PESQUISA OPERACIONAL -OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO EM REDES. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

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1 PESQUISA OPERACIONAL -OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO EM REDES Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

2 ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 6 do livro de Taha (2008): Otimização em Redes CPM e PERT

3 OTIMIZAÇÃO EM REDES Definições Rede Conjunto de nós conectados por arcos (ramos). Uma rede é descrita pela notação (N, A), sendo N o conjunto de nós e A o conjunto de arcos. P.ex.: N = {1, 2, 3, 4, 5} A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5)}

4 OTIMIZAÇÃO EM REDES Definições

5 OTIMIZAÇÃO EM REDES Definições Rede Associado com cada rede está um fluxo P.ex.: fluxo de produtos de petróleo em uma tubulação ou fluxo de automóveis em rodovias; O fluxo em uma rede é limitado pela capacidade de seus arcos, que pode ser finita ou infinita.

6 OTIMIZAÇÃO EM REDES Definições Rede Um arco é orientado (ou dirigido) se ele permitir fluxo positivo em uma direção e fluxo zero na direção oposta; Uma rede orientada é aquela na qual todos os arcos são orientados; Um caminho é uma sequência de arcos distintos que ligam dois nós passando por outros nós, independente da direção de fluxo em cada arco; Um caminho forma um ciclo (ou loop) se conectar um nó a si mesmo, passando por outros nós;

7 OTIMIZAÇÃO EM REDES Definições Rede Uma rede conectada é uma rede tal que todos os pares de nós estão ligados por no mínimo um caminho; Uma árvore é uma rede conectada sem ciclos, formada por um subconjunto de todos os nós; Uma árvore geradora é uma árvore que liga todos os nós da rede;

8 OTIMIZAÇÃO EM REDES Exemplos Projetos de rede de tubulação em geral (petróleo, água fluídos industriais etc.); Determinação do caminho mais curto (trajetos); Determinação da capacidade máxima de tubulações; Determinação de cronograma de um projeto; E muitos outros...

9 OTIMIZAÇÃO EM REDES Algoritmos de otimização em redes Árvore geradora mínima Algoritmo do caminho mas curto Algoritmo do fluxo máximo Algoritmo de caminho crítico (COM Critical Path Method) Algoritmo capacitado de rede de custo mínimo

10 CPM Critical Path Method ou Método do caminho crítico PERT Program Evaluation and Review Technique ou Técnica de Revisão e Avaliação de Programa São métodos baseados em rede, desenvolvidos para auxiliar no planejamento, na programação e no controle de projetos.

11 Um projeto é definido como um conjunto de atividades inter-relacionadas, sendo que cada atividade consome tempo e recursos; O objetivo do CPM e do PERT é fornecer meios analíticos para programar as atividades;

12 Em primeiro lugar, se definem as atividades do projeto, suas relações de precedência e seus requisitos de tempo; Em seguida, as relações de precedência entre as atividades deverão ser representadas por uma rede; A terceira etapa envolve cálculos específicos para desenvolver uma programação temporal para o projeto; Durante a execução do projeto, pode ser que as coisas não ocorram conforme o planejado, assim como algumas atividades podem ser adiantadas ou atrasadas; Quando isso ocorre, a programação deve ser revisada para refletir a realidade.

13 PERT e CPM são técnicas independentes; CPM Considera durações determinísticas para as atividades; PERT Considera durações probabilísticas;

14 Representação em rede Cada atividade do projeto é representada por um arco que aponta na direção do desenvolvimento de um projeto; Os nós da rede estabelecem as relações de precedência entre as diferentes atividades;

15 Representação em rede As três regras para construir a rede: Regra 1: Cada atividade é representada por um, e somente um, arco; Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos; Regra 3: Para manter as relações corretas de precedência, é preciso responder às seguintes perguntas quando cada atividade for adicionada à rede: a) Quais atividades devem preceder imediatamente a atividade atual? b) Quais atividades devem vir após a atividade atual? c) Quais atividades devem ocorrer concorrentemente com a atividade atual?

16 Representação em rede Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos; Uma atividade fictícia pode ser usada para representar duas atividades concorrentes, A e B; Por definição, uma atividade fictícia é representada por um arco tracejado e não consome nem tempo nem recursos; São usadas para fornecer nós finais exclusivos para as atividades e satisfazer a regra 2;

17 Representação em rede Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos; Uma atividade fictícia pode ser usada para representar duas atividades concorrentes, A e B; Por definição, uma atividade fictícia é representada por um arco tracejado e não consome nem tempo nem recursos; São usadas para fornecer nós finais exclusivos para as atividades e satisfazer a regra 2;

18 Representação em rede As três regras para construir a rede: Regra 3: Para manter as relações corretas de precedência, é preciso responder às seguintes perguntas quando cada atividade for adicionada à rede: a) Quais atividades devem preceder imediatamente a atividade atual? b) Quais atividades devem vir após a atividade atual? c) Quais atividades devem ocorrer concorrentemente com a atividade atual?

19 Representação em rede As respostas para as perguntas da Regra 3 podem exigir a utilização de atividades fictícias para garantir as precedências corretas entre as atividades. Por exemplo: Considere o seguinte segmento de um projeto: 1. A atividade C começa imediatamente após a conclusão de A e B; 2. A atividade E só começa após a conclusão de B.

20 Representação em rede Faça os exercícios sobre representação de redes. Conjunto 6.5A do livro Problema número 1 Problema número 6 Problema número 8

21 Cálculos do caminho crítico O resultado final do COM é a construção da programação temporal para o projeto;

22 Cálculos do caminho crítico Para atingir esse objetivo de modo conveniente, executamos cálculos especiais para produzir as seguintes informações: 1. Duração total necessária para concluir o projeto; 2. Classificação das atividades do projeto como críticas e não críticas; Uma atividade é crítica se não houver nenhum espaço de manobra, ou folga, na determinação de seus tempos de início e conclusão; Uma atividade não crítica permite certa folga na programação, de modo que o tempo de início da atividade pode ser adiantado ou atrasado dentro de limites sem que afete a conclusão do projeto como um todo.

23 Cálculos do caminho crítico Para fazer todos os cálculos necessários, define-se um evento como o ponto no tempo em que as atividades são concluídas e outras iniciadas; Em termos de rede, um evento corresponde a um nó; Defina-se: j = tempo mais cedo da ocorrência do evento j j = tempo mais tarde da ocorrência do evento j D ij = duração da atividade (i, j)

24 Cálculos do caminho crítico As definições do tempo mais cedo e do tempo mais tarde da ocorrência do evento j são especificadas em relação às datas de início e conclusão do projeto inteiro; Os cálculos do caminho crítico envolvem dois passos: Primeiro: o cálculo no sentido nó inicial - nó final do projeto, denominado forward pass, que determina os tempos mais cedo de ocorrência dos eventos Segundo: o cálculo no sentido nó final nó inicial, denominado backward pass, que determina os tempos mais tarde de ocorrência dos eventos;

25 Cálculos do caminho crítico Forward pass (tempos mais cedo de ocorrência, ) Os cálculos começam no nó 1 e continuam recursivamente até o nó final n; Etapa inicial: determine 1 = 0 para indicar que o projeto começa no tempo 0; Etapa geral: dado que os nós p, q,..., e v são ligados diretamente ao no j por atividades de entrada (p, j), (q, j),..., e (v, j), e que os tempos de ocorrência mais cedo dos eventos (nós) p, q,..., e v já foram calculados, a ocorrência mais cedo do evento j é calculada como:, = max { p + D pj, q + D qj,..., v + D vj } O forward pass vai estar concluído quando n no nó n tiver sido calculado. j representa o caminho (duração) mais longo até o nó j.

26 Cálculos do caminho crítico Backard pass (tempos mais tarde de ocorrência, ) Após a conclusão do forward pass, os cálculos do backward pass começam no nó n e terminam no nó 1; Etapa inicial: determine n = n para indicar que os tempos mais cedo e mais tarde da ocorrência do último nó do projeto serão os mesmos; Etapa geral: dado que os nós p, q,..., e v são ligados diretamente ao no j por atividades de entrada (j, p), (j, q),..., e (j, v), e que os tempos mais tarde de ocorrência dos nós p, q,..., e v já foram calculados, a ocorrência mais tarde do nó j é calculada como:, = min { p -D jp, q -D jq,..., v -D jv } O backard pass vai estar concluído quando 1 no nó 1 for calculado. 1 = 1 (= 0)

27 Cálculos do caminho crítico Com base nos cálculos precedentes, uma atividade (i, j) será crítica se satisfazer três condições: 1. i = i 2. j = j 3. j - i = j - i = D ij As três condições declaram que os tempos mais cedo e mais tarde da ocorrência dos nós finais i e j são iguais, e que a duração Dij se ajusta rigidamente ao espaço de tempo especificado. Portanto, uma atividade que não satisfaça as três condições é não crítica. Por definição, as atividades críticas de uma rede devem constituir um caminho ininterrupto que abranja toda a rede, do início ao fim.

28 Exercício

29 Exercícios Faça os exercícios sobre representação de redes. Conjunto 6.5B do livro Problema número 1 Problema número 2 Problema número 3

30 O que você pode aprofundar no estudo de CPM: Para saber mais sobre resolver problemas de COM, procure estudar também: Regras para construção da programação temporal Formulação do problema de CPM em Programação Linear Estes dois tópicos são cobertos pelo livro de TAHA (2008).

31 O que mais você pode aprofundar A diferença entre CPM e PERT é que no PERT, a duração de uma atividade se baseia em três estimativas: Tempo otimista, a, que ocorre quando a execução vai muitíssimo bem; Tempo mais provável, m, que ocorre quando a execução transcorre sob condições normais; Tempo pessimista, b, que ocorre quando a execução vai muitíssimo mal. Dê uma olhada no livro de TAHA (2008) sobre como resolver problemas de PERT.

32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2008.

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