Matemática Aplicada a Negócios Prof. Rafael A. Rosales 29 de maio de 2011

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1 USP-FFCLRP Itrodução a Estatística e Probabilidade II DCM Matemática Aplicada a Negócios Prof. Rafael A. Rosales 9 de maio de Sumário Covergêcia de variáveis aleatórias. Leis dos Grades Números Lei Fraca dos Grades Números Lei Forte dos Grades Números Teorema Cetral do Limite Teoremas de De Moivre-Laplace O Teorema Cetral do Limite Exercícios Estimação potual. Medidas resumo Estimadores Máxima verossimilhaça Distribuições amostrais Estimadores suficietes Projetos Um estimador para π O paradoxo de Bertrad Itervalos e testes de hipótese 6 3. Itervalos de Cofiaça Itervalo para µ µ Itervalo para p p Testes de Hipóteses Testes para µ e p Testes t-studet: teste e itervalo para µ com σ descohecida Teste χ : Testes e itervalos para a Variâcia Teste F (Fisher-Sedecor: σ/σ Aálise de variâcia e regressão liear 5 Teoria de Neyma-Pearso 8 5. Quocietes de verossimilhaça Apêdice 9 6. Covergêcia Estimação potual Distribuições amostrais Distribuições Gamma e χ Distribuição t (t-studet Distribuição F Covolução de variáveis aleatórias Tabelas 46

2 Covergêcia de variáveis aleatórias Estas otas apresetam algumas oções básicas sobre a covergêcia de variáveis aleatórias. O propósito é forecer a liguagem ecessária para abordar corretamete dois resultados clásicos: a Lei dos Grades Números e o Teorema Cetral do Limite. Estes resultados costituem a base do curso a ser apresetado durate o semestre. Defiição. Sejam (X,, e X, variáveis aleatórias defiidas o mesmo espaço de probabilidade (Ω, B, P, e sejam F X e F X as suas fuções de distribuição. q.c. (i X coverge quase certamete a X, deotado por X X, se P ( {ω Ω : X (ω X(ω quado } =. (ii Seja r um itero positivo. X coverge a X o r-ésimo mometo, deotado X r X, se E[X r ] < e E [ X X r], quado. (iii X coverge a X em probabilidade, deotado X P X, se para todo ε >, P ( {ω Ω : X (ω X(ω > ε, quado. (iv X coverge em distribuição, deotado X D X, se F (x F (x quado, para todo x R ode F (x é cotiua. Observamos que o último tipo de covergêcia correspode a covergêcia das fuções de distribuição F (x = P (X x a fução de distribuição F (x = P (X x, e ão diretameta da sequêcia de variáveis aleatórias X a variável aleatória X, portato para este tipo de coverg êcia, Ω e B são irrelevates. Teorema. Sejam X, e X variáveis aleatórias defiidas em (Ω, B, P. Para todo iteiro positivo r, temos que q.c. X X P X X D X X r X Se r > s, etão X X Não existem outras implicações em geral. r X X s X. Sob hipóteses adicioais é posível obter algumas das implicações ausetes o Teorema. Teorema. Sejam X,, e X varáveis aleatórias defiidas em (Ω, B, P. (i Seja c uma costate, etão X D c X P c. P (ii Se X X e P( X k = para todo e algum k, etão X X para todo r. (iii Se P (ε = P( X X > ε satisfaze P q.c. (ε < para todo ε >, etão X X. A demostraçao de estes dois teoremas será realizada em vários pasos, cada um euciado a sua vez como um Lema. O seu estudo é opcioal. as vezes também cohecido como Teorema do Limite Cetral, veja o prefácio em []. r

3 P D Lema. Se X X eão X X (em geral a implicação oposta ão é válida. Lema (desigualdade de Markov. Seja X uma variável aleatória, tal que E[X] <, etão para qualquer costate a >, P ( X a E [ X ] /a. r s Lema 3. (a Se r > s etão X X X X. P (b Se X X X X. O seguite lema mostra que a covergêcia quase certa implica covergêcia em probabilidade, e forece um criterio para comprovar a covergêcia quase certa baseado o Lema de Borel-Catelli. Este último Lema também é de iteresse e é apresetado juto a sua demostração o apêdice. Lema 4. Sejam A (ε = { X X > ε}, e B m (ε = m A (ε. Temos que q.c. (a X X se e somete se P(B m (ε quado m para todo ε >. q.c. (b X X se P(A (ε < para todo ε >. q.c. P (c Se X X, etão X X, mas o cotrario ão é sempre válido. Em geral ão existe uma relação etre covergêcia quase certa e covergêcia o r-ésimo mometo. Lema 5. Existem sequêcias de variáveis aleatórias que covergem quase certamete, porém estas ão covergem o r-ésimo mometo e vice versa.. Leis dos Grades Números Seja X, N uma sequêcia de variáveis aleatórias, e seja S = i= X i a sua soma parcial. Em esta seção estudaremos o comportameto de S o limite quado. Em geral, é possível formular o problema da seguite maeira. Se a e b são duas sequêcias de úmeors reais, quais são as codições que garatem o limite S /b a S quado, ( ode deota uma das formas de covergêcia defiidas a defiição. Esta seção descreve dois resultados fudametais cohecidos como a Lei Fraca e a Lei Forte dos Grades Números. No primeiro caso a covergêcia é em probabilidade, e o segudo a covergêcia é quase certa... Lei Fraca dos Grades Números Lema 6 (Desigualdade de Chebyshev. Se X é uma variável aleatória itegrável, etão para qualquer costate k > P ( X E[X] k Var(X k Demostração. Seja ξ = k {X k}, assim ξ X, portato E[ξ] E[X]. Por outro lado, temos que E[ξ] = P(ξ = + k P(ξ = k = k P(X k, o qual permite chegar a desigualdade P(X k E[X]/k. ( Observamos agora que P( X E[X] k = P((X E[X] k, logo de ( cocluimos que P ( (X E[X] k E[(X E[X] ] k = Var(X k. Qebyx ev, matemático Ruso cujo ome tem sido traduzido também como Chebychev, Chebyshov, Tchebychef ou Tschebyschef! demostre esta ultima desigualdade para qualquer duas variáveis aleatórias ξ, η. 3

4 A desigualdade em ( é cohecida como a desigualdade básica ou desigualdade geeralizada de Chebyshev, já a desigualdade do Lema é cohecida como a desigualdade clássica de Chebyshev ou de Bieaymé-Chebyshev. Teorema 3 (Lei Fraca dos Grades Números. Chebyshev, 867. Seja X, X,... uma sequêcia de variáveis aleatórias idepedetes, e seja S a sua soma parcial até. Se para todo, Var(X K ode K é uma costate fiita, etão S E[S ] P. Demostração. Devemos mostrar que para qualquer ε >, P( S E[S ] / ε quado. Pelas hipóteses do euciado temos Var(S = i= Var(X i K, logo da desigualdade (clássica de Chebyshev P ( S E[S ] ε Var(S ε K ε. Exemplo (Esaios Beroulli. Apresetamos um exemplo simples porem importate para desevolver a ossa ituição. O seguite exemplo é de fato a primeira Lei dos Grades Números publicada em 73, após de 8 aos da morte de J. Beroulli, []. Supohamos que laçamos uma moeda vezes, e este caso cosideramos a sequecia de variáveis aleatórias ξ,..., ξ, tais que para i, ξ i (ω = Cara (ω i, ou seja, ξ i = se o i-ésimo laçameto resulta em cara, e ξ i = o caso cotrário (se o resultado é coroa. Assim S = i= ξ i, o úmero de caras em laçametos, é uma variável aleatória Biomial(, p, ode p = P(ξ i = é a probabilidade de sair cara em qualquer laçameto. Temos portato que E[S ] = p, logo E[S /] = p = E[ξ i ]. A ley dos grades úmeros este caso afirma que S P p. (3 Este resultado é cohecido como a Ley dos Grades Números para esaios Beroulli. Para visualizar (3 diretamete, a figura apreseta um dos possiveis resultados ao laçar 5 vezes uma moeda viciada com p =,. Os valores e cada laçameto sao apresetados por circulos, e S / pela liha cotiua. Os valores de S / são apresetados para três outras possíveis realizações do experimeto. Claramete, a figura mostra que S / se aproxima do valor de p a medida que aumeta. É possível obter uma Lei Fraca sem assumir que as variâcias das variáveis X sejam fiitas. Esta hipótese é crucial para a Lei Fraca de Chebyshev apresetada o Teorema 3. Teorema 4 (Lei Fraca dos Grades Numeros. Khitchi, 99. Sejam X, X,... variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com média fiita µ. Se S deota a soma parcial de X, etão S P µ. Demostração. Veja [3]... Lei Forte dos Grades Números Teorema 5 (Primeira Lei Forte dos Grade Números de Kolmogorov. Sejam X, X,..., variáveis aleatórias idepedetes tais que E[X ] <, e = Var(X / <. Etão a sequêcia X satisfaze a Lei Forte dos Grade Números, ou seja, S q.c. E[S ]. lembre o visto em aula o curso Itrodução a Probabilidade e Estatística I. 4

5 S (ω S (ω E[ξ ]. 5 5 Figura : varias simulações de 5 laçametos de uma moeda viciada com P({cara} = p =,. A sequeêcia de caras e coroas para a primeira simulação, ω, correspode aos circulos em (coroa e em (cara. A liha cotiua represeta os valores de S (ω /, e as otras lihas correspodem aos valores para três outras realizações do processo, ω, ω 3, ω 4. Demostração. Veja [], Teorema 5.4, p. 8. Se as variáveis aleatórias da sequêcia X, além de serem idepedetes também são ideticamete distribuídas, etão obtemos a seguite verção da Lei Forte, a qual ao igual do que a Lei de Kichi, ão requer restrições sobre as variâcias. Teorema 6 (A lei Forte de Kolmogorov. Sejam X, X,... variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com E[X ] = µ. Etão Demostração. Veja [], Teorema 5.5, p... Teorema Cetral do Limite S q.c. µ. Passamos agora a estudar a covergêcia da distribuição de S, quado S é corretamete rescalada. Em geral veremos como sob certas hipoteses é possível estabelecer que ( lim P S E[S ] Var(S x = Φ(x, x R, ode Φ(x = x φ(x, φ(x = π e x /. (4 isto é, φ deota a desidade de probabilidade ormal (com média e variâcia. Ates de etrar este tema em detalhe, apresetamos um exemplo o qual permite vissualizar diretamete a covergêcia da distribuição da soma de variáveis aleatórias uiformes. 5

6 Exemplo. Seja U, U, U 3 uma amostra idepedete e ideticamete distribuida, com distribuição uiforme o itervalo [ /,.]. Sejam S, =,, 3 as somas parciais de esta amostra. Observamos primeiro que S = U, logo a desidade de S é (por defiição {, u > /, f S (u =, u [ /, /]. Utilizado a itegral de covolução, veja a Proposição 4 o apêdice, é relativamete simples obter as desidades para S e S 3, se u / [ 3, u,, 3 ], f S (u = u, u [,, e f S3 (u = (u + 3u se u [ 3, ], u, u [,. u se u [, ], (u 3u se u [, 3 ]. Em lugar de apresetar os detalhes dos cálculos requeridos agora (veja o apêdice, a figura mostra um gráfico das desidades de S, S e S 3 sobrepostos sobre os gráficos da desidade ormal com média e variâcia iguais as médias e as variâcias de S, S e S 3 respectivamete. Esta figura mostra que a desidade da soma de três uiformes é muito parecida com uma desidade ormal! u u u Figura : As desidades de S, S e S 3 são apresetadas em preto, e em vermelho as desidades ormais com média e variâcias iguais as variâcias de S, S e S 3... Teoremas de De Moivre-Laplace Cosideramos ovamete a sequêcia ξ, ξ,... de variáveis aleatórias Beroulli(p e a sua soma parcial, S = i= ξ i (veja o Exemplo. Em lugar de estudar o comportameto limite de S /, agora voltamos o iteresse a distribuição limite de S (ou uma fução de S. Deotamos por p k = P(S = k, ou seja p k = ( k p k q k, quado k {,,..., }, e supohamos que p > q. Estudamos primeiramete o comportameto das probabilidades p k, em fução de k para grade. Veremos que existe um domiio para os valores de k, de tamaho, ode p k é relativamete grade, e um domiio ode os valores de p k são pequeos. Para defiirmos este domiio, ecotramos primeiro o valor k m, tal que p km = max k p k. Observamos que, p k+ p k = ( k+ ( k pk+ q k!k!( k! p p k q k = (k +!( k!! q Ecotramos agora os valores para k tais que p k+ /p k. Assim, ( k p = (k + q. k p ( kp q(k + p q k. k + q 6

7 Também, se k > p q, temos p k+ /p k <. Assim k m = [p q]. Resulta portato atural esperar que os maiores valores para p k ocorrem ao rededor de k m = p. O seguite resultado reforça este argumeto. Sejam a, b dois umeros quaisquer tais que a < b. Teorema 7 (Teorema do Limite Local de De Moivre-Laplace. Seja p + a k p + b, etão p k = e ( (k p pq + r (k, πpq ode o ressiduo r (k coverge a quado uiformemete em k, isto é, max p+a k p+b r (k, quado. A prova do Teorema 7 é apresetada o apêdice. Teorema 8 (Teorema Itegral do Limite de De Moivre-Laplace. Sejam a, b dois úmeros reais tais que a < b. Etão, lim p k = b e u / du. π p+a pq k k p+b pq Corolário. Do Teorema 8 para quaisqer a, b R tais que a < b, tem-se ( P a S p b Φ(b Φ(a, quado. pq a Assim, em particular (S p/ pq.. O Teorema Cetral do Limite D Z, ode Z é uma variável aleatória ormal padrão. Apresetamos agora uma verção geral para a somas de variáveis aleatórias idepedetes, a qual é possívelmete a forma mais cohecida do Teorema Cetral do Limite. Teorema 9 (Teorema Cetral do Limite. Lidbeg-Levy. Sejam X, X,... variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, tais que E[X ] = µ, e Var(X = σ <. Seja S = i= X i, e Z uma variável aleatória ormal com média e variâcia, etão Z = S µ σ D Z. O seguite resultado mostra que o Teorema Cetral do Limite é válido aida quado as variáveis aleatórias X, X,..., ão apresetam a mesma distribuição. Teorema (Theorema Cetral do Limite. Kolmogorov, 933. Seja X, X,... uma sequêcia de variáveis aleatórias idepedetes, e seja S a sua soma parcial. Para cada i sejam µ i = E[X i ], e σi = Var(X i, logo m = i= µ i e s = i= σ i deotam a média e a variâcia de S, e seja X uma variável aleatória ormal com média e variâcia. Sob as seguetes hipóteses adicioais (i s quado, (ii existe uma costate K, tal que para todo i, P( X i K =, tem-se [x] deota a fução maior eteiro meor que x. S m s D X. 7

8 .3 Exercícios D Exercício. Supoha que X, é ormal com média e variâcia /. Mostre que X X =. Exercício. Seja X,, uma seqüêcia de variáveis aleatórias tal que X é Biomial(, /. Mostre que X / P. Exercício 3. Seja X,, uma seqüêcia de variáveis aleatórias com E[X] <. Mostre que P se lim E[X ] = α e lim Var(X =, etão X α. Exercício 4. Seja X uma variável aleatória com valores em {, }, tal que P (X = = /. Supoha que Y, é uma seqüêcia de variáveis aleatórias idepedetes de X tais que P (Y = = P (Y = = /. Seja X, a seqüêcia de variáveis aleatórias defiida como { X se Y =, X = e se Y =. Diga, justificado a sua resposta, qual das seguites afirmações é verdadeira: (i X lim E( X X =. X, (ii Exercício 5. Este problema apreseta um exemplo de uma sequêcia de variáveis aleatórias que satisfaze a Lei Fraca dos Geades Números, embora ão satisfaze a Lei Forte. Para, seja { ± com probabilidade p, X = com probabilidade p, sedo p uma fução a ser escolhida adiate, tal que p /, para. Se S = X + X X, mostre: (i E[S ] = para todo, (ii se X >, etão S. (iii Utilize a parte (ii para mostrar que S / quado se, e somete se existe um iteiro tal que X k = para todo k. Mostre que isto ocorre com probabilidade se p < / para todo. Isto mostra que a sequêcia (X ão satisfaze a Lei Forte dos Grades Números. (iv Exercício 6. Seja X, X,... variáveis aleatórias idepedetes tais que X k é Biomial( k, p, para < p < costate. (i Qual a distribuição de S = i= X i? (ii Se k k, mostre que a sequêcia X satisfaz a Lei Forte. Exercício 7. Certa marca de sucrilhos faz uma promoção: algus dos pacotes icluem vales que podem ser trocados por uma camiseta. O úmero de pacotes premiados que vedem ao dia em uma loja é uma variável aleatória com distribuição de Poisso de parâmetro,3. Estime a probabilidade de que em dias se vedam essa loja mais de 3 pacotes com prêmio. [Sugestão: cosidere X i = úmero de pacotes premiados vedidos a loja o dia i. ] Exercício 8. Um dado hoesto é laçado repetidas vezes de maeira idepedete. Seja X i o resultado do i-ésimo laçameto e S = X + X X, obteha : (i lim P (S > 3; (ii um valor aproximado para P (S > 3. Exercício 9. Utilizado um argumeto similar ao mostrado o exemplo Exemplo, calcule a desidade de S = i= Ũi, para =,, 3, quado Ũ, Ũ e Ũ3 são idepedetes e uiformemete distribuídas o itervalo [, ]. Exercício. Baseado o Exemplo, (i tete explicar (de maeira ituitiva qual é a distribuição de i= U i, se U i são idepedetes e uiformes o itervalo [ /, /]; (ii qual será a distribuição limite de i= Ũi, sedo Ũi variáveis aleatórias idepedetes e uiformemete distribuidas em [, ]? (iii Será possível trasformar as variáveis Ũi de tal maeira que a sua soma parcial apresete a mesma distribuição da soma parcial das variáveis U i? 8

9 Exercício. Uma moeda hoesta é laçada repetidas vezes de maeira idepedete. Sejam ξ, ξ,... variáveis aleatórias defiidas por { se o i-ésimo e o (i + -ésimo laçametos são cara ξ i = caso cotrário. (i Determie E[ξ i ], Var(ξ i. (ii Mostre que Cov(ξ i, ξ j = { /6 se j = i +, se j > i +. (iii Seja S a soma parcial de ξ i, determie E[S ], Var(S. (iv Mostre que S / P /4. Exercício. Este exercício tem varios objetivos: apresetar a oção de fução de distribuição empirica de uma amostra, itroducir os histogramas e ilustrar o Teorema Cetral do Limite graficamete utilizado um histograma. Isto ultimo devera ser realizado ao simular, em R, repetidos laçametos de uma moeda. Supohamos que X, X,..., X são variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, com fução de distribuição F, e desidade f. A fução de distribuição empirica da amostra X, X,..., X é defiida como F X,...,X (x = {Xi x} = #{ i {,,..., } : X i x } (i Explique por que i= = #{ úmero de elemetos a amostra x }. F X,...,X (x q.c. F (x. (5 Seja a = a < a <... < a m = b uma sequêcia de úmeros (equidistates, e etão A k = (a k, a k ] para k =,..., m. Logo para x A k defiimos ĥ X,...,X (x = {ak <X i a k } i= = #{ úmero de elemetos a amostra (a k, a k ] }. A fução ĥ é cohecida como histograma. (ii Mostre que se x A k, etão R ĥ X,...,X (x q.c. ak a k f(u du. (6 [Sugestão: utilice (5] Isto ultimo justifica a utilização dos histogramas como estimadores para as desidades. (iii Carregue o código moedaclt.r (escrito em Rdigitado 3 source(" Este forece a fução moedaclt(, a qual é uma fução de três argumetos N, M e p utilizada para gerar m amostras (idepedetes de variáveis aleatórias Beroulli(p idepedetes. Pode pesar que esta fução simula o laçameto de uma moeda vezes e repite isto m vezes. N correspode a, M correspode a m e p a p, a probabilidade de sair cara. moedaclt( retora o vetor ( S, S,..., Sm, 3 alterativamete pode baixar este arquivo o seu micro para carrega-lho posteriormete como source("c://lugar_do_dowload_o_seu_micro//moedaclt.r" assumedo que você trabalha em Widows. Caso você esteja trabalhado em Liux (ou uma Mac troque o delimitador de pastas // por /. 9

10 ode S i /, i =,..., m, correspode a proporção de caras após de jogar a moeda vezes o i-ésimo experimeto. Por exemplo, v <- moedaclt(n=, M=3, p=.5; simula o laçameto de uma moeda (hoesta vezes, repete isto 3 vezes calculado de cada vez a fração relativa de caras, e fialmete guarda estes valores o vetor v. Digite agora hist(v,breaks=6, mai="", ylab="frequecia", xlab="z" A fução hist( calcula o histograma de v, isto é ĥs /,...,Sm /, e apreseta o grafico desta fução (breaks determia o umero de itervalos (a i, a i ] os quais sera avaliado o histograma. Utilice várias vezes moedaclt( tetado valores diferetes para M e N de cada vez. Cosegue exergar o Teorema Cetral do Limite? Qual dos argumetos (N, M, p cotrola a covergêcia o Teorema Cetral do Limite? qual cotrola a covergêcia do histograma em (6? Estimação potual. Medidas resumo Exercício 3. Na liha de produção de uma grade motadora de veículos, existem 7 verificações do cotrole de qualidade. Sorteamos algus dias do mês e aotamos o úmero de OKs recibidos pelos veículos produzidos esses dias, i.e., em quatos dos cotroles mecioados o automóvil foi aprovado. Os resultados foram ((x, y, x =úmero de aprovações, y =freqüêcia: (4, 6, (5, 359, (6, 685, (7, (i Determie a média, moda e mediaa do úmero de aprovações por automóvel produzido. (ii Calcule a variâcia. (ii Crie uma ova variável reprovações, idicado o úmero de verificações ão OKs o vehículo. Determie média, moda, mediaa e variâcia dessa variável. (iv Cada reprovação implica em custos adicioais para a motadora, tedo em vista a ecessidade de corrigir o defito apotado. Admitido um valor básico de R$, por cada item reprovado um vehículo, calcule a média e a variâcia da espesa adicioal por automóvel produzido.. Estimadores Exercício 4. Foram sorteadas 5 famílias com filhos um certo bairro e observado o úmero de criaças de cada família, matriculadas a escola. Os dados foram,,,,,,, 3, 4,,,,,, e. Obteha as estimativas correspodetes aos seguites estimadores da média de criaças a escola esse bairro, µ = míimo + máximo Qual deles é o melhor estimador da média e por quê?, µ = (X + X, µ 3 = X. Exercício 5. Seja X, X, X 3 uma amostra aleatória de uma população expoecial com média θ, isto é, E[X i ] = θ, i =,, 3. Cosidere os estimadores θ = X, θ = X, θ3 = X + X. (i Mostrar que ehum dos três estimadores é viesado. (ii Qual dos estimadores tem meor variâcia? Lembrar que para o modelo expoecial Var(X i = θ. Exercício 6. (Este exercício tem implicações muito importates para a estatística Sejam X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com média µ e variâcia σ. Sejam X = X i, e S = (X i X. i= i=

11 (i Determie E[ X ] e Var( X. (ii Mostre que X q.c. µ. (iii Mostre que (iv Calcule E[S ]. (v Mostre que S S = { Xi ( X }. i= q.c. σ. [Sugestão para v: utilice duas vezes a Lei Forte.] Exercício 7. Mostrar que E[( θ θ ] = Var( θ + v, (7 ode v = E[ θ] θ é o vicio. Esta quatidade é cohecida como o erro quadrático médio do estimador θ, EQM( θ, ou simplesmete o EQM. (Sugestão: escrever ( θ θ = [ θ E[ θ] ] + [ E[ θ] θ ]. Exercício 8. Seja X, X,..., X uma amostra de uma população com distribuição f X (x = x, < x < θ, θ >. θ Verifique se θ = X e θ = max{x, X,..., X } são ão viciados para θ. (ii Calcule e compare os EQM dos estimadores em (i. (iii Faça um gráfico dos EQM em fução de θ. Sugestão: para (iii pode utilizar R. O seguite exemplo ilustra os passos ecessários para graficar a fução f(x = e x + x o domiio x [, ]. Escreva (ao fial de cada liha faça Eter x <- seq(-,,by=. f <- exp(-x+/abs(x- plot(x,f, type="l", col="avy", ylim=c(-,3, lwd= Para sobrepor a fução g(x = 3se(x 3 /(3 x + escreva g <- 3*si(x^3/(3-x + lies(x, g, col="sadybrow", lwd= Exercício 9. Seja X, X,..., X uma amostra de uma população com média µ e variâcia σ. (i Mostre que se a i X i, ode a i =, i= etão Var( i= a ix i é miimizada quado a i = /, i =,,...,. Sugestão: mostre que i= a i = i= (a i / + / quado i= a i =. Exercício. Supoha que Y tem distribuição Biomial-(, p. (i Demostre que p = y/ é um estimador ão viesado para p. Calcule a variâcia de p. Exercício. Supoha que uma população tem distribuição uiforme o itervalo I = (θ /, θ + /, θ R, tal que a sua desidade é f X (x; θ = se θ I e f X (x; θ = o caso cotrario. Uma amostra iid de tamaho 3, X, X, X 3 é cosiderada e apartir desta são defiidos os seguites estimadores para θ, G = max{x, X, X 3 }, K = mi{x, X, X 3 }, T = (G + K (i Mostre que T é um estimador ão viciado para a média da população. (ii Determie os valores de Var(G, Var(K e Cov(G, K. (iii Mostre que Var(T < Var( X (o qual represeta um exemplo ode X ão é o melhor estimador ão viciado da para a média da população!. (iv Verifique se T é suficiete ou ão. i=

12 .3 Máxima verossimilhaça Exercício. Seja X = X, X,..., X uma amostra aleatória da uma população com desidade Gamma-(α, β, com α =, e β descohecido, isto é, x e x/β f(x = β se x >, se x. (i Obteha o estimador de máxima verosimilhaça para β. (ii Calcular E[ β]. É β viciado para β? Exercício 3. Supoha que a demada por certa peça, uma loja de autopeças, siga o seguite modelo P (X = k = θ k, k =,, 3, 4. k! (i Ecotre θ (Sugestão: P tem que ser uma distribuição de probabilidade. (ii Calcule a demada esperada. (iii Qual é a variabilidade da demada. (iv Diga se Φ apreseta estimador de máxima verosimilhaça. Exercício 4. Uma ura cotém bolas bracas e pretas. Uma amostra de tamaho é retirada com reposição. (i Qual é o estimador de máxima verossimilhaça para a proporção R de bolas pretas a ura? (ii Supoha que as bolas são retiradas uma a uma com reposição até aparecer a primeira bola preta. Seja T o úmero de retiradas requeridas. Se este procedimeto é repetido vezes, sejam T, T,..., T o úmero de tetativas de cada vez. Qual é o estimador de máxima verossimilhaça para R baseado esta amostra? Exercício 5. Seja X, X,..., X, uma amostra de uma população com distribuição f X (x = θ x ( θ x {,} (x, ode θ. (i Ecotre o estimador θ de máxima verossimilhaça para θ. (ii Calcule o EQM( θ, o erro quadrático médio de θ. (iii Diga se θ é (fracamete cosistete..4 Distribuições amostrais Exercício 6. Uma variável de Beroulli com probabilidade de sucesso p é amostrada, de forma, idepedete, duas vezes. Apresete a fução de probabilidade da média amostral. Exercício 7. A variável aleatória ξ assome os valores {,,, }, cada um com a mesma probabilidade. Para uma amostra de tamaho dois, obteha a distribuição de S e verifique se ele é ão viesado para estimar a variâcia de ξ. Exercício 8. Supõe-se que o cosumo mesal de água por residêcia em um certo bairro de Ribeirão Preto tem distribuição Normal com média e desvio padrão (em m 3. Para uma amostra de 5 dessas residêcias, qual é a probabilidade de a média amostral ão se afastar da verdadeira média por mais de m 3? Exercício 9. Coleta-se uma amostra de observações idepedetes de uma população ormal com média e variâcia. Determie a probabilidade de a média amostral: (i ser iferior a ; (ii ser superior a,5; (iii estar etre e. Exercício 3. Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza em 8% dos casos. Uma amostra de 5 idivíduos que tomaram a vacia foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imuizados a mostra ser iferior à,75? E superior à,85? Exercício 3. Seja X, X,..., X uma amostra de uma populção com desidade de probabilidade dada por f X (x = θx θ, < x <, θ >. Calcule o estimador de máxima verossimilhaça de θ e ecotre a sua distribuição aproximada quado é grade.

13 Exercício 3. Supoha que você tem uma amostra de tamaho de uma população com desidade f X (x = x θ e x θ, x, θ >. Ecotre o estimador de máxima verossimilhaça de Var(X e logo determie a sua distribuição aproximada em grades amostras..5 Estimadores suficietes Exercício 33. Seja X,..., X uma amostra i.i.d. de uma população Poisso(λ. Cosidere o seguite estimador para λ, λ = i= X i. Diga se λ é suficiete para λ. Exercício 34. Seja U,..., U uma amostra i.i.d. de uma população uiforme o itervalo [, a]. Diga se â = max{u,..., U } é suficiete para a. Exercício 35. Ecotre um estatístico suficiete para uma amostra aleatória i.i.d. da distribuição com desidade f Y (y = θy θ, < y, θ >. Exercício 36. Ecotre um estimador suficiete para uma amostra i.i.d. da distribuição e /c, c R. Exercício 37. Ecotre o estimador de máxima verossimilhaça, α, para α a desidade f X (x = (α x α (,α (x, cosiderado uma amostra de tamaho dois, i.e., X, X. (ii Diga se α é suficiete..6 Projetos.6. Um estimador para π Georges-Louis Leclerc (77-788, Code de Buffo, mostrou que vários problemas de probabilidade podem ser abordados utilizado argumetos de caráter geométrico. Em, particular, o problema cohecido hoje em dia como a agulha de Buffo permite realizar um experimeto para estimar o valor de π. Supohamos que sobre um tabuleiro desehamos lihas paralelas a distâcia t uma da outra. Posteriormete jogamos uma agulha de comprimeto l < t e observamos se esta cai ou ão sobre alguma das lihas do tabuleiro. Surge assim aturalmete a seguitre perguta: qual é a probabilidade de que a agulha esteja sobre uma liha t? Para respodermos esta questão, podemos parameterizar o espaço amostral (as posições das agulhas da seguite maeira. Seja Θ o agulo formado pela agulha e o cojuto de lihas t, e X = (X, X a posição do cetro da agulha sobre o tabuleiro. Claramete, se ocorre o eveto {X(ω (l/ se(θ(ω}, etão a agulha corta uma liha t 4. Agora, ecotrar a probabilidade deste eveto ão é difícil pois as variáveis aleatórias X e Θ são idepedetes e apresetam desidades uiformes os itervalos [, t/] e [, π/] respectivamete, { { /(t/, se x t/ /(π/, se θ π/ f X (x = f Θ (θ =, caso cotrário, caso cotrário Portato a desidade cojuta do vetor (X, Θ é simplesmete f X,Θ (x, θ = 4 tπ quado (x, θ [, t/] [, π/], 4 faça um deseho! 3

14 e o caso cotrário. Logo p = P (X l se(θ = = π/ (l/se(θ π/ 4 tπ 4 tπ dxdθ l l se(θdθ = tπ. (8 A formula (8 forece idiretamete um estimador para π. De fato, se coseguimos uma estimativa para a probabilidade p, etão (8 mostra como estimar /π. Para simplificar a otação, seja E o eveto {X (l/ se(θ}, e logo seja ξ(ω = E (ω, uma variável aleatória a qual é igual a se a agulha touca a liha t e o caso cotrário. ξ é Beroulli com probabilidade de sucesso p = l/(tπ. Seja ξ, ξ,..., ξ, uma amostra desta população. No cotexto da aplicação atual, esta amostra é iterpretada como o resultado de jogar a agulha sobre o tabuleiro vezes. Seguido o procedimeto agora ussual, utilizamos esta amostra para propor o estimador p = i= ξ i/ para p. Desta maeira, de acordo com (8, podemos agora cosiderar o seguite estimador para /π π = t p. (9 l R Exercício 38. (i Qual é a distribuição da variável aleatória i= ξ i? (ii Determie E[ i= ξ i] e Var( i= ξ i. (iii Calcule E[ p] e Var( p. Exercício 39. (i Mostre separadamete, mesmo que um dos limites implique o outro, que t q.c. p l π, e t l p P π. (ii Idique quais dos Teoremas da Lista foram utilizados para garatir os limites em (i, logo explique por que estes limites são importates quado é cosiderado o estimador π. Exercício 4. (i Mostre que o estimador em (9 é ão viciado, (ii logo mostre que o EQM deste estimador é igual a π l lπ Desta última expressão podemos ver que o estimador em (9 é mais eficiete a medida que aumeta o comprimeto da augulha l. Exercício 4. (i Mostre que o estimador para π, π = l t é viciado. Ao igual do que o estimador para /π, o estimador proposto para π é mais eficiete quado o comprimeto da agulha aumeta. (ii Diga se é possível aplicar o Teorema Cetral do Limite para caracterizar a distribuição amostral de π. A figura 3 sugere que a distribuição de π é ormal, embora você pode mostrar isto formalmete. Exercício 4. Iicie R e carregue o código em Buffo.R fazedo source(" Este script forece três fuções, drawbuffo, ruavrg, e estpi. drawbuffo mostra uma simulação do experimeto que cosiste em jogar a agulha repetidas vezes (veja a figura 3, ruavrg grafica uma estimativa para π coforme aumeta o úmero de vezes que é laçada agula (veja a figura 3, e fialmete estpi(n, l, t forece uma estimativa de π, ode N correspode ao úmero de laçametos, l é o comprimeto da agulha e t a separação das lihas t. Estes parâmetros são iicializados para os valores N=, l=, e t=, mas você pode mudar qualquer um a votade. Por exemplo, os comados y <- c(; for (i i : y[i] <- estpi(n=3; geram estimativas para π guardado-as o vetor y. Cada estimativa é obtida ao simular o laçameto da agulha 3 vezes. Utilize o código em Buffo.R para estudar as propriedades do estimador de π para os seguites valores de l:.5, e.5. Utilize as fuções var, mea e hist para verificar as coclusões obtidas aaliticamete os exercícios ateriores. p 4

15 estimativa de pi frequecia iteracoes estimativa de pi Figura 3: As quatro primeiras figuras mostram diversas simulações do experimeto da agulha de Buffo para 3, 3, 3 e 9 laçametos da agulha. As agulhas que toucam uma bada t são mostradas em vermelho. Estas figuras foram geradas com drawbuffo. A figura o cato iferior esquerdo apreseta a covergêcia de uma estimativa para π gerada com ruavrg. O histograma o cato iferior direto foi gerado com sucessivas chamadas a estpi (veja o texto do Exercicio 4, sugirido um Teorema Cetral do Limite para a distribuição do estimador. 5

16 .6. O paradoxo de Bertrad Qual é a probabilidade de que uma corda aleatória sobre um círculo teha comprimeto maior do que o lado do triâgulo equilátero iscrito o círculo? Esta questão, ivestigada iicialmete por Joseph Louis Bertrad em 889, é de caráter probabilístico embora o propósito aqui é verificar a resposta utilizado estimadores apropriados. Essa resposta depede do sigificado do termo corda aleatória. Apresetamos três possíveis iterpretações supodo que, sem perda de geeralidade, o círculo tem cetro a origem e apreseta raio de comprimeto. Exercício 43 (poto aleatório. Um poto A é escolhido uiformemete o iterior de um círculo de raio, veja a figura 4(a. Seja X o comprimeto da corda com poto médio A. Calcule P (X > 3. Sugestão. Pese primeiro a seguite perguta: qual é a probabilidade de que A esteja detro do círculo iscrito o triâgulo equilátero? A A Q A r (a (b (c Figura 4: costrução da corda aleatória (em vermelho utilizado o método do poto aleatório (a, o método do agulo aleatório (b, e o método do raio aleatório (c. Exercício 44 (agulo aleatório. Fixamos um poto Q sobre a circuferêcia do círculo com raio, por exemplo em (,. Logo escolhemos uiformemete um outro poto A sobre a circuferêcia, veja a figura 4(b. Seja X o comprimeto da corda QP. Calcule P (X > 3. Exercício 45 (raio aleatório. Um poto A é escolhido uiformemete sobre o raio r (qualquer um do círculo. Seja X o comprimeto da corda a qual tem A como poto meio, veja a figura 4(c. Determie P (Z > 3. R Exercício 46. Utilice as fuções estp ragle,estp rdist e estp redpoit para verificar o valor das probabilidades calculadas os três exercícios ateriores. Estas fuções se ecotram o script Bertrad.R, o qual pode ser carregado (desde R como source(" Sugestão: de maeira aaloga ao Exercicio 4, digite por exemplo y <- c(; for (i i :5 y[i] <- estp ragle(n=3; e estude as propriedades de y utilizado as fuções mea, var e hist. 3 Itervalos e testes de hipótese Algus dos exercícios desta e outras seções devem ser realizados utilizado R. Além de familiarizar vocês com R, o propósito é apresetar diferetes aalises com dados reais. Estes se ecotram idetificados com R. Um primeiro exemplo de como carregar os dados de um arquivo (em formato de texto é apresetado o Exercicio 69. 6

17 3. Itervalos de Cofiaça Exercício 47. Por aalogía a produtos similares, o tempo de reação de um ovo medicameto pode ser cosiderado como tedo distribuição ormal com média µ e variaâcia 4. Vite pacietes foram sorteados, receberam o medicameto e tiveram seu tempo de reação aotado. Os dados foram os seguites:,9; 3,4; 3,5; 4,; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5 e 6,. Obteha itervalos de cofiaça para o tempo médio de reação para: (i γ=96%, (ii γ=75%. Exercício 48. Uma amostra de 5 observações de uma ormal Φ(µ, 6 foi coletada e foreceu uma média amostral de 8. Costrua itervalos com cofiaça 8%, 85%, 9% e 95% para a média populacioal. Comete as difereças ecotradas. Exercício 49. Será coletada uma amostra de uma população ormal com desvio padrão igual a 9. Para uma cofiaça de γ=9%, determie a amplitude do itervalo de cofiaça para a média populacioal os casos em que o tamaho da amostra é 3, 5 ou. Comete as difereças. Exercício 5. Numa pesquisa com 5 eleitores, o cadidato J. J. obteve,34 da preferêcia dos eleitores. Costrua, para a cofiaça 94%, os itervalos otimista e coservador de cofiaça para a proporção de votos a serem recebidos pelo cadidato mecioado, supodo que a eleição fosse esse mometo. Exercício 5. Desejamos coletar uma amostra de uma variável aleatória X com distribuição ormal de média descohecida e variâcia 3. Qual deve ser o tamaho da amostra para que, com,9 de probabilidade, a média amostral ão difira da média da população por mais de 3 uidades? Exercício 5. Iterprete e comete as afirmações: (i A média de salário iicial para recém formados em Ecoomia está etre 7 e 9 salários míimos com cofiaça 95%. (ii Quato maior for o tamaho da amostra, maior é a probabilidade da média amostral estar próxima da verdadeira média. Exercício 53. O itervalo [35,; 35,99], com cofiaça 95% foi costruído a partir de uma amostra de tamaho, para a média µ de uma população ormal com desvio padrão igual a. (i Qual e o valor ecotrado para a média dessa amostra? (ii Se utilizássemos essa mesma amostra, mas uma cofiaça de 9%, qual seria o ovo itervalo de cofiaça? Exercício 54. Ates de uma eleição, um determiado partido está iteressado em estimar a probabilidade p de eleitores favoráveis ao seu cadidato. Uma amostra piloto de tamaho revelou que 6% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato. (i Utilizado a iformação da amostra piloto, determie o tamaho da amostra para que, com,8 de probabilidade, o erro cometido a estimação seja o máximo,5. (ii Se a amostra fial, com tamaho obtido em (i, observou-se que 5% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato, costrua um itervalo de cofiaça para p, com cofiaça 95%. Exercício 55. O tempo de emissão de extratos, em segudos, pelo caixa eletrôico de um baco foi modelado segudo a distribuição expoecial com parâmetro /4. Para uma amostra aleatória de 5 clietes que solicitaram extratos: (i Qual é a probabilidade do segudo cliete sorteado a amostra demorar mais de 3 segudos a sua solicitação? (ii Determie a probabilidade de que o itervalo médio de emissão, etre os clietes amostrados, seja iferior a 35 segudos. 3. Itervalo para µ µ Exercício 56. A figura 5 apreseta os dados referetes a taxa de trabalho ifatil em Brasil para criaças pretas e criaças bracas durate o período A taxa de trabalho ifatil é defiida como o percetual da população residete de a 5 aos de idade que se ecotra trabalhado ou procurado trabalho a semaa de referêcia, em determiado espaço geográfico, o ao cosiderado. (i Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a difereça etre as taxas de trabalho média 5 Fote: Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE. Série: CAJ4 - Taxa de trabalho ifatil, por cor 7

18 idice de trabalho período braca preta periodo Figura 5: Taxa de trabalho ifatil por cor de 99 até 7. Os símbolos recheados o gráfico correspodem aos dados para criaças bracas. durate o período de 99-7 para criaçãs bracas e pretas. (ii Iterprete o itervalo obtido em (i, isto é, qual é o sigificado deste itervalo? (iii Quais são os supostos ecessários para costruir o itervalo? (iv Você acredita que os supostos são satisfeitos este caso? 3.3 Itervalo para p p Exercício 57. De acordo com o estudo da pesquisa de mercado dos servíços de cosultoría em egeharia a empresas idustriais o Meio Oeste (USA, quareta empresas que participaram de uma equete ( grades e pequeas idicaram que elas ão precisavam dos servícios exteros de cosultoría. A pricipal ração foi que estas sempre obtiham ajuda de cosultaría sempre que ecessário. Etretato, duas vezes mais empresas grades ( que pequeas (6 citaram este motivo. Establecer um itervalo de cofiaça de 9% para a difereça as porcetages das empresas grades e as pequeas que citam a ajuda das oficias corporativas. 3.4 Testes de Hipóteses Observação (p-valor: R, igualmete a outros pacotes estatísticos, reportam o p-valor do teste, o qual pode ser utilizado para rejeitar ou ão a hipótese ula. Supohamos que o estimador θ é cosiderado em um teste para o parâmetro θ. Seja θ(x a estimativa de θ baseada os valores da amostra x = (x, x,..., x (Cosidere por exemplo o estimador T acima para o parametro µ µ, e a sua estimativa t = ( x x / s / + s /. Assim, quado o valor de θ(x pertece a região crítica rejeitamos a hipótese ula. Alterativamete, de forma equivalete, podemos calcular o p-valor do teste p = P ( {ω : θ(ω θ(x} H, ( e rejeitar a hipótese ula quado o valor de p for pequeo, por exemplo p < α, ode α típicamete determia o ivel do teste. Usualmete, o valor p é utilizado seguido os seguites criterios valor p iterpretação p <. evidêcia forte cotra H. p <.5 evidêcia moderada cotra H.5 p <. sugere evidêcia cotra H. p ão a evidêcia cotra H 8

19 Destacamos que o valor p de um teste realmete é uma variable aleatória p(ω = f( θ(x(ω, ode X(ω = (X,... X (ω, e f é a fução em (. (Não faremos referêcia a isto ultimo durate o curso Testes para µ e p Exercício 58. Uma variável aleatória tem distribuição ormal e desvio padrão igual a. Estamos testado se sua média é igual ou é diferete de e coletamos uma amostra de valores dessa variável, obtedo uma média amostral de 7,4. (i Formule as hipóteses. (ii Obteha a região crítica e dê a coclusão do teste para os seguites íveis de sigificâcia: %, %, 4%, 6% e 8%. Exercício 59. Para uma variável aleatória com desidade ormal e desvio padrão 5, o teste da média µ= cotra µ=4, teve a região crítica dada por {x R : x > } para uma amostra de tamaho 5. Determie as probabilidades dos erros tipo I e II. Exercício 6. Uma máquia deve produzir peças com diâmetro de cm. Etretato, variações acotecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variâcia igual a,9 cm. Para testar se a máquia está bem regulada, uma amostra de peças é coletada. (i Formule o problema como um teste de hipóteses. (ii Qual seria a região crítica se α =,? (iii se a região de aceitação fosse {x R, 95 x, 5}, qual seria o ível de sigificâcia do teste? Nesse caso, determie a probabilidade do erro tipo II se µ =,95 cm. (iv Se para essa amostra x =, 94; qual a decisão em (ii?, em (iii? Exercício 6. Um estudo foi desevolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas a cidade de São Paulo. Foram sorteadas e etrevistadas trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável a cidade é de,8 salários míimos. (i Você cohece a distribuição do estimador X? Se ão, é possível fazer alguma suposição? Exercício 6. A vida média de uma amostra de lâmpadas de certa marca é 65 horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a horas. Utilizado α=5%, desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou é diferete de 6 horas. Qual é a coclusão? Determie também a probabilidade do erro tipo II, se a média fosse 6 horas. Exercício 63. Uma amostra com observações de uma variável aleatória ormal foreceu média de 5,5 e variâcia de 4. Deseja-se testar, ao ível de sigificâcia de 5%, se a média a população é igual ou é meor que 6. Qual é a coclusão? Exercício 64. Um criador tem costatado uma proporção de % do rebaho com vermiose. O veteriário alterou a dieta dos aimais e acredita que a doeça dimiuiu de itesidade. Um exame em cabeças do rebaho, escolhidas ao acaso, idicou 8 delas com vermiose. Ao ível de 8%, há idícios de que a proporção dimiuiu? Exercício 65. Cosidere o teste p =, 6 cotra p, 6. Sedo =, idique a probabilidade de erro tipo I para as seguites regiões críticas: (i RC = {x R x <, 56 ou x >, 64}, (ii RC = {x R x <, 54 ou x >, 66} Testes t-studet: teste e itervalo para µ com σ descohecida Exercício 66. Com auxílio da tabela t-studet calcule (se ecessário, aproxime: (i P ( 3, 365 t 5 3, 365. (ii P ( t 8 <, 4. (iii P (, t 4 <, 5. (iv a : P (t 9 > a =,. (v b : P (t 6 b =, 5. (vi c : P ( t c =,. (vii d : P ( t > d =, 5. Exercício 67. Uma amostra de observações de uma variável com distribuição ormal foi colhida, obtedo-se desvio padrão,. No teste µ=5 cotra µ > 5, foi estabelecida a região critica {t R t >, 33}. Determie a probabilidade do erro tipo I. 9

20 Exercício 68. A porcetagem aual média da receita muicipal empregada em saeameto básico em pequeos muicípios de um estado tem sido 8% (admita que esse ídice se comporte segudo um modelo ormal. O govero pretede melhorar esse ídice e, para isso, ofereceu algus icetivos. Para verificar a eficácia dessa atitude, sorteu cidades e observou as porcetages 8,, 6, 9, e. Os dados trazem evidêcia de melhoria, ao ível de %? Caso altere a média, dê um itervalo de cofiaça para aova média. R Exercício 69. Iicie R e carregue os dados eergy.txt o site do curso digitado dt <- read.table(file=" head=true attach(dt Estes dados cotém duas coluas: exped e stature, e represetam o cosumo eergetico de mulheres magras (lea e obesas (obese. O argumeto head=true da fução read.table permite Digite t.test(exped~stature, paired=true A fução t.test, com a sitaxe acima, permite realizar um teste t utilizado o estimador T = X X S + S (i No caso dos dados em eergy.txt, quais são as hipóteses H e H a que estão sedo testadas? (ii Qual é o resultado do teste? (iii A figura 6 mostra a fução poder para o teste em (i, para dois valores de α,. e.5. Por que o poder do teste para α =.5 é maior? (iii Escreva um código em R, o qual permita calcular a fução poder para testes t-studet. (Sugestão: utilice a fução qt. beta(x x Figura 6: fuções poder para o teste do Exercicio 69 para dois valores de α (. liha potilhada, e.5. R Exercício 7. Carregue os dados chike.txt. Estes dados cotem o efeito de duas dietas diferetes o crecimeto de perus durate as primeiras semaas de vida. Os dados apresetam quatro coluas: weight, Time, Chick, e Diet. A figura 7 embaixo apreseta um Box Plot gerado com a fução boxplot(weight~diet. Em este gráfico a barra iferior represeta a meor observação ão extrema, o borde iferiror da caixa correspode ao primeiro quartil Q (i.e. o valor de x tal que F x,...,x (x =, 5, a barra cheia é a mediaa dos dados, o borde superior da caixa é o terceiro quartil Q 3 = x : F x,...,x (x =, 75, e a barra superior represeta a maior observação ão extrema. Os símbolos represetam evetos moderadamete extremos. Um dado é cosiderado moderadamete extremo se o seu valor esta etre, 5(Q 3 Q e 3(Q 3 Q. Se o valor de uma

21 peso (gr tratameto Figura 7: Box Plots para os dados em chike.txt. observação é maior do que 3(Q 3 Q, etão esta é represetada com o símbolo e cosiderado como um verdadeiro extremo. (i Em base ao gráfico, diga se os dois tratametos tem algum efeito sobre o peso médio dos fragos. (ii Faça um teste de hipotese para verificar a sua opiião. Qual é a sua coclusão? [Sugestão: veja o exercício aterior!] R Exercício 7. Iicie R e carregue os dados trabalho.txt. Este arquivo cotém os dados do Exercicio 56. (i Faça um teste para verificar se o Brasil existe difereça a taxa de trabalho de criaças pretas e criaças bracas. Qual é a sua coclusão? (ii Os resultados aqui são cosistetes com aqueles obtidos o Exercicio 56? Teste χ : Testes e itervalos para a Variâcia Exercício 7. Para cada uma das seguites combiações de a e gl (graus de libertade, calcular o valor de χ a que uma área a o extremo direito da distribuição χ, i.e., P (X = a. (i. a =, 5, gl = 7 (ii. a =,, gl = 6 (iii.a =,, gl = (iv. a =, 5, gl = 8 (v. a =, 5, gl = 5. Exercício 73. O tempo de certo eveto observado em 8 provas foreceu a estimativa para S de 6,3 (s. Obteha um itervalo de cofiaça de 95% para a verdadeira variâcia, σ, dos tempos. Supoha que a distribuição dos tempos observados é ormal. O seguite exercício é mais avazado e tem como propósito ilustrar a iterpretação ussual de um itervalo de cofiaça. R Exercício 74. Gere uma amostra de tamaho da distribuição ormal com média e desvio padrão 5. Calcule o itervalo de cofiaça para a variâcia baseado a amostra com γ =, 95. Repeta estes passos vezes e cote o úmero de vezes as quais o itervalo captura o verdadeiro valor de σ. Divida esta frequecia pelo úmero total de repetições e compare o valor fial com γ. Sugestão: utilice as fuções rorm, mea Teste F (Fisher-Sedecor: σ /σ Exercício 75. Supodo X F (a, b, ecotre x c tal que: (i P (X x c =, 5 com a=8, b=3. (ii P (X > x c =, 5 com a=3, b=8. (iii P (X > x c =, 5 com a=8, b=9. (iv P (X x c =, 95 com a=5, b=. (v P (X x c =, 95 com a=3, b=4.

22 R Exercício 76. Uma paificadora produz determiado tipo de pão, cujo peso médio é de 9 gramas, com desvio padrão de 8 gramas. Devido a mudaças a política cambial, que ocasioou aumeto o preço do trigo, algus igredietes da receita foram substituídos. Uma equipe do govero resolveu verificar se a variabilidade o peso do produto aumetou e escolheu, aleatoriamete, 6 uidades, medido o peso de cada uma. O peso médio obtido da amostra foi de gramas e o desvio padrão foi de 4,5 gramas. Qual é a coclusão para α = %. Exercício 77. Uma liha de motagem produz peças cujos pesos, em gramas, obedecem ao modelo ormal com variâcia 3 g. Os equipametos foram moderizados e, para verificar se o processo cotiua sob cotrole, foi tomada uma amostra de 3 preças, que foreceu s = 4 g. Existem evidêcias idicado que a variâcia mudou, cosiderado α=%. Exercício 78. Queremos comparar três hospitais, a través da satisfação demostrada por pacietes quato ao atedimeto, durate o período de iteração. Para tato, foram selecioados, aleatoriamete, pacietes com grau de efermidade semelhate. Cada paciete preecheu um questioário e as respostas geraram ídices variado de a, idicado o grau de satisfação. Os resultados foram Hospital A B C 5 3 x 8,7 59, 7,3 s (x 3,3,4 6,5 (i Baseado-se os dados apresetados, teste a igualdade das variâcias para os hospitais A e B. Use α =,. (ii Teste se as médias populacioais são iguais. Qual sua coclusão? Use α =, 5. Exercício 79. Procure e carregue os dados stroke.txt. Etre outras iformações, estes dados forecem a idade de pessoas de ambos sexos as quais sofreram um efarto a Estôia, durate o período Digite var.test(age~sex. (i O que esta sedo testado (quais são as hipóteses? (ii Baseado o valor p do teste, qual é a sua coclusão? Exercício 8. Sejam X e S a média e a variâcia amostrais de observações de uma população com média µ e variâcia σ. Da forma aáloga cosideramos X, S,, µ e σ. (i Estabeleça um itervalo de cofiaça para µ + µ. Sugestão: cosidere o estimador Z, = ( X + X (µ + µ. σ + σ (ii Demostrar que se e, etão Z, D Z ode Z é ormal padrão. Exercício 8. Sea X, X,..., X uma amostra de uma população Poisso(λ. Se utiliza X como um estimador para λ. Obteha um itervalo de cofiaça de ( α% para λ. [Sugestão, cosidere o estimador, Z = X λ λ/ e mostre que Z é ormal padrão quado (Qual dos resultados da seção de covergêcia podem ser utilizados?] 4 Aálise de variâcia e regressão liear Exercício 8. Três diferetes bacos possuem agêcias de mesmo porte em uma aveida o cetro de São Paulo. Para testar se essas agêcias têm movimeto médio equivalete, foi escolhida uma semaa típica de trabalho e o desempeho, esses dias, foi registrado. Os dados obtídos, em milhões de reais é apreseta a seguite tabela