Universidade Estadual de Londrina

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1 Uverdade Etadual de Lodra Programa de Metrado e Doutorado em Cêca Bológca Reumo da atvdade deevolvda em aula Profa. Dra. Aa Verga Lbo Meett LODRIA 06

2 SUMÁRIO. Aále exploratóra de dado...0. Itervalo de cofaça e Tete de...3 Hpótee 3. Tete de Hpótee para dua amotra Tete ão paramétrco Correlação e regreão Eao Iteramete Caualzado Deleameto em Bloco Áále multvarada I Aále multvarada II Referêca bblográfca...39

3 AÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS. Itrodução - Em uma pequa é mportate ter em mete trê apecto: plaeameto, execução e dvulgação. O plaeameto é a fae cal que correpode à defção do tema, o obetvo, a forma de aále do dado, ou ea, é o deleameto de todo o proeto de pequa. É a fae ma mportate detre a trê fae para e obter um reultado ma preco. É mportate evdecar que executarmo uma pequa com um plaeameto mal feto ou memo e o dado ão forem coletado de maera aproprada, aparecerá um reultado que ão correpode à realdade ou até memo mpoível de er aalada e etão ee dado e torarão úte. Quato maor tempo gato o plaeameto meor erão o problema que urgrão a ua execução. Depededo do problema a er aalado e do obetvo da pequa podemo realzar uma pequa obervacoal ou uma pequa expermetal: A pequa obervacoal é aquela em que a caracterítca de uma população erão levatada, obervada ou medda, em a ua mapulação. Como exemplo, tem-e o ceo demográfco, pequa eletora, peção de qualdade. a pequa expermeta, grupo de dvíduo, ama ou obeto, erão mapulado para e avalar o efeto de dferete tratameto. É o cao de e verfcar a reaçõe a aplcação de medcameto ode exte um grupo cotrole e o grupo expermetal. A coleta de dado pode er obtda de vára maera. Em algu cao ão e preca r até a população para a obteção do dado porque ele á extem em arquvo ou baco de dado e ão chamado dado ecudáro. eta fae da pequa, é bom verfcar o trabalho extete obre o tema a er etudado, po dado ecudáro podem reduzr o cuto de uma pequa. Dado prmáro ão aquele em que foram obtdo uto à população ou amotra, medate um trumeto, para que ua coleta ea feta de forma orgazada.. Defção e Clafcação da Etatítca: Dede a Atgüdade, váro povo á regtravam o úmero de habtate, de acmeto, de óbto, fazam etmatva da rqueza dvdual e ocal, dtrbuíam eqütatvamete terra ao povo, cobravam mpoto e até realzavam quérto quattatvo por proceo que, hoe, chamaríamo de etatítca. A palavra etatítca vem do latm e gfca o etudo do Etado, po atgamete e refera a fato ou dado coletado por agêca ou órgão goverameta. Ma recetemete e paou a falar em etatítca em vára cêca, ta como Saúde Públca, Atropologa, Meteorologa, Medca e outra. Hoe em da a etatítca evolve toda a elaboração que va dede o plaeameto e a coleta do dado até a aále e terpretação do reultado. Am, ea elaboração evolve o tratameto do dado de dferete maera de torá-lo compreeíve. Para tato cotroem tabela, gráfco, calculam-e porcetage, méda, e outro. Defção: Etatítca é uma parte da matemátca aplcada que forece método para coleta, a orgazação, a decrção, a aále e a terpretação de dado e a utlzação dee dado para a tomada de decão. Clafcação: - Etatítca decrtva; - Etatítca dutva. a. Etatítca decrtva: é aquela que tem por obetvo decrever e aalar determada população ou amotra, em preteder trar cocluõe. Exemplo: taxa de deemprego, ídce de mortaldade e ataldade.

4 b. Etatítca dutva: é aquela que cote em obter e geeralzar cocluõe para um todo (população) partdo de reultado partculare (amotra). Exemplo: pequa eletoral..3 Clafcação da Varáve Ao fazer um etudo etatítco de um determado fato ou grupo, tem-e que coderar o tpo de varável. Pode-e ter varáve qualtatva e varáve quattatva. A varáve qualtatva ão aquela que decrevem o atrbuto de um dvíduo, por exemplo: exo, etado cvl, grau de trução, etc. Já a varáve quattatva ão a proveete de uma cotagem de meuração, por exemplo: dade, aláro, peo, altura, etc. A varáve qualtatva como a quattatva dvdem-e em do tpo: Varáve Tpo Decrção Exemplo Qualtatva ou Categórca omal Ordal ão exte ehuma ordeação. Exte uma ordeação I, II, III. Cor do olho, exo, etado cvl. ível de ecolardade, etágo da doeça. Quattatva Dcreta Cotíua Valor pertece a um couto eumerável. Quado o valor pertece a um tervalo real. úmero de flho por caal, úmero de eletore. Medda de altura e peo, taxa de glcoe..4 População e amotra População ou Uvero: é um couto de elemeto obre o qual deeamo pequar. Exemplo: Aluo do curo de Foterapa da UEL, úmero de mcrorgamo de um lago. Amotra: e um ubcouto da população, cuo elemeto ão retrado egudo algum crtéro. Exemplo: Aluo do prmero ao de Foterapa da UEL. Ceo e Amotragem Ceo: é o etudo de todo o elemeto da população. Exemplo: Altura de todo o aluo de Bologa da UEL Amotragem: é a parte da etatítca que ea obter amotra repreetatva de uma população. A faldade da amotragem é fazer geeralzação obre todo o grupo em precar examar cada um de eu elemeto. Quado e deea colher formaçõe obre um ou ma apecto de um grupo grade ou umeroo, verfca-e, muta veze, er pratcamete mpoível fazer um levatameto do todo. Dee modo, há a ecedade de vetgar apea uma parte dea população ou uvero. É compreeível que o etudo de todo o elemeto da população poblta preco cohecmeto da varáve que etão edo pequada; todava, em empre é poível obter a formaçõe de todo o elemeto da população. Tora-e claro que a repreetatvdade da amotra depederá do eu tamaho (quato maor, melhor) e de outra coderaçõe de ordem metodológca. Ito é, o vetgador procurará acercar-e de cudado, vado à obteção de uma amotra gfcatva, ou ea, que de fato repreete o melhor poível toda a população.

5 3.5 Coceto Báco Parâmetro - Medda que decrevem certa caracterítca do elemeto da população. Etatítca - Medda que decrevem certa caracterítca do elemeto da amotra. Etmatva Valor reultate do cálculo de uma etatítca..6 Medda Decrtva - (Comparado População e Amotra) Méda, Varâca e Devo-padrão para valore populacoa e amotra Sea a população: P = {X ; X ; X 3 ;...; X }, logo: a) A méda artmétca populacoal ( ) é: x ode =,,...,. A varâca populacoal ( ) é: X X X V ou X X X V ) ( ) ( ) ( Devo-padrão populacoal ( ) é: = ) (X V Sea a amotra: A = {x ; x ; x 3 ;...; x }, logo: A méda artmétca amotral ( m x ˆ ) é: x m x ˆ,ode =,,...,. A varâca amotral ( ) é: ) ( x x ou x x Devo-padrão amotral () é: =

6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA.7 - Tabela - A apreetação tabular é a forma de e utlzar tabela para apreetar o dado coletado, com o obetvo de tetzar a obervaçõe, facltado ua letura e compreeão. Refere-e, coforme eu coteúdo, codfcação, proceameto, epecfcaçõe técca, coverão de udade, decrção de fluxo e apreetação de ímbolo. Elemeto compoete da tabela etatítca A tabela etatítca ão cottuída por elemeto eeca e elemeto complemetare. Elemeto eeca da tabela - O elemeto eeca de uma tabela etatítca ão: título, corpo, cabeçalho e colua dcadora. Título: O título é a dcação que precede a tabela e que cotém a degação do fato obervado, o local e a época em fo regtrado. Corpo: É o couto de colua e lha que cotém, repectvamete, em ordem vertcal e horzotal, a formaçõe referete ao fato obervado. Cabeçalho: É a parte uperor da tabela que epecfca o coteúdo da colua. Colua dcadora: É a parte da tabela que epecfca o coteúdo da lha. Uma tabela pode ter ma de uma colua dcadora. Elemeto complemetare da tabela - O elemeto complemetare de uma tabela etatítca ão: fote, ota e chamada, e e tuam o rodapé da tabela. Fote: A fote é a dcação da etdade repoável pelo forecmeto do dado ou pela ua elaboração. ota: São a formaçõe de atureza geral, detada a cocetuar ou eclarecer o coteúdo da tabela, ou a dcar a metodologa adotada o levatameto ou a elaboração do dado. Chamada: São a formaçõe de atureza epecífca referete à determada parte da tabela, detada a cocetuar ou eclarecer dado. A chamada ão dcada o corpo da tabela com algarmo arábco, etre parêtee. Apreetação de tabela A tabela, excluído o título, erão fechada, o alto e em baxo, por traço horzota groo; Recomeda-e ão fechar a tabela, à dreta e à equerda, por traço vertca; Será facultatvo o emprego de traço vertca para a eparação da colua o corpo da tabela; Quado uma tabela, por exceva altura, tver que ocupar ma de uma pága, ão erá fechado a parte feror, repetdo-e o cabeçalho a pága egute, uado, o alto do cabeçalho ou a dreta da colua dcadora, a degação cotua ou cocluão, coforme o cao..8 Gráfco (Varável qualtatva) - É a repreetação de dado ou formaçõe atravé de deeho, fgura ou mage. Extem dvera forma de apreetação gráfca, fcado a ecolha codcoada à atureza do feômeo a repreetar e ao crtéro do aalta. Dar-e-á um maor efoque àquela forma gráfca utlzada a repreetação de dado etatítco. A faldade prcpal de apreetar o dado grafcamete é proporcoar ao tereado uma vão rápda do comportameto do feômeo, poupado tempo e eforço a compreeão do dado. A repreetação gráfca de um feômeo deve obedecer a certo requto fudameta como: mplcdade, clareza e veracdade. Algu tpo de gráfco 4

7 Gráfco de colua: São aquele em que a varaçõe quattatva de uma ou ma varáve ão repreetada por colua uceva, toda com bae gua, ma com dferete altura, a qua ão proporcoa à freqüêca da varáve cofrotada, dpoto vertcalmete. Gráfco de barra - São emelhate ao de colua, ode o retâgulo ão dpoto horzotalmete. Gráfco em lha - Ete gráfco repreeta alteraçõe quattatva ob a forma de uma lha olgoal ou curva etatítca, que tora ma vível o adameto do feômeo. Gráfco em etore - São gráfco que decrevem o fato atravé de etore em uma crcuferêca, cua faldade é repreetar um fato utamete com toda a parte que o memo e ubdvde. Gráfco de colua múltpla - São gráfco que permtem comparar dvera varáve multaeamete. Caracterza-e por apreetar dua ou trê colua repreetatva de varáve um memo período de tempo, em epaço etre, formado couto de colua, extdo epaço etre o couto. O obetvo é fazer comparação. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊCIAS.9 Dtrbução de frequêca: Dtrbução de frequêca cottu-e, portato, a repetçõe agrupada do valore da varável. Va facltar o trabalho etatítco permtdo melhor compreeão do feômeo. Quado e trabalha com pouco valore, o cálculo podem er realzado dretamete, em maore dfculdade. Para e reumr grade reultado de dado, cotumam-e freqüetemete dtrbuí-lo em clae ou categora, e determar o úmero pertecete a cada uma da clae, deomado a freqüêca da clae (f). Dado bruto: é o couto de dado umérco apreetado da maera que foram coletado. Rol: é o arrao do dado bruto em ordem crecete ou decrecete. Ampltude total (At): é a dfereça etre o maor e o meor valor obervado. At = Xmax Xm úmero de clae (K): é a quatdade de clae eceára para repreetar o dado. Regra de Sturge : k = + 3,3 log, é o tamaho da amotra k 36 6 exemplo e = 36 for o tamaho da amotra. Ampltude da clae (ac): é o quocete etre a ampltude total (At) e o úmero de clae (k), to é: ac = At / k Lmte da clae: L ---- L, L é o lmte feror e o elemeto pertece à clae. L é o lmte uperor e o elemeto ão pertece à clae. * Poto médo da clae (X): é a méda etre o lmte uperor e o lmte feror da clae. x = (L + L)/ * Freqüêca acumulada crecete (Fac) ou abaxo de : é a oma da freqüêca do valore ferore ou gual ao valor dado, to é; Fac = f * Freqüêca relatva (fr): é a porcetagem do valor a amotra e é dado por: fr = f /; fr (%) = (f /)00 5

8 Gráfco - Gráfco Etatítco: é uma forma de apreetação do dado etatítco, cuo obetvo é o de produzr, o vetgador ou o públco em geral, uma mpreão ma rápda e vva do feômeo em etudo. Repreetação Gráfca de uma Dtrbução de Freqüêca: Uma dtrbução de freqüêca pode er repreetada grafcamete pelo htograma, pelo polígoo de frequêca. Htograma: é a repreetação gráfca de uma dtrbução de freqüêca por meo de retâgulo utapoto. Outro Gráfco para varáve quattatva Ramo e folha O ramo ão formado pelo tero do úmero e a folha ão formado pelo decma. Box plot Gráfco de caxa formado por 5 úmero: Valor mímo, prmero quartl, medaa, tercero quartl e valor máxmo. MEDIDAS DESCRITIVAS: Medda de poção Itrodução: A medda de poção ão deomada de medda de tedêca cetral, po repreetam o feômeo pelo eu valore médo em toro do qua tedem a cocetrarem-e o dado..0 Medda de poção: Méda artmétca; Moda; Medaa Méda Artmétca - A méda artmétca de uma amotra é o couto de valore x, x,..., x repreetado por x é defdo por: x x x x Medaa (Med) - È o valor que dvde a amotra ou população em dua parte gua. 0% 50% 00% Med A medaa é o valor que ocupa a poção cetral da amotra ordeada (crecete ou decrecete). Ito é, dvde a amotra em dua parte gua de modo que 50% do valore fcam à ua equerda e 50% à ua dreta. Ou A ordem da medaa, dcada pela letra O, erá: a) Se for ímpar: O e Md = X (o) Exemplo: X = { }; Md = 5. b) Se for par, calculam-e dua orde: O e O e Md = [X (O) + X (O) ] /. Exemplo: Y={ }; Md = (5 + 6)/ = 5.5 x 6

9 Moda (MO) - Deomamo Moda o valor que ocorre com maor freqüêca em uma ére de valore. A moda é clafcada da egute maera: Amodal: quado o dado ão apreetam moda; Modal: apreeta uma moda; Bmodal: quado o dado apreetam dua moda; Multmodal: quado o dado apreetam ma de dua moda. A moda comparada com a méda e a medaa, é a meo útl da medda para repreetar o dado. A moda é útl quado um ou do valore, ou um grupo de valore, ocorrem com freqüêca muto maor que o outro valore.. Separatrze - Como vmo, a medaa caracterza uma ére de valore devdo a ua poção cetral. Porém, ela apreeta uma caracterítca, tão mportate quato à prmera: é que ela epara a ére em do grupo que apreetam o memo úmero de valore. Am, além da medda de poção que etudamo, há outra que, coderada dvdualmete, ão ão medda de tedêca cetral, ma etão lgada à medaa relatvamete à ua Seguda caracterítca, á que ela e baeam em ua poção a ére. Ea medda ão chamada de Quart, Dec e Percet que ão utamete com a Medaa, cohecda pelo ome geérco de Separatrze. Quart Deomamo Quart o valore de uma ére que a dvdem em quatro parte gua. 0% 5% 50% 75% 00% Q Q Q 3 Q = 0 quartl, dexa 5% do elemeto; Q = 0 quartl, coecde com a medaa,dexa 50% do elemeto; Q3 = 3 0 quartl, dexa 75% do elemeto; Dec- Deomamo Dec o valore de uma ére que a dvdem em 0 parte gua. Percet -Deomamo Percet o valore de uma ére que a dvdem em 00 parte gua. Forma reumda: Quart, Dec e Percet para dado ão agrupado..( ) Para ímpar - A ordem do quartl (=, ou 3) é dada por e o valor é localzado o rol. 4.. Para par - O quartl erá a méda do do elemeto de orde: e. 4 4.( ) Para ímpar - A ordem do decl ( =,,...,9) é dada por e o valor é localzado o rol. 0.. Para par - O decl erá a méda do do elemeto de orde: e. 0 0.( ) Para ímpar- A ordem do percetl ( =,,...,99) é dada por e o valor é localzado o rol Para par- O percetl erá a méda do do elemeto de orde: e MEDIDAS DESCRITIVAS Medda de Varabldade 7

10 Itrodução: A umarzação de um couto de dado, atravé de uma úca medda repreetatva de poção cetral, ecode toda a formação obre a varabldade do couto de valore.. Medda de varabldade. Ampltude Total At = Xmax Xm Varâca: Coderado o oo propóto de medr a dperão do valore em toro da méda, é tereate etudarmo o comportameto do devo de cada valor em relação à méda, to é,, etaremo meddo a dperão x x. Obervem que, a determação de cada devo d x x etre cada x e a méda x. Porém, e omarmo todo o devo, tem-e x x) 0 d ou 0 (. Para cotorar o problema, reolveu-e coderar o quadrado de cada devo ( x x), evtado-e com o que ( x ) x (x d 0 x). Am, defu-e a varâca (populacoal) como: d, e o dado ão ão agrupado. Para a varâca amotral, tem-e: x ( x ) (x x) d, e o dado ão ão agrupado e Devo-padrão:, para população e, para a amotra. Coefcete de Varação - Trata-e de uma medda relatva da dperão, útl para a comparação em termo relatvo do grau de cocetração em toro da méda de couto de dado dtto. É dado por: C. V..00% população e C. V..00% amotra. x Algu aalta coderam: C.V. < 5% Baxa dperão e alta repreetatvdade da méda artmétca 5% C.V. 30% Méda dperão e méda repreetatvdade da méda artmétca C.V. 30% Alta dperão e ehuma repreetatvdade da méda artmétca 8

11 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE.3 Ametra - Defção - Ametra é o grau de afatameto de uma dtrbução em relação ao exo métrco.uma dtrbução pode er: métrca; amétrca potva ou à dreta; amétrca egatva ou à equerda. Comparação etre a medda de poção a- Em uma dtrbução métrca, a méda, a medaa e a moda ão gua, to é, x = Med = Mo b- Em uma dtrbução amétrca potva ou amétrca à dreta, a méda é maor que a medaa, e eta por ua vez, é maor que a moda, to é, Mo < Med < x. c- Em uma dtrbução amétrca egatva ou amétrca à equerda, a méda é meor que a medaa, e eta por ua vez, é meor que a moda, to é, x < Med < Mo. Coefcete de ametra de Pearo - O coefcete de ametra de Pearo pode er determado atravé da egute equaçõe: 0 coefcete de Pearo 3( x Med ) ( x Mo) A A Ob.: Se A = 0 a dtrbução é métrca A > 0 a dtrbução é amétrca potva (à dreta) A < 0 a dtrbução é amétrca egatva (à equerda)..4 Curtoe Defção - Curtoe é o grau de achatameto de uma dtrbução em relação a uma dtrbução padrão, deomada curva ormal. Uma dtrbução que ão é em chata e em delgada é deomada de meocúrtca. A curva ormal, por exemplo, que é a oa bae referecal, recebe o ome de meocúrtca. Quado a dtrbução apreeta uma curva de frequêca ma fechada que a ormal (ou ma aguda em ua parte uperor) ela recebe o ome de leptocúrtca. Quado a dtrbução apreeta uma curva de frequêca ma aberta que a ormal (ou ma achatada a ua parte uperor), ela é chamada de platcúrtca. Coefcete de Curtoe - Para medr o grau de Curtoe pode-e utlzar a egute equação; Q3 Q C ( P90 P0 ) ode: P 0 e P 90 é o décmo e o oagémo percetl, repectvamete, Am: C = 0,63 curva meocúrtca C < 0,63 curva leptocúrtca C > 0,63 curva platcúrtca ALICAÇÕES DAS MEDIDAS DESCRITIVAS GRÁFICO BOX-PLOT - Gráfco Box-Plot O box - plot ma mple tem bae o reumo do 5 úmero. (Mímo, Prmero quartl, Medaa, Tercero quartl e Máxmo). A dtrbução terá outler e verfcar valore acma (ou abaxo) de,5 dq; e outler extremo e verfcar valore acma (ou abaxo 3 dq) Ampltude Iterquartl dq= Q3 Q. Exemplo - o dado abaxo ão referete ao peo de care de mexlhõe, em mlgrama, Pede-e, cotrur o gráfco box-plot e verfcar e há outler. PM- [70, 755, 850, 880, 880, 890, 90, 940, 950, 3050, 330, 335] 9

12 Outler Extremo Lm Superor Extremo Q3+ 3,0 dq OUTLIERS Max = Lm. Superor Q3 +,5 dq Q3 = Quartl Medaa = Q = Quartl Q = Quartl 800 Mímo=70 66, OUTLIERS Lm. Iferor Q -,5 dq Lm.Iferor Extremo Extremo Q 3,0 dq 0

13 - ITERVALO DE COFIAÇA E TESTE DE HIPÓTESES Itrodução - Trata-e de uma técca para e fazer ferêca etatítca, ou ea, a partr de um tervalo de cofaça, cotruído com o elemeto amotra, pode-e ferr obre um parâmetro populacoal. A cotrução de tervalo de cofaça fudameta-e a dtrbuçõe amotra. Se a partr de uma amotra procura-e obter um Itervalo de Cofaça ˆ ˆ -α com uma certa probabldade de coter o verdadero parâmetro populacoal. Quado e dz que o Itervalo de Cofaça cotém o verdadero parâmetro populacoal com uma probabldade - (ível de cofaça), erá o ível de gfcâca, ou ea, o erro que etá e cometedo ao afrmar-e que, por exemplo, 95% da veze o tervalo ˆ ˆ cotém, é de 5%. Eta técca dfereca-e da etmação por poto ode e calcula um úco valor (etmatva) para o parâmetro populacoal.. Itervalo de Cofaça para Proporção ou Probabldade P p P Quado > 30. Vmo que, P ~ (p; pq/), logo Z. Portato, o tervalo para um p( p) ^ p P ível erá: Etão: P Z Z Z P Z Z ^ ^ p( p) Para obter o tervalo acma é eceáro o valor de p que é decohecdo. Como etamo admtdo > 30 pode-e ubttur e ecotrar: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ p( p) ^ p( p) P p Z P p Z IC (P, -α ) = [ ^ p ^ p( p) z ] ^ reumdo:. Itervalo de Cofaça para méda populacoal (Cohece varâca populacoal) ete cao, ão preca calcular a etmatva da varâca a partr da amotra. Trabalha-e etão com a dtrbução z, to é: x P [ z z ] = - ; P[x z. x z. ] ; IC (, -alfa) = [ x z ]

14 .3 Itervalo de Cofaça para a Méda Populacoal (ão cohece varâca populacoal) ete cao, preca-e calcular a etmatva da varâca a partr da amotra. Trabalha-e etão com a dtrbução t de Studet, com grau de lberdade, to é: x t, com (- t + ); portato: P[x t. x t. ] t ( ; Valor do tete t tabelado: ) logo Reumdo IC(, ) [x t. ] TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA Decõe Etatítca - a prátca omo chamado com muta freqüêca a tomar decõe acerca de populaçõe, baeado a formaçõe da amotra. Ea decõe ão deomada decõe etatítca. Pode-e deear decdr, com bae em dado amotra, e um ovo oro é realmete efcaz a cura de uma doeça, e um proceo educacoal é melhor do que outro, e uma certa moeda é vcada e outra. Hpótee Etatítca - A Hpótee Etatítca é uma upoção ou afrmação relatva a uma ou ma populaçõe, que pode er verdadera ou fala. Tete de Hpótee - Cote em decdr e a hpótee é verdadera ou fala. Am, atravé de uma amotra tetaremo a hpótee formulada e cocluremo e ela deve er reetada ou aceta. A Hpótee A hpótee laçada para er reetada ou aceta é chamada de hpótee ula, deotada por Ho. A reeção de Ho leva a acetação de uma hpótee alteratva, repreetada por H. Erro do Tpo I e II - Se uma hpótee for reetada quado deveram er aceta, dz-e que fo cometdo um erro do Tpo I. e, por outro lado, for aceta uma hpótee que devera er reetada, dz-e que fo cometdo um erro Tpo II. Em ambo o cao ocorreram uma decão errada ou um erro de ulgameto. ível de Sgfcâca - Ao tetar uma hpótee etabelecda, a probabldade máxma com a qual etaremo dpoto a correr o rco de um erro Tpo I é deomada ível de gfcâca do tete. Ea probabldade, repreetada freqüetemete por, é geralmete epecfcada ate da extração de quaquer amotra, de modo que o reultado obtdo ão fluecem a ecolha. Se, por exemplo, é ecolhdo um ível de gfcâca 5%, o plaeameto de um tete de hpótee, há etão cerca de 5 chace em 00, da hpótee er reetada, quado devera er aceta, to é, há uma cofaça de cerca de 95% de que e tome uma decão acertada. Tpo de Tete de Hpótee.4 Tete para a Méda (cohece ) (a) Formulação da hpótee Ho: = 0 v H : 0 (a) > 0 (b) < 0 (c) a ) ível de gfcâca - ormalmete adota-e um valor de etre % a 0%. Etabelecer o valore crítco Tabela ormal padrão

15 / / Z / Z / -Z (a) (b) ( c ) 3 a ) Cálculo da varável tete ( Z x 0). 4 a ) Cocluão: Se a) Z Z cal Aceta-e Ho Z.5 Tete para a Méda (ão cohece b) Se Z cal Z Reeta-e Ho c) Se Z cal Z Reeta-e Ho. ) Z a ) Formulação da hpótee Ho: = 0 v H : 0 (a) > 0 (b) < 0 (c) a ) ível de gfcâca - ormalmete adota-e um valor de etre % a 0%. Etabelecer o valore crítco / / Varável t tabelada: Tete blateral: 3 a ) Cálculo da varável tete t cal (a) x 0 t ( ; (b) - t ) e Tete Ulateral: t ( ; ) = méda amotral = valor da hpótee ula = devo-padrão amotral (c) = tamaho da amotra 3

16 4 a ) Cocluão: a) Se t tcal Aceta-e Ho t t b) Se t cal Reeta-e Ho c) Se t cal t Reeta-e Ho. Abordagem p-valor (ou probabldade de gfcâca): é a formação obre a força da evdêca cotra Ho obtda a partr do dado. Ito é, é formado e o valor obervado para a etatítca de tete que levou à reeção de Ho etá próxma da frotera da regão crítca (RC) (baxa evdêca cotra H0) ou e etá muto afatada da frotera (alta evdêca cotra Ho). Regra: a prátca fcamo com a tuação, reeta-e H 0 quado o p-valor é meor que o ível de gfcâca, que repreeta a probabldade de reeção devda da hpótee ula. Regra habtual: P >, ão reeta-e H 0 P, reeta-e H TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS Comparação de méda Cao com amotra 3. Tete t para dua amotra depedete - (Varâca gua) A formação de pare de elemeto mlare em empre é vável. Uma alteratva é coderar dua amotra depedete. O tete para dua amotra depedete, oruda de populaçõe com dtrbução ormal, com méda ( ) e com varâca ( e ) decohecda e gua. Supoção báca: A obervaçõe ão depedete; O do grupo provêm de dtrbuçõe orma; O do grupo pouem a mema varâca. a Hpótee : H 0 : v H : ; H : ou H : a ível de gfcâca Valore crítco: blateral t(+ -; ) e ulateral t ( + - ; ) 3 a Varável tete t = amotra é dada: ( x x ( x x ) ) ode o etmador do devo padrão da dfereça etre a méda ( ) S ( ) S S ( x x) : úmero obervado a amotra ; : úmero obervado a amotra S e a varâca amotra. S 4 a Cocluão: A hpótee ula (H 0 = ) é reetada quado t calc, o valor da etatítca t, em valor aboluto, é maor do que o valor crítco t( + ; ), obtdo da tabela da dtrbução t de Studet com ível de gfcâca. 4

17 3. Tete t para dua amotra pareada - O tete t é aproprado para comparar couto de dado quattatvo, em termo de eu valore médo. a Hpótee : H 0 : v H : ; H : ou H : H 0 : D 0 v H : D 0; H : D 0 H : D 0 - valor eperado da repota do tratameto - valor eperado da repota do tratameto a ível de gfcâca - Valore crítco: blateral t (-; ) e ulateral t (-; ) 3 a Varável tete t calc = d d ode : tamaho da amotra; d : méda da dfereça e d : devo padrão da dfereça. 4 a Cocluão: Regão crítca para tete blateral: RC = {t ϵ R t calc < ou t calc >+ t }. Regão crítca para tete ulateral: RC = {t ϵ R t t calc > t } 3.3.Tete F para comparação de dua varâca populacoa - Comparação de varâca Supoha que queremo comparar dua populaçõe, upotamete com dtrbuçõe orma, têm a mema varâca. Formulam-e a hpótee: a Ho: v H : (tete blateral) ou H : ; H: (tete ulateral) ode : varâca da população :var âca da população. 0 ível de gfcâca Regão crítca: Blateral: F up (gl = -; gl = -; ) e F f (gl = -; gl = -;- ) = Ff = F ( ) ( gl; gl) Ulateral: F f [(- ) (gl; gl)] ou F up [ (gl; gl)] 3 0 Etatítca tete: f = ode ão a varâca a codção 4 0 Cocluão: Reeta-e Ho: Para tete ulateral à eq: fcalc < F (- ) (gl; gl) e Ul.dr: fcalc > F (gl; gl) >. Para tete blateral, fcalc < F (- ) (gl; gl) e fcalc > F (gl; gl) 5

18 4 ESTATÍSTICA ÃO PARAMÉTRICA a pequa cetífca vmo que ão muto uado o tete t de Studet, a aále de varâca, o tete de Tukey, a regreão lear, etc.ta tete exgem, para ua aplcação que a varável em aále ea umérca e a hpótee eam feta obre o parâmetro, daí o ome: tete paramétrco. Ma, o tete paramétrco têm ada outra exgêca. O tete paramétrco exgem que o dado teham uma dtrbução ormal ou aproxmadamete ormal, que ea métrca, além da preupoção de homogeedade de varâca (homocedatcdade), O problema exte quado eta exgêca ão ão atfeta e a amotra ão pequea. O tete ão paramétrco ão meo exgete ão exgdo ormaldade do dado. Pode-e trabalhar com varáve ão umérca, am como, pode-e trabalhar com o poto ocupado pela varáve ou com ua frequêca. Todo ee apecto devem er levado em cota quato à determação da prova ótma ou ma adequada para aalar determado couto de dado de pequa. Aalado o apecto levatado aterormete fazemo a opção pela aplcação de tete paramétrco (ma forte e robuto) ou tete ão paramétrco quado certa codçõe ão ão atfeta ta como: A obervaçõe ão erem depedete A obervaçõe forem extraída de populaçõe que ão pouem uma aproxmação com a dtrbução ormal. A populaçõe ão pouem varâca emelhate (homocedatcdade) e ão apreetam uma relação cohecda etre ela. A varáve em etudo ão apreetam medda tervalar de modo a ão pobltar o emprego de etatítca como o cálculo de méda e de devo (parâmetro). TESTES ÃO PARAMÉTRICOS-CASOS DE DUAS AMOSTRAS IDEPEDETES 4. Tete Qu-quadrado O tete erve para tetar a hpótee de que dua varáve categórca depedete ou, o que matematcamete é o memo, tetar a hpótee de que dua probabldade ão gua. Ateção a exgêca:. Idepedêca do grupo em comparação: o do grupo em comparação devem er depedete como, por exemplo, um grupo cotrole e outro expermetal, ou um grupo é cottuído por portadore de uma doeça e outro por ão-portadore.. Tamaho da amotra: a amotra deve er de tamaho gual ou maor do que 0. Se a amotra for meor que 40, a freqüêca eperada devem er maore que 5. ETAPAS a Elaboração da hpótee etatítca H 0 : A varáve ão depedete H : A varáve ão ão depedete, ou ea, a varáve apreetam algum grau de aocação etre. a Etabelecer o ível de gfcâca. ete cao, a varável tete a er adotada erá a com [(h )(k )] grau de lberdade A regão de gfcâca é ulateral. 3 a Cálculo da varável tete Calcular a freqüêca eperada (Fe hk ) e avalá-la, cao extam eveto que ão atfaçam à codção Fe 5, ete devem er udo ao eveto adacete. 6

19 L xc F 0 Fe = L xc F 03 Fe 3 = 3 L xc F 0 Fe =... L xc F 0hk Fe hk = h k Etatítca de tete para um tete de depedêca h k ( Fo Fe ) cal Fe Fe) ( Fohk Fehk) ( Fo... Fe Fe hk 4 a Cocluão: Se Reeta-e H cal 0 ao ível de gfcâca e coclu-e que a varáve ão depedete. Codçõe para o Uo do tete Qu-Quadrado: Utlzar quado >0. Cao cotráro optar pelo exato de Fher. Se 0< <40, aplca o tete omete e toda frequêca eperada ão maore que 5. Muto etatítco recomedam calcular o valor de com correção de cotudade quado o grau de lberdade for gual a. A dtrbução empírca do calculado ão e aproxma da dtrbução teórca. A etatítca cohecda como corrgdo de Yate em hora ao etatítco ( Fo Fe 0,5) que a propô, Frak Yate, é dada por: Fe A correção de cotudade produz um tete ma coervador, to é, um tete que tem meor probabldade de reetar a hpótee de uldade. Se a amotra é pequea, o efeto da correção de cotudade é ada maor. O Coefcete de Cotgêca - Quado a hpótee ula é reetada, coclu-e que a varáve ão depedete e apreetam algum grau de aocação que pode er medda pelo coefcete de cotgêca de Pearo (C), que é dado pela fórmula: cal.00%. C cal O Coefcete de Cotgêca (C) pou tervalo de varação de: 0 < C <, que é terpretado da egute forma: - quato ma próxmo de etver o valor de C maor erá o grau de depedêca etre a varáve. - quato ma próxmo de 0 etver o valor de C meor erá o grau de depedêca etre a varáve. 4. Tete Qu-quadrado para Homogeedade - O tete de homogeedade teta a afrmatva de que populaçõe dferete têm a mema proporção de alguma caracterítca. a pequa, alguma amotra ão retrada de populaçõe dferete, e para determar e ea populaçõe têm a mema proporção da caracterítca em coderação, aplca o tete de homogeedade. A palavra homogêeo gfca tedo a mema qualdade, e ete cotexto, teta-e e a proporçõe ão a mema. ETAPAS a Elaboração da hpótee etatítca H 0 : A varáve ão homogêea H : A varáve ão ão homogêea 7

20 O requto, a etatítca tete, o valor crítco têm o memo procedmeto que o tete de depedêca com exceção da hpótee. 4.3 Tete de Ma-Whtey amotra depedete O tete de Ma-Whtey é utlzado para tetar a hpótee de que dua populaçõe têm a mema dtrbução. Ee tete é, portato, uma alteratva para o tete t o cao de amotra depedete. Ma ó deve aplcar o tete de Ma-Whtey e ua amotra for pequea e/ou a preupoçõe exgda pelo tete t etverem eramete comprometda. Procedmeto: a) Coderar :o úmero de cao do grupo com meor obervaçõe : o úmero de cao do grupo com maor obervaçõe. b) Codere todo o dado do do grupo e coloque-o em ordem crecete. Atrbua o valor do poto, prmero ao ecore que algebrcamete for meor e proga até = +. À obervaçõe empatada atrbur à méda do poto correpodete. c) Calcular: R = oma do poto do grupo. R = oma do poto do grupo. d) Calcular a etatítca U R ( ) ETAPAS: a Elaboração da hpótee etatítca: H 0 : ão há dfereça etre o grupo H : Há dfereça etre o grupo a Etabelecer o ível de gfcâca. Para grade amotra ( >0 e >0, egudo Sdey Segel; 006) Quado H 0 é verdadera, o valore de Z calculado têm dtrbução atotcamete ormal com méda zero e varâca um. Com auxílo da tabela ormal padrão determa-e a regõe crítca. 3 a Cálculo do valor da varável. Utlze o meor valor de U; Z cal U ( u) ; ( u) 4 a Cocluão: a) Se Z Z cal ão reeta-e H 0 ou Z b) Se Z cal Z Reeta-e H 0 c) Se Z cal Z Reeta-e H 0. U ( ) R.. ( u) e ( u) ( TESTES ÃO PARAMÉTRICOS - CASOS DE DUAS AMOSTRAS RELACIOADAS 4.4 Tete de Wlcoxo - O tete do poto de Wlcoxo deve er aplcado ao dado pareado. Ete tete é, portato, uma alteratva ao tete t de Studet o cao de amotra depedete, ma ó deve er aplcado quado a preupoçõe exgda pelo tete t etverem eramete comprometda (a dfereça proveham de dtrbução ormal). Trata-e de uma exteão do tete do a, e é ma tereate que o tete do al, po leva em coderação a magtude da dfereça para cada par. ) 8

21 Procedmeto: a) Determar para cada par a dfereça (d) etre o do ecore. b) Atrbur poto (colocar em ordem crecete) todo o d, decoderado-e o a. c) Idetfcar cada poto pelo al + ou - do d que ele repreeta. d) Defr a etatítca T = meor da oma de poto de memo al. T + : oma do poto do d potvo e T - : oma do poto do d egatvo. A oma do poto é gual a (+) /. e) Abater do o úmero de zero, to é, d = 0. ETAPAS - para grade amotra ( > 5 egudo Sdey Segel, 006) a Elaboração da hpótee etatítca H 0 : ão há dfereça etre o grupo H : Há dfereça etre o grupo a Etabelecer o ível de gfcâca. 3 a Para grade amotra - Quado H 0 é verdadera, o valore de Z calculado têm dtrbução atotcamete ormal com méda zero e varâca um. Com auxílo da tabela ormal padrão, determae a regõe crítca. 4 a Etattca tete: T = Soma da dfereça do poto potvo Z cal T T T T ( ) 4 T ( )( 4 ) 5 a Cocluão: regra habtual da tabela ormal padrão Empate - 0 tpo - Cao o do ecore de algum par ão gua, d = 0 (ão houve dfereça etre do tratameto), ta pare ão retrado da aále e o tamaho da amotra é reduzdo. 0 tpo - Do ou ma d podem er de mema magtude. Atrbu-e o empate o memo poto. O ovo poto erá a méda do poto que teram do atrbuído e o d tveem dferdo. TESTES ÃO PARAMÉTRICOS CASO DE MAIS DE DUAS AMOSTRAS 4.5 Tete de Krukal-Wall: Trata-e de um tete extremamete útl para decdr e K amotra (K > ) depedete provém de populaçõe com méda gua. Poderá er aplcado para varáve tervalare ou orda. Procedmeto: a) Dpor, em ordem crecete, a obervaçõe de todo o K grupo, atrbudo-lhe poto de a. Cao haa empate, atrbur o poto médo. b) Determar o valor da oma do poto para cada um do K grupo: R com =,,..., K. c) Realzar o tete: a ) A hpótee : Ho: ão há dfereça etre o grupo. H : há dfereça etre o grupo. a ) Fxar. Ecolher uma varável Qu-quadrado ( ) com = k. Com auxílo da tabela Qu-quadrado ( ), determam-e a regõe crítca. 3 a ) Calcula-e a etatítca H : H ( ). K ( R ) 3 ( ) 9

22 ode = tamaho de cada amotra e = 4 a ) Cocluão. O valor crítco para H( Hα,,,... ) para expermeto com úmero de grupo (k 5), acma de 5 grupo a dtrbução e aproxma da qu-quadrado, e ete cao a varável Qu-quadrado ( ) com = k. Se houver empate o poto, corrgr o valor de H obtdo o cálculo. O fator de CE H correção é: Fc = - e CE = 3 ( t 3 t) logo Hc = Fc TESTE DU Uma opção para realzar a comparaçõe múltpla para um tete ão paramétrco. O método é aplcado obre o poto médo obtdo a amotra R = R /. Icalmete ordeam-e do maor ao meor o poto médo, calculam-e a dfereça etre a méda do poto. A etatítca tete é dada por: Q calc R A R EP B ode EP ( ) ( A ) ou ( ) CE EP ( ) ( ) A B Codere ee procedmeto para o cao em empate. O valor crítco Q ( α; k ) ão ecotrado a tabela da dtrbução Q para tete de comparaçõe múltpla ão paramétrca. B 5 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LIEAR SIMPLES A teora de Regreão teve orgem o éculo XIX com Glato. Em um de eu trabalho, etudou a relação etre a altura do pa e do flho (X, Y ), procurado aber como a altura do pa fluecava a altura do flho. otou que e o pa foe muto alto ou muto baxo, o flho tera uma altura tededo à méda. Em geral, upoha que haa uma úca varável depedete, ou repota, Y que depede de k varáve depedete ou regreora, deomada X, X,...X k. A relação etre ea varáve é caracterzada por um modelo matemátco chamado de equação de regreão. O modelo de regreão é autado a um couto de dado amotra. Em alguma tuaçõe, o pequador ecolhe uma fução aproprada para aproxmar f.. Modelo de Regreão Lear Smple a regreão lear obetva-e determar relação etre uma úca varável regreora X e uma varável repota Y. Pode-e aumr que a varável regreora X ea cotíua e cotrolada pelo pequador. Cao o expermeto ea plaeado, ecolhem-e o valore de X e obervam-e o valore correpodete de Y. Supoha que a verdadera relação etre Y e X ea uma lha reta e que a obervação Y para cadaível de X ea uma varável aleatóra. O valor eperado de Y para cada valor de X é: E(Y\X) = 0 X. Em que o parâmetro 0 e ão cotate decohecda. Aume-e que cada obervação Y pode er ecrta pelo modelo Y = 0 X e 0

23 Sedo (e) o erro aletóro com méda zero e varâca, o erro e ~ (0, ). O erro ão varáve aleatóra ão correlacoada. O modelo de regreão evolve omete uma varável regreora X e, por o, é chamado Modelo de Regreão Lear Smple, dado a etmatva do parâmetro. X X Y X X Y ) ( ˆ O etmadore 0 ˆ ˆ e ão o etmadore de mímo quadrado do tercepto e clação, repectvamete. O modelo de regreão lear mple autado é: X Y ^ 0 ^ ^ que dá uma etmatva potual da méda de Y para cada valor de X. O deomador é a oma de quadrado corrgda de X e o umerador é a oma do produto de X e Y corrgda, que podem er ecrta de uma forma ma mple: S xx X X ) ( X X ) ( S xy Y X Y X. X X Y ) ( am, Coefcete de Correlação Lear de Pearo- Tem por obetvo medr o grau de aocação etre dua varáve. O trumeto empregado para a medda da correlação lear de Pearo, repreetado pela letra r, e é obtdo por: Y Y S ode S S S Y Y X X Y X XY r YY YY XX XY O Coefcete de correlação é um úmero em dmeão (admeoal) cuo valor e tua etre (-; +). Quado X e Y varam o memo etdo, dz-e que a correlação é potva, am, o coefcete de correlação tem al potva. Quado X e Y varam em etdo cotráro, dz-e que a correlação é egatva, am, o coefcete de correlação tem al egatvo, ou ea, Se r =, a correlação é potva perfeta; Se r = -, a correlação é egatva perfeta; Se r = 0, a correlação é ula. O al da correlação dca qual tedêca da varação couta da dua varáve coderada, etretato, deve-e coderar também a tedade ou o grau de correlação.

24 Tete de hpótee para Correlação - Tetar a hpótee que o coefcete de correlação ea gual a zero, H o = 0 H = 0 o tete etatítco aproprado para eta hpótee é dada por: r t0, que egue r uma dtrbução t com (-) grau de lberdade, e H 0 for verdadera. Am reeta-e a hpótee ula e t > 0 t ;( ) Etmação de - A dfereça etre o valor obervado Y e o correpodete valor autado deomado RESÍDUO. O -émo reíduo é defdo por: e = Y Yˆ Y ( ˆ ˆ X ) =,,...,. 0 O reíduo tem papel mportate a verfcação do aute do modelo e a upoçõe que ão realzada. Varâca Redual da Amotra - Além de etmar 0 e, uma etmatva de é eceára para tetar a hpótee e cotrur tervalo de cofaça pertete ao modelo de regreão. Eta etmatva pode er obtda do reíduo e = Y Yˆ. A oma de quadrado do reíduo é dada por: SQRe = e ( Y Yˆ ). Apó o deevolvmeto matemátco SQ Re S yy ˆ S xy. A oma de quadrado do reíduo tem (-) grau de lberdade, po do grau de lberdade ão aocado com a etmatva ˆ ˆ 0 e evolvda a etmação de Yˆ. O valor eperado da SQRe é E(SQRe) = (-)., de forma que um etmador ão veado de é: Yˆ é Tetado Hpótee a Regreão Lear Smple - Para tetar hpótee obre o tercepto ( 0) e o coefcete agular ( ) do modelo de regreão, deve-e fazer a upoção de que o (e ) ão ormalmete dtrbuído, ou ea, aume-e que o erro e ~ ID (0, ). Tete para o coefcete agular - Para e tetar a hpótee de que o coefcete agular é gual a um valor cotate, por exemplo,, 0. A hpótee aproprada ão: H 0 : =, 0 v H :, 0 em que e epecfcou uma hpótee alteratva blateral. ˆ,0 t egue uma dtrbução t com (-) grau de lberdade ob H 0 : =, 0. A QM Re / S xx etatítca t é uada para tetar H 0 comparado-e o valor obervado de t com o valor tabelado da dtrbução t: t. A hpótee ula erá reetada e t > t. ;( ) Tete para o coefcete agular - Um procedmeto mlar poe er uado para tetar a hpótee obre o tercepto. Para tetar: H 0 : 0 = 0, 0 v H : 0 0, 0, ua-e a etatítca tete: ˆ 0 0,0 t0 x QM Re ( ) S xx ;( )

25 e reeta-e a hpótee ula e t 0 > t. Um cao epecal é tetar: H 0 : = 0 v H : 0., cua a ;( ) hpótee eta relacoada com a gfcâca da regreão. Se H 0 : = 0 ão for reetada, to mplca que ão há uma relação lear etre X e Y; logo o melhor etmador de Y para qualquer valor de X é Yˆ Y. Aále de Varâca a Regreão - A determação da equação de regreão deve er precedda de uma aále de varâca, a fm de comprovar etattcamete, e o dado apreetam a upota relação lear etre a varáve X e Y. Hpótee a erem tetada pela aále de varâca a regreão: Hpótee levatada: H 0 : = 0 (ão exte a regreão) v H : 0 ( exte a regreão) Quadro da Aále de Varâca a Regreão CAUSA DE GRAUS DE SOMA DE VARIAÇÃO (CV) LIBERDADE (GL) QUADRADOS (SQ) QUADRADO MÉDIO (QM) Regreão SQ Regreão QM Regreão F calculado Reíduo (-) SQ Reíduo QM Reíduo 5% Total (-) SQ Total QM QM Regreão Reíduo F tabelado Cocluão: e F calc F tab [, (-); / ], reeta-e H 0 ao ível de gfcâca adotado, e coclu-e que exte a regreão. Como SQTotal = SQReg + SQRe SQTotal = S yy SQReg = ˆ.S xy SQRe = SQTotal SQReg ; Oberve que ao realzar a aále de varâca, o procedmeto é comparar a varâca; % ( y y) = y yˆ ) + ( yˆ y) ( ou correpode a SQTotal = SQRe + SQReg. : SQTotal é a varação total de Y em toro da méda; : SQRe é a varação de Y em toro da reta; : SQReg é a varação da eperaça epecífca de Y, em toro da méda. Coefcete de Determação ou Explcação - A Soma de Quadrado Total mede a varação a obervaçõe Y, ou a certeza em predzer Y quado X ão é coderado. De forma aáloga, Soma de Quadrado do Reíduo mede a varação em Y quado um modelo de regreão utlzado a varável X é empregada. Uma medda atural do efeto de X reduzdo a varação em Y, ou ea, em reduzr a certeza a predção de Y, é exprear a redução da varação como (SQTotal SQRe = SQReg) como uma proporção da varação total: SQRegreão SQReíduo R ou SQTotal SQTotal A medda R é chamada de coefcete de determação ou explcação e eu compo de varação é: (0 R ) e dca a proporção da varação total que é explcada pela regreão 3

26 Se R =, todo o poto obervado e tuam exatamete obre a reta de regreão, etão a varaçõe de Y ão 00% explcado pela varaçõe de X por meo da fução epecfcada, coforme fgura. Por outro lado, um R = 0 pode ou ão dcar auêca de correlação etre X e Y, coforme fgura. Aále de Reíduo - Reíduo do aute de MRLM A aále de reíduo deempeha papel fudametal a avalação do aute de um MRL, vetga a adequação do modelo quato à upoçõe báca do modelo, bem como orrmaldade, depedêca do erro, homocedatcdade, relação lear de X e Y e falta de aute do modelo propoto. Além do tete de gfcâca e adequação, a aále de reíduo vem complemetar o eleco de procedmeto que devem er realzado apó o aute de qualquer modelo. Propredade de reíduo - Se o erro: e = (Y- Yˆ ) com =,,..., P- E[e ] = 0;. ( x x) P- Var[e ] = [ ] ; coderado S xx ( x x) ( x x)( x x) h = ( ) e h = [ ] S S xx xx Var[e ] = ( h ) ; P3- Cov[e, e ] = h com,=,,..., ; o modelo, há a upoção de ormaldade do erro e, tem-e que Y tem dtrbução ormal e o reíduo ão ão depedete. Em reumo, o reíduo (e,e,...e ) ão ão depedete e pouem varâca dferete que depedem do valor de X correpodete a x. Tpo de reíduo - Reíduo padrozado ão ecaloado para reduzr uma varável aleatóra a ter eperaça com méda zero e eu devo padrão ea aproxmadamete gual a um. Coequetemete d > 3 dca outler. d = e e QM Re ˆ com =,,..., Reíduo a forma de Studet (Etudetzado) o reíduo padrozado e etudetzado ão parecdo, ma em alguma tuaçõe o reíduo etudetzado é ma eível para detectar poto fluete. r = e com =,,..., ˆ ( h ) Gráfco de reíduo - Para o modelo de regreão, o termo do erro e ão aumdo erem varáve aleatóra orma e depedete, com méda zero e varâca.se o modelo é adequado para o dado, o reíduo obervado, devem refletr a propredade aumda para o erro e. Eta é a déa báca da aále de reíduo, uma maera útl de examar a adequação de um modelo etatítco. Aále gráfco é muto efcete para verfcar a adequação do modelo, e checar volaçõe do modelo (ão depedêca do erro, ormaldade do erro, varâca cotate do erro). a- Gráfco do Z veru varável regreora ou valore etmado. o gráfco plota-e o reíduo padrozado (z) o exo da ordeada e a varável regreora (x) ou o valor etmado da varável repota o exo da abca. Amba o gráfco o dará mema formaçõe. A caracterítca do gráfco é que a faxa de varação do reíduo ao logo do valore de X é cotate, ou ada, o poto devem etar epalhado aleatoramete, ão demotrado ehuma tedêca. Io dca a ão volação do modelo. b- Preeça de Outler 4

27 Outler ão obervaçõe extrema. Outler redua podem er detfcado o gráfco de reíduo veru X, ou ada, utlza do gráfco de caxa do reíduo. O gráfco de reíduo padrozado é partcularmete útl, po permte dtgur obervaçõe afatada, uma vez que e tora fácl detfcar reíduo que e ecotram muto devo padrão do zero. Embora a preeça de outler poa crar dfculdade, ó é recomedável retrá-lo da aále e há evdêca dreta que repreeta um erro de coleta, um cálculo mal feto ou crcutâca mlar. c- ormal probablty Plot Pequeo afatameto da ormaldade ão cram éro problema, o que ão é verdadero para grade afatameto. Uma forma de aalar a ormaldade do reíduo é aále gráfca atravé do gráfco ormal Probablty. ete cao cada reíduo é plotado cotra eu valor eperado de ormaldade. Um gráfco aproxmadamete lear ugere cocordâca com a ormaldade, equato um gráfco que e afata ubtacalmete da leardade ugere que a dtrbução do reíduo ão ea aproxmadamete ormal. Cao ea volada o preupoto pela aále de reíduo, partr para traformaçõe de dado e realzar ovamete o procedmeto. AULA 6 Eao Iteramete Caualzado - Aále de Varâca = Comparaçõe de Méda A aále de varâca é uma técca que pode er realzada para determar e a méda de dua ou ma populaçõe ão gua. O tete e baea uma amotra extraída de cada população e teta a egute hpótee ao ível de gfcâca. H 0 : A méda da populaçõe ão gua H : A méda da populaçõe ão dferete. SUPOSIÇÕES: a) O modelo deve er adtvo, to é, o efeto devem e omar; (Tete de ão adtvdade) b) O erro (e) devem ter dtrbução ormal; (Tete de Shapro-Wlk, Lllefor, Kolmogorov,...) c) O erro (e) devem er depedete; (garatda pelo prcípo da caualzação) d) O erro (e) devem ter mema varâca (homocedatcdade: Tete de Bartlett, Hartley..). - Prcípo báco da expermetação A pequa cetífca etá cotatemete e utlzado de expermeto para provar ua hpótee. É claro que o expermeto varam de uma pequa para outra, porém, todo ele ão regdo por algu prcípo báco, eceáro para que a cocluõe que veham a er obtda e torem válda... - Prcípo da repetção Ao compararmo, por exemplo, do herbcda (A e B), aplcado em dua parcela perfetamete gua, apea o fato do herbcda A ter apreetado maor cotrole que o B ão é ufcetemete para que poamo coclur que o memo é ma efcete, po ee eu maor cotrole poderá ter ocorrdo por mple acao ou ter do fluecado por fatore etraho. Porém, e o do herbcda forem aplcado a vára parcela e, ada am, verfcarmo que o herbcda, A apreeta, em méda, maor cotrole, exte á um díco de que ele ea ma efcete. Equematcamete: A B Expermeto báco Prcípo da repetção A A A A A A B B B B B B Repetçõe 5

28 .. - Prcípo da caualzação Memo reproduzdo o expermeto báco, poderá ocorrer que o herbcda A apreetou maor cotrole por ter do favorecdo por qualquer fator, como por exemplo, ter toda a ua parcela agrupada uma faxa de meor fetação. Para evtar que um do herbcda ea tematcamete favorecdo por qualquer fator extero, procedemo à caualzação do herbcda a parcela, to é, ele ão degado à udade expermeta de forma totalmete caual. O prcípo da caualzação tem por faldade propcar a todo o tratameto a mema probabldade de erem orteado a qualquer da udade expermeta. Equematcamete: A B Expermeto báco Prcípo da repetção e caualzação B A A B A B A B A B B A Repetçõe + caualzação Ao fazer um expermeto coderado apea ee do prcípo, temo o deleameto teramete caualzado ou com um fator. A parcela que receberão cada um do tratameto ão determada de forma teramete caual, atravé de um orteo, ou uado a tabela de úmero aleatóro para que cada udade expermetal teha a mema probabldade de receber qualquer um do tratameto etudado, em qualquer retrção o crtéro de caualzação. A obervaçõe de cada grupo ou tratameto ão tabelada para facltar a aále egudo a hpótee laçada. Tratameto ( I ) Repetçõe ( J )... I Tota Y Y... Y I Y Y... Y I J Y J Y J... Y IJ Tota T T T I G Méda mˆ... mˆ I mˆ mˆ T J Y J ; T J J YJ ;... T I Y IJ I ; G T Y ; mˆ G I x J. Modelo Matemátco: Y = m + t + e, ode m = Méda geral do expermeto t = Efeto do -émo tratameto, =,,...,I e = Erro expermetal, com =,,...,J, ode e ~ (0; )..3 Quado utlzar? Quado toda a udade expermeta etverem ob a mema codçõe. 6

29 .4 Vatage a) Pode-e ter úmero dferete de repetçõe por tratameto e qualquer úmero de tratameto, o etato, é preferível o memo úmero de repetçõe. b) O úmero de grau de lberdade do reíduo é o maor poível. c) Se ocorrer a perda de alguma parcela, eta ão acarretará dfculdade a aále. Deve-e coderar depedêca etre tratameto e etre parcela do memo tratameto. Além do, a obervaçõe por tratameto ão orma de méda m e de mema varâca, ou ea: Y ~ (m ; )..5 Quadro de Aále de Varâca e Tete F. Para tetar a hpótee cotruremo o egute quadro de aále de varâca: Fote de Varação Grau de Lberdade Soma de Quadrado Quadrado Médo F cal F tab Tratameto(T) I - SQT QMT QMT/QMR [(I ), I(J )] Reíduo (R) I(J ) SQR QMR Total (To) IJ - SQTo G Ode, SQTo Y C; edo C ; I J SQT I J T C ; SQR = SQTo SQT SQT QMT ; I SQR QMR I( J ) QMT F cal ; F tab [( I ); I( J )] QMR - Am, e F cal > F tab Reeta-e H 0, to é, a méda da populaçõe ão dferete. Com a aále de varâca decobre-e que exte dfereça etre a méda. Para comparar eta dfereça de méda, pode-e utlzar o tete de Tukey..6 - O Coefcete de Varação (C.V.) QMR O coefcete de varação é dado pela fórmula: C. V. x00% mˆ Se C.V. < 5% Expermeto ótmo e a méda repreetatva; Se 5% < C.V. < 30% Expermeto bom e a méda pouco repreetatva; Se C.V. > 30% Expermeto rum e a méda ão repreetatva. 7

30 .7 Tete de comparaçõe múltpla O tete de comparaçõe múltpla, ou tete de comparaçõe de méda, ervem como um complemeto do tete F, para determar dfereça etre o tratameto. Para uma melhor compreeão dete tete ão eceára algu coceto, ta como: Tete de Tukey - Cote em comparar a méda dua a dua atravé da ua dfereça em valor aboluto, com a dfereça míma gfcatva que é dada por: q. Vˆ( yˆ), ode q = ampltude total etudetzada, tomada em tabela ao ível de 5% e %, coderado-e úmero de tratameto e grau de lberdade do reíduo. e o tratameto tverem o memo úmero de repetçõe, porém, e o tratameto tverem úmero de repetçõe dferete, tem-e: q. (... ). QMR Tete de Duett - Ee tete é quado a úca comparaçõe que teream ao expermetador ão aquela etre um determado tratameto padrão ou tetemuha, e cada um do dema tratameto. calcular a etmatva de cada cotrate: I Ŷ mˆ Ŷ.Ŷ I mˆ mˆ I mˆ mˆ mˆ P P P mˆ P Padrão ou Tetemuha. Calcular o valor do tete d dado por: d' t. d QM Re. r ode t d é o valor dado a tabela para uo o tete de Duett (5% e %), em fução do úmero de grau de lberdade de tratameto (I ) e do úmero de grau de lberdade do reíduo ( ). Comparar cada etmatva de cotrate, em valor aboluto, com o valor d. Se o módulo de Yˆ d' Reeta-e Ho, to é a méda da tetemuha e a méda do tratameto com ela comparado dfere etattcamete a um ível de probabldade. Se o módulo de Yˆ < d Aceta-e Ho, to é, a méda da tetemuha e a méda do tratameto com ela comparado ão dfere etattcamete a um ível de probabldade. 8

31 7 - Deleameto em Bloco Caualzado Modelo Matemátco : Y = m + t + b + e, ode m = Méda geral do expermeto t = Efeto do -émo tratameto, =,,...,I b = Efeto do -émo bloco, =,,...,J e = Erro expermetal, com =,,...,J, ode e ~ (0; ). ete deleameto, além do prcípo da repetção e da caualzação á vto o capítulo ateror tem-e também o cotrole local que é repreetado pelo bloco, ode cada um dele clu todo o tratameto. - Prcípo do cotrole local - Ee prcípo é freqüetemete utlzado, ma ão é de uo obrgatóro, po podemo realzar expermeto em utlzá-lo. Ele cote em aplcar o herbcda empre em pare de parcela o ma homogêea poível com relação ao ambete, podedo haver, cluve, varação acetuada de um par para outro. A cada par de parcela deomamo bloco. Equematcamete: A B Prcípo da repetção, caualzação e cotrole local 0 Bloc. 0 Bloc. 3 0 Bloc. 4 0 Bloc. 5 0 Bloc. 6 0 Bloc. A B B A A B B A A B B A Expermeto Repetçõe + caualzação + cotole local Quado tvermo dvero tratameto a comparar, cada bloco erá cottuído por um grupo de parcela que deve er um múltplo do úmero de tratameto. A faldade do prcípo do cotrole local é dvdr um ambete heterogêeo em ub-ambete homogêeo e torar o deleameto expermetal ma efcete, pela redução do erro expermetal. O delameto expermetal am obtdo é deomado de deleameto em bloco caualzado ou em bloco ao acao e, vemo que, ee cao, devemo olar ma uma caua de varação cohecda (fator cotrolado), que ão o bloco. Como cada bloco deve coter todo o tratameto, há uma retrção a caualzação, que deve er feta degado o tratameto à parcela detro de cada bloco como motra a Fgura. 5 3 Bloco 4 Bloco Bloco 3 Bloco Fgura - Dpoção do expermeto em bloco caualzado. 9

32 De todo o deleameto expermeta, ete é o ma freqüetemete utlzado e, quato maor for a heredtaredade da codçõe expermeta de um bloco para outro, maor erá a efcêca dete deleameto em relação ao teramete caualzado. A obervaçõe de cada grupo ou tratameto ão tabelada para facltar a aále egudo a hpótee laçada. Tratameto ( I ) Bloco ( J )... I Total Bloc. Méda Y Y... Y I B Y Y... Y I B J Y J Y J... Y IJ B J mˆ Total Trat. T T... T I G Méda mˆ... mˆ I mˆ mˆ mˆ mˆ J Ode: G I T Y ; mˆ G I x J 3 Quado utlzar? Quado toda a udade expermeta etverem ob a mema codçõe. 4 Vatage a) Pode-e ter úmero dferete de repetçõe por tratameto e qualquer úmero de tratameto, o etato, é preferível o memo úmero de repetçõe. b) O úmero de grau de lberdade do reíduo é o maor poível. c) Se ocorrer a perda de alguma parcela, eta ão acarretará dfculdade a aále. Deve-e coderar depedêca etre tratameto e etre parcela do memo tratameto. Além do, a obervaçõe por tratameto ão orma de méda m e de mema varâca, ou ea: X ~ (m ; ). 5 Quadro de Aále de Varâca e Tete F. Para tetar a hpótee cotruremo o egute quadro de aále de varâca: Fote de Grau de Soma de Quadrado F cal F tab =F varação Lberdade Quadrado Médo Tratameto (T) I - SQT QMT QMT/QMR [(I ), (I )(J )] Bloco (B) J - SQB QMB QMB/QMR [(J ), (I )(J )] Reíduo (R) (I )(J ) SQR QMR Total (To) IJ - SRTo SQTo Y G C; edo C ; I J 30

33 SQT I T J C J B ; SQB C ; SQR = SQTo SQT SQB I QMT SQT I ; SQB QMB J SQR QMR ( I )( J ) QMT F calt ; F tab [( I ); ( I )( J )] QMR T QMB F calb ; F tab [( J ); ( I )( J )] QMR B - Am e F cal > F tab Reeta-e Ho, to é, a méda da populaçõe ão dferete. Com a aále de varâca decobre-e que exte dfereça etre pelo meo um par de méda. Para comparar eta dfereça de méda, pode-e utlzar o tete de Tukey. 6 Tete de Tukey - Cote em comparar a méda dua a dua atravé da ua dfereça em valor Vˆ aboluto, com a dfereça míma gfcatva que é dada por: q. (ŷ), ode q = ampltude total etudetzada, tomada em tabela ao ível de 5% e %, coderado-e úmero de tratameto e grau de lberdade do reíduo. QMR q., J e o tratameto tverem o memo úmero de repetçõe, porém, e o tratameto tverem úmero de repetçõe dferete, tem-e: 7 - O Coefcete de Varação (C.V.) q. O coefcete de varação é dado pela fórmula: ( ). QMR C.V. QMR mˆ x00% Se C.V. < 5% Expermeto ótmo e a méda repreetatva; Se 5% < C.V. < 30% Expermeto bom e a méda pouco repreetatva; Se C.V > 30% Expermeto rum e a méda ão repreetatva. 3

34 8 AÁLISE DE AGRUPAMETO 8. Itrodução A Aále de agrupameto (cluter) tem como obetvo dvdr o elemeto da amotra, ou população, em grupo de forma que o elemeto pertecete a um memo grupo eam mlare etre com repeto à varáve (caracterítca) que foram medda o dvíduo, e o elemeto em grupo dferete eam heterogêeo em relação à mema caracterítca. Para o deevolvmeto da metodologa, Re (997) apreetou cco etapa: Seleção de dvíduo e da varáve da qua erá obtda a formação ao agrupameto Defção de uma medda de emelhaça ou dtâca Crtéro de agregação do dvíduo deomado de algortmo de partção; Iterpretação e valdação do reultado. 8. Coefcete de dmlardade para atrbuto quattatvo - A medda de dmlardade gfcam que quato meor o eu valore, ma mlare erão o elemeto amotrado. Extem dvera métrca que podem er utlzada como dtâca etre dvíduo obervacoa. A ma detacada etão decrta a egur. Dtâca eucldeaa - A métrca ma cohecda para dcar a proxmdade etre do dvíduo l e k é à dtâca eucldeaa, dada por: p d l,k = [ ode X e l ~ (X l - X k ) ] / em lguagem matrcal: d l,k = [( X - l X ) ( k X e l ~ ~ ~ k X ~ X )] k / ~ ão do vetore de udade amotra, comparado a varáve obervada. Dtâca eucldeaa Méda - O valor da dtâca eucldeaa aumeta quado ova varáve ão corporada à orga. Uma maera de cotorar ee problema é dvdr ee valor pela raz quadrada do úmero de caractere, to é: l, k Ea dtâca é apea um reecaloameto da ateror, poudo a mema propredade e, portato, produzdo o memo reultado e ubmetdo à técca de aále de agrupameto. Coefcete de correlação lear mple - Sokal e Seath (963) utlzam como coefcete de mlardade etre do dvíduo, para caracterzar a relaçõe etre o caractere, o coefcete de correlação mometo produto de Pearo defdo por: r, = p p x x x x p d l, k p x x x x l l l l k k k k, ode 8.3 Algortmo de agrupameto - O algortmo utlzado a formação do grupo podem er clafcado em método herárquco e ão herárquco. O método herárquco aglomeratvo ão formado a partr de uma matrz de dtâca, ode e detfca o par de dvíduo e ma e parecem. ee tate o par é agrupado formado um úco dvíduo. Ee proceo requer uma ova matrz de mlardade. Em eguda detfca-e o par que ma emelhate que formará o ovo grupo, e am ucevamete até que todo o dvíduo eteam reudo um ó grupo. 3

35 Para formalzar eta etapa coderam-e o agrupameto l, k cotedo r l, r k dvíduo. Se o agrupameto l, k e uem, to é dcado como (l, k) com r l,k = r l + r k dvíduo. Sgle Lkage - (Method SLM - Método do vzho ma próxmo) Uma população P caddata-e a um agrupameto quado apreeta uma dtâca a ete agrupameto gual à ua meor dtâca com relação ao membro do agrupameto. A dtâca etre do agrupameto L e K erá dada por: d l,k m ll kk d l,k Complete Lkage (Method CLM- Método do vzho ma dtate) Uma população P caddata-e a um agrupameto quado apreeta uma dtâca a ete agrupameto gual à ua maor dtâca com relação ao membro do agrupameto. A dtâca etre do agrupameto L e K erá dada por: d d L, K max l, k ll kk Uweghted Par-group Average (Método UPGMA - Método ão poderado de agrupameto ao pare por méda artmétca) Defe-e a dtâca etre do agrupameto como a méda etre o valore dvdua de um do grupo com o de outro grupo. d l,k = r r l k ll k K d l,k 9- COMPOETES PRICIPAIS 9. Itrodução - A aále de compoete prcpa (ACP) é uma técca etatítca multvarada que poblta, em vetgaçõe com um grade úmero de dado dpoíve, a detfcação da medda repoáve pela maore varaçõe etre o reultado em perda gfcatva de formaçõe. Geometrcamete, a ACP cote em repreetar um vetor de parâmetro em um ovo tema de coordeada ortogoa, cuo exo ão oretado a dreçõe de maor varâca do dado orga. A ACP é uma traformação lear de um epaço p-dmeoal para um epaço m-dmeoal, tal que m p. A coordeada do dado o ovo epaço ão ão correlacoada e a maor quatdade de varâca do dado orga é preervada uado-e omete pouca coordeada. Um fator mportate da ACP pode er reumdo em: dada p varáve x, x,..., x p, ecotra combaçõe leare dea para reduzr ídce z, z,..., z p que eam ão correlacoado, ode o z compoete prcpa ão ordeado de forma que Var (z ) Var (z )... Var (z p ). A redução de dmeoaldade e reume o egute: e a maora do ídce apreetarem varâca tão pequea a poto de erem gorada, a varação o couto de dado pode er apropradamete decrta pelo pouco ídce z que retêm a maore varâca. Portato, a prmera compoete prcpal é a combação lear da medda com varaçõe máxma etre o obeto de 33

36 etudo. A eguda e a tercera compoete, de forma emelhate, ão combaçõe leare que repreetam o couto de dado à próxma varaçõe máxma. O obetvo prcpal da aále de compoete prcpa é a obteção de um pequeo úmero de combaçõe leare (compoete prcpa) de um couto de varáve, que reteham o máxmo poível da formação cotda a varáve orga. Teorcamete o úmero de compoete é empre gual ao úmero de varáve. Etretato, algu pouco compoete ão repoáve por grade parte da explcação total. A aále de compoete prcpa depede omete da matrz de covarâca () ou da matrz de correlação () de x, x,..., x p. Am, o procedmeto para uma ACP e reume em ecotrar o autovalore e o correpodete autovetore da matrz de covarâca à oluçõe ão trva da equação caracterítca: ( -. I) v = 0 ode, I é a matrz detdade e ão o autovalore aocado ao repectvo autovetore v. Cada autovalor cottu uma medda relatva da fração de varâca orgal que etá cotda o repectvo autovetor. Coderado que o autovalore etão ordeado por valore decrecete, tal que:... p 0 obtém-e o autovetore (compoete prcpa - CP) o qua repreetam fração gfcatva da varâca orgal. A traformação é cocluída com a proeção do vetore orga obre cada CP, obtedo-e etão o coefcete da compoete prcpa. 9. Obteção da Compoete Prcpa Sea x o vetor da p varáve orga x T = (x, x,..., x p ), com Cov (X) =. Codere p combaçõe leare de x, x,..., x p, tal que: z = x + x p x p z = x + x p x p... z p = p x + p x pp x p A compoete prcpa ão a combaçõe leare z, z,..., z p ão correlacoada, cua varâca ão a maore poíve. Sea a matrz de covarâca aocada ao vetor de varáve aleatóra x. Seam (, ), (, ),..., ( p, p ) o autovalore e o autovetore ortogoa padrozado, aocado a, ordeado de modo que... p 0. A -éma compoete prcpal é dada por: z = x + x p x p, =,,..., p ode var (z ) =, =,,..., p,,..., p ão o elemeto do autovetor correpodete Cov (z, z ) = T = 0 para. Am, a compoete prcpa ão ão correlacoada e têm varâca gua ao autovalore de. Defe-e da egute maera a matrz de dado: 34