CURSO DE DINÂMICA ORBITAL E CONTROLE CAPÍTULO I: FUNDAMENTOS DA MECÂNICA CELESTE

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1 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 CURSO DE DINÂMICA ORBITAL E CONTROLE CAPÍTULO I: FUNDAMENTOS DA MECÂNICA CELESTE Antonio Delson de Jesus Depatamento de Física - UEFS 1. Apesentação e Objetivos A Dinâmica Obital é uma das áeas mais impotantes da Física, visto a aplicabilidade das suas leis na Mecânica Celeste, Astonomia, Astofísica, Cosmologia, Tecnologia e Engenhaia Espaciais. Seu estudo pemite o entendimento das leis físicas que govenam fenômenos desde os fundamentos do Univeso (fomação de planetas, galáxias, sistemas solaes, etc.), tajetóias e óbitas de veículos espaciais (satélites, foguetes, space shuttles, mísseis, etc.) até a fomação de detitos espaciais em tono do globo teeste, tópico atual de singula inteesse intenacional. Petendemos apesenta numa seqüência de Capítulos divesos tópicos de inteesse da comunidade científico dento da Dinâmica Obital, numa linguagem acessível e simples, contudo não menos inteessante paa o leito. A conexão da Dinâmica Obital com a Teoia de Contole pemite-nos aplica os seus pincípios às tecnologias e missões espaciais que demandam altos custos e necessitam se modeladas e implementadas sob uma abodagem de otimização. Neste sentido, também estaemos esevando pate deste estudo paa esta áea específica da Matemática. Os tópicos geais popostos são, ente outos: 1) Fundamentos da Mecânica Celeste; ) Teoia do Potencial; 3) Manobas Obitais; 4) Poblema de copos; 5) Poblema Restito de 3 copos; 6) Poblema de N copos; 7) Sistemas de Coodenadas e de Tempo; 8) Deteminação de Óbitas; 9) Teoia das Petubações Geais; 10) Satélites Atificiais; 11) Veículo Lançado de Satélite; 1) Teoia da Reentada; 13) Intodução à Mecânica Celeste Relativística; 14) Intodução à Populsão; 15) Intodução à Teoia de Contole, etc. Neste Capítulo abodaemos sobe os Fundamentos da Mecânica Celeste, discutindo as suas leis básicas e obsevando os aspectos mais elevantes desta teoia.. Fundamentos da Mecânica Celeste.1 Intodução A Mecânica Celeste é uma aplicação das leis univesais da Mecânica Newtoniana ao estudo do movimento ou equilíbio dos copos 47

2 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste celestes, sujeitos a foças gavitacionais. Podemos dize que o tema Mecânica Celeste teve seu início na publicação de Si Isaac Newton do seu Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica em 1687, também chamada de Pincipia. Neste tabalho Newton fomulou as leis de movimento e a lei de gavitação univesal, deivou algumas das mais impotantes popiedades do movimento planetáio e de satélites. É clao que a deivação das tês leis de Keple pecedeam este tabalho de Newton po muitos anos. Além disso, foam os dados de Tycho Bahe e contibuições pessoais que pemitiam Keple estabelece suas leis. No livo I de Newton ele esceveu que a foça que atua sobe um planeta deve se deivada das leis de Keple. Mas, as leis de Newton não são absolutas; não conseguem desceve o movimento dos elétons em átomos (Mecânica Quântica) e falham quando as velocidades envolvidas são compatíveis com a velocidade da luz (Relatividade). Contudo, estas limitações não as tonam inválidas, pois dento do domínio no qual elas funcionam, elas dão uma descição ótima do compotamento dos objetos mateiais. Duante muito tempo a lei da gavitação univesal foi consideada igoosamente ceta paa explica todos os fenômenos da Mecânica Celeste, até que Le Veie obsevou que o peiélio de Mecúio avançava de um valo de 4 po século em elação ao valo pedito pela Mecânica Newtoniana. Deslocamentos similaes foam obsevados paa Vênus, Tea e Mate. Poém, paa estes últimos, as discepâncias eam da mesma Antonio Delson de Jesus odem dos eos de obsevação, não sevindo, potanto, paa qualque contestação. Os sucessos do pogama espacial mundial e da Tecnologia em váias áeas se devem a validade da Mecânica Newtoniana. Além disso, a descição Newtoniana da natueza é muito simples e não comete eos significativos.. Hipóteses na Teoia Clássica da Mecânica Celeste Na fomulação da Mecância Celeste Clássica algumas hipóteses foam tomadas, a sabe: a) A massa é consideada invaiante; b) Admite-se a existência de sistema de efeência inecial no qual são válidas as leis da Mecânica; c) A velocidade das inteações é instantânea; d) O tempo é absoluto, isto é, pode se medido simultaneamente em todos os efeenciais ineciais, ou seja, num dado instante, ele é o mesmo em todos os efeenciais ineciais; e) Os copos sobe os quais as foças atuam são consideados puntifomes, além do que demonsta-se, na Teoia do Potencial, que todo copo de aio finito e cuja distibuição de massa depende apenas da distância, se compota gavitacionalmente como se toda a sua massa estivesse concentada num ponto que é o seu cento de massa. Assim, o estudo do movimento desses copos se esume no estudo do movimento de seus centos de massa. (O caso de copos sepaados po distâncias muito gandes pode também se 48

3 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 enfocado como massas puntifomes); f) O espaço de tabalho é o Euclidiano onde a meno distância está contida em uma eta..3 Sistema de Refeência Um sistema de efeência se constitui de um sistema de coodenadas paa indica a posição de objetos no espaço, mais um dispositivo paa medi o tempo associado a esta posição. Um sistema de efeência em Movimento Retilíneo e Unifome no espaço, isto é, que não está sujeito a foças extenas, é denominado de sistema inecial ou galileano. Salvo declaação contáia, os sistemas de efeência com os quais tabalhaemos neste cuso seão do tipo ineciais..4 As Leis de Keple Na época de Keple, e desde a época de Aistóteles, aceditava-se que o único movimento natual e pefeito dos copos ea o movimento cicula. Nesta teoia, os planetas se moviam necessaiamente em cículos, giando em tajetóias ciculaes ou em combinações de cículos menoes se movendo sobe cículos maioes. Mas, os dados obsevacionais de Tycho Bahe, examinados po Keple mostavam outos esultados que não conciliavam com esta teoia. A Históia diz que de 1601 a 1606 Keple tentou ajusta váias cuvas geométicas aos dados de Tycho sobe as posições de Mate. Encontou um ótimo ajustamento paa a elipse. A óbita foi encontada e em 1609 Keple publicou as suas duas pimeias leis do movimento planetáio. A teceia lei veio um pouco mais tade, em As leis de Keple são: 1) Lei de Keple: As óbitas dos planetas são elipses, tendo o Sol ocupando um de seus focos. (Fig.1) Fig.1 Sistema Sola: Óbitas Elípticas dos Planetas ) Lei de Keple: As óbitas dos planetas são planas e seus aios vetoes vaem áeas iguais em tempos iguais (Isto significa que a áea vaida em um mesmo intevalo de tempo é a mesma) (Fig.a,b). Fig. Óbitas Elípticas: a) áeas iguais, tempos iguais; b) detalhe: tiângulo apoximado 49

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5 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 45-58, 004 Na Figua a os acos PP e QQ são pecoidos po intevalos de tempo iguais, segundo a lei de Keple. Um infinitésimo de um destes acos está epesentado na Figua b po um tiângulo. Veemos adiante que é fácil pova que a taxa da áea pecoida po unidade de tempo é dada po: da df h = 1.. = = cte dt dt (1.1) h = momento angula f = anomalia vedadeia 3) Lei de Keple: Os quadados dos peíodos de evolução dos planetas são popocionais aos cubos dos semi-eixo maioes das óbitas a1 a a3 a = =... = T1 T T3 T (Lei oiginal) (1.) 3 = n = n cte 3 a = G. ( m M )/ 4. π i + T, i i = 1,,3,..., n. (Lei coigida) (1.3) O eo da lei oiginal paa a coigida é da odem de 0, < 0,1% (Kovalevsky,1967), paa o caso de Júpite que é o planeta mais massivo. Po outo lado, a aplicação das leis de Keple é válida só paa o poblema de copos ou em casos apoximados..5 As Leis de Newton As Leis de Keple eam apenas uma descição e não uma explicação do movimento planetáio. Coube a Isaac Newton desvenda o poquê do movimento planetáio. As tês leis do movimento de Newton são consideadas os axiomas da Mecânica. São elas (publicadas no Pincipia): 1) Lex motus pima: Copus omne peseveae in statu suo quiescendi vel movendi unifomite in diectum, nisi quatenus illud a viibus impessis cogitu statum suum mutae Todo copo pemanece ou em epouso ou em movimento etilíneo e unifome, a menos que seja compelido a muda esse estado po foças atuando sobe ele ) Lex motus secunda: Mutationem motus popotionalem esse vi motici impessae, et fiei secundum lineam qua vis illa impimita A taxa de mudança do movimento linea de uma patícula é igual à foça extena atuante na dieção e na magnitude d( v ) = F (1.4) dt Se m fo independente de tempo, dv F = = a (1.5) dt onde a é a aceleação da patícula. 3) Lex motus tetia: Actioni contaiam sempe et aequalem esse eactionem: sive copoum duoum actiones in se mutuo sempe esse aequales et in pates contaias diigi A toda ação coesponde sempe uma eação que lhe é dietamente oposta; ou, as ações mútuas de dois copos são caacteizadas po foças dietamente opostas (Fig.3). F 1 F m 1 m Fig.3 Foças (ação e eação) atuantes sobe duas massas punctuais onde, F 1 = F1 (1.6)

6 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste A pati das leis de Keple, da gavidade à supefície da Tea e do movimento da Lua em tono da Tea, Newton foi levado a enuncia a Lei da Gavitação Univesal, a sabe: Duas patículas se ataem com uma foça dietamente popocional ao poduto de suas massas e invesamente popocional ao quadado da distância ente elas Da Figua 3 podemos esceve, 3 F1 = G. m1. 1 / (1.7a) 3 F1 = G. m1. 1 / (1.7b) com = 1 = 1 = módulo da distância ente as massas m 1 e m G = constante univesal da gavitação, cujo valo conhecido hoje é (6,670 ± 0,005) x N.m /kg. Na época de Newton o valo estimado de G foi obtido, igualandose a lei de gavitação à da inécia, G. M / R = g (1.8) onde M - massa da Tea, que foi calculada na foma, 4 3 M =. V =. π. R 3 (1.9) O aio da Tea, R, já ea conhecido e a densidade média conhecida, ea de = 5,67 x 10 3 kg/m 3 e g = 9,81 m/seg, potanto, G 6,4 x N. m / kg, que não é muito difeente do valo conhecido hoje. A Lei de Gavitação Univesal nesta foma se aplica só no caso de: Antonio Delson de Jesus i) patículas (massas punctuais) ii) copos com simetia esféica (massa concentada no cento de massa) iii) copos assiméticos, poém sepaados po gandes distâncias) No sistema Tea-satélite o campo não-cental deve se consideado. O movimento de um copo num campo cental e suas caacteísticas seão estudados adiante..6 Movimento num Campo Cental Intoduziemos o movimento de uma patícula num campo de foça cental nesta seção com o objetivo de obtemos esultados impotantes, com os quais constuiemos a teoia do movimento de copos celestes e satélites atificiais. Nesta seção, deduziemos peliminamente as popiedades do campo de foça cental e as equações do movimento neste campo. Se uma foça atuante numa patícula de massa m fo tal que: i) ela seja diigida sempe de m paa um ponto fixo O ou sempe afastada do ponto O; ii) a magnitude dela depende somente da distância ente a patícula e o ponto O, então a foça é denominada foça cental ou campo de foça cental com O como cento da foça. Devido a estas caacteísticas, a foça pode se epesentada po: (Figua 4) F = F( ). = F( ). ˆ e (1.10) 50

7 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 do fato da foça se cental. Paa ve este esultado, tomemos o poduto escala da expessão (1.11) pelo Fig.4 Foça cental, diigida paa o cento atativo O Assim, i) a foça é diigida segundo o veso ê ; ii) F() < 0, se fo atação na dieção de O; iii) F() > 0, se fo epulsão de O..6.1 Popiedades do Campo de Foça Cental Sob a ação de uma foça cental, existem quantidades que se consevam, isto é, existem as integais pimeias do movimento. Tais integais pemitem simplifica e mesmo auxilia a esolução das equações de movimento. Além disso, outos esultados também podem se obtidos do movimento num campo de foça cental. As popiedades do campo de foça cental são: Popiedade 1: O movimento da pa tícula é plana. ( Fig.5). F = F( ).ˆ e F =.ˆ e F.ˆ e =. F.ˆ e ˆ e = 0 dv dv = 0 = 0 dt dt d( v) = 0 v = h dt (1.11) Ou seja, a equação (1.11) mosta um veto constante h sempe pependicula ao plano deteminado pelos vetoes posição e velocidade. Isto é uma conseqüência Fig.5 Movimento plana definido pelo veto constante h veto posição, ο( v) = οh v ο( ) = 0 = οh é pependicula a um veto constante h. Então o movimento é plana (ocoe num plano) Um caso paticula é h = 0 v = 0 ou é paalelo a v e o movimento é etilíneo, ou v é nulo e é constante, epouso. Popiedade : O momento angula da patícula é consevado. De (1.11) temos que ( v) = h ( v) = h = H (1.1) que é o momentum angula, neste caso, um veto constante. Isto é, o momentum angula é constante (em magnitude e dieção). Isto significa que qualque que seja a foma da função F(), o movimento no campo cental se pocessa no plano fomado po e v que é pependicula a H. Se o momentum angula H vaia, isso implicaá uma componente de v foa do plano oiginal, de sote que um novo veto ' momento angula, H, definiá um novo plano vs. v e seá pependicula a ele. Popiedade 3: O campo de foça cental é consevativo. 51

8 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste Um campo de foça F é dito consevativo se o tabalho ealizado sobe o sistema só depende dos pontos extemos (inicial e final) e não depende da tajetóia. O tabalho ealizado sobe o sistema pela foça F() é definido po: W1 = F. d = F( ).. d = F( ). d (1.13) pois d 1 1 ο =. d( ο ) = d( ) =. d W = F( ). d (1.14) 1 1 expessão (1.14) mosta que o tabalho, W 1, ealizado sobe um sistema no campo cental só depende dos pontos inicial e final e, então, o campo de foça cental é consevativo. Cetamente, uma patícula teá a libedade de escolhe qualque caminho dento do campo de foça cental paa sai de um ponto 1 e chega no ponto, sem peda ou ganho de enegia, além de W Equações de Movimento em Campo Cental Seja o movimento plano confome mostado na Figua 6, onde x e y são o sistema de eixos catesianos no plano do movimento, ê é o veso adial, ê é o veso t tansvesal pependicula a ê e f é o ângulo pola ente o eixo x e o copo em movimento. A massa m do copo é localizada pelo veto =. eˆ num campo cental. Antonio Delson de Jesus Fig. 6 Sistema de eixos paa o movimento plano Então, = x. iˆ + y. ˆj (1.15) Mas, o veto posição também pode se escito como sendo: =. eˆ eˆ = cos f.ˆ i + sen f. ˆj (1.16) Po outo lado, ê é o veto tangente a cuva = constante, potanto, eˆ t = sen f.ˆ i + cos f. ˆj (1.17) Desta foma, temos, deˆ df = eˆ t. (1.18) dt dt deˆ t df = eˆ. (1.19) dt dt Em coodenadas polaes, a velocidade e a aceleação de m são dadas, espectivamente, po: d d df v = = eˆ. + eˆ t.. (1.0) dt dt dt dv d df a = =..ˆ e + dt dt dt d f d df. +...ˆ e t dt dt dt (1.1) Mas, pela segunda lei de Newton, a foça esultante, a, que atua sobe este copo, num campo cental é a foça cental F (). Assim, d df..ˆ e + dt dt d f d df. +...ˆ e f dt dt dt = F( ). ˆ (1.) e 5

9 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 Assim, as equações de movimento de uma patícula no campo cental são: d df m.. = F( ) dt dt (1.3) d f d df m = 0 dt dt dt (1.4) A pati desta última equação, podemos chega ao esultado da consevação do momentum angula. Se dividimos esta equação po, temos: m d f d df = dt dt dt m df. d. / dt = 0 dt df m.. = h = H (constante) dt (1.5) Obsevemos que em (1.5) apaece o módulo do momento angula: v = ( ) d df.ˆ e.ˆ e +..ˆ e f = dt dt df. = H dt que pova a popiedade do campo cental. Popiedade 4: A taxa tempoal de vaiação na áea vaida pelo aio veto de uma patícula em campo de foça cental é constante. Na Figua 7, supomos que uma patícula se mova numa tajetóia elíptica, descevendo um seto de áea ΔA em um intevalo de tempo Δt. Assim, a áea ΔA vaida pelo veto posição neste tempo é apoximadamente igual à metade da áea do paalelogamo com lados e Δ. 1 Δ A =. Δ (1.6) Dividindo-a po Δt e passando o limite paa Δt 0, temos: Fig.7 Lei das áeas ΔA 1 Δ λim = λim. = Δt 0 Δt Δt 0 Δt 1 1 df. v =.. = h dt (constante) (1.7) Mas, esta quantidade é o módulo da velocidade aeola, da da df kˆ 1 1 =. =... kˆ =. h dt dt dt (1.8) Assim, a velocidade aeola é um veto constante..6.3 Equação de Binet Paa obtemos uma solução pacial, que nos diá o tamanho e a foma da óbita de uma patícula de massa m num campo de foça cental, utilizamos a equação de Binet, cuja deivação é dada a segui: Tomemos as equações de movimento (1.3) e (1.5), e façamos uma mudança de vaiável, = 1, u df df u m.. = H = H. dt dt m 53

10 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste d df. dt dt = F( ) u d u H H.. 3 m df m. 1 = F( ) u ou, finalmente, d u m 1 + u =. F( ) (1.9) df H. u u A equação (1.9), conhecida como equação de Binet, é de gande impotância paa o estudo do movimento no plano (campo cental), pois dado qualque campo de foça cental, pode-se imediatamente atavés dela detemina a foma da tajetóia do copo em tal campo..6.4 Consevação da Enegia num Campo Cental Como já sabemos pela popiedade 3, o campo de foça cental é consevativo. Isto é, ele pode se deivado de um potencial. Nestas cicunstâncias, o tabalho ealizado pela foça F() ente dois pontos 1 e deve se igual à vaiação de enegia potencial ente estes pontos. Assim, W = F( ). d = U ) U ( ) 1 1 ( 1 F( ). d = du U = F( ). d 1 (1.30) Desta foma, podemos conclui que paa um campo cental, a enegia se conseva e a enegia potencial só depende da posição. De uma maneia geal, paa foças consevativas, podemos esceve: F ()= U (1.31) Antonio Delson de Jesus.6.5 Popiedades da Elipse e a Intepetação das Leis de Keple A elipse é um luga geomético de um ponto que se move de foma que sua distância a pati de um ponto fixo, o foco, mantém uma elação constante (<1) com sua distância a pati de uma linha fixa, a dietiz. De acodo com a Figua 8, valem as seguintes definições: é a distância do foco ao ponto P, f é o ângulo ente o eixo oigem e o ponto P, centado no foco, e < 1 = SP/PM é a excenticidade, S é o foco, S é o outo foco (vitual), a é o semi-eixo maio, com AA =.a, e b é o semieixo meno, com BB =.b. Fig.8 Geometia da elipse As seguintes elações são também válidas: CS e = CA (1.3a) '. a = SP + PS = cte (1.3b) '. p = Q. Q (1.3c) p = a. 1 e ( ) (1.3d) ( a.1 e ) = (1.3e) ( 1+ e.cos f ) onde p ecebe a denominação de semi-latus ectum. 54

11 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 A pimeia Lei de Keple diz que o movimento planetáio é elíptico. Dada a equação da elipse, temos, ( a.1 e ) = ( 1+ e.cos f ) 1 d 1 ( 1+ e.cos f ) e.sen f = a.1 (1.33) Usando a equação de Binet, substituindo u =1/ e usando o fato de que só existe aceleação adial num campo cental, ou seja, F( ) = F( )., chega-se à expessão: = ( ) ( ) e df a.1 e H 1 F( ) =. a.1 κ. m F( ) =. ( e ) ( e ). (1.34) onde, H 1 κ =. m a.1 (1.35) A segunda Lei de Keple já havia sido obtida a pati das leis do campo cental, ou seja, da H = cte = = (Áea da dt. m elipse)/peíodo = π.a.b T (1.36) A teceia Lei de Keple é de fato apenas uma decoência da segunda. Quadando a taxa aeola têm-se: ( e ) 4 da π. a. b π. a.1 H = = = dt T T 4. m,utilizando a equação (1.35), temos: π. a a κ = = cte cte = T T.6.6 Exemplo de Campo de Foça Cental: Campo Gavitacional Pela lei gavitacional de Newton, na teoia de movimento de um copo de massa punctual m, ao edo de um copo massivo (Satélite- Tea, Tea-Sol, etc), tem-se: G. M. m F( ) =. eˆ (1.37) que é um campo de foça cental. A equação da tajetóia, como no caso do campo cental, é dada po: d u m 1 μ. m + u =. F( ) = df H. u u H d u μ. m + u = (1.38) df H onde, μ = G.M (1.39) A solução da equação (1.38) é dada po: 1 μ. m u = = + D.cos( f f0) = H (1.40) ( 1+ e.cos f ) = p onde H p = (1.41) μ.m. p. E e = 1+ (1.4) μ E = enegia total do copo A equação (1.40) é uma equação de cônica, isto é, se a lei de foça cental é de uma foça invesamente popocional a distância (como a lei gavitacional), a tajetóia da patícula é uma cônica, como no caso do sistema Tea-Sol..6.7 Cuvas de Enegia Potencial Gavitacional 55

12 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste Sem esolve a equação de movimento no campo gavitacional, obtida em.6.6, podemos ve que é possível classifica as óbitas esultantes somente po meio de uma análise de equações de movimento e de leis de consevação. Utilizamos um ecuso altenativo que é o estudo das cuvas de enegia potencial paa esse fi Paa tanto, um poblema unidimensional equivalente ao poblema oiginal seá consideado. Pimeiamente, a enegia total de uma patícula em um campo cental é dada po: 1 E =. v + U ( ) 1 d df U ( ) dt dt (1.43) Mas, elevando a equação (1.5) ao quadado e substituindo na equação de E, (1.43), temos, 1 d H E =. + ( ) + U = dt m. 1 d 1 H. + + U( ) dt m. (1.43) O temo gifado é um temo elacionado com a enegia potencial. Neste temo temos U(), que é a enegia potencial da patícula e, o 1 H temo. = U c é o que chamamos de enegia centífuga. A equação (1.43) pode se consideada paa um poblema unidimensional (dependendo apenas de ) fictício Antonio Delson de Jesus com enegia potencial fictícia, dada po: U ef ( ) = U ( ) + U c ( ) (1.44) A enegia U ef () é chamada de enegia efetiva. A pate 1 d. da enegia total é adial. dt Além disso, a foça fictícia associada é dada po: U ef U c H F = = ( ) = ( ) ef F F 3, ou seja, H F ef = F( ) + 3 (1.45) O segundo temo da foça efetiva em (1.45) é o que chamamos de foça centífuga. Assim, neste poblema a lei de consevação de enegia pode se escita como sendo: 1 d E = U ef +. dt (1.46) Paa ilusta este modo de estuda o movimento, considee um gáfico (Figua 9) de U ef em função de no caso da foça gavitacional, μ F( ) =. A enegia potencial paa μ esta foça é dada po U ( ) = e o potencial fictício coespondente é dado po: μ 1 H U ef = +. (1.47) 56

13 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 47-59, 004 Fig. 9 Relações de enegias no poblema de foças centais Consideemos uma enegia potencial U() que coesponde a uma foça atativa paa qualque distância, isto é, F = - U/, onde F() é negativa e U() é uma função cescente, confome indica a cuva (a). A enegia potencial centífuga U c () está indicada pela cuva (b). O temo devido a U c () é pequeno paa distâncias gandes, mas cesce apidamente quando a patícula se apoxima da oige Em muitas situações eais, a enegia potencial é o temo dominante paa pequenas distâncias, disto esulta uma enegia efetiva U ef com a foma indicada pela cuva (c). O temo fictício está elacionado a temos adicionais que apaeceam nas equações oiginais po causa da tansfomação da solução de um poblema bidimensional em outo equivalente unidimensional. Na Figua 9, quando a enegia total po unidade de massa E da patícula fo indicada pela eta hoizontal E, o aio da óbita oscila ente os valoes mínimo e máximo, mínimo e máximo espectivamente, e óbita tem foma de uma oseta em geal, como indica a Figua 10. Fig.10 Tajetóia elíptica Potanto, quando o domínio de vaiação de está ente mínimo e máximo o movimento da patícula é finito, e a tajetóia pemanece no inteio do anel limitado pelos cículos definidos po = mínimo e = máximo. Poém, isto não significa obigatoiamente que a óbita seja fechada. Duante o tempo que leva paa i do máximo paa o mínimo e novamente ao máximo, o aio veto desloca-se de um ângulo Δφ. Paa que a óbita seja fechada, é condição suficiente e necessáia que o ângulo seja uma fação acional de.π, isto é, Δφ =.π.m/n, onde m e n são númeos inteios. Então, após n peíodos, o aio veto do ponto avança m voltas inteios e etona ao ponto inicial e a tajetóia é fechada. No caso limite, quando a enegia E coesponde ao ponto de mínimo D de U ef () indicado pela eta E4, a patícula desceve uma óbita cicula de aio 0. Quando a enegia E fo positiva ou nula, como no caso das etas E e E 0, a óbita seá ilimitada e abeta, a patícula possui enegia suficiente paa desapaece no infinito. Claamente, podemos ve que a 57

14 Cuso de Dinâmica Obital e Contole: Fundamentos da Mecânica Celeste patícula não pode te aio infeio ao aio mínimo (G), poque neste caso teíamos U ef > E, o que significa enegia cinética negativa. A difeença ente óbitas limitadas e ilimitadas depende do fato da enegia E se negativa ou não, espectivamente; paa o caso gavitacional isto sempe é vedadeio. No caso gavitacional, temos:. p. E e = 1+, p sempe positivo e μ μ sempe positivo Quando E > 0 e > 1 e a cônica seá uma hipébole Quando E = 0 e = 1 e a cônica seá uma paábola Quando E < 0 e < 1 e a cônica seá uma elipse Quando E < 0 e e = 0 a cônica seá um cículo No póximo Capítulo, estaemos continuando o cuso de Dinâmica Obital e Contole, discutindo mais um tema ente os popostos. Além disso, apesentaemos alguns execícios de aplicação do pimeio Capítulo Fundamentos da Mecânica Celeste. Antonio Delson de Jesus Antônio Delson C. de Jesus - Douto em Dinâmica Obital e Contole pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, pofesso Adjunto no Depatamento de Física da UEFS. Refeências [1] JESUS, A. D. C. Notas de Aula. Mecânica Obital e Contole, SBPC, Salvado, Julho, 001. [] De LUCA, N. Mecânica Celeste. Editoa da Univesidade Fedeal do Paaná, Cuitiba, 198. [3] ROY, A.E. Obital Motion. nd ed. Adam Hilge Ltd. Inglatea, 198. [4] SYMON, K. R. Mecânica, 3 d ed. Reading, Mass.: Addison-Wesley, Sobe o Auto 58