4 Teste do Modelo CAPM considerando o pagamento de impostos

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1 4 Tee do Modelo CAPM conderando o pagameno de mpoo Com o objevo de emar o CAPM depo de mpoo, remo ulzar a meodologa propoa por Lzenberger e Ramawamy (979. A eqüênca do méodo egue rê pao para emação do parâmero do faore, o qual é epecalmene efevo para modelo mulfaora, pela facldade de nclur medda adcona de rco. Temo problema conceua e economérco aocado ao ee do CAPM:O prmero problema conceual é a não obervabldade ex ane do reorno eperado e do bea. O egundo problema conceual é a não eaconaredade do prêmo de rco e do bea do avo. O ercero problema é a fala de mercado em que poamo obervar o preço para odo o avo, coneqüenemene o ee do CAPM ão empre feo com uma Proxy da carera de mercado. Além dee problema conceua aocado com o ee do CAPM (ua prema emo rê problema economérco que afeam o reulado, e que povelmene enfraquecem a concluõe que reulam de ua aplcação práca no dado.. Problema de erro em varável A regreõe cro econal ão baeada na prema de que o valor do bea é obervado, o é que o modelo báco da equação que ema a bea correp ao verdadero e não obervado bea. Devdo a não ermo o valore rea de bea, o gera que emadore OL e GL de bea ejam veado e nconene. egundo Huang e Lzenberger (987, exem rê manera de reolver ee problema: a. Agrupar o dado em carera para reduzr a medda do erro no bea b. Ulzar varáve nrumena c. Uar modelo que ajuem o emador para que e ome em cona a varânca da medda do erro do bea.. Problema de ndependênca da regreão cro econal. Na emação do modelo cro econal, aravé de OL, Fama e

2 36 Macbeh mplcamene aumem que a marz de varânca e covarânca do reíduo em cada período ão proporcona a marz dagonal. Ea ecolha, quando não uporada pelo dado ulzado, reula que o emado é conene, ma não é efcene. Coneqüenemene a eaíca para ee parâmero pode levar a concluõe fala 3. Crca de Roll. A verdadera carera de mercado não é obervável, e a Proxy ulzada não é necearamene efcene em médavarânca. e, for ee o cao, como enfazado por Roll(977 e Roll e Ro (994, moraram que a pequena relação enre o reorno eperado e o bea é reulado da ulzação de um proxy de carera de mercado errada, ma que não valdar a eora. Io aconece, porque a verdadera carera de mercado e efcene em méda varânca, enão a relação enre reorno eperado e o bea e revelam muo eníve quando pequeno devo da proxy de mercado para a carera de mercado verdadera. A epecfcação do modelo de equlíbro a er eado é ( f β ( f ( f E R r = a+ b + c d r + d jcp r (4. A hpóee ão que a>0, b>0, e na fala de rerçõe a emprémo de açõe, c>0 e d>0. Na obenção da emava economérca de a,b,c e d, do problema urgem. O prmero é que a expecava não ão dreamene obervada. O procedmeno uual é aumr que a expecava ão racona e o parâmero a,b,c e d ão conane ao longo do empo. O reorno realzado ão poo do lado equerdo da equação.,,... N R = rf = γ0 + γβ + γ( d rf + γ3( jcp rf + ε =,,... T (4. R ~ é o reorno do avo no período, β e d, jcp ão o rco emáco e a axa de dvdendo e axa de juro obre o capal própro do avo no período, repecvamene. O ermo de dúrbo ~ ε é R ~ - E R ~ ], o devo do [

3 37 reorno realzado para eu valor eperado. O coefcene γ 0, γ, γ, γ 3 correpm a a, b,c e d. A varânca do veor coluna de dúrbo, ~ ε ε { ~ : =,..., N T}, =,..., não é proporconal a marz dendade, dede que a covarânca conemporânea enre o reorno do avo não ão nula e a varânca do reorno ão dferene enre o avo. Io gnfca que o emadore de mínmo quadráco ão nefcene, ano para a regreão cro econ em, como para a regreão cro econ e de ere empora em panel. A varânca compuada do emador OL (baeado na prema que a varânca de ε ~ é proporconal a marz dendade não é gual a verdadera varânca do emador. O egundo problema é que a população verdadera de β não é obervável. O problema uual é que o emador a parr de dado paado e ua emava ão aocada a uma medda de erro. Io gnfca que o emador OL va er nconene e endencoo. O méodo uado para reolver ee problema é dcudo nee capíulo. Vamo prmeramene aumr que exem dado de axa de reorno, bea verdadero e a axa de dvdendo no período, =,,... N, avo em cada período, =... T. Defnndo o veor de exceo de reorno realzado como {,...,,..., T} R RR R R (4.3 R ( R rf ( R rf # ( R rf # ( R T rf (4.4 e a marze de varáve explcava como { },...,,..., T

4 38 ( d r ( jcp r ( d r ( jcp r β f f β f f = # # # # βn ( d ( N r f jcpn r f Pela defnção do veor de coefcene de regreão como { γ γγγ} Γ=, 0 3 podemo ecrever a regreão cro econ e de ére emporal em panel como ~ ε ~ ε ~ ε,..., ~ ε ~,..., ε T e { } { ~ ε ~ ε,..., ~ ε..., ε } ~ ε ~, Enão aummo que E ( ~ ε = 0 e que N T R = Γ+ ε (4.5 ( ~ ~ ε ε V E = é uma marz pova defnda de ordem ( N, x N,. Io ambém aume que o reorno do avo ão eralmene decorrelaado, ou eja, E( ~ ~ ε ε j = 0 para o gnfca que a marz varânca-covarânca E( ~ ε ~ ε V é um bloco dagonal, com odo o bloco fora da dagonal endo gua a zero. A marz V aparece ao longo da dagonal de V. ( ε E 0 " 0 0 E ( ε # V = # % E ( ε " (4.6 É bem conhecdo que o emador para Γ, que é lnear em R ~, é não endencoo e êm uma varânca mínma únca, a qual é dada pelo Aken ou emado pelo méodo de mínmo quadráco generalzado (GL.

5 39 ( Γ= V V R (4.7 ( ε ( ε ( d r ( jcp r ( d r ( jcp r ( ε E 0 0 β f f E 0 0 " " 0 E( ε β f f 0 E( ε # # Γ= x # % 0 # # # # # % E( ε βn ( d ( 0 0 ( N r f jcpn r f Eε " " ( ( E 0 " 0 β d rf jcp r f 0 E( ε # β ( d rf ( jcp r f x ( RÄ rf( RÄ rf,...,( RÄ rf,...,( RÄ Trf # % 0 # # # # 0 0 E( ε βn ( d ( N r f jcpn r " f (4.8 Dada a naureza do bloco dagona de V, egue-e que êm bloco dagona. A marze V é ambém V, =,,...T, aparece ao longo da dagonal de V, com o bloco fora da dagonal endo gua a zero. Aumndo que Γ é uma conane neremporal, Γˆ pode er emado efcenemene por uma emava de T ndependene emaçõe GL em panel. Para Γ, ma epecfcamene ˆΓ, ˆΓ,..., Γˆ,..., Γˆ T, obdo ulzando o dado do período,,...,,...,t. ( V V R T (4.9 ˆ Γ = =,,..., Para o reulado apreenado no capíulo 4 cada γ k drbução é eaconára e que a emador de γˆ k e ua varânca ão, aume-e que ua ˆ γ k T ˆ γ k = (4.0 T = T = ( ˆ γ ˆ γ k k var ( ˆ γ k =, k = 0,,. (4. TT ( Uma nerpreação nereane pode er dada para cada um do emadore GL. Ecolhendo qualquer marz de ordem N, x N, eja W, al que

6 40 ( W exa. Conró-e um emador, uando o dado no período como ( W W R (4. Ee emador é lnear em R ~ e não endencoo para Γ. Ee emador é uma combnação lnear do exceo de reorno do avo no período. Enão emo ( W W = I (4.3 Onde I é a marz dendade, enão egue que o emador γ 0 é o exceo de reorno realzado numa carera de bea zero e endo como axa de dvdendo gual a axa de juro em rco. mlarmene, o emador γ é o exceo de reorno realzado numa carera que êm bea gual a um e a axa de dvdendo gual a zero; e que γ é o exceo de reorno realzado numa carera com hedge endo bea gual a zero e axa de dvdendo gual um. Ea nerpreação pode er dada a qualquer emador na forma da equação (4.. Quando W (ou, equvalene, o peo da carera dcuda acma é ecolhda de forma a mnmzar a varânca do reorno da carera, reulando que o emador eja um emador GL. Io aconece porque a carera emada em (4. é lnear e não endencoa por conrução, e pelo eorema de Gau-Markov o emador GL é um emador de varânca mínma obre odo o emare lneare não endencoo. Não é poível epecfcar elemeno da marz de varânca-covarânca V a pror. O rabalho de emar ee elemeno é muo mplfcado por aumr que o modelo de harpe é a decrção correa do proceo gerador de reorno. O proceo que gera reorno no níco do período é upoo como e egue.

7 4 R = α + β R + e =,,... N (4.4 m cov( e, e = 0 j cov( e, e = = j ( R 0 m (4.5 α = E R = (4.6 Com ea epecfcação, o elemeno da -éma lnha e da j-éma coluna do V, é ecra como ( j V,, é dado por V (, j = β βσ, j j mm V j j j N (, = β σmm + =, =,,..., (4.7 σ mm var( R m (4.8 V β σmm + ββ σmm " βnβ σ mm β βσmm β σmm + # = # % βnβn σmm β βnσmm " βn βnσmm βn σmm + NN (4.9 Lzenberger e Ramawamy moram que e ob ea condçõe o emador GL de Γ é obdo ulzando o dado no período e reduz a ( ˆ R Γ = Ω Ω (4.0 Ω é a marz dagonal de ordem (, N x N,, e que o odo o elemeno na -éma lnha e na j-éma coluna é dado por Ω (, j = 0 j Ω (, j = = j, j =,,..., N 0 " 0 0 # # % 0 0 " 0 NN Ω = (4. (4.

8 4 Pode-e morar que ee emador é o emado GL para Γ. Ou eja, ob a prema de um modelo de um únco índce, o emador mnmza rco redual do reorno de rê carera. Que ão γ 0, γ, γ e γ 3 repecvamene. Ee emador pode er conruído como uma ranformação heerocedáco em R e. Defnndo que a marz P de ordem ( N, x N,, cujo elemeno ão dado por φ φ Pj (, = = j Pj (, = 0 j (4.3 P φ " 0 φ 0 # = # % 0 φ 0 " 0 (4.4 Onde φ é um ecalar povo. Enão, aravé de uma regreão OL na varáve ranformada, Γˆ, ambém pode er enconrado R = Γ+ ε (4.5 * * * R * = ~ P e * = P R

9 43 R * φ ( R rf φ 0 " 0 ( R rf φ ( R rf ( R rf φ 0 # # # = = ( R rf φ # % 0 ( R rf # φ 0 " 0 ( R T rf # NN φ ( R T rf NN (4.6 φ 0 " 0 β f f ( d r ( jcp r ( d r ( jcp r φ 0 # * β f f = = 0 # # # # # % φ βn ( d ( N r f jcpn r f 0 " 0 NN φ φ φ φ β ( d rf ( jcp rf φ φ φ φ β ( d rf ( jcp rf = # # # # φ φ φ φ βn ( d ( N r f jcpn r f NN NN NN NN (4.7

10 44 Io é equvalene a deflaconar a varáve na -éma lnha de faor proporconal ao erro padrão redual. R ~ por um Um problema empírco como cado anerormene é que na emação da equação (4. é que de fao o verdadero β, não é obervável e o valor emado do bea de mercado, ˆ β, calculado pelo dado hórco deve er ulzado como proxy. R = α + β R + e τ = P,..., (4.8 τ mτ τ Onde P é o conjuno de nformação ulzado para emar ˆ β ~ ~ τε jτ e que Dado que e aume um modelo de um índce, cov ( ε = 0 ( v ~ ~ 0 cov = τ v jτ. e a probabldade conjuna da drbução enre a axa de reorno do avo e a mercada é eaconára, a varânca da medda do ermo de rco redual var( ~ ε τ, para cada. Dede que o mê não é ulzado na regreão, cov ( ~ ε ~ τ v jτ = 0. Noe que a regreão do bea meddo, ~ β, ua varânca é var( v ~ τ e a varânca do rco redual var( e ~ τ =. Como a verdadera população de β não é obervável, enão a emava dea varável, ~ β, ão obda do dado hórco. Aume-e que emava do bea é o verdadero bea ma uma medda de erro v. var ~ β = β + v ~ ( ν = var ( β Pelo modelo de um faor, o emador OL da varânca da amora de ˆ β é ( ˆ ( e τ β var = var = = (4.9 ( Rm τ Rm ( Rm τ Rm τ= P τ= P

11 45 A preença de medda de erro caua um erro de epecfcação na OL e o emadore GL, e coneqüenemene a emava Γ paam a er endencoo e nconene. E ~ = fo Conene com eudo empírco feo, a prema de que ( 0 feo. Enreano, o é reconhecdo que e o reorno de mercado uado na equação acma não é o verdadero reorno de mercado, enão, a emava de ~ β deve er endencoa. Por caua do erro em varável, a maora do ee empírco agrupou a açõe em carera. Dede que o erro de medmo o bea para dferene avo, que não ão perfeamene correlaado, agrupar avo de rco em carera rá reduzr a efcênca, cauada pela perda de nformação. A efcênca do emador OL do coefcene de uma únca varável ndependene é proporconal a varação cro econ na varável ndependene (bea. Para o cao de dua varáve ndependene (axa de dvdendo e bea, ehle (976 morou a efcênca do emador OL do coefcene de uma varável ndependene, ulzando o dado agrupado, é proporconal a varação cro econal na varável não explcada pela varação em oura varáve ndependene. Dede que a varação do grupo na axa de dvdendo obre o bea é elmnada, a efcênca da emava do coefcene da axa de dvdendo ulzando o dado agrupado é menor que ulzando odo o dado. Por o, não ulzamo a agrupameno de dado para erro em varável. Ao nvé do, fazemo a medda de erro no bea para chegar num emador conene de Γ. Na conrução do emador GL de Γˆ em Equação 6., cada varável fo deflaconada por um faor proporconal a devo padrão redual. O faor de proporconaldade é um ecalar povo e arbráro. A eruura de noo problema, é al que, a medda do devo padrão de erro em é proporconal ao devo padrão do rco redual, var( e e ( β, = var( v (, =. Io é, e a regreão do modelo de ére emporal que afaz a prema de OL Aumndo que é conhecdo emo que a proporção é dada por φ = (4.30

12 46 Na defnção de P em (4.3. Enão cada varável na lnha de R e deflaconada pelo devo padrão da medda de erro em β. e é β é ulzado no lugar de β (não obervável, a medda de erro na varável ndependene β deflaconada, β = va er varânca unára. σ com Chamando a marz de regreore uado β ubundo β. Enão *, o qual é mplemene * * * = σ + v σ v # # # # vn σ N (4.3 v =. Enão o valor do emador σ Onde é nconene. Io ocorre porque T ˆ Γ Γ= (4.3 T = ( Γ = R (4.33 * * * * * * plm Γ = N * R (4.34 N * * * * = plm (4.35 N

13 47 Io dz que para cada emador da regreão cro econ é endencoo memo em amora grande. Porano, o emador oal, endo a méda arméca do emadore cro econ, é nconene. Exem pelo meno rê manera de corrgr ee problema. A prmera fea por Lzemberger e Ramawamy em que em vez de deflaconarmo oda a varáve por, n deflaconamo por Conderando o egune emador em cada período cro-econ * * 0 N 0 0 * Γ = R ( φ φ φ * " φ φ φ φ NN β ( d rf ( jcp r f φ φ φ β β " βn φ φ φ φ NN β ( d rf ( jcp rf φ φ φ ( d rf ( d rf " ( dnr f # # # # NN Γ= Ä φ φ φ φ x φ φ φ ( jcp rf ( jcp rf " ( jcp N r βn ( d ( N r f jcpn r f f NN NN NN NN NN N φ ( RÄ φ φ φ rf " NN φ ( RÄ rf φ φ φ β β " β N NN # x φ φ φ ( d rf ( d rf ( dn φ ( R " r Ä f rf NN φ φ φ ( jcp rf ( jcp rf ( jcp N r # " f NN φ ( RÄ T r f NN (4.37 enão

14 48 e * R plm Γ = (4.38 N * * ( * E R E plm Γ = =Γ (4.39 * * N Enão cada emador cro econ é não endencoo, e em grande amora, para Γ. A marz de varânca e covarânca do coefcene é dada por * * 0 N 0 0 * * * * 0 N 0 0 var( Γ ( ˆ = σε + γ (4.40 Onde σ ε é a varânca do reíduo de modelo de regreão prado ulzando a emava do coefcene corrgdo. A emação em ere emporal de odo o coefcene ão ulzado para ear a gnfcânca do premo de rco obre odo o período. No calculamo a eaíca para ear quando o premo de rco é dferene de 0 Γˆ = σ Γˆ ( (4.4 Para emar o premo de rco de premo obre odo o período T como medda de premo de rco e σ ( Γ ˆ como uma méda arméca do coefcene mena emado. Para o, aume-e que o exceo de reorno da carera ão decorrelaado eralmene e eaconáro. ( Γ Γ Γˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ Γ= e σ Γ = T T( T (4.4 e relaxarmo a prema de que a varânca é conane ao longo do empo podemo emar ˆΓ como a méda prada do coefcene

15 49 emado, o peo ão nveramene proporcona varânca do coefcene da regreõe em cada período. ( Γ Γ ˆ ˆ ˆ Γ Z Z ˆ Γ= e σ ( Γ ˆ = T T( T (4.43, Z = ( Γˆ ( Γˆ ( var var (4.44