Gonçalo X. Silva Alda Carvalho

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1 Goçalo X. Slva Alda Carvalho

2 ÍNDICE. ESTATÍSTICA DESCRITIVA..... INTRODUÇÃO..... DEFINIÇÕES..... CLASSIFICAÇÃO DOS DADOS.... CARACTERIZAÇÃO DOS DADOS....5 ESTATÍSTICAS AMOSTRAIS Medda de localzação Medda de dperão..... DADOS BIVARIADOS......Regreão lear mple Correlação. Coefcete de determação Método do mímo quadrado... 5

3 Capítulo. Etatítca Decrtva.. Itrodução A etatítca é uma dcpla cujo objecto prcpal é a recolha, a complação, a aále e a terpretação de dado. No etdo de clarfcar o que e etede por aále e terpretação do dado vamo dede já etabelecer uma dtção etre etatítca decrtva e ferêca etatítca. No âmbto da etatítca decrtva procura-e tetzar e repreetar de uma forma compreeível a formação cotda um cojuto de dado. Eta tarefa, que adqure mportâca quado o volume de dado for gfcatvo, materalza-e a cotrução de tabela, de gráfco ou o cálculo de medda que repreetem coveetemete a formação cotda o dado. O objectvo da ferêca etatítca é ma ambcoo do que o da etatítca decrtva e, aturalmete, o método e técca utlzado ão ma oftcado. Com bae a aále de um cojuto lmtado de dado (uma amotra), pretede-e caracterzar o todo a partr do qual ta dado foram obtdo (a população). Nete capítulo vamo rever algu coceto e técca utlzada a etatítca decrtva (omeadamete o cálculo da medda ma mportate)... Defçõe População: Cojuto de todo o elemeto que cotêm uma certa caracterítca que etamo tereado em etudar. Sedo comum a todo o elemeto, eta caracterítca vara em quatdade ou qualdade. Uma população pode ter dmeão fta ou fta. Amotra: Subcojuto de dado que pertecem à população. A amotra aleatóra ão ecolhda atravé de proceo (técca de amotragem) que o garatem que o ubcojuto obtdo é repreetatvo da população. Alguma da razõe que o levam a etudar a amotra em vez de etudarmo a população ão a egute:

4 . População fta.. Cuto em termo de tempo ou de dhero que um etudo a toda a população mplcara.. Recolha de formação atravé de tete detrutvo.. Impobldade de aceder a todo o elemeto da população. Fae do Método de Aále Etatítca No âmbto da Etatítca, o método de abordagem do problema pode er decompoto a cco fae que egudamete e eucam:. Etabelecmeto do objectvo da aále a efectuar (to é, da quetõe que e colocam e que e pretedem ver reolvda) e defção da() população(õe) correpodete().. Cocepção de um procedmeto adequado para a elecção de uma ou ma amotra (ecolha da técca de amotragem a utlzar).. Recolha de dado.. Aále do dado (Etatítca Decrtva). 5. Etabelecmeto de ferêca acerca da população (Iferêca Etatítca)... Clafcação do dado O dado que cottuem uma amotra podem er epreo em quatro ecala dtta: omal, ordal, de tervalo e aboluta. O dado dzem-e epreo uma ecala omal quado cada um dele for detfcado pela atrbução de um ome que dega uma clae. A clae devem er eautva (qualquer dado pertece a uma da clae), mutuamete ecluva (cada dado pertece a uma ó clae) e ão ordeáve (ão ete ehum crtéro relevate que permta etabelecer preferêca por qualquer clae em relação à retate). Eemplo.: Clafcação da peoa pela cor do cabelo: preto, cataho, braco, loro, etc. O que dtgue a ecala ordal da ecala omal é a pobldade de e etabelecer uma ordeação da clae a qua o dado ão clafcado, egudo algum crtéro relevate. Eemplo.: Clafcação de ota em mau, ufcete, bom, ou muto bom.

5 Como e percebe a ecala omal e ordal dzem repeto a dado qualtatvo (repreetam qualdade). Relatvamete ao dado quattatvo (repreetam quatdade) temo a ecala de tervalo e a ecala aboluta. No cao da ecala de tervalo, o dado ão dferecado e ordeado por úmero epreo uma ordem cuja orgem é arbtrára. Nete cao pode-e atrbur um gfcado à dfereça etre ee úmero, ma ão à razão etre ele. Eemplo.: Temperatura regtada em o C, à 8 hora de da ucevo. Notee que ete cao, e em trê da coecutvo a temperatura atgr 5 o C, 0 o C, e 0 o C, ão faz etdo dzer-e que o tercero da eteve dua veze ma quete do que o egudo. De facto e a temperatura foe eprea outra ecala, a razão etre a temperatura regtada aquele da era dferete. Cotraramete ao que ucede com a ecala de tervalo, a ecala aboluta tem orgem fa. Neta ecala, zero gfca ada (ote-e que, aterormete, dzer que a temperatura era de 0 o C ão gfca que ão hava temperatura). Como coequêca do facto de a orgem er fa, a razão etre dado epreo uma ecala aboluta paa a ter gfcado. Eemplo.: Peo de peoa epreo em kg. Etre o dado quattatvo, ejam ele epreo em ecala de tervalo ou aboluta, é coveete fazer dede já a dtção etre dcreto e cotíuo. O dado ão dcreto quado ão obervaçõe de uma varável aleatóra dcreta e cotíuo quado ão obervaçõe de uma varável aleatóra cotíua (o coceto de varável aleatóra dcreta e varável aleatóra cotíua pode ver-e ma adate capítulo ).. Caracterzação do dado Não há uma etratéga úca para car o etudo decrtvo, embora uma prmera recomedação eja começar por uma eploração vual do dado. Muta veze há regto que ão e ecaam o padrão geral, e por o memo deve er averguado a veracdade do memo. Muta veze tratam-e de erro de obervação ou de regto, como também ão proveete de alteraçõe do feómeo em etudo. Para e ter uma dea ma cocreta acerca da forma do oo dado, recorremo a gráfco como htograma ou dagrama de caule-e-folha. Embora eta aále já e ecotrem dpoíve em váro programa e calculadora, para uma melhor terpretação da mema é coveete cohecer a técca utlzada. Para o, relatvamete a um etudo decrtvo é mportate:

6 Ordeação do dado - ode e começa a ter uma dea de alguma medda de localzação, como a medaa, quarto ou etremo; Etatítca amotra com alguma medda temo um reumo do oo dado relatvamete à localzação, dperão e forma; Agrupameto do dado e repreetação gráfca revela-o a forma poível para a oa população em etudo e permte-o ecolher a clae de modelo que devemo eplorar em aále ma oftcada. A caracterzação de dado que veremo dz repeto a uma amotra uvarada, ou eja, quado cada um do dado que a tegram, mede uma ecala qualquer, apea um atrbuto. Dado qualtatvo A forma ma comu de decrever amotra uvarada com dado epreo a ecala omal ou ordal evolvem o recuro a tabela de frequêca, a dagrama de barra ou a dagrama crculare. Em todo o cao o objectvo é o de repreetar a forma como o dado e dtrbuem por um cojuto de dferete categora. O úmero de dado cotdo uma categora qualquer ( =,..., k) dega-e por frequêca aboluta da categora. Deotado por tal frequêca e admtdo que a categora epecfcada cotêm todo o dado, o úmero total dete vem dado por : k = = () O úmero total de dado que pertecem a uma categora qualquer, quado epreo como uma proporção do úmero total de dado, dega-e por frequêca relatva da categora e é dada por, f = () A frequêca relatva ão muta veze defda em termo percetua. Eemplo.5: Numa amotra cottuída por 0 peça, cotatou-e que 00 ão tham qualquer defeto, 5 tham defeto ma eram recuperáve e 5 eram rrecuperáve. Na tabela egute repreetam-e a frequêca (aboluta e relatva) do dado que cottuem eta amotra: Categora de peça Frequêca aboluta Frequêca relatva Sem defeto 00 8.% Recuperáve 5.5% Irrecuperáve 5.% TOTAL 0 00%

7 Dagrama crcular % % Sem defeto Recuperáve Irrecuperáve 8% A formação cotda a tabela de frequêca e o dagrama, que clu a dferete categora a qua o dado da amotra foram clafcado, degae por dtrbução amotral. Dado quattatvo A técca utlzada para decrever amotra uvarada cottuída por dado quattatvo podem er clafcada em trê grupo:. forma de repreetação tabular ou gráfca de dado,. etatítca amotra, e. repreetação gráfca de etatítca. Na repreetação tabular etem ada do tpo de frequêca: a frequêca aboluta acumulada e a frequêca relatva acumulada. Como o ome dcam eta frequêca repreetam para cada categora, a frequêca aboluta (relatva) de dado que pertecem à clae ou a clae aterore. Devdo à ecedade de a categora etarem ordeada ó podemo falar de frequêca acumulada quado o dado etão em ecala orda, de tervalo ou aboluta. Valor da varável ( ) Frequêca aboluta ( ) Frequêca relatva (f ) Frequêca aboluta acumulada (N ) Frequêca relatva acumulada (F ) = N = F = f f f = N = + F = f + f M M M M M f =... N = + + = F = f f = TOTAL - - 5

8 Eemplo.: No âmbto de um etudo realzado com o objectvo de caracterzar o comportameto do clete de um hpermercado, aalou-e o úmero de ocupate por veículo para 000 veículo que etraram o parque automóvel do referdo hpermercado, um Sábado. O reultado ecotram-e reumdo a tabela egute: Número de ocupate por veículo Frequêca aboluta Frequêca relatva Frequêca aboluta acumulada Frequêca relatva acumulada 0 0.% 0 0.%.% % 8.8% % 9 9.% % % 8 8.% % 9 9.% 5 5.% % TOTAL % DIAGRAMA DE BARRAS Nº ocupate/veículo A dtrbuçõe ão agrupada ão a forma ma elemetar de apreetação do dado e cote uma mple eumeração da obervaçõe, que podem ou ão etar ordeada. Quado o úmero de valore dtto obervado é elevado, tora-e muta veze eceáro codear muto ma o quadro etatítco, agrupado a obervaçõe em clae. Obtêm-e am dtrbuçõe de frequêca agrupada em clae ou dtrbuçõe agrupada. Ete tpo de dtrbuçõe é partcularmete útl quado dpomo de um grade úmero de dado relatvo a uma varável cotíua cujo valore obervado ão muto prómo u do outro. A frequêca de cada clae é o úmero de obervaçõe que ela cotém. No eemplo o dado dzem repeto a uma varável dcreta, quado provêm de uma varável cotíua etem alguma dfereça que remo obervar atravé do eemplo.

9 Eemplo.: Coderemo o cojuto de dado egute que repreeta o peo, epreo em grama, do coteúdo de uma ére de 00 garrafa que, o decuro de um tete aíram de uma lha de echmeto automátco: 0.5, 99.0, 00., 9., 98.5, 0., 98.5, 99.8, 00., 99., 00.8, 99.8, 0.5, 00., 0.8,9.99, 99., 98., 0.0, 99.0, 9.8,..., A prmera caracterítca que podemo obervar ete cojuto de dado é que ão ete pratcamete repetção de valore. Ito leva a que ão temo vatagem em utlzar o dado agrupado uma tabela de frequêca, dado que ríamo ter uma tabela pratcamete com tata lha quato o úmero de dado. No etato, podemo cotrur uma tabela de frequêca e agruparmo o dado por clae: Clae Frequêca aboluta Frequêca relatva (%) Frequêca aboluta acumulada Frequêca relatva acumulada(%) [9.00, 98.00[ 8 8% 8 8% [98.00, 99.00[ % 9 9% [99.00, 00.00[ 8 8% 5 5% [00.00, 0.00[ 5 5% % [0.00, 0.00[ % 8 8% [0.00, 0.00[ 0 0% 9 9% [0.00, 0.00[ 5 5% 98 98% [0.00, 05.00[ % 99 99% [05.00, 0.00[ % 00 00% TOTAL 00 00% f HISTOGRAMA [9.00, 98.00[ [98.00, 99.00[ [99.00, 00.00[ [00.00, 0.00[ [0.00, 0.00[ [0.00, 0.00[ [0.00, 0.00[ [0.00, 05.00[ [05.00, 0.00[ peo (gr ama) Dagrama de caule-e-folha (team ad leaf) Quado precamo de orgazar uma amotra, de forma a ter uma prmera dea do comportameto da varável em etudo, e preparar a mema para calcular alguma etatítca amotra de forma ma rápda, o dagrama de caule-e-folha é etremamete útl. Ete tpo de repreetação para além de orgazar a amotra cotrbu para revelar a forma da dtrbução ubjacete, ma de uma forma ugetva, que faz lembrar um htograma.

10 Eemplo.8: Supohamo que a ota de uma turma de Matemátca do º ao com aluo foram a egute: Na repreetação em dagrama de caule e folha temo o egute pao:. Ecolher o caule: Por veze, utlza-e o caule horzotal, em vez de er vertcal. Ete proceo tora ma aparete a emelhaça etre um htograma e uma repreetação em caule-e-folha.. Ecrever a folha: Caule e folha completo:

11 . Caule e folha completo e ordeado: Profuddade Caule Folha 9 () Que caracterítca é que e pretede realçar, quado e repreeta um cojuto de dado ob a forma de um htograma ou de um caule-e-folha? Dada uma amotra, o apecto do htograma reflecte a forma da dtrbução da População ubjacete ao dado obervado. Ete é um do apecto da redução do dado, em que e perde alguma formação cotda ee dado, ma em cotrapartda obtemo a etrutura da População, que ele pretedem repreetar. Uma da vatage dete tpo de repreetação é poder obervar-e o tpo de dtrbução ubjacete ao dado, do qua detacamo algu eemplo: Dtrbuçõe métrca A dtrbução da frequêca faz-e de forma apromadamete métrca, relatvamete a uma clae méda. Dtrbuçõe eveada A dtrbução da frequêca faz-e de forma acetuadamete amétrca, apreetado valore ubtacalmete ma pequeo um do lado, relatvamete ao outro. 9

12 Dtrbuçõe com cauda loga A dtrbução da frequêca faz-e de tal forma que ete um grade úmero de clae o etremo, cuja frequêca ão pequea, relatvamete à clae cetra: Dtrbuçõe com váro pco ou moda A dtrbução da frequêca apreeta ou ma "pco" a que chamamo moda, ugerdo que o dado ão cottuído por váro grupo dtto:.5 Etatítca amotra O cálculo de etatítca amotra é uma forma ma tétca de decrever um cojuto de dado. A etatítca amotra ão etão medda calculada com bae o dado, a partr da qua é poível decrever globalmete o cojuto de valore que o dado tomam..5.. Medda de localzação.5... Méda A ma utlzada da etatítca de localzação é a méda artmétca amotral ou, como habtualmete e dega a méda amotral. Para um cojuto de dado ( =,,..., ) a méda amotral é defda pela epreão: = = (dado ão agrupado) () Coderemo o dado do eemplo., ma agora em o cojuto de dado etar apreetado uma tabela de frequêca: Etem outra méda para além da artmétca, por eemplo, méda geométrca, méda harmóca, méda quadrátca, etc. 0

13 ,,,,,,, 5, 5,,,,,,,, 5,,, 5,...,,,,, ( = 000) A méda amotral é dada por = =. ocupate por veículo. 000 Para dado agrupado uma tabela de frequêca a méda amotral é dada por = k = (dado agrupado) () ode k repreeta o úmero de valore dferete etete o cojuto de dado. No eemplo. e coderado o dado agrupado a tabela de frequêca teríamo a méda amotral dada por = =. 000 ocupate por veículo. No cao da varável er cotíua, dado que perdemo o valore cocreto do cojuto (fcaram afecto a uma determada clae) ão podemo calcular a méda amotral drectamete do valore do dado. Dete modo a cada clae va er atrbuído um repreetate ( ) e a méda amotral calculada atravé dee repreetate: = k = (dado agrupado em clae) (5) ode k é o úmero de clae do agrupameto, é a frequêca aboluta da clae e é o poto médo da clae, o qual é coderado como elemeto repreetatvo da clae. No eemplo. a méda amotral é dada por = = 00. g 00 A méda é empre uma medda repreetatva do dado? Supohamo que temo a egute amotra:

14 A méda deta amotra é =.9. Embora todo o dado, com a ecepção de um dele (), etejam o tervalo [.5:.5 ], o valor obtdo para a méda ão pertece a ete tervalo. O que acotece é que a méda é muto eível a valore muto grade ou muto pequeo. No cao do eemplo, fo o valor que flacoou a méda. Se pearmo que, em vez dete valor podemo ter., temo razõe para pear que pode ter havdo um erro. E e em vez de o valor correcto foe., qual o valor da méda? Refazedo o cálculo com o valor correcto, obtém-e para a méda amotral, =., gfcatvamete dferete do valor obtdo aterormete Medaa Uma outra medda de localzação é a medaa amotral ( M e). Codere-e que o dado que tegram a amotra ão colocado por ordem crecete, formado * * * um vector (,,..., ) - amotra ordeada. A medaa amotral é defda o egute termo: * + M * * e = + + Ímpar par No eemplo., temo um cojuto de 000 dado ( = 000 par ). A medaa é etão dada por * M e = Temo de aber qua ão o dado que ocupam a poçõe 500 e 50 quado etverem ordeado por ordem crecete. Atravé da obervação da tabela de frequêca (obervado a frequêca aboluta acumulada) temo que * e * = 50. Logo a medaa é + M e = = ocupate/vatura. * = () No cao cotíuo, utlzado a defção ó podemo calcular a clae medaa. Depo de detfcada ea clae podemo calcular um valor apromado para a medaa atravé da fórmula: N 0,5 F M e l, = + * a = l + * f a ()

15 ode N é a frequêca aboluta acumulada da clae ate da clae medaa, a dmeão da amotra e l, a e ão, repectvamete, o lmte feror, ampltude e frequêca aboluta da clae medaa. No eemplo., vto que = 00 par, podemo ver qual a clae que cotém * 50 e temo: ou 0.5 * 5 F =, a clae medaa é [.00,00.00[ 99. Logo, atravé de () M e 50 9 = = 99.5 g 8 Dado um htograma é fácl obter a poção da medaa, po eta etá a poção em que paado uma lha vertcal por ee poto o htograma fca dvddo em dua parte com área gua. Méda v Medaa Para lutrar a dfereça etre eta dua medda vejamo o egute eemplo. Coderemo a ota obtda por um aluo o º ao do curo: = * * meda: = = medaa: = 9 M e = 9+ = 5 = 9 A méda e medaa da ota dee aluo foram de valore. Supohamo que ee aluo fez melhora da ota ma baa, paado de 0 a valore. Embora a medaa e mateha, o valor da méda ofreu um aumeto, paou para. valore. Temo etão que a méda, ao cotráro da medaa, é uma medda muto pouco retete, to é, ela é muto fluecada por valore muto grade ou muto pequeo, chamado outler, memo que ete valore urjam em pequeo úmero a amotra. Ete valore ão o repoáve pela má utlzação da méda em muta tuaçõe em que tera ma gfcado utlzar a medaa. Como medda de localzação, a medaa é Serão defdo ma adate.

16 ma retete do que a méda, po ão é tão eível ao dado. Etão qual da dua devemo utlzar? a) Quado a dtrbução é métrca, a méda e a medaa cocdem. b) A medaa ão é tão eível, como a méda, à obervaçõe que ão muto maore ou muto meore do que a retate (outler). Por outro lado a méda reflecte o valor de toda a obervaçõe. Repreetado a dtrbuçõe do dado a forma de uma macha (váldo para o dgrama de barra ou htograma), de um modo geral temo: Am, ão e pode dzer em termo aboluto qual deta medda de localzação é preferível, depededo do coteto em que etão a er utlzada Moda A últma medda de localzação que erá etudada é a moda ( M ). Trata-e da medda que dca o valor ou a gama de valore o qua a cocetração do dado amotra é máma. Quado o dado forem realzaçõe de uma varável dcreta, a moda é o valor do dado que ocorre com maor frequêca; e o tervalo de clae com maor frequêca e a varável é cotíua. Am, da repreetação gráfca do dado, obtém-e medatamete o valor que repreeta a moda ou a clae modal. o Eta medda é epecalmete útl para reduzr a formação de um cojuto de dado qualtatvo, apreetado ob a forma de ome ou categora, para o qua ão e pode calcular a méda e por veze a medaa (e ão forem uceptíve de ordeação).

17 No eemplo., a moda é o valor com maor frequêca aboluta, ou eja, M = ocupate/vatura. o Quado o dado provêm de uma varável cotíua etem alguma dfereça o cálculo da moda. Tal como a medaa começamo por calcular a clae modal. Depo de detfcada a clae modal podemo calcular um valor apromado para a moda atravé da fórmula: M = l + a o + ode a é a ampltude da clae modal, l é o lmte feror da clae modal, é a dmeão da amotra, é a dfereça de frequêca aboluta etre a clae modal e a clae ateror à modal e é a dfereça de frequêca aboluta etre a clae modal e a clae poteror à clae modal. No eemplo., a clae com maor frequêca aboluta é [.00,00.00[ clae modal. Atravé de (8) temo: M o = = 99.5 g + (8) 99 logo é a.5... Etremo e Quart O etremo ão o valore mímo, amotra. * = m( ), e mámo, * = ma( ), da Como vmo aterormete, a medaa é a medda de localzação que dvde a amotra. Geeralzado eta oção, o quatl de ordem p ( 0 < p < ), Qp, é tal que 00p% do elemeto da amotra ão meore ou gua a Qp e o retate 00 (-p)% do elemeto da amotra ão maore ou gua a Qp. A degação de quatl ecotra-e aocada à dea de que o quat dvdem a dtrbução de frequêca em quatdade gua, to é, com gual úmero de obervaçõe. De uma maera geral, o cálculo de um quatl, o cao dcreto, Q p = * [ p] + * * ( + ) p p+ e p ão é tero e p tero e o cao cotíuo, determa-e de forma dêtca à medaa. O quat podem er: Quart dvdem a dtrbução de frequêca em parte gua; Dec dvdem a dtrbução de frequêca em 0 parte gua; (9) 5

18 Percet dvdem a dtrbução de frequêca em 00 parte gua. A mportâca do quart deve-e ao facto de alguma repreetaçõe gráfca utlzarem eta medda: Q - º quartl: dvde a obervaçõe tal que 5% ão meore ou gua e 5% ão maore ou gua. Q - º quartl ou medaa: dvde a obervaçõe ao meo, tal que 50% ão ão meore ou gua e 50% ão maore ou gua. Q - º quartl: dvde a obervaçõe tal que 5% ão meore ou gua e 5% ão maore ou gua. No eemplo.8, = * = e * = = = 9 Q 0 = = 59 + = = 8 Q 8 = Me = = = = Q = = Medda de dperão.5... Itervalo de varação Uma medda de dperão que e utlza por veze, é o tervalo de varação ou ampltude amotral, R, defda como edo a dfereça etre a maor e a meor da obervaçõe: R = ma( ) m( ) = (0) * * ode repreetamo por * e *, repectvamete o meor e o maor valor da amotra (,,..., ), de acordo com a otação troduzda aterormete, para a amotra ordeada. No eemplo.8, R = ma( ) m( ) = 8 = 5

19 .5... Varâca A varâca amotral é uma medda adequada para decrever a dperão de uma amotra (ou de uma população, e e dpuer de todo o dado que a compõem). A dperão de uma amotra pode er medda pela varâca amotral ( ) dada pela egute epreõe: ( X ) = = (dado ão agrupado) () = k k k ( X ) = = =! = (dado agrupado) () No etato, e pretedemo ferr acerca da varabldade de uma população de grade dmeõe a partr de uma amotra, etão, por razõe que ete mometo ão remo etudar, é preferível recorrer à varâca amotral corrgda. Neta etatítca, repreetada por ', a oma do erro quadrátco é dvdda por e ão por. ( ) ' = = X (dado ão agrupado) ( ) ' ' k ( X ) = = = No eemplo.8, k k = =! = ( ) (dado agrupado) () (5).5... Devo padrão = = = ( ) = =. ( ) = = = '.8 = = ( ) Uma vez que a varâca evolve a oma de quadrado, a udade em que e eprme ão é a mema que a do dado. Am, para obter uma medda da

20 varabldade ou dperão com a mema udade que o dado, tomamo a raz quadrada da varâca e obtemo o devo padrão: = () O devo padrão é uma medda que ó pode aumr valore ão egatvo e quato maor for, maor erá a dperão do dado. Alguma propredade do devo padrão, que reultam medatamete da defção, ão: o devo padrão é empre ão egatvo e erá tato maor, quata ma varabldade houver etre o dado; e =0, etão ão ete varabldade, to é, o dado ão todo gua. No eemplo.8, =.99 e =. ' ' Ampltude ter quartl A medda ateror tem a grade devatagem de er muto eível à etêca, a amotra, de uma obervação muto grade ou muto pequea. Am, defee uma outra medda, a ampltude ter-quartl, que é, em certa medda, uma olução de compromo, po ão é afectada, de um modo geral, pela etêca de um úmero pequeo de obervaçõe demaado grade ou demaado pequea. Eta medda é defda como edo a dfereça etre o º e º quart, Q = Q Q ( ) Do modo como e defe a ampltude ter-quartl, cocluímo que 50% do elemeto do meo da amotra etão cotdo um tervalo com aquela ampltude. Eta medda é ão egatva e erá tato maor quato maor for a varabldade o dado. Nota: Ao cotráro do que acotece com o devo padrão, uma ampltude terquartl ula, ão gfca ecearamete, que o dado ão apreetem varabldade. No eemplo.8, Q = Q Q = 5 59 = Ampltude ter-quartl v devo padrão Do memo modo que a quetão fo pota relatvamete à dua medda de localzação ma utlzada (méda e medaa), também aqu e pode por o problema de comparar a dua últma medda de dperão. A ampltude terquartl é ma robuta, relatvamete à preeça de outler, do que o devo padrão, que é ma eível ao dado. 8

21 Boplot (caa de bgode) O boplot ou caa de bgode é um tpo de repreetação gráfca ode e realçam alguma caracterítca da amotra, omeadamete a etêca de outler (valore que e dtguem do retate, dado a dea de ão pertecerem ao memo cojuto de dado). O cojuto do valore da amotra compreeddo etre o º e o º quartl é repreetado por um rectâgulo (caa) com a medaa dcada por uma barra. Codera-e egudamete dua lha que uem o lado do rectâgulo com a barrera terore (evetualmete o etremo). A barrera feror teror é o meor valor da amotra (evetualmete o mímo), que é maor do que Q,5 Q. A barrera uperor teror é o maor valor da amotra (evetualmete o mámo), que é maor do que Q +,5 Q. Quado etem valore fora dete tervalo, [ Q,5 ;,5 ] Q Q + Q, dz-e que etem outler ou valore dcordate. Para averguar o grau do memo devem er calculada a barrera eterore: [ Q ] Q; Q + Q. Cao ea obervaçõe e ecotrem ete últmo tervalo degam-e por outler moderado, cao cotráro dzem-e outler evero. Nota: Quado ão etem outler e a etremdade da lha e repreetam o etremo da amotra, mímo ( * ) e mámo ( * ), eta repreetação cocde com o dagrama de etremo e quart. Ete tpo de repreetação realça 9

22 caracterítca mportate obre o dado, como ejam o cetro da amotra (medaa), varabldade, metra. Repare-e que da forma como o dagrama e cotró (dtâca etre a lha dcadora da medaa e o lado do rectâgulo; comprmeto da lha que aem do lado do rectâgulo; comprmeto da caa), e pode retrar medatamete a egute formação: Aqu podemo ver algu eemplo, correpodete a tpo dferete de dtrbução de dado. Voltado ao eemplo.8, a repreetação boplot temo o egute pao:. Cálculo do quart: = 58 + = = 9 Q 0 = = 59 + = = 8 Q 8 = Me = =, = = Q = = 5. Cálculo da barrera terore: Q = Q Q = 5 59 = b = Q,5 Q = 58,5 = b = Q +,5 Q = 5 +,5 = 99. Será que etem outler? 0

23 A barrera terore ão [ ;99 ], logo, como ete um valor fora dete tervalo etamo a preeça de um outler. A barrera eterore fcam: B = Q Q = 58 = B = Q + Q = 5 + = Como eta obervação e ecotra detro da barrera eterore, to é :, é um outler moderado. [ ]. Repreetação gráfca do boplot: Coefcete de varação O coefcete de varação eprea o devo padrão como percetagem da méda, é portato uma medda relatva da dperão da varável, CV = 00 (8) Nota: É preco ter em cota que e a méda é perto de zero, o coefcete de varação terá um valor elevado memo e o devo relatvamete à méda ão pequeo. Por o, dea de er útl quado a méda é próma de zero. No eemplo.8,.98 CV = 00 8.% 5.8

24 .. Dado bvarado Muta veze o etudo decrtvo ão e reume ao etudo de apea uma varável, por veze é eceáro a obervação de dua (ou ma) varáve para e ter uma vão global do problema em etudo. Nee cao deamo de ter uma amotra (,..., ) e paamo a ter dado bvarado (, y ), =,..., (obervaçõe de uma varável aleatóra bdmeoal, que erá defda o capítulo ). Por eemplo, a preão atmoférca etá relacoada com a alttude e/ou com a temperatura; a altura de uma craça etá relacoada com a alutura do pa e/ou mãe. Uma da coa que e pretede etudar é a relação etete etre a varáve dete par. Para ter uma dea de como a dua varáve e relacoam é comum repreetar grafcamete eta relação atravé de um gráfco de dperão. Eta repreetação cote a marcação um tema de eo carteao a obervaçõe, fcado com uma uvem de poto que correpodem ao pare ordeado (, y ). Eemplo 9: Coderemo o dado da temperatura do fuel gá (grau Fahrehet) e a taa de calor (Klowatt-hora) para uma turba de combutão para er uada a refrgeração y Calor Gráfco de dperão Temperatura Ete dagrama motra a relação etra a varáve em etudo, dode e pode etrar que talvez eta uma correlação lear etre ela. Eta relação pode er traduzda atravé de uma recta.

25 ...Regreão lear mple Quado a relação etete etre dua varáve é lear, pode er traduzda atravé de uma recta. Sedo am, temo o egute modelo determítco: Y = α + β X (9) em que α é a ordeada a orgem e β o declve da recta. No modelo de regreão lear mple pretede-e eplcar o efeto que uma varável, varável depedete ou eplcatva, obre uma varável y, varável depedete ou eplcada. Correlação Lear Potva (forte) Correlação Lear Negatva (forte) Correlação Lear Fraca 0 0 Eta vualzação permte, atravé da mple obervação do dagrama de dperão, averguar a poível etêca ou ão de correlação lear etre dua varáve.

26 ... Correlação. Coefcete de determação O coefcete de correlação lear, r y, mede o grau de aocação lear etre dado bvarado, e calcula-e da egute forma: r y y = (0) yy ode ( )( ) = y y = y y y = =, () ( ) () = = = = e ( ) = y y = y y yy = = () Dete modo podemo reecrever o coefcete de correlação lear como r y γ y = () y ode γ y é a covarâca de X e Y e r. A varação total da varável depedete (VT) é dada por ( ) er decompota da egute forma: = y y, que pode ( ) ^ ^ y y = y y y y + = = = VT VE VR (5)

27 em que VE é a varação eplcada pela regreão e VR é a varação redual. Fcamo etão com VE VR VT = VE + VR VT + VT = () em que a razão etre a varação eplcada pela regreão e a varação total, VE VT, é o coefcete de determação, R, que é a proporção da varabldade total que é eplcada pelo modelo de regreão, R y y = y ( y y) y y β = = = = = = = yy y y y y y y ( ) = = = () O coefcete de determação vara etre zero e um, 0 R. Quado ete coefcete toma o valor gfca que a recta de regreão eplca totalmete a varabldade da varável depedete. O valor ulo de R correpode à tuação em que a recta de regreão ão eplca ada da varabldade da varável depedete. O coefcete de correlação pode er calculado atravé do coefcete de determação, ry = ± R (8) em que o al depede do declve da recta de regreão, edo +(-) e ee declve é potvo (egatvo).... Método do mímo quadrado Quado e verfca, quer atravé do gráfco de dperão quer do coefcete de correlação lear, uma correlação forte etre dua varáve, podemo decrever a relação etre ea varáve atravé de uma recta de regreão (a recta que melhor e ajuta ao dado). Ea recta erve de modelo matemátco para eprear a relação lear etre dua varáve. Codera-e, em geral, X a varável depedete ou eplcatva e Y a varável depedete ou eplcada. Um do método ma utlzado para ajutar uma recta a um cojuto de dado é o Método do Mímo Quadrado (MMQ), que cote em determar a recta que mmza a oma do quadrado do devo (o 5

28 chamado erro ou reíduo) etre o verdadero valore, y, e o valore etmado a partr da recta de regreão que e pretede ajutar, ^ y. O modelo de regreão lear é a recta de regreão ^ y = α + β + ε (9) obtda de tal modo que a oma do quadrado do devo ou reíduo ^ ( ε = y y ) eja míma, ^ ε = y y = ( y α + β ) (0) m m m ( ) = = = Como tal, para etmar o parâmetro do modelo, é eceáro que a prmera dervada, em ordem a α e a β, ejam ula e a eguda ejam maore ou gua a zero, α = β ( y α β ) = 0 = ( y α β ) 0 = () A etmatva do mímo quadrado para o parâmetro α e a β ão e ^ ^ α = y β () y y = = ^ = β = y ()

29 Voltado ao eemplo.9, uma vez que e oberva o gráfco de dperão uma relação lear etre a varáve, vamo cofrmar eta relação atravé do coefcete de correlação, y 00 99, , ,8 55 9, , , , ,5, , , , 505 9, , , , , , , , , 0 5 9, ,5 5,5 00 9, , , , , , Σ 5 55, ,9 55 y = y = = = yy y y = = r y y O valor da correlação é r = 0.99 e o coefcete de determação R = 0.9 dcam uma forte correlação lear etre a temperatura de fuel gá e a taa de calor. Vamo agora etmar, atravé do MMQ, o parâmetro α e β e traçar a recta de regreão: y y 0.99 y y ,9 = = = = 0, 005 ^ y = = = β 5595-(5) = = ^ 5, 9 5 α = y β = ( 0, 005) = 99,59 Sedo am, a recta de regreão calculada pelo método do mímo quadrado é dada por, ^ ^ ^ y = α + β = 99,59 0, 005

30 cujo gráfco de dperão com a repectva recta de regreão é o egute: Calor Gráfco de dperão y = R = Temperatura Atravé da recta de regreão etmada é poível prever taa de calor com bae a temperatura do fuel gá. Por eemplo, para uma temperatura do fuel gá de 05 grau Fahrehet prevê-e uma taa de calor de ^ y = = 9.05 Klowatt-hora. 8