Trigonometria. Capítulo Conceitos preliminares

Transcrição

1 Cpítulo Trigonometri Conceitos preliminres O número π Dd um circunferênci de rio r, diâmetro d = r, o número π é denido como rzão do comprimento C d circunfeênci pelo seu diâmetro d, isto é, O comprimento de um circunferênci π = C d = C r Pel denição do número π n equção ) oservmos que o comprimento d circunferênci é ddo por Medid de ângulos Existem uniddes pr medid de ângulos ) C = π d = π r ) Grdo: grdo é um ângulo correspondente 00 de um volt complet d circunferênci Conseqüentemente, volt complet n circunferênci compreende um ângulo de 00 grdos - Figur ) Gru: gru, denotdo o, é um ângulo correspondente 0 de um volt complet d circunferênci Conseqüentemente, volt complet n circunferênci compreende um ângulo de 0 o - Figur ) Rdino: rdino, denotdo rd, é um ângulo correspondente um rco de mesmo comprimento do rio d circunferênci - Figur c) ou ) A denição de grdo 80 o 90 o 0o ou 0 o 70 o ) A denição de gru s = r rd r c) A denição de rdino Figur : Medids de ângulo

2 O comprimentro de um rco Em um circunferênci de rio r denição de rdino implic que um ângulo de rdino compreende um rco de comprimento r Logo um ângulo de θ rdinos compreende um rco de comprimento s - Figur ) O vlor s é ddo por Conversão gru-rdino rd r = θ rd s s = r θ De modo nálogo, um rco de comprimento r compreende um ângulo de rdino A circunferênci complet, um rco de comprimento π r, compreende um ângulo θ ddo por r rd = π r θ rd θ = π rd Isto é, um volt complet n circunferênci corresponde um ângulo de medid π rdinos - Figur ) s = r θ θ rd r ) Comprimento de rco 90 o = π rd θ 80o = π rd 0 o = 0 rd ou 0 o = π rd 70 o = π rd ) Conversão gru-rdino Figur : Comprimento de rco e conversão gru-rdino Assim, ddo um ângulo θ rdinos, su medid x em grus é dd por π rd 80 o = θ rd x Exemplo Determine medid do ângulo π rd em grus π rd 80 o = π rd x x = 80 π x = 80 π Exemplo Determine medid do ângulo 55 o em rdinos Clssicção de triângulos θ π = 5o π rd 80 o = x rd 55 o x = π = 5 π rd Triângulo é um polígono com ângulos internos, logo ldos Podemos clssicá-los de dus mneirs: qunto os tmnhos dos ldos: equilátero - ldos de mesmo comprimento, isóceles - ldos de mesmo comprimento, escleno - ldos de comprimentos diferentes;

3 qunto às medids dos ângulos: cutângulo - ângulos gudos menores que 90 o grus), retângulo - ângulo reto 90 o grus), otusângulo - ângulo otuso mior que 90 o grus) Triângulo retângulo Teorem de Pitágors Em um triângulo retângulo, Figur ), os ldos que formm o ângulo reto são denomindos ctetos e o ldo oposto o ângulo reto é chmdo hipotenus Os comprimentos d hipotenus e dos ctetos estão relciondos pelo Teorem de Pitágors = + c ) c c ) Um triângulo retângulo c c c ) O Teorem de Pitágors Figur : Triângulo retângulo e o Teorem de Pitágors Um prov stnte simples do Teorem de Pitágors pode ser otid trvés d Figur ): áre do qudrdo externo é igul à som d áre do qudrdo interno mis áre dos triângulos retângulos, isto é: + c = + c) + c = + c + c = + c Rzões trigonométrics no triângulo retângulo Pr cd ângulo gudo de um triângulo retângulo dene-se rzões trigonométrics conhecids como seno, cosseno, tngente, cotngente, secnte e cossecnte) d seguinte mneir seno = cosseno = cteto oposto hipotenus cteto djcente hipotenus tngente = cotngente = cteto oposto cteto djcente cteto djcente cteto oposto secnte = cossecnte = hipotenus cteto djcente hipotenus cteto oposto A Figur ilustr s rzões trigonométrics pr os ângulos α e β de um triângulo retângulo

4 seno: senα) = c senβ) = β α c cosseno: tngente: cotngente: secnte: cosα) = tgα) = c ctgα) = c secα) = cosβ) = c tgβ) = c ctgβ) = c secβ) = c cossecnte: cscα) = c cscβ) = Figur : As rzões trigonométrics Rzões trigonométrics de lguns ângulos notáveis N Figur 5) trçmos digonl de um qudrdo de ldo e então determinmos s rzões trigonométrics pr o ângulo de 5 o otido: cos5 o ) = = =, sen5 o ) = = =, tg5 o ) = = N Figur 5) trçmos ltur de um triângulo equilátero de ldo e então determinmos s rzões trigonométrics pr os ângulos de 0 o e 0 o otidos: cos0 o ) = / =, sen0 o ) = / =, tg0 o ) = / / = = cos0 o ) = / = A tel resume estes resutdos, sen0 o ) = / =, tg0 o ) = / / = ângulo 0 o 5 o 0 o sen cos tg Tel : Vlores de seno, cosseno e tngente dos ângulos 0 o, 5 o e 0 o Algums identiddes trigonométrics N Figur temos que = cosα) e c = senα); otemos então s seguintes identiddes: tgα) = c = senα) cosα) tgα) = senα) cosα) ) cotgα) = c = cosα) senα) secα) = = cscα) = c = cotgα) = cosα) senα) cosα) secα) = cosα) senα) cscα) = senα) ) c) d)

5 5 o ) Ângulo de 5 o 0 o 0 o / / c ) Ângulos de 0 o e 0 o Figur 5: Ângulos notáveis Usndo o Teorem de Pitágors otemos donde + c = cos α) + sen α) = [ cos α) + sen α) ] = cos α) + sen α) = A identidde e) é chmd de identidde fundmentl: o qudrdo do cosseno mis o qudrdo do seno de qulquer ângulo é sempre igul um A prtir d identidde fundmentl otemos outrs dus importntes identiddes: e) cos α) + sen α) cos α) cos α) + sen α) sen α) = = cos α) + sen α) cos α) = cos α) + tg α) = sec α) sen α) cos α) sen α) + = sen α) cotg α) + = csc α) f) g) Exemplo Pr um ddo ângulo θ se-se que cosθ) = 5 Determine s outrs rzões trigonométrics pr θ D identidde fundmentl otemos ) + sen θ) = sen θ) = 5 5 senθ) = 5 = 5 Logo: pel identidde ): tgθ) = /5 /5 = 5 5 = ; pel identidde ): cotgθ) = /5 /5 = 5 pel identidde c): secθ) = /5 = 5; pel identidde d): cscθ) = /5 = 5 Triângulos quisquer A Lei dos Cossenos 5 = ; Vimos que pr triângulos retângulos s medids dos ldos estão relciondos pelo Teorem de Pitágors triângulos quisquer os comprimentos dos ldos estão relciondos pel Lei dos Cossenos Figur ) Pr 5

6 β c γ α Pr o ângulo α: Pr o ângulo β: Pr o ângulo γ: = + c c cosα) = + c c cosβ) c = + cosγ) Figur : A Lei dos Cossenos A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo γ pode ser otid prtir d Figur 7 No triângulo retângulo d esquerd temos cosγ) = x x = cosγ) 5) = x + H H = x No triângulo retângulo d direit temos c = H + x) = H + x + x Sustituindo 5) e 5) em 5c) otemos c = x + cosγ) + x c = + cosγ) que é Lei dos Cossenos pr o ângulo γ 5) 5c) c H γ x Figur 7: A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo γ A Lei dos Senos Outr relção entre os comprimentos dos ldos e os ângulos de um triângulo qulquer é Lei dos Senos Figur 8), cuj demonstrção c crgo do leitor Prolem Teórico ) β c γ α senβ) = senα) = senγ) c Figur 8: A Lei dos Senos 5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulres Círculo trigonométrico é o circulo de rio unitário e centro n origem do sistem crtesino - Figur 9) Um termo mis proprido seri circunferênci trigonométric, ms o termo círculo trigonométrico é trdicionlmente utilizdo n litertur e vmos mntê-lo

7 x y, 0) ) O circulo trigonométrico O P x, y) Q R θ ) Seno e cosseno Figur 9: O seno e o cosseno no círculo trigonométrico No triângulo OP Q d Figur 9) lemrndo que OP = ) oservmos que cosθ) = OQ/OP = x/ = x e senθ) = P Q/OP = OR/OP = y/ = y, de modo que s coordends crtesins do ponto P são dds por P = x, y) = cosθ), senθ) ) Rciocinndo no sentido inverso, sej P x, y) um ponto qulquer sore o círculo unitário e θ o ângulo correspondente, medido no sentido nti-horário prtir do semi-eixo positivo ds scisss Denimos o cosseno deste ângulo como o vlor d sciss de P e seu seno como o vlor d ordend de P Est denição do seno e cosseno no círculo trigonométrico nos permite clculr os vlores ds rzões trigonométrics pr ângulos ddos por qulquer número rel, e não pens pr ângulos gudos como no cso de triângulos retângulos A Figur 0 ilustr este rciocínio pr ângulos no segundo, terceiro e qurto qudrntes O P x, y) Q R θ ) Ângulo no o qudrnte O P x, y) Q R θ ) Ângulo no o qudrnte O P x, y) Q R θ c) Ângulo no o qudrnte Figur 0: cosθ) = OQ = x e senθ) = OR = y Sinl do seno e cosseno se 0 < θ < π então senθ) > 0 e cosθ) > 0 - Figur 9); se π < θ < π então senθ) > 0 e cosθ) < 0 - Figur 0); 7

8 se π < θ < π se π então senθ) < 0 e cosθ) < 0 - Figur 0); < θ < π então senθ) < 0 e cosθ) > 0 - Figur 0c) 5 As funções circulres A função seno Sej x um ângulo vriável no círculo trigonométrico A cd vlor de x ssocimos um único vlor pr seu seno, denotdo senx) Denimos então função fx) = senx), cujo gráco, chmdo senóide, é mostrdo n Figur A Figur exie dus proprieddes importntes d função senx): é periódic de período T = π; isto signic que sus imgens se repetem de π em π rdinos, isto é, x R temos que senx) = senx + π); é limitd entre e, isto é, x R temos que senx) π π π π senx) - 0 π π π π Figur : Senóide senx) x A função cosseno De modo nálogo o seno, sej x um ângulo vriável no círculo trigonométrico A cd vlor de x ssocimos um único vlor pr seu cosseno, denotdo cosx) Denimos então função fx) = cosx), cujo gráco é mostrdo n Figur A Figur exie dus proprieddes importntes d função cosx): é periódic de período T = π; isto signic que sus imgens se repetem de π em π rdinos, isto é, x R temos que cosx) = cosx + π); é limitd entre e, isto é, x R temos que cosx) Mis identiddes trigonométrics Simetris As identiddes de simetri estelecem o efeito d sustituição de α por α Pel Figur temos senα) = QR = QS = sen α) senα) = sen α) ) cosα) = OQ = cos α) cosα) = cos α) ) Ests identiddes tmém podem ser fcilmente oservds ns Figurs e respectivmente Finlmente tgα) = senα) cosα) = sen α) = tg α) tgα) = tg α) c) cos α) 8

9 π π π π cosx) - 0 π π π π Figur : Senóide cosx) x R α O α Q S senα) = sen α) cosα) = cos α) tgα) = tg α) Figur : Simetris do seno, cosseno e tngente Deslocmentos trnslções) horizontis As identiddes de trnslção estelecem o efeito d sustituição de α por α π e de α por α + π Pel congruênci dos triângulos d Figur ) oservmos que OR = OQ senα) = cos α π ), d) e OP = OS cosα) = sen α π ) e) De modo nálogo, pel Figur ) oservmos que OQ = OR cosα) = sen α + π ) f) e OS = OP senα) = cos α + π ) g) Cosseno d diferenç Inicimos deduzindo fórmul do cosseno d diferenç Clculndo o qudrdo d distânci entre os pontos P e Q d Figur 5 temos: 9

10 O P R Q S α α π ) Ângulos α e α π O P R Q S α + π α ) Ângulos α e α + π Figur : Ângulos deslocdos trnslddos) P Q = [ cosα) cosβ) ] + [ senα) senβ) ] = cos α) cosα)cosβ) + cos β) + sen α) senα)senβ) + sen β) = cos α) + sen α) + cos β) + sen β) cosα)cosβ) senα)senβ) = + cosα)cosβ) senα)senβ) = [ cosα)cosβ) + senα)senβ) ] O α β α β P = cosβ), senβ) Q = cosα), senα) Figur 5: O cosseno d diferenç: cosα β) Aplicndo Lei dos Cossenos no triângulo OP Q d Figur 5 temos: P Q = OP + OQ OP OQ cosα β) = + cosα β) = cosα β) Igulndo os resultdos otidos pr P Q otemos o cosseno d diferenç cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) Cosseno d som O cosseno d som pode gor ser otido usndo um rtifício lgérico engenhoso - sustituímos som por um diferenç e plicmos o cosseno d diferenç cosα + β) = cos [ α β) ] = cosα)cos β) + senα)sen β) 0

11 e então plicmos s identiddes ) e ) pr otermos o cosseno d som Seno d diferenç cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ) Pr otermos o seno d diferenç, inicilmente usmos identidde d) pr escrever senα β) = cos α β π ) [ = cos α β + π )] e seguir plicmos o cosseno d diferenç no memro direito senα β) = cosα)cos β + π ) + senα)sen β + π ) Ms, pelo cosseno d som e pel identidde f) cos β + π ) = cosβ)cos π ) senβ)sen sen β + π ) = cosβ) ) π = senβ) Assim o seno d diferenç é ddo por Seno d som senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) O seno d som pode ser otido pelo mesmo rtifício plicdo n dedução do cosseno d som - sustituímos som por um diferenç e plicmos o seno d diferenç senα + β) = sen [ α β) ] = senα)cos β) cosα)sen β) e então plicmos s identiddes ) e ) pr otermos o seno d som Sumário ds fórmuls d som e diferenç Sumrizmos qui os resultdos otidos: senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ) senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) h) i) j) k) 7 Redução o Primeiro Qudrnte Os eixos coordendos dividem o plno crtesino em qudrntes:

12 O P Q R θ π θ ) Do o o o qudrnte O P Q R S θ θ π ) Do o o o qudrnte O Q R S θ π θ c) Do o o o qudrnte Figur : Redução o primeiro qudrnte o qudrnte: 0 < θ < π ; o qudrnte: π < θ < π; o qudrnte: π < θ < π ; o qudrnte: π < θ < π Ddo um ângulo θ, reduzi-lo o primeiro qudrnte consiste em determinr um ângulo no primeiro qudrnte que possu s mesms rzões trigonométrics de θ, menos de um sinl Devemos considerr csos Redução do segundo o primeiro qudrnte N Figur ) oservmos que se π < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é π θ Temos que senθ) = OR = senπ θ) cosθ) = OP = OQ = cosπ θ) Conseqüentemente tgθ) = tgπ θ) ctgθ) = cotgπ θ) secθ) = secπ θ) cscθ) = cscπ θ) Exemplo O ângulo 5π está no segundo qudrnte, pois π < 5π < π Assim su redução o primeiro qudrnte é π 5π = π Logo sen 5π ) = sen π ) = e cos 5π ) = cos π ) = Redução do terceiro o primeiro qudrnte N Figur ) oservmos que se π < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é θ π Temos que senθ) = OS = OR = senθ π) cosθ) = OP = OQ = cosθ π) Conseqüentemente tgθ) = tgθ π) ctgθ) = cotgθ π) secθ) = secθ π) cscθ) = cscθ π)

13 Exemplo 5 O ângulo 5π está no terceiro qudrnte, pois π < 5π < π é 5π π = π Logo ) ) 5π π sen = sen = Redução do qurto o primeiro qudrnte N Figur c) oservmos que se π senθ) = OS = OR = senπ θ) cosθ) = OQ = cosπ θ) Conseqüentemente e Assim su redução o primeiro qudrnte ) ) 5π π cos = cos = < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é π θ Temos que tgθ) = tgπ θ) ctgθ) = cotgπ θ) secθ) = secπ θ) cscθ) = cscπ θ) Exemplo O ângulo 5π está no qurto qudrnte, pois π < 5π é π 5π = π Logo ) ) 5π π sen = sen = 8 Equções trigonométrics e < π Assim su redução o primeiro qudrnte ) ) 5π π cos = cos = Um equção trigonométric é quel que envolve s funções trigonométrics seno, cosseno, tngente, cotngente, secnte, cossecnte Resolver um equção trigonométric signic encontrr os vlores do ângulo que veric Pr este propósito Tel, que nos dá os vlores do seno, cosseno e tngente dos ângulos notáveis do o qudrnte, será de grnde uxílio θ senθ) cosθ) tgθ) π π π π 0 Tel : Seno, cosseno e tngente dos ângulos notáveis do o qudrnte A Tel nos fornece os vlores de seno, cosseno e tngente pens pr os ângulos notáveis do o qudrnte A Figur 7 mostr os ângulos nos segundo, terceiro e qurto qudrntes redutíveis os notáveis do primeiro qudrnte Exemplo 7 Resolver equção senx) = 0 Solução: pel Tel temos que x = 0 Oservndo Figur 7 temos que x = π tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl é d form x = kπ, k Z Exemplo 8 Resolver equção senx) = cosx) Solução: pel Tel temos que x = π Oservndo Figur 7 temos que x = 5π simétrico de π em relção à origem) tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl pode ser dd como x = π + kπ, k Z

14 5π π π π 7π 5π π π π π 5π π π 0 π 7π Figur 7: Ângulos redutíveis os notáveis Exemplo 9 Resolver equção cosx) = 0 Solução: temos que cosx) =, e pel Tel temos que x = π Oservndo Figur 7 oservmos que x = 5π = π simétrico de π em relção o eixo horizontl) tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl pode ser dd como 9 Prolems Propostos x = kπ ± π, k Z Prolem [Mck-SP] A medid de um ângulo é 5 o Determine su medid em rdinos Prolem [Fuvest-SP] Qul o vlor do ângulo gudo formdo pelos ponteiros de um relógio à hor e minutos Prolem [UF-PA] Quntos rdinos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? Prolem A ltur de um triângulo equilátero mede cm Determine seu perímetro e su áre Prolem 5 A digonl de um qudrdo mede cm Determine seu perímetro e su áre Prolem [PUC-SP] Se ltur de um trpézio isóceles medir 8 dm e sus ses medirem, respectivmente, 7 dm e 5 dm, determine medid de sus digonis Prolem 7 No triângulo ddo determine s medids x e y = 5 c = x = Prolem 8 No triângulo ddo se-se que c = 5, y = e ldo de comprimento é perpendiculr o ldo de comprimento c Determine e x y

15 c x Prolem 9 Em um triângulo retângulo um dos ctetos mede 5 e su projeção sore hipotenus mede Determine: y ) o comprimento do outro cteto; ) o comprimento d hipotenus; c) seu perímetro; d) su áre Prolem 0 Em um triângulo hipotenus mede 0 e rzão entre os comprimentos dos ctetos é Determine os comprimentos ds projeções dos ctetos sore hipotenus Prolem [PUC-SP] O perímetro de um losângo mede 0 cm e um de su digonis mede 8 cm Qunto mede outr digonl? Prolem Num triângulo retângulo ltur reltiv à hipotenus mede cm e projeção de um dos ctetos sore hipotenus mede cm Determine o comprimento dos ctetos deste triângulo Prolem Determine o perímetro e áre do triângulo ddo Prolem Os ldos de um triângulo medem =, = e c = + Determine s medids de seus ângulos Prolem 5 Um triângulo tem seus vértices nos pontos A, B e C Se-se que AC = BC = Se AB = e α é o ângulo oposto o ldo BC, determine α Prolem Um terreno têm form de um prlelogrmo cujos ldos medem 0 m e um dos ângulo internos mede 0 o Seu proprietário irá cercá-lo e tmém dividi-lo o meio com um cerc com os de rme Determine quntidde de rme ser utilizd Prolem 7 [ITA-SP] Os ldos de um triângulo medem, e c centímetros Qul o vlor do ângulo interno deste triângulo, oposto o ldo que mede centímetros, se forem stisfeits s seguintes relções: = 7c e = 8c Prolem 8 [ITA-SP] Num losângo ABCD som ds medids dos ângulos otusos é o triplo d som ds medids dos ângulos gudos Se su digonl menor mede d, determine su rest Prolem 9 [Universidde Gm Filho - RJ] Clculr os vlores de k que vericm simultnemente s igulddes: senθ) = k e cosθ) = k Prolem 0 Pr cd rzão trigonométric dd utilize s identiddes d Seção pr determinr s outrs cinco 5 ọ ) senα) = 5 c) tgγ) = e) cosɛ) = 5 g) cscφ) = ) cosβ) = 7 d) cotgδ) = f) tgθ) = h) secσ) = Prolem Um pesso n mrgem de um rio vê, so um ângulo de 0 o, o topo de um torre n mrgem opost Qundo el se fst 0 m perpendiculrmente à mrgem do rio, esse ângulo é de 0 o 5

16 ) Qul lrgur do rio? ) Qul ltur d torre? Prolem Verique vercidde ds igulddes seguir ) senα) +cosα) + +cosα) senα) = cscα) ) sen β) cos β) tg β) = c) tgγ) +tg γ) = senγ)cosγ) d) secθ)+senθ) cscθ)+cosθ) = tgθ) e) sec φ)csc φ) = tg φ) + cotg φ) + f) [ tgσ) senσ) ] + [ cosσ) ] = [ secσ) ] Prolem Explique por quê s igulddes dds são inválids ) senα) = ) cosα) = 5 c) secα) = d) cscα) = Prolem Dois ângulos α e β são ditos complementres se α + β = π Use Figur pr se convencer dos seguintes ftos: ) o seno de um ângulo é igul o cosseno de seu complementr; ) o cosseno de um ângulo é igul o seno de seu complementr; c) tngente de um ângulo é igul à cotngente de seu complementr; d) cotngente de um ângulo é igul à tngente de seu complementr; e) secnte de um ângulo é igul à cossecnte de seu complementr; f) cossecnte de um ângulo é igul à secnte de seu complementr Prolem 5 Os ldos de um prlelogrmo medem e e sus digonis x e y Mostre que x + y = + ) Prolem [Cescem-SP] Em quis qudrntes estão os ângulos α, β e γ tis que: senα) < 0 e cosα) < 0; cosβ) < 0 e tgβ) < 0; senγ) > 0 e cotgγ) > 0, respectivmente Prolem 7 [FECAP-SP] Determine o vlor d expressão: senπ/) + cosπ/) + cosπ/ + π/) Prolem 8 [Snt Cs-SP] Sej função f, de R em R denid por fx) = + senx) Determine o intervlo do conjunto imgem dess função Prolem 9 [UFP-RS] Qul o intervlo do conjunto imgem d função f, R em R denid por fx) = senx) Prolem 0 Pr quis vlores de s sentençs senx) = e cosx) = são verddeirs pr todo x rel Prolem [UF São Crlos-SP] Clcule o vlor d expressão: sen x) cos x) Prolem [FGV-RJ] Determine funçõ trigonométric equivlente Prolem [PUC-RS] Determine iguldde d expressão: tg x) senx) +cosx) + +cosx senx) secx)+senx) cossecx)+cosx)

17 Prolem [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tl que seu seno vle 5 qudrnte Clcule o vlor d tngente deste ângulo Prolem 5 [Edson Queiroz-CE] Sendo que secx) = e tgx) < 0, clcule senx) e encontr-se no segundo Prolem [ITA-SP] Clcule o vlor d expressão y = tgx) tg x) qundo cosx) = 7 e tgx) < 0 Prolem 7 [PUC-RS] Sendo tgx) = 7 7 e π < x < π, clcule senx) Prolem 8 [PUC-SP] Quis os vlores de x stisfzem equção cosx π 5 ) = 0 Prolem 9 [Cesce-SP] Determine som ds rízes d equção cos x) = 0 compreendids entre 0 e π Prolem 0 [AMAN-RJ] Determine os vlores de x que stisfzem equção cosx) = Prolem [FC Chgs-BA] Determine o número de soluções d equção cosx) =, no intervlo [ π, π] Prolem [Mck-SP] Determine os vlores de x pr que senx) = senx + π), no intervlo 0 x π Prolem [Osec-SP] Determine o conjunto solução d equção cosx) = cos π x), sendo 0 < x < π Prolem [UF Uerlândi-MG] Determine o conjunto solução d equção tgx + ) cotgx) = 0 no intervlo [0, π] Prolem 5 [Fc Bels Artes-SP] Determine os vlores de x n equção tgx) + cotgx) = Prolem [Mck-SP] Determine os vlores de x n equção sen x) = +cosx), no intervlo [0, π] Prolem 7 [Metodist-SB do Cmpo-SP] Determine os vlores de x n equção sec x) + tg x) = no intervlo[0, π] Prolem 8 [Cesgrnrio-RJ] Determine s rizes d equção cos x) sen π x) = no intervlo [0, π] Prolem 9 [Cesgrnrio-RJ] Determine som ds qutro rizes d equção sen x)+sen x) = 0, no intervlo [0, π] Prolem 50 [CESESP-PE] Determine o conjunto solução d equção +senx) + senx) = cos x) Prolem 5 [Mck-SP] Determine expressão gerl dos rcos x pr os quis [ cosx) + secx) ] = 5 Prolem 5 [FGV-RJ] Determine solução d equção: [ cosx) ] = sen x) Prolem 5 [FGV-SP] Determine som ds rízes d equção no intervlo [0, π] sen x) sen x)cosx) + senx)cos x) cos x) = 0 Prolem 5 [Mck-SP] Sendo senx) = e seny) =, 5 0 < x, y < π, determine senx y) Prolem 55 [FEI-SP] Se cosx) = 5, clcule senx π ) Prolem 5 [F S Juds-SP] Se senx) = e x um rco do segundo qudrnte, então clcule Prolem 57 [UC-MG] Prove que tgx) +tg x) senx π )cosx π ) é idêntic senx) 7

18 Prolem 58 [UF-GO] Se senx) =, clcule cosx) Prolem 59 [F S Juds-SP] Se senx) = Prolem 0 [UCP-PR] Sendo que cos o ) = + 5, clcule cos7 o ) e x um rco do primeiro qudrnte, então clcule senx) Prolem [AMAN-RJ] Determine os vlores de x que stisfzem inequção: cos5x) Prolem [FGV-SP] Determine solução d inequção cos x) > cosx) no intervlo [0, π] Prolem [UF São Crlos-SP] Determine o conjunto solução d inequção π cossecx) secx) Prolem [Mck-SP] Determine solução d inequção cosx) senx) cosx)+senx), pr 0 < x < π Prolem 5 [PUC-SP] Determine solução d inequção > 0, pr 0 x senx) cosx)+cosx ) > 0, no conjunto 0 x π Prolem [ITA-SP] Ddo o polinômio P denido por Px) = senθ) tgθ)x + sec θ)x, determine os vlores de θ no intervlo [0, π] tis que P dmit somente rízes reis Prolem 7 Use s identiddes i) e k) pr deduzir tngente d som tgα + β) = tgα) + tgβ) tgα)tgβ) Prolem 8 Use s identiddes h) e j) pr deduzir tngente d diferenç Prolem 9 Fórmuls do ângulo duplo) tgα β) = tgα) tgβ) + tgα)tgβ) ) Use identidde i) pr mostrr o cosseno do ângulo duplo sugestão: fç α = α + α) cosα) = cos α) sen α) ) Use identidde k) pr mostrr o seno do ângulo duplo senα) = cosα)senα) Prolem 70 Fórmuls do ângulo metde) Use identidde fundmentl e o cosseno do ângulo duplo pr deduzir o cosseno e o seno do ângulo metde cos α) = sen α) = [ ] + cosα) [ ] cosα) Prolem Teórico Demonstre Lei dos Senos Figur 8) 0 Resposts dos Prolems Propostos - Cpítulo 8

19 págin ) 5π págin ) o págin ) 5π págin ) perímetro = cm e áre = cm 5 págin ) perímetro = cm e áre = 7 cm 5 págin ) 505 dm 7 págin ) x = e y = 8 págin ) = 0 e x = 9 págin 5) ) 5; c) 5; ) 5; d) págin 5) 8 5 e 5 págin 5) cm págin 5) 5 cm e 0 cm págin 5) perímetro = + e áre = 9 págin 5) 0 o, 5 o e 05 o 5 págin 5) α = 5 o = π rdinos págin 5) 00 m de rme 7 págin 5) 0 o 8 págin 5) d 9 págin 5) k = 0 págin 5) ) cosα) = 5, tgα) =, cotgα) =, secα) = 5, cscα) = 5 ) senβ) =, tgβ) =, cotgβ) =, 7 secβ) = 7, cscβ) = 7 c) cosγ) = 7, senγ) = 7, cotgγ) =, 7 7 secγ) = 7, cscγ) = 7 d) cosδ) = 0, senδ) = 0, tgδ) =, secα) = 0 0 0, cscα) = 0 e) senɛ) =, tgɛ) =, cotgɛ) =, secɛ) = 5, 5 cscɛ) = 5 f) cosθ) = 5, senθ) = 5, cotgθ) =, secθ) = 5 5 5, cscθ) = 5 g) cosφ) =, senφ) =, tgφ) =, cotgφ) =, secφ) = h) cosσ) =, senσ) =, tgσ) =, cotgσ) =, cscσ) = págin 5) ) 0 m ) 0 m págin ) o, o e o 7 págin ) 8 págin ) [, 5] 9 págin ) [ 5, ] 0 págin ) = 0 ou = 5 págin ) págin ) tgx) págin ) cossecx) págin 7) / 5 págin 7) págin 7) 0 7 págin 7) 8 págin 7) 7π 0 + k π 9 págin 7) π 0 págin 7) kπ + π págin 7) : π, π, π, π págin 7) 0, π, π págin 7) π, 7π págin 7) π e π 5 págin 7) π ± π págin 7) π, π e π 7 págin 7) π, 5π, 7π, π 8 págin 7) π, 5π 9 págin 7) 7π 50 págin 7) π + kπ 5 págin 7) kπ ± π 5 págin 7) x = k0 o 5 págin 7) π 5 págin 7) 5 55 págin 7) 5 5 págin 7) 0, 5 58 págin 8) 5 59 págin 8) págin 8) 5 págin 8) kπ + π x kπ + π 5 5 págin 8) 0 x < π ou π < x π págin 8) π < x < π págin 8) 0 < x < π 5 págin 8) π < x < 5π págin 8) π θ < π ou π < θ π 9