2 O Problema do Fluxo de Custo Mínimo

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1 2 O Probema do Fuo de Custo Mínimo 2.1. O Probema de Transbordo Os Probemas de Fuo de Custo Mínimo, doravante referenciados pea siga PFCM, encerram uma casse de probemas de programação inear ampamente estudada devido à etensa gama de apicações práticas que apresenta. O transporte de mercadorias, design de redes de comunicação ou de dutos, atribuição de tarefas a trabahadores e paneamento da produção (Bradey et a. 1997), são apenas aguns eempos. O Probema de Transbordo, que pode ser formuado como um PFCM, consiste no probema de transportar certa quantidade de bens através de uma rede desde uma ou mais origens, ou fontes, até um ou mais destinos, ou sumidouros, obtendo o menor custo possíve. Sea, portanto, G ( N, A) um grafo, como á definido anteriormente, conectado e direcionado, sea o conunto B, B = n, composto pea dotação inicia dos nós pertencentes a N de ta maneira que b Z e que, se b > 0, b < 0 ou b = 0, o nó correspondente,, será um nó ofertante, demandante ou de transbordo. Suponha-se, por n b = 1 hora, que = 0, ou sea, que há equiíbrio entre oferta e demanda. Sea ainda, associado aos eementos de A, o conunto C, C = m, referente aos custos associados ao transporte de uma unidade do bem em questão ao ongo de cada arco. Desta maneira, sendo ( i, ) um arco quaquer que tenha origem em um nó i e destino em um nó, o vaor c, será o custo associado a este arco. i Representando-se por, o fuo no arco ( i, ), o Probema de Transbordo pode i ser formuado como um probema de programação inear da seguinte maneira:

2 16 min c i (2.1), ( ) A Sueito a = b, i i i N : ( ) A :(, i) A (2.2) 0 i, ( ) A (2.3) As restrições representadas por (2.2) são restrições de conservação de fuo e garantem que as demandas dos nós seam atendidas, á as representadas por (2.3) referem-se às restrições de não negatividade dos fuos. Observe que o probema, da maneira como formuado, não prevê imites máimos de fuo nos arcos configurando um probema do tipo não capacitado. Para transformá-o em um probema do tipo capacitado basta aterar (2.3) incuindo as restrições de capacidade dos arcos. Eiste também a possibiidade de se definirem imites inferiores positivos para o fuo nos arcos. Desta maneira, a versão mais competa de (2.3) seria: 0 ( ) A (2.4) u Onde i, e i u, representam respectivamente os fuos mínimo e máimo do arco ( i, ). Outros modeos mais específicos, pertencentes à mesma casse de probemas de fuo de custo mínimo, apresentam grande reevância teórica e prática, como o Probema do Caminho Mais Curto, o Probema de Atribuição e o Probema de Transporte (Key e O Nei, 1991) O Probema do Caminho Mais Curto O Probema do Caminho Mais Curto, PCMC, entre dois nós, s e t, pode ser energado como um Probema de Transbordo onde eistam n 2 nós de transbordo, um

3 17 nó ofertante, { s s N, b =1}, e um nó demandante, { t t N, b = 1} s t. Desta maneira, ao se resover o PFCM para este caso particuar, se está minimizando o custo do transporte de uma unidade de fuo entre dois nós predeterminados. A formuação do probema é idêntica à do probema de transbordo sem a necessidade da adoção de imites máimos de fuo nos arcos O Probema de Atribuição O Probema de Atribuição em um grafo bipartido consiste em associar, a um custo mínimo, eementos de um primeiro conunto, K, a eementos de um segundo, L, respeitando um custo { L} c, que representa a associação do eemento { i i K} i ao eemento. Desta maneira, consiste em eempo de Probema de Atribuição a aocação de tarefas a trabahadores. A formuação para este probema fica: min c i (2.5),, L Sueito a L = 1 (2.6) L = 1 i (2.7) K i, { 0;1} (2.8) Utiizando o eempo da aocação de tarefas (conunto K) a trabahadores (conunto I), as restrições presentes em (2.6) e (2.7) garantem, respectivamente, que nenhum trabahador ficará desocupado e que cada tarefa será atribuída a um, e somente um, trabahador. Já as restrições em (2.8) garantem que a soução sea inteira. Para energar o Probema de Atribuição como um caso particuar do Probema de Transbordo, basta, neste útimo, atribuir 1 a todo { b i i K} e -1 a todo { L} b. Observe que, para que a condição de equiíbrio entre oferta e demanda sea satisfeita, os

4 18 conuntos K e L deverão ter a mesma cardinaidade, ou sea, K = L = n. Observe 2 também que o Probema de Atribuição foi definido sobre um grafo bipartido, que, pea definição apresentada neste trabaho, se trata de um grafo não direcionado, enquanto o Probema de Transbordo foi definido sobre um grafo direcionado. Ta fato não apresenta empeciho agum visto que basta se transformar cada arco não direcionado ( i, ) em dois arcos direcionados ( i, ), e (, i) para se obter um grafo direcionado equivaente O Probema de Transporte Outra modeagem de grande importância pertencente à casse dos PFCM é a dos Probemas de Transporte. Formuado pea primeira vez por Hitchcock (1941) e mais tarde abordado de forma independente por Koopmans e Reiter (1951), este probema é freqüentemente embrado como o Probema de Transporte de Hitchcock-Koopmans. O probema de Hitchcock-Koopmans apresenta um conunto de nós ofertantes K, K = k, e um conunto de nós demandantes, L, L = e uma matriz de custos onde representa o custo de transportar uma unidade do bem em questão desde o nó { i i K} até o nó { L} através do arco ( ) e consiste em satisfazer a demanda com os bens ofertados ao menor custo possíve. c i, De modo a manter a coerência com a formuação apresentada para o Probema de Transbordo seam que os conuntos K e L subconuntos do conunto B contendo as dotações iniciais dos nós, e que B = k + = n. Sendo assim, os conuntos oferta e demanda podem ser respectivamente representados por { b b,..., } { b b } b k +, k + 2,..., k + 1, a formuação do probema fica então: 1, 2 b k e por Sueito a min c i (2.9),, L

5 19 L, = b L (2.10) i, = b i K (2.11) i i, 0 (2.12) i As restrições (2.10) e (2.11) garantem que respectivamente que toda a demanda sea atendida (embrando que um nó é demandante se enviada. Pressupõe-se aqui o equiíbrio entre oferta e demanda, ou sea, b < 0) e que toda a oferta sea b + b = 0. i L As inequações em (2.12) representam as restrições de não negatividade no caso de um probema não capacitado. Anaogamente ao que foi feito com o Probema de Transbordo pode-se transformar este probema em capacitado acrescentando-se as restrições de capacidade dos arcos. Para um probema ainda mais gera, com restrições de fuo mínimo, (2.12) ficaria: 0 (2.13) u Este é um probema muito simiar ao Probema de Transbordo, divergindo apenas no fato de não eistirem nós de transbordo, { i = 0} b i. Observe ainda que, para se transformar o Probema de Transporte em Probema de Atribuição basta que: b b =1 i K, L (2.14) i = K = L = n (2.15) 2 Aém da modeagem do probema, Hitchcock (1941) e Koopmans e Reiter (1951) apresentaram um método computaciona para a soução do probema. No mesmo ano Dantzig (1951) mostrou como o probema poderia ser resovido peo método simpe

6 20 e aguns anos mais tarde Orden (1956) mostrou que este agoritmo poderia ser apicado ao Probema de Transbordo.