentos, o termo virtua se apica. Em outras paavras, o trabaho W E e a energia de deformação U são ditos virtuais porque ees são meras abstrações de cácuo. O PV só é váido se o sistema de forças (F A, f A) reamente satisfizer as condições de equiíbrio e se a configuração deformada (D, d ) reamente satisfizer as condições de compatibiidade. Portanto, esse princípio pode ser utiizado para impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada (D, d) quaquer. asta que se escoha arbitrariamente um sistema de forças ( F, f ), denominado virtua, do qua se saiba que satisfaz as condições de equiíbrio. Esta versão do PV é chamada de Princípio das Forças Virtuais e vai ser apresentada na próima seção. De maneira anáoga, o PV pode ser utiizado para impor condições de equiíbrio a um sistema de forças (F, f) quaquer. asta que se escoha arbitrariamente uma configuração deformada ( D, d), denominada virtua, da qua se saiba que satisfaz as condições de compatibiidade. Esta versão do PV é chamada de Princípio dos Desocamentos Virtuais e será apresentada na Seção Princípio das forças virtuais Em muitas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada. Por eempo, quando se cacua uma componente de desocamento em um ponto de uma estrutura, o que se deseja é o vaor do desocamento que é compatíve com a configuração deformada da estrutura, que é provocada por aguma soicitação. No conteto deste ivro, o cácuo de desocamentos em estruturas isostáticas é a principa soução fundamenta utiizada dentro da metodoogia do Método das Forças, ta como introduzido na Seção.. do Capítuo. O Princípio das Forças Virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a determinação de desocamentos em estruturas. Esse princípio diz que:

12 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Dada uma configuração deformada rea (D, d) e um sistema de forças ( F, f ) arbitrário (virtua) em equiíbrio, a iguadade W E = U estabeece uma condição de compatibiidade para a configuração deformada rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças eternas virtuais F com os correspondentes desocamentos eternos reais D; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos virtuais f com os correspondentes desocamentos reativos internos reais d. O PFV utiiza um sistema auiiar, chamado sistema virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer cacuar um desocamento ou rotação (ou estabeecer uma condição de compatibiidade). O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtua são compostas de uma força (ou momento) escohida arbitrariamente na direção do desocamento (ou rotação) que se deseja cacuar e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtua não eistem na reaidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P no centro (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor do desocamento D em um ponto quaquer definido por uma distância a ao apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um força P apicada nesse ponto e com a mesma direção do desocamento. Nessa figura estão indicados os diagramas de momentos fetores M e M dos sistemas rea e virtua. Sistema Rea P Sistema Virtua P = P D D a b / / P /4 P P b a P ab b P b M () M() Figura 4.8 Cácuo de desocamento genérico em viga biapoiada com uma carga centra. O PFV apicado à viga da Figura 4.8 resuta em (desprezando deformações provenientes do efeito cortante):

13 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 W E = U P D = M dθ, sendo dθ a rotação reativa interna do sistema rea. Pea Equação (.6), tem-se: D = P M( ) M( ) d. Portanto, o PFV permite o cácuo de desocamentos e rotações de forma generaizada. As cargas da estrutura rea podem ser quaisquer e podem-se cacuar desocamentos e rotações em quaquer ponto e em quaquer direção. Nesse eempo, a magnitude da força virtua P é irreevante, haja vista que o vaor dessa força vai se cancear na epressão acima pois o diagrama de momentos fetores virtuais M é uma função inear de P. Entretanto, usuamente adota-se um vaor unitário para a carga virtua. Observa-se que a apicação do PFV para o cácuo de desocamentos em estruturas que trabaham à feão resuta no cácuo de uma integra que combina diagramas de momentos fetores nos sistemas rea e virtua. A abea 4. mostra epressões para avaiar essa integra para diagramas usuais em uma barra. abea 4. Combinação de diagramas de momentos fetores em barra. MMd M A M M M C M C MA M A M A M M A M C M A M M C M D M M C M MC M A M M A M C M M M M C 6 M C M 6 M C M C MD M A M D M M D M C M D

14 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico de um ponto de um pórtico pano é obtida das Equações (4.) e (4.): Em que: W E = U = N du M dθ Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura desocamento genérico a ser cacuado no sistema rea; du desocamento aia reativo interno no sistema rea; dθ rotação reativa interna por feão no sistema rea; dh desocamento transversa reativo interno no sistema rea; P carga virtua genérica associada ao desocamento a ser cacuado; N esforço norma no sistema virtua provocado por P ; M momento fetor no sistema virtua provocado por P ; Q esforço cortante no sistema virtua provocado por P. No caso de uma greha (estrutura pana com cargas fora do pano), o efeito de torção também deve ser considerado, resutando na seguinte epressão para o cácuo de um desocamento genérico peo PFV: Sendo: W E = U = M dθ dϕ Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura dϕ rotação reativa interna por torção no sistema rea; momento torçor no sistema virtua provocado por P. A abea 4. mostra aguns tipos de cargas virtuais utiizadas dentro do conteto do PFV para cacuar desocamentos e rotações em pontos de um pórtico pano. As cargas virtuais mostradas nessa tabea são utiizadas, dentro da metodoogia de cácuo do Método das Forças, para determinar desocamentos ou rotações nas direções de víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Como visto na Seção.. do Capítuo, o Método das Forças utiiza uma estrutura auiiar isostática, chamada Sistema Principa, que é obtida da estrutura origina (hiperestática) pea eiminação de víncuos. Esses víncuos podem ser impedimentos de apoio ou víncuos de continuidade interna, e os desocamentos e rotações são sempre cacuados nas direções dos víncuos eiminados. O próimo capítuo aborda essa metodoogia em detahes.

15 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 abea 4. Cargas virtuais utiizadas para cacuar desocamentos e rotações em víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Víncuo eiminado Desocamento ou rotação associado(a) Carga virtua Impedimento horizonta de apoio Desocamento horizonta do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento vertica de apoio Desocamento vertica do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento de rotação de apoio Rotação da seção do víncuo eiminado M = Continuidade de rotação da eástica Rotação reativa entre seções adjacentes à rótua introduzida M = M = Desocamento horizonta reativo na seção de corte P = P = Continuidade de desocamentos e rotação da eástica Desocamento vertica reativo na seção de corte P = P = Rotação reativa na seção de corte M = M =

16 84 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Os desocamentos reativos internos no sistema rea dependem da soicitação eterna que atua sobre a estrutura. Os desocamentos reativos internos foram definidos na Seção.4 do Capítuo para o caso de soicitações de carregamentos eternos. Entretanto, eistem outros tipos de soicitações que também provocam deformações em estruturas. As seções a seguir mostram apicações do PFV para o cácuo de desocamentos (e rotações) em estruturas isostáticas devidos a diferentes tipos de soicitações: carregamento eterno, variação de temperatura e recaque de apoio. Na seqüência também é mostrada uma apicação do PFV para a verificação do atendimento a condições de compatibiidade de estruturas hiperestáticas Desocamentos provocados por carregamento eterno As soicitações eternas mais comuns em uma estrutura são carregamentos apicados, tais como peso próprio, cargas de ocupação, cargas móveis, cargas de vento, etc. A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a soicitações desse tipo em um quadro pano é obtida substituindo as Equações (.5), (.6) e (.7) dos desocamentos reativos internos reais na Equação (4.): Sendo: = N N M M Q Q d d χ d. GA (4.4) P EA estrutura estrutura estrutura N esforço norma no sistema rea provocado peo carregamento eterno; M momento fetor no sistema rea provocado peo carregamento eterno; Q esforço cortante no sistema rea provocado peo carregamento eterno. No caso de uma greha, utiizando a Equação (.9), a epressão do PFV resuta em: Sendo: = M M Q Q d d χ d. GJ (4.5) P estrutura estrutura t GA estrutura momento torçor no sistema rea provocado peo carregamento eterno. A útima integra que considera o efeito de cisahamento (cortante) nas Equações (4.4) e (4.5) tem vaor pequeno em comparação com os outros termos no caso de barras ongas (atura da seção transversa menor que aproimadamente ¼ do vão da barra). Nesse caso a integra é desprezada.

17 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 85 A estrutura da Figura 4. vai ser utiizada para eempificar o cácuo de desocamento em um pórtico pano. Considere que se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. A Figura 4.9 mostra os sistemas rea e virtua utiizados, com a configuração deformada rea (onde o desocamento desejado está indicado) e o diagrama de momentos fetores virtua M. O diagrama de momentos fetores rea M está indicado na Figura 4.. O materia adotado é um aço com móduo de easticidade E =,5 8 kn/m. Para as counas é adotada a seção transversa CS 5., com área A c = 6,7 - m e momento de inércia I c = 4,8-5 m 4. A seção transversa da viga é a VS 4., com área A v = 5,5 - m e momento de inércia I v = 8,8-5 m 4. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.9 Cácuo de desocamento devido a um carregamento eterno peo PFV. A energia de deformação interna virtua para o cácuo do desocamento da estrutura da Figura 4.9 é composta de duas parceas, uma provocada peos efeitos aiais e outra peos efeitos de feão. O cácuo da parcea associada aos efeitos aiais é mostrado abaio, sendo que a integra ao ongo da estrutura é decomposta em um somatório de integrais ao ongo das três barras: estrutura N N d = EA barras barra N N d = EA barras N N EA barra. (4.6) Nessa epressão, os esforços normais reais N e virtuais N são obtidos diretamente das reações de apoio indicados na Figura 4.9 e é o comprimento de uma barra. Dessa forma, tem-se: N = N ( ) ( 8) ( /) ( 78) ( /) ( 66) d 6 4. EA EAv EAc EA (4.7) c estrutura

18 86 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O cácuo da parcea de energia de deformação virtua por feão também é decomposto em um somatório de integrais computadas em cada barra: estrutura M M d = barras barra M M d. (4.8) A integra ao ongo de cada barra na Equação (4.8) é cacuada com base na abea 4.. O cácuo para a viga é epicado na Figura 4.. O diagrama de momentos fetores rea é desmembrado em dois triânguos e uma paráboa com máimo no centro, e o diagrama de momentos fetores virtuais é desmembrado em dois triânguos. Com base na abea 4., essas parceas são combinadas em separado para avaiar a integra. Esse eempo iustra a utiização da tabea de combinação de diagrama de momentos. Observa-se que os sinais da integra são positivos quando as parceas dos diagramas tracionam fibras do mesmo ado da barra, e são negativos quando tracionam fibras opostas. M M 6 M Md = M Md = M Md = M Md = M Md = M Md = 8 6 Figura 4. Combinação de diagramas de momentos fetores rea e virtua para a viga da estrutura da Figura 4.9. As parceas de contribuição para a energia de deformação virtua por feão indicadas na Figura 4. são somadas às parceas de contribuição das counas, resutando em:

19 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 87 6 v estrutura M M d = 7 6 v v v v c v c 6 (4.9) Com base nas Equações (4.4), (4.7) e (4.9), e nos vaores dos parâmetros E, A v, I v, A c e I c, o desocamento desejado da estrutura da Figura 4.9 pode ser cacuado: N N M M 4 = d d =,4,79 =,8 m. P EA estrutura estrutura O sina negativo do desocamento cacuado significa que o seu sentido, da direita para a esquerda, é contrário ao sentido da carga virtua P apicada. Observa-se que a contribuição da parcea de energia de deformação devida ao efeito aia (,4-4 m) é muito menor em móduo do que a contribuição da parcea devida ao efeito de feão (,79 - m). Isto é usua para pórticos que trabaham à feão e, em gera, no cácuo manua a contribuição da energia de deformação aia é desprezada. Deve-se ressatar que as cargas, dimensões e parâmetros de materia e seções transversais adotados para esse eempo são reaistas Desocamentos provocados por variação de temperatura Como visto na Seção.5 do Capítuo, variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número eato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a pequenas modificações no comprimento (diatação ou encurtamento) de suas barras provocados por variações de temperatura. Em outras paavras, pode-se imaginar que uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar uma barra que sofreu uma pequena modificação em seu comprimento devido a uma variação de temperatura, já que a estrutura isostática sem aquea barra se configura em um mecanismo. Isto significa que a variação de temperatura provoca desocamentos sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática. Entretanto, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Muitas vezes essas soicitações são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas serão considerados no próimo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de desocamentos provocados por variação de temperatura em uma estrutura isostática.

20 88 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para se apicar o PFV é necessário determinar os desocamentos reativos internos devidos à variação de temperatura (rea): du dθ dh desocamento aia reativo interno devido à variação de temperatura; rotação reativa interna por feão devido à variação de temperatura; desocamento transversa reativo interno devido à variação de temperatura. Considere iniciamente um eempo simpes de uma viga biapoiada que sofre um aquecimento uniforme de temperatura [ C], ta como indicado na Figura 4.. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α [/ C]. y [ C] u = du = α d u du d du = α d Figura 4. Viga biapoiada com variação uniforme de temperatura. Nesse caso, a variação de comprimento de um eemento infinitesima de barra (de comprimento inicia d) é: du = α d. Agora considere o caso de uma viga que sofre um aquecimento [ C] nas fibras inferiores e um resfriamento [ C] nas fibras superiores, ta como indicado na Figura 4.. A viga tem uma seção transversa ta que o centro de gravidade (por onde passa o eio ongitudina ) se situa no meio da atura h da seção. Para pequenos desocamentos, um ânguo em radianos pode ser aproimado à sua tangente. Portanto, com base na Figura 4., a rotação reativa interna por feão devido a essa variação transversa de temperatura é: d θ = α d. h

21 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 89 y [ C] [ C] dθ = ( α d) h h/ α d (encurtamento da fibra superior) d h/ dθ d α d (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Viga biapoiada com variação transversa de temperatura. No caso gera, indicado na Figura 4., as fibras superiores e inferiores da barra sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma posição quaquer ao ongo da atura da seção transversa, definida pea sua distância y em reação à base da seção. Para a definição dos desocamentos reativos internos devidos a uma variação genérica de temperatura, as seguintes hipóteses serão adotadas: Não eiste desocamento transversa reativo devido à variação de temperatura ( dh = ). A temperatura varia inearmente ao ongo da atura da seção transversa (da fibra inferior para a superior). A variação de temperatura da fibra inferior é i e a da fibra superior é s. A conseqüência desta hipótese é que a seção transversa da barra vai permanecer pana com a variação de temperatura (considerando um materia homogêneo). O desocamento aia reativo interno devido à variação de temperatura ( du ) corresponde ao aongamento ou encurtamento da fibra que passa peo centro de gravidade da seção transversa. A variação de temperatura nessa fibra ( CG) é obtida por interpoação inear de i e s. Com base na Figura 4., os desocamentos reativos internos para uma variação genérica de temperatura são: du = α d ; (4.) CG ( i s ) d dθ = α. (4.) h

22 9 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha y s α s d (aongamento da fibra superior) h y du dθ = α = α CG ( i s ) d h d i d α i d (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Deformação de um eemento infinitesima de barra por variação de temperatura. O sina da rotação reativa interna da Equação (4.) depende dos vaores de i e s. Conforme está indicando na Figura 4., quando i é maior que s (no sentido agébrico), dθ tem o sentido anti-horário e é convencionada positiva. O sina vai ser negativo quando a rotação for no sentido horário. A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a uma variação de temperatura genérica em um quadro pano é obtida substituindo as Equações (4.) e (4.) dos desocamentos reativos internos reais (com dh = ) na Equação (4.): Sendo: M α ( i s ) = N α CG d d. h (4.) P estrutura estrutura α coeficiente de diatação térmica do materia; h atura da seção transversa de uma barra; i s CG variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; variação de temperatura na fibra superior de uma barra; variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra. As integrais ao ongo da estrutura da Equação (4.) são decompostas em um somatório de integrais ao ongo das barras. Considerando que as barras são prismáticas e que a variação de temperatura nas fibras superiores e inferiores de cada barra é uniforme, essa equação pode ser simpificada para:

23 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 ( ) α i s = α CG N d M d. P barras barra h (4.) barras barra Observa-se na Equação (4.) que as integrais que aparecem correspondem às á- reas dos diagramas de esforço norma e momento fetor do sistema virtua cacuadas em cada barra. Para eempificar o cácuo de desocamento peo PFV devido a uma variação de temperatura, a mesma estrutura das Figuras 4. e 4.9 vai ser utiizada. Considere que a estrutura sofre um aquecimento interno de C, ta como indicado na Figura 4.4, e que também se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. Portanto, o mesmo sistema virtua adotado na Figura 4.9 será adotado aqui. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α =,/ C. A atura da seção transversa das counas é h c =, m e a atura da seção transversa da viga é h v =, m. anto para a viga quanto para as counas, o centro de gravidade da seção transversa se situa no meio da atura. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.4 Cácuo de desocamento devido a uma variação de temperatura peo PFV. Os esforços normais virtuais nas barras do eempo da Figura 4.4 são obtidos a partir das reações de apoio indicadas na figura, sendo que a viga tem N =, a couna da esquerda tem N = / e a couna da direita tem N = /. A apicação da Equação (4.) para o cácuo do desocamento desse eempo resuta em: 4 = α CG 6 CG CG ( ) α α ( ) α ( ) ( ) α ( ) ( ) ( ) α i s i s i s 8 8 hv hc hc. (4.4) Adotou-se, como convenção, que os sinais dos momentos fetores são positivos quando tracionam as fibras interiores do quadro, resutando em áreas positivas.

24 9 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para o cácuo do desocamento pea Equação (4.4), as fibras interiores do quadro estão sendo consideradas como fibras inferiores das barras. Portanto, i = C, s = C e CG = C. Utiizando h v =, m e h c =, m na Equação (4.4), resuta no desocamento horizonta do apoio da direita: [,8 ] [,64 ] =,7 = m. O sina positivo indica que o desocamento é da esquerda para a direita, pois este foi o sentido da carga virtua apicada Desocamentos provocados por recaques de apoio Recaques de apoio, em gera, são soicitações acidentais. Entretanto, as fundações de uma estrutura podem apresentar pequenos movimentos que devem ser considerados no projeto. Como visto no Capítuo (Seção.5), recaques de apoio, quando pequenos em reação às dimensões da estrutura, não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número eato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a um pequeno movimento de apoio. Em outras paavras, pode-se imaginar que ao se movimentar um a- poio a estrutura isostática perde um víncuo, transformando-se em um mecanismo (uma cadeia cinemática). Assim, a estrutura se acomoda como um corpo rígido (sem deformações) para a nova posição do apoio. Portanto, recaques de apoio provocam desocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deformações ou esforços. Por outro ado, movimentos diferenciados de apoios de estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Assim como no caso de variações de temperatura, os recaques de apoio podem provocar soicitações que são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de recaques de apoio em estruturas hiperestáticas serão considerados no próimo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de um desocamento provocado por um recaque de apoio de uma estrutura isostática. O mesmo pórtico pano adotado nas seções anteriores é considerado como eempo para o cácuo de desocamento, ta como mostrado na Figura 4.5. No eempo, o apoio da esquerda da estrutura sofre um recaque vertica (para baio) ρ =,6 m. Observa-se através da eástica indicada (com ampitude eagerada) na Figura 4.5 que o quadro isostático sofreu um movimento de corpo rígido devido ao recaque. Isto é, as barras permanecem retas (sem deformação). Portanto, a energia de deformação interna virtua é nua: U =.

25 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 Sistema Rea Sistema Virtua P = Figura 4.5 Cácuo de desocamento devido a um recaque de apoio peo PFV. Por outro ado, o trabaho virtua das forças eternas agora recebe a contribuição da reação de apoio do sistema virtua com o correspondente desocamento (recaque) de apoio rea: ( / ) ( ) W E = P ρ. Nessa epressão foi considerado que a reação vertica virtua no apoio da esquerda é negativa pois tem o sentido de cima para baio, assim como o recaque (rea) é negativo porque é para baio. A imposição da epressão do PFV ( W E = U ) resuta no vaor do desocamento desejado, no qua o sina negativo indica que o desocamento é da direita para a esquerda: W E = = [ ( /) ( ρ) ] =, m. P A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a recaques de apoio em um quadro isostático é obtida considerando que U = : = [ ρ]. P (4.5) recaquesr Sendo: ρ recaque de apoio genérico na estrutura rea; R reação de apoio no sistema virtua correspondente ao recaque rea ρ. Os sinais das reações e recaques na Equação (4.5) devem ser consistentes.

26 94 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Verificação de atendimento à condição de compatibiidade Embora os eempos mostrados nas seções anteriores tenham tratado de estruturas isostáticas, o PFV também pode ser apicado para estruturas hiperestáticas. Nesse caso, a estrutura do sistema virtua não necessariamente precisa ter os mesmos víncuos da estrutura rea, pois a única restrição quanto ao sistema de forças virtuais é que satisfaça condições de equiíbrio. Por eempo, considere a viga engastada e apoiada da Figura 4.6. q Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q /8 M M = M 5q q / / 8 8 / / q /8 q /8 M M M M MMd MMd = = M M q 8 q 8 Figura 4.6 Sistema virtua para verificação de correção de diagrama de momentos fetores de uma viga engastada e apoiada. Na Figura 4.6, a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é uma estrutura isostática obtida da estrutura rea pea eiminação de um víncuo (restrição à rotação θ na etremidade esquerda). Nesse caso, tendo-se disponíve o diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática rea, o cácuo da rotação na direção do víncuo eiminado deve resutar em um vaor nuo. Isto é na verdade uma verificação da correção do diagrama: o diagrama correto é aquee que faz com que a condição de compatibiidade no víncuo iberado no sistema virtua seja satisfeita. De fato, o cácuo da rotação θ peo PFV resuta em um vaor nuo: M( ) M( ) q q θ = d = =. M 8 8 Nessa epressão, a integra foi avaiada conforme indica a Figura 4.6. O diagrama de momentos fetores rea foi desmembrado em um triânguo e em uma paráboa com máimo no centro. Com base na abea 4., essas parceas foram combinadas

27 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 95 em separado com o triânguo do diagrama de momentos fetores virtua para avaiar a integra. Deve-se tomar cuidado adiciona na escoha do sistema virtua: a estrutura adotada no sistema virtua nunca deve acionar um víncuo em reação à estrutura rea. Considere como eempo a estrutura da Figura 4.7, da qua se deseja cacuar o desocamento D no ponto centra. Note que a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é isostática. Entretanto, a estrutura virtua tem um víncuo adiciona na etremidade direita (engaste) que não eiste na estrutura rea. Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q P = M = / 5q 8 D θ / / q 8 / / q /8 q /8 M M / Figura 4.7 Sistema virtua com víncuo adiciona em reação à estrutura rea. O probema com a escoha do sistema virtua da Figura 4.7 é que no trabaho eterno virtua tota deve ser computado o trabaho reaizado pea reação de apoio momento virtua M com a correspondente rotação rea θ na etremidade direita. Isto impede a determinação do desocamento D pois na epressão do PFV aparecem duas incógnitas, D e θ : = = MM WE U P D M θ d. Note nessa epressão que o trabaho da reação momento virtua M reaizado com a rotação rea θ é negativo pois essas entidades têm sentidos opostos (horário e anti-horário, respectivamente) Princípio dos desocamentos virtuais Em agumas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de equiíbrio a um sistema de forças. Por eempo, as souções fundamentais do Método dos Desocamentos correspondem à determinação de vaores de forças e momentos que equiibram uma estrutura que tem uma configuração deformada compatíve imposta, ta como apresentado na Seção.. do Capítuo.

28 96 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Princípio dos Desocamentos Virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para a determinação de forças (e momentos) necessárias para impor uma determinada configuração deformada a uma estrutura. Esse princípio diz que: Dado um sistema de forças rea (F, f) e uma configuração deformada ( D, d) arbitrária (virtua) compatíve, a iguadade W E = U estabeece uma condição de equiíbrio para o sistema de forças rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças eternas reais F com os correspondentes desocamentos eternos virtuais D ; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos reais f com os correspondentes desocamentos reativos internos virtuais d. Assim como o PFV, o PDV utiiza um sistema auiiar virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer estabeecer uma condição de equiíbrio. O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com uma configuração deformada ( D, d) escohida arbitrariamente de ta maneira que uma única força (ou momento) desconhecida (a que se deseja cacuar) produza trabaho eterno. A configuração deformada do sistema virtua não eiste na reaidade (por isso, é dita virtua) e é uma mera abstração para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P com posição definida por uma distância a ao apoio da esquerda (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor da reação vertica V A no apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um campo de desocamentos eternos virtuais D ta que a outra reação de apoio desconhecida V não produza trabaho eterno. Sistema Rea P D A Sistema Virtua = D b/ = V A V a b a b Figura 4.8 Cácuo de reação de apoio de uma viga biapoiada peo PDV. Observa-se na Figura 4.8 que o campo de desocamentos eternos virtuais não precisa satisfazer as condições de compatibiidade (eternas ou internas) da estrutura rea. Como dito, a única restrição quanto à configuração deformada virtua é

29 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 97 que os desocamentos eternos virtuais sejam compatíveis com desocamentos reativos (ou deformações) internos virtuais. Nesse eempo, foi imposto um campo de desocamentos virtuais de corpo rígido, isto é, sem deformação interna ( U = ). Pea Figura 4.8, o vaor do desocamento virtua D, que corresponde à carga eterna rea P, é obtido por semehança de triânguos. Portanto o vaor da reação V A sai diretamente da imposição de W E = U : P b VA DA P D = VA =. O PDV também pode ser utiizado para determinar um esforço interno em uma estrutura. Para tanto, é necessário escoher uma configuração deformada virtua que isoe na equação W E = U o esforço que se quer cacuar. Considere, por e- empo, que se deseja determinar o esforço cortante na seção S de uma viga apoiada, ta como mostrado na Figura 4.9. A viga está submetida a uma carga concentrada P definida por uma distância a ao apoio da esquerda, e a seção S é definida pea ordenada ao início da viga, sendo que a >. Sistema Rea Sistema Virtua A V A M S a S Q S M S P b V / ( )/ a S = b D b / = Figura 4.9 Cácuo de esforço cortante de uma viga biapoiada peo PDV. A configuração deformada virtua do eempo da Figura 4.9 foi definida de ta forma que não eiste deformação no interior da viga, com eceção do ponto correspondente à seção S, onde eiste um desocamento transversa reativo interno virtua S = concentrado. Isto é, foi imposta uma descontinuidade transversa unitária na posição da seção S. Deve-se observar que não eiste rotação reativa entre os trechos da eástica virtua antes e depois da seção S. Este campo de desocamentos virtua foi escohido de ta forma que somente o esforço cortante Q S na seção S produza energia de deformação virtua interna (M S não provoca energia de deformação pois não eiste rotação reativa): U =. Q S S

30 98 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Por outro ado, somente a força eterna rea P provoca trabaho eterno. As outras forças eternas, as reações de apoio V A e V, têm correspondentes desocamentos virtuais nuos. Portanto: W E = P D,, che- sendo que D está indicado na Figura 4.9. Com base na epressão ga-se ao vaor do esforço cortante desejado: W E = U P b Q S =. É óbvio que, nesse eempo, a apicação do equiíbrio diretamente é uma forma muito mais simpes para se determinar o vaor do esforço cortante em S. O que se pretendeu mostrar com esse eempo é que o PDV é uma maneira aternativa para se impor condições de equiíbrio, que em aguns casos pode ser muito mais adequada. Deve-se observar também que o vaor do esforço cortante Q S foi obtido diretamente peo PDV, sem que se tivesse cacuado as reações de apoio da viga. Isso evidencia a eegância desse princípio como ferramenta matemática para imposição de equiíbrio. De maneira anáoga, o momento fetor na seção S desse eempo também pode ser determinado diretamente peo PDV. A Figura 4. mostra a configuração deformada virtua que é utiizada para determinar M S. A Sistema Rea a S M S M S P b ( ) / Sistema Virtua a b D = b / θ S = V A Q S V Figura 4. Cácuo de momento fetor de uma viga biapoiada peo PDV. A eástica virtua do eempo da Figura 4. é composta de trechos retos com uma rotação reativa interna θ S = concentrada na posição da seção S (considerando pequenos desocamentos de ta forma que o arco de um círcuo é aproimado por sua corda). Nesse caso, não eiste desocamento transversa reativo virtua e, portanto, somente M S produz energia de deformação interna virtua:

31 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 99 U = θ. M S S A partir da imposição de 4.), chega-se a: W E = U, sendo = P D e D = b / (veja a Figura P b M S =. Os eempos de apicação do PDV mostrados acima trataram somente de vigas isostáticas. Aém disso, os campos de desocamentos virtuais impostos corresponderam a trechos retos de movimentos de corpo rígido. Isto foi feito apenas com o objetivo de apresentar o princípio, haja vista que a imposição de condições de equiíbrio em estruturas isostáticas é reativamente simpes. Na verdade, a grande vantagem do PDV é a determinação de forças ou momentos que equiibram uma estrutura quaquer (isostática ou hiperestática) que tenha uma configuração deformada conhecida (não rígida no caso gera). A epressão gera do PDV para o cácuo de uma força eterna genérica atuando em um ponto de um pórtico pano para manter o seu equiíbrio é obtida das Equações (4.) e (4.), desprezando a energia de deformação por efeito cortante: Sendo: W E W E = U P = N du M dθ. (4.6) estrutura estrutura P força eterna genérica a ser cacuada no sistema rea; N esforço norma no sistema rea; M momento fetor no sistema rea; desocamento eterno virtua no ponto da força genérica a ser cacuada; du desocamento aia reativo interno no sistema virtua; dθ rotação reativa interna por feão no sistema virtua. No caso de uma greha (estrutura pana com cargas fora do pano), o efeito de torção também deve ser considerado, resutando na seguinte epressão para o cácuo de uma força eterna genérica peo PDV, também desprezando a energia de deformação por efeito cortante: Sendo: W E = U P = M dθ dϕ. (4.7) estrutura estrutura

32 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha momento torçor no sistema rea; dϕ rotação reativa interna por torção no sistema virtua PDV para soicitações de carregamentos eternos e recaques de apoio Esta seção deduz a epressão do PDV para o cácuo genérico de forças ou momentos que equiibram uma estrutura quaquer (isostática ou hiperestática) cujas soicitações eternas reais são carregamentos eternos ou recaques de apoio. Essas soicitações se caracterizam por não apresentarem deformações iniciais. Para a apicação do princípio para esses tipos de soicitação, é necessário escrever as Equações (4.6) e (4.7) em função do campo de desocamentos eternos reais e virtuais. Para tanto, é obtida com base na Equação (.5) uma reação entre o esforço norma N e o desocamento aia u: du N = EA. (4.8) d A reação entre o momento fetor M e o desocamento transversa v é obtida com base na Equação (.): d v M =. (4.9) d A reação entre o momento torçor e a rotação por torção ϕ é obtida da Equação (.9): dϕ = GJt. (4.) d Substituindo as Equações (4.8) e (4.9) na Equação (4.6), e considerando pea E- quação (.) que d θ / d = d v/ d, tem-se a epressão do PDV para quadros panos em função dos desocamentos: Sendo: = du du d v d v P EA d d. d d d d (4.) estrutura estrutura EA parâmetro de rigidez aia, sendo E o móduo de easticidade do materia e A a área da seção transversa; u() desocamento aia no sistema rea;

33 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais u() desocamento aia no sistema virtua; parâmetro de rigidez transversa por feão, sendo I o momento de inércia da seção transversa; v() desocamento transversa no sistema rea; v() desocamento transversa no sistema virtua. No caso de grehas, a epressão do PDV em função de desocamentos transversais e rotações por torção eternos é obtida substituindo as Equações (4.9) e (4.) na Equação (4.7): Sendo: GJt d v d v P = d GJ d d estrutura estrutura t dϕ dϕ d. d d (4.) parâmetro de rigidez à torção, sendo G o móduo de cisahamento do materia e J t o momento de inércia à torção da seção transversa; ϕ() rotação por torção no sistema rea; ϕ() rotação por torção no sistema virtua. As Seções 4.4. e 4.4. mostram apicações das Equações (4.) e (4.) do PDV para o cácuo de forças e momentos em barras cinematicamente determinadas, isto é, em barras das quais se conhece a configuração deformada. Estas são souções fundamentais que formam base para o Método dos Desocamentos, ta como vai ser visto no Capítuo PDV para soicitações de variação de temperatura A variação de temperatura é um tipo de soicitação eterna que se caracteriza por provocar deformações iniciais. No caso de estruturas isostáticas, as deformações provocadas por temperatura não sofrem quaquer tipo de restrição, não provocando, portanto, esforços internos na estrutura. Por outro ado, uma estrutura hiperestática pode ter tensões internas induzidas por variação de temperatura. A apicação do PDV para esse tipo de soicitação vai ser deduzida para o caso de pórticos panos. Nesse caso, o desocamento aia reativo interno e a rotação reativa interna por feão devem considerar um termo devido ao esforço interno (que pode ser provocado conjuntamente por carregamento eterno e recaques de apoio) e um termo devido à variação de temperatura: N du = d du ; (4.) EA

34 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sendo que M dθ = d dθ. (4.4) du e dθ são dados peas Equações (4.) e (4.), respectivamente. Para apicar a Equação (4.6) do PDV, é necessário escrever o esforço norma N e o momento fetor M considerando as deformações iniciais provocadas pea variação de temperatura. Isto é feito com base nas Equações (4.) e (4.4): du du N = EA d d ; (4.5) dθ dθ M =. (4.6) d d Substituindo os esforços internos reais dados peas Equações (4.5) e (4.6) na E- quação (4.6), resuta na epressão do PDV para estruturas hiperestáticas com soicitações reais de carregamento eterno, recaques e variação de temperatura: du du du d v dθ P = EA d d d d d d estrutura estrutura d v d. (4.7) d 4... eoremas de reciprocidade O PV pode ser utiizado para formuar dois teoremas que são muito úteis na anáise de estruturas eásticas ineares. Estes são os chamados teoremas de reciprocidade (auchert 974): o eorema de Mawe e a sua versão generaizada, o eorema de etti (White et a. 976). Considere duas souções estruturais competas A e que atuam sobre a mesma estrutura eástica e inear (as souções são ditas competas porque cada uma deas satisfaz todas as condições de equiíbrio e compatibiidade). O sistema A é composto de um sistema de forças (F A, f A) em equiíbrio e associado a uma configuração deformada (D A, d A) compatíve. No sistema A, F A são as forças eternas atuando sobre a estrutura, f A são esforços internos em equiíbrio com F A, D A é o campo de desocamentos eternos da estrutura e d A são desocamentos reativos internos compatíveis com D A. Anaogamente, o sistema é composto de um sistema de forças (F, f ) em equiíbrio e associado a uma configuração deformada (D, d ) compatíve. O PV pode ser apicado a esses dois sistemas de duas formas, uma considerando o sistema A como rea e o sistema como virtua e a outra ao contrário. Utiizando a Equação (4.) pode-se escrever as seguintes reações:

35 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais A D = f A F d ; (4.8) DA = f F d. (4.9) Considere que a estrutura é um quadro pano que tem um comportamento inear eástico. Nesse caso, a integra do ado direito do sina de igua das Equações (4.8) e (4.9) são iguais: N AN M AM QAQ f A d = f da = d d χ d. EA GA Dessa forma, pode-se enunciar o eorema de etti (auchert 974, White et a. 976): Se uma estrutura inear eástica é submetida a dois sistemas independentes de forças, o trabaho reaizado peas forças generaizadas do primeiro sistema com os correspondentes desocamentos generaizados do segundo sistema é igua ao trabaho reaizado peas forças generaizadas do segundo sistema com os correspondentes desocamentos generaizados do primeiro sistema: A F D = F D. (4.4) A As forças são ditas generaizadas pois podem envover cargas concentradas, cargas distribuídas e momentos apicados. Os desocamentos são ditos generaizados pois podem envover desocamentos e rotações. Um caso particuar do eorema de etti, chamado de eorema de Mawe, ocorre quando as souções competas independentes são constituídas de forças generaizadas unitárias isoadas, ta como as mostradas na Figura 4.. A Sistema A M j = Sistema A θ j A P i = i Figura 4. eorema de Mawe para forças generaizadas unitárias. O eorema de Mawe, na versão para forças generaizadas unitárias apicadas, pode ser enunciado da seguinte maneira: Em uma estrutura inear eástica, o desocamento generaizado no ponto j provocado por uma força generaizada unitária atuando no ponto i é igua ao desocamento generaizado no ponto i provocado por uma força generaizada unitária atuando no ponto j (veja a Figura 4.): A j i θ =. (4.4)

36 4 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Aternativamente, as souções podem ser constituídas de imposições de desocamentos generaizados unitários, ta como indica a Figura 4.. A M j Sistema A Sistema A i = θ j = P i Figura 4. eorema de Mawe para desocamentos generaizados unitários. O eorema de Mawe, na versão para desocamentos generaizados unitários impostos, pode ser enunciado da seguinte maneira: Em uma estrutura inear eástica, a força generaizada que atua no ponto j necessária para provocar um desocamento generaizado unitário no ponto i é igua à força generaizada que atua no ponto i necessária para provocar um desocamento generaizado unitário no ponto j (veja a Figura 4.): A j i M = P. (4.4) A primeira versão do eorema de Mawe vai ser utiizada no próimo capítuo para demonstrar a simetria da matriz de feibiidade, que é a matriz dos coeficientes de feibiidade do sistema de equações finais de compatibiidade do Método das Forças. A segunda versão do eorema de Mawe será utiizada na próima seção e no Capítuo 6 para demonstrar a simetria da matriz de rigidez, que é a matriz dos coeficientes de rigidez do sistema de equações finais de equiíbrio do Método dos Desocamentos Souções fundamentais para barras isoadas A metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos, conforme introduzido na Seção.. do Capítuo, faz uma superposição de souções cinematicamente determinadas. Essas souções são configurações deformadas eementares da estrutura sendo anaisada. Dentro dessa metodoogia, conforme vai ser visto no Capítuo 6, uma configuração deformada eementar isoa um determinado efeito ou parâmetro que representa o comportamento cinemático (deformado) da estrutura. Cada configuração deformada eementar é uma soução fundamenta no conteto do Método dos Desocamentos. Nesse conteto, uma soução fundamenta de uma estrutura reticuada é composta de configurações deformadas eementares das suas barras. Esta seção apresenta souções fundamentais de barras isoadas que compõem as souções fundamentais do Método dos Desocamentos.

37 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 Eistem dois tipos de souções fundamentais de barras isoadas para o Método dos Desocamentos. O primeiro corresponde a souções de uma barra quando são impostos, isoadamente, desocamentos ou rotações nas suas etremidades. Essas souções se constituem nas forças e momentos que devem atuar nas etremidades da barra para equiibrá-a quando um desocamento (ou rotação) é imposto em uma das suas etremidades, aém da eástica resutante. O segundo tipo são souções de engastamento perfeito de barras devido a soicitações eternas. Essas souções são a eástica e as reações de apoio para uma barra com as etremidades engastadas (desocamentos e rotações restritos nas etremidades) resutantes da apicação de uma soicitação eterna no interior da barra Funções de forma para configurações deformadas eementares de barras de pórticos panos As configurações deformadas eementares de uma barra isoada correspondem às eásticas que resutam da imposição individua de desocamentos ou rotações em uma de suas etremidades. Os desocamentos são impostos em direções paraeas aos eios ocais de uma barra, sendo que o eio tem a direção aia da barra e o eio y tem a direção transversa, ta como mostra a Figura 4.. y 6 5 S 4 4 Figura 4. Eios ocais e desocabiidades de uma barra de pórtico pano isoada. u v 6 5 A Figura 4. indica os desocamentos e rotações nas etremidades de uma barra de pórtico pano isoada nas direções dos eios ocais da barra. Esses desocamentos e rotações são chamados de desocabiidades: i desocabiidade de barra no sistema oca: desocamento ou rotação em uma etremidade de uma barra isoada, na direção de um dos eios ocais. Sendo que e 4 são os desocamentos na direção aia, e 5 são os desocamentos na direção transversa, e e 6 são as rotações. A Figura 4. também introduz uma notação para indicar desocamentos e rotações: uma seta com um traço transversa na base. Na figura as desocabiidades também estão indicadas com seu significado físico na configuração deformada (com ampitude eagerada). odas as desocabiidade estão mostradas com seus senti-

38 6 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha dos positivos. Os desocamentos são positivos nos sentidos dos eios ocais da barra e as rotações são positivas no sentido anti-horário. Uma eástica eementar da barra de pórtico pano isoada é definida no sistema de eios ocais peo desocamento aia u() e peo desocamento transversa v(), que estão indicados na Figura 4.. Conforme foi comentado na Seção. do Capítuo, devido à adoção da hipótese de pequenos desocamentos, o comportamento aia e o comportamento transversa de uma barra são considerados independentes. Dessa forma, o desocamento aia u() só depende das desocabiidades aiais e 4, e o desocamento transversa v() fica definido somente peas desocabiidades,, 5 e 6. Considerando que não eiste carregamento na direção aia no interior da barra, com base na Equação (.7) tem-se que o esforço norma N na barra é constante. Portanto, a partir da Equação (4.8), vê-se que o desocamento aia u() varia inearmente ao ongo da barra: u ( ) =. (4.4) Por outro ado, o desocamento transversa v() da barra é regido pea Equação (.) de Navier. Como não eiste carregamento transversa neste caso, o desocamento transversa tem uma variação cúbica ao ongo da barra: v ( ) = C C C C. (4.44) As Equações (4.4) e (4.44) descrevem uma eástica genérica de uma barra isoada. Essa eástica pode ser descrita de uma maneira aternativa em função diretamente das desocabiidades: ( ) 4( ) 4 u ( ) = N N ; (4.45) v ( ) = N N N N. (4.46) ( ) ( ) 5( ) 5 6( ) As funções N i(), chamadas de funções de forma, definem as eásticas eementares da barra isoada. Essenciamente, as Equações (4.4) e (4.45) são equivaentes. A diferença é que os parâmetros que definem a eástica aia da primeira equação são meros coeficientes de um poinômio inear, enquanto os parâmetros na segunda equação têm um significado físico: são as desocabiidades aiais. Anaogamente, as Equações (4.44) e (4.46) são equivaentes, mas na útima os parâmetros que definem a eástica transversa são desocabiidades que têm significado físico. Eiste uma função de forma da barra isoada associada a cada uma de suas desocabiidades. No caso das desocabiidades aiais, as equações que definem as funções de forma são obtidas a partir da Equação (4.4), determinando os vaores das constantes e com base em condições de contorno adequadas. A função de 6

39 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 forma N () é definida considerando u() = e u() = na Equação (4.4), e a função de forma N 4() é definida considerando u() = e u() =. Isso resuta nas funções abaio, que também estão mostradas na Figura 4.4: N ( ) = ; (4.47) N 4 ( ) =. (4.48) u() N ( ) = u() N ) = 4 ( Figura 4.4 Funções de forma aiais de uma barra isoada. De forma anáoga, para as desocabiidades transversais, as equações que definem as funções de forma são obtidas a partir da Equação (4.44), determinando os vaores das constantes C, C, C e C com base em condições de contorno adequadas. A função de forma N () é definida considerando v() =, dv()/d =, v() = e dv()/d = ; a função de forma N () é definida considerando v() =, dv()/d =, v() = e dv()/d = ; a função de forma N 5() é definida considerando v() =, dv()/d =, v() = e dv()/d = ; e a função de forma N 6() é definida considerando v() =, dv()/d =, v() = e dv()/d =. Isso resuta nas funções abaio, que também estão mostradas na Figura 4.5: ( ) N = ; (4.49) ( ) N = ; (4.5) N 5( ) = ; (4.5) N 6 ( ) =. (4.5)

40 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha v() ( ) = N v() N 5( ) = v() ( ) = N v() N 6 ( ) = Figura 4.5 Funções de forma transversais (de feão) de uma barra isoada Coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano As mais importantes souções fundamentais de barra isoada são os chamados coeficientes de rigidez de barra. No presente conteto, coeficientes de rigidez de barra são forças e momentos que devem atuar nas etremidades da barra isoada, paraeamente aos seus eios ocais, para equiibrá-a quando um desocamento (ou rotação) é imposto, isoadamente, em uma das suas etremidades. As funções de forma mostradas na seção anterior definem eásticas correspondentes a essas souções fundamentais para uma barra de quadro pano. A seguinte notação é utiizada: k ij coeficiente de rigidez de barra no sistema oca: força ou momento que deve atuar em uma etremidade de uma barra isoada, na direção da desocabiidade i, para equiibrá-a quando a desocabiidade d j = é imposta (com vaor unitário), isoadamente, em uma das suas etremidades. O significado físico dos coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano no sistema oca é mostrado na Figura 4.6. Essa figura indica, no seu topo, a configuração deformada de uma barra isoada e o conjunto de forças e momentos que atuam nas etremidades da barra, paraeamente a seus eios ocais, para equiibrá-a nessa configuração. Essas forças e momentos são definidos como: fi força generaizada de barra no sistema oca: força ou momento que atua na direção da desocabiidade i de uma barra para equiibrá-a quando isoada. Como indica a Figura 4.6, a configuração deformada de uma barra pode ser decomposta em configurações deformadas eementares baseadas nas funções de forma definidas na seção anterior. A partir dessa superposição, as forças generaizadas da barra são obtidas pea soma das forças e momentos que equiibram a barra para cada uma das configurações deformadas eementares.

41 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 f f f 4 6 k 4 d 4 d 4 44 d 4 k d k f 6 f 5 f 4 5 k k d k k d k 6 d k 5 5 k 65 d 5 5 k d k d k 5 d k 6 k 5 k 5 5 k 66 d6 k 6 d 6 k 6 d 6 6 k 56 d 6 Figura 4.6 Superposição de configurações deformadas eementares para compor a eástica fina de uma barra de pórtico pano isoada. Observa-se na Figura 4.6 o desacopamento entre os efeitos aiais e transversais de feão de uma barra. As deformadas eementares aiais devidas a e 4 não mobiizam os coeficientes de rigidez de feão (forças na direção transversa ou momentos). Da mesma forma, as deformadas eementares transversais de feão devidas a,, 5 e 6 não mobiizam coeficientes de rigidez aiais. Devido a esse desacopamento, aguns coeficientes de rigidez ocais são nuos. A superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4.6 resuta em uma reação entre cada força noda generaizada f i e as desocabiidades da barra. Por eempo, a força tota f é obtida pea soma das forças aiais na etremidade esquerda da barra, resutando em: f = k k 4 4. Anaogamente, a força tota f é obtida pea soma das forças transversais na etremidade esquerda da barra, resutando em: f = k k k 5 5 k 6d6. Generaizando para todas as forças e momentos que atuam nas etremidades da barra, pode-se escrever a seguinte reação matricia:

42 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha f k f f = f 4 k f 5 f6 4 k k k k 5 6 k k k k 5 6 k 4 k 44 k k 5 5 k k k 6 d k6 4 k 56 d5 k66 d6 (4.5) A Equação (4.5) também pode ser escrita de uma forma condensada: { f } = [ k ] { }. (4.54) Sendo: { f } vetor das forças generaizadas de barra no sistema oca: conjunto de forças e momentos que atuam nas etremidades de uma barra (nas direções dos eios ocais) para equiibrá-a quando isoada. [ k ] matriz de rigidez de uma barra no sistema oca: matriz dos coeficientes de rigidez ocais k ij nas direções dos eios ocais. { } vetor das desocabiidades de barra no sistema oca: conjunto de desocabiidades de uma barra nas direções dos eios ocais. Duas observações podem ser feitas quanto à matriz de rigidez da barra isoada. A primeira é que peo eorema de Mawe (versão para desocamento unitário imposto, Equação (4.4)) a matriz é simétrica, isto é: k ji = k ij. (4.55) A segunda observação vem da superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4.6. Observa-se que os coeficientes de rigidez que correspondem a uma dada configuração deformada eementar têm o mesmo índice j. Pode-se dizer então: A j-ésima couna da matriz de rigidez [ k ] de uma barra no seu sistema oca corresponde ao conjunto de forças generaizadas que atuam nas etremidades da barra, paraeamente a seus eios ocais, para equiibrá-a quando é imposta uma configuração deformada ta que d j = (desocabiidade j com vaor unitário e as demais desocabiidades com vaor nuo). O PDV vai ser utiizado nas próimas seções para deduzir os vaores dos coeficientes de rigidez de uma barra de pórtico pano no sistema oca. Essa dedução é feita para barras prismáticas, isto é, barras com uma seção transversa uniforme ao ongo de seu comprimento. No Apêndice é apresentado um processo, chamado Processo de Mohr (Süssekind 977-) ou Anaogia da Viga Conjugada, que permite a determinação de coeficientes de rigidez para barras não prismáticas.

43 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais Coeficientes de rigidez aia de barra A determinação dos coeficientes de rigidez aia de uma barra pode ser feita de uma forma direta através da imposição do equiíbrio da barra que sofre uma deformação aia. Por eempo, considere a imposição da desocabiidade 4 mostrada na Figura 4.7. As forças eternas f e f 4 estão indicadas com seus sentidos positivos. Pode-se observar que para provocar o aongamento da barra é necessário ter um esforço norma de tração N = f 4. Aém disso, a força f tem que ter o sentido contrário ao que está indicado para poder equiibrar a barra. A partir da a a reação σ = Eε entre a tensão e a deformação normais da barra, chega-se a: N A E f = k EA = 4 k EA = 4 = ; EA EA f = f 4 f = k4 4 = 4 k = 4. Entretanto, o PDV provê uma maneira mais gera para se chegar a esses mesmos resutados. Considere que se deseja determinar o vaor do coeficiente de rigidez k 4, que corresponde à força f que deve atuar na etremidade esquerda da barra quando um desocamento aia d 4 = é imposto isoadamente na etremidade direita. O campo de desocamentos aiais reais desse probema é u ( ) = N 4 ( ) 4, conforme indicado na Figura 4.7. Para se cacuar k 4, deve-se escoher um campo de desocamentos aiais virtuais ta que somente a força f produza trabaho eterno virtua. Esse campo é u ( ) = N ( ), também mostrado na Figura 4.7. f = k4d4 Sistema Rea f 4 = k44d4 Sistema Virtua 4 Campo de desocamentos reais u() u ( ) = N ( 4 ) 4 Campo de desocamentos virtuais u() u ( ) = N ( ) Figura 4.7 Apicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez aia de uma barra isoada. Apicando o PDV com base na Equação (4.), somente com a parcea da energia de deformação aia, chega-se a:

44 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha k du du dn 4 dn 4 4 = EA d = EA d 4. d d d d Nessa epressão o vaor do desocamento virtua imposto na etremidade esquerda se cancea. Portanto, tem-se: dn dn EA k 4 = EA d = d d 4. Vê-se que o PDV determina diretamente o vaor do coeficiente de rigidez k 4 encontrado anteriormente, sem a necessidade de determinar outro coeficiente. Esse resutado pode ser generaizado para os outros coeficientes, bastando escoher os campos de desocamentos rea e virtua apropriados. Essa generaização resuta em: k = EA ij dn dn i j d d d (, j =,4) i (4.56) Com base na Equação (4.56), os vaores dos coeficientes de rigidez aia podem ser cacuados. Os resutados estão mostrados na Figura 4.8. ( EA / ) ( EA / ) ( EA / ) 4 ( EA / ) 4 4 Figura 4.8 Coeficientes de rigidez aia de uma barra isoada Coeficientes de rigidez à feão de barra sem articuação O PDV também é utiizado para determinar de uma maneira gera os vaores dos coeficientes de rigidez à feão que estão associados às desocabiidades,, 5 e 6. Considere que se deseja determinar o vaor do coeficiente de rigidez k, que corresponde à força f que deve atuar na etremidade esquerda da barra quando uma rotação d = é imposta isoadamente também na etremidade esquerda. O campo de desocamentos transversais reais é v ( ) = N ( ), conforme indicado na Figura 4.9. Para se cacuar k, deve-se escoher um campo de desocamentos transversais virtuais ta que somente a força f produza trabaho eterno virtua. Esse campo é v ( ) = N ( ), ta como mostrado na Figura 4.9 superposto ao campo de desocamentos reais.

45 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais Campo de desocamentos reais Campo de desocamentos virtuais = N ( ) ( ) = N ( ) d v ( ) v f = kd f 6 = k6d f = k f 5 = k5 Figura 4.9 Apicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez à feão de uma barra isoada. Utiizando a Equação (4.) do PDV, chega-se a: k d v d v d N d N = d d d =. d d d d Nessa epressão o vaor do desocamento virtua se cancea. Portanto, tem-se: d N d N k = d. d d A generaização desse resutado para as outros coeficientes resuta na Equação (4.57) abaio. Os vaores dos coeficientes de rigidez à feão são cacuados com base nessa equação. Os resutados estão mostrados na Figura 4.. k = ij Ni d d d N d j d (, j =,,5,6) i (4.57) ( / ) ( / ) d5 ( 6 / ) ( 6 / ) ( 6 / ) d5 ( 6 / ) 5 5 ( 6 / ) ( 4 / ) ( / ) ( ) 5 ( 6 / ) / ( 6 / ) d6 ( / ) ( 4 / ) d6 ( / ) d6 6 ( 6 / ) d6 Figura 4. Coeficientes de rigidez à feão de uma barra isoada sem articuação.

46 4 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Coeficientes de rigidez à feão de barra com articuação na esquerda Estruturas reticuadas muitas vezes apresentam barras articuadas em uma etremidade ou em ambas. No modeo estrutura isso é modeado por uma rótua na etremidade articuada que ibera a continuidade de rotação da barra nessa etremidade com as outras barras adjacentes ou com um apoio. Procedimentos anáogos aos que foram adotados para determinar coeficientes de rigidez de barras sem articuação poderiam ser desenvovidos para barras com articuação. Para tanto, seria necessária a determinação de funções de forma para barras articuadas. Entretanto, um procedimento mais simpes, baseado em superposição de efeitos, pode ser adotado para determinar os coeficientes de rigidez de uma barra articuada. Considere, como eempo, a barra articuada na etremidade esquerda mostrada na Figura 4.. O objetivo nesse eempo é a determinação dos coeficientes de rigidez à feão associados à imposição de uma rotação unitária na etremidade direita. / / / 6 / 4 / ( / / ) / = / M A = / M A = / 6 / / M A / = / Figura 4. Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à feão de uma barra com articuação na esquerda. A Figura 4. mostra a configuração deformada da barra com a rotação unitária imposta, no sentido anti-horário, na etremidade direita. A articuação na etremidade esquerda faz com que o momento fetor nessa etremidade seja nuo. Essa condição pode ser acançada com base na superposição de duas configurações deformadas da barra, ta como indicado nessa figura. A primeira parcea corresponde a uma rotação unitária imposta, no sentido anti-horário, na etremidade direita da barra sem articuação. Para garantir o equiíbrio nessa configuração, aparece um momento na etremidade esquerda M A = / no sentido anti-horário. A segunda parcea da superposição corresponde à apicação de um momento M A no sentido horário nessa etremidade, de ta forma que o momento fina da superpo-

47 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 sição nessa etremidade seja nuo. As forças e momentos (coeficientes de rigidez) que atuam na barra articuada são obtidos das forças e momentos correspondentes nas parceas da superposição. Procedimentos anáogos podem ser feitos para determinar os outros coeficientes de rigidez da barra com articuação na esquerda. Os resutados disso estão mostrados na Figura 4.. ( / ) ( / ) d5 ( / ) ( / ) d5 5 ( / ) ( / ) d5 ( / ) d6 ( / ) 6 6 ( / ) d6 Figura 4. Coeficientes de rigidez à feão de uma barra isoada com articuação na esquerda. Deve-se saientar que os coeficientes de rigidez associados à rotação unitária imposta na etremidade esquerda da barra são nuos. Isto porque a articuação faz com que não haja resistência à rotação imposta nessa etremidade Coeficientes de rigidez à feão de barra com articuação na direita Os mesmos procedimentos mostrados na seção anterior para determinar coeficientes de rigidez de uma barra com articuação na esquerda são adotados para uma barra com articuação na direita. A Figura 4. mostra a superposição de configurações deformadas que é utiizada para a determinação dos coeficientes de rigidez à feão da barra com articuação na direita associados à imposição de uma rotação unitária na etremidade esquerda. odos os coeficientes de rigidez à feão dessa barra estão mostrados na Figura 4.4. Nota-se também que os coeficientes associados à imposição de uma rotação unitária na etremidade articuada são nuos.

48 6 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha / 6 / / M = / / ( / / ) / = / M / = / 4 / 6 / / M = / Figura 4. Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à feão de uma barra com articuação na direita. ( / ) ( / ) d5 ( / ) ( / ) 5 5 ( / ) ( / ) ( ) 5 / ( / ) ( / ) Figura 4.4 Coeficientes de rigidez à feão de uma barra isoada com articuação na direita Matrizes de rigidez de barra de pórtico pano Esta seção mostra matrizes de rigidez de barras de pórticos panos no sistema oca para diferentes condições de etremidade. Isto resume os resutados para os coeficientes de rigidez de barra obtidos nas seções anteriores. Quatro tipos de condições de etremidade são consideradas: barra sem articuação Equação (4.58), barra com articuação na esquerda Equação (4.59), barra com articuação na direita Equação (4.6) e barra com articuação nas duas etremidades Equação (4.6). Os sinais dos coeficientes são positivos quando as forças e momentos correspondentes têm os sentidos positivos das desocabiidades (indicados na Figura 4.). De outra forma, os sinais são negativos. Observa-se também a simetria das matrizes de rigidez, o que é compatíve com a Equação (4.55).

49 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 Os coeficientes de rigidez aia são iguais para os quatro tipos de barra (primeiras e quartas inhas e counas das matrizes de rigidez). Observa-se o desacopamento entre o efeito aia e o efeito transversa de feão peos coeficientes nuos comuns a todas as matrizes. Nas matrizes, as inhas e counas correspondentes às rotações das etremidades articuadas também são nuas. No caso da matriz de rigidez para a barra bi-articuada Equação (4.6) só os coeficientes de rigidez aia são diferentes de zero. [ ] = EA EA EA EA k (4.58) [ ] = EA EA EA EA k (4.59) [ ] = EA EA EA EA k (4.6) [ ] = EA EA EA EA k (4.6)

50 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Coeficientes de rigidez à torção de barra A determinação dos coeficientes de rigidez à torção de uma barra de greha ou de pórtico espacia pode ser feita utiizando o PDV, a eempo do que foi feito para a barra de pórtico pano na seção anterior. Considere a imposição de uma rotação por torção ϕ A na etremidade esquerda de uma barra isoada, enquanto a rotação na outra etremidade é mantida nua ( ϕ = ), ta como mostra a Figura 4.5-a. ambém considere a imposição de uma rotação ϕ na etremidade da direita, mantendo ϕ A nua (Figura 4.5-b). São utiizadas setas dupas para representar rotações e momentos torçores. Os momentos torçores A e que atuam nas etremidades da barra para impor essas configurações deformadas também estão indicados na Figura 4.5 com seus sentidos positivos. Como não eiste carregamento no interior da barra, o momento torçor é constante ao ongo da barra. Aém disso, a partir da Equação (4.), vê-se que a rotação por torção ϕ () varia inearmente ao ongo da barra. Portanto, a mesma funções de forma aiais das Equações (4.47) e (4.48) podem ser utiizadas para representar a variação de ϕ (), ta como indica a Figura 4.5. (a) (b) A A = K = ϕ ϕ A ϕ ( ) = N ( ) ϕ A = ϕ A ϕ = A ( Kϕ ) ϕ ϕ A = ϕ ) = N ( ) ϕ ( 4 ϕ = ϕ Figura 4.5 Coeficientes de rigidez à torção de uma barra isoada. ϕ = ( Kϕ ) ϕ A = K K = GJt / ϕ ϕ ϕ O PDV é utiizado para determinar o momento torçor A da Figura 4.5-b. Este é o momento que deve atuar na etremidade esquerda da barra quando uma rotação por torção ϕ é imposta isoadamente na etremidade direita, considerando que ϕ A =. O campo de rotações por torção reais desse probema é ϕ( ) = N 4 ( ) ϕ. O campo de rotações por torção virtuais é ϕ( ) = N 4 ( ) ϕ, ta que somente o momento torçor da etremidade esquerda produza trabaho virtua eterno. Apicando o PDV com base na Equação (4.), somente com a parcea de energia de deformação por torção, chega-se a: dϕ dϕ A = GJt d = ϕ d d dn dn 4 GJt GJt d ϕ = ϕ. d d

51 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 O coeficiente de rigidez à torção é o fator que mutipica a rotação ϕ. O sina negativo indica que o momento torçor A tem o sentido contrário ao da rotação ϕ imposta com sentido positivo. Esse resutado pode ser generaizado para os outros coeficientes, bastando escoher os campos de rotações rea e virtua apropriados. Essa generaização resuta nos coeficientes de rigidez à torção mostrados na Figura 4.5 (os coeficientes são os fatores que mutipicam as rotações). Define-se genericamente o parâmetro K como o coeficiente de rigidez à torção: ϕ GJt Kϕ = (4.6) Da mesma maneira como se definiu a matriz de rigidez de uma barra de pórtico pano no sistema de eios ocais da barra, é possíve definir uma matriz de rigidez de barra de greha. Uma greha é uma estrutura pana com carregamento transversa ao seu pano. Por hipótese, uma barra de greha não tem soicitações aiais, apresentando efeitos de feão e cisahamento transversais ao pano e efeito de torção. A Figura 4.6 mostra a convenção adotada neste ivro para os eios ocais e para as desocabiidades ocais de uma barra de greha. As desocabiidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas dupas indicam rotações. y z z 5 4 Figura 4.6 Eios ocais e desocabiidades de uma barra de greha isoada. 6 Com base na convenção adotada na Figura 4.6 e nos coeficientes de rigidez à feão deduzidos na Seção 4.4., a Equação (4.6) mostra a matriz de rigidez de uma barra de greha no sistema oca. Esta matriz considera os coeficientes de rigidez à feão e o coeficiente de rigidez à torção dado pea Equação (4.6). Os efeitos de deformação por cisahamento não são considerados. O momento de inércia da seção transversa é I = Iy, isto é, I é o momento de inércia em torno do eio oca y mostrado na Figura 4.6. [ k ] GJ = GJ t t GJ GJ t t (4.6)

52 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Reações de engastamento de barra para soicitações eternas Esta seção apresenta souções fundamentais de engastamento perfeito de barras isoadas para carregamentos apicados e soicitações de variação de temperatura. Essas souções serão utiizadas dentro da metodoogia do Método dos Desocamentos que será introduzida no Capítuo 6. A Figura 4.7 mostra a notação e os sentidos positivos das reações de engastamento perfeito para um carregamento genérico, em que: fˆ i reação de engastamento perfeito de barra no sistema oca: reação força ou momento que atua na direção da desocabiidade oca i de uma barra com as etremidades fias para equiibrá-a quando atua uma soicitação eterna. y q() ˆf 6 ˆf ˆf 4 ˆf ˆf ˆf 5 Figura 4.7 Notação e sentidos positivos de reações de engastamento perfeito para barras isoadas. odas as deduções serão feitas para barras sem articuação. As reações de engastamento para uma barra com articuação podem ser obtidas a partir das reações de engastamento de uma barra sem articuação com o mesmo carregamento. A Figura 4.8 mostra a superposição de efeitos que é utiizada para a determinação das reações de engastamento de uma barra com articuação na esquerda. A Figura 4.9 faz o mesmo para uma barra com articuação na direita. fˆ = VA M A / f ˆ = fˆ5 = V M A / fˆ6 = M M A / q() q() ˆf ˆf 5 M ˆf 6 ( 4 ) θ M A = / ( M M A /) = M A / A / M A V A V θ M A / ( ) θ M A / = / Figura 4.8 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articuação na esquerda.

53 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais M A fˆ = VA M / f = M A M ˆ q() fˆ5 = V M / ˆf ˆf ˆf 5 f ˆ6 = q() V A / V M ( ) θ M / = / M / ( M M /) = M / / θ ( 4 ) θ M = / Figura 4.9 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articuação na direita Reações de engastamento para carregamentos eternos A determinação das reações de engastamento perfeito de uma barra soicitada para um carregamento eterno genérico vai ser feita com base no eorema de etti, que foi apresentado na Seção 4.., seguindo o que foi feito por Feton & Neson (996). Para eempificar isso, considere a barra bi-engastada mostrada na Figura 4.4 com um carregamento distribuído transversamente. O objetivo do eempo é determinar a reação força transversa ˆf da etremidade esquerda da barra. ˆf y q() Sistema A ˆf 6 M V Sistema v ( ) = N ( ) v A () ˆf V ˆf 5 Figura 4.4 Apicação do eorema de etti para determinar a reação vertica na etremidade esquerda. Para a apicação do eorema de etti para o eempo da Figura 4.4, é necessário definir dois sistemas, A e. O sistema A é a barra bi-engastada com o carregamento eterno apicado e as correspondentes reações de apoio. O sistema tem o víncuo associado à reação ˆf iberado e uma força transversa V apicada no ponto do víncuo iberado. A configuração deformada do sistema é ta que seu campo de desocamentos eternos é proporciona à função de forma N (). M

54 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O eorema de etti apicado ao eempo da Figura 4.4 impõe o seguinte: o trabaho reaizado peas forças e momentos eternos do sistema A com os correspondentes desocamentos e rotações do sistema é igua ao trabaho reaizado peas forças e momentos do sistema com os correspondentes desocamentos e rotações do sistema A. Observa-se que todas as forças e momentos eternos do sistema têm desocamentos e rotações correspondentes nuos no sistema A. Portanto, o trabaho das forças do sistema A com os desocamentos do sistema é nuo: ˆ f q( ) N ( ) d. = Dessa forma, chega-se a uma epressão para a determinação da reação desejada em função do carregamento transversa q(): fˆ = q( ) N ( ) d =. Um eempo anáogo é utiizado para determinar a reação momento ˆf na etremidade esquerda peo eorema de etti, ta como iustrado na Figura 4.4. Nesse caso, no sistema ibera-se a rotação associada à reação ˆf no apoio da esquerda. ˆf y q() Sistema A v A () ˆf 5 ˆf 6 M θ Sistema v ( ) = N ( ) θ ˆf V V Figura 4.4 Apicação do eorema de etti para determinar a reação momento na etremidade esquerda. O campo de desocamentos eternos do sistema na Figura 4.4 é proporciona à função de forma N (), e a apicação do eorema de etti para esse eempo resuta em: fˆ = q( ) N ( ) d =. Os resutados obtidos nos eempos das Figuras 4.4 e 4.4 podem ser generaizados para diversos tipos de cargas: aiais, transversais distribuídas, transversais concentradas e momentos concentrados, ta como iustrado na Figura 4.4. y M

55 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais p() P j q() M j ˆf 6 ˆf ˆf 4 ˆf ˆf 5 Figura 4.4 Reações de engastamento perfeito aiais e transversais para barras isoadas. A epressão (4.64), resutante da apicação do eorema de etti, é utiizada para determinar as reações aiais ˆf e ˆf 4 devidas a uma carga aia distribuída p(). A epressão (4.65) é utiizada para determinar as reações forças transversais ˆf e ˆf 5 e as reações momentos ˆf e ˆf 6 devidas a cargas transversais distribuídas, cargas transversais concentradas e cargas momentos concentrados (veja a Figura 4.4). fˆ = i i N ( ) q( ) d i ˆf f ˆ = N ( ) p( ) d ( i =,4 ) (4.64) i j N ( ) P i j j j dn j( j ) M j d ( i =,,5,6) (4.65) As Figuras 4.4, 4.44 e 4.45 mostram reações de engastamento de barras submetidas a carregamentos transversais. Estas reações foram determinadas com base na epressão (4.65) e, para as barras articuadas, com base nas Figuras 4.8 e 4.9. q / q /8 q / q /8 5q /8 q q q q / 5q /8 q /8 q / f = q / ˆ ˆ f = q f = q / ˆ5 ˆ f6 = q / / q /8 f = q / 8 ˆ fˆ = f = 5q /8 ˆ5 ˆ f6 = q /8 f = 5q /8 ˆ ˆ f = q /8 f = q /8 ˆ5 fˆ6 = Figura 4.4 Reações de engastamento para barras com carga transversa uniformemente distribuída.

56 4 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P /8 P P /8 f ˆ = P / f ˆ = P/8 P / / P / / f ˆ5 = P / fˆ6 = P /8 P P /6 f = 5P /6 ˆ fˆ = 5P /6 P /6 f = P /6 ˆ5 f = P /6 ˆ6 P /6 P /6 P 5P /6 f = P /6 ˆ f = P /6 ˆ f = 5P /6 ˆ5 fˆ6 = Figura 4.44 Reações de engastamento para barras com carga concentrada no meio do vão. / Pab ( a b) / Mb q / P ( ) Pb a b / a M 6Mab / a q / b 6Mab/ b Pa b / Ma 7q / q ( ) Pa a b / ( b a) / q / f ˆ f ˆ = Pab / f ˆ = Pa a b ˆ f = Pa b ( ) = Pb a b / ( ) 5 / 6 / f ˆ = 6Mab/ fˆ = Mb a b fˆ 5 = 6Mab / fˆ = Ma b a ( ) / ( ) 6 / f = q / ˆ ˆ f = q / f = 7q / ˆ5 ˆ f6 = q Figura 4.45 Reações de engastamento para barras com carga concentrada, momento concentrado e carga trianguar (West 989). /

57 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 5 Nesta seção as epressões para a determinação de reações de engastamento de barras isoadas soicitadas por carregamentos eternos são eatas para o caso de uma barra com seções transversais que não variam ao ongo de seu comprimento. Isto porque os campos de desocamentos eternos utiizados no sistema auiiar para a apicação do eorema de etti (sistema ) são proporcionais às funções de forma, que correspondem a souções para barras com seção transversa constante. No Apêndice é apresentado um processo, chamado Processo de Mohr ou Anaogia da Viga Conjugada, que permite a determinação de reações de engastamento para barras não prismáticas Reações de engastamento para variação de temperatura Para finaizar as epressões para a determinação de reações de engastamento perfeito de barras isoadas, é necessário considerar as soicitações de variação de temperatura. Iniciamente será mostrado um procedimento simpes (McGuire & Gaagher 979), baseado em superposição de efeitos. Um método gera, baseado no PDV, vai ser mostrado mais adiante. A Figura 4.46 iustra o caso de uma variação uniforme de temperatura CG, correspondendo ao que ocorre na fibra do centro de gravidade da seção transversa. A barra tem um materia com móduo de easticidade E e coeficiente de diatação térmica α. A seção transversa tem área A e momento de inércia I. y f ˆ = EAα CG fˆ 4 = EAα CG CG [ C] CG [ C] = α CG N = ( EA/ ) EA N = ( EA/ ) Figura 4.46 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação uniforme de temperatura (McGuire & Gaagher 979). O cácuo das reações de engastamento provocadas pea variação uniforme de temperatura do eempo da Figura 4.46 é feito por superposição de efeitos, tendo como estrutura base a barra com o víncuo que impede o desocamento aia do apoio da direita iberado. Na primeira parcea da superposição, a barra sofre a variação uniforme de temperatura e pode se aongar (ou encurtar) ivremente. O desocamento aia no apoio da direita é = α CG. Na segunda parcea da superpo- sição, é apicada uma força aia N = ( EA/ ) que impõe um desocamento aia

58 6 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha desse apoio igua a, mas no sentido contrário. Observa-se que as reações de engastamento nesse eempo são forças aiais iguais ao esforço norma N. O cácuo das reações de engastamento para uma variação transversa de temperatura é feito de forma anáoga por superposição de efeitos, ta como indicado na Figura As parceas da superposição têm os víncuos que impedem as rotações nas etremidades da barra iberados. Na primeira parcea ocorre uma deformação por feão da barra devida à variação transversa de temperatura, na qua cada e- emento infinitesima de barra sofre uma rotação reativa interna dθ, que é dada pea Equação (4.). Na segunda parcea são apicados momentos M = dθ / d nas etremidades da barra que anuam essa deformação. Observa-se que as reações de engastamento nesse eempo são momentos iguais ao momento M apicado. fˆ α = s [ C] i [ C] ( ) h i s dθ = α ( i s ) d h y s [ C] i [ C] dθ M = d fˆ α = 6 ( ) h i s dθ M = d d M M d θ = Figura 4.47 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação transversa de temperatura (McGuire & Gaagher 979). Os mesmos resutados encontrados acima podem ser acançados de uma maneira mais forma com base na Equação (4.7) do PDV. O sistema rea corresponde à barra bi-engastada que sofre uma variação aia e transversa de temperatura. Como pode ser observado nas Figuras 4.46 e 4.47, os desocamentos finais reais aiais u() e transversais v() são nuos. Dessa forma, a Equação (4.7) se reduz a: du du dθ P = EA d d d d d M d v d. (4.66) d O sistema virtua é escohido de ta forma que apenas a reação (rea) de engastamento que se deseja determinar produza trabaho virtua eterno. Portanto, para o cácuo da reação ˆf escohe-se um campo de desocamentos virtuais igua a

59 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 u( ) = d N( ), sendo d o desocamento aia virtua na etremidade esquerda. De maneira semehante, para o cácuo da reação ˆf escohe-se um campo de desocamentos virtuais igua a v( ) = d N( ), e anaogamente para as outras reações. Com base nas Equações (4.66), (4.) e (4.), chega-se às epressões gerais para o cácuo das reações de engastamento de uma barra isoada provocadas por uma variação de temperatura: Sendo: dni fˆ i = EAα CG d ( i =,4) (4.67) d fˆ α = i ( ) i h s d Ni d d ( i =,,5,6) (4.68) EA parâmetro de rigidez aia, sendo E o móduo de easticidade do materia e A a área da seção transversa; parâmetro de rigidez transversa por feão, sendo I o momento de inércia da seção transversa; α coeficiente de diatação térmica do materia; h atura da seção transversa de uma barra; i s CG variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; variação de temperatura na fibra superior de uma barra; variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra. As reações de engastamento cacuadas peas Equações (4.67) e (4.68) estão mostradas na Figura Observa-se que os vaores são os mesmos encontrados anteriormente nos eempos das Figuras 4.46 e α EAα CG ( ) h i s / s [ C] α ( ) h i s / EAα CG f ˆ = EAα fˆ = CG i [ C] f = α ( ) h ˆ f ˆ 4 = EAα fˆ5 = f = α i s / CG ( ) h ˆ6 i s / Figura 4.48 Reações de engastamento para uma barra com variação de temperatura.