Análise de Variância

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1 Análise de Variância Júlio Osório Comparação de mais de duas médias No Capítulo anterior consideraram-se estudos onde se pretendiam comparar duas médias ( teste t de Student para duas amostras): : H0 µ µ Em muitas situações, o investigador precisa comparar várias médias (mais de duas) Comparar os efeitos de 5 doses de uma fitohormona sobre o crescimento em altura de plantas de buganvília: : µ µ µ µ 0 H µ Comparar os teores de cafeína de 6 marcas de chá verde: H : µ µ µ µ µ µ Nestes casos, usa-se o método da Análise de Variância (ANOVA).

2 Comparação de mais de duas médias Numa primeira tentativa de encontrar resposta para o problema proposto, seriamos tentados a realizar todas as comparações possíveis das médias dos 5 tratamentos, tomadas duas a duas, pelo método clássico do t de Student: H H H H µ µ µ 3 µ : : : : 4 µ ; H µ ; 3 H µ ; 4 H µ µ µ µ : : : 3 µ ; 3 H µ ; 4 H µ 5 µ µ µ ; 4 H µ ; Todavia, este procedimento resulta não só moroso, como também muito pouco preciso. Karl Pearson (94) demonstrou que se adoptarmos à partida um nível de significância nominal α, a probabilidade de se cometer o erro de tipo I quando se utilizam múltiplos testes t para encontrar diferenças entre todos os pares possíveis de um número k de médias é sempre superior a α, e tanto mais elevado quanto maior for k. 0 0 : : 5 0 : µ µ 5 0 testes t de Student para comparar 5 médias! Comparação de mais de duas médias Por exemplo, no nosso caso concreto, se pretendêssemos comparar as 5 médias adoptando um nível de significância nominal α0.05, teríamos para o conjunto dos 0 testes t de Student um nível de significância real de 0.3! Número de médias a comparar (k) Nível de significância nominal α0.05 α0.0 α

3 Comparação de mais de duas médias Para se testarem hipóteses do tipo: H H 0 : µ µ... µ : Nem todasas k s são iguais utiliza-se o procedimento estatístico da Análise de Variância, que deve o seu nome e muito do seu desenvolvimento inicial a R.A. Fisher, e para o qual J.W. Tukey propôs o acrónimo de ANOVA (de ANalysis Of VAriance ). µ i µ k ANOVA: Generalidades O investigador controla uma ou mais de uma variáveis independentes Essas variáveis chamam-se factores Cada uma delas pode apresentar dois ou mais níveis O investigador observa/mede os efeitos na variável dependente Resposta aos níveis da variável independente Delineamento Experimental: é o plano (ou esquema) utilizado para testar as hipóteses 3

4 ANOVA: Generalidades Análise de Variância Factor Único Vários Factores ANOVA Unifactorial ANOVA Multifactorial ANOVA: Premissas A validade dos resultados da ANOVA pressupõe que os dados cumpram as seguintes condições: Independência e aleatoriedade dos erros (Seleccionam-se amostras aleatórias das populações). As populações devem ter distribuição normal. As populações devem ter variâncias iguais (homogéneas). 4

5 ANOVA Unifactorial Serve para testar a igualdade de duas ou mais (k) médias populacionais. Variáveis: Uma variável independente (um factor) medida em escala nominal. Uma variável independente medida em escala de intervalo ou de razão. Dois ou mais (k) níveis ou modalidades no factor Utiliza-se para analizar os resultados dos delineamentos completamente casualizados. ANOVA Unifactorial: Exemplo Fez-se um estudo destinado a comparar o teor de cafeína de seis marcas comerciais de chá verde (Lipton, Tetley, Gorreana, Twinings, Delta e Ahmad). Quatro pacotes de chá verde de cada uma das 6 marcas foram analisados para a quantificação da cafeína. Questão: Há evidência para sustentar, ao nível de 5%, que existem diferenças significativas entre os teores médios de cafeína das seis marcas de chá verde? 5

6 ANOVA Unifactorial: Exemplo Teores de cafeína em seis marcas de chá verde Marca de chá verde Pacote Lipton Tetley Gorreana Twinings Delta Ahmad Só há um FACTOR (Variável Independente), que é a MARCA DE CHÁ VERDE. O FACTOR único apresenta 6 NÍVEIS (as 6 marcas de chá), denominadas TRATAMENTOS. A RESPOSTA (Variável Dependente) é o TEOR DE CAFEÍNA. ANOVA Unifactorial: Hipóteses H 0 : µ µ µ 3... µ k As médias das k populações são iguais Não há efeito dos tratamentos f(x) µ µ µ 3 X H : Nem todas µ j s são iguais Pelo menos uma média é diferente das outras Há efeito dos tratamentos É incorrecto dizer µ µ... µ k f(x) µ µ µ 3 X 6

7 ANOVA Unifactorial: Cálculo Compara dois tipos de variação para testar a igualdade das médias. A comparação faz-se com base na razão de duas variâncias. Se a variação devida aos tratamentos exceder a variação aleatória, conclui-se que as médias não são todas iguais. As fracções de variação devidas ao efeito dos tratamentos e aos efeitos aleatórios (erro experimental) obtêm-se decompondo a variação total dos dados. ANOVA Unifactorial: Cálculo Variação total Variação devida a tratamentos Soma dos quadrados dos tratamentos Soma dos quadrados entre os grupos + Variação aleatória (erro experimental) Soma dos quadrados do erro Soma dos quadrados dentro dos grupos 7

8 ANOVA Unifactorial: Cálculo ( Total ) ( X X ) + ( X X ) + K + ( X ) Resposta, X X ij X X Grupo Grupo Grupo 3 Desvios de todos os dados relativamente à média global do estudo ANOVA Unifactorial: Cálculo Resposta, X ( X X ) + n ( X X ) + + n ( X ) (trat.) n K k k X X 3 X X X Grupo Grupo Grupo 3 Desvios das médias dos tratamentos relativamente à média global do estudo 8

9 (erro) ANOVA Unifactorial: Cálculo ( X X ) + ( X X ) + K + ( X ) Resposta, X kn X k X 3 X X Grupo Grupo Grupo 3 Desvios dos dados de cada grupo relativamente à média do próprio grupo ANOVA Unifactorial: Cálculo Graus de Liberdade Totais (N-) Graus de Liberdade dos Tratamentos (k-) + Graus de Liberdade do (N-k) k nº de tratamentos (grupos) n nº de dados em cada grupo N nº total de dados no estudo k.n 9

10 ANOVA Unifactorial: Cálculo O critério do teste é o estatístico F, que é a razão de duas variâncias (ou Quadrados Médios, QM s), a dos tratamentos (QM Tratamentos ) e a do erro (QM ): QM QM Tratamentos Gl Gl Tratamentos Tratamentos : k Tratamentos N k F QM QM Tratamentos amostra, com k- graus de liberdade N k Teste F ANOVA Unifactorial: Cálculo Critério: Se H 0 fôr verdadeira (µ i s todas iguais), então FQm trat /QM erro. Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 α Rejeitar H 0 se F amostra fôr elevado, isto é se: F amostra ( k ) F α N k 0 F F α ( k, N k) Este teste é sempre unilateral! 0

11 ANOVA Unifactorial: Cálculo Quadro ANOVA Origem da Variação Graus de Liberdade Soma dos Quadrados dos Desvios Quadrado Médio (Variância) Tratamentos k - trat. QM trat trat /(k - ) N - k erro QM erro Total - trat erro /(N - k) F QM trat QM erro Total N - Total ANOVA Unifactorial: Exemplo Teores de cafeína em seis marcas de chá verde Lipton Tetley Gorreana Twinings Delta Ahmad Totais n i T i Σx ij

12 ANOVA Unifactorial: Exemplo Cálculo do Termo de Correcção (TC) e do Somatório dos Quadrados dos Desvios Total ( TOTAL ) TC T N ,375 GL TOTAL 6 4 TOTAL i j X 4 3 ij TC ,375 79,65 ANOVA Unifactorial: Exemplo Cálculo Somatório dos Quadrados dos Desvios dos Tratamentos ( Tratamentos ) GL i 6 Tratamentos i Tratamento Tratamentos Ti ni s TC ,375,375

13 ANOVA Unifactorial: Exemplo Cálculo Somatório dos Quadrados dos Desvios do ( ) GL 79,65,375 57, TOTAL Tratamento s ANOVA Unifactorial: Exemplo Cálculo do Quadrado Médio dos Tratamentos (QM Tratamentos ) e do Quadrado Médio do (QM ) QM Tratamentos GL Tratamentos Tratamentos, ,475 QM GL 57,5 8 3,8 3

14 ANOVA Unifactorial: Exemplo Cálculo do valor amosstral de F (F amostra ) F amostra QM QM Tratamentos 4,475 3,8 7,695 0,77 ANOVA Unifactorial: Exemplo H 0 : µ µ µ 6 H : Nem todas µ i s são iguais α 0,05 F GL 5 GL 8 Valor Crítico: α 0,05 F Estatístico F: amostra Decisão: QM QM Rejeitar H 0 a α 0,05 Conclusão: Tratamentos 4,475 7,695 3,8 Há evidência para concluir que o teor médio de cafeína não é igual em todas as marcas de chá verde. 4

15 ANOVA Unifactorial: Exemplo Tabela do F de Snedecor F 0,05 (5/8),77 ANOVA Unifactorial: Exemplo O cômputo da Análise de Variância costuma ser sistematizado e apresentado numa tabela, conhecida por Quadro ANOVA, onde se materializa a decomposição da Soma dos Quadrados dos Desvios Total e do Número Total de Graus de Liberdade. Quadro ANOVA Origem da variação Entre grupos (Marcas de chá) GL QM F amostra F α α0.05 α0.0 α0.00 5,375 4,475 7,694 (***),77 4,5 6,8 Dentro dos 8 57,50 3,8 grupos () TOTAL 3 79,65 5

16 Conclusões: ANOVA Unifactorial: Exemplo Há diferenças significativas entre as seis marcas de chá verde no que ao teor de cafeína diz respeito. Para esclarecer quais as marcas que têm idêntico valor para o teor médio de cafeína e quais diferem a esse respeito, tem que se realizar testes pós-anova para comparações múltiplas de médias. Dentre os vários testes pós-anova descritos na literatura, serão abordados aqui o Teste de Student- Neuman-Keuls (Teste S-N-K) e o Teste de Tukey. ANOVA Unifactorial: Exemplo Médias ordenadas por ordem crescente de grandeza Tratamentos Tetley Delta Ahmad Twinings Lipton Gorreana QM 3,8 Médias 37,00 38,5 38,5 39,75 40,50 0,8944,00 n 4 Teste de Student-Newman- Keuls (S-N-K) Comparação Diferença p q0.05(p,8) -padrão AMS p Significância Gorreana vs. Tetley 7,00 6 4,49 0,89 4,0 * Gorrena vs. Delta 5,75 5 4,8 0,89 3,8 * Gorreana vs. Ahmad 5,75 4 4,00 0,89 3,57 * Gorreana vs. Twinings 4,5 3 3,6 0,89 3,5 * Gorrena vs. Lipton 3,50,97 0,89,65 * Lipton vs. Tetley 3,50 5 4,8 0,89 3,8 ns Lipton vs. Delta,5 4 4,00 0,89 3,57 ns Lipton vs. Ahmad,5 3 3,6 0,89 3,5 ns Lipton vs. Twinings 0,75,97 0,89,65 ns Twinings vs. Tetley,75 4 4,0 0,89 3,57 ns Twinings vs. Delta,50 3 3,6 0,89 3,5 ns Twinings vs. Ahmad,50,97 0,89,65 ns Ahmad vs. Tetley,5 3 3,6 0,89 3,5 ns Ahmad vs. Delta 0,00,97 0,89,65 ns Delta vs. Tetley,5,97 0,89,65 ns * médias significativamente diferentes ao nível de 5%, porque a sua diferença excede a Amplitude Mínima Significativa (AMS). ns médias não significativamente diferentes ao nível de 5%, porque a sua diferença é inferior à Amplitude Mínima Significativa (AMS). 6

17 ANOVA Unifactorial: Exemplo Tabela dos Testes S-N-K e Tukey Amplitudes Studentizadas para GL erro 8 e α0,05 ANOVA Unifactorial: Exemplo Apresentação do Resultado do Teste S-N-K Marca de chá Gorreana Média 44,00 a Grupos de Significância Lipton 40,50 b Twinings 39,75 b Ahmad 38,5 b Delta 38,5 b Tetley 37,00 b Médias que partilham letras no grupo de significância não são significativamente diferentes! 7

18 ANOVA Unifactorial: Exemplo Apresentação do Resultado do Teste S-N-K Tetley (37,00) Delta (38,5) Ahmad (38,5) Twinings (39,5) Lipton (40,50) Gorreana (44,00) Médias unidas por um mesmo traço não são significativamente diferentes! Gorreana tem mais cafeína que todas as ouras marcas As outras marcas não diferem entre si ANOVA Unifactorial: Exemplo Médias ordenadas por ordem crescente de grandeza Tratamentos Tetley Delta Ahmad Twinings Lipton Gorreana Médias 37,00 38,5 38,5 39,75 40,50 44,00 Teste de Tukey Comparação Diferença p q0.05(p,8) -padrão AMS p Significância Gorreana vs. Tetley 7,00 6 4,49 0,89 4,0 * Gorrena vs. Delta 5,75 5 4,49 0,89 4,0 * Gorreana vs. Ahmad 5,75 4 4,49 0,89 4,0 * Gorreana vs. Twinings 4,5 3 4,49 0,89 4,0 * Gorrena vs. Lipton 3,50 4,49 0,89 4,0 ns Lipton vs. Tetley 3,50 5 4,49 0,89 4,0 ns Lipton vs. Delta,5 4 4,49 0,89 4,0 ns Lipton vs. Ahmad,5 3 4,49 0,89 4,0 ns Lipton vs. Twinings 0,75 4,49 0,89 4,0 ns Twinings vs. Tetley,75 4 4,49 0,89 4,0 ns Twinings vs. Delta,50 3 4,49 0,89 4,0 ns Twinings vs. Ahmad,50 4,49 0,89 4,0 ns Ahmad vs. Tetley,5 3 4,49 0,89 4,0 ns Ahmad vs. Delta 0,00 4,49 0,89 4,0 ns Delta vs. Tetley,5 4,49 0,89 4,0 ns * médias significativamente diferentes ao nível de 5%, porque a sua diferença excede a Amplitude Mínima Significativa (AMS). ns médias não significativamente diferentes ao nível de 5%, porque a sua diferença é inferior à Amplitude Mínima Significativa (AMS). 8

19 ANOVA Unifactorial: Exemplo Apresentação do Resultado do Teste de Tukey Marca de chá Gorreana Média 44,00 a Grupos de Significância Lipton 40,50 a b Twinings 39,75 b Ahmad 38,5 b Delta 38,5 b Tetley 37,00 b Médias que partilham letras no grupo de significância não são significativamente diferentes! ANOVA Unifactorial: Exemplo Apresentação do Resultado do Teste de Tukey Tetley (37,00) Delta (38,5) Ahmad (38,5) Twinings (39,5) Lipton (40,50) Gorreana (44,00) Médias unidas por um mesmo traço não são significativamente diferentes! Lipton ocupa uma posição charneira entre Gorreana e as restantes marcas., O Teste de Tukey é mais conservador que o S-N- K! 9

20 ANOVA Multifactorial Há vários (dois ou mais) factores ou variáveis independentes. Cada um deles pode ter dois ou mais níveis. A análise estatística é uma ANOVA a vários critérios de classificação dos dados. Como exemplo, considera-se o caso mais simples: o dos delineamentos factoriais duplos. Poupam tempo e trabalho, e enriquecem a pesquisa: Num só empreendimento experimental, obtém-se a informação que só se conseguiria realizando dois ensaios separados, um para cada factor individual. Permitem controlar os efeitos de factores secundários que, introduzindo variação espúria nos resultados, dificultam a comparação dos efeitos do factor de interesse primordial. Possibilitam a análise das interacções entre factores. ANOVA Multifactorial: Cálculo Variação devida ao factor A + Variação Total Variação devida ao factor B + Variação devida à interacção de A com B + Variação aleatória (erro experimental) 0

21 ANOVA Multifactorial: Cálculo Graus de liberdade do factor A (a-) + Graus de liberdade totais (N-) Graus de liberdade do factor B (b-) + Graus de liberdade da interacção de A com B [(a-)(b-)] + Graus de liberdade do erro(n-ab) ANOVA Multifactorial: Cálculo Neste caso, há lugar ao cálculo de três estatísticos F, um relativo ao factor A, outro ao factor B e outro para a interacção A x B: F QM QM A A amostra, com a- graus de liberdade N ab F QM QM B B amostra, com b- graus de liberdade N ab Rejeitar a H 0 da igualdade dos efeitos dos níveis de A se: F A amostra ( a ) F α N ab Rejeitar a H 0 da igualdade dos efeitos dos níveis de B se: F B amostra ( b ) F α N ab F AB amostra com QM QM AB, ( a )(. b ) graus de liberdade N ab Rejeitar a H 0 da inexistência de interacção se: ( a. )( b ) amostra α F AB F N ab

22 ANOVA Multifactorial: Exemplo No decurso de um estudo sobre os efeitos da solução de lavagem e do tipo de forno utilizado sobre a remoção térmica da pele dos amendoins, foram testados três tipos de solução de lavagem (cloreto de potássio, cloreto de sódio e água) e três tipos de forno (forno de convecção, forno de microondas e forno convencional). Cada combinação solução-tipo de forno foi testada em três lotes de amendoim (três repetições de cada tratamento ), tendo-se registado como variável de resposta a percentagem de amendoins descascados observada em cada caso. Questões: Há evidência nos dados para se concluir, ao nível de 5%, que o efeito da solução de lavagem sobre a percentagem de amendoins descascados varia com o tipo de forno utilizado? Que conclusões se podem tirar para os diversos tipos de solução e de forno? ANOVA Multifactorial: Exemplo Solução de Lavagem Convecção Forno Microondas Convencional Total KCl Σ NaCl Σ H O Σ Total

23 ANOVA Multifactorial: Exemplo Decomposição de Total e GL Total Forno GL Forno Subgrupos Solução GL Solução Interacção GL Interacção GL ANOVA Multifactorial: Exemplo Cálculo do Termo de Correcção (TC) e do Somatório dos Quadrados dos Desvios Total ( TOTAL ) TC T N ,37 GL TOTAL TOTAL i j k 7 6 X ijk TC 33054, 7445, ,85 3

24 ANOVA Multifactorial: Exemplo Cálculo dos Somatórios dos Quadrados dos Desvios dos Subgrupos ( Subgrupos ) e do ( ) GL Subgrupos Subgrupos a bt 3x3 8 ij. n 0,9 + 0, , TC 7445,37 539,077 3 GL Total ab..( n ) 3.3.(3 ) 8 Subgrupos 5608,85 539,077 89,773 ANOVA Multifactorial: Exemplo Cálculo dos Somatórios dos Quadrados dos Desvios dos Factores A ( A ) e B ( B ), e da respectiva Interacção ( AB ) GL A T a 583, 6, 659,8 i TC 7445,37 333,303 A bn. 3.3 a 3 b T GL B B 668,0 475,0 7,0. j. + + TC 7445,37 353,630 an. 3.3 b 3 GLAB AB Subgrupos ( a ).( b ) (3 ).(3 ) 4 A B 539, , , ,44 4

25 ANOVA Multifactorial: Exemplo Quadro ANOVA Origem da variação GL QM Famostra α0.05 α0.0 α0.00 SUBGRUPOS 8 539, ,885 4,30 (***),5 3,7 5,76 Fα A (solução) B (forno) AxB (solução x forno) 333,303 66,65 0,35 (**) 3,56 6,0 0,39 353, ,85 09,69 (***) 3,56 6,0 0, ,44 363,536,58 (***),93 4,58 7,46 ERRO 8 89,773 6,099 TOTAL ,850 ANOVA Multifactorial: Exemplo Conclusões: Tanto a solução de lavagem como o tipo de forno utilizado tiveram efeitos significativos sobre o rendimento do processo de remoção da casca dos amendoins. Há evidência suficiente nos dados para se poder concluir a existência de uma interacção significativa destes dois factores. A interacção significativa significa, neste caso, que a resposta da percentagem de amendoins descascados às soluções de lavagem testadas varia com o tipo de forno utilizado (ou que a resposta ao tipo de forno variou com a solução empregue na lavagem dos amendoins). Uma maneira expedita de examinar a interacção consiste em fazer representações gráficas das médias dos subgrupos (eixo das ordenadas) em função dos níveis dos dois factores ( Gráficos de Perfil da Resposta). 5

26 ANOVA Multifactorial: Perfil da Resposta. Se as linhas fossem sensivelmente paralelas, isso sugeriria a não existência de interacção.. Não o sendo visivelmente, podemos concluir que o padrão de resposta da % de descascados às soluções variou com o tipo de forno a interacção solução x forno é significativa. ANOVA Multifactorial: Perfil da Resposta. Se as linhas fossem sensivelmente paralelas, isso sugeriria a não existência de interacção.. Não o sendo visivelmente, podemos concluir que o padrão de resposta da % de descascados ao tipo de forno variou com a solução de lavagem a interacção solução x forno é significativa. 6

27 ANOVA Multifactorial: Perfil da Resposta Tipo de forno Resultados do Teste de Tukey para Soluções Fazendo uma ANOVA a um critério em separado para os dados de cada tipo de forno, seguida do Teste de Tukey, podemos confirmar estes factos:. No forno de convecção, obtiveram-se melhores resultados com água e NaCl.. No forno de microondas, obtiveram-se melhores resultados com água. 3. No forno convencional, a água mostrou um desempenho intermédio entre KCl e NaCl. Convecção Microondas Convencional KCl H O NaCl KCl NaCl H O NaCl H O KCl 7

28 BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS Júlio Osório Blocos Completos Casualizados Exemplo Efeitos de 4 dietas (A, B, C e D) sobre os acréscimos de peso em porquinhos-da-india. 5 animais/dieta em bom estado físico e com a mesma idade. O ensaio em vivário, animais em gaiolas individuais situadas sobre bancadas. Condições ambientais de luz, temperatura, humidade, ruído, etc. não eram homogéneas na estufa, e podem ter inflência sobre os acréscimos de peso dos animais. Constituiídos 5 blocos de unidades experimentais, isto é, 5 grupos de porquinhos-da-india. Cada bloco de animais consiste de 4 porquinhos-da-india, um para cada uma das 4 dietas. As 4 gaiolas de cada bloco foram arrumadas em posições vizinhas sobre a bancada do laboratório, e distribuíram-se os 5 blocos pela bancada por forma a corresponderem tanto quanto possível a diferentes condicionalismos ambientais. Considera-se que todos os membros de um mesmo bloco se encontram em idênticas condições, excepto no tocante, com é óbvio, à dieta alimentar. A atribuição da dieta a cada um dos indivíduos de um bloco foi feita por um processo aleatório.

29 Blocos Completos Casualizados Características Plano do ensaio e acréscimos de peso dos porquinhos-da-india ao fim do período de experiência. Bloco Bloco Bloco 3 Bloco 4 Bloco 5 C. A.4 C.4 D.3 A.4 D.3 C. B. B 3.0 D.5 A.5 B.9 D. A. C.5 B.7 D.0 A.4 C.0 B 3.3 Blocos Completos Casualizados Utilização Situações em que se suspeita ou se sabe à partida que certas unidades experimentais, tratadas de forma idêntica, responderão de forma diferente aos tratamentos: nos ensaios de campo, parcelas de terreno contíguas tendem a responder de forma mais semelhante que parcelas afastadas; os animais mais pesados de um grupo de animais com a mesma idade tendem a exibir uma taxa de acréscimo de peso distinta da dos animais mais leves; medições feitas no mesmo dia com um certo equipamento tendem a ser mais homogéneas que as feitas com o mesmo equipamento noutro dia; um lote de análises bioquímicas (envolvendo várias manipulações) tende a produzir resultados mais homogéneos quando é executado mesmo analista do quando o é por vários analistas.

30 BCC: Exemplos de Factores que integram os Blocos Variável Perturbadora Unidade Experimental Gradiente de fertilidade Gradiente de humidade Diferenças no declive Composição do solo Orientação do Sol Fluxo de ar Distribuição do calor Idade Densidade local Género Idade Sócio-demografia Parcela de Terreno Localização na estufa Árvore Pessoa BCC: Regras para a implementação dos Blocos A fiabilidade da análise depende muito da forma como se constituem os Blocos: Com parcelas de terreno, os Blocos devem ficar perpendiculares ao gradiente do factor de perturbação que se quer controlar. Utilizam-se áreas de bordadura (isto é, de excusão) de tamanho apropriado para eliminar as interferências de parcelas vizinhas (isto é, para assegurar a independência das respostas), tanto entre como dentro dos blocos. O grande princípio é maximizar a homogeneidade dentro dos Blocos e, ao mesmo tempo, maximizar a heterogeneidade entre os Blocos. 3

31 BCC: Exemplo incorrecto Gradiente de humidade T T T5 T3 T4 T4 T T3 T5 T T T5 T T4 T3 T3 T4 T T T5 Efeitos dos tratamentos confundidos com efeitos da humidade! BCC: Exemplo correcto T T3 T5 T4 T Gradiente de humidade T5 T T3 T T4 T3 T T4 T5 T T4 T5 T T T3 O efeito do Bloco remove agora o efeito da humidade, possibilitando comparações correctas entre tratamentos!. 4

32 BCC: Vantagens e Desvantagens Vantagens: Permite controlar uma única fonte estranha de variação e remover o seu efeito da estimativa do erro experimental. Assegura maior flexibilidade no planeamento da experiência. Assegura maior flexibilidade na implementação e administração da experiência. Desvantagens: Geralmente inadequado quando há um número elevado de tratamentos, devido a eventual impossibilidade de assegurar a homogeneidade dentro dos Blocos. Problemas sérios com a análise se existir de facto uma interacção entre o factor em Blocos e os tratamentos, e não se tenha previsto a replicação dentro dos Blocos (solução: usar replicação dentro dos blocos quando possível). ANOVA em BCC: Cálculo Variação devida ao factor Blocos + Variação Total Variação devida ao factor Tratamentos + Embora haja factores (Blocos e Tratamentos), não se pode calcular a interacção! Variação aleatória (erro experimental) 5

33 ANOVA em BCC: Cálculo Graus de liberdade de Blocos (a-) + Graus de liberdade totais (ab-) Graus de liberdade de Tratamentos (b-) + Graus de liberdade do erro (a-). (b-) ANOVA em BCC: Cálculo TC T.. axb ν TOTAL b a TOTAL Y ij axb TC ν Blo cos Blo cos b b. j T a TC ν Tratamento s Tratamento s a a i. T TC b ν Total (a )x (b ) Blo cos Tratamento s 6

34 ANOVA em BCC: Cálculo Organizar os dados numa tabela Blocos x Tratamentos: Blocos A Dietas B C D T.j TC x T i TOTAL ν TOTAL ν TC x ( 4 )x( 5 ) ν Tratamento ν s Tratamento. s ( 4 )x( 5 ) TC ANOVA em BCC: Cálculo QUADRO ANOVA F α Origem da variação GL QM F amostra α0.05 α0.0 α0.00 Blocos (ns) Tratamentos (Dietas) (***) ERRO TOTAL Decisão e Conclusão: Rejeitar H 0. Conclui-se que existe uma diferença muito altamente significativa entre os ganhos médios de peso produzidos pelas 4 dietas ensaiadas. 7

35 BCC: Organização em Blocos e Controlo da Variação Espúria O interesse principal do investigador é comparar ganhos médios de peso alcançados com as quatro dietas. A variação que a heterogeneidade das condições ambientais introduz nos ganhos de peso representa uma fonte de variação estranha ao objectivo do ensaio (variação espúria). A menos que o investigador a consiga controlar, esta variação tem potencial para sobrepôr-se à das dietas, mascarando as eventuais diferenças entre dietas. Como consequência disto, há uma probabilidade elevada de se concluir (erroneamente) que não há diferença entre os efeitos das dietas, quando na realidade elas estão presentes no ensaio! Em teoria, comparações rigorosas só poderiam ser feitas se ele instalassem os animais sujeitos às quatro dietas num ambiente perfeitamente homogéneo. 8