5 Modelos não lineares para séries temporais STAR(p)

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1 5 Moelos não lneares para séres emporas STARp Nas úlmas écaas, os moelos não-lneares começaram a r mas envolvos e surgram os moelos e roca e regme as como o moelo auorregressvo com lmar TAR, moelos auorregressvo com ransção suave STAR e o moelo e roca e regme marovano Marov Swchng Moels MSM Krolg, 998. Es moelos enconraram um grane número e aplcações e sucesso na leraura, a éa básca os mesmos é arbur moelos lneares snos em regões snas one enconram os valores as séres em esuos. Nos casos o STAR e MSM as ransções enre caa moelo são suaves. Ouro moelo ambém com grane esaque na leraura é o e Rees Neuras Arcas RNA Han, e poe- nerpreá-los como uma orma especal e ransção suave. Abaxo é elaboraa uma relação os prncpas moelos: Moelos e múlplos regmes auorregressvo TAR. Moelos e múlplos regmes auorregressvo com lmar auo-excane SETAR. Moelos e múlplos regmes auorregressvo com lmar auo-excane mulvarao M - SETAR Moelos auorregressvos com ransção suave STAR. Moelos auorregressvo com ransção suave logísca STAR. Moelos auorregressvo com ransção suave exponencal ESPAR 3 Rees neuras arcas auorregressvo AR-ANN 4 Moelo e roca e regme marovano MSM 5 Moelos GARCH não lneares TARCH e EGARCH É mporane er que, obvamene, exm ana ouros moelos não lneares sponíves na leraura. Boas reerêncas para es ouros moelos e os acma caos poem r enconraas em Goojer & Kumar 99, Granger & Teräsvra 993, Chen & Tsa 993, Asae e al. 997, Meeros 998, unbergh e al., Van Dj e al.. E para um leor que não esá

2 38 muo amlarao com moelos não lneares, uma nroução a es po e moelo é enconraa em Tao & Tsa 994 e Poer 999. O moelo TAR, como uma éa e aproxmar uma unção não-lnear geral por um moelo lnear por pares, o proposo prmeramene por Tong 978 e obeve ore envolvmeno por Tong & m 98 e Tong 983/99. Em Chan & Tong 986 é escro uma generalação os moelos TAR com uma ransção mas suave, al generalação cou conheca como moelos STAR Smooh Transon Auoregressve. Porormene, Teräsvra 994 envolveu ana mas e po e moelo. Em 997, u & propõem um moelo auo-regressvo com um lmar que consere a heeroceascae a varânca conconal a sére emporal. A sua popularae eve ao ao e sua aclae e especcação, esmação e nerpreação quano comparao com ouros moelos não-lneares. Toava apesar o envolvmeno e nerênca por Hann 997 pouco sabe a respeo as propreaes esaíscas e us esmaores. A éa prncpal os moelos TAR é escrever o u processo por pares, ou ja, alerar os parâmeros e um moelo auo-regressvo lnear epeneno a regão em que enconrem valores e uma eermnaa varável, so é, one a quebra e caa moelo epene a regão a que perence o valor a varável. Seja o processo a sére, r a varável e esao unmensonal e R r,,...,, uma parção o R r, poe- enão escrever o moelo TAR como uma composção e moelos auorregressvos, caa um avo enro a regão em que enconra o valor a varável, so é, M 5. A escolha a varável é bem lexível e por esa raão mosra a nâmca e o grane número e moelos possíves. Quano em -, o moelo resulane é conheco como SETAR,,..., auorregressvo e múlplos regmes auo-excane - e a sua ormulação é:

3 39 M 5. Denno R j r j-, r j, enomna- e parâmeros lmares o conjuno {r,...,r } e o parâmero e easameno e os j ~ NID, σ j. Uma generalação meaa o moelo aneror é o SETARMA ;,..., ;,...,, eno por: θ θ θ 5.3 O moelo SETAR poe r reescro em noação veoral a gune orma: h I ' ' λ α 5.4 One ],..., [, ] [, ],,..., [ ],,..., [ ' ' ' ' p p p e λ λ λ α α α Nessa noação o nroua uma unção que é chamaa e ncaora; ela é ena como: conráro caso r I,, One é o parâmero e easameno - e r são os parâmeros e lmares lnearmene orenaos. Poe- perceber que ne moelo as muanças e regme são abrupas, caracerano esconnuaes. E moelo esá no exposo, pos aprena uma únca caracerísca a esconnuae que não é melhane ao STAR. É mporane er que essa caracerísca mplca em ouras erenças na esraéga e moelagem ess moelos. Para maores ealhes essa esraéga em moelos SETAR veja TSAY 986, 989 e 998, Clemens & Smh 997, Clemens & Krolg 998.

4 4 Porano, rocano I r por uma unção e amorecmeno F o moelo orna o moelo auorregressvo com ransção suave STAR. A escolha e F é bem lexível. Por exemplo, poe- rocar I r x pela unção e srbução a normal parão, ou enão, pela unção logísca aa por: xc e γ Daí o anes o STAR, sgncano moelo auorregressvo com ransção suave logísca ou STAR. A gura 7 é o gráco a unção logísca para erenes valores o γ gama gama 5 gama.5 gama Fgura Função ogísca para erenes valores o γ Nesa pesqusa ulou- a unção logísca como a unção e ransção. A únca conção mposa a esa unção é e que ja conínua e não ecrescene para γ >. Esa unção em que r mpre conínua, enreano, não exm resrções para que ela ja ecrescene ese que o γ <, caso conráro, o moelo é não encável. Poe- perceber, analsano a gura 7, que quano γ o moelo STAR converge para o SETAR Tong 99, p. 83. A ormulação geral veoral o moelo STAR é mosraa abaxo, Y ' ' G, x ; Ψ α λ γ x c, 5.5 one x c γ γ x c e 5.6

5 4 One G. é uma unção não lnear e e x, ena pelo veor e parâmeros ψ. α e λ são veores e parâmeros e é um veor e varáves. Os erros são conseraos NID com méa e varânca σ. Noe que é possível ular oura varável para explcar a nâmca o moelo, so é, ulou x ao nvés e - m pera e generalação. 5.. Especcação, e e lnearae, esmação os parâmeros e valação para moelos STAR Os moelos STAR poem gur o mesmo cclo e moelagem a meoologa Box & Jenns. Ou ja, especcação, esmação os parâmeros e valação o moelo. É mporane er que para muos ouros moelos não lneares sso não ra possível. Poe- car argos e Teräsvra 994 e Erhem e Teräsvra 996 para o STAR Esaconareae Um pono muo mporane nesa ormulação é a necessae e que o processo geraor os aos ja ergóco. Enreano, como sso é uma conção muo ore para uma sére emporal, a moelagem poe r aplcaa com resulaos sasaóros, ese que a srbução os aos ja esaconára e guna orem. Para sso, eve- aplcar es e esaconareae na sére emporal em esuo para saber a sére é esaconára. Os es ulaos para al rão o e Dce Fuller aumenao ADF e o Phllps Perron PP. Enreano, não exm garanas e que rabalhano com uma sére não esaconára, o processo ornara nsável, ou ja, a mposção e que a sére ja esaconára é uma grane conrovérsa ne po e moelo em avaes prácas, como é o caso esa sração. No próxmo capíulo rão aprenaos oos os resulaos e oos os procemenos que rão aboraos ne capíulo para a sére o CMO Especcação A prmera anál a r ea respeo à especcação. Prmeramene, é necessára a escolha a orem a auorregressão. Para sso, propõe- esmar moelos AR e orem aé orem p e leconar a orem que mnme algum

6 4 créro Teräsvra, 994, como por exemplo o BIC Schwar, 978 ou o AIC Aae, 974 enos como: BIC T ln σ K, ^ 5.7 AIC T ln σ K ln T ^ Toos ess os créros são esruuralmene smlares ese que envolvem uma esmava a unção o log a verossmlhança esperaa o moelo em conseração e um ermo e penalae que epene reamene ou nreamene o número e parâmeros esmaos o moelo e o número e obrvações. Exm ouros méoos como a ulação a unção e auocorrelação parcal ou, enão, ulação e méoos não paramércos, enreano, e úlmo méoo requer uma enorme quanae e obrvações e o cuso compuaconal é muo elevao Te e lnearae O próxmo passo é saber o processo é não lnear, pos o processo or lnear, não é necessáro à aplcação e uma moelagem não lnear para o problema eno em vsa que os moelos lneares envolvos aé os as e hoje ram mas que sucenes para soluconar o problema. Além sso, o e rve para escolher a varável e ransção caso ule- um valor easao a própra sére emporal. Eeua- o e em váras varáves orens canaas e escolhe- aquela que mnmar o p-valor o e. O e mplemenao nesa sração o o proposo por Teräsvra 994. Cons em um e o po M agrange Mulpler e baa em regressões auxlares para consrur a esaísca o e. Para maores ealhes a ormulação consule ambém uuonen, Saonen e Teräsvra 988 e sobre es o po M veja Breusch e Pagan 98. Consere o moelo STAR em 5.5 e o reescreva como one Y ' ' α λ * γ x c, 5.8 * γ x c γ x c e 5.9

7 43 Subrano- ½ a unção logísca é úl somene na ervação o e e lnearae one smplca a noação, mas não aea o argumeno. Os moelos esmaos ne rabalho não possuem e ermo. Noe que sob a hpóe nula e que γ a unção *. uuonen, Saonen e Teräsvra 988 sugerem aproxmar a unção * por uma expansão e Talor e prmera orem em orno e γ, que é, * x ; γ, c T x ; γ, c * x ;, c γ γ x c, γ 4 γ 5. one usou- o ao e que *x ;,c. Depos e subsur *. para T. em 5.8 e reorenano os ermos, em- o moelo e regressão auxlar ~ ' ~ Y β, β ' β j x η, 5. one ~,..., ' e β j β,j,...,β p,j, j,. Esá crao, enão, um p smples e e lnearae. A hpóe nula poe r ena como H : β j. Enreano, os parâmeros β j componene não lnear em 5.8 or nercepo e não epenem e λ. ogo, quano a únca ~ x, o e não em poênca. Para conornar essa suação, usa uma expansão e ercera orem, ou ja, 3 T3 x ; γ, c γ x c γ x c , 5. one usou- o ao e que a guna ervaa e *x ; γ, c com respeo a γ calculao em γ é gual a ero. Usano essa aproxmação o moelo auxlar é ' ~ ' ~ ' ~ ' ~ Y β β β x β x β x η, 5.3, 3 One β, e β j, j,, 3, novamene são unções os parâmeros α, λ, γ, e c. Inspeconano- as relações enre os parâmeros emonsra que a hpóe nula H : γ agora correspone a H : β β β 3, que poe r esao por um e M. Sob a hpóe nula, a esaísca e e assnóca gue uma srbução χ com 3p graus e lberae. Para pequenas amosras, a recomenação é que u a srbução F para os es o po M Granger e Teräsvra, 993, capíulo 7. A versão F a esaísca e e baao em 5.3 poe r calculao a gune orma: Regra em e calcule SSR ˆ n 3

8 44 Regra ˆ em x e quarácos SSR νˆ ~ x j, j,, 3, e calcule a soma os resíuos n 3 Calcule a esaísca o e como SSR SSR / 3p M F SSR / n 4 p one n é o amanho a amosra. Sob a hpóe nula, essa esaísca gue uma srbução F com 3p e n 4p graus e lberae. embrano que, caso a varável e ransção ja um valor easao a própra sére emporal, o valor o é escolho para a orem o e que mnma o p-valor o e Esmação os parâmeros Realao o e e lnearae, passa- à a e esmação os parâmeros. Nesa a o méoo ulao é o os mínmos quaraos não lneares ou por máxma verossmlhança conconal quano ~ NID,σ, os méoos são concenes. ogo o veor e parâmeros θ o moelo é esmao como: ^ Ψ arg mn Q θ arg mn Ψ Ψ T G, x ; θ 5.4 Sob ceras conções e regularae que são scuas em Whe e Domow, 984; Gallan, 987; Pöscher e Prucha, 997; enre ouros, os esmaores são consnes e assnocamene normas, so é: T ˆ θ θ N, C, 5.5 one θ é o veor veraero e parâmeros. A mar e covarânca os esmaores C poe r consnemene esmaa, aplcano- os conceos envolvos em Davson e MacKnnon 993, capíulo 5, por ˆ ˆ ˆ C ˆ σ H ' H, 5.6 one ˆ σ é a varânca esmaa os resíuos e Ĥ é uma mar com T lnhas aas por G, ; ˆ x θ. Uma quesão muo mporane na esmação é a escolha os valores ncas os parâmeros a rem esmaos. O algormo e omação é muo nsível a essa escolha.

9 45 A meoologa proposa é a gune: para valores xos os parâmeros a unção e ransção γ e c, o moelo STAR é lnear nos parâmeros auorregressvos α e λ. Enão, conconal a γ e c, esmavas e θ α, λ poem r obas por mínmos quaraos ornáros MQO como γ, c γ, c' γ, c, ˆ θ γ, c 5.7 ~ one γ, c, ~,..., ~ ] e a noação ˆ θ γ, c é usaa para ncar [ p que a esmava e θ é conconal a γ e c. Os corresponenes resíuos poem r calculaos como ˆ θˆ γ, c' γ, c com varânca assocaa e ˆ σ γ, c n n ˆ γ, c. E para enconrar valores e γ e c usou- uma busca em grae bmensonal e leconou- os valores que aprenaram menor esmava para a varânca os resíuos ˆ σ γ, c. Uma mporane recomenação é e que um algormos como o Broen-Flecher-Golarb-Shanno BFGS ou evenberg-marqua. Como não é o objevo o rabalho emonsrar a ormulação maemáca os algormos e omação, para maores ealhes veja Beras 995. Um ouro pono que merece r menconao é quano à escolha a busca local a r usaa para leção o amanho o passo. Na moelagem a sére o CMO ular--á, em um prmero momeno, o algormo e evenberg-marqua com nerpolação cúbca, enreano, a nerpolação quaráca ambém é recomenaa. Por úlmo, salena- que é nooramene ícl e ober uma esmava precsa o parâmero e suavae γ. Uma as raões es ao é e que o ormao a unção logísca 5.6 mua muo pouco quano o valor o parâmero é alo Frans e Dj,. Conqüenemene, para ober uma esmava mas precsa e γ é precso um número sucene e aos na vnhança o parâmero c. Como sso não é pcamene o que aconece, a esmava e γ é, geralmene, mprecsa e qua mpre nsgncane julgaa pela esaísca o parâmero. Es problema a esmação é scuo em um conexo mas geral em Baes e Was 988, p. 87. O pono mas mporane e conserar é que essa nsgncânca a esmava o γ não eve r nerpreaa como uma evênca conra a prença e não lnearae o po STAR.

10 Ferramenas e Avalação Após a esmação o moelo a- necessáro à aplcação e es para avalar o moelo proposo. Enreano, é evencao pela leraura que os es e avalação raconas não unconam ão bem para moelos não lneares. Em amosras pequenas e moeraas é exremamene recomenável o uso e es baaos no prncípo o mulplcaor e agrange para avalar o moelo. Os es aqu ulaos são os proposos por Meeros. Es es oram ulaos, pos, esuos e smulação, comprovaram que os es aprenam a poênca esperaa para pequenas amosras. Os es são e consânca os parâmeros, nepenênca ral os resíuos e homoceascae. Anes sso, vale er que oos es es parem e uma mesma éa, so é, assume- uma gualae na hpóe nula, porém, essa hpóe não é encável, pos a eora assnóca para es o po M ou raão e verossmlhanças não esá sponível e a solução para es problema é a aproxmação a unção em quesão por uma expansão e Talor e prmera orem aé ercera orem, epeneno o problema em orno o parâmero em esuo gual a ero. Daí aproxma- o logarmo a unção e verossmlhança normal em uma vnhança e H para a obrvação e mpre gnorano o reso a expansão. Para connuar ervano o e o po M, esmaores consnes para as ervaas parcas o logarmo a unção e verossmlhança evem r calculaos e, a parr eles, crar a esaísca o e. A gur, aprena- as eapas para a conução os rês es, lembrano que não é o nuo o rabalho aprenar oos es procemenos ormalmene, que são, e uma cera orma, complcaos. Porano, para ealhes a ormulação os es veja Meeros Consânca os parâmeros Esme o moelo 5.5 assumno consânca os parâmeros e calcule os resíuos ˆ. Regra ˆ em G, ; ˆ x θ e calcule T SSR ~.

11 47 Regra em ˆ ' ' G, x ; θ e ˆ ν [, ˆ F γ x c]. Calcule T SSR ~υ 3 Calcule a esaísca F o e como M cp F SSR SSR / m, SSR / T n m one T é o número e obrvações, n é o número e elemenos e G, ; ˆ x θ e m p. Sob H, M F cp, é assnocamene srbuía como uma χ com m graus e lberae e, para pequenas amosras, possu uma srbução F com m e T-n-m graus e lberae Inepenênca ral Esme o moelo 5.5 sob a hpóe e erros escorrelaconaos e calcule ˆ. Orogonale os resíuos T regreno-os em, ; ˆ G x θ e calcule SSR ~. Regra ~ em ˆ ν [ ˆ,..., ˆ r ] e G, ; ˆ x θ. Calcule SSR T ~υ. 3 Calcule a esaísca F o e como M s F SSR SSR / r, SSR / T n r one T é o número e obrvações, n é a mensão e G, x ; ˆ θ e r é o easameno os erros que quer esar. Sob H, M F s, é assnocamene srbuía como uma χ com r graus e lberae e, para pequenas amosras, possu uma srbução F com r e T-n-r graus e lberae Homoceascae Esme o moelo 5.5 supono homoceascae e calcule ˆ. Orogonale os resíuos regreno-os em G, ; ˆ x θ e

12 48 ~ T calcule SSR, one ˆ σ é a varânca ˆ σ nconconal os erros a regressão. ~ Regra em ~ ˆ σ x [, ]' x. Calcule SSR T ~υ. 3 Calcule a esaísca F o e como M h F SSR SSR /, SSR / T one T é o número e obrvações e é a orem o easameno e x. Sob H, M F h, é assnocamene srbuía como uma χ com graus e lberae e, para pequenas amosras, possu uma srbução F com e T-- graus e lberae Prevsões ulano o moelo STAR A não lnearae os moelos STAR orna as prevsões com mas e um passo à rene muo mas complcaas o que nos moelos lneares. Para aer prevsões um passo à rene, não ex erença enre o STAR e um moelo AR. Para ealhes e como aer as prevsões consule em unbergh e Teräsvra. A próxma scussão va baar no procemeno geral para ober prevsões com mas e um passo à rene. Consere o moelo 5.5. Segue que E ;ψ, que é a prevsão não vcaa e ea no nsane aa oa normação passaa Y aé e nsane. Nes caso, a normação relevane esá cona em,, -,..., -p-. Denoa- essa prevsão como. Faer prevsões os períoos à rene já não é ão smples assm porque ober E Y é mas complcao. Tem- que: E Y E{ [ g ; Ψ ] Y } E{ g ; Ψ Y } 5.8 one,,,..., '. A expressão exaa a equação p acma ra E{ g ; Ψ Y } g ; Ψ Φ 5.9 one Φ é a unção e srbução acumulaa e. Para ober a prevsão ra necessáro negração numérca e negras múlplas quano

13 49 quer prevsões para longos horones, ou ja, a mensão a negral aumena com o horone. Compuaconalmene, é mas plausível ober prevsões recursvas m negração numérca. Uma manera smples ra gnorar o ermo e erro e apenas usar o esqueleo. Uma oura manera e enconrar as prevsões é aravés e smulações ulano Mone Carlo e/ou Boosrap. Nesa sração ulou- como erramena para ober prevsões a smulação e Mone Carlo. É um méoo smples e smulação que poe r escro a gune orma: para o moelo passos-à-rene é ena como ˆ, N ˆ N one N é o número e repeções e ˆ ˆ F ; ξ F ; θ, a prevsão - 5. θ, 5. One ξ é um número aleaóro amosrao e uma srbução normal com a mesma méa e esvo parão o que os resíuos esmaos o moelo.