Vamos começar com a equação do cilindro condutor (equação (14) da aula 9):

Transcrição

1 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Propagação do Potencal de Ação ao Longo do Axôno Os experentos orgnas de Hodgkn e Huxley que os levara ao seu odelo era realzados e condções de grapeaento de voltage. E tal stuação experental, e que a voltage é antda fxa por toda a duração do experento, não é possível observar u potencal de ação. Poré, quando se elna a condção de grapeaento de voltage e se excta o axôno aca do lar para geração de u potencal de ação, o que se observa é a ocorrênca de u potencal de ação que se propaga do ponto e que o estíulo fo provocado para outras regões ao longo do axôno. A propagação de u potencal de ação ao longo de u axôno pode ser odelada cobnando-se o odelo do clndro condutor (equação (14) da aula 7) co as equações do odelo de Hodgkn-Huxley para a geração de u potencal de ação. O odelo resultante pode ser consderado coo u odelo do cabo não-lnear (para dferencar do cabo passvo, lnear, vsto na aula 7). Os própros Hodgkn e Huxley fora os preros, anda e 195, a acoplar os dos odelos e a, pondo ua solução de tpo onda, resolver as equações resultantes para ostrar que elas plca na propagação de u potencal de ação ao longo do cabo. A propagação de u potencal de ação ao longo de u axôno (ou de u dendrto) tabé pode ser estudada coputaconalente co o uso da abordage copartental de Rall vsta na aula passada, as a abordage seguda por Hodgkn e Huxley, alé de ter sdo a prera a ser usada para se estudar esse problea, oferece ua elhor oportundade de entendento sobre alguns pontos portantes. aos coeçar co a equação do clndro condutor (equação (14) da aula 9): z = ( r + r ) K r K. e e e (1) aos, as ua vez, consderar que a resstênca específca por undade de coprento do eo externo à célula é uto enor que a resstênca específca por undade de coprento do eo nterno, r e << r. Co esta aproxação, podeos escrever, 1

2 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 z = Nesta equação, K é a corrente de ebrana por undade de coprento flundo do eo nterno para o externo (undades: µa/c). Podeos escrever esta corrente por undade de coprento e teros da corrente de ebrana por undade de área, ou densdade de corrente J (undades: µa/c ) coo (reveja as notas de aula sobre crcutos elétrcos), onde a é o rao do cabo. r K ( ) J, () K = πa (3) Substtundo (3) e () e re-arranjando os teros, obteos 1 πar z Podeos agora substtur nesta equação a equação para J do odelo de Hodgkn-Huxley (veja a aula 4), obtendo = J. (4) = C + g Na h Na k z t πar ( E ) + g n ( E ) + g ( E ). K (5) Esta equação dferencal parcal não-lnear, e conjunto co as três equações que descreve a dnâca das varáves, h e n e condções ncas e de contorno apropradas, consttu o odelo copleto para a geração e propagação de u potencal de ação e u axôno, cobnando o odelo de Hodgkn-Huxley co a teora do cabo. Esse tpo de equação não possu solução analítca geral e te que ser resolvda nuercaente. Coo Hodgkn e Huxley só dspunha de u coputador de esa operado a ão, eles não poda resolvê-la dretaente. O que eles fzera então fo ntroduzr ua hpótese a as no odelo. Hodgkn e Huxley observara que u potencal de ação se propaga pelo axôno pratcaente se alterar sua fora e co ua velocdade v constante. Sendo ass, eles postulara que a solução para a equação (5) deve descrever ua onda que se propaga co velocdade constante na dreção postva de z.

3 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Desta fora, pode ser escrta coo (veja a fgura abaxo), ( z, t) = f ( z vt). Toando as dervadas parcas segundas de e relação a z e a t e usando a regra da cadea, pode-se ostrar que satsfaz a equação de onda, ( z, t) 1 = z v ( z, t). t Substtundo esta equação e (5), obteos a segunte equação dferencal ordnára, = C + g Na h Na k K dt dt πar v d d ( E ) + g n ( E ) + g ( E ). (6) (7) Esta é ua equação be as fácl de ser resolvda nuercaente que a equação (5), as a sua solução requer u valor para a velocdade de propagação v. Coo Hodgkn e Huxley não saba o valor de v, eles tvera que usar u processo teratvo de tentatva e erro para encontrar este valor. O processo fo o segunte: u valor de v era proposto e, co este valor, a equação (7) a sendo terada nuercaente para valores de t a partr de t = 0. Hodgkn e Huxley quera ua solução (z, t) estável, sto é, que fosse ltada. Dessa fora, sepre que e algu passo de tepo a solução dverga, eles parava todo o processo, escolha u novo valor de v e recoeçava todo o processo. 3

4 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Após u processo laboroso e deorado, eles consegura obter ua solução (z,t) estável e pudera deternar o valor v = 19,74 /s. Este valor de v dfere por enos que 10% do valor experental de 1, /s para a velocdade de propagação do potencal de ação no axôno ggante de lula. Ua conseqüênca da equação (7) é que ela perte estabelecer a dependênca funconal entre a velocdade de propagação e o rao do axôno. Lebrando da aula 7, podeos escrever r = ρ /A = ρ /πa, onde ρ é a resstvdade do eo nterno e A é a área da seção reta do cabo. Usando esta expressão e dvdndo todos os teros da equação (7) por C, obteos a ρ v C d dt d = dt J + C onde escreveu-se a densdade de corrente ônca coo J on porque não vaos precsar da expressão ntera aqu. Nesta expressão, tanto J on coo C são grandezas específcas dadas e teros de ua área untára da ebrana. Portanto, a razão entre elas não depende do rao da fbra. Da esa fora, a voltage de ebrana e suas dervadas on, teporas tabé não depende do rao. Isto plca que o tero a ρ v C não pode depender de a. Assundo que ρ e C não depende de a, a únca possbldade é que a e v esteja relaconados por, v a. (8) Segundo este resultado, a velocdade de propagação de u potencal de ação e ua fbra deselnzada é proporconal à raz quadrada do rao da fbra. Esta prevsão do odelo é aproxadaente válda para neurônos reas. Ela plca que para se reduzr pela etade o tepo de propagação de u potencal de ação entre o ponto de geração no soa e a extredade do axôno deve-se auentar o rao do axôno por u fator 4. Este é u custo uto alto para a aora dos neurônos, e é por sso que a solução encontrada pela bologa para que haja ua councação rápda entre neurônos consste e revest-los co ua capa solante de elna co apenas alguns pontos (os nodos de Ranver) deselnzados (veja as adante porque). 4

5 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Mas de dez anos depos do trabalho de Hodgkn-Huxley, e 1965, Cooley, Dodge e Cohen resolvera nuercaente (usando u IBM 7094) a equação dferencal parcal copleta (equação 5). A fgura abaxo (retrada do lvro de Koch lstado na Bblografa) ostra a solução obtda para u axôno de 5 c de coprento estulado por u pulso de corrente supralar e ua de suas extredades. O pulso gera u potencal de ação que se propaga pelo axôno e a fgura ostra esse potencal de ação e três posções dferentes do axôno: z = 0, z = c e z = 3 c. Note que, quando a voltage e z = 0 atnge seu pco (o pco do prero potencal de ação) a voltage e z = c está coeçando a crescer de fora exponencal. Isso é causado pelo chaado crcuto de corrente local, ou seja, por parte da corrente ônca que entra na célula e z = 0 e que se propaga para as regões vznhas do axôno, causando despolarzações nessas regões. Outra conseqüênca dessa fuga de corrente é que ela faz co que a apltude do pulso de corrente necessára para gerar pelo enos u potencal de ação e z = 0 tenha que ser aor do que no caso do odelo de Hodgkn-Huxley para ua célula sopotencal vsto na aula 6. A fgura tabé ostra a resposta do potencal da ebrana (curva tracejada) quando a apltude do pulso de corrente é reduzda pela etade. Esse valor do pulso de corrente não consegue gerar u potencal de ação e a despolarzação provocada e z = 0 é forteente atenuada à edda que z auenta. 5

6 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 A fgura abaxo (adaptada do lvro de Hlle (199), lstado na Bblografa) lustra as correntes do crcuto local, que se espalha a partr do ponto de ocorrênca do potencal de ação para regões vznhas nos dos lados do axôno, eventualente despolarzando-as aca do lar. Coo não há qualquer ansotropa ntrínseca e u axôno, u potencal de ação pode ser gerado e qualquer ponto dele e, e seguda, se propagar para os dos lados do axôno. Note que, por causa do período refratáro depos de u potencal de ação (devdo ao período e que a ebrana fca altaente hperpolarzada após a geração do potencal de ação, que só terna quando as bobas de sódo-potásso restabelece as concentrações ôncas orgnas), se dos potencas de ação estvere se propagando e sentdos contráros e u axôno, quando eles coldre eles se anqularão, sto é, não passarão u pelo outro coo ondas nua corda ou ondas eletroagnétcas. Há dos tpos de axônos, os recobertos por ua caada solante chaada de banha de elna e os que não são. O axôno ggante de lula, ass coo os axônos da aora dos neurônos de nvertebrados, não é recoberto pela banha de elna (dzeos que ele é deselnzado). Por outro lado, a aora dos axônos dos neurônos de vertebrados é recoberta por váras caadas de tecdo predonanteente lpídco produzdo por células glas (olgodendróctos, no caso de células do sstea nervoso central e células de Schwann, no caso do sstea nervoso perférco), que consttue a chaada banha de elna. Ua característca da banha de elna é que ela é nterropda a ntervalos regulares ao longo do axôno pelos chaados nodos de Ranver (veja a fgura a segur), que são pontos deselnzados onde a ebrana axonal fca e contato dreto co o eo extracelular. 6

7 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 As regões dos nodos de Ranver tê ua alta concentração de canas de sódo rápdo. Isto, cobnado co o fato de que as regões nternodas pratcaente pede a passage de corrente através da ebrana ao longo de suas extensões, faz co que a propagação de potencas de ação e axônos revestdos por banha de elna seja descontínua. Os potencas de ação salta de u nó para outro e, por sso, a condução é chaada de saltatóra. Ua fgura esqueátca ostrando coo as correntes do crcuto local se coporta no caso de ua fbra recoberta pela banha de elna está dada abaxo. Estudos eletrofsológcos e faracológcos ostra que, e aíferos, a dstrbução dos canas ôncos de sódo e potásso ao longo da ebrana dos axônos elnzados dos seus neurônos é noogênea e segregada. Os canas de sódo estão as concentrados nas regões dos nodos de Ranver e os canas de potásso estão dstrbuídos ao longo dos espaços nternodas. A conseqüênca dsso é que as correntes ôncas responsáves pelos potencas de ação e axônos elnzados de aíferos são apenas a corrente transente de sódo e a corrente de vazaento (veja o lvro de Wess, ctado na Bblografa). 7

8 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Já e nvertebrados, cujas fbras são deselnzadas, e e vertebrados não aíferos, cujas fbras são elnzadas, os potencas de ação são governados pelas três correntes usuas do odelo de Hodgkn-Huxley (sódo, potásso e vazaento). A fgura abaxo (ua ontage de fguras do artgo ctado) ostra potencas de ação regstrados e nodos de Ranver de axônos elnzados de coelho e de sapo, co seus respectvos odelos teórcos baseados nas correntes de Hodgkn-Huxley. Os potencas regstrados (A) são uto parecdos, as eddas de grapeaento de voltage (co a corrente de vazaento suprda) ndca que os nodos de Ranver do coelho pratcaente não tê correntes de potásso retfcador (B). Observe tabé que a cnétca do sódo é as rápda no coelho do que no sapo. Os odelos à la Hodgkn-Huxley para os potencas de ação no nodo de Ranver nos dos casos (C) ndca que o potencal de ação do coelho pode ser ftado co apenas duas correntes, sódo e vazaento. Já o potencal de ação do sapo requer a corrente de potásso retfcador alé dessas duas. 8

9 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 Ua conseqüênca do fato de que os nodos de Ranver dos axônos dos neurônos de aíferos não tê corrente retfcadora de potásso é que os seus potencas de ação não apresenta a fase de hperpolarzação característca do potencal de ação do odelo de Hodgkn-Huxley. Observe sso na fgura anteror, e que a fora do potencal de ação do sapo te ua leve hperpolarzação na fase de retorno ao valor de repouso, as o potencal de ação do coelho não. A fgura abaxo, ostrando u potencal de ação e u nodo de Ranver de u neurôno elnzado de rato tabé lustra sso. Alé de solar a ebrana, a banha de elna tabé te coo função reduzr a capactânca da grande regão nternodal. Supondo que o axôno é u tubo clndro de rao d revestdo por ua caada de elna de espessura constante D e que a elna te perssvdade elétrca ε, pode-se calcular a capactânca de u pedaço de axôno de coprento untáro coo c πε = ln( D d ). Exercíco: deduza a expressão aca. Isto plca que quanto as espessa a banha de elna enor a capactânca do segento nternodal. De fato, apesar de a regão entre dos nodos ter u coprento aproxadaente l vezes aor do que o de u nodo, as capactâncas das duas regões são da esa orde de grandeza. Isso faclta a rápda propagação de carga pela regão nternodal, ajudando na condução saltatóra (veja o lvro Wess ctado na Bblografa). 9

10 Introdução à Neurocênca Coputaconal Antono Roque Aula 11 A conseqüênca da rápda condução saltatóra pelos axônos revestdos co banha de elna é o auento da velocdade de propagação do potencal de ação. Meddas experentas ostra que a velocdade de propagação e ua fbra elnzada é proporconal ao rao do axôno, v a, ao contráro do caso deselnzado e que a velocdade é proporconal à raz quadrada de a. A deternação teórca dessa proporconaldade não é tão fácl de ser feta quanto no caso na fbra deselnzada e ela não será ostrada aqu. Para aores detalhes, recoenda-se o lvro de Wess ctado na Bblografa. A propagação de potencas de ação por axônos, elnzados ou não, é u fenôeno não-lnear coplexo co váras questões nteressantes para sere estudadas. Apesar dsso, e sulações de redes de neurônos a abordage as cou é gnorar a exstênca de axônos e odelar a propagação de potencas de ação por eles splesente coo atrasos na passage dos potencas de ação de ua célula para outra. Tpcaente, as velocdades de propagação de potencas de ação e axônos estão entre e 10 /s, co as as rápdas sendo e axônos co banha de elna. Isso plca que o tepo gasto para que u potencal de ação percorra ua dstânca de 1 (ua dstânca típca para odelos de redes neuras cortcas) seja enor que 1 s. Por causa dsso, há utos odelos de redes de neurônos para regões do córtex ou outras áreas do cérebro que, não só desconsdera os axônos coo tabé gnora a própra transssão axonal, tratando a propagação coo nstantânea. Bblografa: Koch, C., Bophyscs of Coputaton: nforaton processng n sngle neurons. Oxford Unversty Press, Oxford, Wess, T.F., Cellular Bophyscs,. Electrcal Propertes. MIT Press, Cabrdge, MA, Hlle, B., Ionc Channels of Exctable Mebranes. 3rd edton. Snauer Assocates, Sunderland, MA,