Modelagem Dinâmica de Processos Ofélia de Queiroz F. Araújo Escola de Química Universidade Federal do Rio de Janeiro Edição: 09/2003

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1 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 INTRODUÇÃO. Proceo: Conjuno de Equpameno nerlgado e procedmeno para produzr um ou ma produo a parr de maéra-prma.. Varáve: Em cada proceo emo varáve T, F, x, P, ec que ndcam o ESTADO do proceo, em cada nane comporameno dnâmco Modelagem Maemáca O deenvolvmeno da equaçõe que relaconam a dferene varáve de enrada e de aída e a deermnação do parâmero aocado é conhecdo como modelagem maemáca de proceo. Varáve de Enrada PROCESSO Varáve de Saída Noa: A varáve de enrada ão enrada manpulada e perurbaçõe que afaam o proceo do eu eado eaconáro, e ão a prncpal razão para o uo de CONTROLE de proceo. Com ea fnaldade, ão uada equaçõe de balanço maa, energa e momeno que decrevem o comporameno do proceo a parr da le que regem o fenômeno fíco e químco. A ea forma de obenção do modelo dá-e o nome de modelagem fenomenológca. Também ão ulzada equaçõe empírca um conjuno de equaçõe algébrco - dferenca, em prncípo em relação com a equaçõe de balanço, gerando um modelo cuja eruura número e po de equaçõe e parâmero ão obdo a parr de dado expermena, por correlação ou ajue. A ea forma de modelar dá-e o nome de denfcação de proceo. Uma vez deermnado o modelo do proceo, a reolução numérca da equaçõe perme deermnar o valore que a varáve de aída deverão adoar em dferene condçõe de operação varáve de enrada, ee procedmeno é chamado de mulação de proceo. O modelo maemáco ão ferramena precoa na anále e no conrole de proceo. Aravé da mulação, e porano com conhecmeno de um modelo do proceo, é poível analar o eu comporameno para dferene condçõe de operação. Cabe alenar que ea forma de anále é ma rápda e egura do que realzar ee em uma plana real. Nee pono, é mporane lembrar que o modelo é uma aproxmação da "le" que regem o comporameno da plana e porano poderão ocorrer dferença enre o comporameno do proceo e o comporameno prevo pelo modelo.

2 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 u? u Modelo? Modelo y? y Anále Idenfcação Conrole Clafcação do Modelo de Proceo O modelo podem er clafcado de acordo com a naureza da equaçõe envolvda. a Quano à dependênca na varável empo: -modelo eaconáro: oda a varáve ão ndependene da varável empo -modelo dnâmco: uma ou ma varáve ão dependene da varável empo. b Quano à lneardade: Para um proceo com vára varáve de enrada e aída conderemo y o veor de varáve de aída e u o de varáve de enrada, o modelo do proceo pode er dy repreenado de forma geral por: H y, u, onde H é um "operador". Se o operador H e a condçõe de conorno forem lneare o modelo é do lnear. Cao conráro, o modelo é não-lnear. Embora a naureza apreene, em geral, comporameno não lneare, o modelo lneare ão muo ulzado pela facldade do raameno maemáco. Deve conderar-e que um modelo lnear é uma aproxmação, à veze groera, da realdade, e abendo do, o reulado obdo na mulação de um modelo lnear devem er ulzado com cauela. c Quano a varaçõe epaca: -modelo de parâmero concenrado LUMPED: o parâmero e a varáve de aída ão homogêneo em odo o ema repreenado. A equaçõe reulane ão Equaçõe Dferenca Ordnára, com o empo como varável ndependene. Exemplo: repreenação dnâmca de um reaor CSTR. -modelo de parâmero drbuído: condera varaçõe epaca no comporameno do ema, e porano é repreenado por Equaçõe Dferenca Parca. Exemplo: Reaor PFR, dnâmco.

3 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Conrole de Proceo O modelo ão mporane no projeo de eraéga de conrole, nona de conroladore e projeo de "le de conrole", já que empre é neceáro "algum" conhecmeno do proceo. O objevo do conrole de proceo na operação de uma undade ndural ão: a uprmr a nfluênca de perurbaçõe; b eablzar o eado operaconal de um proceo; e c omzar o deempenho do proceo. Em qualquer dea uaçõe, há necedade de e prever como, quando e quano o efeo da enrada afearão a aída do proceo. Ea necedade é aendda por modelo maemáco do ema. a Suprmr a nfluênca de perurbaçõe Para al dpõe-e da eraéga: - Conrole por realmenação "feedback": uma malha de conrole por realmenação é compoa por um dpovo para medção da varável a er conrolada aída do proceo, um comparador para cálculo do devo enre o valor de referênca e pon e o valor meddo, e um conrolador que aua, de acordo com o devo calculado, obre uma varável manpulada normalmene vazão para compenar o efeo da perurbaçõe. Varáve de Perurbação Varáve Manpulada Varáve Conrolada PROCESSO Varáve de Saída CONTROLADOR SP No exemplo de anque de aquecmeno, pode-e conrolar a emperaura de aída T e o nível no anque h varáve de aída medda, auando-e na vazão de vapor W e/ou na vazão de almenação F varáve manpulada, em repoa a fluuaçõe em T varável de perurbação: 3

4 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 - Conrole por anecpação "feedforward": o conrole por anecpação mede a perurbação e aua no proceo ane que ee na o efeo dea varação. Ee conrolador aua de acordo com um modelo do proceo. A eruura do conrole por anecpação é repreenada a egur: CONTROLADOR Varáve de Perurbação medda PROCESSO Varáve Conrolada Varáve Manpulada No exemplo do anque de aquecmeno, pode-e conceber um conrole de emperaura de aída T medndo-e a emperaura de almenação T e auando-e no vapor de aquecmeno W para compenar poíve fluuaçõe na varável de perurbação. Para ee po de conrole é neceáro um modelo apurado do proceo, já que a ação de conrole é calculada em medção da emperaura de aída T. - Conrole "feedback" combnado ao "feedforward": devdo a mperfeçõe do modelo ou efeo de perurbaçõe não medda, freqüenemene ulza-e a "ação de conrole de acordo com a perurbação" feedforward combnada à "ação conforme o devo da varável conrolada" feedback. CONTROLADOR FEEDFORWARD Varáve de Perurbação medda PROCESSO Varáve Conrolada Varáve Manpulada CONTROLADOR SP FEEDBACK 4

5 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 b Eablzar o Eado Operaconal de um Proceo Um proceo é do eável e a repoa ranene a uma enrada lmada produz uma aída lmada quando o empo ende a nfno, e nável e a aída crecer em lme. Uma poível repreenação da repoa dee do cao eá apreenada a egur. Repoa eável Dado o ema dy dy y - * y * y - * y que repreena um proceo eável em perurbaçõe, a mulação cone em reolver o ema de equaçõe para uma equenca de valore de. Por exemplo uando Euler podemo reolver: clear all %CONDIÇÕES INICIAIS y[ ;]; %VETOR PARA ARMAZENAR VALORES DE y yp[]; %VETOR DE VALORES DE TEMPO []; %SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR EULER for :.:, yy+.*y-*y; yy+.**y-*y; yp[yp y]; [ ]; endv %GRAFICAÇÃO DE RESULTADOS plo,yp xlabel'empo' ylabel'y' Cuja repoa é: 5

6 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3.5.5 y empo Repoa nável Dado o ema dy dy y - * y * y + * y que repreena um proceo nável em perurbaçõe, a mulação cone em reolver o ema de equaçõe para uma eqüênca de valore de. De forma emelhane ao cao aneror uando Euler podemo reolver: clear all %CONDIÇÕES INICIAIS y[ ;]; %VETOR PARA ARMAZENAR VALORES DE y yp[]; %VETOR DE VALORES DE TEMPO []; %SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR EULER for :.:, yy+.*y-*y; yy+.**y+*y; yp[yp y]; [ ]; end %GRAFICAÇÃO DE RESULTADOS plo,yp xlabel'empo' ylabel'y' 6

7 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Cuja repoa é: y empo Exemplo: Uma olução analíca pode er deermnada por: clear all whebg %olução analca para a condçõe nca x e y [x,y] dolve'dx x - *y', 'Dy *x + *y', 'x', 'y'; %olução em x fgure ezplox %olução em y fgure ezploy Cuja repoa é: 7

8 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 c Omzar o deempenho de um proceo O valore epecfcado da varáve conrolada e pon defnem o pono de operação do proceo, e a eleção deve er óma para maxmzar ou mnmzar algum créro de deempenho função objevo. Exemplo: Reaor em baelada, com reaçõe endoérmca em ére A B C, cujo objevo é maxmzar a produção do produo B com mínmo cuo de vapor. A reação e dá em do período. No º período, aplca-e ala emperaura e conequenemene alo W para maxmzar produção de B. No º período, reduz-e W para nbr a produção de C em valor comercal e reduzr conumo de vapor. A W W máxmo W A,B,C A B C k k r Maxmzar F R Perfl Ómo de Fluxo de Vapor Preço de B - Cuo de A + Cuo de Vapor No deenvolvmeno de uma eraéga de conrole, é preco deermnar COMO auar na varáve manpulada para maner cera varáve varáve conrolada no eu valore de referênca e-pon o maor empo poível de forma a angr o objevo de produção. Para al, é preco um modelo do proceo fenomenológco, puramene empírco ou, como ulzado ma recenemene, híbrdo, pare fenomenológco e pare empírco. Objevo do Curo:. Analar a dnâmca do proceo. Conrur modelo maemáco de forma a quanfcar a anále 3. Eudar Técnca para a reolução da equaçõe que compõem o modelo 4. Inroduzr méodo de mulação 8

9 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 PRINCÍPIOS DE MODELAGEM Inrodução O objevo da modelagem é deermnar um conjuno de equaçõe maemáca dferenca, algébrca e negra que permam decrever o comporameno do proceo quando ão modfcado parâmero e/ou varáve dee. A abordagem que faremo nee curo va decrever o comporameno dnâmco de um proceo e, para o, erão ulzada equaçõe algébrco - dferenca e analada, prncpalmene, a repoa da varáve de aída varáve conrolada quando nroduzda perurbaçõe na ua varáve de enrada varáve de enrada, e perurbação ou carga. A ee po de anále chamaremo de "anále da repoa dnâmca". Ouro po de anále, como por exemplo enbldade paramérca, não erão abordado. Um modelo reala do proceo deve ncorporar odo o efeo dnâmco mporane, manendo a varáve e equaçõe em um número razoável. Am, erão aenddo o objevo da mulação da forma ma mple poível. Varáve de Perurbação d Varáve Manpulada PROCESSO Varáve Conrolada m y f m, d Conderando que o proceo apreena número oal de varáve NV gual à oma da varáve de enrada e varáve de aída, a equaçõe do modelo dferenca e algébrca devem fornecer uma relação únca enre a enrada varáve de perurbação - NP, e varáve manpulada e a aída varáve conrolada ncluve. Para al é neceáro que o número de varáve NV eja gual ao número de equaçõe NE. O grau de lberdade NL, defndo como a dferença enre NV e NE, deve er zero ou o ema erá nfna oluçõe. Para zerar NL, em-e: a a varáve de perurbação NP ão fxada pelo meo exerno: NV NV-NP. Io é, ea varáve ão conhecda ao longo do empo. b o objevo de conrole mpõem ana equaçõe quano a neceára para que NL.

10 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Meodologa de Modelagem A modelagem de proceo pode er realzada de dua forma; a parr da le fundamena de fíca e químca fenomenológca, e a parr da nformação conda na varáve de proceo regrada ao longo do empo empírca. Sem dúvda que nenhuma dea meodologa é auoconda e mplemene foram defnda de forma dferene levando em conderação a ênfae que e dá à fone prmára de nformação ou conhecmeno. a Meodologa Empírca Idenfcação de Proceo O número e po de equaçõe a erem ulzada em um modelo empírco é deermnado de acordo com o comporameno dnâmco do proceo. Uma anále quanava e qualava do efeo expermena apreenado na varáve do proceo aída quando nroduzda perurbaçõe na condçõe de operação enrada, conjunamene com créro de projeo, permem deermnar a eruura do modelo número e po de equaçõe e o parâmero aocado. No equema abaxo, oberva-e que o comporameno do modelo propoo é comparado ao do proceo para valdar a propoa do modelo. A paramerzação perme ajuar o modelo ecolhdo de forma a reproduzr o ma felmene poível o comporameno do proceo. ª ordem ª ordem 3ª ordem ª ordem ma empo moro Propoa do Modelo Modelo y calc f x, a, a... a, a... y calc Paramerzação x Proceo y Na paramerzação, o parâmero do modelo ão ajuado de forma a mnmzar a dferença y y calc, onde y calc é a aída calculada de acordo com o

11 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 modelo propoo e y a aída do proceo. Em geral, a mnmzação é realzada a parr do erro quadráco y y calc. A decrção dealhada dee po de modelagem erá realzada em capíulo propro do ema. b Meodologa Analíca Ulza o prncípo fundamena le fíca, químca e fíco-químca a como a le de conervação de maa, energa e momeno, para deermnar a equaçõe dferenca e algébrca que compõem o modelo. Na formulação do modelo, o pao mporane a erem egudo ão: Eboçar dagrama equemáco do proceo, roulando oda a varáve relevane; Defnr lme fíco; Deermnar e eleconar a varáve de perurbação e repoa; Deermnar o âmbo de ulzação do modelo. Formular hpóee mplfcadora que reduzam a complexdade do modelo ma reenham a caraceríca ma relevane do comporameno dnâmco do proceo o modelo não deve er ma complcado do que o neceáro ao objevo prédeermnado; Fxar a condçõe de operação varáve e parâmero que erão conderado nvaráve com o empo conane. Aplcar a le aproprada para decrever eado em regme eaconáro e em regme dnâmco; Verfcar a conênca maemáca do modelo: o grau de lberdade deve er zero. Verfcar a consênca de undade no ermo da equaçõe; Maner em mene a écnca dponíve para reolução do modelo maemáco; e Verfcar e o reulado do modelo decrevem o fenômeno fíco modelado. Nea eapa, cabe comparar dado expermena de enrada e aída do proceo com reulado de mulaçõe fea a parr do dado de enrada expermena. Varáve de Eado e Equaçõe de Eado A "varáve de eado" de um ema é um conjuno de varáve que permem repreenar o comporameno dnâmco do ema. Dado um conjuno de varáve de eado do ema, é poível conhecer o comporameno fuuro a parr do conhecmeno do valore dea varáve no nane preene e de oda a perurbaçõe do nane preene em dane. O valor dee conjuno de varáve de eado em um deermnado nane de empo é chamado "eado". A equaçõe que relaconam a varáve de eado varáve dependene à perurbaçõe varáve 3

12 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 ndependene ão da "equaçõe de eado", e ão dervada da aplcação do prncípo da conervação à grandeza fundamena do ema maa, energa e momeno. Le Fundamena da Conervação Condere o ema abaxo onde emo N enrada e M aída e onde a lera Q e W repreenam calor e rabalho nercambado com o meo, repecvamene: Q Enrada N.. M Saída W A equaçõe de eado ão obda aplcando-e o Prncípo da Conervação. Para uma grandeza S, emo que: [Acúmulo de S] [empo] [Enrada de S] [empo] [Saída de S] [empo] + [Geração de S] [empo] [Conumo de S] [empo] 3 Quandade Fundamena: Maa, Energa e Momenum. Na modelagem de proceo químco, ulza-e freqüenemene: a Balanço de Maa Toal b Balanço de Maa por Componene c Balanço de Energa d Conervação de Momeno 4

13 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Balanço de Maa Toal: d ρv NE NS F ρ F j j ρ j onde F vazão volumérca da -éma correne. ρ dendade da -éma correne. NE número de correne de enrada. NS número de correne de aída. Exemplo: Formulação de Modelo para Tanque de Nível arepreenação Equemáca do Proceo e Defnção do Lme Fíco: F F h F F TANQUE h bidenfcar e eleconar varáve de perurbação e repoa: varável de perurbação: F NP varável manpulada varável de enrada: F vazão volumérca varável conrolada varável repoa: h c Formular Hpóee Smplfcadora -dendade conane compoção conane -emperaura conane dfxar condçõe e parâmero: parâmero: dendade ρ, área ranveral do anquea. condçõe nca:f F ; F F e h h condçõe em daplcação da le de conervação, Dada a mplfcaçõe nroduzda, o únco balanço relevane é o balanço de maa: 5

14 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 axa de acúmulo: dm ρa dh m ρah, com h alura do anque axa de almenação: axa de aída: ρ F ρ F balanço: dh ρa ρf ρf modelo eaconáro: dh F F everfcar conênca maemáca: número oal de varáve: 3 F, F e h número de equaçõe: balanço de maa número de varáve de perurbação: F NVNV-NP3- grau de lberdade: NLNV-NE- Para zerar o NL, orna-e neceára ma uma equação. Recorre-e à equação que fornece a vazão como função da alura da coluna de líqudo F f h. freolução: Parndo-e do modelo dh ρa ρf ρf dh A F F dh F F A A e conderando h F R 6

15 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 onde R repreena a reênca ao ecoameno. Tem-e: dh F A h RA cuja olução é: h RF e RA ou eja, ea equação perme conhecer a alura de fludo no anque para qualquer nane de empo e para qualquer valor da perurbação F. Uma olução numérca pode er obda ulzando o egune programa: % Smulação de um anque de nível global R A F fn % parâmero do modelo: F.; R3; A; %condção ncal e empo de negração: n; fn; h; xh; %negração: [,x]ode3'dh',n,fn,x; %gráfco: plo,x,'+b' hold on plo,x,'b' xlabel'empo' ylabel'nível h' lne[.48;.48],[.578] hold off funcon dhdh,x global R A F fn %perurbação: f >fn/; F.5; end Fx/R; dhf-f/a; 7

16 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 nível h empo Balanço de Maa por Componene d n A d C A V NE FC A, NS FjC A, j j + rv onde : NE, NSe F ão defndo como no balanço global na é o número de mole do componene A no ema CA é a concenraç ão molar do componene A r é a axa de reação por undade de volume do componene A Exemplo:Modelo para Reaor CSTR arepreenação Equemáca do Proceo e Defnção do Lme Fíco: F, Ca Ca h F, C a F, F Reaor C a,h 8

17 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 bidenfcar e eleconar varáve de perurbação e repoa: varável de perurbação: C a NP varável manpulada varável de enrada: F, F vazõe volumérca varável conrolada varável repoa: C a, h c Formular Hpóee Smplfcadora dendade conane compoção conane emperaura conane cnéca de prmera ordem A r kca B dfxar condçõe e parâmero: parâmero: dendade ρ, área ranveral do anquea, conane de reação k condçõe nca: F F, ; Ca Ca, o, F F, Ca Ca, eh h daplcação da le de conervação Com a mplfcaçõe nroduzda, o únco balanço relevane ão o balanço de maa oal e por componene Balanço Global: axa de acumulação: axa de almenação: axa de aída: ρ F dm ρ F ρa dh dh balanço: ρa ρf ρf dh modelo eaconáro: Balanço por Componene F F d n d C V A A F C a rv kc V a FC a + rv everfcar conênca maemáca: 9

18 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 número oal de varáve: 5 F, F, Ca, Ca e h número de equaçõe: balanço de maa oal e para o componene A número de varáve de perurbação: C a NVNV-NP5-3 grau de lberdade: NLNV-NE3- Para zerar o NL, orna-e neceára ma uma equação. Recorre-e a equação que fornece a vazão como função da alura da coluna de líqudo F f h, um conrolador de nível, por exemplo. Uma olução numérca pode er obda ulzando o egune programa: % Para um reaor CSTR mura perfea no qual % e conduz uma reação oérmca A->B, calcular % a varáve dede eado a cada, ulzando a rona de % negração ode3 Runge-Kua clear all global A ro V ca F F k %parâmero do proceo A5; %f, área ranveral do reaor ro5; %lb/f3, dendade T6; %R, emperaura do reaor k7.8*^; %/h, ermo pre-exponencal da conane de reação %logo: %conane de reação na emperaura aual %kk*exp-e/r/t; %/h, conane de reação - Arrhenu %varáve de enrada ca.5; %lbm/f3, concenração da almenação F5; %f3/hr, vazão de almenação FF; %vazão de rerada %condçõe nca ca.; %lbm/f3, concenração ncal no reaor h; %f, alura do reaor x[ca h]'; %empo de negração n; fn; %negração [,x]ode3'derv',[n fn],x; %gráfco ubplo,,,plo,x:,,'b' ylabel'compoção lbm/h' xlabel'empoh' ubplo,,,plo,x:,,'b' ylabel'alura - f' xlabel'empoh' funcon dcaderv,x global A ro V ca F F k

19 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 %valore aua da varáve de eado cax; hx; %dervada da concenração dcaf*ca-f*ca/h*a-k*ca; %dervada da alura dhf-f/h; %veor de dervada dca[dca dh]'; Balanço de Energa A ª Le da Termodnâmca raa da Conervação da Energa d EρV d[ U + K + φ ρv ] d EρV NE F U NS ρ + K + φ F j ρ j j U j + K j + φ j + Q W onde : Fluxo enra por convecção Fluxo a por convecção ou dfuão E energa oal do ema energa por undade de maa. U energa nerna. Q calor adconado por condução, radação ou reação. K energa cnéca. φ energa poencal. NE NS W W + P V P j j V j rabalho W rabalho de exo. W rabalho de exo + rabalho PV P Preão do ema O rabalho para colocar e rerar uma undade de maa no do ema eá repreenado pelo do ouro ermo omaóro. Em ema de engenhara químca, a varaçõe de energa cnéca K e poencal φ ão geralmene deprezíve e, porano E U, W S. Como defnção de enalpa: H U + PV onde V V/ρ

20 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 em-e que a varaçõe de energa nerna e rabalho realzado e reumem a varaçõe de enalpa, ubundo a defnçõe e nroduzndo-e a mplfcaçõe acma, eme: d[ EρV ] NE F ρ H para líqudo : NS F j ρ jh j j + Q W dp, de du dh d[ EρV ] NE F ρ H NS F j ρ jh j j + Q W A varaçõe de energa ão eencalmene funçõe de preão, compoção e, prncpalmene, de emperaura: H C p T P H ρ VC p T T ref por negração a P conane. d[ ρvcpt] NE NS F H F ρ j j ρ H j j + Q Conervação de Momeno d Mv N F j onde : v velocdade na dreção F j éma j força auando na dreção onde : v velocdade na dreção.

21 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 FR j j-éma força auando na dreção I. Exemplo de Conervação de Momeno Tanque com aída laeral, onde ão relevane a força de aro na eção de ecoameno. Dado: F h : força hdráulca empurra o líqudo Fh ρgha p F F a : força de aro e opõe ao ecoameno F L F Vazão volumérca A p área da eção rea do ubo A área da eção rea do anque v velocdade de ecoameno do fludo M maa de água no ubo Hpóee: Ecoameno emponado Fludo ncompreível Temo, enão, o balanço de força d Mv F h F a d ρlva p F F A ρgh k h a p F Lv Da equação acma defnmo o modelo como: d v gh k F Lv L A ρ p 3

22 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Equaçõe Adcona a Tranpore de Calor e Maa A equaçõe de ranpore decrevem a ranferênca de energa, maa e quandade de movmeno momeno enre o ema e a vznhança. Ea le êm a forma de um fluxo axa de ranferênca por undade de área proporconal a uma força morz gradene de emperaura, concenração ou velocdade. A conane de proporconaldade é uma propedade fíca do ema coefcene de roca érmca, dfuvdade e vcodade. A nível molecular, em-e a le de Fourer, Fck e Newon. grandeza calor maa momeno fluxo q N A τ rz força morz T C v A z z z z propredade K D µ "le" Fourer Fck Newon Fluxo Conane * Força Morz b Equaçõe de Eado Termodnâmco Decrevem como a propredade fíca dendade, enalpa varam com emperaura, preão e compoção. Exemplo: Equação de gá deal: PV nrt RT a Equação de Van der Waal: P V b V Enalpa: dado C A + p A T T h CpdT T líqudo H h + λ vapor v com λ v calor de vaporzação. Para mura de componene aumndo calor de mura deprezível: 4

23 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 NC x h M j h NC j j j j x M j j com x j fração molar e M j peo molecular. c Equaçõe de Equlíbro Termodnâmco Decrevem a condçõe do ema ob equlíbro. Baeam-e na egunda le da ermodnâmca. Equlíbro Químco: NC ν µ j j j µ j µ j + RT ln P j ν coefcene eequomérco > para produo. µ j poencal químco. µ j poencal padrão energa lvre de Gbb/mol. P j preão parcal. I II Equlíbro de Fae: quando µ j µ j Deermna a compoção do vapor dada a compoção do líqudo e vce-vera. A fae vapor pode er decra como deal pela Le de Dalon P yp. A fae líquda, dependendo do ema em queão, pode er decra pela Le de Raoul; P NC j x j P j onde a preão de vapor do componene puro pode er calculado por exemplo pela equação de Anone: j ln P Aj + B j, T 5

24 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 pela Volaldade Relava; α j y x y j x j por Conane de Equlíbro K y x ; K f T, x, P ou como Líqudo Não-Ideal. P γ j NC j x P f x, T j j γ j com γ j coefcene de avdade e deal γ j. d Equaçõe Cnéca Decrevem a axa de reaçõe químca que ocorrem no ema: Equação de Arrhenu é freqüenemene uada e repreena uma da ma evera nãolneardade em engenhara químca: k E k e RT E energa de avação R conane do gae 6

25 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Le da Ação da Maa: R ν onde dn j V j R dn j R varação do número de mole por reação Exemplo de Modelagem com Balanço de Energa e Maa Seja um anque de aquecmeno de área ranveral A, repreenado equemacamene abaxo: T F h F T T F Q F TANQUE T h Vapor W Varáve de Perurbação: T, F Varáve de Enrada: Q,F Varáve de Saída: h, T Para zerar grau de lberdade: NE6-4NV BM, BE, conroladore QfT e Fgh A egur eão apreenada de forma reumda a eapa na formulação do modelo do proceo. hpóee mplfcadora: dendade conane, Cp conane, varaçõe de energa cnéca e poencal deprezíve 7

26 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Balanço de Maa: dρv dh dρah Aρ dh ρf F A dh ρ F F F A F Balanço de energa: d [ Eρ V ] F ρ H F ρh + Q ma K varaçõe de energa poencal e cnéca deprezíve, e, por defnção: H ρ VC T T ρahc T T p ref p ref Subundo em em-e: dρc T T p ref ha F ρ C p T T ref FρC T T p ref + Q dh dt ρ ACp T Tref + h T Tref T Tref + Q Fρ Cp FρCp 3 Do balanço de maa em 3 em-e: A T F F A dt Tref + Tref F F + ha F T T ref F T T ref + Q ρc p dt ha Q F T T + ρc p Em reumo, o modelo é formado por dua equaçõe de eado: dh A F F ou dv F F dt ha Q F T T + ou ρc p dt ha Q F T T + ρc p 8

27 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 endo V e T a varáve de eado. Como varáve de enrada em-e T, F, q e F. O parâmero do modelo ão: A, ρ,c p No eado eaconáro, em-e: T, T,, F, %Smulação de um anque de aquecmeno global U A V ro Cp F T F Th fn %parâmero do modelo no ema Inglê de undade: U5; A; ro5; Cp.75; %varáve de enrada: F4; F38; Th54; T53; %condçõe nca: T53; V5; x[t V]'; %nervalo de negração: n; fn; %negração: %SINTAXE A SER ALTERADA SEGUNDO A VERSÂO DO MATLAB [,x]ode3'dv',[n fn],x; %gráfco: ubplo,,, plo,x:,,'r' xlabel'empo h' ylabel'temperaura ºR' ubplo,,, plo,x:,,'b' xlabel'empo h' ylabel'volume f3' funcon dtvdv,x global U A V ro Cp F T F Th fn dvf-f; dtf*t-x+u*a*th-x/ro/cp/x; dtv[dt dv]; 9

28 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Balanço de Maa e Energa Combnado: Modelo de Reaor CSTR não Adabáco Em um reaor não adabáco de mura perfea ocorre uma reação de prmera ordem k exoérmca A B r a kc a. C a é a concenração do reagene A, T a emperaura e F a vazão volumérca. T F Ca V Ca T F Q C a F T C a F REATOR T Água W h O proceo pode er repreenado da egune forma: Varáve e parâmero: Varáve de Eado Varáve de Saída: V, C a, T

29 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Varáve de Enrada: C a,, F, T Perurbação e Q, F manpulada Parâmero: ρ, C p,λ - H r >, exoérmca, K, E,R NV 8; NV NV - NV p Equaçõe: São neceára 5 equaçõe: BM, BM A, BE, FfC a e QfT Hpóee mplfcadora: dendade conane, Cp conane, varaçõe de energa cnéca e poencal deprezíve. BM: Supor: C p a C fn,n ; p A B T b Balanço de Maa Toal dρv ρ F ρf dv F F BM A : dn dn A B d C AV d CBV CA F C AF + rav CB F CBF + rav BE: d Vh ρ d Vh ρ d ρvh d nh ρfh ρfh + Q W d ρvh d nh ρfh ρfh + Q W S S h é enalpa por mol

30 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 Noar que: ~ ~ nh n h + n h logo A A B B d nh ~ h A dn A ~ + h B dn B H + T dt e Fρ h T F ρh T + FρCp T T H T n A ~ dh A + n B ~ dh B Am: d nh ρ VC p dt + C A ~ F h A C A ~ Fh A ~ + r Vh A A ~ r Vh A B + C B ~ F h B C B ~ Fh B Também: F ρ h T F ρ h T + Cp T T ~ ~ F ρ h F CAhA + CBhB ~ ~ F ρ h T F C h + C h + F ρ C T T Logo: A A B B p ρvc p dt + C A ~ F h F C A A C ~ h A A ~ Fh + F C A B + C ~ h B B ~ F h + F ρc B C p B ~ Fh ~ + r V h ~ T T FC h B A A A A ~ h B ~ FC h B B + Q ob: ~ ~ H reação H B H A calor gerado na reação por mol de A reagdo dt ρ VCp F ρ Cp T T + rav H reação

31 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 % Para um reaor CSTR mura perfea no qual % e conduz uma reação exoérmca A->B, refrado % por erpenna, ee programa calcula, a varáve % de eado a cada, ulzando a rona de % negração ode3 Runge-Kua clear all global U A Tc T E DelaH Cp ro V k R F ca F %parâmero do proceo U5; %BTU/h.f.R, coefcene de roca érmca A5; %f, área de roca érmca DelaH-3; %BTU/lbm, calor de reação ro5; %lb/f3, dendade Cp.75; %BTU/lbm.R, calor epecífco E3; %BTU/lbm, energa de avação R.99; %BTU/lbm.R, conane do gae k7.8*^; %/h, ermo pre-exponencal da conane de reação %varáve de enrada ca.5; %lbm/f3, concenração da almenação F4; %f3/hr, vazão de almenação F4; %vazão de rerada Tc594.6; %R, emperaura do fludo de refrgeração T53; %R, emperaura da almenação %condçõe nca ca.6; %lbm/f3, concenração ncal no reaor T63; %R, emperaura do reaor V48; %f3, volume do reaor x[ca T V]'; %empo de negração n; fn; %negração [,x]ode3'derv',n,fn,x; %gráfco ubplo3,,, plo,x:,,'c' ylabel'concenração - lbm/f3' ubplo3,,, plo,x:,,'g' ylabel'temperaura - ºR' ubplo3,,3, plo,x:,3,'g' ylabel'volume - f3' xlabel'empoh' funcon dcaderv,x global U A T Tc E DelaH Cp ro V k R F ca F %perurbação de 5% na vazão da almenação, f >5 F4; ele F5; end %valore aua da varáve de eado cax; Tx; Vx3; %conane de reação na emperaura aual kk*exp-e/r/t; %/h, conane de reação - Arrhenu %dervada da concenração dcaf*ca-ca/v-k*ca; 3

32 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 %dervada da emperaura qger-delah*k*ca*v; %calor gerado BTU/h qnouf*cp*ro*t-t; %varação de por convecção qremu*a*t-tc; qnou+qger-qrem/v*ro*cp; %dervada do volume dvf-f; %veor de dervada dca[dca dv]'; Mulplcdade de Eado Eaconáro CSTR onde ocorre uma reação exoérmca C a F T 4

33 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 T F Ca h QUAT-Tc F REATOR C a T T F h Ca Água W Admndo FF Volume conane O modelo do proceo pode er ecro como: dca dt F V F V C C k T T + H C + UA T T a a kc a ρ C p a C com k k exp E / RT ESTADOS ESTACIONÁRIOS % Dado um reaor CSTR mura perfea no qual % e conduz uma reação exoérmca A->B, refrado % por erpenna, formulou-e um modelo maemáco: % BM eaconáro: Ca*q-Ca*q-k*Ca*V, ou eja, % CaCa/k*V/q+ % BE eaconáro: qn-qou+qger-qrem % qnq*t/v % qouq*t/v % -DelaH*Ca*k*exp-E/R*T % qremu*a*t-tc % Ee programa calcula, para dferene emperaura T % o calor gerado por reação qger, o calor que enra e a % por convecção qn, qou, e o calor removdo pela erpenna % qrem, lurando a ocorrênca de rê eado eaconáro. 5

34 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3 %parâmero do modelo q5; %f3/hr, vazão de almenação U8; %BTU/h.f.R, coefcene de roca érmca A5.; %f, área de roca érmca DelaH-35; %BTU/lbm, calor de reação V48; %f3, volume do reaor ro5; %lb/f3, dendade Cp.75; %BTU/lbm.R, calor epecífco E3; %BTU/lbm, energa de avação R.99; %BTU/lbm.R, conane do gae k7.8*^; %/h, ermo pre-exponencal da conane de reação %condçõe de operação ca.5; %lbm/f3, concenração da almenação Tc594.6; %R, emperaura do fludo de refrgeração T53; %R, emperaura da almenação Tlnpace55,75,; %emperaura nvegada %cálculo do calore kk*exp-e/r./t; %/h, conane de reação - Arrhenu caca./k*v/q+; %lbm/f3, concenração no reaor qger-delah*k.*ca*v; %BTU/h,calor gerado por reação exoérmca qnq*cp*ro*t; %BTU/h,calor que enra no reaor por convecção qouq*cp*ro*t; %BTU/h,calor que a do reaor por convecção qrem-u*a*tc-t; %BTU/h,calor removdo pela erpenna %gráfco hold on plot,qrem+qou,'b' plot,qger+qn,'m' ex58,e6,'p' ex63,.4e6,'p' ex7,.85e6,'p3' ylabel'btu/h' xlabel'temperaura,ºr' ex7,e6,'qrem+qou' ex73,.7e6,'qger+qn' hold off No eado eaconáro, a axa de geração de calor é gualada pela axa de remoção de calor. O gráfco abaxo mora que o ocorre em rê pono P, P e P3. 6

35 CAPÍTULO Modelagem Dnâmca de Proceo Oféla de Queroz F. Araújo Ecola de Químca Unverdade Federal do Ro de Janero Edção: 9/3. x 6 qrem+qou BTU/h P P3 qger+qn. P Temperaura,ºR Aravé de um conrolador, o pono P pode e ornar eável. O pono P e P 3 ão eáve com ranene repreenado a egur: Temperaura - ºR empoh 7

36 3. SISTEMAS LINEARES Um ema é do lnear quando a equaçõe dferenca que compõem o modelo ão oda lneare. Dea forma, não exem produo de varáve, varáve com faore exponenca, ec. O coefcene aocado podem er conane ou varane funçõe do empo. Exemplo de Sema Lnear Invarane no Tempo: d y dy a + a + a y a u + u a 3 u u Proceo y Exemplo de Sema Lnear Varane no Tempo: d y dy a + a + a y b u + b u 3 Exemplo de Sema Não-Lnear: dc A F C C k e E RT C A A /, A V Para o ema lneare, e em parcular ema lneare nvarane no empo, exem méodo de olução da equaçõe dferenca que podem er ulzado de forma geral, o é, há olução para modelo de qualquer complexdade número e ordem da EDO'. A parr dea caraceríca do ema lneare fo poível deenvolver écnca unvera para anále do comporameno dnâmco e projeo de conroladore. Aé pouco empo, ea écnca eram quae excluvamene a únca ferramena de anále e projeo. Com o aumeno da capacdade de cálculo do compuadore aua, é poível analar ema não lneare cada vez ma complexo. Em conraparda, não exe um méodo geral que poa er ulzado para analar ema não lneare. Por ea razão, e para ncar o eudo de ema dnâmco, nee curo ão apreenada a écnca de anále de ema lneare como uma ferramena de uo geral que pode er ulzada em um grande número de cao práco. A écnca de projeo de ema de conrole ão objeo do curo de Conrole e Inrumenação de Proceo. Quando o modelo reula em equaçõe não-lneare, e para poder ulzar a écnca de anale de ema lneare, recorre-e, freqüenemene, à écnca de lnearzação em orno do pono de operação. Ea écnca eá baeada na upoção de que o proceo e compora como um ema lnear na vznhança de um deermnado pono conjuno de valore para a varáve do proceo, chamado de pono de operação. Ee po de aproxmação é valda, em geral, para proceo. Quando o proceo ão em baelada, como por exemplo na produção de algun polmero, não é poível deermnar um pono de operação já que a excurão da varáve ao

37 longo do empo é muo grande. Em algun cao é poível dvdr o empo de operação do proceo e ulzar modelo lneare dferene em cada um dee nervalo do empo de operação. 3. Lnearzação Lnearzar é expandr um função não-lnear em uma ére de Taylor em orno do eado eaconáro, ou pono de operação, e deprezar odo o ermo apó a prmera dervada. Seja gx uma função genérca ela pode er exprea como: dg x g x g x + x x x x dx + ermo de ordem uperor endo o modelo lnear: dg x g x g x l + dx x x x x Por exemplo para: g x x 3 %Gera pono enre e xlnpace,, ; gx.^3; %Ploa uma curva de coordenada x e g plox,g hold xlabel 'x' ylabel 'g' uma aproxmação lnear na vznhança do pono x 6 era: g x x x x x l x x gl6+3*6^*x-6; plox,gl,'b'

38 hold off oberva-e que o modelo lnear ó é uma aproxmação razoavel do modelo não lnear na vznhança do pono x 6. A propredade ma mporane do ema lneare é que é poível aplcar o prncípo de uperpoção. O prncípo da uperpoção eabelece que a repoa de um ema aída à aplcação mulânea oma de dua perurbaçõe enrada é gual à oma da repoa do ema à dua perurbaçõe nroduzda eparadamene. Dea forma, é poível calcular a repoa de um ema a um conjuno de perurbaçõe omada raando uma perurbação por vez e omando a repecva aída. Expermenalmene, e for obervado que caua e efeo ão proporcona, o que garane que o prncípo de uperpoção é váldo, o ema pode er conderado lnear. Vamo ulzar como exemplo o modelo do anque de nível do capulo : dh F A cuja olução é: h RA h RF e RA claramene pode er obervado que para do valore dferene de vazão de enrada obemo dua repoa h e e omamo a enrada a repoa do ema erá a oma da aída ndvdua: RA RA h RF e h RF e F F + F RA RA RA RA h RF e R F + F e RF e + RF e h + h 3.. Lnearzação de Modelo Não-Lnear: Tanque de Nível

39 Um anque de nível em vazão de rerada dada pela relação: F k h F h F Conderando-e dendade e emperaura conane, em-e: Balanço de Maa: dv A dh F F A dh + k h F uma equação não-lnear. A lnearzação de Fh em orno de uma alura h fornece: k F h F h + h h h que é uma equação lnear. Subundo a expanão no modelo acma emo: A d h k + h h F h am obendo um modelo lnear que é váldo na vznhança de h. % Smulação de anque de nível, comparando aída de % modelo não-lnear hnl com aída de % modelo lnearzado hl clear all global k A F con h %condçõe nca x[.9.9]'; %alura ncal para o modelo hl[]; hnl[]; F; %parâmero do modelo A; %área ranveral do anque h; %alura no eado eaconáro k; %conane para cálculo de F conk/*qrh; %negração n; dela.5; for :3 f >5

40 F.; %perurbação de % em F end fnn+dela; [,x]ode3'dal',n,fn,x; nlengh; %comprmeno do veor empo x[xn, xn,]'; nfn; empon; hlx; hnlx; end ploempo,hl,'*g' hold on ploempo,hnl,'r' ex,.7,'* modelo lnear' ex,.6,'- modelo não-lnear' xlabel'empo' ylabel'alura' hold off funcon dhdal,x global k A F con h dhnlf-k*qrx/a; dhlf-con*x-h/a; dh[dhl dhnl]'; Exemplo Adconal: Modelo de um forno Dado:

41 Subundo em : Aplcando Taylor Daí emo: Balanço Dnâmco: I Balanço Eaconáro: II Subrando I de II, emo o modelo do proceo:

42 Exemplo Adconal 3. Reaor Encamado: F conane, V conane Reação obedece cnéca de º ordem Balanço de maa para componene A: O ermo FC Ao, FC A e Vk o e -E/RT ão não-lneare Aplcando Taylor:

43 Balanço Dnâmco: Balanço Eaconáro: Subrando: Balanço de Energa para o Reaor: Lnearzando:

44 Subundo, emo: Balanço Energéco para a Cama: Apó a lnearzaçõe neceára, emo o modelo lnear do proceo: Ob.: A varáve com ^ ão varáve devo, ou eja, varáve cujo valor é ubraído do eado eaconáro. Por exemplo,

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46 TRANSFORMADA DE LAPLACE A ranformada de Laplace é ulzada para reolução de equaçõe dferenca ordnára EDO lneare ou lnearzada. O ema orgnalmene decro no epaço ranformae em equação algébrca no epaço, um número complexo. O méodo apreena 3 eapa: Tranformação da EDO lnear em equação algébrca; Reolução da Equação Algébrca reulane em ermo da varável ndependene 3 Aplcação da ranformada nvera para ober a reolução da EDO. Por defnção, para >: Exemplo: L f F f e f co w L f F co w e Iden. Euler : w w e + e co w w w F e + e e w + w e e F w w + w e + e + w + w + w f L f F co w e F e e A Tranformada de Laplace defrua da propredade de lneardade, ou eja: { af + bf } af bf L +

47 Tranformada de dervada: Tranformada de Inegral: ' ' ' F f e f e f F f v e du vdu uv udv f v e u e f F f L + + [ ] + } { } ' { '' '' df f F df f F F df f d L f d L F e f F f L... '' n n n n n n f d df f F F e f F f L ' ' ' ' ' ' f dv e du f v e u f e f L

48 Exemplo Exemplo Tranformada de Laplace de Funçõe Báca: a Degrau F f f L f e f e f L ' ' ' ' ' ' + } { ] [ ',, Y Y Y Y Y y L y F dy L dy y F y d L y y y dy y d a a a b U Y b U Y a a a b u y a dy a y d a k e k e u k u L k f L k ku f >. } { } {,, f

49 b Rampa c Seno } { / } { } {,, k ke f L e dv du u e k u L k f L k k ku f + > k f en :. en en w w e e e F e e w Euler Iden e w F f L w f w w w w + + +

50 d Exponencal f e a a L f F e e + a Teorema a Teorema do delocameno em f g - f, g, < L{ f b Teorema do delocameno em } f e e F L{ e c Teorema do Valor Fnal d Teorema do Valor Incal a f } e a f e e lm f lm F a f e a F a lm f lm F Exemplo:

51 Função Pulo Função Impulo É o lme do pulo quando ende a zero: 4,5 5 lm lm 5 4,5 5 lm lm 4,5 5 f f f f F f h } {,,,, e k e h h hu hu f L área h k h f > < } { :... 3!! lm lm L h para k e onde k k e k δ

52 Inverão de Tranformada de Laplace Para ober-e a reolução da EDO, é preco ranformar o reulado da equação algébrca em para. Para al, ulza-e a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS. Q Seja, F, onde a ordem de Q e P ão, repecvamene M e N M N, a P nverão é fea em rê eapa:. Faora-e P em ermo da ua raíze polo de F, e reecreve-e F como: Q A B W F P p p p N. A conane A, B... W ão calculada: A lm p F. p B lm p F. p... W lm p F. p N N 3. Pelo uo da Tabela, enconrar a ranformada nvera ermo a ermo. A B W f L { } + L { } L { } p p p N

53 4. REPRESENTAÇÃO DE ENTRADA E SAIDA 4. Inrodução Exem dvera forma de repreenar um proceo aravé de um modelo maemáco. Uma forma muo ulzada é a repreenação de enrada e aída. Como exemplo de um modelo de enrada e aída pode-e ulzar o modelo do CSTR e conderar que a enrada do proceo é F e a aída T. Dea forma, um modelo de enrada-aída erá como varável ndependene F e como varável dependene T. Obvamene há oura varáve muo mporane que não ão conderada varáve de aída como V e C a. Em geral é poível decrever um ema lnear como: n n m m a y a y a y a y b u b u b u b u n m + + L+ & n + n + + L+ & m + m ; onde y e u ão funçõe do empo e f k é a dervada de ordem k de f. e uma forma de repreenação muo ulzada é a de "função de ranferênca". A função de ranferênca de um ema lnear nvarane no empo eá defnda como a ranformada de Laplace da aída repoa do ema obre a ranformada de Laplace da enrada exação ou perurbação no ema, upondo oda a condçõe nca gua a zero. Sendo neceáro que oda a condçõe nca ejam gua a zero para qualquer proceo, e abendo que a varáve de um proceo em geral não êm condçõe nca gua a zero, devee defnr um novo conjuno de varáve chamada "varáve devo" que cumpram a condçõe requerda. A "varável devo" é defnda como o afaameno da varável do eu valor no eado eaconáro ou valor de referênca. Ou eja: x x x devo onde x valor no eado eaconáro Na connuação do exo, dado que a funçõe de ranferênca que erão ulzada eão defnda para varáve devo, fca enenddo que oda a varáve ão varáve devo.

54 Ea ranformação de varável é repreenada grafcamene na egune fgura. lnpace.,,; xn./ +.; plo,x,'b' hold ex8,.4,'x' xn./ ; plo,x,'g' ex8,.,'x-devo' x.*oneze; plo,x,'r' ex.5,.3,'x' xzeroze; plo,x hold off.5.5 x x.5 x-devo A deermnação de varáve devo perme defnr condçõe nca gua a zero para reolução da equaçõe dferenca ordnára EDO' do modelo. 4. Reolução de Sema Lneare Reolver um modelo gnfca enconrar a varáve de aída como função do empo em repoa a alguma mudança na varáve de enrada. Para o, recorre-e à olução analíca ou negração numérca do conjuno de equaçõe que repreenam o proceo.

55 Uma ferramena muo úl na reolução dee ema é a Tranformada de Laplace, já que é poível ranformar uma equação dferencal no domíno do empo em uma equação algébrca no domno de Laplace. A olução de uma equação algébrca é muo ma mple que o de uma equação dferencal e, e a equação dferencal for lnear nvarane no empo, a ranformação da olução do domíno de Laplace para o domíno do empo erá mple. Para ma dealhe obre a ranformada de Laplace vde anexo I. A função de ranferênca do modelo acma decro pela EDO é obda ranformando, em prmero lugar, a EDO para o domno de Laplace: n n m m a y + a y + L+ any + an y bu + b u + L+ bmu + bmu n m a egur, exra-e o faor comum y e u obendo: n n m m + + L L+ + a a a a y b b b b u n n ou colocado em forma de função de ranferenca: m m n m m m y b b bm b n n u + + L+ + a + a + L + a + a n m n n m Ee po de repreenação é muo úl po perme raar ema complexo a parr de bloco mple com operaçõe de oma e mulplcação. Para exemplfcar uponhamo que um proceo é decro por dua equaçõe dferenca: n n m m a y + a y + L+ a y& + a y b u + b u + L+ b u& + b u ; n m l n n p p l l c u c u c u c u d x d x d x d x l p l + + L+ & L+ & + ; para ober a olução y aída como função do empo para uma deermnada função de perurbação x, é neceáro reolver a egunda equação e, conhecendo a função u, reolver a prmera. Uando o conceo de função de ranferênca, obem-e: p m p m m m Y b b bm b n n U + + L+ + a + a + L + a + a n m n G n m

56 p p U d d d p d l l X + + L+ + c + c + L + c + c l l p G l p Obvamene, não é neceáro, nee cao, calcular x po pode-e operar a equação algebrca obendo: m m Y b b bm b n n X + + L+ + a + a + L+ a + a n m n p p d + d + L+ d + d l l c + c + L+ c + c l p n m p l l p A olução no domno de Laplace cone agora em, uma vez deermnada a função de perurbação x, calcular a ranformada nvera de Laplace de: m m p p b + b + + b b d d d d m m p + L L p Y n n l l X a + a + L+ a + a c + c + L+ c + c - Ou eja y L Y n n l p n m Cada função de ranferênca pode er repreenada grafcamene por um bloco que ubu o quocene de polnômo, uma enrada repreenado à varável ndependene e uma aída repreenando à varavel dependene. Sema complexo podem er repreenado grafcamene aravé de bloco lgado enre, por exemplo, no ema acma eríamo do bloco com a aída do egundo concdndo com a enrada do prmero. l l A egur ão apreenado algun equema de dagrama de bloco e e decrevem a regra báca de operaçõe com bloco. 4.. Dagrama de bloco

57 Condere um proceo cujo comporameno dnâmco é decro por uma equação dferencal ordnára EDO de ordem n, lnear ou lnearzada. O uo de Tranformada de Laplace, com varáve devo condçõe nca zero, perme a repreenação da relação enre a enrada perurbaçõe e eímulo e aída varáve conrolada aravé de Dagrama de Bloco. Ea abordagem perme fornecer a condçõe de aída quando conhecda a condçõe de enrada. Para um proceo de uma enrada e uma aída o dagrama de bloco é: com Y G U ou Y U G onde G é a função de ranferênca que relacona a aída Y à enrada U. Para um proceo como o decro no em 4., onde ão defnda dua funçõe de ranferênca, em-e: Y U U G ; G X cujo dagrama de bloco correponde a:

58 ou, operando emo: y u u x y g g x g cujo dagrama de bloco correponde a: O que perme defnr a prmera operação em dagrama de bloco, do bloco em ere podem er ubuído por um únco bloco e a função de ranferênca que ee repreena erá o produo da dua funçõe de ranferênca do bloco ndvdua. Para um ema repreenado por: Y Y + Y G * U + G * U emo o egune dagrama de bloco: onde podemo obervar do novo elemeno, o pono de bfurcação

59 e o pono de oma Um dagrama de bloco muo ulzado em conrole é o que repreena um ema realmenado: A redução dee dagrama a um bloco únco ea dado por: Y G X X U H Y Y G U H Y Y G U g H Y Y + G H Y G U + G H Y G U Y G U + G H

60 Com ee exemplo é poível obervar que qualquer dagrama de bloco pode er reduzdo a um únco bloco. A anranformada de um ema decro por um únco dagrama de bloco fo apreenada anerormene, e dea forma vemo que a reolução de um ema dnâmco de uma enrada e uma aída, ndependene da ua complexdade ncal, pode er ranformado em um problema repreenado por um únco bloco e reolvdo empre da mema forma. Para fn de anále do ema dnâmco e conrole, a função de ranferênca pode er nerpreada como um ganho enre o nal de aída e o de enrada. Ee ganho apreena uma pare eáca ganho eáco e uma pare dnâmca ganho dnâmco. O ganho eáco é o valor do ganho quando o empo ende a nfno que pode er obdo aplcando o eorema do valor fnal à função de ranferênca. O ganho dnâmco é a pare da função de ranferênca dependene da varável de Laplace, defndo pela ranformada da equaçõe dferenca que decrevem o proceo. Como já fo expoo, um modelo de um proceo obdo no domíno do empo pode er repreenado no domíno complexo como um modelo de Enrada-Saída Inpu-Oupu, e o procedmeno para deenvolver ee modelo é repreenado de forma equemáca a egur:

61 Hpóee Smplfcadora Modelo Dnâmco do Proceo EDO e Equaçõe Algébrca Le Fundamena Ober Modelo Eaconáro zerando dervada empora Lnearzar Termo Não-Lneare Subrar Equação Eaconára da Equação Dnâmca Defnr Varáve Devo Aplcar Tranformada de Laplace Condçõe Inca Reper para oda a Saída Elmnar Toda a Saída Exceo a de Ineree Elmnar Toda a Enrada Exceo a de Ineree Dvdr Saída por Enrada Funçõe de Tranferênca Reper para oda a Enrada

62 4.. Deenvolvmeno de um Modelo Enrada-Saída: CSTR em Sére Conderando um ema de do reaore CSTR em ére como o da fgura abaxo: F C αf V V C C C F C F+ α onde ocorre uma reação A B. Fazendo-e a egune upoçõe: A reação que ocorre em ambo reaore é de ª ordem, rreverível, conduzda oermcamene A reagndo para B. O volume de lqudo no do reaore podem er conderado conane. e conderando que a conane de reação é k, a vazão volumérca é F e a concenração molar é C o modelo do proceo pode er obdo a parr de: Balanço de maa por componene para o reaor : V dc FC + αfc + α FC kc V Balanço de maa por componene para o reaor : V dc + α F C C kc V Se defnnmo: τ τ V F K + α F + KV + α F + KV V F K + α F + KV + α F + KV

63 a dua equaçõe que repreenam o proceo erão: τ τ dc + C KC + αkc dc + C KC Para erem conene com o modelo, a condçõe nca devem cumprr a egune relaçõe: C K C + αk C C K C que ão obda conderando que o proceo eá em repouo no nane. Como a condçõe nca não ão zero, devem-e ranformar a varáve orgna para varáve devo. Aumndo que: C C + C devo C C + C devo C C + C devo o modelo fca: τ τ d C + C deío d C + C devo devo devo devo + C + C K C + C + αk C + C devo devo + C + C K C + C Dado que o valore nca ão conane o ermo que conêm dervada fcam em função da varáve devío. Para o ouro ermo, ulzando a relaçõe enre a condçõe nca, podeme ecrever o modelo como: τ τ dc dc devo devo + C K C + αk C devo devo devo + C K C devo devo

64 e, para mplfcar a noação, rera-e a palavra devo, fcando o modelo: τ τ dc + C KC + αkc dc + C KC endo agora, a ua varáve, varáve devo. Aplcando a ranformada de Laplace ao modelo aneror em-e: K αk C C + C τ + τ + K C C τ + E a repreenação em dagrama de bloco é: ^ C º CSTR K ^ C τ + α K τ ^ C º CSTR K τ + ^ C Manpulando-e algebrcamene o bloco ou a equaçõe, obém-e: C KK K K C τ + τ + α

65 e a função de ranferênca global erá: C KK G C τ + τ + αk K Para reolver o problema, em-e do camnho. O prmero é calcular a anranformada de Laplace do modelo acma para uma perurbação da concenração do componene A na correne de enrada. Dado que o méodo de olução é analíco, obém-e uma expreão maemáca explíca que relacona a varável de neree concenração de A no egundo reaor com o empo. A egunda forma, aualmene muo ulzada, é reolver numercamene a equaçõe dferenca que repreenam o proceo, e para al é neceáro o uo de compuadore. O méodo analíco é mporane quando e deeja, por exemplo, analar caraceríca do ema, como eabldade em dferene condçõe de operação, ou projear conroladore para o proceo. Uma olução numérca para o modelo é: clear all global alfa k au c alfa[. ]; k[ ]; au[..]; c[ ]; c[..]; ; f; [ c]ode45'cr',,f,c; plo,c