CONTROLE DE ROBÔS MÓVEIS UTILIZANDO O MODELO CINEMÁTICO

Transcrição

1 ONTROLE DE ROBÔS MÓVEIS UTILIZANDO O MODELO INEMÁTIO lso d Sousa Júnior clso_d_sousa_junior@hotmail.com Eldr Morira Hmrly hmrly@l.ita.br Dpartamnto d Sistmas ontrol, Instituto Tcnológico d Aronáutica - ITA, TA-ITA-IEEE 8-9 São José dos ampos - SP ABSTRAT This work prsnts th stability proof for th mobil robot kinmatic controllr, whr th guidanc point is diffrnt from th mdium point of whl axis. Th proof is basd on th Lyapunov scond mthod. Simulation rsults assrt th thortical dvlopmnt. KEYWORDS: Lyapunov stability, kinmatic modl, mobil robots. RESUMO Est trabalho aprsnta a prova d stabilidad para controladors d modlos cinmáticos d s móvis, ond o ponto d guiamnto é difrnt do ponto médio do ixo das rodas. A prova é basada no sgundo método d Lyapunov. Simulaçõs comprovam o dsnvolvimnto tórico. PALAVRAS-HAVE: Estabilidad d Lyapunov, modlo cinmático, s móvis. INTRODUÇÃO O problma d control d s móvis pod sr dividido m três vrtnts: control considrando apnas o modlo cinmático Jiang Nijmijr, 997), Kim Oh, 999) Aicardi t al., 995), control considrando apnas o modlo dinâmico Yamamoto Yun, 99) Lags Hmrly, 998b) control utilizando tanto o modlo cinmá- Artigo submtido m // a. Rvisão m //3; a. Rvisão //3 Acito sob rcomndação do Ed. Assoc. Prof. Liu Hsu tico quanto o modlo dinâmico Firro Lwis, 998; Sousa Jr Hmrly, ). Nst trabalho discutirmos apnas os controladors basados no modlo cinmático. Em Kanayama t al. 99) é proposta uma li d control para s móvis com prova d stabilidad local basada no sgundo método d Lyapunov, através d linarização do modlo, é ralizada a spcificação dos ganhos do controlador. Para o caso d stabilidad global, Jiang Nijmijr 997) propõm um controlador qu utiliza a técnica dnominada backstpping Khalil, 99). Já m Yang Kim 999) é proposto um controlador robusto basado m modos dslizants qu considra o modlo dinâmico do. Aicardi t al. 995) utiliza o modlo cinmático m coordnadas polars. Os trabalhos d Jiang Nijmijr 997), Kim Oh 999), Aicardi t al. 995), Yang Kim 999) Firro Lwis 998) aprsntam um ponto m comum: ls considram qu o ponto d guiamnto do é igual ao ponto médio do ixo das rodas vid a Figura para maiors sclarcimntos). Ou m outras palavras, a distância ntr o ponto d guiamnto o ponto médio do ixo das rodas é nula. Assim, ssas rfrências não prmitm o tratamnto do caso prático mais comum, no qual o ponto d guiamnto difr do ponto médio do ixo das rodas. Yamamoto Yun 99) mostram qu s o ponto d guiamnto é o msmo qu o ponto médio do ixo das rodas, ntão o sistma não é controlávl, considrando o modlo dinâmico d quinta ordm. Em Kim Oh 999) a linarização ntrada-saída é mprgada para os casos ond é possívl dslocar o ponto d gui- 38 Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3

2 Y o y c Y c d R o d a P assiv a X c d v v cos ) v sin ) R P r P -d. cos ) -d. φ x c X o -d. sin ) Figura : Robô móvl sistma d coordnadas. Figura : Rprsntação das vlocidads do móvl da Figura. amnto do ixo das rodas. Obtém-s um controlador para o modlo cinmático considrando a mlhor solução no sntido quadrático. Est cnário, ond boa part dos controladors xistnts considram apnas as situação m qu o ponto d guiamnto é o msmo qu o ponto médio do ixo das rodas, stimula a invstigação d outras possibilidads para a posição do ponto d guiamnto. Est trabalho aprsnta a prova d stabilidad local utilizando o sgundo método d Lyapunov para o controlador proposto por Aicardi t al. 995) para sts casos. Na sção 3 é aprsntado o modlo cinmático m coordnadas polars cartsianas. Nas sçõs 5 são discutidas stratégias d control para os modlos aprsntados na sção 3. A contribuição dst trabalho é a prova d stabilidad utilizando o sgundo método d Lyapunov para o controlador da sção 5, para situaçõs ond o ponto d guiamnto não coincid com o ponto médio do ixo das rodas trasiras do móvl. Est dsnvolvimnto é aprsntado na sção. Rsultados d simulação são mostrados na sção 7. NOMENLATURA A sguint notação é utilizada no studo do móvl aprsntado na Figura, bm como no rstant dst trabalho: P : intrscção do ixo d simtria com o ixo das rodas; : cntro d massa, qu aqui também é o ponto d guiamnto; d: distância ntr P, ou sja, distância ntr o ponto d guiamnto o ponto médio do ixo das rodas; r: raio das rodas; R: distância ntr as rodas d tração o ixo d simtria, c = r R. 3 MODELO INEMÁTIO Sja o móvl com acionamnto difrncial da Figura. O vtor d postura é caractrizado pla tripla x c,y c,), ond x c y c são as coordnadas do ponto qu também é o cntro d massa) é o ângulo d orintação do. Uma rprsntação mais dtalhada da Figura sgu na Figura. Dsta forma, pod-s scrvr a vlocidad do m trmos d ẋ c, ẏ c, ou sja, ẋ c = cos)v d sin)ω ẏ c = sin)v + d cos)ω = ω ou, m notação matricial, x c y ċ = cos) d sin) sin) d cos) v ω, ), ) ond v : vlocidad linar do móvl ω : vlocidad angular. O aprsntado na Figura é conhcido como uniciclo Aicardi t al., 995) ou do tipo,). A Equação ) também é conhcida como modlo cinmático d postura ampion t al., 99). Est modlo O tipo δ m,δ s ) do é dfinido através do grau d mobilidad δ m ), qu corrspond ao númro mínimo d rodas fixas, grau d manobrabilidad δ s ), qu é o númro d rodas convncionais cntradas orintávis qu podm sr orintadas indpndntmnt para manobrar o. Para maiors dtalhs vid ampion t al., 99)Lags, 998a). Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3 385

3 também podria sr obtido m coordnas polars Aicardi t al., 995)Lags, 998a), ond o vtor d postura sria composto pla tripla, φ, α) vid Figura ), qu é rlacionada com coordnadas cartsianas por = x c + y c φ =arctany c,x c ) α = φ, 3) y Y y r r Y r R φ X r { xc = cosφ) y c = sinφ). ) Y c X c O y c Difrnciando m rlação ao tmpo a Equação 3), tm-s ė = ) x c + yc x c ẋ c + y c ẏ c ), 5) φ = ẏ c x c y c.ẋ c x c + y c x c, ) x c x x r Figura 3: Robô móvl ponto d rfrência R. X Utilizando as Equaçõs ) 5), ė =ẋ c cosφ)+ẏ c sinφ), 7) agrupando-s as Equaçõs ) ) obtém-s φ = ẋ c sinφ)+ẏ c cosφ)). 8) onform mncionado m Aicardi t al., 995), as Equaçõs 3) 8) são válidas apnas quando o vtor d postura d rfrência é difrnt d m, m, rad), uma vz qu os âgulos φ α são indfinidos quando =m. Portanto, não xist uma rlação d um para um ntr a tranformada da Equação ) da Equação 3) pois a corrspondência é prdida nsts pontos singulars. Substituindo-s a Equação ) nas Equaçõs 7) 8), tm-s o modlo cinmático m coordnadas polars ė φ α = cosα) sinα) sinα) d sinα) d cosα) d cosα) v ω Nas sçõs sguints srão abordadas técnicas d control para s móvis considrando os modlos cinmáticos da Equação ) Equação 9). A função arctan z, z ) dvolv o arco tangnt d z m quatro z quadrants. Ela utiliza o sinal dos argumntos para calcular o quadrant do valor dvolvido. Esta função prtnc ao softwar MATLAB a linguagm padrão ANSI.. 9) ONTROLE EM OORDENADAS AR- TESIANAS Analisando a Equação ), nota-s qu os três componnts do vtor d postura x c y c T dvm sr controlados por apnas duas ntradas v c ω c. Uma abordagm rlvant utilizando o sgundo método d Lyapunov é aprsntada m Kanayama t al. 99) utilizada m Firro Lwis 997), Firro Lwis 998) Zhang t al. 999). Sja a candidata a função d Lyapunov Kanayama t al., 99) V,, 3 )= + ) + cos 3 )) ) k 3 ond o parâmtro d projto k 3 é positivo cos) sin) = sin) cos) 3 x r x c y r y c r. ) ond x r y r r T é o vtor d postura da rfrência. Utilizando o modlo cinmático m coordnadas rtangulars Equação )) com d =, obtém-s a li d control { vc = v v c = r cos 3 )+k ) ω c = ω r + k v r + k 3 v r sin 3 ), sndo v r ω r as vlocidads linars angulars da trajtória d rfrência, rspctivamnt, k k são constants positivas. Portanto, para v r >, V,, 3 ) éngativa smi-dfinida. Dtalhs sobr sta li d control podm sr ncontrados m Kanayama t al. 99) Firro Lwis 997). 38 Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3

4 5 ONTROLE EM OORDENADAS PO- LARES Y o Y c Y p Quando o vtor d postura da rfrência composto por x r, y r r ) não é igual a tripla m, m, rad), a tripla, φ, α) não pod sr calculada através da Equação 3). Portanto, vid a Figura 3, ond a tripla, φ, α) é calculada m rlação ao sistma {X r,y r,r}, rsultando m = x + y, 3) T sndo x y = xc y c T T xr y r r. Para calcular o ângulo φ dv-s dtrminar os cattos do triângulo OR, qu são formados plas projçõs d x y. O catto O srá composto por x cos r )+ y sin r ), o catto OR é formado por x sin r )+ y cos r ), logo φ = arctan x sin r )+ y cos r ), x cos r ) ) + y sin r ), ) consqüntmnt α = φ. 5) onsidr a Equação 9) com d =. Sja a candidata a função d Lyapunov Aicardi t al., 995) V, φ, α) = + α + hφ ), ) ond h é uma constant positiva. Então V, φ, α) = cosα)v + α ω sinα) ) α hφ)v. α 7) Utilizando-s os sinais d control { vc = γ cosα) v c = ω c = γ α γ cosα) sinα) α α hφ), 8) rsulta m V, φ, α), o qu significa qu α são limitadas. A sgunda drivada tmporal da Equação ) é V, φ, α) = γ cos α)+cos α)sin α) +γα γ γ hφ cosα)sinα) γ +γα, 9) logo, do lma d Barbalat, α convrgm para zro, o qu implica, das Equaçõs 9) 8), qu ė φ tndm para zro. Então φ tnd para um valor finito φ. A convrgência d φ para zro Equação 9)), faz com qu α convirja para o valor y c φ R od a P assiv a -d x c Figura : Nova dscrição do móvl aprsntado na Figura. constant dado por γ hφ Lags, 998a). Not qu α xist é limitada Equação 9)). Portanto, da continuidad uniform d α juntamnt com a convrgência para zro d α, é garantido qu α Lma d Barbalat). Assim, φ dv ncssariamnt convrgir para zro Aicardi t al., 995; Slotin Li, 99). ONTROLE EM OORDENADAS PO- LARES PARA d Sja o móvl da Figura, cuja orintação é contrária ao móvl aprsntado na Figura. Not qu a distância ntr o ponto o ponto P é d, isto porqu o ponto foi dslocado, m rlação a P, no sntido contrário do ixo X c. Portanto d, conform a Figura, é um valor ngativo. As vlocidads linar angular do móvl podm sr dcompostas conform a Figura 5. Portanto, as vlocidads do no ponto d guiamnto, m trmos das coordnadas cartsianas, são dadas por ẋ c ẏ ċ = cos) d sin) sin) d cos) P r R X c, X p v ω X o. ) A posição do também pod sr rprsntada m coordnadas polars, possuindo a sguint rlação com as coordnadas cartsianas ė φ cosφ) sinφ) = sinφ) cosφ) ẋc, ) ẏ c Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3 387

5 ond -d P v vcos ) vsin ) A = α dα sinα)+dhφ α) cosα) α, 7) B = cos α)+dhφ α) sin α) cosα) α dhφ α) sinα) cos α). 8) α -d. cos ) -d. Not qu para A, B, V é ngativa smi-dfinida. Dsta forma, vamos stablcr a sguir as condiçõs para qu a dsigualdad s cumpra. -d. sin ) Figura 5: Rprsntação das vlocidads do móvl da Figura. portanto, da Equação 3), tm-s cosα) d sinα) ė φ sinα) = d cosα) α sinα) d cosα) v ω ) ou sja, o modlo cinmático do móvl aprsntado na Figura é idêntico ao da Figura Equaçõs ) 9)). Sja a candidata a função d Lyapunov V, φ, α) = + α + hφ ), 3) ond h R + variávl qu assum somnt valors positivos, conform a Equação 3) para x c,y c R. A drivada no tmpo d V, φ, α) é V, φ, α) =ė + α α + hφ φ ), ) da Equação ), rsulta V, φ, α) =, cosα)+hφ α) sinα) v + hφ α)d cosα) + α d sinα) ω. 5) Utilizando as lis d control da Equação 8), a Equação 5) pod sr scrita na forma V, φ, α) = γ A γ B, ) Anális d A: omo é positivo, pois rprsnta o raio m coordnadas polars, basta studar a dsigualdad ou α dα sinα)+dhφ α)cosα)α, 9) α dα sinα)+ d sinα) d sinα) ) dhφα cosα). ) dα cosα) 3) Nota. Para α π, π sgnα) = sgnsinα)), ond sgn.) é a função sinal. Portanto, da Nota. rcordando qu d<, o primiro trmo da Equação 3) aprsnta a sguint dsigualdad α d sinα) A Equação 3) pod sr rscrita como α dα sinα)+ α + d sin α) d sinα) α + d sin α). 3) d sinα) dα cosα) ) dhφα cosα). ) dα cosα) 3) Pla anális da Equação 3) a positividad d A é satisfita s ) d cosα) α dhφα cosα). 33) Nota. α cosα) π, π, α π, π Sjam agora as variávis auxiliars ξ ξ tais qu d cosα) ξ, 3) 388 Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3

6 α h ξ d φ max, φ φ max, 35) A ond ξ ξ>. Assim a Equação 33) é rscrita como s ξ'α, ξαc o s α)) ξ α ξαcosα). 3) ξ' - d A Figura ilustra a rstrição da dsigualdad da Equação 3). Sja o ponto sξ α,ξαcosα)) a intrscção ntr as curvas α α cosα). Nst caso, quanto maior ξ m rlação à ξ, mnor srá o valor d sξ α,ξαcosα)) da Figura. Para α,sξ α,ξαcosα)), a inquação 3) não é vrdadira. Para todo α tal qu α sξ α,ξαcosα)) a dsigualdad da Equação 33) é válida, podndo o valor s sr altrado através ξ ξ. Not, da Equação 3), qu é ncssário ξ d qu o ganho h sja ajustado conform a Equação 35). A rgião ond A é positivo pod sr ilustrada conform a Figura 7. A rgião hachurada rprsnta o conjunto d pars, α) ond a dsigualdad da Equação 33) falha. Tal rgião é ajustada d acordo com ξ ξ. Nst trabalho srá considrado d, pois d positivo rprsnta um ponto d guiamnto atrás do ixo d simtria das rodas, o qu não sria muito convnint, vid Figura. 8 alpha^ ou Figura 7: Rgião ond A é positivo. cos α) d sinα) hφ α) cos α) α hφ α)sinα)cosα)+ sin α) + d sin3 α), 37) α cos α) d sinα) α d sin3 α), α o qu também pod sr scrito como d sinα) α hφ)cosα) α d sin3 α) α cos α). hφ α)cosα)+ sinα) + sinα) 38) 39) Utilizando o intrvalo da Nota. tomando d, o lado squrdo da Equação 39) srá smpr positivo. s alpha.cosalpha) Nota.3 onsidr d. Tomando, por xmplo, ξ = ξ = d, dv-s tr d. 3 3 alpha rad) Figura : omportamnto d α α cosα) quando ξ ξ =. Anális d B: É ncssário qu B também sja positivo, ou sja, da Equação 8), tm-s onsidrando d =hφ =, qu é um caso crítico para a dsigualdad da Equação 39), tmos a Figura 8. Nsta figura, lado = sinα) α +)cosα) + sinα) lado α = sin3 α) cos α)). α Not, na Figura 8, qu xist um intrvalo ond a dsigualdad da Equação 39) não é válida. ontudo, V ainda continua ngativa smi-dfinida, pois tmos o trmo A, qu foi analisado antriormnt. Basta ntão ajustar os parâmtros Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3 389

7 .8 lado.5 rfrência lado alpha rad) a) Figura 8: Anális d part B..5 rfrência γ γ, tal qu γ A γ B. S γ γ B o A, sndo B o o valor d B quando a dsigualdad da Equação 39) não é válida. Pod-s concluir qu V é ngativa smi-dfinida, ou sja, α são limitados. Sria convnint provar qu φ. ontudo, ao vrificar a sgunda drivada da candidata à função d Lyapunov, V, φ, α) =γ hφ sinα)cosα) + d cos α)hφ α)sinα) ) α d sin α)hφ α)cosα) γ α + γ α sinα)cosα) + d cosα) ) hφ α)cosα)sinα) γ cos α) + γ α d cosα) ) hφd cosα)α + d sinα)α γ α ) d α) γ d α) cosα) +γ α) γ α + γ d α) π α), ) dond s conclui não sr possívl mostrar qu o lado dirito é limitado, dvido à prsnça d variávis no dnominador. Logo, o lma d Barbalat não pod sr aplicado para provar a convrgência d V para zro. thta rad) tmpo s) b) Figura 9: Estabilização m um ponto. onsidrando a Figura 7, nota-s qu xistm algumas rstriçõs para qu a função dfinida na Equação ) sja uma função d Lyapunov: ξ d, Equação 3) ξ h, Equação 35) d φ max d γ γ B o A Assim, conclui-s qu o sistma da Equação ) utilizando a li d control proposta na Equação 8) é localmnt stávl quando obdcida as rstriçõs acima. aso o sistma stja fora ára hachurada da Figura 7, ntão A> V < fazndo com qu os argumntos da função d Lyapunov sjam dcrscnt. S o par, α) stivr dntro da ára hachurada implica qu o sistma já convrgiu. Lmbrando qu a ára é ajustada d acordo com as rstriçõs. 39 Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3

8 5.5 5 rfrência rfrência a) 3 5 a) rfrência rfrência thta rad) thta rad) tmpo s) b) Figura : Trajtória rtilína tmpo s) b) Figura : Trajtória do tipo sala. 7 SIMULAÇÕES Rsultados d simulação, utilizando somnt o modlo cinmático d s móvis considrando d=. m, são aprsntados nas Figuras 9,. Os parâmtros d ajust do sinal d control stão rsumidos na Tabla. Três difrnts trajtórias d rfrência foram implmntadas simuladas m MATLAB: Estabilização m um ponto: v r w r são nulos, o móvl tm qu alcançar um ponto spcífico. Tal situação é rprsntada na Figura 9. Trajtória rtilína: v r constant.5 m/s) w r nulo, mostrada na Figura. Trajtória do tipo sala: v r é constant m/s) w r é modificada com a posição com a manobra or rad/s), aprsntada na Figura. As trajtórias foram gradas considrando o modlo cinmático basado m coordnadas cartsianas Equação )) com d =. Nas Figuras 9, a sub-figura a) rprsnta o dsmpnho do móvl no plano cartsiano a sub-figura b) aprsnta a volução das coordnadas do vtor d postura. Tabla : Ganhos do controlador cinmático para o caso d. 8 ONLUSÕES Figura γ γ h Est trabalho aprsnta a prova d stabilidad local utilizando o sgundo método d Lyapunov para o controlador basado no modlo m coordnadas polars Aicardi t al., 995) do móvl. É important salintar qu o modlo utilizado tm o ponto d guiamnto difrnt do ponto Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3 39

9 médio do ixo das rodas, situação pouco discutida na litratura qu tm bastant rlvância nas aplicaçõs práticas. Apsar das rstriçõs stablcidas durant a prova, concluímos qu o controlador proposto por Aicardi t al. 995) podria sr aplicado m situaçõs mais ralistas qu as considradas nos dmais trabalhos da ára, por xmplo Kanayama t al. 99) Jiang Nijmijr 997). As simulaçõs apnas corroboram os rsultados tóricos. Para controlar o móvl d manira ralmnt ficint dvríamos considrar também o modlo dinâmico. O qu sria também indicado para as implmntaçõs m tmpo ral, apsar da complxidad dsts controladors. Assim, st trabalho podria sr aplicado nas stratégias mistas propostas por Firro Lwis 998) Sousa Jr Hmrly ). AGRADEIMENTOS O primiro autor agradc ao NPq onslho Nacional d Dsnvolvimnto intífico Tcnológico) pla bolsa d mstrado. O sgundo autor agradc ao NPq a FAPESP, procssos.5/998-3pronex) 99/577-, rspctivamnt. REFERÊNIAS Aicardi, M., asalino, G., Bichhi, A. Balstrino, A. 995). losd loop string of unicycl-lik vhicls via Lyapunov tchniqus, IEEE Robotics and Automation Magazin ): ampion, G., Bastin, G. D Andréa-Novl, B. 99). Structural proprtis and classification of kinmatic and dynamical modls of whld mobil robots, IEEE Transactions on Robotics and Automation ): 7. Khalil, H. K. 99). Nonlinar systms, nd dn, Prntic Hall, Nw Jrsy. Kim, D.-H. Oh, J. 999). Tracking control of a twowhld mobil robot using input-output linarization, ontrol Enginring Practic 73): Lags, W. F. 998a). ontrol stimação d posição orintação d s móvis, PhD thsis, Instituto Tcnológico d Aronáutica - ITA, São José dos ampos. Lags, W. F. Hmrly, E. M. 998b). Adaptiv linarizing control of mobil robots, in IEEE d.), IFA Workshop on Intllignt Manufacturing Systms 5th, IFA, Gramado. Slotin, J.-J. E. Li, W. 99). Applid nonlinar control, Prntic Hall, Nw Jrsy. Sousa Jr,. Hmrly, E. M. ). Adaptiv control of mobil robot using a nural ntwork, Intrnational Journal of Nural Systms 3): 8. Yamamoto, Y. Yun, X. 99). oordinating locomotion and manipulation of a mobil manipulator, IEEE Transactions on Automatic ontrol 39): Yang, J.-M. Kim, J. 999). Sliding mod control for trajctory tracking of nonholonomic whld mobil robots, IEEE Transactions on Robotics and Automation 53): Zhang, Q., Shippn, J. Jons, B. 999). Robust backstpping and nural ntwork control of a low-quality nonholonomic mobil robot, Intrnational Journal of Machin and Tools & Manufactur 39: 7 3. Firro, R. Lwis, F. L. 997). ontrol of a nonholonomic mobil robots: backstpping kinmatics into dynamics, Journal of Robotic Systms 3): 9 3. Firro, R. Lwis, F. L. 998). ontrol of a nonholonomic mobil robot using nural ntworks, IEEE Transactions on Nural Ntworks 9): 589. Jiang, Z. Nijmijr, H. 997). Tracking control of mobil robots: a cas study in backstpping, Automatica 337): Kanayama, Y., Kimura, Y., Miyazaki, F. Noguchi, T. 99). A stabl tracking control mthod for an autonomous mobil robot, Intrnational onfrnc on Robotics and Automation, Vol., IEEE, s.l., pp Rvista ontrol & Automação/Vol. no./outubro, Novmbro Dzmbro 3