Índice. 2.1 O espaço vectorial Subespaços de

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1 Prefácio Prefácio Os códigos com capacidade para detectar e corrigir erros estão presetes o osso quotidiao de iúmeras formas, omeadamete quado utilizamos iformação digitalizada, tais como ouvir um CD de música, assistir a um filme em dvd ou avegar a Iteret. Os códigos correctores de erros são utilizados quado as mesages são trasmitidas através de caais de comuicação com ruído e que, desta forma, ão trasmitem a mesagem tal como foi eviada. Um código corrector de erros procura, essecialmete, acrescetar de uma forma orgaizada, algus dados a cada iformação que se pretede trasmitir para que possa recuperar a iformação detectado e corrigido evetuais erros que possam surgir. No desevolvimeto deste trabalho pretede-se apresetar uma itrodução a este tema. O estudo estará restrito aos códigos biários por serem os códigos com mais aplicações e cosequetemete os mais utilizados. No etato, o leitor coseguirá facilmete geeralizar toda a teoria para outro tipo de códigos. Serão utilizados vários resultados elemetares de álgebra liear e de álgebra que poderão ser cosultados um qualquer livro elemetar da área. O Capítulo 1 apreseta os coceitos básicos da teoria e pode servir como uma itrodução ao assuto. O Capítulo destia-se ao estudo dos importates códigos lieares, que represetam uma classe importate de códigos. No capítulo 3 estuda-se a costrução de códigos lieares, em particular os código Reed-Muller e a sua aplicação à soda espacial Marier 9. 1

2 Ídice 0. Itrodução à teoria de códigos Detecção, correcção e descodificação de erros Pricípios básicos Detecção e correcção de erros Os efeitos da correcção e detecção de erros Palavra-código trasmitida mais provável Descodificação de probabilidade máxima Fiabilidade da DPM Códigos lieares O espaço vectorial Subespaços de Cojutos Geradores/Bases Códigos lieares Matriz geradora de um código liear Dual de um código liear Equivalêcia de códigos lieares Classes de equivalêcia Descodificação de códigos lieares pelo viziho mais próximo Descodificação através do sídroma Códigos Perfeitos Códigos de Hammig Costrução de códigos lieares Extesão de códigos A costrução uu+ v Códigos Reed - Muller O código Marier Coclusão Bibliografia...1

3 Itrodução 0. Itrodução à teoria de códigos O exemplo mais familiar de um código corretor de erros é um idioma. Por exemplo, dado o alfabeto A formado pelas 3 letras do alfabeto da lígua portuguesa, bem como o espaço em braco cosiderado como uma letra, o c de cedilha e as vogais acetuadas, uma palavra da lígua portuguesa pode ser 7 cosiderada como um elemeto de A, ode 7 é o comprimeto da palavra mais loga da lígua portuguesa 1. Para ão haver repetições desecessárias, colocam-se todos os espaços em braco do lado direito, omitido-os a escrita. O facto de a lígua portuguesa ser um subcojuto próprio P de faz com que esse código seja de certa forma detector e corrector de erros. De facto, supohamos que, ao escrevermos uma palavra, produzimos a sequêcia de letras cathorro. Como este ão é um elemeto de P, percebe-se imediatamete que houve erro; e, esse caso, a correcção é possível, pois a palavra de P que mais se assemelha a cathorro é cachorro. No etato, este código ão é muito eficiete, pois se a palavra gato foi escrita de forma errada como rato, pato ou mesmo galo, ão se cosegue detectar e muito meos corrigir o erro. O problema deste código é que existem palavras muito próximas umas das outras. Outro exemplo de código muito utilizado é o ISBN, úmero idetificador dos livros e que iclui um dígito adicioal para detectar evetuais erros. A teoria de códigos foi fudada pelo matemático C. E. Shao, um trabalho publicado em Iicialmete os mais iteressados foram os matemáticos que a desevolveram cosideravelmete as décadas de 50 e 60. Com o desevolvimeto das suas aplicações e dos próprios computadores, esta teoria começou a iteressar também aos egeheiros. Hoje em dia são utilizados sempre que se deseja trasmitir ou armazear dados, garatido a sua cofiaça. Actualmete a detecção e correcção de erros é utilizada sempre que se deseja trasmitir ou armazear dados de forma fiável. Na prática ão podemos garatir 100% de fiabilidade, o setido em que o ruído (qualquer tipo de 7 A 1 Supostamete a palavra icostitucioalissimamete 3

4 Itrodução iterferêcia) causa frequetemete distorção os dados. Para lidar com esta situação idesejável, mas ievitável, é itroduzida de alguma forma redudâcia os dados origiais. Com esta redudâcia, mesmo que ocorram erros (até um determiado ível de tolerâcia), a iformação pode ser recuperada, ou pelo meos podemos detectar a preseça de erros. Um pequeo exemplo serve para ilustrar estes coceitos. Supohamos que a iformação que pretedemos trasmitir pertece ao cojuto de símbolos { ABCD,,, }. Associemos sequêcias de 0s e 1s a cada um destes símbolos. A 00 B 10 C 01 D 11 O processo pode ser represetado através do seguite diagrama: A fote emite símbolos do cojuto iformação que o osso exemplo é { A, BCD,, }. O codificador fote associa a cada elemeto de iformação uma sequêcia biária e de seguida trasmite-a. O caal pode ser qualquer meio de iformação, como uma oda de rádio, um cabo, um circuito digital ou um disco de armazeameto. Um descodificador, recebe as sequêcias biárias do caal e coverte-as para o alfabeto fote e em seguida passa a iformação dos dados para o utilizador. Se os caais fossem 100% fiáveis, ou seja, se o que fosse trasmitido fosse precisamete igual ao recebido, etão ão haveria ecessidade de corrigir erros. Ifelizmete, a maioria dos caais ão são iteiramete fiáveis, havedo uma certa probabilidade de a iformação que recebemos ão ser rigorosamete igual à que foi eviada. Se o codificador eviar 00 e o descodificador receber 01, etão ocorreu um erro. O descodificador ão tem outra hipótese que ão seja eviar o símbolo C para o utilizador. O desafio é 4

5 Itrodução melhorar a fiabilidade da trasmissão de mesages. Fazêmo-lo adicioado redudâcia às mesages. O problema pricipal da teoria de códigos é determiar como adicioar esta redudâcia às mesages de forma a detectar e possivelmete corrigir erros o caal. No osso exemplo, podemos fazer as seguites associações: A B C D Se o receptor ler sabe que ocorreu um erro, uma vez que esta sequêcia ão é uma das que o codificador podia colocar o caal. Se supusermos que os erros são itroduzidos aleatoriamete os dígitos biários da sequêcia (bits), etão parece razoável que o descodificador cosidere que a sequêcia trasmitida foi 00000, uma vez que a sequêcia pode ser obtida através desta itroduzido apeas um úico erro. Seria ecessário terem ocorrido pelo meos dois erros para que qualquer uma das outras três sequêcias se trasformassem em Podemos verificar facilmete que alterado um úico bit em qualquer uma das sequêcias de cico bits que cosiderámos resulta uma úica sequêcia. Assim, se (o máximo) apeas um bit for alterado, a sequêcia resultate pode ser idetificada de forma úica com uma das sequêcias origiais. Logo, o osso pequeo exemplo tem a capacidade de corrigir um úico erro. Os dígitos extra estão também sujeitos a erros, pelo que ão temos garatia de que a mesagem é eviada correctamete; tetamos apeas que a probabilidade de acotecer seja a maior possível. Um dos problemas a resolver será, pois, determiar como é que deverá ser adicioada redudâcia um código de forma a obtermos códigos fiáveis. 5

6 Detecção, correcção e descodificação de erros Pricípios básicos 1. Detecção, correcção e descodificação de erros 1.1 Pricípios básicos Começaremos por itroduzir algumas cosiderações e defiições básicas que iremos utilizar ao logo do trabalho e que ão formalizaremos por serem muitas e os seus sigificados de certa forma ituitivos. Numa época em que a iformática tem um papel cada vez mais importate, a iformação é, em muitos casos, trasmitida através de uma sequêcia de zeros e us. Chamaremos a 0 ou a 1 um dígito ou bit. Uma palavra é uma sequêcia de dígitos e o seu comprimeto é dado pelo seu úmero de dígitos. Assim, é uma palavra de comprimeto ove. Cada palavra é trasmitida eviado os seus dígitos, um após o outro, através de um caal que pode ser, por exemplo, um cabo, uma fita magética ou um disco de armazeameto. Um código biário é um cojuto C de palavras. O código que cosiste de todas as palavras de comprimeto dois é: C = { 00,10,01,11} Um código em que cada palavra é uma sequêcia de um úmero fixo de dígitos diz-se código de blocos de comprimeto. Iremos restrigir a ossa ateção exclusivamete a este tipo de códigos, e assim, código sigificará sempre código de blocos biário. As palavras que pertecem a um dado código C dizem-se palavras-código, embora sempre que ão haja perigo de cofusão escreveremos apeas palavra. O úmero de palavras-código um código C será represetado por M ou C. Iremos apeas cosiderar este trabalho caais que possuem as seguites propriedades: Os códigos biários são os que têm mais iteresse dadas as suas iúmeras aplicações, omeadamete a ível da iformática. No etato, códigos em que cada dígito pertece ao cojuto { 1,,..., p 1}, com p primo, têm também cocetrado muita ateção dos matemáticos. 6

7 Detecção, correcção e descodificação de erros Pricípios básicos Todos os dígitos trasmitidos têm a mesma probabilidade (pequea) de serem recebidos de forma errada, ou seja, a probabilidade de receber o dígito correcto é idepedete de que dígito, 0 ou 1, está a ser trasmitido; Uma palavra de comprimeto cosistido de 0 s e 1 s é recebida como uma palavra de 0 s e 1 s, embora ão ecessariamete a mesma palavra que foi eviada; Não há ehuma dificuldade em idetificar o iício da primeira palavra trasmitida. Assim, se estivermos a utilizar palavras de comprimeto 3 e recebermos , sabemos que as palavras recebidas são, por ordem, 011, 011, 001. Isto sigifica, utilizado ovamete comprimeto 3, que o caal ão pode etregar ao receptor, porque teria sido perdido um dígito; O ruído está disperso aleatoriamete, ou seja, a probabilidade de qualquer um dos dígitos ser afectado a trasmissão é a mesma de qualquer outro dígito e ão é iflueciada por erros cometidos os dígitos vizihos. Esta última cosideração ão é muito realista em diversos tipos de ruído como por exemplo um risco um CD 3. Num caal perfeito, ou sem ruído, o dígito eviado, 0 ou 1, é sempre o dígito recebido. Se todos os caais fossem perfeitos, ão seria ecessária a teoria de códigos. Mas felizmete (ou ifelizmete talvez) ehum caal é perfeito; todo o caal tem ruído. Algus caais têm meos ruído ou são de maior cofiaça do que outros. A cofiaça de um caal biário simétrico (CBS) é um úmero real p, 0 p 1, ode p é a probabilidade de o dígito eviado ser o dígito recebido. Se p for a probabilidade de o dígito recebido ser igual ao dígito eviado, etão 1-p é a probabilidade de o dígito recebido ão ter sido o dígito eviado. O diagrama seguite pode clarificar como um CBS fucioa: 3 A costrução de códigos de correcção de erros utilizados o armazeameto de dados em CDs requer cohecimetos avaçados de álgebra para posterior aplicação em códigos cíclicos com erros de acumulação. 7

8 Detecção, correcção e descodificação de erros Pricípios básicos eviada recebida Na maioria dos casos pode ser difícil estimar o valor real de p para um dado caal. No etato, esse valor ão ifluecia sigificativamete a forma da teoria. Um caal é de maior cofiaça que outro se o valor de p esse caal for superior. Se p = 1, etão ão há possibilidade de um dígito ser alterado durate a trasmissão. Assim, esse caal é perfeito e ão tem qualquer iteresse para ós. Nem o terá um caal com p = 0. A maioria dos códigos são costruídos adicioado k bits de verificação a cada mesagem de comprimeto k para costruir uma palavra de comprimeto. Estes códigos cosistem em k das palavras possíveis de bits. Por exemplo, o código C = { 000,011,101,110} pode ser usado para trasmitir todas as mesages de bits (00,01,10,11); cada mesagem aparece os primeiros bits da palavra-código correspodete. Dizemos que é um código (3,). Ou, de um modo geral, podemos tomar a seguite defiição: Defiição 1.1.1: Um código de comprimeto, com mesages de k bits e k palavras-código, é um código ( k, ). O úmero k é a dimesão do código 4. 4 De acordo com a defiição adoptada em MT365 Graphs, Networks ad Desig, Desig 3 Desig of Codes; The Ope Uiversity; 1995; Uited Kigdom. 8

9 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros 1. Detecção e correcção de erros Aalisemos a possibilidade de detectar e corrigir erros. Nesta secção, pretedemos itroduzir os coceitos de correcção e detecção de erros de uma forma ituitiva. Uma abordagem mais formal será desevolvida as secções seguites. Exemplo 1..1: Código completo de comprimeto : Cosideremos o seguite código: C = {00, 01,10, 00} Se eviarmos a palavra 00 e durate a trasmissão ocorrer um erro o segudo dígito, o receptor receberá a palavra 01, que é aida uma palavra- -código. De facto, toda a palavra recebida é uma palavra-código, pelo que o código C ão pode detectar ehum erro. Este mesmo código também ão corrige erros uma vez que ehuma palavra de comprimeto ecessita de correcção para se torar uma palavra-código. Em seguida, vamos aalisar uma família de códigos, os códigos de repetição. Iiciaremos com o código de dupla repetição que os permitirá itroduzir o coceito de detecção de erros. Vejamos o exemplo seguite: Exemplo 1..: Código de dupla repetição, R(): Neste código, cada bit de iformação é duplicado como se segue: Mesagem Palavra-código

10 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Se quisermos eviar a palavra 1, deve ser eviada a palavra-código 11 que será descodificada o receptor como 1. Da mesma forma, 0 é codificada como 00. Supohamos agora que é eviada a mesagem 0 e que devido a ruído o caal a palavra recebida é 01. O receptor, sabe que 01 ão foi a palavra eviada uma vez que as úicas palavras código são as palavras 00 e 11. No etato, ão sabe se o erro ocorreu o primeiro dígito e a mesagem eviada foi 1 ou se o problema ocorreu o segudo dígito e a mesagem correcta é 0. Podemos afirmar que ocorreu um erro, mas ão podemos dizer qual dos bits está icorrecto. O código cosegue detectar um erro mas ão corrigi-lo. Pagámos um preço demasiado alto para a pequea protecção o código R(). Para cada bit de iformação, é ecessário trasmitir dois bits, pelo que o código é bastate ieficiete. Uma vez que o código R() é um código (,1), a sua taxa é somete 1/, como veremos em seguida. Nos parágrafos seguites vamos costatar que a adição de dígitos as palavras-código melhora a correcção e detecção de erros. No etato, facilmete compreedemos que quato maior for a mesagem, mais tempo demorará a sua trasmissão. A taxa de iformação (ou simplesmete taxa) de um código é um úmero que mede a proporção de cada palavra que trasporta a mesagem. Formalizemos etão o coceito de taxa que acabámos de utilizar. Defiição 1..1: A taxa de iformação de um código C de comprimeto defie-se como sedo (para códigos biários): k A taxa de iformação toma valores etre 0 e 1; sedo 1 se todas as palavras forem palavras-código e 0 se C = 1. Se queremos obter códigos com taxa superior a 1/, teremos de codificar as mesages com mais de dois bits. Teremos também de ecotrar métodos mais sofisticados para itroduzir bits redudates. 10

11 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros O exemplo seguite é de um outro código que cosegue detectar um erro, mas com uma taxa superior ao código R(). Exemplo 1..3: Código de peso par Modifiquemos o código de dupla repetição do exemplo 1..1, adicioado a cada palavra-código um terceiro dígito, de forma a que o úmero de 1 s seja par. Por exemplo, a mesagem 01 é codificada como 011 e a mesagem 11 como 110. O código costruído é o seguite: C = {000, 011,101,110} Dizemos que o dígito que adicioámos é um dígito de verificação de paridade. Supohamos que após a trasmissão é recebida a palavra 010. Claramete, esta ão é ehuma das palavras-código, pelo que podemos afirmar que terá ocorrido pelo meos um erro. Mas qual foi a palavra trasmitida? Sedo muito maior a probabilidade de ocorrer apeas um erro do que vários, será mais sesato corrigir a palavra recebida por qualquer uma das palavras 110, 000 ou 011 porque podem ser obtidas desta alterado apeas um dígito, ao cotrário das restates. Como o código R(), ão podemos fazer mais do que detectar que ocorreu um erro. No etato, a taxa de iformação é um pouco melhor, 3. Em algus casos podemos estar mais iteressados em detectar erros em vez de os corrigir. Poderá ficar muito caro costruir redudâcia suficiete para corrigir erros, pelo que, por vezes, será preferível pedir para repetir a trasmissão da palavra que cotém o erro. No etato, outras situações como o registo de dados de um aparelho da NASA, em que poderá haver apeas uma oportuidade para trasmitir esses mesmos dados para a terra, poderá ser importate criar alguma redudâcia para que evetuais erros possam ser corrigidos. Supohamos agora que queremos mais do que detectar que ocorreram erros uma palavra recebida. Não podemos estar cotiuamete a repetir as 11

12 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros palavras-código corrompidas, e mesmo que pudéssemos, levar-os-ia tempo e eergia. Como é que podemos icorporar redudâcia suficiete um código de forma a assegurar que os erros podem ser além de detectados, também corrigidos? No exemplo seguite, usaremos um código do mesmo tipo do código R() ou seja, um código de repetição. Exemplo 1..4: Código de tripla repetição, R(3): Podemos costruir o código de tripla repetição de forma aáloga ao código de dupla repetição. Desta vez, cada bit é triplicado. A mesagem 0 é codificada como 000 e 1 como 111: Mesagem Palavra-código Se o receptor receber a palavra 001 podemos desde logo afirmar que ocorreu pelo meos um erro, uma vez que esta ão é ehuma palavra-código. Este código permite a correcção de erros. Se foi eviada a palavra 000 etão ocorreu um erro. Se foi 111 a palavra eviada, etão foram dois os erros durate a trasmissão. Se cosiderarmos que é mais provável ocorrer um erro do que dois, escolhemos 000 e descodificamos a mesagem como 0. O código R(3) é um código que corrige um úico erro. Já cohecemos o código R(), código de dupla repetição e R(3) o código de tripla repetição. O código R() é costruído de forma aáloga, para todo o iteiro > 1. 1

13 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Exemplo 1..5: Código de -ésima repetição, R(): Cosideremos que trasmitimos cada bit de iformação vezes como se segue: Mesagem Palavra-código ( bits ) ( bits ) Uma vez que cada bit de iformação dá origem a bits trasmitidos, podemos verificar rapidamete que a taxa do código R() é 1/. Quatos erros pode R() detectar e corrigir? Recordemos que a correcção a descodificação só é possível quado a maioria dos bits uma palavra recebida correspode ao bit da mesagem da palavra-código trasmitida. Se exactamete metade dos bits estão errados, etão ão é possível ehum veredicto sobre o valor do bit da mesagem. Neste caso, que apeas pode suceder quado é par, os erros podem ser detectados mas ão corrigidos. Logo: Se é ímpar, o código R() pode detectar e corrigir até ( 1)/ erros. Se é par, o código R() pode detectar até / erros e corrigir até ( )/ erros. Depois de itroduzido o coceito de distâcia de Hammig, será apresetado um teorema e um corolário que permitirá uma formalização e geeralização do resultado apresetado acima. A discussão do código R(), depede do facto de as duas palavras-código diferirem em todos os bits. Formalizemos o coceito de distâcia etre duas palavras-código. Defiição 1..: A distâcia de Hammig d( x, y ) etre duas palavras biárias x e y de um código é dada pelo úmero de posições em que os seus bits diferem. 13

14 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Exemplo 1..6: Cosideremos o código: C = { 0000,0011,0101,0110,1001,1010,1100,1111} Se x = 0011 e y = 1001, etão x e y diferem o primeiro e o terceiro bit, pelo que d( x, y ) =. Propriedades da distâcia de Hammig: Para quaisquer palavras x, y e z do mesmo comprimeto, o d( x, y) = d( y, x); simetria o d( x, z) d( x, y) + d( y, z); desigualdade triagular o d( x, y) 0; o d( x, y ) = 0 se e só se x = y. As propriedades de correcção de erros de um código estão itimamete ligadas à distâcia de Hammig que separa as palavras-código. De particular importâcia é a meor distâcia de Hammig etre duas palavras-código. Defiição 1..3: A distâcia míima δ (ou dc ( )) de um código é a distâcia míima etre duas palavras-código distitas. δ = dc ( ) = mi{ dxy (, ) xy, Cx, y} Um código ( k, ), com distâcia míima δ, diz-se um código ( kδ,, ). Exemplo 1..7: A distâcia míima do código C = { 0000,0001,0101,0110,1001,1010,1100,1111} é, e portato, este é um código (4,3,). 14

15 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Outro coceito importate refere-se ao peso de Hammig, ou simplesmete peso. Defiição 1..4: O peso de Hammig, ou simplesmete peso de uma palavra x é o úmero de 1 s dessa mesma palavra, desiga-se por wx. ( ) Exemplo 1..8: A palavra x = 0000 tem peso zero, wx ( ) = 0 e y = 1001 tem peso, wy ( ) =. Defiição 1..5: Desigamos a descodificação de uma palavra pela palavra- -código mais próxima por descodificação por um viziho mais próximo. Teorema 1..1: Seja C um código biário. Verificam-se os seguites resultados: i) C pode detectar até s erros em qualquer palavra-código se dc ( ) s+ 1. ii) C pode corrigir até t erros em qualquer palavra-código se dc ( ) t+ 1. Prova: i) Supohamos que dc ( ) s+ 1. Seja x uma palavra-código trasmitida ode ocorrem s erros a trasmissão. Como a palavra recebida ão pode ser uma palavra-código e dc ( ) s+ 1, os erros podem ser detectados. ii) Supohamos agora que dc ( ) t+ 1. Seja x uma palavra-código trasmitida e ode ocorrem o máximo t erros, sedo recebida a palavra y. Assim, d( x, y) t. Se x ' for uma palavra-código diferete de x, d( x', y) t+ 1, porque de outra forma d( x', y) t o que implica, pela desigualdade triagular, que d( x, x') d( x, y) + d( x', y) t, cotradizedo a hipótese de que dc ( ) t+ 1. Coclui-se que x é a palavra-código mais próxima de y. Assim, a palavra y é descodificada correctamete como x, por descodificação pelo viziho mais próximo. 15

16 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Corolário 1..1: Se um código C tiver distâcia míima δ, etão C pode ser utilizado para: i) Detectar até δ 1 erros; ii) Corrigir até ( δ 1)/ erros5. Prova: i) δ s + 1 se e só se s δ 1; ii) δ t + 1 se e só se δ 1 t se e só se t ( δ 1)/. Exemplo 1..9: Voltado ao exemplo 1..5, podemos afirmar que, por exemplo, o código de quita repetição, R(5), tem dr ( (5)) = 5 e assim pode detectar até = erros e corrigir até ( ) 5 1 / = erros. Mais geralmete: dc ( ) Nº de erros detectados por C Número de erros corrigidos por C x Represeta o maior iteiro iferior a x 16

17 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros Exercícios A: 1. Idique o comprimeto, dimesão e taxa de iformação do código C. C = { 0000,0110,1111,1001}. Seja C o código que se obtém adicioado um dígito de verificação de paridade ao código de todas as palavras de comprimeto 3. i) É possível detectar um erro se recebermos a palavra 1101? ii) Se recebermos a palavra 1101, quais as palavras que é mais provável terem sido eviadas? 3. Qual a distâcia de Hammig etre as seguites palavras: i) e 11000; ii) e ; iii) e Idique a distâcia míima δ do código seguite: C = { , , , } 5. Quatos erros podem ser detectados e corrigidos por: i) um código com distâcia míima 19? ii) um código com distâcia míima 0? Resolução 1. Cada palavra-código tem 4 dígitos pelo que o seu comprimeto é 4. O código C tem = 4 palavras-código. Logo, a sua dimesão é. A taxa de iformação é igual ao quociete da divisão da dimesão pelo comprimeto do código. Neste caso, A taxa de iformação do código C é 0,5 4 =. 17

18 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros. Ora, C = { 0000,0011,0101,0110,1001,1010,1100,1111} é o código que se obtém adicioado um dígito de verificação de paridade ao código de todas as palavras de comprimeto 3. i) É possível detectar um erro se recebermos a palavra 1101 porque ão é ehuma palavra-código de C. ii) Aalisemos a distâcia da palavra 1101 a cada uma das palavras-código: d (0000,1101) = 3 ; d (0011,1101) = 3 ; d (0101,1101) = 1; d (0110,1101) = 3 ; d (1001,1101) = 1; d (1010,1101) = 3; d (1100,1101) = 1; d (1111,1101) = 1. Como é mais provável que teha ocorrido um erro do que três, as palavras com maior probabilidade de terem sido eviadas são: 0101,1001,1100 e i) d (01101,11000) = 3 ; ii) d ( , ) = 1; iii) d ( , ) = Na tabela seguite estão idicadas todas as distâcias etre as palavras de C : D A distâcia míima δ do código C é. 18

19 Detecção, correcção e descodificação de erros Detecção e correcção de erros 5. Recorde-se que: para: Se um código C tiver distâcia míima δ, etão C pode ser utilizado Detectar até δ 1 erros; Corrigir até ( δ 1)/ erros. i) Se a distâcia míima é 19, etão: Pode detectar 18 ( 19 1) = erros e corrigir 9 ( = (19 1)/ ) erros ii) Com distâcia míima 0: Pode detectar 19 ( 0 1) = erros e corrigir 9 ( = (0 1)/ ) erros. 1.3 Os efeitos da correcção e detecção de erros Neste parágrafo pretede-se exemplificar o efeito que a adição de um dígito de paridade um código pode ter o recohecimeto de um erro. Aalisemos o código formado por todas as palavras de comprimeto 11. Como todas as palavras de comprimeto 11 são palavras-código, ão é possível detectar ehum erro. Supohamos que a cofiaça do caal, ou seja, a probabilidade de o dígito recebido através do caal ser o mesmo do 8 trasmitido é p = Etão, a probabilidade de uma palavra ser trasmitida icorrectamete é igual a: 1 p = 1 (1 10 ) 1,

20 Detecção, correcção e descodificação de erros Os efeitos da correcção e detecção de erros Supodo que os dígitos são trasmitidos a uma taxa de 7 10 dígitos por segudo, como cada palavra é formada por 11 dígitos, teremos uma trasmissão de 7 10 /11 palavras por segudo. Assim, o úmero de palavras trasmitidas de forma icorrecta é aproximadamete: 7 7 1, /11 = 0,1 Se trasmitirmos 0,1 palavras erradas por segudo, teremos um erro por cada 10 segudos, 6 por miuto, 360 por hora e 8640 por dia. Ou seja, estamos perate um úmero bastate elevado de erros de trasmissão sobre os quais ão coseguimos qualquer tipo de correcção. Depededo da iformação a trasmitir, poderemos estar perate um código que os pode trazer algus problemas. É ecessário itroduzir um mecaismo de cotrolo de erros. Adicioemos um dígito de paridade a cada palavra, de forma que o úmero de 11 1 s em cada uma das 048 = palavras seja par. Desta forma, todos os erros úicos (erro em apeas um bit de cada palavra) podem ser detectados. Terão de ocorrer pelo meos erros para que uma palavra errada possa ser trasmitida sem o osso cohecimeto. A probabilidade de ocorrerem pelo meos erros é: p 1 p (1 p) em que p 1 é a probabilidade de ão ocorrerem erros e 11 1 p (1 p) a probabilidade de ocorrer um erro em cada um dos 1 dígitos. Para p 8 = 1 10 é aproximadamete igual a: 6, Agora, matedo uma taxa de 7 10 dígitos por segudo e relembrado que cada palavra tem 1 dígitos, o úmero de palavras trasmitidas icorrectamete por segudo é aproximadamete: 0

21 Detecção, correcção e descodificação de erros Os efeitos da correcção e detecção de erros 6, /1 = 5, Desta forma, teremos aproximadamete uma palavra trasmitida erradamete sem ser detectada a cada 100 dias. A itrodução de um dígito de verificação permitiu uma melhoria de 8640 erros ão detectados por dia para 1 erro ão detectado por 100 dias. Aumetado o comprimeto do código de 11 para 1 é muito provável que se saiba em que palavras é que os erros ocorrem. No etato, para se saber ode é que estes erros ocorreram poderá ter de se pedir uma retrasmissão da mesagem. Fisicamete, isto sigifica que ou a trasmissão tem de ficar suspesa até ser recebida uma cofirmação ou as mesages têm de ser armazeadas temporariamete até a retrasmissão ser pedida; ambas as alterativas podem ter um custo demasiado alto em termos de tempo ou de espaço de armazeameto. Pode também suceder que a retrasmissão seja impraticável, como quado se está a ouvir um compact disc. Portato, apesar do custo o aumeto do comprimeto das palavras, pode ser de grade utilidade o icorporar de mecaismos de correcção de um código. A itrodução de tais mecaismos pode também torar a codificação e descodificação mais difícil, mas permitirá evitar os custos escodidos de tempo e espaço mecioados acima. Uma forma simples de itroduzir a correcção de erros é através de um código de repetição, como vimos o parágrafo aterior. Cosideremos o código de tripla repetição ode cada palavra é repetida três vezes. Etão, se for cometido o máximo um erro por cada 33 dígitos das palavras-código, pelo meos duas das três trasmissões estarão correctas. Embora seja simples corrigir um erro, a taxa de iformação é 1/3 em vez de 1, o que represeta um grade custo face às vatages obtidas. Numa secção mais à frete irá ser aalisado um código em que adicioado apeas 4 dígitos extra a cada palavra-código de 11 bits é possível corrigir aida um erro. Este produz um código com taxa 11/15, uma melhoria sigificativa obtida através de custos de codificação e descodificação ão proibitivos. A tarefa é, portato, costruir códigos com taxas de iformação razoáveis, baixos custos de codificação e descodificação e algumas 1

22 Detecção, correcção e descodificação de erros Os efeitos da correcção e detecção de erros capacidades de detecção e correcção de erros que faça com que a ecessidade de retrasmissão ão exista. 1.4 Palavra-código trasmitida mais provável Cosidere-se uma visão geral do processo de trasmissão, cohecedo a palavra v que foi trasmitida e a palavra w que foi recebida. Para quaisquer v e w dados, seja φ (, vw ) a probabilidade de se receber a palavra w tedo sido p trasmitida a palavra v através de um caal CBS com cofiaça p. Uma vez que estamos a cosiderar que o ruído está distribuído aleatoriamete, podemos tratar a trasmissão de cada dígito como um acotecimeto idepedete. Pelo que se v e w diferem em d posições, etão temos d dígitos trasmitidos correctamete e d trasmitidos icorrectamete, e assim, φ (, vw d p ) p = (1 p ) d Cocretizemos com um exemplo: Exemplo 1.4.1: Seja C um código de comprimeto 5. Etão, para toda a palavra v em C, a probabilidade de v ser recebida correctamete é: φ p (,) vv = p 5 Seja uma palavra-código de C. Etão: φ p (10101,01101) = p (1 p) 3 e se p = 0,9 etão: p ( ) ( ) 3 φ (10101, 01101) = 0,9 0,1 = 0, 0079

23 Detecção, correcção e descodificação de erros Palavra código trasmitida mais provável Na prática, cohecemos w a palavra recebida, mas ão cohecemos a palavra v que foi eviada. No etato, cada palavra-código v determia uma atribuição de probabilidades φ (, vw ) às palavras w. Desta forma escolhemos a p palavra código v que codiz mais com a observação este caso, que faz a palavra recebida mais provável. Ou seja, cosidera que v foi eviada quado w é recebida se: { φp } φ (, vw) = max (, uw): u C. p v: O teorema seguite forece um critério para ecotrar a palavra-código Teorema 1.4.1: Cosideremos que temos um CBS com 1/< p < 1. Sejam v 1 e v palavras-código e w uma palavra, todas de comprimeto. Cosideremos aida que v 1 e w diferem em d 1 posições e que v e w diferem em d posições. Etão: φp( v1, w) φp( v, w) se e só se d1 d. Prova: 1 1 φ ( v, w) φ ( v, w) se e só se d (1 ) d p p p d (1 p) d p 1 p se e só se p 1 p d d1 1 p se e só se d d1 (uma vez que 1 1 p >, pois p > 1/). Este teorema estabelece um procedimeto formal para corrigir palavras que até agora tíhamos adoptado como sedo um procedimeto ituitivo: corrigir w para uma palavra-código que difere de w um meor úmero de posições possível, uma vez que essa palavra-código é a palavra mais provável de ter sido eviada, dado que w foi recebida. 3

24 Detecção, correcção e descodificação de erros Palavra código trasmitida mais provável Exemplo 1.4.: Se w = for recebida através de um CBS com p = 0,98, qual das palavras-código 01101, 01001, 10100, é mais provável que teha sido eviada? v d (úmero de bits que diferem com w ) meor d Tabela 1 Utilizado a tabela 1, o teorema aterior diz-os que é a palavra que mais provavelmete foi eviada. Note-se que ão ecessitamos de saber o valor exacto de p de forma a aplicar o teorema aterior; basta que p > 1/. Exercícios B: 1. Calcule φ (, vw) 0,97, para cada um dos seguites pares v e w. i) v = e w = ; ii) v = e w = ; iii) v = e w = Cosidere o código biário de repetição de comprimeto 5, com cofiaça p. Prove que a probabilidade de a palavra eviada ser igual à palavra descodificada é 10 p 15p + 6 p. 3. Supohamos que recebemos a palavra w = um caal com cofiaça p = 0,9. Idique qual das palavras-código é mais provável que teha sido eviada. { , , , , } 4

25 Detecção, correcção e descodificação de erros Palavra código trasmitida mais provável Resolução 1. Se duas palavras v e w diferem em d posições, etão são trasmitidos d dígitos correctamete e d icorrectamete. Assim: φ (, vw d d p ) p = (1 p ), em que p é a cofiaça do caal. i) ii) ( , ) = 0,97 (1 0,97) = 0,97 0,03, 10 ; φ ,97 ( , ) = 0,97 (1 0,97) = 0,97 1 8,08 10 ; φ ,97 iii) (00101,11010) = 0,97 (1 0,97) = 1 0,03, φ ,97. Se eviarmos qualquer uma das palavras-código ou 11111, etão a palavra recebida será descodificada correctamete como a palavra-código eviada se e só se ocorrerem o máximo erros (0 erros, 1 erro ou erros). Assim, a probabilidade de a palavra descodificada ser a palavra-código eviada é: p (1 p) + 5 p (1 p) + p (1 p) = p + 5 p 5 p + 10 p (1 p+ p ) = p 5p + 10 p + 5p 0 p + 10 p = 6p 15p + 10p. 3. palavras d (úmero de bits que diferem com w ) meor d A palavra-código que é mais provável ter sido eviada é

26 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima 1.5 Descodificação de probabilidade máxima Neste mometo estamos preparados para uma formulação precisa de dois problemas básicos da teoria de códigos. Supohamos que estamos a extremidade de recepção de um CBS e que queremos receber uma mesagem do trasmissor a outra extremidade. O trasmissor é, com certeza, um trasmissor previamete costruído por ós. Aliás, a costrução do trasmissor é um dos problemas básicos. Há duas quatidades sobre as quais ão temos ehum cotrolo. Uma é a probabilidade p de o osso CBS trasmitir um dígito correctamete. A outra é o úmero de mesages possíveis que podem ser trasmitidas. Os dois problemas básicos da codificação são os seguites: Codificar: Temos de estabelecer um código para eviar as ossas mesages e para isso é ecessário fazer algumas escolhas. Primeiro escolhemos um iteiro positivo k, o comprimeto de cada palavra biária, correspodete à mesagem. Uma vez que temos de atribuir uma palavra biária diferete de comprimeto k a cada mesagem, k tem de ser escolhido de forma que M = k. Em seguida, temos de decidir quatos dígitos precisamos de cocatear a cada palavra de comprimeto k, para assegurar que possamos detectar e corrigir tatos erros quatos queiramos; esta é a escolha das palavras-código e do comprimeto do código, (ote-se que os primeiros k bits das palavras- -código ão são ecessariamete iguais aos bits da mesagem a trasmitir). Para trasmitir uma mesagem particular, o trasmissor ecotra a palavra de comprimeto k atribuída a essa mesagem e trasmite a palavra-código de comprimeto correspodete a essa palavra de comprimeto k. Descodificar: É recebida uma palavra w de (Cojuto das palavras de comprimeto sobre.) Vamos descrever o procedimeto para descodificar chamado descodificação de probabilidade máxima, ou DPM, para decidir que palavra v em C foi eviada. Na realidade há dois tipos de DPM: 6

27 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima Descodificação de probabilidade máxima completa, ou DPMC. Se existir uma e uma só palavra v mais perto de w do que qualquer outra palavra de C, descodificamos w como v. Ou seja, se dvw (, ) (, ) < dv1 w para todo 1 v em C, v 1 v, descodificamos w como v. Se houver várias palavras em C mais perto de w, i.e., à mesma distâcia de w, etão seleccioamos arbitrariamete uma delas e cocluímos que foi a palavra eviada. Descodificação de probabilidade máxima icompleta, ou DPMI. Novamete se houver uma úica palavra v em C mais perto de w descodificamos w como v. Mas, se houver várias palavras em C à mesma distâcia de w, pedimos uma retrasmissão. Em algus casos podemos mesmo pedir uma retrasmissão se a palavra recebida w estiver a uma distâcia muito grade de qualquer das palavras do código. Durate este trabalho utilizaremos a DPMI. Realcemos que o DPMC ão fucioa muito bem um grade úmero de casos, omeadamete se ocorrerem muitos erros a trasmissão através do CBS. A palavra v de C mais próxima da palavra recebida w é a palavra cuja distâcia dvw (, ) é mais pequea, e portato, pelo teorema1.4.1, tem a maior probabilidade φ ( vw, ) de ter sido eviada. O teorema pode ser reformulado da seguite forma: p φ ( v, w) φ ( v, w) se e só se w( v + w) w( v + w) p 1 p 1 ou seja, a palavra-código com maior probabilidade de ter sido eviada é a palavra cujo erro tem um peso meor. Desta forma, a estratégia a DPMI cosiste em examiar o erro de meor peso. 7

28 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima Exemplo 1.5.1: Cosideremos M =, 3 = e { 000,111} C =. Se v = 000 for trasmitida, quado é que a DPMI obtém um resultado correcto ou descodifica erradamete como 111? Aalisemos a seguite tabela: Palavra Recebida Erro Palavra Descodificada w w 111+ w v * * * * * * * * 111 Tabela Na primeira colua estão dispostas todas as palavras possíveis que podem ter sido recebidas. São todas as palavras de 3. A seguda e terceira coluas eumeram os erros v+ w para cada palavra v o código C. Uma vez que a DPMI seleccioa o erro de meor peso, colocámos um asterisco depois da etrada da colua dois ou três com peso meor. Na última colua registamos a palavra v o código C correspodete à colua a qual o asterisco foi colocado. Esta é a palavra que a DPMI cocluirá que foi eviada para cada uma das palavras que é possível terem sido recebidas. Desta forma, a DPMI irá cocluir correctamete que 000 foi eviada se 000,100,010 ou 001 for recebida (primeiras quatro lihas da tabela ). E a DPMI irá cocluir icorrectamete que 111 foi eviada se 110,101,011 ou 111 foi recebida (últimas quatro lihas da tabela). Exemplo 1.5.: Cosideremos M = 3, 4 = e { 0000,1010,0111} C =. Costruímos a DPMI a tabela 3, tal como fizemos o exemplo aterior, excepto que se duas ou mais etradas as coluas do erro tiverem o mesmo 8

29 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima peso míimo, etão ão colocaremos um asterisco essa liha e ão devolveremos qualquer resultado. Isto sigifica que a DPMI, teremos de solicitar uma retrasmissão sempre que houver um empate o peso míimo do erro. Palavra Recebida Erro Palavra Descodificada w w w w v * * * * * * * * * * * * 0111 Tabela 3 Vejamos algus critérios que deverão ser tidos em cota aquado da escolha de um determiado código: 1) Palavras compridas levam mais tempo a trasmitir e descodificar, pelo que ão deve ser demasiado grade; ou seja, a taxa de iformação deve-se aproximar de 1 tato quato possível. 9

30 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima ) Com um grade úmero de mesages a serem recebidas por segudo, se M também for grade digamos a ordem dos milhares, o procedimeto de DPMI descrito esta secção demoraria demasiado tempo a implemetar. Felizmete, algumas boas escolhas de C permitem métodos de DPMI muito mais simples e rápidos. 3) Se ocorrerem muitos erros a trasmissão, a DPM ão fucioará. Ou seja, a palavra obtida por DPM ão será igual à palavra trasmitida. C deverá ser escolhido de forma que a probabilidade de a DPM fucioar seja muito elevada. Exercícios C: 1. Seja C =, 3 = e { 001,101} C =. Se for eviada a palavra-código v = 001, quado é que a DPMI o coclui correctamete e quado é que a DPMI coclui erradamete que 101 foi a palavra-código eviada.. Costrua a tabela de DPMI para os seguites códigos: i) C = { 000,001,010,011} ii) C = { 0000,1001,0110,1111} 30

31 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima Resolução 1. Costruamos a tabela de DPMI, para as palavras-código 001 e 101: Palavra Recebida Erro Palavra Descodificada u 001+ u 101+ u w * * * * * * * * 101 Utilizado o código C cocluímos correctamete que v = 001 foi a palavra-código eviada se forem recebidas as seguites palavras: 000,010,001,011 Caso receba qualquer outra das palavras possíveis cocluirá erradamete que 101 foi a palavra eviada. 31

32 Detecção, correcção e descodificação de erros Descodificação de probabilidade máxima. i) ii) Palavra Recebida Palavra Recebida Erro Palavra Descodificada w w 001+ w w 011+ w v * * * * * * * 011 Erro Palavra Descodificada w w w w w v * * * *

33 Detecção, correcção e descodificação de erros Fiabilidade da DPM 1.6 Fiabilidade da DPM Cosideremos e C escolhidos. Aalisemos um procedimeto para determiar a probabilidade θ ( Cv, ) de, se v for eviada através de um CBS de p probabilidade p etão a DPMI coclui correctamete que v foi eviada. Ecotremos o cojuto Lv ( ) de todas as palavras em que estão a uma distâcia iferior de v do que qualquer outra palavra de C. Etão, θ ( Cv, ) é a soma de todas as probabilidades θ ( vw, ), com w L( v). Ou seja: p p θp( Cv, ) = φp( vw, ) w L( v) Note-se que o cojuto Lv () é o cojuto de todas as palavras de, para as quais, se recebidas, a DPMI coclui correctamete que v foi eviada. Podemos ecotrar Lv ( ) em tabelas do tipo da que costruímos a última secção. Em cada liha da tabela aode v é descodificada a última colua, a palavra w a primeira colua da primeira liha está em Lv ( ). E estas são todas as palavras de Lv ( ). Observemos aida que θ ( Cv, ) é a soma através das palavras w em Lv ( ) p das probabilidades dos erros v+ w que ocorrem durate a trasmissão. Exemplo 1.6.1: Voltado ao código do exemplo L (000) = { 000,100,010,001} 33

34 Detecção, correcção e descodificação de erros Fiabilidade da DPM Logo, θ ( C, 000) = θ (000, 000) + θ (000,100) + θ (000, 010) + θ (000, 001) p p p p p 3 = p + p (1 p) + p (1 p) + p (1 p) 3 = p + 3 p (1 p) = 0,97 (cosiderado p = 0,9 ) Se v = 111 for trasmitida, vejamos qual a probabilidade de a DPMI cocluir correctamete que foi essa a palavra trasmitida: L (111) = { 110,101,011,111} de ode, θ ( C,111) = θ (111,110) + θ (111,101) + θ (111, 011) + θ (111,111) p p p p p = p (1 p) + p (1 p) + p (1 p) + p 3 = 3 p (1 p) + p 3 = 0,97 (cosiderado p = 0,9) Exemplo 1.6.: Cosideremos p = 0,90, M = 3, 4 Para cada v de C, calculemos θ ( Cv, ) : p = e { 0000,1010,0111} C =. Voltado ao exemplo 1.5. v = 0000 L (0000) = { 0000,0100,0001} (através da tabela 3) θ ( Cv, ) = θ (0000, 0000) + θ (0000, 0100) + θ (0000, 0001) p p p p = p + p (1 p) + p (1 p) 4 3 = p + p p = (1 ) 0,

35 Detecção, correcção e descodificação de erros Fiabilidade da DPM v = 1010 L (1010) = { 1010,1110,1011} θ ( Cv, ) = θ (1010,1010) + θ (1010,1110) + θ (1010,1011) p p p p = p + p (1 p) + p (1 p) 4 3 = p + p p = (1 ) 0,8019 v = 0111 L (0111) = { 0110,0101,0011,1101,0111,1111} θp( Cv, ) = θp(0111,0110) + θp(0111,0101) + θp(0111,0011) + + θ (0111,1101) + θ (0111,0111) + θ (0111,1111) p p p = p (1 p) + p (1 p) + p (1 p) + p (1 p) + p + p (1 p) 4 3 = p + p p + p p = 4 (1 ) (1 ) 0,9558 Aalisado as três probabilidades, vemos que a probabilidade da DPMI cocluir correctamete que 0111 foi eviada ão é muito má. No etato, a probabilidade da DPMI cocluir correctamete que 0000 ou 1010 foram eviadas é péssima. Logo, pelo terceiro critério da última secção, C = { 0000,1010,0111} ão é uma escolha especialmete boa para um código. Exercícios D: 1. Supohamos que p = 0,9, C =, 3 C.1 = e C = { 001,101}, como o exercício i) Se for eviada a palavra v = 001, qual a probabilidade de a DPMI cocluir correctamete que foi essa a palavra eviada. ii) E se a palavra for v = 101? 35

36 Detecção, correcção e descodificação de erros Fiabilidade da DPM. Calcule θ ( Cv, ) para o seguite código C : p C = { 000,001,010,011} A tabela de DPMI para este código foi costruída o exercício C. Resolução 1. v = 001 L (001) = { 000, 010, 001, 011} θ ( Cv, ) = θ (001, 000) + θ (001, 010) + θ (001, 001) + θ (001, 011) p p p p p 3 = p (1 p) + p(1 p) + p + p (1 p) = p p + p p + p + p + p p = p = 0,9 ( p = 0,9) v = 101 L (101) = { 100,110,101,111} θ ( Cv, ) = θ (101,100) + θ (101,110) + θ (101,101) + θ (101,111) p p p p p 3 = p (1 p) + p(1 p) + p + p (1 p) = p p + p p + p + p + p p = p = 0,9 ( p = 0,9). v = 000 L (000) = { 000,100} θ ( Cv, ) = θ (000,000) + θ (000,100) p p p 3 = p + p (1 p) = p 36

37 Detecção, correcção e descodificação de erros Fiabilidade da DPM v = 001 L (001) = { 001,101} θ ( Cv, ) = θ (001,001) + θ (001,101) p p p 3 = p + p (1 p) = p v = 010 L (010) = { 010,110} θ ( Cv, ) = θ (010,010) + θ (010,110) p p p 3 = p + p (1 p) = p v = 011 L (011) = { 011} θ ( Cv, ) = θ (011,011) p p 3 = p Nota: Como estamos a cosiderar a DPMI, quado é recebida a palavra 011 (que ão é uma palavra-código) ão é corrigido o erro uma vez que temos duas palavras-código ( 001 e 010 ) à mesma distâcia de 011. Se optássemos pela DPMC e aleatoriamete escolhêssemos 001 ou 010 como palavra mais provável de ter sido eviada, uma das probabilidades acima calculadas aumetaria. 37

38 Códigos lieares O espaço vectorial. Códigos lieares Neste capítulo, discutiremos algumas oções básicas de álgebra liear do poto de vista da teoria de códigos. Não será miha iteção ser completo, mas apeas cobrir as oções que precisaremos ao logo do trabalho. As provas serão omitidas (o leitor poderá adaptá-las de um qualquer livro básico de álgebra liear). Assim, os três primeiros parágrafos têm o ituito de relembrar um leitor com formação base em áreas que ão a matemática, de algumas defiições e resultados da álgebra liear. Um leitor mais familiarizado com estes coceitos pode prosseguir directamete para o parágrafo quatro. Em seguida, estudaremos uma classe especial de códigos, cohecidos como códigos lieares. Os códigos lieares têm amplas vatages sobre os outros códigos (ão lieares). De um modo geral, são mais fáceis de descrever do que os outros códigos, a descodificação do viziho mais próximo é mais fácil de implemetar, assim como a codificação e descodificação das mesages. Por estas razões, os códigos lieares são o tipo de códigos mais estudados..1 O espaço vectorial Podemos defiir duas operações o cojuto das palavras de comprimeto sobre. A adição módulo é estedida a palavras de comprimeto, adicioado elemetos correspodetes. Em particular, se u = uu... 1 u e... v= vv 1 v são elemetos de, etão u+ v= uu... u + vv... v = ( u + v )( u + v )...( u + v ) Também podemos multiplicar uma palavra de comprimeto (elemeto de ) por um dígito biário (elemeto de ). Em particular, se α e u = uu... u, etão 1 αu = α ( uu... u ) = ( αu )( αu )...( αu )

39 Códigos lieares O espaço vectorial Neste cotexto, o elemeto α é chamado escalar e a operação é cohecida como multiplicação escalar. Exemplo.1.1: Em 5 : = (1 + 1)(0 + 0)(0 + 1)(1 + 0)(0 + 1) = e 1(10101) = (1 1)(1 0)(1 1)(1 0)(1 1) = O cojuto, com as operações de adição e multiplicação escalares defiidas acima formam um espaço vectorial. Defiição.1.1: Seja F um corpo (como, por exemplo, ). Um espaço vectorial sobre F é um cojuto ão vazio V, juto com duas operações defiidas como se segue. Uma operação, chamada adição, escreve-se +, é uma operação biária em V. A outra operação, chamada multiplicação escalar, é uma fução de F V em V (Assim, escrevemos o produto escalar de α F e x V como αx ). Além disso, estas duas operações satisfazem as seguites codições: Propriedade associativa da adição: Para todo x, y e z de V, x + ( y+ z) = ( x+ y) + z Propriedade comutativa da adição: todo x e y de V, x + y = y+ x Existêcia do elemeto eutro da adição: Existe um elemeto 0 V para todo o x V,, tal que 0+ x = x+ 0= x 39

40 Códigos lieares O espaço vectorial Existêcia do elemeto simétrico: Para todo o elemeto de V, desigado por x V, existe um outro x, chamado simétrico de x, para o qual, x+ ( x) = ( x) + x= 0 Propriedades da multiplicação escalar: Para todo x e y de V, e todo α e β de F, α( x + y) = αx+ αy ( α + β )x = α x+ β x ( αβ ) x = α( β x) 1x = x Se V é um espaço vectorial sobre um corpo F, referimo-os aos elemetos de V como vectores e aos elemetos de F como escalares. Teorema.1.1: O cojuto de todas as palavras biárias de comprimeto, jutamete com as operações de adição e multiplicação defiidas ateriormete, é um espaço vectorial sobre.. Subespaços de Uma vez que os códigos biários que temos vido a aalisar são costituídos por palavras cujos bits tomam somete os valores 0 e 1, um código biário ão é mais do que um subcojuto do espaço vectorial. Será atural querermos trabalhar com códigos que sejam eles próprios um espaço vectorial. Para quem já estudou espaços vectoriais a defiição seguite tora-se um coceito familiar. Relembremos etão que: 40

41 Códigos lieares Subespaços de Defiição..1: Um subcojuto ão vazio S de, diz-se um subespaço de, se o próprio cojuto S, jutamete com as operações de adição e multiplicação escalares herdadas de, for ele próprio um espaço vectorial. Para aalisar se um subcojuto S de é um subespaço utilizado a defiição, seria ecessário verificar cada uma das propriedades dessa mesma defiição. No etato, existe um camiho mais simples de demostração imediata a partir das defiições. Teorema..1: Um subcojuto S de é um subespaço de se e só se satisfaz as seguites duas propriedades: 1. (fechado para a adição) x, y S x+ y S. (fechado para a multiplicação) α, x S αx S Na liguagem das palavras-código, um código C, de comprimeto sobre é um subespaço de se a soma de duas palavras-código é também uma palavra-código e se qualquer múltiplo escalar de uma palavra código é aida uma palavra código. Nota..1: Todo o subcojuto de que coteha a palavra 0 é fechado para a multiplicação escalar (mas ão ecessariamete para a adição). 41

42 Códigos lieares Subespaços de Exemplo..1: Para mostrar que o subcojuto S = { 0000,0100,0010,0110} de 4 é fechado para a adição, sabemos que a soma da palavra zero com qualquer das outras palavras é aida um elemeto de S. Além disso, como x + y = y+ x, apeas uma destas somas tem de ser verificada. As possibilidades remaescetes são as seguites: = 0110 S = 0010 S = 0100 S Assim, S é fechado para a adição. Uma vez que todo o subcojuto de que coteha a palavra 0 é fechado para a multiplicação escalar, vem que S é um subespaço de. Exemplo..: O subcojuto T = { 0000,0001,1000,0110} de 4 ão é fechado para a adição porque, por exemplo, 0001 T e 1000 T mas = 1001 T. Logo, T ão é um subespaço de 4..3 Cojutos Geradores/Bases Uma das vatages dos subespaços é o ser possível descrever um subespaço sem ter de listar todos os seus elemetos. As defiições seguites vão permitir-os clarificar esta ideia. Relembremos as seguites defiições básicas em espaços vectoriais: Defiição.3.1: Sejam x 1, x,..., x k elemetos de, e sejam α 1, α,..., α k escalares (isto é, elemetos de ). Dizemos que α1x1+ αx αkxk é uma combiação liear dos vectores x1, x,..., x k, com coeficietes α1, α,..., α k 4

43 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Podemos clarificar o coceito de combiação liear com o exemplo que se segue: Exemplo.3.1: Em 5 a palavra x = 1(11011) + 0(10000) + 1(00011) = é uma combiação liear de 11011, 10000, com coeficietes 1, 0 e 1 respectivamete. Os elemetos do subespaço, S 1 = { 0000,0001,0010,1000,0011,1010,1001,1011} de 4, podem ser descritos em termos de combiação liear { (1000) (1011) (0001) :,, } S = α + β + γ α β γ 1 Desta forma, dizemos que o cojuto G 1 = { 1000,1011,0001} gera o subespaço S 1. Defiição.3.: Seja S um subespaço de. Um subcojuto G S diz-se um cojuto gerador de S se todo o elemeto de S puder ser expresso como combiação liear dos elemetos de G. Mais formalmete, um sucojuto { } G = g,..., 1 gk de S é um cojuto gerador de S se, para todo x S, existirem escalares α1,..., αk tais que, x = α1g αkgk Para idicar que G { g g } =,..., 1 k é um cojuto gerador de S, escrevemos S = G ou S = g,..., 1 gk. 43

44 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Exemplo.3.: O subcojuto G = { 0100, 0010} é um cojuto gerador do subespaço S = { 0000,0100,0010,0110} de 4, uma vez que todo o elemeto de S pode ser escrito como combiação liear de elemetos de G. Em particular, para os elemetos de S que ão pertecem a G, temos 0000 = 0(0100) + 0(0010) 0110 = 1(0100) + 1(0010) Todo o elemeto de G é claramete uma combiação liear de elemetos de G. Logo, G = 0100,0110 Também H = { 0100,0110} é um cojuto gerador de S, mas K = { 0000,0100} já ão o é, uma vez que ão é possível exprimir 0010 como combiação liear de 0000 e Relembremos um resultado que os irá ser útil os parágrafos seguites: Teorema.3.1: Seja G um subcojuto de elemetos de. O cojuto de todas as combiações lieares de elemetos de G é um subespaço de chamado subespaço gerado por G e escrevemos G., Facilmete verificamos que G 1 = { 100,001} e { 100,001,101} cojutos geradores do subespaço S = { 000,100, 001,101} de G = são ambos 3. No etato, G 1 é um subcojuto próprio de G, e portato, de alguma forma, dá-os uma descrição mais eficiete de S do que G. Isto, leva-os à seguite defiição: 44

45 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Defiição.3.3: Seja S um subespaço de. Um cojuto gerador β de S diz-se uma base de S se for um cojuto gerador míimo, o setido em que ehum subcojuto próprio de β também gera S. Exemplo.3.3: O cojuto β = { 100,001} é uma base do subespaço S = { 000,100, 001,101} de 3. De facto, β é um cojuto gerador de S e ehum subcojuto próprio de β é gerador de S. Os subcojutos próprios ão triviais de β são { 100 } e { 001 }, e ehum destes cojutos gera S. Uma das melhores formas de descrever um subespaço S de, é exibir uma base deste. Poderemos dizer que uma base cosiste um úmero suficiete de elemetos de que determiam todos os elemetos de S através de combiações lieares de elemetos dessa base. No etato, é ecessário ão esquecer que embora todo o subcojuto ão vazio de seja um cojuto gerador de algum subespaço de, em todos os subcojutos de são bases. Relembremos o coceito de elemetos liearmete idepedetes, para clarificar um pouco melhor esta ideia. Defiição.3.4: Os elemetos x1, x,..., x k de dizem-se liearmete idepedetes sobre se ehuma combiação liear ão trivial desses elemetos for igual a zero. Simbolicamete, os elemetos x 1, x,..., x k são liearmete idepedetes se a equação α1x1+ αx +... αkxk = 0 se verifica somete quado α1 = 0, α = 0,..., α k = 0. Se x1, x,..., x k ão forem liearmete idepedetes sobre, diz-se que são liearmete depedetes sobre. 45

46 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Exemplo.3.4: Cosideremos os elemetos 1000, 1010 e 0110 de 4. Supohamos que: α (1000) + α (1010) + α (0110) = Esta equação pode ser simplificada para: α α 0α 0 + 0α α 0 = ou ( α + α ) α ( α + α )0 = Mas duas palavras são iguais se e só se os elemetos correspodetes são iguais. Assim, será equivalete ao sistema de equações em : α1+ α = 0 α = 0 3 α + α = 0 3 A seguda equação deste sistema diz-os que α 3 = 0.Substituido este resultado a terceira equação, teremos α = 0. E portato, α 1 = 0. Logo, como α1 = α = α3 = 0, as três palavras são liearmete idepedetes. Por outro lado, cosideremos as palavras 1000, 1010 e A equação: α (1000) + α (1010) + α (0010) = 0000 (1) 1 3 é equivalete a α α 0α α 0 = ou 46

47 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases ( α + α )0( α + α )0 = que se verifica se e só se α1, α e α 3 satisfazem o sistema de equações: α + α = 0 1 α + α = 0 3 No etato, este sistema verifica-se para α1 = 1, α = 1, α3 = 1. Como estes úmeros ão são todos iguais a zero, as três palavras são liearmete depedetes. Substituido estes valores a equação (1) teremos: = 0000 O teorema seguite, que vamos utilizar um pouco mais à frete, dá-os várias maeiras equivaletes de descrever uma base. Teorema.3.: Seja S um subespaço de. Um subcojuto β = { x x x },,..., k de S é uma base de S se e só se uma das seguites codições equivaletes se verifica: 1 1. (A defiição) β é um cojuto gerador miimal de S.. β é liearmete idepedete e um cojuto gerador de S. 3. β é um cojuto liearmete idepedete maximal, ou seja, β é liearmete idepedete e ehum cojuto que o coteha é liearmete idepedete. 4. Para todo x S, existem escalares úicos α,..., 1 α k em para os quais x = α1x1+ αx αkxk Do teorema aterior advêm algumas cosequêcias muito importates, duas das quais descreveremos o teorema seguite. 47

48 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Teorema.3.3: Seja S um subespaço de. 1. Qualquer cojuto gerador G de S cotém uma base de S, ou seja, algum subcojuto de G é uma base de S.. Qualquer subcojuto A de S liearmete idepedete pode ser estedido a uma base de S, ou seja, A está cotido uma base de S. Para aalisar se um dado cojuto é ou ão uma base de um espaço vectorial, qualquer das codições equivaletes do teorema.3.3 pode ser utilizada. Por exemplo, se β é um cojuto liearmete idepedete de elemetos de e se V = β for um subespaço de gerado por β, etão β satisfaz a codição ) do teorema.3.3 e assim, é uma base de V. Por palavras, podemos dizer que qualquer cojuto liearmete idepedete de palavras é uma base do subespaço gerado por essas palavras. Exemplo.3.5: Como o cojuto β = { 1000,1010,0110} é liearmete idepedete (exemplo.3.4) e β gera o subespaço S = { 0000,1000,1010,0110,0010,1110,1100} de 4, β é uma base de S. Por outro lado, como D = { 1000,0110,0111,1110} ão é liearmete idepedete ( = 0000) e assim, ão é base de ehum subespaço de 4. No etato, removedo a palavra 1110 fica E = { 1000,0110,0111} que é liearmete idepedete e gera D. Logo, E é uma base para D. 48

49 Códigos lieares Cojutos Geradores/Bases Um subespaço S de pode ter mais de uma base. No etato, como é sabido, todas as bases de um dado subespaço têm o mesmo úmero de elemetos. Assim, por exemplo, como G = { 100,001} é uma base de S = { 000,100, 001,101} (ver exemplo.3.3), todas as bases de S terão elemetos. Isto leva-os à defiição seguite: Defiição.3.5: Seja S um subespaço de. Chamamos dimesão de S e escreve-se dim( S ) ao úmero de elemetos de uma base de S. Exemplo.3.6: 1. O subespaço S do exemplo.3.5 tem dimesão. Para determiar se um subcojuto β de um subespaço S é uma base de S, temos de verificar duas codições - β tem de ser um cojuto liearmete idepedete e tem de gerar S. O teorema seguite diz-os que se β tiver o úmero de elemetos certo, teremos de verificar apeas uma dessas codições. Teorema.3.4: Seja S um subespaço de de dimesão k. Um subcojuto β de S é uma base de S se e só se duas das codições equivaletes seguites se verificarem simultaeamete. 1. β tem k elemetos e é liearmete idepedete.. β tem k elemetos que geram S. 49

50 Códigos lieares Códigos lieares.4 Códigos lieares Neste mometo estamos em codições de defiir o tipo de códigos mais importate e mais estudado. Defiição.4.1: Um código C, que seja também um subespaço de diz-se um código liear. Se C tiver dimesão k e distâcia míima dc ( ) = δ, etão diz-se que C é um código [ kδ,, ]. Quado ão queremos dar muita relevâcia à distâcia míima δ, usamos a otação, código[ k, ]. Aos úmeros, k e δ chamamos parâmetros do código liear. Um código liear C, sedo subespaço de, tem de coter a palavra- -código zero. A utilização de parêteses rectos a defiição acima aplica-se somete a códigos lieares, equato a otação código( kδ,, ) se aplica a todos os códigos. Para os códigos lieares podemos utilizar ambas as otações. O úmero de elemetos de um código C é k. Exemplo.4.1: O código biário C 1 = { 0000,1011,0110,1101} é um subespaço de e portato um código liear. Como { 1011,0110} 4 dim( C 1) =. Assim, C 1 é um código liear [4,]. β = é uma base de C 1, O cojuto β = { , , , } é liearmete idepedete sobre e portato é a base de um código liear biário [7,4] - C = β. Veremos um pouco mais à frete que C é um dos códigos de Hammig (a defiir). 50

51 Códigos lieares Códigos lieares Exemplo.4.: Cosideremos o código liear biário C = 11001,01101,10100 Como 11001,01101 e ão são liearmete idepedetes sobre, geram um código liear de dimesão meor que 3. De facto β = { 11001,01101} é um subcojuto de {11001,01101,10100} maximal com a propriedade de ser liearmete idepedete. Assim, o código C tem base β = { 11001,01101} e portato dimesão e = 4 palavras-código. Logo, C é um código biário [5, ]. De facto, como todos os códigos lieares cotêm a palavra zero, vemos imediatamete que C = { 00000,11001,01101,10100} De forma a determiar a distâcia míima de um código arbitrário C, com úmero de palavras-código M, temos de verificar cada uma das M C distâcias dab (, ) etre as palavras-código. O teorema seguite mostra que podemos simplificar esta tarefa os códigos lieares. Para tal cosideremos ates uma defiição e um lema. Recordemos que o peso wc () de uma palavra é o úmero de etradas iguais a um. Defiição.4.: O peso de um código C, escreve-se wc ( ), é o peso míimo de todas as palavras diferetes de zero do código C. Lema.4.1: Se C é um código liear, etão dcd (, ) = wc ( d) para todas as palavras c e d em C. 51

52 Códigos lieares Códigos lieares Prova: Advém do facto de a palavra-código c d ter etradas um precisamete as posições ode c e d diferem, ou seja, em dcd (, ) posições. Logo, wc ( d) = dcd (, ). Teorema.4.: Se C é um código liear, etão dc ( ) = wc ( ) Prova: Sejam c e d palavras-código com distâcia míima dcd (, ) = dc ( ). Etão dc ( ) = dcd (, ) = wc ( d) wc ( ) Por outro lado, como wc ( ) é o peso míimo em C, tem de existir uma palavracódigo e em C para a qual we ( ) = wc ( ). Assim wc ( ) = we ( ) = we ( 0) = de (,0) dc ( ) Combiado as duas desigualdades temos dc ( ) = wc ( ) como desejávamos. Exemplo.4.3: O código liear C 1 = {0000,1011,0110,1101} tem peso míimo. Logo dc ( ) =. É importate realçar que o teorema.4. aplica-se apeas a códigos lieares. Este teorema diz-os que é possível determiar a distâcia míima de um código liear verificado os pesos das M palavras código, em vez de M M! M( M 1) determiar as C = = distâcias etre palavras código. ( M )!! Trata-se de uma grade poupaça de tempo uma vez que M C é da ordem M. (Por exemplo, um código de comprimeto M = tem C = pares de palavras-código!). 5

53 Códigos lieares Matriz geradora de um código liear.5 Matriz geradora de um código liear Outra vatagem dos códigos lieares é que um código liear biário [ k, ] C pode ser descrito simplesmete através de uma base de C, que cosiste de k palavras-código liearmete idepedetes de C, em vez de listar todas as k palavras-código. Para um código biário de dimesão 30, por exemplo, toda a base tem 30 elemetos e o código tem 30 = palavras-código. É usual colocar as palavras-código de uma base de um código liear C uma matriz, como descrito a defiição seguite. Defiição.5.1: Seja C um código liear, com base β = { b b b },,..., k 1. Se b = b b... b b = b b... b 1 b = b... 1b b k k k k etão a matriz ( k ) G b11 b1... b1 b b... b bk1 bk... bk 1 = cujas lihas são as palavras-código em β, é chamada matriz geradora de C. 53

54 Códigos lieares Matriz geradora de um código liear Exemplo.5.1: O código {000000,001110,010101,011011,100011,101101,110110,111000} é gerado pelo cojuto ,010101, Desta forma, uma matriz geradora para este código é G = Vejamos que cada liha é uma palavra código; a soma da primeira e da seguda liha é a palavra-código ; a soma da primeira e terceira liha é a palavra-código ; a soma da seguda e terceira liha é a palavra-código ; a soma das três lihas é a palavra código ; a soma de qualquer liha cosigo própria é Portato, como seria de esperar, por defiição de base, podemos obter todas as palavras-código adicioado lihas. Seja a mesagem m uma palavra biária de comprimeto k escrita como vector liha. O produto de m pela matriz G, mg é uma palavra biária de comprimeto, que tem de ser uma palavra-código uma vez que mg é a soma de lihas de G. Se os bits mj1, mj,..., m jt de m forem 1 e todos os outros bits de m forem 0, etão mg pode ser obtida adicioado as lihas j 1, j,..., j t de G. Todas as k palavras biárias de comprimeto podem ser obtidas adicioado as lihas de G, uma vez que ão são mais do que todas as 54

55 Códigos lieares Matriz geradora de um código liear combiações lieares possíveis de elemetos da base, e portato ão há duas palavras diferetes m de comprimeto k que possam dar origem à mesma palavra-código mg. Exemplo.5.: Cosideremos o código (6,3) { ,001110,010101,011011,100011,101101,110110, } Como vimos o exemplo aterior, este código tem uma matriz geradora G = Uma mesagem m de comprimeto 3 pode ser codificada efectuado o produto mg. Por exemplo, se m = 110, etão a palavra-código que correspode a 110 é [ ] = [ ] Aalogamete, se m = 101, a palavra-código correspodete é [ ] = [ ] 55

56 Códigos lieares Matriz geradora de um código liear Exercícios E: 1. Idique a distâcia míima do código gerado pela matriz seguite: G = Seja C um código com a seguite matriz geradora: G = e atribua-se as mesages às palavras de 4 como se segue: A B C D E F G H I J K L M N O P a) codifique OLA. b) trasmita a mesagem OLA, fazedo com que a trasmissão da primeira letra teha um erro a primeira posição, a seguda ão coteha erros e a terceira teha um erro a quita e sexta posições. 56

57 Códigos lieares Matriz geradora de um código liear Resolução 1. Ora, como é uma palavra código e tem peso 1, a distâcia míima deste código é O: [0111] = ; L: [1110] = ; A: [0000] = A mesagem trasmitida foi , mas devido aos erros foi recebida a palavra Dual de um código liear Cotiuado a costrução de códigos e matedo a otação matricial, vamos verificar que os códigos lieares têm uma propriedade muito útil: a todo o código liear C ( k, ), correspode uma matriz ( k), H, de 0 s e 1 s, sem lihas ou coluas ulas e com a propriedade de toda a palavra x de T T C verificar a seguite equação: Hx = 0, ode 0 T é um vector colua que cosiste em k zeros. Como veremos mais à frete, esta matriz H ser-os-á muito útil a detecção e correcção de erros. Comecemos com uma defiição. 57

58 Códigos lieares Dual de um código liear Defiição.6.1: Sejam x = xx... 1 x e y = y... 1y y duas palavras. O produto itero de x e y, defie-se como = x y x y x y x y ode o produto e a soma estão defiidos como ateriormete (mod ). Exemplo.6.1: Cosiderado as palavras a = 1010 e b = 0101 de comprimeto 4, temos: a b= (1010) (0101) = = 0 De forma aáloga, podemos calcular o produto itero das palavras c = e d = de comprimeto 5: c d = (11111) (10101) = = 1 O produto itero de duas palavras (ecessariamete do mesmo comprimeto) é igual a 1 ou 0. Uma operação que satisfaz as propriedades do teorema seguite, é, por defiição, um produto itero. Teorema.6.1: Para todas as palavras x, y e z de e dígito α, 1. x y = y x. ( x + y) z = x z+ y z 3. ( αx) y = x ( αy) = α( x y) 58

59 Códigos lieares Dual de um código liear Defiição.6.: Sejam x e y duas palavras de. Se x y = 0, dizemos que x e y são ortogoais. Para todo a, {} são ortogoais a a. Logo: a represetará o cojuto das palavras de que {} a = { x : 0 a x= } Este cojuto é desigado por complemetar ortogoal de a. Desta forma, podemos afirmar que as palavras x 1 e x do exemplo.6.1 são ortogoais. Relembremos que o ortogoal de um subespaço é sempre aida um subespaço. Teorema.6.: Para toda a palavra a, o cojuto { a} é um código liear. Prova Se x e y pertecem a { a}, etão 0 a x= e a y = 0. Logo, o teorema.6.1 dizos que a ( x+ y) = a x+ a y = 0 e a ( αx) = α( a x) = α0= 0 59

60 Códigos lieares Dual de um código liear para todo α. Isto mostra que { a} é fechado para a adição e para a multiplicação escalar, pelo que é um subespaço de. Vejamos que se a= aa... 1 a e x = xx... 1 x, etão = a x a x a x a x Logo, x {} a se e só se a equação ax 1 1+ ax ax = 0 (a) em. Exemplo.6.: Cosideremos o cojuto {} 1, ode 1 represeta o elemeto Neste caso a equação (a) é x1+ x x = 0 Mas em a soma da esquerda é igual a 0 se e só se houver um úmero par de xis igual a 1.Logo: {} 1 = { x : w( x) é par} Uma palavra biária tem paridade par se tiver peso par e paridade ímpar se tiver peso ímpar. Por esta razão, a equação (a) é muitas vezes referida como equação de verificação de paridade par. Em seguida apresetamos a defiição de dual de um código: 60

61 Códigos lieares Dual de um código liear Defiição.6.3: Seja {,,..., } liear A= a a a s um código arbitrário. O código 1 { 1,,..., s} { : i 0 para todo } A = a a a = x x a = i chama-se código dual de A. Lema.6.1: Seja C um código liear [ k, ], sobre, com matriz geradora G. Etão v pertece a C se e só se v é ortogoal a toda a liha de G; T isto é, v C vg = 0. Em particular, dada uma matriz H ( k), etão H é uma matriz geradora de C a que chamamos matriz de verificação de paridade de C se e só se as lihas de H são liearmete idepedetes T e HG = 0. Prova: Seja r i a i-ésima liha de G. Em particular, r i C para todo 1 i k, e toda a palavra c C pode ser escrita como c= λ11 r λkrk ode λ1,..., λk. Se v C, etão v c= 0 para todo c C. Em particular, v é ortogoal a T r i, para todo 1 i k, isto é, vg = 0. Reciprocamete, se v r i = 0 para todo 1 i k, etão claramete, para qualquer c= λ11 r λkrk C, v c= λ ( v r) λ ( v r ) = k k Para a última afirmação, se H é uma matriz de verificação de paridade de C, etão as lihas de H são liearmete idepedetes por defiição. Como as lihas de H são palavras-código emc, segue da afirmação aterior T que HG = 0. 61

62 Códigos lieares Dual de um código liear T Reciprocamete, se HG = 0, etão a afirmação aterior mostra que as lihas de H, e assim o cojuto das palavras geradas pelas lihas de H, estão cotidas em C. Como as lihas de H são liearmete idepedetes, o espaço vectorial gerado pelas lihas de H tem dimesão k, pelo que o cojuto gerado pelas lihas de H é de facto C. Por outras palavras, H é uma matriz de verificação de paridade de C. Nota.6.1: Uma formulação alterativa mas equivalete do lema.6.1 é a seguite: Seja C um código [ k, ], com matriz de verificação de paridade H. Etão v pertece a C se e só se v é ortogoal a toda a liha de H ; isto é, T v C vh = 0. Em particular, dada uma matriz geradora k G, G é uma matriz geradora de C se e só se as lihas de G são liearmete idepedetes T e GH = 0. Uma das cosequêcias do lema.6.1 é o teorema seguite que relacioa a distâcia δ de um código liear C com propriedades da matriz de verificação de paridade de C. Quado δ é pequeo, o corolário.6.1 pode ser útil para determiar δ. Teorema.6.3: Seja C um código liear e H uma matriz de verificação de paridade de C. Etão: i) C tem distâcia ão iferior a δ se e só se quaisquer δ 1 coluas de H são liearmete idepedetes; e ii) C tem distâcia ão iferior a δ se e só se H tem δ coluas que são liearmete depedetes. 6

63 Códigos lieares Dual de um código liear Prova: Seja v= ( v1,..., v ) C uma palavra de peso e > 0. Supohamos que as coordeadas diferetes de zero estão as posições i 1,..., i e, de forma que v = 0 se j { i1,..., i e }. Seja c i (1 i ) a i-ésima colua de H. Pelo lema.6.1 (ou, mais precisamete, a sua reformulação a ota.6.1), C cotém uma palavra diferete de zero v= ( v1,..., v ) de peso e ( cujas coordeadas diferetes de zero são v,... 1 v ) se e só se i ie j 0 = vh = v c v c, T T T i1 i1 ie ie que é verdadeiro se e só se houver e coluas de H (omeadamete, c,..., 1 c ) que são liearmete depedetes. Dizer que a distâcia de C é δ é equivalete a dizer que C ão cotém ehuma palavra diferete de zero com peso δ 1, que é por sua vez, equivalete a dizer que quaisquer δ 1 coluas de H são liearmete idepedetes. Isto prova i). Aalogamete, dizer que a distâcia de C é que C cotém uma palavra diferete de zero de peso equivalete a dizer que H tem liearmete depedetes. Isto prova ii). δ é equivalete a dizer δ, que é por sua vez, δ coluas (e portato δ coluas) que são i ie Um corolário imediato do teorema.6.3 é o seguite resultado: Corolário.6.1: Seja C um código liear e seja H uma matriz de verificação de paridade de C. Etão, as afirmações seguites são equivaletes: i) C tem distâcia δ ii) Quaisquer δ 1 coluas de H são liearmete idepedetes e H tem δ coluas que são liearmete depedetes. 63

64 Códigos lieares Dual de um código liear Exemplo.6.3: Seja C um código biário liear com matriz de verificação de paridade H = Aalisado a matriz, verificamos que ão tem ehuma colua ula e ehuma soma de duas coluas é igual a 0 T, pelo que quaisquer duas coluas de H são liearmete idepedetes. No etato, as coluas 1, 3 e 4 somam 0 T, e assim são liearmete depedetes. Logo, a distâcia de C é δ = 3. Defiição.6.4: i) Uma matriz geradora da forma ( IK X ), ode I K represeta a matriz idetidade de ordem k, diz-se estar a forma padrão. ii) Uma matriz de verificação de paridade a forma ( Y I k) diz-se estar a forma padrão. Teorema.6.4: Se G ( I X) = é a matriz geradora a forma padrão de um K código C [ k, ], etão uma matriz de verificação de paridade para C é T ( k) H = X I. 64

65 Códigos lieares Dual de um código liear Prova: As lihas de H são liearmete idepedetes (porque os blocos de I k o são), pelo que geram um subespaço vectorial de dimesão k. Para verificar que as lihas de H são ortogoais às lihas de G, sejam: i11... i1 k x11... x 1( k) G = ik1... ikk xk1... x k( k) e H x11... x1 k i' i' 1( k) = x( k)1... x( k) k i' ( k)1... i' ( k)( k) O produto itero da i-ésima liha de G ( G ) com a j-ésima liha de H ( H j ) é igual a : i posição i (0,0,...,0, 1,0,...,0, x,..., x,..., x ) ( x,..., x,..., x,0,...,0, 1,0,...,0) = x + x = 0 i1 ij 1( k ) j1 ij kj ij ij posição j Assim, o espaço gerado pelas lihas de H está cotido em C, e como esses dois subespaços têm a mesma dimesão, eles coicidem, provado que T ( k) H = X I é uma matriz geradora de C. Exemplo.6.4: Um código C com matriz geradora G = I 4 terá uma matriz de verificação de paridade H = I

66 Códigos lieares Dual de um código liear A prova do teorema.6.4 mostra que se um código estiver especificado por uma matriz de verificação de paridade a forma padrão H [ ] = B I k, etão T uma matriz geradora para o código é G = I B. Muitos códigos, como por exemplo os códigos de Hammig que aalisaremos mais à frete, são defiidos mais facilmete por uma matriz de verificação de paridade ou, de forma equivalete, por um cojuto de equações de verificação de paridade. Se um código é dado por uma matriz de verificação de paridade H, que ão esteja a forma padrão, etão H pode ser reduzida a essa forma do mesmo modo como fazemos para uma matriz geradora. k Exercícios F: 1. Cosidere o código C com a seguite matriz de verificação de paridade: H = Idique a distâcia míima δ do código C. 1. Utilizado a matriz de verificação de paridade, verifique se 10000é uma palavra código de C. 1.3 Costrua uma matriz geradora do código C. Resolução 1.1 Claramete a matriz H tem 4 coluas liearmete idepedetes (as últimas). No etato, a primeira colua é igual à soma das restates 4 coluas. Desta forma, a distâcia míima δ do código C é 5. 66

67 Códigos lieares Dual de um código liear = = T 1. xh [ ], logo [10000] C Ora, como H = I 4 1 1, teremos G = [ 11111].7 Equivalêcia de códigos lieares Embora algus códigos lieares possam ão ter uma matriz geradora a forma padrão, depois de permutação adequada de coordeadas de palavras- -código, podemos sempre ecotrar um ovo código cuja matriz geradora está a forma padrão. Defiição.7.1: Dois códigos lieares biários são equivaletes se podermos obter um do outro através de um cojuto de permutações dos dígitos das palavras-código. Exemplo.7.1: Seja = 4. Fazedo um reordeação dos bits a ordem,4,1,3, vemos que o código C = {0000, 0101, 0010, 0111} é equivalete ao código C ' = {0000,1100, 0001,1101} Teorema.7.1: Todo o código liear C é equivalete a um código liear com a matriz geradora a forma padrão. C ' 67

68 Códigos lieares Equivalêcia de códigos lieares Exemplo.7.: Seja C um código biário liear com matriz geradora G = Reordeado as coluas a ordem 1,3,4,,5,6,7 obtemos a matriz G ' = Seja geradora C ' o código gerado por G ' ; etão G ', que está a forma padrão. C ' é equivalete a C e C ' tem matriz Exemplo.7.3: O código liear C = {000,001,100,101} ão tem matriz geradora a forma padrão. No etato, se reordearmos a seguda e terceira coordeadas, obtemos o código biário equivalete C ' = {000, 010,100,110}, e é claro que é uma matriz geradora de C ' a forma padrão. 68

69 Códigos lieares Equivalêcia de códigos lieares Exercícios G: 1. Verifique se o código A é equivalete a B e se o código C é equivalete a D. código A código B código C código D

70 Códigos lieares Equivalêcia de códigos lieares Resolução: 1. Os códigos A e B são equivaletes. O código B pode ser obtido escrevedo cada palavra x = xxxx 1 3 4de A como y= xxxx Os códigos C e D ão são equivaletes. Por exemplo, o código C tem palavras com 6 zeros (como ) equato D ão tem qualquer palavra com o mesmo úmero de 0 s..8 Classes de equivalêcia A matriz de verificação de paridade vai assumir um papel importate a detecção e correcção de erros. As classes de equivalêcia são de grade importâcia, como veremos em seguida. Relembremos algumas propriedades destas classes, o âmbito dos códigos biários lieares. Comecemos pela defiição. Defiição.8.1: Seja C um código liear de comprimeto sobre e seja u um vector de comprimeto. Defiimos classe de equivalêcia de C determiada por u como sedo o cojuto C+ u = { v+ u: v C} ( = u+ C) Sempre que ão houver perigo de cofusão desigaremos apeas por classe. 70

71 Códigos lieares Classes de equivalêcia Exemplo.8.1: Seja C = {000,101,010,111}. Etão C = {000,101, 010,111} C = {001,100, 011,110} C = {010,111, 000,101} C = {011,110, 001,100} C = {100, 001,110, 011} C = {101, 000,111, 010} C = {110, 011,100, 001} C = {111, 010,101, 000} Note-se que C+ 000 = C+ 010 = C+ 101 = C+ 111 = C C+ 001 = C+ 011 = C+ 100 = C+ 110 = \ C 3 Teorema.8.1: Seja C um código liear [ kδ,, ] sobre o corpo. Etão, i) todo o vector de pertece a alguma classe de C; ii) para todo o u, C+ u = C = k ; iii)para todo uv,, u C+ v implica que C+ u = C+ v; iv) duas classes ou são idêticas ou têm itersecção vazia; v) existem k classes diferetes em C ; vi) para todo uv,, u v C se e só se u e v estão a mesma classe. Prova i) O vector v está claramete cotido a classe C+ v. ii) Por defiição, C + u tem o máximo C = k elemetos. Dois elemetos c+ u e c' + u de C+ u são iguais se e só se c= c', logo C+ u = C = k. 71

72 Códigos lieares Classes de equivalêcia iii)decorre da defiição de C+ v que C+ u C+ v. Etão, por ii, C+ u = C+ v. iv) Cosideremos duas classes C+ u e C+ v e supohamos que x ( C+ u) ( C+ v). Como x C+ u, iii mostra que C+ u = C+ x. Aalogamete, como x C+ v, segue que C+ v= C+ x. Logo, C+ u = C+ v. v) Decorre imediatamete de i), ii) e iv). vi) Se u v= c C, etãou = c+ v C+ v pelo que C+ u = C+ v. Pela prova de i), u C+ u e v C+ v, pelo que u e v estão a mesma classe. Reciprocamete, supohamos que u e v estão a mesma classe C Etão u = c+ x e v= c' + x, para algus cc, ' C. Assim, u v= c c' C. + x. Exemplo.8.: As classes do código biário liear C = {0000,1011, 0101,1110} são as seguites: C : C : C : C : Nota.8.1: A tabela de cima diz-se tabela padrão. Defiição.8.: Uma palavra de uma classe com meor peso diz-se líder da classe. Exemplo.8.3: No exemplo aterior, os vectores u em u+ C da primeira colua são líderes das classes respectivas. A classe C pode também ter como líder

73 Códigos lieares Descodificação de códigos lieares pelo viziho mais próximo.9 Descodificação de códigos lieares pelo viziho mais próximo No primeiro capítulo, vimos que ao receber uma palavra ão pertecete ao código, poderíamos descodificá-la como a palavra código mais próxima. Vejamos como podemos relacioar esta ideia com a oção de classe. Seja C um código liear. Supohamos que é trasmitida uma palavra- -código v e é recebida uma palavra w, resultado de um erro e= w v w+ C. Observe-se que v= v Etão w e= v C, e pelo teorema.8.1 vi), o erro e e a palavra recebida w estão a mesma classe. Como os erros de peso pequeo são os mais prováveis de ocorrer, a descodificação pelo viziho mais próximo fucioa para um código liear C da seguite forma: Para a palavra recebida w, escolhemos a palavra e de peso meor a classe w+ C e cocluímos que v= w e foi a palavra-código trasmitida. Exemplo.9.1: Seja C = {0000,1011,0101,1110}. Descodifiquemos as seguites palavras recebidas: i) w = 1101; ii) w = Primeiro escrevemos a matriz padrão de C (a mesma do exemplo.8.): C : C : C : C :

74 Códigos lieares Descodificação de códigos lieares pelo viziho mais próximo i) w = 1101: w+ C está a quarta classe. A palavra de peso míimo esta classe é 1000 (ote-se que esta é a úica líder esta classe). Desta forma, = = 0101 é a palavra-código que mais provavelmete foi eviada (ote-se que esta é a palavra o topo da colua ode a palavra 1101 foi ecotrada). ii) w = 1111: w+ C é a seguda classe. Temos duas palavras de peso meor, 0001 e 0100, esta classe. (Isto sigifica que há duas escolhas para líder. Na matriz acima, escolhemos 0001 como líder. Se tivéssemos escolhido 0100, teríamos obtido uma matriz um pouco diferete.) Quado a classe da palavra recebida tem mais de um possível líder, a forma de proceder à descodificação depede do esquema de descodificação (isto é, icompleta ou completa) utilizado. Se estivermos a fazer descodificação completa, escolhemos arbitrariamete uma das palavras de meor peso, digamos 0001, para ser o erro padrão, e cocluir que = = 1110 é a palavra que mais provavelmete foi eviada. (Nota: isto sigifica que se escolhermos 0001 como líder, obtemos a matriz padrão de cima; observemos que a palavra que mais provavelmete foi eviada é de ovo ecotrada o topo da colua ode a palavra recebida se ecotra.).10 Descodificação através do sídroma O esquema de descodificação baseado a matriz padrão fucioa razoavelmete bem para códigos lieares de comprimetos pequeos, mas pode tomar uma quatidade de tempo cosiderável para códigos de comprimeto maior. Podemos poupar algum tempo fazedo uso do sídroma para idetificar a classe a que a palavra recebida pertece. Comecemos pela defiição de sídroma: Defiição.10.1: Seja C um código liear [ kδ,, ] e H uma matriz de verificação de paridade de C. Para todo w, o sídroma de w é a palavra T Sw ( ) = wh (sedo mais rigorosos, como o sídroma depede da escolha k da matriz de verificação de paridade H, é mais apropriado escrever o 74

75 Códigos lieares Descodificação através do sídroma sidroma de w como S ( w ) para efatizar esta depedêcia. No etato, para H simplificar a otação, o sufixo H é deixado sempre que ão houver risco de ambiguidade.) No teorema seguite aalisamos algumas propriedades simples, mas esseciais, do sídroma de uma palavra. Teorema.10.1: Seja C um código liear [ kδ,, ] e seja H uma matriz de verificação de paridade de C. Para uv,, temos i) Su ( + v) = Su ( ) + Sv ( ); ii) Su ( ) = 0 se e só se u for uma palavra-código de C ; iii) Su ( ) = Sv ( ) se e só se u e v estiverem a mesma classe de C. Prova i) É uma cosequêcia imediata da defiição de sidroma. T ii) Pela defiição de sidroma, Su ( ) = 0 se e só se uh = 0, que é equivalete a ter u C. iii) Segue de i), ii) e teorema.8.1 vi). Notas.10.1: i) A parte iii) do teorema.10.1 diz que podemos idetificar uma classe pelo seu sídroma; reciprocamete, todas as palavras uma dada classe origiam o mesmo sídroma, pelo que o sídroma de uma classe é o sídroma de qualquer palavra da classe. Por outras palavras, existe uma correspodêcia biuívoca etre as classes e os sídromas. ii) Como os sidromas estão em máximo k pelo que temos k k, pela sua própria defiição, temos o sidromas. O teorema.8.1 diz que existem k classes, sidromas correspodetes (todos distitos). Logo, k todos os vectores em surgem como sídromas. 75

76 Códigos lieares Descodificação através do sídroma Defiição.10.: Uma tabela que faz correspoder cada líder de uma classe com o seu sídroma chama-se tabela de verificação do sídroma. Líder da classe u Sidroma Su ( ) Tabela 4 Sistematizado os passos ecessários para costruir a tabela de verificação do sídroma, temos: Etapas para costruir uma tabela de verificação do sídroma assumido descodificação de probabilidade máxima completa Listar todas as classes do código, e escolher em cada classe uma palavra com peso meor como líder da classe, u. Ecotrar a matriz de verificação de paridade H para o código. T Calcular, para cada líder da classe u, o seu sídroma Su ( ) = uh. Nota.10.: Para descodificação de probabilidade máxima icompleta, se ecotrarmos mais do que uma palavra de peso meor o primeiro passo, deverá colocar-se o símbolo * essa etrada da tabela de verificação do sídroma para idicar que é requerida uma retrasmissão. Exemplo.10.1: Cosideremos uma descodificação através do viziho mais próximo completa. Costruamos uma tabela de verificação dos sídromas para o seguite código biário liear C = {0000,1011, 0101,1110} 76

77 Códigos lieares Descodificação através do sídroma Através das classes obtidas ateriormete, escolhemos as palavras 0000,0001,0010 e 1000 como líderes das classes. Uma matriz de verificação de paridade para C é H = Em seguida, costruamos uma tabela de verificação dos sídromas para C (tabela 4). Note-se que cada palavra de comprimeto ocorre exactamete uma vez como sídroma. Notas.10.3: i) Um úico líder da classe correspode a um erro padrão que pode ser corrigido, supodo descodificação do viziho mais próximo completa ou icompleta. ii) Um líder ão úico de uma classe correspode a um erro padrão que ão pode ser corrigido, supodo descodificação do viziho mais próximo icompleta. iii) Uma forma mais rápida de costruir uma tabela de verificação do sídroma, dada a matriz de verificação de paridade H e distâcia δ do código C, é gerar todos os erros padrão e com δ 1 we () como líderes da classe e calcular o sídroma Se () para cada um deles. Exemplo.10.: Supodo a descodificação de probabilidade máxima completa, costruamos uma tabela de verificação de sídromas para o código liear C com matriz de verificação de paridade H, ode 77

78 Códigos lieares Descodificação através do sídroma H = Primeiro, afirmamos que δ = 3. Isto pode ser visto facilmete aplicado o Corolário.6.1 e observado que ehum par de coluas de H é liearmete depedete equato que as coluas, 3 e 4 são liearmete depedetes. Como ( ) δ 1/ = 1, todos os erros padrão com peso 0 ou 1 serão líderes da classe. Podemos calcular o sídroma para cada um deles e obter as primeiras sete lihas da tabela de verificação de sídromas. Como cada palavra de comprimeto 3 tem de ocorrer como um sídroma, o líder da T classe u remaescete tem sidroma uh = 101. Além disso, u tem de ter peso uma vez que todas as palavras de peso 0 ou 1 já foram icluídas a tabela de verificação de sídromas. Como estamos à procura de um líder da classe, é razoável começar a procurar etre as palavras remaescetes de meor peso dispoíveis, isto é,. Ao fazê-lo, ecotramos três possíveis líderes da classe: , e Como estamos a utilizar descodificação de probabilidade máxima completa, podemos escolher, arbitrariamete, como líder da classe e completar a tabela de verificação de sídromas (tabela 5). Líder da classe u Sídroma Su ( ) (* o caso de descodificação icompleta) Tabela 5 78

79 Códigos lieares Descodificação através do sídroma Notemos que, se utilizarmos descodificação de probabilidade máxima icompleta, o líder da classe a última liha da tabela 5 será substituída por '*'. Procedimeto de descodificação para descodificar sídromas Passo 1: Calcular o sídroma Sw ( ) para a palavra recebida w ; Passo : Se Sw= ( ) 0, etão a palavra recebida é uma palavra código e o processo termia. Caso cotrário passamos ao passo 3; Passo 3: Ecotrar um líder da classe u perto do sidroma Sw ( ) = Su ( ) a tabela de verificação de sídromas Passo 3: Descodificar w como v= w u Exemplo.10.3: Seja C = {0000,1011,0101,1110}. Utilizemos a tabela 4 de verificação de sidromas para descodificar: i) w = 1101; ii) w = T i) w = O sidroma é Sw ( ) = wh = 11. Pela tabela 4, verificamos que o líder da classe é Assim, = 0101 é a palavra que mais provavelmete foi eviada. T ii) w = O sidroma é Sw ( ) = wh = 01. Pela tabela 4, verificamos que o líder da classe é Logo, = 1110 é a palavra que mais provavelmete foi eviada. Exemplo.10.4: Voltado ao exemplo.10., cosideremos o código liear C com matriz de verificação de paridade H : H =

80 Códigos lieares Descodificação através do sídroma Descodifiquemos a mesagem, sabedo que as palavras recebidas foram: i) w = ; ii) w = Vejamos etão: T i) w = Logo, Sw ( ) = wh = 010 e, portato, utilizado a tabela 5, o erro é Cosequetemete a palavra descodificada é = T ii) w = Sw ( ) = wh = 111 e, portato, utilizado a tabela 5, verificamos que ão há um líder da classe úico. Por isso, ou pedimos uma retrasmissão da mesagem ou, o caso de descodificação completa, escolhemos como líder, por exemplo, e = é a palavra descodificada. Exercícios H: 1. Seja C um código biário com matriz de verificação de paridade: H = i) Determie uma correspodêcia biuívoca etre os líderes das classes e os sídromas. ii) Descodifique as seguites mesages: r 1 = 10101; r = ; r 3 = 11111; r 4 = ; r 5 =

81 Códigos lieares Descodificação através do sídroma Resolução 1. i) Líder da classe u Sídroma Su ( ) * * 111 Nos casos assialados com * a classe ão tem líder úico. ii) r 1 = 10101: T Sr ( ) = rh = Utilizado a tabela de verificação de sídromas verificamos que ocorreu um erro e descodificamos a mesagem como = r = 01111: T Sr ( ) = rh = 110 A esta mesagem correspode o mesmo sídroma e assim o mesmo erro. Descodificamos a mesagem como = r 3 = 11111: T Sr ( ) = rh = Utilizado a tabela de verificação de sídromas verificamos que ocorreu um erro e descodificamos a mesagem como =

82 Códigos lieares Descodificação através do sídroma r 4 = : T Sr ( ) = rh = A esta mesagem correspode um sídroma a cuja classe correspodete ão está associado um líder úico. Pelo que a palavra deve ser retrasmitida. No etato, se assumirmos descodificação completa, e escolhedo aleatoriamete como líder da classe (poderíamos ter escolhido e a palavra descodificada seria = ), descodificamos a mesagem como = r 5 = 10111: T Sr ( ) = rh = Desta vez ão ocorreu ehum erro e a palavra que descodificamos é Códigos Perfeitos Os códigos perfeitos são códigos de comprimeto que têm a propriedade de toda a palavra biária de comprimeto ter uma úica palavra como viziho mais próximo. Para cada palavra-código c de um código liear ( kδ,, ) sabemos que: Existe exactamete uma palavra biária à distâcia zero de c, omeadamete, a própria palavra c. Há exactamete formas diferetes de alterar um bit de c, pelo 1 que há palavras biárias à distâcia 1 de c. 1 8

83 Códigos lieares Códigos perfeitos Aalogamete, temos Hammig i de c. i palavras biárias à distâcia de Supohamos que t é um iteiro tal que t ( δ ) ( δ ) 1/ se δ é ímpar e t / se δ é par. Etão, pelo teorema 1..1, ehuma palavra pode estar à distâcia de Hammig t de duas palavras-código distitas. No total temos k palavras-código, e há t palavras biárias à distâcia de Hammig t de cada. Logo, teremos pelo meos k t palavras biárias de bits. No etato, o úmero total de palavras biárias de bits é, e portato t k Esta desigualdade chama-se desigualdade de Hammig e o limite superior dado por esta desigualdade diz-se limite de Hammig. A desigualdade de Hammig é utilizada para defiir um tipo particular de códigos lieares. Defiição.11.1: Um código perfeito é um código liear com correcção de erros para o qual se verifica o limite de Hammig. 83

84 Códigos lieares Códigos perfeitos Os códigos perfeitos são códigos de comprimeto que têm a propriedade de toda a palavra biária de comprimeto ter uma úica palavra como viziho mais próximo. Se for possível ecotrar uma palavra biária tal que duas ou mais palavras-código são os vizihos mais próximos, etão o código ão é perfeito. Se um código ( k, ) é perfeito, etão toda a palavra de comprimeto pode ser descodificada. Isto ão é ecessariamete perfeito a prática se houver mais erros a afectar a palavra-código do que os que o código está preparado para corrigir, etão pode ser preferível que a descodificação seja impossível, em vez de estimar uma mesagem icorrecta como palavra presumivelmete trasmitida..1 Códigos de Hammig Os códigos de Hammig são uma família importate de códigos de correcção de um úico erro que são facilmete codificados e descodificados. São códigos lieares que podem ser defiidos sobre um corpo fiito mas, como temos vido a fazer ao logo do trabalho, vamos restrigir-os ao estudo de códigos biários. A melhor forma de defiir um código de Hammig é através da sua matriz de verificação de paridade: Defiição.1.1: Seja r um iteiro positivo e H uma matriz ( r 1) r cujas coluas são todos os vectores ão ulos de comprimeto r. Etão, o código que tem H como matriz de verificação de paridade chama-se código biário de Hammig e escreve-se Ham( r,). Notas.1.1: r i) Ham( r,) tem comprimeto = 1 e dimesão k = r. Logo, r = k é o úmero de bits de verificação de cada palavra-código, também cohecido como redudâcia do código. 84

85 Códigos lieares Códigos de Hammig ii) Como as coluas de H podem ser tomadas em qualquer ordem, o código Ham( r,) é, para uma dada redudâcia r, qualquer um de um úmero de códigos equivaletes. Exemplos.1.1: i) r = ; H = Pelo teorema.6.4, G = [111], e assim é o código Ham (,), o código biário de tripla repetição. De facto, relembremos que se G ( I X) = é a matriz geradora de um código C [ k, ], etão uma matriz de verificação de paridade para C é T ( k) H = X I e vice-versa. K H 1 1 = I e assim G [ I 1 1 1] [ 1 1 1] = =. ii) r = 3; uma matriz de verificação de paridade para Ham(3,) é H = Neste caso tomámos as coluas por ordem crescete dos úmeros biários (de 1 a 7). Para obter H a forma padrão, colocámos as coluas uma ordem diferete: H = Assim, pelo teorema.6.4, uma matriz geradora para Ham (3,) é 85

86 Códigos lieares Códigos de Hammig G = Teorema.1.1: Um código biário de Hammig, Ham( r,), para r, r r i) é um código [ 1, 1 r] ; ii) tem distâcia míima 3 (e portato corrige um úico erro); iii) é um código perfeito. Prova: (i) Por defiição, Ham( r,) r r um código [ 1, 1 r]. é um código [ r 1, r ] e assim, Ham( r,) é (ii) Como Ham( r,) é um código liear, é suficiete mostrar que toda a palavra-código tem peso 3. Vamos demostrá-lo, provado que Ham(,) r ão tem palavras-código de peso 1 ou. Supohamos que Ham(,) r tem uma palavra x de peso 1, digamos x = (com 1 a posição i) Como x é ortogoal a toda a liha da matriz de verificação de paridade H, a i-ésima etrada de toda a liha de H é zero. Logo, a i- ésima colua de H é o vector ulo, cotradizedo a defiição de H. Agora, supohamos que Ham( r,) tem a palavra-código x de peso, digamos x = (com 1 s as posições i e j) Seja [ hh s1 s... h s] a s-ésima liha de H. Como x é ortogoal a toda a liha de H, temos h si + h = 0 (mod ) para s= 1,,..., r; sj 86

87 Códigos lieares Códigos de Hammig ou seja h si = h (mod ) para s= 1,,..., r; sj Assim, as coluas i e j de H são iguais, mais uma vez cotradizedo a defiição de H. Logo, dhamr ( (,)) 3. Por outro lado, Ham(,) r tem palavras de peso 3. Por exemplo, se as três primeiras coluas de H são: etão o vector é ortogoal a toda a liha de H e assim pertece a Ham(,) r. iii) Para mostrar que Ham(,) r é perfeito, é suficiete mostrar que r r =. Com t = 1 e = 1, temos: 1 t 1+=1+ r -1= r o que prova a igualdade. Descodificação de um código de Hammig Como Ham(,) r é um código perfeito que corrige um úico erro, os r líderes das classes são precisamete os ( = + 1) vectores de comprimeto de peso 1. T O sídroma do vector ( com 1 a posição j) é ( ) H, que é a trasposta da j-ésima colua de H. 87

88 Códigos lieares Códigos de Hammig Assim, se as coluas de H estiverem dispostas por ordem crescete de úmeros biários (isto é, a j-ésima colua de H é a represetação biária de j), etão teremos o seguite algoritmo de descodificação: o Passo 1 Quado recebemos um vector y, calculamos o seu T sidroma S( y) = yh. o Passo Se S( y ) = 0, cosideramos que y foi a palavra-código eviada. o Passo 3 Se S( y) 0, cosiderado que apeas ocorreu um erro, S( y ) dá-os a represetação biária da posição do erro, e assim podemos corrigir o erro. Por exemplo, se H = e y = , etão S( y ) = 110, idicado um erro a sexta posição. Logo, descodificamos y como Exercícios I: 1. Utilize a desigualdade de Hammig para determiar se existem códigos lieares com os seguites parâmetros: i) = 64, k = 51, δ = 5; ii) = 64, k = 51, δ = 7. 88

89 Códigos lieares Códigos de Hammig. Cosidere o código de Hammig de comprimeto 15 e descodifique as seguites palavras: a = ; b = ; c = Resolução 1. Relembremos a desigualdade de Hammig: t i) Ora, 5 1 δ = 5 t = = E assim, k Verdade Não podemos afirmar se existe um código com estes parâmetros. Apeas podemos cocluir que a desigualdade de Hammig se verifica para os parâmetros: = 64, k = 51, δ = 5 ii) Temos, 7 1 δ = 7 t = = 3 Logo, Falso Logo, ão existe um código liear com os parâmetros: = 64, k = 51, δ = 7. 89

90 Códigos lieares Códigos de Hammig r r. Relembremos que um código de Hammig é da forma [ 1, 1 r], pelo que para = 15, temos r = 4. Assim, H = T Para toda a palavra recebida r, calculamos rh. Se o resultado for o vector ulo a descodificação será a palavra recebida. No caso do produto ser igual à i-ésima colua, etão ocorreu um erro a posição i e descodificação correspode à palavra que se obtém da palavra recebida com alteração do bit i. Temos etão: T ah = 0100, correspode à 4ª colua e assim descodificamos a palavra recebida a = como: = a T bh = 1110, correspode à 14ª colua e assim descodificamos a palavra recebida b = como: = b T ch = 0000 e assim ão ocorreram erros e a descodificação é a própria palavra c =

91 Costrução de códigos lieares Extesão de códigos 3. Costrução de códigos lieares 3.1 Extesão de códigos Costruir um ovo código a partir de um outro já existete é uma forma simples de obter códigos mais eficazes. Por vezes, aumetar o comprimeto de um código em um dígito, ou mesmo em algus dígitos, resulta um ovo código com capacidades de detecção e correcção melhores e que valem o preço de uma taxa de iformação iferior. código Cosideremos o código biário C, ( kδ,, ). Podemos obter um ovo * C de comprimeto + 1, obtido de C, adicioado um dígito extra a cada palavra-código de C, de forma a que a palavra biária resultate de comprimeto + 1 teha peso par. Desta forma, adicioamos o dígito 0 a cada palavra-código de peso par, e o dígito 1 a cada palavra-código de peso ímpar. Exemplo 3.1.1: Cosideremos o código (6,3) : { ,001110,010101,011011,100011,101101,110110, } Podemos esteder este código para obter um código C (7,3) com as seguites palavras-código: Este código liear C é o código (7,3), o dual do código de Hammig (7,4). 91

92 Costrução de códigos lieares Extesão de códigos Se v é uma palavra do código iicial C, e o código estedido * C etão: * v a palavra correspodete * wv ( ) se wv ( ) é par wv ( ) = wv ( ) + 1 se wv ( ) é ímpar O comprimeto do ovo código é + 1, mas como o úmero de palavras- -código ão se alterou, a dimesão cotiua a ser k. Uma vez que cada palavra-código do ovo código tem peso par e a distâcia míima é igual ao peso míimo de todas as palavras diferetes de zero, etão a distâcia míima do ovo código é: δ + 1 se δ é ímpar, δ se δ é par. Se a distâcia δ de C é ímpar etão a distâcia de for par etão a distâcia de * C é δ + 1, mas se δ * C é aida δ. Assim, só será útil esteder códigos em que δ é ímpar, de forma a que o ovo código embora ão possa corrigir mais erros, seja capaz de detectar mais um erro. Exemplo 3.1.: Seja C um código com distâcia δ = 7. C tem capacidade para detectar até 1 6 e assim pode detectar até δ = erros e corrigir até ( ) δ 1/ = 3erros. * * δ 1= 7 erros e corrigir os mesmos ( δ ) * * C terá δ = 8 1/ = 3. É simples costruir a matriz de verificação de paridade para o código obtido através da extesão de um código ( k, ) com matriz de verificação de paridade H. A adição de um dígito de verificação de paridade é equivalete a adicioar uma liha de 1 s a H. Uma vez que o código estedido tem comprimeto + 1, a sua matriz de verificação de paridade é: 9

93 Costrução de códigos lieares Extesão de códigos H 0 De facto, para além das equações de paridade do código H acrescetamos uma liha de 1 s que sigifica que a soma de todos os bits tem de ser par. Exemplo 3.1.3: A matriz seguite é uma matriz de verificação de paridade para o código (8,4,4) obtido estededo o código de Hammig (7,4). H = A costrução uu+ v Cotiuado a costrução de códigos lieares, apresetaremos uma forma de costruir um ovo código de comprimeto a partir de dois códigos de comprimeto. Este ovo código tem boas propriedades de correcção de erros. Comecemos pela defiição: Defiição 3..1: Dados códigos lieares C 1 e C de comprimeto, defiimos um ovo código C de comprimeto através da costrução uu+ v, da seguite forma: {(, ) 1, } C = u u+ v u C v C 93

94 Costrução de códigos lieares A costrução uu+ v Exemplo 3..1: Cosideremos os códigos lieares U e V, ambos de comprimeto 4 e apliquemos a costrução uu+ v para obtermos um código liear C de comprimeto 8. Código U = {0000,1111} Código V = {0000, 0011, 0101, 0110,1001,1010,1100,1111} Os quatro primeiros dígitos de cada palavra do ovo código são formados por uma das duas palavras de U equato que os restates quatro correspodem a cada uma das somas das palavras do código U com as palavras do código V. Assim, ao todo teremos 16 palavras para o ovo código. u = 0000 v uu+ v u = 1111 v uu+ v Logo, C = { , , , , , , , , , , , , , , , } O exemplo aterior mostra-os como é possível jutar dois códigos de comprimeto 4, um com oito palavras-código e outro com duas, de forma a obter um ovo código de comprimeto 8 com dezasseis palavras-código. 94

95 Costrução de códigos lieares A costrução uu+ v Vejamos algumas propriedades do código gerado através deste método o teorema seguite: Teorema 3..1: Sejam U ( k,, δ ) e V ( k,, δ ) dois códigos lieares e δ o U U meor de δ U e δ V. Etão, o código liear C cujas palavras-código são todas as palavras biárias da forma [ u u+ v], ode u é uma palavra-código de U e v é uma palavra-código de V, é um código ( k, + k, δ ). V V U V Prova: Ora, o código U tem ku palavras e o código V, k V. Assim, como esta costrução a cada palavra de U as primeiras posições correspodem kv k palavras, o código C terá de coter U do código C é ku + kv. + k V palavras-código. Logo, a dimesão Pretedemos agora mostrar que a distâcia míima do código C é δ, o meor de δ U e δ V. Sejam u e v palavras-código de peso míimo dos códigos U e V, respectivamete. [ u u] = [ u u + 0] é uma palavra-código de C com peso δ, e [0 v] = [0 0 + v ] é uma palavra-código de C com peso δ V, pelo que a U palavra-código de C com peso míimo (diferete de zero) ão pode exceder o meor destes dois valores ou seja, δ. Sejam u 1 e u palavras-código de U e v 1 e v palavras-código dev. Etão, a distâcia de Hammig etre as palavras código [ u 1 u 1 + v 1 ] e [ u u + v ] do código C é igual a: wu ( + u) + wu ( + u+ v+ v ). (*)

96 Costrução de códigos lieares A costrução uu+ v Se v 1 e v forem palavras-código distitas, segue (porque wx ( + y) wx ( ) + wy ( )) wu ( + u+ v+ v) wv ( + v) wu ( + u ), e assim, d([ u u + v ],[ u u + v ]) w( v + v ) = d( v, v ) δ V Se v1 = v, etão v1+ v = 0, e portato, por (*) d([ u u + v ],[ u u + v ]) = w( u + u ) = δ U Cocluímos que a distâcia etre quaisquer duas palavras-código de C é pelo meos δ. Isto mostra que δ é a distâcia míima do código C. Exercícios J: 1. Dados dois códigos U e V utilizámos a costrução uu+ v para obter um ovo código o exemplo Se trocássemos os códigos U e V obteríamos o mesmo código? Se ão, o que podemos afirmar em relação à detecção de erros? Resolução 1. Naturalmete que o código vv+ u é diferete, uma vez que os primeiros quatro dígitos ão são palavras de U mas palavras de V. Pelo teorema 3..1 temos que: Para C1 = u u+ v, δ 1 é igual ao meor de δ U = 4 = 8 e δ V = (em V a palavra ão ula com peso míimo tem peso ), ou seja,. 96

97 Costrução de códigos lieares A costrução uu+ v Para C = v v+ u, δ é igual ao meor de δ V = = 4 e δ U = 4, ou seja, 4. O código C1 = u u+ v detecta até 1 erro equato que o código C v v u = + detecta até erros. 3.3 Códigos Reed - Muller Como já referimos, os códigos correctores de erros são extremamete úteis o evio de iformação através de caais etre logas distâcias, ou através de caais ode poderão ocorrer erros a mesagem. Começaram a ter um papel mais importate à medida que as telecomuicações se desevolveram. Os códigos Reed-Muller são das famílias de código mais atigas, ivetados em 1954 por D. E. Muller e I.S. Reed. Em 1971, a ave espacial Marier 9 utilizou um código Reed-Muller para trasmitir fotografias a preto e braco de Marte. Os códigos Reed-Muller são relativamete fáceis de descodificar, e os códigos de 1ª ordem são particularmete eficietes. Para todos os iteiros m e r satisfazedo 0 r m, o código Reed- -Muller R (, rm) de ordem r é um código liear biário com parâmetros: = m M = δ = m m r m r Durate este trabalho a ossa ateção irá restrigir-se aos códigos Reed-Muller com r = 1, que desigaremos simplesmete por R ( m), que são códigos lieares biários com parâmetros m m+ 1 m 1 =, =, =. O código M δ R (5) foi o utilizado pela Marier 9 para trasmitir fotografias de Marte em Iremos aalisar esse código o parágrafo seguite. Existem muitas formas de defiir os códigos Reed-Muller. Uma delas, é através de uma costrução do tipo [ u u+ v], aalisada o parágrafo aterior. 97

98 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller No etato, iremos adoptar uma defiição idutiva, uma vez que tora mais fácil estabelecer algumas das propriedades destes códigos. Defiição 3.3.1: Os códigos Reed-Muller R ( m) são códigos biários defiidos como se segue para todo o iteiro m 1: R (1) = = {00, 01,10,11} Para m 1, R ( m+ 1) = { uu u R( m)} { uu c u R ( m)} Ou seja, as palavras-código de R ( m + 1) são formadas por justaposição de cada palavra-código de R ( m) com a própria ou com o seu complemetar. O complemetar de uma palavra u obtém-se trocado cada um dos dígitos 0 ou 1 para 1 ou 0 respectivamete. O código Reed-Muller R (1) é um código liear com parâmetros 1 0 =, =, = em que cada palavra excepto 0 e 1 tem peso M δ 0. Podemos esteder esta afirmação para outros códigos Reed-Muller por idução. Teorema 3.3.1: Para m 1, o código Reed-Muller R( m) é um código liear m m+ 1 m 1 (, M, δ ) 1 m. = = = em que toda a palavra-código excepto 0 e 1 tem peso Prova: O resultado é verdadeiro para R (1). Supohamos que é verdadeiro para R ( m) e cosideremos o código R ( m + 1). Provemos que se R ( m) é liear etão R ( m + 1) também é liear. Queremos provar que se ab, R ( m+ 1) etão a+ b R ( m+ 1). Ora, a c = aa 1 1ou a aa =, com a1 R ( m) c b= bb ou b= bb 1 1, com b1 R ( m) 98

99 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Aalisemos o caso em que a= aa 1 1e b= bb 1 1, os outros são aálogos. ( m m) ( m m) a+ b= a a a a a a + b b b b b b = d R( m) porque R( m) é liear = ( a11 b11 ) ( a1 b1 )... ( a m b m) ( a11 b11) ( a1 b1 )... ( a m b m) = dd, para algum d R ( m), com d = a+ b Logo, R ( m + 1) é liear É evidete da defiição que o comprimeto de R ( m + 1) é o dobro do comprimeto de R ( m) e etão: Comprimeto m ( R ( m + 1)) = = m+ 1 c Além disso, como cada um dos cojutos { uu u R ( m)} e { uu u R ( m)} tem R ( m) palavras-código e como estes cojutos são disjutos, segue que: R ( m + 1) = = m+ 1 m+ Fialmete, supodo que todas as palavras-código em R ( m) excepto 0 e 1 têm peso m, cosideremos a palavra-código c R ( m+ 1). Se c = uu é 1 diferete de 0 ou 1, etão u 0 e u 1 e portato m 1 m () = () = = wc wu c Se c= uu etão temos de cosiderar algus casos. Se u = 0 etão c = 01, que tem peso m. Se u = 1 etão c = 10, que também tem peso m. Fialmete, se u 0 e u 1 etão, como c m m 1 1 ( ) m = = = ( ) wu wu, teremos de ovo m 1 m () = () = = wc wu 99

100 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Em todos os casos, wc ( ) = m. Logo, R ( m + 1) é um código liear m+ 1 m+ m (, M, δ ) = = =, e a prova está completa. Exemplo 3.3.1: De acordo com a defiição, para m = temos que R () = {0000, 0011, 0101, 0110,1010,1001,1111,1100}. Temos aida que R = é uma matriz geradora para R (). Além disso: = = M 4 = = δ = = 1 (de facto, a palavra código de meor peso, tem peso ) A defiição idutiva de R ( m) também os permite defiir matrizes geradoras para estes códigos. Teorema 3.3.: 1. Uma matriz geradora para R (1) é R 1 = Se R m é uma matriz geradora para R ( m), etão a matriz geradora para R ( m + 1) é R m+ 1 = Rm R m (*) 100

101 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Prova: A primeira parte decorre directamete das defiições. Notemos que, se as lihas de etão também as lihas de R m+ 1 o serão. Se alguma soma R m forem liearmete idepedetes, = i1 i i u s r r r das lihas de R m+ 1 é 0, etão a soma ão pode cosistir apeas da primeira liha. Logo, essa é uma soma ão trivial (i.e., ão são todas 0s) de lihas de R m que é igual a 0, que ão é possível uma vez que supusemos que as lihas de R m são liearmete idepedetes. Logo, por idução, cocluímos que cada uma das matrizes R m+ 1 é uma matriz geradora (para algum código). Seja C o código com matriz geradora igual à matriz do lado direito de (*). Queremos mostrar que C =R ( m+ 1). Se r é uma liha de R m, etão rr e rr + 01 = rr c estão ambas em C. Segue que se u for alguma soma de lihas de R m, ou seja, alguma palavra-código de R m, etão uu e c uu estão ambas em C. Logo, R ( m+ 1) C. Mas C tem a mesma dimesão que R ( m + 1) e portato R ( m+ 1) = C, como queríamos provar. Exemplo 3.3.: Utilizado a matriz R do exemplo aterior, temos e aida, R 4 = R 3 =

102 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller O teorema 3.3. pode ser utilizado para descrever as matrizes geradoras R m directamete, ambas em termos das suas lihas e coluas. O corolário seguite decorre imediatamete do teorema aterior. Corolário 3.3.1: 1. As lihas de R m podem ser descritas como se segue. A primeira liha de 1s R m cosiste de um bloco de 1 m 0s seguidos por um bloco de m 1 m 1 m 0s 1s A liha seguite de R m cosiste de blocos alterados de 0s e 1s de comprimeto m m m m m 0s 1s 0s 1s Em geral, a i-ésima liha de R m cosiste de blocos alterados de 0s e 1s de comprimeto m i. A liha m de R m cosistirá etão de 0s e 1s m alterados (blocos de comprimeto m = 1). A última liha de R m é uma liha preechida com 1s.. As coluas de R m podem ser descritas como se segue. Excluido a última liha de R m, as coluas de R m cosistem de todas as palavras biárias possíveis de comprimeto m que, quado lidas de cima para baixo como úmeros biários, são, 0,1,..., m 1, por esta ordem. A tabela seguite permite-os ver as potecialidades dos códigos Reed- -Muller. Podemos aalisar os parâmetros para R ( m), para algus valores 10

103 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller pequeos de m. De realçar as grades distâcias míimas para estes códigos com um úmero de palavras-código pequeo. m Comprimeto das m palavras-código ( ) Número de palavras do código m+ 1 ( ) Distâcia míima m 1 ( ) Comparado características dos códigos Reed-Muller com as dos códigos de Hammig, podemos verificar que, para aproximadamete o mesmo comprimeto das palavras-código ( m para os Reed-Muller, m 1 para os de Hammig), o úmero de palavras do código Reed-Muller m+ 1 ( ) é sigificativamete meor do que o de Hammig 1 ( m m ). Com os códigos de Hammig, ecessitamos de um grade comprimeto das palavras-código para obter um código com distâcia míima apeas 3 (e portato, apeas corrige um úico erro). Com os códigos Reed-Muller, coseguimos obter códigos com distâcias míimas relativamete grades sem ecessitar de códigos demasiado grades. Descodificação de códigos Reed-Muller O código R ( m) é um código com parâmetros m m+ 1 m 1 =, =, =. M δ Temos aida k = m+ 1. Cotiuado a adoptar a descodificação através da palavra-código mais próxima, podemos afirmar que este código permite corrigir até: 103

104 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller m 1 1 = m 1 erros. Em particular, para m = 5 podemos corrigir até 7 erros. Relembrado que o úmero de classes um código é igual a k, teremos para R (5), = =, ou seja, classes. Desta forma, descodificar utilizado uma tabela de sidromas cosumirá muito tempo, mesmo para valores pequeos de m. Utilizaremos um método melhor para descodificar palavras quado utilizamos um código Reed-Muller. Iremos descrever um tipo especial de descodificação por maioria lógica, chamado descodificação Reed-Muller, que se aplica a códigos Reed- -Muller. A ideia que está por detrás da descodificação por maioria lógica é bastate simples. Cosideremos um código liear C, com base β = { b1, b,..., b k }. Supohamos que foi eviada uma palavra-código base, existem escalares αi para os quais c= c... 1 c. Como β é uma c= α1b1+ αb αkbk Supohamos que ecotramos uma forma de calcular o coeficiete α 1 directamete das coordeadas c i de, digamos, quatro formas diferetes, e que cada uma utiliza diferetes coordeadas. Por exemplo, supohamos que (para = 8 ) α = c + c α = c + c 1 6 α = c + c α = c + c Agora, imagiemos que a palavra recebida x = x... 1 x tem um úico erro. Tetamos calcular α 1 quatro vezes, utilizado as coordeadas de x, como se segue 104

105 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller α = x + x α = x + x 1 6 α = x + x α = x + x A ideia é que se ocorrer apeas um erro, apeas um dos x i s ão será igual ao correspodete c i e portato, apeas uma destas quatro equações ão os dará o valor correcto de α 1. Ou de outra forma, a maioria (este caso 3) das equações dar-os-á o valor correcto de α 1. Efectuado o mesmo processo para cada um dos coeficietes α i permite-os recuperar a palavra-código c. Esta é a descodificação por maioria lógica. Para valores maiores de m vamos ecessitar de mais equações. Por exemplo, vimos que R (5) corrige até 7 erros, pelo que, esse caso, precisaremos de ecotrar 16 equações. lihas de Supohamos que eviamos a palavra-código R m, r 1,..., r m+ 1, etão c= c... 1 c. Se chamarmos às c= α r + + α r + α + r m m m 1m 1 para algus escalares αi. Por razões descritas ateriormete, queremos ecotrar tatas expressões para os coeficietes de α i quatas as possíveis. Supohamos que x i é uma palavra que é ortogoal a toda a liha de excepto à liha i-ésima, isto é, x r = 1. Etão i i R m x c= x ( α r α + r + ) i i 11 m 1m 1 = α ( x r) α + ( x r + ) = α i 1 i 1 m 1 i m 1 Para ecotrar a palavra x i, supohamos que ri = ri 1 ri. Etão e r = ( ) ( r r ) = r u i i1 i iu 105

106 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller e portato, ( e + e ) r = ( r + r )(mod) u v i iu iv Se eu + ev for o osso cadidato a x i, etão teremos de ter 1 se ( eu + ev) rk = ( rku + rkv)(mod) = 0 se k = i k i Claro que a soma de dois bits é igual a 1 se e só se os bits são diferetes. Assim, isto irá acotecer se e só se a u-ésima e a v-ésima coluas de R m diferirem a i-ésima liha e forem iguais em todas as outras. Por exemplo, em R 3, R = se i = 1 cosideremos a primeira e quita coluas. As etradas a primeira liha são diferetes e portato ( e + e ) r = e r + e r = 0+ 1= mas as etradas em qualquer outra liha rk ( k 1) são iguais e portato ( e + e ) r = e r + e r = k 1 k 5 k Logo, para cada liha i, queremos um par de coluas que sejam idêticas excepto a liha i-ésima. 106

107 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Defiição 3.3.: Diz-se que coluas de uma matriz geradora R m de um código Reed-Muller são um bom par de coluas para a i-ésima liha se tiverem etradas iguais em todas as suas posições com excepção da liha i. Sitetizemos as propriedades dos bos pares de coluas a determiação dos escalares α i, o seguite lema: Lema 3.3.1: Se ( uv, ) forem os úmeros das coluas de um bom par para a i- -ésima liha de R m, etão para cada palavra-código c= α r + + α r + α + r m m m 1m 1 temos (para i = 1,..., m), α = ( e + e ) c i u v Como a última liha de R m cosiste apeas de 1s, todos os pares de etradas esta liha são iguais e portato a última liha ão tem bos pares. Por outro lado, a última liha uca os irá trazer problemas em ecotrar bos pares para as outras lihas logo, por agora, podemos simplesmete igorar a última liha, a que voltaremos mais à frete. Em seguida vamos aalisar a forma de ecotrar bos pares de coluas. Mas, ates, vejamos a seguite defiição: 107

108 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Defiição 3.3.3: Seja R m ' a matriz obtida de R m removedo a última liha. Um bom par de coluas para a i-ésima liha tem a forma β1... β i 1 0 β i β m e β1... β i 1 1 β i β m (**) Referimo-os à colua da esquerda como metade-0 do bom par e a colua da direita como metade-1. De acordo com o corolário 3.3.1, as coluas de R ' cosistem as m represetações biárias dos úmeros 0,1,... m 1, esta ordem. Por coseguite, para qualquer valor dos β, há duas coluas em R ' da forma (**). Além i s disso, como a metade-1 é um úmero maior do que o da metade-0, a metade-1 situa-se à direita da metade-0 a matriz. Para determiar quato à direita, observemos que, como úmeros biários, m β β 1β β = β β 0β β i 1 i+ 1 m 1 i 1 i+ 1 m 0 m = β β β β + i 1 i 1 i+ 1 m e portato, as duas metades estão separadas por uma distâcia m i. Deste modo, podemos obter todos os bos pares para a i-ésima liha como se segue: Tomemos todas as coluas de R m que têm um 0 a i-ésima liha como metade-0. Se uma metade-0 está a colua j, etão a metade-1 correspodete está a colua j m + i. Testado a matriz R 3, obtemos os seguites bos pares: 108

109 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Para a liha 1, temos = = e assim os bos pares são: m 3 1 i 4 ( Col 1, Col 5), ( Col, Col 6), ( Col 3, Col 7), ( Col 4, Col 8) Para a liha, temos = = e assim os bos pares são: m 3 i ( Col 1, Col 3), ( Col, Col 4), ( Col 5, Col 7), ( Col 6, Col 8) Para a liha 3, temos = = e assim os bos pares são: m 3 3 i 1 ( Col 1, Col ), ( Col 3, Col 4), ( Col 5, Col 6), ( Col 7, Col 8) Assim, exactamete metade das coluas de R m são metades-0 para a liha i-ésima e a outra metade das coluas são as metades-1 correspodetes. 1 Em particular, há exactamete m bos pares para cada liha. Estamos agora em codições para utilizar a descodificação Reed- -Muller. Imagiemos que é eviada uma palavra-código c= α r + + α r + α + r m m m 1m 1 para Utilizado os α i (com i par para a liha i, etão 1 m bos pares para a liha i, obtemos 1 m expressões m). Em particular, se c= c... 1 c e se ( Colu, Colv ) for um bom α = ( e + e ) c= c + c i u v u v Se ( Col s, Col t ) for outro bom par para a liha i, etão α = ( e + e ) c= c + c i s t s t 109

110 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller ode stu,, e v são distitos, e portato, destas 1 m expressões para α i ivolve diferetes posições a palavra-código c. Logo, se ão ocorrerem mais de das coordeadas m 1 c j estão icorrectas, e o máximo para α i estão icorrectas. Isto sigifica que pelo meos erros, etão o máximo m 1 m 1 das expressões = + m 1 m ( m 1) 1 destas expressões os dão o valor correcto de α i. Em particular, a maioria das expressões está correcta. Desta forma, podemos obter o valor correcto de α i calculado as 1 m expressões para α i e tomado o valor da maioria. O passo fial é obter o coeficiete α m + 1. Se tiverem ocorrido o máximo m 1 erros a recepção de x, etão o erro e= x c tem peso o máximo m 1. Seja d = α11 r αmrm temos x d = α r + e= α + e 1 m+ 1 m+ 1 m+ 1 Há duas possibilidades. Se α m + 1 = 0 etão e= x d ; se α m + 1 = 1 etão e= ( x d) c. Logo, se m wx ( d) 1, descodificamos α m + 1 como 0 e se c m ( ) w ( x d) 1, descodificamos α m + 1 como 1. Se ão estivermos em ehum destes casos, etão ocorreram mais de admitir um erro de descodificação. m 1 Assim, a descodificação Reed-Muller pode corrigir até erros e podemos apeas m 1 erros, como prometido pela distâcia míima do código R ( m). Referimo-os à palavra-código descodificada como a palavra-código descodificada pela lógica da maioria para a palavra recebida x. Cosideremos o exemplo seguite: 110

111 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Exemplo 3.3.3: Supohamos que (é descohecido por ós) a palavra-código do código (8,16,4) - Reed-Muller R (3) é eviada, mas a palavra recebida é x= x1... x8 = (Ocorreu um erro pelo que a descodificação Reed deverá corrigi-lo.) Os bos pares para cada liha de R 3 foram calculados ateriormete: Liha 1: ( Col 1, Col 5), ( Col, Col 6), ( Col 3, Col 7), ( Col 4, Col 8) Liha : ( Col 1, Col 3), ( Col, Col 4), ( Col 5, Col 7), ( Col 6, Col 8) Liha 3: ( Col 1, Col ), ( Col 3, Col 4), ( Col 5, Col 6), ( Col 7, Col 8) Logo, se c= c... c = α r + α r + α r + α r for a palavra-código de maioria lógica, as expressões para α 1 são α = c + c α = c + c 1 6 α = c + c α = c + c As equações de maioria lógica para α i são ecotradas substituido c i (cujos valores ão cohecemos) por x i (cujos valores cohecemos) para obter α = + = 1 x1 x5 0 α = + = 1 x x6 0 α = + = 1 x3 x7 0 α = + = 1 x4 x8 1 Assim, a decisão de maioria lógica é α 1 = 0. As equações de maioria lógica para α são 111

112 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller α = + = x1 x3 1 α = + = x x4 0 α = + = x5 x7 1 α = + = x6 x8 1 e a decisão de maioria lógica é α = 1. As equações de maioria lógica para α 3 são α = + = 3 x1 x 0 α = + = 3 x3 x4 1 α = + = 3 x5 x6 0 α = + = 3 x7 x8 0 e a decisão de maioria lógica é α 3 = 0. Logo, x ( α r + α r + α r ) = r = Como o complemetar desta palavra tem peso, descodificamos α como 1. Dode, a palavra-código por maioria lógica é c= r + 1 = Que é, de facto, a palavra-código eviada. 11

113 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller Exercícios K: 1. Cosidere os códigos Reed-Muler R (8) e R (9). a) Idique o comprimeto, dimesão e distâcia míima destes códigos. b) Quatos erros são estes códigos capazes de corrigir?. Costrua uma matriz geradora para R (4) e, para este código: a) codifique as mesages e b) descodifique a palavra recebida Resolução 1. O código R ( m) é um código com parâmetros m m+ 1 m 1 =, =, =. M δ a) O código R (8) tem parâmetros: = = 56, = = 51, = = 18. M δ O código R (9) tem parâmetros: = = 51, = = 104, = = 56. M δ b) O código R (8) pode corrigir até = =, o código R (9) pode m corrigir até = = m Podemos costruir uma matriz geradora para R (4) utilizado a defiição ou o teorema 3.3. e corolário R 4 =

114 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller a) [10101] R 4 = [10101] = [ ] [00001] R 4 = [00001] = [ ] b) Calculemos os bos pares para R (4): Liha 1, m i 8 = = =, e assim os bos pares são: ( C1, C9),( C, C10),( C3, C11),( C4, C1),( C5, C13),( C6, C14),( C7, C15),( C8, C 16) Liha, = = =, e assim os bos pares são: m 4 i 4 ( C1, C5),( C, C6),( C3, C7),( C4, C8),( C9, C13),( C10, C14),( C11, C16),( C1, C 16) Liha 3, = = =, e assim os bos pares são: m i ( C1, C3),( C, C4),( C5, C7),( C6, C8),( C9, C11),( C10, C1),( C13, C15),( C14, C 16) Liha 4, = = =, e assim os bos pares são: m i 1 ( C1, C),( C3, C4),( C5, C6),( C7, C8),( C9, C10),( C11, C1),( C13, C14),( C15, C 16) 114

115 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller E assim, se c= c... c = α r + α r + α r + α r + α r for a palavra-código de maioria lógica, as expressões para as equações de maioria lógica para α i são ecotradas substituido c i (cujos valores ão cohecemos) por x i (cujos valores cohecemos) para obter α = + = α 1 = x + x10 = 1 α 1 = x3 + x11 = 0 α 1 = x4 + x1 = 0 1 x1 x9 0 α = + = α 1 = x6 + x14 = 0 α 1 = x7 + x15 = 1 α 1 = x8 + x16 = 0 1 x5 x13 0 a decisão de maioria lógica é α 1 = 0. As equações de maioria lógica para α são: α = + = α = x + x6 = 0 α = x3+ x7 = 1 α = x4 + x8 = 1 x1 x5 1 α = + = α = x10 + x14 = 1 α = x11+ x15 = 0 α = x1 + x16 = 0 x9 x13 1 a decisão de maioria lógica é α = 1. As equações de maioria lógica para α 3 são: α = + = α 3 = x + x4 = 1 α 3 = x5 + x7 = 0 α 3 = x6 + x8 = 0 3 x1 x3 0 α = + = α 3 = x10 + x1 = 0 α 3 = x13+ x15 = 1 α 4 = x14 + x16 = 1 3 x9 x11 0 a decisão de maioria lógica é α 3 = 0. As equações de maioria lógica para α 4 são: α = + = α 4 = x3+ x4 = 1 α 3 = x5 + x6 = 1 α 4 = x7 + x8 = 1 4 x1 x 0 α = + = α 4 = x11+ x1 = 1 α 4 = x13+ x14 = 1 α 4 = x15 + x16 = 1 4 x9 x10 1 a decisão de maioria lógica é α 4 = 1. Assim, 115

116 Costrução de códigos lieares Códigos Reed-Muller ( α α α α α ) x r + r + r + r + r = = ( ) = = que tem peso = =. Assim, α 5 = 0 e a palavra código eviada m foi c = = O código Marier 9 As primeiras images de outro plaeta obtidas por uma missão espacial, foram-o pela Marier 4, da NASA, logo em A Marier 4 era pequea, leve (só 60 kg) e simples. O seu pricipal istrumeto era uma câmara de televisão. As images da Marier 4 eram de má qualidade mas, apesar disso, levavam tato tempo a ser gravadas a bordo e a ser trasmitidas para a Terra, que toda a missão só obteve vite e duas images de Marte. Nessas images viam-se desertos, crateras, motahas, calotes polares - mas ehum caal. Na verdade, a primeira imagem de Marte da Marier 4 parecia-se muito com a ossa Lua. Figura 1. A primeira imagem da Marier 4 de Marte,

117 Costrução de códigos lieares O código Marier 9 Etretato, após outras missões, foi eviada a Marier 9, em Maio de 1971, a primeira a etrar a órbita de outro plaeta. Esta soda completou duas voltas a Marte por dia, durate um ao, tirado fotografias à superfície do plaeta. Trasmitiu para a Terra um total de 739 images que cobriram quase todo o plaeta, tedo também, além disso, tirado as primeiras images das luas de Marte Fobos e Deimos. Outra revelação, talvez a mais espectacular foi, talvez, que a "grade cratera" chamada Nyx Olympica (oite olímpica) era, afial, um vulcão - hoje chamado Olympus Mos (Mote Olimpo), que sabemos agora ser o maior de todo o Sistema Solar, com mais de 0 kms de altitude - um plaeta com metade do diâmetro da Terra. Figura. Imagem do vulcão Mote Olimpo. Como foi gravada cada imagem? Cada imagem trasmitida era formada por mais de meio milhão de píxeis, represetado cada um de 51 íveis diferetes de cizeto, ao braco correspodia o 0, ao preto 511, e os valores itermédios de 1 a 510. Essas mesages foram eviadas para a Terra. Levado algus miutos a chegar ao receptor, o fraco sial pode provocar que a mesagem, com um sial bastate fraco, possa ser cofudida com o ruído ambiete. Assim, o píxel eviado pode ão ser o recebido. Com a quatidade de erros a trasmissão, as images seriam de uma qualidade muito má. Desta forma, cada mesagem de 6 bits foi codificada como uma mesagem de 3 bits, recorredo ao código Reed-Muller R (5), permitido assim a correcção até 7 erros. 117

118 Costrução de códigos lieares O código Marier 9 No processo de descodificação, a taxa de mesages foi de bits/s. O computador a Terra teve de ser bastate rápido, por forma a trasformar esta iformação em 500 píxeis por segudo. Para demostrar as potecialidades destes códigos, podemos simular o ruído de uma trasmissão um computador. Cosideremos uma matriz de 0s e 1s em que o 0 represeta o braco e 1 o preto. A essa matriz correspode a seguite imagem: Figura 3. Imagem digital origial Foquemos a ateção apeas em 48 bits desta imagem com a seguite represetação digital: Quado é trasmitida sem descodificação, o ruído simulado itroduz erros, recebedo a seguite matriz: 118

119 Costrução de códigos lieares O código Marier A imagem que se obtém se ão forem corrigidos quaisquer erros é a seguite: Figura 4. Imagem digital com erros Mas, se os grupos de 4 bits forem codificados (utilizado R (3) ) como palavras-código de 8 bits, os 48 bits tomam a forma: e o ruído de trasmissão aida itroduz erros: 119

120 Costrução de códigos lieares O código Marier No etato, a maioria dos erros são corrigidos pelo processo de descodificação, e a figura resultate é muito melhor do que a aterior: Figura 5. Imagem digital corrigida O código R (3) pode produzir exceletes melhorias a qualidade da figura. O código R (5) do Marier 9 pôde fazer muito melhor, mesmo com codições de trasmissão muito adversas, foi possível produzir fotografias de Marte com uma qualidade impressioate. 10

121 Coclusão 4. Coclusão Nos tempos de hoje, com o desevolvimeto da iformática e das telecomuicações, é cada vez mais comum querer guardar ou trasmitir determiada iformação em suporte digital. Como é atural, a este processo estão ieretes erros que ão podem ser evitados. A teoria de códigos, em particular o que se refere aos códigos biários, surge como resposta a uma ecessidade o desevolvimeto tecológico dos meios iformáticos. Melhorar os íveis de fiabilidade, para que as mesages que são recebidas, mesmo quado trasmitidas através de caais adversos, sejam o mais parecidas com as eviadas. A costrução de códigos melhores, eteda-se com melhor capacidade de detecção e correcção de erros evolvem a itrodução de redudâcia, pelo que há sempre um preço a pagar por esse melhor desempeho essas características. Uma aplicação extremamete iteressate, é a utilização do código Reed-Muller R (5), que permitiu obter images com uma itidez impressioate, se pesarmos que foram eviadas de Marte. A detecção e correcção de erros em códigos biários têm aplicações extremamete iteressates e importates, para além do que foi abordado esta dissertação. Pode referir-se, a título de exemplo, a utilização de códigos com capacidade de correcção de erros de acumulação, ou seja, erros que de certa forma ão estão distribuídos aleatoriamete, mas que se cocetram em locais específicos. Por exemplo, quado é riscado um compact disc. Este tipo de códigos requer cohecimetos mais sólidos de álgebra e pertecem ao grupo de códigos cíclicos que ão foram estudados este trabalho. 11

122 Bibliografia 5. Bibliografia Agudo, Dias; Itrodução à Álgebra Liear e Geometria Aalítica; Escolar Editora; 1996; Portugal; Blake, Ia; Mulli, Roald; The mathematical theory of codig; Academic Press, Ic; 1975; New York, Uited States Of America; Blake, Ia; Mulli, Roald; A itroductio to algebraic ad combiatorial codig theory; Academic Press, Ic; 1976; New York; Uited States Of America; Hill, Raymod; A First Course i Codig Theory; Claredo Press; 1986; Oxford; Uited Kigdom; Joes, Gareth; Joes, J. Mary; Iformatio ad Codig Theory; Spriger; 00; Uited States of America; Lig, Sa; Xig Chaopig; Codig Theory a first course; Cambridge Uiversity Press; 004; Uited Kigdom; Macwilliams, F; Sloae, N; TheTheory of Error-Correctig Codes; North- Hollad; 1977; Amsterdam; Netherlads; McEliece, Robert; The Theory Of Iformatio ad Codig; Cambridge Uiversity Press; 00; Cambridge; Uited Kigdom; MT365 Graphs, Networks ad Desig, Desig 3 Desig of Codes; The Ope Uiversity; 1995; Uited Kigdom; Pless, Vera; Itroductio to the Theory of Error-Correctig Codes; Wiley- Itersciece; 1989; Uited States of America; 1

123 Bibliografia Pretzel, Oliver; Error-Correctig Codes ad Fiite Fields; Claredo Press, 1989; Uited States of America; Purser, Michael; Itroductio to error-correctig codes; Artech House Publishers; 004; Uited States of America; Roma, Steve; Codig ad Iformatio Theory; Spriger; 199; Uited States of America; Roma, Steve; Itroductio to Codig ad Iformatio Theory; Spriger; 1997; Uited States of America; Togeri, Roberto; desilva, Christopher; Fudametals of Iformatio Theory ad Codig Desig; Chapma & Hall/CRC; 00; Uited States of America; Vastoe, Scott; Oorschot Paul; A Itroductio to Error Correctig Codes with Applicatios; Kluwer Academic Publishers; 1989; Uited States of America; Vitória, José; Lima, Teresa; Álgebra Liear; Uiversidade Aberta; 1998; Portugal. Welsh, Domiic; Codes ad cryptography; Claredo Press; 1988; Uited States of America; 13

124 Adré Arates Ferreira Detecção e Correcção de Erros em Códigos Biários Tese submetida à Faculdade de Ciêcias da Uiversidade do Porto para obteção do grau de Mestre em Esio da Matemática Departameto de Matemática Pura Faculdade de Ciêcias da Uiversidade do Porto Julho / 007

125 Adré Arates Ferreira Detecção e Correcção de Erros em Códigos Biários Departameto de Matemática Pura Faculdade de Ciêcias da Uiversidade do Porto Julho / 007