Cap. 1 - Carga Elétrica e Campo Elétrico

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1 Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Físic Físic III 2014/2 Cp. 1 - Crg Elétric e Cmpo Elétrico Prof. Elvis Sores A interção eletromgnétic entre prtículs crregds eletricmente é um ds interções fundmentis d nturez. Nesse cpítulo iremos estudr lgums proprieddes básics d forç eletromgnétic, discutiremos Lei de Coulomb, o conceito de cmpo elétrico, e finlizremos com o estudo do movimento de prtículs crregds num cmpo elétrico uniforme. 1 Proprieddes d Crg Elétric Qundo tritmos um cnet contr o nosso cbelo num di seco, vemos que cnet pss trir pequenos pedços de ppel sobre mes. O mesmo ocorre qundo certos mteriis são tritdos entre si, como um bstão de vidro contr um pno de sed ou plástico contr pele. Isto se deve o fto de que tod mtéri que conhecemos é formd por átomos, que são formdos por um núcleo, onde ficm os prótons e nêutrons e um eletrosfer, onde os elétrons permnecem, em órbit. Os prótons e nêutrons têm mss prticmente igul, ms os elétrons têm mss cerc de 2 mil vezes menor. Se pudéssemos seprr os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, verímos que os prótons serim trídos pelos elétrons enqunto os nêutrons não serim fetdos. Est propriedde de cd um ds prtículs é chmd crg elétric. Os prótons são prtículs com crg positiv, os elétrons tem crg negtiv e os nêutrons tem crg neutr. A unidde de medid dotd interncionlmente pr medid de crgs elétrics é o coulomb (C). Um próton e um elétron têm vlores bsolutos de crg iguis embor tenhm sinis opostos. O vlor d crg de um próton ou um elétron é chmdo crg elétric elementr e simbolizdo

2 Prof. Elvis Sores 2 Corpos Eletrizdos e Processos de Eletrizcão por e, sendo menor unidde de crg elétric conhecid n nturez, com vlor igul e = C (1) Portnto, 1 C de crg é proximdmente crg de elétrons ou prótons. Esse número é bem pequeno se comprdo com número de elétrons livres em 1 cm 3 de cobre, que tem d ordem de Corpos Eletrizdos e Processos de Eletrizcão Dizemos que um corpo está eletrizdo negtivmente qundo tem mior número de elétrons do que de prótons, fzendo com que crg elétric desse corpo sej negtiv; E que um corpo está eletrizdo positivmente qundo tem mior número de prótons do que de elétrons, fzendo com que crg elétric desse corpo sej positiv. Por isso, um corpo é chmdo eletricmente neutro se ele tiver número igul de prótons e de elétrons, fzendo com que crg elétric sobre o corpo sej nul. A crg de um corpo eletrizdo deve então ser um múltiplo d crg elementr, de tl form que Q = ±N.e, sendo N um número inteiro qulquer. O processo de retirr ou crescentr elétrons um corpo neutro pr que este psse estr crregdo eletricmente denomin-se eletrizção. Alguns dos processos de eletrizção mis comuns são: 2.1 Eletrizção por Atrito Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volt do século VI.C. pelo mtemático grego Tles de Mileto, que concluiu que o trito entre certos mteriis er cpz de trir pequenos pedços de plh e pens. Posteriormente o estudo de Tles foi expndido, sendo possível comprovr que dois corpos neutros feitos de mteriis distintos, qundo são tritdos entre si, um deles fic eletrizdo negtivmente (gnh elétrons) e outro positivmente (perde elétrons). Qundo há eletrizção por trito, os dois corpos ficm com crgs de módulo igul, porém com sinis opostos. Por exemplo, o se tritr um brr de vidro num pno de lã, elétrons pssm do vidro pr lã. Em consequênci, brr de vidro dquire crg elétric positiv (perde elétrons) e o pno de lã dquire crg elétric negtiv (recebe elétrons). Se, em vez d brr de vidro, tritrmos com lã um brr de resin, hverá trnsferênci de elétrons d lã pr resin. Então, brr de resin dquire crg elétric negtiv (recebe elétrons) e o pno de lã dquire crg elétric positiv (perde elétrons). 2

3 2 Corpos Eletrizdos e Processos de Eletrizcão Prof. Elvis Sores 2.2 Eletrizção por Contto Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizdo, são postos em contto, crg elétric tende se estbilizr, sendo redistribuíd entre os dois, fzendo com que mbos tenhm crg com mesmo sinl. 2.3 Eletrizção por Indução Este processo de eletrizção é totlmente bsedo no princípio d trção e repulsão, já que eletrizção ocorre pens com proximção de um corpo eletrizdo (indutor) um corpo neutro (induzido). O processo é dividido em três etps: 1. Primeirmente um bstão eletrizdo é proximdo de um condutor inicilmente neutro, pelo princípio de trção e repulsão, os elétrons livres do induzido são trídos/repelidos dependendo do sinl d crg do indutor. 2. O próximo psso é ligr o induzido à Terr por um fio condutor, ind n presenç do indutor. 3. Deslig-se o induzido d Terr, fzendo com que su crg sej de sinl oposto àquel do indutor. Terr Por fim, retir-se o indutor ds proximiddes do induzido que fic eletrizdo com sinl oposto à crg do indutor, e com crg distribuíd por todo o corpo. 3

4 Prof. Elvis Sores 3 Lei de Coulomb 3 Lei de Coulomb A prtir de lguns experimentos, Coulomb pode generlizr s seguintes proprieddes d forç elétric entre dus crgs puntiformes em repouso. A forç elétric é inversmente proporcionl o qudrdo d distânci r entre s crgs e dirigid o longo d linh que lig um outr. é proporcionl o produto ds crgs ds dus prtículs; é trtiv se s crgs são de sinis opostos e repulsiv se s crgs tem o mesmo sinl. A lei express n form vetoril pr forç elétric exercid por um crg q 1 num outr crg q 2, dit F 2(1), é F 2(1) = k q 1q 2 r 2 ˆr = F 1(2) (2) onde k é constnte chmd constnte de Coulomb e ˆr é o vetor unitário dirigido d crg q 1 pr crg q 2, conforme figur. r F 2(1) q 2 q 2 rˆ F 2(1) F 1(2) q 1 F 1(2) q 1 A constnte de Coulomb é tmbém escrit como k = 1/4πɛ 0, e seu vlor no SI é k = N.m 2 /C N.m 2 /C 2 (3) Como forç elétric obedece à Terceir Lei de Newton, forç elétric exercid pel crg q 2 em q 1 é igul em intensidde forç exercid por q 1 em q 2, n mesm direção ms em sentido oposto, de modo que F 1(2) = F 2(1) Qundo mis que dus crgs estão presentes, forç entre qulquer pr dels é dd pel Lei de Coulomb. Portnto, resultnte ds forçs sobre qulquer um dels é igul som vetoril ds forçs exercids pels outrs crgs. F i = i j F i(j) = i j k q iq j r 2 j ˆr j (4) 4

5 3 Lei de Coulomb Prof. Elvis Sores Exemplo: Átomo de Hidrogênio Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de mss m e = kg, e um próton, de mss m p = kg, seprdos por um distânci de proximdmente d = m. A intensidde d forç elétric é dd pel Lei de Coulomb F e = k e2 d 2 = ( ) ( ) 2 ( ) 2 = N Já intensidde d forç grvitcionl é dd pel Lei d Grvitção Universl de Newton F g = G m em p d 2 = ( ) ( )( ) ( ) 2 = N A rzão F e /F g Então, forç grvitcionl entre esss prtículs subtômics é desprezível se comprd com forç elétric. 5

6 Prof. Elvis Sores 3 Lei de Coulomb Exemplo: Forç Resultnte Consideremos três crgs q, q e 2q disposts nos vértices de um triângulo retângulo, como mostr figur. y -q 2 F 3(2) q F 3(1) A forç F 3(1) exercid pel crg 2q sobre crg q é 2q 2 F 3(1) = k ( 2) ˆr 1, 2 onde ˆr 1 é o vetor posição reltiv que si d crg 2q e pont n direção de q, sendo escrito fcilmente como ˆr 1 = cos 45 oˆx sen 45 o ŷ, de modo que 2 q x F 3(1) = 1 2 k q2 (ˆx ŷ), 2 A forç F 3(2) exercid pel crg q sobre crg q é F 3(2) = k q2 2 ˆr 2, onde ˆr 2 é o vetor posição reltiv que si d crg q e pont n direção de q, sendo escrito n form ˆr 2 = ˆx, de modo que F 3(2) = k q2 2 ˆx A forç resultnte F 3 sobre crg q é então clculd como som ds forçs F 3(1) e F 3(2) sendo F 3 = F 3(1) F 3(2) = 1 2 k q2 ( ˆx ŷ) 2 6

7 4 Cmpo Elétrico Prof. Elvis Sores 4 Cmpo Elétrico O conceito de cmpo foi desenvolvido por Michel Frdy no contexto de forçs elétrics. Nesse contexto, um cmpo elétrico existe n região do espço o redor de um objeto crregdo, crg fonte. Qundo outro objeto crregdo, crg teste, entr nesse cmpo elétrico, um forç elétric ge sobre ele. Sendo ssim, o cmpo elétrico produzido pel crg fonte é definido como forç elétric por unidde de crg situdo num ddo ponto do espço F E = e = k q 1 ˆr (5) q 2 r2 O vetor E tem no SI unidde de N/C. A direção de E, como mostr figur, é direção d forç que um crg teste positiv sentiri qundo colocd nesse cmpo. Dizemos que um cmpo elétrico existe num ponto se um crg teste nesse ponto experiment um forç elétric, dd por F e = q E (6) E P q rˆ r q rˆ r E P O cmpo elétrico num ponto P devido um conjunto de crgs puntiformes pode ser obtido, trvés do princípio d superposição, como som vetoril dos cmpos elétricos devido, individulmente, cd crg do conjunto no mesmo ponto P. E = i E i = i k q i ˆr ri 2 i (7) 7

8 Prof. Elvis Sores 4 Cmpo Elétrico Exemplo: Cmpo Elétrico de um Dipolo Um dipolo elétrico é definido como um crg positiv q e um negtiv q seprds por um distânci 2. Vmos obter o cmpo elétrico E devido o dipolo num ponto P situdo um distânci y do centro do dipolo. y E 1 No ponto P, os cmpos E 1 e E 2 devido às dus crgs são iguis em intensiddes, pois o ponto P é equidistnte ds crgs, sendo ssim q E 1 = E 2 = k (y 2 2 ). P θ θ E As componentes y de E 1 e E 2 se cncelm, e s componentes x são mbs positivs e de mesm intensidde, de modo que r y E 2 q E = 2E 1 cos θ = 2k (y 2 2 ) (y 2 2 ) 1/2 Portnto, E é um vetor prlelo o eixo x escrito n form q θ θ x q 2q E = k (y 2 2 ) 3/2 ˆx No limite em que o ponto P está muito distnte do dipolo, dito y, podemos desprezr 2 comprdo com y 2 no denomindor e escrever E k 2q y ˆx 3 Obs: Em lguns livros é comum precer o vetor momento de dipolo elétrico definido como d = 2qˆx, que é um vetor de intensidde igul crg positiv q vezes distânci entre s crgs 2 e pont n direção d crg negtiv pr positiv, de modo que E k d y 3 Então, muito distnte do dipolo elétrico, o cmpo elétrico vri com 1/r 3 que ci mis rpidmente que o cmpo de um crg que vri com 1/r 2. Isso se deve o fto que os cmpos ds crgs positiv e negtiv vão se nulndo o longo d distânci, diminuindo intensidde do cmpo elétrico totl. 8

9 5 Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Prof. Elvis Sores 5 Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Todo corpo é composto de crgs elétrics (vinds d nturez tómic d mtéri), cujs distâncis reltivs são muito curts se comprds com os tmnhos típicos dos objetos. Sendo ssim, pr clculr o cmpo elétrico crido por um distribuição de crgs, usremos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos distribuição de crgs em pequenos elementos de crg, cd um de crg infinitesiml dq (infinitesiml, porém mior que crg elementr). Depois, usmos o cmpo elétrico devido um crg puntiforme pr clculr o cmpo elétrico devido esse elemento dq no ponto P. E por último, sommos s contribuições de todos elementos de crgs e obtemos o cmpo elétrico totl no ponto P devido à distribuição de crgs (de cordo com o princípio de superposição dos cmpos). O cmpo elétrico no ponto P devido um elemento de crg dq é d E = k dq r 2 ˆr onde r é distânci do elemento de crg té o ponto P e ˆr o vetor unitário que si d crg e pont n direção de P. O cmpo elétrico totl em P devido todos os elementos n distribuição de crg é E = V d E = V k dq ˆr (8) r2 e integrl prece porque o corpo é modeldo como um distribuição contínu de crg. De fto, podemos ssocir sempre um distribuição de crgs o conceito de densidde de crg. No cso de um crg distribuíd o longo de um volume tem-se dq = ρdv, onde ρ é densidde volumétric de crgs. No cso de um crg distribuíd o longo de um áre tem-se dq = σda, onde σ é densidde superficil de crgs. No cso de um crg distribuíd o longo de um linh tem-se dq = λdl, onde λ é densidde liner de crgs. 9

10 Prof. Elvis Sores 5 Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Exemplo: Fio Crregdo Uniformemente Vmos estudr o cso de um fio de comprimento L e crg Q distribuíd uniformemente o longo dele, como mostr figur. O cmpo elétrico no ponto P devido um elemento de crg dq do fio é ddo por d E = k dq r 2 ˆr, onde r é o vetor posição reltiv que si d crg e pont n direção de P ddo por r = xˆx ŷ, onde seu módulo e o correspondente vetor unitário são r = x 2 2 e ˆr = r r = ( xˆx ŷ) (x 2 2 ) 1/2. O cmpo elétrico totl produzido pelo fio no ponto P é então clculdo como som sobre todos os elementos de crg que compõem o fio, indo de x = L/2 té x = L/2, e ssim tem-se E(0,, 0) = L/2 L/2 *Mostre que: As integris necessáris resultm em L/2 L/2 L/2 L/2 e com esses resultdos encontrmos que kλdx ( xˆx ŷ). (x 2 2 ) 3/2 xdx = 0, (x 2 2 ) 3/2 dx (x 2 2 ) 3/2 = L [(L/2) 2 2 ] 1/2, E(0,, 0) = kq [(L/2) 2 2 ] 1/2 ŷ usndo que densidde liner de crg do fio é λ = Q/L. Obs1: No cso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte do fio tem-se lim E(0,, 0) = kq L ŷ 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Obs2: No cso em que o fio é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo do fio tem-se lim E(0,, 0) = 2kλ L ŷ que ci lentmente com distânci do ponto P. 10

11 5 Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Prof. Elvis Sores Exemplo: Aro Crregdo Uniformemente Consideremos um ro de rio R crregdo uniformemente com um crg positiv Q. Vmos determinr o cmpo elétrico num ponto P situdo um distânci do centro do ro e o longo do eixo perpendiculr o plno do mesmo, conforme figur. R dq r θ P de de x de O cmpo elétrico no ponto P devido um elemento de crg dq do fio é ddo por d E = k dq r ˆr, 2 onde r é o vetor posição reltiv que si d crg e pont n direção de P. Esse cmpo tem um componente de x = de cos θ o longo do eixo x e um componente de perpendiculr o eixo x. Sbemos que o cmpo resultnte no ponto P deve estr o longo do eixo x pois componente perpendiculr de todos os elementos de crg somdos é zero. Isto é, componente perpendiculr do cmpo crido por qulquer elemento de crg é cnceld pel componente perpendiculr crid por um elemento de crg no ldo oposto do nel (dig-se dimetrlmente oposto). Como r = ( 2 R 2 ) 1/2 e cos θ = /r, temos que ( de x = de cos θ = k dq ) r 2 r = k ( 2 R 2 ) 3/2 dq Todos os elementos do ro fzem mesm contribuição pr o cmpo elétrico no ponto P porque todos são equidistntes desse ponto. Então, integrndo esse resultdo obtemos E x = k ( 2 R 2 ) dq = k dq 3/2 ( 2 R 2 ) 3/2 Sendo Q crg totl do ro, o cmpo elétrico totl produzido por este ro no ponto P é então escrito n form vetoril como Q E(P ) = k ( 2 R 2 ) Obs1: No cso em que o ro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte desse ro tem-se lim E(P ) = k Q R ˆx 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Obs2: No cso em que o ro é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se 3/2 ˆx lim E(P ) = k Q R R ˆx 3 que pss ser um cmpo liner com distânci do ponto P. 11

12 Prof. Elvis Sores 5 Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Exemplo: Disco Crregdo Uniformemente Consideremos um disco de rio R crregdo uniformemente com um densidde superficil de crg σ. Vmos determinr o cmpo elétrico num ponto P situdo um distânci do centro desse disco e o longo do eixo perpendiculr o plno do mesmo, conforme figur. r R dr dq P Se considerrmos o disco como um conjunto de ros concêntricos, podemos usr o resultdo do exemplo nterior (o cmpo de um ro crregdo uniformemente) e sommos s contribuições de todos ros formndo o disco. O ro de rio r e espessur dr, conforme figur, tem áre igul 2πr dr. A crg dq desse ro é igul dq = 2πσr dr. Usndo o resultdo do ro crregdo, temos que o cmpo elétrico no ponto P devido um elemento de crg dq desse ro é ddo por de x = k (2πσr dr). ( 2 r 2 ) 3/2 Então, integrndo esse resultdo sobre os limites r = 0 té r = R, notndo que é constnte, obtemos de modo que R 2r dr E x = kπσ = kπσ 0 ( 2 r 2 ) 3/2 [ ( 2 r 2 ) 1/2 E x = kπσ 1/2 ] R 0 R 0 ( 2 r 2 ) 3/2 d(r 2 ), ( ) = 2πkσ 1. ( 2 R 2 ) 1/2 Sendo ssim o cmpo elétrico totl produzido por este disco no ponto P é então escrito n form vetoril como ( ) E(P ) = 2πkσ 1 ˆx ( 2 R 2 ) 1/2 Obs1: No cso em que o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte tem-se lim E(P ) = k Q R ˆx, 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Obs2: No cso em que o disco é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se lim E(P ) = 2πkσˆx = σ ˆx, R 2ɛ 0 que é um cmpo constnte ns proximiddes do disco, sendo ɛ 0 permissividde elétric do vácuo. Dest form, um plno infinito tem módulo do cmpo elétrico igul E = σ/2ɛ 0 ns sus proximiddes. 12

13 7 Movimento num Cmpo Elétrico Uniforme Prof. Elvis Sores 6 Linhs de Cmpo Elétrico Vmos gor explorr um mneir de representr o cmpo elétrico pictoricmente. Um mneir conveniente de visulizr pdrões de cmpo elétrico é desenhr linhs curvs prlels o vetor cmpo elétrico em qulquer ponto do espço. O vetor cmpo elétrico E é tngente linh de cmpo elétrico em cd ponto. A linh tem um direção, indicd por um set, que é mesm do vetor cmpo elétrico. O número de linhs por unidde de áre que trvess um superfície perpendiculr s linhs é proporcionl intensidde do cmpo elétrico nesse região. Então, s linhs de cmpo estão mis próxims onde o cmpo elétrico é forte e mis distntes onde o cmpo é frco. q q As regrs pr desenhr s linhs de cmpo elétrico são s seguintes: As linhs de cmpo começm em crgs positivs e terminm em crgs negtivs. O número de linhs desenhds é proporcionl intensidde d crg. Dus linhs de cmpo nunc se cruzm. 7 Movimento num Cmpo Elétrico Uniforme Qundo um crg q e mss m está loclizd num cmpo elétrico E, forç elétric exercid ness crg é F = q E = m (9) Se o cmpo elétrico E é uniforme (isso é, constnte n intensidde e direção), então celerção tmbém é constnte. 13

14 Prof. Elvis Sores 7 Movimento num Cmpo Elétrico Uniforme Exemplo: Elétron num Cmpo Elétrico Uniforme Consideremos dus plcs metálics crregds de mneir opost e um elétron de crg e lnçdo horizontlmente dentro d região de cmpo elétrico uniforme, conforme figur. Sbendo que velocidde inicil do elétron er v 0ˆx no instnte de tempo t = 0, e que o cmpo elétrico E = Eŷ é uniforme, s celerção, velocidde e posição do elétron em função do tempo são v 0 xˆ ( 0, 0) (x,y) E y v x = ee m ŷ v = v 0ˆx ee m tŷ r = r 0 v 0 tˆx 1 ee 2 m t2 ŷ 14