CADERNO DE EXERCÍCIOS PARA ACOMPANHAMENTO DA DISCIPLINA INTRODUÇÃO À BIOESTATÍSTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS ICE DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CADERNO DE EXERCÍCIOS PARA ACOMPANHAMENTO DA DISCIPLINA INTRODUÇÃO À BIOESTATÍSTICA Autores (em ordem alfabétca) Aa Bárbara Costa Res Ilka Afoso Res (coordeadora) Lourdes Coral Cotreras Moteegro (coordeadora) Prscla Bradão Res Esta apostla é parte tegrate produzdo pelo projeto Moderzação do Eso da Dscpla Itrodução à Boestatístca EST79 sob o Edtal PROGRAD 00/009.

2 Seguda Parte: Solução dos Eercícos

3 Seção : Tpos de Estudos, Varáves, População e Amostra Eercíco (.) a) Estudo do tpo: Observacoal Grupos de Comparação: Gestates que uca cosumam pee; b) Estudo do tpo: Epermetal Gestates que cosumam pelo meos 5g de pee uma vez por semaa. Grupos de Comparação: Gestates que sofrem de perodotte e fzeram tratameto; c) Estudo do tpo: Observacoal Gestates que fazem tratameto para perodotte. Grupos de Comparação: Craças que dormem rocado; d) Estudo do tpo: Epermetal Craças que ão rocam dormdo. Grupos de Comparação: Ratas grávdas que receberam almetação ormal; e) Estudo do tpo: Observacoal Ratas grávdas almetadas com certas vtamas. Grupos de Comparação: Homes acma de 50 aos que pratcam esportes; f) Estudo do tpo: Epermetal Homes acma de 50 aos que ão pratcam esportes. Grupos de Comparação: Mulheres com dade méda de 53 aos com pressão arteral ormal e de 58 aos hpertesas que se almetaram de soja; Mulheres com dade méda de 53 aos com pressão arteral ormal e de 58 aos hpertesas que ão se almetaram de soja. g) Estudo do tpo: Epermetal Grupos de Comparação: Ratas que passaram a materdade; Ratas que ão passaram pela materdade. h) Estudo do tpo: Observacoal Grupos de Comparação: Pessoas com peso deal; Pessoas acma do peso deal obesos.

4 ) Estudo do tpo: Epermetal Grupos de Comparação: Ratos que vvam em ambete com túes de plástco; j) Estudo do tpo: Observacoal Ratos que fcaram em um gaola vaza. Grupos de Comparação: Flhos de mulheres que tomaram mas de um tpo de atbótco durate a gravdez; Flhos de mulheres que tomaram um tpo ou ehum tpo de atbótco durate a gravdez. k) Estudo do tpo: Observacoal Grupos de Comparação: Flhos de mulheres que fumaram a gravdez; l) Estudo do tpo: Observacoal Flhos de mulheres que ão fumaram a gravdez. Grupos de Comparação: Pessoas que dormem até 7 horas por da; m) Estudo do tpo: Epermetal Pessoas que dormem mas de 8 horas por da. Grupos de Comparação: Mulheres com dfculdades seuas tratadas com placebo; ) Estudo do tpo: Epermetal Eercíco (.) Mulheres com dfculdades seuas tratadas com Vagra. Grupos de Comparação: Mulheres que receberam placebo; a) O úmero de flhos de casas resdetes em uma cdade. Varável do tpo quattatva e dscreta. Mulheres tratadas com compostos à base soflavoa. b) O grau de satsfação a vda seual de homes com dade acma de 50 aos. Varável do tpo qualtatva e ordal. c) A dade em aos completos de homes com câcer de próstata. Varável do tpo quattatva e dscreta. d) O estágo de uma determada doeça em pacetes. Varável do tpo qualtatva ordal.

5 e) A quatdade de lete retrado de uma vaca em um da. Varável do tpo quattatva e cotíua. f) A cor da pele de pacetes com câcer de pele. Varável do tpo qualtatva e omal. Eercíco (.3) a) População: Homes etre 40 e 64 aos. Amostra: 456 homes etre 40 e 64 aos. b) População: Pacetes com doeça coroaraa. Amostra: 348 pacetes com doeça coroaraa. c) População: craças que mamaram o peto por ses meses ou mas e outras craças que o fzeram Amostra: 345 craças. por meos de oveta das. d) População: Homes e mulheres hpertesos e totalmete sedetáros. Amostra: 07 homes e mulheres hpertesos e totalmete sedetáros. e) População: Craças cujas mães tomaram remédos cotra fecções uráras ou respratóras, etre outras, durate o período de gestação. Amostra: craças cujas mães tomaram remédos cotra fecções uráras ou respratóras, etre outras, durate o período de gestação. f) População: Mulheres amercaas. Amostra: 74 ml amercaas.

6 Seção : Aálse Descrtva de Dados e Eploratóra dos Dados Eercíco (.) Estatístca é um cojuto de métodos desevolvdos para coletar, orgazar, descrever, aalsar, terpretar e coclur sobre dados. Eercíco (.) Tabela : Resposta de pacetes após receberem uma determada vaca Frequeca Frequeca Frequeca Frequeca Absoluta Relatva(%) Resposta Absoluta Relatva(%) Acumulada Acumulada Baa moderada Alta Total Tabela 3: Nascmetos em Otáro, Caadá, de 98 a 99 Frequeca Frequeca Cesaraa Absoluta Relatva(%) Sm Não Total Eercíco (.3) a) Fsoterapa: varável do tpo quattatva e dscreta. Sequelas: varável do tpo qualtatva e omal Crurga: varável do tpo qualtatva e ordal

7 b) Fsoterapa Frequêca Sequelas Frequêca Crurga Frequêca Absoluta Absoluta Absoluta 4 S 7 A N 8 M Total 5 B Total 5 8 Total 5 c) Pelo hstograma da varável fsoterapa podemos perceber uma assmetra com cocetração à esquerda (cauda à dreta) que dca que o tempo de fsoterapa dos pacetes está cocetrado em tempos meores. A grade parte dos pacetes se recupera etre 4 e 5 meses. Preseça de sequelas

8 Pelo gráfco de pzza da varável Sequelas percebemos que a quatdade de pacetes sem sequelas é meor Baa Méda Alta Grau de compledade da crurga Pelo gráfco de barras, podemos observar que a maor parte dos pacetes realza crurga de grau médo. Eercíco (.4) Aalsado a Tabela.3, podemos perceber que as famílas mas freqüetes são as de dos flhos (40%), seguda pelas famílas de três flhos. Apeas 6% das famílas têm mas de três flhos, mas são ada mas comus do que famílas sem flhos. Eercíco (.5) Os gráfcos ão são comparáves. As escalas de peso ão são guas e as frequêcas são absolutas e ão relatvas, como deveram ser para que os gráfcos pudessem ser comparados.

9 Eercíco (.6) a) O tempo de ccatrzação da maora dos pacetes está etre 5 e 7 das. b) legeda: 8 lea-se 8 das c) P 5, P 38 5, P 76 7 Eercíco (.7) a) Esta afrmatva está errada. Na verdade, essa afrmatva refere-se à medaa, pos metade dos valores etão abao ou são guas a medaa. A méda é um poto de equlíbro da dstrbução. É ode se cocetram mas dados. b) Esta afrmatva refere-se ao fato de que a méda é o poto em que mas se cocetram os dados da dstrbução, logo é o valor mas típco da dstrbução. No etato, é um dos valores típcos do cojuto de dados, que também pode ser resumdo usado-se a medaa ou a moda. c) Sempre haverá aluos abao da méda, quado a palavra méda se referr à estatístca que é usada para resumr um cojuto de valores. Esta afrmatva também pode ser terpretada como se a palavra méda se refersse ão à méda de um cojuto de dados, mas sm a uma meta que deve ser cumprda em escolas, em geral, essa meta é gual a 60 potos. Os aluos devem ter 60 potos ou mas para passar a matéra cursada.

10 Eercíco (.8) X k k 5 f f, em que k é o úmero de classes f X 993,75 kj/00g f S k f ( k X ) f k f X , Eercíco (.9) a) Méda Medaa Desvo-Padrão 4, ,57 b) Grupos CV Cura rápda 0,74 Cura ormal 0,36 Cura leta 0,9 O grupo cura leta é o mas homogêeo equato que o grupo cura rápda é o mas heterogêeo. c) Quartl 5% Quartl 75% Itervalo ter-quartl 3,5 44,5 44, ,00 Eercíco (.0) Os valores da medaa, do prmero e tercero quarts são apromadamete: 3,, 4.5, respectvamete. Isso sgfca que 50 % das taas de hemogloba estão abao de 3 g/cm 3 e 50% estão acma; 5 % das taas de hemogloba estão abao de g/cm 3 e 75% estão acma; 75% das taas de hemogloba estão abao de 4.5 g/cm 3 e 5% estão acma.

11 Eercíco (.) a) Rqueza da espéce Medaa Méda Desvo-Padrão Floresta Pâtao A floresta é o habtat com maor rqueza de espéces, pos sua méda e medaa possuem valores maores. Este habtat também apreseta maor varabldade, já que, apreseta maor desvo-padrão. b) CV Floresta 0.469, CV Pâtao 0.60 O grupo mas homogêeo é a Floresta, pos apreseta meor coefcete de varação. Eercíco (.) a.) e a.) M. 0. Qu. Medaa Méda 3 0. Qu. Ma. Desvo-Padrão CV Irmãos Irmãs b) É fácl perceber que a altura dos rmãos é maor, pos estes apresetam valores de méda, medaa, mímo, mámo, º e 3º quarts maores. Eercíco (.3) a) Tabela.3: Estatístcas descrtvas do gaho de peso (em gramas) de ratos que com deta a base de bfe e cereal Gaho de Peso M. º Quartl Medaa Meda 3º Quartl Ma. D.P. CV Bfe Cereal

12 b) Podemos perceber, pela aálse dos bo-plots, que este dfereça as medaas e a varabldade o gaho de peso dos ratos que gerram proteía de bfe e de cereal. A medaa é maor para o grupo que comeu bfe e a varabldade deste grupo é maor. Além dsso, a dstrbução do gaho de peso o grupo cereal é um pouco mas smétrca do que a dstrbução do gaho de peso o grupo bfe. c) O gaho de peso médo dos ratos que cosumram bfe (89,6 g) fo maor do que o dos ratos que cosumram cereal (84,9 g). Pelo coefcete de varação, percebemos que o grupo que comeu bfe possu uma varabldade um pouco maor do que a varabldade do outro grupo. Eercíco (.4) a. e a. ) Méda Moda º Quartl Medaa 3º Quartl Eerga Proteía Gordura Carbodrato Sódo 39. 0, 60, Observação: as varáves Proteía, Gordura e Carbodrato ão possuem moda equato que a varável Sódo possu três modas. b) Eerga Proteía Gordura Carbodrato Sódo CV

13 c) Bo-plot do percetual de gordura O Bo-plot apreseta assmetra com cocetração à esquerda, o que dca que a maora dos chocolates apreseta valores maores para o percetual de gordura. d) Na fgura, otamos que as varáves apresetam medaas bastate dferetes, sedo a da Gordura a meor e a do Sódo a maor. Além dsso, percebemos que a varável Sódo apreseta grade varabldade e seu valor mámo chega a 50 mg. Nota-se também que a varável Gordura apreseta certa assmetra. Eercíco (.5) Tabela : Estatístcas Descrtvas de algumas marcas de chocolate Valor Orgal Escore Padrozado Méda Desvo-Padrão Marca A Marca B Marca A Marca B Eerga Proteía Gordura Carbodrato Sódo O chocolate da marca A se dstaca mas do grupo de chocolates quato ao valor eergétcos, fcado a apromadamete.5 desvos-padrão acma da méda. Já o chocolate da marca B destaca-se por apresetar uma quatdade de sódo bem abao do valor típco do grupo, com.7 desvos-padrão abao da méda. Eercíco (.6) Z

14 Como a altura do atleta está quase 4 desvos acma da méda, ele pode ser cosderado ecepcoalmete alto. Eercíco (.7) Por lha: Resposta Placebo Vaca Total Baa 5 (80.6%) 6 (9.4%) 3 (00%) moderada 8 (30.8%) 8 (69.%) 6 (00%) Alta 5 (3.5%) (68.75%) 6 (00%) Total 38 (47.9%) 35 (5.%) 73 (00%) 80.6% dos pacetes que tveram resposta baa ao tratameto receberam placebo. 30.8% dos pacetes que tveram resposta moderada ao tratameto receberam placebo. 3.5% dos pacetes que tveram resposta alta ao tratameto receberam placebo. A dstrbução de pacetes que receberam ou ão vaca vara muto detro das categoras de resposta, prcpalmete se aalsarmos as categoras moderada e alta em comparação com a categora baa. Isto é um díco de assocação etre as duas varáves. Por colua: Tabela.6: Tratameto de grpe Resposta Placebo Vaca Total Baa 5 (65.78%) 6 (7.%) 3 (4.5%) moderada 8 (.%) 8 (5.4%) 6 (35.6%) Alta 5 (3.%) (3.4%) 6 (.9%) Total 38 (00%) 35 (00%) 73 (00%) A aálse desta tabela por colua é mas teressate, pos vamos aalsar como se dá a dstrbução dos pacetes as categoras de resposta ao tratameto detro de cada tpo de tratameto (vaca ou placebo). Assm, poderemos comparar os dos tratametos quato às freqüêcas de cada tpo de resposta ao tratameto. Por eemplo, 3.% dos pacetes que receberam placebo tveram resposta alta ao tratameto, equato 3.4% dos pacetes que receberam vaca tveram resposta alta. Isto também é um díco de que a tesdade de resposta ao tratameto está lgada ao tpo de tratameto (vaca ou ão). Eercíco (.8) O gráfco de lhas mostra que o úmero de partos ormas é muto maor do que úmero de cesaraas durate todo o período estudado. O úmero de partos ormas apreseta tedêca de crescmeto maor do que o úmero de cesaraas, que, por sua vez, apreseta certa tedêca à establdade, prcpalmete o fal do período. Eercíco (.9) Correlação é a medda da relação etre duas varáves. Este correlação quado uma das varáves está, de alguma forma, relacoada com a outra. Mas ateção: a estêca de correlação etre duas varáves ão sgfca que uma varável é cosequêca da outra. Somete sgfca que ambas estão relacoadas de alguma maera.

15 Eercíco (.0) a) Falsa. Duas varáves podem estar altamete correlacoadas, mas sem ehuma relação de causa-eefeto. O eemplo clássco é o gráfco de dspersão que mostra uma alta correlação postva etre o úmero de rádos fabrcados a Iglaterra e o úmero de dagóstcos de loucura ao logo do século 0. Ambas as varáves, a verdade, são fluecadas postvamete pelo desevolvmeto da tecologa, e ão podemos dzer, de maera ehuma, algo como o aumeto o úmero de rádos mplca o aumeto o úmero de dagóstco de loucura. b) Verdadera. Quado agrupamos dvíduos em grupos e resummos os grupos por meo de médas, a varabldade dos dados agrupados em médas é meor do que quado usamos os dados orgas. Assm, se usarmos estas médas para calcular o coefcete de correlação, o valor de r tede a aumetar. Isto porque o deomador do coefcete de correlação r, que mede justamete a varabldade dos dados, fca meor. Por coseqüêca, o r tede a fcar maor do que o valor calculado com os dados sem agrupameto. c) Falsa. O valor de r gual a zero somete sgfca que a correlação LINEAR é estete. Isto porque, se duas varáves tem um relacoameto que ão seja lear (por eemplo, quadrátco, epoecal, etc.) o coefcete lear de Pearso (r) será prómo de zero. No etato, as varáves cotuam correlacoadas, mas NÃO learmete.

16 Eercíco (.) Tóra em polegadas (X) Peso em lbras (Y) XY X Y Total X Tamaho do tóra, em polegadas. Y Peso, em lbras. α 0,05 r [( ) ( y y) ] ( ) ( y y) ( y ) y y y r ,7475 0,9809 O coefcete de correlação está mas prómo de um, ou seja, a correlação lear etre Tamaho do Tóra, em polegadas e Peso, em lbras, é postva e forte, dcado que o aumeto do tóra do amal é, em geral, acompahado por um aumeto de peso.

17 Eercíco (.) Sstólca Dastólca (X) (Y) XY X Y Total X Sstólca Y Dastólca α 0,05 r [( ) ( y y) ] ( ) ( y y) ( y ) y y y r ,86 0,6579 Como o coefcete de correlação é postvo, mas ão muto próma de um, podemos dzer que há uma correlação lear postva moderada etre uma varação a pressão sstólca e uma varação a pressão dastólca.

18 Eercíco (.3) Temperatura (X) Tempo em m (Y) XY X Y 55 45,3 799, ,7 9070, ,3 766, , 98, , , ,7 7379, ,5 8407, Total , X Temperatura Y Tempo α 0,05 A correlação lear etre Temperatura e Tempo é postva, porém fraca, pos o coefcete de correlação é mas prómo de zero. 0, ,6676 9,074 r ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) y y y y y y y y r

19 Eercíco (.4) Crcrlos em m (X) Temperatura ( F) (Y) XY X Y 88 69, , 88 93, , , , , , , , , , , , , Total X Crcrlos em m Y Temperatura ( F) α 0,05 r [( ) ( y y) ] ( ) ( y y) ( y ) y y y r ,378 0,8736 Como o coefcete de correlação é postvo e prómo do valor, podemos dzer que há uma correlação lear postva forte etre o úmero de crcrlos e a temperatura ambete.

20 Eercíco (.5) Altura em polegadas (X) Taa de Pulsação batmetos por m (Y) XY X Y 64, ,8 434, , ,8 4408, , ,4 388, , , ,6 7 49, 355, , ,8 4044, , , , , 4006, , , , , 3769, , , , ,8 499, Total 76, , 006 X Altura Y Taa de Pulsação α 0,05 r [( ) ( y y) ] ( ) ( y y) ( y ) y y y r 04 0,0384 7,6 Como coefcete de correlação é prómo de zero, a correlação lear etre a altura e a taa de pulsação por segudo é mas fraca.

21 Seção 3: Probabldade Eercíco (3.) a) E { (M M M), (M M F), (M F M), (F M M), (M F F), (F M F), (F F M), (F F F) } ode M Masculo e F Femo b) E { (A A), (A B), (A AB), (A O), (B A), (B AB), (B B), (B O), (AB A), (AB B), (AB AB), (AB O), (O A), (O B), (O AB), (O O) } c) E { c: C m c C ma } ode c: represeta o ível de cocetração de ogêo C m : represeta o ível mímo de cocetração de ogêo e C ma : represeta o ível mámo de cocetração de ogêo. O úmero de elemetos do espaço amostral (E) é fto. d) E { (F F F), (F F N), (F N F), (N F F), (F N N), (N F N), (N N F), (N N N) } ode F Hábto de fumar e N Hábto de ão fumar e) E { ( ), ( ), ( 3), ( 4), ( 5), ( 6) ( ), ( ), ( 3), ( 4), ( 5), ( 6) (3 ), (3 ), (3 3), (3 4), (3 5), (3 6) (4 ), (4 ), (4 3), (4 4), (4 5), (4 6) (5 ), (5 ), (5 3), (5 4), (5 5), (5 6) (6 ), (6 ), (6 3), (6 4), (6 5), (6 6) } Eercíco (3.) E {,, 3, 4, 5, 6} a) A: ocorre face par A {, 4, 6} A) B: ocorre face mpar B: {, 3, 5} B) C: ocorre face meor que 5 C: {,, 3, 4} C) D: ocorre face maor ou gual a 4 D: {4, 5, 6} D)

22 b) A B) 0, A C) , A D) , B C) , B D) 6 0.7, C D) c) Para o cálculo de probabldade de uão de evetos, serão utlzados os resultados do tem, (a) e (b). A B) A) + B) - A B) , A C) A) + C) - A C) , A D) A) + D) - A D) , B C) B) + C) - B C) , B D) B) + D) - B D) , C D) C) + D) - C D) A B) d) A B) B) 0 0. Ou seja, como ehuma face do dado é par e mpar ao mesmo tempo, etão A B) 0. Como A B) A), os evetos A e B ão são depedetes. e) B C) B C) C) Ou seja, como, das 4 faces são meores do que 5, duas são mpares, etão B C) 4. Como B C) B), os evetos A e B são depedetes. Eercíco (3.3) Tabela 3.: Tratameto de grpe Sejam os evetos: Resposta Placebo Vaca Total Baa Moderada Alta 5 6 Total P {o pacete escolhdo recebeu tratameto com Placebo} V {o pacete escolhdo recebeu tratameto com Vaca} B {o pacete escolhdo obteve resposta Baa}

23 M {o pacete escolhdo obteve resposta Moderada} A {o pacete escolhdo obteve resposta Alta} 35 a) V) b) P) c) B) d) M) e) A) f) B V) 6/ g) M P) 8/ h) V A) / ) A P) A) + P) - A P) j) B V) B) + V) - B V) Eercíco (3.4) Sejam os evetos: Tabela 3.: Icdêca de DHDA DHDA Seo Presete Ausete Totas Masculo Femo Totas P {a craça escolhda apreseta Dstúrbo} A {a craça escolhda ão apreseta Dstúrbo} M {a craça escolhda é do Seo Masculo} F { a craça escolhda é do Seo Femo } 66 a) P) b) A) c) M) d) F)

24 60 e) P M) f) P F) g) A M) h) A F) ) P M) P M ) M ) j) P F) P F) F) k) A M) A M ) M ) l) A F) m) F P) A F) F) F P) P) ) M A) M A) A) Eercíco (3.5) Sejam os evetos: Temos que: A {o pacete tem Aga} M {o pacete é do Seo Masculo} F {o pacete é do Seo Femo} M) 0.543; F) 0.457; A M) e A F) a) A) A M ) + A F) A M) M) + A F) F) (0.673) (0.543) + (0.457) (0.566) 0.64 M A) b) M A) A) A M ) M) ( 0.673)(0.543) A) 0.64 Eercíco (3.6) Sejam os evetos: N {Prmero ome falso} {Prmero verdadero} S {Sobreome falso} {Sobreome verdadero}

25 Temos que: P (N) 0.54; P ( ) 0.46; P ( N) 0.7; P (S N) 0.8 e P ( ) 0.5 P ( )? P ( P ( N S ) ) P (S) P (S N ) P (N ) P (S) P (S N) P (N) P (S N) + P (S N) P (S N) P (N) [ P (S N ) P (N) + P (S N) P (N)

26 Seção 4: Avalação da Qualdade de Testes Clícos Eercíco (4.) sesbldade: s + D) 97/ especfcdade: e - D ) 98/ Como tato a especfcdade quato a sesbldade tveram valores elevados, ou seja, prómos de um, temos que a proteía é um bom bomarcador de apedcte. Eercíco (4.) a) sesbldade: s + C) 60/ especfcdade: e - C ) 70/ b) Prevalêca a população: p 0.58 Prevalêca a amostra: 80/ p Como a prevalêca da substâca devda a amostra é próma da prevalêca a população, podemos calcular VPP e VPN dretamete da tabela 60 VPP C +) 0.9 PFP VPP VPN C -) 0.78 PFN VPN Eercíco (4.3) a) sesbldade: s + D) 436/ especfcdade: e - D ) 495/ b) Prevaleca a população: p? Prevaleca a amostra: 450/ Cosderado que a prevalêca da sídrome de Alzhemer a população é gual à prevalêca a amostra, podemos calcular os ídces pela tabela: VPP D +) 436/ PFP VPP 0.04 VPN D -) 495/ PFN VPN Eercíco (4.4) a) s + D) 54/ e - D ) 8/ b) Prevalêca a população p 0,0 Prevalêca a amostra 55/ VPP (- 0.99)( )

27 VPN (- 0.0) (- 0.0) + (- 0.99)( 0.0) c) s + D) 7/ e - D ) 8/ d) Prevalêca a população: p 0.5 Prevalêca a amostra: 3/4 0.7 Como a prevalêca da doeça a amostra é próma da prevalêca a população, podemos calcular VPP e VPN dretamete da tabela. VPP D +) 7/ VPN D -) 8/

28 Seção 5: Varáves Aleatóras e Dstrbução de Probabldade Eercíco (5.) Cosdere as formações da Questão 3., assm, obtemos: a) X: úmero de craças do seo femo etre os três escolhdos Valores que X pode assumr: 0,, ou 3 Dstrbução de probabldade de X P[X] 0 /8 3/8 3/8 3 /8 Total b) Y: úmero de dvíduos adétcos de tpo de sague AB etre os dos sorteados Valores que Y pode assumr: y 0, ou Dstrbução de probabldade de Y y P[Yy] 0 9/6 6/6 /6 Total c) Z: úmero de estudates que fumam em sala de aula etre os três selecoados Valores que Z pode assumr: z 0, ou Dstrbução de probabldade de Z z P[Zz] 0 /8 3/8 3/8 3 /8 Total Eercíco (5.) Seja Dstrbução de probabldade de X P[X] 0 /4 / /4 Total a) Cosdere o segute eemplo para a dstrbução de probabldade acma.

29 Epermeto: selecoar duas craças ao acaso e verfcar se são do seo masculo Espaço amostral: E {M M, M F, F M, F F}, ode M {a craça selecoada é do seo masculo} e F {a craça selecoada é do seo femo} X: úmero de craças do seo femo etre os dos escolhdos. Valores que X pode assumr: 0, ou. Probabldades: P[X] /4, / e /4, correspodete a cada valor da varável aleatóra. b) Valor esperado: E[X] 0*(/4) + *(/) + *(/4) Varâca : Var[X] (0 ) */4+ ( ) */ + ( ) */4 / 0.5 Desvo padrão: dp[x] Var (X ) Eercíco (5.3) Epermeto: Uma ura cotém três bolas umeradas, e 3, selecoa-se duas bolas, uma de cada vez ao acaso e sem reposção da prmera bola. Espaço amostral: E {( ), ( 3), ( ), ( 3), (3 ), (3 )} Cada um dos 6 potos do espaço amostral E tem a mesma probabldade de ocorrer, ou seja, /6. Varável aleatóra X: soma dos úmeros das bolas selecoadas. Valores que X pode assumr: 3, 4, ou 5. Probabldades de cada valor da varável soma Valores de soma Frequêca Probabldade 3 /6 4 /6 5 /6 Total 6 Valor esperado: E[X] 3*(/3) + 4*(/3) + 5*(/3) 4 Dstrbução de probabldade de X P[X] 3 /3 4 /3 5 /3 Total Varâca : Var[X] (3 4) */3+ (4 4) */3 + ( 4) */3 5/3.67 Desvo padrão: dp[x] Var (X ).9

30 Eercíco (5.4) Epermeto: Um determado tratameto alcaça 70% de cura de certa doeça quado o mesmo é admstrado a pacetes em codções bem defdas. Espaço amostral: E { (C C C), (C C N), (C N C), (N C C), (C N N), (N C N), (N N C), (N N N)} ode C pacete que fo curado e N pacete que ão fo curado Varável aleatóra X : úmero de pacetes que se submeteram ao tratameto e foram curados Valores que X pode assumr: 0,, ou 3. a) Sabemos que a probabldade de um dvíduo se submeter ao tratameto alcaça uma probabldade de cura de 70% Evetos Probabldade C C C (0.70) 3 3 C C N (0.70) *0. C N C (0.70) *0. N C C (0.70) *0. C N N (0.) *0.7 N C N (0.) *0.7 N N C (0.) *0.7 N N N (0.) 3 0 Total A dstrbução de probabldade da varável aleatóra X é dada por Dstrbução de probabldade de X P[X] 0 (0.) 3 3*(0.) *0.7 3*(0.70) *0. 3 (0.70) 3 Total Eercíco (5.5) Seja L: lucro por muda produzda L 3,50, 0,30 3,50, 70,80 0, 0, 0, muda sem ataque, muda atacada e recuperada, muda atacada e descartada

31 O dagrama de árvores (ou árvore de probabldades), será 0,0 A 0,50 0,50 R D L,80) 0,0*0,50 0,0 L-,0) 0,0*0,50 0,0 0,98 S L,30) 0,98 Assm, a dstrbução da varável aleatóra lucro por muda produzda é dada por: l -,0,80,30 Ll) 0,0 0,0 0,98 a) O lucro médo por muda produzda é dado por: E(L) -,0*Ll -,0 ) +,80*Ll,80 ) +,30*Ll,30 ) -,0*0,0+,80*0,0+,30* 0,98,6 Assm, o lucro médo por muda produzda é de R$,6. b) 0000*E(L) 0000 *,6 600 Assm, em uma platação de 0000 mudas, o lucro esperado é R$600,00

32 Seção 6: Dstrbução de Probabldade: Bomal e Posso Eercíco (6.) O epermeto ter um úmero fo de tetatvas; As tetatvas têm que ser depedetes. O resultado de qualquer tetatva dvdual ão afeta as probabldades as outras tetatvas; Cada tetatva deve ter todos os resultados classfcados em duas categoras em geral, chamadas de sucesso e fracasso; A probabldade de um sucesso permaece costate em todas as tetatvas. Eercíco (6.) a) X: o úmero de mudas aprovetáves em um lote de 50 mudas. p: probabldade de sucesso, ou seja, a probabldade de uma muda selecoada ao acaso, ser aprovetável é de p: probabldade de fracasso, ou seja, a probabldade de uma muda selecoada ao acaso, ão ser aprovetável é de 0.0 Valores que X pode assumr: 0,,, 3,... ou 50 Desse modo, X ~Bomal (50, p0.99) Assm, P X ( ) 0.99 ( 0.99) para 0,,, 3,...ou 50 A probabldade de que pelo meos 45 sejam aprovetáves é dada por: X 45) X 45) + X 46) + X 47) + X 48) + X 49) + X 50) X X X X X X 50! 45) (0.99) (50 45)!45! 50! 46) ( )!46! 50! 47) ( 50 47)!47! 50! 48) ( )!48! 50! 49) ( )!49! 50! 50)!50! ( 50 50) 45 (0.0) 46 ( 0.99) ( 0.0) 47 ( 0.99) ( 0.0) 48 ( 0.99) ( 0.0) 49 ( 0.99) ( 0.0) ( 0.99) ( 0.0) X 45) % b) O epermeto tem um úmero fo de tetatvas que são depedetes, classfcadas as categoras sucesso e fracasso e a probabldade do sucesso é sempre a mesma.

33 Eercíco (6.3) X: úmero de pessoas com alerga quado pessoas serão selecoadas aleatoramete. Valor que X pode assumr: 7 p: probabldade de sucesso, ou seja, a probabldade de cada pessoa ter alerga respratóra é de p: probabldade de fracasso, ou seja, a probabldade de cada pessoa ão ter alerga respratóra é de 0,4. Desse modo, X ~ Bomal (, p0.6)! 7 7 Assm, P ( X 7) ( 7)!7! Eercíco (6.4) Seja X: úmero de aspras defetuosas em uma amostra de 4 comprmdos. Valores que X pode assumr: 0 e p: probabldade de sucesso, ou seja, a aspra ser defetuosa é de p: probabldade de fracasso, ou seja, a aspra ão ser defetuosa é de Desse modo, X ~ Bomal (4, p0.04) Assm, 4 4 X ).(0.04) ( 0.04) para 0 ou. Estamos teressados em saber qual é a probabldade que o carregameto seja aceto, sto é, P ( X ) 0) + ) 4! P ( X 0) (0.04) (0.96) (4 0)!0! 4! 4 P ( X ) (0.04) (0.96) (4 )!! P ( X ) A probabldade de que o carregameto seja aceto é de 75%. Eercíco (6.5) X : úmero de pacetes sobrevvetes à crurga a amostra 0. Valores que X pode assumr: 0,,,...ou 0 p: probabldade de sucesso, ou seja, a probabldade de um pacete sobrevver à crurga é gual a p: probabldade de fracasso, ou seja, a probabldade de um pacete ão sobrevver à crurga, é gual a 0.. Desse modo, X ~ Bomal (0, p0.9) Assm, 0 P a) A probabldade de que todos sobrevvam ! ( 0) (0.9) (0.) (0.9) (0.) P X (0 0)!0! A probabldade de que todos os pacetes sobrevvam à crurga é de 34.87%. 0 ( X ).(0.9) ( 0.9) para 0,,,...ou 0.

34 b) A probabldade de que guém sobrevva ! P ( X 0) (0.9) (0.) (0.9) (0.) 0 (0 0)!0! A probabldade de que guém sobrevva à crurga é muto baa..0 0 c) A probabldade de que ove ou mas sobrevvam 0! P ( X 9) X 9) + X 0) (0.9) (0.) (0 9)!9! A probabldade de que ove ou mas sobrevvam à crurga é de 73.6%. d) A probabldade de que pelo meos oto sobrevvam X 8) X 8) + X 9) + X 0) 0! (0.9) (0 8)!8! A probabldade de que pelo meos oto sobrevvam é de 9.98%. 8 (0.) e) O úmero esperado de pacetes submetdos à crurga sobrevva é de: E[X].p 0 (0.9) 9 pacetes. A varâca de pacetes submetdos à crurga sobrevva é de: Var[X].p.(-p) 0(0.9)(0.) 0.9 E o desvo padrão: Var [X ] pacetes. Eercíco (6.6) a) O modelo adequado é o modelo Bomal, pos o úmero de tetatvas (de uma semete germar) é fo para cada pacote, e a probabldade de sucesso (semete germar) em cada epermeto é sempre a mesma, sto é, uma semete germa depedete dos outros. X: úmero de semetes germarem em um lote de 0 semetes Valores que X pode assumr: 0,,,...ou 0 p: probabldade de sucesso, ou seja, a probabldade de uma semete germar é gual a p: probabldade de fracasso, ou seja, a probabldade de uma semete ão germar é gual a 0.. Desse modo, Assm, P X ~ Bomal (0, p0.9) 0 0 ( X ).(0.9) ( 0.9) para 0,,,...ou 0. b) Num lote de 0 semetes, qual a probabldade de todas germarem. 0! X 0) (0.9) (0.) (0 0)!0! A probabldade de que em um lote de 0 semetes todas as semetes germarem é de 34.87%. c) Um clete comprou um pacote destas semetes Qual a probabldade de que pelo meos 7 semetes deste pacote germem?

35 X 7) X 0! 0, , ,937 + (0,9) (0 7)!7! ) + X 9) + X 8) + X 7) 7 (0,) 0 7 A probabldade de que pelo meos 7 das 0 semetes do pacote germem é de 98.7%. d) Em 80 destes pacotes, qual o úmero esperado de pacotes com todas as semetes germadas. E[X].p 80 (0.9) 7 pacotes. Eercíco (6.7) A varável aleatóra X é o úmero de ocorrêcas de um eveto ao logo de algum tervalo de tempo ou espaço. As ocorrêcas devem ser: Aleatóras Idepedetes umas das outras Uformemete dstrbuídas sobre o tervalo em uso. Eercíco (6.8) X: O úmero de detes-de-leão ecotrados por metro quadrado em uma regão. Valores que X pode assumr: 0,,,...(até um lmte mámo descohecdo) λ : Méda de detes-de-leão ecotrados por metro quadrado ( λ 7). Supodo X ~ Possol ( λ 7) Assm, 7 e.7 X ) para 0,,,...! a) Calcule a probabldade de ão se achar qualquer dete-de-leão em uma área de m. 0 7,0 ( 7,0) e 4 X0) 9,8 0 0, ! A probabldade de ão se achar qualquer dete-de-leão em uma área de m é de 0.09%. b) Calcule a probabldade de que pelo meos um dete-de-leão em uma área de m. P (X ) X0) 0, ,999. A probabldade de que pelo meos um dete-de-leão é achado em uma área de m é de 99.9% c) Calcule a probabldade de o mámo dos detes-de-leão em uma área de m. X ) P (X0) + X) + X) 0 7,0 7,0 7,0 (7,0) e (7,0) e (7,0) e X ) + + 0, 096 0!!! A probabldade de que o mámo um dete-de-leão é achado em uma área de m é de.96%.

36 Eercíco (6.9) X: O úmero mesal de adolescetes sucdas o codado. Valores que X pode assumr: 0,,,...(até um lmte mámo descohecdo) λ : méda de adolescetes sucdas o codado ( λ.75). Supodo X ~ Possol ( λ.75) Assm,.75 e.(.75) X ) para 0,,,...! Parâmetro da dstrbução de Posso ( λ. 75 ). a) Qual é a probabldade de que em um mês escolhdo aleatoramete ocorreu três sucído de adolescetes (.75) e (.75) e X3) 0. 6! 3! A probabldade de ocorrer três sucídos de adolescetes em um determado mês é de.69%. b) Qual é a probabldade de que em um mês escolhdo aleatoramete ocorreu três ou quatro sucído de adolescetes 4.75 (.75) e P (X 3) + (X 4) ! A probabldade de ocorrerem três ou quatro sucídos de adolescetes em um determado mês é de 37.39%. Eercíco(6.0) a) O parâmetro λ é estmado por: (0 *90 + *80 + *85 + 3*35 + 4*8 + 5*)/ b) O cálculo das freqüêcas esperadas segue: Número de Freqüêcas Probabldade Freqüêcas esperadas Prímulas por quadrado Observadas λ e λ P[ X ]! P[X]* No quadro acma podemos observar que as frequêcas observadas e esperadas superestmam quado o úmero de Prímulas por quadrado, são, 0 e 3, e subestma quado são, e, os outros resultados são cosderados prómos etre os valores observados e esperados. Assm, podemos coclur que, as platas de Prímula seguem apromadamete o modelo de dstrbução de Posso.

37 c) Cálculo da varâca amostral: s [90( ) +80(-0.994) +85(-0.994) +35( ) +8( ) +( ) ]/ Como E[X] λ 0,994 para o modelo de Posso e a varâca amostral ecotrada é gual a,04, podemos otar que há uma pequea dfereça etre estes valores o que dca que é acetável a afrmação de que Var[X] E[X] o modelo de Posso.

38 Seção 7: Dstrbuções de Probabldade: Normal e Faa de Referêca Eercíco (7.) a) P[Z <.87] b) P[Z >.8] P[Z < -.8] c) P[Z > -.87] P[Z <.87] d) P[Z < -.8] e) P[-.30 < Z <.59] P[Z <.59] - P[Z < -.30] Eercíco (7.) a) P[Z < a] a é o percetl 5 da curva Normal Padrão a.645 b) P[Z > a] P[Z <- a] a é o percetl 5.87 da curva Normal Padrão a.00. c) P[Z > a] a é o percetl 5 da curva Normal Padrão a.645 d) P[Z < a] a é o percetl 75 da curva Normal Padrão a 0.67 e) P[-a < Z < a] P[Z < - a ] a é o percetl 0 da curva Normal Padrão - a -.85 e a.85 Eercíco (7.3) Cosderado a dstrbução Normal Padrão, temos que X~N(0,) µ σ µ µ + σ µ a) µ-σ <X <µ+σ ) P < Z < σ σ -<Z<) Z<)-Z<-) µ.96σ µ µ +. 96σ µ b) µ-.96σ <X <µ+.96σ ) P < Z < σ σ -.96<Z<.96) Z<.96)-Z<-.96) µ 3σ µ µ + 3σ µ c) P (µ-3σ < X <µ+3σ ) P < Z < σ σ -3<Z<3) Z<3)-Z< -3) µ σ µ µ + σ µ d) P (µ-σ < X <µ+σ ) P < Z < σ σ -< Z <)

39 Z < )-Z< -) µ σ µ µ + σ µ e) P (µ-σ < X <µ+σ ) P < Z < σ σ -< Z <) Z < )-Z < -) Eercíco (7.4) X: peso do papel descartado semaalmete em resdêcas X ~ Normal (µ 9.4 ; σ 4.) X a) X > 5) P > Z >.33) b) Queremos ecotrar a tal que X < a) 0.33 X 9.4 P < 4. a a 9.4 P Z < a a 7.55 kg Eercíco (7.5) X: ível de colesterol sérco os homes de 8 a 4 aos X ~ Normal (µ 78. ; σ 40.7) X a) X < 00) P < Z < 0.54) b) Queremos ecotrar a tal que X < a) 0.93 a µ P Z < 0.93 σ a 78. P Z < a

40 a mg/00 ml c) A faa de referêca de 90% é dada por, µ z ( ) + α σ ; µ z( α ) σ Como µ e σ são descohecdos, vamos estmá-los por 34,3 e s 4, e, assm, a faa de referêca de 90% tora-se: [ - z(α /).s ; - z(α /).s ] [78.- z (0,05) (40.7) ; z (0,05) (40.7)] [ (40.7) ; (40.7)] [.485 ; ] ível de colesterol sérco Eercíco (7.6) X: altura da mulher X ~ N (µ 6.5; σ 6.4) 47 µ 85 µ P 47 X 85 P < X < σ σ P < X < P (.7 < Z < 3.67) P ( Z < 3.67) Z <.7) A porcetagem de mulheres da população que satsfazem a egêca das Forças Armadas é 98.84%. a) ( ) b) Desevolvedo através de faa de referêca [µ z (α/).σ; µ + z (α/). σ] Como µ e σ são descohecdos, vamos estmá-los por 6.5 e s 6.4 e, assm, a Faa de Referêca de 98% tora-se: [ - z(α /).s ; - z(α /).s ] [6.5- z (0,0) (6.4) ; z (0,0) (6.4)] [6.5.33(6.4) ; (6.4)] [ ; 76.4] lmtes de altura Eercíco (7.7) a) a P 0.05% e b P 0.95% Uma pessoa é sada se estver a faa [P 0.05% ; P 0.95% ] e ão sada se estver fora. b) A especfcdade de um teste é estmada como sedo a frequêca de egatvos etre as pessoas sadas. Para a faa proposta o eercíco, temos que 90% são cosderadas egatvas. c) A sesbldade de um teste é estmada como sedo a frequêca de postvos etre as pessoas doetes. Se b é o percetl 5 a população doete, etão 95% das pessoas doetes têm valores maores do que b. E, pelo crtéro do teste, pessoas com valores acma de b são cosderadas postvas. Sedo assm, 95% das pessoas doetes são cosderadas postvas pelo teste. Ou seja, a sesbldade do teste é 95%. Para pesar: o que acotecerá com a especfcdade do teste se aumetarmos a faa de referêca do teste para 95%? E o que acotecerá com a sesbldade do teste? Eercíco (7.8) a) Fgura 7.: Peso em kg dos meos Como o gráfco de ramos e folha mostra que os pesos ão estão dstrbuídos de maera smétrca, temos que os pesos dos meos recém ascdos ão se dstrbuem de acordo com o modelo Gaussao.

41 b) A dstrbução dos pesos das meas parece ser smétrca pela aálse do bo-plot e o qq-plot temos os quats amostras prómos dos gaussaos. Assm, podemos supor que o peso de meas recém-ascdas se dstrbu de acordo com o modelo Gaussao. Eercíco (7.9) a) Os valores referetes a gastos hosptalares parecem se dstrbur de forma assmétrca com cocetração à esquerda e o qq-plot ote-se que os valores dos quats a parte superor dreto ecotram-se dstate da lha ormal o que dca que os quats amostras ão são prómos dos quats gaussaos. Assm, podemos supor que os gastos hosptalares ão se dstrbuem de acordo a um modelo Gaussao. b) Quats 0. 5 Quats Quats 0. 5 Quats amostras f gausssaos amostras f gausssaos 8, , , , , , , , , , , , , , , Os gastos de teração para a amostra dada em questão, parece se dstrbur de forma assmétrca com cocetração a dreta, o qqplot ote-se que os valores dos quats ecotram-se fora da lha da ormaldade, portato, podemos supor que os gastos hosptalares para estes dados ão segue um modelo Gaussao. Eercíco (7.0) Seja X: ota dos aluos Sabe-se que X ~ N(80; 5) Deseja-se crar uma escala de coceto A, B e C, com A> B>C de modo que 5% dos aluos teham coceto A 0% dos aluos teham coceto B 50% dos aluos teham coceto C

42 a) Valor de A X 80 A X > A) 0.05 P > > A A 80 P Z 5 P Z < Logo, A. 645 A Valor de B X 80 B X > B) 0.5 P > > B B 80 P Z 5 P Z < Logo, B B Valor de C X 80 C X>C)0.5 P > > C 80 P Z 5 P 0. 5 Z < C 5 C 80 Logo, 0 C 80 5 b) Sabe-se que um aluo será reprovado se a ota dele for feror a 70. Etão devemos calcular X < 70) X P < 5 5 P Z [ < ] Desse modo, a probabldade de um aluo ser reprovado é de.8%. c) Cosdera-se que a dstrbução da varável aleatóra Y segue o modelo Bomal com parâmetros 30 e probabldade de sucesso p 0.08 (probabldade de ser reprovado), pressupõe-se que cada um dos 30 aluos são depedetes e todos com a mesma probabldade de sucesso p. d) Cosderado o modelo Bomal adequado. Temos que, Assm, P ( X X ~ Bomal (30, p0.08) ).(0.08) (0.977) 0 30! 0 (0.08) (0.977) 0!0! A probabldade de 0 aluos serem reprovados é de apromadamete 0.

43 Seção 8: Dstrbuções Amostras e Teorema Cetral do Lmte Eercíco (8.) 3 Como a amostra é grade, pelo Teorema Cetral do Lmte, temos que: X ~ Normal 3, 60 X a) P [ X < 4] P < P [ Z <,58] 0, 995 A probabldade do tempo médo de espera ser meor que 4 mutos é 99,5%. X b) P [ X >,5] P > P [ Z > 3,87 ] P [ Z < 3,87] A probabldade do tempo médo de espera ser maor que.5 mutos é de apromadamete 00%. Eercíco (8.) Como a amostra é grade, pelo Teorema Cetral do Lmte, temos que: 5 X ~ Normal 03, 50 X P > P [ Z > 3,30] P[ Z < 3,30] 0, 0005 A probabldade do QI médo ser maor que 0 é 0.05%. X P X < 00 P < P [ Z <,4] 0, 0793 A probabldade do QI médo ser meor que 00 é 7.93%. a) P [ X > 0] b) [ ]

44 Eercíco (8.3) Seja X: úmero de setos colozado uma plata. Temos que: X segue uma dstrbução Normal de méda ( µ 0 setos) e desvo padrão ( ο 5 setos) Assm, X ~ N(0, 5). Cosderado uma amostra de 30 platas de algodão e pelo Teorema Cetral do Lmte, segue que 5 X ~ N 0, 0 X P P > P [ Z <,9] 0, A probabldade do úmero médo de setos observados para estas 30 platas seja meor do que 8 é.43%. a) [ X < 8] b) X z α 5 ; X 3 + z α ; [8.;.79] 30 O tervalo smétrco que clua 95% dos valores de X é [8.;.79]. Eercíco (8.4) a) Seja X: cosumo calórco dáro em mulheres adolescetes saudáves. Temos que: X segue uma dstrbução Normal de méda ( µ 30 kcal/kg) e desvo padrão ( ο 5 kcal/kg) Assm, X ~ N(30, 5). Cosderado uma amostra de 50 adolescetes. 5 Pelo Teorema Cetral do Lmte, temos que a dstrbução de X ~ N 30, X P < < P.0 < Z < A probabldade de que X esteja etre.5 e 4 kcal/kg é apromadamete 0. b) [.5 < X < 4] P [ ] 0

45 Seção 9: Itervalos de Cofaça Eercíco (9.) Varável X: peso dos bebês ascdos de mães que usaram cocaía. Parâmetro µ: peso médo dos bebês ascdos de mães que usaram cocaía g s 645g Usaremos s E zα, sso é possível, pos o tamaho da amostra é cosderado grade. O valor crítco z. 96 fo ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, correspodete a α0.05 α α Calculado a margem de erro: E z α s Itervalo de 95% de cofaça para µ: (σ descohecdo). Coclusão: Com 95% de cofaça, cocluímos que a méda de peso dos bebês que asceram de mães usuáras de cocaía está etre 608g e 79g. Eercíco (9.) IC IC IC 95% µ 95% µ 95% µ [ E; + E] [ ; ] [ ; 79.75] A pressão saguíea sstólca méda de 40 dvíduos está etre 4.4 e 3.4, com 99% de cofaça. Eercíco (9.3) Varável X: temperatura de adultos sados. Parâmetro µ: temperatura méda de adultos sados. 98, F s 0,6 F 06 a) Usaremos s E zα sso é possível, pos o tamaho da amostra é cosderada grade. O valor crítco z, 96 fo ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, correspodete ao α0,05 α α 0.05.

46 Calculado a margem de erro: E z α s.96 0, b) Calculado o tervalo de cofaça: Eercíco (9.4) IC IC IC 95% µ 95% µ 95% µ [ E; + E] [ ; ] [ 98.08; 98.38] Coclusão: Com 95% de cofaça, cocluímos que a méda da temperatura de 06 adultos sados está etre 98,08 F e 98,3 F. Varável: X: cosumo de ogêo do rm de pacetes com a molésta. Parâmetro µ: cosumo médo de ogêo do rm de pacetes com a molésta. 3,90 s 0,67 5 Vsto que a varável aleatóra X tem dstrbução Normal com σ descohecdo e a amostra é pequea, etão o Itervalo de Cofaça é dado por: s s tα ; + tα ;( ) ;( ) α 0.0 α O valor crítco é. 3, que é ecotrado a Tabela t-studet, como o valor crítco t α ;( ) correspodete a 4 graus de lberdade e a uma área em uma cauda de 0,05. Calculado Margem de Erro: E t α ;( ) s Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 90% µ 90% µ 90% µ [ E; + E] [ ,780; ,780] [ 3.0; 4.680] Coclusão: Com 90% de cofaça, cocluímos que o cosumo médo de ogêo do rm de pacetes com a molésta está etre 3.09 cm 3 /m e 4.7 cm 3 /m.

47 Eercíco (9.5) Varável: X: peso de cada caa de cereas em gramas. Parâmetro µ: peso médo das caas de cereas em gramas s Vsto que a varável aleatóra X tem dstrbução Normal com amostra, etão o Itervalo de Cofaça é dado por: s s tα ; + tα ;( ) ;( ) α 0.05 α O valor crítco é. 6, que é ecotrado a Tabela t-studet, como o valor crítco t α ) ; ( correspodete a 9 graus de lberdade e a uma área em uma cauda de 0,05. Calculado a margem de erro: E t α ;( ) s Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 95% µ 95% µ 95% µ [ E; + E] [ ; ] [.095; 5.705] Coclusão: Com 95% de cofaça, cocluímos que o peso médo de cada caa de cereas está etre.095 gramas e gramas.

48 Eercíco (9.6) Varável X: Permaêca de pacetes o Hosptal das Clícas de São Paulo. Parâmetro µ: Permaêca méda de pacetes o Hosptal das Clícas de São Paulo. das s 8das 5pacetes α 0,0 Vsto que a varável aleatóra X tem dstrbução Normal com amostra, etão o Itervalo de Cofaça é dado por: t α ;( ) s ; + t α α ;( ) 0,0 α 0.0 O valor crítco é. 49 t α ;( ) s 0.0, que é ecotrado a Tabela t-studet, como o valor crítco correspodete a 4 graus de lberdade e a uma área em uma cauda de 0,0. Calculado a margem de erro: E t Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 98% µ 98% µ 98% µ α ;( ) s.49 [ E; + E] [.40; +.40] [ 0.590;3.4 ] Coclusão: Com 98% de cofaça, cocluímos que a permaêca méda dos pacetes o Hosptal das Clícas de São Paulo está etre 0.59 das e 3.4 das.

49 Eercíco (9.7) X: úmero de meas que asceram de pas que usaram o método XSORT pˆ 0.9 Proporção amostral de sucessos em uma amostra de tamaho 35 α 0,0 O valor crítco é z. 575, que é ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, como o valor crítco α α correspodete a Calculado a margem de erro: E z α pˆ ( pˆ ) 0,9 ( 0.9) Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 99% p 99% p 99% p [ pˆ E; pˆ + E] [ ; ] [ 0.869; 0.95] Coclusão: Com 99% de cofaça, cocluímos que o método parece ser efcaz, pos a proporção de meas é substacalmete maor que 0.5. Eercíco (9.8) X: úmero de damarqueses usuáros de telefoe celular que desevolveram câcer o cérebro pˆ α 0, Proporção amostral de sucessos em uma amostra de tamaho O valor crítco é z. 96, que é ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, como o valor crítco α α correspodete a 050 0, Calculado a margem de erro:.

50 E z α pˆ 4 4 ( pˆ ) ( 3,4 0 ) ( ( 3,4 0 ) 5, ,4 0 Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 95% p 95% p 95% p [ pˆ E; pˆ + E] [( 3,4 0 ) ( 5,4 0 ); ( 3,4 0 ) + ( 5,4 0 )] [ 0,067%;0,0376] Coclusão: Com 95% de cofaça, cocluímos que os usuáros de telefoes celulares parecem ão ter uma taa de câcer do cérebro ou do sstema ervoso que seja dferete da taa etre os que ão usam telefoes celulares, pos 0,0340% está cluído o tervalo de cofaça. Eercíco (9.9) Varável X: Número de das etre o íco dos stomas da Leshmaose Vsceral e a otfcação do caso às autordades. Pelo eucado acma temos: Erro da estmatva: E σ. Coefcete de cofaça: E) γ 0,95. O valor crítco z. 96 fo ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, correspodete a α α α Assm, podemos calcular o tamaho da amostra da segute forma: z σ α / E σ.96 σ (.96 ) Coclusão: Logo, para que o erro cometdo a estmação do úmero médo de das etre os stomas da Leshmaose Vsceral e a otfcação do caso às autordades, seja a metade do desvo-padrão do úmero de das, com probabldade gual a 95%, a pesqusadora deve estudar apromadamete 6 casos.

51 Eercíco (9.0) X: úmero de dvíduos cotamados em uma determada regão. 500 pˆ ,34 Proporção amostral de sucessos em uma amostra de tamaho Itervalo de cofaça com 95% de cofaça: α 0.05 O valor crítco é z. 96 α α correspodete a Calculado a margem de erro:, que é ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, como o valor crítco E z α pˆ ( pˆ ) 0,34 ( 0,34), , Calculado o Itervalo de Cofaça: IC IC IC 95% p 95% p 95% p [ pˆ E; pˆ + E] [ 0,34 0,086;0,34 + 0,086] [ 0,34;0,3586] Coclusão: Com 95% de cofaça, cocluímos que a proporção de cotamados a população de uma determada cdade afetada por um surto epdêmco está etre 0,34 e 0,3586. Eercíco (9.) a) Varavel X: Número de ratos os quas se desevolve certo tpo de tumor quado submetdos à radação. Pelo eucado acma temos: - Erro da estmatva: E0,0. - Coefcete de cofaça: E) γ 0,90. O valor crítco z. 65 fo ecotrado a Tabela da dstrbução Normal, correspodete a α α α Como ão temos uma formação prelmar sobre p, devemos utlzar p0,5, que mamza p(-p). Assm, podemos calcular o tamaho da amostra da segute forma:

52 zα /.65 p( p) E Logo, para que o erro cometdo a estmação da proporção de ratos os quas se desevolve certo tpo de tumor quado submetdos a radação seja o mámo 0,0 com probabldade gual a 0,90, o pesqusador precsa eamar 70 amas. b) Como sera possível dmur o tamaho da amostra utlzado a formação adcoal de que em geral esse tpo de radação ão afeta mas que 0% dos ratos? Se p for o mámo 0%, o tamaho da amostra será: zα /.65 p( p) E Logo, se p for o mámo 0%, para que o erro cometdo a estmação da proporção de ratos os quas se desevolve certo tpo de tumor quado submetdos a radação seja o mámo 0,0 com probabldade gual a 0,90, o pesqusador precsa eamar.089 amas. Eercíco (9.) E 0.0 α0.05 z é tal que A(z) z.96 Como ão temos uma formação sobre p, devemos usar p0,5, que mamza p(-p). Assm, podemos calcular o tamaho da amostra da segute forma: z,96 p( p) 0, 5 ε 0,0 40. O tamaho da amostra deve ser 40 dvíduos para que as codções acma sejam satsfetas. Seja X: cocetração da substâca A o sague em mg/cm 3 X~N(µ; 0,4 ), µ>..488 P ( X <.488) P Z < 0.4 P Z [ <.8] Assm, segudo um outro cetsta, p é meor ou gual a A formação acma podem ser utlzada pelo prmero cetsta para reduzr o tamaho da amostra, pos como o valor de p é o mámo 0., o valor mámo de p(-p) é atgdo quado p0.0, e assm: z,96 p( p) 0,0* 0,90 ε 0, Neste caso, a formação do segudo cetsta ajuda a reduzr o tamaho de amostra para apromadamete 865 dvíduos.

53 Seção 0: Cocetos Báscos de Testes de Hpóteses Eercíco (0.) 0; méda amostral 49.35; desvo-padrão amostral.798 cm.. Parâmetro a ser testado: µ: altura méda dos recém ascdos o setor de Pedatra do Hosptal das Clícas da UNICAMP. Hpóteses: H 0 : µ 50 H a : µ < 50. Erro tpo I: Coclur que a altura méda dos recém ascdos é meor de que 50 cm quado, a verdade, a altura méda é 50 cm. Erro tpo II: Coclur que a altura méda dos recém ascdos é gual a 50 cm quado, a verdade, a altura méda é meor que 50 cm. v. Estatístca de teste: T obs Regão de Rejeção: Rejeta-se H 0 se T obs < -T (0-);0, Verfcação: Como -,0688 está fora da regão de rejeção, ão rejetamos H 0, ao ível de 5% de sgfcâca. v. Valor p: Valor p t 9,0.05 < ) 0.5 Coclusão: Ao ível de 5% de sgfcâca, ão temos evdêcas para rejetar a hpótese de que a altura méda de recém ascdos é gual a 50 cm (Valor p 0.5). Eercíco (0.) 64; méda amostral 33 mmhg; desvo-padrão 6 mmhg.. Parâmetro a ser testado: µ: Pressão sstólca méda em uma população de homes a). Hpóteses: H 0 : µ 30 H a : µ > 30. Erro tpo I: Coclur que a pressão sstólca méda em homes é maor do que 30 mmhg, quado, a verdade, a pressão sstólca méda é 30 mmhg.

54 Erro tpo II: Coclur que a pressão sstólca méda em homes é gual a 30 quado, a verdade, a pressão sstólca méda é maor que 30 mmhg. v. Estatístca de teste: Z obs ,5 Regão de Rejeção: Rejeta-se H 0 se Z obs > Z Verfcação: Como.5 está fora da regão de rejeção, ão rejetamos H 0, ao ível de 5% de sgfcâca. v. Valor p: Valor p Z >.5) Coclusão: Ao ível de 5% de sgfcâca, ão temos evdêcas sufcetes para rejetar a hpótese de que a pressão sstólca méda é gual a 30 mmhg (Valor p ). b). Hpóteses: H 0 : µ 30 H a : µ 30. Erro tpo I: Coclur que a pressão sstólca méda em homes é dferete de 30 quado, a verdade, a pressão sstólca méda é 30 mmhg. Erro tpo II: Coclur que a pressão sstólca méda em homes é gual a 30 quado, a verdade, a pressão sstólca méda é dferete de 30 mmhg. v. Estatístca de teste: Z obs ,5 Regão de Rejeção: Rejeta-se H 0 se Z obs < -Z 0,05 ou Z obs > Z 0,05 Z obs < -.96 ou Z obs >.96 Verfcação: Como.5 está fora da regão de rejeção, ão rejetamos H 0, ao ível de 5% de sgfcâca. v. Valor p: Valor p Z >,5) 0,0668 0,336 Coclusão: Ao ível de 5% de sgfcâca, ão temos evdecas sufcetes para rejetar a hpótese de que a pressão sstólca méda é gual a 30 mmhg (Valor p 0.336). Como a hpótese alteratva é blateral, podemos usar o tervalo de cofaça para realzar o teste de hpóteses. O tervalo terá 95% de cofaça, já que, o ível de sgfcâca é de 5%.