Programa de Recuperação Paralela PRP - 01

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1 Programa de Recuperação Paralela PRP - Nome: ª Etapa Disciplina: Matemática Página de - 8/6/ - 6:

2 Página de - 8/6/ - 6: ª Série Ensino Médio

3 PROGRAMA DE RECUPERAÇÃO PARALELA PRP MATEMÁTICA - Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 8 m e o volume de B é m a, determine ab. b - Determine o volume de um prisma heagonal, de altura cm, cuja base está inscrita em um círculo de diâmetro cm. - Um ortoedro tem dimensões:, e. Se a diagonal mede cm, determine. - Em uma pirâmide regular de base quadrangular, a medida do perímetro da base é cm. Sabendo que a altura da pirâmide é cm, calcule a área lateral dessa pirâmide. - Uma pirâmide triangular tem 9 cm de volume e de altura. Qual a medida da aresta da base? 6- Calcule o volume de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo ecede e dm a diagonal de uma face. 7- A altura de um cilindro reto é igual a um terço do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é cm. 8- Sendo A, B e C, determine a matriz A B C. 9- Resolvendo a equação, quais os valores encontrados para e y? y y y 8 - Dada a matriz A (a ) ij a onde a ij ij sen i tg i se i j j, determine: se i j j a) o valor da soma de todos os elementos que compõem a matriz A; b) o valor do determinante da matriz A. y z - Dado o sistema y z 7, calcule + y + z. y z - Dê um eemplo de um sistema de equações (pode ser com duas variáveis) que seja possível e indeterminado. - Reduza ao º quadrante: a) 8º b) - º c) d) 6 Página de - 8/6/ - 6:

4 - Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 8 m e o volume de B é m a, determine ab. b - Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal cm. 6- Considere uma pirâmide regular de base quadrada inscrita em um círculo de raio cm. e a altura mede 8, determine a área total. 7- Uma pipa de suco, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da base igual a % do seu volume está ocupado por suco, qual a capacidade total da pipa? e altura m. Se apenas 8- Uma pirâmide triangular tem 9 cm de volume e de altura. Qual a medida da aresta da base? 9- Calcule a área total de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo ecede em dm a diagonal de uma face. - A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é cm. 8 - Seja M =, y Determine y. N = y 6 e P = 7 6, três matrizes que satisfazem a igualdade M N P. - Determine o valor de que verifica a igualdade:,. - Se + y = então qual o valor de cos sen? sen y cos y - Resolvendo o sistema y y z determine o valor de + y + z. y z - Sabendo que a + b =, b + c = e a + c =, determine a + b + c. 6- Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal mede cm. 7- A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é 7 cm. Considere,. 8- Determine a menor determinação positiva de: a) rad. b). 8 c) 7º. d) 9º 9- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a m, determine seu volume. Página de - 8/6/ - 6:

5 a b - Dadas as matrizes A e B, determine a e b de modo que A. B = I, onde I é a matriz identidade. a b - Se uma matriz quadrada A é tal que A t = A ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e, a M a b.... Determine o valor dos termos a, a e a da matriz M. b c c 8 - Se A é uma matriz quadrada, defini-se traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condições, determine o traço da matriz A = (a ij), onde a ij = i - j. - Se det A = e A -- = a, então determine o valor de a. - Sejam as matrizes [ ] e [ ], calcule o valor de det (A.B). - Calcule o valor da epressão sen9 tg o o. cot g. cos6 o o. 6- Se cossec = e pertence ao º quadrante, calcule o valor de. sen 9tg. 7- Uma pirâmide regular de base quadrada é tal que o apótema da base mede 7cm. Sabendo que o apótema da pirâmide mede cm, calcule a medida de sua altura, o valor da sua área da base, o valor do seu volume, e o valor da sua área lateral. 8- Deseja-se projetar uma lata cilíndrica para leite condensado que tenha volume de cm. Sabendo que a altura da lata cilíndrica será 8cm, determine a medida do raio da base, o valor da área da base, o valor da área lateral e também, o valor da sua área total. 9- Um cone inscrito em um cilindro equilátero tem seu vértice no centro de uma das bases do cilindro. Se a altura do cilindro é h e o raio da base R, calcule, em função de R, o valor da geratriz do cone e determine, também em função de R, o volume do cone, a sua área da base e a sua área lateral. - Em uma pirâmide de base quadrada, a medida da aresta da base é a terça parte da medida da altura. Se o volume dessa pirâmide é 6cm, determine a medida da aresta de sua base. - Um copinho tem a forma de um cilindro circular de reto com cm de raio da base e altura cm. Determine qual o maior número de copinhos iguais a esse que podemos encher com litro de café. (Use: =,) - Determine o valor dos números reais, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir. z y. y z - Uma piscina circular tem m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de g por litros de água. Se a piscina tem,6 m de profundidade e está totalmente cheia, determine a quantidade do produto que deve ser misturada à água. Página de - 8/6/ - 6:

6 q Sejam as matrizes: M e P. Se M. M t = P, sendo M a matriz transposta de M, calcule o valor n 6 6 de n + n.q. - Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O combustível deve ser transportado por um único caminhão distribuidor. O tanque transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro de base mede / do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede / da altura do depósito. Determine o número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito. 6- Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 8 cm. Calcule a altura e o volume desse cone. 7- Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9 cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, determine (/)V. 8- Dadas as matrizes abaio, calcule o valor de det(a.b). sen A e B, sen 9- Calcule o determinante da matriz a seguir. sen cos76º tgº sen cosº sec º sen tgº cossec 78º - Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a. Calcule o valor de sen + cos + tg + sec + cossec - A figura abaio mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base e altura. Retirando-se o cone do cilindro, determine em função de, o volume do sólido resultante. - Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede cm e uma aresta lateral mede cm. Calcule o volume dessa pirâmide, em cm. Página 6 de - 8/6/ - 6:

7 - A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado a B = 6 cm e arestas laterais das faces a L = cm. Calcule a altura da pirâmide e, em seguida, determine o seu volume. - No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado e AE = BE = cm. Determine o volume desse sólido. Use (π = ) - - Se é um número real positivo tal que A, B e det (A.B) =, então determine o valor de. 6- Determine o valor de + y, para que o produto das matrizes seja a matriz nula. A y e B 7- Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig. ). De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição. unidades de vitamina A e. unidades de vitamina B. Considere nesta dieta: = quantidade ingerida do alimento, em gramas. y = quantidade ingerida do alimento, em gramas. Determine a matriz M, tal que M. y 8- Calcule o determinante da matriz. Lembre-se que: sen + sen cos + cos = (sen + cos ) A sen cos sen cos sen cos sen cos 9- Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir. Página 7 de - 8/6/ - 6:

8 Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, determine a quantidade preparada, em litros. Use π =,. 6- Se Amélia der R$, a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6, a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? 6- Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a cm. Após o gelo derreter completamente, qual será, aproimadamente, a altura do nível da água no copo? 6- Considere as matrizes de elementos reais representadas abaio. Sabendo-se que A. B = C, calcule o produto dos elementos de A. A y, B z e C Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luo e requinte. A tabela mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de, e a tabela, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. Determine a quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês? 6- Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda semana, o valor apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi R$.,, qual o valor pago por Cecília, no jogo da primeira semana? 6- Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A (fig. ) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A matriz B (fig. ) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura. a) Calcule a matriz C = AB. b) Eplique o significado de c, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. Página 8 de - 8/6/ - 6:

9 66- O imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria utilizada como seu túmulo. As características da pirâmide são: sua base é um quadrado com m de lado e sua altura é de m. Para construir cada parte da pirâmide, equivalente a m, os escravos, utilizados como mão de obra, gastavam, em média, dias. Mantida essa média, qual o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 6 dias? 67- As medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone circular reto são + a, e - a, respectivamente. Ao calcular o volume desse cone, usou-se, por engano, a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e de mesma altura do cone. O valor encontrado supera em πcm o volume procurado. Calcule a altura e o raio da base desse cone. 68- Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro. 69- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 7 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 79 m. Determine a área da base dessa pirâmide, em m. 7- Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem dm, contém 6 litros de água. Ao lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço: - uma esfera de raio dm; - um cilindro circular reto com raio da base dm e altura dm; - um paralelepípedo retangular de dimensões dm, dm e 7 dm; e - uma pirâmide reta de altura dm e de base quadrada com lado dm. Determine qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO fará com que a água transborde. Justifique sua resposta com os cálculos. 7- Uma pista de skate, com m de largura, está representada na figura a seguir. As superfícies ABCD e EFGH são cilíndricas, cada uma delas é / de um cilindro circular reto de raio m, e a superfície CBEH é plana retangular. Se M é o ponto médio do segmento CH e a distância entre M e B é m, determine quanto mede aproimadamente a área da superfície da pista, compreendida entre AD e FG, em m. Use π =, e =,7 7- Na venda de bolas de tênis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno 8 mede cm e corresponde a um terço da altura interna. Determine a área, em cm, da superfície lateral interna de cada embalagem. 7- O raio da base de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem cm, determine a razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide. 7- Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taa constante de, ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que cm = ml, e usando a aproimação π =, determine o volume aproimado, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação. Página 9 de - 8/6/ - 6:

10 7- Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, determine a capacidade máima de água comportada por esse reservatório. 76- Considere uma bola de sorvete de 6π cm de volume e uma casquinha cônica de cm de raio. Determine a altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço. 77- Sabendo-se que cos = / e < < π/, determine o valor de tg. 78- Construa a matriz B (b ij ) com i j i j b ij. i j i j 79- As duplas Ana e Ricardo, Cláudia e José, Rita e Roberto, Celina e Jorge, respectivamente nessa ordem, disputam uma gincana em sua escola. Cada dupla deverá percorrer uma das rotas determinadas pela organização da prova, rigorosamente na ordem estabelecida, conforme descrição abaio: - Dupla : Estação ; Estação ; Estação ; Estação ; Estação. - Dupla : Estação ; Estação ; Estação ; Estação ; Estação. - Dupla : Estação ; Estação ; Estação ; Estação ; Estação. - Dupla : Estação ; Estação ; Estação ; Estação ; Estação. A matriz abaio representa em quilômetros as distâncias entre cada estação. E E E E E E E E Vence a gincana quem completar primeiro a sua rota. Determine: a) A dupla que venceu a gincana. b) Quantos quilômetros percorreu a dupla vencedora? 8- Determine os valores de, y e z de modo que as matrizes A e B sejam iguais. y A z 9 B y y 9 8- A matriz b b 8 a c a é simétrica. Calcule a b c. Página de - 8/6/ - 6:

11 Página de - 8/6/ - 6: 8- Sejam as matrizes: 6,B 7 A Sabendo-se que C = A. B, calcule a soma dos elementos a + a + a da matriz C. 8- A inversa de y é. Determine e y. 8- Considere as matrizes A e B a seguir e n = det (AB). Calcule 7 n. A B Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes e Sistemas 8- Escreva a matriz: a) triangular de ordem, na qual j,para i a j,para i j) (i a j para i, a ij ij ij b) de ordem, na qual j para i a j para i, a ij ij 86- Determine as incógnitas em y z z Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de animais e 6 pés. Qual a quantidade de galinhas? 88- Sejam as matrizes B e A. Verifique se B AB A e B) A ( apresentam mesmo valor. 89- Sendo ( ). 9- Aplicando a regra de Sarrus, calcule o determinante: [ ] 9- Sabendo que y er mine det, y e -

12 9- Verifique se: a) (,-) é solução do sistema y 6y b) (,,) é solução do sistema y z 6 y z 9- Resolva e classifique os sistemas em: impossível (retas paralelas), possível e indeterminado (retas coincidentes) ou ainda possível e determinado (retas concorrentes). a) y y b) y y c) y y 6 d) y 6y e) y z y z 7 y z 7 f) y z y z y 7z g) 9y z 6y 6z 6 7y z h) y y z 6 y z 6 9- Faça a redução ao º quadrante de: a) 8º b) º c) 7º d) º e) 9º f) º g) º h) 8 i) j) k) 9- Calcule a medida da diagonal, a área total, e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede cm. 96- Se aumentarmos a aresta de um cubo em cm, obteremos um outro cubo cuja diagonal mede cm. Determine a área total e o volume do cubo inicial. 97- Determine as dimensões e o volume de um paralelepípedo, sendo a soma de suas dimensões igual a cm, a diagonal da base igual a cm e a área total igual a cm. Página de - 8/6/ - 6:

13 98- Calcule as dimensões de um ortoedro, sabendo que a soma de duas delas é m, o volume 9 m e a área total 6 m. 99- Calcule o volume de um prisma triangular retangular de cm de altura, sabendo que a área lateral ecede a área da base em 6 cm. - Um prisma de m de altura tem por base um quadrado inscrito em um círculo de m de raio. Qual o seu volume? - Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo 8 cm a soma das áreas desses triângulos. - A área lateral de um cilindro de m de altura é 6 m. Calcule o diâmetro da base do cilindro. - A geratriz de um cone mede cm e a área da base 8 cm. Calcule a medida da altura do cone. - Determine a aresta de um cubo, sabendo-se que, aumentada em m, o volume aumenta de 7m. - Calcule o volume de um ortoedro retângulo de 9 cm de diagonal, cm de área total, sabendo que suas dimensões estão em P.A. 6- Qual deve ser a altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume seja igual ao volume de um cubo de aresta a? 7- A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do raio da base. Calcule a área lateral, sabendo-se que seu volume é cm. 8- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a m, determine seu volume. 9- Determine o volume de um cone circular reto de cm de raio de base, sabendo que a base e a secção meridiana têm áreas iguais. - Uma casquinha de sorvete de forma cônica, tem cm de diâmetro e cm de altura. Se a casquinha está cheia de sorvete até a boca, porém sem ecesso, com quantos milímetros ela está? - Uma pirâmide, cuja área da base é 6 cm, tem cm de altura. A que distância da base se deve cortá-la, por um plano paralelo à base, para que a secção tenha cm de área? - O apótema de um tronco de pirâmide regular mede cm e as bases são quadrados cujos lados medem cm e cm, respectivamente. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco. - Determine o ângulo de uma cunha de m de uma esfera de m. Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes, Sistemas e Trigonometria - Sendo A, B e C, determine a matriz X que verifica a igualdade (X A) = (B+X) + 6C. - Sabendo que a,b e c, calcule o número real tal que a b c. 7 Página de - 8/6/ - 6:

14 6- Resolva a equação matricial 7 6 y. z 8 7- Dadas as matrizes A e B, determine AB BA. 8- Dada a matriz A (a ) ij tal que a a ij ij w sen i se i j, determine cos wj se i j A. 9- Se a, qual o valor do determinante sen a cos a cos a sen a sen a? cos a - Aleandre e sua irmã Helena foram a uma farmácia com seu cão Re. Havia uma velha balança com defeito que só marcava pesos corretamente acima dos 6 kg. Se pesaram dois a dois e obtiveram os seguintes resultados: Aleandre e Re pesam juntos 87 kg; Aleandre e Helena pesam juntos kg; Helena e Re pesam juntos 66 kg. Pode-se afirmar que: (A) Cada um deles pesa menos que 6 kg. (B) Dois deles pesam mais que 6 kg. (C) Helena é a mais pesada dos três. (D) O peso de Helena é a média aritmética dos pesos de Aleandre e Re. (E) Aleandre é mais pesado que Helena e Re juntos. '- A matriz A é dada pela lei de formação: i i j A (a ij ) i j i j j i i j Construa a matriz A. - Sr. José Carlos, considerado farmacêutico de sua cidade, resolveu organizar seu estoque de remédios. Colocou numa matriz as quantidades de caias dos tipos de remédio: Antibióticos, Anti-inflamatórios, Analgésicos e Anti-térmicos, respectivamente nessa ordem, nas linhas. Os laboratórios: Roche, Herald s, Bayer e Merck, respectivamente nessa ordem, nas colunas, conforme a matriz abaio: Determine: a) Qual o total de analgésicos da farmácia do Sr. José Carlos? b) Quantos medicamentos do laboratório Bayer possui o farmacêutico? - Determine o traço das matrizes: a) A b) B Página de - 8/6/ - 6:

15 Página de - 8/6/ - 6: - Determine os valores das incógnitas sabendo que A = B: a) 6 / z y b) m m 9 m - Dado as matrizes: 7 A ; B ; C Calcule a matriz C B A M 6- Resolva as seguintes equações matriciais: a) X b) X 7- Considere as matrizes:,c,b A A adição da transposta de A com o produto de B por C é: (A) impossível, pois não eiste o produto de B por C. (B) impossível, pois as matrizes são todas de tipos diferentes. (C) impossível, pois não eiste a soma de A t com B. C. (D) possível de efetuar e o seu resultado é do tipo. (E) possível de efetuar e o seu resultado é do tipo. 8- A matriz y A é simétrica. Calcule y. 9- A matriz z y A é anti-simétrica. Calcule + y + z. - Dadas as matrizes A e B e o sistema B A y B 7A y, calcule as matrizes e y. - Sejam as matrizes A, B e C. Determine, se eistir: a) A. B b) B. A c) A. C d) B t. C e) B. A t

16 Página 6 de - 8/6/ - 6: - Verifique se / / / / é a inversa de. - Determine, se eistir, a inversa da matriz /. - Determine, y e z de modo que z y seja ortogonal. - Calcule o valor de é: 6- Calcule o determinante da matriz A = (a ij), de ordem, onde: a ij = j i j i j i j i. 7- Qual o módulo do determinante da matriz / A? 8- Calcule o determinante da matriz 6 6 A. 9- Calcule os seguintes determinantes: a) b) 7 - M é uma matriz quadrada de ordem, e seu determinante é det(m) =. Qual o valor da epressão det(m) + det(m) + det(m)? - Resolva o sistema: z y 6 z y z y - Resolva o sistema: z y z y

17 - Resolva o sistema: 8y z y z y z - Resolva: y z a) y z y z y z b) y 6z y z y z c) z w y z w z w - Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caia respondeu: Quando passaram carros de passeio e ônibus, arrecadou-se a quantia de R$ 6,; quando passaram ônibus e caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 7,, e quando passaram 6 carros de passeio e caminhões arrecadou-se a quantia de R$,. Qual foi o valor do pedágio para cada veículo citado? 6- O curso de Álgebra, no semestre passado, teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Rafael, que acertou questões na primeira prova, na segunda e na terceira, obteve no final um total de pontos. Joana acertou na primeira, na segunda e na terceira prova, totalizando também pontos. Por sua vez, Leandro acertou na primeira, na segunda e na terceira prova, atingindo a soma de pontos no final. Já Fernando fez questões certas na primeira prova, 6 na segunda e na terceira. Qual foi o total de pontos de Fernando? 7- A base de uma pirâmide de 6cm de altura é um quadrado de 8cm de perímetro. Calcule seu volume. 8 - O tampo de uma mesa apóia-se em quatro pirâmides regulares quadrangulares iguais, feitas de granito. Se a área lateral de cada pirâmide é,8m e o lado do quadrado da base é,m, calcule o volume de granito das estruturas das quatro pirâmides. 9- Calcule o volume de uma pirâmide heagonal regular, sendo cm o perímetro da base e cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. - Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma pirâmide regular heagonal cuja aresta da base media m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de m, quantos metros quadrados de lona tinha a barraca? - A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? - Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede a cm, onde "a" é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm, vale? - Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a cm e altura igual a cm. Sabendo que a densidade do ouro é de 9 g/cm, calcule a massa total do cilindro. (densidade = massa/volume) - Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio cm e altura cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 8% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? - Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo m o raio da base e 9π m sua área lateral? 6- O perímetro da seção meridiana de um cilindro reto é 6 cm, e a área total é π cm. Determine a altura do cilindro. Página 7 de - 8/6/ - 6:

18 7- Na decoração de uma festa foram usadas lanterninhas orientais. Determine a área lateral de uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um cilindro equilátero cuja altura mede cm. 8- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede cm, sendo cm o diâmetro de sua base. 9- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede cm e cujo volume é 9π cm. 6- A geratriz de um cone reto mede cm e a área da base, 8π cm. Calcule a medida da altura e o volume desse cone. 6- O chapéu de um bruo tem a forma de um cone de revolução de cm de altura e π cm de volume. Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a superfície lateral? 6- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é de π cm. 6- Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma eposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizou-se 78,m de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura completa do galpão? (Considerar π =,). 6- Uma superfície esférica de raio cm é cortada por um plano situado a uma distância de cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Qual o raio desta circunferência, em cm? 6- Aumentando em % o raio de uma esfera a sua superfície aumentará: (A) % (B) % (C) % (D) % (E) % 66- Qual a razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo? 67- Se sen - cos = /, qual será o valor de sen cos? 68- O seno de um arco de medida é igual a quanto? 6- Qual o valor de y = cos + sen - tg - cos 9? 7- Determine o valor do número: N = ( cos8 - sen + tg ) / (6 sen ) 7- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B =,6, então cotg C é igual a quanto? 7- Seja um número real pertencente ao intervalo [,π/]. Se sec = /, então tg é igual a quanto? 7- Se é um arco do quadrante e cos = -/, então cossec é igual a quanto? 7- Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 7. Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {,, }. Página 8 de - 8/6/ - 6:

19 Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores: - ouro: pontos; - prata: pontos; - bronze: ponto. Esses valores compõem a matriz V. Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 7- Se as matrizes São tais que M.N = N.M, então, sobre os números reais e y, é possível afirmar, corretamente, que: (A) é um número qualquer e y pode assumir somente um valor. (B) y é um número qualquer e pode assumir somente um valor. (C) e y podem ser quaisquer números reais. (D) pode assumir somente um valor, o mesmo acontecendo com y. 76- Duas matrizes A e B são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes, se A. B = B. A. Dada a matriz B (figura ), para que uma matriz não nula A (figura ) comute com a matriz B, seus elementos devem satisfazer a relação (A) a = c + d e b =. (B) a + d e b = c. (C) a = c + d e b =. (D) c = a + d e d = c. 77- O valor de + y, para que o produto das matrizes seja a matriz nula, é: (A) - (B) (C) (D) (E) Página 9 de - 8/6/ - 6:

20 78- Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$, e de cada peça P é R$,. A matriz a seguir (figura ) fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. A matriz da figura, onde e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E e E, respectivamente, é: 79- Sendo as matrizes A = (a ij) e B = (b ij), quadradas de ordem com a ij = i j e b ij = - i + j, o valor de A - B é: 8- Na planilha de cálculos do setor de Engenharia, responsável pelas obras de um shopping, foram encontradas as matrizes: É correto, então, afirmar que A é igual a: (A) (/) B (C) - B (B) B (D) B 8- Três barracas de frutas, B, B e B são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e B j, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B em relação à barraca B ; b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. Página de - 8/6/ - 6:

21 8- Dadas as matrizes A = (a ij), definida por a ij = i - j; B = (b ij), definida por b ij = j; C = (c ij), definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c é: (A) Igual ao elemento c. (B) Igual ao produto de a por b. (C) O inverso do elemento c. (D) Igual à soma de a com b. (E) Igual ao produto de a, por b. 8- A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se então a matriz A. B será nula para: (A) + y = - (B). y = (C) /y = - (D). y = - (E) y/ = Dada uma matriz A (figura ), denotamos por A - a matriz inversa de A. Então A + A - é igual a: 8- Sendo B = (b ij), onde, { Calcule o det B: (A). (B) -. (C). (D). (E) Sendo e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis: podemos afirmar que /y vale: (A) - (B) (C) 6 (D) -6 (E) -/6 Página de - 8/6/ - 6:

22 87- Para que o determinante da matriz seja nulo, o valor de a deve ser: (A) ou - (B) ou (C) - ou (D) - ou (E) ou Sendo e y, respectivamente, os determinantes das matrizes é verdade que y/ é igual a (A) / (B) - / (C) (D) - (E) / 89- Sendo sen = /; Q, o valor da epressão cos. sec + sen é: (A) zero (B) (C) / (D) (E) 9- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos Bˆ =,6, então cotg Ĉ é igual a: (A) / (B) / (C) ¾ (D) / (E) / 9- Seja um número real pertencente ao intervalo [, /]. Se sec = /, então tg é igual a: (A) / (B) / (C) / (D) / (E) / 9- Se é um arco do º quadrante e cos = -/, então cossec é igual a: (A) -/ (B) -/ (C) / (D) / (E) / 9- Milena, diante da configuração representada abaio, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da sombra do poste, mas, para isso, ela informa que o sen =,6. Calcule o comprimento da sombra. 9- O seno de um arco de medida é igual a: (A) - (B) - / (C) (D) ( )/ (E) / Página de - 8/6/ - 6:

23 9- O valor de y = cos + sen - tg - cos 9 é (A) - [( ) - ]/ (B) - ( ) + (C) - ( ) - (D) ( ) O número N = ( cos8 - sen + tg ) / (6 sen ) pertence ao intervalo: (A) ] -, - [ (B) [ -, - [ (C) [ -, - ] (D) ] -, ] 97- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 7 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 79 m. A área da base dessa pirâmide, em m, é: (A).7 (B) 6. (C) 9.86 (D).88 (E) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede cm e a altura mede cm. Qual seu volume, em cm? 99- Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o lado da base deve ser / da altura e o reservatório deve ter capacidade para 7 m, qual deverá ser a medida aproimada do lado da base? (A) 8,7 m (C),9 m (E) 6, m (B), m (D), m - A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? - Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m, então, o volume do cubo, em m, é igual a: (A) 9 (B) (C) (D) 8 (E) - Numa pirâmide regular, a base é um quadrado de lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros. O volume desta pirâmide é: (A) [( )/] a (B) [( )/6] a (C) [( )/] a (D) [( )/] a (E) [( )/6] a - Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baia de %. O número que epressa a capacidade desse tonel, em litros é: (A). (B). (C). (D). (E) 8. Página de - 8/6/ - 6:

24 - Um salame tem a forma de um cilindro reto com cm de altura e pesa kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço varia entre cm e 6 cm. O peso do pedaço é de: (A) 6 g (C) 6 g (E) 6 g (B) 6 g (D) 6 g - Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6 m e raio da base m. O nível da água nele contida está a / da altura do tanque. Se =,, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é: (A) (B) 69 6 (C) 6 (D) 7 68 (E) 6 6- Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a m. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner. 7- Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? (A) cm. (B) cm. (C) cm. (D) cm. (E) cm. 8- A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: (A) 6 (B) 8 (C) (D) 6 (E) 8 9- Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral? (A) (B) (C) (D) (E) 6 */ - O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem diâmetro e área igual a k% da área total do cone. Então k vale: (A). (B). (C). (D). (E). FM/6/DOCUMENTOS/PRP - PROGRAMA DE RECUPERACAO PARALELA - APOSTILAS /PRP - MATEMATICA/MATEMATICA PRP ª SERIE ENSINO MEDIO - - PARTE.DOC Página de - 8/6/ - 6: